LIVRO2 CAP1-Laje Nervurada

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ESTRUTURAS DED CONCRETO ARMADO LIVRO 2 ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO Capítulo 1 –Pavimentos de Edifícios com lajes nervuradas 1 1 1.1 INTRODUÇÃO O pavimento de uma edificação, devido a sua grande superfície, é, normalmente, a parte da estrutura que mais consome material. Assim, projetar um pavimento, por exemplo, com menos um centímetro na altura da laje pode conduzir a uma economia considerável. Por outro lado a busca por menores dimensões das estruturas do pavimento tem levado ao uso de concretos cada vez mais resistentes e também em melhorar os processos de cálculo. Entre estas melhorias pode-se afirmar que o cálculo de pavimentos de edificações como um todo já é realidade obtendo-se, em princípio, respostas mais próximas da realidade principalmente no que concerne o estado de deformação do mesmo. Isto se dá devido ao grande avanço em programas de computadores além do acúmulo do conhecimento desenvolvido em modelagem de estruturas e comportamento das mesmas Apesar de todo avanço existente no desenvolvimento de programas cabe sempre ao projetista projetar a estrutura e para tanto precisa conhecer com certa profundidade o comportamento estrutural da mesma e fazer previsões de dimensões para que o desenvolvimento do projeto auxiliado por um programa de computador resulte em uma estrutura segura, econômica, racional, funcional e econômica. Assim, além das condições no estado limite último (ELU) pode-se ter como preponderante a verificação do estado limite de serviço (ELS) principalmente o estado de deformação excessiva sendo preciso neste caso considerar além da fissuração do concreto o efeito da fluência. Neste capítulo são estudadas as lajes de concreto armado com nervuras, pois representam um avanço em relação às maciças por necessitarem, em geral, menor quantidade de material principalmente quando os vão são grandes. Será dada ênfase nas moldadas no local, em uma ou duas direções. Procura-se mostrar o funcionamento dos pisos constituídos destes elementos e apresentam-se os principais tipos deste sistema, as prescrições normativas, os modelos de cálculo, indicações de projeto e finalmente alguns exemplos. 1.2 DEFINIÇÃO Segunda o item 14.7.7 da NBR 6118 (2003) as “lajes nervuradas são lajes moldadas no local ou com nervuras pré-moldadas, cuja zona de tração é constituída por nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte”. A idéia é relativamente simples: quando se tem um vão de grande dimensão as lajes maciças acabam, pelo menos no ELU, apresentando pequena região de concreto comprimido (será mostrado no item 1.4) e, portanto há muito concreto abaixo da linha neutra que nesta situação acaba não ajudando na resistência à flexão, portanto nada mais racional do que substituí-lo por material inerte ou simplesmente moldar através de forma uma região tracionada composta apenas de nervuras. Com a definição da Norma pode-se já de antemão definir dois tipos de lajes nervuradas a pré-fabricadas e as moldadas no local. PAVIMENTOS DE EDIFÍCIOS COM LAJES NERVURADAS CAPÍTULO 1

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ESTRUTURAS DED CONCRETO ARMADO LIVRO 2 ROBERTO CHUST CARVALHO / JASSON R. FIGUEIREDO FILHO

Capítulo 1 –Pavimentos de Edifícios com lajes nervuradas

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1.1 INTRODUÇÃO

O pavimento de uma edificação, devido a sua grande superfície, é, normalmente, a parte da estrutura que mais consome material. Assim, projetar um pavimento, por exemplo, com menos um centímetro na altura da laje pode conduzir a uma economia considerável. Por outro lado a busca por menores dimensões das estruturas do pavimento tem levado ao uso de concretos cada vez mais resistentes e também em melhorar os processos de cálculo. Entre estas melhorias pode-se afirmar que o cálculo de pavimentos de edificações como um todo já é realidade obtendo-se, em princípio, respostas mais próximas da realidade principalmente no que concerne o estado de deformação do mesmo. Isto se dá devido ao grande avanço em programas de computadores além do acúmulo do conhecimento desenvolvido em modelagem de estruturas e comportamento das mesmas

Apesar de todo avanço existente no desenvolvimento de programas cabe sempre ao projetista projetar a estrutura e para tanto precisa conhecer com certa profundidade o comportamento estrutural da mesma e fazer previsões de dimensões para que o desenvolvimento do projeto auxiliado por um programa de computador resulte em uma estrutura segura, econômica, racional, funcional e econômica.

Assim, além das condições no estado limite último (ELU) pode-se ter como preponderante a verificação do estado limite de serviço (ELS) principalmente o estado de deformação excessiva sendo preciso neste caso considerar além da fissuração do concreto o efeito da fluência.

Neste capítulo são estudadas as lajes de concreto armado com nervuras, pois representam um avanço em relação às maciças por necessitarem, em geral, menor quantidade de material principalmente quando os vão são grandes. Será dada ênfase nas moldadas no local, em uma ou duas direções. Procura-se mostrar o funcionamento dos pisos constituídos destes elementos e apresentam-se os principais tipos deste sistema, as prescrições normativas, os modelos de cálculo, indicações de projeto e finalmente alguns exemplos.

1.2 DEFINIÇÃO

Segunda o item 14.7.7 da NBR 6118 (2003) as “lajes nervuradas são lajes moldadas no local ou com nervuras pré-moldadas, cuja zona de tração é constituída por nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte”. A idéia é relativamente simples: quando se tem um vão de grande dimensão as lajes maciças acabam, pelo menos no ELU, apresentando pequena região de concreto comprimido (será mostrado no item 1.4) e, portanto há muito concreto abaixo da linha neutra que nesta situação acaba não ajudando na resistência à flexão, portanto nada mais racional do que substituí-lo por material inerte ou simplesmente moldar através de forma uma região tracionada composta apenas de nervuras.

Com a definição da Norma pode-se já de antemão definir dois tipos de lajes nervuradas a pré-fabricadas e as moldadas no local.

PAVIMENTOS DE EDIFÍCIOS COM LAJES NERVURADAS

CAPÍTULO 1

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Capítulo 1 –Pavimentos de Edifícios com lajes nervuradas

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As lajes pré-fabricadas dividem-se em nervuradas com vigotas, lajes alveolares e duplo tê. As lajes pré-fabricadas podem ser com trilhos em concreto ou com treliça. A figura 1.1 mostra as lajes em questão.

e) Armação – laje treliça

FIGURA 1.1. Seções transversais de lajes pré-moldadas: a) tipo π; b) alveolar; c) tipo trilho; d) tipo treliça; e) amadura da nervura da laje tipo treliça

A laje pré-fabricada pode ser feito com trilhos de concreto, com treliça e protendidos. Os dois primeiros tipos já forem tratados no volume 1 (CARVALHO E FIGUEIREDO [2004]) e devem seguir das especificações aqui consideradas alem da das normas NBRsss. A laje composta por nervuras de concreto protendido chamadas de trilhos (o formato da seção transversal da nervura e de um trilho de trem se assemelham) e a seção transversal pode ser vista na figura 1.2.

Figura 1.2- Seção Transversal de Laje pré-fabricada com vigotas protendidas (figura 3.1.1b da NBR 14859).

Em relação as lajes nervuradas moldadas no local no item seguinte serão definidas e tipificadas os principais tipos delas.

1.3 DESCRIÇÃO DAS LAJES NERVURADAS MOLDADAS NO LOCAL

Como já se disse anteriormente procura-se com a solução de laje nervurada diminuir o consumo de concreto. Porem, para ser mais econômica que a laje maciça a solução deve evitar um alto consumo de fôrmas e, portanto evitar a confecção do molde de todas as nervuras. Este inconveniente é superado, por exemplo, com a utilização de moldes reaproveitáveis como o mostrado na Figura 1.3. Neste caso são usados moldes de plástico reforçado que suporta não só

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peso do concreto fresco assim como o peso da armadura e equipamentos e homens andando sobre sua superfície. Assim o molde serve de forma e bastará o uso de barretes, travessas e pontaletes para montar o escoramento do mesmo. As arestas, que ficam em contato com o concreto, dos moldes têm as arestas de formato arredondado. O corpo do molde plástico tem o formato tronco cônico permitindo uma desforma sem muito esforço. Este equipamento pode ser alugado e permite muitos reaproveitamentos. O único inconveniente que resta é o aspecto do teto formado por este tipo de lajes que pode não ser agradável. Assim, em ambientes em que se deseja um acabamento estético melhor podem-se usar placas de gesso para tornar a superfície inferior totalmente plana.

molde

barretes horizontais

travessa

pontaletechapuz

aba

Figura 1.3- Moldes plásticos para execução de lajes nervuradas e esquema de escoramento.

Outras soluções podem ser obtidas baseadas no uso de um tablado de madeira, como no caso da laje maciça, substituindo-se apenas parte do concreto tracionado por materiais mais baratos e mais leves. Na figura 1.4 vêm-se desenhos de seções transversais esquemáticas desses arranjos. Nestas situações os materiais de enchimento ficam incorporados à laje, como os blocos de concreto, concreto celular e cerâmico (Figura 2.5b, c e d) ou com a utilização de blocos de EPS. Em todos estes casos persiste, em princípio, a execução de um tablado de madeira para depois serem colocados sobre ele os materiais de enchimento, armadura e finalmente executar a concretagem das nervuras e capa. Alem de se evitar as formas nas faces laterais das nervuras e face inferior da mesa obtém-se uma superfície inferior plana, melhorando o aspecto final de acabamento. Deve-se apenas tomar cuidado para evitar que os elementos inertes incorporados no concreto não se desloquem durante a concretagem.

FIGURA 1.4 Seções transversais de lajes nervuradas com as formas e materiais empregados:a) isopor b) blocos de concreto; b) blocos de concreto celular; d) tijolos

cerâmicos furados.

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A colocação de tubulação elétrica embutida nas lajes nervuradas é mais difícil que nas maciças. Como conseqüência é usual, nesses casos, a opção por sistemas de instalação que eliminem ou minimizem este tipo de tubulação.

