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Hewlett-Packard Ano 2016 LOGARITMO Aulas 01 a 08 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

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Hewlett-Packard

Ano 2016

LOGARITMO Aulas 01 a 08

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

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Sumário LOGARITMO ............................................................................................................................................................ 2

PRELIMINAR 1 ......................................................................................................................................................... 2

LOGARITMO ............................................................................................................................................................ 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2

CONSEQUÊNCIAS .................................................................................................................................................... 2

CONSEQUÊNCIAS .................................................................................................................................................... 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS ................................................................................................................................ 3

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS ................................................................................................................................ 3

PRODUTO ............................................................................................................................................................ 3

DIVISÃO ............................................................................................................................................................... 3

POTENCIAÇÃO ..................................................................................................................................................... 3

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3

MUDANÇA DE BASE ................................................................................................................................................ 4

MUDANÇA DE BASE ................................................................................................................................................ 4

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4

CONSEQUÊNCIAS .................................................................................................................................................... 4

EQUAÇÃO LOGARÍTMICA ........................................................................................................................................ 4

EQUAÇÃO LOGARÍTMICA ........................................................................................................................................ 4

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4

EXTRA .................................................................................................................................................................. 5

GABARITO ........................................................................................................................................................... 5

EXTRA .................................................................................................................................................................. 5

Função Logarítmica ................................................................................................................................................. 5

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5

O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO LOGARÍTMICA ......................................................................................................... 5

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 6

DOMÍNIO ................................................................................................................................................................. 6

DOMÍNIO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA .................................................................................................................... 6

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 6

GRÁFICOS POR TRANSLAÇÃO.................................................................................................................................. 6

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 7

INEQUAÇÃO ............................................................................................................................................................ 7

INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA .................................................................................................................................... 7

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 8

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Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1

EXTRA .................................................................................................................................................................. 8

GABARITO ........................................................................................................................................................... 8

EXTRA .................................................................................................................................................................. 8

CAIU NO VEST ..................................................................................................................................................... 8

QUESTÕES EXTRAS .............................................................................................................................................. 9

GABARITO ......................................................................................................................................................... 11

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ............................................................................................................................ 11

CAIU NO VEST ................................................................................................................................................... 11

QUESTÕES EXTRAS ............................................................................................................................................ 11

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Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2

AULA 01

LOGARITMO PRELIMINAR 1 A população de uma bactéria dobra a cada hora. Qual

é o tempo necessário para que a população

octuplique?

2𝑥 = 8 ⇔ 2𝑥 = 23 ⇔ 𝑥 = 3

Observe que no problema estamos em busca do valor

do expoente 𝑥. Vamos criar um operador que irá

facilitar esse tipo de conta.

LOGARITMO Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+

∗ e 𝑎 ≠ 1.

O logaritmo de 𝒃 na base 𝒂 é o expoente 𝒙 que deve se

elevar 𝑎 para se obter 𝑏, ou seja

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 = 𝒙 ⇔ 𝒂𝒙 = 𝒃

• 𝒂: base do logaritmo

• 𝒃: logaritmando

• 𝒙: logaritmo

Exemplo 1.1: Na expressão log2 8 = 3, temos que:

• 2 é a base

• 8 é o logaritmando

• 3 é o logaritmo.

Exemplo 1.2: Abaixo estão calculados alguns

logaritmos, lembre-se que o logaritmo é a busca pelo

expoente.

log2 8 = 3

log3 9 = 2

log5

1

25= −2

Note que no exemplo acima foi possível determinar o

valor dos logaritmos sem elaborar a conta. Porém, na

maioria dos casos vamos utilizar a definição e resolver

a equação exponencial.

Exemplo 1.3:

log0,5 0,25 = 𝑥 ⇔ 0,5𝑥 = 0,25 ⇔ (1

2)

𝑥

= (1

2)

2

⇔ 𝑥 = 2

Portanto,

log0,5 0,25 = 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Calcule o valor dos seguintes logaritmos.

a) log2 16

b) log3 81

c) log 100000

d) log4 128

e) log36 √6

f) log0,2 √253

g) log 0,01

Obs.1: A notação log 𝑎 denota o logaritmo na base

10, ou seja, log 𝑎 = log10 𝑎.

1.2. Sabendo que log 𝑎 = 2 e log 𝑏 = −1, calcule

a) log𝑏 𝑎

b) log𝑎 𝑏2

c) log 𝑎 ∙ 𝑏

AULA 02

CONSEQUÊNCIAS Da definição de logaritmo, seguem algumas

consequências diretas que simplificam a resolução de

alguns logaritmos.

