LOCALIZAÇÃO DE CAMPOS EM BRANAS ISOTROPICAS E ANISOTROPICAS EM SEIS DIMENSÕES

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA

CENTRO DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE FISICA

PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM FISICA

LUIS JOSE SILVEIRA DE SOUSA

LOCALIZACAO DE CAMPOS EM

BRANAS ISOTROPICAS E

ANISOTROPICAS EM SEIS DIMENSOES

FORTALEZA

2013


LOCALIZACAO DE CAMPOS EM

BRANAS ISOTROPICAS E


Tese de Doutorado apresentada ao Programade Pos-Graduacao em Fısica da UniversidadeFederal do Ceara, como requisito parcial paraa obtencao do Tıtulo de Doutor em Fısica.Area de Concentracao: Fısica da MateriaCondensada.

Orientador: Prof. Dr. Carlos Alberto SantosAlmeida

FORTALEZA

2013


LOCALIZACAO DE CAMPOS EMBRANAS ISOTROPICAS E


Tese de Doutorado apresentada ao Programade Pos-Graduacao em Fısica da UniversidadeFederal do Ceara, como requisito parcial paraa obtencao do Tıtulo de Doutor em Fısica.Area de Concentracao: Fısica da MateriaCondensada.

Aprovada em 07/2013

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Carlos Alberto Santos Almeida (Orientador)Universidade Federal do Ceara (UFC)

Prof. Dr. Roberto Vinhaes Maluf CavalcanteUniversidade Federal do Ceara (UFC)

Prof. Dr. Wilami Teixeira da CruzInstituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia do

Ceara (IFCE)

Prof. Dr. Carlos Alex Sousa da SilvaInstituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia da

Paraiba (IFPB)

Prof. Dr. Jose Abdalla Helayel - NetoCentro Brasileiro de Pesquisas fısicas (CBPF)

Dados Internacionais de Catalogacao na PublicacaoUniversidade Federal do Ceara

Biblioteca Setorial de Fısica

A000p Sousa, Luis Jose Silveira de .Localizacao de campos em branas isotropicas e anisotropicas

em seis dimensoes / Luis Jose Silveira de Sousa. – 2013.106 p.;il.

Tese de Doutorado - Universidade Federal do Ceara, Departa-mento de Fısica, Programa de Pos-Graduacao em Fısica, Centrode Ciencias, Fortaleza, 2013.

Area de Concentracao: Fısica da Materia CondensadaOrientacao: Prof. Dr. Carlos Alberto Santos Almeida

1. Mundo brana. 2. Ondas estacionarias. 3. Localizacao decampos. 4. Anisotropia. 5. Campo fantasma. I.

CDD:000.0

A Deus, acima detudo e por tudo.A todos os meus

familiares,especialmente pais e

irmas.A nova famıla queganhei ao vir para

Fortaleza.A minha namorada.

AGRADECIMENTOS

A Deus Uno e Trino.

A meus familiares: meus pais Joao e Maria, minhas irmas Jaqueline e Concibida - minhapequena Carmelita. Aos tios, tias, primos e primas, afilhados, afilhadas, comadres, com-padres... a todos, emfim, pelo apoio e incentivo. Todos merecem ter o nome citado massao tantos... Estao no meu coracao.

A famılia que me acolheu, me adotou por assim dizer. A D. Zenaide e S. Napoleao.Aos seus filhos, particularmente meu irmao Kilpatrick que acreditou em mim mais do queeu mesmo. Deus sabe o quanto lhes sou grato. Muito obrigado por tudo!

A minha namorada, Rafaela, por toda a ajuda, compreensao, amizade, companheirismo,pela alegria, pela forca, pelo apoio incessante... A D. Irene pelo cuidado filial que temtido para comigo. Eu lhes sou muito grato!

Aos professores e demais funcionarios do Departamento de Fısica da UFC, particular-mente ao meu orientador, professor Dr. Carlos Alberto pelas mais diversas licoes, pelapaciencia, confianca e compreensao.

Aos meus amigos que sempre me incentivaram. Aos colegas do LASSCO, particularmente,os professores Wilami e Alex, companheiros dos tempos de UECE. Devo agradece-los peloincentivo para realizacao da prova de admissao para o doutorado, no caso o Prof. Wi-lami, e ainda por participarem diretamente na minha formacao, ambos, Wilami e Alex. Enecessario agradecer tambem aos professores Euclides e Victor pelas varias vezes em queme auxiliaram na compreensao de varios assuntos da nossa area de estudos. Aos demaiscolegas: Diego, Davi, Julio, Samuel, Wagner, Ivan, Hudson, Aristeu, Maluf e Lucianatambem sou muito grato pelas mais variadas licoes de fısica e de vida. Desculpem secometi a injustica de esquecer alguem. Tenho aprendido muito com voces, meus caros.

Aos colegas professores e servidores do IFCE (Baturite e Caninde); a tantas outras pes-soas que colaboraram para que se tornasse possıvel realizar este trabalho. A todos muitoobrigado. Muito desse trabalho devo a voces!

RESUMO

Nesta tese propoe-se o estudo de mundos branas isotropicos e anisotropicos em seis di-mensoes. No que concerne as branas anisotropicas e realizada a extensao de cinco paraseis dimensoes de um modelo de mundo brana com solucao de ondas gravitacionais es-tacionarias. Nao ha preocupacao quanto ao estudo da cosmologia mas, principalmente,evidencia-se os mecanismos de localizacao de campos em tais cenarios. Em cinco di-mensoes a brana e gerada por um campo do tipo fantasma, o qual nao satisfaz as condicoesde energia. Por esta razao no modelo em seis dimensoes aqui apresentado houve a pre-ocupacao de que o mesmo seja gerado por materia normal a. No contexto de branasisotropicas algumas solucoes relevantes foram obtidas. Particularmente, foi construıdauma 4-brana como solucao das equacoes de Einstein em seis dimensoes, sendo que nestecaso a dimensao compacta pertence a brana e deve ser considerada pequena o suficientepara que a membrana possa representar o universo visıvel (compactificacao hıbrida). Estasolucao representa uma brana espessa o que generaliza modelos ja presentes na literatura,como o defeito tipo corda, por exemplo. Nessa geometria foi realizada a localizacao doscampos escalar, vetorial e fermionico. Ainda no contexto de branas isotropicas foi reali-zada a localizacao do campo de Kalb-Ramond em um defeito tipo corda. No que se refereaos modelos de branas anisotropicas propostos aqui b, foi possıvel generalizar o modelo decinco para seis dimensoes obtendo as seguintes solucoes: um modelo de brana espessa ani-sotropica, o qual generaliza o modelo de brana espessa homogenea referido anteriormente;uma versao mais simples deste modelo, em que se considera uma 4-brana fina em seis di-mensoes e dois outros modelos de brana anisotropica com solucao de ondas estacionariassendo um na presenca de materia nao normal c e um outro gerado por materia normal,o que vem a ser o resultado principal desta tese. Nesta geometria foi possıvel resolver oproblema da hierarquia a maneira do que se obtem em modelos do tipo Randall-Sundrum.No que concerne a localizacao de campos em branas anisotropicas foram considerados oscampos escalar e fermionico na brana fina antes referida. A localizacao para ambos oscampos foi realizada com sucesso.

Palavras-chave: Mundo brana. Ondas estacionarias. Localizacao de campos. Anisotro-pia. Campo fantasma.

aChama-se materia normal aquela que satisfaz as quatro condicoes classicas de energia: condicoesnula, fraca, forte e dominante. Uma breve revisao neste assunto pode ser encontrada no apendice.

bDeve-se destacar que os modelos de branas anisotroicas considerados aqui, as quais sao geradas porondas gravitacionais estacionarias, nao sao os modelos mais comuns de branas anisotropicas consideradosna literatura.

cMateria nao normal e aquela que viola ao menos uma das quatro condicoes de energia referidas acima.

ABSTRACT

This work describes isotropic and anisotropic braneworlds emphasizing the localizationof fields in this scenarios. In spite of studding its cosmology, the approach consider theviability of field localization in such models. It is relevant to say that the anisotropic modelpresented here was first implemented in five dimensions. This solution was obtained inthe presence of a phantom like scalar field, but this kind of matter do not satisfies theclassical energy conditions. By this reason in the work proposed here it has been triedto obtain a standing wave braneworld solution in the presence of normal matter. In thecontext of isotropic braneworld it was found important solutions. Particularly, it wasobtained a 4-brane as solution of a six dimensional Einstein gravitational theory withthe feature that the compact dimension belongs to the brane (hybrid compactification).This solution, which represents a thick brane, generalizes some braneworld models in sixdimensions, as the string-like defect. The localization of the scalar, vector and fermionfields was successfully performed. An other relevant result obtained in six dimensionalisotropic braneworld was the study of localization of the tensor or Kalb-Ramond fieldin the string-like defect. In the context of anisotropic standing wave braneworld it waspossible to generalizes the original five dimensional model to six dimensions. Particularly,the thick braneworld cited above was generalized for the case of an anisotropic thick brane.A simplified solution in the form of a thin brane was found and the study of localizationfor the scalar and fermions fields was implemented. This solution was obtained with aphantom like scalar as source similar to the solution found in five dimensions. Finally ithas been found a solutions in the presence of not normal and normal matter. This lastversion satisfies the energy conditions and presents the possibility to solve the hierarchyproblem in the same way that one solve it in Randall-Sundrum-like models.

Keywords: Braneworld. Standing waves. Field localization. Anisotropy. Phantom field.

LISTA DE FIGURAS

1 Fator de warp - brana fina - e−2krc|ϕ| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26

2 Fator de warp - brana espessa - e−A(r). . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26

3 Perfil do fator de warp e−A(r) para β = 1; a = 1 . . . . . . . . . . . . . p. 30

4 Perfil de t0(r) = tθ(r) para v = −1 (linha cheia), e para v = 1 (linha

seccionada) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31

5 Perfil de tr(r) para v = 1 (linha cheia), e para v = −1 (linha seccionada) p. 31

6 Perfil de 〈Ttt〉 , a = 1, ω = 3, 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40

7 Perfil de 〈Txx〉 , a = 1, ω = 3, 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40

8 Perfil de ρ(r) para a = 1 e ω = 12, 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 49

9 Perfil de ρ(r) para a = -1 e ω = 12, 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 49

10 Perfil de 〈T 〉 , ω = 5, 76. A linha cheia representa 〈Ttt〉. A linha secci-

onada representa 〈Trr〉. A linha pontilhada representa 〈Txx〉 = 〈Tyy〉 =

〈Tzz〉 = 〈Tθθ〉. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 52

11 Perfil de 〈T 〉 , ω = 9, 09. A linha cheia representa 〈Ttt〉. A linha secci-

onada representa 〈Trr〉. A linha pontilhada representa 〈Txx〉 = 〈Tyy〉 =

〈Tzz〉 = 〈Tθθ〉. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 52

12 Perfil de 〈T0〉 . ω = 5, 76 e a = 1 para linha seccionada; ω = 11, 52 e

a = 2 para linha pontilhada; ω = 17, 28 e a = 3 para linha cheia. . . . . p. 52

13 Perfil de 〈T0〉. ω = 5, 76 e a = 1 para linha seccionada; ω = 2, 88 e

a = 0, 50 para linha pontilhada; ω = 1, 92 e a = 0, 33 para linha cheia. . p. 52

14 Perfil de 〈R〉. ω = 5, 76 (linha seccionada), ω = 9, 09 (linha pontilhada),

ω = 12, 3 (linha cheia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53

15 Perfil de 〈R(4)〉. ω = 5, 76 (linha seccionada), ω = 9, 09 (linha ponti-

lhada), ω = 12, 3 (linha cheia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53

16 Perfil de (A′′ + 72A′2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 56

17 Perfil de 3A′′(r) + 32A′2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 56

18 Funcao ρ para c > 0; c = 0, 2;ω = 1, 028. . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 61

19 Funcao ρ para c < 0; c = −0, 2;ω = 1, 028. . . . . . . . . . . . . . . . . p. 61

20 Media temporal das componentes nao nulas de 〈TMN 〉 para c > 0 (c =

0,250). Linha pontilhada: 〈T tt 〉. Linha pontilhada-seccionada: 〈T xx 〉 =

〈T yy 〉 = 〈T zz 〉. Linha seccionada: 〈T rr 〉 Linha cheia: 〈T θθ 〉. . . . . . . . . p. 62

21 Media temporal das componentes nao nulas de 〈TMN 〉 para c < 0 (c = -









24 Media temporal para o escalar de curvatura do bulk 〈R6〉 para c > 0. . . p. 64

25 Media temporal para o escalar de curvatura do bulk 〈R6〉 para c < 0. . . p. 64







28 Perfil de V(r) para β = 2; a = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 81

29 Media temporal da exponencial da funcao u, 〈ebu〉 para b.C1 = ±1; a = 1

; ω = 12, 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 87

30 Media temporal da exponencial da funcao u, 〈ebu〉 para b.C1 = ±3; a = 1

; ω = 12, 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 87

31 Integral de e12 ρ para b.C2 = ±3; a = k = pz = 1 ; ω = 12, 3 . . . . . . . p. 89

SUMARIO

1 INTRODUCAO p. 13

2 MUNDO BRANA DO TIPO RANDALL-SUNDRUM EM CINCO

E SEIS DIMENSOES p. 19

2.1 Solucoes em cinco dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 21

2.1.1 Solucao tipo bounce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23

2.1.2 O modelo Randall-Sundrum (RS) . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 24

2.2 Solucoes em seis dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 27

2.2.1 Solucao do tipo brana espessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28

2.2.2 Defeito tipo corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31

3 SOLUCOES DE ONDAS ESTACIONARIAS PARA BRANAS ANI-

SOTROPICAS p. 34

3.1 Brana gerada a partir de ondas gravitacionais estacionarias em cinco

dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 37

3.2 Outras solucoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 41

3.3 Branas geradas a partir de ondas gravitacionais estacionarias em seis

dimensoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 43

3.3.1 Solucao do tipo brana fina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 46

3.3.2 Solucao do tipo brana espessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53

3.3.3 Brana gerada por ondas gravitacionais estacionarias na presenca

de uma fonte normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 57

4 LOCALIZACAO DE CAMPOS EM BRANAS EM SEIS DIMENSOES p. 67

4.1 Localizacao de campo em um defeito tipo corda . . . . . . . . . . . . . p. 67

4.1.1 Localizacao do campo escalar em um defeito tipo corda . . . . . p. 68

4.1.2 Localizacao do campo vetorial no defeito tipo corda. . . . . . . . p. 69

4.1.3 Localizacao do campo fermionico em um defeito tipo corda . . . p. 72

4.1.4 Localizacao do campo de Kalb-Ramond em um defeito tipo corda p. 75

4.2 Localizacao de campo em uma brana espessa em seis dimensoes . . . . p. 79

4.2.1 Campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 79

4.2.2 Campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 82

4.2.3 Campo fermionico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 83

4.3 Localizacao de campos em uma brana gerada por ondas gravitacionais

estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 84

4.3.1 Localizacao do campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 84

4.3.2 Localizacao do modo zero do campo fermionico . . . . . . . . . p. 90

5 CONCLUSOES E PERSPECTIVAS p. 93

6 APENDICE - CONDICOES CLASSICAS DE ENERGIA p. 98

6.1 Condicao nula de energia - NEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 98

6.2 Condicao fraca de energia - WEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 99

6.3 Condicao forte de energia - SEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 99

6.4 Condicao dominante de energia - DEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 99

REFERENCIAS p. 101

13

1 INTRODUCAO

Nos ultimos anos surgiram modelos de universo nos quais se considera que o mundo

em que vivemos esta ’imerso’ em um universo com dimensoes extras chamado bulk. Den-

tre esses modelos denominados de mundo brana (braneworld) destacam-se os que foram

inicialmente propostos por Arkani-Hamed, Dimopoulos e Davili [1, 2, 3], conhecido sim-

plesmente como modelo ADD e o modelo de Randall e Sundrum (RS), [4, 5], do qual

o trabalho aqui introduzido representa uma extensao. A razao principal de se estudar

modelos com dimensao extra reside na possibilidade de explicar algumas dificuldades que

surgem no Modelo Padrao, como o problema da hierarquia.

Um dos aspectos estudados nos diversos modelos de brana e a possibilidade de ”loca-

lizacao”de campo em um tal modelo. No cenario proposto originalmente por RS assume-

se que todos os campos estao limitados a se propagar apenas na brana (ou membrana)

enquanto que a gravidade e livre, por assim dizer, para se propagar em todo o bulk. En-

tretanto, assumir , a priori, que todos os campos, a excecao da gravidade, estao restritos

a se mover apenas na brana nao parece uma opcao suficientemente rigorosa. Por isso e ne-

cessario buscar mecanismos teoricos de localizacao de campo na membrana [6]. Em razao

disso, a capacidade de um dado modelo de localizar campos e agora um parametro para

classifica-lo (ou nao) como potencial candidato a nosso universo 1 . E vasta a literatura

sobre a localizacao de campos em branas tanto em cinco, [4, 5, 6, 7, 8, 9], quanto em seis

dimensoes [10, 11, 12, 13, 14, 15, 16].

A maioria dos modelos de mundo brana presentes na literatura sao estaticos, ho-

mogeneos e isotropicos. No entanto, apesar de que, em larga escala, nosso universo de fato

se apresenta homogeneo e isotropico, a teoria de Friedmann–Lemaıtre–Robertson–Walker

(FLRW), que descreve o referido universo, nao e capaz de explicar certas caracterısticas

do mesmo. Por exemplo: porque nosso universo e isotropico hoje uma vez que ele deve

ter sido anisotropico em seu estagio inicial? Alem disso, se na teoria de FLRW e im-

1Vale ressaltar que ha modelos de brana que nao consideram estudos de localizacao de campos, masse voltam para a cosmologia que se pode obter dos mesmo.

14

plementada uma perturbacao encontram-se novos modelos que seriam mais importantes

em epocas iniciais do que o modelo FLRW, ou, dizendo de outra maneira, flutuacoes

estatısticas puras em FLRW nao colapsam rapido o suficiente para formar as galaxias ob-

servadas hoje [17]. Uma vez que os modelos de mundos branas pretendem descrever nosso

universo e razoavel, pelo que foi dito acima, considerar modelos de branas anistropicas.

Encontram-se na literatura trabalhos nesta perspectiva [18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25].

Nestes trabalhos o interesse maior reside em estudar a cosmologia de tais modelos (os

quais sao anisotropicos, mas homogeneos) desconsiderando-se o estudo de localizacao de

campos nesses cenarios, na maioria dos casos. Excessao feita a alguns deles, particular-

mente ao modelo de brana gerado a partir ondas gravitacionais estacionarias no qual os

autores consideram a localizacao de gravidade [18], campos escalar e tensorial [9], bosons

[8] e fermions [26] . Este modelo em 5 dimensoes representa uma generalizacao de RS

para o caso em que a metrica e nao estatica e anisotropica. Conforme citado acima, a

localizacao do modo zero de todos os campos do Modelo Padrao foi estudada neste cenario

sendo considerada exitosa para todos a excecao do campo fermionico cuja funcao de onda

para o fermion direito e divergente.

Nesta tese objetiva-se estudar a localizacao de campos em branas isotropicas e ani-

sotropicas em seis dimensoes. No que se refere as branas anisotropicas, particularmente,

houve a preocupacao em se construir um modelo que seja eficiente na localizacao de cam-

pos e que resolva o problema da hierarquia. Para isso propoe-se uma generalizacao para

seis dimensoes do modelo de Merab [18] tendo em vista nao a cosmologia, mas o estudo

da localizacao de campos na referida geometria. Uma das principais dificuldades apresen-

tadas pelo modelo de ondas gravitacionais estacionarias referido acima consiste no fato de

que a fonte e um campo escalar do tipo fantasma. Teorias com esse tipo de fonte via de

regra apresentam dificuldades de estabilidade. No modelo de cinco dimensoes ja referido

o campo escalar do tipo fantasma e identificado com o escalar de Weyl. Sendo a teoria

de Weyl estavel, tambem sera a teoria de brana com o campo escalar fantasma. Esta e a

logica seguida no trabalho ja citado. No entanto, conforme sera visto ao longo dessa tese,

as componentes do tensor momento energia nessa teoria nao satisfazem as condicoes de

energia (vide apendice 6). Por isso procurou-se encontrar solucoes de ondas estacionarias,

em seis dimensoes, geradas por uma fonte de materia que satisfaca as condicoes classicas

de energia (vide apendice 6). E importante observar que a afirmacao ”a solucao de ondas

estacionarias( ou a brana) e gerada por materia normal”segue a afirmacao do modelo

original de que e um campo do tipo fantasma que gera a referida brana, ou solucao de

ondas estacionarias.

15

Como sera visto o modelo de Merab foi extendido para 6 dimensoes e neste novo

cenario a localizacao do modo zero para os campos escalar e fermionico foi obtida. In-

teressante destacar que em cinco dimensoes nao foi possıvel localizar o fermion direito,

enquanto que em seis dimensoes o estudo se mostrou exitoso. No que concerne as solucoes

na presenca de materia normal, as mesmas foram obtidas, embora tenha sido necessario

considerar constante cosmologica anisotropica no bulk, o que nao vem a ser um absurdo

tendo em vista que ha modelos reais que consideram variacao na constante cosmologica.

Alem disso obteve-se solucao de onda gravitacional estacionaria na presenca de fonte

que satisfaz algumas das condicoes de energia, sem a necessidade de uma constante cos-

mologica anisotropica, o que vem a ser um avanco com relacao ao modelo de Merab em

cinco dimensoes.

Ao longo do desenvolvimento desta tese foi realizado um estudo de revisao da biblio-

grafia, como nao poderia deixar de ser. Particularmente foram revisadas as solucoes das

equacoes de Einstein em cinco e seis dimensoes, no contexto de mundo brana, as quais

podem ser interpretadas como defeitos topologicos, mais precisamente, solucao do tipo

parede de domınio e defeito tipo corda, respectivamente. Foram obtidas solucoes que cor-

respondem a branas finas e espessas em ambos os casos. Neste contexto se deu o estudo de

localizacao de campos em branas isotropicas, em seis dimensoes. Estes estudos geraram

dois trabalhos que foram publicados no decorrer da tese e serao melhor detalhados nos

capıtulos especıficos. A seguir a estrutura da tese sera apresentada.

Uma breve revisao da chamada fısica de dimensoes extras, naquilo que se considera

mais relevante para o desenvolvimento desta tese, e realizada no capıtulo (2). No mesmo

sao apresentadas algumas solucoes que generalizam os modelos revisados. Na subsecao

(2.1.1) foi obtida a solucao tipo kink para as equacoes de Einstein em cinco dimensoes,

tendo um campo escalar (kink) como fonte. Esta e uma solucao ja conhecida na lite-

ratura. Ela generaliza o modelo de RS para o caso de uma brana espessa. Este, por

sua vez, e discutido na subsecao (2.1.2) do capıtulo referido acima. Essa revisao geral

e importante para que se possa posicionar os resultados aqui obtidos diante do que ja

existe na literatura. Ainda no capıtulo (2), na subsecao (2.2.1), descreve-se como obter

uma 4-brana como solucao das equacoes de Einstein em seis dimensoes, sendo que neste

caso a dimensao compacta pertence a brana e deve ser considerada pequena o suficiente

para que a membrana possa representar o nosso universo (compactificacao hıbrida). A

solucao encontrada na subsecao 2.2.1 representa um generalizacao do defeito tipo corda

estudado por alguns autores, particularmente Oda, [6]. Esses resultados fazem parte de

um trabalho que foi recentemente publicado na resvista Physics Letter B - PRB [27] sob o

16

tıtulo ”Brane bounce-type configurations in a string-like scenario”. O capıtulo e finalizado

com a obtencao de um defeito tipo corda como solucao das equacoes de Einstein em seis

dimensoes. Este modelo representa uma generalizacao direta do modelo original de RS,

para seis dimensoes. Neste cenario foi realizado a localizacao do campo de Kalb-Ramond,

complementando outros trabalhos que ja tinham sido feito na localizacao dos campos

escalar, de gauge e fermionicos, [6]. Os resultados da localizacao do campo de Kalb-

Ramond foram publicados tambem na PLB sob o tıtulo ”Tensor gauge field localization

on a string-like defect”, [16].

O estudo das branas anisotropicas, geradas por ondas estacionarias, se inicia no

capıtulo (3). Ja na secao (3.1) e discutido a solucao de ondas gravitacionais estacionarias

para uma brana gerada a partir de um campo do tipo fantasma, [18], o qual e utilizado

como referencia para as solucoes de brana anisotropicas aqui obtidas. O referido modelo

generaliza o modelo RS pois que a presenca dos fatores eu(r,t), eu(r,t), e−2u(r,t) diante das

variaves x, y e z, respectivamente, torna a metrica anisotropica. Tal modelo consiste em

uma solucao para as equacoes de Einstein em cinco dimensoes, tendo como fonte um

campo do tipo fantasma, sendo a metrica anisotropica, conforme ja foi dito. Uma das di-

ficuldades que este modelo apresenta e justamente o fato de a fonte ser um campo escalar

do tipo fantasma, uma vez que teorias na presenca de tais campos costumam apresentar

problemas de instabilidade. Para escapar dessas dificuldades a teoria e ”mergulhada”em

um modelo de gravidade de Weyl em cinco dimensoes. Pelo que foi possıvel analisar

mesmo nessas circunstancias a teoria nao satisfaz as condicoes de energia. Trata-se de

solucoes na presenca de uma fonte exotica (vide apendice (6) para a definicao de materia

exotica).

Foi realizado um esforco no sentido de obter outras solucoes, alem da que foi obtida

por Merab ([18]), ainda em cinco dimensos. Na secao (3.2) e apresentada uma solucao de

vacuo e uma solucao na presenca de uma constante cosmologica. No entanto em nenhum

dos casos foi possıvel obter solucao do tipo onda gravitacional estacionaria, embora tal

solucao exista em quatro dimensoes, [28].

