Livro_Introdução à Álgebra Linear

A minha me Maria da Conceio de Freitas e em memria de meu pai Jos de Andrade e Silva.

PrefcioEste texto surgiu da experincia do autor quando ministrou algumas vezes a disciplina lgebra Linear e Geometria Analtica para vrios cursos na Universidade Federal da Paraba. O principal objetivo deste texto fazer uma apresentao rigorosa e clara das provas dos Teoremas e exemplos da lgebra Linear no nvel de graduao, desenvolvendo, tambm, a capacidade de modelagem de problemas e provas envolvendo combinaes lineares, transformaes lineares e matrizes, diagonalizaes de operadores lineares e classicaes de qudricas. Alm disso, resolver problemas que envolvam matrizes utilizando a forma cannica de Jordan. nossa expectativa que este texto assuma o carter de espinha dorsal de uma experincia permanentemente renovvel, sendo, portanto, bem vindas as crticas e/ou sugestes apresentadas por todos - professores ou alunos quantos dele zerem uso. O leitor interessado em aprender a utilizar um programa de computao, por exemplo o Maple, como ferramenta na aprendizagem da lgebra Linear e Geometria Analtica pode consultar uma das referncias [1, 3, 5, 7]. Para desenvolver a capacidade do estudante de pensar por si mesmo em termos das novas denies, inclumos no nal de cada seo uma extensa lista de exerccios, onde a maioria dos exerccios dessas listas foram selecionados dos livros citados no nal do texto. Devemos, porm, alertar aos leitores que os exerccios variam muito em grau de diculdade, sendo assim, no necessrio resolver todos numa primeira leitura. No captulo 1 apresentaremos denies abstratas de espaos vetoriais e subespaos, combinaes lineares, conjuntos linearmente independentes e dependentes, bases e dimenso, coordenadas de um vetor e mudana de bases. Esse captulo envolve o desenvolvimento axiomtico de vetores, sendo assim, exigindo maior esforo no incio do curso tanto do professor quanto do estudante. No captulo 2 apresentaremos transformaes lineares, ncleo e imagem de uma transformao linear e representao matricial. A representao matricial proporciona um modo elegante de desenvolver a lgebra das matrizes e a geometria das transformaes lineares. No captulo 3 apresentaremos as denies de autovalores e autovetores de um operador linear, o polinmio caracterstico e minimal de um operador linear e operadores diagonalizveis. Esse captulo inicia o estudo das relaes de equivalncias e das formas v

vi cannicas, teis nas aplicaes que envolvem representaes matriciais. No captulo 4 apresentaremos denies abstratas de espaos com produto interno, processo de ortogonalizao de Gram-Schmidt e o complemento ortogonal. Esse captulo introduz a noo de conceitos mtricos sobre um espao vetorial qualquer. No captulo 5 apresentaremos operadores lineares especiais tais como: operador adjunto, ortogonais e simtricos e us-los-emos para classicar as qudricas. Finalmente, no captulo 6 apresentaremos a forma cannica de Jordan, a qual uma ferramenta poderosa no estudo das relaes de equivalncia de matrizes. Agradecemos aos colegas e alunos do Departamento de Matemtica que direta ou indiretamente contriburam para a realizao deste trabalho. Em particular, ao professor Inaldo Barbosa de Albuquerque, pela leitura criteriosa e sugestes.

Antnio de Andrade e Silva.

SumrioPrefcio v

1 Pr-Requisitos 1 1.1 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Sistemas de Equaes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Espaos Vetoriais 2.1 Espaos Vetoriais . . . . . . . . . . . 2.2 Subespaos Vetoriais . . . . . . . . . 2.3 Combinao Linear . . . . . . . . . . 2.4 Dependncia e Independncia Linear 2.5 Bases e Dimenso . . . . . . . . . . . 2.6 Mudana de Bases . . . . . . . . . . 23 23 32 40 45 50 62 71 71 82 97

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3 Transformaes Lineares 3.1 Transformaes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Ncleo e Imagem de uma Transformao Linear . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Transformaes Lineares e Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Formas Cannicas Elementares 4.1 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Operadores Diagonalizveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Polinmio Minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Espaos com Produto Interno 5.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Processo de Ortogonalizao de Gram-Schmidt . 5.4 Complementar Ortogonal . . . . . . . . . . . . .

117 . 117 . 125 . 133 147 . 147 . 155 . 161 . 165

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6 Operadores Especiais 173 6.1 Operador Adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 vii

viii

SUMRIO 6.2 Operadores Ortogonais e Simtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 6.3 Qudricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

7 Forma Cannica de Jordan 7.1 Teorema da Decomposio Primria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Operadores Nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Forma Cannica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Blibiograa ndice

195 . 195 . 203 . 210 217 218

Captulo 1 Pr-RequisitosNeste captulo apresentaremos as principais denies e resultados sobre matrizes e sistemas de equaes lineares que sero necessrias para o desenvolvimento deste texto. O leitor interessado em mais detalhes pode consultar [7, 9].

1.1

Corpos

Um corpo um conjunto F com duas operaes F F F F F F , e (x, y) 7 x + y (x, y) 7 x y chamadas de adio e multiplicao, tais que as seguintes propriedades valem: 1. A adio associativa, x + (y + z) = (x + y) + z, para todos x, y, z F . 2. Existe um nico elemento 0 (zero) em F tal que x + 0 = 0 + x = x, para todo x F . 3. A cada x em F corresponde um nico elemento x (oposto) em F tal que x + (x) = (x) + x = 0. 4. A adio comutativa, x + y = y + x, para todos x, y F . 1

2 5. A multiplicao associativa,

CAPTULO 1. PR-REQUISITOS

x (y z) = (x y) z, para todos x, y, z F . 6. Existe um nico elemento 1 (um) em F tal que x 1 = 1 x = x, para todo x F . 7. A cada x em F {0} corresponde um nico elemento x1 ou que x x1 = x1 x = 1. 8. A multiplicao comutativa, x y = y x, para todos x, y F . 9. A multiplicao distributiva com relao adio, x (y + z) = x y + x z e (x + y) z = x z + y z, para todos x, y, z F . Exemplo 1.1 O conjunto dos nmeros racionais Q, dos reais R e dos complexos C, com as operaes usuais de adio e multiplicao so corpos. Exemplo 1.2 Seja F = GF (2) = {0, 1}. Denimos uma adio e uma multiplicao em F pelas tbuas: + 0 1 0 1 e 0 0 1 0 0 0 . 1 1 0 1 0 1 fcil vericar que F com estas duas operaes um corpo, chamado de corpo de Galois. Proposio 1.3 Sejam a, b, x R. Ento: 1. Se a + x = a, ento x = 0. 2. Se b 6= 0 e b x = b, ento x = 1. 3. Se a + b = 0, ento b = a. 4. A equao a + x = b tem uma nica soluo x = (a) + b.b 5. Se a 6= 0, a equao a x = b tem uma nica soluo x = a1 b = a . 1 x

(inverso) em F tal

1.2. MATRIZES 6. x 0 = 0. 7. x = (1)x. 8. (a + b) = (a) + (b). 9. (x) = x. 10. (1)(1) = 1. Prova. Vamos provar apenas o item (8). (a + b) = (1)(a + b) = (1)a + (1)b = (a) + (b).

3

Sejam F e K corpos. Dizemos que K uma extenso de corpos de F se F K e, neste caso, F um subcorpo de K. Por exemplo, R uma extenso de corpos de Q e Q um subcorpo de R, pois Q R.

1.2

Matrizes

Uma matriz m n A sobre o corpo dos nmeros reais R um arranjo retangular com m linhas e n colunas da forma a11 a1n a11 a1n a21 a2n a21 a2n A= . . ou A = . . , ... ... . . . . . . . . am1 amn am1 amn onde aij R, i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n. Usaremos, tambm, a notao A = [aij ]1im ,1jn

e a j-sima coluna da matriz A matriz m 1 a1j a2j Cj = . . .

ou, simplesmente, A = [aij ]. A i-sima linha da matriz A matriz 1 n h i Li = ai1, ai2, ain,

amj

.

4


O smbolo aij signica o elemento da matriz A que est na i-sima linha e j-sima coluna e ser chamado de entrada da matriz A. O conjunto de todas as matrizes m n ser denotado por M(m, n) ou Rmn . Uma matriz A Rmn chamada de matriz quadrada se m = n. Neste caso, as entradas a11 , a22 , . . . , ann e a12 , a23 , . . . , a(n1)n formam a diagonal principal e a superdiagonal de A, respectivamente. Dizemos que uma matriz quadrada A uma matriz diagonal se aij = 0, i 6= j. Em particular, dizemos que a matriz diagonal A uma matriz identidade se ( 1 se i = j aij = ij = 0 se i 6= j, e ser denotada por In = [ ij ], onde ij o smbolo de Kronecker. A matriz A = [aij ] Rmn com aij = 0, 1 i m e 1 j n, chamada de matriz nula e ser denotada por 0. Sejam A = [aij ], B = [bij ] Rmn . Dizemos que A igual a B, em smbolos A = B, se, e somente se, aij = bij , 1 i m e 1 j n. O conjunto Rmn munido com as operaes de adio A + B = [aij + bij ] e multiplicao por escalar aA = [aaij ], a R, possui as seguintes propriedades: 1. (A + B) + C = A + (B + C), para todas A, B, C Rmn . 2. Existe O Rmn tal que A + O = A, para toda A Rmn . 3. Para cada A Rmn , existe A Rmn tal que A+(A) = O, onde A = [aij ]. 4. A + B = B + A, para todas A, B Rmn . 5. a(bA) = (ab)A, para todos a, b R e A Rmn . 6. (a + b)A = aA + bA, para todos a, b R e A Rmn . 7. a(A + B) = aA + aB, para todas A, B Rmn e a R. 8. 1 A = A, para toda A Rmn .

1.2. MATRIZES

5

Sejam A = [aij ] Rmn e B = [bij ] Rnp . O produto de A por B, em smbolos, AB, denido como AB = A[ C1 Cp ] = [ AC1 ACp ] = [cij ], onde Cj a j-sima coluna da matriz B e cij =n X k=1

aik bkj , 1 i m e 1 j p.

Note que AB Rmp . O produto de matrizes possui as seguintes propriedades: 1. (AB)C = A(BC), para todas A, B, C Rnn . 2. (A + B)C = AC + BC, para todas A, B, C Rnn . 3. A(B + C) = AB + AC, para todas A, B, C Rnn . 4. AO = O e OB = O, para todas A, O Rmn e B, O Rnp . Seja A = [aij ] Rmn . A matriz transposta de A a matriz obtida escrevendo-se as linhas da matriz A como colunas, ou seja, At = [aji ], 1 i m e 1 j n. A transposta de matrizes possui as seguintes propriedades: 1. (A + B)t = At + Bt , para todas A, B Rmn . 2. (aA)t = aAt , para toda A Rmn e a R. 3. (AB)t = Bt At , para todas A, B Rnn . Sejam A = [aij ] Rmn e as matrizes unitrias Eij = [epq ] Rmn , onde ( 1 se (p, q) = (i, j) epq = pi qj = 0 se (p, q) 6= (i, j). Por exemplo, quando m = n = 2, obtemos " # " # " # " # 1 0 0 1 0 0 0 0 E11 = , E12 = , E21 = e E22 = . 0 0 0 0 1 0 0 1 Ento fcil vericar que (quando o produto denido) 1. A=n m XX j=1 i=1

aij Eij .

6 2. Eij Epq = jp Eiq . 3. AEpq =m P


aip Eiq , isto , AEpq a matriz cuja q-sima coluna igual a p-sima

i=1

coluna da matriz A e as demais zeros. 4. Epq A =j=1 n P

aqj Epj , isto , Epq A a matriz cuja p-sima linha igual a q-sima linha

da matriz A e as demais zeros. 5. Epq AErs = aqr Eps , isto , Epq AErs a matriz cuja (p, s)-sima entrada igual a aqr e as demais zeros. Seja A = [aij ] Rnn . O determinante da matriz A denido por det A =Sn

X

sgn a1(1) an(n) ,

onde Sn o conjunto de todas as permutaes do conjunto {1, 2, . . . , n} e sgn = (1)N , com N igual ao nmero de inverses (transposies) necessrias para trazer de volta o conjunto {(1), (2), . . . , (n)} a sua ordem natural. Assim, det A a soma de n! termos, onde o sinal est bem denido, e qualquer termo tem n elementos, um e somente um, de cada linha e coluna de A. Uma permutao Sn pode ser escrita sob a forma ! 1 2 n = , (1) (2) (n) onde a ordem das colunas no importa. Por exemplo, para n = 3, temos que os seis elementos de S3 so: ! ! ! 1 2 3 1 2 3 1 2 3 I = , = , 2 = = , 1 2 3 2 3 1 3 1 2 ! ! ! 1 2 3 1 2 3 1 2 3 = , = , 2 = 3 2 1 1 3 2 2 1 3 e det A = (1)0 a11 a22 a33 + (1)2 a12 a23 a31 + (1)2 a13 a21 a32 +(1)1 a11 a23 a32 + (1)1 a12 a21 a33 + (1)3 a13 a22 a31 = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ) (a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33 ).

1.2. MATRIZES

7

Observao 1.4 Uma maneira alternativa para determinar o nmero de inverses de uma permutao ! 1 2 3 = S3 2 3 1 ilustrado no esquema da Figura 1.1. Neste caso, o nmero de cruzamentos corresponde ao nmero de inverses de .

Figura 1.1: Nmero de inverses de . Portanto, admite duas inverses. Este procedimento vale para Sn . Proposio 1.5 Sejam A = [aij ] Rnn , Li a uma matriz xada. L1 L1 L1 . . . . . . . . . 1. det Li + Ri = det Li + det Ri . . . . . . . . . Ln Ln Ln L1 L1 . . . . . . 2. det aLi = a det Li , a R. . . . . . . Ln Ln 3. Se Li = O, ento det A = 0. i-sima linha de A e Ri = [rij ] R1n .

