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Lógica Binária

ConteúdoPáginasLógica binária 1

Lógica binária 1Negação 3Conjunção lógica 3Álgebra booleana 5George Boole 7

ReferênciasFontes e Editores da Página 10Fontes, Licenças e Editores da Imagem 11

Licenças das páginasLicença 12

1

Lógica binária

Lógica bináriaA lógica binária, ou bitwise operation é a base de todo o cálculo computacional. Na verdade, são estas operaçõesmais básicas que constituem todo o poderio dos computadores. Qualquer operação, por mais complexa que pareça, étraduzida internamente pelo processador para estas operações.Operações

NOTO operador unário NOT, ou negação binária resulta no complemento do operando, ou seja, será um bit '1' se ooperando for '0', e será '0' caso contrário, conforme podemos confirmar pela tabela de verdade, onde A é o bit deentrada e S é o bit-resposta, ou bit de saida:

| A | S |

--+-----+-----+

| 0 | 1 |

--+-----+-----+

| 1 | 0 |

--+-----+-----+

ANDO operador binário AND, ou conjunção binária devolve um bit 1 sempre que ambos operandos sejam '1', conformepodemos confirmar pela tabela de verdade, onde A e B são bits de entrada e S é o bit-resposta, ou bit de saida:

| B | A | S |

+-----+-----+-----+

| 0 | 0 | 0 |

+-----+-----+-----+

| 0 | 1 | 0 |

+-----+-----+-----+

| 1 | 0 | 0 |

+-----+-----+-----+

| 1 | 1 | 1 |

+-----+-----+-----+

Lógica binária 2

ORO operador binário OR, ou disjunção binária devolve um bit 1 sempre que pelo menos um dos operandos seja '1',conforme podemos confirmar pela tabela de verdade, onde A e B são os bits de entrada e S é o bit-resposta, ou bit desaida:

| B | A | S |

+-----+-----+-----+

| 0 | 0 | 0 |

+-----+-----+-----+

| 0 | 1 | 1 |

+-----+-----+-----+

| 1 | 0 | 1 |

+-----+-----+-----+

| 1 | 1 | 1 |

+-----+-----+-----+

XORO operador binário XOR, ou disjunção binária exclusiva devolve um bit 1 sempre que apenas um dos operandos é'1', conforme podemos confirmar pela tabela de verdade:

| B | A | S |

+-----+-----+-----+

| 0 | 0 | 0 |

+-----+-----+-----+

| 1 | 0 | 1 |

+-----+-----+-----+

| 0 | 1 | 1 |

+-----+-----+-----+

| 1 | 1 | 0 |

+-----+-----+-----+

ShiftO operador unário de bit shifting, ou deslocamento bit-a-bit, equivale à multiplicação ou divisão por 2 do operandoque, ao contrário dos casos anteriores, é um grupo de bits, e consiste no deslocamento para a esquerda ou para adireita do grupo de bits. O bit inserido é sempre 0, e o bit eliminado pode ser opcionalmente utilizado (flag CF dosregistos do processador).

( 101011(43) >> 1 ) = 010101[1]

( 101011(43) << 1 ) = [1]010110

Ver também• Álgebra booleana

Negação 3

NegaçãoEm lógica e matemática, negação é uma operação sobre valores lógicos, por exemplo o valor lógico de umaproposição. Se a proposição é verdadeira, então o operador lógico negação produz o valor falso, e vice versa. Atabela de verdade para NÃO p (também grafado com ~p ou ¬p) é a seguinte:

Tabela de verdade da negação lógica

p ¬p

F V

V F

Em um sistema de lógica clássica, a negação dupla, isto é, a negação da negação de uma proposição p, é logicamenteequivalente à proposição inicial p. Todavia, em um sistema de lógica intuicionista tal equivalência não é aceita.Este é um símbolo originario do idioma tagalo, é usado para separar palavras de mesma forma, mas significadosdiferentes. Seu nome original é *hiwalay na* que traduzido para o português ficaria aproximadamente como*separador*, entretanto a Matemática usa esse símbolo como situação pré disposta em ocasiões lógicas de negação.

Conjunção lógicaConjunção ou operador "e" (também chamado pela denominação latina "et" ou pela denominação inglesa "and")é um operador lógico utilizado em lógica matemática. É intimamente relacionado à operação de interseção deconjuntos numéricos. É representada tecnicamente pelo símbolo ∧, em programação por & ou &&.

