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MATERIAL PARA O 1º BIMESTRE -

MATEMÁTICA

2º ANO DO ENSINO MÉDIO

DOCENTE: IVE PINA

POTÊNCIA, EQUAÇÃO EXPONENCIAL E LOGARITMO

REVISÃO DE POTENCIAÇÃO

Podemos dizer que potenciação representa uma multiplicação de fatores iguais, se temos a seguinte multiplicação: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2, podemos representá-la usando a potência 26, onde 2 é a base e 6 o expoente (Leia: dois elevado a sexta potência).

I - Potências de Base Real com Expoente Inteiro Nestas condições há quatro situações em particular que iremos tratar. A saber, quando o expoente é maior que um, quando é igual a um, quando é igual a zero e quando é negativo. 1) Expoente Maior que 1 a) De forma geral:

, isto é, a multiplicação de n fatores iguais a α. Este é o caso de mais fácil compreensão, pois o conceito da potenciação está bem claro. Observe a expressão abaixo: 26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 42 = 4 x 4 = 16 53 = 5 x 5 x 5 = 125 102 = 10 x 10 = 100

122 = 12 x 12 = 144 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 63 = 6 x 6 x 6 = 216

b) Apesar de estarmos trabalhando com expoentes inteiros, as bases podem ser decimais: 3,23 = 3,2. 3,2. 3,2 = 32,768 1,2² = 1,2 . 1,2 = 1,44

0,6³ = 0,6. 0,6. 0,6 = 0,216 0,25 = 0,2. 0,2. 0,2. 0,2. 0,2 = 0,00032

c) Assim como também podem ser fracionárias:

4

1

2

1.

2

1

2

12

125

8

5

2.

5

2.

5

2

5

23

25

36

5

6.

5

6

5

62

243

32

3

2.

3

2.

3

2.

3

2.

3

2

3

25

d) Assim como podem ser negativas. Temos 2 casos: i) Base negativa e expoente ímpar, resultado negativo. (-3)3 = (-3) x (-3) x (-3) = -27 (-4)5 = (-4) x (-4) x (-4) x (-4) x (-4) = -1024 (-2)7 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = -128 -33 = -27

2

ii) Base negativa e expoente par, resultado positivo. (-2)4 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = + 16 (-6)2 = (-6) x (-6) = + 36 (-7)2 = (-7) x (-7) = + 49 -24 = -16 2) Expoente Igual a 1 Todo número diferente de zero e elevado a um é o próprio número. 21 = 2 31 = 3 151 = 15

201 = 20 121 = 12

3) Expoente Igual a 0 Todo número diferente de zero e elevado a zero é um. 20 = 1 30 = 1 100 = 1

40 = 1 1250 = 1

OBS: Base zero e qualquer número no expoente, o resultado será zero. 05 = 0 012 = 0 0100 = 0

07 = 0 025 = 0

4) Expoente Negativo Quando o expoente é um número negativo: invertemos a base e mudamos o sinal do expoente para positivo.

16

1

2

12

4

4

27

1

3

13

3

3

32

1

2

12

5

5

9

1

3

13

2

2

102444

1 5

5

8133

1 4

4

4

9

2

3

3

222

64

125

4

5

5

433

II - Potência de um Expoente Racional Revendo as raízes:

416 (4.4 = 16)

2164 (2.2.2.2 = 16)

283 (2.2.2 = 8)

56254 (5.5.5.5 = 625)

32435 (3.3.3.3.3 = 243)

4643 (4.4.4 = 64)

3

5

9

25

(5.5 = 25 e 3.3 = 9)

551

005

16 não existe

283 (-2).(-2).(-2) = - 8

115 (-1)(-1)(-1)(-1)(-1) = -1

2550 (5.5.2 = 50)

33 2354 (3.3.3.2 = 54)

6354 (3.3.3.2 = 54)

3

32

27

24 3

3

(2.2.2.3 = 24

e 3.3.3 = 27)