4. Se duas linhas da matriz A so iguais (ou Li = aLj , para todo a R, com i < j), ento det A = 0. 5. det At = det A. 6. Se B a matriz obtida de A trocando-se a i-sima linha pela j-sima linha, ento det B = det A. Prova. Vamos provar apenas os itens (1), (4) e (5) Para provar (1), basta notar que X X sgn a1(1) (ai(i) + ri(i) ) an(n) = sgn a1(1) ai(i) an(n)Sn Sn

+

Sn

X

sgn a1(1) ri(i) an(n) .

8


(4) Suponhamos que Li = Lj com i < j. Seja Sn a permutao denida por (i) = j, (j) = i e (x) = x, para todo x {1, 2, . . . , n} {i, j}. Ento pode ser provado que sgn = 1 e sgn( ) = sgn , Sn . Sejam X = { Sn : (i) < (j)} e Y = { Sn : (i) > (j)}. Ento a funo f : X Y denida por f () = bijetora. De fato, dado Y existe = X tal que f () = ( ) = , pois = I, isto , f sobrejetora. Agora, se f () = f (), ento = I = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = I = , ou seja, f injetora. Portanto, X sgn a1(1) an(n) det A =Sn

= =

X

X X

sgn a1(1) an(n) +

X

=

X

= 0,

X

sgn a1(1) ai(i) aj(j) an(n) a1(1) ai(j) aj(i) an(n) sgn a1(1) ai(i) ai(j) an(n) a1(1) ai(j) ai(i) an(n)

X

X

sgn( )a1( (1)) an( (n))

pois Li = Lj . Finalmente, para provar (5), note que a1(1) an(n) = a(1)((1)) a(n)((n)) , , Sn . Assim, em particular, para = 1 e sgn = sgn 1 , temos que X X sgn a1(1) an(n) = sgn a1 (1)1 a1 (n)n det A =Sn

=

Sn

X

Sn

sgn a1 (1)1 a1 (n)n = det At .1

Teorema 1.6 (Teorema de Binet) Sejam A, B Rnn . Ento det(AB) = det A det B. Seja A = [aij ] R33 . Ento # # # " " " a22 a23 a21 a23 a21 a22 a12 det + a13 det . det A = a11 det a32 a33 a31 a33 a31 a32

1.2. MATRIZES Mais geralmente, pode ser provado quen X det A = (1)i+j aij det(Aij ), i = 1, . . . , n. j=1

9

onde Aij a matriz obtida eliminando-se a i-sima linha e j-sima coluna da matriz A. O escalar cij = (1)i+j det(Aij ) chamado o cofator do termo aij no det A e a matriz C = [cij ] Rnn chamada a matriz dos cofatores da matriz A. Teorema 1.7 Seja A Rnn . Ento A adj A = adj A A = (det A)In , onde adj A a transposta da matriz dos cofatores de A, a qual chamada de adjunta clssica de A. Prova. Seja B = adj A = [bij ], de modo que bij = cji = (1)i+j det(Aji ), para todos i, j. Ento A adj A = AB = [dij ], onde dij =n X k=1

aik bkj =

n X k=1

aik (1)k+j det(Ajk ).

b Agora, seja A = [bij ] a matriz obtida de A substituindo-se a j-sima linha pela i-sima a b b linha (note que se i = j, ento A = A). Ento bjk = aik , para todo k. Logo, Ajk = Ajk , a para todo k, pois a j-sima linha eliminada para obter essas matrizes. Assim, ( n X det A se i = j b b dij = bjk (1)k+j det(Ajk ) = det(A) = a 0 se i 6= j, k=1 b pois A tem duas linhas iguais quando i 6= j. De modo anlogo trabalha com BA. Portanto, A adj A = adj A A = (det A)In

Teorema 1.8 (Regra de Cramer) Sejam A Rnn e C1 , . . . , Cn as colunas da matriz A. Se existirem x1 , . . . , xn R tais que B = x1 C1 + + xn Cn , ento i h xj det A = det C1 Cj1 B Cj+1 Cn . Prova. Veja Exemplo 2.34. Uma matriz A = [aij ] Rnn invertvel ou no-singular se existir uma matriz B = [bij ] Rnn tal que AB = BA = In . Caso contrrio, A no-invertvel ou singular. Vamos denotar a matriz inversa de A por A1 . A inversa de matrizes possui as seguintes propriedades:

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CAPTULO 1. PR-REQUISITOS 1. Se A, B Rnn so invertveis, ento AB invertvel e (AB)1 = B1 A1 . 2. A Rnn invertvel se, e somente se, det A 6= 0. Neste caso, A1 = Em particular, se A= ento A1 1 = det A " 1 adj A. det A #

a b c d "

R22 , # R22 .

d b c a

Sejam A, B Rmn . Dizemos que A e B so equivalentes se existirem matrizes invertveis P Rmm e Q Rnn tais que B = PAQ1 . Em particular, se m = n e P = Q, dizemos que A e B so semelhantes ou conjugadas. Sejam A, B Rnn . Dizemos que A e B so congruentes se existir uma matriz invertvel P Rnn tal que B = Pt AP. Uma matriz A = [aij ] Rnn chamada uma matriz triangular superior (inferior) se aij = 0, para i > j (aij = 0, para i < j). Note que se A = [aij ] Rnn uma matriz triangular, ento det A = a11 a22 ann .

EXERCCIOS

1. Mostre todas as armaes deixadas nesta seo. 2. Mostre que existem matrizes A, B R22 tais que (A B)(A + B) 6= A2 B2 . 3. Seja 3 3 4 0 1 1 2 2 R44 . 2 1 3 1 0 3 1 3

Existe uma matriz B 6= O com AB = O? Existe uma matriz C 6= O com CA = O?

A=

1.2. MATRIZES 4. Sejam A, P Rnn com P invertvel. Mostre que

11

5. Seja A Rnn . Mostre que det(cA) = cn det A, para todo c R. 6. Sejam A = [aij ], B = [bij ] Rnn , onde bij = (1)i+j aij . Mostre que det B = det A. 7. Sejam A, P Rnn com P invertvel. Mostre que det(PAP1 ) = det A. 8. Seja A Rnn tal que A2 = A. Mostre que det A = 0 ou det A = 1. 9. Seja A Rnn tal que Ak = O, para algum k N. Mostre que det A = 0. 10. Sejam A, B Rnn tais que In +AB seja invertvel. Mostre que In +BA invertvel e (In + BA)1 = In + B(In + AB)1 A. 11. Sejam A, B, P Rnn tais que B, P e APAt + B1 sejam invertveis. Mostre que P1 + At BA invertvel e (P1 + At BA)1 = P PAt (APAt + B1 )1 AP. 12. Sejam A, B, C, D Rnn e " E=

m PAP1 = PAm P1 , m N.

A B O D

#

e F=

"

A B C D

#

.

Mostre que det(E) = det(A) det(D). Se A invertvel, mostre que det(F) = det(A) det(D CA1 B). Em particular, se AC = CA, mostre que det(F) = det(AD CB). (Sugesto: Note que " # " # #" A B In O A B = O D O D 0 In e " O A1 1 CA In #" A B C D # = " In A1 B 0 D CA1 B # .)

13. Sejam A, B Rnn com AB BA = In . Mostre que Am B BAm = mAm1 , m N.

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14. Seja A = [aij ] Rnn . O trao de A denido por tr(A) = Mostre que: (a) tr(A + B) = tr(A) + tr(B), para todas A, B Rnn . (b) tr(aA) = a tr(A), para toda A Rnn e a R. (d) tr(PAP1 ) = tr(A), para todas A, P Rnn com P invertvel. (e) tr(AB BA) = 0, para todas A, B Rnn . 15. Seja A Rnn . Mostre que AD = DA, para toda matriz diagonal D Rnn se, e somente se, A uma matriz diagonal. 16. Seja A Rnn . Mostre que AB = BA, para toda B Rnn se, e somente se, A = aIn , para algum a R. (Sugesto: Calcule AEij = Eij A.) 17. Seja A Rnn . Dizemos que A uma matriz simtrica se At = A e que A uma matriz anti-simtrica se At = A. Mostre que se A anti-simtrica e n mpar, ento det A = 0. 18. Seja A Rnn . Dizemos que A uma matriz ortogonal se AAt = At A = In Mostre que se A ortogonal, ento det A = 1. 19. Seja f : Rnn R uma funo tal que f (AB) = f (A)f (B), A, B Rnn , e existem X, Y Rnn com f (X) 6= 0 e f (Y) 6= 1. Mostre que se A invertvel, ento f (A) 6= 0. (c) tr(AB) = tr(BA), para todas A, B Rnn .n X i=1

aii .

1.3

Sistemas de Equaes Lineareslineares com m equaes e n incgnitas um conjunto de

onde aij , bi R, i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n.

Um sistema de equaes equaes da forma: a11 x1 + a21 x1 + . . . . . . a x +m1 1

+ a1n xn = b1 + a2n xn = b2 . . . ... . . . . . . . . . + amn xn = bm ,

ou

n X j=1

aij xj = bi ,

(1.1)

1.3. SISTEMAS DE EQUAES LINEARES Uma soluo do sistema de equaes lineares (1.1) uma n-upla Y = (y1 , . . . , yn ) ou Y = [y1 , . . . , yn ] que satisfaz cada uma das m equaes, isto ,n X j=1

13

aij yj = bi , i = 1, . . . , m.

Observao 1.9 Se b1 = b2 = = bm = 0, dizemos que o sistema de equaes lineares (1.1) um sistema homogneo. Note que a n-upla (0, . . . , 0) sempre uma soluo do sistema homogneo. O sistema (1.1) pode ser escrito sob a forma matricial AX = B ou Xt At = Bt , onde

a matriz dos coecientes,

A=

a11 a21 . . .

a12 a22 . ... . .

a1n a2n . . .

am1 am2 amn X= B= x1 x2 . . . xn b1 b2 . . . bm

a matriz das incgnitas e

a matriz dos termos independentes. Neste caso,

L1 X = b1 , L2 X = b2 , . . . , Lm X = bm , onde Li = h i

(1.2)

ai1 ai2 ain

, i = 1, . . . , m.

14


O sistema de equaes lineares (1.2) chamado de sistema compatvel se para qualquer escolha de ri R tal quem X i=1

ri Li = 0,

ento necessariamentem X i=1

ri bi = 0.

Caso contrrio, ele chamado de sistema incompatvel. Se o sistema de equaes lineares (1.2) tem soluo, ento ele compatvel, pois se Y uma soluo do sistema em X i=1

ri Li = 0,

entom X i=1

ri bi =

m X i=1

m X ri (Li Y) = (ri Li )Y = i=1

m Xi=1

ri Li Y = 0Y = 0.

!

A matriz associada ao sistema de equaes lineares (1.1) ou (1.2) a11 . a1n . b1 . . a2n . b2 . . . . ... . . . . . . . amn . bm .

a 21 . A0 = [ A . B ] = . . . . am1

chamada de matriz ampliada (aumentada) do sistema. Dizemos que dois sistemas de equaes lineares so equivalentes se eles admitem as mesmas solues.

Exemplo 1.10 Vamos resolver o sistema de equaes lineares x1 + x2 2x3 = 4 x1 + x2 x3 = 3 x1 + 4x2 4x3 = 5

usando algumas operaes sobre as linhas da matriz ampliada do sistema.

1.3. SISTEMAS DE EQUAES LINEARES Soluo. Considerando a matriz ampliada do sistema, temos que . . 1 1 2 . 4 . 1 1 2 . . 4 . 1 1 1 . 3 L2 L2 L1 0 0 . 1 . 1 L 3 L1 . . 3 L . . . 5 . 1 4 4 . 1 4 4 . 5 . . 1 1 2 . . 4 1 1 2 . . 4 1 . 0 0 L2 L3 0 3 2 . . 1 . 1 . 1 L2 L3 . 3 . . . 1 . 0 0 1 . 0 3 2 . 1 . . 1 1 2 . . 4 1 1 0 . . 2 2 0 1 2 . 1 L L + 2L 2 . 1 L L + L . . 1 1 3 0 1 2 2 3 . . 3 3 3 3 3 . . 0 0 1 . 1 . 0 0 1 . 1 . . . 7 1 1 0 . . 2 1 0 0 . . 3 0 1 0 . 1 L1 L1 L2 0 1 0 . 1 . . . . . 3 3 . . . 1 . 1 0 0 1 . 0 0 1 . Assim, nosso sistema equivalente ao sistema 7 x1 = 3 x2 = 1 . 3 x3 = 1 Logo, 7 1 ( , , 1) 3 3 a nica soluo do sistema. As operaes usadas na matriz ampliada do sistema foram: 1. Permutao das i-sima e j-sima linhas. (Li Lj ) 2. Multiplicao da i-sima linha por um escalar no-nulo c. (Li cLi , c 6= 0)

15

3. Substituio da i-sima linha pela i-sima linha mais c vezes a j-sima linha, i 6= j. (Li Li + cLj ) Estas operaes so chamadas de operaes elementares sobre as linhas da matriz A. fcil vericar que operaes elementares sobre as linhas da matriz ampliada A0 correspodem a efetuar combinaes lineares das equaes do sistema de equaes lineares AX = B. Observaes 1.11 1. Cada operao acima tem uma inversa do mesmo tipo:

16 (a) Lj Li sua prpria inversa.


(b) Li cLi e c1 Li Li so inversas.

(c) Li Li + cLj e Li + c1 Lj Li so inversas.

