Lgica(Texto en elaborao: para uso exclusivo de sala de aula)newton c. a. da costaed ecio krausec Grupo de Lgica e Fundamentos da Cincia UFSC/CNPqFlorianpolisMaio 2009i"InthemoderndevelopmentofLogic, thetra-ditional AristotelianLogictakesitsplaceasasimplicationoftheproblempresentedbythesubject. In this there is an analogy to arithmeticof primitive tribes compared to modern mathe-matics."1A. N. Whitehead, in his Foreword to Quines "ASystem of Logistics" (1934)ii ContedoContedo1 Introduo 11.1 Abordagens lingustica vs. algbrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Paralogismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Indues e a Lgica Indutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Notas e complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Aspectos da evoluo da lgica 152.1 A lgica na antiguidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Contribuies posteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 A lgica matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Os fundamentos da matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5 Sistemas mais gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5.1 Linguagens innitrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 Sistemas Formais 253.1 Sistemas formais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.1 Alguns conceitos sintticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Exemplos de sistemas formais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.1 O sistema MAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.2 O sistema MIU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.3 Silogstica formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 A lgica proposicional clssica 454.1 Semntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.1.1 A completude e a decidibilidade do cpc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Validade de argumentos e a linguagem natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3 Mais sobre a metamatemtica de do cpc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4 Algebrizao do cpc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.5 Conectivos adequados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.5.1 O Teorema de Post . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.6 Outras axiomticas para o cpc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.7 Outros sistemas proposicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69iiiiv Contedo5 A lgica elementar clssica 755.1 Linguagens de primeira ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.1.1 Exemplos de linguagens de primeira ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2 Interpretao de uma linguagem de primeira ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.3 Verdade segundo uma interpretao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.4 Anlise crtica do conceito de verdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.5 Os postulados da lgica elementar clssica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.6 Teorias elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.6.1 Aritmtica Elementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.6.2 Teoria elementar de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.6.3 Teoria elementar das lgebras de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.6.4 Teoria elementar dos corpos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.6.5 Teoria elementar dos conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.6.6 Teoria elementar das categorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.7 Lgica polissortida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.7.1 Semntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.7.2 Reduo linguagem monossortida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.8 Notas e Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046 Lgicas de ordem superior 1076.1 A teoria simples de tipos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.2 Semntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.3 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.4 Desenvolvimento da matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.5 Crticas teoria de tipos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.6 Notas e complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187 Metamatemtica da lgica elementar clssica 1197.1 O teorema da completude e algumas de suas conseqncias. . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.1.1 Compacidade e Lwenheim-Skolem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.1.2 Aplicao do teorema da compacidade: modelos no standard da aritmtica elementar1247.1.3 Categoricidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.2 Limitaes dos formalismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.2.1 O primeiro teorema de incompletude de Gdel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.2.2 Extenses do primeiro teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.2.3 O segundo teorema de incompletude de Gdel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.2.4 Verdade e indecidibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.3 Metamatemtica da aritmtica elementar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.4 Discusso adicional sobre modelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1387.5 Notas e complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1398 Algumas lgicas importantes 1418.1 A idia bsica da lgica intuicionista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458.1.1 O clculo minimal e a lgica intuicionista de Brouwer-Heyting . . . . . . . . . . . 1468.1.2 Quanticao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Contedo v9 Lgicas no-clssicas 1519.1 Lgicas complementares clssica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1539.1.1 Lgicas modais e denticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1539.1.2 Lgica temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1609.2 Lgicas heterodoxas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1609.2.1 Lgica intuicionista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1609.3 Os fundamentos da teoria de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1639.3.1 Lgica polivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1649.3.2 Lgica quntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1649.4 Lgicas no-reexivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1659.4.1 Um estudo de caso: a lgica de Schrdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1699.5 Notas e Complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17110Tpicos variados 17310.1 Usam-se provas formais? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17310.2 O signicado da lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17610.3 Historicidade da lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17710.4 Grandes temas da lgica atual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17710.4.1 Sintaxe Lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17710.4.2 Teoria dos Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17810.4.3 Teoria da recurso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17810.4.4 Computao e lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17810.4.5 Lgicas no-clssicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18010.4.6 Lgica aplicada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18010.4.7 Lgica indutiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18310.5 Notas e complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18311A abordagem algbrica 18512Lgica Indutiva 193Apndice AReticulados e lgebras de Boole 19512.1 Reticulados como sistemas ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19612.2 lgebras de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19812.3 A algebrizao da lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Apndice BInduo e Recurso 20512.4 Induo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20512.5 Recurso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20712.6 O Teorema da Recurso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208vi ContedoPrefcioApalavra Lgica designa hoje uma vasta rea do conhecimento, com implicaesem praticamente todos os domnios da investigao. Da antiga disciplina que estudava"o raciocnio correto", ou as "formas vlidas de inferncia (ou de raciocnio)", a lgicatransformou-se em uma disciplina que alcanou resultados que, em termos de complex-idade e profundidade, nada cam devendo aos maiores resultados da matemtica. Alis,a lgica , presentemente, uma disciplina de caractersticas matemticas, e a no ser quese deseje estudar uma parcela innitesimal de seu escopo, um conhecimento slido deboas partes da matemtica se faz imperativo. Isso no impede, no entanto, que com umconhecimento mnimo dessa disciplina, ela possa ser compreendida em suas caracters-ticas gerais, como procuraremos evidenciar neste livro.Ademais,durante o sculo XX houve o desenvolvimento e o estudo aprofundadode vrios sistemas, ou lgicas, que ou estendiam o alcance daquela que precisou serchamadadeclssica, ouviolavamalgunsdeseusprincpiosbsicos, ouambasascoisas. Assim, contrariamente ao que se poderia imaginar h cerca de 100 anos, hojeem dia h uma grande variedade de sistemas que permitem, por exemplo, o tratamentode contradies, sem que se tenham os dissabores que se teria se elas fossem consid-eradas no escopo da lgica clssica (como veremos no captulo ??). As lgicas no-clssicas constituem uma revoluo imensa na histria da cincia, comparvel ao nasci-mento das geometrias no-euclidianas no sculo XIX, mas cuja signicao pessoano especializada ainda est