CONSEQUÊNCIAS Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+

∗ e 𝑎 ≠ 1.

I. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝟏 = 𝟎.

II. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒂 = 𝟏.

III. 𝒂𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 = 𝒃

IV. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒄 ⇔ 𝒃 = 𝒄

Obs.2: As consequências 𝑖) a 𝑖𝑣) são propriedades que

devem ser utilizadas para facilitar e encurtar a

resolução de exercícios.

Tarefa 1: Ler páginas 1 a 4 e fazer os PSA 1 a 4.

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EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1. Demonstre as consequências.

2.2. Calcule:

a) 4log4 2

b) 51−log5 4

c) 8log2 27

d) 𝑒ln 3

e) 5 log25 7

Obs.3: A notação ln 𝑎, denota log𝑒 𝑎, onde 𝑒 é o

número de Euler e este logaritmo é chamado de

logaritmo natural ou neperiano.

AULA 03

PROPRIEDADES

OPERATÓRIAS PROPRIEDADES OPERATÓRIAS Vamos agora estudar as propriedades operatórias que

envolvem o logaritmo. Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ+∗ , 𝑎 ≠ 1 e 𝑟 ∈

ℝ.

PRODUTO

𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒃 ∙ 𝒄) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 + 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒄

Exemplo 3.1:

log2(4 ∙ 8) = log2 4 + log2 8 = 2 + 3 = 5

Obs.4: ATENÇÃO! log𝑎(𝑏 + 𝑐) ≠ log𝑎 𝑏 ∙ log𝑎 𝑐, ou

seja produto “dentro” vira soma “fora”, mas soma

“dentro” não vira produto “fora”.

DIVISÃO

𝐥𝐨𝐠𝒂 (𝒃

𝒄) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 − 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒄

Exemplo 3.2:

log2

4

8 = log2 4 − log2 8 = 2 − 3 = −1

Obs.5: ATENÇÃO! log𝑎 𝑏 − 𝑐 ≠log𝑎 𝑏

log𝑎 𝑐, ou seja divisão

“dentro” vira subtração “fora”, mas subtração

“dentro” não vira divisão “fora”.

POTENCIAÇÃO

𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒃𝒓) = 𝒓 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃

Exemplo 3.3:

log2 48 = 8 ∙ log2 4 = 8 ∙ 2 = 16

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1. Demonstre as propriedades operatórias.

3.2. Sabendo que log 2 = 𝑎 e log 3 = 𝑏, calcule em

função de 𝑎 e 𝑏:

a) log 6

b) log 1,5

c) log 5

d) log 72

e) log √1,83

f) log 0,75

3.3. Sabendo que log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, calcule o

valor de:

a) log 72

b) log1

18

c) log √24

d) log √243

e) log 0,06

f) log 48

g) log 125

Tarefa 2: PSA 5, 8, 9, 10, 11, 12.

DESAFIO: PSA 13

Propriedades operatórias

Em grande parte das questões em que se utilizam as

propriedades operatórias será dado no enunciado

alguns valores de logaritmos. Procure reescrever os

valores solicitados utilizando produto, divisão e

potências dos valores conhecidos. Por exemplo, se o

enunciado dá os valores de log 2 = 𝑎 e log 3 = 𝑏 e

solicita log 6, reescreva:

log 6 = log(3 ∙ 2) = log 3 + log 2 = 𝑎 + 𝑏

FIXAÇÃO: PSA 6, 7

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AULA 04

MUDANÇA DE BASE MUDANÇA DE BASE Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ+

∗ , 𝑎 ≠ 1 e 𝑐 ≠ 1, temos que:

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 =𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒃

𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒂

Exemplo 4.1:

• log2 3 =log5 3

log5 2.

• log2 3 =log 3

log 2.

• log2 3 =ln 3

ln 2.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1. Sabendo que log 2 = 0,3, log 3 = 0,48 e log 5 =

0,7, calcule o valor de:

a) log3 2

b) log5 3

c) log2 5

d) log3 100

CONSEQUÊNCIAS Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+

∗ e 𝑎 ≠ 1.

I. 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 =𝟏

𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂.

II. 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒓 𝒃 =𝟏

𝒓∙ 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃.

4.2. Demonstre as consequências acima.

AULA 05

EQUAÇÃO

LOGARÍTMICA EQUAÇÃO LOGARÍTMICA Temos dois principais tipos de equações logarítmicas:

1º) Equações redutíveis a uma igualdade entre dois

logaritmos de uma mesma base.