2. Note, tambm, que as operaes acima so equivalentes a: (a) Pij A, onde Pij = In Eii Ejj + Eij + Eji . (b) Si (c)A, onde Si (c) = In + (c 1)Eij . (c) Vij (c)A, onde Vij (c) = In + cEij , i 6= j. Teorema 1.12 Se um sistema de equaes lineares obtido de outro atravs de um nmero nito de operaes elementares, ento eles so equivalentes. Prova. claro que basta provar que uma operao elementar sempre produz um sistema equivalente. As operaes 1 e 2 so facilmente provadas. Suponhamos que a operao consiste na substituio da i-sima linha pela i-sima linha mais c vezes a j-sima linha com i < j. Ento o sistema (1.2) pode ser escrito sob a forma L1 X = b1 , . . . , Li1 X = bi1 , (Li + cLj )X = bi + cbj , . . . , Lj Y = bj , . . . , Lm X = bm . (1.3) Agora, se Y soluo do sistema (1.2), ento claro que Y tambm soluo do sistema (1.3). Reciprocamente, seja Y uma soluo do sistema (1.3), de modo que, em particular, (Li + cLj )Y = bi + cbj e Lj Y = bj . Como (Li + cLj )Y = Li Y + cLj Y temos que Li Y = bi Portanto, Y soluo do sistema (1.2).

Sejam A e R duas matrizes m n. Dizemos que R equivalente por linha a A se R for obtida de A atravs de um nmero nito de operaes elementares sobre as linhas da matriz A. Exemplo 1.13 As matrizes abaixo so equivalentes por linhas: 7 1 0 0 1 1 2 4 3 A = 1 1 1 3 R = 0 1 0 1 3 1 4 4 5 0 0 1 1

e

1 0 0 3 1 4 3 1 A= 2 5 4 4 R = 0 1 0 2 . 0 0 1 2 1 3 2 5

1.3. SISTEMAS DE EQUAES LINEARES Uma matriz R reduzida por linha forma em escada se: 1. O primeiro elemento no-nulo em cada linha no-nula de R for igual a 1.

17

2. Cada coluna de R que contm o primeiro elemento no-nulo de alguma linha tem todos os outros elementos nulos. 3. Toda linha de R cujos elementos so todos nulos ocorre abaixo de todas as linhas que possuem um elemento no-nulo. 4. Se as linhas i = 1, . . . , r, com r m, so as linhas no-nulas de R e se o primeiro elemento no-nulo da linha i ocorre na coluna ki , ento k1 < k2 < < kr . Observao 1.14 O primeiro elemento em qualquer linha de R na posio (i, ki ) chamado de piv. Exemplos 1.15 1. A matriz 1 0 0 3 R = 0 1 0 2 0 0 1 2 1 0 0 3 R = 0 0 1 2 0 1 0 4 k1 < k2 < k3 . Teorema 1.16 Toda matriz m n equivalente por linha a uma matriz na forma em escada. Sejam A uma matriz m n e R a matriz m n linha reduzida forma em escada de A. O posto (linha) de A, em smbolos posto(A), igual ao nmero de linhas no-nulas de R. A nulidade de A, em smbolos nul(A), igual a nul(A) = n posto(A). Exemplo 1.17 Determine o posto e a nulidade 1 2 A = 1 0 1 2 da matriz 1 0 3 5 1 1

est na forma em escada. 2. A matriz

no est na forma em escada, pois k1 = 1, k2 = 3 e k3 = 2 no implica que

18 Soluo. Reduzindo a matriz 1 2 A = 1 0 1 2

CAPTULO 1. PR-REQUISITOS A forma em escada 1 0 0 7 1 0 8 3 5 R = 0 1 0 1 , 4 1 1 0 0 1 11 8

temos que o posto(A) = 3 e a nul(A) = 4 3 = 1. Teorema 1.18 Sejam AX = B um sistema de equaes lineares com m equaes e n incgnitas e A0 sua matriz ampliada. Ento o sistema tem soluo se, e somente se, posto(A) = posto(A0 ) ou, equivalentemente, a forma reduzida da matriz A0 no contm uma linha da forma (0, . . . , 0, b) com b 6= 0. Observaes 1.19 1. Se posto(A) = posto(A0 ) e posto(A) = n, ento o sistema tem uma nica soluo. Em particular, se m = n, ento para determinar a soluo do sistema basta transformar a matriz . . [ A . In . B ] . . na matriz . . [ In . A1 . X ]. . . 2. Se posto(A) = posto(A0 ) e posto(A) < n, ento o sistema tem innitas solues. Neste caso, existem nul(A) = n posto(A) variveis livres. 3. Se posto(A) < posto(A0 ), ento o sistema no tem soluo. 4. Uma maneira alternativa de resolver o sistema AX = B considerando a matriz A-associada . At . In . . . . . t . . Ot B . Assim, o sistema AX = B tem uma soluo particular Xp se, e somente se, . At . In . . . . . . Bt . Ot . Rt . S . . . . . . Ot . Xt p ,

1.3. SISTEMAS DE EQUAES LINEARES

19

onde Rt a matriz linha reduzida forma em escada de At . Portanto, a soluo geral do sistema X = Xp + Xh , onde Xh =n X

i=k+1

ci si , ci R,

k = posto(At ) e si , i = k + 1, . . . , n, so as linhas da matriz S. Note que Xh a soluo do sistema homogneo AX = O. Exemplo 1.20 Resolva o sistema x + 2y 2z = 1 2x + y 2z = 6 x + 8y 6z = 7.

Soluo. Vamos escalonar a matriz A-associada . . 1 1 2 1 . . 1 0 0 1 0 5 . . 3 . . 2 . . 1 8 . 0 1 0 1 2 . 0 2 3 . 2 2 6 . 0 2 . 0 0 . . 0 0 1 . 3 . . . . . . . . 0 0 0 . 11 1 6 7 . . . 0 0 0 3 Portanto, X= 11 4 2 2 , ,0 +c , , 1 , c R, 3 3 3 3

2 3 1 3

0 2 1 . 3 4 3 0

0

a soluo geral do sistema. Fazendo c = 0, temos que a soluo particular do sistema 11 4 Xp = , ,0 3 3

EXERCCIOS

1. Determine a, b R, de modo que o sistema x1 + 2x2 2x3 = 7 3x1 + x2 5x3 = b . x1 + ax2 + x3 = 3 tenha innitas solues.

20 2. Seja o sistema

CAPTULO 1. PR-REQUISITOS x1 2x2 + x3 = b1 2x + x2 + x3 = b2 . 1 5x2 x3 = b3

Determine condies sobre b1 , b2 e b3 , de modo que o sistema tenha soluo. 3. Determine R, de modo que 1 4 7 4. Sejam A= " 1 1 1 1 # exista uma matriz B R32 tal que 2 3 1 2 5 6 B = 3 1 . 8 5 5 " 2 1 1 2 # ,C = " 2 0 1 3 # R22 .

,B =

Determine uma matriz X R22 , de modo que XA 2X + XB2 = C2 XA XB2 . 5. Seja t R xado e considere os conjuntos W = {(x, y, z) R3 : x (1 + t)y = t}. U = {(x, y, z) R3 : x y + tz = 2}, V = {(x, y, z) R3 : y + z = 1},

Determine U V W . D uma interpretao geomtrica deste problema. 6. Seja a matriz 1 2 1 0 A = 1 0 3 5 R34 . 1 2 1 1

Determine uma matriz R linha reduzida forma em escada que seja linha equivalente a A e uma matriz 3 3 invertvel P tal que R = PA. (Sugesto: Basta reduzir a matriz . . [ A . I3 ] [ R . P ]. . . forma em escada.) 7. Determine a inversa da matriz

(Sugesto: Basta reduzir a matriz

A=

11 2 1 3

1 2 1 3 1 4

1 3 1 4 1 5

.

. . [ A . I3 ] [ I3 . A1 ] . . forma em escada.)

1.3. SISTEMAS DE EQUAES LINEARES

21

8. Sejam A, B Rmn . Mostre que A equivalente B se B for obtida de A por uma seqncia nita de operaes elementares por linha e coluna. 9. Seja 1 2 3 A= 2 5 4 . 3 4 8

Determine uma matriz invertvel P tal que

Note que At = A e D diagonal. (Sugesto: Considere a matriz . 2 2 . 1 0 0 . . B= 2 5 4 . 0 1 0 , . . . 0 0 1 2 4 8 . 1

1 0 0 Pt AP = D = 0 1 0 . 0 0 5

agora aplique as operaes de linhas e as correspondentes oparaes de colunas para reduzir B forma . 1 0 3 . . 1 0 0 . 0 1 2 . 2 1 0 , . . 3 2 8 . . 0 0 1 continue at obter . [ D . Pt ].) . 10. Determine todas as funes f : R R da forma f (x) = a + bx + cx2 + dx3 + cx4 , de modo que f + f 0 + f 00 + f 000 = 1. 11. Uma matriz a1 b1 c1 A = a2 b2 c2 R33 a3 b3 c3

um quadrado mgico de ordem 3 se a soma das trs linhas, a soma das trs colunas e a soma das duas diagonais so todas iguais ao mesmo nmero s. (a) Reescreva as condies para um quadrado mgico como um sistema de 8 equaes lineares nas variveis s, ai , bi e ci , i = 1, 2, 3 e resolva este sistema.

22 (b) Mostre que 3b2 = s.


(c) Substitua as estrelas por nmeros de modo 1 A= 2 seja um quadrado mgico.

que a matriz 4

12. Mostre que as matrizes do item 2 da Observao 1.11, possui as seguintes propriedades: (a) P2 = In . ij (b) Si (c)Si (d) = Si (cd). (c) Si (c)1 = Si (c1 ). (d) Vij (c + d) = Vij (c)Vij (d). (e) Vij (c)1 = Vij (c1 ). 13. Sejam A Rmn e B Rm1 . Mostre que se o sistema AX = B tem uma soluo X Cn1 , ento ele tem tambm uma soluo X Rn1 . 14. Mostre que det

1 x1 x2 xn1 1 1 1 x2 x2 xn1 2 2 . . . .. . . . . . . . . . . 1 xn x2 . . . xn1 n n

Este determinante conhecido como o determinante de Vandermonde. (Sugesto: Use induo em n e considere as operaes elementares sobre colunas Cj+1 Cj+1 xj Cj , j = 1, . . . , n 1.) 15. Mostre que s0 s1 s2 det s1 s2 s3 = [(a b)(a c)(b c)]2 , s2 s3 s4

n1 Y Y Y n = (xi xj ) = (xi xj ). 1i 0, para i = 1, . . . , n.

aik xk = 0, i = 1, . . . , n,

(2.2)

isto , o sistema (2.2) possui uma soluo no-nula (x1 , . . . , xn ). Assim, fazendo |xj | = max{|x1 | , |x2 | , . . . , |xn |} e multiplicando a soluo do sistema (2.2) por 1, se necessrio, podemos supor que xj > 0. Agora, considerando a j-sima equao do sistema (2.2), temos que ! n n n n X X X X ajk xk = ajj xj + ajk xk ajj xj + ajk xj = ajk xj > 0,k=1 k=1,k6=j k=1,k6=j k=1

o que uma contradio. Exemplo 2.34 (Regra de Cramer) Sejam A Rnn e C1 , . . . , Cn as colunas da matriz A. Mostre que se existirem x1 , . . . , xn R tais que B = x1 C1 + + xn Cn , ento i h xj det A = det C1 Cj1 B Cj+1 Cn .

Em particular, se det A 6= 0, ento h i det C1 Cj1 B Cj+1 Cn , xj = det A

isto , o sistema de equaes lineares AX = B tem uma nica soluo.

48

CAPTULO 2. ESPAOS VETORIAIS

Soluo. Suponhamos que existam x1 , . . . , xn R tais que B = x1 C1 + + xn Cn . Ento x1 C1 + + xj1 Cj1 + 1 (xj Cj B) + xj+1 Cj+1 + + xn Cn = O. Logo, as colunas da matriz h i C1 Cj1 xj Cj B Cj+1 Cn

Portanto,

so LD. Assim, pela Proposio 1.5, temos que h i 0 = det C1 Cj1 xj Cj B Cj+1 Cn i h = xj det A det C1 Cj1 B Cj+1 Cn . xj det A = det h C1 Cj1 B Cj+1 Cn i .

Teorema 2.35 Sejam V um espao vetorial sobre R e u1 , . . . , un V . O conjunto {u1 , . . . , un } LD se, e somente se, um destes vetores for combinao linear dos outros. Prova. Suponhamos que o conjunto {u1 , . . . , un } seja LD. Ento, por denio, existem escalares x1 , . . . , xn R, no todos nulos, tais que x1 u1 + + xn un = 0. Como os escalares x1 , . . . , xn no so todos nulos temos que existe i {1, . . . , n} tal que xi 6= 0. Logo, ui = ( x1 xi1 xi+1 xn )u1 + + ( )ui1 + ( )ui+1 + + ( )un . xi xi xi xi

Reciprocamente, suponhamos que um destes vetores seja combinao linear dos outros, digamos uj = x1 u1 + + xj1 uj1 + xj+1 uj+1 + + xn un . Logo, a equao vetorial x1 u1 + + xj1 uj1 + (1)uj + xj+1 uj+1 + + xn un = 0. admite pelo menos uma soluo no-nula, a saber, (x1 , . . . , xj1 , 1, xj+1 , . . . , xn ). Portanto, o conjunto {u1 , . . . , un } LD Corolrio 2.36 Sejam V um espao vetorial sobre R e u1 , . . . , un vetores em V com pelo menos dois vetores no-nulos. O conjunto {u1 , . . . , un } LD se, e somente se, um destes vetores for combinao linear dos precedentes.