As nervuras, juntamente com as mesas têm, na seção transversal, a forma de T, sendo portanto bastante eficientes para resistir aos momentos fletores positivos (que tracionam a região inferior que tem área pequena – nervura – e comprimem a superior que tem área maior – mesa) o que já não ocorre para os momentos fletores negativos, pois a situação é exatamente inversa (compressão da nervura e tração da mesa). Desta forma, como diretriz de projeto deve-se admitir que as lajes nervuradas funcionem sem engastes totais em seu contorno, reduzindo os momentos negativos.

A laje nervurada normal é aquela em que as nervuras são inferiores, possuindo uma mesa superior de concreto (figura 1.5). Nesta, os espaços vazios entre as nervuras, criados com a retirada do concreto, podem ser ocupados por algum material de enchimento sem função estrutural e que irá permanecer no local, ou podem permanecer livres. Esta é a de uso mais freqüente.

mesa

nervura

mesa

nervura

mesa

nervura FIGURA 1.5. Laje nervurada normal (direta)

Na laje nervurada invertida as nervuras são superiores, existindo uma mesa inferior de concreto (figura 1.6). Nesta, os espaços vazios entre as nervuras normalmente permanecem livres, com as nervuras aparentes, exigindo portanto a necessidade de fôrma para moldar tanto a mesa como as nervuras. A utilização deste tipo de laje é restrita, sendo recomendada apenas para casos de lajes em balanços. Por ser de difícil execução, este tipo de laje está praticamente em desuso atualmente.

nervura

mesa

nervura

mesa

nervura

mesa FIGURA 1.6. Laje nervurada invertida

Na laje nervurada dupla as nervuras ficam situadas entre duas mesas de concreto, uma inferior e a outra superior, conforme mostra a figura 1.7. Nos espaços entre as nervuras podem ser colocados materiais de enchimento, servindo simultaneamente de fôrma para as nervuras e para a mesa superior, ou então estes podem permanecer livres, sendo necessário nesse caso a utilização de

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fôrmas, as quais serão perdidas. Sua execução é difícil e muito trabalhosa. A exemplo da laje nervurada invertida, hoje, este tipo de laje está praticamente em desuso.

mesa inferior

nervura

mesa superior

mesa inferior

mesa superior

nervura

mesa inferior

mesa superior

nervura

FIGURA 1.7. Laje nervurada dupla

1.4 COMPORTAMENTO ESTRUTURAL DAS LAJES NERVURADAS

Para ilustrar o uso das lajes nervuradas pode-se comparar o comportamento estrutural de lajes maciças e nervuradas. A laje maciça apresenta um comportamento estrutural bastante eficiente, principalmente, quando se deseja projetar pavimentos com forma, em planta, retangular e com as duas dimensões da mesma ordem de grandeza. Considerando, por exemplo, um pavimento quadrado em que se projeta uma laje maciça com os lados de dimensões iguais a “b” e simplesmente apoiada (a rotação nas bordas é suposta livre, não impedida) em paredes (deslocamentos impedidos na vertical), pode-se a partir da carga p (uniformemente distribuída) atuante calcular o momento atuante e flecha usando a teoria de placa de pequena espessura, cuja solução é amplamente conhecida. Usando as tabelas encontradas também em CARVALHO e FIGUEIREDO (2004)- Volume 1- obtêm-se os valores do momento fletor máximo (por metro) e a flecha são dados respectivamente pelas expressões 1.1 e 1.2:

mx= 0,0441pb2

1.1

a=0,0467 3

4

Ehpb

1.2

Com:

mx- valor do momento fletor na direção x por faixa de um metro da laje

p-carga uniformemente distribuída por superfície

b- dimensão da laje em planta

a- valor da flecha da placa

E- módulo de elasticidade do concreto

h- espessura da placa

Considerando que o mesmo piso fosse executado com elementos de concreto armado da mesma espessura que a placa, porém cada elemento com a largura de um metro e independentes, por exemplo, com elementos pré-moldados, os valores do momento fletor e flecha podem ser

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obtidos pela teoria de viga. Assim cada elemento com largura de um metro, espessura h e valor de vão igual a b terá os valores de momento e flecha dados pelas expressões 1.3 e 1.4

mv= 0,125 pb2

1.3

av =0,15625 3

4

Ehpb

1.4

Com:

mv - valor do momento fletor na viga

p- carga uniformemente distribuída por metro na viga

b- valor do vão da viga

av- valor da flecha da viga

h- altura da viga

Como se vê a laje, por ter o comportamento de placa, ou seja, um elemento que apresenta ações significativas em duas direções, está submetida, a esforços solicitantes de menor intensidade que o elemento do tipo viga, embora necessite de armadura disposta em duas direções. Também o estado de deformação é menor que o da viga e principalmente o valor da flecha da laje que é, cerca de apenas 30% do da viga (considerando apenas o cálculo linear, sem fissuração e fluência)..

Estas vantagens diminuem bastante quando um dos lados do pavimento é igual a duas vezes o outro. Nesta situação os valores do momento e da flecha (considerando b o valor do menor lado) são apresentados na tabela 1.1.

TABELA 1.1 – Valores de Momento fletor e flecha para uma viga e uma placa que compõem um piso de lados iguais a: b e 2b

Placa (laje) Viga

MOMENTO mx= 0,10 pb2 mv= 0,125 pb2

FLECHA a=0,1168 3

4

Ehpb av =0,15625 3

4

Ehpb

Considera-se inclusive que no limite, quando um lado da placa for muito maior que o outro, o comportamento da mesma passa a ser de uma viga, ou uma laje armada em uma direção, ou seja, os esforços na menor direção passam a ser praticamente igual aos obtidos com os da teoria de viga.

Exatamente pela vantagem da laje maciça apresentar menor deformação e esforços relativamente pequenos é que durante muito tempo optou-se por projetar pisos com este sistema estrutural. A execução dos mesmos também é bastante simples e rápida depois de montado o tabuleiro de formas. Em relação ao custo elevado da forma, devido à escassez da madeira, procura-se fazer projetos, sempre que possível, de edificações compostas de pavimentos tipos, ou seja,

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pavimentos com a mesma geometria para poder se usar a mesma forma várias vezes diminuindo seu custo final.

De qualquer forma para pequenos vãos, pelo menos no estado limite último, boa parte do concreto da laje maciça pouco contribui na resistência à flexão.

Para que isto fique claro considerndo-se que a laje maciça quadrada descrita anteriormente tenha lado de 4 m, espessura de 7 cm (ver figura 1.8 agora apoiada em vigas embora considere-se), e esteja submetida a uma ação de carga acidental de 2 kN/m2. Considerando estes valores chega-se a um momento máximo igual à

mx=(0,07x25+2). 42.0,0441=2,646kN.m/m.

.

FIGURA 1.8 Pavimento com forma em planta quadrada solução laje maciça

Considerando um concreto fck=20 MPa, aço CA50 e altura útil de 4,7 cm e usando o formulário do capítulo 3 do livro de CARVALHO e FIGUEIREDO (2004), obtém-se:

KMD = 078,0

4,130000.047,01

64,24,1. 2

2 =×

×=

⋅ cd

d

fdbM

que conduz aos valores de εs=1%, KZ=0,952 e

KX=0,12

Assim o valor da armadura é dado por:

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As= 90,1

15,150047,0952,0

64,24,1.

=××

×=

⋅ s

d

fdKZM

cm2

para valor da distância da linha neutra e tem-se:

x= KX . d = 0,12 x 4,7 = 0,564 cm

A quantidade de armadura é pequena, porém é preciso lembrar que na outra direção será necessária a mesma quantidade de armadura, ou seja, é como se usasse 3,80cm2 mas com apenas 5,6 mm de concreto comprimido.

A partir dos resultados anteriores surge a idéia de considerar nervuras, ou seja, retirar ou substituir parte da região de concreto abaixo da linha neutra por material leve. Imaginando a seção indicada na figura 1.9 (usando-se neste caso formas para evitar o concreto na parte inferior) e considerando portanto nervuras em uma só direção.

FIGURA 1.9 Pavimento com forma quadrada solução com laje nervurada em uma direção

O momento fletor pode ser calculado com o modelo que considera cada nervura independentemente (ver explicação no capítulo 2 de CARVALHO e FIGUEIREDO [2004]) ou uma viga de largura de um metro:

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área de concreto de 0,0364 m2 contra 0,07 m2 da laje maciça

momento de mv=(0,0364.25+2) 0,125.42 =5,82 kN.m,

Considerando a linha neutra na mesa (toda a mesa trabalha como largura colaborante)

KMD = 172,0

4,130000.047,01

82,54,1. 2

2 =×

×=

⋅ cd

d

fdbM

que conduz aos valores de εs=0,87%, KZ=0,885 e

KX=0,286

para valor da distância da linha neutra e tem-se:

x= KX . d = 0,286x 4,7 = 1,34 cm <hf =3 cm (linha neutra passa na mesa!)

Assim o valor da armadura é dado por:

As= 50,4

15,150047,0885,0

82,54,1.

=××

×=

⋅ s

d

fdKZM

cm2/m

Usando a solução de laje nervurada unidirecional haveria uma economia de concreto, mas com um ligeiro aumento do consumo da armadura. Na medida que o vão for aumentando ou então que o pavimento a ser projetado tiver uma relação entre os lados maior que dois o uso de um sistema nervurado irá se tornar mais interessante sob do ponto de vista econômico e também por conduzir a um sistema com menor peso próprio.

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FIGURA 1.10 Pavimento com forma quadrada solução com laje nervurada em duas direções

Nas figuras 1.8 e 1.9 são apresentadas as plantas do piso de 4x4m com a solução em laje maciça e nervurada em uma direção. Para melhorar o funcionamento da laje nervurada pode-se optar por uma laje nervurada nas duas direções como a mostrada na figura 1.10 que teria como inconveniente apenas a maior dificuldade na execução das nervuras e um consumo maior de concreto.

