Everton Guerra Marques

RoteiroIntrodução à lógica ModalSaul KripkeLógica modal KLógica de Descrição x Lógica modal KConclusãoReferências

Introdução à lógica modalPrincipais contribuidores da lógica modal

Clarence Irving Lewis - em 1912 deu origem a lógica moderna, composta pelas três tradições: semântica, algébrica e sintática.

Saul Aaron Kripke - amplamente conhecido como um dos mais importantes filósofos vivos. Publicou Semantical Considerations on Modal Logic em 1963, onde propôs uma resposta a uma dificuldade da teoria clássica da quantificação.

Amir Pnueli - primeiro utilizador da lógica temporal.Vaughan Ronald Pratt - desenvolvedor do sistema de

lógica dinâmicaArthur Norman Prior - fundou a lógica temporal e

contribuiu com a lógica intencional.

Introdução à lógica modalA Lógica Modal faz parte da pesquisa atual

em diversas áreas da ciência da computação. Encontram-se algumas aplicações na área de:

Inteligência artificial Representação do conhecimento e dedução

automáticaEspecificação formal de sistemasEngenharia de software e lingüística

computacional.

Introdução à lógica modalA Lógica Modal pode ser encarada como uma

extensão da Lógica Proposicional. Grande parte das lógicas modais teve origem em

uma lógica "fraca", conhecida como Lógica K.A lógica K leva este nome em homenagem a Saul

Kripke por sua contribuição.A Lógica Modal é bastante utilizada na análise

semântica, visto que as representações dos conectivos modais permitem expressar advérbios, dentre os quais a Lógica Clássica não pode representar.

Introdução à lógica modalUma compreensão da Lógica Modal é

particularmente valiosa na análise formal de argumento filosófico onde expressões da família modal são comuns e confusas.

Trata-se da lógica do "é necessário que" (representado por “") e do é "possível que" (representado por “◊”).

Portanto, não considera apenas a veracidade e a falsidade das proposições como se apresentam, mas como seria se fossem diferentes.

Introdução à lógica modalComo um operador pode ser derivado do

outro, pode-se manter uma representação de apenas um deles e fazer uma transformação na expressão trabalhada sempre que se encontra o outro.

Há algumas variações de lógica modal, dependendo de quais axiomas são incluídos no conjunto de axiomas básicos (da lógica proposicional).

Introdução à lógica modalHá outros operadores lógicos que podem ser

derivados dos já definidos (os quatro da lógica proposicional, mas os dois acima citados).

Por exemplo, o 'ou-exclusivo'. Apesar de não ter uma notação padrão, é comum representá-lo por f1 f2 .

A regra do ou-exclusivo é se duas fórmulas f1 e f2 são ambas verdadeiras ou ambas falsas, f1 f2 é falsa. Caso contrário é verdadeiro.

Introdução à lógica modalEsta lógica permite analisar não só o que dizem as

coisas no mundo, mas o que diriam em um mundo alternativo; não factual, mas possível.

Isto é, se interessa pelas verdades e falsidades que são geradas por asserções neste mundo real e em outros possíveis mundos, visto que se chama de mundo possível uma situação contra-fatual que não aconteceu, mas poderia ter acontecido.

Neste sentido, uma proposição será necessária em um mundo se ela é verdadeira em todos os possíveis mundos relacionados com este, e possível em um mundo se essa é verdadeira em pelo menos um daqueles mundos relacionados a este.

Introdução à lógica modalLógicas modais tratam de modalidades. Além

dos conectivos são inseridos dois novos conectivos unários (modalidades):

Introdução à lógica modalLinguagem das lógicas modais:Alfabeto: Símbolos lógicos, e símbolos

proposicionais (P).Linguagem: é menor conjunto que:

então então com então

Introdução à lógica modalAplicações

Solução de problemas de sentenças proposicionais

Análise formal de argumento filosóficoEstudo da inteligência artificial

Saul KripkeSaul Aaron Kripke:

nascido em 1940 em Omaha, Nebraska.É amplamente reconhecido como um dos filósofos

vivos mais importantes. Sua obra é muito influente em diversas áreas da filosofia, desde a lógica até a filosofia da mente, passando pela filosofia da linguagem.

Ele é professor emérito em Princeton e professor de filosofia na City University of New York (CUNY).

Boa parte da sua obra é inédita, e circula na forma de gravações de áudio e cópias de manuscritos. Em 2001 ele recebeu o Prêmio Schock em Lógica e Filosofia.