2.4. DEPENDNCIA E INDEPENDNCIA LINEAR

49

Prova. Suponhamos que o conjunto {u1 , . . . , un } seja LD. Ento, por denio, existem escalares x1 , . . . , xn R, no todos nulos, tais que x1 u1 + + xn un = 0. Seja k o maior inteiro tal que xk 6= 0. Ento x1 u1 + + xk uk = 0. Se k = 1, ento x1 u1 = 0 e, assim, u1 = 0, o que impossvel. Portanto, k > 1 e uk = ( x1 xk1 )u1 + + ( )uk1 . xk xk Exemplo 2.37 Seja V = R2 . Ento os vetores u1 = (1, 1), u2 = (1, 1) e u3 = (1, 0) so LD, pois 1 1 u3 = u1 + u2 . 2 2

EXERCCIOS

1. Seja V = Rn . Se u = (x1 , . . . , xn ) V e v = (y1 , . . . , yn ) V . Mostre que u e v so LD se, e somente se, existe um escalar a R tal que yi = axi , i = 1, . . . , n. 2. Sejam u, v e w vetores de um espao V . Se {u, v, w} um conjunto LI, mostre que: (a) {u + v 2w, u v w, u + w} um conjunto LI. (b) {u + v 3w, u + 3v w, v + w} um conjunto LD. 3. Sejam u = (a, b), v = (c, d) vetores de R2 . Mostre que o conjunto {u, v} LD se, e somente se, ad = bc. 4. O conjunto {1, x, x2 , 2 + x + 2x2 } LI ou LD em P2 (R)? O que se pode armar a respeito de qualquer um de seus subconjuntos com trs elementos? 5. Encontre um vetor u R3 tal que [u] = W1 W2 , onde W1 = [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] e W2 = [(1, 2, 3) , (1, 1, 1)] . 6. Em quais condies sobre o escalar k, o conjunto (1, 0, k) , (1, 1, k) , 1, 1, k 2 LI em R3 ?

50

CAPTULO 2. ESPAOS VETORIAIS 7. Seja V = C([0, 1], R) o espao vetorial de todas as funes reais contnuas. Quais dos subconjuntos abaixo so LI em V. (a) {x, x + 1, x2 1}.

(b) {x + 5, x2 x, x2 + x 10}. (d) {(x + 1)2 , x2 1, x + 1}. (f) {1, ex , ex }. (c) {(x + 1)2 , 2x, x + 1 }. 2

(e) {1 x, x(1 x), 1 x2 }.

(g) {sen x, cos x, tan x}. 8. Responda verdadeiro (V) ou falso (F). Justique. ( ) Todo conjunto que contm um subconjunto LD LD? ( ) Todo subconjunto de um conjunto LI LI? ( ) Todo conjunto que contm dois vetores iguais LI? ( ) Todo conjunto que contm o vetor nulo LI? 9. Sejam V = Rn e a R. Mostre que o conjunto {u1 , . . . , um } LI se, e somente se, o conjunto {u1 , . . . , ui + auj , . . . , uj . . . , um } LI, para todos i, j {1, . . . , m}, com i < j.

2.5

Bases e Dimenso

Seja V um espao vetorial sobre R. Um conjunto = {u1 , . . . , un } de vetores em V uma base de V se as seguintes condies so satisfeitas: 1. = {u1 , . . . , un } LI. 2. V = [] = [u1 , . . . , un ]. Ou, equivalentemente, V = [u1 ] [u2 ] [un ]. Mais geralmente, um subconjunto no-vazio de V uma base de V se LI e [] = V . Observao 2.38 Pode ser provado, usando o Lema de Zorn, que todo espao vetorial V 6= {0} possui uma base. Exemplo 2.39 Seja V = R3 . fcil vericar que o conjunto = {e1 , e2 , e3 } uma base nita de V , a qual chamada de base cannica de V .

2.5. BASES E DIMENSO

51

Exemplo 2.40 Sejam V = P (R) o espao vetorial de todos os polinmios com coecientes reais e = {1, x, x2 , x3 , . . .}. Ento uma base innita de V , a qual chamada de base cannica de V . Soluo. Sejam pi = xi , pi+1 = xi+1 , . . . , pi+n = xi+n vetores distintos de V com i 0. Se c1 pi + + cn pi+n = 0, ento, pela igualdade de polinmios, temos que c1 = = cn = 0. Logo, LI. claro que [] = V , pois todo vetor p em V da forma p = a0 + a1 x + + an xn . Portanto, uma base innita de V . Seja V um espao vetorial sobre R. Dizemos que V de dimenso nita se ele possui uma base nita, por exemplo, V = R3 de dimenso nita. Caso contrrio, V de dimenso innita. Teorema 2.41 Sejam V um espao vetorial sobre R e u1 , . . . , un vetores em V tais que V = [u1 , . . . , un ]. Ento, dentre estes vetores, podemos extrair uma base de V . Prova. Se os vetores u1 , . . . , un so LI, nada h para ser provado. Caso contrrio, pelo Teorema 2.35, temos que um destes vetores combinao linear dos outros, digamos un = x1 u1 + + xn1 un1 . Logo, V = [u1 , . . . , un ] = [u1 , . . . , un1 ]. Se os vetores u1 , . . . , un1 so LI, nada h para ser provado. Caso contrrio, pelo Teorema 2.35, temos que um destes vetores combinao linear dos outros, digamos un1 = x1 u1 + + xn2 un2 . Logo, V = [u1 , . . . , un1 ] = [u1 , . . . , un2 ]. Continuando desta maneira (em no mximo n 1 etapas), obtemos uma base de V.

Exemplo 2.42 Sejam V = R3 e u1 = (1, 0, 0), u2 = (1, 1, 0), u3 = (0, 0, 1), u4 = (1, 1, 1) vetores em V tais que V = [u1 , u2 , u3 , u4 ]. Determine dentre estes vetores uma base de V .

52


Soluo. Para resolver este problema devemos vericar se os vetores u1 , u2 , u3 e u4 so LI ou LD, isto , vericar se a equao vetorial x1 u1 + x2 u2 + x3 u3 + x4 u4 = 0 tem soluo nula ou no, onde 0 = (0, 0, 0) V . o sistema homogneo x1 + x2 + x4 x2 + x4 x3 + x4 Mas isto equivalente a determinar se =0 =0 =0

tem soluo. fcil vericar que

S = {(0, c, c, c) : c R} o conjunto soluo do sistema. Em particular, se c = 1, ento (0, 1, 1, 1) uma soluo no-nula do sistema. Portanto, os vetores u1 , u2 , u3 e u4 so LD e u4 = 0u1 + u2 + u3 . Assim, V = [u1 , u2 , u3 ] e o conjunto = {u1 , u2 , u3 } uma base de V (prove isto!). Teorema 2.43 Seja V um espao vetorial sobre R tal que V = [u1 , . . . , um ]. Ento todo conjunto com mais de m vetores em V LD. Assim, todo conjunto de vetores LI em V possui no mximo m vetores. Prova. Como V = [u1 , . . . , um ] temos, pelo Teorema 2.41, que existe uma base de V dentre os vetores u1 , . . . , um . Logo, reenumerando, se necessrio, podemos supor que {u1 , . . . , uk }, com k m, seja uma base de V . Seja {v1 , . . . , vn } um conjunto de vetores em V com n > m. Como vj V e {u1 , . . . , uk } uma base de V temos que existem aij R tais que vj = a1j u1 + + akj uk , j = 1, . . . , n.

2.5. BASES E DIMENSO Agora, vamos estudar a combinao linear x1 v1 + + xn vn = =n X j=1 n X j=1

53

xj vj k Xi=1

xj

aij ui !

= Assim, x1 v1 + + xn vn = 0

n k X Xi=1 j=1

!

xj aij

ui .

ou seja, basta discutir o sistema homogneo com k equaes e n incgnitasn X j=1

n X j=1

xj aij = 0, i = 1, . . . , k,

xj aij = 0, i = 1, . . . , k.

Como n > m k temos, pelo item 2. das Observaes 1.19, que este sistema tem pelo menos uma soluo no-nula (y1 , . . . , yn ). Logo, y1 v1 + + yn vn = = Portanto, o conjunto {v1 , . . . , vn } LD. Corolrio 2.44 Seja V um espao vetorial de dimenso nita sobre R. Se {u1 , . . . , um } e {v1 , . . . , vn } so duas bases quaisquer de V , ento m = n. Prova. Como V = [u1 , . . . , um ] e {v1 , . . . , vn } um conjunto LI temos, pelo Teorema 2.43, que n m. Por outro lado, como V = [v1 , . . . , vn ] e {u1 , . . . , um } um conjunto LI temos, pelo Teorema 2.43, que m n. Portanto, m = n. Seja V um espao vetorial de dimenso nita sobre R. A dimenso de V o nmero de elementos em alguma base de V e ser denotada por dim V ou dimR V . Note, pelo Corolrio 2.44, que esta denio no depende da base de V , isto , est bem denida. Quando V = {0}, convencionamos que dim V = 0.n X j=1 k X i=1

yj vj =

n k X Xi=1 j=1

yj aij

!

ui

0ui = 0.

54


Sejam V um espao vetorial sobre R e = {u1 , . . . , un } um subconjunto qualquer de vetores de V . O posto de denido por posto() = dim[]. Lema 2.45 Seja V um espao vetorial sobre R. Seja {u1 , . . . , um } um subconjunto LI em V . Ento u V [u1 , . . . , um ] se, e somente se, {u1 , . . . , um , u} um conjunto LI. Prova. Sejam x1 , . . . , xm , y escalares em R tais que x1 u1 + + xm um + yu = 0. Ento y = 0, pois se y 6= 0, ento u = ( xm x1 )u1 + + ( )um u [u1 , . . . , um ], y y

o que impossvel. Assim, y = 0 e x1 u1 + + xm um = 0. Logo, por hiptese, x1 = = xm = 0. Portanto, {u1 , . . . , um , u} um conjunto LI.

Teorema 2.46 Sejam V um espao vetorial de dimenso nita sobre R e W um subespao de V . Ento todo conjunto de vetores LI em W parte de uma base de W . Prova. Seja {u1 , . . . , um } um conjunto de vetores LI em W . Se W = [u1 , . . . , um ], acabou. Caso contrrio, existe pelo Lema 2.45 um+1 W [u1 , . . . , um ] tal que {u1 , . . . , um , um+1 } LI em W . Se W = [u1 , . . . , um , um+1 ], acabou. Caso contrrio, existe pelo Lema 2.45 um+2 W [u1 , . . . , um , um+1 ] tal que {u1 , . . . , um , um+1 , um+2 } LI em W . Continuando desta maneira (em no mximo dim V etapas), obtemos o conjunto {u1 , . . . , um , um+1 , um+2 , . . . , un }, que uma base de W .

2.5. BASES E DIMENSO

55

Corolrio 2.47 Seja V um espao vetorial de dimenso nita sobre R. Se W um subespao prprio de V , ento dim W < dim V . Alm disso, se dim V = n, ento todo conjunto com n vetores LI em V uma base de V . Prova. Como W 6= {0} temos que existe u em W com u 6= 0. claro que {u} um conjunto LI em W . Assim, pelo Teorema 2.46, existe uma base de W contendo u e no mximo dim V elementos. Logo, dim W dim V . Como W V temos que existe v V tal que v W . Assim, acrescentando v a uma base de W , obtemos um conjunto LI para / V . Portanto, dim W < dim V . Exemplo 2.48 Seja V = R3 . Verique se os vetores (1, 1, 0) e (0, 1, 1) parte de uma base de V . Soluo. Para resolver este problema devemos vericar se os vetores (1, 1, 0) e (0, 1, 1) so LI, isto , resolver a equao vetorial x1 (1, 1, 0) + x2 (0, 1, 1) = (0, 0, 0). Mas isto equivalente a vericar se o sistema homogneo x1 = 0 x + x2 = 0 1 x2 = 0

tem soluo. fcil vericar que x1 = x2 = 0. Logo, os vetores (1, 1, 0) e (0, 1, 1) so LI. Portanto, os vetores (1, 1, 0), (0, 1, 1) parte de uma base de V . Agora, para determinar u = (b1 , b2 , b3 ) V [(1, 1, 0), (0, 1, 1)], devemos primeiro encontrar os vetores u = (b1 , b2 , b3 ) tais que x1 (1, 1, 0) + x2 (0, 1, 1) = u, isto , resolver o sistema no-homogneo x1 = b1 x + x2 = b2 . 1 x2 = b3

Logo, o vetor u = (b1 , b2 , b3 ) V combinao linear dos vetores (1, 1, 0) e (0, 1, 1) se, e somente se, b2 = b1 + b3 . Portanto, u = (b1 , b2 , b3 ) V [(1, 1, 0), (0, 1, 1)] b2 6= b1 + b3 . Em particular, u = (1, 1, 1) V [(1, 1, 0), (0, 1, 1)]. Assim, os vetores (1, 1, 0), (0, 1, 1) e (1, 1, 1) so LI em V . Como dim V = 3 temos que {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1)} uma base de V .

56


Teorema 2.49 Seja V um espao vetorial de dimenso nita sobre R. Se W1 e W2 so subespaos de V , ento dim(W1 + W2 ) = dim W1 + dim W2 dim(W1 W2 ). Prova. Como W1 W2 um subespao de W1 e W2 temos, pelo Teorema 2.46, que W1 W2 contm uma base = {u1 , . . . , uk } que parte de uma base , onde = {v1 , . . . , vm } de W1 e parte de uma base , onde = {w1 , . . . , wn } de W2 . Note que os conjuntos , e so dois a dois disjuntos (conra Figura 2.1).

Figura 2.1: Interseo dos subespaos W1 e W2 . Armao. O conjunto = uma base de W1 + W2 . De fato, claro que o conjunto gera W1 + W2 . Agora, suponhamos quek X i=1

xi ui +

m X j=1

yj vj +

n X l=1

zl wl = 0.

2.5. BASES E DIMENSO Ento Logo, n Xl=1

57 !

zl wl

=

k X i=1

xi ui +

m X j=1

yj vj W1 .

Assim, existem t1 , . . . , tk R tais que ! n X zl wl = t1 u1 + + tk uk , l=1

n Xl=1

zl wl

!