DefiniçãoA operação de conjunção lógica é relacionada à interseção de conjuntos. Uma ideia tem de ser verdadeira (igual a 1)em ambas as situações (conjuntos) para que o resultado seja verdadeiro. Em outras situações, o resultado será falso(igual a 0).

 a   b   ∧ 

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Segue a representação dessa operação no diagrama de Venn.

Conjunção lógica 4

Definição intuitivaA operação lógica da conjunção funciona da mesma forma que a conjunção "e". Suponham-se duas frases quaisquer:

"Está chovendo e estou dentro de casa."

Significa que as duas frases são simultaneamente verdadeiras: "está chovendo lá fora" e "eu estou dentro de casa".Passando para uma notação lógica, poderíamos dizer:

Intuitivamente, pode-se dizer que a frase resultante só será válida se as duas anteriores forem verdadeiras, docontrário, será falsa.A conjunção é um operador binário, significando que relaciona dois (ou mais) valores. A precedência desse operadoré da esquerda para a direita, o que significa que equivale a .

PropriedadesA conjunção lógica tem algumas propriedades. Destacam-se:• (comutativa)• (associativa)• (leis de De Morgan)••••• (distributiva em relação à disjunção lógica)

"E" e "mas"Um assunto da lógica e da linguagem menos comentado é a regra da palavra "mas". Logicamente, a sentença "estáchovendo, mas o sol está brilhando" é equivalente a "está chovendo e o sol está brilhando", então logicamente, "mas"é equivalente a "E". Entretanto, como demonstrato pela sentença prescedente, "mas" e "E" são semanticamentedistintos. A sentença anterior sugere que a última sentença é geralmente um contradição.Uma forma de resolver esse problema de correspondência entre a lógica simbólica e a linguagem natural é observarque a primeira sentença (que usa "mas"), implica a existência de uma suposição escondida mas confundida, saberque o sol não brilha quando chove. Essa implicação captura a diferença semântica "E" e "mas" sem se perturbar comsua equivalência lógica.

Ver também• Disjunção lógica

Álgebra booleana 5

Álgebra booleanaNa matemática e na ciência da computação, as álgebras booleanas (também conhecida como "Álgebra de Boole")são estruturas algébricas que "capturam a essência" das operações lógicas E, OU e NÃO, bem como das operaçõesda teoria de conjuntos soma, produto e complemento. Ela também é o fundamento da matemática computacional,baseada em números binários.Receberam o nome de George Boole, matemático inglês, que foi o primeiro a defini-las como parte de um sistema delógica em meados do século XIX. Mais especificamente, a álgebra booleana foi uma tentativa de utilizar técnicasalgébricas para lidar com expressões no cálculo proposicional. Hoje, as álgebras booleanas têm muitas aplicações naelectrônica. Foram pela primeira vez aplicadas a interruptores por Claude Shannon, no século XX.Os operadores da álgebra booleana podem ser representados de várias formas. É frequente serem simplesmenteescritos como E, OU ou NÃO (são mais comuns os seus equivalentes em inglês: AND, OR e NOT). Na descrição decircuitos também podem ser utilizados NAND (NOT AND), NOR (NOT OR) e XOR (OR exclusivo). Osmatemáticos usam com frequência + para OU e . para E (visto que sob alguns aspectos estas operações são análogasà adição e multiplicação noutras estruturas algébricas) e representam NÃO com uma linha traçada sobre a expressãoque está a ser negada.Aqui iremos usar outra notação comum, com ∧ (ou ^ para browsers que não suportam esse caracter) para E, ∨ (ou v)para OU, e ¬ (ou ~) para NÃO.

Definição e primeiras consequênciasUma álgebra booleana é um reticulado (lattice) (A, ∧, ∨) com as quatro propriedades adicionais que seguem:1. limitado inferiormente: Existe um elemento 0, tal que a ∨ 0 = a para qualquer a em A.2. limitado superiormente: Existe um elemento 1, tal que a ∧ 1 = a para qualquer a em A.3. lei distributiva: Para quaisquer a, b, c em A, (a ∨ b) ∧ c = (a ∧ c) ∨ (b ∧ c).4. existência de complementos: Para qualquer a em A existe um elemento ¬a em A tal que a ∨ ¬a = 1 e a ∧ ¬a = 0.Destes axiomas, podemos mostrar directamente que o elemento menor 0 e o elemento maior 1 são únicos, que todo oelemento tem um só complemento, que

a ∧ 0 = 0 e a ∨ 1 = 1,¬1 = 0 e ¬0 = 1, e que as Leis de De Morgan¬(a ∨ b) = (¬a) ∧ (¬b)¬(a ∧ b) = (¬a) ∨ (¬b)

são válidas. A versão dual da lei distributiva,(a ∧ b) ∨ c = (a ∨ c) ∧ (b ∨ c)

também se verifica. Em geral, qualquer lei sobre álgebras Booleanas podem ser transformadas em outra, igualmenteválida, lei "dual" pela troca de 0 por 1 e ∧ por ∨, e vice-versa.Como qualquer reticulado, uma álgebra Booleana pode ser vista como um conjunto parcialmente ordenado (POSET)definindo-se

a ≤ b sse a = a ∧ b(o que é equivalente a b = a ∨ b).