Portanto a laje nervurada é um sistema estrutural onde se procura afastar o concreto da seção transversal da linha neutra aumentado a altura da laje o que proporciona um maior braço de alavanca, formado um conjunto de nervuras, em uma ou duas direções com espaçamentos uniformes entre si. Para fins de análise, o sistema pode ser comparado a uma grelha de barras uniformemente espaçadas.

Na discussão feita anteriormente, em que se mostrou a vantagem de uma laje nervurada em relação à maciça, todo o raciocínio foi desenvolvido em torno do estado limite último. Na questão da deformação a laje nervurada apresenta, se considerarmos a peça trabalhando no estádio I (sem fissuração), uma flecha maior. Assim, de uma maneira geral quando se projeta uma laje nervurada considera-se sempre uma altura maior que a correspondente maciça para que a inércia final da seção transversal confira uma flecha adequada. Em outras palavras em um pavimento quadrado de lado de 4m, no caso de se projetar uma laje maciça usa-se uma espessura final de 7 cm. Para a solução de laje nervurada unidirecional pode-se usar nervuras espaçadas de, por exemplo, 50 cm, com largura de 8 cm, altura final de 13 cm e altura de capa de 3 cm como indica a figura 1.11.

FIGURA 1.11 Seções transversais para utilizar em um pavimento quadrado com solução com

laje maciça e nervurada em uma direção (cotas em cm).

1.5 VANTAGENS E DESVANTAGENS DAS LAJES NERVURADAS

As lajes nervuradas apresentam várias vantagens algumas das quais merecem ser destacadas:

• permitem vencer grandes vãos, liberando espaços, o que é vantajoso em locais como garagens, onde os pilares, além de dificultarem as manobras dos veículos, ocupam regiões que serviriam para vagas;

• podem ser construídas com a mesma tecnologia empregada nas lajes maciças.

• são versáteis nas aplicações, podendo ser utilizadas em pavimentos de edificações comerciais, residenciais, educacionais, hospitalares, garagens, “shoppings centers”, etc.;

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• Gasta-se menos concreto e aço que outros sistemas similares diminuindo o peso próprio final e aliviando assim as fundações;

• pelas suas características (grande altura e pequeno peso próprio), são bastante adequadas para suportar cargas elevadas.

Como desvantagens pode-se citar:

• Dificuldade nas passagens de tubulações

• Resultam em alturas maiores aumentando a altura final do prédio ou de cada pé direito.

1. 6 PRESCRIÇÕES NORMATIVAS GEOMÉTRICAS

A NBR6118:2003 no seu item 13.2.4.2 prescreve as seguintes condições para as lajes nervuradas que estão indicadas na figura 1.12

a) Espessura da mesa (hf):

• Quando não houver tubulações horizontais embutidas, hf deve ser maior ou igual a 1/15 da distância entre nervuras e não menor que 3cm.

• Quando existirem tubulações embutidas de diâmetro máximo 12,5 mm, o valor mínimo absoluto de hf deve ser de 4cm.

b) Espessura das nervuras (b w):

• A espessura b w das nervuras não deve ser inferior a 5 cm.

• Não é permitido o uso de armadura de compressão em nervuras de espessura inferior a 8 cm.

c) Espaçamento entre nervuras

1) para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 cm, pode ser dispensada a verificação da flexão da mesa, e para a verificação do cisalhamento da região das nervuras, permite-se a consideração dos critérios de laje. 2) para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 65 cm e 110 cm, exige-se a verificação da flexão da mesa e as nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento como vigas; permite-se essa verificação como lajes se o espaçamento entre eixos de nervuras for até 90 cm e a largura média das nervuras for maior que 12 cm;

quando não houver tubulações horizontais embutidas

quando existirem tubulações embutidas de diâmetro 12,5mm

fh

fh ≥ 4 cm ⇒

a/15≥≥ 3 cm

5 cm aw≥b 5 cm

hf

wb ≥

fh

quando existirem tubulações embutidas de diâmetro 12,5mm

quando não houver tubulações horizontais embutidas

b ≥w a5 cm

⇒3 cm≥≥ a/15

⇒4 cm≥hf

hf

≥b w 5 cm

fh

quando existirem tubulações embutidas de diâmetro 12,5mm

quando não houver tubulações horizontais embutidas

b ≥w a5 cm

⇒3 cm≥≥ a/15

⇒4 cm≥hf

hf

≥b w 5 cm

FIGURA 1.12. Dimensões a observar na seção transversal de lajes nervuradas

(NBR 6118:2003)

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3) para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maior que 110 cm, a mesa deve ser projetada como laje maciça, apoiada na grelha de vigas, respeitando-se os seus limites mínimos de espessura.

Destaca-se que no texto da NBR 6118:1980 havia a recomendação que nas lajes nervuradas

em uma direção, moldadas no local, eram necessárias nervuras transversais sempre que houvessem cargas concentradas a distribuir ou quando o vão teórico fosse superior a 4 m, e exigia-se duas nervuras no mínimo se esse vão ultrapassasse a 6 m. Estas considerações não mais contempladas na NBR 6118:2003.

1.7 PROCESSO DE CÁLCULO E CONSIDERAÇÕES

Para efeito de cálculo considera-se que cada laje nervurada seja simplesmente apoiada em seu contorno, e no caso de lajes vizinhas, na região da face comum, deve ser colocada apenas uma armadura construtiva, negativa, para evitar fissuração exagerada da mesa de concreto.

Na figura 1.13 indica-se um trecho de piso composto de três lajes nervuradas (L1, L2 e L3) e como são consideradas estruturalmente quando discretizadas (isoladas), para serem calculadas.

FIGURA 1.13. Piso com lajes nervuradas e discretização das mesmas

Para que uma laje nervurada possa ser admitida contínua no contorno é necessário criar uma mesa de compressão inferior, porém nesse caso será necessário realizar a concretagem em pelo menos duas etapas. Outra solução é, simplesmente, eliminar, nas regiões do contorno engastadas, o material de enchimento, criando uma região maciça. Na figura 1.14 estão indicados cortes essas duas situações.

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FIGURA 1.14. Seções transversais junto ao apoio de lajes nervuradas engastadas

Em relação às condições de apoio, as lajes nervuradas moldadas no local podem estar apoiadas em paredes de concreto ou de alvenaria estrutural, em vigas ou diretamente em pilares (lajes nervuradas sem vigas).

.Como todos elementos de concreto armado as lajes nervuradas devem atender as condições previstas de norma do ELU (estado limites últimos) e ELS (estados limites de serviço).

No caso espécífico das lajes nervuradas os estado limites são verificados analisando-se o estado limite último de flexão que determinará a armadura longitudinal, o estado limite último de cisalhamento e os estados de serviço de deformação excessiva e fissuração. Os procedimentos nestes casos estão resumidos nos subitens seguintes.

1.7.1 Estado limite último de flexão

Será feito, como será visto, normalmente usando os preceitos do capítulo 3 do volume 1 (CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO [2004]). Assim, estipulado as condições geométrticas da seção transversal, obedecendo as condições mínimas geométricas do item anterior e buscando o tratamento do cisalhamento como lajes, passa-se a calcular a armadura longitudinal de flexão, pois as outras verificacões dependerão da taxa desta armadura.

1.7.2 Estado limite de serviço – Verificação da deformação excessiva Recomenda-se fazer em seguida a verificação de flexão a do estado de deformação excessiva para avaliar se a altura arbitrada possibilitará que a laje não se deforme muito, caso contrário é preciso aumentar-la.

A verificação do estado limite de deformação (item 19.3.1) deve ser efetuada segundo os critérios do item 17.3.2, considerando a possibilidade de fissuração (estádio II) e os efeitos da fluência do concreto,

Conforme o item 17.3.2, a verificação deve ser realizada através de modelos que considerem a rigidez efetiva das seções do elemento estrutural, o que significa considerar a presença da armadura, a existência de fissuras no concreto ao longo dessa armadura e as deformações diferidas no tempo.

Na NBR6118:2003 o conceito de deslocamento limite para verificação do estado limite de deformações excessivas foi ampliado. De acordo com esse novo conceito, os deslocamentos limites são valores práticos utilizados para verificação em serviço do estado limite de deformações excessivas dos elementos estruturais, e são classificados em quatro grupos básicos (item 13.3):

a) aceitabilidade sensorial: o limite é caracterizado por vibrações indesejáveis ou efeito visual desagradável. A limitação da flecha para prevenir essas vibrações, em situações especiais de utilização, deve ser realizada como estabelecido na seção 23 da norma;

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Capítulo 1 –Pavimentos de Edifícios com lajes nervuradas

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b) efeitos específicos: os deslocamentos podem impedir a utilização adequada da construção;

c) efeitos em elementos não estruturais: deslocamentos estruturais podem ocasionar o mau funcionamento de elementos que, apesar de não fazerem parte da estrutura, estão a ela ligados;

d) efeitos em elementos estruturais: os deslocamentos podem afetar o comportamento do elemento estrutural, provocando afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas. Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser considerados, incorporando-as ao modelo estrutural adotado.

Não existindo paredes sobre o pavimento faz-se a primeira verificação (aceitabilidade sensorial) na qual deve ser usada a combinação da carga quase permanente para a condição visual (ver anexo I) e a diferença entre a flecha da combinação rara com a permanente devido a carga acidental. Assim, as expressões a se empregar são apresentadas na tabela 1.2

TABELA 1.2-Verificações do estado limite de deformação excessiva

Aceitabilidade visual Vibrações sentidas no piso

Ação g1+g2+ψ2.q q

Flecha limite 250l

350l

Todas as fórmulas necessárias para o cálculo das flechas podem ser encontradas no ANEXO I.

Ainda segundo 17.3.2, a deformação real da estrutura depende também do processo construtivo e das propriedades dos materiais (principalmente do módulo de elasticidade e da resistência à tração) no momento de sua efetiva solicitação. Em face da grande variabilidade desses parâmetros, existe uma grande variabilidade das deformações reais, não se podendo, portanto esperar grande precisão nas previsões de deslocamentos por processos analíticos.