W1 W2 .

ou seja,k X i=1

ti ui +

Como LI temos que z1 = = zn = 0. Logo,k X i=1

n X l=1

zl wl = 0.

xi ui +

m X j=1

yj vj = 0.

Como LI temos que x1 = = xk = y1 = = ym = 0. Portanto, um conjunto LI. Logo, dim W1 + dim W2 = (m + k) + (n + k) = (m + n + k) + k = dim(W1 + W2 ) + dim(W1 W2 ). Exemplo 2.50 Sejam V = R4 , W1 = {(x, y, z, t) V : y + z + t = 0} e W2 = {(x, y, z, t) V : x + y = 0 e z 2t = 0}. subespaos de V . 1. Determine uma base de W1 + W2 e dim(W1 + W2 ). 2. V soma direta de W1 e W2 ?

58 Soluo. Note que


W1 = {(x, y, z, t) V : y + z + t = 0} = {(x, y, z, y z) V : x, y, z R} = {(x, 0, 0, 0) + (0, y, 0, y) + (0, 0, z, z) : x, y, z R} = [(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)]. e dim W1 = 3. De modo anlogo, mostra-se que W2 = [(1, 1, 0, 0), (0, 0, 2, 1)] e dim W2 = 2. Agora, para determinar uma base de W1 +W2 , podemos escalonar a matriz 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 Portanto, o conjunto = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 0)} uma base de W1 + W2 e dim(W1 + W2 ) = 4. Assim, V = R4 = W1 + W2 , pois W1 + W2 V . Como dim(W1 W2 ) = dim W1 + dim W2 dim(W1 + W2 ) = 3+24=1 temos que V no soma direta de W1 e W2 . Note que, para determinar uma base de W1 W2 basta resolver o sistema y+z+t=0 x+y =0 . z 2t = 0 Exemplo 2.51 Sejam V = R3 , W1 = [(1, 0, 1), (0, 1, 2)] e W2 = [(1, 2, 3) , (1, 1, 1)] . subespaos de V . 1. Determine uma base de W1 W2 e a dim(W1 W2 ).

Assim, W1 W2 = [(3, 3, 2, 1)].

2.5. BASES E DIMENSO 2. V soma direta de W1 e W2 ?

59

Assim,

Soluo. fcil vericar que dim W1 = 2 e dim W2 = 2. Agora, para determinar uma base para W1 W2 , devemos primeiro determinar os vetores u = (x, y, z) em R3 que esto nos subespaos W1 e W2 , isto , escalonar as matrizes . . 1 0 . x . 1 1 . x . 0 1 . y e 2 1 . y . . . . . . . . z . z 1 2 . 3 1 . . 1 0 . x . 0 1 . y . . . 1 2 . z . 1 . 1 0 . . x . 0 1 . . y . 0 0 . x 2y + z . . 1 0 . . 0 1 . . . . 0 0 . . x+y 3 2xy 3 5x2y+3z 3

e

Logo, pelo item 2. das Observaes 1.19,

. 1 . x . 2 1 . y . . . 3 1 . z .

.

W1 = {(x, y, z) V : x 2y + z = 0} e W2 = {(x, y, z) V : 5x 2y + 3z = 0}. Finalmente, basta resolver o sistema (

x 2y + z = 0 . 5x 2y + 3z = 0

Assim, W1 W2 = [(1, 2, 3)] e dim(W1 W2 ) = 1. Portanto, V no soma direta de W1 e W2 mas V = W1 + W2 , pois dim(W1 + W2 ) = 2 + 2 1 = 3 = dim V e W1 + W2 V.

EXERCCIOS

1. Sejam V = R3 e W1 , W2 subespaos de V tais que dim W1 = dim W2 = 2. possvel obtermos W1 W2 = {(0, 0, 0)}? 2. Sejam V = R3 e W1 , W2 subespaos V tais que dim W1 = 1, dim W2 = 2 e W1 " W2 . Mostre que R3 = W1 W2 .

60

CAPTULO 2. ESPAOS VETORIAIS 3. Sejam V um espao vetorial sobre R e W1 , W2 subespaos V , onde dim W1 = 4, dim W2 = 5 e dim V = 7. Determine os possveis valores para dim (W1 W2 ). 4. Seja V = R4 . Determine uma base e a dimenso dos subespaos W1 = [(1, 4, 1, 3) , (2, 1, 3, 1) , (0, 2, 1, 5)] e W2 = [(1, 4, 2, 1) , (1, 3, 1, 2) , (3, 8, 2, 7)] . 5. Sejam V = R3 , W1 = {(x, y, z) V : x = 0} e W2 = [(1, 2, 0) , (3, 1, 2)] subespaos de V . Determine uma base e a dimenso para W1 , W2 , W1 + W2 e W1 W2 . 6. Sejam V = R22 , (" # ) (" # ) a b a b W1 = V : b = a e W2 = V : c = a . c d c d subespaos de V . Determine uma base e a dimenso para W1 , W2 , W1 + W2 e W1 W2 . verdade que R22 = W1 W2 ? 7. Seja V = P3 (R). Determine uma base e a dimenso do subespao W = {p V : p0 (x) = 0} . 8. Sejam V = R2 e o conjunto de vetores = {u, v} em V , onde u = (1 a, 1 + a) e v = (1 + a, 1 a) . Determine o valor de a R para que no seja uma base de V . 9. Sejam V = P2 (R) e p = 2x2 3x + 1 V. O conjunto = {p, p0 , p00 } uma base de V?

10. Mostre que o conjunto = {(1 x)3 , (1 x)2 , 1 x, 1} uma base de P3 (R). 11. Seja V = R4 . Quais dos subconjuntos abaixo so bases de V ? (a) {(1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 1)}. (b) {(1, 3, 2, 4), (1, 1, 5, 9), (2, 0, 13, 23), (1, 5, 1, 2)}. (c) {(1, 1, 1, 1), (3, 2, 0, 3), (0, 1, 0, 3), (4, 2, 1, 7)}.

2.5. BASES E DIMENSO (d) {(1, 2, 0, 1), (0, 0, 2, 5), (2, 4, 2, 3), (1, 2, 4, 9)}.

61

12. Em cada um dos subconjuntos abaixo determine uma base de W e estenda-a a uma base de V . (a) Se V = R3 e W = {(x, y, z) : x 3y + 3z = x + 5y z = x + y + z = 0}. (b) Se V = R4 e W = [(1, 2, 0, 1), (0, 0, 2, 5), (2, 4, 2, 3)]. (c) Se V = R4 e W = [(1, 1, 1, 1), (3, 2, 0, 3), (0, 1, 0, 3)]. 13. Seja W o conjunto de todos os quadrados mgicos de ordem 3 (conra Exerccio 11 do Captulo 1). (a) Mostre que W um subespao de R33 e que o conjunto 1 1 1 0 1 1 1 1 0 = 1 1 1 , 1 0 1 0 1 , 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 uma base de W . (b) Mostre que toda matriz a1 a2 a3 A=

pode ser transformada em um quadrado mgico. Existe outra maneira de faz-la? 14. Mostre que o conjunto = {1, 1 + x, 1 + x + x2 , 1 + x + x2 + x3 , 1 + x + x2 + x3 + x4 } uma base de P4 (R). 15. Sejam V um espao vetorial sobre R com V 6= {0} e um subconjunto no-vazio de V . Mostre que as seguintes condies so equivalentes: (a) um conjunto independente maximal de V , no seguinte sentido: no existe subconjunto 0 LI de V tal que 0 ; (b) um conjunto minimal de geradores de V , no seguinte sentido: no existe subconjunto de geradores 0 de V tal que 0 ;

62 (c) uma base de V .


16. Sejam V um espao vetorial sobre R e W1 , W2 , W3 subespaos de V . Mostre que dim(W1 + W2 + W3 ) dim(W1 ) + dim(W2 ) + dim(W3 ) dim(W1 W2 ) dim(W1 W3 ) dim(W2 W3 ) + dim(W1 W2 W3 ). 17. Sejam V um espao vetorial sobre R e W um subespao de V . (a) Mostre que o conjunto V = com as operaes de adio (u + W ) (v + W ) = (u + v) + W e multiplicao por escalar a (u + W ) = au + W um espao vetorial sobre R chamado espao quociente. (b) Se uma base de W e se um subconjunto de V tal que {u + W : u } uma base de V , ento = e uma base de V . (c) Se uma base de V tal que uma base de W , ento {u + W : u } uma base de V . (d) Mostre que dim V = dim V + dim W, isto , dim V = dim V dim W. V = {u + W : u V } W

2.6

Mudana de Bases

Seja V um espao vetorial de dimenso nita sobre R. Uma base ordenada de V uma seqncia nita de vetores LI que gera V e ser denotada por (u1 , . . . , un ) ou {u1 , . . . , un }

2.6. MUDANA DE BASES Se a seqncia u1 , . . . , un uma base ordenada de V , ento {u1 , . . . , un } uma base de V .

63

Observao 2.52 importante destacar as principais diferenas entre seqncia e conjunto de vetores: a primeira a ordem - no conjunto no importa a ordem dos elementos enquanto na seqncia a ordem importante - segunda a identidade - no conjunto os elementos so todos distintos enquanto na seqncia todos podem ser iguais, isto , ui = u, i = 1, . . . , n. Teorema 2.53 Sejam V um espao vetorial de dimenso nita sobre R e = {u1 , . . . , un } uma base ordenada de V . Ento todo vetor u V pode ser escrito de modo nico sob a forma: u = x1 u1 + + xn un . Prova. (Existncia) Como u V = [] temos que existem escalares x1 , . . . , xn em R tais que u = x1 u1 + + xn un . (Unicidade) Suponhamos, tambm, que u = y1 u1 + + yn un . Ento 0 = u u = (x1 y1 )u1 + + (xn yn )un . Como LI temos que xi yi = 0, i = 1, . . . , n. Portanto, xi = yi , i = 1, . . . , n.

Os escalares x1 , . . . , xn so chamados as coordenadas do vetor u em relao base ordenada e ser denotada por x1 . [u] = . . . xn Note que [u + v] = [u] + [v] e [au] = a[u] , u, v V, a R. Exemplo 2.54 Sejam V = R3 e = {(1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 0, 0)} uma base ordenada de V . Determine [(a, b, c)] .

64


Soluo. Para resolver este problema devemos encontrar x1 , x2 , x3 R tais que (a, b, c) = x1 (1, 0, 1) + x2 (1, 1, 1) + x3 (1, 0, 0), isto , resolver o sistema no-homogneo x1 + x2 + x3 = a x2 = b . x1 + x2 = c

Exemplo 2.55 Seja V = P2 (R). Mostre que = {1, 1 + x, (1 + x)2 } uma base de V e determine [a0 + a1 x + a2 x2 ] . Soluo. fcil vericar que os vetores 1, 1+x e (1+x)2 so LI. Como dim V = 3 temos que = {1, 1 + x, (1 + x)2 } uma base de V . Agora, devemos encontrar y1 , y2 , y3 R tais que a0 + a1 x + a2 x2 = y1 + y2 (1 + x) + y3 (1 + x)2 = y1 + y2 + y3 + (y2 + 2y3 )x + y3 x2 , isto , resolver o sistema no-homogneo y1 + y2 + y3 = a0 y2 + 2y3 = a1 . y3 = a2

fcil vericar que x1 = b c, x2 = b e x3 = a 2b + c. Portanto, bc [(a, b, c)] = b . a 2b + c

fcil vericar que y1 = a0 a1 + a2 , y2 = a1 2a2 e y3 = a2 . Portanto, a0 a1 + a2 [a0 + a1 x + a2 x2 ] = a1 2a2 . a2 Sejam V um espao vetorial de dimenso nita sobre R, = {u1 , . . . , un } e 0 = {v1 , . . . , vn }

duas bases ordenadas de V . Ento, pelo Teorema 2.53, todo vetor u V pode ser escrito de modo nico sob a forma ( u = x1 u1 + + xn un (2.3) u = y1 v1 + + yn vn .

2.6. MUDANA DE BASES Assim, x1 . [u] = . e [u] 0 = . xn y1 . . . .

65

yn

Como vj V , para cada j = 1, 2, . . . , n, temos que existem nicos aij R tais que . . . v1 = a11 u1 + + an1 un = . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . n Pi=1 n P

ai1 ui (2.4) ain ui .

vn = a1n u1 + + ann un = Logo, pela Equao (2.3), temos que u = y1 v1 + + yn vn n n X X = yj ( aij ui ) =j=1 n X

i=1

(

i=1 j=1

i=1 n X

aij yj )ui .

Assim, pela unicidade das coordenadas, temos que x1 . . . xn Em forma matricial = . . . a11 y1 . . . + . .. . . . + . . . + + a1n yn . . . ann yn .

= an1 y1

Fazendo

x1 . . = . xn

a11 . .. . . . an1

a1n y1 . . . . . . . ann yn a1n . , . .

obtemos0

a11 . .. 0 [I] = . . .0

an1 ann

[u] = [I] [u] 0 . A matriz [I] chamada a matriz de mudana de base da base 0 para a base . 0 Comparando [I] com a equao (2.4), notamos que esta matriz obtida colocando as coordenadas em relao base de vj na j-sima coluna. Observao 2.56 A matriz [I] invertvel, pois para cada i = 1, 2, . . . , n, temos que vi = ai1 u1 + ai2 u2 + + ain un =n X j=10

aij uj

(2.5)

66 e para cada j = 1, 2, . . . , n, temos que


uj = bj1 v1 + bj2 v2 + + bjn vn =0

n X k=1

bjk vk .

(2.6)

Fazendo A = [aij ] e B = [bjk ], temos que [I] = At e [I] 0 = Bt . Substituindo a equao (2.6) na equao (2.5), temos que n ! n ! n n X X X X aij bjk vk = aij bjk vk . vi =j=1 k=1 k=1 j=1

Como {v1 , . . . , vn } uma base de V temos quen X j=1

aij bjk = ik AB = In .