Álgebra booleana 6

Exemplos• A mais importante álgebra Booleana tem apenas 2 elementos, 0 e 1, e é definida pelas regras

∧ 0 1

0 0 0

1 0 1

∨ 0 1

0 0 1

1 1 1

Isso tem aplicação em lógica, onde 0 é interpretado como "falso", 1 é "verdadeiro", ∧ é "e", ∨ é "ou", e ¬ "não".Expressões envolvendo variáveis e operações Booleanas representam formas de indicações, e as tais duas expressõespodem ser mostradas para ser usadas igualmente utilizando o axioma acima se e somente se as formas indicadascorrespondentes forem equivalentes lógicos.A álgebra Booleana de dois elementos é também utilizada no projeto de circuitos em engenharia elétrica; aqui 0 e 1representam os dois diferentes estados de um bit em um circuito digital, tipicamente alta e baixa voltagem.Os circuitos são descritos por expressões contendo variáveis, e as tais duas expressões são iguais para todos osvalores das variáveis se e somente se o circuito correspondente tiver o mesmo comportamento de entrada-saída.Além disso, cada possibilidade do comportamento de entrada e saída pode ser modelada pela expressão Booleanaapropriada.A álgebra booleana binária é também importante na teoria geral de álgebras booleanas, porque uma equaçãoenvolvendo diversas variáveis é verdadeira em todas as álgebras booleanas se e só se é verdadeira na álgebrabooleana de dois elementos. Isto pode, por exemplo, ser usado para mostrar que os seguintes teoremas (Teoremas deconsenso) são válidos em todas as álgebras booleanas em geral:

(a ∨ b) ∧ (¬a ∨ c) ∧ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∧ (¬a ∨ c)(a ∧ b) ∨ (¬a ∧ c) ∨ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∨ (¬a ∧ c)

• O conjunto das partes de um conjunto S forma uma álgebra booleana com as operaçôes ∨ = união e ∧ =intersecçâo. O menor elemento 0 é o conjunto vazio e o maior elemento 1 é o próprio conjunto S.

• O conjunto dos subconjuntos finitos ou co-finitos de um conjunto S, com as operações de união e interseção éuma álgebra Booleana.

Homomorfismos e isomorfismosUm homomorfismo entre as álgebras Booleanas A e B é uma função f: A → B tal que para todos a, b em A:

f(a ∨ b) = f(a) ∨ f(b)f(a ∧ b) = f(a) ∧ f(b)f(0) = 0f(1) = 1

Segue-se que f(¬a) = ¬f(a) para todo a em A.A classe de todas as álgebras Booleanas, com esta noção de morfismo, forma uma categoria. Um isomorfismo de Apara B é um homomorfismo bijetivo de A para B. O inverso de um isomorfismo é ainda um isomorfismo, echamamos as duas álgebras Booleanas A e B de isomorfas. Do ponto de vista da teoria das álgebras Booleanas, elasnão podem ser distinguidas entre si; somente diferem na notação de seus elementos.

Álgebra booleana 7

Ver também• Lógica binária• Forma canónica• Sistema formal• Mapa de Karnaugh• Diagrama de Venn• Álgebra de Heyting• Números bináriosske:Boolova algebra

George Boole

George Boole

Nascimento 2 de Novembro de 1815Lincoln

Morte 8 de dezembro de 1864 (49 anos)

Nacionalidade Britânico

Prêmio(s) Medalha Real (1844)

George Boole (2 de Novembro de 1815 — 8 de Dezembro de 1864) foi um matemático e filósofo britânico, criadorda Álgebra Booleana, base da atual aritmética computacional.

