Livro Variáveis Complexas

SUMÁRIO

Aula 1: Álgebra dos Números Complexos 13

1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Um Pouquinho de História . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 24

Aula 2: Limites de Funções de Variáveis Complexas 25

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Topologia do Plano Complexo . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Funções de Variáveis Complexas . . . . . . . . . . . 28

2.4 Limites de Funções de Variáveis Complexas . . . . . 29

2.5 Continuidade de Funções complexas . . . . . . . . . 32

2.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


Aula 3: Derivação Complexa 39

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 Derivação Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Regras de Derivação Complexa . . . . . . . . . . . 42

3.4 Equações de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . 44

3.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52


Aula 4: Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa

53

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2 Funções Holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3 Forma Polar das Equações de Cauchy-Riemann . . 58

4.4 Funções Harmônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66


Aula 5: Funções Elementares do Cálculo Complexos 1

69

5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3 Propriedades da Função Exponencial . . . . . . . . 71

5.4 Derivada da Função Exponencial . . . . . . . . . . . 74

5.5 Função Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.6 Propriedades da Função Logaritmo . . . . . . . . . 75

5.7 Derivada da Função Logaritmo . . . . . . . . . . . . 76

5.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80


Aula 6: Funções Elementares do Cálculo Complexos 2

83

6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.2 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.3 Propriedades das Funções Trigonométricas . . . . . 86

6.4 Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . 88

6.5 Derivada das Funções Trigonométricas . . . . . . . 90

6.6 Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.7 Propriedades das Funções Hiperbólicas . . . . . . . 93

6.8 Funções Hiperbólicas Inversas . . . . . . . . . . . . 94

6.9 Derivada das Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . 96

6.10 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101


Aula 7: Integração Complexa 103

7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.2 Integração Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.3 Integrais de Linha Reais . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.4 Relação entre Integrais de Linha Complexa e Real . 106

7.5 Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111


Aula 8: Teoremas de Cauchy 113

8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.3 Teoria de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.4 Fórmula Integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 123

8.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130


Aula 9: Convergência de Séries de Números Complexos

133

9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.2 Seqüências de Números Complexos . . . . . . . . . 134

9.3 Alguns Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.4 Séries de Números Complexos . . . . . . . . . . . . 138

9.5 Séries de Potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148


Aula 10: Séries de Laurent 151

10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

10.2 Séries de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

10.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161


Aula 11: Singularidades de Funções de Variáveis Complexas

163

11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

11.2 Pontos Singulares de Funções Complexas . . . . . . 164

11.3 Classificação de Pontos Singulares Isolados . . . . . 164

11.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172


Aula 12: Cálculo de Resíduos 173

12.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

12.2 Resíduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

12.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182


Aula 13: Aplicações do Teorema dos Resíduos 183

13.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

13.2 Algumas Aplicações do Teorema dos Resíduos . . . 184

13.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191


Aula 14: Transformações Conformes 193

14.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

14.2 Transformações Conformes . . . . . . . . . . . . . . 194

14.3 Exemplos de Algumas Transformações Conformes . 197

14.3.1 Transformações de Möbius . . . . . . . . . . 198

14.3.2 Pontos fixos de uma Aplicação . . . . . . . . 199

14.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202


Aula 15: Transformações Conformes: Aplicações 205

15.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

15.2 Problemas de Dirichlet e de Neumann . . . . . . . . 206

15.2.1 Problemas de Dirichlet . . . . . . . . . . . . 210

15.2.2 Problemas de Neumann . . . . . . . . . . . 210

15.2.3 Aplicações ao Escoamento de Fluidos . . . . 211

15.2.4 Escoamento em Torno de Obstáculos . . . . 213

15.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217


AULA

1Álgebra dos NúmerosComplexos

META:

Apresentar a álgebra dos números complexos.

OBJETIVOS:

Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:

Definir e efetuar as operações algébricas no corpo C.

Calcular raízes e potências em C.

PRÉ-REQUISITOS

Os conhecimentos básicos, da disciplina Cálculo III.

Álgebra dos Números Complexos

1.1 Introdução

Caros alunos iniciamos aqui nosso curso de Variáveis Com-

plexas com o tema “Álgebra dos Números Complexos”. Vamos aqui

estabelecer as bases algébricas dos números complexos como um

corpo não ordenado i.e. as operações de soma e produto definidas

para os números complexos têm as mesmas propriedades que as da

soma e produto de números reais.

1.2 Um Pouquinho de História

É interessante notar que a descoberta dos números complexos não

foi devida a solução de equações do segundo grau x2 + ax + b =

0, a, b ∈ R e sim devido a descoberta da solução para a equação

cúbica em sua forma geral x3+ax2+bx+c = 0, a, b, c ∈ R. Histori-

camente a idéia de números complexos apareceu com o Matemático

italiano Gerolamo Cardano, que os chamou de fictícius. Scip-

ione del Ferro, Matemático italiano, por volta de 1510, encon-

trou uma forma geral para a solução da equação cúbica incom-

pleta da forma x3 + px + q = 0 porém, morreu sem publica-la.

Seu aluno Antonio Maria Fior. conhecendo a solução, propõe

um desafio a outro Matemático italiano Nicoló Fontana, apelidado

de Tartaglia. Tartaglia, muito embora não conhecesse a solução

dos problemas, conseguiu deduzir a fórmula para equações cúbi-

cas da forma x3 + px + q = 0 quanto para x3 + px2 + q = 0

e venceu a disputa. Tartaglia, com a mudança de variáveis y =

x − a

3reduziu a equação geral da cúbica x3 + ax2 + bx + c = 0

à forma y3 + py + q = 0 cuja solução já tinha demonstrado ser

14

Variáveis Complexas AULA

1x = 3

√−q

2−√(q

2

)2+(p

3

)3+ 3

√−q

2+

√(q2

)2+(p

3

)3. Foi RafaelBombelli, engenheiro hidráulico nascido em Bolonha, Itália, em

1530, quem conseguiu atravessar a barreira e chegar aos novos

números. Bombelli, estudando a equação x3 − 15x− 4 = 0 por in-

speção verificou que x = 4 era solução. Dividindo x3−15x−4 por

x−4 encontrou x2 +4x+1 = 0 cujas soluções são reais porém, sub-

stituindo na fórmula de Tartaglia encontramos x = 3√

2 +√−121+

3√

2−√−121. Por um lado a fórmula de Tartaglia estava correta

por outro√−121 era, até então, visto com impossível. A idéia de

Bombelli foi a de que 3√

2 +√−121 e 3

√2−√−121 deveriam ser

números da forma a+√−b e a−

√−b respectivamente. Após, um

bocado de conta (vale a pena refaze-las) encontrou a = 2 e b = 1

e estavam descoberto os números complexos.

1.3 Números Complexos

Vamos agora por a mão na massa começando pela início. Isto é,

definindo o que vem a ser números complexos.

Definição 1.1. Um número complexo z = (x, y) é um par or-

denado onde x, y ∈ R com soma e produto dados por: ∀z1, z1,

z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2). z1 + z2def= (x1 + x2, y1 + y2)

z1.z1def= (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1)

OBS 1.1. Denotamos C o conjunto de todos os números com-

plexos munido das estruturas aditiva e multiplicativa dadas acima.

15


A igualdade de números complexos é derivada da igualdade de

pares ordenados i.e.

Definição 1.2. Seja z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2) dois números

complexos. z1 = z2 se, somente se x1 = x2 e y1 = y2.

OBS 1.2. Apesar de ser definido como par ordenado de números

complexos, os números complexos não tem paralelo com R2 pois,

em R2 não existe estrutura multiplicativa como nos complexos.

Os números complexos possuem, entre outras, as seguintes pro-

priedades:

∀z1, z2, z3 ∈ C

i) z1 + z2 = z2 + z1 simetria da soma

ii) z1.z2 = z2.z1 simetria da multiplicação

iii) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) associatividade da soma

iv) (z1.z2).z3 = z1.(z2.z3) associatividade da multiplicação

v) (0, 0) é o neutro aditivo

vi) (1, 0) é o neutro multiplicativo

vii) se z = (x, y) então −z = (−x,−y) é o simétrico aditivo.

viii) se z = (x, y) 6= (0, 0) então z−1 =

(x

x2 + y2,−y

x2 + y2

)é o

simétrico multiplicativo

ix) z1.(z2 + z3) = z1.z2 + z1.z3 distributividade da multiplicação

sobre a soma

OBS 1.3. Fazendo as seguintes identificações: 1 = (1, 0) e ııı =

(0, 1) podemos escrever um número complexo z = (x, y) como

16


1z = x + yııı, que é uma forma mais simples de se manipular desde

que ponhamos ııı2 = −1. Nesta forma a soma e a multiplicação

ficam dadas por: se ∀z1, z2 ∈ C, z1 = x1 +y1ııı e z2 = x2 +y2ııı então

z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2)ııı

z1.z2 = (x1x2 − y1y2) + (x1y2 − x2y1)ııı

Definição 1.3. Seja z = x + yııı ∈ C um número complexo. Defi-

nimos as partes reais e partes imaginária de z, denotadas Re(z) e

Im(z) respectivamente, por:

Re(z) = x e Im(z) = y

OBS 1.4. Dado um número complexo z = x + yııı ∈ C, podemos

representa-lo graficamente como um ponto do plano xy. Desta

forma dando sentido à próxima definição.

Definição 1.4. Dado um número complexo z = x+ yııı ∈ C, defi-

nimos o módulo de z, denotado |z|, por:

|z| def=√x2 + y2 (1.1)

Um conceito importante a ser em seguida definido é o de conjugado.

A saber:

Definição 1.5. Seja z = x + yııı ∈ C um número complexo. Defi-

nimos o conjugado de z, denotado z por:

zdef= x− yııı

OBS 1.5. O módulo e o conjugado estão relacionados por: |z|2 =

z.z.

Algumas propriedades do módulo:

∀z1, z2 ∈ C

17


x

y

z

z

Figura 1.1: Conjugado de um número complexo

i) z1| ≥ 0

ii) |z1.z2| = |z1|.|z2|

iii) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|

iv) se z = x+ yııı então |z| ≥ |x| e |z| ≥ |y|

Algumas propriedades do conjugado:

∀z1, z2, z ∈ C

i) z1 + z2 = z1 + z2

ii) z1.z2 = z1.z2

iii) x = Re(z) =z + z

2

iv) y = Im(z) =z − z

2ııı

Como podemos associar um número complexo z = x + yııı ∈ C a

um ponto do plano xy, podemos usar coordenadas polares e definir

uma nova forma de representação d números complexos. A saber:

18


1

x

y

z = r cos(θ) + r sin(θ)ııı

rθ

Figura 1.2: Forma polar de um número complexo

Definição 1.6. Seja z = x + yııı ∈ C um número complexo.

Fazendo x = r cos(θ) e y = r sin(θ) a representação:

z = r cos(θ) + r sin(θ)ııı

é dita representação polar do número z.

OBS 1.6. O módulo de z é dado por:

|z| =√

(r cos(θ))2 + (r sin(θ))2

=

√r2 cos2(θ) + r2 sin2(θ)

=

√r2(cos2(θ) + sin2(θ))

=√r2

= r

Definição 1.7. Dado um número complexo z ∈ C em sua forma

polar z = r cos(θ)+r sin(θ)ııı definimos o argumento de z, denotado

arg(z) por: arg(z) = θ.

OBS 1.7. O argumento de um número complexo tem uma in-

finidade de valores já que cos(θ + 2kπ) = cos(θ), ∀k ∈ Z e sin(θ +

2kπ) = sin(θ), ∀k ∈ Z. qualquer dos θ + 2kπ pode ser um argu-

mento.

OBS 1.8. Se z = r cos(θ) + r sin(θ)ııı e w = % cos(φ) + % sin(φ)ııı.

19


Fazendo o produto z.w temos:

z.w = (r cos(θ) + r sin(θ)ııı).(% cos(φ) + % sin(φ)ııı)

= r%(cos(θ) cos(φ)− sin(θ) sin(φ))

+ r%(cos(θ) sin(φ) + sin(θ) cos(φ))ııı

= r% cos(θ + φ) + r% sin(θ + φ)

OBS 1.9. Da observação acima tiramos: Se z = r cos(θ)+r sin(θ)ııı

e w = % cos(φ) + % sin(φ)ııı então

arg(z.w) = arg(z) + arg(w)

a fórmula acima pode ser interpretada assim: se arg(z) é um argu-

mento de z e arg(w) é um argumento de w então arg(z)+arg(w) é

um argumento de z.w e um argumento de z.w pode ser decomposto

na soma de um argumento de z mais um argumento de w.

1.4 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que embora definidos inicialmente como

pares ordenados de R2, os números complexos possuem um estru-

tura multiplicativa que torna C diferente de R2.

RESUMO

No nosso resumo da Aula 01 constam os seguintes tópicos:


Definição

Um número complexo z = (x, y) é um par ordenado onde x, y ∈ R

20


1com soma e produto dados por: ∀z1, z1, z1 = (x1, y1) e z2 =

(x2, y2). z1 + z2def= (x1 + x2, y1 + y2)

z1.z1def= (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1)

Algumas Propriedades

Os números complexos possuem, entre outras, as seguintes pro-

priedades:

∀z1, z2, z3 ∈ C

i) z1 + z2 = z2 + z1 simetria da soma

ii) z1.z2 = z2.z1 simetria da multiplicação

iii) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) associatividade da soma

iv) (z1.z2).z3 = z1.(z2.z3) associatividade da multiplicação

v) (0, 0) é o neutro aditivo

vi) (1, 0) é o neutro multiplicativo

vii) se z = (x, y) então −z = (−x,−y) é o simétrico aditivo.

viii) se z = (x, y) 6= (0, 0) então z−1 =

(x

x2 + y2,−y

x2 + y2

)é o

simétrico multiplicativo

ix) z1.(z2 + z3) = z1.z2 + z1.z3 distributividade da multiplicação

sobre a soma

Definição

Fazendo as seguintes identificações: 1 = (1, 0) e ııı = (0, 1) podemos

escrever um número complexo z = (x, y) como z = x+ yııı

Seja z = x + yııı ∈ C um número complexo. Definimos as partes

21


reais e partes imaginária de z, denotadas Re(z) e Im(z) respecti-

vamente, por: Re(z) = x e Im(z) = y.

Definição

Dado um número complexo z = x + yııı ∈ C, definimos o módulo

de z, denotado |z|, por: |z| def=√x2 + y2.

Definição

Seja z = x+ yııı ∈ C um número complexo. Definimos o conjugado

de z, denotado z por: z def= x− yııı.

Algumas Propriedades do Módulo

Algumas propriedades do módulo:

∀z1, z2 ∈ C

i) z1| ≥ 0

ii) |z1.z2| = |z1|.|z2|

iii) |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|

iv) se z = x+ yııı então |z| ≥ |x| e |z| ≥ |y|

Algumas Propriedades do Conjugado

Algumas propriedades do conjugado:

∀z1, z2, z ∈ C

i) z1 + z2 = z1 + z2

ii) z1.z2 = z1.z2

iii) x = Re(z) =z + z

2

iv) y = Im(z) =z − z

2ııı

Definição

Seja z = x + yııı ∈ C um número complexo. Fazendo x = r cos(θ)

22


1e y = r sin(θ) a representação: z = r cos(θ) + r sin(θ)ııı é dita

representação polar do número z.

Produto na Forma Polar

Se z = r cos(θ) + r sin(θ)ııı e w = % cos(φ) + % sin(φ)ııı. Fazendo o

produto z.w temos:

z.w = r% cos(θ + φ) + r% sin(θ + φ)

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula introduziremos o conceito de funções de

variáveis complexas e o conceito de limites no corpo dos números

complexos. Veremos também, algumas propriedades dos limites de

funções complexas.

ATIVIDADES

Deixamos como atividades as seguintes questões:

ATIV. 1.1. Sejam z1 e z2 dois números complexos. Mostre que

z1.z2 = z2.z1.

Comentário: Use as propriedades comutativas dos números

reais.

ATIV. 1.2. Sejam z = r cos(θ) + r sin(θ)ııı. Mostre que:

zn = rn cos(nθ) + rn sin(nθ)ııı

Comentário: Use o princípio da indução.

23


LEITURA COMPLEMENTAR

SPIEGEL, Murray R., Variáveis Complexas, Coleção Schaum, Ed-

itora McGraw-Hill do Brasil, 1973.

SOARES, Márcio G., Cálculo em uma Variável Complexa, Coleção

Matemática Universitária, Editora SBM, 2009.

BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Vari-

ables and Applications Editora McGraw Hill, 2008

FERNANDEZ, Cecília S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introdução

às Funções de uma Variável Complexa. Editora SBM, 2006.

CERI, Cristina e MONTEIRO, Marta S. A História dos Números

Complexos. http://www.ime.usp.br/ martha/caem/complexos.pdf.

Acessado em 02/06/2011.

24

AULA

2Limites de Funçõesde Variáveis Complexas

META:

Introduzir o conceito de limite de funções de variáveis complexas.

OBJETIVOS:


Definir limites de funções de variáveis complexas e

determinar o limite de algumas funções de variáveis complexas.

PRÉ-REQUISITOS

Aula01 de Variáveis Complexas e os conhecimentos básicos, da dis-

ciplina Cálculo II.

Limites de Funções de Variáveis Complexas

2.1 Introdução

Caros alunos o tema de nossa aula de hoje é “Limites de Funções

de Variáveis Complexas”. Antes de entrarmos no tema central

no entanto, faremos um pequeno passeio pela topologia do plano

complexo. A rigor, as noções topológicas aqui expostas não se

restringem ao plano complexo. Estes conceitos, em especial o de

bola aberta serão usados nas definições de limite e continuidade de


2.2 Topologia do Plano Complexo

Vamos iniciar nossa aula com as definições, com alguns pequenos

comentários, de alguns conceitos topológicos. Começando por:

Definição 2.1. Sejam z0 ∈ C um ponto do plano complexo e r > 0

um real positivo. definimos a bola aberta de centro em z0 e raio r

por:

Br(z0) = z ∈ C||z − z0| < r

OBS 2.1. Apesar do nome bola aberta, a representação geométrica

de uma bola aberta de centro em z0 ∈ C e raio r > 0 é (ver figura

2.1), no plano complexo C, é o interior um disco cujo centro é z0

e cujo raio é r.

Podemos definir também, a bola fechada incluindo as bordas i.e.

Definição 2.2. Sejam z0 ∈ C um ponto do plano complexo e r > 0

um real positivo. definimos a bola fechada de centro em z0 e raio

r por:

Br(z0) = z ∈ C||z − z0| ≤ r

26


2

x

y

z0r1

Br(z0)

Figura 2.1: Bola Aberta no Plano Complexo

Definição 2.3. Seja D ⊂ C um subconjunto do plano complexo.

Dizemos que D é um conjunto aberto se, somente se: Para todo

z ∈ D, existe ε > 0 tal que Bε(z) ⊂ D.

OBS 2.2. Em un conjunto aberto cada ponto é centro de alguma

bola aberta inteiramente contida no conjunto. Em particular cada

bola aberta em C é por sua vez um conjunto aberto. Também é

aberto o plano complexo C. E o conjunto vazio ∅ é aberto, pois

satisfaz a definição de conjunto vazio.

Definição 2.4. Seja D ⊂ C um subconjunto do plano complexo.

Dizemos que D é um conjunto fechado se, somente se se comple-

mentar C(D) em relação a C for aberto.

OBS 2.3. Bolas fechadas são conjuntos fechados. Também é

fechado o plano complexo C, visto que seu complementar, o con-

junto vazio ∅, é um conjunto aberto.

Definição 2.5. Sejam D ⊂ C um subconjunto do plano complexo

e z ∈ D. Dizemos que z é um ponto interior de D se, somente se

existe ε > 0 tal que Bε(z) ⊂ D.

27


OBS 2.4. Todos os pontos de um conjunto D aberto são pontos

interiores de D.


e z ∈ C. Dizemos que z é um ponto exterior de D se, somente se

existe ε > 0 tal que Bε(z) ⊂ C(D).


e z ∈ C. Dizemos que z é um ponto de fronteira de D se, somente

se para todo ε > 0, Bε(z) ∩D 6= ∅ e Bε(z) ∩ C(D) 6= ∅.


e z ∈ C. Dizemos que z é um ponto de acumulação de D se,

somente se para todo ε > 0 tal que Bε(z) ∩D 6= ∅.

OBS 2.5. Todos os pontos de um conjunto D aberto são pontos

de acumulação. Todos os pontos de fronteira de um conjunto D

são pontos de acumulação.

2.3 Funções de Variáveis Complexas

Consideraremos aqui funções de variáveis complexas, que questão

de economia serão chamadas simplesmente funções complexas.

Seja D ⊂ C um subconjunto do plano complexo. Uma função

complexa f é uma regra que associa cada ponto z de D a um

número complexo denotado w. O número w é chamado de o valor

de f no ponto z ou imagem de z por f e denotado f(z) i.e.

w = f(z)

OBS 2.6. Adotaremos também, a notação usual de funções i.e.

para indicar uma função f de domínio D ⊂ C em C usamos f :

D ⊂ C 7→ C.

28


2Também, com o objetivo de simplificação e a menos que seja indi-

cado o contrário, o domínio de D de f será um conjunto aberto.

OBS 2.7. Desde que a imagem de uma função complexa é um

número complexo, podemos ter uma forma alternativa de repre-

sentar funções complexas pondo z = x+ yııı e

f(z) = f(x+ yııı) = u(x, y) + v(x, y)ııı

onde as funções u : D ⊂ C 7→ R e v : D ⊂ C 7→ R são ditas

componentes real e imaginária de f respectivamente.

Exemplo 2.1. Para a função f : C 7→ C dada por f(z) = z3 suas

componentes são u(x, y) = x3 − 3xy2 e v(x, y) = 3x2y − y3 i.e.

f(•) pode ser escrita como:

f(z) = f(x+ yııı) = (x+ yııı)3

= (x+ yııı).(x+ yııı).(x+ yııı)

= ((x2 − y2) + 2xyııı).(x+ yııı)

= (x3 − 3xy2) + (3x2y − y3)ııı

2.4 Limites de Funções de Variáveis Complexas

Começaremos diretamente pela definição de limite.

Definição 2.9. Seja f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa de

domínio D aberto e z0 ∈ D. Dizemos que L ∈ C é o limite de f(z)

quando z tende a z0, denotado limz→z0

f(z) = L se, somente se para

todo ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo z ∈ Bδ(z0)−z0 temos

f(z) ∈ Bε(L)

OBS 2.8. A definição acima, traduzindo em palavras, quer dizer

que se L é o limite de f(z) quando z se aproxima de z0 a imagem

29


a imagem f(z) está em uma bola arbitrariamente pequena Bε(L)

de centro em L.

Para ilustrar o cálculo de limites usando a definição, veremos o

seguinte exemplo:

Exemplo 2.2. Seja f : C 7→ C dada por: f(z) =

z3 , z 6= ııı

0 , z = ııı.

Determinar o limite de f(z) quando z tende a ııı.

SOLUÇÃO: Como ııı3 = −ııı suspeitamos que limz→ııı

f(z) = −ııı. Va-

mos comprovar, usando a definição de limite.

Para cada real positivo ε > 0, existe um real positivo δ > 0 tal

que:

∀z ∈ Bδ(ııı)− ııı temos: f(z) ∈ Bε(−ııı).

Podemos, de forma mais conveniente, descrever a situação acima

em termos de módulo da seguinte forma:

∀z|0 < |z − ııı| < δ temos: |z3 + ııı| < ε.

Para ter isso escrevermos:

|z3 + ııı| = |z3 − ııı3|

= |(z − ııı)(z2 + zııı+ ııı2)|

≤ |z − ııı|.|z2 + zııı+ ııı2| < ε

(2.2)

Se, temporariamente, limitarmos z de modo que |z−ııı| < 1 teremos:

|z| − |ııı| ≤ |z − ııı| < 1

|z| − 1 < 1

|z| < 2

(2.3)

30


2Daí, teremos a seguinte limitação:

|z2 + zııı+ ııı2| < |z2 + |zııı|+ |ııı2|

< |z|2 + |z||ııı|+ |ııı|2

< 7

(2.4)

Bom, agora podemos provar o limite:

∀ε >,∃δ > 0, δ = min1, ε/7|∀z, 0 < |z − ııı| < δ.

Como |z − ııı| < δ e δ = min1, ε/7 temos que valem ao mesmo

tempo as seguintes desigualdades:

|z − ııı| < 1 e |z − ııı| < ε/7.

Da primeira desigualdade garantimos a desigualdade eqn 2.3.3

que por sua vez garante a desigualdade eqn 2.4.3.

Por outro lado, da segunda desigualdade temos:

|z − ııı| < ε

7

|z − ııı|.7 < ε

(2.5)

Das desigualdades eqn 2.5 e eqn 2.4.3 temos:

|z − ııı|.|z2 + zııı+ ııı2| < ε

|(z − ııı).(z2 + zııı+ ııı2)| < ε

|z3 − ııı3| < ε

(2.6)

Daí, temos:

∀ε >,∃δ > 0, δ = min1, ε/7|∀z, 0 < |z − ııı| < δ → |z3 + ııı| < ε

Que podemos sintetizar como:

limz→ııı

f(z) = −ııı

Teorema 2.1. Sejam D ⊂ C um aberto de C, f : D ⊂ C 7→ C uma

função complexa e z0 ∈ D. Se limz→z0

f(z) = w0 e limz→z0

f(z) = w1

então w0 = w1.

31


OBS 2.9. O teorema acima garante que se existe o limite de f(•)

em um ponto z0 então este limite é único.

Teorema 2.2. Sejam D ⊂ C um aberto de C, f : D ⊂ C 7→ C

uma função complexa de componentes f(z) = f(x+yııı) = u(x, y)+

v(x, y)ııı, z0 = x0 +y0ııı ∈ D e w0 = u0 +v0ııı ∈ C. Então limz→z0

f(z) =

w0 se, somente se: limx→x0y→y0

u(x, y) = u0 e limx→x0y→y0

v(x, y) = v0.

Temos também o seguinte teorema que sintetiza algumas das pro-

priedades referentes a operações com limites.

Teorema 2.3. Sejam D ⊂ C um aberto de C, f, g : D ⊂ C 7→

C duas funções complexas e z0 ∈ D tais que limz→z0

f(z) = f0 e

limz→z0

g(z) = g0 então:

i) limz→z0

(f + g)(z) = limz→z0

f(z) + limz→z0

g(z) = f0 + g0

ii) limz→z0

(f − g)(z) = limz→z0

f(z)− limz→z0

g(z) = f0 − g0

iii) limz→z0

(f.g)(z) = limz→z0

f(z). limz→z0

g(z) = f0.g0

iv) limz→z0

(f

g

)(z) =

limz→z0

f(z)

limz→z0

g(z)=f0

g0se g0 6= 0

OBS 2.10. As propriedades dos limites de funções complexas re-

sumida no teorema 2.3 nostra basicamente que limites de funções

complexas têm as mesmas propriedades que funções de valores reais

quanto a operações com limites.

2.5 Continuidade de Funções complexas

E vamos à definição de imediato.

32


2Definição 2.10. Sejam D ⊂ C um aberto de C, F : D ⊂ C 7→ C

uma função complexa e z0 ∈ D. Dizemos que f(•) é contínua se,

somente se:

limz→z)

f(z) = f(z0)

OBS 2.11. A equação da definição acima sintetiza três requisitos

para a continuidade de uma função em um ponto. Primeiro a

função tem que ser definida no ponto. Segundo o limite limz→z)

f(z)

existe. E terceiro é requerida a igualdade limz→z)

f(z) = f(z0).

OBS 2.12. Se a função f(•) é contínua em todos os pontos de seu

domínio D dizemos simplesmente que f(•) é uma função contínua.

O seguinte teorema caracteriza algumas das propriedades referen-

tes a funções contínuas.

Teorema 2.4. Sejam D ⊂ C um aberto de C, f, g : D ⊂ C 7→ C

e duas funções complexas contínuas em D e z0 ∈ D então:

i) (f + g)(z) é contínua em z0

ii) (f − g)(z) é contínua em z0

iii) (f.g)(z) é contínua em z0

iv)f

g(z) é contínua em z0 se g(z) 6= 0, ∀z ∈ D

OBS 2.13. As propriedades acima decorrem imediatamente das

propriedades das operações com limites.

Teorema 2.5. Sejam D1, D2 ⊂ C, abertos de C, f : D2 ⊂ C 7→ C

e g : D1 ⊂ C 7→ D2 ⊂ C duas funções complexas contínuas em D2

e D1 respectivamente e z0 ∈ D1 então:

limz→z0

(f g)(z) = f(g(z0))

33


OBS 2.14. O teorema acima diz em outras palavras que a com-

posta de funções contínua é também uma função contínua.

2.6 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que as mesmas noções topológicas de R2

podem ser estendidas ao plano complexo e que limites de funções

de valores complexos comportam-se tal e qual limites de funções

de valores reais, possuindo basicamente as mesmas propriedades

no que se refere às operações com limites.

RESUMO


Topologia do Plano Complexo

Definimos os seguintes conceitos topológicos no plano complexo:

Bola Aberta

Sejam z0 ∈ C um ponto do plano complexo e r > 0 um real posi-

tivo. definimos a bola aberta de centro em z0 e raio r por:

Br(z0) = z ∈ C||z − z0| < r

Bola Fechada

Sejam z0 ∈ C um ponto do plano complexo e r > 0 um real

positivo. definimos a bola fechada de centro em z0 e raio r por:

Br(z0) = z ∈ C||z − z0| ≤ r

Conjunto Aberto

Seja D ⊂ C um subconjunto do plano complexo. Dizemos que D é

34


2um conjunto aberto se, somente se: Para todo z ∈ D, existe ε > 0

tal que Bε(z) ⊂ D.