Portanto, [I] 0 [I] = Bt At = (AB)t = (In )t = In [I] 0 = ([I] )1 . Exemplo 2.57 Sejam V = R2 , = {(2, 1), (3, 4)} e 0 = {e1 , e2 } duas bases ordenadas de V . Determine [(5, 8)] . Soluo. Uma maneira de resolver este problema usando a equao matricial [(5, 8)] = [I] [(5, 8)] 0 , pois [(5, 8)] 0 = Agora, (1, 0) = a11 (2, 1) + a21 (3, 4) a11 = (0, 1) = a12 (2, 1) + a22 (3, 4) a12 Portanto,0 [I] 0 0 0

"

5 8

#

.

4 1 e a21 = 11 11 3 2 e a22 = . = 11 11 #" # " #

1 = 11

"

4 3 1 2

#

1 e [(5, 8)] = 11

"

4 3 1 2

5 8

=

4 1

.

Exemplo 2.58 Sejam V = R2 , = {e1 , e2 } a base ordenada cannica de V e 0 = {f1 , f2 } uma base de V obtida de pela rotao de um ngulo . Determine [u] 0 . Soluo. Pela Figura 2.2,

2.6. MUDANA DE BASES

67

Figura 2.2: Rotao de um ngulo . temos que e1 = cos f1 sen f2 e2 = sen f1 + cos f2 . Logo, [I] 0 = Assim, se u = (x, y), ento [u] 0 = [I] 0 [u] " # cos x + sen y = . sen x + cos y Em particular, quando = , temos que 4 # # " " 1 1 x+y 2 2 [I] 0 = e [u] 0 = . 2 2 1 1 x + y Exemplo 2.59 Sejam V = R2 , = {(1, 2), (3, 6)} e 0 duas bases ordenadas de V . A matriz de mudana de base da base para a base 0 " # 1 1 [I] 0 = . 1 1 Determine a base 0 . Soluo. Seja 0 = {(a, b), (c, d)} a base desejada. Uma maneira de resolver este problema determinando a inversa da matriz [I] 0 . Logo, . . 1 1 . 1 0 . 1 . 2 1 1 0 . 2 . . 1 . . . 0 1 0 1 . 2 1 1 1 . 2 " cos sen sen cos #

.

68 Assim,0 [I]

CAPTULO 2. ESPAOS VETORIAIS " #

e (a, b) =

1 = [I] 0 =

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 (1, 2) + (3, 6) = (2, 2) 2 2 1 1 (c, d) = (1, 2) (3, 6) = (1, 4). 2 2 Portanto, 0 = {(2, 2), (1, 4)}. EXERCCIOS

1. Sejam V = R2 e = {(2, 1) , (1, 1)} um conjunto de vetores em V . Mostre que uma base de R2 e calcule [(4, 1)] e [(x, y)] . 2. Seja V = R2 . Calcule [(6, 2)] e [(x, y)] , onde (a) = {(2, 1) , (1, 1)}. (b) = {(2, 0) , (0, 1)}. (c) = {(1, 0) , (0, 1)} (d) = {(2, 1) , (1, 2)}. 3. Sejam V = R2 , u = (a, b) e v = (c, d) vetores em V tais que ac + bd = 0 e a2 + b2 = c2 + d2 = 1. Mostre que = {u, v} uma base ordenada de V . Alm disso, calcule [(x, y)] . 4. Sejam V = P3 (R) e = {(1 x)3 , (1 x)2 , 1 x, 1} uma base ordenada de V . Determine [x2 2x + 3] . 5. Determine a matriz de mudana de base da base = {(1, 1, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 3)} para a base ordenada cannica de R3 . 6. Sejam V = R3 e = {(1, 0, 0), (1, 1, 0) , (1, 1, 1)} uma base ordenada de V . Determine [(x, y, z)] . 7. Sejam V = R2 e = {(1, 3) , (2, 4)} uma base de V . Se " # 7 6 , [I] = 11 8 ento determine a base .

2.6. MUDANA DE BASES 8. Sejam V = R2 e = {(3, 5) , (1, 2)} uma base de V . Se " # 1 4 , [I] = 4 11 ento determine a base . 9. Seja V = R3 , = {u1 , u2 , u3 } e = {v1 , v2 , v3 } bases ordenadas de V , onde v1 = u1 + u3 v2 = 2u1 + u2 + u3 v3 = u1 + 2u2 + u3 . Determine as matrizes de mudana de bases de para e de para .

69

10. Considere os dados do exerccio anterior. Se [v]t = [ 1 1 2 ], ento determine [v] . 11. A matriz de mudana de base da base de R2 para a base = {(1, 1) , (0, 2)} # " 1 0 [I] = . 1 2 3 3 Determine a base . 12. Sejam bases ordenadas de R2 . Se [u]t = [ 1 3 ], ento determine [u] e [u] . 13. Sejam V = R3 , = {e1 , e2 , e3 } e = {e1 + 2e2 , e1 + 3e2 + 2e3 , e2 + 3e3 } bases ordenadas de V . Determine [I] , [I] e [I] [I] . 14. Sejam = {e1 , e2 , e3 }, = {e1 + e2 + e3 , e1 + e2 e3 , e1 + e2 + e3 } e = 2 bases ordenadas de R3 . Se [u]t = [ 1 3 1 ], ento determine [u] e [u] . 15. Sejam V um espao vetorial de dimenso n sobre R e uma base ordenada de V . Determine [I] . 16. Seja V = um espao vetorial sobre R. (" a b 0 c # ) = {e1 , e2 }, = {e1 + e2 , e1 + e2 } e = {2e1 , 2e2 }

R22 : a, b, c R

70

CAPTULO 2. ESPAOS VETORIAIS (a) = {E11 , E12 , E22 } , = {E11 , E11 + E12 , E11 + E12 + E22 } so bases ordenadas de V ? (b) Se sua resposta ao item anterior foi positiva, determine [I] e [I] .

17. Sejam V um espao vetorial sobre R e W1 , W2 , . . . , Wn , . . . subespaos de V . Mostre que \ W = WnnN

um subespao de V .

18. Sejam V um espao vetorial sobre R e W1 , W2 , . . . , Wn , . . . subespaos de V tais que W1 W2 Wn . Mostre que W = um subespao de V . [ Wn

nN

19. Seja V um espao vetorial de dimenso nita sobre R. Suponhamos que u1 , . . . , un V, n 3, sejam LD mas quaisquer n 1 destes vetores so LI. (a) D um exemplo para tais vetores em R3 ! (b) Mostre que existem escalares x1 , . . . , xn R, todos diferentes de zero, tais que x1 u1 + + xn un = 0. (c) Suponhamos que y1 u1 + + yn un = 0. Mostre que existe a R tal que y1 = ax1 , . . . , yn = axn . (d) Mostre que W = {(y1 , . . . , yn ) Rn : y1 u1 + + yn un = 0} um subespao de Rn e determine a dimenso de W .

Captulo 3 Transformaes LinearesNeste captulo vamos estudar um tipo especial de funes, as quais so chamadas de transformaes lineares e que um dos objetos fundamentais da lgebra linear. Em clculo, por exemplo, costuma-se aproximar uma funo diferencivel por uma transformao linear. Veremos, tambm, que resolver um sistema AX = B de equaes lineares equivalente a encontrar todos os elementos X Rn1 tais que TA (X) = B, onde TA : Rn1 Rm1 denida por TA (X) = AX uma transformao linear.

3.1

Transformaes Lineares

Sejam V e W espaos vetoriais sobre R. Uma funo T : V W uma transformao linear se as seguintes condies so satisfeitas: 1. T (u + v) = T (u) + T (v), para todos u, v V (Aditividade). 2. T (au) = aT (u), para todo a R e u V (Homogeneidade). Observaes 3.1 1. Intuitivamente, uma transformao linear uma funo que preserva as operaes dos espaos vetoriais. 2. Se T : V W uma transformao linear, ento T (0) = 0, pois T (0) = T (0 u) = 0 T (u) = 0. 3. Se T : V W uma transformao linear, ento T (au + bv) = aT (u) + bT (v), a, b R e u, v V, 71

72 pois

CAPTULO 3. TRANSFORMAES LINEARES

T (au + bv) = T (au) + T (bv) = aT (u) + bT (v). Mais geralmente, T (a1 u1 + + an un ) = a1 T (u1 ) + + an T (un ), ai R e ui V. 4. Se T : V W uma transformao linear e V = W , dizemos que T um operador linear sobre V . Exemplo 3.2 (Operador Nulo) Sejam V e W espaos vetoriais sobre R. A funo 0 : V W denida por 0(u) = 0, para todo u V , uma transformao linear, pois 0(u + v) = 0 = 0 + 0 = 0(u) + 0(v), u, v V e 0(au) = 0 = a0(u), a R e u V. Exemplo 3.3 (Operador Identidade) Seja V um espao vetorial sobre R. A funo I = IV : V V denida por IV (u) = u, para todo u V , um operador linear, pois IV (u + v) = u + v = IV (u) + IV (v), u, v V e IV (au) = au = aIV (u), a R e u V. Exemplo 3.4 Toda transformao linear T : R R da forma ax, para algum a R xado. De fato, claro que a funo T : R R denida por T (x) = ax, para todo x R, uma transformao linear. Reciprocamente, seja T : R R uma transformao linear. Ento T (x) = T (1 x) = T (1)x, x R. Fazendo a = T (1) R, obtemos T (x) = ax, para todo x R. Exemplo 3.5 Sejam V = Rn1 , W = Rm1 espaos vetoriais sobre R e A Rmn uma matriz xada. A funo TA : V W denida por TA (X) = AX, para todo X V , uma transformao linear, pois TA (X + Y) = A(X + Y) = AX + AY = TA (X) + TA (Y), X, Y V. e Note, tambm, que SA : R1m R1n denida por TA (v) = vA, para todo v Rm1 , uma transformao linear. TA (aX) = A(aX) = a(AX) = aTA (X), a R e X V.

3.1. TRANSFORMAES LINEARES

73

Exemplo 3.6 (Operador Diferencial) Seja V = Pn (R) o espao vetorial de todos os polinmios com coecientes reais e grau menor do que ou igual a n. A funo D : V V denida por (Dp)(x) = p0 (x), para todo p V , uma transformao linear, pois (D(p + q)) (x) = ((p + q)(x))0 = (p(x) + q(x))0 = p0 (x) + q 0 (x) = (Dp)(x) + (Dq)(x) = (Dp + Dq)(x), p, q V e (D(ap)) (x) = (ap(x))0 = ap0 (x) = a(Dp)(x) = (a(Dp))(x), a R e p V. Exemplo 3.7 (Operador Semelhana) Seja V = R2 . A funo T : V V denida por T (x, y) = c(x, y), c R, uma transformao linear (prove isto!). Quando c > 0, T chamado de operador semelhana. Exemplo 3.8 (Rotao de uma ngulo ) Seja V = R2 . Determine a transformao linear R : V V , onde R (u) uma rotao anti-horrio de um ngulo , 0 < 2, do vetor u V . Soluo. Sejam u = (x, y) e R (x, y) = (u, v). Ento, pela Figura 3.1,

Figura 3.1: Rotao de um ngulo . temos que u = r cos( + ), x = r cos e y = r sen . Logo, u = x cos y sen . De modo anlogo, v = x sen + y cos .

74 Assim,


R (x, y) = (x cos y sen , x sen + y cos ). Exemplo 3.9 (Operador Translao) Seja V = R2 . A funo Tv : V V denida por T (u) = u + v, onde u = (x, y) e v = (a, b), no uma transformao linear, a menos que a = b = 0, pois T (0, 0) = (a, b) 6= (0, 0) (conra Figura 3.2).

Figura 3.2: Translao por v. Exemplo 3.10 Seja V = R2 . A funo T : V V denida por T (x, y) = (x, |y|) no uma transformao linear, pois T ((x, y) + (r, s)) = T (x + r, y + s) = (x + r, |y + s|) 6= (x, |y|) + (r, |s|) = T (x, y) + T (r, s), desde que |y + s| < |y| + |s| se ys < 0. Em particular, T ((2, 1) + (3, 1)) = T (5, 0) = (5, 0) 6= (5, 2) = T (2, 1) + T (3, 1) Note que T (0, 0) = (0, 0). Portanto, T (0) = 0 condio necessria mas no suciente para que T seja uma transformao linear. Exemplo 3.11 Sejam V e W espaos vetoriais sobre o corpo dos racionais Q. Mostre que se a funo T : V W satisfaz condio aditiva T (u + v) = T (u) + T (v), u, v V, ento T uma transformao linear.

3.1. TRANSFORMAES LINEARES Soluo. Como 0 + 0 = 0 temos que T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0). Logo, T (0) = 0. Assim, 0 = T (0) = T (u + (u)) = T (u) + T (u) T (u) = T (u), u V.

75

Dado n N, segue, indutivamente, que T (nu) = nT (u), para todo n N e u V . Dado n Z com n < 0, obtemos T (nu) = T (n(u)) = nT (u) = n(T (u)) = nT (u). Assim, T (nu) = nT (u), para todo n Z e u V . Dado n Z com n 6= 0, obtemos 1 1 T (u) = T (n( u)) = nT ( u). n n1 1 Logo, T ( n u) = n T (u), para todo n Z, com n 6= 0, e u V . Finalmente, dado r = m Q, obtemos n

1 m 1 T (ru) = T (m( u)) = mT ( u) = T (u) = rT (u) n n n e, assim, T (ru) = rT (u), para todo r Q e u V . Portanto, T uma transformao linear. Assim, podemos cuncluir que toda funo denida em espao vetorial sobre o corpo dos racionais Q, satisfazendo condio aditiva, sempre linear. Mostraremos a seguir, que esse resultado no , em geral, verdade. Teorema 3.12 Sejam V e W espaos vetoriais sobre R. Sejam {u1 , . . . , un } uma base de V e w1 , . . . , wn vetores arbitrrios em W . Ento existe uma nica transformao linear T : V W tal que T (ui ) = wi , i = 1, . . . , n. Prova. (Existncia) Como {u1 , . . . , un } uma base de V temos que cada vetor u V pode ser escrito de modo nico sob a forma u = x1 u1 + + xn un . Vamos denir T : V W por T (u) = x1 w1 + + xn wn = claro que T est bem denida en P

xi wi .

i=1

T (ui ) = wi , i = 1, . . . , n, pois ui = 0u1 + + 0ui1 + 1ui + 0ui+1 + + 0un , i = 1, . . . , n.