Saul KripkeKripke é conhecido principalmente por quatro

contribuições para a filosofia:uma semântica para a lógica modal e outras

lógicas relacionadas, publicadas quando ele tinha menos de vinte anos de idade;

suas conferências Naming and necessity, proferidas em Princeton em 1970 (publicadas em 1972 e 1980);

uma interpretação controversa de Wittgenstein;sua teoria da verdade;

Saul KripkeDois dos primeiros trabalhos de Kripke (A

Completeness Theorem in Modal Logic e Considerations on Modal Logic) influenciaram amplamente a lógica modal.

Em Semantical Considerations on Modal Logic, publicado em 1963, Kripke responde a uma dificuldade da teoria clássica da quantificação.

Toda a motivação para a abordagem relativa a mundos era refletir a idéia que objetos existentes em um mundo podem não existir em outro.

Saul KripkeTodavia, se as regras de quantificação padrão são

utilizadas, cada termo deve referir a algo que existe em todos os mundos possíveis.

Isso parece incompatível com nossa prática comum de usar termos para nos referirmos a coisas que existem apenas contigentemente, não necessariamente.

A resposta de Kripke a essa dificuldade foi eliminar termos. Ele deu um exemplo de uma interpretação relativa a um mundo que preserva as regras clássicas.

Todavia, o custo para a solução do problema foi caro. Primeiro, sua linguagem foi empobrecida artificialmente. Segundo, as regras para a lógica modal proposicional devem ser enfraquecidas.

Lógica Modal KGrande parte das lógicas modais teve origem em uma

lógica "fraca", conhecida como Lógica K, que leva este nome em homenagem a Saul Kripke por sua contribuição.

Um modelo de Kripke é uma tripla m = <Wm,Rm,hm> tal que: Wm é um conjunto não vazio dos mundos possíveis de m; Rm C Wm x Wm representa a relação de acessibilidade de

m; hm : ν → ρ(Wm) é uma função que estabelece um valor de

verdade arbitrário para cada fórmula atômica da linguagem e um valor para cada fórmula molecular em vista dos valores das fórmulas atômicas.

Lógica Modal KAxiomatização da Lógica Modal Normal

Mínima (K)Primeiramente definiremos a sintática da

lógica modal por sua axiomática. Existem vários tipos de lógica modal, começaremos descrevendo a axiomática da menor lógica normal, também chamada de lógica K:

Axiomas A0) Todas as tautologias clássicas K)

Lógica Modal KRegras de Inferência

Modus Ponens:

Necessitação:

Obs.: Para podermos derivar temos que ter provado A, não é sempre verdade que

Lógica modal KEstrutura de Krypke

Uma estrutura (frame)de Krypke é um par (W,R) onde: W é um conjunto não vazio. Representa o conjunto de

mundos possíveis é uma relação binária. Relação de acessibilidade.

Modelo de Krypkeμ = (W,R,v) é um modelo de Krypke se e somente

se: (W,R) é uma estrutura de Krypke. Ou seja v leva

símbolos proposicionais aos mundos nos quais eles são verdadeiros.

Lógica modal K

No exemplo da figura 1 o conjunto de estados é W = {s1;s2; s3; s4; s5} e a relação de acessibilidade é R = {(s1; s2); (s1; s3); (s3; s3); (s3; s4); (s2; s4); (s2; s5);(s4; s1); (s4; s5); (s5; s5)g. O frame é F = (W;R).

Lógica Modal KNo exemplo da figura 2 o frame é o mesmo

da figura 1 e a função V é: V (p) = {s3; s4; s5} V (q) = {s1; s5} V (r) = {s1}

Lógica modal KUma semântica de Kripke, ou sistema modal, é uma

classe Kr de modelos de Kripke. O sistema K é o menor dos sistemas modais

normais, isto é, a interseção de todos os sistemas modais normais, justificado pelos seguintes princípios: se trata de um sistema de lógica modal, visto que se

trata de um conjunto de axiomas e regras de inferência que representam formalmente o raciocínio válido;

é fechado para modus ponens e necessitação, isto é, se A é uma tese então A é uma tese;

Lógica modal Kcontém os axiomas K e Df ◊:

K: ((A → B)) →(( A) → ( B));Df◊: (◊ A) ↔ (¬( ¬A));

Uma assinatura é uma família C = {Cn}{n∈N} tal que cada Cn é um conjunto, sendo que Cn ∩ Cm = ø se n ≠ m. Os elementos do conjunto Cn são chamados conectivos n-ários. Em particular, os elementos de C0 são chamados constantes. O domínio de C é o conjunto |C| = ∪{Cn : Cn ∈ N }

Lógica modal KUma assinatura modal é uma assinatura C tal

que C1 = {¬,◊, ,}; C2 = {→,↔,∧,∨}; Cn = ø se n ≠ 1, n ≠ 2.