A generalizacao para seis dimensoes do modelo de Merab e realizada na secao (3.3).

Foram obtidas solucoes que representam tanto brana fina quanto brana espessa. Alem

disso foi possıvel obter solucao na presenca de materia ”nao normal”, que e bem menos

ruim do que materia exotica. Uma generalizacao direta do modelo de Merab foi obtida

na subsecao (3.3.1). Esta solucao consiste no modelo de ondas estacionarias generalizado

de cinco para seis dimensoes, o que vem a ser um dos objetivos desta tese. No entanto,

17

o modelo muito se assemelha ao de Merab, principalmente no que concerne a natureza

exotica da fonte. Por outro lado, no que se refere a localizacao de campos, se mostra mais

eficiente. Os resultados aqui obtidos encontram-se em um trabalho submetido ao Journal

of Physics G - JPG, [29] sob o tıtulo ”A 6D standing-wave Braneworld”. Alem dessa

solucao foi possıvel generalizar tanto o modelo de 4-brana considerado na subsecao 2.2.1,

como o proprio modelo obtido na subsecao (3.3.1), referido acima, atraves da obtencao

de uma solucao de brana espessa na presenca de uma metrica anisotropica. Esta solucao

se encontra na subsecao (3.3.2). Apesar de mais geral que as duas anteriores esta solucao

esta incompleta pois apenas se obteve o fator de warp e colocou-se a equacao para a funcao

que representa a anisotropia em uma forma separavel, de tal maneira que se possa ter uma

solucao do tipo onda estacionaria. No entanto esta equacao nao foi resolvida e fica como

perspectiva de trabalho futuro resolve-la e estuda-la melhor. Por fim, na subsecao (3.3.3)

obteve-se uma solucao do tipo onda estacionaria na presenca de uma fonte nao normal

(satisfaz a todas as condicoes de energia, a excessao da condicao dominante). Todas as

componentes da pressao como a densidade de energia para essa fonte sao positivas. Alem

disso e possıvel obter solucao com fator de warp crescente ou decrescente. Apresenta

ainda a vantagem de resolver o problema da hierarquia, coisa que nao e possivel no modelo

original de Merab, bem como no modelo de seis dimensoes apresentado em (3.3.1). No

entanto a solucao e gerada por materia que, apesar de ter as componentes do tensor

momento energia todas positivas e de satisfazer as condicoes NEC, WEK e NEC nao

satisfaz a condicao DEC, que seria suficiente para assegurar estabilidade. Por isso uma

nova solucao foi obtida desta vez satisfazedendo a todas as condicoes classicas de energia

acima referidas. Esta solucao, no entanto, exige que a constante cosmologica assuma

diferentes valores ao longo das coordenadas espaciais e temporal. Em outras palavras, a

constante cosmologica neste caso e anisotropica e nao homogenea. Estes resultados estao

submetidos ao Journal of High Energy Physics - JHEP, com tıtulo ”A 6D standing-wave

Braneworld in the presence of a normal matter source”, [30].

A localizacao de campos e o objeto do capıtulo (4) desta tese. Na secao (4.1) foi

considerado o estudo dos campos escalar (4.1.1), vetorial (4.1.2), fermionico (4.1.3) e

tensorial (4.1.4). Os tres primeiros sao apresentados como uma revisao bibliografica en-

quanto que a localizacao do campo tensorial (Kalb-Ramond), conforme foi dito, resultou

em um trabalho recentemente publicado [16]. Nem todos os campos do modelo padrao

foram considerados no modelo de brana anisotropica, mas apenas os campos escalar e

fermionico. No entanto, no modelo de brana espessa descrito na subsecao 2.2.1 o modo

zero dos campos escalar, vetorial e fermionico foram estudados. Nao houve um estudo

18

para o caso da gravidade porque o resultado e semelhante ao que se obtem para o campo

escalar. A localizacao do campo escalar nesse modelo e obtida na subsecao (4.2.1). O

resultado mostra que a localizacao e possıvel para o modo zero. Interessante notar que

nao ha necessidade de interacao adicional, alem da gravitacional, para se obter localizacao

do modo zero do campo escalar. No caso do campo vetorial tambem foi possıvel obter

a localizacao (4.2.2), o mesmo acontecendo para o campo fermionico (4.2.3). Para que

fosse possıvel este ultimo resultado foi necessario alterar a derivada na equacao de Dirac

de tal forma a considerar um acoplamento mınimo, semelhante ao que acontece no caso

do defeito tipo corda. Na subsecao (4.3.1) considera-se a localizacao do campo escalar

na brana anisotropica estudada na subsecao (3.3.1). Mais uma vez e possıvel verificar a

localizacao do modo zero. Diferente do resultado obtido em [11] em que o campo escalar

e localizado em um defeito tipo corda para um fator de warp que decresce exponencial-

mente, aqui obteve-se a localizacao para um fator exponencialmente crescente. Por fim

foi realizado o estudo da localizacao do campo fermionico neste mesmo cenario, 4.3.2. Foi

possıvel mostrar que ha localizacao do modo zero o que vem a ser um resultado destacavel

uma vez que em cinco dimensoes nao foi possıvel obter tal resultado.

Conclusoes do que ja foi feito e perspectivas para o desenvolvimento futuro sao apon-

tadas no capıtulo (5). O apendice (6) traz uma breve descricao das condicoes classicas

de energia que a materia deve obedecer para que se tenha um modelo aceitavel (embora

haja modelos fısicos que nao satisfacam algumas dessas condicoes, conforme apresentado

no mesmo apendice).

19

2 MUNDO BRANA DO TIPORANDALL-SUNDRUM EMCINCO E SEIS DIMENSOES

Por volta dos anos 20 surgiram as primeiras teorias que consideravam a existencia de

dimensoes extras no universo, as denominadas teorias de Kaluza-Klein [31], nas quais o

acrescimo de uma dimensao espacial extra no espaco-tempo quadridimensional tinha a

pretensao de unificar eletromagnetismo e gravidade. Outras motivacoes existem para se

estudar teorias com dimensoes extras como, por exemplo, a necessidade de se explicar a

velocidade com que as estrelas orbitam o centro das galaxias (a massa necessaria desco-

nhecida estaria oculta em dimensoes espaciais extras) e o fato de a interacao gravitacional

se mostrar tao fraca em nosso planeta [32]. Nesse contexto, depois de um vazio de cerca de

60 anos, teorias com dimensoes extras voltaram a literatura. In 1982 Akama [33] usou a

dinamica de vortice de Nielsen-Olesen para localizar o nosso universo em uma membrana

mergulhada em um espaco tempo de seis dimensoes. Trabalhos semelhantes foram publi-

cados em 1983 e 1985, por Rubakov e Shaposhnikov [34] e Visser [35], respectivamente.

Os modelos ADD [1, 2, 3] e RS [4, 5] oferecem solucoes para o problema da hierarquia

[36] e alternativas a compatificacao do tipo Kaluza-Klein.

Nao e exagero dizer que os trabalhos de Randall e Sundrum sao paradigmaticos no

contexto de dimensoes extras. Este trabalho que consiste em uma teoria de gravidade

em 5 dimensoes foi rapidamente estendido de forma a compreender mais dimensoes. Par-

ticularmente em seis dimensoes alguns autores contribuiram em menos de um ano do

surgimento do modelo original, [6, 10, 37]. O modelo de RS e usado como referencia de

universo com dimensoes extras do qual o mundo em que se passam os fenomenos descritos

pela dita fısica do modelo padrao e uma membrana, ou simplesmente brana. O modelo

proposto nesta tese, em seis dimensoes, apresenta-se como uma generalizacao do modelo

RS.

Nas proximas secoes o modelo RS original e algumas de suas extensoes para seis

20

dimensoes serao descritas. Tambem sera estudado o modelo anisotropico de Merab. Serao

apresentados modelos em cinco e seis dimensoes, por isso considerar-se-a inicialmente o

seguinte ansatz para a metrica em um espaco tempo D-dimensional

ds2 = gMNdxMdxN

= gµνdxµdxν + gabdx

adxb

= e−A(r)gµνdxµdxν − dr2 − e−B(r)dΩ2

n−1 (2.1)

onde M,N, ... denotam ındices do espaco tempo D-dimensional , µ, ν, ..., representam

ındices na membrana p-dimensional e a, b, ... representam as n-dimensoes espaciais extras.

Como sera visto, para alguns dos modelos considerados aqui, a parte da metrica que no

devido limite representa a brana, gµνdxµdxν , e em alguns casos, a funcao que multiplica

a dimensao extra compacta conterao termos do tipo eu, e−2u, e−3u, onde u e uma funcao

que depende das variaveis r e t, u = u(r, t). Esta funcao e que definira a anisotropia nos

modelos de branas com solucao do tipo onda estacionaria.

A acao e dada em D-mimensoes por

S = − 1

2κ2D

∫dDx√−g(R− 2Λ) +

∫dDx√−gLm (2.2)

na qual κD representa a constante gravitacional D-dimensional , Λ e a constante cos-

mologica do bulk e Lm e a Lagrangiana de algum campo de materia. Nesta tese sera

usada, de maneira geral, a convencao de sinais de Landau [38], conforme observado em

Misner, Thorne e Wheeler [39]. Apenas nas subsecoes (2.1.2) e (2.2.1) sera utilizada a

metrica com assinatura (−,+,+,+), por conveniencia, para seguir os trabalhos originais.

As equacoes de Einstein obtidas da variacao da acao (2.2) com relacao ao tensor gMN

sao dadas como segue

RMN −1

2gMNR = ΛgMN + κ2

DTMN (2.3)

onde o tensor TMN e definido por

TMN =2

κ2D

1√−g

δSmδgMN

(2.4)

e o tensor de Ricci e obtido pela contracao do tensor de curvatura, RMN = RPMPN , o qual

e dado na forma tradicional

RPMQN = ∂QΓPMN − ∂NΓPMQ + ΓRMNΓPRQ − ΓRMQΓPRN (2.5)

21

onde a conexao da metrica tambem se expressa na forma ja conhecida

ΓPMN =1

2gPQ (∂MgQN + ∂NgQM − ∂MgMN) (2.6)

e, finalmente, o escalar de curvatura e dado por R = gMNRMN .

A seguir serao analizadas solucoes para a metrica (2.1) que correspondem, respecti-

vamente, a uma membrana do tipo parede de domınio e ao modelo RS que e obtido desse

como um caso limite. Apesar deste ultimo ser a referencia de mundo brana considerado

nesta tese nao sera apresentado como primeiro exemplo, como ate parece mais didatico,

porque preferiu-se apresentar solucoes mais gerais para as equacoes de Einstein e destas

extrair as solucoes particulares. E o oposto do desenvolvimento historico, talvez, mas

acredita-se que nao trara prejuızo a compreensao do leitor.

2.1 Solucoes em cinco dimensoes

Nesta secao serao apresentados dois tipos basicos de modelos de branas em cinco

dimensoes. O primeiro deles e o modelo descripo por Kehagias [4]. Trata-se de uma

geometria com brana espessa, caracterizada por um fator de warp suave, cuja fonte e um

kink. O segundo e o modelo RS. Os conceitos aqui apresentados sao basicos e certamente

bastante conhecidos do leitor familiarizado com modelos de mundo brana. No entanto,

tendo em vista que esta tese e devotada ao estudo de mundo brana (especificamente

branas geradas por ondas gravitacionais) parece necessario apresentar esses conceitos.

Encontrar solucao de brana consiste em resolver as equacoes de Einstein para uma metrica

especıfica, que possa ser separada de tal forma que se destaque a metrica da brana e a

das dimensoes extras, devendo a metrica da brana, no limite conveniente, coincidir com

a metrica de Minkowski em um espaco-tempo quadridimensional. A fonte de materia

pode ser apresentada explicitamente como em Kehagias [4] e RS [4], por exemplo, ou

escrevendo-a de forma generica como em Oda [6] e Ghergeta [10]. A metrica geral 2.1 e

conveniente para os propositos dessa tese, bastando para isso escolher n = 1 ou n = 2

para cinco e seis dimensoes, respectivamente, alem de acrescentar os termos que definem

a anisotropia, quando for o caso. Para esta secao assume-se n = 1, que corresponde ao

caso de uma dimensao extra, portanto a metrica (2.1), sem anisotropia, e reescrita como

ds2 = e−A(r)gµνdxµdxν − dr2. (2.7)

22

A presenca do fator de warp (o fator exponencial) na metrica acima merece ser destacada.

A funcao A depende apenas da dimensao extra r. Isso significa que uma vez fixada a

posicao da brana no bulk sua metrica sera equivalente ou conforme a de Minkowski. Isso

significa que na brana sera valida a fısica do modelo padrao [40].

Isto posto e chegado o momento de se obter as componentes do tensor de Einstein

para (2.7). Para esta metrica as unicas componentes nao nulas da conexao (2.6) sao

Γxrx = Γyry = Γzrz = Γtrt = −1

2A′(r) (2.8)

e

Γrxx = Γryy = Γrzz = −Γrtt =1

2e−A(r)A

′(r) (2.9)

onde x, y, z, t sao as componentes usuais do espaco tempo de Minkowski, r e a dimensao

extra e a linha,′, representa derivada com relacao a coordenada extra. As componentes

nao nulas do tensor de Ricci, por sua vez, resultam

Rxx = Ryy = Rzz = −Rtt =1

2e−A(r)

(−2A

′2(r) + A′′(r)), (2.10)

Rrr = −A′2(r) + 2A′′(r). (2.11)

Para possibilitar o calculo do tensor de Einstein falta ainda o escalar de curvatura, o qual

e dado a seguir

R = 5A′2(r)− 4A

′′(r). (2.12)

Com isso o tensor de Einstein e dado por

Gxx = Gyy = Gzz = −Gtt =3

2e−A(r)

(A′2(r)− A′′(r)

), (2.13)

Grr =3

2A′2(r). (2.14)

Para resolver a equacao de Einstein e necessario especificar a fonte. Isto sera feito

nas proximas subsecoes, nas quais serao apresentadas as solucoes de Kehagias [4], o qual

como sera visto representa uma brana espessa, e o modelo RS [4].

23

2.1.1 Solucao tipo bounce

O tıtulo desta subsecao remete ao trabalho de Kehagias que assim denomina a solucao

obtida. Outros autores diriam solucao do tipo kink (por isso essa denominacao tem sido

usada ao longo da tese) ou que a brana esta localizada numa parede de domınio ou ainda

que e a propria parede de domınio [41], [42]. A solucao obtida aqui segue um caminho

ligeiramente diferente do trabalho de Kehagias inclusive no que se refere a assinatura da

metrica. Ha tambem a diferenca no fator de warp, pois no trabalho original a funcao

A(r) e multiplicada por 2. Alem disso ha ausencia de algumas constantes na definicao do

campo escalar utilizado aqui, em comparacao com o modelo original.

Depois dessas breves consideracoes pode-se avancar para a solucao das equacoes de

Einstein. Considerando-se um campo escalar acoplado a gravidade o tensor momentum

energia para tal configuracao e obtido a partir de (2.4)

TMN = ∂MΦ∂NΦ− gMN

(1

2∂CΦ∂CΦ + V (Φ)

), (2.15)

considerando-se que a Lagrangiana do campo escalar seja dada por

Lm =1

2gMN∂MΦ∂NΦ + V (Φ). (2.16)

Com isso as equacoes de Einstein (2.14), (2.13) e (2.3), para Λ = 0, se resumem ao sistema

a seguir:

3

2

(A′2(r)− A′′(r)

)= κ2

5

(1

2φ′2 + V (φ)

)(2.17)

3

2A′2(r) = κ2

5

(3

2φ′2 + V (φ)

)(2.18)

em que κ5 representa a constante gravitacional em cinco dimensoes. A partir do sistema

acima pode-se determinar a funcao de warp A(r). Para isso subtrai-se (2.18) de (2.17)

resultando na seguinte equacao

A′′(r) = κ2

5φ′2. (2.19)

E importante notar que na ausencia de gravidade, para um potencial do tipo V (φ) =

(φ2 − 1)2, a acao (2.2) admite solucao do tipo bounce, com o campo dado por

24

φ(r) = tanh(r) (2.20)

No caso em maos, na presenca de gravidade, admite-se uma solucao do tipo kink (2.20),

encontra-se o fator de warp e depois retorna-se as equacoes de Einstein (2.18), (2.17) e

calcula-se o novo potencial. Portanto, para φ dado em (2.20) a solucao de (2.19) e dada

por

A(r) =2

9κ2

5 log(cosh2(r)) +1

9κ2

5 tanh2(r) (2.21)

para a qual A(0) = A′(0) = 0. A equacao para o potencial e obtida eliminando-se φ de

(2.18) e (2.17)

V =3

4κ25

(3A

′′(r)− 2A

′2(r))

(2.22)

A partir das derivadas de A dadas a seguir

A′(r) = −2

9κ2

5 tanh(r)(tanh2(r)− 3

); A

′′(r) =

2

3κ2

5

(tanh2(r)− 1

)2, (2.23)

substituindo-se em (2.22), usando (2.20) obtem-se para o potencial

V =3

2

(φ′2 − 1

)2

− 2

27κ2

5φ2(φ2 − 3

)2(2.24)

o qual reduz-se ao caso em que nao ha gravidade no limite κ25 → 0. Esta solucao corres-

ponde a uma membrana espessa que no limite r →∞ assume a forma do modelo RS, ou

seja, e−A ∝ e−|r| para r →∞. O fato de que esta solucao e uma generalizacao do modelo

RS sera melhor discutido ao final deste capıtulo. Como sera visto na subsecao (2.2.1)

este modelo foi generalizado para seis dimensoes, tendo este resultado sido publicado na

revista Physics Letter B [27]. A seguir sera analizado o modelo RS.

2.1.2 O modelo Randall-Sundrum (RS)

Sera apresentado aqui o modelo conhecido na literatura como RSI, [5]. A descricao

desse modelo exige a solucao das equacoes de Einstein em 5 dimensoes em um procedi-

mento semelhante ao que foi feito acima, embora os modelos apresentem algumas dife-

rencas. A primeira delas que se deve destacar e a fonte que neste caso e dada por

T(RSI)MN = −

√−G

4M3

(Vvis√−gvisgvisµν δ

µMδ

νNδ(ϕ− π) + Vcom

√−gcomgcomµν δµMδ

νNδ(ϕ)

)(2.25)

25

em que os sub(super)escrito vis, com referem-se, respectivamente, as branas visıvel, com

a qual identifica-se nosso universo quadridimensional, e companheira [40]. Esta fonte

representa pois as branas e ϕ representa a dimensao extra que neste caso e compacta. A

metrica no modelo RSI pode ser obtida de (2.7) fazendo-se A ≡ 2krc|ϕ| e r ≡ r2cϕ em que

rc representa a distancia entre as branas, tambem chamado de raio de compactificacao.

Com essas modificacoes, usando-se a assinatura −+ ++, a metrica para o modelo RSI e

dada por

ds2 = e−2krc|ϕ|ηµνdxµdxν + r2

cdϕ2 (2.26)

onde k e uma constante e ηµν representa a metrica de Minkowski.

O modelo RSI, portanto, consiste em um espaco tempo com cinco dimensoes com

duas 3-branas, uma das quais modela nosso universo, e uma dimensao extra transversa a

estas, a qual da-se o nome orbifold. Esta dimensao extra tem simetria Z2 a qual possibilita

a identificacao entre (xµ, ϕ) e (xµ,−ϕ). A dimensao extra e angular e as duas 3-branas

podem ser fixadas nos extremos ϕ = 0 e ϕ = π desta dimensao, alem disso a geometria do

bulk e anti de Sitter, (AdS5), [5, 40]. O modelo RSII pode ser obtido de RSI tomando-se

o limite rc → ∞, [4]. Neste caso ha apenas uma 3-brana presente e a dimensao extra e

nao compacta.

Uma das razoes do sucesso, por assim dizer, do modelo RS reside na sua viabilidade

fenomenologica. Isto se reflete, por exemplo, na forma como este modelo apresenta uma

solucao simples para o problema da hierarquia. Alem disso, uma vez que o fator de warp

depende apenas da coordenada extra, a fixacao da brana torna sua metrica conforme o

espaco de Minkowski, implicando em uma brana apta a suportar todos os campos do

modelo padrao, uma vez que a metrica (2.26) e um caso particular da metrica mais geral

(2.7). No entanto, a localizacao de alguns campos exige a presenca de campos auxiliares,

como o dilaton, no setup de RS, fato que motivou a busca por modelos de branas mais

gerais que fossem capazes de localizar os campos do modelo padrao atraves da interacao

gravitacional, unicamente. Esta abordagem resumida do modelo RS e suficiente para o

momento, outros aspectos serao discutidos em capıtulos posteriores.

Antes de fechar este capıtulo e interessante voltar a solucao tipo kink encontrada na

subsecao (2.1.1) e compara-la com o modelo RSI da subsecao (2.1.2) atual. O primeiro

aspecto a comparar diz respeito aos fatores de warp que sao esquematizados nas figuras

(1) e (2) a seguir. Como se ve das figuras a solucao tipo bounce apresenta um fator de

warp localizado que se aproxima daquele encontrado no modelo RS para grandes valores

26

-3 -2 -1 1 2 3j

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

e-k rc ¡j¥

Figura 1: Fator de warp - brana fina -e−2krc|ϕ| .

-3 -2 -1 1 2 3r

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

e-A HrL

Figura 2: Fator de warp - brana espessa -e−A(r).

de r, condizente com e−A(r) ∝ e−|r| no limite r → ∞ como ja tinha sido dito antes. Dai

pode-se concluir que na solucao tipo bounce, para regioes distantes da brana, o espaco

tempo e anti de Sitter, como no caso RS, [43]. No entanto o primeiro modelo, em que

a brana e espessa, nao apresenta singularidade, sendo esta caracterıstica uma vantagem

com relacao ao modelo RS. Alem disso e mais realıstico um cenario em que a brana ou

membrana tenha alguma espessura [44]. E importante explicar que entende-se por brana

espessa uma estrutura que se espalhe pela dimensao extra de tal forma que sua influencia

e percebida nas vizinhancas da posicao ao longo da referida dimensao, na qual a brana se

localiza. Em cinco dimensoes ela se assemelha a parede de domınio ferromagnetica [43].

As figuras (1, 2) revelam ainda que a exponencial da funcao A(r) tem o mesmo perfil

para r± → ∞ o que torna o fator de warp da solucao tipo bounce condizente com a

simetria Z2. Por fim, a forma do fator de warp com um pico apenas em r = 0 demonstra

que a geometria se localiza junto a brana espessa ou parede de domınio [43]. Esta solucao

e interessante tambem porque propicia a construcao de modelos de brana relacionadas a

defeitos topologicos.

Fica por aqui esta analise inicial de modelos de brana em 5 dimensoes, os quais serao

revisitados para que outros aspectos como a generalizacao para modelos (anisotropicos)

obtidos a partir de ondas estacionarias e localizacao de campos sejam estudados. Na

proxima secao os modelos acima serao discutidos em seis dimensoes.

27

2.2 Solucoes em seis dimensoes

A generalizacao do modelo RS para seis dimensoes aconteceu tao logo surgiu o modelo

original [6, 10, 37]. O modelo aqui analizado parte da metrica (2.1) para o caso n = 2,

ainda sem anisotropia, o que resulta

ds2 = e−A(r)gµνdxµdxν − dr2 −R2

0e−B(r)dθ2 (2.27)

em que R20 e uma constante e as coordenadas r e θ estao restritas aos respectivos intervalos:

0 ≤ r ≤ ∞, 0 ≤ θ ≤ 2π. Este modelo, consistente com invariancia de Poincare em quatro

dimensoes foi estudado por varios autores em diferentes contextos. Para o escopo desta

tese e importante destacar que as equacoes de Einstein obtidas da metrica (2.27) podem

ter como solucao um defeito tipo corda [6, 10, 37] bem como uma 4-brana em um cenario

com compactificacao hıbrida, [45], por exemplo. Mais uma vez, a exemplo do que se

passa em cinco dimensoes, como foi visto na secao 2.1, e possıvel relacionar a brana com

um defeito topologico: parede de domınio em cinco dimensoes, defeito tipo corda em

seis... Para a metrica dada acima, uma outra possıvel solucao do sistema de equacoes

de Einstein e encontrada quando se admite a presenca de um campo escalar no bulk, de

forma semelhante ao que se obteve em 5 dimensoes em que a solucao e do tipo parede

de domınio. Neste caso nao se pode falar em parede de domınio mas e ainda possıvel

a solucao na forma de uma 4-brana em que a coordenada compacta reside na brana,

correspondendo a uma compactificacao hıbrida. A proposito a expressao compactificacao

hıbrida e utilizada por Koley [45] para referir ao fato de a coordenada compacta pertencer

a brana, diferente do defeito tipo corda, por exemplo, em que a dita coordenada faz parte

do espaco extra.