76 Dados v V , digamos e c R, temos que T (u + v) = T = e


v = y1 u1 + + yn un , n P

(xi + yi )uin P

i=1

i=1

n P

=

i=1

xi wi +

yi wi = T (u) + T (v)

n P

(xi + yi )wi

i=1

T (cu) = T

Portanto, T uma transformao linear. (Unicidade) Seja S : V W outra transformao linear tal que S(ui ) = wi , i = 1, . . . , n. Ento S(u) = S n P

n P (cxi )ui = (cxi )wi i=1 i=1 n P = c xi wi = cT (u). i=1

n P

xi ui

i=1

=

i=1

para todo u V . Portanto, S = T .

n P

xi S(ui ) =

i=1

n P

xi wi = T (u),

Observao 3.13 Sejam V e W espaos vetoriais sobre R. Sejam = {ui }iI uma base de V e {wi }iI uma famlia arbitrrio de vetores em W . Ento existe uma nica transformao linear T : V W tal que T (ui ) = wi , i I. Exemplo 3.14 Determine a transformao linear T : R2 R3 tal que T (1, 2) = (3, 2, 1) e T (3, 4) = (6, 5, 4). Soluo. fcil vericar que {(1, 2), (3, 4)} uma base de R2 . Assim, pelo Teorema 3.12, existe uma nica transformao linear T : R2 R3 tal que T (1, 2) = (3, 2, 1) e T (3, 4) = (6, 5, 4). Agora, para determinar T , dado u = (x, y) R2 , devemos encontrar r, s R tais que u = r(1, 2) + s(3, 4), isto , resolver o sistema no-homogneo ( r + 3s = x . 2r + 4s = y

3.1. TRANSFORMAES LINEARES Logo, r = 1 (4x + 3y) e s = 1 (2x y). Portanto, 2 2 T (x, y) = T (r(1, 2) + s(3, 4)) = rT (1, 2) + sT (3, 4) 2x y 4x + 3y (3, 2, 1) + (6, 5, 4) = 2 2 1 1 3 y, x + y, 2x y . = 2 2 2

77

Exemplo 3.15 (Operador Projeo) Determine a projeo de um vetor u R2 sobre a reta y = ax, com a R. Soluo. fcil vericar que {(1, a), (a, 1)} uma base de R2 , para todo a R. Ento, pelo Teorema 3.12, existe uma nica transformao linear P : R2 R2 tal que P (1, a) = (1, a) e P (a, 1) = (0, 0). Agora, para determinar P , dado u = (x, y) R2 , devemos encontrar r, s R tais que u = r(1, a) + s(a, 1), isto , resolver o sistema no-homogneo ( r as = x . ar + s = y Logo, x + ay ax + a2 y P (x, y) = , 1 + a2 1 + a2 h(x, y), (1, a)i = (1, a). k(1, a)k2 R2 = [(1, a)] [(a, 1)], dizemos que P a projeo sobre [(1, a)] na direo de [(a, 1)], com a R (conra Figura 3.3).

Como

Figura 3.3: Projeo de um vetor u R2 sobre a reta y = ax.

78


Exemplo 3.16 (Operador Reexo) Determine a reexo de um vetor u R2 em torno de uma reta y = ax, com a R. Soluo. fcil vericar que {(1, a), (a, 1)} uma base de R2 , para todo a R. Ento, pelo Teorema 3.12, existe uma nica transformao linear R : R2 R2 tal que R(1, a) = (1, a) e R(a, 1) = (a, 1). Agora, para determinar R, dado u = (x, y) R2 , devemos encontrar r, s R tais que u = r(1, a) + s(a, 1), isto , resolver o sistema no-homogneo ( r as = x . ar + s = y Logo, (1 a2 )x + 2ay 2ax (1 a2 )y R(x, y) = , 1 + a2 1 + a2 h(x, y), (1, a)i (1, a). = (x, y) 2 k(1, a)k2 R2 = [(1, a)] [(a, 1)], dizemos que P a reexo em [(1, a)] na direo de [(a, 1)], com a R (conra Figura 3.4).

Como

Figura 3.4: Reexo de um vetor u R2 em torno da reta y = ax. Finalmente, se o ngulo que a reta y = ax faz com o eixo dos x, ento a = tan e fcil vericar que R(x, y) = (x cos 2 + y sen 2, x sen 2 y cos 2). Em particular, quando = , temos que 4 R(x, y) = (y, x).


79

Exemplo 3.17 Mostre que existe uma funo T : R R satisfazendo condio aditiva T (x + y) = T (x) + T (y), x, y R, mas no uma transformao linear, isto , T (x) 6= ax, para algum x R. Soluo. fcil vericar que R com as operaes usuais um espao vetorial sobre Q. Assim, pela Observao 2.38, podemos escolher uma base de Hamel = {xi }iI de R sobre Q. Assim, para cada x R, existem nicos rk1 , . . . , rkn Q, onde k1 , . . . , kn I, tais que n X x = rk1 xk1 + + rkn xkn = rkj xkj .j=1 n X j=1

A funo T : R R denida por

T (x) =

rkj T (xkj ), x R,

possui as propriedades desejadas, pois se zermos T (xk1 ) = 1 e T (xk2 ) = 0, ento T (x + y) = T (x) + T (y), x, y R, mas T (x) 6= ax, para algum a R.

EXERCCIOS

1. Verique quais das transformaes abaixo so lineares. (a) T : R2 R2 , T (x, y) = (2x y, 0). (b) T : R3 R2 , T (x, y, z) = (x 1, y + z). (c) T : R R3 , T (x) = (x, 2x, x). (d) T : R2 R2 , T (x, y) = (y, x3 ). (e) T : R2 R2 , T (x, y) = (ax + by, cx + dy), onde a, b, c, d R. 2. Seja V = Rnn o espao vetorial das matrizes quadradas de ordem n. Se B uma matriz no-nula xada em V, quais das seguintes transformaes so lineares? (a) T (A) = BA. (b) T (A) = BA AB.

80 (c) T (A) = B + A. (d) T (A) = At . (e) T (A) = Bt AB.


3. Sejam V = F(R, R) o espao vetorial de todas as funes reais e h R xado. Mostre que cada uma das funes T : V V abaixo uma transformao linear: (a) (T f )(x) = f (x + h). (Deslocamento) (b) (T f )(x) = f (x + h) f (x). (Diferena para frente) (c) (T f )(x) = f (x) f (x h). (Diferena para trs) (d) (T f )(x) = f (x + h ) f (x h ). (Diferena central) 2 2 (e) (T f )(x) = 1 f (x + h ) f (x h ) . (Valor mdio) 2 2 2 4. (Operador Integrao) Seja V = C(R, R) o espao vetorial de todas as funes reais contnuas. Mostre que a funo J : V V denida por (Jf )(x) = uma transformao linear. 5. (Operador Cisalhamento na direo de x) Determine a transformao linear T : R2 R2 que satisfaa T (1, 0) = (1, 0) e T (0, 1) = (a, 1), onde a R . Dena Operador Cisalhamento na direo de y. 6. Determine o operador linear T : R2 R2 que satisfaa T (1, 2) = (1, 1) e T (0, 1) = (1, 0). 7. Determine o operador linear T : R2 R2 que satisfaa T (1, 0) = (a, b) e T (0, 1) = (c, d). 8. Seja V = P (R) o espao vetorial de todos os polinmios com coecientes reais. Mostre que cada uma das funes T : V V abaixo uma transformao linear: (a) (T p)(x) = xp(x) (Multiplicao por x). (b) (T p)(x) =p(x)a0 x x R 0

f (t)dt

(Eliminao do termo constante e diviso por x).

9. Sejam S : V W e T : V W transformaes lineares. Mostre que S + T e aT , para todo a R, so lineares. Conclua que o conjunto de todas as transformaes lineares L(V, W ) um espao vetorial sobre R.


81

10. Se dim V = 2 e dim W = 3, determine uma base de L(V, W ). (Sugesto: Sejam {v1 , v2 } e {w1 , w2 , w3 } bases de V e W , respectivamente. Ento as transformaes lineares ( wj se i = k Eij (vk ) = ik wj = , i = 1, 2 e j = 1, 2, 3, 0 se i 6= k esto bem denidas e so nicas. Agora mostre que o conjunto {E11 , E12 , E13 , E21 , E22 , E23 } uma base de L(V, W )). Generalize. 11. Sejam R : U V , S : U V e T : V W transformaes lineares. Mostre que T S uma transformao linear e T (R + S) = T R + T S. 12. Sejam R : R2 R2 , S : R2 R2 e T : R2 R2 operadores lineares denidos por R(x, y) = (x, 0), S(x, y) = (y, x) e T (x, y) = (0, y). Determine: (a) S + T e 3S 5T . (b) R S, S R, R T , T R, S T e T S. (c) R2 , S 2 e T 2 . (d) Mostre que S e T so LI. 13. Sejam V = P (R) o espao vetorial de todos os polinmios com coecientes reais e D : V V e M : V V operadores lineares denidos por (Dp)(x) = p0 (x) e (Mp)(x) = xp(x). Mostre que MD DM = I e (DM)2 = D2 M 2 + DM. 14. Sejam V e W espaos vetoriais sobre R e f : V W uma funo. Mostre que as seguintes condies so equivalentes: (a) Se w u = c(v w), ento f (w) f (u) = c(f (v) f (w)), para todos u, v, w V e c R; (b) f (z) = T (z) + x, para todo z V , onde x W e T : V W uma transformao linear; P P (c) f ( n ci ui ) = n ci f (ui ), para todo ui V e ci R, i = 1, . . . , n, com i=0 i=0 c1 + + cn = 1.

82

CAPTULO 3. TRANSFORMAES LINEARES (Sugesto: (a b) Sejam x = f (0) W e T : V W denida por T (y) = f (y)x. Agora, vamos provar que T linear. Como y cy = (c 1)(0 y) temos que T (y) T (cy) = f (y) f (cy) = (c 1)[f (0) f (y)] = (c 1)(T (y)). Logo, T (cy) = cT (y), para todo y V e c R. Finalmente, como 1 2z (y + z) = z y = (2y 2z) 2

temos que 2T (z) T (y + z) = T (2z) T (y + z) = f (2z) f (y + z) 1 = [f (2y) f (2z)] = [T (y) T (z)]. 2 Portanto, T (y + z) = T (y) + T (z), para todos y, z V .) 15. Seja T : V V um operador linear tal que T k = T T T = 0, para algum k N. (a) Mostre que se u V tal que T k1 (u) 6= 0, ento o conjunto {u, T (u), . . . , T k1 (u)} LI. (b) Mostre que se W = [u, T (u), . . . , T k1 (u)], ento T (v) W , para todo v W .

3.2

Ncleo e Imagem de uma Transformao Linear

Sejam V , W espaos vetoriais sobre R e T : V W uma transformao linear. A imagem de T o conjunto Im T = {w W : w = T (u), para algum u V } = {T (u) : u V } = T (V ) (conra Figura 3.5).

Figura 3.5: Representao grca da imagem de T .

3.2. NCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAO LINEAR O ncleo de T o conjunto ker T = {u V : T (u) = 0} = T 1 (0) (conra Figura 3.6).

83

Figura 3.6: Representao grca do ncleo de T . Teorema 3.18 Sejam V , W espaos vetoriais sobre R e T : V W uma transformao linear. Ento Im T um subespao de W e ker T um subespao de V . Prova. Vamos provar apenas que Im T um subespao de W . claro que Im T 6= , pois 0 = T (0) Im T. Dados w1 , w2 Im T e a R. Como w1 , w2 Im T temos que existem u1 , u2 V tais que w1 = T (u1 ) e w2 = T (u2 ). Logo, w1 + w2 = T (u1 ) + T (u2 ) = T (u1 + u2 ) Im T, pois u1 + u2 V , e aw1 = aT (u1 ) = T (au1 ) Im T, pois au1 V . Portanto, Im T um subespao de W . Observao 3.19 Seja T : V W uma transformao linear com dim V = n. Ento posto(T ) = dim Im T e nul(T ) = dim ker T. Exemplo 3.20 Seja T : R3 R3 a transformao linear denida por T (x, y, z) = (x, 2y, 0). Determine o ncleo e a imagem de T .

84 Soluo. Por denio


ker T = {(x, y, z) R3 : T (x, y, z) = (0, 0, 0)} = {(x, y, z) R3 : (x, 2y, 0) = (0, 0, 0)} = {(0, 0, z) : z R} = [(0, 0, 1)] e Im T = {T (x, y, z) : (x, y, z) R3 } = {(x, 2y, 0) : x, y R} = [(1, 0, 0), (0, 2, 0)]. Finalmente, como T (1, 0, 0) = (1, 0, 0), T (0, 1, 0) = (0, 2, 0) e T (0, 0, 1) = (0, 0, 0) temos que Im T = [T (1, 0, 0), T (0, 1, 0)] (conra Figura 3.7).

Figura 3.7: Representao grca do ncleo e da imagem de T . Exemplo 3.21 Determine uma transformao linear T : R3 R4 tal que Im T = [(1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0)]. Soluo. fcil vericar que = {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0)} uma base de Im T . Como (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0) Im T temos que existem u1 , u2 R3 tais que T (u1 ) = (1, 0, 0, 1) e T (u2 ) = (0, 1, 1, 0).