3

Podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical e vice-

versa: Exemplos:

5

2

5 2 44

4 74

7

33

4

3

4 3 22

9333 25

10

5 10

3999 2

1

5,0

2

1

16

1

16

1161616 44

1

4 14

1

25,0

Potência de uma Raiz Ao elevarmos um radical a uma dada potência, estaremos obtendo o mesmo resultado que obteríamos se elevássemos apenas o seu radicando a esta mesma potência:

Exemplo:

Exercícios:

1) Calcule o valor das potências: a) 25 b) 132 c) (1,1)2 d) (0,4)5

e) 3

4

1

f) 2

7

5

g) 25

h) 25

i) 32

j) 251

k) 90 l) 031 m) 143 n) (-1)13

o) 25

p) (-2)-5 q) (-3)-4

r) 3

3

1

s) 4

3

2

2) Calcule ou simplifique as raízes:

a) 3 125

b) 4 81

c) 49

d) 3 1

e) 7 0

f) 1 12

g) 3 125

h) 5 32

i) 9 1

j) 4 16

k) 12

l) 18

m) 3 24

n) 4 32

o) 40

p) 25

48

q) 3

8

81

3) Represente os radicais sob a forma de potência e resolva quando possível:

a) 5 102

b) 3 95

c) 7 7)2(

d) 32

e) 5 2

f) 3 3

g) 5

h) 3 8

REVISÃO DE EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

1) Calcule as seguintes equações exponenciais:

a) 22242 2 xxx (2.2 = 4)

b) 23393 2 xxx

(3.3 = 9)

c) 622642 6 xxx

(2.2.2.2.2.2= 64)

d) 433813 4 xxx

(3.3.3.3 = 81)

4

e) 2²55255 xxx

(5.5 = 2)

f) 32282 3 xxx

(2.2.2 = 8)

g) 52

10102222210244 102102 xxxxx

(2.2 = 4 e 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 1024)

h) 2

55233332439 5252 xxxxx

(3.3 = 9 e 3.3.3.3.3 = 243)

i) 2

99222225124 9292 xxxxx

(2.2 = 4 e 29=512)

j) 2

332555512525 3232 xxxxx

(5.5 = 25 e 5.5.5 = 125)

k) 3

223101010101001000 2323 xxxxx

(10.10.10 = 1000 e 10.10 = 100)

l) 6

55622223264 5656 xxxxx

(2.2.2.2.2.2=64 e 2.2.2.2.2=32)

m) 5333

13

3

13

243

13 5

5

5

5

xxxxx

(3.3.3.3.3 = 243)

n) 2555

15

5

15

25

15 2

2

2

2

xxxxx

(5.5 = 25)

o) 52

1

2

12

2

132

2

15

5

x

xxx

(2.2.2.2.2 = 32)

p) 13333 1 xxx

q) 03313 0 xxx

r) 14

1

4

1

100

25

4

125,0

4

125

25

x

xxx

s) 22

1

2

1

2

1

10

5

4

15,0

225

5

x

xx

x

(2.2 = 4)

t) 33

5

3

5

5

3

3

5

5

3

3

5

125

27

3

533

3

3

x

xxxx

(3.3.3 = 27 e 5.5.5 = 125)

u) 6

5

3

522222324 3

5

23 523 xxxxx

(2.2 =4 e 2.2.2.2.2 = 32)

v)

9

4

3

4355

5

15

5

15

5

15

625

1125

3

4

33

4

3

3

4

3

3 4

3

3

xxxx

xxx

(5.5.5 = 125 e 2.2.2.2 = 625)

w) 4

3

2

1

3

25555525 2

1

3

2

2 13 23 xx

xxx

(5.5 = 25)

5

x) 031232 00 xxx

y) 210 x

Exercícios:

1) Resolva em IR as seguintes equações exponenciais:

a) 497 x

b) 162 x

c) 273 x

d) 2562 x

e) 644 x

f) 324 x

g) 279 x

h) 25664 x

i) 1000100 x

j) 125625 x

k) 16

12 x

l) 813

1

x

m) 1255

1

x

n) 8

14 x

o) 77 x

p) 16 x

q) 25,08 x

r) 32

15,0

x

s) )25,0(4

1

x

t) 3 2562 x

u) 27

19 x

v) 5,026 x

w) 34 93 x

x) xx 34

y) 142 x

2) (FCC – UFS – PM – SE – 2002 – Curso de Formação de Soldados) Se x é um

número real tal que 10248 x, então:

(A) 30 x (B) 53 x (C) 85 x (D) 108 x (E) 10x

3) (VUNESP – SEE – 1998 – Professor de Matemática) Uma solução da equação

exponencial 04,05 x é:

(A) x = 2 (B) x = 1 (C) x = 0 (D) x = -1 (E) x = -2

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Como resolver esse tipo de problema?

210 x Por tentativa:

...16,3101010 2

1

5,0

...995,11000101010 1010 310

3

3,0

...

210 ...3010,0 Foi fácil? Os logaritmos surgiram, entre outros motivos, para facilitar o cálculo em equações exponenciais de maior complexidade. Através do conceito de logaritmos e de algumas tabelas especiais, o cálculo de equações exponenciais foi bastante facilitado quando as bases não podem ser facilmente igualadas. Logaritmos apresentam várias aplicações nas ciências (química, física, engenharia, em mecanismos de criptografia, etc.), veja alguns exemplos:

6

Medição de terremotos pela movimentação das placas tectônicas: escala

Richter. A força física envolvida em certos sons é uma potência de base 10, uma

conversa em voz alta é 106,5. A intensidade de um som é o logaritmo decimal (na base 10) de sua intensidade física.

Crescimento populacional. A meia-vida de uma substância química. Altura de uma criança.

Conceito de Logaritmo

Lei do Logaritmo: Sejam a e b números reais positivos e b ≠ 1. Chama-se logaritmo

de a na base b o expoente x tal que bx = a. Em símbolos: abxa x

b log .

Nomenclaturas:

a é chamado de logaritmando b é chamado de base do logaritmo x é chamado de logaritmo de a na base b

Exemplos:

a) 416log 2 (24 = 16)

b) 225

1log5 (

25

15 2 )

c) 01log7 (70 = 1)

d) 3

15log 3

5 ( 33

1

55 )

e) 225log255 5

2

f) 29

1log

9

13 3

2

g) 416

1log

16

1

2

1

2

1

4

Ou seja, logaritmos podem simbolizar potências de outra forma. Como 10² = 100, então veremos que 2100log .

Eles são mais curtos que as potências. Imaginem que as potências indicam a altura de um foguete que, depois de lançado, atinge 10 m em 1 segundo, 100 m em 2 segundos, e assim, sucessivamente. Diz-se, então, que o tempo é sempre o logaritmo da altitude. Se o foguete está a 10.000 m acima do solo, o tempo que levou então foi de 4 segundos. Portanto, o logaritmo de 10.000 é 4.

Assim, para compreender o que é um logaritmo, considere uma potência de base positiva e diferente de 1. Por exemplo: 2³ = 8. Ao expoente dessa potência damos o nome de logaritmo. Dizemos que 3 é o logaritmo de 8 na base 2. Em símbolos:

38log82 2

3

Logaritmo decimal: Chama-se logaritmo decimal aquele de base 10. Indica-se o logaritmo decimal de um número a simplesmente por log a (a base 10 fica

subentendida). Ou seja, log a = a10log .