E tempo de obter as equacoes de Einstein para a metrica (2.27). Para isso calcula-se

inicialmente as componentes nao nulas do sımbolo de Christoffel, (2.6), que neste caso sao

dadas por

Γxrx = Γyry = Γzrz = Γtrt = −1

2A′(r), (2.28)

Γrxx = Γryy = Γrzz = −Γrtt =1

2e−A(r)A

′(r), (2.29)

e

Γrθθ =1

2R2

0e−B(r)B

′(r); Γθrθ = −1

2B′(r) (2.30)

28

Resumindo um pouco a quantidade de equacoes e suprimindo, portanto, as componentes

do tensor de Ricci, uma vez que os calculos muito se assemelham ao que se fez em cinco

dimensoes, pode-se exibir diretamente as componentes nao nulas do tensor de Einstein

Gxx = Gyy = Gzz = −Gtt =1

4e−A(r)

(6A

′2 + 3A′B′+B

′2 − 2(3A′′

+B′′))

(2.31)

Grr =3

2A′2(r) + A

′B′

(2.32)

Gθθ =1

2R2

0e−B(r)(5A

′2(r)− 4A′′) (2.33)

Assumindo-se para o tensor momentum energia a expressao (2.4) as equacoes de

Einstein (2.3), (2.31), (2.32) e (2.33) resultam, de forma geral 1

1

4

(6A

′2 + 3A′B′+B

′2 − 2(3A′′

+B′′))

= κ25

(1

2φ′2 + V (φ)

)+ Λ (2.34)

3

2A′2(r) + A

′B′= κ2

5

(3

2φ′2 + V (φ)

)+ Λ (2.35)

e1

2(5A

′2(r)− 4A′′) = κ2

5

(1

2φ′2 + V (φ)

)+ Λ (2.36)

as quais nao diferem muito do que se obteve em cinco dimensoes. No entanto no que se

refere a localizacao de campos e a estabilidade esta solucao em seis dimensoes se mostra

mais vantajosa em relacao a solucao de cinco dimensoes, como sera visto. A seguir serao

ilustradas duas possıveis solucoes para este sistema de equacoes. No primeiro caso a

solucao corresponde a uma 4-brana espessa e no segundo caso tem-se o correspondente

do modelo RS em seis dimensoes

2.2.1 Solucao do tipo brana espessa

A brana obtida aqui como solucao das equacoes de Einstein (2.34 - 2.36)pode ser clas-

sificada como topologicamente nao trivial, conforme classificacao dada em Dzhunushaliev

[44] pois e gerada por um unico campo escalar, conforme discutido acima. Para obter

uma solucao do tipo 4-brana espessa admitir-se-a o caso especial em que A(r) = B(r).

Com esta simplificacao, a metrica (2.27) equivale a um defeito tipo corda local conforme

1Poderıamos ao inves do tensor momentum energia nos referir a Lagrangeana 2.16 que tambem ca-racteriza o campo real.

29

descricao dada no trabalho de Oda [6], embora como sera visto a solucao encontrada

aqui nao seja um defeito topologico. Alem disso, naquele artigo o autor optou pelo an-

satz A(r) = cr, em que c e uma constante. Portanto o trabalho aqui representa uma

generalizacao daquele, sendo esta abordagem inedita na literatura, fato que justifica a

elaboracao de um trabalho o qual foi publicado na revista Physics Letter B, sob o tıtulo

”Brane bounce-type configurations in a string-like scenario”, [27].

Para o caso A(r) = B(r) as equacoes (2.31), (2.32) e (2.33) assumem a forma mais

simples a seguir1

2(5A

′2(r)− 4A′′) = −κ2

6

(1

2φ′2 + V (φ)

)− Λ (2.37)

5

2A′2(r) = κ2

6

(1

2φ′2 − V (φ)

)− Λ. (2.38)

Resalve-se que neste caso preferiu-se usar a assinatura −,+,+,+, que esta de acordo com

[27].

Estas equacoes, descontando-se a diferenca de sinais em virtude da assinatura da

metrica sao as mesmas que se encontrou no caso da solucao tipo bounce, quais sejam,

(2.17) e (2.18), com diferencas apenas nos fatores que multiplicam as derivadas de A.

Portanto a solucao para A(r) e a mesma que foi obtida para a solucao do tipo parede

de domınio, (2.21), sendo o potencial tambem equivalente ao caso da solucao em cinco

dimensoes, (2.24). Cabe, portanto, a pergunta: que tem esta solucao a oferecer alem

do que ja se obtem em cinco dimensoes? Sem querer detalhar todos os pormenores da

diferenca que pode haver entre os dois modelos, para o escopo desta tese importa saber

que para determinados modelos nos quais a localizacao de certos campos nao e possıvel

em cinco dimensoes, a simples generalizacao destes para seis dimensoes torna possıvel a

localizacao . Um exemplo disso e a localizacao do campo de gauge que so e possıvel com

a adicao de um campo auxiliar na teoria, em cinco dimensoes [43], entretanto pode ser

localizado em seis dimensoes apenas atraves da interacao gravitacional, como pode ser

visto em Oda [6] e sera revisto aqui no capıtulo sobre localizacao. Esta, portanto, e a

principal razao do interesse em estudar o mesmo modelo em cinco o seis dimensoes, neste

trabalho.

Retornado as equacoes (2.37) e (2.38), φ representa o campo escalar que gera a brana,

o qual sera dado por

φ(r) = ν tanh(ar) , (2.39)

com a2 ≡ λν2/2. O potencial corresponde ao modelo λφ4, ou seja, V (φ) = λ4(φ2 − ν2)2.

30

Assim, a partir das equacoes (2.37) e (2.38) encontra-se para a funcao A(r) a equacao

diferencial A′′

=κ264φ′2 cuja solucao e

A(r) = β ln cosh2(ar) +β

2tanh2(ar) (2.40)

onde β = 13κ2

6ν2. Um perfil do fator de warp e−A(r) e dado na figura (3). O grafico

se apresenta deslocado da origem, no entanto foi apenas para enaltecer visualmente que

representa uma brana com espessura nao negligenciavel. O mesmo apresenta um pico

onde se localiza a brana, alem disso e finito, ou seja e−A(r) → 0 para r → ∞. Isto

0 2 4 6 8 10r

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0e-A HrL

Figura 3: Perfil do fator de warp e−A(r) para β = 1; a = 1

assegura que a relacao entre as escalas de Plank reduzidas em quatro (Mp) e seis (M6)

dimensoes dada a seguir e finita (2.41),

M2p = 2πM4

6

∫ ∞0

dre−3/2A(r), (2.41)

o que qualifica o modelo como potencial canditado a resolver o problema da hierarquia, o

que vem a ser uma das razoes, embora nao a unica, de se estudar modelos com dimensoes

extras [10].

No que concerne as condicoes de energia pode ser observado a partir das componen-

tes t0, tr, tθ que dependendo dos valores das constantes presentes na definicao do campo

escalar, estas componentes podem ser positivas, assegurando a satisfacao das referidas

condicoes. Na figura 4 tem-se os perfis das componentes t0(r) = tθ(r) e na figura 5 tem-se

a componente tr(r). Percebe-se que a depender dos valores escolhidos para v tais com-

ponentes podem ser positivas ou negativas. Por isso pode-se afirmar que a configuracao

de bounce assegura a satisfacao das condicoes de energia, o que qualifica o modelo como

fisicamente aceitavel. Isto vem a ser um resultado destacavel em comparacao com o mo-

delo de Koley [45], por exemplo, em que as condicoes de energia nao sao satisfeitas. Nisso

reside tambem outra vantagem de considerar a solucao do tipo bounce em seis dimensoes,

ao inves de cinco dimensoes como proposto inicialmente por Kehagias e revisto aqui na

subsecao 2.1.1.

31

0 2 4 6 8 10

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r

Figura 4: Perfil de t0(r) = tθ(r) parav = −1 (linha cheia), e para v = 1 (linhaseccionada)

0 2 4 6 8 10

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r

Figura 5: Perfil de tr(r) para v = 1 (linhacheia), e para v = −1 (linha seccionada)

Quando for abordada a localizacao de campos no capıtulo (4) sera realizada a loca-

lizcao dos campos escalar, de gauge e o campo fermionico no modelo acima descrito. Nao

e possıvel dizer que esta solucao seja um defeito topologico pois sendo em seis dimensoes

ela teria de representar o defeito tipo corda para merecer tal denominacao. No entanto,

conforme revisao dada na proxima subsecao, a solucao obtida acima poderia ser valida

apenas em uma regiao exterior ao nucleo da brana exigindo-se que em seu interior fos-

sem validas as condicoes (2.46), as quais determinam um defeito tipo corda. Assim seria

possıvel falar de um defeito tipo corda ate mais realista do que a que se considera em

Oda [6], que sera revista a seguir. No entanto, preferiu-se assumir uma 4-brana em que

a dimensao compacta e pequena o suficiente para que nela seja valida a fısica do modelo

padrao [45].

2.2.2 Defeito tipo corda

Uma vez que o universo conhecido pode ser identificado com um defeito topologico,

precisamente uma parede de domınio, em um bulk com cinco dimensoes, e natural inquirir

sobre a possibilidade de outros defeitos topologicos em um bulk com mais dimensoes extras

poderem ser identificados com o universo do modelo padrao. Daı surgirem, por exemplo,

os modelos que consideram a existencia de defeito tipo corda e monopolo em espaco-tempo

com dois e tres dimensoes extras, respectivamente [37]. O interesse principal aqui reside na

descricao do defeito tipo corda uma vez que os estudos feitos aqui se restringem a modelos

de brana em seis dimensoes 2. Alguns dos primeiros trabalhos na tentativa de obter o

2Os modelos de cinco dimensoes, como se ver, tem sido estudados como forma de obter os devidosconhecimento para o desenvolvimento do trabalho principal da tese.

32

que hoje se denomina defeito tipo corda em um bulk com duas dimensoes espaciais extras

foram realizados por [34, 37, 46, 47]. No que se refere ao estudo de localizacao de campos

em um defeito tipo corda Gherghetta [10], estudou o modo zero e os modos massivos para

gravidade, Oda [6] estudou a localizacao do modo zero para os campos escalar, vetorial e

fermionicos de spin 1/2 e 3/2 alem da gravidade; estudou ainda os modos massivos para

os campos escalar e vetorial [12].

O estudo da localizacao de fermions tambem foi realizado por Liu et al. [48]. A seguir

e apresentada um defeito tipo corda como solucao das equacoes de Einstein seguindo o

desenvolvimento efetuado em [6]. A localizacao do campo de Kalb-Ramond foi obtida

ao longo do desenvolvimento desta tese e tal estudo se encontra publicado sob o tıtulo

”Tensor gauge field localization on a string-like defect”[16].

A metrica 2.27, como ja foi dito, e compatıvel com um defeito tipo corda. Gherghetta

[10] considera uma solucao com uma 3-brana na origem da dimensao extra, r = 0, como

sera considerado aqui. Similar modelo e considerado por Oda [6]. Assumir-se-a para o

tensor momentum energia o ansatz

T µν = δµν t0(r), T rr = tr(r), Tθθ = tθ(r) (2.42)

onde ti(i = o, r, θ) sao funcoes apenas de r, a coordenada radial. Este ansatz garante

simetria esferica. Para este cenario, no caso sem fonte (ti = 0), as equacoes de Einstein

para A = B = cr, sendo c uma constante, tem como solucao um defeito tipo corda local

com

c2 =2

5(−Λ) (2.43)

exigindo que se tenha Λ < 0. Esta solucao e facilmente obtida das equacoes (2.34), (2.35) e

(2.36) substituindo-se as componentes do tensor energia momentum nestas equacoes pelo

ansatz 2.42. Neste caso a solucao para o fator de warp resulta e−cr, o que equivale, por

assim dizer, a uma generalizacao do modelo RS para seis dimensoes. No caso tr = −tθ,que representa uma quebra espontanea de simetria [6, 37] obtem-se como solucao um

defeito tipo corda global

c1 = c− 8

pcκ2Dtθ (2.44)

c2 =1

p(p+ 1)(−8Λ + 8κ2

Dα) > 0 (2.45)

onde A(r) = cr e B(r) = c1r.

Vale ressaltar que estas solucoes sao validas apenas fora do nucleo da corda. Dentro do

nucleo, para que se tenha a solucao do tipo corda e necessario que as seguintes condicoes

33

sejam satisfeitas

(e−

12B(r))′|ε0 = − δ

2π;(e−

12B(0))′|ε0 = 1; e−B(ε) = 0 (2.46)

onde δ e o defice angular e ε e um pequeno raio contendo a brana. Estas condicoes de

contorno nao sao de grande relevancia quando se esta interessado apenas na localizacao

de campo, [6].

Neste modelo tambem e possıvel resolver o problema da hierarquia, como no caso

do modelo RS em cinco dimensoes. Alem disso, ao contrario do que ocorre em cinco

dimensoes, nesse caso nao ha necessidade de ajuste fino entre a constante cosmologica

no bulk e a tensao na brana. Isto se deve ao fato de que no caso de cinco dimensoes

o espaco unidimensional na parede de domınio e flat equanto que em seis dimensoes o

espaco bidimensional ao redor da corda cosmica pode ser curvo, [10].

Apesar desta solucao ser um defeito tipo corda, na pratica ela funciona como se fosse

uma 4-brana tendo em vista que o fator que multiplica a dimensao extra compacta θ,

e e−cr ou e−c1r, portanto nao obedece as condicoes (2.46). E neste sentido que se afir-

mou que o modelo proposto na subsecao 2.2.1 pode ser modificado para comportar uma

3-brana que na linguagem desta subsecao corresponde a um defeito tipo corda local em

quatro dimensoes, mas tendo como solucao externa o perfil de brana espessa la determi-

nado. Um tal modelo uma vez construido seria, obviamente, uma generalizacao deste que

descrevemos nesta subsecao (2.2.2).

Com isto encerra-se este capıtulo. No proximo os modelos que foram estudados aqui

serao generalizados para o caso em que a metrica e anisotropica e as equacoes de Einstein

suportam solucoes de branas geradas por ondas estacionarias.

34

3 SOLUCOES DE ONDASESTACIONARIAS PARABRANAS ANISOTROPICAS

A suposicao de que o universo conhecido e isotropico, embora esteja de acordo com

o que se observa em larga escala, deixa sem respostas algumas perguntas intrigantes e

relevantes, tais como: porque nosso universo e isotropico hoje uma vez que ele deve ter

sido anisotropico em seu estagio inicial? A mais comum resposta dada pela cosmologia

e que a expansao exponencial (inflacao) no universo primordial eliminaria a anisotro-

pia. No entanto, tem sido mostrado que modelos realısticos de universo inflacionario tem

expansao aproximadamente, mas nao exatamente exponencial [49]. Por outro lado Wa-

tanabe, Kanno e Soda mostraram que em um modelo com expansao aproximadamente

exponencial persiste alguma anisotropia [50]. Alem disso, se na teoria de Friedman-

Lamaıtre-Robertson-Walker (FLRW), que descreve o universo conhecido e implementada

uma perturbacao encontram-se novos modelos que seriam mais importantes em epocas

iniciais do que o modelo FLRW, ou, dizendo de outra maneira, flutuacoes estatısticas pu-

ras em FLRW nao colapsam rapido o suficiente para formar as galaxias observadas hoje

[17].

Se ha razoes para estudar anisotropia no universo, igualmente ha razoes para estudar

modelos de branas anisotropicas, uma vez que os modelos de brana tem todos a pretensao

de representar o universo. Neste sentido e possıvel encontrar uma gama variada de traba-

lhos que descrevem mundo brana em cenarios anisotropicos, [18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25].

Hoogen e Ibanez [20] consideram um modelo de brana anisotropico do tipo Bianchi II em

que a fonte e uma combinacao de um fluido perfeito com um campo escalar minimamente

acoplado, o qual e restrito a se propagar apenas na brana. Um dos resultados desse tra-

balho e que a dinamica inicial do modelo e determinada pela energia cinetica do campo

escalar. Ja Fabbri et al. [21] consideram um mundo brana anisotropico do tipo Bianchi

I e mostram que em um bulk estatico um tal modelo nao suporta um fluido perfeito, em

35

geral, embora haja situacoes em que tal brana pode ser embebida em um fluido perfeito.

De maneira geral a grande maioria dos estudos de brana anisotropica estao interessado na

cosmologia dos modelos, nao ha preocupacao quanto ao estudo de localizacao de campos,

excessao feita ao trabalho de Merab [18] cuja extensao para seis dimensoes sera realizada

neste capıtulo. Este modelo, recente na literatura, descreve um cenario exotico em que a

brana e gerada por ondas gravitacionais estacionarias, sendo a fonte o campo escalar do

tipo fantasma, ou seja, com um sinal negativo em frente ao termo cinetico na Lagrangiana

[8, 9, 18]. Como sera visto aqui o modelo original ja foi por nos generalizado, inclusive

para seis dimensoes, e se encontra submetido ao PRD sob o tıtulo ”A 6D standing-wave

Braneworld”, [29].

Para o estudo do modelo anisotropico considerado aqui inicia-se pela metrica que

generaliza aquela usada na secao (2.1), precisamente a metrica (2.7)

ds2 = eA(r)(dt2 − eu(r,t)dx2 − eu(r,t)dy2 − e−2u(r,t)dz2

)− dr2 (3.1)

onde A(r) e uma funcao que depende apenas de r e u = u(r, t) e a funcao que determina

a anisotropia e depende de t e r.

Nas expressoes a seguir, o ponto representa derivada com relacao ao tempo enquanto

que a linha representa derivada com relacao a variavel extra r. Os termos nao nulos da

conexao para esta metrica sao

Γxtx = Γyty =1

2u; Γztz = −u (3.2)

Γxrx = Γyry =1

2(A′+ u

′); Γzrz =

1

2(A′ − 2u

′); Γtrt =

1

2A′, (3.3)

Γtxx = Γtyy =1

2euu; Γtzz = −1

2e−2uu; (3.4)

e

Γrxx = Γryy = −1

2eA+u(A

′+ u

′); Γrzz = −1

2eA−2u(A

′ − 2u′); Γrtt =

1

2eAA

′. (3.5)

A partir destes calculam-se as componentes nao nulas do tensor de Ricci

Rxx = Ryy = −1

2eA+u

(2A

′2 + A′′ − e−Au+ 2A

′u′+ u

′′)

(3.6)

Rzz = −1

2eA−2u

(2A

′2 + A′′

+ 2e−Au− 4A′u′ − 2u

′′)

(3.7)

36

Rtt =1

2eA(

2A′2 + A

′′ − 3e−Au2)

(3.8)

Rrt = −3

2uu′

(3.9)

Rrr =1

2

(−2A

′2 − 4A′′ − 3u

′2)

(3.10)

Enquanto isso o escalar de curvatura le-se

R = 5A′2 + 4A

′′+

3

2

(−e−Au2 + u

′2)

(3.11)

Finalmente as equacoes de Einstein resultam

Gxx = Gyy =

(1

4eA+u

)(

6A′2 + 6A

′′ − 3e−Au2 + 2e−Au− 4A′u′+ 3u

′2 − 2u′′)

= κ25Txx − gxxΛ (3.12)

Gzz =

(1

4eA−2u

)(

6A′2 + 6A

′′ − 3e−Au2 − 4e−Au+ 8A′u′+ 3u

′2 + 4u′′)

= κ25Tzz − gzzΛ (3.13)

Gtt = −3

4eA(

2A′2 + 2A

′′+ e−Au2 + u

′2)

= κ25Ttt − gttΛ (3.14)

Grt = −3

2uu′= κ2

5Trt (3.15)

Grr =3

4

(2A

′2 − e−Au2 − u′2)

= κ25Trr − grrΛ (3.16)

onde o tensor energia momentum nao esta determinado, em princıpio. No entanto, pela

equacao (3.15) verifica-se que no caso de a fonte ser um campo escalar ele deve ser do

tipo fantasma. A proposito, o tensor momentum energia para um campo escalar do tipo

37

fantasma, em cinco dimensoes, e dado por

TMN = −∂MΦ∂NΦ + gMN1

2∂CΦ∂CΦ + gMNV (Φ) (3.17)

o qual pode ser obtido da Lagrangeana geral para um campo fantasma, para a metrica

com assinatura (+,−,−,−,−) [51] que e considerada nesta secao

Lp = −gMN 1

2∇MΦ∇NΦ− V (Φ). (3.18)

A partir de (3.17), para o caso V (Φ) = 0 as equacoes de Einstein (2.3) podem ser reescritas

como

RMN = −κ25∂Mφ∂Nφ+

2

3gMNΛ (3.19)

cujas componentes nao nulas sao dadas por

Rxx =2

3eA+uΛ = Ryy (3.20)

Rzz =2

3eA−2uΛ (3.21)

Rtt = −κ25φ

2 − 2

3ΛeA (3.22)

Rrt = −κ25φφ

′(3.23)

Rrr = −κ25φ′2 +

2

3Λ (3.24)

A seguir serao apresentadas algumas solucoes para as equacoes de Einstein a comecar

pelo modelo de Merab [18] que sera discutido na proxima subsecao.

3.1 Brana gerada a partir de ondas gravitacionais es-

tacionarias em cinco dimensoes

O modelo aqui descrito representa uma generalizacao do modelo RS uma vez que

apresenta anisotropia, mas no limite u → 0, no que se refere ao ansatz para a metrica,

resulta igual ao modelo RS para A(r) = 2a|r|. A solucao apresentada aqui segue aquela

apresentada originalmente em [18], portanto considerar-se-a apenas ondas estacionarias

”se propagando para a direita”, ou seja, A(r) = 2ar. Com isso a metrica (3.1) assume a

forma mais simples

ds2 = e2ar(dt2 − eu(r,t)dx2 − eu(r,t)dy2 − e−2u(r,t)dz2

)− dr2 (3.25)

38

onde a e uma constante. Percebe-se pela metrica que a mesma e uma combinacao do

modelo RS, atraves do fator de warp e2ar com os termos anisotropicos eu(r,t), e−2u(r,t)

os quais deformam as coordenadas x, y, z da metrica. Como sera visto a funcao u(r, t)

tem nos em pontos especıficos de r nos quais o espaco tempo torna-se efetivamente AdS.

Levando-se os campos de materia a se ligar a estes nos tem-se finitos ou infinitos universos-

ilhas. Uma vez que se move para longe desses nos havera alongamento/encolhimento nas

direcoes x, y, z dependendo do sinal de u. Essa caracterıstica da metrica sera utilizada

posteriormente no estudo da localizacao de campos neste setup.

As componentes do tensor de Ricci (3.6 - 3.10), para A = 2ar, resultam

Rxx = Ryy = −1

2e2ar+u

(8a2 − e−2aru+ 4au

′+ u

′′)

(3.26)

Rzz = −1

2e2ar−2u

(8a2 + 2e−2aru− 4au

′ − 2u′′)

(3.27)

Rtt =1

2e2ar

(8a2 − 3e−2aru2

)(3.28)

Rrt = −3

2uu′

(3.29)

Rrr =1

2

(−8a2 − 3u

′2)

(3.30)

Comparando-se (3.23) e (3.29) conclui-se que se deve ter

φ =

√3

2κ25

u (3.31)

agora pela comparacao de (3.26) e (3.20), fazendo-se Λ = −6a2 encontra-se para u, e

consequentemente para φ, a seguinte equacao diferencial

−e−2aru+ 4au′+ u

′′= 0 (3.32)

O interesse aqui reside em encontrar uma solucao do tipo onda estacionaria para esta

equacao. Para isso as variaveis devem ser separadas com a escolha

u(r, t) = Csen(ωt)f(r) (3.33)

39

onde C e ω sao constantes. Com isso a equacao diferencial para a funcao f(r) assume a

forma

f′′

+ 4af′+ ωe−2arf = 0 (3.34)

cuja solucao e imediata

f(r) = Ae−2arJ2

(ωae−ar

)+Be−2arY2

(ωae−ar

)(3.35)

onde A e B sao constantes de integracao, J2 e Y2 sao as funcoes de Bessel de ordem 2, do

primeiro e segundo tipo, respectivamente. Normalmente na resolucao de problemas fısicos

a solucao que equivale a Y2 e dispensada de imediato em virtude desta funcao apresentar

divergencia na origem. No entanto, a presenca de e−ar no argumento de Y2 previne a

existencia de divergencia e portanto a solucao geral pode ser mantida, em princıpio. No

entanto, assumindo-se que u(t, 0) = 0 e necessario que A ou B seja zero uma vez que os

zeros das funcoes J2, Y2 nao coincidem. Para que se tenha u(t, 0) = 0 e necessario ainda

queω

a= X2,n (3.36)

onde X2,n representa o n-esimo zero de J2, Y2 dependendo se A ou B e nulo. Vale ressaltar

ainda que a condicao 3.36 quantiza as frequencias de oscilacao, ω.

Agora que se obteve a solucao para u pode-se melhor analisar o comportamento as-

sintotico da metrica (3.25). Para a > 0 e grandes valores de r, a funcao u tende a zero,

resultando em um espaco AdS multiplicado por um fator e2ar. No caso a < 0, uma vez

que se desloca dentro do bulk, distancias ao longo das direcoes x, y crescem com e2ar

enquanto que na direcao z essas distancias decrescem com e−2ar .

Alem disso a funcao u e oscilatoria em r assumindo o valor zero sempre que f(r) = 0.

Em cada um desses valores rm a metrica 3.25 se torna a ja conhecida metrica do modelo

RS. A este comportamento oscilatorio da funcao u associam-se as ”ilhas-univeros”AdS

dentro do bulk. Para o fator de warp crescente, a > 0, em ambos os casos A = 0 ou

B = 0 a funcao f e consequentemente u tem n+ 1 zeros correspondendo a n+ 1 ”ilhas”.

No caso de um fator de warp decrescente, a < 0 a quantidade de ilhas e infinita.

Em um posterior capıtulo se mostrara como essas ”ilhas”de AdS podem localizar cam-

pos. A esse respeito e importante destacar o mecanismo atraves do qual se pode localizar

campos neste modelo de ondas gravitacionais estacionarias. Dois possıveis mecanismos

sao sugeridos no modelo original: no primeiro assume-se que as ondas gravitacionais es-

tacionarias confinam materia de forma analoga ao confinamento possibilitado por ondas

eletromagneticas estacionarias, ou seja, atraves de forcas de quadrupolo. O outro me-

40

canismo seria um possıvel acoplamento entre o campo do tipo fantasma e o campo de

materia. Este acoplamento seria tal que faria com que as partıculas se congregassem nas

regioes em que o campo fantasma e nulo, ou seja, nas ”ilhas”de AdS.