algo distante, se bem que se constatem, nas melhores uni-versidades brasileiras, cursos sistemticos sobre alguns desses sistemas, muitas vezes emreas aparentemente distantes da losoa ou da matemtica pura, como a informtica, aengenharia e mesmo a medicina.Ademais, algicadehojedeixoudesermeramenteumestudoterico, partedamatemtica pura, para se constituir em disciplina que tem encontrado aplicaes as maisdiversas, como na inteligncia articial, na robtica, na engenharia de trfego, na medic-ina, alm dos fundamentos da cincia (matemtica, fsica, biologia) e mesmo nas cin-iii Prefciocias humanas, como na losoa do direito, na psicanlise e na teoria da argumentao(esta alas podendo ser considerada a rea que a originou de certo modo).Assim, nosepodedeixardeenfatizaressastrscaractersticasdalgicaatual:o alcance e a profundidade dos resultados alcanados, o surgimento das lgicas no-clssicas e as variadas aplicaes. Talvez esses sejam indcios da importncia cada vezmaior dessa disciplina.Nossoobjetivonestelivrotraarumapanhadodasprincipaiscaractersticasdalgica atual, que possa servir tanto ao intelectual curioso pelos rumos da lgica de hoje,quando ao estudante interessado emconhecer seus principais conceitos bsicos. Visamosdar ao leitor um panorama geral da lgica atual feito com um mnimo de aparato tc-nico,ainda que se exija da pessoa atenta uma boa capacidade de abstrao e algumamatemtica. Esperamos que, ao nal, o leitor que convencido da importncia da lgicano contexto cientco e losco atual.Nossos agradecimentos aos nossos colegas e alunos que participam dos Seminriosde Lgica junto ao Grupo de Lgica e Fundamentos da Cincia (UFSC/CNPq), que re-alizamos semanalmente no Departamento de Filosoa da Universidade Federal de SantaCatarina desde 2001, que nos deram suciente motivao para escrever essas notas.Florianpolis, Maio de 2009Os autoresCaptulo 1IntroduoQuando exercemos nossa faculdade cognitiva, utilizamos certas categorias concei-tuais, algumas vezes muito gerais, como os de objeto, propriedade e relao, que nos sosugeridos pela experincia, ainda que a sua congurao nal venha a transcender a pr-pria experincia, chegando a nveis de abstrao muito acentuados, como exemplicama matemtica e as cincias em geral.Na gnese da formao dessas categorias, levamos emconta variados aspectos como,por exemplo, (1) que os objetos que nos cercam tendem a permanecer idnticos a si mes-mos (ainda que haja mudanas, esses objetos retm sua identidade), (2) que um objetono pode ter e no ter uma certa propriedade nas mesmas circunstncias (como estar eno estar em um determinado lugar em um determinado tempo, ou ter e no ter um certoformato ou composio), e (3) que dada uma certa caracterstica que lhe possa ser apli-cada, ele a tenha ou no. Esta imagem intuitiva dos objetos que nos cercam e do modocomo lhes associamos suas caractersticas mais imediatas (propriedades e relaes comoutros objetos), inuenciou a formao de nossas primeiras sistematizaes racionais,em especial a geometria dos antigos gregos, a fsica, e a prpria lgica. Muitos dosprincpios bsicos da lgica tradicional resultam de suposies como as acima. Atravsda depurao e sistematizao de certos sistemas de categorias, chegamos em particularaos sistemas lgicos. Levando em conta princpios como os mencionados, edicamos algica tradicional, que chamaremos de clssica; assim, para ns, uma lgica , de certomodo, um sistema de cnones de inferncias baseados em um esquema de categorias. conveniente ressaltar que a palavra lgica frequentemente usada em vrias acep-es. Interessam-nos aqui duas delas: a lgica como disciplina, que presentemente estmuito longe de ser apenas, como se pensava, a cincia dos argumentos vlidos ou oestudo das formas vlidas de inferncia, e a lgica como sinnimo de sistema lgico,12 Introduodesignando uma lgica particular, ou mesmo nos referindo aos sistemas lgicos emgeral.1Pelo contexto, ser possvel constatar quando usaremos a palavra lgica emuma ou em outra acepo.A lgica (como disciplina), no entanto, no se limita ao estudo das inferncias vli-das de acordo com uma certa lgica . Tpicos como a teoria da recurso, a teoria dosmodelos, os fundamentos da teoria dos conjuntos, para citar alguns exemplos, so tpicosda lgica de hoje, e seus assuntos extrapolam em muito a investigao das infernciasvlidas (o leitor pode consultar a pgina de Mathematical Reviews para ter uma idiamais precisa das reas da lgica atual).2Poroutrolado, aindaquemuitasvezesfalemosdelgicanosingular, nohalgica. Hoje em dia dicilmente algum minimamente versado nesse campo sustentariaque h uma nica lgica, que mapearia, no fundo, os modos acertados de raciocinarmoscorretamente. H na verdade uma innidade de lgicas (no sentido de sistemas lgicos)distintaspossveis, eaescolhadeumadelasdependefundamentalmentedecritrioscomo intuitividade, simplicidade ou capacidade de expresso, dentre outros