Exemplo: 31000

1log

000.1

1log 10 (

000.1

110 3

)

7

Exemplo: Como calcular os logaritmos:

a) 4log 2 = x 22242 2 xxx

b) 625log125 = x 3

4435555625125 4343 xxxxx

c) 243

1log81 = x

4

55433

3

13

243

181 54

5

4

xxxxx

d) 32 16log = x

3

42222162 3

4

3 43 xxxx

e) 4 000.1log = x 4

310101010100010 4

3

4 34 xxxx

f) 729

64log

8

27= x 2

3

6

2

3

2

3

3

2

2

3

729

64

8

276363

x

xx

x

Exercício: Calcule os logaritmos:

a) 49log7

b) 216log6

c) 024.1log128

d) 9

4log

2

3

e) 52 16log

f) 000.10log

g) 4log4

h) 1log5

i) 243log3

j) 6 000.1log

k) 3

5625log

l) 3log243

m) 128log32

n) 16

625log

25

4

o) 001,0log

p) 09,0log 3,0

q) 008,0log 0016,0

r) 625

81log 6,0

Tabela de logaritmos decimais

nº / base 2 3 4 5 6 7 8 9

2 1,0000 0,6309 0,5000 0,4307 0,3869 0,3562 0,3333 0,3155

3 1,5850 1,0000 0,7925 0,6826 0,6131 0,5646 0,5283 0,5000

4 2,0000 1,2619 1,0000 0,8614 0,7737 0,7124 0,6667 0,6309

5 2,3219 1,4650 1,1610 1,0000 0,8982 0,8271 0,7740 0,7325

6 2,5850 1,6309 1,2925 1,1133 1,0000 0,9208 0,8617 0,8155

7 2,8074 1,7712 1,4037 1,2091 1,0860 1,0000 0,9358 0,8856

8 3,0000 1,8928 1,5000 1,2920 1,1606 1,0686 1,0000 0,9464

9 3,1699 2,0000 1,5850 1,3652 1,2263 1,1292 1,0566 1,0000

10 3,3219 2,0959 1,6610 1,4307 1,2851 1,1833 1,1073 1,0480

11 3,4594 2,1827 1,7297 1,4899 1,3383 1,2323 1,1531 1,0913

12 3,5850 2,2619 1,7925 1,5440 1,3869 1,2770 1,1950 1,1309

13 3,7004 2,3347 1,8502 1,5937 1,4315 1,3181 1,2335 1,1674

14 3,8074 2,4022 1,9037 1,6397 1,4729 1,3562 1,2691 1,2011

15 3,9069 2,4650 1,9534 1,6826 1,5114 1,3917 1,3023 1,2325

16 4,0000 2,5237 2,0000 1,7227 1,5474 1,4248 1,3333 1,2619

17 4,0875 2,5789 2,0437 1,7604 1,5812 1,4560 1,3625 1,2895

8

18 4,1699 2,6309 2,0850 1,7959 1,6131 1,4854 1,3900 1,3155

19 4,2479 2,6801 2,1240 1,8295 1,6433 1,5131 1,4160 1,3401

20 4,3219 2,7268 2,1610 1,8614 1,6720 1,5395 1,4406 1,3634

21 4,3923 2,7712 2,1962 1,8917 1,6992 1,5646 1,4641 1,3856

22 4,4594 2,8136 2,2297 1,9206 1,7251 1,5885 1,4865 1,4068

23 4,5236 2,8540 2,2618 1,9482 1,7500 1,6113 1,5079 1,4270

24 4,5850 2,8928 2,2925 1,9746 1,7737 1,6332 1,5283 1,4464

25 4,6439 2,9299 2,3219 2,0000 1,7965 1,6542 1,5480 1,4650

26 4,7004 2,9656 2,3502 2,0244 1,8184 1,6743 1,5668 1,4828

27 4,7549 3,0000 2,3774 2,0478 1,8394 1,6937 1,5850 1,5000

28 4,8074 3,0331 2,4037 2,0704 1,8597 1,7124 1,6025 1,5166

29 4,8580 3,0650 2,4290 2,0922 1,8793 1,7304 1,6193 1,5325