Conjunto Fechado

Seja D ⊂ C um subconjunto do plano complexo. Dizemos que D

é um conjunto fechado se, somente se se complementar C(D) em

relação a C for aberto.

Ponto Interior

Sejam D ⊂ C um subconjunto do plano complexo e z ∈ D. Dize-

mos que z é um ponto interior de D se, somente se existe ε > 0 tal

que Bε(z) ⊂ D.

Ponto Exterior

Sejam D ⊂ C um subconjunto do plano complexo e z ∈ C. Dize-

mos que z é um ponto exterior de D se, somente se existe ε > 0

tal que Bε(z) ⊂ C(D).

Ponto de Fronteira


mos que z é um ponto de fronteira de D se, somente se para todo

ε > 0, Bε(z) ∩D 6= ∅ e Bε(z) ∩ C(D) 6= ∅.

Ponto de Acumulação


mos que z é um ponto de acumulação de D se, somente se para

todo ε > 0 tal que Bε(z) ∩D 6= ∅.

Funções Complexas

Podemos representar funções complexas de diversas formas como:

Para f : D ⊂ C 7→ C podemos escrever:

w = f(z) ou

Se z = x+yııı podemos escrever f(z) = f(x+yııı) = u(x, y)+v(x, y)ııı

onde u(x, y) e v(x, y) são ditas componentes de f(•).

35


Limites de Funções Complexas

Quanto a limites de funções complexas destacamos os seguintes

tópicos:

Definição

Seja f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa de domínio D aberto e

z0 ∈ D. Dizemos que L ∈ C é o limite de f(z) quando z tende a

z0, denotado limz→z0

f(z) = L se, somente se para todo ε > 0, existe

δ > 0 tal que para todo z ∈ Bδ(z0)− z0 temos f(z) ∈ Bε(L)

Teorema 1

Sejam D ⊂ C um aberto de C, f : D ⊂ C 7→ C uma função

complexa e z0 ∈ D. Se limz→z0

f(z) = w0 e limz→z0

f(z) = w1 então

w0 = w1.

Teorema 2


complexa de componentes f(z) = f(x + yııı) = u(x, y) + v(x, y)ııı,

z0 = x0 + y0ııı ∈ D e w0 = u0 + v0ııı ∈ C. Então limz→z0

f(z) = w0 se,

somente se: limx→x0y→y0

u(x, y) = u0 e limx→x0y→y0

v(x, y) = v0.

Teorema 3 (Operações com Limites)

Sejam D ⊂ C um aberto de C, f, g : D ⊂ C 7→ C duas funções

complexas e z0 ∈ D tais que limz→z0

f(z) = f0 e limz→z0

g(z) = g0 então:

i) limz→z0


f(z) + limz→z0

g(z) = f0 + g0

ii) limz→z0


f(z)− limz→z0

g(z) = f0 − g0

iii) limz→z0


f(z). limz→z0

g(z) = f0.g0

iv) limz→z0

(f

g

)(z) =

limz→z0

f(z)

limz→z0

g(z)=f0

g0se g0 6= 0

Definição

Sejam D ⊂ C um aberto de C, F : D ⊂ C 7→ C uma função

36


2complexa e z0 ∈ D. Dizemos que f(•) é contínua se, somente se:

limz→z)

f(z) = f(z0)

Propriedades da Funções Contínuas

Sejam D ⊂ C um aberto de C, f, g : D ⊂ C 7→ C duas funções

complexas e z0 ∈ D tais que limz→z0

f(z) = f0 e limz→z0

g(z) = g0 então:

i) limz→z0


f(z) + limz→z0

g(z) = f0 + g0

ii) limz→z0


f(z)− limz→z0

g(z) = f0 − g0

iii) limz→z0


f(z). limz→z0

g(z) = f0.g0

iv) limz→z0

(f

g

)(z) =

limz→z0

f(z)

limz→z0

g(z)=f0

g0se g0 6= 0

PRÓXIMA AULA

A nossa próxima aula será dedicada à ”Derivação de Funções

Complexas´´ onde veremos que a estrutura multiplicativa do corpo

dos números complexos faz com que a derivação no plano complexo

seja significativamente diferente da derivação em R2.

ATIVIDADES


ATIV. 2.1. Seja f : C 7→ C dada por: f(z) =

z2 , z 6= ııı

0 , z = ııı.

Mostrar que o limite de f(z) quando z tende a ııı é −1.

Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o

exemplo, ele lhe servirá de guia.

37


ATIV. 2.2. Seja f : C 7→ C dada por: f(z) = az2 + bz + c, onde

a, b, c ∈ C. Mostrar que f(•) é contínua em z0.


exemplo, ele lhe servirá de guia.







ables and Applications Editora McGraw Hill, 2008.



38

AULA

3Derivação Complexa

META:

Introduzir o conceito de derivada de funções de variáveis com-

plexas.

OBJETIVOS:


Definir derivada de funções de variáveis complexas e

determinar a derivada de algumas funções de variáveis complexas.

PRÉ-REQUISITOS



Derivação Complexa

3.1 Introdução

Caros alunos em nossa aula de hoje veremos a Derivação Com-

plexa. Em muitos aspectos a derivação complexa tem as mesmas

propriedades da derivação real. Em outros porém a derivação com-

plexa é peculiar e estas peculiaridades serão parte do tema de nossa

aula.

3.2 Derivação Complexa

Iniciaremos pela definição de derivada de uma função complexa.

Definição 3.1. Sejam D ⊂ C aberto, z0 ∈ D e f : D ⊂ C 7→ C

uma função complexa. Definimos a derivada de f(•) no ponto z0,

denotada f ′(z0), por:

f ′(z0)def= lim

z→z0

f(z)− f(z0)

z − z0(3.7)

OBS 3.1. Está implícito na definição acima que a derivada de

f(•) é dada pela expressão à direita se, somente se o limite existe.

Podemos expressar também o limite usando uma nova variável

∆z = z − z0, z = z0 + ∆z, onde ∆z é escolhido de modo que

tenhamos z ∈ D.

f ′(z0)def= lim

z→z0

f(z0 + ∆z)− f(z0)

∆z(3.8)

OBS 3.2. Para que a derivada de f(•) exista em um ponto z0 ∈ D

é necessário que o limite da definição seja independente da maneira

como z se aproxima de z0.

Vejamos, agora, dois exemplos:

40


3Exemplo 3.1. Seja f : C 7→ C dada por f(z) = z3. Calculemos

sua derivada.

SOLUÇÃO: Seja z0 ∈ C temos:

f(z0 + ∆z)− f(z0)

∆z=

(z0 + ∆z)3 − z30

∆z

=z3

0 + 3z20∆z + 3z0(∆z)2 + (∆z)3 − z3

0

∆z

=3z2

0∆z + 3z0(∆z)2 + (∆z)3

∆z

= 3z20 + 3z0∆z + (∆z)2

Passando o limite ∆z → 0 e usando a definição de derivada eqn

3.8 temos:

lim∆z→0

f(z0 + ∆z)− f(z0)

∆z= lim

∆z→0(3z2

0 + 3z0∆z + (∆z)2)

f ′(z0) = 3z20

Vamos ao segundo exemplo:

Exemplo 3.2. Seja f : C 7→ C dada por f(z) = |z|2. Calculemos

sua derivada.

SOLUÇÃO: Seja z0 ∈ C temos:

f(z0 + ∆z)− f(z0)

∆z=|z0 + ∆z|2 − |z0|2

∆z

=(z0 + ∆z)(z0 + ∆z)− z0z0

∆z

=z0z0 + z0∆z + z0∆z + ∆z∆z − z0z0

∆z

=z0∆z + z0∆z + ∆z∆z

∆z

= z0 + z0∆z

∆z+ ∆z

Vamos passar o limite ∆z → 0 por dois caminhos distintos.

Caminho 1: Vamos fazer ∆z → 0 seguindo um caminho paralelo

ao eixo real. Neste caso ∆z = ∆x+0ııı = ∆x, ∆z = ∆x−0ııı = ∆x.

41


Daí,∆z

∆z= 1. E passando o limite ∆z → 0 que é equivalente, neste

caso a ∆x→ 0 temos:

f ′(z0) = z0 + z0

Caminho 2: Vamos fazer ∆z → 0 seguindo um caminho paralelo

ao eixo imaginário. Neste caso ∆z = 0 + ∆yııı = ııı∆y, ∆z =

0 − ∆yııı = −ııı∆y. Daí,∆z

∆z= −1. E passando o limite ∆z → 0

que é equivalente, neste caso a ∆y → 0 temos:

f ′(z0) = z0 − z0

Daí, f(z) = |z|2 não é derivável em ponto nenhum do plano com-

plexo, exceto em z0 = 0.

3.3 Regras de Derivação Complexa

Se f(•) e g(•) são funções deriváveis em um ponto z0 ∈ C então

valem as seguintes regras de derivação:

1. (f + g)′(z0) = f ′(z0) + g′(z0)

2. (f − g)′(z0) = f ′(z0)− g′(z0)

3. (f.g)′(z0) = f(z0).g′(z0) + g(z0).f ′(z0)

4.(f

g

)′(z0) =

f(z0).g′(z0)− g(z0).f ′(z0)

g2(z0)se g(z0) 6= 0

Demonstraremos, agora, uma das regras de derivação complexa.

A saber.

Se f(•) e g(•) são funções deriváveis em um ponto z0 ∈ C então

vale a seguinte regra de derivação:(f

g

)′(z0) =

f(z0).g′(z0)− g(z0).f ′(z0)

g2(z0)se g(z0) 6= 0.

42


3PROVA: Para simplificar trocaremos ∆z por λ. Usando a definição

de derivada complexa temos:

(f

g

)′(z0) = lim

λ→0

(f

g

)(z0 + λ)−

(f

g

)(z0)

λ

= limλ→0

f(z0 + λ)

g(z0 + λ)− f(z0)

g(z0)

λ

= limλ→0

f(z0 + λ)g(z0)− f(z0)g(z0 + λ)

g(z0 + λ)g(z0)

λ

= limλ→0

f(z0 + λ)g(z0)− f(z0)g(z0 + λ)

g(z0 + λ)g(z0)λ

(3.9)

Adicionando o termo nulo −f(z0)g(z0) + f(z0)g(z0) ao denomi-

nador da equação eqn 3.9.4 acima temos:

(f

g

)′(z0) = lim

λ→0

f(z0 + λ)g(z0)− f(z0)g(z0)

g(z0 + λ)g(z0)λ

− limλ→0

f(z0)g(z0 + λ)− f(z0)g(z0)

g(z0 + λ)g(z0)λ

= limλ→0

g(z0)

g(z0 + λ)g(z0)

f(z0 + λ)− f(z0)

λ

− limλ→0

f(z0)

g(z0 + λ)g(z0)

g(z0 + λ)− g(z0)

λ

= limλ→0

g(z0)

g(z0 + λ)g(z0)limλ→0

f(z0 + λ)− f(z0)

λ

− limλ→0

f(z0)

g(z0 + λ)g(z0)limλ→0

g(z0 + λ)− g(z0)

λ

(3.10)

Como as funções f(•) e g(•) são deriváveis, são também contínuas

e da definição de derivada complexa temos:

43


limλ→0

g(z0)

g(z0 + λ)g(z0)=

g(z0)

gr(z0)

limλ→0

f(z0)

g(z0 + λ)g(z0)=

f(z0)

g2(z0)

f ′(z0) = limλ→0

f(z0 + λ)− f(z0)

λ

g′(z0) = limλ→0

g(z0 + λ)− g(z0)

λ

Logo a última equação eqn 3.10.3 passa a:(f

g

)′(z0) =

g(z0)

g2(z0)f ′(z0)− f(z0)

g2(z0)g′(z0)

=g(z0)f ′(z0)− f(z0)g′(z0)

g2(z0)

3.4 Equações de Cauchy-Riemann

Nesta seção estabeleceremos condições necessárias e suficiente para

garantir a existência da derivada de uma função de variáveis com-

plexas em um ponto do plano complexo.

Teorema 3.1. Seja D ⊂ C aberto e suponhamos que f : D ⊂ C 7→

C, f(z) = u(x, y) + v(x, y)ııı e f ′(z) existam na vizinhança de um

ponto z0 = x0 + y0ııı ∈ C. Então as derivadas parciais de primeira

ordem de u e v com relação a x e a y existem e satisfazem:

∂u

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0)

∂v

∂x(x0, y0) = −∂u

∂y(x0, y0)

(3.11)

PROVA: Da hipótese do teorema f(z) = u(x, y)+v(x, y)ııı e f ′(z)

estão definidas em uma vizinhança do ponto z0 = x0 + y0ııı ∈ C.

Da definição de derivada temos:

f ′(z0)def= lim

z→z0

f(z)− f(z0)

z − z0(3.12)

44


3Podemos tomar dois casos (caminhos):

Caso 1 podemos fazer z → z0 seguindo o caminho z = x + y0ııı,

z − z0 = x+ y0ııı− (x0 + y0ııı) = x− x0 que é equivalente a x→ x0

e temos:

f(z)− f(z0)

z − z0=u(x, y0) + v(x, y0)ııı− u(x0+, y0)− v(x0, y0)ııı

x− x0

=u(x, y0)− u(x0, y0)

x− x0+ ııı

v(x, y0)− v(x0, y0)

x− x0

Passando o limite z → z0 (de forma equivalente) x→ x0 temos:

limz→z0

f(z)− f(z0)

z − z0= lim

x→x0

u(x, y0)− u(x0, y0)

x− x0

f ′(z0) =∂u

∂x(x0, y0) +

∂v

∂x(x0, y0)ııı

(3.13)

Caso 2 podemos fazer z → z0 seguindo o caminho z = x0 + yııı,

z− z0 = x0 +yııı− (x0 +y0ııı) = (y−y0)ııı que é equivalente a y → y0

e temos:

f(z)− f(z0)

z − z0=u(x0, y) + v(x0, y)ııı− u(x0+, y0)− v(x0, y0)ııı

x− x0

=u(x0, y)− u(x0, y0)

(y − y0)ııı+ ııı

v(x0, y)− v(x0, y0)

(y − y0)ııı

= −ıııu(x0, y)− u(x0, y0)

(y − y0)+v(x0, y)− v(x0, y0)

(y − y0)

Passando o limite z → z0 (de forma equivalente) x→ x0 temos:

limz→z0

f(z)− f(z0)

z − z0= lim

y→y0−ıııu(x0, y)− u(x0, y0)

(y − y0)

f ′(z0) = −ııı∂u∂y

(x0, y0) +∂v

∂y(x0, y0)

=∂v

∂y(x0, y0)− ∂u

∂y(x0, y0)ııı

(3.14)

Comparando as equações eqn 3.13.3 e eqn 3.14.3 temos:

∂u

∂x(x0, y0) +

∂v

∂x(x0, y0)ııı =

∂v

∂y(x0, y0)− ∂u

∂y(x0, y0)ııı

45


Da igualdade de números complexos temos:

∂u

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0)

∂v

∂x(x0, y0) = −∂u

∂y(x0, y0)

Antes de provar a suficiência, provaremos um lema que será muito

útil.

Lema 3.1. Sejam D ⊂ R2 um aberto e f : D ⊂ R2 7→ R uma

função com derivadas parciais e D, contínuas em (x0, y0) ∈ D.

Então:

f(x0 +λ, y0 +η)−f(x0, y0) =∂f

∂x(x0, y0)λ+

∂f

∂y(x0, y0)η+ ξλ+ ζη

onde ξ → 0 e ζ → 0 quando λ→ 0 e η → 0.

PROVA: Começamos por escrever a diferença f(x0 +λ, y0 + η)−

f(x0, y0) como:

f(x0 + λ, y0 + η)− f(x0, y0) = f(x0 + λ, y0 + η)− f(x0, y0 + η)

+ f(x0, y0 + η)− f(x0, y0)

(3.15)

Do teorema do valor médio para funções de uma variável real existe

t ∈ (0, 1) tal que:

f(x0 + λ, y0 + η)− f(x0, y0 + η) =∂f

∂x(x0 + tλ, y0 + η)λ

Como∂f

∂xé contínua em D a diferença:

ξ(λ, η) =∂f

∂x(x0 + tλ, y0 + η)− ∂f

∂x(x0, y0)

tende a zero quando λ→ 0 e η → 0. Daí, temos:

f(x0 + λ, y0 + η)− f(x0, y0 + η) =

(∂f

∂x(x0, y0) + ξ

)λ (3.16)

46


3Do mesmo modo temos:

f(x0, y0 + η)− f(x0, y0) =

(∂f

∂y(x0, y0) + ζ

)η (3.17)

portanto das equações eqn 3.15, eqn 3.16 e eqn 3.17 temos

f(x0 +λ, y0 +η)−f(x0, y0) =∂f

∂x(x0, y0)λ+

∂f

∂y(x0, y0)η+ ξλ+ ζη

e fica provado o lema.

Vamos, agora, provar a suficiência.

Teorema 3.2. Seja D ⊂ C aberto e suponhamos que f : D ⊂ C 7→

C seja uma função complexa tal que as derivadas parciais∂u

∂x,∂v

∂x,

∂u

∂ye∂v

∂yexistam em D e são contínuas em z0 = x0 + y0ııı. Se as

condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas em z0,

∂u

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0)

∂v

∂x(x0, y0) = −∂u

∂y(x0, y0)

então f é derivável em z0.

PROVA: Como, da hipótese,∂u

∂xe∂u

∂ysão contínuas, aplicando

o lema a u(x, y), temos:

∆u = u(x0 + λ, y0 + η)− u(x0, y0)

=∂u

∂x(x0, y0)λ+

∂u

∂y(x0, y0)η + ξ1λ+ ζ1η

(3.18)

onde ξ1 → 0 e ζ1 → 0 quando λ→ 0 e η → 0.

Do mesmo modo, Como, da hipótese,∂v

∂xe∂v

∂ysão contínuas,

aplicando o lema a v(x, y), temos:

∆v = v(x0 + λ, y0 + η)− v(x0, y0)

=∂v

∂x(x0, y0)λ+

∂v

∂y(x0, y0)η + ξ2λ+ ζ2η

(3.19)

47


onde ξ2 → 0 e ζ2 → 0 quando λ → 0 e η → 0. Das equações eqn

3.18 e eqn 3.19 temos:

∆w = ∆u+ ∆vııı

=

(∂u

∂x+∂v

∂xııı

)λ+

(∂u

∂y+∂v

∂yııı

)η + ξλ+ ζη

(3.20)

onde omitimos o argumento (x0, y0) das derivadas parciais e ξ =

ξ1 + ξ2 e ζ = ζ1 + ζ2.

Das equações de Cauchy-Riemann podemos reescrever a equação

eqn 3.20 como:

∆w =

(∂u

∂x+∂v

∂xııı

)λ+

(−∂v∂x

+∂u

∂xııı

)η + ξλ+ ζη

=

(∂u

∂x+∂v

∂xııı

)(λ+ ηııı) + ξλ+ ζη

(3.21)

Dividindo a equação eqn 3.21 por ∆z = λ+ ηııı temos:

∆w

∆z=

(∂u

∂x+∂v

∂xııı

)+ξλ+ ζη

λ+ ηııı(3.22)

Antes de fazer ∆z → 0 em eqn 3.22 temos que mostrar que

lim∆z→0

ξλ+ ζη

λ+ ηııı= 0. Para isto tomando o módulo da expressão

e usando a desigualdade triangular temos:∣∣∣∣ξλ+ ζη

λ+ ηııı

∣∣∣∣ ≤ |ξ| ∣∣∣∣ λ

λ+ ηııı

∣∣∣∣+ |ζ|∣∣∣∣ η

λ+ ηııı

∣∣∣∣ (3.23)

Como∣∣∣∣ λ

λ+ ηııı

∣∣∣∣ =|λ|√λ2 + η2

≤ 1 e∣∣∣∣ η

λ+ ηııı

∣∣∣∣ =|η|√λ2 + η2

≤ 1

podemos reescrever eqn 3.23 como:

0 ≤∣∣∣∣ξλ+ ζη

λ+ ηııı

∣∣∣∣ ≤ |ξ|+ |ζ| (3.24)

Passando o limite ∆z → 0 em eqn 3.24 lembrando que ξ → 0 e

ζ → 0 quando ∆z → 0 temos:

0 ≤∣∣∣∣ξλ+ ζη

λ+ ηııı

∣∣∣∣ ≤ 0

48


3e portanto lim

∆z→0

ξλ+ ζη

λ+ ηııı= 0 e passando o limite ∆z → 0 em eqn

3.22 temos:

f ′(z0) = lim∆z→0

∆w

∆z=∂u

∂x+∂v

∂xııı

Portanto a derivada f ′(z0) existe e é única.

Agora um exemplo de aplicação das equações de Cauchy-Riemann.

Em seção anterior vimos que a função f(z) = z3 era derivável

usando para isso a definição de derivada complexa. Por outro

lado podemos expressar a função em suas componentes reais e

imaginárias da seguinte forma:

f(z) = z3 = f(x+ yııı) = (x+ yııı)3

= (x+ yııı)2(x+ yııı)

= (x2 − y2 + 2xyııı)(x+ yııı)

= x3 − 3xy2 + (3x2y − y3)ııı

Temos então u(x, y) = x3 − 3xy3 e v(x, y) = 3x2 − y3. Derivando

com relação a x e a y temos:

∂u

∂x= 3x2 − 3y2

∂u

∂y= −6xy

∂v

∂x= 6xy

∂v

∂y= 3x2 − 3y2

Vemos pois, que as equações de Cauchy-Riemann:

∂u

∂x=∂v

∂y

∂u

∂y= −∂v

∂x

são satisfeitas para todo z = x+ yııı ∈ C.

49


3.5 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que derivação de funções complexas em

alguns aspectos é semelhante à derivação de funções reais enquanto

que em outros aspectos diferem sensivelmente.

RESUMO



Definição da derivação complexa:

DEFINIÇÃO: Sejam D ⊂ C aberto, z0 ∈ D e f : D ⊂ C 7→ C

uma função complexa. Definimos a derivada de f(•) no ponto z0,

denotada f ′(z0), por:

f ′(z0)def= lim

z→z0

f(z)− f(z0)

z − z0

Regras de Derivação Complexa

Para a derivação complexa temos, entre outras, as seguintes regras:

1. (f + g)′(z0) = f ′(z0) + g′(z0)

2. (f − g)′(z0) = f ′(z0)− g′(z0)

3. (f.g)′(z0) = f(z0).g′(z0) + g(z0).f ′(z0)

4.(f

g

)′(z0) =

f(z0).g′(z0)− g(z0).f ′(z0)

g2(z0)se g(z0) 6= 0

Equações de Cauchy-Riemann

Os seguintes teoremas constituem condições necessária e suficiente

(respectivamente) para a derivabilidade de uma função complexa:

50


3TEOREMA: (condição necessária)

Seja D ⊂ C aberto e suponhamos que f : D ⊂ C 7→ C, f(z) =

u(x, y) + v(x, y)ııı e f ′(z) existam na vizinhança de um ponto z0 =

x0 + y0ııı ∈ C. Então as derivadas parciais de primeira ordem de u

e v com relação a x e a y existem e satisfazem:

∂u

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0)

∂v

∂x(x0, y0) = −∂u

∂y(x0, y0)

TEOREMA: (condição suficiente)

Seja D ⊂ C aberto e suponhamos que f : D ⊂ C 7→ C seja uma

função complexa tal que as derivadas parciais∂u

∂x,∂v

∂x,∂u

∂ye∂v

∂yexistam em D e são contínuas em z0 = x0 + y0ııı. Se as condições

de Cauchy-Riemann são satisfeitas em z0,

∂u

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0)

∂v

∂x(x0, y0) = −∂u

∂y(x0, y0)

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos mais alguns aspectos da derivação

de funções complexas. Em particular funções holomorfas e a lig-

ação de funções harmonicas com a derivação complexa.

51


ATIVIDADES

Deixamos como atividades o cálculo de algumas integrais du-

plas.

ATIV. 3.1. Se f(•) e g(•) são funções deriváveis em um ponto

z0 ∈ C então vale a seguinte regra de derivação:

(f.g)′(z0) = f(z0).g′(z0) + g(z0).f ′(z0).

Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção a

demonstração de uma das regras de derivação complexa, ela lhe

servirá de guia.

ATIV. 3.2. Mostre que as componentes da função complexa f(x+

yııı) = sin(x) cosh(y) + cos(x) sinh(y)ııı satisfazem as equações de

Cauchy-Riemann.

Comentário: Reveja as derivadas das funções trigonométricas e

das funções hiperbólicas.










52

AULA

4Mais Alguns Aspectos daDerivação Complexa

META:

Introduzir o conceito de funções holomorfas.

OBJETIVOS:


Definir funções holomorfas e

determinar se uma dada função de variáveis complexas é holo-

morfa.

PRÉ-REQUISITOS



Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa

4.1 Introdução

Caros alunos em nossa aula de hoje veremos mais alguns as-

pectos da derivação de funções complexas. Em particular funções

holomorfas e mostraremos algumas funções holomorfas. Veremos

também, a ligação de funções harmônicas com a derivação com-

plexa. Para concluir veremos a forma polar das equações de Cauchy-

Riemann.

4.2 Funções Holomorfas

Iniciaremos pela definição de função holomorfa.

Definição 4.1. Sejam D ⊂ C aberto, f : D ⊂ C 7→ C uma função

e z0 ∈ D. Dizemos que f(•) é holomorfa em z0 ∈ D se, somente

se existe δ > 0 tal que f ′(z) existe para todo z ∈ Bδ(z0).

e também,

Definição 4.2. Sejam D ⊂ C aberto e f : D ⊂ C 7→ C uma

função. Dizemos que f(•) é holomorfa em D se, somente se f ′(z)

existe para todo z ∈ D.

OBS 4.1. Para que uma função seja holomorfa em um ponto não

é suficiente que seja derivável neste ponto. É necessário que seja

derivável em uma vizinhança do ponto em questão.

OBS 4.2. Dada uma função complexa f : D ⊂ C 7→ C, z = x+yııı,

f(z) = u(x, y) + v(x, y)ııı. Como z = x − yııı podemos escrever:

x =z + z

2e y =

z − z2ııı

. Dai, para f(z) temos:

f(z) = u

(z + z

2,z − z

2ııı

)+ v

(z + z

2,z − z

2ııı

)ııı (4.25)

54


4por outro lado, derivando as expressões para x e y em função de z

e z temos:

∂x

∂z= 1/2

∂x

∂z= 1/2ııı

∂y

∂z= 1/2

∂i

∂z= −1/2ııı

(4.26)

Derivando a equação 4.25 com relação a z, usando a regra da

cadeia, as equações 4.26 e levando em conta que1

ııı= −ııı temos:

∂

∂zf(z) =

∂u

∂x

∂x

∂z+∂u

∂y

∂y

∂z+

(∂v

∂x

∂x

∂z+∂v

∂y

∂y

∂z

)ııı

=1

2

∂u

∂x− 1

2ııı

∂u

∂y+

(1

2

∂v

∂x− 1

2ııı

∂v

∂y

)ııı

=1

2

∂u

∂x+

1

2

∂u

∂yııı+

1

2

∂v

∂xııı− 1

2

∂v

∂y

=1

2

(∂u

∂x− ∂v

∂y

)+

1

2

(∂u

∂y+∂v

∂x

)ııı

(4.27)

Se f(•) for holomorfa satisfaz as equações de Cauchy-Riemann

em todos os pontos de D i.e.∂u

∂x− ∂v

∂y= 0 e

∂u

∂y+∂v

∂x= 0.

Dai, da equação 4.27 concluímos que: se f(•) for holomorfa então∂

∂zf(z) = 0 em todo z ∈ D. Em outras palavras uma função é

holomorfa quando não depende de z.

OBS 4.3. As equações de Cauchy-Riemann oferecem uma condição

suficiente pa identificação de funções holomorfas i.e. se em f(z) =

u(x, y) + v(x, y)ııı, u(•, •), v(•, •) e suas derivadas são contínuas

e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann então f(•) é uma

função holomorfa.

Exemplo 4.1. A função f : C 7→ C dada por f(z) = zn, n ∈ N é

uma função holomorfa. Senão vejamos:

55


É fácil verificar que:

zn − zn0 = (z − z0)(zn−1 + zn−2z0 + · · ·+ zzn−20 + zn−1

0 )

Dai, temos:

zn − zn0z − z0

= zn−1 + zn−2z0 + · · ·+ zzn−20 + zn−1

0

Passando o limite z → z0 e usando a definição de derivada temos:

f ′(z0) = limz→z0

zn − zn0z − z0

= limz→z0

(zn−1 + zn−2z0 + · · ·+ zzn−20 + zn−1

0 )

= zn−10 + zn−2

0 z0 + · · ·+ z0zn−20 + zn−1

0

= zn−10 + zn−1

0 + · · ·+ zn−10 + zn−1

0︸︷︷︸n vezes

= nzn−10

Daí, f(z) = zn é uma função holomorfa em C i.e. f ′(z) existe em

todo o plano complexo.

Por outro lado.