O efeito da fissuração no cálculo da flecha imediata é dado no item 17.3.2.1.1, e o cálculo da flecha adicional diferida no tempo, decorrentes das cargas de longa duração em função da fluência é dado no item 17.3.2.1.2. Estes temas foram tratados no capítulo 4 do Volume 1 (CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO [2004]) e durante os exemplos numéricos serão retomados..

1.7.3. Verificação ao cisalhamento. A verificação feita em seguida seria a do cisalhamento em que se procura, no caso de não

haver paredes sobre a laje, evitar o uso de estribos ou armadura transversal. Assim a verificação neste caso deve ser feita considerando o elemento como laje e verificando-se se a espessura da nervura é suficiente para evitar o uso de armadura transversal.

A verificação do efeito da força cortante está no item 19.4, e se aplica à lajes e elementos lineares com d5bw ⋅≥ , e serão aqui apresentadas as prescrições referentes às lajes submetidas à flexão simples.

1.7.3. a- Lajes sem armadura para força cortante

Segundo o item 19.4.1, as lajes maciças ou nervuradas (conforme 17.4.1.1.2-b), podem prescindir de armadura transversal para resistir aos esforços de tração oriundos da força cortante,

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Capítulo 1 –Pavimentos de Edifícios com lajes nervuradas

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quando a força cortante de cálculo ( SdV ) for menos ou igual à resistência de projeto ao cisalhamento ( Rd1V ), ou seja:

Rd1Sd VV ≤

ou colocando sob forma de tensões Rd1wd ττ ≤ com

db

V

w

d

⋅=wdτ (1.5) e

dbV

w

rd

⋅= 1

Rd1τ (1.6)

com Vd= Cortante máximo de cálculo atuante na nervura Vrdi= esforço cortante de cálculo resistido pelo concreto que é dada por

[ ] (MPa) db)ρ40(1,2kτV w1RdRd1 ⋅⋅⋅+⋅⋅=

que pode ser expressa por [ ] (MPa) )ρ40(1,2kτ 1RdRd1 ⋅+⋅⋅=τ (1.7) onde:

ctdRd f0,25τ ⋅=

c

infctk,ctd γ

ff = é a resistência de cálculo do concreto ao cisalhamento

ck3/2

21,0ck

3/2m,ctinf,ctk ff3,07,0f7,0f ⋅=⋅⋅=⋅= é a resistência característica à tração do

concreto na flexão, definido em 8.2.5 da norma;

k é um coeficiente que tem os seguintes valores:

• k = 1 para elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o apoio;

• k = (1,6 – d), não menor que 1, com d em metros, para os demais casos;

0,02 quemaior não , db

w

s11 ⋅= ;

s1A é a área da armadura de tração que se estende até não menos que necb,d l+ além da seção considerada; onde necb,l é o comprimento de ancoragem necessário, definido em 9.4.2.5 e figura 19.1 da norma (visto no capítulo 5 do volume 1);

wb é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d. Atendida a condição Rd1wd ττ ≤ não será necessário o uso de estribos. Caso contrário seria necessário verificar o esmagamento da biela de concreto e calcular a armadura transversal como será visto no item posterior, embora não seja uma boa técnica de projeto.

1.7.3b Lajes com armadura para força cortante

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Neste caso, segundo o prescrito no item 19.4.2, aplicam-se os critérios estabelecidos em 17.4.2, que trata da verificação do estado limite último de cisalhamento em elementos lineares, com as seguintes determinações complementares:

• para lajes com espessura superior a 35 cm, a resistência dos estribos pode ser considerada com o valor máximo de 435 MPa )f( ywd ;

• para lajes com espessura até 15cm, a resistência dos estribos pode ser considerada com o valor máximo de 250 MPa;

• para lajes com espessuras entre 15 cm e 35 cm, permite-se que a resistência dos estribos seja obtida interpolando-se linearmente entre os valores apresentados acima.

O cálculo de estribos e as demais verificações neste caso estão descrutas no capítulo 6 do volume 1 deste trabalho e as fórmulas correspondentes podem ser encontradas no ANEXO I deste livro.

1.7.4 Verificação do estado limite de fissuração Por último verifica-se se a s bitolas escolhidas para a armadura longitudinal estão

compatíveis com o estado de fissuração como requisito para assegurar a durabilidade do sistema. Neste caso é verificada se a abertura máxima de fissura é atendida.

A fissuração em elementos estruturais de concreto armado é inevitável, devido principalmente à baixa resistência do concreto à tração, e mesmo sob ações de serviço valores críticos de tensões de tração são atingidos. O controle da abertura de fissuras visa principalmente proteger as armaduras quanto à corrosão, de modo a não comprometer o bom desempenho e durabilidade da estrutura.

A fissuração deve ser verificada de acordo com os critérios dados no item 17.3.3, com os limites estabelecidos em 13.4.2. De maneira geral, fissuração que respeite esses limites (da ordem de 0,3 mm a 0,4 mm) não acarreta perda de durabilidade ou de segurança quanto aos estados limites últimos e são funções da agressividade do meio ambiente.

Por outro lado, conforme o item 17.3.3.2, o valor da abertura de fissuras pode sofrer influência de restrições às variações volumétricas da estrutura difíceis de serem avaliadas de forma suficientemente precisa. Além disso, essa abertura sofre também a influência das condições de execução da estrutura. Por essas razões os critérios para estimar a abertura de fissuras devem ser encarados como avaliações aceitáveis do comportamento geral do elemento, mas não garantem avaliação precisa da abertura de uma fissura específica.

Todo este assunto está amplamente discutido no capítulo 4 do volume 1 deste trabalho e também as formulas podem ser encontradas no anexo I.

1.8 ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO

Além das prescrições apresentadas acima, a NBR 6118/2003, no item 20.1, estabelece que a armadura secundária de flexão em lajes deve ser igual ou superior a 20% da armadura principal, devendo-se manter ainda um espaçamento entre barras de no máximo 33 cm, e que a emenda dessas barras deve respeitar os mesmos critérios de emenda das barras da armadura principal; no item 19.3.3.2, tabela 19.1, esta norma estabelece, para as lajes armadas em uma direção, que esta armadura, por metro, deve ser ainda superior a 0,9 cm².

Ainda de acordo com o item 20.1, os estribos em lajes nervuradas, quando necessários, não devem ter espaçamento superior a 20 cm.

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Capítulo 1 –Pavimentos de Edifícios com lajes nervuradas

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1.9 LAJES NERVURADAS EM UMA DIREÇÃO

Quanto à disposição em planta das nervuras, as lajes nervuradas moldadas no local são divididas em dois tipos: as nervuradas armadas em uma, e as armadas em duas direções. As armadas em uma direção apresentam normalmente nervuras na direção do menor vão, e nas armadas em duas direções as nervuras formam uma malha, quase sempre retangular. Nas armadas em uma direção, as nervuras têm comportamento estrutural de vigas simplesmente apoiadas como indica a NBR 6118:2003, no seu item 14.7.7, quando presecreve que as lajes nervuradas unidirecionais devem ser calculadas segundo a direção das nervuras e desprezadas a rigidez transversal e a rigidez à torção. No capítulo 2 do volume 1 deste trabalho ve-se uma simulação de cálculo de lajes nervuradas pré-moldadas em que se justifica este procedimento..

O modelo de cálculo empregado para lajes nervuradas em uma direção para flexão e verificação de flecha deve ser o de viga trabalhando independentemente com uma seção tranversal em T, e de lajes ou vigas para o cisalhamento, conforme seja o espaçamento entre as nervuras.

FIGURA 1.15 a) pavimento a ser executado; b) solução em laje nervurada em uma direção, a

nervura transversal apresentada na figura, segundo o novo texto da NBR6118:2003 não é mais obrigatória.

As lajes em uma direção são usadas quando se deseja executar um pavimento de concreto em que uma das direções é bem maior que a outra, mas a menor direção também é de valor elevado ou mesmo se a carga é de grande intensidade. Um exemplo típico pode ser observado na figura 1.15 em que as nervuras foram dispostas na direção dos 5 m.

1.10. LAJES NERVURADAS EM DUAS DIREÇÕES

.As lajes nervuradas em duas direções devem ser usadas quando a relação entre os dois lados não é superior a 2. Com isso há uma diminuição dos esforços, deformações e uma distribuição das ações em todo o seu contorno. Costuma-se dispor as nervuras (longarinas) paralelas às direções das bordas de contorno, e geralmente ortogonais entre si (figura 1.16). Alguns casos em que não se

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segue esta regra são encontrados na bibliografia mais antiga, embora certamente as vantagens estruturais obtidas não compensem as dificuldades encontradas na execução deste tipo de estrutura.

As lajes nervuradas bidirecionais segundo a NBR 6118:2003, item 14.7.7 (e ainda conforme a ABNT NBR:14859-2) podem ser calculadas, para efeito de esforços solicitantes, como lajes maciças porem um modelo de cálculo mais apropriado que pode ser empregado é o de grelha equivalente. As nervuras fazem o papel das barras, e pode-se considerar as vigas de contorno deformáveis verticalmente ou não. De qualquer maneira para o cálculo dos esforços e deslocamentos como grelha, devido ao grande número de nervuras, é necessário o emprego de um programa de computador. Nesse caso é necessário fornecer as características geométricas dos elementos e conhecer também as cargas atuantes. Em resumo deve-se ter uma estimativa dos esforços para pré-dimensionar a estrutura antes do cálculo computacional.

VIGAVIGAVIGA

VIGAVIGAVIGA

VIG

AV

IGA

VIG

A

VIG

AV

IGA

VIG

A

FIGURA 1.16. Laje nervurada em duas direções (nervuras ortogonais)

Assim, já ROCHA (1979), indicava que os esforços das lajes nervuradas podem ser calculados admitindo a laje como maciça, desde que o espaçamento entre as nervuras fosse inferior a 50 cm. O mesmo autor apresenta alguns outros processos simplificados de cálculo. Estes processos foram muito usados, inclusive por outros autores [LEONHARDT ( ), GUYON ( ), COURBON ( ), HAHN (1972) etc.] quando não se dispunha de recursos computacionais para cálculo dos esforços. Outras indicações importantes podem ser encontradas em LEONHARDT (1978).