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒈(𝒙) ⇔ 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) > 0

Exemplo 5.1:

log4(𝑥 − 1) = log4(2𝑥 − 3) ⇔ 𝑥 − 1 = 2𝑥 − 3 > 0

𝑥 − 1 = 2𝑥 − 3 ⇔ 𝑥 = 2

Verificando,

𝑥 = 2 ⇒ 𝑥 − 1 = 1 e 2𝑥 − 3 = 1.

Logo,

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) = 1 > 0.

2º) Equações redutíveis a uma igualdade entre um

logaritmo e número real.

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) = 𝒓 ⇔ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒓

Exemplo 5.2:

log2(𝑥 − 3) = 4 ⇔ 𝑥 − 3 = 16 ⇔ 𝑥 = 19

Obs.5: Ao resolver equações logarítmicas, devemos

verificar as condições de existências, por isso exigimos

que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) > 0.

Obs.6: Em algumas questões será necessário utilizar

mudança de base e propriedades operatórias.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5.1. Resolva em ℝ, as seguintes equações.

a) log5(𝑥 + 4) = log5 7

b) log2(4𝑥 + 5) = log2(2𝑥 − 11)

c) log(5𝑥2 − 6𝑥 + 16) = log(4𝑥2 + 4𝑥 − 5)

Tarefa 3: No capitulo de “Equação e propriedades”

ler páginas 1 a 3 e fazer os PSA 1 a 11, 13, 14, 16 e

19. DESAFIO: 17

Quando e por que mudar a base?

Como já vimos em propriedades operatórias o

enunciado de algumas questões dão os valores de

certos logaritmos. Uma das principais utilidades da

mudança de base é para ajustar a base do logaritmo

que se deseja calcular com a base dada no enunciado.

A questão 4.1 exemplifica bem está situação.

Tarefa 4: No capitulo de “Equação e propriedades”

ler páginas 1 a 4 e fazer os PSA 20, 21, 22 e 23

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d) log2(𝑥 − 2) + log2 𝑥 = 3

e) log4(𝑥 + 3) = 2

f) log49(7𝑥) = log𝑥 7

DESAFIO: (𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙)𝟐 − 𝟏𝟓 = 𝟐 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙.

EXTRA 1. Resolva, em ℝ, as equações logarítmicas a seguir.

a) 24 4log 5 log 6x x

b) 4log 4 13 2

xx

c) 2

3 3log 6 log 9 0x x

d) 2 2log 2 log 2 5x x

e) 3 3 3log 1 log 2 1 log 3 3x x x

f) 25

3log 5 log

2x x

GABARITO

EXTRA 1.1. a) 3 e 2 b) ∅ c) 27 d) 6 e) 10 e 4 f) 5 e 25

AULA 06

Função Logarítmica Uma função 𝑓: ℝ+

∗ → ℝ é denominada função

logarítmica de base a se sua lei, 𝑓(𝑥), puder ser

escrita como 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥, com 𝑎 ∈ ℝ+∗ e 𝑎 ≠ 1.

Exemplos:

1) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = log2 𝑥 3) 𝑦 = 𝑔(𝑥) = ln 𝑥

2) 𝑦 = ℎ(𝑥) = log1

3

𝑥

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 6.1. Dada a função 𝑓: ℝ+

∗ → ℝ; 𝑓(𝑥) = log5 𝑥,

determine:

a) 𝑓(125).

b) 𝑓(−5).

c) 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓); 𝑓(𝑥) = −1.

O GRÁFICO DE UMA

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Vamos começar o estudo do gráfico de uma função

logarítmica por meio de dois exemplos:

Exemplo 1

Gráfico de 𝒇: ℝ+∗ → ℝ 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙.

Para construir o gráfico de f escolhemos alguns

valores para x e, em seguida, descobrimos os valores

de 𝑦 = 𝑓(𝑥) correspondentes. Veja os pares

ordenados obtidos, na tabela a seguir.

x 𝑦 = 𝑓(𝑥) (𝑥; 𝑦) 1

4

-2 𝐴 (

1

4 ; −2)

1

2 -1

𝐵 (1

2; −1)

1 0 𝐶(1; 0)

2 1 𝐷(2; 1) 4 2 𝐸(4; 2)

Marcando os pontos da última coluna da

tabela em um plano cartesiano, pudemos construir o

seguinte gráfico:

Obs.1: Repare que 𝑥 > 0. Por isso, o gráfico de f nunca

irá tocar o eixo das ordenadas, por mais que ele se

aproxime deste. Quando isso ocorre com uma curva,

dizemos que ela é assintótica ao eixo das ordenadas.