fatores.Assim, lgica e raciocnio correto, qualquer que seja a acepo na qual se usemessas palavras, tm entre si uma relao de difcil aporte, notadamente dado existnciadas vrias lgicas e da diculdade de se conceituar o que seria um raciocnio correto.Porm, quandofalarmosdelgica, puraesimplesmente, semqualquerqualicao,deve-se entender que queremos dizer lgica clssica, que ser detalhada em suas linhasgerais no que segue.Cabe observar, ainda, que o prprio desenvolvimento das disciplinas cientcas inu-enciou profundamente as interrelaes entre elas. Por exemplo, a inuncia da geometriaeuclidiana e da biologia para a constituio das leis lgicas tem sido reconhecida por di-versos autores, como Brunschvig [4] e Enriques [12, 13]; com efeito, a imagem intuitivados objetos geomtricos comuns, e de suas propriedades, permitiram generalizaes queoriginaram, de certa forma, tanto a lgica aristotlica como a lgica matemtica atual.Os corpos geomtricos seriam hirtos e imutveis, dotados de propriedades e mantendorelaes entre si, de modo anlogo s substncias aristotlicas. Surgem da alguns dosprincpios basilares da lgica tradicional, como os historicamente mais famosos princ-pios da identidade, do terceiro excludo e da contradio (acima referidos como (1), (2)e (3) respectivamente), dentre outros princpios.31 interessante observar que L. Rougier, no artigo The relativity of logic [26] inicia com a seguintefrase: "A lgica denida como a arte do bem pensar, a arte do pensar corretamente". Tais denies soainda bem comuns em alguns textos.2O leitor pode consultar http:\www.ams.org/msc/03-xx.html.3Sobre esses princpios e outros conceitos citados no texto, ver Notas e Complementos daqui parafrente, simplesmente N.C. ao nal de cada captulo. Adiantamos que comum encontrar textos queCaracterizao geral da lgica 3Outra fonte importante das leis lgicas sem dvida a aritmtica grega (incluindo-se a os nmeros irracionais), que remonta aos pitagricos e a Eudoxo mas, igualmenteinuentes, foram a histria natural e a prpria losoa grega. Tendo-se em vista Arist-teles ter sido ao mesmo tempo um grande naturalista e o fundador da lgica ocidental,parece patente que, levando-se em conta os seus interesses pela cincia natural, seus es-critos em lgica tenham sofrido inuncia tambm desta rea. Quanto losoa grega,alguns autores, como Enriques e Szab, sustentam que os prprios fundamentos da l-gica e da matemtica como cincias racionais teriam sua origem na losoa eletica,especialmente com Parmnides e Zeno de Elea [28, 29]. Segundo Szab, teria sido ouso das provas indiretas em argumentos loscos, como nos clebres paradoxos de Ze-no (ver N.C. deste captulo), a fonte de tcnicas incorporadas matemtica e lgica,como a reduo ao absurdo e as provas indiretas em geral.4Na gnese da lgica tradicional, os sistemas de categorias baseados em suposiescomo as mencionadas no incio (a noo de objeto, as leis da identidade e da contradioetc.) aparentemente nortearam a elaborao de suas regras bsicas. Porm, a partir doinciodosculoXX, osurgimentodealgunssistemasdelgicasalternativastrouxea possibilidade de modicaes dessas exigncias, permitindo que fossem elaboradossistemas onde um ou vrios desses princpios deixassem de vigorar.5Na atualidade, contrariamante ao que se deu historicamente, h a tendncia por partede vrios autores de desvincular as diversas lgicas de posturas metafsicas ou doutrinasloscas prvias que possam inuenciar a elaborao dos princpios de uma determi-nada lgica. Assim procedendo, os diversos sistemas lgicos so trabalhados de formaindependente de discusses loscas e metafsicas profundas, e podem ser aplicadas apraticamente todos os campos da atividade intelectual humana. Por outro lado, se nosfor conveniente, podemos nos deixar ser conduzidos pelos preceitos que quisermos, demodo que os sistemas que elaborarmos sejam condizentes com tais pressupostos. O queimporta no dogmatizarmos, sustentando que uma ou outra posio deve prevalescersereferemaestestrsprincpioscomoseelesfossemosprincpiosbsicosdalgicaclssica. Issofalso, pois h vrios outros, no to famosos, que so igualmente importantes, como a dupla negao (anegao da negao de uma proposio equivalente a ela prpria), a formao da conjuno (dadas duasproposies, pode-se inferir a sua conjuno), a extensionalidade, a lei da exploso, etc. Ademais, no sepode fundamentar a lgica clssica sobre esses trs princpios unicamente.4Alis, o grande gemetra italiano Federigo Enriques sustenta que o verdadeiro criador da lgica seriaZeno, e no Aristteles, sobretudo pelo fato de ele ter chegado ao mtodo de reduo ao absurdo, que im-plica na construo de guras impossveis em geometria. As demonstraes diretas, por seu turno, nuncatorcem as guras. Enriques sublinha que assim nasceu a lgica, quando a forma tornou-se independenteda matria [12].5Por motivos que tornaremos claro frente, no diremos que os mencionados princpios