Exemplo 4.2. A função f : C 7→ C dada por f(z) =

z2

z, z 6= 0

0 , z = 0

não é holomorfa em ponto nenhum de C. Pois, da observação acima

temos:∂f

∂z= 2

z

z6= 0, z 6= 0

Por outro lado no ponto z = 0 temos:

f ′(0) = limz→0

f(z)− f(0)

z − 0= lim

z→0

f(z)

z= lim

z→0

z2

z2

Se a derivada existe em z = 0 ela terá que ser independente do

caminho com que z → 0. Vamos escolher três caminhos distintos:

56


4Caminho 1: ao longo do eixo real x. Daí, z = x+ 0ııı, z = x− 0ııı

e z → 0 equivale a x→ 0.

f ′(0) = limz→0

z2

z2= lim

x→0

(x− 0ııı)2

(x+ 0ııı)2= lim

x→0

x2

x2= 1

Caminho 2: ao longo do eixo imaginário y. Daí, z = 0 + yııı,

z = 0− yııı e z → 0 equivale a y → 0.

f ′(0) = limz→0

z2

z2= lim

y→0

(0− yııı)2

(0 + yııı)2= lim

x→0

−y2

−y2= 1

Como a avaliação da derivada de f(•) no ponto zero seguindo

os caminhos 1 e 3 são iguais temos que as equações de Cauchy-

Riemann são satisfeitas em z = 0 pois, as equações de Cauchy-

Riemann são obtidas de derivações seguindo os eixos real e imag-

inário. No entanto para o caminho 3 temos:

Caminho 3: ao longo da reta y = x. Daí, z = x+xııı, z = x−xııı

e z → 0 equivale a x→ 0.

f ′(0) = limz→0

z2

z2= lim

x→0

(x− xııı)2

(x+ xııı)2= lim

x→0

x(1− ııı)2

x(1 + ııı)2=

(1− ııı)2

(1 + ııı)2= −1

Vemos daí, que f(•) também não é derivável em z = 0.

Vamos agora a mais uma definição.

Definição 4.3. Seja f : C 7→ C uma função complexa. Dizemos

que f é uma função inteira se holomorfa em todo C.

OBS 4.4. A função f(z) = zn, n ∈ N, conforme o exemplo acima

é uma função inteira.

Vamos encerrar esta seção com um teorema que será usado mais

tarde.

Teorema 4.1. Seja D ⊂ C um aberto, f : D ⊂ C 7→ C uma

função holomorfa em D e z0 ∈ D então:

f(z) = f ′(z0)(z − z0) + η(z − z0)

57


onde limz→z0

η = 0.

PROVA: Definindo η por:

η =f(z)− f(z0)

z − z0− f ′(z − 0)

temos que:

f(z) = f ′(z0)(z − z0) + η(z − z0)

Por outro lado, como f(•) é holomorfa em D é , em particular,

holomorfa em z0 e:

limz→z0

η = limz→z0

f(z)− f(z0)

z − z0− f ′(z − 0)

= f ′(z0)−f ′(z0) = 0

4.3 Forma Polar das Equações de Cauchy-Rie-

mann

Podemos expressar as equações de Cauchy-Riemann usando coor-

denadas polares (forma polar de números complexos). A saber:

Teorema 4.2. As equações de Cauchy-Riemann, em coordenadas

polares, são dadas por:

∂u

∂r=

1

r

∂v

∂θ∂v

∂r= −1

r

∂u

∂θ

(4.28)

PROVA: Em coordenadas polares temos: x = r cos(θ) e y =

r sin(θ) e suas inversas: r =√x2 + y2 e θ = tan−1(y/x). derivando

58


4temos:∂r

∂x=

x√x2 + y2

=r cos(θ)

r= cos(θ)

∂r

∂y=

y√x2 + y2

=r sin(θ)

r= sin(θ)

∂θ

∂x=

x

x2 + y2=r cos(θ)

r2=

cos(θ)

r

∂θ

∂y= − y

x2 + y2= −r sin(θ)

r2= −sin(θ)

r

(4.29)

Usando a regra da cadeia para funções de duas variáveis reais e as

equações eqn 4.29 para a função u(•, •) temos:

∂u

∂x=∂u

∂r

∂r

∂x+∂u

∂θ

∂θ

∂x

=∂u

∂rcos(θ) +

1

r

∂u

∂θsin(θ)

∂u

∂y=∂u

∂r

∂r

∂y+∂u

∂θ

∂θ

∂y

=∂u

∂rsin(θ) +

1

r

∂u

∂θcos(θ)

(4.30)

Do mesmo modo para a função v(•, •) temos:

∂v

∂x=∂v

∂r

∂r

∂x+∂v

∂θ

∂θ

∂x

=∂v

∂rcos(θ)− 1

r

∂v

∂θsin(θ)

∂v

∂y=∂v

∂r

∂r

∂y+∂v

∂θ

∂θ

∂y

=∂v

∂rsin(θ) +

1

r

∂v

∂θcos(θ)

(4.31)

Da equação de Cauchy-Riemann∂u

∂x=

∂v

∂y, usando as equações

eqn 4.30.1 e eqn 4.31.2 temos:(∂u

∂r− 1

r

∂v

∂θ

)cos(θ)−

(∂v

∂r+

1

r

∂u

∂θ

)sin(θ) = 0 (4.32)

Da mesma forma, da equação de Cauchy-Riemann∂u

∂y= −∂v

∂x,

usando as equações eqn 4.30.2 e eqn 4.31.1 temos:(∂u

∂r− 1

r

∂v

∂θ

)sin(θ) +

(∂v

∂r+

1

r

∂u

∂θ

)cos(θ) = 0 (4.33)

59


Fazendo o produto da equação eqn 4.32 por cos(θ) e da equação

eqn 4.33 por sin(θ) e somando temos:

∂u

∂r− 1

r

∂v

∂θ= 0 (4.34)

Fazendo o produto da equação eqn 4.32 por sin(θ) e da equação

eqn 4.33 por cos(θ) e subtraindo temos:

∂v

∂r+

1

r

∂u

∂θ= 0 (4.35)

As equações eqn 4.34 e eqn 4.35 constituem-se a forma polar

das equações de Cauchy-Riemann.

OBS 4.5. Veremos aqui como derivar uma função complexa dada

na forma polar.

Seja f : D ⊂ C 7→ C dada na forma polar:

f(z) = f(r(cos(θ) + sin(θ)ııı)) = u(r, θ) + v(r, θ)ııı (4.36)

Derivando a equação eqn 4.36 com relação a r e usando em f(•) a

regra da cadeia lembrando que∂

∂r(r(cos(θ) + sin(θ)ııı)) = cos(θ) +

sin(θ)ııı temos:

f ′(r(cos(θ) + sin(θ)ııı)).(cos(θ) + sin(θ)ııı) =∂u

∂r(θ) +

∂v

∂r(r, θ)ııı

Fazendo o produto da equação acima por cos(θ) − sin(θ)ııı e lem-

brando que (cos(θ) + sin(θ)ııı).(cos(θ) − sin(θ)ııı) = 1 e cos(θ) −

sin(θ)ııı = cos(−θ) + sin(−θ)ııı temos:

f ′(z) = (cos(−θ) + sin(−θ)ııı).(∂u

∂r(r, θ) +

∂v

∂r(r, θ)ııı

)(4.37)

Por outro lado, derivando a equação eqn 4.36 com relação a θ e

usando em f(•) a regra da cadeia lembrando que∂

∂θ(r(cos(θ) +

sin(θ)ııı)) = r(− sin(θ) + cos(θ)ııı) temos:

f ′(r(cos(θ)+sin(θ)ııı)).(r(− sin(θ)+cos(θ)ııı)) =∂u

∂θ(r, θ)+

∂v

∂θ(r, θ)ııı

60


4Levando em conta que1

ııı= −ııı temos: r(− sin(θ) + cos(θ)ııı) =

r(cos(θ) + sin(θ)ııı).ııı e a equação acima pode ser reescrita como:

f ′(r(cos(θ) + sin(θ)ııı)).(r(cos(θ) + sin(θ)ııı))ııı =∂u

∂θ(r, θ) +

∂v

∂θ(r, θ)ııı

Fazendo o produto da equação acima por1

rııı(cos(θ) − sin(θ)ııı) e

lembrando que (cos(θ) + sin(θ)ııı).(cos(θ)− sin(θ)ııı) = 1 e cos(θ)−

sin(θ)ııı = cos(−θ) + sin(−θ)ııı temos:

f ′(z) =1

rııı(cos(−θ) + sin(−θ)ııı).

(∂u

∂θ(θ) +

∂v

∂θ(r, θ)ııı

)(4.38)

4.4 Funções Harmônicas

Nesta seção veremos que as componentes de uma função complexa

holomorfa são funções harmônicas. Começando pela definição

Definição 4.4. Seja u : D ⊂ R2 7→ R uma função real. Dizemos

que u(•, •) é harmônica emD se, somente se suas derivadas parciais

de primeira e segunda ordem são contínuas em D e satisfazem:

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0 (4.39)

OBS 4.6. A equação eqn 4.39 é conhecida com equação de Laplace

no plano.

Seja f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa holomorfa em D.

Veremos em uma aula mais adiante que neste caso tanto f(z) =

u(x, y) + v(x, y)ııı quanto suas componentes u(x, y) e v(x, y) pos-

suem derivadas contínuas de qualquer ordem em D. Além de que

satisfazem as equações de Cauchy-Riemann. A saber:

∂u

∂x=∂v

∂y∂u

∂y= −∂v

∂x

(4.40)

61


Daí, derivando eqn 4.40.1 com relação a x e eqn 4.40.2 com

relação a y temos:

∂2u

∂x2=

∂2v

∂x∂y∂2u

∂y2= − ∂2v

∂y∂x

(4.41)

Levando em conta que as derivadas parciais de u(•, •) e v(•, •) são

contínuas temos que∂2v

∂x∂y=

∂2v

∂y∂x. Daí, somando as equações

eqn 4.41.1 e eqn 4.41.2 temos:

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0 (4.42)

Do mesmo modo podemos mostrar que:

∂2v

∂x2+∂2v

∂y2= 0 (4.43)

E portanto, u(•, •) e v(•, •) são funções harmônicas.

OBS 4.7. Se u(x, y) e v(x, y) são componentes de uma função

f(z) = u(x, y) + v(x, y)ııı holomorfa em algum domínio D ⊂ C

dizemos que u e v são funções harmônicas conjugadas.

Veremos agora um exemplo, de como partindo de uma função har-

mônica u(x, y) determinar sua harmônica conjugada v(x, y) e re-

construir a função holomorfa f(z) cujos componentes são u(x, y) e

v(x, y).

Exemplo 4.3. Dada u(x, y) = 2x(1 − y). Mostre que u(x, y) é

harmônica, determine sua harmônica conjugada v(x, y) e a função

holomorfa f(z) cujos componentes são u(x, y) e v(x, y).

SOLUÇÃO: derivando parcialmente u(x, y) com relação a x e a

62


4y duas vezes temos:∂u

∂x= 2(1− y)

∂2u

∂x2= 0

∂u

∂y= −2x

∂2u

∂y2= 0

(4.44)

Somando as equações eqn 4.44.2 e eqn 4.44.4 temos:

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0

Logo u(x, y) é uma função harmônica.

Vejamos agora como utilizar as equações de Cauchy-Riemann para

determinar a harmônica conjugada de u(x, y). As equações de

Cauchy-Riemann em coordenadas cartesianas são:

∂u

∂x=∂v

∂y∂u

∂y= −∂v

∂x

(4.45)

Das equações eqn 4.45.1 e eqn 4.44.1 e integrando temos:

∂v

∂y= 2(1− y)

v(x, y) =

∫2(1− y)dy

= 2y − y2 + h(x)

(4.46)

onde h(x) é uma função a ser determinada.

Derivando a equação eqn 4.46.3 com relação a x temos:

∂v

∂x= h′(x) (4.47)

Substituindo as equações eqn 4.47 e eqn 4.44.3 em eqn 4.45.2

63


e integrando temos:

h′(x) = 2x

h(x) =

∫2xdx

= x2

(4.48)

Substituindo a equação eqn 4.48.3 em eqn 4.46.3 temos:

v(x, y) = 2y + x2 − y2 (4.49)

A equação eqn 4.49 é a harmônica conjugada de u(x, y). a função

f(z) = u(x, y) + v(x, y)ııı é portanto holomorfa e é dada por:

f(z) = f(x+ yııı) = 2x(1− y) + (2y + x2 − y2)ııı (4.50)

Fazendo em eqn 4.49 y = 0 temos:

f(x+ 0ııı) = f(x) = 2x+ x2ııı

Logo temos:

f(z) = 2z + ııız2

4.5 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que derivação de funções complexas em

alguns aspectos é semelhante à derivação de funções reais enquanto

que em outros aspectos diferem sensivelmente.

RESUMO


Funções Holomorfas

64


4Definição de Função Holomorfa em um ponto.

DEFINIÇÃO: SejamD ⊂ C aberto, f : D ⊂ C 7→ C uma função

e z0 ∈ D. Dizemos que f(•) é holomorfa em z0 ∈ D se,somente se

existe δ > 0 tal que f ′(z) existe para todo z ∈ Bδ(z0).

Definição de função holomorfa.

DEFINIÇÃO: Sejam D ⊂ C aberto e f : D ⊂ C 7→ C uma

função. Dizemos que f(•) é holomorfa em D se,somente se f ′(z)

existe para todo z ∈ D.

Definição de função inteira.

DEFINIÇÃO: Seja f : C 7→ C uma função complexa. Dizemos

que f é uma função inteira se holomorfa em todo C.

Forma Polar das Equações de Cauchy-Riemann

As equações de Cauchy-Riemann, em coordenadas polares, são

dadas por:∂u

∂r=

1

r

∂v

∂θ∂v

∂r= −1

r

∂u

∂θ

(4.51)

Derivação de Funções Complexas na Forma Polar

Derivação com relação a r:


∂r(r, θ) +

∂v

∂r(r, θ)ııı

)Derivação com relação a θ:

f ′(z) =1


(∂u

∂θ(θ) +

∂v

∂θ(r, θ)ııı

)PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula vamos começar o estudo da extensão

da definição de algumas funções do campo real para o campo com-

65


plexo. Em particular as funções exponencial e sua inversa a função

logaritmo.

ATIVIDADES


ATIV. 4.1. Dada u(x, y) = y3 − 3x2y. Mostre que u(x, y) é

harmônica, determine sua harmônica conjugada v(x, y) e a função

holomorfa f(z) cujos componentes são u(x, y) e v(x, y).

Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção os

exemplos eles lhes servirão de guia.

ATIV. 4.2. Seja f : C 7→ C dada por f(z) = anzn + an−1z

n−1 +

· · ·+a1 +a0, onde an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ C. Mostre que f(•) é uma

função holomorfa

Comentário: Use o fato de que f(z) = zn, ∀n ∈ N é uma função

holomorfa.








66


4FERNANDEZ, Cecília S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introdução


67

AULA

5Funções Elementaresdo Cálculo Complexos 1

META:

Definir algumas funções elementares no campo dos complexos.

OBJETIVOS:


Definir algumas funções elementares no campo dos complexos e

provar algumas de suas propriedades.

PRÉ-REQUISITOS

Aula 01 de Variáveis Complexas.

Funções Elementares do Cálculo Complexos 1

5.1 Introdução

Caros alunos iniciaremos o estudo de algumas funções de va-

riáveis complexas. Estenderemos, nesta aula, as definições das

funções exponencial e logaritmo ao domínio dos números com-

plexos e estudaremos algumas de suas propriedades.

5.2 Função Exponencial

Se uma função f(•) de variável complexa z = x+uııı se reduzirá, no

campo dos reais, a velha e conhecida função exponencial devemos

exigir que:

f(x+ 0ııı) = ex

para todo real x. Com isto em mente vamos à definição.

Definição 5.1. Para todo z ∈ C a função exponencial calculada

no ponto z = x+ yııı, denotada exp(z) é definida por:

exp(z)def= ex(cos(y) + sin(y)ııı) (5.52)

OBS 5.1. Claramente a definição acima concorda com o que es-

peramos inicialmente da função exponencial pois,

exp(x+ 0ııı)def= ex(cos(0) + sin(0)ııı) = ex.

As partes real e imaginária da função exponencial são:

u(x, y) = ex cos(y)

v(x, y) = ex sin(y)(5.53)

Daí, derivando eqn 6.64.1 e eqn 6.64.2 com relação a x e com

70


5relação a y temos:∂u

∂x= ex cos(y)

∂u

∂y= −ex sin(y)

∂v

∂x= ex sin(y)

∂v

∂y= ex cos(y)

(5.54)

Das equações eqn 6.65 podemos verificar facilmente que:

∂u

∂x=∂v

∂y∂u

∂y= −∂v

∂x

(5.55)

Logo as equações de Cauchy-Riemman são satisfeitas. E da con-

tinuidade das derivadas das equações eqn 6.65 temos que a função

exponencial exp(•) é holomorfa.

OBS 5.2. Como ex esta definida ∀x ∈ R e cos(y) e sin(y) es-

tão definidas ∀y ∈ R temos que exp(z) está definida ∀z ∈ C i.e.

Dom(exp) = C.

Por outro lado, como Img(ex cos(y)) = R e Img(ex sin(y)) = R

poderíamos pensar que a imagem da função exponencial seria todo

o plano complexo. Porém, como ex > 0,∀x ∈ R e as funções cos(y)

e sin(y) não se anulam ao mesmo tempo em nenhum y ∈ R temos

que exp(z) 6= 0,∀z ∈ C. Daí, Img(exp) = C∗.

5.3 Propriedades da Função Exponencial

Listaremos, aqui, algumas das propriedades da função exponencial

no campo dos complexos. Algumas das propriedades da função ex-

ponencial no campo dos reais valem para o campo dos complexos.

Adicionalmente, teremos algumas outras propriedades da função

71


x

y

+π

−π

Figura 5.1: Domínio da função exponencial

exponencial que valem apenas no campo dos complexos (a exem-

plo da periodicidade).

• ∀z1, z2 ∈ C, exp(z1 + z2) = exp(z1) exp(z2)

• ∀z ∈ C, exp(−z) =1

exp(z)

• ∀k ∈ Z, ∀z ∈ C, exp(kz) = (exp(z))k

• ∀z ∈ C, exp(z) = exp(z)

• ∀z ∈ C, exp(z + 2πııı) = exp(z)

OBS 5.3. A última propriedade vale apenas no campo dos com-

plexos e nos diz que a função exponencial é periódica de período

imaginário 2πııı. Com isso a função exponencial no campo dos

complexos é uma função multiforme. Em outras palavras uma

função não injetora. Para recuperar o caráter injetor podemos

restringir o domínio de definição da função exponencial à faixa

Dom(exp(z)) = R× [−π,+π) (ver figura 5.1). Quanto a imagem

continua a mesma Img(exp(z)) = C∗ i.e. todo o plano complexo

exceto a origem.

Faremos aqui a demonstração de apenas uma das propriedades da

função exponencial. A saber:

72


5Demonstração da Primeira Propriedade: Sejam z1, z2 ∈ C

dados por: z1 = x1 + y1ııı e z2 = x2 + y2ııı. Daí, temos:

exp(z1) exp(z2) = ex1(cos(y1) + sin(y1)ııı)ex2(cos(y2) + sin(y2)ııı)

= ex1+x2(cos(y1) cos(y2) + sin(y1) cos(y2)ııı

+ sin(y2) cos(y1)ııı− sin(y1) sin(y2))

= ex1+x2(cos(y1) cos(y2)− sin(y1) sin(y2)

+ (sin(y1) cos(y2) + sin(y2) cos(y1))ııı)

= ex1+x2(cos(y1 + y2) + sin(y1 + y2)ııı)

= exp(z1 + z2)

OBS 5.4. Para um z ∈ C puramente real z = x+ 0ııı temos:

exp(z) = exp(x+ 0ııı) = ex(cos(0) + sin(0)ııı) = ex

Como potência de base e as propriedades da função exponencial

não entram em conflito com as propriedades usuais das potências.

E para um z ∈ C puramente imaginário z = 0 + yııı temos:

exp(z) = exp(0 + yııı) = e0(cos(y) + sin(y)ııı) = cos(y) + sin(y)ııı

Desta forma podemos introduzir a notação devida a Eüler:

exp(yııı) = eyııı = cos(y) + sin(y)ııı

e teremos um nova forma de escrever um número complexo. Senão

vejamos: Dado z ∈ C, z = x + yııı em sua forma polar z =

r(cos(θ) + sin(θ)ııı). Tomaremos a = ln(r) e podemos escrever o

número complexo z de diversas formas. A saber:

z = x+ yııı = r(cos(θ) + sin(θ)ııı) = reθııı = ea+θııı

73


5.4 Derivada da Função Exponencial

Do exposto na seção anterior, sabemos que a função exponencial

exp(•) é holomorfa ∀z ∈ C e portanto sua derivada pode ser dada

por:

exp′(z) =∂

∂xexp(x+ yııı)

=∂

∂x(ex cos(θ) + ex sin(θ)ııı)

= ex cos(θ) + ex sin(θ)ııı

= exp(x+ yııı)

= exp(z)

(5.56)

OBS 5.5. Vemos pois que a função exponencial no campo dos

complexos tem a mesma derivada que a função exponencial no

campo dos reais i.e. exp′(z) = exp(z).

5.5 Função Logaritmo

O fato da função exponencial ser periódica de período imaginário

2πııı transforma-se em um problema ao se definir a função logaritmo

como a inversa da função exponencial pois tira da função exponen-

cial a propriedade de função injetora que a função exponencial no

campo dos reais tem.

Definição 5.2. Definimos a função ´logaritmo em um ponto z ∈

C, z = reθııı, r ∈ [0,∞) e θ ∈ [−π,+π), por:

log(z)def= ln(r) + (θ + 2kπ)ııı, k ∈ Z (5.57)

A função logaritmo assim definida é uma função multiforme com

infinitos valores associados a cada ponto z ∈ C. Cada valor de k ∈

74


5Z corresponde a um ramo da função logaritmo. O ramo principal

corresponde a k = 0 i.e.

log(z)def= ln(r) + θııı (5.58)

OBS 5.6. Vemos então que a função logaritmo restrita a cada

ramo é uma função injetora. Em particular o ramo principal 6.69.

5.6 Propriedades da Função Logaritmo

Listaremos, aqui, algumas das propriedades da função logaritmo

no campo dos complexos. Algumas das propriedades da função

logaritmo no campo dos reais valem para o campo dos complexos.

• ∀z1, z2 ∈ C∗, log(z1.z2) = log(z1) + log(z2)

• ∀z1, z2 ∈ C∗, log

(z1

z2

)= log(z1)− log(z2)

• ∀z ∈ C∗, exp(log(z)) = z

Faremos aqui a demonstração de apenas uma das propriedades da

função logaritmo. A saber:

Demonstração da Primeira Propriedade: Sejam z1, z2 ∈ C∗

dados por: z1 = r1eθ1ııı e z2 = r2e

θ2ııı. Daí, temos:

log(z1.z2) = log(r1eθ1ııı.r2e

θ2ııı)

= log(r1r2e(θ1+θ2)ııı)

= ln(r1r2) + (θ1 + θ2 + 2kπ)ııı,∀k ∈ Z

= ln(r1) + ln(r2) + (θ1 + 2mπ) + (θ2 + 2nπ)ııı,∀m,n ∈ Z

= (ln(r1) + (θ1 + 2mπ)) + (ln(r2) + (θ2 + 2nπ)ııı), ∀m,n ∈ Z

= log(z1) + log(z2)

75


OBS 5.7. Na demonstração acima, a passagem do passo 3 para

o passo 4 é justificada pois, para cada k ∈ Z podemos escrever

k = m+ n de infinitas maneiras.

OBS 5.8. A propriedade 3 diz que a função logaritmo log(•) é a

inversa à direita da função exponencial exp(•) porém, não é inversa

à esquerda. Tomando z = x+ yııı temos:

log(exp(z)) = log(ex.eyııı)

= ln(ex) + (y + 2kπ)ııı,∀k ∈ Z

= x+ yııı+ 2kπ, ∀k ∈ Z

= z + 2kπ, ∀k ∈ Z

6= z

devido ao caráter de função multivalorada do logaritmo definido

por eqn 6.68 porém, se nos restringirmos ao ramo principal a

função log(•) é também inversa à esquerda da função exponencial

exp(•).

5.7 Derivada da Função Logaritmo

Antes de calcular a derivada da função logaritmo vejamos como

reescrever a equações que determinam a derivada de uma função

f(•) complexa em coordenadas polares, vista na aula anterior,

pondo z = reθııı. Da aula anterior se f(z) = f(r(cos(θ)+sin(θ)ııı)) =

u(r, θ) + v(r, θ)ııı temos:

∂u

∂r=

1

r

∂v

∂θ∂v

∂r= −1

r

∂u

∂θ

76


5para as equações de Cauchy-Riemann e


∂r(r, θ) +

∂v

∂r(r, θ)ııı

)=

1


(∂u

∂θ(θ) +

∂v

∂θ(r, θ)ııı

)Para a derivada de f(•). Pondo z = reθııı podemos reescrever as

equações acima como:

f ′(z) = e−θııı.

(∂u

∂r(r, θ) +

∂v

∂r(r, θ)ııı

)=

1

ıııreθııı.

(∂u

∂θ(θ) +

∂v

∂θ(r, θ)ııı

)As partes real e imaginária da função logaritmo são:

u(r, θ) = ln(r)

v(r, θ) = θ + 2kπ, ∀k ∈ Z(5.59)

Daí, derivando eqn 6.70.1 e eqn 6.70.2 com relação a x e com

relação a y temos:∂u

∂r=

1

r∂u

∂θ= 0

∂v

∂r= 0

∂v

∂θ= 1

(5.60)

Das equações eqn 6.71 podemos verificar facilmente que:

u(r, θ) = ln(r)

v(r, θ) = θ + 2kπ, ∀k ∈ Z(5.61)

Logo as equações de Cauchy-Riemman são satisfeitas. E da con-

tinuidade das derivadas das equações eqn 6.71 temos que a função

logaritmo log(•) é holomorfa.

Quanto a derivada da função logaritmo com u(r, θ) = ln(r) e

77


v(r, θ) = θ + 2kπ, ∀k ∈ Z temos:

ln′(z) = e−θııı.

(∂u

∂r(r, θ) +

∂v

∂r(r, θ)ııı

)= e−θııı.

(∂

∂rln(r) +

∂

∂r(θ + 2kπ)ııı

)=

1

re−θııı

=1

reθııı

=1

z

(5.62)

OBS 5.9. Vemos pois que a função logaritmo no campo dos com-

plexos tem a mesma derivada que a função logaritmo no campo

dos reais i.e. ln′(z) =1

z.

5.8 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que a função exponencial e a função

logaritmo podem ser estendidas de modo intuitivo no domínio dos

números complexos mantendo suas propriedades originais pratica-

mente intactas.

RESUMO


Função Exponencial

Definimos a função exponencial da seguinte forma:

Definição: Para todo z ∈ C a função exponencial calculada no

ponto z = x+ yııı, denotada exp(z) é definida por:

exp(z)def= ex(cos(y) + sin(y)ııı)

78


5Algumas Propriedades da Função Exponencial

A função exponencial assim definida tem as seguintes propriedades:

• ∀z1, z2 ∈ C, exp(z1 + z2) = exp(z1) exp(z2)

• ∀z ∈ C, exp(−z) =1

exp(z)

• ∀k ∈ Z,∀z ∈ C, exp(kz) = (exp(z))k

• ∀z ∈ C, exp(z) = exp(z)

• ∀z ∈ C, exp(z + 2πııı) = exp(z)

Derivada da Função Exponencial

A derivada da função exponencial exp(•) no campo dos complexos

é dada por:

exp′(z) = exp(z)

Função Logaritmo

Definimos a função logaritmo da seguinte forma:

Definição: Definimos a função logaritmo em um ponto z ∈ C,

z = reθııı, r ∈ [0,∞) e θ ∈ [−π,+π), por:

log(z)def= ln(r) + (θ + 2kπ)ııı, k ∈ Z

Algumas Propriedades da Função Logaritmo

A função logaritmo assim definida tem as seguintes propriedades:

• ∀z1, z2 ∈ C∗, log(z1.z2) = log(z1) + log(z2)

• ∀z1, z2 ∈ C∗, log

(z1

z2

)= log(z1)− log(z2)

79


• ∀z ∈ C∗, exp(log(z)) = z

Derivada da Função Logaritmo

A derivada da função logaritmo log(•) no campo dos complexos é

dada por:

log′(z) =1

z

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula vamos continuaremos o estudo da ex-

tensão da definição de algumas funções do campo real para o campo

complexo. Em particular as funções trigonométricas e as funções

hiperbólicas.

ATIVIDADES


ATIV. 5.1. Considere a função exponencial exp(•) no campo dos

complexos e mostre que:

∀k ∈ Z, ∀z ∈ C, exp(kz) = (exp(z))k

Comentário: Use o princípio da indução.

ATIV. 5.2. Seja λ ∈ C e defina a função:

zλdef= exp(λ log(z)), ∀z ∈ C

80


5Mostre, que se tomarmos o ramo principal de log(•) a função assim

definida é holomorfa e sua derivada é dada por:

d

dzzλ = λzλ−1

Comentário: Use a regra da cadeia.










81

AULA

6Funções Elementaresdo Cálculo Complexos 2

META:

Definir mais algumas funções elementares no campo dos complexos.

OBJETIVOS:


Definir mais algumas funções elementares no campo dos complexos

e provar algumas de suas propriedades.

PRÉ-REQUISITOS

Aula 01 de Variáveis Complexas.


6.1 Introdução

Caros alunos dando continuidade ao estudo de algumas funções

de variáveis complexas estenderemos, nesta aula, as definições das

funções trigonométricas e das funções hiperbólicas ao domínio dos

números complexos. Começaremos pelas funções trigonométricas,

mais precisamente pela função seno.

6.2 Funções Trigonométricas

Começaremos pelas definições das funções seno e cosseno pois,

serviram de base para definição das demais funções trigonométri-

cas.