Exemplo 2

Gráfico de 𝒈: ℝ → ℝ , 𝒄𝒐𝒎 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟏

𝟐

𝒙.

Para construir o gráfico de g escolhemos alguns

valores para x e, em seguida, descobrimos os valores

de 𝑦 = 𝑔(𝑥) correspondentes. Veja os pares

ordenados obtidos, na tabela a seguir.

x 𝑦 = 𝑔(𝑥) (𝑥; 𝑦) 1

4

2 𝐴 (

1

4 ; 2)

1

2

1 𝐵 (

1

2; 1)

Tarefa 5: No capitulo de “Equação e propriedades”

fazer os PSA 12 e 18.

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1 0 𝐶(1; 0) 2 -1 𝐷(2; −1) 4 -2 𝐸(4; −2)

Marcando os pontos da última coluna da

tabela em um plano cartesiano, pudemos construir o

seguinte gráfico:

De um modo geral, o gráfico de uma função logarítmica

f, tal que 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥, com 𝑎 ∈ ℝ+∗ e 𝑎 ≠ 1,

apresentará algumas características. São elas:

𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙

0 < 𝒂 < 1 𝒂 > 1 Decrescente Crescente

Passa pelo ponto (1, 0) Passa pelo ponto (1, 0)

Assintótica ao eixo das ordenadas

Assintótica ao eixo das ordenadas

I. Todo o gráfico estará à direita do eixo das

ordenadas, devido à condição de existência do

logaritmo.

II. O gráfico sempre passa pelo ponto (1, 0), pois

log𝑎 1 = 0 para todo 𝑎 ∈ ℝ+∗ , 𝑎 ≠ 1.

III. Se 𝒂 > 1, então o gráfico será crescente e se

0 < 𝒂 < 1, então o gráfico será decrescente.

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 6.2. Construa em um mesmo sistema de eixos

perpendiculares 𝑥𝑂𝑦, o gráfico de cada função

exponencial a seguir.

a) 𝑓: ℝ+∗ → ℝ; 𝑓(𝑥) = 2𝑥

b) 𝑔: ℝ+∗ → ℝ; 𝑔(𝑥) = log2 𝑥

Obs.2: Perceba que o gráfico da função logarítmica é

uma reflexão do gráfico da função exponencial de

mesma base através da reta 𝑦 = 𝑥.

AULA 07

DOMÍNIO DOMÍNIO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Primeiramente, vamos lembrar que um logaritmo

possui algumas condições de existência:

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 existe se, e somente se, {𝒃 ∈ ℝ+

𝒂 ∈ ℝ+∗ 𝒆 𝒂 ≠ 𝟏

O domínio de uma função logarítmica é determinado

pelas suas condições de existência

Exemplo 7.1:

Dada a função 𝑓: 𝐴 → ℝ ; 𝑓(𝑥) = log3(𝑥 − 5), temos

que o maior domínio possível para a função, ou seja, o

maior conjunto 𝐴 é determinado pela condição de

existência:

𝑥 − 5 > 0 ⇒ 𝑥 > 5.

Assim,

𝐴 = { 𝑥 ∈ ℝ |𝑥 > 5}.

Obs.1: Lembre-se que quando uma questão solicitar o

domínio, ela deseja saber o maior possível.

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 7.1. Estabeleça o domínio de cada uma das funções

cuja a lei é dada por:

a) 𝑔(𝑥) = log5(𝑥 − 1).

b) ℎ(𝑥) = log𝑥−1(3 − 𝑥).

c) 𝑓(𝑥) = log4(𝑥2 − 9) .

GRÁFICOS POR TRANSLAÇÃO Assim como ocorre no estudo de funções exponenciais,

podemos estender a função logarítmica para uma caso

mais geral, cuja lei é uma expressão do tipo 𝑓(𝑥) =

𝑏 + log𝑎(𝑥 − 𝑐). Os valores de 𝑏 e 𝑐 fazem

movimentos de translação vertical e horizontal,

respectivamente.

Exemplo 7.2:

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Vamos construir em um mesmo plano cartesiano 𝑥𝑂𝑦

o gráfico das funções 𝑔: 𝐴 → ℝ; 𝑔(𝑥) = 2 + log2 𝑥 e

𝑓: 𝐴 → ℝ; 𝑓(𝑥) = log2 𝑥

Observe que, o gráfico da função 𝑔 é uma translação

vertical em duas unidades do gráfico da função 𝑓.