O modelo de Merab conforme apresentado aqui e construido a partir de um campo

escalar (do tipo) fantasma. Modelos construıdos a partir esse tipo de materia normal-

mente apresentam problemas de estabilidade e nao obedecem as condicoes de energia,

particularmente a condicao forte. Para sanar esta dificuldade o campo do tipo fantasma e

identificado com o escalar de Weyl e uma vez que o modelo de Weyl e estavel conclui-se que

o modelo em estudo aqui tambem goza de tal caracterıstica. De fato, embora os autores

nao mostrem, o modelo nao apresenta problemas de energia infinita como acontece em al-

guns modelos com campo fantasma mas e possıvel mostrar, ao menos esquematicamente,

que as condicoes de energia nao sao obedecidas neste modelo. De fato para a metrica

3.25 as componentes (parcialmente) positivas do tensor 3.17 sao Txx, Tyy, Tzz enquanto

que a componente Trr e completamente negativa, bem como a densidade de energia. Para

ilustrar segue abaixo um esquema das componentes 〈Ttt〉 e 〈Txx〉. O sımbolo 〈〉 indica

media temporal. Como pode ser visto a densidade de energia (a componente Ttt do tensor

1 2 3 4 5r

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

Ttt

Figura 6: Perfil de 〈Ttt〉 , a = 1, ω = 3, 38

1 2 3 4 5r

-0.5

0.5

1.0

1.5

Txx

Figura 7: Perfil de 〈Txx〉 , a = 1, ω = 3, 38

momentum energia) e completamente negativa ou nula, enquanto que a componente Txx

tem apenas uma pequena parte negativa, o mesmo acontecendo com Tyy, Tzz. A com-

ponente Trr como ja foi dito, e completamente negativa o que leva a violacao de todas

as condicoes de energia. Como sera visto quando este modelo for generalizado pra seis

dimensoes, essas grandezas variam com a variacao dos valores de a e ω mesmo que a

razao entre elas permaneca constante. De acordo com as definicoes dadas no apendice (6)

trata-se de materia exotica pois viola ate a condicao nula - NEC.

Com isso se encerra esta breve descricao da obtencao de um mundo brana gerado

41

por ondas gravitacionais estacionarias. Em quatro dimensoes ha solucoes de ondas esta-

cionarias para as equacoes de Einstein no vacuo e na presenca de uma parede de domınio

([28]). Na proxima subcecao sera apresentada para o sistema de equacoes (3.12 - 3.16)

uma tentativa de se obter uma solucao de vacuo.

3.2 Outras solucoes

Inspirado por resultados obtidos em quatro dimensoes em que se obtem solucoes do

tipo ondas estacionarias tanto no vacuo quanto em uma parede de domınio [28], foram

realizadas algumas tentativas neste sentido, em cinco dimensoes. A primeira tentativa

consiste em verificar se este modelo e compatıvel com uma solucao dinamica de vacuo,

seja uma solucao do tipo Kasner ([52] - pagina 178) ou do tipo ondas estacionarias. Pode-

se resolver o problema de forma mais geral considerando-se o caso em que, TMN = 0, no

entanto ainda na presenca da constante cosmologica. A equacao 3.15 exige que se tenha

u′= 0 ou u = 0. Fazendo-se u independente de de r o sistema (3.12 - 3.16) e simplificado

para

Gxx = Gyy =

(1

4eA+u

)(

6A′2 + 6A

′′ − 3e−Au2 + 2e−Au)

= gxxΛ (3.37)

Gzz =

(1

4eA−2u

)(

6A′2 + 6A

′′ − 3e−Au2 − 4e−Au)

= gzzΛ (3.38)

Gtt = −3

4eA(

2A′2 + 2A

′′+ e−Au2

)= gttΛ (3.39)

Grt = 0 (3.40)

Grr =3

4

(2A

′2 − e−Au2)

= grrΛ (3.41)

42

Pretende-se verificar se o sistema de equacoes, (3.37 - 3.41), admite uma solucao

dinamica de vacuo, nas condicoes que foi especificado cima. Para isso subtrai-se a equacao

(3.37) de (3.38), depois de ter multiplicado ambos os lados das mesmas por eA+u e eA−2u,

respectivamente. Fazendo isso encontra-se u = 0 o que implica em u(t) = b.t + t0, onde

b e t0 sao constantes de integracao. Uma equacao para a funcao A e obtida depois de

subtrair (3.39) de (3.41) resultando

A′′(r) + 2A

′2(r)− 4

3Λ = 0 (3.42)

onde Λ e a constante cosmologica do bulk. A solucao geral para esta equacao e

A(r) =1

2log

[cosh

(√2Λ

3(2r − 3C1)

)]+ C2 (3.43)

em que C1 e C2 sao constantes de integracao.

Esta solucao nao difere muito da que foi encontrada na secao anterior, uma vez que

ainda representa uma solucao com fator de warp crescente. Alem do mais, considerando-

se Λ = 0, para que se tenha realmente o vacuo, encontra-se-ia A(r) = C, sendo C uma

constante o que naturalmente nao e uma solucao significativa. Na verdade ela implica

que se deve ter t0 = 0 e u(t) = b. Portanto esta e uma solucao estatica ao contrario do

que se esperava obter. Conclui-se que a partir da metrica (3.1) nao e possıvel encontrar

uma solucao dinamica de vacuo para as equacoes de Einstein. Por fim, mesmo no caso

em que se considere Λ nao nulo, segundo a solucao encontrada acima, nao ha dependencia

temporal em u. E possıvel mostrar ainda a impossibilidade de se encontrar uma solucao

dinamica para este conjunto de equacoes na presenca de um campo escalar ”fısico”ou

”canonico”(aquele cujo sinal no termo cinetico da Lagrangeana e o contrario do que se

tem para o campo escalar fantasma), em cinco dimensoes, pois para isso seria necessario

considerar (3.40) como sendo nulo o que implicaria na necessidade de se ter Φ = 0 ou

Φ′

= 0 o que iria levar a uma situacao semelhante ao que se encontrou acima. Mas

como sera visto em seis dimensoes e possıvel encontrar solucoes com um fator de warp

suave, ou seja, solucoes do tipo brana espessa e mesmo com densidade de energia positiva

especificando-se uma fonte apropriada.

Em suma, para se obter uma solucao do tipo onda estacionaria nos modelos ani-

sotropicos aqui estudados e necessario que a fonte seja um campo escalar do tipo fantasma.

A seguir serao consideradas solucoes em seis dimnesoes e nestas sera feito um esforco no

sentido de procurar alguma configuracao de materia que possa gerar solucao do tipo brana

43

espessa e principalmente alguma solucao que satisfaca as condicoes de energia.

3.3 Branas geradas a partir de ondas gravitacionais

estacionarias em seis dimensoes

Um dos principais objetivo desta tese e a generalizacao do modelo de Merab revisado

aqui na secao (3.1) para seis dimensoes tendo em vista a possibilidade de se obter um mo-

delo mais eficiente na localizacao de campos do que o referido modelo em cinco dimensoes

e com isso obter uma geometria que possibilite a localizacao dos campos do modelo padrao

apenas por meio da interacao gravitacional. Concluıda esta parte e constatando que este

objetivo foi cumprido, inclusive obtendo-se a localizacao do campo fermionico, o que nao

foi possıvel em cinco dimensoes, surgiu o interesse de buscar um modelo que ao inves de

uma brana anisotropica fina pudesse ser identificado com uma brana espessa. A razao

disso e que, como ja foi dito, uma brana (membrana) com espessura se apresenta mais

realıstica, alem disso a espessura da brana e importante na localizacao de campos, par-

ticularmente dos modos massivos [6]. Para fechar os principais objetivos deste trabalho

restava obter uma solucao de ondas estacionarias na presenca de uma fonte normal 1.

Estes objetivos foram atingidos e nesta secao sera mostrado como e possıvel obter tais

cenarios. O estudo da localizacao dos campos ficara para o proximo capıtulo.

Em seis dimensoes o ansatz para a metrica anisotropica para o modelo aqui conside-

rado e dado pela expressao

ds2 = eA(dt2 − eudx2 − eudy2 − e−3udz2

)− dr2 −R2

0eB+udθ2, (3.44)

onde A(r) e B(r) sao funcoes de r , apenas, e u e funcao de r e t. Este ansatz generaliza

o defeito tipo corda global considerado em [11, 37].

Para nao ficar muito repetitivo o procedimento de obtencao das solucoes sera feita

uma reducao na quantidade de equacoes, portanto serao suprimindas as componentes nao

nulas da conexao. No entanto algumas expressoes sao indispensaveis para que se possa

compreender os resultados finais. Para as solucoes consideradas nesta secao, a exemplo

do que se fez em cinco dimensoes, e necessario expressar o tensor de Ricci. Eis portanto

1Vale sempre lembrar que uma fonte de materia e dia normal quando satisfaz as condicoes classicasde energia que sao revisadas aqui no apendice

44

as componentes nao nulas do tensor de Ricci, para a metrica (3.44)

Rxx = Ryy =

(−1

4eA+u

)(

4A′2 + 2A

′′+ A

′B′ − 2e−Au+ (4A

′+B

′)u′+ 2u

′′)

(3.45)

Rzz =

(1

4eA−3u

)(−4A

′2 − 2A′′ − A′B′ − 6e−Au+ 3(4A

′+B

′)u′+ 6u

′′)

(3.46)

Rtt =1

4eA(

4A′2 + 2A

′′+ A

′B′ − 12e−Au2

)(3.47)

Rrt =1

4u(A

′ −B′ − 12u′) (3.48)

Rrr =

(1

4

)(−4A

′2 −B′2 − 8A′′ − 2B

′′+ 2(A

′ −B′)u′ − 12u′2)

(3.49)

Rθθ =

(−1

4R2

0eB+u

)(B′2 + 2B

′′+ 4A

′B′ − 2e−Au+ (4A

′+B

′)u′+ 2u

′′)

(3.50)

Tao necessario quanto o conjunto de equacoes acima sao as equacoes de Einstein para a

compreensao das solucoes obtidas aqui. As componentes nao nulas do tensor de Einstein

sao

Gxx = Gyy =

(1

4eA+u

)(

6A′2 +B

′2 + 3A′B′+ 6A

′′+ 2B

′′+ 6(u

′2 − e−Au2) + 2e−Au− 5A′u′ − 2u

′′)

= κ26Txx + gxxΛ6 (3.51)

45

Gzz =

(1

4eA−3u

)(

6A′2 +B

′2 + 3A′B′+ 6A

′′+ 2B

′′+ 6(u

′2 − e−Au2)− 6e−Au+ (11A′+ 4B

′)u′+ 6u

′′)

= κ26Tzz + gzzΛ6 (3.52)

Gtt =

(1

4eA)

(−6A

′2 −B′2 − 3A′B′ − 6A

′′ − 2B′′ − 6(u

′2 + e−Au2) + (A′ −B′)u′

)= κ2

6Ttt + gttΛ6 (3.53)

Grt =1

4u(A

′ −B′ − 12u′) (3.54)

Grr =

(1

4

)(

6A′2 + 4A

′B′ − 6(u

′2 + e−Au2) + (A′ −B′)u′

)= κ2

6Trr + grrΛ6 (3.55)

Gθθ =

(1

4R2

0eB+u

)(

10A′2 + 8A

′′+ 6(u

′2 − e−Au2) + 2e−Au− 5A′u′ − 2u

′′)

= κ26Tθθ + gθθΛ6 (3.56)

Para encontrar uma brana anisotropica fina, o equivalente do modelo de Merab em seis

dimensoes, sera necessario considerar um campo escalar fantasma como fonte. Para um tal

campo a expressao do tensor momento-energia pode ser encontrado no inıcio deste capıtulo

(3), mas sera repetido aqui pra facilitar a consulta TMN = −∂MΦ∂NΦ + gMN12∂CΦ∂CΦ +

gMNV (Φ). A partir desta expressao pode-se, a maneira do que foi realizado tambem no

46

inıcio deste capıtulo, reescrever as equacoes de Einstein como 2

RMN = −κ26∂MΦ∂NΦ− 1

2gAB(κ2

6V (Φ) + Λ6) (3.57)

Solucoes para estas equacoes serao apresentadas a seguir. Na subsecao 3.3.1, logo a

seguir, sera obtida a solucao de ondas estacionarias com brana fina em seis dimensoes. Os

resultados obtidos nesta subsecao resultaram em um trabalho que se encontra submetido

a revista Physical Review D (PRD) sob o tıtulo ”A 6D standing-wave Braneworld”[29].

3.3.1 Solucao do tipo brana fina

O ponto de partida para obtencao da brana anisotropica em seis dimensoes seme-

lhante ao modelo de Merab consiste em escolher uma metrica apropriada. Conforme

procedimento feito em cinco dimensoes, considera-se o conjunto de equacoes (3.45 - 3.50)

combinado com (3.57) para o caso A(r) = B(r) o que resulta

Rxx = Ryy =

(−1

4eA+u

)(

5A′2 + 2A

′′ − 2e−Au+ 5A′u′+ 2u

′′)

=1

2eA+uΛ6 (3.58)

Rzz =

(−1

4eA−3u

)(

5A′2 + 2A

′′+ 6e−Au− 15A

′u′ − 6u

′′)

=1

2eA−3uΛ6 (3.59)

Rtt =1

4eA(

5A′2 + 2A

′′ − 12e−Au2)

= −κ26Φ2 − 1

2eAΛ6 (3.60)

Rrt = −1

4u(12u

′) = −κ2

6ΦΦ′

(3.61)

2Esta e uma expressao geral, mas nas solucoes apresentadas nas proximas subsecoes o potencial V (Φ)sera considerado nulo.

47

Rrr =

(1

4

)(−5A

′2 − 10A′′ − 12u

′2)

= −κ26Φ′2 +

1

2Λ6 (3.62)

Rθθ =

(−1

4R2

0eA+u

)(

5A′2 + 2A

′′ − 2e−Au+ 5A′u′+ 2u

′′)

=1

2R2

0eA+uΛ6 (3.63)

A partir de 3.61 e necessario que se imponha Φ =√

3κ6u. Para que se tenha uma solucao do

tipo onda estacionaria semelhante ao que se obteve em cinco dimensoes a funcao u deve

obedecer a relacao

−e−Au+5

2A′u′+ u

′′= 0 (3.64)

Pelas equacoes (3.58), (3.59), (3.60) e (3.63) esta equacao para u exige que se tenha

Λ6 = −12(5A

′2 + 2A′′). No entanto esta condicao aplicada em (3.62) exige que se tenha

A′′(r) = 0. Assim a solucao possıvel para o fator de warp neste cenario e A = cr + c0.

Para que se tenha A(0) = 0 e para que se assemelhe mais ao modelo de cinco dimensoes

assume-se A(r) = 2ar. Com isso a metrica (3.44) assume a forma

ds2 = e2ar(dt2 − eudx2 − eudy2 − e−3udz2

)− dr2 −R2

0e2ar+udθ2. (3.65)

Enquanto isso a constante cosmologica e dada por Λ6 = −10a2 o que exige que se tenha

Λ6 < 0 para que a constante a seja real.

Pretende-se resolver (3.64) no caso em que A(r) = 2ar a qual resulta

−e−2aru+ 5au′+ u

′′= 0 (3.66)

Para resolver esta equacao inicialmente separa-se as variaveis r e t assumindo-se que se

possa escrever

u(r, t) = g(t)ρ(r) (3.67)

Para que (??) seja separavel basta que g(t) obedeca ao requisito basico: g ∝ g. Em outras

palavras, g(t) pode ser uma funcao exponencial, seno, cosseno..., do tempo. Assumindo-se

48

que g(t) satisfaca essa condicao, substituindo-se (3.67) em (??) encontra-se para a variavel

ρ(r)

ρ′′(r) + 5aρ

′(r) + α2e−2arρ(r) = 0 (3.68)

em que α e uma constante que resulta da derivada temporal de g.

Esta equacao pode ser reescrita atraves de uma mudanca de variavel e na nova variavel

ela se apresentara bem familiar. Seja entao

z =α

|a|e−ar; ρ = Fh (3.69)

onde F =(α|a|

)5/2

e−52ar. Com isso obtem-se a conhecida equacao de Bessel de ordem 5

2,

para a nova variavel z

∂2h(z) +1

z∂h(z) +

(1− 25

4

1

z2

)h(z) = 0 (3.70)

onde ∂ = ∂/∂z. A solucao geral desta equacao e dada por

h(z) = AJ 52(z) +BY 5

2(z) (3.71)

em que A e B sao constantes de integracao e J , Y sao as funcoes de Bessel do primeiro e

segundo tipo, respectivamente. Em termo da variavel r a solucao resulta

ρ(r) = C1e− 5

2arJ 5

2(α

|a|e−ar) + C2e

− 52arY 5

2(α

|a|e−ar) (3.72)

onde C1, C2 sao as novas constantes. Ate aqui a obtencao da funcao u atraves da relacao

(3.67) depende da especificacao de g. Como o objetivo aqui e obter uma solucao do tipo

onda escacionaria e natural que se faca opcao por u(r, t) = sen(ωt)ρ(r) onde ρ assume a

forma

ρ(r) = C1e− 5

2arJ 5

2(ω

|a|e−ar) + C2e

− 52arY 5

2(ω

|a|e−ar) (3.73)

que foi dada anteriormente com a diferenca apenas de substituir α por ω. Apesar desta

solucao ser muito semelhante aquela de cinco dimensoes, no que se refere a localizacao de

campos elas apresentam resultados diferentes, como sera visto.

A solucao acima e naturalmente oscilatoria na variavel r e a exemplo do que se viu

em cinco dimensoes considera-se que para r = 0 a razao ω|a| coincida com um zero de

alguma das funcoes de Bessel J 52, Y 5

2de forma que a funcao u se anule na origem. Cada

”no”corresponde a uma ilha AdS conforme interpretacao do trabalho original. Como se

encontra ilustrado nas proximas figuras a quantidade de nos e finita para a > 0 e infinita

no caso em que a < 0. Neste caso considerou-se ω = 12.3 e a = +1, a = −1 para as figuras

49

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0r

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

2.0

ΡHrL

Figura 8: Perfil de ρ(r) para a = 1 e ω =12, 3

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0r

-50

50

ΡHrL

Figura 9: Perfil de ρ(r) para a = -1 e ω =12, 3

(8) e (9), respectivamente. Em ambos os casos a razao ω|a| corresponde ao terceiro zero de

J 52. Como se ve no primeiro caso a quantidade de nos e finita enquanto que no segundo

caso esta mesma quantidade tende ao infnito. Considerando-se que os campos se localizam

nestes ”universo-ilhas”de AdS e suficiente considerar que se tenha uma quantidade finita

de zeros, portanto que a > 0.

Como se viu na secao (3.1) para evitar os problemas de instabilidade comuns em

modelos com campo do tipo fantasma, o modelo de ondas estacionarias em cinco dimensoes

foi inserido em uma geometria de Weyl. Aqui preferiu-se avaliar as componentes do

tensor momento-energia e mostrar que nao ha problemas de energia infinita, apesar de

tambem nao satisfazer as condicoes de energia. No entanto, para que se tenha um cenario

fisicamente aceitavel e suficiente que as componentes do tensor momentum-energia, bem

como o escalar de curvatura sejam finitos. Na figura (10) sao mostrados os perfis das

quantidades 〈Txx(r)〉 = 〈Tyy(r)〉 = 〈Tθθ(r)〉 = 〈Tzz(r)〉, 〈Trr(r)〉 e 〈Ttt(r)〉, de acordo

com a definicao do tensor momentum energia (3.17). Nessa figura assume-se os seguintes

valores para as constantes: C2 = 0, a = κ = R0 = 1 e C2 = 8/3, ω = 5.76, que equivale ao

primeiro zero da funcao J5/2. Na figura (11) foram plotadas as mesmas quantidades, mas

neste caso tem-se ω = 9.09, o que corresponde ao segundo zero de J5/2. Nas figuras (12)

e (13) a energia foi plotada mais uma vez, neste caso mantendo-se constante a razao ω/a,

enquanto ω, a variam. Um perfil do escalar de curvatura do bulk 〈R〉 e exibido na (12).

Nesse caso a frequencia ω assume os valores 5,76, 9,09 and 12,3, que sao os tres primeiros

zeros de J5/2. Finalmente, na figura (13) tem-se um esquema do escalar de curvatura em

4D R(4) para os mesmos valores de ω. O sımbolo 〈F 〉 representa a media temporal da

funcao F . A quantidade 〈ebu〉 que aparece em algumas componentes da metrica, como

50

sera visto ao se estudar a localizacao do campo escalar neste modelo, e dada por

〈ebu〉 = I0(bρ(r)), (3.74)

onde b e uma constante e I0 e a funcao de Bessel modificada de ordem zero. A funcao

ρ(r) e dada por (3.73) para C2 = 0. Como sera visto no capıtulo sobre localizacao para

b = −1 ou b = −3 esta quantidade varia pouco, sendo aproximadamente 1.

As figuras mostram que para o modelo proposto aqui nenhuma dessas importantes

quantidades, quais sejam, as componentes do tensor momento-energia e o escalar de cur-

vatura, sao infinitas, embora a fonte seja um campo do tipo fantasma. Nas figuras (10) e

(11), como ja foi dito, tem-se um esquema da media temporal das componentes do tensor

momento-energia, em que as constantes assumem os valores acima destacados. A linha

cheia representa 〈Ttt(r)〉, a linha seccionada representa 〈Trr(r)〉 e, finalmente, a linha

pontilhada representa 〈Txx(r)〉 = 〈Tyy(r)〉 = 〈Tθθ(r)〉 = 〈Tzz(r)〉. Como pode ser visto a

partir dessas figuras, a densidade de energia, independentemente do valor da razao ω/a, e

sempre negativa, convergindo para zero mais rapidamente para o primeiro zero da funcao

de Bessel. Por outro lado, as componentes da pressao apresentam perfis bem diferentes.

Enquanto que 〈Txx(r)〉 = 〈Tyy(r)〉 = 〈Tθθ(r)〉 = 〈Tzz(r)〉, oscilam entre valores positivos

e negativos, 〈Trr(r)〉 e sempre negativa. Vale destacar que densidade de energia positiva

com pressao negativa e tıpico de modelos gerados por campos do tipo fantasma [53], mas

no caso considerado aqui, como se verifica, a densidade de energia assume sempre valores

negativos o que mostra a natureza exotica da fonte, que nao e um campo fantasma no sen-

tido que se considera na literatura [8, 9, 26, 51], daı porque se diz que e do tipo fantasma.

Apesar destas caracterısticas nao ortodoxas, todas essas quantidades sao finitas o que e

menos problematico em comparacao com teorias, na presenca de campos fantasma, que

apresentam densidade de energia infinita. E importante ressaltar que a presenca de mode-

los que nao satisfazem a condicao de energia dominante e comum na literatura. Pode-se,

por exemplo, citar a versao em 5D deste modelo [18], que conforme foi verificado nao

obedece a nenhuma das condicoes, como um dos casos em que esta condicao de energia

nao e satisfeita. Em modelos de brana em 6D tambem ha modelos que apresentam esta

caracterıstica heterodoxa, como o modelo proposto por Koley-Kar [45] e o defeito tipo

corda ja discutido aqui [10].

Pode-se observar nas figuras (12) e (13) que os valores das constantes a e ω podem

influenciar o perfil da densidade de energia mesmo no caso em que a razao ω/a e mantida

constante. Em ambas as figuras foi plotada a densidade de energia variando-se os valores

de a e ω enquanto que a razao ω/a = 5, 76 foi mantida fixa. Na figura (12) inicia-se com

51

a = 1 e ω = 5, 76 (linha seccionada), depois estes valores sao multiplicados por 2 (linha

pontilhada) e 3 (linha cheia). Ja na figura (11) inicia-se com os mesmos valores que em

(10) com a diferenca que estes valores agora sao divididos por 2 e 3, linhas pontilhada e

cheia, respectivamente. Os resultados mostram que ao se elevar os valores das constante,

figura (12), a densidade de energia tende a convergir para zero mais rapidamente mas isso

tendera a torna-la mais negativa proximo a origem. Por outro lado, como pode ser visto

na figura (13), se os valores das constantes decrescem, mantendo-se constante a razao

entre elas, tem-se o processo inverso no sentido em que a energia se torna menos negativa

proximo a origem, e no que se refere a convergencia a energia tende para valores constantes

mas diferente de zero. Tambem nestes casos, e isto e realmente o que se pretende mostrar

com essas figuras, nao ha problema de energia infinita.

Por fim, na figura (14) o escalar de curvatura do bulk foi plotado para diferentes

valores de ω: ω = 5, 76 (linha seccionada); ω = 9, 09 (linha pontilhada) e ω = 12, 3

para a linha cheia. Em todos os casos 〈R〉 e finito e positivo, tendendo a ser constante

assintoticamente. Na figura (15), que apresenta o perfil para R(4), percebe-se que na

origem, ou seja, na brana ele e nulo, no entanto fora da brana apresenta-se diferente de

zero e negativo. A exemplo do que se passa com a energia, o escalar de curvatura da

brana decresce com o aumento de ω. Neste ultimo grafico os valores assumidos por ω sao:

ω = 5, 76 (linha seccionada); ω = 9, 09 (linha pontilhada) e ω = 12, 3 (linha cheia).

A partir das figuras (10−15) percebe-se que este cenario e mais caracterıstico de uma

brana espessa que de uma brana fina, uma vez que a mesma se encontra na origem mas sua

influencia se extende para as vizinhancas. Este comportamento parece ser consequencia

da natureza exotica da fonte que a gera. Deve-se ressaltar mais uma vez que as figuras

representam a media temporal das quantidades em estudo. Portanto, e possıvel que

haja algum intervalo de tempo em que as condicoes de energia sejam satisfeitas. Esta

observacao e importante uma vez que a existencia de sistemas fısicos em que a condicao

de energia dominante e violada em certos intervalos de tempo e comprovada [51] .