Como vimos anteriormente a fórmula de Eüler para variáveis com-

plexas escreve-se assim:

∀θ ∈ R, eθııı = cos(θ) + sin(θ)ııı (6.63)

Trocando em eqn. 6.63 θ por −θ e levando em conta que as

funções seno e cosseno de reais são função par e função ímpar

respectivamente, teremos: eθııı = cos(θ) + sin(θ)ııı

e−θııı = cos(θ)− sin(θ)ııı(6.64)

Subtraindo e adicionando as equações eqn. 6.63 temos:sin(θ) =

eθııı − e−θııı

2ııı= −ıııe

θııı − e−θııı

2

cos(θ) =eθııı − e−θııı

2

(6.65)

Desta forma é natural estender a definição das funções seno e

cosseno no domínio dos complexos por:

Para a função seno

84


6Definição 6.1. Para todo z ∈ C, definimos a função seno, calcu-

lada no ponto z, denotada sin(z) por:

sin(z)def= −ıııe

zııı − e−zııı

2(6.66)

Para a função cosseno

Definição 6.2. Para todo z ∈ C, definimos a função cosseno,

calculada no ponto z, denotada cos(z) por:

cos(z)def=ezııı + e−zııı

2(6.67)

As definições das funções tangente, cotangente, secante e cose-

cante no campo no campo dos números reais são feitas à partir das

funções seno e cosseno. No campo dos números complexos segue

como as mesmas definições. A saber:

Para a função tangente:

Definição 6.3. Para todo z ∈ C a função tangente calculada no

ponto z, denotada tan(z) é definida por:

tan(z)def=

sin(z)

cos(z)(6.68)

Para a função cotangente:

Definição 6.4. Para todo z ∈ C a função cotangente calculada

no ponto z, denotada cot(z) é definida por:

cot(z)def=

cos(z)

sin(z)(6.69)

Para a função secante:

Definição 6.5. Para todo z ∈ C a função secante calculada no

ponto z, denotada sec(z) é definida por:

sec(z)def=

1

cos(z)(6.70)

85


Para a função cosecante:

Definição 6.6. Para todo z ∈ C a função cosecante calculada no

ponto z, denotada csc(z) é definida por:

csc(z)def=

1

sin(z)(6.71)

Alternativamente, a exemplo das funções seno e cosseno, podemos

definir as funções tangente, cotangente, secante e cosecante usando

a função exponencial. A saber:

tan(z) = −ıııezııı − e−zııı

ezııı + e−zııı

cot(z) = ıııezııı + e−zııı

ezııı − e−zııısec(z) =

2


csc(z) =2ııı

ezııı − e−zııı

(6.72)

6.3 Propriedades das Funções Trigonométricas

As propriedades das função trigonométricas são as mesmas no

campo dos reais quanto no campo dos complexos. A seguir listare-

mos algumas e faremos a demonstração de uma delas.

i) ∀z ∈ C, cos2(z) + sin2(z) = 1

ii) ∀z ∈ C, sec2(z)− tan2(z) = 1

iii) ∀z ∈ C, cot2(z)− csc2(z) = 1

iv) ∀z ∈ C, sin(−z) = − sin(z)

v) ∀z ∈ C, cos(−z) = cos(z)

vi) ∀z ∈ C, tan(−z) = − tan(z)

86


6vii) ∀z, w ∈ C, cos(z + w) = cos(z) cos(w)− sin(z) sin(w)

viii) ∀z, w ∈ C, sin(z + w) = sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w)

ix) ∀z, w ∈ C, tan(z + w) =tan(z) + tan(w)

1 + tan(z) tan(w)

x) ∀z ∈ C, cos2(z) =1

2

(1 +

sin(2z)

2

)

xi) ∀z ∈ C, sin2(z) =1

2

(1− sin(2z)

2

)

Demonstraremos aqui que: ∀z, w ∈ C, cos(z+w) = cos(z) cos(w)−

sin(z) sin(w).

Demonstração:

Das definições das funções sin(•) e cos(•) temos:

cos(z + w) =e(z+w)ııı + e−(z+w)ııı

2

cos(z) =ezııı + e−zııı

2

cos(w) =ewııı + e−wııı

2

sin(z) = −ıııezııı − e−zııı

2

sin(z) = −ıııewııı − e−wııı

2

(6.73)

Fazendo o produto das equações eqn 6.73.2 e eqn 6.73.3 temos:

cos(z) cos(w) =ezııı + e−zııı

2

ewııı + e−wııı

2

=(ezııı + e−zııı)(ewııı + e−wııı)

4

=ezıııewııı + e−zıııewııı + ezıııe−wııı + e−zıııe−wııı

4

=e(z+w)ııı + e(w−z)ııı + e(z−w)ııı + e−(z+w)ııı

4

(6.74)

87


Fazendo o produto das equações eqn 6.73.4 e eqn 6.73.5 temos:

sin(z) sin(w) = ııı2ezııı − e−zııı

2

ewııı − e−wııı

2

= −(ezııı − e−zııı)(ewııı − e−wııı)4

= −ezıııewııı − e−zıııewııı − ezıııe−wııı + e−zıııe−wııı

4

=−e(z+w)ııı + e(w−z)ııı + e(z−w)ııı − e−(z+w)ııı

4

(6.75)

Subtraindo as equações eqn 6.74 e eqn 6.75 temos:

cos(z) cos(w)− sin(z) sin(w) =2e(z+w)ııı + 2e−(z+w)ııı

4

=e(z+w)ııı + e−(z+w)ııı

2

(6.76)

comparando as equações eqn 6.73.1 e eqn 6.76 temos:

cos(z + w) = cos(z) cos(w)− sin(z) sin(w) (6.77)

6.4 Funções Trigonométricas Inversas

As funções trigonométricas inversas podem ser deduzidas das ex-

pressões de definição das funções trigonométricas. Aqui faremos a

dedução de uma delas. A saber:

i) sin−1(z) =1

ııılog(z +

√1− z2)

ii) cos−1(z) =1

ııılog(z +

√z2 − 1)

iii) tan−1(z) =1

2ııılog

(1 + zııı

1− zııı

)

iv) cot−1(z) =1

2ııılog

(z + ııı

z − ııı

)

v) sec−1(z) =1

ııılog

(z +√

1− z2

z

)

88


6vi) csc−1(z) =

1

ııılog

(z +√z2 − 1

z

)

Demonstraremos aqui que: sin−1(z) =1

ııılog(z +

√1− z2).

Demonstração:

Da definição de função inversa temos:

sin(w) = z ↔ w = sin−1(z)

Da definição da função sin(w) temos:

sin(w) =ewııı − e−wııı

2ııı= z (6.78)

por outro lado, fazendo na equação eqn 6.78 ξ = ewııı temos:

ξ − ξ−1

2ııı= z

ξ − ξ−1 = 2zııı

(6.79)

Fazendo o produto da equação eqn 6.79 por ξ temos:

ξ2 − 1 = 2zıııξ

ξ2 − 2zıııξ − 1 = 0(6.80)

Resolvendo a equação do segundo grau eqn 6.80 para ξ temos:

ξ = zııı+√

1− z2 (6.81)

Onde sabemos que√

1− z2 é uma função multivalorada. Por outro

lado, como ξ = ewııı da equação eqn 6.81 temos:

ewııı = zııı+√

1− z2 (6.82)

Invertendo a função exponencial em eqn 6.82, levando em conta

que ewııı = e(w−2kπ)ııı e que w = sin−1(z) temos:

wııı = 2kπııı+ log(zııı+√

1− z2)

sin−1(z) = 2kπ +1

ııılog(zııı+

√1− z2)

(6.83)

89


Vemos então que a função sin−1(z) tem infinitos valores porém,

escolhendo o ramo principal onde sin−1(0) = 0 temos k = 0 e da

equação eqn 6.83 podemos escrever:

sin−1(z) =1

ııılog(zııı+

√1− z2)

6.5 Derivada das Funções Trigonométricas

As funções trigonométricas estendidas ao campo dos complexos

têm as seguintes derivadas:

i) cos′(z) = − sin(z)

ii) sin′(z) = cos(z)

iii) tan′(z) = sec2(z)

iv) cot′(z) = − csc2(z)

v) sec′(z) = sec(z) tan(z)

vi) csc′(z) = − csc(z) cot(z)

Faremos a demonstração apenas de um ítem acima. A saber:

Derivada da Função Seno: sin′(z) = cos(z).

PROVA: Usando a definição da função seno sin(•), a definição

da função coseno cos(•), a derivada da função exponencial exp(•)

e a regra da cadeia temos:

sin′(z) =d

dz


2ııı

=ıııezııı + ıııe−zııı

2ııı

=ezııı + e−zııı

2

= cos(z)

(6.84)

90


66.6 Funções Hiperbólicas

Começaremos pelas definições das funções seno hiperbólico e cosseno

hiperbólico pois, serviram de base para definição das demais funções

hiperbólicas. Como no campo dos números reais as funções seno

hiperbólico e cosseno hiperbólico são definidas à partir da função

exponencial, sua extensão ao campo dos números complexo utiliza

a mesma forma. A saber:

Para a função seno hiperbólico.

Definição 6.7. Para todo z ∈ C, definimos a função seno hiper-

bólico, calculada no ponto z, denotada sinh(z) por:

sinh(z)def=ez − e−z

2(6.85)

Para a função cosseno hiperbólico.

Definição 6.8. Para todo z ∈ C, definimos a função cosseno hiper-

bólico, calculada no ponto z, denotada cosh(z) por:

cosh(z)def=ez + e−z

2(6.86)

As definições das funções tangente hiperbólica, cotangente hiper-

bólica, secante hiperbólica e cosecante hiperbólica no campo no

campo dos números reais são feitas à partir das funções seno hiper-

bólico e cosseno hiperbólico. No campo dos números complexos

segue como as mesmas definições. A saber:

Para a função tangente hiperbólica:

Definição 6.9. Para todo z ∈ C a função tangente calculada no

ponto z, denotada tanh(z) é definida por:

tanh(z)def=

sinh(z)

cosh(z)(6.87)

91


Para a função cotangente hiperbólica:

Definição 6.10. Para todo z ∈ C a função cotangente hiperbólica

calculada no ponto z, denotada coth(z) é definida por:

coth(z)def=

cosh(z)

sinh(z)(6.88)

Para a função secante hiperbólica:

Definição 6.11. Para todo z ∈ C a função secante hiperbólica

calculada no ponto z, denotada sech (z) é definida por:

sech (z)def=

1

cosh(z)(6.89)

Para a função cosecante hiperbólica:

Definição 6.12. Para todo z ∈ C a função cosecante hiperbólica

calculada no ponto z, denotada csch (z) é definida por:

csch (z)def=

1

sinh(z)(6.90)

Alternativamente, a exemplo das funções seno hiperbólico e cosseno

hiperbólico, podemos definir as funções tangente hiperbólica, cotan-

gente hiperbólica, secante hiperbólica e cosecante hiperbólica us-

ando a função exponencial. A saber:

tan(z) =ez − e−z

ez + e−z

cot(z) =ez + e−z

ez − e−zsec(z) =

2

ez + e−z

csc(z) =2

ez − e−z

(6.91)

92


66.7 Propriedades das Funções Hiperbólicas

As propriedades das função hiperbólicas são as mesmas no campo

dos reais quanto no campo dos complexos. A seguir listaremos

algumas e faremos a demonstração de uma delas.

i) ∀z ∈ C, cosh2(z)− sinh2(z) = 1

ii) ∀z ∈ C, sech 2(z) + tanh2(z) = 1

iii) ∀z ∈ C, coth2(z)− csch 2(z) = 1

iv) ∀z ∈ C, sinh(−z) = − sinh(z)

v) ∀z ∈ C, cosh(−z) = cosh(z)

vi) ∀z ∈ C, tanh(−z) = − tanh(z)

vii) ∀z, w ∈ C, cosh(z + w) = cosh(z) cosh(w) + sinh(z) sinh(w)

viii) ∀z, w ∈ C, sinh(z + w) = sinh(z) cosh(w) + cosh(z) sinh(w)

ix) ∀z, w ∈ C, tanh(z + w) =tanh(z) + tanh(w)

1 + tanh(z) tanh(w)

Demonstraremos aqui que: ∀z ∈ C, sech 2(z) + tanh2(z) = 1.

Demonstração:

Das definições das funções sinh(•) e cosh(•) temos:

cosh(z) =ez + e−z

2

sinh(z) =ez − e−z

2

(6.92)

Elevando ao quadrado as equações eqn 6.92.1 e eqn 6.92.2 e

levando-se em conta que eze−z = ez−z = e0 = 1 temos:

cosh2(z) =e2z + 2eze−z + e−2z

4=e2z + 2 + e−2z

4

sinh(z)2 =e2z − 2eze−2z + e−z

4=e2z − 2 + e−2z

4

(6.93)

93


Subtraindo as equações eqn 6.93.1 e eqn 6.93.2

cosh2(z)− sinh(z)2 =e2z + 2 + e−2z

4− e2z − 2 + e−2z

4

=e2z + 2 + e−2z − e2z + 2− e−2z

4

=4

4

= 1

(6.94)

Dividindo a equação eqn 6.94 por cosh2(z) temos:

cosh2(z)− sinh(z)2

cosh2(z)=

1

cosh2(z)

cosh2(z)

cosh2(z)− sinh(z)2

cosh2(z)=

1

cosh2(z)

1− sinh(z)2

cosh2(z)=

1

cosh2(z)

(6.95)

Levando-se em conta a equação eqn 6.95 e as definições das

funções tanh(•) e sech (•) temos:

1− tanh2(z) = sech 2(z) (6.96)

Que pode ser rearrumada para:

sech 2(z) + tanh2(z) = 1 (6.97)

6.8 Funções Hiperbólicas Inversas

As funções hiperbólicas inversas podem ser deduzidas das expressões

de definição das funções hiperbólicas. Aqui faremos a dedução de

uma delas. A saber:

i) sinh−1(z) = log(z +√

1 + z2)

ii) cosh−1(z) = log(z +√z2 − 1)

94


6iii) tanh−1(z) =

1

2log

(1 + z

1− z

)

iv) coth−1(z) =1

2log

(z + 1

z − 1

)

v) sech−1(z) = log

(z +√

1− z2

z

)

vi) csch−1(z) = log

(z +√z2 − 1

z

)

Demonstraremos aqui que: tanh−1(z) =1

2log

(1 + z

1− z

).

Demonstração:

Da definição de função inversa temos:

tanh(w) = z ↔ w = tanh−1(z)

Da definição da função tanh(w) temos:

tanh(w) =ew − e−w

ew + e−w= z (6.98)

por outro lado, fazendo na equação eqn 6.98 ξ = ew temos:

ξ − ξ−1

ξ + ξ−1= z

ξ − ξ−1 = (ξ + ξ−1)z

(6.99)

Fazendo o produto do numerador e do denominador da fração da

equação eqn 6.99 por ξ e rearrumando temos:

ξ2 − 1 = (ξ2 + 1)z

(1− z)ξ2 = 1 + z = 0(6.100)

Resolvendo a equação do segundo grau eqn 6.100 para ξ temos:

ξ =

√1 + z

1− z(6.101)

95


Onde sabemos que√

1 + z

1− zé uma função multivalorada. Por outro

lado, como ξ = ew equação eqn 6.101 temos:

ew =

√1 + z

1− z(6.102)

Invertendo a função exponencial, levando em conta que ew =

ew−2kπııı e que w = tanh−1(z) da equação eqn 6.102 temos:

w = 2kπııı+ ln

(√1 + z

1− z

)

tanh−1(z) = 2kπııı+ ln

(√1 + z

1− z

) (6.103)

Vemos então que a função tanh−1(z) tem infinitos valores porém,

escolhendo o ramo principal onde tanh−1(0) = 0 temos k = 0 e

usando propriedade da função logaritmo e na equação eqn 6.103

podemos escrever:

tanh−1(z) =1

2log

(1 + z

1− z

)

6.9 Derivada das Funções Hiperbólicas

As funções hiperbólicas estendidas ao campo dos complexos têm

as seguintes derivadas:

i) cosh′(z) = sinh(z)

ii) sinh′(z) = cosh(z)

iii) tanh′(z) = sech 2(z)

iv) coth′(z) = − csc2(z)

v) sech ′(z) = −sech (z) tanh(z)

96


6vi) csch ′(z) = −csch (z) coth(z)

Faremos a demonstração apenas de um ítem acima. A saber:

Derivada da Função Coseno: cosh′(z) = sinh(z).

PROVA: Usando a definição da função coseno hiperbólico cosh(•),

a definição da função seno hiperbólico sinh(•), a derivada da função

exponencial exp(•) e a regra da cadeia temos:

cosh′(z) =d

dz

ez + e−z

2

=ez − e−z

2

=ez − e−z

2

= sinh(z)

(6.104)

6.10 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que as funções trigonométricas e as

funções hiperbólicas podem ser estendidas de modo intuitivo no

domínio dos números complexos mantendo suas propriedades ori-

ginais intactas.

97


RESUMO


Funções Trigonométricas

As funções trigonométricas são definidas por:

sin(z)def= −ıııe


2

cos(z)def=ezııı + e−zııı

2

tan(z) =def=

sin(z)

cos(z)= −ıııe



cot(z)def=

cos(z)

sin(z)= ııı



sec(z) =def=

1

cos(z)

2


csc(z)def=

1

sin(z)=

2ııı


Propriedades das Funções Trigonométricas

Algumas propriedades das funções trigonométricas:

• ∀z ∈ C, cos2(z) + sin2(z) = 1

• ∀z ∈ C, sec2(z)− tan2(z) = 1

• ∀z ∈ C, cot2(z)− csc2(z) = 1

• ∀z ∈ C, sin(−z) = − sin(z)

• ∀z ∈ C, cos(−z) = cos(z)

• ∀z ∈ C, tan(−z) = − tan(z)

• ∀z, w ∈ C, cos(z + w) = cos(z) cos(w)− sin(z) sin(w)

98


6• ∀z, w ∈ C, sin(z + w) = sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w)

• ∀z, w ∈ C, tan(z + w) =tan(z) + tan(w)

1 + tan(z) tan(w)

• ∀z ∈ C, cos2(z) =1

2

(1 +

sin(2z)

2

)

• ∀z ∈ C, sin2(z) =1

2

(1− sin(2z)

2

)Funções Hiperbólicas

As funções hiperbólicas são definidas por:

sinh(z)def=ez − e−z

2

cosh(z)def=ez + e−z

2

tanh(z) =def=

sinh(z)

cosh(z)=ez − e−z

ez + e−z

coth(z)def=

cosh(z)

sinh(z)=ez + e−z

ez − e−z

sech (z) =def=

1

cosh(z)

2

ez + e−z

csch (z)def=

1

sinh(z)=

2

ez − e−z

Propriedades das Funções Hiperbólicas

Algumas propriedades das funções hiperbólicas:

• ∀z ∈ C, cosh2(z)− sinh2(z) = 1

• ∀z ∈ C, sech 2(z) + tanh2(z) = 1

• ∀z ∈ C, coth2(z)− csch 2(z) = 1

• ∀z ∈ C, sinh(−z) = − sinh(z)

• ∀z ∈ C, cosh(−z) = cosh(z)

• ∀z ∈ C, tanh(−z) = − tanh(z)

99


• ∀z, w ∈ C, cosh(z + w) = cosh(z) cosh(w) + sinh(z) sinh(w)

• ∀z, w ∈ C, sinh(z + w) = sinh(z) cosh(w) + cosh(z) sinh(w)

• ∀z, w ∈ C, tanh(z + w) =tanh(z) + tanh(w)

1 + tanh(z) tanh(w)

Funções Trigonométricas Inversas

As funções trigonométricas inversas definidas por:

• sin−1(z) =1

ııılog(z +

√1− z2)

• cos−1(z) =1

ııılog(z +

√z2 − 1)

• tan−1(z) =1

2ııılog

(1 + zııı

1− zııı

)

• cot−1(z) =1

2ııılog

(z + ııı

z − ııı

)

• sec−1(z) =1

ııılog

(z +√

1− z2

z

)

• csc−1(z) =1

ııılog

(z +√z2 − 1

z

)Funções Hiperbólicas Inversas As funções hiperbólicas inver-

sas são definidas por:

• sinh−1(z) = log(z +√

1 + z2)

• cosh−1(z) = log(z +√z2 − 1)

• tanh−1(z) =1

2log

(1 + z

1− z

)

• coth−1(z) =1

2log

(z + 1

z − 1

)

100


6• sech−1(z) = log

(z +√

1− z2

z

)

• csch−1(z) = log

(z +√z2 − 1

z

)

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos integração complexa. Definire-

mos a integração de linha complexas e veremos como a integração

de linha complexas se relaciona com a integral de linha real.

ATIVIDADES

Deixamos como atividades as seguintes demonstrações:

ATIV. 6.1. Mostre que

∀z, w ∈ C, cosh(z + w) = cosh(z) cosh(w) + sinh(z) sinh(w) Co-

mentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as demon-

strações acima, elas lhe servirão de guia.

ATIV. 6.2. Mostre que cot−1(z) =1

2ııılog

(z + ııı

z − ııı

).

Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as

demonstrações acima, elas lhe servirão de guia.




101








102

AULA

7Integração Complexa

META:

Introduzir o conceito de integração de funções de variáveis com-

plexas.

OBJETIVOS:


Definir a integral de uma função complexa.

Calcular integral de algumas funções de variáveis complexas.

PRÉ-REQUISITOS

Aula05 e aula06 de Variáveis Complexas.

Integração Complexa

7.1 Introdução

Caros alunos o tema dessa nossa aula é “Integração Complexa”

começaremos por definir a integral de uma função complexa ao

longo de uma curva no plano complexo C veremos também a re-

lação entre a integração complexa e a integração real bem como

algumas das propriedades da integração complexa.

7.2 Integração Complexa


complexa contínua e C ⊂ D uma curva suave contida em D (ver

figura 7.1).

Subdividimos C em n partes através dos pontos z0, z1, . . . , zn.

x

y

z0 z1

ξ1 z2ξ1

zn−1

ξn−1

zn

C

Figura 7.1: Integral de Linha

Para cada arco de curva ligando zk−1 a zk tomamos um ponto

arbitrário ξk e fazemos a soma:

Sn = f(ξ1)(z1 − z0) + f(ξ2)(z2 − z1) + · · ·+ f(ξn)(zn − zn−1)

=

n∑k=1

f(ξk)(zk − zk−1)

(7.105)

104


7Fazendo ∆zk = zk−zk−1 podemos reescrever a equação eqn 7.105

como:

Sn = f(ξ1)∆z1 + f(ξ2)∆z2 + · · ·+ f(ξn)∆zn

=n∑k=1

f(ξk)∆zk(7.106)

Fazendo o número de pontos da partição n tender ao infinito, em

eqn 7.106 de modo que o comprimento da maior corda |∆zk| tenda

a zero, o soma Sn tende a um limite que independe da subdivisão

de C. A esse limite chamamos de integral de f(•) ao longo de C e

denotamos: ∫Cf(z)dz (7.107)

OBS 7.1. A integral acima definida é denominada integral de

linha complexa ou simplesmente integral de linha de f(•) ao longo

da curva C. Observe que se f(z) é analítica em D ⊂ C, então f(z)

é certamente integrável ao longo de C

7.3 Integrais de Linha Reais

Nesta seção procuramos relembrar algumas fórmulas sobre inte-

grais de linhas reais.

Sejam P (x, y) e Q(x, y) funções de valores reais de x e y, contínuas

em todos os pontos de uma curva C, podemos definir a integral de

linha real por: ∫C

(Q(x, y)dx+ P (x, y)dy) (7.108)

E se C for parametrizada por x = x(t) e y = y(t), t ∈ [a, b]

podemos reescrever a integral de linha real eqn 7.108 como:∫ b

a(Q(x(t), y(t))x′(t) + P (x(t), y(t))y′(t))dt (7.109)

105


OBS 7.2. Para o caso em que C é uma curva lisa por partes

podemos integrar, segundo eqn 7.109, em cada uma das partes

em que a curva é lisa e totalizar os resultados.

7.4 Relação entre Integrais de Linha Complexa

e Real

A integral de linha complexa dada por eqn 7.107 pode ser ree-

scrita em função das integrais de linha reais da seguinte forma:

∫Cf(z)dz =

∫C

(u(x, y) + ıııv(x, y)).(dx+ ıııdy)

=

∫C

(u(x, y)dx− v(x, y)dy)

+ ııı

∫C

(v(x, y)dx+ u(x, y)dy)

(7.110)

OBS 7.3. Podemos também, considerar eqn 7.110 como a definição

oficial da integral de linha complexa.

Para ilustrar veremos um exemplo de integral de linha complexa.

Exemplo 7.1. Sejam f : C 7→ C dada por f(z) = z = x + yııı e

C é o círculo de centro em z0 = a + bııı e raio r (ver figura 7.2 ).

SOLUÇÃO: Como f(z) = z então u(x, y) = x e v(x, y) = y.

Resta, antes de efetuar a integração de linha propriamente dita,

providenciar uma parametrização para a curva C. Vamos propor

uma parametrização para a curva C. Como C é um círculo de

raio r e centro em z0 = a + bııı uma possível parametrização é

x = a+r cos(t) e y = b+r sin(t), t ∈ [0, 2π). Daí, dx = −r sin(t)dt

e dy = r cos(t)dt. Podemos calcular em separado as duas integrais

106


7

x

y

z0r

a

b

Figura 7.2: Exemplo 7.1

em eqn 7.110. A sabe:

=

∫C


=

∫C

(xdx− ydy)

=

∫ 2π

0((a+ r cos(t).(−r sin(t)− (b+ r sin(t)).r cos(t))dt

=

∫ 2π

0(−ar sin(t)− br cos(t)− 2r2 sin(t) cos(t))dt

= (ar cos(t)− br sin(t)− 2r2 sin2(t)

2)∣∣∣2π0

= 0

(7.111)

107


Para a segunda integral:

=

∫C

(u(x, y)dy + v(x, y)dx)

=

∫C

(xdy + ydx)

=

∫ 2π

0((a+ r cos(t).r cos(t) + (b+ r sin(t)).(−r sin(t)))dt

=

∫ 2π

0(ar cos(t)− br sin(t)− r2(cos2(t)− sin2(t))dt

= (ar sin(t) + br cos(t)− r2 sin(2t)

2)∣∣∣2π0

= 0

(7.112)

Portanto, de eqn 7.110, eqn 7.111 e eqn 7.112 temos:∫Cf(z)dz = 0

Encerraremos esta seção com um teorema (sem demonstração) que

resume algumas das propriedades da integral de linha complexa.

Teorema 7.1. Sejam D ⊂ C um aberto f, g : D ⊂ C 7→ C duas

funções complexas integráveis sobre a curva lisa C ⊂ D, então:

i)∫C

(f + g)(z)dz =

∫Cf(z)dz +

∫Cg(z)dz.

ii)∫Cαf(z)dz = α

∫Cf(z)dz, α ∈ C.

iii)∫ b

af(z)dz = −

∫ a

bf(z)dz, a, b ∈ C.

iv)∫ b

af(z)dz =

∫ c

af(z)dz +

∫ b

cf(z)dz, a, b, c ∈ C.

v)∣∣∣∣∫Cf(z)dz

∣∣∣∣ ≤ ML onde |f(z)| ≤ M,∀z ∈ C e L é o compri-

mento de C.

108


77.5 Integral Indefinida

Vermos agora, que podemos estender o conceito de integral in-

definida para funções complexas.

Definição 7.1. Sejam D ⊂ C um aberto e f, F : D ⊂ C 7→ C

duas funções complexas tais que F ′(z) = f(z). Dizemos que F (z)

é a integral indefinida de f(z) e denotamos:

F (z) =

∫f(z)dz

7.6 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que existe uma forte relação entre a in-

tegral de linha complexa e real e que a integral indefinida complexa

segue o mesmo padrão que a real.

RESUMO



Sejam D ⊂ C um aberto de C, f : D ⊂ C 7→ C uma função com-

plexa contínua e C ⊂ D uma curva suave contida em D podemos

escrever a integral de linha complexa em função das integrais de

linha reais da seguinte forma:∫Cf(z)dz =

∫C

(u(x, y) + ıııv(x, y)).(dx+ ıııdy)

=

∫C


+ ııı

∫C

(v(x, y)dx+ u(x, y)dy)

109


Algumas Propriedades da Integral de Linha

SejamD ⊂ C um aberto f, g : D ⊂ C 7→ C duas funções complexas

integráveis sobre a curva lisa C ⊂ D, então:

i)∫C

(f + g)(z)dz =

∫Cf(z)dz +

∫Cg(z)dz.

ii)∫Cαf(z)dz = α

∫Cf(z)dz, α ∈ C.

iii)∫ b

af(z)dz = −

∫ a

bf(z)dz, a, b ∈ C.

iv)∫ b

af(z)dz =

∫ c

af(z)dz +

∫ b

cf(z)dz, a, b, c ∈ C.

v)∣∣∣∣∫Cf(z)dz

∣∣∣∣ ≤ ML onde |f(z)| ≤ M, ∀z ∈ C e L é o compri-

mento de C.

Integral Indefinida

A integral indefinida complexa é definida do mesmo modo que

integral indefinida real. A saber:

Sejam D ⊂ C um aberto e f, F : D ⊂ C 7→ C duas funções

complexas tais que F ′(z) = f(z). Dizemos que F (z) é a integral

indefinida de f(z) e denotamos:

F (z) =

∫f(z)dz

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos alguns teoremas sobre inte-

gração de funções complexas conhecidos como teoria de Cauchy.

Em particular daremos ênfase ao teorema de Cauchy-Goursat que

diz que a integral de uma função holomorfa sobre uma curva fechada

simples é zero.

110


7

x

y

4

2

Figura 7.3: Atividade 1

ATIVIDADES


ATIV. 7.1. Sejam f : C 7→ C dada por f(z) = z3 e C é a ´curva

suave por partes dada pela figura 7.3 onde a parte parabólica é

dada por y + x2. Determine a integral de linha∫Cf(z)dz.


exemplo e na parametrização procure fazer x(t) = t.