30 4,9069 3,0959 2,4534 2,1133 1,8982 1,7479 1,6356 1,5480

31 4,9542 3,1257 2,4771 2,1337 1,9165 1,7647 1,6514 1,5629

32 5,0000 3,1546 2,5000 2,1534 1,9343 1,7810 1,6667 1,5773

33 5,0444 3,1827 2,5222 2,1725 1,9514 1,7968 1,6815 1,5913

34 5,0875 3,2098 2,5437 2,1911 1,9681 1,8122 1,6958 1,6049

35 5,1293 3,2362 2,5646 2,2091 1,9843 1,8271 1,7098 1,6181

36 5,1699 3,2619 2,5850 2,2266 2,0000 1,8416 1,7233 1,6309

37 5,2095 3,2868 2,6047 2,2436 2,0153 1,8556 1,7365 1,6434

38 5,2479 3,3111 2,6240 2,2602 2,0302 1,8693 1,7493 1,6555

39 5,2854 3,3347 2,6427 2,2763 2,0447 1,8827 1,7618 1,6674

40 5,3219 3,3578 2,6610 2,2920 2,0588 1,8957 1,7740 1,6789

41 5,3576 3,3802 2,6788 2,3074 2,0726 1,9084 1,7859 1,6901

42 5,3923 3,4022 2,6962 2,3223 2,0860 1,9208 1,7974 1,7011

43 5,4263 3,4236 2,7131 2,3370 2,0992 1,9329 1,8088 1,7118

44 5,4594 3,4445 2,7297 2,3512 2,1120 1,9447 1,8198 1,7223

45 5,4919 3,4650 2,7459 2,3652 2,1245 1,9562 1,8306 1,7325

46 5,5236 3,4850 2,7618 2,3789 2,1368 1,9675 1,8412 1,7425

47 5,5546 3,5046 2,7773 2,3922 2,1488 1,9786 1,8515 1,7523

48 5,5850 3,5237 2,7925 2,4053 2,1606 1,9894 1,8617 1,7619

49 5,6147 3,5425 2,8074 2,4181 2,1721 2,0000 1,8716 1,7712

50 5,6439 3,5609 2,8219 2,4307 2,1833 2,0104 1,8813 1,7804

51 5,6724 3,5789 2,8362 2,4430 2,1944 2,0206 1,8908 1,7895

52 5,7004 3,5966 2,8502 2,4550 2,2052 2,0305 1,9001 1,7983

53 5,7279 3,6139 2,8640 2,4669 2,2159 2,0403 1,9093 1,8070

54 5,7549 3,6309 2,8774 2,4785 2,2263 2,0499 1,9183 1,8155

55 5,7814 3,6476 2,8907 2,4899 2,2365 2,0594 1,9271 1,8238

56 5,8074 3,6640 2,9037 2,5011 2,2466 2,0686 1,9358 1,8320

57 5,8329 3,6801 2,9164 2,5121 2,2565 2,0777 1,9443 1,8401

58 5,8580 3,6960 2,9290 2,5229 2,2662 2,0867 1,9527 1,8480

59 5,8826 3,7115 2,9413 2,5335 2,2757 2,0954 1,9609 1,8558

60 5,9069 3,7268 2,9534 2,5440 2,2851 2,1041 1,9690 1,8634

61 5,9307 3,7419 2,9654 2,5542 2,2943 2,1126 1,9769 1,8709

9

62 5,9542 3,7567 2,9771 2,5643 2,3034 2,1209 1,9847 1,8783

63 5,9773 3,7712 2,9886 2,5743 2,3123 2,1292 1,9924 1,8856

64 6,0000 3,7856 3,0000 2,5841 2,3211 2,1372 2,0000 1,8928

65 6,0224 3,7997 3,0112 2,5937 2,3298 2,1452 2,0075 1,8998

66 6,0444 3,8136 3,0222 2,6032 2,3383 2,1531 2,0148 1,9068

67 6,0661 3,8273 3,0330 2,6125 2,3467 2,1608 2,0220 1,9136

68 6,0875 3,8408 3,0437 2,6217 2,3550 2,1684 2,0292 1,9204

69 6,1085 3,8540 3,0543 2,6308 2,3631 2,1759 2,0362 1,9270

70 6,1293 3,8671 3,0646 2,6397 2,3711 2,1833 2,0431 1,9336