foram derro-gados. Ver pgina (??).4 Introduoirrestritamente. comum nos textos de lgica em geral abordarmos a lgica (no sentido do estudode certos sistemas lgicos) por meio da especicao de determinadas linguagens. Al-guns autores chegam a dizer que lgica linguagem. Este , no entanto, apenas um dospossveis pontos de vista. A lgica pode, na verdade, ser abordada de diversas perspec-tivas. Para exemplicar, destacaremos duas delas, que se interrelacionam enormemente,e que chamaremos de abordagens lingustica e a algbrica-topolgica, qual daremosateno no captulo 4.4.De um ponto de vista lingstico, xar uma lgica exige a determinao de umaou mais linguagens, por meio das quais expressam-se os princpios que caracterizacomo vlidos. Como j dito, para ns no h qualquer razo para se supor que existampressupostos a priori, que sejam pensados como indispensveis e que devam valer irres-tritamente, sejam eles de natureza metafsica ou losca.6Para ns, no h qualquerjusticao para quais regras uma lgica deve aceitar como lcitas. Claro que o cientistapode ser motivado por essa ou aquela razo, ou estar comprometido com essa ou aquelapostura losca ou metafsica, mas podemos criar sistemas com muita liberdade, e asua utilidade deve ser relegada a um outro tipo de problema. Passa-se com a lgica algoanlogo ao que se passa com a matemtica, pelo menos no que diz respeito ao clebredizer de Georg Cantor de que a essncia da matemtica radica na sua completa liberdade,caso tpico da geometria. O mesmo pode ser dito da lgica.Desse modo, pode-se dar sentido preciso ao que signica raciocnio correto: sig-nica correo relativa a uma particular lgica. Por exemplo, se for a lgica cls-sica, podemos aceitar como lcitas vrias formas de reduo ao absurdo. J na lgicaintuicionista de Brouwer-Heyting (captulo ??), isso no permitido. Nas lgicas para-consistentes (captulo ??), por outro lado, o princpio da contradio no vale em geral,podendo haver teses (teoremas) contraditrios. Em particular, nessas lgicas no vale achamada regra da exploso, ou regra de Duns Scotus, segundo a qual de duas premissascontraditrias (uma das quais sendo a negao da outra), pode-se derivar qualquer fr-mula bem formada (ou simplesmente frmula) da linguagem do sistema. Esse princpio,no entanto, continua vlido tanto na lgica clssica quanto na intuicionista, bem comocomo para certas proposies bem-comportadas das lgicas paraconsistentes. Assim,quando falarmos em fazer inferncias, devemos, pelo menos em tese, ter em mente quala lgica particular que estaremos supondo em um determinado contexto.Em linhas gerais, xar uma lgica determinar um modo de, dadas certas premis-sas ou hipteses, podermos obter, como decorrncia dos princpios de , uma concluso,tudo isso devidamente codicado na linguagem de. Ou seja, temos que caracterizar6Esta , alis, uma das teses centrais de [?].A abordagem lingstica 5uma noo de inferncia em (ou-inferncia), que dar sentido idia intuitiva deque uma concluso se segue, ou inferida de um conjunto de premissas , e isso maisuma vez depende de fatos relacionados particular lgicaadotada no momento.Dentre as formas de inferncia relativas a uma lgica , h duas que nos interessammais pormenorizadamente, as -dedues e as -indues. Se bem que no que se seguefalemos algo sobre indues em geral, posteriormente daremos ateno unicamente sinferncias dedutivas, que chamaremos simplesmente de dedues. Tendo-se em vista oque se disse, o mais correto, ainda que isso seja pressuposto na maioria das vezes, seriafalar em -dedues.1.1 Abordagens lingustica vs. algbricaNo incomum encontrarmos textos de lgica identicando uma lgica a uma lingua-gem. Isto certo unicamente sob um certo ponto de vista, que denominaremos de abor-dagem lingustica ( lgica). Uma viso alternativa vem dos lgicos poloneses (prin-cipalmente),que a caracterizam como uma lgebra. Na verdade,este segundo ponto mais geral, posto que uma linguagem pode ser vista como uma certa lgebra. (Semmuito rigor, uma lgebra constituda por um ou mais conjuntos e de relaes e/ou ope-raes sobre os elementos desse(s) conjunto(s)). Vejamos, ainda que sem os detalhespor enquanto, em que consistem uma e outra abordagem.A abordagem lingusticaSegundo a abordagem lingustica, para especicar uma lgicacomeamos descrevendoa sua linguagem L. Primeiramente, introduzimos um vocabulrio contendo os smbolosprimitivos de L.Esses smbolos funcionam como se fossem os que constam do tecladode um computador, por meio do qual desejamos escrever coisas acerca dos objetos dedeterminados domnios. Outros smbolos podem ser introduzidos de vrios modos, emespecial os denidos a partir dos primitivos (esses em geral no fazem parte da lingua-gem bsica, ou linguagem objeto, como usualmente se diz, mas pertencem metalingua-gem de L).7Precisamos agora aprender a escrever com nossa linguagem. Para isso, sodadas as regras gramaticais de L. Uma