ATIV. 7.2. Sejam f : C 7→ C dada por f(z) = z e C é o círculo

de centro em z0 = a + bııı e raio r (ver figura 7.2 ). Calcule:∫Cf(z)dz.


exemplo, ela lhe servirá de guia.

111











112

AULA

8Teoremas de Cauchy

META:

Introduzir os principais teoremas de Cauchy sobre integração de

funções de variáveis complexas.

OBJETIVOS:


Enunciar os principais teoremas de Cauchy sobre integração de

funções de variáveis complexas.

PRÉ-REQUISITOS

Aula07 de Variáveis Complexas.

Teoremas de Cauchy

8.1 Introdução

Caros alunos o tema dessa nossa aula é “Teoremas de Cauchy”

também conhecidos como “Teoria de Cauchy”. As integrais de

funções holomorfas possuem algumas propriedades muito impor-

tantes. Provavelmente a mais importante delas seja descrita pelo

teorema integral de Cauchy, uma forma de representar funções

holomorfas através de integrais de linha ao longo de curvas fechadas.

8.2 Preliminares

Nas preliminares, veremos a definição de domínio simplesmente

conexo e enunciaremos, sem demonstração, o teorema de Green no

plano (funções reais).BIOGRAFIA

George Green nasceuem Sneinton, condadode Nottinghamshire 14de Julho de 1793 e mor-reu em Nottingham,31 de Maio de 1841,foi um matemático efísico inglês. Na suaobra Essay on theApplication of Mathe-matical Analysis to theTheory of Electricityand Magnetism (1828)introduziu a noção defunção potencial noestudo dos camposmagnéticos. O teoremade Green, que demon-strou em 1828 facilitoubastante o estudo dasfunções. Wikipedia

Definição 8.1. Seja D ⊂ C dizemos que D é um domínio sim-

plesmente conexo se, somente se toda curva fechada inteiramente

contida em D puder ser deformada até um ponto em curvas in-

teiramente contidas em D.

E agora, sem demonstração (para uma demonstração veja o Livro

de Cálculo III), o teorema de Green no plano.

Teorema 8.1 (Teorema de Green no Plano). Sejam D ⊂ R2 um

domínio e f : D ⊂ R2 7→ R2 uma aplicação suave. Seja V ⊂ D

satisfazendo:

1. V é fechado e limitado.

2. a fronteira ∂V é constituída de um número finito de curvas

de Jordan suaves por partes

3. V − ∂V é um domínio.

114


8Supondo que V e ∂V tem orientação compatível. Se f(x, y) =

(u(x, y), v(x, y)) então:∫∂V

(udx+ vdy) =

∫ ∫V

(∂v

dx− ∂u

dy

)dxdy

8.3 Teoria de Cauchy

Começaremos por um teorema de Cauchy em sua forma original e

depois ampliaremos provando o teorema de Cauchy-Goursat.BIOGRAFIA

Augustin-LouisCauchy nasceu emParis, França 21 deagosto de 1789 e mor-reu em Sceaux, França23 de maio de 1857,foi um matemáticofrances, pioneiro no es-tudo da análise, tantoreal e quanto com-plexa, e em teoria degrupos de permutação.Ele também pesquisouem convergência edivergência de sériesinfinitas, equaçõesdiferenciais, determi-nantes, probabilidadee física matemática.Wikipedia

Teorema 8.2 (Teorema de Cauchy). Sejam D ⊂ C um aberto de

C, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa contínua e C ⊂ D uma

curva suave contida em D (ver figura 8.1). Se f(z) é holomorfa

em D e tem derivada f ′(z) contínua em D então:∮Cf(z)dz = 0

PROVA:

Figura 8.1: Teorema de Cauchy

Da definição da integral de linha complexa temos:∮Cf(z)dz =

∮C

(u+ vııı)(dx+ dyııı)

=

∮C

(udx− vdy) + ııı

∮C

(vdx+ udy)

(8.113)

115

Teoremas de Cauchy

Como f(z) = u(x, y) + v(x, y)ııı é holomorfa em D e tem derivada

f ′(z) contínua em D temos:

f ′(z) =∂u

∂x+∂v

∂xııı =

∂v

∂y− ∂u

∂yııı

Portanto, as derivadas parciais∂u

∂x,∂u

∂y,∂v

∂xe∂v

∂ysão contínuas em

D e como C ⊂ D conseqüentemente em C e seu interior. Podemos

pois aplicar o teorema de Green nas integrais da equação eqn

8.113 e temos.∮Cf(z)dz =

∫ ∫R

(−∂v∂x− ∂u

∂y

)dxdy

+

∫ ∫R

(∂u

∂x− ∂v

∂y

)dxdy

(8.114)

onde R é a região interior da curva C.

Por outro lado, como f(z) é holomorfa, vale em D e em particular

em R, as equações de Cauchy-Riemann.BIOGRAFIA

Édouard Jean-BaptisteGoursat nasceu emLanzac, França, 21 demaio de 1858 e morreuem Paris, França, 25 denovembro de 1936, foium matemático francêsmais conhecido por suaversão do teorema deCauchy-Goursat afir-mando que a integralde uma função emtorno de um contornosimples fechado é zerose a função é analíticadentro do contorno.Mac Tutor

∂u

∂x=∂v

∂y∂u

∂y= −∂v

∂x

(8.115)

Logo, substituindo eqn 8.115 em eqn 8.114 temos:∮Cf(z)dz = 0

Nosso próximo passo é demonstrar uma versão mais forte do teo-

rema, retirando a necessidade da continuidade da derivada f ′(z)

em D.

Teorema 8.3 (Teorema de Cauchy-Goursat). Sejam D ⊂ C um

aberto de C, f : D ⊂ C 7→ C uma função complexa contínua e

C ⊂ D uma curva suave contida em D (ver figura 8.1). Se f(z)

é holomorfa em D então: ∮Cf(z)dz = 0

116


8A prova do teorema sera dividida em três partes.

Prova do Teorema de Cauchy-Goursat para o Caso de um

Triângulo

Tomando un triângulo arbitrário ∆, ligando os pontos A, B e C

ver figura 8.2). Ligando os pontos médiosD, E e F dos lados AB,

AC e BC respectivamente. Repartiremos ∆ em quatro triângulos

denotados ∆1, ∆2, ∆3 e ∆4.

Se f(z) é holomorfa em ∆, é em particular, holomorfa em ∆1, ∆2,

∆3 e ∆4. E, omitindo os integrandos à direita, podemos escrever:∮f(z)dz =

∫DAE

f(z)dz +

∫EBF

f(z)dz +

∫FCD

f(z)dz (8.116)

BF

C

A

E D

∆1

∆2

∆4

∆3

Figura 8.2: Teorema de Cauchy-Goursat no Triângulo

Levando em conta, das propriedades da integral de linha complexa,

que∫ED

= −∫DE

,∫FE

= −∫EF

e∫DF

= −∫FD

podemos rees-

crever eqn 8.116 como:

∮Cf(z)dz =

∫DAE

+

∫ED

+

∫EBF

+

∫FE

+

∫FCD

+

∫DF

+

∫DE

+

∫EF

+

∫FD

=

∫DAED

+

∫EDFE

+

∫FCDF

+

∫DEFD

(8.117)

117

Teoremas de Cauchy

onde omitimos os integrandos por questão de economia.

A equação eqn 8.117 pode ser reescrita como:∮Cf(z)dz =

∮∆1

f(z)dz +

∮∆2

f(z)dz

+

∮∆3

f(z)dz +

∮∆4

f(z)dz

(8.118)

Tomando o módulo de eqn 8.118 e usando a desigualdade trian-

gular temos:∣∣∣ ∮Cf(z)dz

∣∣∣ ≤ ∣∣∣ ∮∆1

f(z)dz∣∣∣+∣∣∣ ∮

∆2

f(z)dz∣∣∣

+∣∣∣ ∮

∆3

f(z)dz∣∣∣+∣∣∣ ∮

∆4

f(z)dz∣∣∣ (8.119)

Sem perda de generalidade podemos tomar ∆1 como o triângulo

que contribui com o maior valor em eqn 8.119 e escrever:∣∣∣ ∮Cf(z)dz

∣∣∣ ≤ 4∣∣∣ ∮

∆1

f(z)dz∣∣∣ (8.120)

Podemos repetir o processo, ligando os pontos médios dos lados de

∆1 e obter: ∣∣∣ ∮∆1

f(z)dz∣∣∣ ≤ 4

∣∣∣ ∮∆2

f(z)dz∣∣∣ (8.121)

onde, neste caso ∆2 é o sub-triângulo de ∆1 com maior con-

tribuição.

Substituindo eqn 8.121 em eqn 8.120 temos:∣∣∣ ∮Cf(z)dz

∣∣∣ ≤ 42∣∣∣ ∮

∆2

f(z)dz∣∣∣

Após n repetição desse processo temos:∣∣∣ ∮Cf(z)dz

∣∣∣ ≤ 4n∣∣∣ ∮

∆n

f(z)dz∣∣∣ (8.122)

Por outro lado, ∆,∆1, δ2, . . . ,∆k, . . . é uma seqüência de triân-

gulos encaixantes cada um contido no seu antecessor e portanto,

118


8existe um ponto z0 que pertence a todos os triângulos da seqüên-

cia. Como cada triângulo está contido em D e f(z) é holomorfa

em D é holomorfa em z0. Logo,

f(z) = f ′(z0)(z − z0) + η(z − z0) (8.123)

Como limz→z0

η = 0, ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que ∀z, |z − z0| < δ temos

|η| < ε. Dai, integrando eqn 8.123 em ∆n temos:

∮∆n

f(z)dz = f ′(z0)

∮∆n

(z − z0)dz +

∮∆n

η(z − z0)dz (8.124)

Como z − z0 é holomorfa em C e tem derivada contínua em C

podemos aplicar o teorema de Cauchy, a segunda integral em eqn

8.124 é nula e temos:∮∆n

f(z)dz =

∮∆n

η(z − z0)dz (8.125)

∆n

z0

Figura 8.3:

Devido a proporcionalidade, se o perímetro de ∆ é L, o perímetro

de ∆n é L/2n e se z é um ponto qualquer sobre ∆n (ver figura 8.3)

então |z − z0| < L/2n < δ. Daí, e da propriedade das integrais

de linha∣∣∫C f(z)dz

∣∣ ≤ ML onde |f(z)| ≤ M, ∀z ∈ C e L é o

comprimento de C, a equação eqn 8.125 passa a:∮∆n

f(z)dz =

∮∆n

η(z − z0)dz ≤ ε L2n

L

2n= ε

L2

4n(8.126)

119

Teoremas de Cauchy

Substituindo eqn 8.126 em eqn 8.122 temos:

∣∣∣ ∮Cf(z)dz

∣∣∣ ≤ εL2 (8.127)

Como em eqn 8.127 ε pode ser tomado arbitrariamente pequeno,

concluímos que: ∮Cf(z)dz = 0

Prova do Teorema de Cauchy-Goursat para o Caso de um

Polígono Fechado

Seja, a título de exemplo, o polígono fechado Γ, ligando os pontos

A, B, C, D, E e F (ver figura 8.4)

A B

C

D

E

F


Traçando as linhas BF , CF e DF repartimos o polígono em triân-

gulos. Como o teorema de Cauchy-Goursat já foi provado para

triângulos, e como as integrais ao longo deBF , CF eDF cancelam-

se (cada um desses caminhos é percorrido duas vezes em sentidos

120


8opostos) temos:∮Γf(z)dz =

∫ABFA

f(z)dz +

∫BCFB

f(z)dz

+

∫CDFC

f(z)dz +

∫DEFD

f(z)dz

= 0

OBS 8.1. Observamos que apesar de na demonstração ter sido u-

sado um polígono fechado simples, o teorema contínua válido para

um polígono qualquer, incluindo polígonos que se auto-interceptam.

Prova do Teorema de Cauchy-Goursat para o Caso de uma

Curva Fechada Simples

Seja C ⊂ C uma curva fechada simples contida em uma região

na qual f(z) seja holomorfa. Tomando os pontos z0, z1, z2, . . . , zn,

z0 = zn, sobre C e seja Pn o polígono formado ligando em seqüência

esses pontos (ver figura 8.5)

Γ

z0 = zn

z1

z2

zn−1


Definindo a soma:

Sn =

n∑k=1

f(zk)∆zk (8.128)

onde ∆zk = zk = zk−1.

Passando o limite n→ +∞ em eqn 8.129 de modo que max |∆k| →

121

Teoremas de Cauchy

0 vemos que ∀ε >, ∃N0 ∈ N tal que ∀n > n0 temos:∣∣∣ ∮Cf(z)dz − Sn

∣∣∣ < ε

2(8.129)

Tomando a integral de linha no polígono fechado Pn (levando em

conta que no polígono fechado vale o teorema de Cauchy-Goursat)

temos:∮Pn

f(z)dz = 0 =

∫ z1

z0

f(z)dz + · · ·+∫ zn

zn−1

f(z)dz

=

∫ z1

z0

(f(z)− f(z1) + f(z1))dz+

· · ·+∫ zn

zn−1

(f(z)− f(zn) + f(zn))dz

=

∫ z1

z0

(f(z)− f(z1))dz+

· · ·+∫ zn

zn−1

(f(z)− f(zn))dz + Sn

(8.130)

Portanto, de eqn 8.130 tiramos:

Sn =

∫ z1

z0

(f(z)− f(z1))dz + · · ·+∫ zn

zn−1

(f(z)− f(zn))dz (8.131)

Tomando N0 suficientemente grande para que em cada lado de Pn,

ligando z0 a z1, z1 a z2 até zn−1 a zn tenhamos:

|f(z1)− f(z)| < ε

2L, . . . , |f(zn)− f(z)| < ε

2L(8.132)

onde L é o perímetro de Pn. Tomando o módulo de eqn 8.131 e

usando a desigualdade triangular e eqn 8.132 e propriedades da

integral de linha temos:

|Sn| ≤∫ z1

z0

|f(z)− f(z1)|dz + · · ·+∫ zn

zn−1

|f(z)− f(zn)|dz

≤ ε

2L(|z1 − z0|+ · · ·+ |zn − zn−1|)

≤ ε

2

(8.133)

122


8Por outro lado fazendo:∮Cf(z)dz =

∮Cf(z)dz − Sn + Sn (8.134)

Tomando o módulo de eqn 8.134 e usando a desigualdade trian-

gular e eqn 8.129 temos:∣∣∣ ∮Cf(z)dz

∣∣∣ ≤ ∣∣∣ ∮Cf(z)dz − Sn

∣∣∣+∣∣∣Sn∣∣∣

<ε

2+ε

2

< ε

Como ε é arbitrariamente pequeno temos, finalmente:∮Cf(z)dz = 0

8.4 Fórmula Integral de Cauchy

Como uma das possíveis aplicações do teorema de Cauchy, veremos

aqui a fórmula integral de Cauchy. Antes porém, teremos que

provar dois teoremas.

Teorema 8.4. Sejam D ⊂ C uma aberto, R ⊂ D uma região

limitada por duas curvas suaves C1 e C2 e f : D ⊂ C 7→ C uma

função holomorfa então:∮C1

f(z)dz =

∮C2

f(z)dz

onde ambas as curvas são orientadas positivamente no sentido

anti-horário.

PROVA: Tomaremos o seguinte caminho Γ (ver figura 8.6)

começando no ponto A percorremos C1 no sentido positivo até re-

tornar ao ponto A seguimos pela reta AB no sentido de A para B

123

Teoremas de Cauchy

A

B

C2

C1


até o ponto B em C2 percorremos C2 no sentido negativo (horário)

até retornar ao ponto B e concluindo retornamos ao ponto A per-

correndo a reta AB no sentido de B para A. Este percurso é uma

curva fechada suave por partes e comof(z) é holomorfa em D vale

o teorema de Cauchy-Goursat. logo:∮Γf(z)dz = 0 (8.135)

Da equação eqn 8.135 temos:∮C1

f(z)dz +

∫AB

f(z)dz −∮C2

f(z)dz +

∫BA

f(z)dz = 0 (8.136)

Como∫AB

f(z)dz− = −∫BA

f(z)dz da equação eqn 8.136 temos:

∮C1

f(z)dz =

∮C2

f(z)dz

Teorema 8.5. Sejam D ⊂ C um aberto, C ⊂ D uma curva suave

e z0 ∈ D um ponto do interior de C então:∮C

1

z − z0dz = 2πııı

124


8PROVA:

z0ε

Γ

C


Como z0 ∈ D e D ⊂ C é um aberto, podemos tomar um ε > 0 de

modo que o círculo Γ de raio ε e centro em z0 esteja inteiramente

contido na região limitada por C (ver figura 8.7). Daí, aplicando

o teorema anterior à região entre C e Γ temos:∮C

1

z − z0dz =

∮Γ

1

z − z0dz (8.137)

onde ambas as curvas são orientadas no sentido positivo.

Podemos parametrizar o círculo Γ pondo z = z0 + εeıııt, t ∈ [0, 2π).

Daí, dz = ıııεeıııtdt e substituindo na equação eqn 8.137 temos:∮C

1

z − z0dz =

∫ 2π

0

1

εeıııtıııεeıııtdt

= ııı

∫ 2π

0dt

= 2πııı

(8.138)

Teorema 8.6 (Fórmula Integral de Cauchy). Sejam D ⊂ C um

aberto f : D ⊂ C 7→ C uma função holomorfa em D, C ⊂ D uma

curva suave e z0 um ponto interior da região limitada por C então:

f(z0) =1

2πııı

∮C

f(z)

z − z0dz

125

Teoremas de Cauchy

PROVA: Como z0 ∈ D e D ⊂ C é um aberto, podemos tomar

um ε > 0 de modo que o círculo Γ de raio ε e centro em z0 esteja

inteiramente contido na região limitada por C (ver figura 8.7).

Daí, aplicando o teorema anterior à região entre C e Γ temos:∮C

f(z)

z − z0dz =

∮Γ

f(z)

z − z0dz (8.139)

onde ambas as curvas são orientadas no sentido positivo.

Podemos parametrizar o círculo Γ por: z = z+0+εeıııt, t ∈ [0, 2π).

Daí, dz = ıııεeıııtdt e para eqn 8.139 temos:∮C

f(z)

z − z0dz =

∫ 2π

0

f(z0 + εeıııt)

εeıııtıııεeıııtdt

= ııı

∫ 2π

0f(z0 + εeıııt)dt

(8.140)

Passando o limite ε → 0 em eqn 8.140 e lembrando que f(z) é

holomorfa e portanto contínua temos:∮C

f(z)

z − z0dz = lim

ε→0ııı

∫ 2π

0f(z0 + εeıııt)dt

= ııı

∫ 2π

0limε→0

f(z0 + εeıııt)dt

= ııı

∫ 2π

0f(limε→0

(z0 + εeıııt))dt

= ııı

∫ 2π

0f(z0)dt

= ıııf(z0)

∫ 2π

0dt

= 2πıııf(z0)

(8.141)

Logo:

f(z0) =1

2πııı

∮C

f(z)

z − z0dz

A seguir veremos mais um teorema. Diz respeito a derivação de

funções holomorfas.

126


8Teorema 8.7 (Derivada de funções Holomorfas). Sejam D ⊂ C

um aberto f : D ⊂ C 7→ C uma função holomorfa em D, C ⊂ D

uma curva suave e z0 um ponto interior da região limitada por C

então:

f ′(z0) =1

2πııı

∮C

f(z)

(z − z0)2dz

PROVA: Tomando z0 + λ no interior da região limitada por C

podemos usar o teorema 8.6 e escrever:

f(z0 + λ)− f(z0)

λ=

1

2πııı

∮C

1

λ

(1

z − z0 − λ− 1

z − z0

)f(z)dz

=1

2πııı

∮C

f(z)

(z − z0 − λ)(z − z0)dz

=1

2πııı

∮C

f(z)

(z − z0)2dz

+1

2πııı

∮C

λf(z)

(z − z0 − λ)(z − z0)2dz

(8.142)

O resultado segue-se passando o limite λ → 0 na equação eqn

8.142. Basta mostrar que a segunda integral vai a zero quando

λ→ 0. Para isto, tomamos um círculo Γ de raio ε e centro em z0,

inteiramente contido na região limitada por C (ver figura 8.7) e

temos:∮C

λf(z)

(z − z0 − λ)(z − z0)2dz =

∮Γ

λf(z)

(z − z0 − λ)(z − z0)2dz

(8.143)

Tomando λ pequeno o bastante para que z0 + λ pertença a região

limitada por Γ e |λ| < ε/2 e levando em conta que sobre Γ, |z−z0| =

ε temos:

|z − z0 − λ| ≥ |z − z0| − |λ| > ε− ε/2 = ε/2 (8.144)

Mais ainda, como f(z) é holomorfa, existe M > 0 tal que |f(z)| <

127

Teoremas de Cauchy

M,∀z ∈ Γ e o comprimento de Γ é 2πε. Daí, temos:

∣∣∣ ∮Γ

λf(z)

(z − z0 − λ)(z − z0)2dz∣∣∣ ≤ 2πεM |λ|

(ε/2)(ε2)(8.145)

Portanto, o lado esquerdo de tende a zero quando λ→ 0 i.e.

limλ→0

∣∣∣ ∮Γ

λf(z)

(z − z0 − λ)(z − z0)2dz∣∣∣ = 0

Logo:

limλ→0

∮Γ

λf(z)

(z − z0 − λ)(z − z0)2dz = 0 (8.146)

Passando o limite λ → 0 em eqn 8.142 e eqn 8.143 e usando

eqn 8.146 e levando em conta que f ′(z0) = limλ→0

f(z0 + λ)− f(z0)

λtemos:

f ′(z0) =1

2πııı

∮C

f(z)

(z − z0)2dz

OBS 8.2. O resultado obtido equivale a:

d

dwf(w) =

1

2πııı

d

dw

∮C

f(z)

z − wdz =

1

2πııı

∮C

∂

∂w

f(z)

z − w

dz

que é uma extensão da regra de Leibnitz de derivação sob a inte-

gração para integrais de contorno.

OBS 8.3. Podemos também, do mesmo modo, mostrar que:

f (n)(z0) =1

2πııı

∮C

f(z)

(z − z0)n+1dz, n = 1, 2, . . .

de onde concluímos que uma função holomorfa tem derivada de

qualquer ordem. Omitimos aqui, a demonstração deste resultado.

Porém, caros alunos, nada impede de ser tentada. Para isto usem o

princípio da indução supondo válida a fórmula acima e mostrando

que a mesma vale para n+ 1.

128


88.5 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que se uma função complexa é holo-

morfa ela tem derivada de qualquer ordem.

RESUMO


Teorema de Cauchy

Sejam D ⊂ C um aberto de C, f : D ⊂ C 7→ C uma função com-

plexa contínua e C ⊂ D uma curva suave contida emD (ver figura

8.1). Se f(z) é holomorfa em D e tem derivada f ′(z) contínua em

D então: ∮Cf(z)dz = 0

Teorema de Cauchy-Goursat


complexa contínua e C ⊂ D uma curva suave contida em D (ver

figura 8.1). Se f(z) é holomorfa em D então:∮Cf(z)dz = 0

Fórmula Integral de Cauchy

Sejam D ⊂ C um aberto f : D ⊂ C 7→ C uma função holomorfa

em D, C ⊂ D uma curva suave e z0 um ponto interior da região

limitada por C então:

f(z0) =1

2πııı

∮C

f(z)

z − z0dz

129

Teoremas de Cauchy

Derivada de funções Holomorfas

Sejam D ⊂ C um aberto f : D ⊂ C 7→ C uma função holomorfa

em D, C ⊂ D uma curva suave e z0 um ponto interior da região

limitada por C então:

f ′(z0) =1

2πııı

∮C

f(z)

(z − z0)2dz

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos como estender ao campo dos

números complexos as mesmas noções de seqüências e séries de

números complexos. Estas noções são básicas no desenvolvimento

de representações de funções complexas através de séries.

ATIVIDADES


ATIV. 8.1. Sejam D ⊂ C um aberto, f : D ⊂ C 7→ C uma

função complexa holomorfa, a, b ∈ D e C uma curva lisa tal que a

e b estam no seu interior. Mostre que:

1

2πııı

∮C

f(z)

(z − a)(z − b)dz =

f(a)

a− b+f(b)

b− a

Comentário: Procure usar os teoremas de Cauchy e o método

das frações parciais.

ATIV. 8.2. Mostre que:∮C

z

(4− z2)(z + i)dz = −2π

5onde; C é

o círculo |z| = 2.

Comentário: Use os teoremas de Cauchy e verifique quais z0 dos

130


8fatores da forma z − z0 do denominador do integrando pertencem

ao interior do círculo |z| = 2.










131

AULA

9Convergência de Sériesde Números Complexos

META:

Apresentar o conceito de convergência de séries de números com-

plexos.

OBJETIVOS:


Definir convergência de séries de números complexos e calcular o

limite de algumas séries de números complexos.

PRÉ-REQUISITOS



Convergência de Séries de Números Complexos

9.1 Introdução

Caros alunos veremos aqui um pouco de seqüências e séries de

números complexos. Seqüências pois são essenciais ao estudo das

séries e séries pois são essenciais ao estudo das funções holomorfas

visto que essas podem ser expressas como série de potências.

9.2 Seqüências de Números Complexos

Começaremos pela definição de seqüências de números complexos.

A saber:

Definição 9.1. Uma seqüência de números complexos é uma função

cujo domínio é o conjunto do números naturais N e o contra-

domínio o conjunto dos números complexos C, z : N 7→ C.

O n-ésimo termo da seqüência será denotado z(n) ou alternativa-

mente zn (que utilizaremos daqui para a frente). Uma seqüência

pode ser denotada alternativamente por zn, n ∈ N ou zn (que

utilizaremos daqui para a frente).

Exemplo 9.1. Como exemplos de seqüências temos:

1. zn onde z0 = 2 e zn =√

2 + zn−1, n = 1, 2, 3, . . .

2. zn onde zn = n2 + 1, n = 0, 1, 2, . . .

Definição 9.2. Seja zn uma seqüência de números complexos.

Dizemos que zn é uma seqüência limitada se, somente se existe

K > 0 tal que zn ∈ BK(0),∀n ∈ N.

OBS 9.1. Uma seqüência é limitada se todos os seus elementos

pertencem a alguma bola aberta.

134


9Definição 9.3. Seja zn uma seqüência de números complexos.

Dizemos que z ∈ C é o limite de zn, denotado z = limn→∞

zn,

se, somente se para todo ε > 0 existe n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0,

zn ∈ Bε(z).

OBS 9.2. Se uma seqüência zn tem limite dizemos alternativa-

mente que ela converge. Por outro lado se zn não possui limite

dizemos que a seqüência diverge.

9.3 Alguns Teoremas

Veremos agora alguns teoremas sobre seqüências de Números Com-

plexos.

Teorema 9.1. Seja zn uma seqüências de números complexos.

Se zn é convergente então zn é limitada.

PROVA: Como zn é convergente existe z ∈ C tal que z =

limn→∞

zn. Daí, tomando ε = 1 existe n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0, zn ∈

B1(z).

Daí, usando a desigualdade triangular, temos:

|zn − z| < 1 → |zn| < 1 + |z|. De outra forma: ∀n ≥ n0, zn ∈

B1+|z|(0).

Teorema 9.2. Seja zn uma seqüências de números complexos

tal que zn = xn+ynııı onde xn e yn são seqüências de números

reais então z = x + yııı = limn→∞

zn se, somente se x = limn→∞

xn e

y = limn→∞

yn.

PROVA: A prova será dividida em duas partes:

Parte 1: Se z = x + yııı = limn→∞

zn então para todo ε > 0, existe

135


n0 ∈ N tal que:

∀n ≥ n0, zn ∈ Bε(z), de outra forma: ∀n ≥ n0, |zn − z| < ε.

por outro lado, como |xn − x| ≤√

(xn − x)2 + (yn − y)2 = |zn −

z| < ε.

Daí, temos: ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N|∀n ≥ n0, |xn − x| < ε.

logo x = limn→∞

xn.

Do mesmo modo:

y = limn→∞

yn.

Parte 2: se x = limn→∞

xn e y = limn→∞

yn então para todo ε > 0

existe n1, n2 ∈ N tal que:

∀n ≥ n1, |xn − x| <ε

2e ∀n ≥ n2, |yn − y| <

ε

2.

Tomando n0 = maxn1, n2 as desigualdades acima valem simul-

taneamente se n ≥ n0 i.e.

∀n ≥ n0, |xn − x| <ε

2∧ |yn − y| <

ε

2.

Daí, temos:

|zn − z| ≤ |xn − x|+ |yn − y| <ε

2+ε

2= ε Logo zn ∈ Bε(z).

Daí, temos:

∀ε > 0,∃n0 ∈ N|∀n ≥ n0, zn ∈ Bε(z).

logo z = limn→∞

zn.

Teorema 9.3. Sejam zn e wn duas seqüências de números

complexos tais que z = limn→∞

zn e w = limn→∞

wn então:

i) limn→∞

azn = az, para todo a ∈ C

ii) limn→∞

(zn + wn) = z + w

iii) limn→∞

(zn − wn) = z − w

iv) limn→∞

(zn.wn) = z.w

v) limn→∞

znwn

=z

w, se w 6= 0

136


9PROVA: Provaremos apenas a iii) o restante ficará à cargo dos

alunos.

Para todo ε > 0, existem n1, n2, n3 ∈ N e K > 0 tais que, da

definição de limite de seqüências e do teorema 9.1 :

∀n ≥ n1, zn ∈ Bε/2|w|(z), ∀n ≥ n1, wn ∈ Bε/2K(z) e ∀n ≥ n1, zn ∈

BK(z).

De outra forma:

∀n ≥ n1, |zn − z| < ε

2|w|, ∀n ≥ n1, |wn − z| < ε

2Ke ∀n ≥

n1, |zn| < K.