Com isso se encerra esta subsecao. As solucoes aqui encontradas muito se assemelham

ao caso de cinco dimensoes, como nao poderia deixar de ser. Principalmente no que se

refere ao tensor momento-energia esta solucao em seis dimensoes se apresenta semelhante

ao modelo de Merab. Isto e importante pois o fato de o modelo de cinco dimensoes ser

estavel e de o modelo construıdo aqui, em seis dimensoes, ser semelhante sugere que este

tambem seja estavel. No entanto este modelo em seis dimensoes apresenta uma vantagem

sobre o modelo original que consiste no fato de ser mais eficiente na localizacao de campos,

52

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4r

-4

-2

2

4TMN@rD

Figura 10: Perfil de 〈T 〉 , ω = 5, 76. Alinha cheia representa 〈Ttt〉. A linha secci-onada representa 〈Trr〉. A linha pontilhadarepresenta 〈Txx〉 = 〈Tyy〉 = 〈Tzz〉 = 〈Tθθ〉.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4r

-4

-2

2

4TMN@rD

Figura 11: Perfil de 〈T 〉 , ω = 9, 09. Alinha cheia representa 〈Ttt〉. A linha secci-onada representa 〈Trr〉. A linha pontilhadarepresenta 〈Txx〉 = 〈Tyy〉 = 〈Tzz〉 = 〈Tθθ〉.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0r

-30

-25

-20

-15

-10

-5

T00@rD

Figura 12: Perfil de 〈T0〉 . ω = 5, 76 ea = 1 para linha seccionada; ω = 11, 52 ea = 2 para linha pontilhada; ω = 17, 28 ea = 3 para linha cheia.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0r

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

T00@rD

Figura 13: Perfil de 〈T0〉. ω = 5, 76 e a = 1para linha seccionada; ω = 2, 88 e a = 0, 50para linha pontilhada; ω = 1, 92 e a = 0, 33para linha cheia.

por assim dizer. No proximo capıtulo isso sera evidenciado. No entanto este capıtulo

prossegue pois e necessario procurar outras solucoes para as equacoes de Einstein neste

cenario. Particularmente nas proximas subsecoes serao apresentadas solucoes de brana

espessa e solucoes que satisfacam as condicoes de energia.

53

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r

10

20

30

40

50R@rD

Figura 14: Perfil de 〈R〉. ω = 5, 76 (linhaseccionada), ω = 9, 09 (linha pontilhada),ω = 12, 3 (linha cheia)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4r

-5

-4

-3

-2

-1

RH4L@rD

Figura 15: Perfil de 〈R(4)〉. ω = 5, 76 (li-nha seccionada), ω = 9, 09 (linha ponti-lhada), ω = 12, 3 (linha cheia)

3.3.2 Solucao do tipo brana espessa

Nesta subsecao pretende-se resolver o conjunto de equacoes (3.51 - 3.56) de tal forma

que a solucao na forma de ondas gravitacionais estacionarias corresponda a uma brana

espessa na origem da coordenada r. Considerar-se-a o caso mais simples em que A = B.

Para melhorar a compreensao as equacoes de Einstein serao repetidas aqui

Gxx = Gyy =

(1

4eA+u

)(

10A′2 + 8A

′′+ 6(u

′2 − e−Au2) + 2e−Au− 5A′u′ − 2u

′′)

= κ26Txx + gxxΛ6 (3.75)

Gzz =

(1

4eA−3u

)(

10A′2 + 8A

′′+ 6(u

′2 − e−Au2)− 6e−Au+ 15A′u′+ 6u

′′)

= κ26Tzz + gzzΛ6 (3.76)

Gtt =

(1

4eA)

(−10A

′2 − 8A′′ − 6(u

′2 + e−Au2))

= κ26Ttt + gttΛ6 (3.77)

54

Grt =1

4u(−12u

′) = κ2

6Trt (3.78)

Grr =

(1

4

)(

10A′2 − 6(u

′2 + e−Au2))

= κ26Trr + grrΛ6 (3.79)

Gθθ =

(1

4R2

0eA+u

)(

10A′2 + 8A

′′+ 6(u

′2 − e−Au2) + 2e−Au− 5A′u′ − 2u

′′)

= κ26Tθθ + gθθΛ6 (3.80)

Neste caso o tensor momento-energia nao sera especificado a priori, ao contrario, sera

feita a suposicao de que a solucao procurada existe e de posse da solucao encontrar-se-

a as componentes do tensor momento-energia. Em seguida estas mesmas componentes

serao avaliadas quanto a satisfazer as condicoes de energia.

Como ja foi visto, para A = B uma equacao para u que possibilite uma solucao do

tipo onda estacionaria pode ser obtida das equacoes (3.75), (3.76) ou (3.80) e dada por

−e−Au+5

2A′u′+ u

′′= 0. (3.81)

Se isso for feito nas tres equacoes citadas acima e se for feita a escolha Λ6 = −14(10A

′2 +

8A′′), que tambem pode ser obtida na equacao (3.77), entao tudo leva a uma solucao na

presenca de um campo do tipo fantasma conforme foi obtido na subsecao anterior. Mas

isso iria exigir que a funcao A fosse linear em r e a pretensao de encontrar uma solucao

com brana espessa teria falhado. Ao inves disso exige-se que as derivadas da funcao A

satisfacam a relacao

A′′(r)− A′2(r) + Λ6 = 0, (3.82)

cuja solucao para Λ6 > 0 e, a menos de constantes de integracao

A(r) = − log[cosh

(√Λ6r)]

(3.83)

Este solucao implica em um fator de warp, eA, que representa uma brana espessa. Mas

para isso e necessario que as componentes do tensor momento-energia satisfacam as

55

relacoes

κ26Txx = κ2

6Tyy = −gxx(

3

2(u′2 − e−Au2) + (A′′ +

7

2A′2)

), (3.84)

κ26Tzz = −gzz

(3

2(u′2 − e−Au2) + (A′′ +

7

2A′2)

), (3.85)

κ26Ttt = −gtt

(3

2(u′2 + e−Au2) + (A′′ +

7

2A′2)

), (3.86)

κ26Trr = −grr

(−3

2(u′2 + e−Au2) + (

7

2A′2 − A′′)

), (3.87)

κ26Tθθ = −gθθ

(3

2(u′2 − e−Au2) + (A′′ +

7

2A′2)

). (3.88)

A componente Trt deve coincidir com a componente do tensor de Einstein Grt. Como

pode ser visto, as componentes (3.84 - 3.88) sao formadas pela adicao do tensor momento-

energia referente a um campo do tipo fantasma, conforme subsecao anterior, mais deriva-

das da funcao A(r), que fazem lembrar a relacao entre o potencial do campo escalar e as

derivadas da funcao de warp no caso dos modelos de brana do tipo bounce ou kink nas

subsecoes (2.1.1) e (2.2.1). E possıvel observar ainda que se trata de uma configuracao

anisotropica de materia, o que ja se deveria esperar e que esta de acordo com o modelo

original e com o que foi descrito anteriormente. O conjunto de equacoes acima pode ser

escrito em uma forma concisa como segue

κ26TMN = (TMN)fantasma + VMN(A′, A′′) (3.89)

em que (TMN )fantasma representa as componentes do tensor momento-energia to tipo fan-

tasma considerado na subsecao anterior e VMN(A′, A′′) e uma funcao das derivadas pri-

meira e segunda de A multiplicada pela metrica. Isto nao e uma representacao tensorial

em que sejam validas as regras de soma de Einstein, mas apenas uma forma concisa de

escrever as componentes do tensor energia-momento dadas explicitamente no conjunto de

equacoes (3.84 - 3.88).

Para que se tenha Λ6 < 0 as derivadas de A presentes no sistema de equacoes (3.84 -

3.88) devem ser dadas por A′′(r) + 32A′2 para a componente Trr e 3A′′(r) + 3

2A′2 para as

demais componentes. A equacao para A sera identica (3.82) e a solucao difere de (3.83)

apenas pela substituicao de Λ6 por seu modulo. Mais uma vez a solucao representara uma

56

brana espessa, neste caso o bulk e AdS enquanto que no primeiro caso e dS.

Esta solucao naturalmente ainda nao esta concluıda pois e necessario resolver (3.81)

para determinar u. Percebe-se que e possıvel usar a mesma estrategia que na secao

anterior para separar as variaveis no entanto a funcao dependente de r nao pode ser

resolvida analiticamente, por isso a discussao a respeito das condicoes de energia nao

poderao ser feitas para este modelo, neste momento. No entanto e possıvel fazer algum

comentario ao menos baseado no fator de warp. A seguir sao plotadas as quantidades

(A′′ + 72A′2) e (3A′′(r) + 3

2A′2) para os casos em que Λ6 > 0 e Λ6 < 0, respectivamente.

1 2 3 4 5r

-3

-2

-1

1

F@rD

Figura 16: Perfil de (A′′ + 72A′2)

1 2 3 4 5r

-3

-2

-1

1

F@rD

Figura 17: Perfil de 3A′′(r) + 32A′2

Como se ve as quantidades adicionadas ao campo do tipo fantasma irao contribuir

para tornar positivas as componentes do tensor momento-energia em algum intervalo e

em outro contribuirao para que as mesmas se tornem negativas. Embora esta seja uma

analise muito superficial e razoavel dizer que as condicoes de energia serao violadas neste

modelo tambem. Mas tambem e verdade que nao ha problemas com energia infinita.

No entanto, uma analise mais aprofundada precisa ser feita inclusive com a obtencao da

funcao u. Isto sera deixado como perspectiva de trabalho futuro.

Assim esta subsecao e concluıda. O modelo proposto aqui generaliza aquele apresen-

tado na subsecao anterior (3.3.1) para o caso em que a solucao e uma 4-brana espessa. E

possıvel dizer que a solucao e do tipo onda estacionaria desde que exista solucao para a

parte de u dependente de r. Trata-se mais uma vez de um modelo em que a dimensao

compacta esta contida na brana, ou seja, uma compactacao hıbrida. Um dos objetivos, a

obtencao de uma solucao com brana espessa, foi atingido mas o tensor energia-momento

que neste caso pode ser tido como uma generalizacao do campo do tipo fantasma parece

nao satisfazer as condicoes de energia, embora esta seja uma analise expeculativa.

Na proxima subsecao considerar-se-a uma solucao mais geral em que A e B sao di-

57

ferentes e mais uma vez sera feita a tentativa de encontrar uma solucao que satisfaca as

condicoes de energia.

3.3.3 Brana gerada por ondas gravitacionais estacionarias napresenca de uma fonte normal

O objetivo desta subsecao, como foi dito, consiste em resolver as equacoes de Einstein

na presenca de metrica (3.44) para o caso em que o tensor momento-energia satisfaz as

condicoes de energia. Como foi visto nas subsecoes (3.3.1) e (3.3.2) nos casos em que

A = B foi possıvel encontrar solucoes na forma de ondas gravitacionais estacionarias

tanto para uma brana fina quanto para uma brana espessa mas para isso a fonte era um

campo escalar do tipo fantasma, no primeiro caso e um ”campo escalar do tipo fantasma

modificado”, no segundo caso, sendo que nos dois casos a fonte e exotica, ou nao-ortodoxa,

do ponto de vista que a energia e negativa bem como algumas componentes da pressao.

Nesta secao a abordagem levara em conta que A e B sao diferentes mas lineares em r,

como no defeito tipo corda descrito na subsecao (2.2.2). Portanto, nesta subsecao as

funcoes de warp serao A(r) = 2cr e B(r) = c1r. Com isso a metrica e dada por

ds2 = e2cr(dt2 − eudx2 − eudy2 − e−3udz2

)− dr2 −R2

0ec1r+udθ2. (3.90)

Para esta metrica as componentes nao nulas da equacao de Einstein sao dadas por

−(

1

4

)(

24c2 + c21 + 6cc1 + 6(u

′2 − e−2cru2) + 2e−2cru− 10cu′ − 2u

′′)

= κ26T

xx + Λ6 (3.91)

−(

1

4

)(

24c2 + c21 + 6cc1 + 6(u

′2 − e−2cru2)− 6e−2cru+ (22c+ 4c1)u′+ 6u

′′)

= κ26T

zz + Λ6 (3.92)

58

(1

4

)(−24c2 − c2

1 − 6cc1 − 6(u′2 + e−2cru2) + (2c− c1)u

′)

= κ26T

tt + Λ6 (3.93)

1

4u(2c− c1 − 12u

′) = Trt (3.94)

−(

1

4

)(

24c2 + 8cc1 − 6(u′2 + e−2cru2) + (2c− c1)u

′)

= κ26T

rr + Λ6 (3.95)

−(

1

4

)(

40c2 + 6(u′2 − e−2cru2) + 2e−2cru− 10cu

′ − 2u′′)

= κ26T

θθ + Λ6 (3.96)

Para alcancar o objetivo aqui, o procedimento e semelhante ao que foi feito na secao

anterior. Isso significa que as componentes do tensor momento-energia serao escolhidas de

tal forma que a solucao para u(r, t) seja do tipo onda gravitacional estacionaria e devem

ainda ser todas positivas. Ha algumas maneiras de se obter tal configuracao, como por

exemplo, assumindo-se que o tensor momento-energia tenha como componentes nao nulas

as seguintes

κ26T

xx = κ2

6Tyy = −1

4

(6(u′2 − e−2cru2)− 4

3(2c− c1)u′ + 6cc1

), (3.97)

κ26T

zz = −1

4

(6(u′2 − e−2cru2)) + 6cc1

), (3.98)

κ26T

tt =

1

4

(−6(u′2 + e−2cru2) + (2c− c1)u′ − 6cc1

), (3.99)

59

κ26T

rr = −1

4

(−6(u′2 + e−2cru2) + (2c− c1)u′ − c2

1 + 8c1c), (3.100)

κ26T

θθ = −1

4

(6(u′2 − e−2cru2)− 4

3(2c− c1)u′ + 16c2 − c2

1

). (3.101)

Mais uma vez a componente κ26Trt deve coincidir com a componente Grt. A presenca do

produto c1c na maioria das componentes e indispensavel para que se consiga obter valores

positivos para as mesmas. Percebe-se tambem que o tensor momento-energia acima pode

ser dado como a soma de parcelas que podem ser classificadas: uma delas associada a

um campo escalar do tipo fantasma, uma outra que depende das derivadas de A e B e,

diferente do caso da secao anterior, quando se admitiu A = B, mais uma parcela que

depende de u′.

Alem disso a constante cosmologica Λ6 deve satisfazer a relacao

Λ6 = −1

4(24c2 + c2

1). (3.102)

Com isso e necessario que se tenha Λ6 < 0 o que permite encontrar uma relacao entre c,

c1 e |Λ6|c1 = ±

√4|Λ6| − 24c2 (3.103)

onde

c2 ≤ 1

6|Λ6|. (3.104)

Finalmente a equacao para u resulta

−e−2cru+1

6(22c+ 4c1)u

′+ u

′′= 0 (3.105)

Esta equacao embora muito semelhante aquela encontrada para o caso da brana fina

3.68, e mais geral e oferece uma solucao bem mais interessante, embora tambem muito

semelhante a que foi encontrada naquela ocasiao. De fato o fator que multiplica u′

nao

depende apenas de c como na outra ocasiao e isto resultara em uma solucao que possi-

bilite a existencia de fator de warp tanto crescente, como ja se obteve em (3.3.1), como

decrescente. Como se ve a equacao (3.105) tambem e separavel e a funcao u mais uma vez

pode ser escrita como o produto u(r, t) = sin(ωt)ρ(r). Como o procedimento e semelhante

ao que se fez em 3.66 nao sera repetido aqui. A solucao geral para a funcao ρ(r) sera dada

por

60

ρ(r) = D1e−a

2rJ− a

2c(ω

|c|e−cr) +D2e

−a2rJ a

2c(ω

|c|e−cr) (3.106)

onde D1, D2 sao constantes de integracao, J− a2c, J a

2c, sao as funcoes de Bessel de ordens

− a2c

e a2c

, respectivamente. A constante a neste caso e dada por a = 22c+4c16

. Com isso

encontra-se uma solucao do tipo onda estacionaria em seis dimensoes que generaliza o

modelo original de Merab [18] e aquele que foi obtido aqui na subsecao (3.3.1).

E preciso especificar em que sentido esta solucao e mais geral que aquela obtida na

subsecao (3.3.1). De fato aqui se percebe que, desde que sejam obedecidas as condicoes

expressas em (3.103) e (3.104), e possıvel escolher a ordem da funcao de Bessel na solucao

e trabalhar com a que for mais conveniente. Outra caracterıstica interessante e que a

exponencial que multiplica a funcao de Bessel e aquela que esta no argumento da mesma

funcao dependem de constantes diferentes, a e c, respectivamente. Esse fato torna possıvel

que se tenha c > 0 ou c < 0 possibilitando a existencia de fatores de warp tanto crescente

quanto decrescente. Alem disso, como sera visto a seguir, esta solucao combinada com

as componentes do tensor momento energia apresentados anteriormente mostra que tal

solucao se da na presenca de uma fonte ”nao normal”mas que tambem nao e exotica

como as anteriores. Dependendo dos valores das constantes e possıvel mostrar que todas

as componentes do tensor momento energia sao positivas, assegurando a satisfacao das

condicoes de energia, menos a DEC 3 .

Para o que se propoe aqui e suficiente considerar a = −4c, o que implica c1 = −232c.

Neste caso a solucao 3.106 pode ser reescrita como

ρ(r) = D3e2crJ2(

ω

|c|e−cr)−D4e

2crY2(ω

|c|e−cr) (3.107)

em que D3 e D4 sao constantes de integracao, enquanto que J2 e Y2 sao, respectivamente,

as funcoes de Bessel de primeiro e segundo tipo, de ordem 2. Para que se tenha valores

finitos para as componentes do tensor momento-energia e necessario fazer D4 = 0 e

considerar a parte que depende de J2 como sendo a solucao da parte de u dependente de

r.

Neste caso ainda e possıvel falar de ”ilhas de AdS”mas a quantidade de ilhas ou nos em

J2 e finita para c < 0 enquanto que para c > 0, para os valores das constantes escolhidos

aqui, nao ha oscilacao, como pode ser visto nas figuras abaixo.

3Diz-se que a materia e nao normal por violar uma das condicoes de energia, no caso a DEC. Noentanto em virtude de todas as componentes do tensor energia momento serem positivas poder-se-ia falarde materia normal. De toda forma sera mantida a classificacao de materia adotada aqui e explicada noapendice (6).

61

5 10 15 20r

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

ΡHrL

Figura 18: Funcao ρ para c > 0; c =0, 2;ω = 1, 028.

5 10 15 20r

-0.15

-0.10

-0.05

0.05

ΡHrL

Figura 19: Funcao ρ para c < 0; c =−0, 2;ω = 1, 028.

As medias temporais das componentes do tensor momento-energia estao esquemati-

zadas nas figuras abaixo, tendo em vista o que foi dito acima sobre a solucao para u. Na

figura 20 essas quantidades sao mostradas para c = 0, 250;ω = 1, 285 de tal forma que a

razao entre as duas constantes resulte em 5.14, que equivale ao segundo zero da funcao

J2. Na figura (21) tem-se c = −0, 250;ω = 1, 285. A linha pontilhada representa 〈T tt 〉 en-

quanto que a curva pontilhada-seccionada representa 〈T xx 〉 = 〈T yy 〉 = 〈T zz 〉. A componente

〈T rr 〉 e dada pela curva seccionada e filnalmente 〈T θθ 〉 e representado pela curva cheia (a

media temporal de Trt e nula). Como se percebe todas essas quantidades sao positivas e

aproximadamente constantes, sendo a energia a que assume menor valor. Aumentando-se

os valores de |c| e ω, mantendo constante a razao, essas quantidades tendem a assumir

valores mais constantes. Isso se deve a presenca do termo −cc1 nas quantidades (3.97

- 3.101), pois para o caso a = −4c a relacao entre c e c1 resulta c1 = −232c, tornando

positiva a quantidade −cc1 o que acaba por tornar positivas as componentes do tensor

momento-energia (3.97 - 3.101). No entanto, diminuindo-se os valores de |c| e ω ainda

mantendo constante a razao ω/|c| e possıvel ver maiores variacoes nas componentes (3.97

- 3.101) inclusive com a possibilidade de se ter energia negativa, como pode ser visto nas

figuras (24) e (25), nas quais os valores das constantes sao c = 0, 200 e ω = 1, 028.

Tambem o escalar de curvatura foi averiguado para se constatar que nao assume

valores infinitos. Nos graficos (??) e (??) a seguir o escalar de curvatura do bulk e

mostrado e como se percebe ele e assintoticamente constante tanto para c positivo quanto

negativo.

Mais uma caracterıstica destacavel desta solucao e o fato de a mesma resolver o

problema da hierarquia. Os modelos de Merab em cinco dimensoes e sua extensao para

62

0 5 10 15 20r

1

2

3

4T M

N @rD

Figura 20: Media temporal das componen-tes nao nulas de 〈TMN 〉 para c > 0 (c= 0,250). Linha pontilhada: 〈T tt 〉. Li-nha pontilhada-seccionada: 〈T xx 〉 = 〈T yy 〉 =〈T zz 〉. Linha seccionada: 〈T rr 〉 Linha cheia:〈T θθ 〉.

0 5 10 15 20r

1

2

3

4T M

N @rD

Figura 21: Media temporal das componen-tes nao nulas de 〈TMN 〉 para c < 0 (c =- 0,250). Linha pontilhada: 〈T tt 〉. Li-nha pontilhada-seccionada: 〈T xx 〉 = 〈T yy 〉 =〈T zz 〉. Linha seccionada: 〈T rr 〉 Linha cheia:〈T θθ 〉.

seis dimensoes obtida aqui na subsecao (3.3.1) possuem fator de warp exponencialmente

crescente, portanto a integral que relaciona as escalas de Plank no bulk e na brana

M24 = 2πM4

6

∫ ∞0

dre(2c+c12

)r (3.108)

divergira para 2c = c1 = 2a, sendo a > 0, que equivale as casos de cinco e seis dimensoes

acima referidos. No entanto para a solucao dada acima, no caso a = −4c e c1 = −23c/2

ter-se-ia a solucao para o problema da hierarquia. Neste caso um dos fatores de warp

seria crescente, e2cr, e o outro decrescente, ec1r. Esta e apenas uma das situacoes possıveis

pois ha outras maneiras de relacionar a, c, c1 de forma a se obter componentes do tensor

momento-energia positivas.

Resta ainda obter uma solucao na presenca de materia normal. Uma das saıdas para

isso seria o uso de uma constante cosmologica anisotropica. A existencia e a estrutura da

radiacao cosmica de fundo - cosmic microwave background (CMB) bem como o conhe-

cimento da estrutura do universo (distribuicao das galaxias, expansao acelerada...) dao

suporte aos modelos ΛCDM que consideram a existencia de materia escura e fria - cold

dark matter(CDM). Em tais modelos a constante cosmologica, dependente do tempo,

assume valores diferentes em diferentes direcoes, portanto e anisotropica [54], [55] . Ou-

tros modelos com Λ anisotropica podem ser citados [56], [57], [58]. Modelos em que a

”constante”cosmologica varia espacialmente tambem tem sido considerados: [59], [60],

[61], [62]. Em um recente trabalho em que se propoe a expansao do modelo de RS

63

0 5 10 15 20r

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0T M

N @rD


0 5 10 15 20r

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0T M

N @rD


para alem das cinco dimensoes [63] os autores sugerem a existencia de uma constante

cosmologica anisotropica do tipo Λ = diag(Ληµν ,Λ5,Λθ, ...,Λθ), em que ηµν representa

a metrica do espaco tempo de Minkowski em quatro dimensoes. Inspirado por estes

trabalhos propoe-se uma constante cosmologica anisotropica que possibilite um cenario

semelhante ao acima descrito mas com ρ ≥ |p| em que ρ representa a densidade de energia

e p a pressao. Considerando-se, por exemplo, que a constante cosmologica neste modelo

seja do tipo Λ = diag[gµν(Λt,Λ,Λ,Λ),Λ5,Λθ], sendo Λ dado por (3.102) e que as demais

componentes da ”constante”cosmologica assumam os valores Λt = −14(24c2 + c2

1 − 2cc1),

Λr = −14(24c2 + 2cc1) e Λθ = −1

4(40c2 − 6cc1) entao a media temporal das componentes

do tensor momento energia serao dadas por

κ26〈T xx 〉 = κ2

6〈T yy 〉 = κ26〈T zz 〉 = κ2

6〈T θθ 〉 = −1

4

(6(u′2 − e−2cru2) + 6cc1

), (3.109)

κ26〈T tt 〉 =

1

4

(−6(u′2 + e−2cru2)− 8cc1

), (3.110)

κ26〈T rr 〉 = −1

4

(−6(u′2 + e−2cru2) + 6c1c

). (3.111)

Como pode ser visto pelos graficos a seguir, para a = −4c, c1 = −232c isso ja seria

suficiente para assegurar a condicao dominante de energia o que garante estabilidade.

Pela figura 26 percebe-se que para c > 0, mas pequeno, ha possibilidade de violacao

64

0 5 10 15 20r

1

2

3

4

5

6RHrL

Figura 24: Media temporal para o escalarde curvatura do bulk 〈R6〉 para c > 0.