3.2. NCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAO LINEAR Seja W = [u1 , u2 ]. Ento {u1 , u2 } uma base de W , pois uma base de Im T . Armao. R3 = W ker T . De fato, dado u R3 , temos que T (u) Im T . Logo, existem y1 , y2 R tais que T (u) = y1 (1, 0, 0, 1) + y2 (0, 1, 1, 0) = y1 T (u1 ) + y2 T (u2 ) = T (y1 u1 + y2 u2 ). Assim, T (u (y1 u1 + y2 u2 )) = T (u) T (y1 u1 + y2 u2 ) = T (u) T (u) = 0, isto , u (y1 u1 + y2 u2 ) ker T. Portanto, existe v ker T tal que u (y1 u1 + y2 u2 ) = v u = (y1 u1 + y2 u2 ) + v W + ker T,

85

ou seja, R3 = W + ker T . Agora, fcil vericar que W ker T = {0}. Escolhendo uma base {u3 } para ker T , obtemos uma base {u1 , u2 , u3 } para R3 . Em particular, escolhendo u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0) e u3 = (0, 0, 1) temos, pelo Teorema 3.12, que existe uma nica transformao linear T : R3 R4 tal que T (u1 ) = (1, 0, 0, 1), T (u2 ) = (0, 1, 1, 0) e T (u3 ) = (0, 0, 0, 0). Agora, para determinar T , dado u = (x, y, z) R3 , temos que T (x, y, z) = xT (u1 ) + yT (u2 ) + zT (u3 ) = (x, y, y, x).

Sejam V , W espaos vetoriais sobre R e T : V W uma transformao linear. Dizemos que T injetora se T (u) = T (v) u = v, u, v V ou, equivalentemente, u 6= v T (u) 6= T (v), u, v V. Dizemos que T sobrejetora se dado w W , existir u V tal que T (u) = w, isto , Im T = W . Finalmente, dizemos que T bijetora se T injetora e sobrejetora. Neste caso, w = T (u) u = T 1 (w).

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Exemplo 3.22 Seja T : R2 R a transformao linear denida por T (x, y) = x. Ento T sobrejetora, pois Im T = {T (x, y) : (x, y) R2 } = {x 1 : x R} = [1] = R. Mas no injetora, pois T (0, 1) = 0 = T (0, 1) e (0, 1) 6= (0, 1). Exemplo 3.23 Seja T : R R2 a transformao linear denida por T (x) = (x, 0). Ento T injetora, pois T (x) = T (y) (x, 0) = (y, 0) x = y. Mas no sobrejetora, pois T (x) 6= (0, 1), para todo x R, isto , Im T 6= R2 . Exemplo 3.24 Seja T : R3 R3 a transformao linear denida por T (x, y, z) = (x, 2y, 0). Ento T no injetora e nem sobrejetora, pois T (0, 0, 1) = (0, 0, 0) = T (0, 0, 1) com (0, 0, 1) 6= (0, 0, 1) e T (x, y, z) 6= (0, 0, 1), para todo (x, y, z) R3 , isto , Im T 6= R3 . Sejam V , W espaos vetoriais sobre R e T : V W uma transformao linear. Dizemos que T no-singular se ker T = {0}. Caso contrrio, dizemos que T singular. Teorema 3.25 Sejam V , W espaos vetoriais sobre R e T : V W uma transformao linear. Ento T no-singular se, e somente se, T injetora. Prova. Suponhamos que T seja no-singular, isto , ker T = {0}. Dados u, v V , se T (u) = T (v), ento T (u v) = T (u) T (v) = T (u) T (u) = 0. Logo, u v ker T = {0}. Portanto, u = v, ou seja, T injetora. Reciprocamente, suponhamos que T seja injetora. Dado u ker T , temos que T (u) = 0. Como T (0) = 0 temos que T (u) = 0 = T (0) u = 0. Assim, ker T = {0}. Portanto, T no-singular.

Corolrio 3.26 Sejam V , W espaos vetoriais sobre R e T : V W uma transformao linear. Ento T no-singular se, e somente se, T leva todo conjunto LI de V em algum conjunto LI de W .

3.2. NCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAO LINEAR Prova. Suponhamos que T seja no-singular, isto , ker T = {0}. Seja = {u1 , . . . , un } conjunto qualquer LI de V . Devemos provar que T () = {T (u1 ), . . . , T (un )} um conjunto LI de W . Sejam x1 , . . . , xn R tais que x1 T (u1 ) + + xn T (un ) = 0. Logo, T (x1 u1 + + xn un ) = x1 T (u1 ) + + xn T (un ) = 0. Assim, x1 u1 + + xn un ker T = {0}, isto , x1 u1 + + xn un = 0. Logo, x1 = 0, . . . , xn = 0, pois LI. Portanto, {T (u1 ), . . . , T (un )}

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um conjunto LI de W . Reciprocamente, seja u ker T , com u 6= 0. Ento {u} um conjunto LI de V . Assim, {T (u)} = {0} um conjunto LI de W , o que impossvel. Portanto, u = 0 e T no-singular. Teorema 3.27 (Teorema do Ncleo e da Imagem) Sejam V , W espaos vetoriais sobre R, com dim V = n, e T : V W uma transformao linear. Ento dim V = dim ker T + dim Im T = nul(T ) + posto(T ). Prova. Como ker T um subespao de V temos que ker T contm uma base {u1 , . . . , uk } que parte de uma base = {u1 , . . . , uk , uk+1 , . . . , un } de V . Armao. {T (uk+1 ), . . . , T (un )} uma base de Im T . De fato, dado w Im T , existe u V tal que w = T (u). Como u V e uma base de V temos que existem x1 , . . . , xn R tais que u = x1 u1 + + xk uk + xk+1 uk+1 + + xn un .

88 Assim, w = T (u)


= T (x1 u1 + + xk uk + xk+1 uk+1 + + xn un ) = xk+1 T (uk+1 ) + + xn T (un ), pois T (ui ) = 0, i = 1, . . . , k. Logo, {T (uk+1 ), . . . , T (un )} gera Im T . Agora, para provar que {T (uk+1 ), . . . , T (un )} um conjunto LI, sejam yk+1 , . . . , yn R tais que yk+1 T (uk+1 ) + + yn T (un ) = 0. Ento T (yk+1 uk+1 + + yn un ) = yk+1 T (uk+1 ) + + yn T (un ) = 0. Assim, yk+1 uk+1 + + yn un ker T. Logo, existem x1 , . . . , xk R tais que yk+1 uk+1 + + yn un = x1 u1 + + xk uk . Donde, x1 u1 + + xk uk + (yk+1 )uk+1 + + (yn )un = 0. Como uma base de V temos que yk+1 = = yn = 0 e {T (uk+1 ), . . . , T (un )} um conjunto LI. Portanto, dim V = n = k + (n k) = dim ker T + dim Im T. Corolrio 3.28 Sejam V , W espaos vetoriais sobre R, com dim V = dim W = n, e T : V W uma transformao linear. Ento T injetora se, e somente se, T sobrejetora.

3.2. NCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAO LINEAR

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Prova. Suponhamos que T seja injetora. Ento, pelo Teorema 3.25, ker T = {0}. Assim, dim W = dim V = dim ker T + dim Im T = dim Im T. Como Im T W e dim W = dim Im T temos que Im T = W . Portanto, T sobrejetora. Reciprocamente, suponhamos que T seja sobrejetora. Ento Im T = W e dim W = dim Im T . Assim, dim Im T = dim V = dim ker T + dim Im T dim ker T = 0. Assim, ker T = {0} e, pelo Teorema 3.25, T injetora.

Corolrio 3.29 Sejam V , W espaos vetoriais sobre R, com dim V = dim W = n, e T : V W uma transformao linear. Ento as seguintes condies so equivalentes: 1. T bijetora. 2. T no-singular. 3. T sobrejetora. 4. T leva toda base de V em alguma base de W . Exemplo 3.30 Determine uma transformao linear T : R3 R4 tal que ker T = {(x, y, z) R3 : x + y + z = 0}. Soluo. fcil vericar que {(1, 0, 1), (0, 1, 1)} uma base de ker T . Como ker T um subespao de R3 temos que {(1, 0, 1), (0, 1, 1)} parte de uma base de R3 . Vamos estender este conjunto a uma base de R3 , digamos {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}. Assim, denindo arbitrariamente T (0, 0, 1), digamos T (0, 0, 1) = (0, 0, 0, 1), temos, pelo Teorema 3.12, que existe uma nica transformao linear T : R3 R4 tal que T (1, 0, 1) = (0, 0, 0, 0), T (0, 1, 1) = (0, 0, 0, 0) e T (0, 0, 1) = (0, 0, 0, 1). Agora, para determinar T , dado u = (x, y, z) R3 , devemos encontrar r, s, t R tais que u = r(1, 0, 1) + s(0, 1, 1) + t(0, 0, 1),

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isto , resolver o sistema no-homogneo Logo,

r=x s=y . r s + t = z

T (x, y, z) = (0, 0, 0, x + y + z). Teorema 3.31 Sejam V , W espaos vetoriais sobre R e T : V W uma transformao linear bijetora. Ento a transformao inversa T 1 : W V linear. Prova. claro que T 1 (0) = 0, pois T (0) = 0. Dados w1 , w2 W , a R e T sendo bijetora temos que existem nicos u1 , u2 V tais que w1 = T (u1 ) u1 = T 1 (w1 ) e w2 = T (u2 ) u2 = T 1 (w2 ). Como T (u1 + u2 ) = T (u1 ) + T (u2 ) = w1 + w2 temos que T 1 (w1 + w2 ) = u1 + u2 = T 1 (w1 ) + T 1 (w2 ). Finalmente, como T (au1 ) = aT (u1 ) = aw1 temos que T 1 (aw1 ) = au1 = aT 1 (w1 ). Portanto, T 1 linear.

Sejam V , W espaos vetoriais sobre R e T : V W uma transformao linear. Dizemos que T um isomorsmo se T bijetora. Se existir um isomorsmo de V sobre W , dizemos que V isomorfo a W e ser denotado por V ' W . Intuitivamente, um isomorsmo T de V sobre W uma regra que consiste em renomear os elementos de V , isto , o nome do elemento sendo T (u) ao invs de u V . Exemplo 3.32 Mostre que T : R3 R3 denida por T (x, y, z) = (x 2y, z, x + y) um isomorsmo e determine uma regra para T 1 como a que dene T . Soluo. Como ker T = {(x, y, z) R3 : T (x, y, z) = (0, 0, 0)} = {(0, 0, 0)}

= {(x, y, z) R3 : (x 2y, z, x + y) = (0, 0, 0)}


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temos que T injetora. Portanto, T isomorsmo. Assim, dado (a, b, c) R3 , existe um nico (x, y, z) R3 tal que T (x, y, z) = (a, b, c) T 1 (a, b, c) = (x, y, z). Logo, (a, b, c) = (x 2y, z, x + y), isto , x 2y = a z=b . x+y =c

Assim, x= Portanto, T ou ainda, T1 1

ca a + 2c ,y = e z = b. 3 3 a + 2c a + c , ,b , 3 3 x + 2z x + z , ,y . 3 3

(a, b, c) =

(x, y, z) =

Teorema 3.33 Todo espao vetorial de dimenso n sobre R isomorfo a Rn . Prova. Sejam V um espao vetorial sobre R com dim V = n e = {u1 , . . . , un } uma base ordenada de V . Ento para cada u V existem nicos x1 , . . . , xn R tais que u= Vamos denir T : Rn V pori=1 n P

xi ui .

T (x1 , . . . .xn ) = u. fcil vericar que T est bem denida, linear e injetora. Portanto, V isomorfo a Rn . Observaes 3.34 1. A transformao linear T : Rn V chamada a parame1 trizao de V dada pela base e T chamada de isomorsmo de base cannica de V associada com a base . 2. Sejam T : V W um isomorsmo e S = {u1 , . . . , un } um subconjunto de V . Ento S LI se, e somente se, T (S) LI. Portanto, ao decidirmos que S LI no importa se consideramos S ou T (S), conra Corolrio 3.26.

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EXERCCIOS

1. Seja T : V W uma transformao linear. (a) Mostre se U um subespao de V , ento o conjunto T (U) = {T (u) : u U } um subespao de W . (b) Mostre que se Z um subespao de W , ento o conjunto T 1 (Z) = {u V : T (u) Z} um subespao de V . 2. Sejam T : R2 R2 um operador linear denido por T (x, y) = (x + y, y), C = {(x, y) R2 : x2 + y 2 = 1}. Determine T (A), T (B) e T (C). 3. Para cada tranformao linear abaixo determine o ncleo e a imagem: (a) T : R2 R3 denida por T (x, y) = (y x, 0, 5x). (b) T : R3 R2 denida por T (x, y, z) = (x + y + z, z). 4. Seja T : V W uma transformao linear. Mostre que se V = [u1 , . . . , un ], ento Im(T ) = [T (u1 ), . . . , T (un )]. 5. Seja T de R3 em R3 a funo denida por T (x, y, z) = (x y + 2z, 2x + y, x 2y + 2z). (a) Verique que T uma transformao linear. (b) Se (a, b, c) um vetor em R3 , quais as condies sobre a, b e c, para que o vetor esteja na imagem de T ? Qual o posto de T ? A = {(x, y) R2 : max{|x| , |y|} = 1}, B = {(x, y) R2 : |x| + |y| = 1} e


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(c) Quais as condies sobre a, b e c, para que o vetor esteja no ncleo de T ? Qual a nulidade de T ? 6. Sejam V e W espaos vetoriais sobre R e T : V W uma transformao linear. Mostre que se {T (u1 ), . . . , T (un )} um conjunto linearmente independente de W , ento {u1 , . . . , un } um conjunto linearmente independente de V . 7. Determine uma transformao linear T : R3 R3 tal que Im T = [(1, 0, 1),

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