Daí, tomando n0 = maxn1, n2, n3 teremos as três desigualdades

acima simultaneamente satisfeitas e:

|znwn − zw| = |znwn − znw + znw − zw|

≤ |znwn − znw|+ |znw − zw|

≤ |zn|.|wn − w|+ |w|.|zn − z|

< K.|wn − w|+ |w|.|zn − z|

< K.ε

2K+ |w|. ε

2|w|

< ε

Daí, temos:

∀n ≥ n0, znwn ∈ Bε(zw). Portanto:

limn→∞

(znwn) = zw.

O próximo teorema constitui-se um importante critério de con-

vergência de seqüências pois, com ele é possível decidir sobre a

convergência de uma seqüência sem a necessidade do conhecimento

prévio de seu limite. É conhecido como “Critério de Cauchy” ou

“Princípio de Cauchy”.

Teorema 9.4 (Critério de Cauchy). Seja zn uma seqüência de

137


número complexos então zn é convergente se, somente se, para

todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que:

∀m,n ≥ n0 |zm − zn| < ε

9.4 Séries de Números Complexos

Como de modo geral, começaremos pela definição.

Definição 9.4. Dada uma seqüência zn de números complexos,

definimos a série associada sn com a seqüência de somas parciais

sn =n∑k=0

zk.

OBS 9.3. Séries são seqüências especiais definidas a partir de out-

ras seqüências. Se a seqüência de somas parciais converge dizemos

que a série converge. Denotaremos∞∑n=0

zn à série numérica gerada

por zn.

Definição 9.5. Seja r > 0 um número real positivo e xn = rn

a seqüência de potências de r. Definimos a série geométrica r

como a série associada a xn de somas parciais sn =

n∑k=0

rk =

1 + r + r2 + · · ·+ rn.

OBS 9.4. podemos simplificar a expressão da soma parcial sn =n∑k=0

rk = 1 + r + r2 + · · ·+ rn. do seguinte modo:

fazendo o produto de sn por r temos:

rsn = r

n∑k=0

rk = r +2 +r3 + · · · + rn+1. Subtraindo de sn temos:

rsn − sn = rn+1 − 1. Daí, temos:

sn =1− rn+1

1− r.

138


9Se r < 1 como limn→∞

rn = 0 temos:

limn→∞

sn = limn→∞

1− rn+1

1− r

=1− lim

n→∞rn+1

1− r

=1

1− re a série geométrica é convergente.

Por outro lado se r > 1 como limn→∞

rn =∞ temos:

limn→∞

sn = limn→∞

1− rn+1

1− r

=1− lim

n→∞rn+1

1− r

=∞

e a série geométrica é divergente.

As séries numéricas são mais ricas, em comparação com as se-

qüências, no que tange aos critérios de convergências. Veremos

alguns deles, na forma de teoremas dos quais provaremos alguns,

começando pelo critério da comparação de séries de números reais.

Teorema 9.5 (Critério da Comparação). Sejam∞∑n=0

xn e∞∑n=0

yn

séries numéricas onde: xn, yn ∈ R. tais que xn, yn > 0. Supondo

que para todo n, xn < yn valem:

1. Se∞∑n=0

yn converge então∞∑n=0

xn converge.

2. Se∞∑n=0

xn diverge então∞∑n=0

yn diverge.

Teorema 9.6. Seja∞∑n=0

zn uma série de números complexos. Se

∞∑n=0

zn converge então limn→∞

zn = 0.

139


PROVA: Pelo critério de Cauchy temos: limn→∞

|zn| = limn→∞

|sn −

sn−1| = 0.

Logo da continuidade da função módulo temos:

limn→∞

zn = 0.

OBS 9.5. O teorema acima nos dá uma condição necessária para

convergência de uma série numérica.

Definição 9.6. Seja∞∑n=0

zn uma série de números complexos. Dize-

mos que∞∑n=0

zn converge absolutamente se, somente se, a série

∞∑n=0

|zn| associada à seqüência |zn| converge.

OBS 9.6. Na próxima seção, estudo das séries de potências ficará

clara a importância deste conceito.


zn uma série de números complexos. Se

∞∑n=0

zn é absolutamente convergente então∞∑n=0

zn é convergente.

PROVA: Sejam sn =n∑k=0

zk a n-ésima soma parcial de zn e

s∗n =n∑k=0

|zk| a n-ésima soma parcial de |zn|. Da desigualdade

triangular, fazendo m = n+ k temos:

|sm − sn| = |sn+k − sn|

= |zn+k + zn+k−1 + · · ·+ zn+1|

≤ |zn+k|+ |zn+k−1|+ · · ·+ |zn+1|

≤ |s∗n+k − s∗n|

≤ |s∗m − s∗n|

140


9Como

∞∑n=0

|zn| do critério de Cauchy, para todo ε > 0 existe no ∈ N

tal que ∀m,n ≥ n0, |s∗m − s∗n| < ε. Da desigualdade acima temos:

∀m,n ≥ n0, |sm − sn| < ε. Logo∞∑n=0

zn satisfaz o critério de

Cauchy e é convergente.

Teorema 9.8. Sejam∞∑n=0

zn e∞∑n=0

wn duas séries de números com-

plexos convergentes tais que∞∑n=0

zn = z e∞∑n=0

wn = w e a ∈ C

então:

i)∞∑n=0

(azn) = az

ii)∞∑n=0

(zn + wn) = z + w

9.5 Séries de Potência

Esta seção será o ponto alto de nossa aula. Nela veremos séries de

potência, culminando com um teorema de representação de funções

holomorfas.

Definição 9.7. Seja an uma seqüência de números complexos.

Definimos a série de potências associada a an de centro em 0

por:∞∑n=0

anzn.

OBS 9.7. As primeiras somas parciais da série de potências asso-

141


ciada a an de centro em 0 são:

s0 = a0

s1 = a0 + a1z

s2 = a0 + a1z + a2z2

...

sn = a0 + a1z + a2z2 + · · ·+ anz

n

...

Dada uma série de potência duas perguntas aparecem de forma

natural. Na primeira desejamos saber para quais valores de z a

série é convergente. A segunda é se fizermos f(z) = limn→∞

sn sob

quais condições teríamos uma função e onde estaria definida. O

caso trivial z = 0 é nos dá uma resposta óbvia pois, teríamos

uma seqüência constante. A verdadeira questão é para que outros

valores de z teríamos uma resposta positiva?


anzn uma série numérica:

i) Se existe z1 ∈ C, z1 6= 0 tal que∞∑n=0

anzn1 converge então

∞∑n=0

anzn converge para todo z ∈ C tal que |z| < |z1|

ii) Se existe z2 ∈ C, z2 6= 0 tal que∞∑n=0

anzn2 diverge então

∞∑n=0

anzn

diverge para todo z ∈ C tal que |z2| < |z|

PROVA: Dividiremos a prova em duas partes:

Parte 1: Como∞∑n=0

anzn1 converge do teorema 9.6 temos:

limn→∞

anzn1 = 0 e a seqüência anzn1 é limitada. Logo existe K > 0

142


9tal que para todo n ∈ N, |anzn1 | < K. Daí, como |z| < |z1| pondo

r =|z||z1|

< 1 temos:

|anzn| = |an|.|z|n

= |an|.|z1|n.(|z||z1|

)n= |anzn1 |.rn

< Krn

Como r < 1 a série∞∑n=0

Krn converge paraK

1− rpelo critério da

comparação teorema 9.5 a série∞∑n=0

|anzn| e portanto do teo-

rema 9.7 a série∞∑n=0

anzn é convergente.

Parte 2: Suponha, por absurdo, que exista um número z ∈ C

tal que |z| > |z2| e a série∞∑n=0

anzn seja convergente. repetindo a

demonstração da Parte 1 trocando z por z2 e z1 por z teríamos

que a série∞∑n=0

anzn2 seria convergente o que é um absurdo. Logo,

para todo z ∈ C tal que |z| > |z2| a série∞∑n=0

anzn é divergente.

OBS 9.8. O teorema acima nos diz de se uma série∞∑n=0

anzn é

convergente em um ponto z1 6= 0 então é convergente em todos

os pontos da bola aberta B|z1|(0) e portanto podemos definir uma

função f : B|z1|(0) 7→ C dada por f(z) = limn→∞

n∑k=0

anzn.


anzn uma série de potências então existe

uma bola fechada Br(0) tal que a série converge absolutamente em

todos os pontos do interior da bola e diverge para todos os pontos

do exterior da bola.

143


Definição 9.8. Seja∞∑n=0

anzn uma série de potências denomi-

namos raio de convergência ao raio r da bola definida pelo teorema

acima.

O seguinte teorema oferece um modo prático de determinar o raio

de convergência de uma série de potências.


anzn uma série de potências tal que para

todo n ∈ N, an 6= 0. Então o raio de convergência da série de

potências pode ser dado por:

r = limn→∞

∣∣∣∣ anan+1

∣∣∣∣ ou r = limn→∞

1

|an|1/n

Vejamos um exemplo de determinação do raio de convergência de

uma série de potências.

Exemplo 9.2. Seja a série de potências dada por∞∑n=0

1

n!zn. De-

termine seu raio de convergência.

SOLUÇÃO: Tomando an =1

n!temos: an+1 =

1

(n+ 1)!=

1

(n+ 1).n!. Logo:

anan+1

=

1

n!1

(n+ 1).n!

=(n+ 1).n!

n!= n + 1.

Daí, temos:

limn→∞

anan+1

= limn→∞

n+ 1 =∞. Logo:

r = limn→∞

∣∣∣∣ anan+1

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ limn→∞

anan+1

∣∣∣∣ =∞.

Para concluir enunciaremos sem demonstração o seguinte teorema.

Teorema 9.12. Sejam D ⊂ C um aberto e f : D ⊂ C 7→ C um

função holomorfa em uma bola aberta Br(z0) ⊂ D então para cada

z ∈ Br(z0) temos:

f(z) =

∞∑n=0

f (n)(z0)

n!(z − z0)n

144


99.6 Conclusão

Na aula de hoje, tanto as seqüências de números complexos

quanto as séries de números complexos têm paralelo com seqüên-

cias e séries de números reais exceto por alguns critérios de con-

vergência.

RESUMO


Seqüências de Números Complexos

Definição de seqüência de Números complexos

Uma seqüência de números complexos é uma função cujo domínio

é o conjunto do números naturais N e o contra-domínio o conjunto

dos números complexos C, z : N 7→ C.

Convergência de Seqüência de Números Complexos

Se uma seqüência zn tem limite dizemos alternativamente que

ela converge. Por outro lado se zn não possui limite dizemos que

a seqüência diverge.

Teorema 1

Seja zn uma seqüências de números complexos. Se zn é con-

vergente então zn é limitada.

Teorema 2

Sejam zn e wn duas seqüências de números complexos tais que

z = limn→∞

zn e w = limn→∞

wn então:

i) limn→∞

azn = az, para todo a ∈ C

ii) limn→∞

(zn + wn) = z + w

145


iii) limn→∞

(zn − wn) = z − w

iv) limn→∞

(zn.wn) = z.w

v) limn→∞

znwn

=z

w, se w 6= 0

Teorema 3: Critério de Cauchy

Seja zn uma seqüência de número complexos então zn é con-

vergente se, somente se, para todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que:

∀m,n ≥ n0 |zm − zn| < ε

Séries de Números Complexos

Definição

Dada uma seqüência zn de números complexos, definimos a série

associada sn com a seqüência de somas parciais sn =n∑k=0

zk.

Definição

Seja∞∑n=0

zn uma série de números complexos. Dizemos que∞∑n=0

zn

converge absolutamente se, somente se, a série∞∑n=0

|zn| associada à

seqüência |zn| converge.

Teorema 1

Seja∞∑n=0

zn uma série de números complexos. Se∞∑n=0

zn é absolu-

tamente convergente então∞∑n=0

zn é convergente.

Teorema 2

Sejam∞∑n=0

zn e∞∑n=0

wn duas séries de números complexos conver-

gentes tais que∞∑n=0

zn = z e∞∑n=0

wn = w e a ∈ C então:

i)∞∑n=0

(azn) = az

146


9ii)

∞∑n=0

(zn + wn) = z + w

Séries de Potência

Definição

Seja an uma seqüência de números complexos. Definimos a série

de potências associada a an de centro em 0 por:∞∑n=0

anzn.

Teorema 1

Seja∞∑n=0

anzn uma série numérica:

i) Se existe z1 ∈ C, z1 6= 0 tal que∞∑n=0

anzn1 converge então

∞∑n=0

anzn converge para todo z ∈ C tal que |z| < |z1|

ii) Se existe z2 ∈ C, z2 6= 0 tal que∞∑n=0

anzn2 diverge então

∞∑n=0

anzn diverge para todo z ∈ C tal que |z2| < |z|

Teorema 2

Seja∞∑n=0

anzn uma série de potências então existe uma bola fechada

Br(0) tal que a série converge absolutamente em todos os pontos

do interior da bola e diverge para todos os pontos do exterior da

bola.

Definição

Seja∞∑n=0

anzn uma série de potências denominamos raio de con-

vergência ao raio r da bola definida pelo teorema acima.

Teorema 3

Seja∞∑n=0

anzn uma série de potências tal que para todo n ∈ N,

an 6= 0. Então o raio de convergência da série de potências pode

147


ser dado por:

r = limn→∞

∣∣∣∣ anan+1

∣∣∣∣ ou r = limn→∞

1

|an|1/n

Teorema 4

Sejam D ⊂ C um aberto e f : D ⊂ C 7→ C um função holomorfa

em uma bola aberta Br(z0) ⊂ D então para cada z ∈ Br(z0) temos:

f(z) =∞∑n=0

f (n)(z0)

n!(z − z0)n

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos séries de Laurent uma forma

de representação de funções não holomorfas.

ATIVIDADES


ATIV. 9.1. Sejam zn e wn duas seqüências de números com-

plexos tais que z = limn→∞

zn e w = limn→∞

wn. Mostre, usando a

definição, que:

limn→∞

(zn + wn) = z + w.

Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as

demonstrações dos teoremas sobre seqüências de números com-

plexos, elas lhe servirão de guia.

148


9ATIV. 9.2. Seja a série de potências dada por

∞∑n=0

2n

n!zn. Deter-

mine seu raio de convergência.


exemplo de determinação do raio de convergência de uma série de

potências, ele lhe servirá de guia.










149

AULA

10Séries de Laurent

META:

Introduzir séries de Laurent.

OBJETIVOS:


Definir séries de Laurent e determinar a série de Laurent para al-

gumas funções de variáveis complexas.

PRÉ-REQUISITOS



Séries de Laurent

10.1 Introdução

Caros alunos essa nossa aula tem como tema “Séries de Lau-

rent”. Como as séries de Taylor servem para representar funções

holomorfas, Séries de Laurent servem para representar certos tipos

de funções não-holomorfas.

10.2 Séries de Laurent

Caros alunos esta aula em particular será curta. Vamos então

diretamente para o teorema que é o ponto central de nossa aula

antes porém, veremos um resultado importante na demonstração

do teorema. A saber: Se z 6= 1 é um número complexo então:

1

1− z= 1 + z + z2 + · · ·+ zn +

zn+1

1− z(10.147)

PROVA: Considere a soma sn = 1 + z+ z2 + · · ·+ zn e fazendo

o produto zsn temos:

zsn = z + z2 + z3 + · · ·+ zn+1. Subtraindo sn − zsn temos:

sn− zsn = 1 + z+ z2 + · · ·+ zn− (z+ z2 + · · ·+ zn+1) = 1− zn+1.

Daí, temos:

sn(−z) = 1− zn+1. Logo:1− zn+1

1− z= sn = 1 + z + z2 + · · ·+ zn. E finalmente:

1

1− z= 1 + z + z2 + · · ·+ zn +

zn+1

1− z.

Teorema 10.1. Seja f(•) uma função holomorfa no anel aberto

D = B%2(z0)−B%1(z0) e sua fronteira onde 0 < %1 < %2 seja z ∈ D

(ver figura 10.1) então:

f(z) =

∞∑m=−∞

am(z − z0)m

152


10

x

y

Γ2

Γ1

z0 %1

%2

z

Figura 10.1: Série de Laurent

onde:

am =

1

2πııı

∮Γ2

f(z)

(z − z0)m+1dz m = 0, 1, 2, . . .

a−m =1

2πııı

∮Γ1

f(z)(z − z0)m−1dz m = 1, 2, 3, . . .

PROVA: Da fórmula integral de Cauchy temos:

f(z) =1

2πııı

∮Γ1

f(w)

w − zdw −

∮Γ2

f(w)

w − zdw (10.148)

Vamos considerar a primeira integral em eqn 10.148. Para isto

tomamos:

1

w − z=

1

w − z0 + z0 − z

=1

(w − z0)(1 + (z0 − z)/(w − z0))

=1

(w − z0)(1− (z − z0)/(w − z0))

(10.149)

153

Séries de Laurent

Substituindo z porz − z0

w − z0em eqn 10.147temos:

1

1− (z − z0)/(w − z0)= 1 +

z − z0

w − z0+ · · ·+

(z − z0

w − z0

)n

+

(z − z0

w − z0

)n+1

1− (z − z0)/(w − z0)

(10.150)

Manipulando eqn 10.150 temos:

1

1− (z − z0)/(w − z0)= 1 +

z − z0

w − z0+ · · ·+

(z − z0

w − z0

)n

+

(z − z0

w − z0

)n+1

1− (z − z0)/(w − z0)

= 1 +z − z0

w − z0+ · · ·+

(z − z0

w − z0

)n

+

(z − z0

w − z0

)n+1

w − z0 − (z − z0)

w − z0

= 1 +z − z0

w − z0+ · · ·+

(z − z0

w − z0

)n

+

(z − z0

w − z0

)n+1

w − zw − z0

= 1 +z − z0

w − z0+ · · ·+

(z − z0

w − z0

)n+

(z − z0

w − z0

)n+1 w − z0

w − z(10.151)


1

w − z=

1

w − z0+

z − z0

(w − z0)2+ · · ·

+

(z − z0

w − z0

)n 1

w − z

(10.152)

154


10Fazendo o produto de eqn 10.152 por f(w) e integrando ao longo

de Γ2 no sentido positivo temos:∮Γ2

f(w)

w − zdw =

∮Γ2

f(w)

w − z0dw +

∮Γ2

f(w)z − z0

(w − z0)2dw + · · ·

+

∮Γ2

(z − z0

w − z0

)n f(w)

w − zdw

(10.153)

Fazendo o produto de eqn 10.153 por1

2πıııe definindo

ak =1

2πııı

∮Γ2

f(w)

(w − z0)k+1dw, k = 0, 1, . . .

temos:

1

2πııı

∮Γ2

f(w)

w − zdw = a0 + a1(z − z0) + · · ·+ an−1(z − z0)n−1

+1

2πııı

∮Γ2

(z − z0

w − z0

)n f(w)

w − zdw

(10.154)

Vamos considerar agora a segunda integral em eqn 10.148. Para

isto tomamos:

− 1

w − z=

1

z − w=

1

z − z0 + z0 − w

=1

(z − z0)(1 + (z0 − w)/(z − z0))

=1

(z − z0)(1− (w − z0)/(z − z0))

(10.155)

Substituindo z porw − z0

z − z0em eqn 10.147temos:

1

1− (w − z0)/(z − z0)= 1 +

w − z0

z − z0+ · · ·+

(w − z0

z − z0

)n

+

(w − z0

z − z0

)n+1

1− (w − z0)/(z − z0)

(10.156)

155

Séries de Laurent

Manipulando eqn 10.156 temos:

1

1− (w − z0)/(z − z0)= 1 +

w − z0

z − z0+ · · ·+

(w − z0

z − z0

)n

+

(w − z0

z − z0

)n+1

1− (w − z0)/(z − z0)

= 1 +w − z0

z − z0+ · · ·+

(w − z0

z − z0

)n

+

(w − z0

z − z0

)n+1

z − z0 − (w − z0)

z − z0

= 1 +w − z0

z − z0+ · · ·+

(w − z0

z − z0

)n

+

(w − z0

z − z0

)n+1

z − wz − z0

= 1 +w − z0

z − z0+ · · ·+

(w − z0

z − z0

)n+

(w − z0

z − z0

)n+1 z − z0

z − w(10.157)


− 1

w − z=

1

z − z0+

w − z0

(z − z0)2+ · · ·

+

(w − z0

z − z0

)n 1

z − w

(10.158)

Fazendo o produto de eqn 10.158 por f(w) e integrando ao longo

de Γ1 no sentido positivo temos:

−∮

Γ1

f(w)

w − zdw =

∮Γ1

f(w)

z − z0dw +

∮Γ1

f(w)w − z0

(z − z0)2dw + · · ·

+

∮Γ1

(w − z0

z − z0

)n f(w)

z − wdw

(10.159)

156


10Fazendo o produto de eqn 10.159 por1

2πıııe definindo

a−k =1

2πııı

∮Γ1

f(w)(w − z0)k−1dw, k = 1, 2, . . .

temos:

1

2πııı

∮Γ1

f(w)

w − zdw =

a−1

z − z0+

a−2

(z − z0)2+ · · ·+ a−n

(z − z0)n

+1

2πııı

∮Γ1

(w − z0

z − z0

)n f(w)

z − wdw

(10.160)

Resta mostrar que a integral final em eqn 10.154 tendem a zero

quando n→∞. Para isso façamos:

un =1

2πııı

∮Γ2

(z − z0

w − z0

)n f(w)

w − zdw (10.161)

Como w ∈ Γ2 temos: max∣∣∣ z − z0

w − z0

∣∣∣ = γ < 1. Por outro lado

como f(•) é holomorfa no anel aberto D = B%2(z0) − B%1(z0) e

sua fronteira |f(w)| < M . E também, |w−z| = |w−z0 +z0−z| ≥

|w− z0| − |z− z0| = %2 − |z− z0|. Daí, tomando o módulo de eqn

10.161 temos:

|un| =∣∣∣ 1

2πııı

∮Γ2

(z − z0

w − z0

)n f(w)

w − zdw∣∣∣

≤ 1

2π

∮Γ2

∣∣∣ ( z − z0

w − z0

)n f(w)

w − z

∣∣∣dw≤ 1

2π

γnM

%2 − |z − z0|2π%2

≤ γnM%2

%2 − |z − z0|

(10.162)

De eqn 10.162 temos limn→∞

|un| = 0 de onde limn→∞

un = 0

Da mesma forma para mostrar que a integral final em eqn 10.160

tendem a zero quando n→∞ façamos:

vn =1

2πııı

∮Γ1

(w − z0

z − z0

)n f(w)

z − wdw (10.163)

157

Séries de Laurent

Como w ∈ Γ1 temos: max∣∣∣w − z0

z − z0

∣∣∣ = γ < 1. Por outro lado

como f(•) é holomorfa no anel aberto D = B%2(z0) − B%1(z0) e

sua fronteira |f(w)| < M . E também, |z−w| = |z−z0 +z0−w| ≥

|z− z0| − |w− z0| = |z− z0| − %1. Daí, tomando o módulo de eqn

10.163 temos:

|vn| =∣∣∣ 1

2πııı

∮Γ2

(w − z0

z − z0

)n f(w)

z − wdw∣∣∣

≤ 1

2π

∮Γ2

∣∣∣ ( z − z0

w − z0

)n f(w)

w − z

∣∣∣dw≤ 1

2π

γnM

|z − z0| − %12π%1

≤ γnM%1

|z − z0| − %1

(10.164)

De eqn 10.164 temos limn→∞

|vn| = 0 de onde limn→∞

vn = 0 Portanto,

passando o limite n → ∞ em eqn 10.154 e eqn 10.160 levando

em conta que as integrais finais de eqn 10.154 e eqn 10.160

tendem a zero e substituindo em eqn 10.148 temos:

f(z) =∞∑

m=−∞am(z − z0)m

onde:am =

1

2πııı

∮Γ2

f(z)

(z − z0)m+1dz m = 0, 1, 2, . . .

a−m =1

2πııı

∮Γ1

f(z)(z − z0)m−1dz m = 1, 2, 3, . . .

OBS 10.1. As vezes é conveniente reescrever a série de Laurent

na forma:

f(z) =

∞∑m=1

bm(z − z0)m

+∑n=0

an(z − z0)n

onde: an =

1

2πııı

∮Γ2

f(z)

(z − z0)n+1dz n = 0, 1, 2, . . .

bm =1

2πııı

∮Γ1

f(z)(z − z0)m−1dz m = 1, 2, 3, . . .

158


10Vamos a alguns exemplos de aplicação da série de Laurent.

Exemplo 10.1. Determine a série de Laurent da função f(z) =eaz

(z − 1)4em torno do ponto z0 = 1.

SOLUÇÃO: Primeiramente vamos deslocar o ponto onde f(•) é

descontínua de z0 = 1 para z0 = 0 fazendo a mudança de variável

u = z − 1 e temos:

f(z) = f(u) = f(u+ 1) =ea(u+1)

(u+ 1− 1)4= ea

eau

u4(10.165)

Como ez =

∞∑n=0

zn

n!temos:

eau =

∞∑n=0

(au)n

n!

=∞∑n=0

anun

n!

(10.166)

De eqn 10.165 e eqn 10.166 temos:

f(z) = f(u) = ea1

u4

∞∑n=0

anun

n!

= ea∞∑n=0

anun−4

n!

(10.167)

Fazendo em eqn 10.167 a mudança de variável k = n−4, n = k+4

e substituindo os limites n

∞0 e k

∞−4no somatório temos:

f(z) = f(u) = ea∞∑

k=−4

ak+4uk

(k + 4)!(10.168)

Explicitando no somatório de eqn 10.168 os termos de k = −4

até k = −1 temos:

f(z) = f(u) =ea

u4+aea

u3+a2ea

u2+a3ea

u

+ ea∞∑k=0

ak+4uk

(k + 4)!

(10.169)

159

Séries de Laurent

Retornando em eqn 10.170 u = z − 1 temos:

f(z) =ea

(z − 1)4+

aea

(z − 1)3+

a2ea

(z − 1)2+a3ea

z − 1

+∞∑k=0

ak+4ea(z − 1)k

(k + 4)!.

(10.170)

10.3 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que certas funções não-holomorfas tam-

bém podem ser representadas por série de potências. Mais especi-

ficamente, por série de Laurent.

RESUMO

No nosso resumo da Aula 10 consta o seguinte tópico:

Série de Laurent

Seja f(•) uma função holomorfa no anel aberto D = B%2(z0) −

B%1(z0) e sua fronteira onde 0 < %1 < %2 seja z ∈ D então:

f(z) =∞∑

m=−∞am(z − z0)m

onde:am =

1

2πııı

∮C2

f(z)

(z − z0)m+1dz m = 0, 1, 2, . . .

a−m =1

2πııı

∮C1

f(z)(z − z0)m−1dz m = 1, 2, 3, . . .

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos singularidades de funções de

variáveis complexas. Mais especificamente veremos como usar séries

160


10de Laurent para classificar pontos de singularidades isoladas de

funções não-holomorfas..

ATIVIDADES


ATIV. 10.1. Determine a série de Laurent da função f(z) =1− cos(z)

z2entorno do ponto z0 = 0.


exemplo acima, ele lhe servirá de guia.

ATIV. 10.2. Determine a série de Laurent da função f(z) =1

z2(z − 1)2entorno do ponto z0 = 1.


exemplo acima, ele lhe servirá de guia. Veja também a série de

Taylor para a função1

(1 + z)2.








161

Séries de Laurent



162

AULA

11Singularidades de Funçõesde Variáveis Complexas

META:

Introduzir o conceito de singularidades de funções de variáveis com-

plexas.

OBJETIVOS:


Definir singularidades de funções de variáveis complexas e

analisar as singularidades de algumas funções de variáveis com-

plexas.

PRÉ-REQUISITOS



Singularidades de Funções de Variáveis Complexas

11.1 Introdução

Caros alunos o tema dessa nossa aula é “Singularidades de

Funções de Variáveis Complexas”. O objetivo é usar séries de Lau-

rent para estudar e classificar pontos de singularidades de funções

complexas.

11.2 Pontos Singulares de Funções Complexas

Começaremos por estudar pontos singulares de funções complexas.

Definição 11.1. Sejam D ⊂ C um aberto conexo, f : D ⊂ C 7→ C

uma função complexa e z0 ∈ D. Dizemos que z0 é um ponto

singular de f(•) se, somente se f ′(z0) = 0 ou não existe.

Definição 11.2. Sejam D ⊂ C um aberto conexo, f : D ⊂ C 7→

C uma função complexa e z0 ∈ D um ponto singular de f(•).

Dizemos que z0 é um ponto singular isolado se, somente se existe

uma bola aberta Br(z0) de centro em z0 tal que z0 é o único ponto

singular de f(•) que pertence a Br(z0). Caso contrario z0 é dito

um ponto singular não isolado.

OBS 11.1. Pontos singulares são extremamente importantes na

análise complexas pois, dizem muito do comportamento local de


11.3 Classificação de Pontos Singulares Isola-

dos

Estaremos, aqui, interessado em estudar e classificar pontos sin-

gulares isolados. Para isso usaremos a representação em série de

164


11Laurent da função a ser estudada.

Definição 11.3. Sejam D ⊂ C um aberto conexo, f : D ⊂ C 7→ C

uma função complexa representada em série de Laurent por:

f(z) =

∞∑m=1

bm(z − z0)m

+∑n=0

an(z − z0)n

e z0 ∈ D um ponto singular isolado de f(•). Se:

i) bm = 0, ∀m = 1, 2, . . . dizemos que z0 é uma singularidade

removível.

ii) bk 6= 0 e bm = 0, ∀m = k + 1, k + 2, . . . dizemos que z0 é um

polo de ordem k.

iii) ∀m ∈ N, ∃k > m|bk 6= 0 dizemos que z0 é uma singularidade

essencial.