0 5 10 15 20r

1

2

3

4

5

6RHrL

Figura 25: Media temporal para o escalarde curvatura do bulk 〈R6〉 para c < 0.

desta condicao de energia. Entretanto para c < 0 a referida condicao e assegurada de

forma mais satisfatoria. Muitas outras maneiras ha de encontrar uma fonte normal de

materia para uma solucao de onda estacionaria, no contexto aqui abordado. Apesar

de ser uma abordagem puramente teorica, como ja foi dito, a existencia de modelos

teoricos com variacao, seja espacial ou temporal, da constante cosmologica se justifica

por observacoes experimentais. Ressalve-se ainda que em [63] assume-se que a constante

cosmologica tenha um so valor na brana. No entanto como aqui se trata de um modelo

anisotropico e pela necessidade de se obter energia maior que pressao, resolveu-se assumir

que ha uma diferenca entre as componentes espaciais e a temporal, na brana. Por fim,

em termos de Λ as outras componentes da constante cosmologica sao dada como Λt =715625

Λ, Λr = 4625

Λ e Λθ = 436625

Λ. Ve-se que a diferenca entre os valores da constante

cosmologica nas componentes espacial e temporal da brana nao e muito significativa neste

exemplo considerado aqui. No entanto a diferenca pode ser ainda menor para que se tenha

satisfacao da DEC. Isso pode ser visto, particularmente no grafico da figura (21). Pelo que

se percebe la as componentes da energia e da pressao sao aproximadamente iguais. Aquela

solucao nao obedece a condicao dominante de energia em virtude dos valores assumidos

pelas componentes r e θ do tensor momento energia. Portanto as componentes r e θ da

constante cosmologica precisam sofrer variacao mais significativa enquanto que na brana

esta variacao nao necessita ser muito elevada para que se tenha a validade da DEC.

Com isso se encerra este capıtulo. Aqui foi feita uma descricao do modelo original

de Merab [18] em cinco dimensoes mostrando como se obtem uma solucao do tipo onda

estacionaria tendo como fonte um campo escalar do tipo fantasma, conforme a subsecao

(3.1). Em seguida este modelo foi estendido para seis dimensoes o que foi feito na subsecao

65

0 5 10 15 20r

0.5

1.0

1.5

2.0T M

N @rD


0 5 10 15 20r

0.5

1.0

1.5

2.0T M

N @rD


(3.3.1). Este modelo em seis dimensoes, no que concerne a localizacao de campos, e mais

eficiente que o modelo de Merab, no entanto como aquele tambem apresenta densidade

de energia negativa uma vez que a fonte neste caso tambem e um campo escalar do

tipo fantasma. O referido modelo originou um trabalho que se encontra submetido a

revista Physical Review D (PRD) sob o tıtulo ”A 6D standing-wave Braneworld”[29].

Na subsecao (3.3.2) obteve-se uma solucao que corresponde a uma brana espessa em seis

dimensoes. Trata-se de uma generalizacao do modelo descrito em (3.3.1), mas para o

caso da brana espessa nao foi possıvel resolver analiticamente a equacao para u o que

foi deixado como perspectiva de trabalho futuro. Ainda neste caso as componentes do

tensor momento-energia revelam a natureza exotica da fonte que origina a brana, em-

bora nao haja problemas com energia infinita. Este modelo podera ser util no estudo de

localizacao dos modos massivos dos campos do modelo padrao. Vale lembrar que neste

contexto de branas anisotropicas com solucao de ondas estacionarias, o estudo de loca-

lizacao de modos massivos ainda nao foi realizado, seja em cinco ou mais dimensoes .

Em seguida foi encontrada uma solucao na forma de ondas gravitacionais estacionarias

na presenca de uma fonte nao normal de materia (esta classificacao para materia signi-

fica que a densidade de energia pode ser positiva bem como as demais componentes do

tensor momento-energia, conforme visto acima (3.3.3), embora haja violacao da condicao

dominante de energia). Por fim, atraves da introducao de uma constante cosmologica

anisotropica, foi possıvel obter uma solucao na presenca de fonte normal de materia. As

solucoes descritas neste capıtulo, particularmente as que foram apresentadas nesta ultima

66

subsecao (3.3.3), encerram uma busca por uma solucao que fosse ao mesmo tempo na

forma de ondas estacionarias, pois ja se observou que no que concerne a localizacao de

campos estas solucoes sao interessantes, mas que tambem satisfizesse as condicoes de ener-

gia. Estas solucoes obtidas aqui, acrescidas do estudo de localizacao de campos faz parte

de um trabalho que esta submetido ao Journal of High Energy Physics - JHEP [30], sob

o tıtulo A 6D standing wave braneworld in the presence of normal matter. Estas duas

ultimas subsecoes abriram a possibilidade de se investigar outros tipos de solucao e como

perspectiva de trabalho futuro fica o projeto de tentar encontrar um defeito tipo corda

anisotropico cuja solucao assuma a forma de ondas gravitacionais estacionarias.

No proximo capıtulo serao apresentados estudos de localizacao de campos nos mo-

delos considerados na subsecao (2.2.1) no qual se estudara os campos escalar, vetorial e

fermionico. No modelo estudado na subsecao (2.2.2) se estudara a localizacao dos mesmos

campos acima alem do campo de Kalb-Ramond. Para os modelos anisotropicos serao es-

tudados os campos escalar e fermionico mas apenas no modelo de brana fina considerado

na subsecao (3.3.1).

67

4 LOCALIZACAO DE CAMPOSEM BRANAS EM SEISDIMENSOES

Para verificar se um campo e localizado em uma brana, o procedimento matematico

pode ser sumarizado como segue: considerando-se modelos com uma dimensao extra nao

compacta, r, por exemplo, analiza-se a integral nesta dimensao ou, em outras palavras,

investiga-se a possibilidade de existir uma funcao de onda de estado ligado associada

com esta dimensao. Valores finito ou infinito para a integral implicam em localizacao

ou nao localizacao, respectivamente. Os modos massivos sao avaliados efetuando-se a

decomposicao do tipo Kaluza-Klein [6, 12]. Uma outra maneira de abordar os modos

massivos consiste em transformar a equacao para a variavel r em uma equacao do tipo

Schroedinger, por meio de uma conveniente mudanca de variavel, e em seguida resolve-la.

Em muitos trabalhos nao e possıvel encontrar para esta equacao resultante uma solucao

analıtica. Nestes casos, para analizar a possibilidade de que os os modos massivos se

localizem na brana e necessario procurar modos ressonantes [5, 6, 43, 64, 65].

4.1 Localizacao de campo em um defeito tipo corda

Nesta secao sera ilustrado o estudo de localizacao de campos em seis dimensoes,

precisamente no defeito tipo corda considerado na subsecao (2.2.2). As analises aqui

se referem ao modo zero dos campos escalar, vetorial, fermionico e do campo de Kalb-

Ramond. Com relacao a este ultimo, no trabalho originado e publicado durante a execucao

desta tese foi considerado o estudo de localizacao dos modos zero e massivos, [16], mas

nesta tese apenas o estudo do modo zero sera considerado pois os modos massivos nao

sao objeto deste trabalho.

68

Para os estudos realizados aqui considerar-se-a a metrica geral

ds2 = e−A(r)gµνdxµdxν + dr2 +R2

0e−B(r)dθ2 (4.1)

A assinatura da metrica (−,+,+,+) foi escolhida de forma que coincida com aquela

utilizada no trabalho original [6].

4.1.1 Localizacao do campo escalar em um defeito tipo corda

O ponto de partida para o estudo de localizacao de um campo e justamente a equacao

de movimento que o mesmo obedece na geometria considerada. No caso de um campo

escalar a equacao do movimento

1√−g

∂M(√−ggMN∂NΦ

)= 0 (4.2)

para a metrica (4.1) resulta

P−1ηµν∂µ∂νΦ + P−p2 Q

−12 ∂r(P

p2Q

12∂rΦ) +Q−1∂2

θΦ = 0, (4.3)

na qual foi usada a notacao mais compacta gµν = P (r)ηµν , e−A(r) = P (r) e R2

0e−B(r) =

Q(r). A quantidade ηµν representa a metrica quadridimensional do espaco-tempo de

Minkowski e p e a dimensao da brana que neste caso deve ser p = 4 (isto e valido apenas

fora do nucleo da corda, como ja se falou, o que significa que no exterior da corda tem-se

uma 4-brana).

Assumindo-se que o campo escalar possa ser decomposto como segue

Φ(xM) = φ(xµ)χ(r)Θ(θ) = φ(xµ)∑

χm(r)eilθ (4.4)

e que na metrica p-dimensional o mesmo satisfaca a equacao de Klein-Gordon

ηµν∂µ∂νφ(x) = m20φ(x), (4.5)

a equacao para a variavel nao compacta r assume a forma

∂2rχm +

(pP

′

2P+Q′

2Q

)∂rχm +

(1

Pm2

0 −1

Ql2)χm = 0 (4.6)

Esta equacao claramente admite para o caso m0 = l = 0 (onda-s) uma solucao constante

χm = χ0 = constante. Substituindo esta solucao na acao para o campo escalar

69

Sm =−1

2

∫dDx√−ggMN∂MΦ∂NΦ (4.7)

e facil verivicar que Φ0(xM) = φ(xµ)χ0 se localiza no defeito tipo corda. Para verificar

isto basta que a expressao acima para Φ(xM) seja substituido em (4.7). Evidenciando

apenas a integral na variavel r que e a parte interessante aqui tem-se

I0 =

∫drP p/2−1Q1/2 = R0

∫dre−[(p/2−1)c+1/2c1]r (4.8)

Para que se tenha localizacao e necessario que a integral I0 seja finita. Observa-se que de

maneira geral para c > 0 e c1 > 0 a integral e finita e obtem-se localizacao. No entanto

lembrando a relacao entre c e c1 que sera repetida aqui

c1 = c− 8

pcκ2Dtθ (4.9)

c2 =1

p(p+ 1)(−8Λ + 8κ2

Dα) > 0 (4.10)

pode-se escrever a condicao para que I0 seja finita na forma de uma desigualdade, para

c > 0,1

κ2D

Λ < tθ <−(p− 1)

2κ2D

Λ (4.11)

e

tθ >−(p− 1)

2κ2D

Λ (4.12)

para c < 0. Vale lembrar ainda que neste modelo Λ < 0, ou seja, o bulk e um espaco

anti-de Sitter. Portanto a localizacao do campo escalar em um defeito tipo corda ocorre

para uma fator de warp decrescente que equivale a localizacao de campo de spin zero em

uma brana com tensao positiva no modelo de Randall-Sundrum em cinco dimensoes.

4.1.2 Localizacao do campo vetorial no defeito tipo corda.

O procedimento aqui e semelhante ao que se fez na subsecao (4.1.1) acima. Inicia-se

portanto a partir da acao para o campo vetorial

Sm =−1

4

∫dDx√−ggMNgRSFMRFNS, (4.13)

onde FMN = ∂MAN − ∂NAM . A partir desta acao a equacao do movimento encontrada e

dada por1√−g

∂M(√−ggMNgRSFNS) = 0, (4.14)

70

a qual pode ser reescrita como

P−1ηµνgMN∂µFνN + P−p/2Q−1/2∂r(Pp/2Q1/2gMNFrN) +Q−1gMN∂θFθN = 0. (4.15)

Escrevendo-se explicitamente FMN a equacao acima pode ser reescrita em uma forma

mais simplificada como segue

[ηµν∂µ∂ν

+P (4−p)/2Q−1/2∂r(P(p−2)/2Q1/2∂r) + PQ−1∂2

θ ]Aλ

−P (4−p)/2Q−1/2∂r(P(p−2)/2Q1/2∂r∂λAr) = 0, (4.16)

[ηµν∂µ∂ν + PQ−1∂2θ ]Ar = 0, (4.17)

e

∂r(Pp/2Q−1/2∂θAr) = 0. (4.18)

Para chegar a estes resultados assumiu-se a condicao de gauge Aθ = 0. Para encontrar uma

solucao para o sistema de equacoes (4.16 - 4.18) o campo vetorial A(xM) sera decomposto

como

Aµ(xM) = aµ(xµ)∑

ρmeilθ, (4.19)

Ar(xM) = ar(x

µ)∑

ρmeilθ. (4.20)

Pode-se verificar que para as condicoes acima o sistema (4.16 - 4.18) admite para a onda-

s (l = 0) e massa zero m0 = 0 uma solucao constante, ρm = ρ0 = constante e ar =

constante. Para que isso seja verdadeiro e necessario ainda admitir ∂µaµ = ∂µfµν = 0,

sendo fµν definido como fµν = ∂µaν − ∂νaµ.

Para verificar que esta solucao constante se localiza no defeito e necessario que ela seja

substituida na acao inicial (4.13) . Feito isso fica facil verificar que a integral na variavel

r e dada como

I1 =

∫ ∞0

drP p/2−2Q1/2 = R0

∫ ∞0

dre−[(p/2−2)c+ 12c1]r (4.21)

E necessario como no caso do campo escalar que esta integral I1 seja finita. Esta condicao

pode mais uma vez ser reescrita na forma de uma desigualdade , para c > 0,

1

κ2D

Λ < tθ <−(p− 3)

4κ2D

Λ (4.22)

e

tθ >−(p− 3)

4κ2D

Λ (4.23)

71

para c < 0. E interessante notar que no caso p = 4 que deve ser considerado conforme

o trabalho original, a integral I1 depende exclusivamente do valor de c1 para que seja

convergente. Isto explica porque nao e possıvel a localizacao do campo vetorial no mo-

delo de Randall-Sundrum em cinco dimensoes, seja para um fator de warp crescente ou

decrescente, uma vez que neste caso o fator que depende de c1 nao esta presente. Isto

mostra tambem a importancia da geometria na localizacao de campos, pois e o fator mul-

tiplicativo da dimensao extra compacta, existente em seis dimensoes mas nao em cinco,

que determina a localizacao do campo vetorial no primeiro caso.

E possıvel encontrar a mesma solucao acima sem a necessidade da condicao de gauge

Aθ = 0. Considerando-se, por exemplo, que esta funcao dependa apenas de r, Aθ = Aθ(r),

o sistema (4.16 - 4.18) assume a forma

[ηµν∂µ∂ν

+P (4−p)/2Q−1/2∂r(P(p−2)/2Q1/2∂r) + PQ−1∂2

θ ]Aλ

−P (4−p)/2Q−1/2∂r(P(p−2)/2Q1/2∂r∂λAr)− PQ−1∂θ∂rAθ = 0, (4.24)

[ηµν∂µ∂ν + PQ−1∂2θ ]Ar − PQ−1∂θ∂rAθ = 0, (4.25)

e

∂r(Pp/2Q−1/2(∂rAθ − ∂θAr)) = 0. (4.26)

Assumindo-se as decomposicoes 4.19 e 4.20 e possıvel ainda obter a solucao constante

ρm = ρ0 = constante e ar = constante para a onda-s e modo zero, mas neste caso a

funcao Aθ deve satisfazer a equacao

A′′θ(r) +

(−2A′ +

B′

2

)A′θ(r) = 0, (4.27)

em que foi utilizado o fato de que P (r) = e−A(r), Q(r) = R20e−B(r). A solucao geral desta

equacao pode ser expressa como segue

Aθ(r) = K1

∫ r

e2A(r)− 12B(r)dr +K2, (4.28)

sendo K1, K2 constantes de integracao. Obviamente essa equacao admite solucao mais

simples como Aθ = constant e neste caso obter-se-ia os mesmos valores para localizacao

do modo zero do campo vetorial que foram obtidos acima. Esta solucao constante sera

importante quando for considerada a localizacao do campo fermionico em uma brana

espessa.

72

4.1.3 Localizacao do campo fermionico em um defeito tipo corda

Nesta subsecao sera demonstrado a localizacao do campo fermionico em um defeito

tipo corda. Inicialmente sera utilizado o procedimento devido a Oda [6] o que mostrara

que nao e possıvel a localizacao em um defeito tipo corda no caso em que o fator de warp e

exponencialmente decrescente, como os campos escalar e vetorial vistos anteriormente. No

caso do campo fermionico e possıvel obter localizacao para o fator de warp crescente. No

entanto ha uma outra abordagem devido a Liu et. al. [48] em que e possıvel a localizacao

de fermion para um fator de warp decrescente.

Inicialmente segue-se o procedimento de Oda, comecando por explicitar a acao para

o campo fermionico em seis dimensoes

S =

∫d6x√−gΨiΓMDMΨ. (4.29)

A correspondente equacao de movimento e dada como(ΓµDµ + ΓrDr + ΓθDθ

)Ψ(xM) = 0 (4.30)

onde ΓM representa a matriz gamma no espaco curvo que se relaciona com as matrizes

no espaco plano pela expressao

ΓM = hMMγM , (4.31)

na qual o vielbein hMM

e definido como

gMN = ηMNhMMh

NN . (4.32)

A derivada covariante assume a forma padrao

DM = ∂M +1

4ΩMNM γMγN , (4.33)

na qual a conexao de spin ΩMNM e definida como

ΩMNM =

1

2hNM

(∂Mh

NN − ∂NhNM

)+

−1

2hNN

(∂Mh

MN − ∂NhMM

)− 1

2hPMhQNhRM

(∂PhQR − ∂QhPR

)(4.34)

Para escrever explicitamente (4.30) e necessario que se calcule as matrizes ΓM bem

como a derivada covariante. A partir da metrica (4.1) e da relacao (4.31) conclui-se que

73

a relacao entre as matrizes gamma curvas e planas sao dadas por

Γµ = P−12γµ; Γr = γ r; Γθ = Q−

12γ θ. (4.35)

De modo analogo

γµ = P−12 Γµ; γr = Γr; γθ = Q−

12 Γθ. (4.36)

As componentes nao nulas da conexao de spin (4.34) sao

Ωrµµ = −1

2P−

12P ′δµµ; Ωrθ

θ = −1

2Q−

12Q′δθθ . (4.37)

Nas duas expressoes acima foi utilizada mesma notacao das subsecoes anteriores em que os

fatores de warp sao identificados com as funcoes P (r) e Q(r). Finalmente as componentes

da derivada covariante (4.33) podem ser obtidas explicitamente o que resulta

DµΨ =

(∂µ −

1

4

P ′

PΓrΓµ

)Ψ; DθΨ =

(∂θ −

1

4

Q′

QΓrΓθ

)Ψ; DrΨ = ∂rΨ. (4.38)

A partir das relacoes (4.36) e (4.37) a equacao do movimento (4.30) pode ser reescrita.

Antes, porem e conveniente decompor a funcao Ψ a maneira do que foi feito para os campos

escalar e vetorial. No caso do campo fermionico uma escolha conveniente e Ψ(xM) =

ψ(xµ)α(r)eilθ, exigindo-se ainda que ψ(xµ) satisfaca a equacao de Dirac na brana, γµ∂ψµ =

0. Para o caso da onda-s e considerando-se o que foi dito acima a equacao (4.30) e reescrita

como (∂r +

P ′

P+

1

4

Q′

Q

)α(r) = 0. (4.39)

Para chegar a esse resultado ja foi usado o fato de que a dimensao da brana e 4, p = 4.

A solucao geral para esta equacao e dada por

α(r) = c2P−1Q−

14 (4.40)

sendo c2 uma constante de integracao. Resta agora verificar se esta solucao e normalizavel.

Para isso e necessario que seja substituıda na acao (4.42) e que a integral resultante na

variavel r seja finita. Feita a substituicao a integral que interessa aqui assume a forma

I 12∝∫ ∞

0

drP32Q

12α(r)2. (4.41)

Resta agora substituir (4.40) em (4.42) o que resulta

I 12∝ c2

2

∫ ∞0

drP32P−2 = c2

2

∫ ∞0

dre12c. (4.42)

74

No ultimo passo foi feita a substituicao P = e−cr. Como pode ser visto a integral e finita

apenas se c < 0 o que implica em um fator de warp exponencialmente crescente, diferente

do que foi visto nas duas subsecoes anteriores. No entanto ha uma maneira de se obter

a localizacao do modo zero do fermion no defeito tipo corda para o caso de um fator de

warp decrescente, conforme demonstrado em [48]. O procedimento consiste em modificar

a derivada covariante (4.33) pelo acrescimo de um acoplamento mınimo. Fazendo isso a

nova derivada resulta em

DM = ∂M +1

4ΩMNM γMγN − ieAM , (4.43)

onde AM e um campo de calibre e e representa a carga eletrica, sendo i a unidade ima-

ginaria. Esta modificacao naturalmente nao altera a relacao entre as matrizes gama (4.36)

bem como as componentes nao nulas da conexao de spin (4.37). As componentes da de-

rivada covariante ficam alteradas, como nao poderia deixar de ser e sao dadas neste caso

por

DµΨ =

(∂µ −

1

8

P ′

PΓrΓµ − ieAµ

)Ψ; DθΨ =

(∂θ −

1

8

Q′

QΓrΓθ − ieAθ

)Ψ; DrΨ = (∂r − ieAr) Ψ.

(4.44)

Para escrever a equacao do movimento e necessario especificar a maneira como as matrizes

de Dirac atuam no spinor Ψ. Uma discussao apropriada a esse respeito, em portugues,

pode ser encontrado em [66]. Seguindo este trabalho assume-se que o spinor possa ser

decomposto em suas partes direita ΨR e esquerda ΨL como segue

Ψ(xM) = (ΨRαR + ΨLαL)eilθ (4.45)

As matrizes gama atuam nesses espinores como segue

Γµ∂µΨR(xµ) = mΨL(xµ); Γµ∂µΨL(xµ) = mΨR(xµ) (4.46)

Naturalmente que para m = 0 tem-se Γµ∂µΨR(xµ) = Γµ∂µΨL(xµ) = 0. Deve-se ter ainda

γrΨR(xµ) = +ΨR(xµ); γrΨL(xµ) = −ΨL(xµ), (4.47)

γθΨR(xµ) = +iΨR(xµ); γθΨL(xµ) = iΨL(xµ). (4.48)

Aplicadas essas condicoes e considerando-se apenas o modo zero a equacao do movimento

assume a mesma expressao seja para os modo esquerdo ou direito. Portanto, para a onda-s

a equacao resultante sera(∂r +

P ′

P+

1

4

Q′

Q− ieAr(r) + eQ−

12Aθ(r)

)α(r) = 0. (4.49)

75

Foi assumido que na brana a equacao de Dirac e valida, γµ∂µΨ(xµ) = 0 e que o campo

AM pode ser decomposto em suas componentes Aµ(xµ), Ar(r), Aθ(r). A solucao de (4.49)

e dada por

α(r) = c3P−1Q−

14 exp

(∫ r

(ieAr − eQ−12Aθ)dr

)(4.50)

Substituindo-se esta solucao na acao (4.42) a integral em r resulta

I 12∝∫ ∞

0

(drP−

12 exp

(−2e

∫ r

Q−12Aθ

))=

∫ ∞0

dr exp

(1

2cr − 2eR−1

0

∫ r

e12c1rAθ

).

(4.51)

Ha varias formas de se escolher Aθ de tal forma que (4.51) seja finita, conforme discutido

em [48], sendo

Aθ(r) = λe−12c1r (4.52)

a mais simples dela. Com esta escolha obtem-se a localizacao do modo zero para o fermion

em um defeito tipo corda com fator de warp decrescente, bastando para isso que λ satisfaca

a condicao

λ >c

4eR0. (4.53)

Com isso fica concluido o estudo da localizacao do modo zero do campo fermionico em

um defeito tipo corda. Mais uma vez os resultados mostrados aqui, como nas subsecoes

anteriores, sao uma revisao do que ja se tem na literatura e servirao para direcionar as

tentativas de localizar estes campos no mundo brana garado por ondas gravitacionais

estacionarias. Na proxima subsecao sera considerado o estudo de localizacao do campo

tensorial ou campo de Kalb-Ramond neste mesmo cenario. Os resultados apresentados

aqui fazem parte de um trabalho realizado no decorrer desta tese o qual foi publicado na

revista PRB [16].

4.1.4 Localizacao do campo de Kalb-Ramond em um defeitotipo corda

Os resultados apresentados aqui fazem parte do trabalho [16], sob o tıtulo Tensor

gauge field localization in a string-like defetc, conforme ja foi dito. Neste trabalho foi

realizado o estudo de localizacao dos modos zero e massivos, no entanto neste tese apenas

a localizacao dos modos zero sera demonstrada, em conformidade com as outras secoes.

Antes de iniciar os procedimentos necessarios para provar a localizacao do campo,

conforme realizado nas subsecoes anteriores, e necessario lembrar que o campo de Kalb-

Ramond, sendo um campo antisimetrico 2-form e auto-dual em gemetrias com seis di-

76

mensoes. Alem disso nao e simples encontrar uma formulacao lagrangeana que seja ma-

nifestamente invariente de Lorentz (MLI - do ingles manifestly Lorentz invariant). Na

verdade formulacoes com acao nao covariante para este modelo foram consideradas nos

seguintes trabalhos [67, 68, 69, 70]. Mas o modelo MLI foi desenvolvido por Pasti, Sorokin

e Tonin, o chamado formalismo PST [71]. Antes do surgimento do formalismo PST outros

modelos MLI foram contruidos por McClain [72], que considerou um conjunto infinito de

campos auxiliares e por Pasti [73] cuja teoria dependia de um conjunto finito de campos

auxiliares. Mas no formalismo PST os autores mostraram que os dois formalismo anteri-

ores sao equivalentes e que de fato e necessario apenas um campo escalar auxiliar para se

obter o modelo MLI para o campo antisimetrico 2-form em seis dimensoes.

Para que se compreenda melhor esse modelo a acao no formalismo PST e dada por

[71]

S =

∫d6x

[−1

6HLMNH

LMN +1

∂Qa∂Qa∂Ma(x)HMNLHNLR∂Ra(x)

], (4.54)

onde HMNL e o campo anti auto-dual definido como HMNL = HMNL − ∗HMNL e a(x) e

um campo escalar que se transforma como um campo de Goldstone (δa(x) = ϕ(x)). E

importante notar que a variacao da acao (4.54) com respeito a a(x) nao produz nenhuma

equacao de movimento adicional. De fato e possıvel definir um vetor unitario tipo-tempo

uM = ∂Ma(x) = δ0M que resultara em uma acao sem a presenca do campo auxiliar, a(x),

embora um tal modelo nao seja MLI [71, 74]. Outra possibilidade consiste em definir um

um vetor tipo-espaco ∂Ma(x) = δ5M , em que 5 representa alguma coordenada espacial.