BiografiaSeu pai tinha uma pequena loja de sapatos. O que se esperava das crianças desta classe era que aprendessem omínimo de catecismo para que não ultrapassassem o limite de obediência aos que se encontravam em boa situaçãofinanceira. Os filhos destes aprendiam um pouco de Latim,e não Grego, passando a ser considerados senhores. Naescola por ele freqüentada, o latim não era ensinado. Resolveu aprender esta língua por acreditar ser este o caminhopara uma posição superior.A única orientação que pôde obter foi a do dono de uma livraria que lhe deu algumas noções de gramática. Continuou sozinho e, aos doze anos, traduziu os versos de Horácio para o Inglês. Seu pai, orgulhoso, levou o trabalho para o jornal local que o publicou, deflagrando duas correntes: uma elogiando e outra humilhando Boole. Um professor de línguas clássicas duvidou de que um menino de doze anos pudesse realizar tal tradução. Desafiado, decidiu melhorar o domínio de Latim, acrescentando o Grego. O aprendizado inicial de Matemática lhe foi dado por seu pai. Tendo terminado a escola pública fez um curso comercial, tornando-se mais realista relativamente ao seu futuro. Aos dezesseis anos começou a dar aulas a fim de ajudar seus pais, embora o que ganhasse fosse muito pouco.

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Por quatro anos ensinou em escolas elementares. A partir de então buscou avaliar as profissões que lhe ofereceriamboas perspectivas: a carreira militar estava fora do seu alcance, por sua penúria financeira; a advocacia exigiriacursos acima de sua disponibilidade orçamentária. Restava-lhe a Igreja. Resolveu, pois, tornar-se padre. Embora nãotenha se concretizado a idéia, os quatro anos em que se preparou para a carreira eclesiástica não foram perdidos.Aprendeu Francês, Alemão e Italiano, que lhe seriam indispensáveis em seu futuro.Finalmente, ele encontrou seu caminho, a partir daquelas primeiras aulas recebidas de seu pai. Aos vinte anos abriuuma escola, onde teria que ensinar a matemática que se esperava fosse ensinada em boas escolas. Buscou livros queo orientassem. Os livros comuns, daquela época, deram-lhe grande interesse; a seguir foram consideradosdesprezíveis. Buscou os grandes mestres da matemática. Seu primeiro trabalho foi ignorado pela maioria dosmatemáticos, exceto por alguns raros que reconheceram ali o germe de algo de supremo interesse para a matemática.O desenvolvimento natural do que Boole começou, transformou-se em uma das mais importantes divisões damatemática pura. Disse Bertrand Russell: “a matemática pura foi descoberta por Boole em seu trabalho “Leis doPensamento”, publicado em 1850.Por si mesmo, aos vinte anos, dispôs-se a dominar a “Mécanique Céleste” de Laplace, obra dificílima, poucoesclarecedora pela falta de interesse do autor em elucidar o caminho percorrido para suas conclusões. A seguir tentouacompanhar a abstrata “mecânica analítica” de Lagrange, na qual não é colocado um único diagrama do começo aofim para ilustrar sua análise. Ainda assim pôde fazer sua primeira contribuição à matemática (um artigo sobre“cálculo de variações”). Ainda em seu estudo solitário descobriu as “invariantes”, cuja importância pode serreconhecida ao conscientizarmos que sem a teoria matemática das invariantes (que cresceu a partir dos primeirostrabalhos algébricos) a Teoria da Relatividade teria sido impossível.Então, no limiar de sua carreira científica, notou algo que outros poderiam ter percebido antes. Viu o que outrostinham negligenciado devido ao seu forte sentimento de simetria e beleza das relações algébricas. Outros olharamaquele achado, considerando-o simplesmente bonito, enquanto Boole reconheceu que ali estava algo de uma ordemmais elevada. Boole enviou seu trabalho para o Jornal Matemático de Cambridge, que havia sido fundado em 1837 eque se encontrava sob a hábil editoração do matemático escocês D. F. Gregory. A originalidade e estiloimpressionaram Gregory, iniciando-se uma amizade que perdurou pelo resto da vida. Foi nesta época que surgiu amoderna concepção de álgebra que levou à compreensão da álgebra como álgebra, ou seja, como o desenvolvimentoabstrato das conseqüências de um grupo de postulados sem necessariamente a interpretação ou aplicação denúmeros. Sem esta compreensão de que a álgebra em si mesma nada mais é do que um sistema abstrato, ela poderiaainda encontrar-se inserida no bolo aritmético do século XVIII, incapaz de avançar para as variantes sob a direção deHamilton. Por iniciativa própria ele separou os símbolos das operações matemáticas das coisas sobre as quais elasoperavam, buscando compreendê-las. Seu trabalho nesta direção é extremamente interessante, porém obscurecidopelo seu principal interesse - a criação de um simples e manejável sistema simbólico, ou seja, a lógica matemática.Continuava leccionando, mas agora conhecia e se correspondia com muitos dos principais matemáticos britânicos. Em 1838 publicou o pequeno livro A Análise Matemática da Lógica, sua primeira contribuição para o vasto assunto, que o tornaria famoso pela ousadia e perspicácia de sua visão. De Morgan apercebeu-se de que ali estava um mestre e apressou-se em reconhecê-lo. Ele tinha aberto um novo e importante patamar. Por se encontrarem seus pais totalmente sob sua dependência, continuava dando aulas. Em 1810 foi designado Professor de Matemática no recém criado “Queen’s College” na cidade de Cork, Irlanda. Realizou os mais variados trabalhos matemáticos, mas seu esforço principal continuou sendo o de aperfeiçoar e dar forma final à sua obra-prima, publicada em 1857: Uma Investigação das Leis do Pensamento, em que se fundamentam as Teorias Matemáticas da Lógica e Probabilidades. É incomum que um matemático nesta idade ainda venha a produzir um trabalho tão profundamente original. O parágrafo inicial de um de seus textos nos dá uma idéia do seu estilo e extensão do seu trabalho. “O motivo do presente tratado é investigar as leis fundamentais do funcionamento do cérebro através das quais o raciocínio se realiza; expressá-las através da linguagem do Cálculo e, sobre este fundamento, estruturar a ciência da Lógica e construir o seu método; fazer deste método a base de todos os métodos para aplicação da doutrina matemática de