71 6,1497 3,8801 3,0749 2,6486 2,3790 2,1906 2,0499 1,9400

72 6,1699 3,8928 3,0850 2,6572 2,3869 2,1978 2,0566 1,9464

73 6,1898 3,9053 3,0949 2,6658 2,3946 2,2049 2,0633 1,9527

74 6,2095 3,9177 3,1047 2,6743 2,4021 2,2119 2,0698 1,9589

75 6,2288 3,9299 3,1144 2,6826 2,4096 2,2187 2,0763 1,9650

76 6,2479 3,9420 3,1240 2,6908 2,4170 2,2256 2,0826 1,9710

77 6,2668 3,9539 3,1334 2,6990 2,4243 2,2323 2,0889 1,9770

78 6,2854 3,9656 3,1427 2,7070 2,4315 2,2389 2,0951 1,9828

79 6,3038 3,9772 3,1519 2,7149 2,4386 2,2455 2,1013 1,9886

80 6,3219 3,9887 3,1610 2,7227 2,4457 2,2519 2,1073 1,9943

81 6,3399 4,0000 3,1699 2,7304 2,4526 2,2583 2,1133 2,0000

82 6,3576 4,0112 3,1788 2,7380 2,4594 2,2646 2,1192 2,0056

83 6,3750 4,0222 3,1875 2,7456 2,4662 2,2708 2,1250 2,0111

84 6,3923 4,0331 3,1962 2,7530 2,4729 2,2770 2,1308 2,0166

85 6,4094 4,0439 3,2047 2,7604 2,4795 2,2831 2,1365 2,0219

86 6,4263 4,0545 3,2131 2,7676 2,4860 2,2891 2,1421 2,0273

87 6,4429 4,0650 3,2215 2,7748 2,4925 2,2950 2,1476 2,0325

88 6,4594 4,0754 3,2297 2,7819 2,4988 2,3009 2,1531 2,0377

89 6,4757 4,0857 3,2379 2,7889 2,5052 2,3067 2,1586 2,0429

90 6,4919 4,0959 3,2459 2,7959 2,5114 2,3124 2,1640 2,0480

91 6,5078 4,1060 3,2539 2,8028 2,5176 2,3181 2,1693 2,0530

92 6,5236 4,1159 3,2618 2,8095 2,5237 2,3237 2,1745 2,0580

93 6,5392 4,1257 3,2696 2,8163 2,5297 2,3293 2,1797 2,0629

94 6,5546 4,1355 3,2773 2,8229 2,5357 2,3348 2,1849 2,0677

95 6,5699 4,1451 3,2849 2,8295 2,5416 2,3402 2,1900 2,0726

96 6,5850 4,1546 3,2925 2,8360 2,5474 2,3456 2,1950 2,0773

97 6,5999 4,1641 3,3000 2,8424 2,5532 2,3509 2,2000 2,0820

98 6,6147 4,1734 3,3074 2,8488 2,5589 2,3562 2,2049 2,0867

99 6,6294 4,1827 3,3147 2,8551 2,5646 2,3614 2,2098 2,0913

nº Base 10 nº Base 10 nº Base 10

1 0 34 1,531479 67 1,826075

2 0,30103 35 1,544068 68 1,832509

3 0,477121 36 1,556303 69 1,838849

4 0,60206 37 1,568202 70 1,845098

10

5 0,69897 38 1,579784 71 1,851258

6 0,778151 39 1,591065 72 1,857332

7 0,845098 40 1,60206 73 1,863323

8 0,90309 41 1,612784 74 1,869232

9 0,954243 42 1,623249 75 1,875061

10 1 43 1,633468 76 1,880814

11 1,041393 44 1,643453 77 1,886491

12 1,079181 45 1,653213 78 1,892095

13 1,113943 46 1,662758 79 1,897627

14 1,146128 47 1,672098 80 1,90309

15 1,176091 48 1,681241 81 1,908485

16 1,20412 49 1,690196 82 1,913814

17 1,230449 50 1,69897 83 1,919078

18 1,255273 51 1,70757 84 1,924279

19 1,278754 52 1,716003 85 1,929419

20 1,30103 53 1,724276 86 1,934498