Os esforços solicitantes obtidos através de laje maciça são, em geral, menores que os obtidos com o processo de grelha. Para corrigir esta imprecisão HAHN (1972) recomenda que os esforços encontrados considerando a laje como maciça (placa) devem ser multiplicados pelo coeficiente δ dado por:

ε+

ε⋅−

4

2

1651

1

sendo λ

==ε1

y

xl

l, com lx o menor vão da laje e ly o maior.

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Este valor, como será visto no exemplo, está muito a favor da segurança. Desta forma, recomenda-se que a laje nervurada seja calculada, para efeito de pré-dimensionamento, como maciça e, para efeito de detalhamento, como grelha.

Quando se emprega o modelo de cálculo de placa usado tabelas, admite-se implicitamente que as vigas do contorno são indeslocáveis, e, portanto a inércia das mesmas não é considerada. Ao empregar o modelo de grelha pode-se considerar as vigas de contorno como fazendo parte da estrutura e, assim, levar em conta a sua rigidez. Neste caso os resultados obtidos são bem diferentes, como pode ser visto em MAZILLI ( ) e CARVALHO ( ).

Chama-se a atenção de que tijolos furados podem ser usados para executar as lajes nervuradas em duas direções, mas devido aos seus furos haverá um consumo maior de concreto ou mão de obra adicional para tapá-los com jornal ou outro material.

, permite que as lajes nervuradas bidirecionais sejam calculadas, para efeito de esforços solicitantes, como lajes maciças, desde que algumas condições sejam observadas, conforme se verá adiante.

1.11 EXEMPLOS NUMÉRICOS Neste item são feitos alguns exemplos para mostrar como podem ser aplicados os preceitos tratados até então.

1.11.a Exemplo de laje nervurada unidirecional

Calcular e detalhar uma laje nervurada usando blocos cerâmicos de 9×19×19 cm (no caso 4 blocos), para o trecho de pavimento dado na figura 12. Considerar ambiente com agressividade fraca, carga de revestimento, contrapiso e piso igual a 1,0 kN/m2 e carga acidental de 3 kN/m2. Utilizar aço CA50, concreto com fck = 20 MPa e cobrimento das armaduras igual a 2,0 cm. Adotar para peso específico do tijolo 13 kN/m3.

Ly = 20mLx

= 5

mLy = 20m

Lx =

5m

Ly = 20mLx

= 5

m

FIGURA 1.16. Trecho de pavimento a ser projetado

a) Esquema estrutural e dimensões da seção transversal

Como se trata de ambiente pouco agressivo os valores da resistência característica do concreto e cobrimento das armaduras estão compatíveis.

Como uma das dimensões é maior que o dobro da outra, os vãos e as cargas são de valores apreciáveis, opta-se pela solução de laje nervurada armada em uma direção. A seção transversal da mesma será arbitrada com as seguintes dimensões, principalmente em função das dimensões dos blocos e para evitar verificação à flexão da mesa de cisalhamento das nervuras como vigas (como laje é possível não colocar qualquer armadura transversal):

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Capítulo 1 –Pavimentos de Edifícios com lajes nervuradas

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bw = 9 cm (largura das nervuras) e hf =6 cm (maior que 4 cm e 45/15=3 cm)

a = 36 cm (distância livre entre nervuras podendo o cisalhamento ser analisado como laje). Assim as prescrições mínimas estabelecidas pela norma estão atendidas. O valor da altura foi simplesmente arbitrado, pois na nova versão da norma Brasileira não há expressão (como havia na versão de 1980) que permita desconsiderar o estado limite de deformação excessiva.

Empregando a altura total de 25 cm, a altura útil poderá ser de 22,4 cm (diâmetro da barra de 12,5 mm) e resultando portanto hf = 6,5 cm. A seção transversal da laje está mostrada na figura 1.17.

FIGURA 1.17. Seção transversal adotada para a laje nervurada

b) Cargas atuantes (por nervura )

g1 – peso próprio • concreto = (0,09×0,19+0,45×0,06)×25 = 1,10 kN/m/nervura • tijolo = 0,36×0,19×13 = 0,89 kN/m/nervura

g2 – sobrecarga permanente = 1,0×0,45 = 0,45 kN/m/nervura total carga permanente = 2,45 kN/m/nervura q – carga accidental =3,0×0,45 = 1,35 kN/m/nervura carregamento total = 3,80 kN/m/nervura

c) Cálculo da armadura longitudianal (ELU)

Cálculo da largura colaborante (ver capítulo 3 do volume 1)

• Largura colaborante (considerando a nervura trabalhando como T):

cm451829b2bb 1wf =×+=×+=

onde:

bw = 9 cm é a largura da alma da seção;

==×=×

−===×=×

)36(183650,050,0

).500,(5050010,010,0

22

1

nervurasentrelivredistânciaaécmbcmb

apoiadasimplesmvigacmacasonocma

b

l

• Cálculo do máximo momento fletor atuando em uma nervura:

Momento máximo, considerando viga com 5m de vão

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Capítulo 1 –Pavimentos de Edifícios com lajes nervuradas

21

21

( ) nervuramkNpM /875,118/580,38/ 22 =×=⋅= l

Usando as fórmulas do capítulo 3 volume 1

05,0

4,120000224,045,0

875,114,12

2 =××

×=

⋅⋅=

cdf

d

fdbM

KMD

Com KMD = 0,050 → KX = 0,0758 e KZ = 0,9697

Resultando fhmdKXx =<=×=⋅= 06,00169,0224,00758,0 → LN passa na mesa.

• Quantidade da armadura longitudinal As (fyd = 50 kN/cm2):

76,1

15,150224,09697,0

975,114,1=

××

×=

⋅⋅=

yd

ds fdKZ

MA cm2/nervura

Com uma barra de φ = 12,5 mm e outra de φ = 8,0 mm em cada nervura resulta

76,175,15,025,1 2 ≅=+= cmAs

d) Verificação do estado de deformação excessiva (ELS)

Para verificar o estado de deformação excessiva é preciso calcular antes uma série de características geométricas da seção

• Módulo de deformabilidade: 2/000.287.21287.2120600585,0 mkNMPaEc ==××=

Coeficiente de homogeneização 86,9287.21000.210

===c

se E

• Inércia da nervura (considerada com viga T) em relação a um eixo horizontal no centro de gravidade da seção (Estádio I seção bruta ou geométrica):

mycg 0785,019,009,006,045,0

155,019,009,003,006,045,0=

×+×××+××

= (contado a partir da borda superior)

23

23

)075,0155,0(19,009,012

19,009,0)03,0075,0(06,045,012

06,045,0−××+

×+−××+

×=I

441023,2 mI −×=

• Cálculo do Momento de fissuração

Considerando apenas o peso próprio atuante da laje tem-se a carga atuante de p=1,99 2≅ kN/m

( ) nervuramkNpM g /25,68/500,28/ 221 =×=⋅= l

O momento de fissuração é dado por:

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Capítulo 1 –Pavimentos de Edifícios com lajes nervuradas

22

22

t

ctr y

IfM

⋅⋅=α

com

yt =0,25-0,075= 0,175 m (tração na borda inferior)

fct=0,21 23 2 /155055,120 mkNMPa ==⋅

2,1=α (por se tratar de seção em t)

nervuramkNM r //42,20175,0

1023,215502,1 04

=⋅⋅⋅

=−

Como Mg1>Mr conclui-se que já após a retirada do escoramento a seção do meio estará trabalhando no estádio II, sendo preciso usar a expressão de BRANSON e portanto calcular a inércia no estádio II puro

• Cálculo da inércia no estádio II puro

Inicialmente determina-se a posição da linha neutra no estádio II puro usando o formulário do anexo I referente ao capítulo 4 do livro 1.

Supondo a linha neutra na mesa:

cmb

a w 5,2221 ==

=⋅=⋅= 75,185,92 se Aa α 17,2375 cm2

=⋅⋅−=⋅⋅−= 75,185,94,223 se Ada α 386,12 cm3

xII =( )

ma

aaaa0378,0

4512,3865,2245,222,17

24 2

1

312

22 =⋅⋅++−

=⋅

⋅⋅−+−

assim a linha neutra passa na mesa (3,78 cm < 6cm)

A inércia no estádio II puro vale:

III0= =−⋅⋅+⋅ 2

3

)(3

)(IIse

IIf xdAxb

α =−⋅⋅+⋅ 2

3

)78,34,22(75,186,93

)78,3(45 6792 cm4

• Cálculo das flechas:

A expressão da flecha para uma certa carga p é dada por

mcp IE

qa⋅⋅

⋅⋅=

3845 4l

O valor de Im é dado pela expressão de BRANSON

−⋅+

⋅=

3

0

3

1MMI

MMII r

IIr

bm

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Capítulo 1 –Pavimentos de Edifícios com lajes nervuradas

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23

Assim para cada Momento (considerado o do meio do vão) de uma combinação de ações tem-se um valor de inércia Im e a expressão da flecha é dada por:

mi

i

cpi I

pE

a ×××

=384

5 4l

Na tabela seguinte calcila-se os valores das flechas para os diversos carregamentos

Flechas imediatas para os diversos carregamentos combinação ação p (kN/m) M

(kN.m) r=Mr/M r3 Im (m4) p/Im a(cm)

permanente g1+g2 2,45 7,66 0,316 3,10x10-2 7,27x10-3 33700 1,29

quase permanente g1+g2+0,3q 2,86 8,94 0,271 1,99x10-2 7,10x10-3 40281 1,55

rara g1+g2+q 3,80 11,875 0,203 8,46 x10-2 6,92x10-3 54913 2,10

Assim tem-se:

para a condição de flecha para evitar vibração:

aq =a g1+g2+q - a g1+g2 = 2,10 - 1,29 = 0,81 cm < alimite = cm0,1500/ =l

para a condição visual deve ser considerado o efeito da fluência:

( )ftt aa α+=∞ 1.0,,

com .0,ta - flecha imediata devido a cargas permanentes

∞,ta - flecha total no tempo infinito

'501f ρ⋅+ξ∆

onde:

ρ’ = db

A's

'sA − área da armadura de compressão no trecho considerado;

ξ − Coeficiente função do tempo, sendo )t()t( 0ξ−ξ=ξ∆ ;

ξ(t) =

≥≤⋅⋅

mesestparamesestparatt

70270996,068,0 32,0

;

t − tempo, em meses, onde se deseja o valor da flecha diferida;

Considerando ρ’ =0 e a retirada do escoramento com uma semana (0,25 meses)

chega-se a )t()t( 0ξ−ξ=ξ∆ = 2 - 32,02,0 25,0996,068,0 ⋅⋅ = 1,56

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Capítulo 1 –Pavimentos de Edifícios com lajes nervuradas

24

24

( )ftt aa α+=∞ 1.0,, = 1,55 (1+1,56)=3,97 > alimite = cm42,1350500

350==

l

Mas existe ainda o recurso da contra-flecha (acf)

Considerando a limitação visual após a entrada da carga g2 deve-se obedecer:

3502l

≤+− +ggacf aa chegando-se a acf < 1,42+1,55=2,97 cm

Considerando para o tempo infinito

42,197,342,1 ≤+−→≤+− ∞ cftcf aaa Assim acf cm55,2≥

Desta forma uma contra-flecha de 2,7 cm resolve o problema,

verificando:

Logo após a entrada da sobrecarga permanente a = 1,29 -2,70 = -1,40 cm que em módulo é menor que o limite de 1,42 cm.

No tempo “infinito” depois de transcorrida a fluência e atuando a flecha da ação quase permanente

a= 3,97-2,70=1,27 <1,47 cm

f) Cálculo da armadura de cisalhamento conforme a NBR 6118:2003

Como já foi dito anteriormente um bom projeto de laje nervurada (desde que não haja cargas concentradas ou lineares) é aquele em que não de armadura de cisalhamento. Isto é feito comparando τsd (devida a SdV ) com τrd1 (devida a Rd1V ). Se τsd Rd1τ≤ ela não será necessária.

SdV é igual à reação de cada nervura nas vigas de apoio, ou seja, para o carregamento total de 3,80 kN/m em uma nervura, e vão de 5,0 m, resulta:

kN5,92

0,58,3VSd =×

= e 2Sd /660

224,009,05,94,1 mkN=

××

A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por:

[ ])ρ40(1,2kτ 1RdRd1 ⋅+⋅⋅=τ Admitindo que toda a armadura inferior chegue ao apoio, resulta:

[ ] 581)00868,040(1,2376,1276VRd1 =×+××= kN/m2

onde:

276,0200375,01,4

f25,0

γf

25,0f0,25τ 3/2ck3/2

21,0

c

ctk,infctdRd ==⋅=⋅=⋅= ⋅

MPa = 276 kN/m2

1376,1224,06,16,1 ≥=−=−= dk

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Capítulo 1 –Pavimentos de Edifícios com lajes nervuradas

25

25

00868,04,229

75,111 =

×=

⋅=

dbA

w

Portanto 2

Sd /660 mkN=τ é maior que 2Rd1 /581 mkN=τ , e haveria necessidade de armadura

transversal; Neste caso o ideal é aumentar a largura da nervura um pouco Assim

2Sd /581

224,05,94,1 mkN

bw

≤××

=τ chegando a mbw 102,0≥ Destra forma com bw= 11 cm não seria

preciso usar armadura transversal e a tensão nas bielas de compressão está verificada.

⇒REFLEXÕES

• Verifique que a espessura média de concreto neste exemplo é de 10,5 cm. No caso de se usar uma laje maciça com esta espessura (10,5 cm) o consumo de armadura para atender o ELU seria de 6,76 cm2 ( por faixa de 0,54m).

• Foi considerado na verificação do ELS de deformação excessiva que o contorno da laje seja indeslocável na vertical. No caso de haver vigas deformáveis neste contorno as flechas das mesmas deveriam ser consideradas no cálculo.

• Havendo continuidade na laje (considerando faixa maciça junto aos apoios e lajes vizinhas) o valor da flecha inicial (imediata) cairia drasticamente.

• Um programa de grelha equivalente não linear obteria flecha mais próxima da realidade.

1.11.b. Exemplo de laje nervurada bidirecional

Pré-dimensionar uma laje nervurada para o trecho de pavimento dado na figura 1.18 usando tijolos cerâmicos furados de 19×24×39 cm, concreto com fck = 20 MPa, aço CA-50 e cobrimento de 2 cm. Considerar carga acidental de 3 kN/m2 e carga de revestimento, piso mais contrapiso, igual a 1 kN/m2. As vigas de apoio tem largura de 20 cm e podem ser consideradas indeslocaveis na direção vertical.

Ly = 8,60mLy = 8,60mLy = 8,60m

Lx =

7,2

0mLx

= 7

,20m

Lx =

7, 2

0m

FIGURA 1.18. Trecho de pavimento a ser projetado

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Capítulo 1 –Pavimentos de Edifícios com lajes nervuradas

26

26

a) Determinação da seção transversal

Para iniciar a solução é preciso partir de uma altura de seção transversal, como a indicada na figura 1.19 Assim, será adotado para a altura total o valor de h = 29 cm, e as seções transversais da laje nas direções x e y estão representadas pelos cortes AA e BB da figura 1.19.

FIGURA 1.19. Seções transversais da laje nervurada e planta de um trecho de laje

b) Carregamento

Como se trata de pré-dimensionamento e o modelo de cálculo é o de placa, interessa calcular a carga atuante por m2 de laje.

g1 – peso próprio • mesa = 0,05×25 = 1,25 kN/m2

• nervuras = 0,24×0,12×25/0,88 = 0,82 kN/m2 = 0,24×0,12×25/0,90 = 0,80 kN/m2

• tijolos = (0,76×0,78×0,24)×13/(0,90×0,88) = 2,34kN/m2 g2 – sobrecarga permanente = 1,00 kN/m2 total carga permanente = 6,21 kN/m2 q – carga accidental = 3,00 kN/m2 carregamento total = 9,21 kN/m2

c) Cálculo dos máximos momentos atuantes na laje

O cálculo dos momentos máximos (carregamento total) nas direções x (mx) e y (my), por largura unitária de laje, é feito também como para as maciças, a partir das tabelas do capítulo 7 do livro 1 (tabela 7.3) para o caso 1 (laje apoiada no contorno) com as expressões:

100pm

2x

xxl⋅

⋅µ= 100pm

2x

yyl⋅

⋅µ=

e com 2,1194,120,760,8

x

y ≅===λ ll tem-se, da tabela 7.3, µx = 5,90 e µy = 4,48, resultando

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Capítulo 1 –Pavimentos de Edifícios com lajes nervuradas

27

27

mmkNpm xxx /16,28

10020,721,990,5

100

22

×=⋅

⋅=l

µ

mmkNpm xyy /38,21

10020,721,948,4

100

22

×=⋅

⋅=l

µ

d) Momentos máximos por nervura em cada direção

82,2488,021,28 =×=xm kNm/nervura

24,1990,038,21 =×=ym kNm/nervura

Com o critério de Hahn, onde 837,060,820,71

y

x ==λ

==εl

l, tem-se

64,1

837,01837,0

651

1

1651

1

4

2

4

2=

+×−

=

ε+

ε⋅−

Resulta finalmente, para as nervuras em cada direção:

70,4064,182,24 =×=xm kNm/nervura

55,3164,124,19 =×=ym kNm/nervura

e) Largura colaborante, considerando as nervuras em cada direção trabalhando como T

• Direção x:

mbbb wf 88,039,0210,02 1 =×+=×+= onde:

bw = 0,10 m é a largura da alma da seção;

==×=×

−===×=×≤

)36,0(39,078,050,050,0

).20,7,(72,020,710,010,0

22

1

nervurasentrelivredistânciaaémbmb

apoiadasimplesmvigamacasonomab

l

• Direção y:

m90,039,0212,0b2bb 1wf =×+=×+=

onde:

bw = 0,12 m é a largura da alma da seção;

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28

==×=×

−===×=×≤

)36,0(39,078,050,050,0

).60,8,(86,060,810,010,0

22

1

nervurasentrelivredistânciaaémbmb

apoiadasimplesmvigamacasonomab

l

f) Cálculo da armadura longitudinal

Como as armaduras se cruzam no encontro das nervuras, a altura útil em cada direção será diferente. Recomenda-se que seja tomada como altura útil da laje a distância entre a borda comprimida superior e o centro das barras da camada superior da armadura positiva das nervuras, pois isto acarreta um valor menor para a altura útil e maior para a área de aço; dessa maneira fica garantido o posicionamento correto das barras na laje, pois na obra não é possível garantir se a armadura de cada direção será colocada na camada correta, respeitando o cálculo se feito com alturas úteis diferentes.

FIGURA 1.20. Altura útil da laje nervurada em cada direção

Assim, a altura útil será a altura (29 cm) menos o cobrimento (2 cm), menos e menos 1,5 vezes o diâmetro da armadura longitudinal (adotando φ 1,25 cm e considerando a não existência de estribos), resultando d = 25,0 cm, conforme indicado na figura 1.20.