Neste caso a acao (4.54) assumira a seguinte forma [71, 74]

S =

∫d6x

[−1

6HLMNH

LMN +1

2H5MNHNL5

], (4.55)

Percebe-se que neste caso o campo auxiliar a(x) nao esta presente na acao, no entanto,

mais uma vez o modelo obtido nao e MLI, porem este caso representa o formalismo

para um campo livre dado em [75]. Observa-se, por fim, que nao e possıvel assumir

uM = ∂Ma(x) = 0 porque a norma uM esta presente no denominador de (4.54). Entretanto

e possıvel, em princıpio, encontrar um limite apropriado uM → 0 de tal forma que o

conteudo fısico do modelo seja preservado [71].

Pelo breve comentario feito acima conclui-se que para que se obtenha um modelo

MLI para o campo de Kalb-Ramond, em uma geometria em seis dimensoes, e necessario

levar em conta o fato de que o campo e auto-dual e para implementar a autodualidade

77

no modelo e necessario, no mınimo, um campo auxiliar. Mas tambem percebe-se que e

possıvel construir modelos interessantes, a formulacao de campo livre sem quiralidade-

free chiral filed formulation, sem a necessidade de que o modelo seja MLI.

Diante disso preferiu-se neste trabalho nao abordar a natureza autodual do campo de

Kalb-Ramond. Sera mostrado que mesmo neste caso e possıvel obter localizacao do modo

zero - dos modos massivos tambem, embora esta parte nao conste nesta tese - no defeito

tipo corda. Um argumento para que isso ocorra e que neste caso a geometria e deformada

ou curva enquanto que no formalismo PST e considerado o espaco-tempo de Minkowski

em seis dimensoes. Portanto, em virtude da geometria do bulk ser curva ela possibilita a

localizacao do campo na brana sem a necessidade do campo auxiliar.

Isto posto, aplica-se agora o formalismo de localizacao de campos ja demonstrado

nas outras subsecoes. Sera mostrado mais uma vez que no caso de as constantes c e tθ

satisfazerem determinadas condicoes o modo zero do campo de Kalb-Ramond se localiza

no defeito tipo corda .

A partir da acao para o campo tensorial (campo de Kalb-Ramond)

Sm =−1

12

∫dDx√−ggMQgNRgLSHMNLHQRS, (4.56)

a respectiva equacao do movimento pode ser derivada

∂Q[√−gHMNLg

MQgNRgLS] = 0 (4.57)

Depois de um pouco de algebra a equacao acima pode ser escrita na forma

P−1(r)∂µHµσβ +P−p/2+2(r)Q−1/2(r)∂r[P

p/2−2(r)Q1/2(r)Hσβr ] +Q−1(r)∂θH

σβθ = 0 (4.58)

na qual as definicoes utilizadas em outras subsecoes foram repetidas aqui. Ei-las: gµν =

ηµν , e−A(r) = P (r) e R2

0e−B(r) = Q(r).

Assume-se as seguintes condicoes de gauge Bµr = Bµθ = 0 e decomposicao para o

campo de Kalb-Ramond

Bµν(xM) = bµν(xµ)∑

ρm(r)eilθ (4.59)

Brθ(xM) = brθ(xµ)∑

ρm(r)eilθ (4.60)

Definindo ∂µhµσβ = m2

0bσβ a equacao para a variavel r resulta

∂2rρm(r) +

((p

2− 2)

P′(r)

P (r)+Q′(r)

2Q(r)

)∂rρm(r) +

(1

P (r)m2

0 −1

Q(r)l2)ρm(r) = 0, (4.61)

78

em que l e o numero quantico angular.

Esta equacao naturalmente admite para o modo zero (m0 = 0), onda-s (l = 0) e

brθ = constant, uma solucao constante. Na verdade brθ em geral nao precisa ser constante

mas com esta consideracao a localizacao do campo de Kalb-Ramond se torna semelhante

ao que se obteve para os campos escalar e vetorial, dados nas subsecoes anteriores e

devidas a Oda [12].

Agora substitui-se a solucao constante na acao (4.56) e usa-se o fato de que A(r) = cr

e B(r) = c1r, para que se obtenha a integral em r

I0 ∝∫drP

p2−3Q1/2 ∝

∫dre−[( p

2−3)c+ 1

2c1]r (4.62)

Mais uma vez e necessario que I0 seja finita. Esta condicao, como ja foi dito, exige que

para c > 0,1

κ2D

Λ < tθ <−(p− 5)

6κ2D

Λ (4.63)

e para c < 0

tθ >−(p− 5)

6κ2D

Λ. (4.64)

As condicoes (4.63) e (4.64) sao muito similares ao que se obteve para os campos

escalar e vetorial conforme visto acima e no trabalho original [6]. De fato a diferenca entre

as relacoes esta relacionada com o rank do tensor (campo) em questao. e interessante

notar tambem que no caso em que p = 4 e c1 = c, que corresponde ao defeito tipo

corda local, a integral (4.62) sera convergente apenas para c < 0. Isso significa que para

um defeito tipo corda local o modo zero do campo de Kalb-Ramond, como no caso do

campo fermionico, e localizavel apenas se o fator de warp for exponencialmente crescente,

diferente do que ocorre com os campos escalar e vetorial que nesse caso serao localizaveis

apenas para c > 0.

Para concluir esta secao seria interessante efetuar a localizacao dos modos zero gra-

vitacional. Entretanto no caso da gravidade a condicao para que haja localizacao e a

mesma que para o campo escalar. Por esta razao o estudo da localizacao de gravidade

nao consta aqui embora possa ser encontrado no trabalho de Oda [12].

Encerrada essa secao o proximo passo consiste no estudo de alguns desses campos,

quanto a sua localizacao, na geometria considerada na subsecao (2.2.1), precisamente uma

4-brana espessa em um espaco tempo AdS em seis dimensoes.

79

4.2 Localizacao de campo em uma brana espessa em

seis dimensoes

O desenvolvimento geral dado na secao anterior sera utilizado aqui para descrever a

localizacao de campos no modelo que representa uma 4-brana espessa em um bulk com

seis dimensoes, aquele que foi descrito subsecao (2.2.1). Este modelo e mais geral que o

defeito tipo corda local, caso em que A = B = cr pois se trata de uma brana espessa,

enquanto que aquele representa uma brana fina. No entanto, em certo sentido, e mais

simples que um defeito tipo corda global pois neste caso os fatores de warp, embora sejam

lineares em r, sao diferentes, tais sejam A = cr e B = c1r. Ha ainda uma diferenca

importante entre os dois modelos, pois um defeito tipo corda e representado por uma 3-

brana enquanto que no caso em discussao aqui trata-se de uma 4-brana, significando que

a coordenada compacta pertence a brana. Os resultados obtidos nesta secao fazem parte

de um trabalho que esta sendo finalizado e em breve sera submetido a revista Europhysics

Letters. Para facilitar a consulta a metrica que caracteriza este modelo e repetida aqui

ds2 = e−A(r)gµνdxµdxν + dr2 +R2

0e−A(r)dθ2 (4.65)

Tendo em vista que no estudo de localizacao dos campos escalar, vetorial, fermionico

e tensorial dado na secao anterior foram utilizadas equacoes gerais utilizando-se e−A(r) =

P (r) e R20e−B(r) = Q(r) sera feito uso de algumas destas equacoes nesta secao, quando

conveniente, para que nao haja muita repeticao . Na proxima subsecao sera demonstrada a

localizacao do modo zero para o campo escalar. Este resultado, como ja foi dito, faz parte

do segundo trabalho publicado durante o desenvolvimento desta tese [27]. Os resultados

obtidos aqui se assemelham aos que foram apresentados na subsecao (4.1.1), na qual se

demonstrou a localizacao do campo escalar no defeito tipo corda. Portanto esta subsecao,

como as demais desta secao, sera mais resumida que aquela.

4.2.1 Campo escalar

A equacao do movimento para o campo escalar em seis dimensoes

1√−g


)= 0 (4.66)

80

pode ser reescrita, separando-se as coordenadas da brana das coordinadas extra, como

eA(r)−B(r)/2∂µηµν∂νΦ + ∂r

(e−2A(r)−B(r)/2∂rΦ

)+e2A(r)−B(r)/2

R20

∂2θΦ = 0 , (4.67)

onde ηµν e a metrica quadri-dimensional no espaco-tempo de Minkowski. Preferiu-se usar

aqui a metrica mais geral, (2.27), que sera depois simplificada para o caso A(r) = B(r).

Assumindo-se a seguinte decomposicao para o campo escalar

Φ(xM) = φ(xµ)∑lm

χm(r)eilθ , (4.68)

pode-se separar as variaveis na equacao (4.67). Entao, impondo que ηµν∂µ∂νφ = m2φ, a

seguinte equacao e obtida para a varıavel radial

eA(r)+B(r)/2∂r[e−2A(r)−B(r)/2∂rχ(r)

]+

[m2 − l2eB(r)−A(r)

R20

]χ(r) = 0 (4.69)

que pode ainda ser reescrita como

χ′′(r)−(

2A′(r) +B′(r)

2

)χ′(r) +

[m2eA(r) − l2eB(r)

R20

]χ(r) = 0 , (4.70)

Para resolver esta equacao, efetuam-se mudancas nas variaveis dependente e indepen-

dente com a finalidade de se obter uma equacao do tipo Schrodinger. Entao, assumindo-se

z′(r) = eA(r)/2, obtem-se

χ(z)−

(3A(z)

2+B(z)

2

)χ(z) +

[m2 − l2eB(z)−A(z)

R20

]χ(z) = 0 , (4.71)

onde os pontos significam derivada com respeito a z.

Fazendo-se χ(z) = Ω(z)Ψ(z) com Ω(z) = Ω0e(3A(z)+B(z))/4, onde Ω0 e uma constante

de integracao, tem-se

−d2Ψ(z)

dz2+ V (z)Ψ(z) = m2Ψ(z) , (4.72)

onde

V (z) =

[3A(z) + B(z)

4

]2

−

[3A(z) + B(z)

4

]+

l2

R20

eB(z)−A(z) . (4.73)

No caso em que A ≡ B, a expressao (4.71) e simplificada para

χ(z)− 2A(z)χ(z) +

[m2 − l2

R20

]χ(z) = 0 . (4.74)

81

Alem disso, a equacao de Schrodinger e o potencial sao dados, respectivamente, por

−d2Ψ(z)

dz2+ V (z)Ψ(z) = m2Ψ(z) (4.75)

com

V (z) = A(z)2 − A(z) +l2

R20

. (4.76)

Em termos das derivadas de r o potencial (4.76) escreve-se como

V (r) = e−A(r)

[3A′(r)2

2− A′′(r)

]+

l2

R20

(4.77)

o qual e um potencial vulcao, como pode ser visto na figura a seguir

2 4 6 8 10r

-3

-2

-1

1

V@rD

Figura 28: Perfil de V(r) para β = 2; a = 1

Este tipo de potencial e muito comum na literatura, no contexto de modelos de brana e

localizacao de campo sendo importante pra assegurar localizacao.

Retornando agora a equacao (4.70), para estudar o modo zero m = 0 e ”onda s”l = 0,

a mesma se reduz a

χ′′(r)−(

2A′(r) +B′(r)

2

)χ′(r) = 0 . (4.78)

Esta equacao admite, como unica solucao finita, a solucao trivial χ0 = constant. Entao,

para investigar a localizacao do modo zero e necessario substituir esta solucao na acao

S = −1

2

∫d6x√−ggMN∂MΦ∂NΦ (4.79)

Para o caso em estudo aqui tal acao se reduz a

S0 = −1

2

∫d6xR0e

−A(r)−B(r)/2ηµν∂µΦ0∂νΦ0 (4.80)

A integral que intessa aqui e dada por

I ∝∫ ∞

0

dre−A(r)−B(r)/2 (4.81)

82

A possibilidade de localizacao do modo zero para o campo escalar e garantida se

a integral for finita. Portanto, e suficiente que A(r) + B(r)/2 > 0. No caso em que

A(r) = B(r), justamente o que se considera aqui, e necessario apenas que A(r) > 0

para que se tenha a referida localizacao. Verifica-se facilmente que a funcao (2.40) para

A(r) obedece esta condicao. Este resultado mostra que neste caso se obteve localizacao

do modo zero do campo escalar. E importante notar que nao foi necessaria a inclusao

de nenhum mecanismo nao gravitacional para localizacao do campo neste background o

que representa uma vantagem em relacao ao modelo apresentado em [44] que tambem

representa uma brana espessa em seis dimensoes.

O procedimento dado aqui a partir da expressao (4.71) que visa transformar a parte

radial da equacao do movimento em uma equacao do tipo Schrodinger de fato nao e

necessarios para demonstrar a localizacao do modo zero. Bastaria para isso, conforme foi

visto na subsecao (4.1.1), partir da equacao (4.70), que naturalmente admite uma solucao

constante para o modo zero e onda-s e depois inserir esta solucao constante na acao e

mostrar a localizacao. No entanto, o procedimento apresentado aqui e vantajoso quando

se pretende estudar os modos massivos, principalmente quando a equacao (4.70) nao tem

solucao analıtica. Neste caso e necessario avaliar a existencia de graus ressonantes e a

forma do potencial dado na figura (26) da indıcios de que se possa obter localizacao dos

modos massivos tambem.

Para os demais campos, como nesta tese nao se fara o estudo dos modos massivos,

sera feito uso das expressoes obtidas na secao anterior para demonstrar a localizacao dos

mesmos neste cenario e sob que condicoes isso e possıvel.

4.2.2 Campo vetorial

Tudo o que foi desenvolvido na subsecao (4.1.2) pode ser utilizado aqui, uma vez que

se considerou la uma metrica mais geral que 4.65, a metrica considerada nesta secao. Isto

e verdade porque as funcoes P (r) e Q(r) sao validas para A(r) e B(r) quaisquer. Sendo

assim nao e necessario desenvolver mais uma vez em detalhes os calculos que levam a

localizacao do campo vetorial, bastando apenas provar que a integral em r e finita para

a funcao A(r) = B(r) dada em (2.40). A integral interessante aqui e dada em (4.21) que

no caso em estudo resulta

I1 =

∫ ∞0

drP p/2−2Q1/2 = R0

∫ ∞0

dre−12B(r) (4.82)

83

Para que a integral acima seja finita e necessario apenas que B(r) = A(r) seja maior

que zero. Conforme ja foi visto esta condicao e satisfeita o que assegura a localizacao do

campo vetorial neste cenario. E importante notar mais uma vez que a integral depende

apenas da parte da metrica que e dependente de θ, a variavel compacta que nao esta

presente em uma geometria com cinco dimensoes. Mais uma vez fica clara a importancia

da geometria na localizacao de campo em uma brana.

Na proxima subsecao sera analizado o campo fermionico.

4.2.3 Campo fermionico

Conforme foi discutido na subsecao anterior nao e necessario desenvolver toda a

equacao do movimento para o campo fermionico em seis dimensoes para se obter a parte

radial da equacao do movimento e averiguar se a integral em r e finita ou nao. De fato

mais uma vez sera feito uso do que ja foi desenvolvido na secao anterior para fazer essa

averiguacao.

Considerando-se a equacao (4.42) aqui repetida

I 12∝∫ ∞

0

drP32P−2 ∝

∫ ∞0

dre12A(r), (4.83)

percebe-se que nao e possıvel, como na subsecao (4.1.3), obter a localizacao do campo

fermionico para um fator de warp suave A(r) = β ln cosh2(ar) + β2

tanh2(ar), que e dado

em (2.40). E nao e possıvel sequer assumir um β < 0 pois β = 13κ2

6ν2. Portanto neste

caso aqui nao e possıvel recorrer a um fator de warp crescente. A unica saıda e utilizar o

procedimento devido a [48] e que foi discutido na subsecao (4.1.3). Neste caso a condicao

para que se obtenha localizacao vai depender da finitude da integral (4.51) que assumira

a forma

I 12∝∫ ∞

0

(drP−

12 exp

(−2e

∫ r

Q−12Aθ

))=

∫ ∞0

dr exp

(1

2A(r)− 2eR−1

0

∫ r

e12A(r)Aθ

).

(4.84)

Para que esta integral seja convergente e suficiente escolher Aθ = constante. Fazendo isso

e observando que A(r), para r →∞, pode ser aproximada como A(r) = k.r, sendo k uma

constante, ficara facil observar que a integral acima converge. Neste caso ela sera dada

como

I 12∝∫ ∞

0

dr exp

(1

2kr − Ce

12kr

), (4.85)

onde C =2eR−1

0

k. Desde que C > 0 esta integral naturalmente convergira.

84

Com isso conclui-se a localizacao do modo zero do campo fermionico na 4-brana

espessa. Comparando a secao anterior como esta seria necessario considerar o estudo

do campo de Kalb-Ramond para que esta se tornasse semelhante a aquela. No entanto o

campo tensorial, como pode ser visto pela expressao (4.62) nao e localizavel para o caso em

que A = B no defeito tipo corda, a menos que o fator de warp seja exponencial crescente.

Um fator de warp crescente no cenario considerado aqui nao e possivel conforme discussao

acima, portanto o campo tensorial nao pode ser localizado na geometria considerada nesta

secao. Talvez neste caso fosse interessante a autodualidade do campo e o campo auxiliar,

devidamente escolhido, poderia sanar esta dificuldade. No entanto esta abordagem fica

como perspectiva de trabalho futuro.

4.3 Localizacao de campos em uma brana gerada por

ondas gravitacionais estacionarias

Nesta secao sera feito o estudo de localizacao de campos no modelo de ondas gravi-

tacionas estacionarias em seis dimensoes descrito na subsecao (3.3.1). Serao considerados

apenas os campos escalar e fermionico. O estudo deste ultimo e bastante relevante pois

em cinco dimensoes nao foi possıvel obter localizacao do fermion direito, enquanto que

em seis dimensoes isto e possıvel, como sera visto. A localizacao do campo escalar sera

considerado inicialmente, ja na proxima subsecao, sendo o campo fermionico considerado

logo depois.

Para facilitar a consulta a metrica usada no referido modelo e repetida aqui

ds2 = e2ar(dt2 − eudx2 − eudy2 − e−3udz2

)− dr2 −R2

0e2ar+udθ2. (4.86)

O fato de ser anisotropica fara com que a equacao do movimento exija tratamento ligeira-

mente diferente do que foi feito nas secoes anteriores uma vez que nao e possıvel escrever

ds26 = e2arηµνdx

µdxν − dr2 −R20dθ

2, sendo ηµν a metrica de Minkowski.

4.3.1 Localizacao do campo escalar

A intencao aqui e verificar se o setup caracterizado por (4.86) localiza o modo zero do

campo escalar. Para isso vale lembrar que a acao para este campo, na referida metrica, e

dada por

85

S =1

2

∫d6x√−ggMN∂MΦ∂NΦ (4.87)

da qual a equacao do movimento e derivada

1√−g


)= 0 (4.88)

A partir da metrica (4.86) verifica-se que√−g = R2

0e5ar. Entao a equacao (4.88) pode

ser reescrita como

[∂2t − e−u

(∂2x + ∂2

y

)− e3u∂2

z −e−u

R20

∂2θ

]Φ = e−3ar

(e5arΦ

′)′

(4.89)

Considerando-se para o campo escalar uma solucao do tipo

Φ(xM) = Ψ(r, t)χ(x, y)ζ(z)eilθ (4.90)

e substituindo-se (4.90) em (4.89) resulta no seguinte sistema de equacoes

(∂2x + ∂2

y

)χ+

(p2x + p2

y

)χ = 0, (4.91)

∂2zχ+ p2

zχ = 0 (4.92)

e [∂2t + e−u

(p2x + p2

y

)+ e3up2

z +l2e−u

R20

]Ψ = e−3ar

(e5arΨ

′)′. (4.93)

As quantidades px, py e pz representam as componentes do momento nas direcoes x, y, y,

para u(r, t) = 0, mas no geral nao se pode dizer que se tratam das componentes do

momento no espaco curvo.

Agora retorna-se a (4.93) e separa-se as variaveis r e t assumindo-se Ψ(r, t) = eiEtρ(r),

onde E2 = p2x + p2

y + p2z, o que resulta

(e5arρ(r)

′)′− e3arG(r)ρ(r) = 0, (4.94)

onde

G(r) =(p2x + p2

y

) (e−u − 1

)+ p2

z

(e3u − 1

)+

l2

R20

e−u. (4.95)

Percebe-se por esta ultima expresssao que no caso u = 0 a equacao (4.94) admite uma

86

solucao constante, conforme foi visto na subsecao (4.1.1) e de fato, neste caso, para a < 0,

caso de um fator de warp decrescente, teria-se a localizacao do modo zero, o que nao

poderia deixar de ser, pois para u = 0 o referido cenario e equivalente ao defeito tipo

corda, no que se refere a localizacao de campo.

No entanto, e preciso considerar a solucao geral. Para isso, a maneira do que se fez

na secao (4.2.1), escreve-se a equacao (4.94) em uma forma analoga a um problema de

mecanica quantica nao relativıstica atraves da mudanca de variavel ρ(r) = e−52arΨ(r).

Fazendo isso, obtem-se

Ψ′′(r)− V (r)Ψ(r) = 0, (4.96)

onde

V (r) =25

4a2 + e−2arG(r). (4.97)

Para realizar a localizacao do campo escalar e necessario obter a funcao Ψ, dependente

de r e t em 4.93. Isso sera feito resolvendo-se a equacao 4.96, no entanto apenas o modo

zero e ”onda s”sera considerado, a exemplo do que foi feito nas secoes anteriores. Alem

disso, considerar-se-a ω >> E o que torna razoavel utilizar a media temporal de V (r)

reduzindo o problema a uma unica variavel, r. Sendo assim, usando-se as seguintes

expressoes

ebu =+∞∑n=0

(bu)n

n!(4.98)

ω/2π

∫ 2π/ω

0

[sin(ωt)]m = 2−2n(2n)!(n!)−2; (m = 2n) (4.99)

encontra-se

⟨ebu⟩

= 1 ++∞∑n=1

(b)2n

22n(n!)2[C1e

− 52arJ 5

2(ω

ae−ar) + C2e

− 52arY 5

2(ω

ae−ar)]2n = I0(bρ(r)) (4.100)

onde I0 e a funcao de Bessel modificada do primeiro tipo, de ordem zero. Mesmo neste

caso, como pode-se observar em uma verificacao rapida da expressao (4.100), encontrar

solucao analıtica para (4.96) nao e trabalho simples. Portanto as solucoes aqui obtidas

serao aproximacoes assintoticas.

87

Para C2 = 0 em (3.106), a funcao u(r, t) dependera da funcao de Bessel do primeiro

tipo J 52. Com isso, a expansao (4.100) sera dada por

⟨ebu⟩

= 1 ++∞∑n=1

(bC1)2ne−5anr

22n(n!)2[J 5

2(ω

ae−ar)]2n (4.101)

E possıvel mostrar que esta solucao e aproximadamente constante. Na verdade, para

ω = 12, 3 e a = 1, b.C1 = ±1 ela e aproximadamente 1, conforme se pode observar no

grafico (29) a seguir. Na figura (30) a mesma funcao e plotada considerando-se b.C1 = ±3.

A partir dessas figura pode-se concluir que, para r → 0, r → +∞ e possıvel eliminar os

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0r

0.5

1.0

1.5

2.0eu HrL

Figura 29: Media temporal da exponencialda funcao u, 〈ebu〉 para b.C1 = ±1; a = 1 ;ω = 12, 3

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0r

0.5

1.0

1.5

2.0eu HrL

Figura 30: Media temporal da exponencialda funcao u, 〈ebu〉 para b.C1 = ±3; a = 1 ;ω = 12, 3.

termos que dependem da exponencial em (4.95), seja (e−u − 1) ou (e3u − 1). Na hipotese

de eliminacao do primeiro termo as constantes devem assumir os mesmos valores conside-

rados na figura (25) acima, para a segunda hipotese seria necessario apenas que o produto

bC2 = ±1/3.

O que foi dito acima se justifica em razao da necessidade de se estudar o comporta-

mento de 4.96 em duas regioes distintas: distante e proximo da brana. Para o primeiro

caso, ou seja, r → +∞ o argumento em J 52

vai a zero, (ω/a)e−ar → 0, entao a expressao

4.101 sera aproximada como⟨ebu⟩≈ 1. Consequentemente a equacao 4.96 assumira a

forma simples

Ψ′′(r)− 25

4a2Ψ(r) = 0 (4.102)

cuja solucao e e±52ar. Escolhendo-se Ψ = e−

52ar e a > 0 a solucao para Ψ e naturalmente

88

convergente. Esta solucao e a mesma encontrada em cinco dimensoes, para a localizacao

do campo escalar, no mesmo limite assintotico considerado aqui [9]. No entanto, a funcao

dependente de r que interessa aqui e dada por ρ(r) = e−52arΨ(r), logo ρ(r) = e−5ar.

E necessario que esta solucao uma vez inserida na acao 4.87 resulte em uma integral

convergente em r. A partir da referida acao percebe-se que a integral em r dependera do

determinante da metrica√−g = R0e

5ar e dos termos provenientes de gMN . Estes termos,

por sua vez, resultam em e−2ar. E necessario lembrar que, conforme figura (6) a funcao

u(r, t) → 0 quando r → +∞. Sendo assim a integral resultante em r, a partir da acao

(4.87) e dada por

I0 ∝∫ ∞

0

e−2ardr (4.103)

que e naturalmente convergente para a > 0, o que significa que o campo escalar, ao menos

neste limite, e localizado para um fator de warp crescente.