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probabilidades; e, finalmente, recolher dos vários elementos verdadeiros trazidos para serem examinados no cursodestas investigações alguma provável sugestão a respeito da natureza e constituição da mente humana”. Eleconvertera a lógica em um tipo de álgebra fácil e simples. Desde o trabalho pioneiro de Boole, sua grande criaçãotem sido melhorada. Mas a lógica simbólica foi negligenciada por muitos anos depois de sua invenção. Até 1910ainda existiam eminentes matemáticos desdenhando-a como uma curiosidade filosófica sem qualquer significânciamatemática. O trabalho de Whitehead e Russel em Principia Mathematica (1910-1913) foi o primeiro a convencerum grupo de matemáticos que a lógica simbólica devia receber sua séria atenção.Boole não sobreviveu muito tempo à produção de sua obra-prima. Um ano após a sua publicação casou-se com MaryEverest, sobrinha do coronel George Everest. Sua mulher tornou-se sua devotada discípula. Depois da morte domarido, Mary Boole aplicou algumas ideias que ela havia adquirido dele para racionalização e humanização daeducação de crianças, através do folheto Psicologia de Boole.Boole morreu de pneumonia, honrado e com crescente fama, em 1864.

Ver também• Álgebra Booleana

Fontes e Editores da Página 10

Fontes e Editores da PáginaLógica binária  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=22197296  Contribuidores: Camponez, Darwinius, Leonardo.stabile, LeonardoG, Lgrave, Nuno Tavares, Profvalente,Salgueiro, Tiago de Jesus Neves, Waldir, Xandi, 19 edições anónimas

Negação  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=22717219  Contribuidores: Arges, Cesarschirmer, Eamaral, Fábio Soldá, KoillokDoido, Pietro Roveri, Theo Moraes Teixeira, 8edições anónimas

Conjunção lógica  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=21369201  Contribuidores: Colacino, Fábio Soldá, Gbiten, LipeFontoura, Marcanth, Nuno Tavares, PauloColacino, Prowiki,Vitorvicentevalente, 5 edições anónimas

Álgebra booleana  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=21831707  Contribuidores: Adailton, Albmont, Alchimista, Alexg, Armagedon, Colacino, Cícero, Darwinius, DiegoQueiroz, E2m, E2mb0t, Eamaral, Faustino.F, Jic, Joaopchagas2, Jorge, Juntas, Klemen Kocjancic, Leandromartinez, Leo McAllister, Manuel Anastácio, Nuno Tavares, Orelhasvp,PauloColacino, Plaigueis, Quistnix, RafaAzevedo, Rafael.afonso, Romanm, Salgueiro, Villarinho, Waldir, Wtv, 33 edições anónimas

George Boole  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=22720944  Contribuidores: Agil, Alexg, Crazy Louco, Daniel berg, Dançrulz, E2mb0t, ENOCH, Garoto, Giro720, Jml, KaktusKid, Ludimila23, Moema, Mschlindwein, Nanny321, Nice poa, Nuno Tavares, Ozymandias, Porto, Rei-artur, Rowlandsf1, Simoes, Thegoergen, ThiagoRuiz, Yanguas, 21 edições anónimas

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