É importante observar que a relação de conseqüência de uma lógica modal pode ser obtida a partir de diferentes semânticas de Kripke.

Lógica de Descrição X Lógica Modal KLógica de Descrição

Descende das redes de heranças estruturadasTentou resolver ambigüidades em redes semânticas

e frames que eram herança da falta de uma semântica formal.

Restrição a um pequeno conjunto de operadores “adequadamente epistemológicos” para conceitos definidos (Classes).

Importância de procedimentos de inferência básicos bem definidos.

Primeira implementação: KL-ONE.Primeira aplicação: Processamento de linguagens

naturais. Agora é aplicado em outros domínios.

Lógica de Descrição X Lógica Modal KFamília de formalismos de representação de

conhecimento baseado em lógica apropriada para “representação de” e “explicação sobre”: Conhecimento terminológicoConfiguraçõesOntologiasEsquema de Banco de Dados

Lógica de Descrição X Lógica Modal KSistemas de Lógicas de Descrição - Arquitetura

Lógica de Descrição X Lógica Modal KSistemas de lógicas de Descrição - Arquitetura

Lógica de Descrição X Lógica Modal KLinguagem de descrição (DL ALC)

Lógica de Descrição X Lógica Modal KUma lógica de descrição (DL ALC)

Comumente caracterizada por um conjunto de construtores que permitem a construção de conceitos e papéis complexos através de itens atômicos

Conceitos correspondem a classes / São interpretados como um conjunto de objetos

Papéis correspondem a relações / São interpretados como relações binárias sobre objetos

Exemplo: Pai feliz em DL ALC

Lógica de Descrição X Lógica Modal KSemântica formal – Baseado em interpretação

assim como em predicados lógicos

Lógica de Descrição X Lógica Modal KSintaxe e Semântica de ALCSemântica dada por significados de uma interpretação

Lógica de Descrição X Lógica Modal KAntigamente, lógicas de descrição não

pareciam ser nada mais do que uma notação para falar sobre conhecimento estruturado.

Mas como elas foram equipadas com uma sintaxe e semântica próprias, modelos e teorias de prova, em resumo, tornaram-se uma lógica,e tornou-se possível relacionar lógicas de descrição com outras áreas da lógica.

Em particular, a conexão entre lógicas de descrição de um lado e lógicas modais do outro lado receberam atenção especial.

Lógica de Descrição X Lógica Modal KSchild (1991) foi o primeiro a fazer explicitamente a

conexão entre a lógica de descrição e a lógica modal.Ele desenvolveu a correspondência entre lógicas de

descrição e lógicas dinâmicas proposicionais, que são lógicas desenvolvidas para raciocínio sobre programas.

Posteriormente Schild e De Giacomo e Lenzerini identificaram a correspondência entre lógicas de descrição e a lógica multi-modal K.

A seguir, segue o mapeamento entre lógica de descrição e a lógica modal K.

Lógica de Descrição X Lógica Modal KMapeamento entre ALC e Lógica Modal K

Lógica de Descrição X Lógica Modal KMapeamento entre ALC e Lógica Modal K

ConclusãoSchild (1991) mostrou que algumas lógicas de

descrição são variantes notacionais de certas lógicas modais.

Especificamente a DL ALC tem uma contra-parte na lógica modal, chamada de versão multi-modal da lógica K.

Atualmente conceitos ALC e fórmulas em multi-modal K podem imediatamente serem traduzidas de uma para outra.

Além disso, um conceito ALC é satisfatível se e somente se a fórmula K correspondente for satisfatível.

ConclusãoPesquisas sobre a complexidade do problema

da satisfatibilidade para lógicas proposicionais modais foram iniciadas pouco tempo antes da complexidade das lógicas de descrição ser investigada.

Conseqüentemente, essa relação tornou possível pegar emprestado da lógica modal resultados complexos, técnicas de raciocínio e construtores de linguagens que não eram considerados anteriormente em Lógicas de Descrição.

ConclusãoPor outro lado, existem características da lógica

de descrição, que não tiveram contrapartidas na lógica modal e, portanto,tornaram-se necessárias extensões ad hoc das técnicas de raciocínio desenvolvias para a lógica modal.

Em particular, restrições de números, bem como o tratamento de indivíduos no ABox, exigiram tratamentos específicos baseado na idéia de reificação, o que equivale a expressar as extensões através de um tipo especial de axioma dentro da lógica.

ReferênciasWikipédia – Lógica modal

http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_modal

Wikipédia – Saul Kripkehttp://pt.wikipedia.org/wiki/Saul_Kripke

Lógica formal – Meu TGhttp://www.cin.ufpe.br/~tg/2007-2/egm2.pdf

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