• Posição da linha neutra (x), necessário para verificar se a seção é retangular ou T, em cada

uma das direções, admitindo inicialmente que seja retangular:

direção x (bw = bf = 0,88 m, d = 0,25 m):

xx

cdf

d mmfdb

MKMD ××=××××

=⋅⋅

= −322 10781,1

2000025,088,04,14,1

direção y (bw = bf = 0,90 m, d = 0,28 m):

yy

cdf

d mm

fdbMKMD ××=

××

××=

⋅⋅= −3

22 1074,12000025,090,0

4,14,1

Sem interpolar, tomando para KX valores correspondentes ao primeiro KMD acima do calculado, e com x = KX×d, resulta:

direção situação momento (kNm) KMD KX x (cm) x normal 24,82 0,044 0,0603 0,0150 x Hahn 40,70 0,072 0,1076 0,0269 y normal 19,24 0,033 0,0449 0,0112 y Hahn 31,55 0,055 0,0758 0,0189

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Capítulo 1 –Pavimentos de Edifícios com lajes nervuradas

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29

Todos os valores de x são menores que a espessura da mesa (hf = 8 cm), indicando que a linha neutra passa na mesa e em todas as situações a seção se comporta como retangular.

• Determinação da área de aço necessária:

KZm

KZm

fdKZMA

yd

ds ×=⋅

××

=⋅⋅

= 128,05025,015,14,1 (cm2/nervura)

Da mesma maneira, sem interpolar, tomando para KZ valores correspondentes ao primeiro KMD acima do calculado, resulta para as armaduras: direção situação momento

(kNm) KMD KZ

KZm

KZm115,0As ×=

x normal 24,82 0,044 0,9759 25,43 3,25 cm2/nervura x Hahn 40,70 0,072 0,9570 42,53 5,44 cm2/nervura y normal 19,24 0,033 0,9820 19,59 2,51 cm2/nervura y Hahn 31,55 0,055 0,9665 32,64 4,18 cm2/nervura

• Armadura final por nervura em cada direção, com o critério de Hahn e barras de φ 16,0 mm

(As = 2,0 cm2):

direção x: 5,44 cm2/nervura → 3 φ 16,0 (As = 6 cm2)

direção y: 4,18 cm2/nervura → 2 φ16,0 (As = 4 cm2) Usando o critério da NBR6118:2003

direção x: 3,25 cm2/nervura → 2 φ 12,5 + 1 φ 10 (As = 3,35 cm2)

direção y: 2,51 cm2/nervura → 2 φ12,5 (As = 2,5 cm2)

f) Verificação do estado de deformação excessiva (ELS)

Para verificar o estado de deformação excessiva é preciso calcular antes uma série de características geométricas da seção

• Módulo de deformabilidade: 2/000.287.21287.2120600585,0 mkNMPaEc ==××=

Coeficiente de homogeneização 86,9287.21000.210

===c

se E

• Inércia da nervura (considerada com viga T) em relação a um eixo horizontal no centro de gravidade da seção (Estádio I seção bruta ou geométrica)

Embora se trate de uma placa é preciso saber se há regiões fissuradas ou não. Uma maneira de fazê-lo, de maneira aproximada, é verificar o que ocorre segundo a menor direção e portanto considerar no caso a direção x

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Capítulo 1 –Pavimentos de Edifícios com lajes nervuradas

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30

Cálculo da característica geométrica da seção transversal

mycg 0823,024,012,005,088,0

17,024,012,0025,005,088,0=

×+×××+××

= (a partir da borda superior)

23

23

)0823,017,0(24,012,012

24,012,0)025,00823,0(05,088,012

05,088,0−××+

×+−××+

×=I

441013,5 mI −×=

• Cálculo do Momento de fissuração

Considerando apenas o peso próprio atuante da laje tem-se a carga atuante de p=6,21 kN/m/nervura

mmkNpm xxx /99,18

10020,721,690,5

100

22

×=⋅

⋅=l

µ

por nervura mx =18,99x0,88=16,71 kN.m/nervura

t

ctr y

IfM

⋅⋅=α

com

yt =0,29-0,0823= 0,2077 m (tração na borda inferior)

fct=0,21 23 2 /155055,120 mkNMPa ==⋅

2,1=α (por se tratar de seção em t)

nervuramkNM r //59,42077,0

1013,515502,1 04

=⋅⋅⋅

=−

Como Mg1>Mr conclui-se que já após a retirada do escoramento a seção do meio estará trabalhando no estádio II. Como se trata de placa não é possível aplicar direto a expressão de BRANSON mas é possível de maneira simplista fazê-lo como será indicado a seguir. Inicialmentedeve-se calcular a inércia no estádio II puro

• Cálculo da inércia no estádio II puro

Inicialmente determina-se a posição da linha neutra no estádio II puro usando o formulário do anexo I referente ao capítulo 4 do livro 1.

Supondo a linha neutra na mesa:

cmb

a w 4421 ==

3335,385,92 =×=×= se Aa α cm2

=××−=××−= 35,385,9253 se Ada α -825 cm3

xII =( )

cma

aaaa97,3

888254443333

24 2

1

312

22 =××++−

××−+−

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Capítulo 1 –Pavimentos de Edifícios com lajes nervuradas

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31

asssim a linha neutra passa na mesa (3,97 cm < 5cm)

Assim

III0= =−××+× 2

3

)(3

)(IIse

IIf xdAxb

α =−××+× 2

3

)97,325(35,386,93

)97,3(88 16443 cm4

• Cálculo da flecha elástica

O cálculo das flechas é feito como para as lajes maciças, e para tanto, podem ser utilizadas tabelas específicas; no caso, as do capítulo 7 (CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO, 2001) para o caso de laje simplesmente apoiada no contorno (caso 1, tabela 7.2):

3

4

100 hEpa

c

x

⋅⋅

⋅=lα

e com 2,1194,120,760,8

x

y ≅===λ ll tem-se, da tabela 7.2, α = 6,52, resultando

ppf 437

4

10421,329,0101,2

20,7100

52,6 −×=××

××=

Combinação ações valor de p a(mm) permanente g1+g2 6,21 2,12 quase permanente g1+g2+0,3q 7,11 2,43 rara g1+g2+q 9,21 3,15

Para levar em conta a fissuração do concreto calcula-se a inércia média de Branson para as três situações de combinação de carga e considerando apenas os valores da direção x verifica-se qual o fator de ampliação da flecha elástica. Com

m

Iamp I

Ic =

e a inércia média Im calculada em função do momento M atuante

Combinação ações p mx r= mx/Mr Im (m4) camp= Ii/Im

permanente g1+g2 6,21 16,71 0,274 0,0001716 2,99 quase permanente g1+g2+0,3q 7,11 21,74 0,211 0,0001677 3,06 rara g1+g2+q 9,21 24,82 0,185 0,0001666 3,07

Os valores das flechas para as diversas combinações de carga considerando a fissuração pode ser estimada multiplicando-se os coeficientes de amplificação (camp) obtidos a partir da inércia equivalente de Branson para a direção x

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Capítulo 1 –Pavimentos de Edifícios com lajes nervuradas

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32

Combinação ações a(mm) a(mm) com fissuração permanente g1+g2 2,12 6,33 quase permanente g1+g2+0,3q 2,43 7,43 rara g1+g2+q 3,15 9,67

Assim a flecha para verificar a condição de vibração é dada por

aq =a g1+g2+q - a g1+g2 = 9,67 - 6,33 = 3,34 mm < alimite = mm4,14500/ =l

para a condição visual deve ser considerado o efeito da fluência:

( )ftt aa α+=∞ 1.0,,

com .0,ta - flecha imediata devido a cargas permanentes

∞,ta - flecha total no tempo infinito

'501f ρ⋅+ξ∆

onde:

ρ’ = db

A's

'sA − área da armadura de compressão no trecho considerado;

ξ − Coeficiente função do tempo, sendo )t()t( 0ξ−ξ=ξ∆ ;

ξ(t) =

≥≤⋅⋅

mesestparamesestparatt

70270996,068,0 32,0

;

t − tempo, em meses, onde se deseja o valor da flecha diferida;

Considerando ρ’ =0 e a retirada do escoramento com uma semana (0,25 meses)

chega-se a )t()t( 0ξ−ξ=ξ∆ = 2 - 32,02,0 25,0996,068,0 ⋅⋅ = 1,56

( )ftt aa α+=∞ 1.0,, = 7,43 (1+1,56)=19 mm < alimite = mm203507200

350==

l

g) Verificação de cisalhamento

Como a distância entre as nervuras é inferior a 90 cm e a espessura das nervuras é de 12 cm o cisalhamento pode ser verificado como laje. f) Força cortante por nervura em cada direção

A força cortante em cada nervura pode ser calculada também admitindo a laje como maciça utilizando as tabelas 7.6 do capítulo 7 do livro 1 para cálculo das reações da laje nas vigas de apoio do contorno do pavimento.

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Capítulo 1 –Pavimentos de Edifícios com lajes nervuradas

33

33

As reações em cada direção, para o caso 1 (laje simplesmente apoiada), são dadas pelas expressões seguintes:

10pkq x

xxl⋅⋅=

10pkq x

yyl⋅⋅=

e com 2,1194,120,760,8

x

y ≅===λ ll tem-se, da tabela 7.6, kx = 2,92 e ky = 2,50, resultando

mkNpkq xxx /36,19

1020,721,992,2

10=××=⋅⋅=

l

mkNpkq xyy /57,16

1020,721,950,2

10=××=⋅⋅=

l

A força cortante máxima em cada nervura é obtida multiplicando-se as reações pela distância entre as nervuras em cada direção.

kNqV xx 27,1588,036,1786,0 =×=⋅=

kNqV yy 91,1490,057,1690,0 =×=⋅=

MPamkNdb

V

w

drsd 71,0/712

25,012,0270,154,1 2 ≅=

××

=⋅

A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por:

[ ])ρ40(1,2kτ 1RdRd1 ⋅+⋅⋅=τ Admitindo que toda a armadura inferior chegue ao apoio, resulta:

[ ] 596)011,040(1,235,1276VRd1 =×+××= kN/m2

onde:

276,0200375,01,4

f25,0

γf

25,0f0,25τ 3/2ck3/2

21,0

c

ctk,infctdRd ==⋅=⋅=⋅= ⋅

MPa = 276 kN/m2

135,125,06,16,1 ≥=−=−= dk

011,02512

3,311 =

×=

⋅=

dbA

w

Portanto 2

Sd /710 mkN=τ é maior que 2Rd1 /596 mkN=τ , e haveria necessidade de armadura

transversal; Neste caso o ideal é aumentar a largura da nervura um pouco Assim

2Sd /596

25,027,154,1 mkN

bw

≤××

=τ chegando a mbw 143,0≥ Destra forma com bw= 15 cm não seria

preciso usar armadura transversal e a tensão nas bielas de compressão está verificada.