De um modo geral, o gráfico de uma função 𝑓: ℝ+∗ →

ℝ ; 𝑓(𝑥) = 𝐵 + log𝑎 𝑥, com 𝑎 ∈ ℝ+∗ e 𝑎 ≠ 1, será a

translação do gráfico da função 𝑔(𝑥) = log𝑎 𝑥 em:

• B unidades para cima, se 𝑩 > 0,

• |𝑩| unidades para baixo, se 𝑩 < 0.

Exemplo 7.3:

Vamos construir em um mesmo plano cartesiano 𝑥𝑂𝑦

o gráfico das funções 𝑔: 𝐴 → ℝ; 𝑓(𝑥) = log2(𝑥 + 2) e

𝑓: 𝐵 → ℝ; 𝑓(𝑥) = log2 𝑥

Observe que, o gráfico da função 𝑔 é uma translação

horizontal em duas unidades do gráfico da função 𝑓.

Mais do que isso, a assíntota de 𝑔 é a reta 𝑥 = −2.

De um modo geral, o gráfico de uma função 𝑓: 𝐴 →

ℝ ; 𝑓(𝑥) = log𝑎(𝑥 − 𝑐), com 𝑎 ∈ ℝ+∗ e 𝑎 ≠ 1, será a

translação do gráfico da função 𝑔(𝑥) = log𝑎 𝑥 em:

• 𝒄 unidades para direita, se 𝑪 > 0,

• 𝒄 unidades par a esquerda, se 𝑪 < 0.

Obs.2: O movimento de translação vertical do caso

log𝑎(𝑥 − 𝑐) ocorre devido ao domínio da função:

𝑥 − 𝑐 > 0 ⇒ 𝑥 > 𝑐

Obs.3: No caso 𝑓: 𝐴 → ℝ ; 𝑓(𝑥) = log𝑎(𝑥 − 𝑐), a

assíntota é a reta 𝑥 = 𝑐.

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 7.2. (UNICAMP – 2014) A altura (em metros) de um

arbusto em uma dada fase de seu crescimento pode

ser expressa pela função ℎ(𝑡) = 0,5 + log3(𝑡 + 1),

onde o tempo 𝑡 ≥ 0 é dado em anos:

a) Qual o tempo necessário para que a altura aumente

de 0,5𝑚 para 1,5m.

b) Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase de

desenvolvimento, tem sua altura expressa pela função

composta 𝑔(𝑡) = ℎ(3𝑡 + 2). Determine 𝑔(𝑡) − ℎ(𝑡).

AULA 08

INEQUAÇÃO INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA Assim como ocorre no estudo de inequações

exponenciais, as inequações logarítmicas são

determinadas de acordo com crescimento das funções

que as representam. Então, lembremos que:

𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙

0 < 𝒂 < 1 𝒂 > 1 Decrescente Crescente

Passa pelo ponto (1, 0) Passa pelo ponto (1, 0)

Assintótica ao eixo das ordenadas

Assintótica ao eixo das ordenadas

Tarefa 5: No capitulo de “Função logarítmica” fazer

os PSA 1, 3, 4, 7, 8 e os TSC 4, 5, 7

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Assim, satisfeita a condição de existência, 𝑥 > 0, temos

os seguintes casos:

• Se 𝒂 > 1, então

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙𝟏 < 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙𝟐 ⇔ 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐

• Se 0 < 𝒂 < 1, então

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙𝟏 < 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙𝟐 ⇔ 𝒙𝟏 > 𝒙𝟐

EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 8.1. Resolva, em ℝ, as inequações a seguir.

a) log2(𝑥 − 1) < log2 3

b) log1

3

𝑥 ≤ log1

3

2

c) log3 𝑥 > 2

d) log2(𝑥 − 1) + log2(𝑥 + 2) ≥ log2(−𝑥 + 13)

e) log0,1 𝑥 + log0,1(𝑥 − 2) < log0,1(𝑥 + 10)

EXTRA 1. Resolva, em ℝ, as inequações logarítmicas a seguir.

