Edgard Jamhour

Uma equação linear com n variáveis tem a seguinte forma:

a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b

onde a1, a2, ..., an e b são constantes reais.

Um sistema de equações lineares é um conjunto de m equações do tipo:

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2

...

am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm

Um sistema de m equações e n incógnitas para ser representado na seguinte forma matricial: A x = b

Se m = n o sistema é dito quadrado

Matrix de coeficientes (m x n)

Vetor de incógnitas (n x 1)

Vetor independente (m x 1)

Existe uma única solução que satisfaz a todas as equações simultaneamente Número de equações independentes deve ser igual ao número de incógnitas Se o determinante de A for 0, o sistema possui equações linearmente

dependentes Se b = ( 0 0 0 .. 0)T

, o sistema é dito homogêneo pois x = ( 0 0 0 .... 0).

Existem inúmeras soluções que satisfazer as equações Isso acontece quando o número de equações é menor que o número de incógnitas Isso acontece também com matrizes quadradas com equações linearmente dependentes

(determinante de A = 0)

Não possui solução O determinante de A é nulo

Permitem resolver o sistema através de substituições sucessivas :

Inferior Superior

Passo 1: X4 = 1 Passo 2: X3 = 2 (usando x4) Passo 3: X2 = -1 (usando x3 e x4) Passo 4: X1 = 3 (usando x2, x3 e x4)

Diretos: Fornecem solução exata do sistema linear, caso

exista, após número finito de operações ▪ Método de Gauss ▪ Método da Eliminação de Jordan ▪ Fatoração LU

Iterativos: Geram uma sequência de valores x(k) a partir de uma

aproximação inicial: x(o). Sob certas condições, esta solução converge para x*, caso exista. ▪ Método de Jacobi ▪ Método de Gauss-Siedel

Estratégia: Transforar o sistema dado num sistema triangular

superior equivalente efetuado operações sucessivas de produto e adição entre as equações. ▪ Combinação linear entre equações

Sistema Original Sistema Equivalente

Matriz Aumentada:

Não altera o sistema de equações:

Multiplicar ou dividir todos os elementos de uma linha da matriz aumentada pela mesma constante

Somar linhas da matriz aumentada

Trocar a posição das linhas da matriz aumentada

3 2 1 61 3 1 52 2 3 7

1

2

3

1

32

1 3 1 52 2 3 7

L1=L1/3 L2=L2-L1 12

3

1

32

07

3

2

33

2 2 3 7

3 2 1 61 3 1 52 2 3 7

L2=L2-L1/3

3 2 1 6

07

3

2

33

2 2 3 7

OU

Eliminar os elementos a21... an1

Li = Li - (ai1/a11).L1 onde: i=2 ... n

Eliminar os elementos a32... an2

Li = Li - (ai2/a22).L2 onde: i=3 ... n

...

Eliminar o elemento an,n-1

Ln = Ln - (an,n-1/an-1,n-1).Ln-1

1 2 3

a11 a12 a13 a14 b1a21 a22 a23 a24 b2a31 a32 a33 a34 b3a41 a42 a43 a44 b4

Pivô

Elimina o elemento (l,c) da matrix Ab:

𝑛𝑜𝑣𝑎𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑙𝑏, 𝑙, 𝑐 = 𝐴𝑏 𝑙 − 𝐴𝑏(𝑙𝑏) ∙𝐴𝑏 𝑙,𝑐

𝐴𝑏(𝑙𝑏,𝑐)

lb: linha de referência (contém o pivot)

l: linha que será modificada

c: coluna que será modificada

Ab(l): linha l

Ab(l,c): elemento da linha l, coluna c

Ab(lb): linha lb

Ab(lb,c): elemento da linha lb, coluna c

Elimina todos os elementos de uma coluna abaixo da diagonal:

eliminacoluna(lb,c) =

Repetir de l=c+1 até n: Ab(l) = novalinha(lb, l, c)

Transforma o sistema em triangular superior:

Repetir de l=1 até n: eliminacoluna(l,l)

Resolver o seguinte sistema de equações: 2 x1 + 3x2 - x3 =5

4 x1 + 4x2 - 3x3 = 3

2 x1 - 3x2 + x3 = -1

Matrix aumentada:

novalinha(1,2,1)

novalinha(1,3,1)

novalinha(2,3,2)

2 x1 + 3x2 - x3 = 5 - 2x2 - x3 = -7 5 x3 = 15

x3 = 3 x2 = 2 x1=1

Resolver o seguinte sistema de equações:

x1 + 4 x2 + 52 x3 = 57

27 x1 + 110 x2 - 3 x3 = 134

22 x1 +2 x2 + 14 x3 = 38

Matrix aumentada:

novalinha(1,2,1) novalinha(2,3,2) novalinha(1,3,1)

x1 + 4x2 -52x3 = 57 2x2 -1407x3 = -1405 -61631 x3 = -61631

x3 = 1 x2 = 1 x1 =1

Resolver o seguinte sistema de equações:

3 x1 + 0 x2 + x3 = 6

x1 + 0 x2 + x3 = 134

2 x1 +2 x2 + 3 x3 = 7

Matrix aumentada:

novalinha(1,2,1)

novalinha(1,3,1)

Permutação de linhas

Método semelhante ao de Gauss, mas utilizar como pivô a cada passo o elemento de maior valor absoluto abaixo da diagonal.