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Capítulo 1 –Pavimentos de Edifícios com lajes nervuradas

34

34

1.11.c. Exemplo comparativo de cálculo como laje maciça e com modelo de grelha

Calcular os esforços solicitantes (momento fletor e força cortante) e a flecha da laje nervurada indicada na figura 17. Considerar que para executar as nervuras serão usadas formas reaproveitaveis e que a laje esteja apoiada em todo o seu contorno em paredes de alvenaria estrutural. Dados:

• sobrecarga permanente (revestimento, piso, etc.): g2 = 1 kN/m2 • carga acidental: q = 5 kN/m2 • resistência do concreto: fck = 20 MPa • aço CA50B.

FIGURA 17. Laje nervurada quadrada, do exemplo 3, apoiada em parede estrutural

Como já comentado, o cálculo de lajes nervuradas em duas direções deve ser feito preferencialmente com o modelo de grelha, com as nervuras em cada direção admitidas como elementos de viga. Para que se possa melhor avaliar o comportamento da laje, os esforços serão calculados com o modelo de grelha e o de placa isolada.

Pela planta apresentada, a distância entre o eixo da parede e a primeira nervura (também a última) é igual a 105 cm, 5 cm maior que os demais espaçamentos entre as outras nervuras (iguais a 100 cm). Para a definição do comprimento dos elementos este valor será empregado, porém não será levado em conta para a definição das características geométricas da seção transversal da nervura.

a) Cargas atuantes

g1 – peso próprio laje superior (mesa) = 0,07×25 = 1,75 kN/m2

nervuras = 2×0,10×0,30×25 = 1,50 kN/m2 g2 – sobrecarga permanente = 1,00 kN/m2 total carga permanente (g1 + g2) = 4,25 kN/m2 q – carga acidental = 5,00 kN/m2 Carregamento total (g + q) = 9,25 kN/m2

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Capítulo 1 –Pavimentos de Edifícios com lajes nervuradas

35

35

b) Cálculo dos esforços e flecha através da teoria de placa (laje maciça)

O pavimento da figura 17 será calculado inicialmente como uma laje maciça, de acordo com as recomendações da NB1/80 (3.3.2.10, 3.3.2.1 e 6.1.1.3 a) pois a distância entre nervuras não é superior a 100 cm. Será necessário posteriormente verificar a flexão das mesas em virtude do espaçamento entre as nervuras ter superado 50 cm (item 3.3.2.10, NB1/80).

Para o cálculo dos esforços solicitantes e flecha serão usadas tabelas para lajes maciças, lembrando que neste caso, de fato, os pontos do contorno da laje estão impedidos de se deslocar verticalmente (apoio sobre parede), porém não é possível dizer o mesmo da rotação; entretanto, será admitido que a placa está simplesmente apoiada em todo o contorno, ou seja, não há engastamento.

No emprego das tabelas serão utilizados os valores correspondentes ao caso 1 (laje simplesmente apoiada no contorno), e o parâmetro de entrada é a relação (λ) entre os lados da lajes, que neste caso é igual a 1 por ser ela quadrada.

• Cálculo dos momentos em uma nervura:

Com os coeficientes µx = µy = 4,41 da tabela 7.3 para lajes maciças, caso 1, os momentos máximos no meio do vão, por metro de laje, são iguais a:

76,26100

1,825,941,4100

pmmm

22x

yx =×

×=⋅

⋅µ===l

kNm/m

Como o espaçamento entre nervuras é de um metro (100 cm), este já é o momento atuando em cada uma delas, ou seja:

mkN76.26)m(1)m/mkN(76,26M =×=

• Cálculo da força cortante em cada nervura

A máxima força cortante atuante em uma nervura pode ser encontrada calculando a reação da laje nas paredes de contorno (item 3.3.2.9 da NB1/80), com as tabelas 7.6 e caso 1 (laje simplesmente apoiada no contorno), e que será igual nas duas direções por ser a laje quadrada. A reação, sendo kx = ky = 2,50, é dada pela expressão:

m/kN73,181010,825,95,2

10pkqqq x

yx =××=⋅⋅===l

Como o espaçamento entre as nervuras é de 1 m, a força cortante máxima em uma nervura é o valor acima, ou seja:

kN73,18)m(1)m/kN(73,18V =×=

• Cálculo da flecha

Para o cálculo da flecha a combinação de ações a ser empregada deve ser a freqüente (p = g + 0,7 q). Como a laje não é de fato maciça, deve ter a flecha aumentada na proporção entre a inércia à flexão da nervura (estádio I) com a inércia que uma seção com a mesma altura teria se fosse maciça. Assim a flecha deverá ser multiplicada pela relação

34,41072,91022,4

II

4

3

n,f

m,f =×

×=

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36

onde m,fI é a inércia à flexão da laje maciça para uma largura de 1 m em relação a um eixo horizontal passando pelo seu centro de gravidade, ou seja,

433

m,f m1022,412

37,01I −×=×

=

e n,fI é a inércia à flexão da nervura também em relação a um eixo horizontal no centro de gravidade da seção, donde:

m2795,030,010,007,00,1

15,030,010,0335,007,00,1ycg =×+×

××+××=

23

23

n,f )15,02795,0(30,010,012

30,010,0)2795,0335,0(07,00,112

07,00,1I −××+×

+−××+×

=

44n,f m1072,9I −×=

O valor final da flecha será:

m0046,034,437,000079528

10,8)0,57,025,4(100

67,434,4hE

)q7,0g(100

f3

4

3c

4x =×

×

××+×=⋅

⋅⋅+⋅

α=

l

sendo

α = 4,67 dado na tabela 7.2 (caso 1);

MPa795285,32066009,05,3f66009,0E ckc =+××=+××= (módulo secante do concreto, conforme item 8.2.5 da NB1/80);

m37,0h = .

• Resumo

Os esforços e deslocamentos na laje, considerando o modelo de placa são: Momento fletor máximo por nervura: mkN76,26M = cortante máximo por nervura: kN73,18V = flecha para combinação freqüente: m0046,0f =

b) Cálculo dos esforços e flecha através do modelo de grelha

Para resolver o pavimento com o modelo de grelha foi empregada uma malha com espaçamento de 1 m (coincidindo com a distância entre as nervuras), resultando em 81 nós (1, 2, 3, etc.) e 144 elementos de barra (E1, E2, E3, etc.), conforme mostrado na figura 18.

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37

FIGURA 18. Malha da grelha usada na resolução da estrutura

Para resolver a grelha é necessário introduzir as características geométricas dos elementos, e

portanto é preciso determinar o valor da largura colaborante da seção em forma de T das nervuras. Na figura 19 estão indicadas as dimensões da seção transversal das nervuras usadas para a determinação do trecho da laje, sendo bf a largura da mesa que pode ser considerada trabalhando, na flexão, junto com a alma. O valor de bf é dado por:

cm100m0,145,0210,0b2bb 1wf ==×+=×+=

onde:

bw = 0,10 m é a largura da alma da seção;

==×=×==×=×

−===×=×≤

)nervurasentrelivredistânciaaém45,0b(m45,090,050,0b50,0)mesadaespessuraaécm07,0h(m56,007,08h8

)apoiada.simplesmvigam10,8a,casono(m81,010,810,0a10,0b

22

ff1

l

FIGURA 19. Dimensões (cm) da seção transversal das nervuras (elementos da grelha)

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As características geométricas da seção (área, inércia à flexão e inércia à torção) são calculadas no estádio I (sem fissuração) e sem a consideração da armadura, que não é ainda conhecida.

Para o cálculo do momento de inércia à torção da nervura ( n,tI ) é utilizada a expressão a seguir, advinda da resistência dos materiais, em que o elemento é dividido em retângulos, sendo b sempre a menor dimensão (espessura) e h a maior medida ao longo de todo o retângulo, ou segundo a sua linha média (esqueleto).

4433n

1i

3ii

n,t m1014,23

10,030,03

07,00,13

bhI −

=×=

×+

×=

⋅=∑

Assim, para as nervuras da laje, as propriedades são: 2m1,030,010,00,107,0A =×+×=

44n,f m1072,9I −×= (inércia à flexão, já calculada anteriormente)

44n,t m1014,2I −×=

A estrutura será resolvida para a combinação rara de ações ou seja com p = g + q (atuação de todas as cargas), e o carregamento, em virtude da malha ter bastante elementos, será feito aplicando cargas concentradas aos nós. O valor, para um nó central, é (a é o espaçamento entre nervuras em uma direção e b na outra):

kN25,90,10,125,9bapP =××=⋅⋅=

O cálculo dos esforços e deslocamentos foi feito com o programa GPLAN [RAMALHO et Alli ( )], resultando nos seguintes valores, colocados juntamente com os obtidos com a teoria de placa para facilitar a comparação:

Resultados grelha placa momento fletor máximo por nervura: mkN53,42M = mkN76,26M = cortante máximo por nervura: kN30,21V = kN73,18V = flecha para combinação freqüente: m0106,0f = m0046,0f =

Na figura 20 os resultados máximos obtidos com os modelos de placa e de grelha estão em

gráficos. Como já salientado, os valores são bem maiores quando calculados com a teoria de grelha, confirmando a recomendação de que a teoria de placa, para este tipo de estrutura, serve apenas para se pré-dimensionamento.

Flechas (cm)

0

0.5

1

1.5

1 2

1- placa 2-grelha

Momentos fletores (kN.m)

0204060

1 2

1-placa 2-grelha

Cortante (kN)

152025

1 2

1-placa 2-grelha

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FIGURA 20. Valores máximos de flecha, momento fletor e força cortante nas nervuras