a) log4 𝑥 < 1

b) log2

5

𝑥 ≥ 1

c) log3(2𝑥 − 7) > log3 5

d) log0,3 𝑥 ≤ log0,3(−𝑥 + 3)

e) log2(𝑥 − 1) + log2(𝑥 + 2) ≥ log2(−𝑥 + 13)

f) log0,1 𝑥 + log0,1(𝑥 − 2) < log0,1(𝑥 + 10)

g) log32 𝑥 − 3 ≥ 2 log3 𝑥

h) log1

2

𝑥2 < log1

2

(𝑥 + 2)

GABARITO

EXTRA a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|0 < 𝑥 < 4}

b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|0 < 𝑥 ≤2

5}

c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 6}

d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|3

2≤ 𝑥 < 3}

e) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|3 ≤ 𝑥 ≤ 13}

f) 𝑆 + {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 5}

g) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|0 < 𝑥 ≤1

3𝑜𝑢 𝑥 ≥ 27}

h) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|−2 < 𝑥 < −2 𝑜𝑢 𝑥 > 2}

EXTRA CAIU NO VEST 1) UnB – 2015) Com relação aos logaritmos, julgue o

item abaixo.

1. Se a medida do lado de um quadrado for log3 𝑥

unidades de comprimento e se a diferença entre o

valor da área e o valor do perímetro desse

quadrado for igual a 5, então 𝑥 > 240.

2) (UnB – 2012) De acordo com o jornal The

Guardian, o investimento em energia renovável

vem crescendo maciçamente nos últimos anos. Em

2011, as cifras chegaram a 𝑈𝑆$ 252 bilhões,

acréscimo significativo em relação ao ano anterior.

Em comparação com 2009, o incremento foi de

mais de 40%. O investimento em energia

renovável, em bilhões de dólares pode ser obtido

para 𝑡 anos após 2009, a partir da expressão 𝐼(𝑡) =

175𝑒𝑘𝑡, em que 𝑘 > 0 é uma constante.

Com base nessas informações, julgue os itens a seguir,

assumindo 0,69; 1,1 e 1,61 como valores aproximados

de ln 2, ln 3 e ln 5, respectivamente.

1. Na expressão que representa o investimento

em energia renovável, a constante 𝑘 é igual a

0,18.

2. Os dados permitem estimar que, 2014, o

investimento em energia renovável será

superior a 𝑈𝑆$ 450 bilhões.

Como resolver inequações logarítmicas

O seguinte passo-a-passo facilita a resolução de

inequações logarítimicas:

1º) Reduza ambos os membros a uma base comum

2º) Avalie o valor da base (maior ou menor que 𝟏)

3º) Aplique a respectiva definição feita acima.

Note que para reduzir ambos os membros a uma base

comum, pode ser necessário fazer uso de alguns

artifícios. Por exemplo, 𝑏 = log𝑎 𝑎𝑏.

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3. Em 2011, o investimento em energia

renovável foi 44% maior que em 2009.

3) (UnB – 2014) A exposição prolongada dos

astronautas a fontes de radiações no espaço pode

ter efeitos no corpo humano e levar à morte.

Considere que uma fonte de radiação emita raios

com intensidade cada vez maior ao longo do

tempo. Considere, ainda que o valor da

intensidade – 𝑆(𝑡) - seja determinado, em 𝑚𝑆𝑣

(milisieverts), pela função 𝑆(𝑡) = 3400 − 3240×

3−𝑡

10, em que 𝑡, em horas, indica o momento em

que as mediações começaram a ser feitas, a partir

do instante 𝑡 = 0.

1. A intensidade de radiação igual a 2000 𝑚𝑆𝑣 é

atingida em 𝑡 = 40 − log3 3510.

2. Em algum momento, a intensidade de

radiação irá superar 4000 𝑚𝑆𝑣.

3. Vinte horas após o início da medição, a

intensidade da radiação será inferior a

3000 𝑚𝑆𝑣.

4) (ITA – 2011) Resolva a inequação 16 <

(1

4)

log15

𝑥2−𝑥+19 em ℝ.

4. (PAS – 2013) Em 1798, o economista britânico

Thomas Malthus formulou uma teoria populacional

que conduzia à previsão de um apocalipse de fome e

guerra, caso a população humana não parasse de

crescer. Segundo Malthus, a população cresceria em

progressão geométrica, enquanto nossa capacidade de

produzir alimentos cresceria só em progressão

aritmética. Logo, em um futuro próximo faltaria

comida para alimentar tanta gente.

Hoje, mais de dois séculos depois, a previsão não se

confirmou. A população não parou de crescer e

estamos todos, bem ou mal, vivos.