O objetivo desta estratégia é minimizar a amplificação de erros de arredondamento durante as eliminações.

Aprimoramento do método de Gauss onde a eliminação de elementos da matriz é feita até obter-se uma matriz do tipo diagonal

a11 0 ... 0 b1 0 a22 ... 0 b2 ... ... ... ... ... 0 0 ... ann bn

novalinha(2,1,2)

novalinha(3,1,3)

novalinha(3,2,3)

2 x1 = 2 -2 x2 = -4 5 x3 = 15

x3 = 3 x2 = 2 x1=1

Seja A uma matriz quadrada. A decomposição LU transforma a matriz a no

produto de duas matrizes:

A = L.U

A L U

Sistema Original: A x = b Sistema Fatorado: A x = (L U) x = b Propriedade Comutativa: A x = L (U x) = b Supondo U x = y Novo sistema de equações: L y = b Solução em duas etapas:

Encontrar y resolvendo L y = b

Encontrar x resolvendo U x = y

x1 + 6 x2 +1x3 = 5 2x1 +2x2 + 3 x3 = 7 3x1 + 5x2 + 1x3 =6

=

A x b

= .

.

A L U

=

L y b

. . =

b U x

i=2,...,n i=n-1,...,1

O método de decomposição LU oferece uma forma eficiente para calcular determinantes, pois: Det(A) = Det(L).Det(U) Devido a forma da matriz: Det(L) = 1 Det(U) = produto dos elementos da diagonal

a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44

A =

Det(A) = 1*-10*-(33/10) = 33

= .

A L U

A matriz U corresponde a matriz A transformada em triangular superior, o que pode ser feito pelo método de Gauss.

A matriz L determina-se impondo-se a condição:

=

l21=a21/u11 , l31=a31/u11 , l41=a41/u11

l32=(a32 - l31 u12)/u22, l42=(a42 - l41 u12)/u22

l43=(a43 - l41 u13 - l42 u23 )/u33

=

Se i<j: lij=0 Se i=j: lij=1

Se j=1 e i>1: 𝑙𝑖𝑗 =1

𝑢𝑗𝑗𝑎𝑖𝑗

Demais casos: 𝑙𝑖𝑗 =1

𝑢𝑗𝑗𝑎𝑖𝑗 − 𝑙𝑖𝑘

𝑗−1𝑘=1 𝑢𝑘𝑗

6/5

12/5

(-28/5)/(-14/5)=2

Em algumas aplicações, deseja-se calcular o valor de x para diferentes valores de b, mas usando a mesma matriz A.

Utilizando apenas o método de eliminação de Gauss, é necessário transformar a matriz aumentada que inclui o vetor b em triangular superior.

Como as matrizes L e U são independentes de b, não é necessário recalculá-las quando b é alterado.

Objetivo: resolver o sistema linear A x = b de forma iterativa.

A partir de uma solução inicial x0 gera-se uma

sequência de soluções x1, x2, ..., xk que aproxima de forma interativa a solução do sistema.

Forma iterativa:

xk = g(xk-1)

Sistema original:

Isolando xi na linha i:

Assumindo-se uma solução inicial:

𝒙𝑘 = 𝑥1

𝑘 𝑥2

𝑘 … 𝑥𝑛𝑘

Calcula-se uma solução mais aproximada:

Forma compacta:

Critério de Convergência:

A convergência independente do vetor inicial escolhido.

Critério de linhas: critério suficiente de convergência

O sistema possua diagonal principal estritamente dominante, ou seja:

Considerando o seguinte sistema de equações:

Considerando uma solução inicial x0:

Solução exata:

x = [1 2 3]

Aproximações:

Semelhante ao método de Jacobi, mas procura reutilizar os valores já calculados em uma interação para estimativa dos termos seguintes.

x(k+1) = [ x1k x2

k x3k ... xn

k ]

x1(k+1) = f(x2

k ... xnk)

f(x1(k+1) x3

k ... xnk)

f(x1(k+1)

x2(k+1) x4

k ... xnk)

f(x1(k+1)

... xn-1(k+1))

Forma estendida:

Forma compacta:

O critério das linhas pode ser aplicado ao método de Gauss-Seidel.

A condição de Sassenfeld define uma condição suficiente para convergência do método.

Convergência se M < 1