OBS 11.2. Se z0 é uma singularidade removível f(•) é holomorfa

sendo representada por uma série de Taylor em torno de z0 i.e.

f(z) =∑n=0

an(z − z0)n

OBS 11.3. Se z0 é um polo de ordem k a representação de f(•)

em série de Laurent fica reduzida a:

f(z) =

k∑m=1

bm(z − z0)m

+∑n=0

an(z − z0)n

OBS 11.4. Se z0 é uma singularidade essencial os coeficiente bm

da representação de f(•) são não nulos para uma infinidade de

valores de m ∈ N.

Vejamos alguns exemplos de funções complexas e suas singulari-

dades.

165


Exemplo 11.1. Seja f : C− 0 7→ C dada por f(z) =sin(z)

z.

Como sin(z) =∞∑n=0

(−1)nz2n+1

(2n+ 1)!então:

f(z) =1

z

∞∑n=0

(−1)nz2n+1

(2n+ 1)!

=∞∑n=0

(−1)n1

z

z2n+1

(2n+ 1)!

=∞∑n=0

(−1)nz2n

(2n+ 1)!

= 1− z2

3!+z4

5!− z6

7!+ · · ·

Portanto z = 0 é uma singularidade removível de f(•).

Exemplo 11.2. Seja f : C− 0 7→ C dada por f(z) =sin(z)

z3.

Como sin(z) =∞∑n=0

(−1)nz2n+1

(2n+ 1)!então:

f(z) =1

z3

∞∑n=0

(−1)nz2n+1

(2n+ 1)!

=

∞∑n=0

(−1)n1

z3

z2n+1

(2n+ 1)!

=∞∑n=0

(−1)nz2n−2

(2n+ 1)!

=1

z2+

∞∑n=0

(−1)k+1 z2k

(2k + 3)!

=1

z2− 1

3!+z2

5!− z4

7!+ · · ·

Portanto z = 0 é um polo de ordem 2 de f(•).

Exemplo 11.3. Seja f : C− 0 7→ C dada por f(z) = sin(1/z).

166


11Como sin(z) =

∞∑n=0

(−1)nz2n+1

(2n+ 1)!então:

f(z) =

∞∑n=0

(−1)n(1/z)2n+1

(2n+ 1)!

=∞∑n=0

(−1)n1/z2n+1

(2n+ 1)!

=

∞∑n=0

(−1)n1

(2n+ 1)!

1

z2n−2

= 1 +

∞∑n=1

(−1)n1

(2n+ 1)!

1

z2n−2

= · · · − 1

7!z7+

1

5!z5− 1

3!z3+ 1

Portanto z = 0 é uma singularidade essencial de f(•).

Teorema 11.1. Sejam D ⊂ C um aberto conexo, f : D ⊂ C 7→ C

uma função complexa e z0 ∈ D. As seguintes proposições são

equivalentes:

i) z0 é uma singularidade removível de f(•).

ii) Existe limz→z0

f(z).

iii) |f(z)| é limitado em alguma bola aberta Br(z0).

PROVA: Dividiremos a prova em três partes:

Parte 1: i) implica ii). Supondo que i) vale a série de Laurent

de f(z) é da forma:

f(z) =∑n=0

an(z − z0)n

Logo limz→z0

f(z) = a0 e portanto existe limz→z0

f(z) e ii) vale.

Parte 2: ii) implica iii). Supondo que existe limz→z0

f(z) = L,

da definição de limite existe δ > 0 tal que se z ∈ Bδ(z0) − z0

167


então f(z) ∈ B1(L). De outra forma. Se z ∈ Bδ(z0)− z0 então

|f(z)− L| < 1 ou seja: ∀z ∈ Bδ(z0)− z0, |f(z)| < |L|+ 1 isto é

vale iii).

Parte 3: iii) implica i). Suponhamos que vale iii) então existe

K > 0 e uma bola Br(z0) tal que ∀z ∈ Br(z0), |f(z)| < K. por

outro lado, os coeficientes bm da série de Laurent são dados por:

bm =1

2πııı

∫Γf(z)(z − z0)m−1dz, m = 1, 2, . . .

onde Γ(t) = z0 + εeıııt, t ∈ [0, 2π) e ε < r. Daí, temos:

|bm| ≤∣∣∣ 1

2πııı

∫Γf(z)(z − z0)m−1dz

∣∣∣≤ 1

2π

∫Γ|f(z)|.|z − z0|m−1|dz|

≤ 1

2πKεm−12πε

≤ Kεm

Fazendo ε → 0 temos: |bm| − 0 e portanto bm = 0, m = 1, 2, . . ..

Logo z0 é uma singularidade removível de f(•) e i) vale.


uma função complexa e z0 ∈ D, então z0 é um polo de ordem k de

f(•) se, somente se existe L 6= 0 tal que L = limz→z0

(z − z0)kf(z).

PROVA: Dividimos a prova em duas partes:

Parte 1 (Necessidade) Suponhamos que z0 é um polo de ordem

k de f(•) então a representação por série de Laurent de f(z) é da

forma:

f(z) =

k∑m=1

bm(z − z0)m

+∑n=0

an(z − z0)n

Logo, fazendo o produto por (z − z0)k temos:

(z − z0)kf(z) = bk + · · ·+ b1(z − z0)k−1 +∑n=0

an(z − z0)n+k

168


11Passando o limite z → z0 temos:

limz→z0

(z − z0)kf(z) = bk 6= 0 e temos nosso candidato L = bk.

Parte 2 (Suficiência) Suponhamos que existe o limite limz→z0

(z −

z0)kf(z) = L 6= 0. Definindo a função g(z) = (z−z0)kf(z), temos:

limz→z0

g(z) = L 6= 0. Logo da parte ii) do teorema 12.1 g(z) tem

uma singularidade removível em z0 e pode ser dada por uma série

de Taylor centrada em z0 em alguma bola aberta Br(z0).

g(z) =∑n=0

an(z − z0)n

Daí, como g(z) = (z − z0)kf(z) podemos escrever para f(z).

f(z) =L

(z − z0)k+ · · ·+ ak−1

z − z0+∑n=0

an+k(z − z0)n

E portanto z0 é um polo de ordem k de f(•).

Vamos agora enunciar um último teorema sem demonstra-lo.


uma função complexa e suponhamos que z0 ∈ D é uma singulari-

dade essencial de f(•) e que f(z) é holomorfa em B%(z0)−z0 ⊂

D então dados 0 < r ≤ %, ε > 0 e α ∈ C, existe um número

complexo β tal que β ∈ Br(z0)− z0 e |f(β)− α| < ε.

11.4 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que algumas funções de variáveis com-

plexas são não-holomorfas pois apresentam pontos singulares (pon-

tos onde a derivada da função é zero ou não existe). Também vimos

que as singularidades isoladas são classificadas como removíveis,

pólos ou singularidades essenciais.

169


RESUMO


Pontos Singulares de Funções Complexas

Definição

Sejam D ⊂ C um aberto conexo, f : D ⊂ C 7→ C uma função

complexa e z0 ∈ D. Dizemos que z0 é um ponto singular de f(•)

se, somente se f ′(z0) = 0 ou não existe.

Definição


complexa e z0 ∈ D um ponto singular de f(•). Dizemos que z0 é

um ponto singular isolado se, somente se existe uma bola aberta

Br(z0) de centro em z0 tal que z0 é o único ponto singular de f(•)

que pertence a Br(z0). Caso contrario z0 é dito um ponto singular

não isolado.

Classificação de Pontos Singulares Isolados

Definição


complexa representada em série de Laurent por:

f(z) =

∞∑m=1

bm(z − z0)m

+∑n=0

an(z − z0)n

e z0 ∈ D um ponto singular isolado de f(•). Se:

i) bm = 0, ∀m = 1, 2, . . . dizemos que z0 é uma singularidade

removível.

ii) bk 6= 0 e bm = 0, ∀m = k + 1, k + 2, . . . dizemos que z0 é um

polo de ordem k.

170


11iii) ∀m ∈ N, ∃k > m|bk 6= 0 dizemos que z0 é uma singularidade

essencial.

Teorema 1


complexa e z0 ∈ D. As seguintes proposições são equivalentes:

i) z0 é uma singularidade removível de f(•).

ii) Existe limz→z0

f(z).

iii) |f(z)| é limitado em alguma bola aberta Br(z0).

Teorema 2


complexa e z0 ∈ D, então z0 é um polo de ordem k de f(•) se,

somente se existe L 6= 0 tal que L = limz→z0

(z − z0)kf(z).

Teorema 3


complexa e suponhamos que z0 ∈ D é uma singularidade essencial

de f(•) e que f(z) é holomorfa em B%(z0)−z0 ⊂ D então dados

0 < r ≤ %, ε > 0 e α ∈ C, existe um número complexo β tal que

β ∈ Br(z0)− z0 e |f(β)− α| < ε.

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos o cálculo de resíduos que nos

permitirá um teorema semelhante a integral d Cauchy para funções

não-holomorfas com singularidades isoladas tipo polo.

171


ATIVIDADES


ATIV. 11.1. Seja f : D ⊂ C 7→ C dada por f(z) = tan(zııı). De-

termine todas as singularidades de f(•) e estabeleça o seu domínio.

Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção os ex-

emplos, eles lhe servirão de guia.

ATIV. 11.2. Seja f : C− 0 7→ C dada por f(z) =1− cos(z)

z3.

Classifique as singularidades de f(•).


exemplos, eles lhe servirão de guia.










172

AULA

12Cálculo de Resíduos

META:

Apresentar cálculo de resíduos.

OBJETIVOS:


Definir resíduo de uma função de variáveis complexas em um ponto

dado e

calcular o resíduo de uma função de variáveis complexas em um

ponto dado.

PRÉ-REQUISITOS


Cálculo de Resíduos

12.1 Introdução

Caros alunos nessa nossa aula veremos “Cálculo de Resíduos”.

O teorema da integral de Cauchy-Goursat assegura que a integral

de uma função holomorfa ao longo de uma curva fechada simples

C é zero. O cálculo de resíduos permite estender o teorema de

Cauchy-Goursat para funções que possuam singularidades isoladas

tipo polo no interior da curva C.

12.2 Resíduos

Lembrem-se que z0 é dito um ponto singular de uma função f(•)

se f(•) falha em ser holomorfa em z0 mais é holomorfa em algum

ponto de toda vizinhança de z0. Ademais z0 é dita singularidade

isolada se existe uma vizinhança de z0 onde f(•) é holomorfa a

exceção de z0.

Definição 12.1. Seja D ⊂ C um aberto e f : D ⊂ C 7→ C

holomorfa em D− z0. Definimos o resíduo de f(•) no ponto z0,

denotado res(f, z0), como coeficiente do termo1

z − z0da série de

Laurent de f(•) centrada em z0.

Vejamos um exemplo de resíduo.

Exemplo 12.1. Na aula10 vimos que a série de Laurent para a

função f(z) =eaz

(z − 1)4em torno do ponto z0 = 1 era:

f(z) =ea

(z − 1)4+

aea

(z − 1)3+

a2ea

(z − 1)2+a3ea

z − 1

+

∞∑k=0

ak+4ea(z − 1)k

(k + 4)!.

Por simples inspeção vemos que: res(f, 1) = a3ea.

174


12

a1

γ−1a2

γ−2

an

γ−n

Γ

Figura 12.1: Teorema dos Resíduos

Vejamos agora como adaptar o teorema de Cauchy-Goursat para

o caso de funções não-holomorfas com um número finito de pólos.

Teorema 12.1 (Teorema dos resíduos). Seja D ⊂ C um aberto

e f : D ⊂ C 7→ C holomorfa em D − z1, z2, . . . , zn. Suponha

Γ ⊂ D−z1, z2, . . . , zn uma curva suave por partes , orientada no

sentido positivo, tal que em seu interior contenha todos os pontos

z1, z2, . . . , zn então:

1

2πııı

∮Γf(z)dz =

n∑k=1

res(f, zk)

PROVA: Para cada ponto zk, k = 1, 2, . . . , n tomemos um cír-

culo γk de centro em zk tais que: γk não tem ponto em comum

com γn, n 6= k nem com Γ e está orientado positivamente (sentido

anti-horário) (ver figura 12.1) seja γ−k o círculo γk orientado neg-

ativamente (sentido horário). Seja C = Γ∪ γ−1 ∪ γ−2 ∪ · · · ∪ γ−n . Do

teorema de Cauchy temos:∮Cf(z)dz = 0 (12.171)

Levando em conta a construção de C podemos reescrever eqn

175


12.171 como: ∮Γf(z)dz =

n∑k=1

∮γk

f(z)dz (12.172)

Do teorema de Laurent temos:

f(z) =∞∑m=1

bm(z − zk)m

+∑n=0

an(z − zk)n

onde:

bm =1

2πııı

∮γk

f(z)(z − zk)m−1dz, m = 1, 2, 3, . . .

Em particular:

res(f, zk) = b1 =1

2πııı

∮γk

f(z)dz

Daí, tiramos: ∮γk

f(z)dz = 2πıııres(f, zk) (12.173)

Daí, substituindo eqn 12.173 em eqn 12.172 temos:

1

2πııı

∮Γf(z)dz =

n∑k=1

res(f, zk). (12.174)

Veremos agora um teorema que relaciona em uma mesma integral

o número de zeros e o número de pólos de uma função.

Teorema 12.2. Seja D ⊂ C um aberto e f : D ⊂ C 7→ C holo-

morfa em D − z1, z2, . . . , zn. Suponha Γ ⊂ D − z1, z2, . . . , zn

uma curva suave por partes , orientada no sentido positivo, tal que

em seu interior contenha todos os pontos z1, z2, . . . , zn e que esses

pontos sejam pólos de f(•) e que Γ não contenha nenhum zero de

f(•) então:1

2πııı

∮Γ

f ′(z)

f(z)dz = Z − P

onde Z é o número de zeros de f(•) no interior de Γ, contado

tantas vezes quantas forem sua multiplicidade e P o número de

176


12pólos de f(•) no interior de Γ contado tantas vezes quantas forem

sua ordem.

PROVA: Consideremos a integral:

1

2πııı

∮Γ

f ′(z)

f(z)dz (12.175)

Pelo teorema dos resíduos a integral em eqn 12.175 é a soma dos

resíduos do integrando. Porém, dado um ponto a no interior de Γ

temos três possibilidades:

i) f(a) 6= 0

ii) f(0) = 0 e a é um zero de multiplicidade m de f(•)

iii) limz→a

f(z) = ±∞, a é um polo de ordem k de f(•)

Parte 1: no caso i)f ′(z)

f(z)é holomorfa o resíduo é zero e o ponto

nada contribui para a integração em eqn 12.175.

Parte 2 no caso ii) para este caso existe uma bola aberta Br(a)

de raio r e centro em a tal que f(z) = (z − a)mg(z), ∀z ∈ Br(a)

onde g(z) é holomorfa em Br(a). Daí, calculando a razãof ′(z)

f(z)temos:

f ′(z)

f(z)=m(z − a)m−1g(z) + (z − a)mg′(z)

(z − a)mg(z)=

m

z − a+g′(z)

g(z)(12.176)

Como g(z) é holomorfa em Br(a),g′(z)

g(z)também é holomorfa e

portanto tem representação por série de Taylor en torno do ponto

z = a. Daí, temos:

g′(z)

g(z)=

∞∑n=0

cn(z − a)n (12.177)


f ′(z)

f(z)=

m

z − a+

∞∑n=0

cn(z − a)n (12.178)

177


Logo eqn 12.178 é a série de Laurent def ′(z)

f(z), z = a é um polo

de primeira ordem cujo resíduo é res(f ′(z)

f(z), a

)= m, que é a

contribuição do ponto z = a à integral eqn 12.175.

Parte 3: no caso iii) para este caso existe uma bola aberta Br(a)

de raio r e centro em a tal que f(z) = (z − a)−kg(z), ∀z ∈ Br(a)

onde g(z) é holomorfa em Br(a). Daí, calculando a razãof ′(z)

f(z)temos:

f ′(z)

f(z)=−k(z − a)−k−1g(z) + (z − a)−kg′(z)

(z − a)−kg(z)

=−kz − a

+g′(z)

g(z)

(12.179)

Como g(z) é holomorfa em Br(a),g′(z)

g(z)também é holomorfa e

portanto tem representação por série de Taylor en torno do ponto

z = a. Daí, temos:

g′(z)

g(z)=∞∑n=0

cn(z − a)n (12.180)


f ′(z)

f(z)=−kz − a

+∞∑n=0

cn(z − a)n (12.181)

Logo eqn 12.181 é a série de Laurent def ′(z)

f(z), z = a é um polo

de primeira ordem cujo resíduo é res(f ′(z)

f(z), a

)= −k, que é a

contribuição do ponto z = a à integral eqn 12.175.

Juntando as contribuições dos casos ii) e iii) temos:

1

2πııı

∮Γ

f ′(z)

f(z)dz = Z − P



178


12pólos de f(•) no interior de Γ contado tantas vezes quantas forem

sua ordem.

A seguir, veremos alguns teoremas que auxiliaram na determinação

dos resíduos de uma função não-holomorfa.


morfa em D − z0. E suponhamos que z0 é um polo de ordem 1

de f(•). Então res(f, z0) = limz→z0

(z − z0)f(z).

PROVA: Da hipótese do teorema a série de Laurent de f(z) é

da forma:

f(z) =res(f, z0)

z − z0+∞∑n=0

cn(z − z0)n (12.182)

Fazendo o produto de eqn 12.182 por z − z0 temos:

(z − z0)f(z) = res(f, z0) +∞∑n=0

cn(z − z0)n+1 (12.183)

Passando o limite z → z0 em eqn 12.183 e levando em conta que

limz→z0

∞∑n=0

cn(z − z0)n+1 = 0 temos:

res(f, z0) = limz→z0

(z − z0)f(z).


morfa em D − z0. E suponhamos que z0 é um polo de ordem

k > 1 de f(•) e g : D ⊂ C 7→ C dada por g(z) = (z − z0)kf(z).

Então res(f, z0) =g(k−1)(z0)

(k − 1)!.

PROVA: Da hipótese do teorema a série de Laurent de f(z) é

da forma:

f(z) =bk

(z − z0)k+ · · ·+ res(f, z0)

z − z0+

∞∑n=0

cn(z − z0)n (12.184)

179


Fazendo o produto de eqn 12.184 por (z − z0)k temos:

(z− z0)kf(z) = bk + · · ·+ res(f, z0)(z− z0)k−1 +

∞∑n=0

cn(z− z0)n+k

(12.185)

Como g(z) = (z − z0)kf(z) e é holomorfa da eqn 12.185 temos:

g(z) = bk+ · · ·+res(f, z0)(z−z0)k−1 +

∞∑n=0

cn(z−z0)n+k (12.186)

Logo eqn 12.184 é a expansão em série de Taylor de g(z) en torno

do ponto z0 e res(f, z0) o coeficiente de (z−z0)k−1 nessa expansão

e portanto:

res(f, z0) =g(k−1)(z0)

(k − 1)!.

OBS 12.1. Se f(z) é holomorfa em z0 então res(f, z0) = 0 que

não contribui em nada. Porém, se z0 é uma singularidade essencial

não tem uma fórmula para simplificar a obtenção do resíduo e o

caminho é determinar a série de Laurent de f(z).

12.3 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que é possível estender o teorema de

Cauchy para funções não-holomorfas no interior de uma curva

fechada simples em cujo interior o integrando possua singulari-

dades isoladas.

RESUMO


180


12Resíduos

Definição

Seja D ⊂ C um aberto e f : D ⊂ C 7→ C holomorfa em D − z0.

Definimos o resíduo de f(•) no ponto z0, denotado res(f, z0), como

coeficiente do termo1

z − z0da série de Laurent de f(•) centrada

em z0.

Teorema 1

Seja D ⊂ C um aberto e f : D ⊂ C 7→ C holomorfa em D −

z1, z2, . . . , zn. Suponha Γ ⊂ D−z1, z2, . . . , zn uma curva suave

por partes , orientada no sentido positivo, tal que em seu interior

contenha todos os pontos z1, z2, . . . , zn então:

1

2πııı

∮Γf(z)dz =

n∑k=1

res(f, zk)

Teorema 2

Seja D ⊂ C um aberto e f : D ⊂ C 7→ C holomorfa em D −

z1, z2, . . . , zn. Suponha Γ ⊂ D−z1, z2, . . . , zn uma curva suave

por partes , orientada no sentido positivo, tal que em seu interior

contenha todos os pontos z1, z2, . . . , zn e que esses pontos sejam

pólos de f(•) e que Γ não contenha nenhum zero de f(•)então:

1

2πııı

∮Γ

f ′(z)

f(z)dz = Z − P



pólos de f(•) no interior de Γ contado tantas vezes quantas forem

sua ordem.

181


PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos algumas aplicações do cálculo

de resíduos (teorema dos resíduos). Em especial no cálculo de

algumas integrais definidas.

ATIVIDADES


ATIV. 12.1. Seja f(z) = ez csc(z). Determine todos os pólos de

f(•) e calcule o resíduo em cada polo.

Comentário: Verifique que todos os pólos de f(•) são simples e

use a fórmula limz→zk

(z − zk)f(z).

ATIV. 12.2. Determine a integral:1

2πııı

∮Cez csc(z)dz onde C é

o círculo unitário |z| = 1.

Comentário: Aplique o teorema do resíduos e o problema ante-

rior.










182

AULA

13Aplicações do Teoremados ResíduosMETA:

Apresentar algumas aplicações do cálculo de resíduos.

OBJETIVOS:


Aplicar o cálculo de resíduos na determinação de algumas inte-

grais.

PRÉ-REQUISITOS


Aplicações do Teorema dos Resíduos

13.1 Introdução

Caros alunos nessa nossa aula veremos “Algumas Aplicações

do Teorema dos Resíduos”. Mais especificamente, veremos com

utilizar o teorema dos resíduos na determinação de alguns tipos de

integrais impróprias.

13.2 Algumas Aplicações do Teorema dos Resí-

duos

Veremos, agora, como aplicar o teorema dos resíduos na determi-

nação de certos tipos de integrais impróprias. Começaremos por

integrais da forma: ∫ +∞

−∞f(x)dx (13.187)

Sabemos de Cálculo II que se a integral imprópria acima existe

pode ser calculada como o limite:

limM→∞

∫ +M

−Mf(x)dx (13.188)

x

y

Γ

γ−r +r

Figura 13.1: Aplicações do Teorema dos Resíduos

184


13Analisaremos o seguinte caso: a nossa função f(•) é holomorfa no

semi-plano superior e borda exceto em um número finito de pólos

z1, z2, . . . , zn para os quais Im(zk) > 0, k = 1, 2, . . . , n.

Para este caso, vamos integrar f(z) ao longo da curva C = Γ ∪ γ

onde γ(t) = t, t ∈ [−r,+r] e Γ(t) = reıııt, t ∈ [0, π] onde r é es-

colhido grande o suficiente para que todos os pólos z1, z2, . . . , zn

estejam contidos no interior de C.

Do teorema de Cauchy temos:

n∑k=1

res(f, zk) =1

2πııı

∮Cf(z)dz

=1

2πııı

∫Γf(z)dz +

1

2πııı

∫γf(z)dz

=1

2πııı

∫ π

0f(reıııt)ıııreıııtdt+

1

2πııı

∫ r

rf(x)dx

(13.189)

se:

limr→∞

∫ π

0f(reıııt)ıııreıııtdt = 0 (13.190)

Passando o limite r → ∞ em eqn 13.189 e usando eqn 13.190

temos:

limr→∞

∫ r

−rf(x)dx = 2πııı

n∑k=1

res(f, zk) (13.191)

Veremos agora uma condição suficiente para eqn 13.190.

Se |f(z)| ≤M/rk onde M e k > 1 são constantes então:

limr→∞

∫Γf(z)dz = lim

r→∞

∫ π

0f(reıııt)ıııreıııtdt = 0 (13.192)

PROVA: Das propriedades da integração complexa temos:∣∣∣ ∫Γf(z)dz

∣∣∣ ≤ ∫Γ|f(z)|.|dz|

≤ M

rkπr

≤ πM

rk−1

185


Visto que o comprimento do arco Γ é πr. Daí, como k > 1, pas-

sando o limite r →∞ temos:

limr→∞

∣∣∣ ∫Γf(z)dz

∣∣∣ ≤ limr→∞

πM

rk−1

= 0

e portanto:

limr→∞

∫Γf(z)dz = 0.

x

y

z1z2

z3 z4


Vejamos um exemplo:

Exemplo 13.1. Determine a integral∫ ∞−∞

1

z4 + a4dz, onde a > 0.

SOLUÇÃO: Para a função do exemplo f(z) =1

z4 + a4os pólos

(ver figura 13.2) são:

z1 = a cos(π/4) + a sin(π/4)ııı = aeπııı/4

z2 = a cos(3π/4) + a sin(3π/4)ııı = ae3πııı/4



Logo apenas os pólos z1 e z2 estão no interior de C (ver figura

13.1 e figura 13.2). Levando em conta que todos os pólos de

f(z) =1

z4 + a4são pólos simples podemos calcular os resíduos em

z1 e z2 usando á regra de L’Hopital da seguinte forma: Resíduo

186


13em z1:


(z − z1)f(z)

= limz→z1

(z − z1)1

z4 − a4

= limz→z1

z − z1

z4 − a4

= limz→z1

1

4z3

=1

4a3e3πııı/4

(13.193)

Resíduo em z2:


(z − z2)f(z)

= limz→z2

(z − z2)1

z4 − a4

= limz→z2

z − z2

z4 − a4

= limz→z2

1

4z3

=1

4a3e9πııı/4

(13.194)

De eqn 13.193 e eqn 13.194 temos:2∑

k=1

res(f, zk) =1

4a3e3πııı/4+

1

4a3e9πııı/4

=1

4a3(e−3πııı/4 + e−9πııı/4)

=1

4a3(cos(−3π/4) + sin(−3π/4)ııı

+ cos(−9π/4) + sin(−9π/4)ııı)

(13.195)

Levando em conta que cos(−z) = cos(z), sin(−z) = − sin(z),

cos(3π/4) = − cos(9π/4) e sin(3π/4) = cos(9π/4) de eqn 13.194

temos:2∑

k=1

res(f, zk) =1

4a3(−2 sin(3π/4)ııı)

= −√

2ııı

4a3

(13.196)

187


Portanto de eqn 13.191 e eqn 13.196 temos:

∫ ∞−∞

1

x4 + a4dx = 2πııı

2∑k=1

res(f, zk)

= −2πııı

√2ııı

4a3

=

√2π

2a3.

(13.197)

x

y

Γ


Analisaremos agora um outro caso especial: integrais da forma∫ 2π

0f(cos(θ), sin(θ))dθ. Para este caso usaremos o contorno da

figura 13.3 e fazemos a seguinte mudança de variável: z = eθııı.

Logo: dz = ıııeθıııdθ, dθ =1

zıııdz, cos(θ) =

eθııı + e−θııı

2=z + z−1

2e

sin(θ) =eθııı − e−θııı

2ııı=z − z−1

2ııı. Vejamos um exemplo:

Exemplo 13.2. Calculo a integral∫ 2π

0

1

a+ b cos(θ)dθ onde: a >

|b|.

SOLUÇÃO: Usando as transformações acima temos:

I =

∫ 2π

0

1

a+ b cos(θ)dθ

=

∮C

1

a+ bz + z−1

2

1

zıııdz

=

∮C

−2ııı

bz2 + 2az + bdz

(13.198)

188


13Os pólos da função f(z) =−2ııı

bz2 + 2az + bsão obtidos resolvendo

bz2 + 2az + b = 0. Os dois pólos simples são:

z1 =−2a+

√4a2 − 4b2

2b

=−a+

√a2 − b2b

z2 =−2a−

√4a2 − 4b2

2b

=−a−

√a2 − b2b

Apenas z1 pertence a região limitada por Γ pois,

|z1| =∣∣∣−a+

√a2 − b2b

∣∣∣=∣∣∣√a2 − b2 + a√a2 − b2 + a

√a2 − b2 − a

b

∣∣∣=∣∣∣ b√a2 − b2 + a

∣∣∣< 1

Por outro lado

|z1| =∣∣∣−a−√a2 − b2

b

∣∣∣=∣∣∣a+

√a2 − b2b

∣∣∣> 1

O que garante z2 fora da região limitada por Γ. Para o resíduo de

f(•) em z1 temos:


(z − z1)f(z)

= limz→z1

−2ııı(z − z1)

bz2 + 2az + b

= limz→z1

−2ııı

2bz + 2a

=−ııı√a2 − b2

(13.199)

189


Usando o teorema dos resíduos em f(z) =−2ııı

bz2 + 2az + be na curva

fechada suave Γ e usando eqn 13.198 e eqn 13.199 temos:

I =

∫ 2π

0

1

a+ b cos(θ)dθ =

∮Γ

−2ııı

bz2 + 2az + bdz

= 2πıııres(f, z1)

=2π√a2 − b2

.

13.3 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que é possível aplicar o teorema dos

resíduos na determinação de alguns tipos de integrais impróprias.

RESUMO


Algumas Aplicações do Teorema dos resíduos

Primeira Aplicação

Função f(•) é holomorfa no semi-plano superior e borda exceto em

um número finito de pólos z1, z2, . . . , zn para os quais Im(zk) >

0, k = 1, 2, . . . , n.

Para este caso, integrar f(z) ao longo da curva C = Γ ∪ γ onde

γ(t) = t, t ∈ [−r,+r] e Γ(t) = reıııt, t ∈ [0, π] onde r é escolhido

grande o suficiente para que todos os pólos z1, z2, . . . , zn estejam

contidos no interior de C (figura 13.1).