Considerando o texto e os dados da população mundial

e da produção de grãos no período de 100 anos, entre

1950 e 2050 apresentados na tabela acima, julgue os

itens.

1. Considere que a quantidade de pessoas no

mundo seja obtida, no ano 𝑡, por meio da

expressão 𝑄(𝑡) = 𝑚𝑒𝑘(𝑡−1950), a partir do ano

𝑡 = 1950. Nessa situação, tendo 0,88 e 1,76

como valores aproximados respectivamente

de ln 2,4 e ln 5,8, infere-se que a população

mundial prevista para 2050 será maior que a

estimada que consta na tabela.

5) (PAS – 2013) Considere que, em 2010, existiam

8,76 milhões de espécies e que, a partir desse ano,

o número de desaparecimento anula de espécies

seja dado pela expressão 𝑄(𝑡) = 54750𝑒𝑘𝑡, em

que 𝑡 representa a quantidade de anos decorridos

a partir de 2010. Nesse caso, usando 3,87 como

valor aproximado para ln (48), verifica-se que o

valor de 𝑘 é maior que 0,04.

6) (ENEM 2013) Em setembro de 1987, Goiânia foi

palco do maior acidente radioativo ocorrido no

Brasil, quando uma amostra de césio-137,

removida de um aparelho de radioterapia

abandonado, foi manipulada inadvertidamente

por parte da população. A meia-vida de um

material radioativo é o tempo necessário para que

a massa desse material se reduza à metade. A

meia-vida do césio 137 é de 30 anos e a quantidade

restante de massa de um material radioativo, após

𝑡 anos, é calculada pela expressão 𝑀(𝑡) = 𝐴 ∙

2,7𝑘𝑡, onde 𝐴 é a massa inicial e 𝑘 é uma constante

negativa. Considere log 2 = 0,3. Qual o tempo

necessário, em anos, para que uma quantidade de

massa do césio-137 se reduza a 10% da

quantidade inicial?

a) 27 b) 36 c) 50 d) 54 e) 100

QUESTÕES EXTRAS 1) O valor da expressão log√2 256 + log3 343 −

5log5 13 é igual a

(A) 0.

(B) 8.

(C) -44.

(D) 4.

(E) -4.

2) Dados log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, o valor de

log 0,24 é igual a

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(A) 1,38.

(B) 0,62.

(C) -0,62.

(D) -1,38.

(E) 1,24.

3) O conjunto-solução da equação log4(𝑥 − 3) −

log16(𝑥 − 3) = 1, em ℝ, é igual a

(A) {15}.

(B) {16}.

(C) {17}.

(D) {18}.

(E) {19}.

4) Numa experiência realiza em um laboratório, Alice

constatou que, decorridas 𝑡 horas, a população

𝑃(𝑡) de determinada bactéria cresce segundo a

sentença 𝑃(𝑡) = 25 ⋅ 2𝑡. Nessa experiência,

considerando log2 5 = 2,3, a população atingirá

625 bactérias em

(A) 283 minutos.

(B) 323 minutos.

(C) 276 minutos.

(D) 304 minutos.

(E) 360 minutos.

5) Quando aumentamos em 60% o valor de um

número real positivo 𝑏, seu logaritmo decimal

aumenta em 20%. Considerando log 2 = 0,3, é

correto afirmar que

(A) 𝑏 = 1.

(B) 𝑏 = 2.

(C) 𝑏 = 4.

(D) 𝑏 = 8.

(E) 𝑏 = 10.

6) O conjunto-solução da equação (log 𝑥)2 −

2 log 𝑥 + 1 = 0,em ℝ, é igual a

(A) {0}.

(B) {0; 1}.

(C) {1}.

(D) {10}.

(E) {100}.

7) Dada a função 𝑓: 𝐴 → ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = 𝑏 +

log3(𝑥 − 3), em que 𝑏 é uma constate real,

considere as afirmações a seguir.

I. É possível termos 𝐴 =] − 3; +∞[.

II. Se 𝐴 = [4; 15] e 𝑓(12) = 0, então 𝑏 = −2.

III. Se 𝑏 = −1, então 𝑓(𝑥) = 0 para 𝑥 ∈ 𝐴 e 𝑥 =10

3.

IV. Aplicando as propriedades de logaritmo, é

correto escrever 𝑓(𝑥) = 𝑏 + log3(𝑥) − 1.