Mas falta estudar a equacao (4.96) para r → 0. Neste caso as quantidades (e−u − 1) e

(e3u − 1) serao mantidas, sendo assim a equacao (4.96) pode ser aproximada ate segunda

ordem em r como

Ψ′′(r)−

(65

2ca2r2 − 12car + c

′)

Ψ(r) = 0 (4.104)

Essa aproximacao esta baseada na figura (26) em que para r ≈ 0 percebe-se que ebu pode

ser aproximada para uma funcao quadratica em r, dependendo do valor de b.C1. Neste

caso ha uma generalizacao da equacao encontrada em cinco dimensoes para este limite.

As constantes c and c′

sao dadas, respectivamente, por

c =

(C1

Γ(72)

)2 ( ω2a

)5

(p2x + p2

y + 9p2z) (4.105)

c′=

25

4a2 + c (4.106)

A equacao 4.104 e denominada equacao do cilindro parabolico cuja soluao geral e dada

por

Ψ(r) = E1Dµ

(−12(2c)1/4√

a√

653+

(√a√

130c

)r

)

+ E2Dν

(−i12(2c)1/4√

a√

653+ i

(√a√

130c

)r

)(4.107)

onde D e a funcao cilindro parabolico e E1, E2 sao constantes de integracao. Para que se

89

tenha uma solucao real deve-se escolher E2 = 0. Os ındices µ, ν sao dados, respectiva-

mente, por

µ = −64a√

130c− 144c+ 130c′

130a√

130c(4.108)

ν =−4225a

√c− 72

√130c+ 65

√130c

′

8450a√c

(4.109)

Inserindo-se esta solucao na acao para o campo escalar, como se fez antes, a integral

resultante sera

I0 ∝∫ ∞

0

e12arDµ

(−12(2c)1/4√

a√

653+

(√a√

130c

)r

)dr. (4.110)

Esta integral e convergente conforme pode ser visto pelo grafico abaixo. Percebe-se que a

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4r

0.5

1.0

1.5

2.0

e0,5 a rΡ

Figura 31: Integral de e12 ρ para b.C2 = ±3; a = k = pz = 1 ; ω = 12, 3

integral assume um valor maximo na origem e decai a medida que se afasta de zero. Como

foi dito a integral e convergente, como no outro limite considerado acima. Para este grafico

as constantes devem assumir os seguintes valores: a = 1, ω = 12, 3, c = 2.831, 62, c′

=

2837, 87 e as constantes C1 e E1 foram ajustadas, a primeira ficando dependente de c e

das componentes do momento e a segunda assumindo o valor E1 = 0, 001 para compensar

os valores elevados de c e c′. Estes valores foram escolhidos assim para que se tivesse

µ = 0, embora se pudesse considerar outras ordens para a funcao cilindro parabolico.

Estes resultados mostram que ha localizacao do modo zero para o campo escalar neste

modelo. Conforme se observou no outro limite, a localizacao e possıvel para um fator de

warp crescente, diferente do modelo tipo corda no qual a localizacao ocorre para um fator

de warp decrescente. [11, 12].

Na proxima subsecao sera estudada a localizacao do modo zero do campo fermionico

neste mesmo cenario. Como sera visto, mais uma vez e possıvel obter a localizacao para

um fator de warp crescente e neste caso este modelo em seis dimensoes se mostra mais

eficaz na lozalizacao de campos do que sua versao em cinco dimensoes.

90

4.3.2 Localizacao do modo zero do campo fermionico

E o momento de estudar a localizacao do modo zero para o campo fermionico na

brana gerada por ondas gravitacionais estacionarias. E um procedimento que muito se

assemelha ao que foi discutido na subcecao (4.1.3), no entanto em virtude das dferencas

na geometria e necessario detalhar a equacao do movimento resultante nesta geometria,

ao inves de aproveitar o que ja foi feito para o caso do defeito tipo corda. A acao para o

campo fermionico em seis dimensoes nao muda

S =

∫d6x√−gΨiΓMDMΨ. (4.111)

A equacao do movimento pode ser escrita em termos de suas componentes na brana e das

componentes extras (ΓµDµ + ΓrDr + ΓθDθ

)Ψ(xM) = 0 (4.112)

onde ΓM representa as matrizes curvas que como se viu se relacionam com as matrizes

planas pela expressao

ΓM = hMMγM , (4.113)

na qual o o vielbein hMM

e dado por

gMN = ηMNhMMh

NN . (4.114)

A derivada covariante assume a forma padrao

DM = ∂M +1

4ΩMNM γMγN (4.115)

e a conexao de spin ΩMNM e definido como

ΩMNM =

1

2hNM

(∂Mh

NN − ∂NhNM

)+

−1

2hNN

(∂Mh

MN − ∂NhMM

)− 1

2hPMhQNhRM

(∂PhQR − ∂QhPR

)(4.116)

A partir da metrica (4.86), dada no inıcio desta secao, e da expressao para as matrizes

gama (4.113) encontra-se explicitamente a relacao entre as matrizes curvas e planas

Γt = e−arγ t; Γx = e−ar−u2 γx; Γy = e−ar−

u2 γ y;

Γz = e−ar+3u2 γ z; Γr = γ r; Γθ = R−1

0 e−ar−u2 γ θ. (4.117)

Baixando-se os ındices basta inverter as funcoes que multiplicam as matrizes planas para

que se obtenha novamente a relacao delas com as matrizes curvas.

91

As componentes nao nulas da coonexao de spin (4.116) sao

Ωtxx = Ωty

y =1

R0

Ωtθθ = − u

2eu/2; Ωtz

z =3u

2e−3u/2; Ωrz

z =

(a− 3u

′

2

)ear−3u/2;

Ωrxx = Ωry

y =1

R0

Ωrθθ =

(a+

u′

2

)ear+u/2; Ωrt

t = aear. (4.118)

Mais uma vez admite-se o caso em que ω >> E de tal forma que seja valido tomar

a media temporal da equacao do movimento para o fermion (4.112). Alem disso assume-

se que o spinor possa ser decomposto como Ψ(xA) = ψ(xµ)ρ(r)eilθ. Satisfeitas essas

condicoes a equacao do movimento pode ser escrita como[D + γr

(5a

2+ ∂r

)− e−arR−1

0 l2⟨e−u/2

⟩]ψ(xµ)ρ(r) = 0, (4.119)

onde o operador D e dado por

D = e−ar[(⟨

e−u/2⟩− 1)

(γx∂x + γy∂y) +(⟨e3u/2

⟩− 1)γz∂z

]. (4.120)

Para obter estas expressoes admitiu-se que na brana u = 0 o que conforme foi visto

quando se obteve a funcao u e verdade. Sendo assim e valido escrever γµ∂µψ(xν) = 0 ou

γt∂tψ(xν) = −γi∂iψ(xν).

Mais uma vez nao e possıvel encontrar uma solucao analıtica pra equacao resultante

(4.119) portanto sera necessario considerar os limites r → 0 e r → ∞. Como foi visto

na secao (4.3.1) e possıvel escolher as constantes de tal forma que 〈ebu〉 ≈ 1 para ambos

os limites considerados anteriormente. Admitindo esta condicao e considerando a onda-s

(l = 0), o operador 4.120 se anula e a equacao (4.119) assume a forma simples(5a

2+ ∂r

)ρ(r) = 0. (4.121)

A solucao para esta equacao e simplesmente ρ(r) = F1e−(5/2)ar, sendo F1 uma constante

de integracao. Inserindo-se esta solucao na acao (4.111) a integral em r sera dada como

I1/2 ∝∫ ∞

0

dre−ar. (4.122)

Portanto a integral e convergente e pode-se afirmar que ha localizacao do modo zero do

campo fermionico para a > 0 neste caso. Este e um resultado esperado haja vista que

para a > 0 o fator de warp nesse modelo e crescente e este resultado se assemelha ao que

foi obtido no defeito tipo corda. Modelo semelhante a este, inclusive com semelhantes

resultados para localizacao dos campos escalar, vetorial e fermionico foi recentemente

92

considerado na literatura [76].

Assim fica concluıdo este ultimo capıtulo da tese. Ainda seria necessario considerar

os campos vetorial e tensorial para que esta secao se assemelhasse as outras duas deste

capıtulo. O campo vetorial e certamente localizavel, haja vista os resultados obtidos no

trabalho mencionado anteriormente. Quanto ao campo tensorial fica como perspectiva de

trabalho futuro estudar a localizacao do mesmo neste cenario. Resta ainda o estudo dos

modos massivos que nao foram considerados seja em cinco ou seis dimensoes.

Poder-se-ia tambem estudar a localizacao de campos no modelo descrito na subsecao

3.3.3. De fato estes estudos foram realizados e os resultados fazem parte de um trabaho

submetido ao JHEP, [30]. os resultados da localizacao dos campos escalar e fermionico

nesta geometria nao foram considerados aqui por se assemelhar bastante com o que se

obteve nesta ultima subsecao.

A seguir encontram-se algumas conclusoes sobre os resultados obtidos e descritos nesta

tese, alem de perspectivas de trabalhos futuros.

93

5 CONCLUSOES EPERSPECTIVAS

No contexto de mundo brana ha interesse de estudar, alem da propria cosmologia, a

possibilidade de localizacao dos campos do modelo padrao nos referidos modelos (como

ja foi citado alguns estudos se preocupam exclusivamente em estudar a cosmologia). Vale

ressaltar tambem que a resolucao de problemas que nao encontram resposta no modelo

padrao, como o problema da hierarquia, e uma das grandes motivacoes para o estudo de

modelos de brana. Alem disso ha uma busca por modelos anisotropicos que em alguns

aspectos ou , em outras palavras, determinados perıodos do desenvolvimento do universo

parecem mais adequados para descrever nosso universo que o modelo FLRW.

Ao longo desta tese foi realizado o estudo de mundo brana em cinco e seis dimensoes,

enaltecendo principalmente os modelos de brana anisotropica com solucao de onda esta-

cionaria e em seis dimensoes. Iniciou-se com o estudo de modelos em cinco dimensoes

contemplando branas fina e espessa. No contexto de brana fina em cinco dimensoes foi

revisado, na subsecao (2.1.2), o modelo de Randall-Sundrum tipo I, [4]. No que se refere

a brana espessa foi feita uma revisao do modelo considerado por Kehagias, [4], o qual

propoe uma brana gerada por um campo escalar tipo kink, (2.1.1). Estes modelos de

grande relevancia na literatura, particularmente o primeiro, sao de relevancia particular

nesta tese. O primeiro por ser paradgmatico na literatura de mundo brana e o segundo

por apresentar uma generalizacao desse e por se apresentar mais realista uma vez que

uma membrana real tem espessura nao desprezıvel. Este tambem tem se mostrado mais

eficaz quanto a localizacao de modos massivos. O outro modelo em cinco dimensoes e

justamente o de Merab, [18], o qual motivou o trabalho se pode considerar como dos

principais desta tese - a solucao de onda estacionaria para uma brana em seis dimensoes.

O modelo de Merab representa uma generalizacao do modelo de RS, mas nao do modelo

de Kehagias uma vez que nao e possıvel converter o primeiro no segundo por alguma

aproximacao. Apesar de o modelo de Merab ter um comportamento que de certa forma

94

se assemelha a um modelo de brana espessa, nao e exatamnte uma brana espessa. Como

se viu na subsecao (3.1) a solucao de ondas estacionarias em cinco dimensoes se da na

presenca de um campo do tipo fantasma. Trata-se de uma fonte de materia exotica e

de fato nao satisfaz as condicoes de energia. No entanto, o modelo e mergulhado em

uma geometria de Weyl em cinco dimensoes, a qual e estavel. Nesse contexto merece

uma reflexao a respeito da necessidade de satisfazer as condicoes de energia para que se

tenha um modelo estavel. De toda forma a violacao das condicoes de energia em cinco

dimensoes despertou o interesse por solucoes de ondas estacionarias na presenca de uma

fonte normal de materia. Ainda em cinco dimensoes foi feito um esforco no sentido de

se obter uma solucao de onda estacionaria no vacuo, a maneira do que existe em qua-

tro dimensoes. Estas tentativas estao descritas na subsecao (3.2). Ao menos atraves da

abordagem la implementada pode-se dizer que tal solucao nao e possıvel. Vale ressaltar

que se tal solucao fosse possıvel em certo sentido viabilizaria a possibilidade de solucao

na presenca de um campo ”fısico”ou ”canonico”ou nao fantasma, o qual pode representar

materia normal. Como nao foi possıvel em cinco dimensoes restou buscar por tal solucao

em seis dimensoes.

Como se viu foi possıvel generalizar o modelo de Merab para seis dimensoes mantendo

a solucao de ondas gravitacionais estacionarias. Foram obtidas tres solucoes ligeiramente

diferentes: a primeira representa uma brana fina anisotropica, gerada por um campo

escalar do tipo fantasma, em seis dimensoes (3.3.1). Este modelo e muito similar ao

de Merab com a vantagem de ser mais eficiente quanto a localizacao de campos. No

que se refere ao tipo de materia que o gera nao difere do modelo de cinco dimensoes,

tratando-se mais uma vez de uma teoria na presenca de materia exotica. Os resultados

dessa subsecao, juntamente com a localizacao dos campos escalar e fermionico foram

submetidos a revista PRD, [29]. A outra solucao corresponde a uma brana espessa, no

entanto e uma solucao incompleta tendo em vista que nao se resolveu a equacao para

encontrar o campo escalar que gera a brana. Porem pelos resultados obtidos ate esse

ponto ja se percebe que a solucao pode ser do tipo onda gravitacional estacionaria mas a

materia que o gera tambem apresenta natureza exotica (3.3.2). A terceira solucao seria

uma generalizacao do defeito tipo corda global para o caso em que a brana e anisotropica,

(3.3.3). Esta solucao se mostrou mais interessante que as demais porque apesar de se dar

na presenca de uma materia nao normal, mas que tambem nao e exotica. Alem disso ela

apresenta a possibilidade de resolucao do problema da hierarquia o que nao e possıvel

no modelo de Merab ou no modelo de seis dimensoes considerado em (3.3.1). 1. Por

1Vale ressaltar que, dependendo da forma da solucao para o campo escalar no modelo de brana

95

fim, esta ultima solucao pode ser adaptada de tal forma que se tenha uma solucao na

presenca de fonte normal de materia. Esta ultima admite a variacao de Λ ao longo das

coordenadas extras. Modelos que assumem que a constante cosmologica sofra variacao

espaco-temporal existem na literatura, e esta propriedade foi utilizada na construcao

desta solucao de ondas estacionarias. Os resultados obtidos nesta secao, acrescidos da

localizacao dos campos escalar e fermionico, estao em um trabalho submetido ao JHEP,

[30].

Outro objetivo da tese consistia no estudo da localizacao de campos em modelos de

brana isotropica e anisotropica, em seis dimensoes. Conforme foi explicitado ao longo desse

texto, a possibilidade de localizacao de campo em brana anisotropica, em cenarios mais

gerais do que os ja existentes na literatura, se mostrou bastante viavel. Antes, porem, de

abordar o estudo de localizacao de campos nas branas anisotropicas e importante resaltar

a solucao do tipo brana espessa, em seis dimensoes que foi obtida na subsecao (2.2.1).

Este modelo generaliza o defeito tipo corda discutido na subsecao (2.2.2), alem de ser

mais geral tambem que o modelo considerado por Koley [45], o qual tambem considera

uma 4-brana em um bulk com seis dimensoes em que a dimensao compacta pertence a

brana e deve ser considerada pequena o suficiente para que a membrana possa representar

o universo visıvel (compactificacao hıbrida); e mais ”eficiente”ainda, do ponto de vista da

localizacao de campos, que aquele modelo descrito em [44], pois como pode ser visto, a

localizacao do campo escalar no cenario apresentado aqui nao exigiu nenhuma interacao

alem da gravitacional. Os resultados obtidos nessa subsecao, como ja foi dito, foram

publicados na revista PRB, [27]. Ainda no contexto de brana isotropica, particularmente

no defeito tipo corda foi realizado o estudo de localizacao dos campos escalar, vetorial,

fermionico e tensorial. O estudo deste ultimo nesse contexto ainda era inedito na literatura

e tais resultados foram publicados tambem na PRB [16].

Dos modelos de ondas estacionarias em seis dimensoes apresentados nesta tese apenas

um foi testado quanto a localizacao de campos, justamente o modelo de brana anisotropica

fina, (3.3.1). O modelo de brana espessa nao poderia ter sido utilizado pois nao foi resol-

vido completamente. O modelo tido como mais interessante, ao menos do ponto de vista

da materia que o gera, alem do fato de resolver o problema da hierarquia, nao teve os

resultados de localizacao de campos apresentados aqui. A razao de nao ter sido conside-

rado a localizacao de campos nesta geometria e que tais resultados muito se assemelham

aos que foram obtidos para o modelo de brana fina. Isso ocorre porque ambos os modelos

espessa, se for possıvel resolver a equacao, ela tambem se mostra conveniente para resolver o problemada hierarquia.

96

tem como solucao para a variavel radial r a funcao do primeiro tipo de Bessel, J , sendo

possıvel obter o segundo modelo como simplificacao do primeiro, que e mais geral.

Para o modelo de brana fina descrito na subsecao (3.3.1) foi realizado o estudo de

localizacao dos campos escalar, (4.3.1), e campo fermionico, (4.3.2). Em ambos os casos foi

considerado uma media temporal das equacoes interessantes para localizacao, justamente

as que se referem a variavel radial r. A localizacao do campo escalar se deu para um fator

de warp exponencialmente crescente, o contrario do que ocorre em cinco e seis dimensoes,

nos modelos de RS e defeito tipo corda, respectivamente. Este fato parece esta relacionado

com a geometria da brana que e anisotropica. Ja para o campo fermionico o resultado se

assemelha ao que foi encontrado por Oda, para um defeito tipo corda, [11].

Estes foram, em suma, os reultados obtidos ao longo do desenvolvimento desta tese.

Pode-se dizer que os objetivos foram alcancados, uma vez que foi possıvel construir mo-

delos de brana isotropicos e anisotropicos, de estudar a localizacao de campos em ambos

os cenarios e ainda foi possıvel construir um modelo anisotropico na presenca de fonte

normal de materia. Este ultimo, bem como o modelo construıdo a partir de materia nao

normal, esta apto a resolver o problema da hierarquia.

Resta alguns desenvolvimentos a serem feitos e que fica como perspectiva de trabalho

futuro. Um dos primeiros seria a complementacao do modelo de brana espessa, inclusive

para melhor analizar se a materia do qual e gerado e mesmo exotica como se supoe ou se

traz alguma grata surpresa. Outros desenvolvimentos que parecem imediatos sao o estudo

de localizacao dos campos gravitacional, vetorial e tensorial neste contexto. E importante

ressaltar que o estudo desses campos ja foi realizado em cinco dimensoes, sendo possıvel

a localizacao. Em seis dimensoes o campo vetorial foi considerado em um modelo muito

semelhante ao que foi apresentado aqui, [76]. Neste modelo, alem do campo vetorial

foram estudados o campo escalar e o campo fermionico, portanto apesar de que esses

estudos nao foram realizados nesta tese e muito provavel a localizacao desses campos

nos modelos aqui considerados. Uma outra abordagem que devera ser implementada

e a busca de um modelo de 3-brana anisotropica com solucao de ondas estacionarias.

Seria uma generalizacao do defeito tipo corda. E interessante ainda considerar o estudo

de localizacao dos modos massivos o que nao foi feito ainda seja em cinco ou em seis

dimensoes. Neste contexto talvez se mostre interessante a solucao de brana espessa. Por

fim fica a intencao de estudar esse modelos do ponto de vista de sua cosmologia para que

se possa dessa maneira verificar de forma mais concreta sua viabilidade na resolucao de

problemas em fısica.

97

Eis portanto o trabalho que nos propomos realizar. E nossa pretensao continuar os

estudos das solucoes aqui obtidas, aprimora-las e testa-las no campo fenomenologico. E

nosso desejo que este trabalho seja util para os que se aventurarem neste tema.

98

6 APENDICE - CONDICOESCLASSICAS DE ENERGIA

Neste breve apendice serao apresentadas as condicoes classicas de energia conforme

descritas em livros textos como [52], [77] e [78]. Optou-se por usar um apendice por

entender que este conteudo, embora importante nas discussoes presentes principalmente

no capıtulo (3), nao faca parte do conteudo principal da tese. A exposicao aqui feita

esta amparada no que vem principalmente no segundo livro citado acima e nao houve

preocupacao no sentido de provar as ditas condicoes de energia.

De acordo com Visser [78] ha no mınimo sete condicoes de energia que sao rotinei-

ramente ”invocadas”em Relatividade Geral, quais sejam: a condicao nula de energia -

NEC (do ingles Null energy condition); a condicao fraca de energia - WEC (weak energy

condition); a condicao forte - SEC (strong energy condition); a condicao dominante -

DEC (dominant energy condition); a condicao de energia nula media - ANEC (averaged

null energy condition); condicao fraca de energia media - AWEC (averaged weak energy

condition) e, finalmente, a condicao forte de energia media - ASEC (averaged strong

energy condition). Apesar de haver estas sete condicoes nem todas costumam ser usadas

em um mesmo contexto. Para esta tese e suficiente recorrer apenas as quatro primeiras,

portanto apenas estas serao descritas aqui. Para um tensor momento energia escrito na

forma diagonal Tµν = (ρ, p1, p2, p3) as condicoes de energia acima podem ser definidas

como segue.

6.1 Condicao nula de energia - NEC

A condicao nula de energia estabelece que para algum vetor nulo kµ a desigualdade

Tµνkµkν ≥ 0 e satisfeita. Em termos das componentes do tensor momento energia isto e

escrito como

ρ+ pj ≥ 0, ∀j (6.1)

99

Esta condicao de energia e utilizada, por exemplo, no teorema de singularidade de Penrose

[78]. Ela e suficiente para garantir que a densidade do universo diminui quando seu volume

aumenta e sua violacao significa que algo de muito incorreto foi feito, [79]. Segundo a

classificacao dada em [79] a materia que viola a condicao nula e dita ”exotica”.

6.2 Condicao fraca de energia - WEC

Para satisfazer a WEC e necessario que a materia satisfaca TµνVµV ν ≥ 0 em que V µ

e algum vetor tipo tempo. Esta condicao exige que a densidade de energia medida por

algum ”observador tipo tempo”seja positiva. Sua expressao em termos das componentes

de Tµν e a seguinte

ρ > 0, ρ+ pj ≥ 0, ∀j. (6.2)

Como se ver a condicao WEC engloba a condicao NEC.

6.3 Condicao forte de energia - SEC

Esta condicao tambem esta definida em termos de vetores tipo tempo. Ela estabelece

que sendo V µ algum vetor tipo tempo entao e valida a desigualdade(Tµν − T

2gµν)V µV ν ≥

0, sendo T = Tµνgµν . Isto pode ser escrito como

ρ+ pj ≥ 0, ρ+∑j

pj ≥ 0, ∀j. (6.3)

A condicao SEC compreende a condicao nula mas nao implica, em geral, a condicao fraca

[78]. Barcelo e Visser afirmam que a condicao SEC e violada em todo processo cosmologico

inflacionario. Mais que isso, afirmam ser a violacao da SEC uma propriedade generica

de campos escalares. Ha inclusive quem sugira que esta condicao seja abandonada como

restricao razoavel nas propriedadas da materia [80]. Seguindo a classificacao de Visser

[79] a materia que viola especificamente a condicao SEC secebe o nome de anormal.

6.4 Condicao dominante de energia - DEC

Por fim a condicao dominante de energia exige que TµνVµV ν ≥ 0 e que TµνV

ν nao

seja tipo espaco. Em termo de ρ e p tem-se

ρ > 0, e pj ∈ [−ρ,+ρ], ∀j. (6.4)

100

Atraves do ”teorema da conservacao”Hawking e Ellis mostram, usando a DEC, que nao

e possıvel haver propagacao de energia fora do cone de luz. Isso implica em que se uma

fonte de energia obedece a DEC ela e estavel [81].

Para completar a nomenclatura a respeito dos tipos de materia, chama-se ”materia

normal”aquela que obedece as quatro condicoes de energia acima. Se alguma fonte viola

alguma dessas condicoes e chamada de ”nao normal”; e anormal se viola SEC e exotica

quando viola NEC, como ja se disse. O mesmo autor afirma que a violacao da NEC se

da normalmente em nıveis quanticos. Classicamente ”toda lagrangeana decente”satisfaz

tal condicao (vale ressaltar, no entanto, que o modelo de brana dado em [45], quando

se considera um campo do tipo fantasma como fonte, viola esta condicao). No entanto,

encontrar fontes que violam WEC e DEC e relativamente facil, enquanto que a violacao

destas duas mas, concomitantemente, a satisfacao de NEC e SEC e possıvel atraves de

uma constante cosmologica negativa. Por fim, violar SEC e facil (mas nao tanto) e

desobedece-la obedecendo as demais e possıvel atraves de uma constante cosmologica

positiva ou atraves de uma epoca cosmologica inflacionaria [79].

A violacao de algumas destas condicoes pode ser vista em teorias bastante familia-

res. A condicao SEC pode ser violada, por exemplo, em teoria com um campo escalar

minimamente acoplado. No efeito Casemir todas as quatro condicoes acima WEC, SEC,

DEC e NEC sao violadas. O dito ”vacuo comprimido”tambem viola as quatro condicoes

anteriores, mas assim como o efeito Casimir nao viola as condicoes de energia medias

AWEC, ANEC, ASEC. Outras situacoes em que ocorrem violacao destas condicoes sao

na evaporacao de Hawking, no vacuo de Hartle-Hawking e em inflacoes cosmologicas [78].

101

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LOCALIZAÇÃO DE CAMPOS EM BRANAS ISOTROPICAS E ANISOTROPICAS EM SEIS DIMENSÕES

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