21 1,322219 54 1,732394 87 1,939519

22 1,342423 55 1,740363 88 1,944483

23 1,361728 56 1,748188 89 1,94939

24 1,380211 57 1,755875 90 1,954243

25 1,39794 58 1,763428 91 1,959041

26 1,414973 59 1,770852 92 1,963788

27 1,431364 60 1,778151 93 1,968483

28 1,447158 61 1,78533 94 1,973128

29 1,462398 62 1,792392 95 1,977724

30 1,477121 63 1,799341 96 1,982271

31 1,491362 64 1,80618 97 1,986772

32 1,50515 65 1,812913 98 1,991226

33 1,518514 66 1,819544 99 1,995635

Situação inicial: Como resolver esse tipo de problema?

210 x

Agora sabemos que xx 2log210 . Olhando na tabela: log 2 = 0,30103.

Propriedade dos Logaritmos Da definição, decorre imediatamente que para números reais positivos, a e b, com b≠1:

L.1. 1log bb

Exemplos: 110log , 12log2 , 13log3 , 15log5

L.2. 01log b

Exemplos: 01log2 , log 1 = 0, 01log5 , 01log3

1

11

L.3. caca bb loglog

Exemplos: 16log16log 22 cc

L.4. aya b

y

b log.log , ( y , com y IR)

Exemplos:

1) Ida: 2

532log2log 4

5

4

Volta: 2

5

2

1.52log.52log 4

5

4

2) Ida: 2

327log3log 9

3

9

Volta: 2

3

2

1.33log.33log 9

3

9

3) 585,17925,0.23log.23log 4

2

4

4) 2175,87425,1.546log.546log 9

5

9

5) Sabendo-se que 3log ab , calcular 5log ab .

153.5log5log 5 aa bb .

L.5. yb y

b log

Exemplos:

1) 31.33log.33log27log 3

3

33 .

2) 2

51.

2

52log.

2

52log2log32log 2

2

5

2

5

22

L.6. abab

log

aa bb loglog

Exemplos:

1) 125log55 = 125

2) 2log77 = 2

3) Calcular o valor da expressão:

2log4 5

5

1655516log2log2log4 5

455

4) Calcular o valor da expressão: 1,0log210

01,0101010 01.0log1,0log1,0log22

5) Calcular o valor da expressão: 1log6log3 86

5log3 E .

E = 5 + 1 – 0 = 6

L.7. caac bbb logloglog

Exemplos:

1) Ida: 32log8log)2.4(log 3

222

Volta: 31212log2log4log)2.4(log 2

2222

12

2) Ida: 778125log)125.625(log 55

Volta: 7345log5log125log625log)125.625(log 3

5

4

5555

3) Ida: 1293,535log)5.7(log 22

Volta: 1293,53219,28074,25log7log)5.7(log 222

4) Sabendo-se que 898,05log6 e 386,02log6 , calcular 10log6 .

284,1898,0386,05log2log)5.2(log10log 6666

OBS: )(log cab não existe propriedade específica.

Exemplo: )24(log 2 = 6log 2

L.8. cac

abbb logloglog

Exemplos:

1) Ida: 22log4log2

8log 2

222

Volta: 21312log2log8log2

8log 3

2222

2) Ida: 15log125

625log 52

Volta: 1345log5log125log625log125

625log 3

5

4

5552

3) Ida: ...)666,1log(3

5log Não tem na tabela.

Volta: 221849,0477121,069897,03log5log3

5log

4) Ida: )6,0log(5

3log Não tem na tabela.