Das afirmações acima, é(são) verdadeira(s)

A. Todas as afirmações.

B. Apenas I e II.

C. Apenas I.

D. Apenas II.

E. Apenas III e IV.

8) Os psicólogos criaram o que chamam de curva de

esquecimento, um modelo para avaliar a memória,

medindo quanto uma pessoa ainda se lembra do

que aprender de determinada matéria após certo

tempo. Os formandos de psicologia de uma

universidade fizeram uma prova no último ano de

curso, e a média da turma foi de 90 pontos.

Passados 𝑘 meses após a aplicação dessa prova, o

desempenho numa segunda prova, da mesma

disciplina, com o mesmo conteúdo e com o grau de

dificuldade equivalente, já não era o mesmo. A

média (𝑀) é dada pela sentença 𝑀(𝑘) = 90 −

60 ⋅ log(𝑘 + 1), 0 ≤ 𝑘 ≤ 30. Calcule o valor da

média desses alunos caso a segunda prova tenha

sido aplicada 4 meses após a primeira. (Admita

log 2 = 0,30).

9) O PIB – Produto Interno Bruto – de um país tem um

crescimento constante de 5% ao ano. Em 2002 o

PIB desse país foi igual a 100 milhões de dólares.

Determine em que ano o PIB desse país será igual

a 500 milhões de dólares. (Admita log 2 = 0,3 e

log 1,05 = 0,02.

10) Se log 2 = 𝑎 e log 3 = 𝑏, então log √72000 é igual

a

(A) 𝑎 − 2𝑏.

(B) 2𝑎 + 𝑏.

(C) 3𝑎−𝑏+2

2.

(D) 3𝑎+𝑏+3

2.

(E) 3⋅(1+𝑎)

2+ 𝑏.

11) Sejam 𝛼 e 𝛽 constantes reais positivas tais que

log 𝛼 = 0,5 e log 𝛽 = 0,7. O valore real de 𝑥 que

satisfaz a equação (𝛼𝛽

10)

𝑥= (𝛼𝛽)2 é igual a

(A) 24.

(B) 12.

(C) 10.

(D) 2,4.

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(E) 1,2.

12) A quantidade de elementos de uma espécie animal

diminui 10% a cada ano. Hoje, essa quantidade é

igual a 𝑃 elementos. Sendo 𝑡 o tempo, em anos,

contados a partir de hoje, determine 𝑡 para que a

população dessa espécie animal se reduza à

metade de 𝑃.

(Adote log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48).

13) Resolva, em ℝ, a equação 1

2⋅ log(𝑥 + 1) +

log100(𝑥 − 2) =1

2 e determine o seu conjunto-

solução.

GABARITO

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

1.2. a) 4 b) 4 c) 5 d) 7

2 e)

1

4 f) −

2

3 g) −2

1.3. a) −2 b) −1 c) 1

2.1. Demonstração

2.2. a) 12 b) 5

4 c) 39 d) 3 e) √7

3.1. Demonstração

3.2. a) 𝑎 + 𝑏 b) 𝑏 − 𝑎 c) 1 − 𝑎 d) 3𝑎 + 2𝑏 e) 1

3(2𝑏 +

𝑎 − 1) f) 𝑏 − 2𝑎

3.3. a) 1,86 b) −1,26 c) 0,69 d) 0,46 e) −1,22 f) 1,68 g)

2,1

4.1. a) 0,625 b) 24

35 c)

7

3 d)

25

6

4.2. Demonstração

5.1. a) 𝑆 = {3} b )𝑆 = ∅ c) 𝑆 = {3; 7} d) 𝑆 =

{4} e) 𝑆 = {13} f) 𝑆 = {7;1

49}

6.1. a) 3 b) não existe c) 1

5

6.2. Gráfico

7.1. a) 𝐷(𝑔) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 1}

b) 𝐷(ℎ) = {𝑥 ∈ ℝ|1 < 𝑥 < 3 𝑒 𝑥 ≠ 2}

c) 𝐷 (𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < −3 𝑜𝑢 𝑥 > 3}

7.2. a) 𝑡 = 2

b) 1

8.1. a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < 4} b) 𝑆 = {𝑥 ≥ 2}

c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 9} d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|3 ≤ 𝑥 < 13}

e) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ |𝑥 > 5}

CAIU NO VEST 1. C

2. CEC

3. CEE

4. 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < −2 𝑜𝑢 𝑥 > 3}

5. C

6. E

QUESTÕES EXTRAS 1. B

2. C

3. E

4. C

5. E

6. D

7. D

8. 48

9. 35

10. E

11. B

12. 7,5

13. 4