Se |f(z)| ≤M/rk onde M e k > 1 são constantes então:∫ ∞−∞

f(x)dx = limr→∞

∫ r

−rf(x)dx = 2πııı

n∑k=1

res(f, zk) (13.200)

190


13Segunda Aplicação

Integrais da forma∫ 2π

0f(cos(θ), sin(θ))dθ. Para este caso usare-

mos o contorno da figura 13.3 e fazemos a seguinte mudança

de variável: z = eθııı. Logo: dz = ıııeθıııdθ, dθ =1

zıııdz, cos(θ) =

eθııı + e−θııı

2=z + z−1

2e sin(θ) =

eθııı − e−θııı

2ııı=z − z−1

2ııı. E temos:

∫ 2π

0f(cos(θ), sin(θ))dθ =

∮Cf

(z + z−1

2,z − z−1

2ııı

)1

zıııdz

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos transformações conforme (trans-

formações que preservam o ângulo entre vetores). Em particular

veremos que funções holomorfas são transformações conformes.

ATIVIDADES


ATIV. 13.1. Determine a integral∫ ∞−∞

1

z6 + a6dz, onde a > 0.


primeiro exemplo acima, ele lhe servirá de guia.

ATIV. 13.2. Calculo a integral∫ 2π

0

1

a+ b sin(θ)dθ onde: a > |b|.


segundo exemplo acima, ele lhe servirá de guia.

191











192

AULA

14Transformações Conformes

META:

Introduzir o conceito de transformações conforme.

OBJETIVOS:


Definir transformações conformes e exemplificar transformações

conformes.

PRÉ-REQUISITOS


Transformações Conformes

14.1 Introdução

Caros alunos estamos quase no final de nosso curso de “Va-

riáveis Complexas”. Nosso assunto de agora é “Transformações

Conformes”. Aqui estabeleceremos os aspectos básicos de trans-

formações conformes como ponto de partida para a próxima aula

onde faremos algumas aplicações das transformações conformes.

14.2 Transformações Conformes

Vamos iniciar com a definição do conceito de transformações con-

formes:

x

y plano xy

(x0, y0)

C2

C1

u

v plano w(u0, v0)

C′1

C′2

Figura 14.1: Transformações Conformes

Definição 14.1. Seja Ψ : D ⊂ R2 7→ R2 uma transformação de

um aberto D de R2 em R2 tal que Ψ leva o ponto (x0, y0) do plano

xy no ponto (u0, v0) do plano uv. Se dada duas curvas C1 e C2

do plano xy que se interceptam em z0 são levadas na curvas C ′1 e

C ′2 que se interceptam em (u0, v0) (ver figura 14.1) então se Ψ

é tal que o ângulo entre as curvas C1 e C2 em (x0, y0) é igual ao

ângulo entre C ′1 e C ′2 em módulo e sentido, dizemos que Ψ é uma

transformação conforme em (x0, y0).

194


14Vamos examinar a mudança de direção de curvas no plano com-

plexo z, passando pelo ponto z0 sob a transformação w = f(z)

quando a função em questão é holomorfa em z0 e além disso f ′(z0) 6=

0. Para isso enunciamos e provamos o seguinte teorema:

x

y plano z

z0

z0 + ∆z

C

θ0

u

v plano w

w0

w0 + ∆w

C′

θ0 + a


Teorema 14.1. Sejam D ⊂ C um aberto, f : D ⊂ C 7→ C, w =

f(z) uma transformação holomorfa em z0 ∈ D tal que f ′(z0) 6= 0

então a tangente a qualquer curva C passando por z0 é girada de

um ângulo igual a arg(f ′(z0)).

PROVA: Quando um ponto se move de z0 a z0 + ∆z ao longo

da curva C no plano z (ver figura 14.2) sua imagem através de

f(z) move-se ao longo de C ′, no plano w, de w0 até w0 + ∆w. Se

parametrizarmos a curva C usando o parâmetro t então o caminho

z(t) (x = x(t) e y = y(t)) em C corresponde ao caminho w(t) (u =

u(t) e v = v(t)) em C ′ tal que: z0 = z(t0) e w0 = w(t0) = f(z(t0)).

As derivadasdz

dtedw

dtrepresentam os vetores tangente nos pontos

correspondentes de C e C ′. Daí, então, da regra da cadeia, temos:

dw

dt=dw

dz.dz

dt

= f ′(z).dz

dt

(14.201)

195


Em particular fazendo t = t0 em eqn 14.201 temos:

dw

dt

∣∣∣t=t0

= f ′(z(t0)).dz

dt

∣∣∣t=t0

Que é equivalente a:

dw

dt

∣∣∣w=w0

= f ′(z0).dz

dt

∣∣∣z=z0

(14.202)

Levando em conta que f(z) é holomorfa em z0. Escrevendodw

dt

∣∣∣w

=

w0 = f0eıııφ0 , f ′(z0) = R0e

ıııα edz

dt

∣∣∣z=z0

= r0eıııθ0 e substituindo em

eqn 14.202 temos:

f0eıııφ0 = R0e

ıııα.r0eıııθ0

= R0.r0eııı(α+θ0)

(14.203)

Finalmente, de eqn 14.203 temos:

φ0 = θ0 + α = θ0 + arg(f ′(z0)).

OBS 14.1. Notem que nos pontos críticos (pontos para os quais

f ′(z0) = 0) α é indeterminado.

Teorema 14.2. Sejam D ⊂ C um aberto, f : D ⊂ C 7→ C, w =

f(z) uma transformação holomorfa em z0 ∈ D tal que f ′(z0) 6=

0 então, o ângulo entre duas curvas C1 e C2 passando por z0 é

preservado pela transformação w = f(z) em módulo e direção.

PROVA: Pelo teorema 14.2 cada curva gira do ângulo arg(f ′(z0))

assim, o ângulo entre as curvas não se altera pela transformação

w = f(z) tanto em módulo quanto em sentido.

OBS 14.2. Em outras palavras o teorema acima diz que uma

aplicação holomorfa é uma transformação conforme.

Para concluir, vamos enunciar, sem demonstrar um importante

teorema sobre transformações conformes. A saber:

196


14Teorema 14.3. Seja C uma curva simples fechada, contorno de

uma região simplesmente conexa então existe uma transformação

biunívoca w = f(z) holomorfa em C e seu interior, que mapeia C

na borda do disco unitário no plano w e o interior de C no interior

do disco unitário.

OBS 14.3. A demonstração deste teorema de enunciado simples

é bastante técnica e foge ao escopo deste texto. Porém, se os caros

alunos quiserem aprofundar o assunto tem uma demonstração em

TIMONEY na leitura complementar.

14.3 Exemplos de Algumas Transformações Con-

formes

Veremos nesta seção alguns exemplos de algumas transformações

conformes.

x

y plano z

z0

u

v plano w

f(z0)

1


Exemplo 14.1. Como primeiro exemplo, vamos mostrar que a

transformação w = f(z) onde f(z) = eθ0ııız − z0

z − z0, z0 é um ponto do

semiplano superior e θ0 ∈ R transforma o semiplano superior no

plano z no disco unitário no plano w (ver figura 14.3).

197


x

y

|z−z 0|

|z−z 0|

plano xy

z0

z0

z


SOLUÇÃO: Da figura 14.4 se z pertence ao semiplano superior

temos |z − z0| ≤ |z − z0| ocorrendo a igualdade se z pertence ao

eixo real. Daí, temos:

|w| =∣∣∣eθ0ııı z − z0

z − z0

∣∣∣= |eθ0ııı|. |z − z0|

|z − z0|

≤ 1

pois, |eθ0ııı| = 1 e |z − z0| ≤ |z − z0|.

OBS 14.4. Observamos também que f(z0) = 0 e que o eixo real

é mapeado na borda do disco unitário.

14.3.1 Transformações de Möbius

Veremos agora um tipo especial de transformação conforme de-

nominada de transformação de Möbius.

Definição 14.2. Uma transformação fracionária

w = f(z) =az + b

cz + d(14.204)

tal que ad− bc 6= 0 é dita uma transformação de Möbius.

198


14Uma das propriedades das transformações fracionárias, em par-

ticular as transformações de Möbius, é que a composição de duas

transformações fracionária é uma transformação fracionária. sejam

f(z) =az + b

cz + de g(z) =

αz + β

γz + δ. Daí, temos:

(f g)(z) = f(g(z)) =

aαz + β

γz + δ+ b

cαz + β

γz + δ+ d

=

aαz + aβ + bγz + bδ

γz + δcαz + cβ + dγz + dδ

cβ + dδ

=(aα+ bβ)z + (aβ + bδ)

(cα+ dγ)z + (cβ + dδ)

Tirando eqn 14.204 da forma de fração temos:

Azw +Bz + Cw +D = 0 (14.205)

que é linear em z linear em w e bilinear em z e w.

Por outro lado podemos inverter eqn 14.204 e temos:

z = f−1(w) =−dw + b

cw − a

Se c = 0 deixa de ser uma transformação fracionária e passa a ser

uma transformação linear.

Caso c 6= 0 podemos reescrever eqn 14.204 na forma:

w = f(z) =a

c+bc− ad

c

1

cz + d

e portanto a condição ad− bc 6= 0 garante que eqn 14.204 não é

a transformação constante.

14.3.2 Pontos fixos de uma Aplicação

Imaginemos sobrepor o plano w no plano z de modo que os eixos

coordenados coincidam. Desta forma teremos essencialmente um

199


único plano. E, podemos encarar uma transformação w = f(z)

como uma aplicação que leva pontos do plano em outros pontos

do plano. Assim faz sentido a seguinte definição:

Definição 14.3. Seja f : C 7→ C uma transformação. Dizemos

que z ∈ C é um ponto fixo de f(•) se, somente se z = f(z).

Vejamos um exemplo:

Exemplo 14.2. Determine os pontos fixos da seguinte transfor-

mação fracionária: f(z) =2z − 5

z + 4.

SOLUÇÃO: Da definição de ponto fixo temos:

z = f(z) =2z − 5

z + 4

Daí, desfazendo a fração temos:

z2 + 2z + 5 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau temos:

z1 =−2 +

√22 − 4.1.5

2

=−2 +

√−16

2

= −1 + 2ııı

z2 =−2−

√22 − 4.1.5

2

=−2−

√−16

2

= −1− 2ııı.

Ficaremos por aqui.

200


1414.4 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que funções holomorfas são transfor-

mações conformes i.e. transformações que preservam o ângulo en-

tre vetores.

RESUMO



Definição:

Seja Ψ : D ⊂ R2 7→ R2 uma transformação de um aberto D de

R2 em R2 tal que Ψ leva o ponto (x0, y0) do plano xy no ponto

(u0, v0) do plano uv. Se dada duas curvas C1 e C2 do plano xy

que se interceptam em z0 são levadas na curvas C ′1 e C ′2 que se

interceptam em (u0, v0) (ver figura 14.1) então se Ψ é tal que o

ângulo entre as curvas C1 e C2 em (x0, y0) é igual ao ângulo entre

C ′1 e C ′2 em módulo e sentido, dizemos que Ψ é uma transformação

conforme em (x0, y0).

Teorema 1:

Sejam D ⊂ C um aberto, f : D ⊂ C 7→ C, w = f(z) uma transfor-

mação holomorfa em z0 ∈ D tal que f ′(z0) 6= 0 então a tangente a

qualquer curva C passando por z0 é girada de um ângulo igual a

arg(f ′(z0)).

Teorema 2:

Sejam D ⊂ C um aberto, f : D ⊂ C 7→ C, w = f(z) uma trans-

formação holomorfa em z0 ∈ D tal que f ′(z0) 6= 0 então, o ângulo

201


entre duas curvas C1 e C2 passando por z0 é preservado pela trans-

formação w = f(z) em módulo e direção.

Definição:

Uma transformação fracionária

w = f(z) =az + b

cz + d

tal que ad− bc 6= 0 é dita uma transformação de Möbius.

Definição:

Seja f : C 7→ C uma transformação. Dizemos que z ∈ C é um

ponto fixo de f(•) se, somente se z = f(z).

PRÓXIMA AULA

Em nossa próxima aula veremos algumas aplicações das trans-

formações conformes. Em particular veremos aplicações ao escoa-

mento potencial de fluidos.

ATIVIDADES


ATIV. 14.1. que a transformação w = f(z) onde f(z) = eθ0ııız − z0

z − z0,

z0 é um ponto do semiplano superior e θ0 ∈ R transforma o semi-

plano superior no plano z no exterior do disco unitário no plano w .


exemplos acima, eles lhes servirão de guia.

202


14ATIV. 14.2. Seja f(z) =z + a

z + buma transformação fracionária.

Qual a relação entre a e b garante que a transformação tem apenas

um ponto fixo?


exemplo de ponto fixo, ele lhe servirá de guia.







ables and Applications Editora McGraw Hill, 2008



TIMONEY, Richard M. Riemann Mapping Theorem. http://www.

maths.tcd.ie/ richardt/414/414-ch7.pdf. Acessado em 01/06/2011.

203

AULA

15Transformações Conformes:Aplicações

META:

Aplicar transformações conformes.

OBJETIVOS:


Aplicar transformações conformes na determinação da distribuição

de velocidade em alguns escoamentos estacionários laminares planos.

PRÉ-REQUISITOS


Transformações Conformes: Aplicações

15.1 Introdução

Caros alunos concluímos aqui nosso curso de “Variáveis Com-

plexa” com “Algumas Aplicações das Transformações Conformes”.

Em particular faremos aplicações ao escoamento laminar, não vis-

coso e potencial de fluidos.

15.2 Problemas de Dirichlet e de Neumann

Vários problemas da Física e da Engenharia são modelados ma-

tematicamente por equações diferenciais parciais às quais são as-

sociadas condições adicionais denominadas condições de contorno.

Denominamos “Problema de Valor de Contorno” ao problema de

determinar uma solução que satisfaça ao mesmo tempo as equações

diferenciais e as condições de contorno. Estaremos interessados

basicamente na solução de problemas cuja modelagem recaiam em

equações de Laplace bi-dimensional i.e. Problemas onde desejamos

determinar uma função u(x, u) que satisfaça a equação de Laplace:

∂u

∂x+∂u

∂y= 0

no interior de uma região B sujeita a certas condições na fron-

teira ∂B. Os problemas de Dirichlet e de Neumann podem ser

resolvidos em uma região B simplesmente conexa que, através de

aplicações conformes, possam ser transformadas na região limi-

tada pelo semi-plano superior ou o círculo unitário. Neste caso é

muito útil o teorema da transformação de Riemmann enunciado

sem demonstração na aula anterior. As idéias por trás da solução

de tais problemas são:

206


15i) Usar uma aplicação conforme que leve a região B no semi-

plano superior ou o círculo unitário.

ii) Resolver o problema no semi-plano superior ou no círculo

unitário. Uma vez resolvidos a tarefa principal recai em de-

terminar a transformação conforme adequada citada no ítem

anterior.

iii) Usar a solução obtida (semi-plano ou círculo unitário) para

resolver o problema original na região B usando a inversa da

aplicação conforme.

O processo descrito baseia-se nos seguintes teoremas:

Teorema 15.1. Seja B uma região simplesmente conexa e f :

B 7→ C holomorfa tal que f ′(z) 6= 0∀z ∈ B então existe uma única

função f−1 : Img(f) 7→ B.

OBS 15.1. Este teorema assegura que tanto f(•) quanto f−1(•)

são aplicações conformes. Sua demonstração não será feita aqui.

Os interessados poderão busca-la em outras referências ou adaptar

o teorema da função inversa no caso especial de R2, para o plano

complexo.

Teorema 15.2. Sejam Bz e Bw abertos simplesmente conexos dos

plano z e plano w respectivamente e f : Bz 7→ Bw uma aplicação

conforme tal que f ′(z) 6= 0∀z ∈ Bz então se Φ é harmônica em

Bw, Φ f é harmônica em Bz.

A demonstração deste teorema segue imediatamente do seguinte

teorema:

207


Teorema 15.3. Sejam w = u + vııı = f(z) = f(x + yııı) analítica

onde f ′(z) 6= 0 então:

∂2Φ

∂x2+∂2Φ

∂y2= |f ′(z)|2

(∂2Φ

∂u2+∂2Φ

∂v2

)PROVA: Podemos escrever x = x(u, v) e y = y(u, v) desta forma

Φ(x, y) = Φ(x(u, v), y(u, v)). Usando a regra da cadeia temos:

∂Φ

∂x=∂Φ

∂u

∂u

∂x+∂Φ

∂v

∂v

∂xe∂Φ

∂y=∂Φ

∂u

∂u

∂y+∂Φ

∂v

∂v

∂yPara a segunda derivada, usando a regra da cadeia a derivada de

um produto, temos:

∂2Φ

∂x2=∂Φ

∂u

∂2u

∂x2+

∂

∂x

(∂Φ

∂u

)∂u

∂x+∂Φ

∂v

∂2v

∂x2+

∂

∂x

(∂Φ

∂v

)∂v

∂x

∂2Φ

∂x2=∂Φ

∂u

∂2u

∂x2+∂u

∂x

(∂

∂u

(∂Φ

∂u

)∂u

∂x+

∂

∂v

(∂Φ

∂u

)∂v

∂x

)+∂Φ

∂v

∂2v

∂x2+∂u

∂x

(∂

∂u

(∂Φ

∂v

)∂u

∂x+

∂

∂v

(∂Φ

∂v

)∂v

∂x

)=∂Φ

∂u

∂2u

∂x2+∂u

∂x

(∂2Φ

∂u2

∂u

∂x+

∂2Φ

∂v∂u

∂v

∂x

)+∂Φ

∂v

∂2v

∂x2+∂u

∂x

(∂2Φ

∂u∂v

∂u

∂x+∂2Φ

∂v2

∂v

∂x

)

Do mesmo modo, calculando∂2Φ

∂y2temos:

∂2Φ

∂x2=∂Φ

∂u

∂2u

∂y2+∂u

∂y

(∂2Φ

∂u2

∂u

∂y+

∂2Φ

∂v∂u

∂v

∂y

)+∂Φ

∂v

∂2v

∂y2+∂u

∂y

(∂2Φ

∂u∂v

∂u

∂y+∂2Φ

∂v2

∂v

∂y

)

Somando∂2Φ

∂x2com

∂2Φ

∂y2temos:

208


15∂2Φ

∂x2+∂2Φ

∂y2=∂Φ

∂u

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)+∂Φ

∂v

(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

)+∂2Φ

∂u2

[(∂u

∂x

)2

+

(∂u

∂y

)2]

+∂2Φ

∂v2

[(∂v

∂x

)2

+

(∂v

∂y

)2]

+ 2∂2Φ

∂u∂v

(∂u

∂x

∂v

∂x+∂u

∂y

∂v

∂y

)Como w = u+ vııı = f(z) é analítica temos que u e v satisfazem as

equações de Cauchy-Riemann:∂u

∂x=∂v

∂ye∂v

∂x= −∂u

∂y. Daí, temos:

∂u

∂x

∂v

∂x+∂u

∂y

∂v

∂y=∂v

∂y

∂v

∂x− ∂

v∂y∂v

∂x= 0. O que elimina a última

parte da equação acima e temos:

∂2Φ

∂x2+∂2Φ

∂y2=∂Φ

∂u

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)+∂Φ

∂v

(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

)+∂2Φ

∂u2

[(∂u

∂x

)2

+

(∂u

∂y

)2]

+∂2Φ

∂v2

[(∂v

∂x

)2

+

(∂v

∂y

)2]

Por outro lado, u e v são também são harmônicas logo:∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0 e

∂2v

∂x2+∂2v

∂y2= 0, o que elimina os dois primeiros

termos da equação e temos:

∂2Φ

∂x2+∂2Φ

∂y2=∂2Φ

∂u2

[(∂u

∂x

)2

+

(∂u

∂y

)2]

+∂2Φ

∂v2

[(∂v

∂x

)2

+

(∂v

∂y

)2]

Usando as equações de Cauchy-Riemann∂u

∂x=∂v

∂ye∂v

∂x= −∂u

∂ytemos:∂u

∂x

∂v

∂x+∂u

∂y

∂v

∂y=∂v

∂y

∂v

∂x− ∂

v∂y∂v

∂x= 0. O que elimina a última

209


parte da equação acima e temos:

(∂u

∂x

)2

+

(∂u

∂y

)2

=

(∂v

∂x

)2

+

(∂v

∂y

)2

=

(∂u

∂x

)2

+

(∂v

∂x

)2

= |f ′(z)|2

E a equação acima toma a forma:

∂2Φ

∂x2+∂2Φ

∂y2= |f ′(z)|2

(∂2Φ

∂u2+∂2Φ

∂v2

)

Teorema 15.4. Sejam Bz e Bw abertos simplesmente conexos dos

plano z e plano w respectivamente e f : Bz 7→ Bw uma aplicação

conforme tal que f mapeia ∂Bz em ∂Bw então se Φ satisfaz:

Φ(u, v) = c, ∀(u, v) ∈ Bw ou∂Φ

∂~n~n~n(u, v) = 0, ∀(u, v) ∈ ∂Bw

Φ f satisfaz:

(Φf)(x, y) = c, ∀(x, y) ∈ Bz ou∂(Φ f)

∂~n~n~n(x, y) = 0, ∀(x, y) ∈ ∂Bz

15.2.1 Problemas de Dirichlet

Vejamos a definição:

Definição 15.1. O problema de Dirichlet consiste em determinar

uma função Φ(x, y) contínua com derivadas parciais contínuas que

satisfaçam: ∂Φ

∂x+∂Φ

∂y= 0 , (x, y) ∈ B

Φ(x, y) = c , (x, y) ∈ ∂B(15.206)

onde c ∈ R.

15.2.2 Problemas de Neumann

Vejamos a definição:

210


15Definição 15.2. O problema de Neumann consiste em determinar

uma função Φ(x, y) contínua com derivadas parciais contínuas que

satisfaçam: ∂Φ

∂x+∂Φ

∂y= 0 , (x, y) ∈ B

∂Φ

∂~n~n~n(x, y) = 0 , (x, y) ∈ ∂B

(15.207)

onde ~n~n~n é a normal unitária a ∂B orientada para fora de B e∂Φ

∂~n~n~na

derivada direcional de Φ na direção da normal.

15.2.3 Aplicações ao Escoamento de Fluidos

Muitos problemas de hidráulica, dinâmica dos fluidos ou aerodi-

nâmica dos fluidos podem ser resolvidos por métodos de variáveis

complexas, em especial com aplicações conformes, como veremos

nesta subseção. Para este fim são necessárias algumas conside-

rações que simplificaram tremendamente a nossa tarefa. As hipóte-

ses básicas são as seguintes:

i) O escoamento é bi-dimensional. As características básicas do

escoamento de fluidos são as mesmas independente do plano en

consideração. Isso permite aplicação dos teoremas na solução

de problemas de escoamento en redor de objetos.

ii) Escoamento estacionário. A velocidade do fluido depende ape-

nas das coordenadas espaciais (x, y) e não do tempo.

iii) Fluido não viscoso. O fluido não tem viscosidade, escoa sem

atrito.

iv) Escoamento potencial. A velocidade do fluido deriva de um

campo potencial i.e. se vx e vy são as componentes da veloci-

dade na direção x e na direção y respectivamente, existe uma

211


função Φ(x, y) tal que: vx =

∂Φ

∂x

vy =∂Φ

∂y

(15.208)

v) Fluido incompressível. Equivale a dizer que a densidade do

fluido é constante e o campo de velocidade satisfaz:

∂vx∂x

+∂vy∂y

(15.209)

OBS 15.2. Substituindo eqn 15.208 e eqn 15.209 temos:

∂2Φ

∂x2+∂2Φ

∂y2(15.210)

logo o potencial de velocidade Φ é uma função harmônica. Se Ψ

é a harmônica conjugada de Φ definimos o potencial complexo Ω

por: Ω(z) = Φ(x, y) + Ψ(x, y)ııı. Daí, temos:

Ω′(z) =dΩ

dz

=∂Φ

∂x+∂Ψ

∂xııı

=∂Φ

∂x− ∂Φ

∂xııı

= vx − vyııı

(15.211)

OBS 15.3. As famílias de curvas a um parâmetro: Φ(x, y) = α

Ψ(x, y) = β(15.212)

onde α e β são constante são denominadas curvas eqüipotenciais

e curvas de fluxo respectivamente. Em escoamentos estacionários

curvas de fluxo representam trajetória reais das partículas do flu-

ido.

212


1515.2.4 Escoamento em Torno de Obstáculos

Um problema importante em dinâmica dos fluidos é determinar

como um fluido, inicialmente escoando com velocidade constante

v0, é perturbado pela introdução de obstáculos. A intenção é obter

um potencial complexo da forma:

Ω(z) = v0z +G(z) (15.213)

tal que lim|z|→∞

G(z) = 0 garantindo que longe do obstáculo a veloci-

dade tem módulo constante.

u

w plano w

x

y plano z

a

Figura 15.1: Transformação f(z) = z +a2

z

Exemplo 15.1. Estudar o potencial complexo de escoamento Ω(z) =

v0

(z +

a2

z

).

SOLUÇÃO: Pela figura 15.1 a transformação conforme f(z) =

z+a2

zleva o exterior do semi-círculo de raio a centrado em z0 = 0

do semiplano superior do plano z no semiplano superior do plano

w. Portanto podemos usa-la para descrever o escoamento de um

fluido incompressível, não viscoso, estacionário em torno do semi-

círculo. Daí, fazendo z = reθııı podemos reescrever o potencial

213


complexo na forma:

Ω(z) = Φ + Ψııı

= v0

(reθııı +

a2

reθııı

)= v0

(r +

a2

r

)cos(θ) + v0

(r − a2

r

)sin(θ)ııı

(15.214)

De eqn 15.214 temos:Φ(r, θ) = v0

(r +

a2

r

)cos(θ)

Ψ(r, θ) = v0

(r − a2

r

)sin(θ)

(15.215)

Então as curvas Ψ(r, θ) = β (ver figura 15.2) representam as

linhas de corrente i.e. as trajetórias reais das partículas do fluido.

x

y

Figura 15.2: Linhas de corrente

Por outro lado, derivando o potencial complexo Ω para obter a

velocidade complexa temos:

V = Ω′(z)

= v0

(1− a2

z2

)= v0

(1− a2

reθııı

)= v0

(1− a2

r2cos(θ)

)− v0a

2

2sin(θ)ııı

(15.216)

214


15distante do semi-círculo, limr→∞

V = v0 i.e. o fluido está escoando

na direção do semi-eixo real positivo com velocidade constante v0.

15.3 Conclusão

Na aula de hoje, vimos que é possível usar aplicações conformes

para resolver alguns tipos de problemas de escoamento de fluidos.

RESUMO


Problemas de Dirichlet e de Neumann

A solução de problemas de Dirichlet e de Neumann baseia-se nos

seguintes teoremas:

Teorema 1:

Seja B uma região simplesmente conexa e f : B 7→ C holomorfa

tal que f ′(z) 6= 0∀z ∈ B então existe uma única função f−1 :

Img(f) 7→ B.

Teorema 2:

Sejam Bz e Bw abertos simplesmente conexos dos plano z e plano

w respectivamente e f : Bz 7→ Bw uma aplicação conforme tal que

f ′(z) 6= 0∀z ∈ Bz então se Φ é harmônica em Bw, Φf é harmônica

em Bz.

Teorema 3:

Sejam Bz e Bw abertos simplesmente conexos dos plano z e plano

w respectivamente e f : Bz 7→ Bw uma aplicação conforme tal que

215


f mapeia ∂Bz em ∂Bw então se Φ satisfaz:

Φ(u, v) = c, ∀(u, v) ∈ Bw ou∂Φ

∂~n~n~n(u, v) = 0, ∀(u, v) ∈ ∂Bw

Φ f satisfaz:

(Φf)(x, y) = c, ∀(x, y) ∈ Bz ou∂(Φ f)

∂~n~n~n(x, y) = 0, ∀(x, y) ∈ ∂Bz

Definição: Problema de Dirichlet

O problema de Dirichlet consiste em determinar uma função Φ(x, y)

contínua com derivadas parciais contínuas que satisfaçam:∂Φ

∂x+∂Φ

∂y= 0 , (x, y) ∈ B

Φ(x, y) = c , (x, y) ∈ ∂B(15.217)

onde c ∈ R.

Definição: Problema de Neumann

O problema de Neumann consiste em determinar uma função Φ(x, y)

contínua com derivadas parciais contínuas que satisfaçam:∂Φ

∂x+∂Φ

∂y= 0 , (x, y) ∈ B

∂Φ

∂~n~n~n(x, y) = 0 , (x, y) ∈ ∂B

(15.218)

onde ~n~n~n é a normal unitária a ∂B orientada para fora de B e∂Φ

∂~n~n~na

derivada direcional de Φ na direção da normal.

PRÓXIMA AULA

Caros alunos esta é nossa última aula portanto, não haverá

próxima aula pois, esta é a última aula do nosso curso de “Var-

iáveis Complexa”. Espero que este curso tenha dado bons frutos.

216


15Ele é apenas um introdução ao maravilhoso mundo das “Variáveis

Complexas”. A Leitura complementar fornece material adicional

para quem desejar mais informações.

ATIVIDADES


ATIV. 15.1. Considere o potencial complexo de escoamento Ω(z) =

v0

(z +

a2

z

)e determine os pontos de estagnação do fluido.

Comentário: Lembre-se que os pontos de estagnação em um

escoamento são pontos onde a velocidade complexa é nula.

ATIV. 15.2. Considere o potencial complexo de escoamento Ω(z) =

v0

(z +

a2

z

)e mostre que as curvas aeıııt, t ∈ [0, π], t, t ∈ (−∞,−a]

e t, t ∈ [a,∞) são linhas de corrente.

Comentário: Volte ao exemplo e estude a equação das linhas de

corrente.








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