Volta: 221849,069897,0477121,05log3log5

3log

5) Sabendo-se que 898,05log6 e 386,02log6 , calcular:

a) 5,2log6

512,0386,0898,02log5log2

5log5,2log 6666

b) 4,0log6

512,0898,0386,05log2log5

2log4,0log 6666

OBS: )(log cab não existe propriedade específica.

Exemplo: )39(log3 = 6log3

13

L.9. Mudança de base: b

aa

k

kb

log

loglog , ( k , com k IR *

, e k ≠ 1)

Exemplos:

1) Ida: 6

532log 64

Volta: 6

5

2log

2log

64log

32log32log

6

2

5

2

2

2

64

2) Ida: 2

1

4

29log

2:

2:81

Volta: 2

1

4

2

3log

3log

81log

9log9log

2:

2:4

3

2

3

3

3

81

3) Sabendo-se que 898,05log6 e 386,02log6 , calcular:

a) 5log2

5log2 =32,2

386,0

898,0

2log

5log

6

6

b) 2log5 =43,0

898,0

386,0

5log

2log

6

6

Exercícios:

1) SAERJ – 1° BIM – 2012 (2° ANO)

2) (SAERJ-2014) Qual é o valor de log3 9 √ ?

A) 2 √ B) 9 C) 5 D) 7 E) 1 2 2

3) (SAERJ-2014) Qual é o valor da expressão log2 16 – log2 4 + log2 2? A) 1

B) 2

C) 3

D) 10

E) 11

4) (SAERJ-2013) André observou no enunciado de um exercício que os valores

aproximados dos logaritmos de 2 e 3 na base 10 são, respectivamente, log 2 ≅ 0,30 e log 3 ≅ 0,48. Porém, na resolução desse exercício, André precisou fazer uso do valor de log 6. André encontrou corretamente esse valor e finalizou a resolução do exercício. O valor encontrado por André para log 6 foi A) 0,144

B) 0,780

C) 0,810

D) 0,900

E) 1,080

14

5) SAERJ – 1º BIM – 2011 (2º ANO)

6) SAERJ – 1º BIM – 2012 (2° ANO)

7) SAERJ – 2° BIM – 2012 (2° ANO)

8) (SAERJ-2013) Qual é o valor aproximado do log 27? A) 0,11 B) 1,44 C) 2,52 D) 3,48 E) 4,32 Considere: log 3 = 0,48 9) (SAERJ-2014) Se log3 = 0,4 e log7 = 0,8 , o valor aproximado de log189 é A) 3,6 B) 2,0 C) 0,96 D) 0,864 E) 0,0512 10) (SAERJ-2013) Qual é o valor aproximado do log 21? A) 0,36 B) 0,40 C) 1,32 D) 2,52 E) 3,36Considere: log 3 = 0,48 e log 7 = 0,84 11) (SAERJ-2013) A expressão log2 6 + 2log2 5, equivale a A) log2 16 B) log2 22 C) log2 75 D) log2 150 E) log2 900 12) SAERJ – 1° BIM – 2012 (2° ANO)

13) (SAERJ-2013) Qual é o valor aproximado do log 12? A) 0,69 B) 1,08 C) 1,30 D) 1,80 E) 4,60 Considere: log 2 = 0,30 e log 24 = 1,38

15

14) SAERJ – 1° BIM – 2012 (2° ANO)

15) (SAERJ-2013) Qual é o valor aproximado do log5 11? A) 0,34 B) 0,67 C) 0,73 D) 1,48 E) 1,74 Considere: log 5 = 0,70 e log 11 = 1,0

16) Sabendo-se que 464,15log3 , calcule:

a) 25log3

b) 125log3

c) 5

1log 3

17) Calcule o valor de:a)

3log5

5

b)

3log5

25

18) Resolva a expressão: 5log3log10

27534 949log1log

19) Sabendo-se que 9log ab , calcule 6log ab .

20) Sabendo-se que 8log 2 ab e que a > 0, calcule 3log ab .

21) Sabendo-se que 9log ab , calcule 3log ab .

16