expresso de L uma sequencia (em geral, e aquiisso ser suposto sempre) nita de smbolos de L, escritos convenientemente. Dentreas expresses de L, esto as suas frmulas, que so especicadas pelas regras gramati-cais de L. Alm disso, so dadas as regras dedutivas de , ou regras de inferncia, que7Pode-se no entanto estender L acrescentando-se-lhe novos smbolos, desde que certas condies sejamobedecidas. desde que certas condies sejam obedecidas, como as chamadas condies de Lesniewicz,a no criatividade e a eliminabilidade. Em sntese, os novos smbolos no podem originar novos teoremase devem poder ser eliminados caso queiramos. Para detalhes, ver o captulo 8 de [27].6 Introduopermitem que, de um certo conjunto de frmulas, obtenhamos uma frmula.Mais precisamente, quando uma frmula inferida das premissas1, . . . , n pormeio da regra R, dizemos que conseqncia imediata, pela regra R, das premisasdadas, e escrevemos1, . . . , n(R). (1.1)Uma deduo em uma coleo de frmulas da linguagemL,tal que uma de-lasafrmulaquesediztersidodeduzida(ouinferida), pelasregrasdedutivasde, de outras frmulas, que so tomadas como hipteses ou premissas da deduo. Hdiferentes modos de se denir a operao de deduo, e suas distines caracterizamlgicas distintas, como veremos na seo ??. Quando1, . . . , n so as premissas e a concluso, escrevemos1, . . . , n - ou, se quisermos fazer referncia lgica,escrevemos1, . . . , n -

para indicar esse fato. Se chamarmos de o conjunto daspremissas, ou seja, = 1, . . . , n, podemos escrever ainda - ou -

, o que muito conveniente. O smbolo - o smbolo de dedutibilidade, e diz-se nesses casosque conseqncia sinttica das j. No captulo ??, veremos a noo tradicional dededuo com mais rigor.H no entanto algo importante que deve ser deixado claro o quanto antes, pois pode-se pensar que so somente as premissas assumidas que importam para a deduo daconcluso. Por exemplo, se deduzimos da (nica) premissa "o tringulo ABC retn-gulo"a concluso "a soma dos quadrados dos catetos de ABC igual ao quadrado de suahipotenusa", na verdade h muito mais coisas envolvidas do que uma nica premissa ea concluso. Toda deduo rigorosa se faz (pelo menos em princpio) no contexto deum sistema devidamente estruturado (axiomaticamente), que tem uma dada lgica porlgica subjacente e que determina quais inferncias so lcitas. No caso do nosso exem-plo, podemos dizer que estamos no contexto da geometria plana usual, assim a derivaoda concluso acima depende no apenas do fato de que o tringulo ABC retngulo, mastambm dos postulados dessa geometria, bem como dos da lgica (clssica) que a ali-cera. Em outras palavras, o certo seria enunciar o teorema acima assim: "Os postuladosda geometria eucliana plana acarretam que, se ABC um tringulo retngulo, ento asoma dos quadrados dos catetos de ABC igual ao quadrado de sua hipotenusa".8Comefeito, este resultado no vale em outras geometrias, ainda que a premissa seja mantida.Esse tipo de suposio nem sempre mencionado explicitamente, mas deve ser carsub-entendido. Assim, para resumir, quando dizemos que uma concluso se seguede um conjunto de premissas1, . . . , n, deve car claro que isso se deve a princpios8Cabe observar que os postulados dessa geometria comportam, alm daqueles que lhe so especcos,os da lgica clssica.A abordagem lingstica 7de alguma lgica (ou de algum sistema dedutivo que tenha por lgica subjacente),que s vezes pode car sub-entendida. No h deduo (no sentido em que estamosempregando este termo) que no seja uma -deduo, para alguma lgica .Deste modo, como j foi dito, especicar uma particular lgica , grosso modo,darummecanismodeinferncias, maslembre-se: issonoimplicaquealgicaadisciplina se resuma a tal estudo. A abordagem lingstica assume ento que ca-racterizada pela especicao de uma linguagem, na qual so formulados os axiomasde, ou esquemas de axiomas, bem como se explicitam as regras de inferncia de.Quando uma frmula deduzida apenas com o auxlio dos postulados da lgica , ouseja, quando no h premissas adicionais alm dos axiomas, escrevemos - (ou -

), edizemos ento que tese ou teorema (formal) da lgica . Se quisermos, podemos su-por, como se faz usualmente, que este caso particularizao da situao acima, quanto= , isto , o conjunto de premissas vazio (o smbolo denota o conjunto vazio, asaber, o conjunto que no tem elementos).Porexemplo, seforalgicaclssicaeforumafrmuladalinguagemde,ento (que informalmente se l " ou no-",9e que um modo de se escreveroprincpiodoterceiroexcludo), teoremade, bemcomodamaioriadaslgicasparaconsistentes, mas no teorema da lgica intuicionista.Vejamos exemplo de um raciocnio que considerado vlido no contexto da lgicatradicional: "Se o nmerox par,entox divisvel por 2. Ora,o nmerox par.Portanto, o nmero x divisvel por 2. A concluso est depois da palavra portanto, eas duas primeiras sentenas so as premissas. Vemos (intuitivamente) que o argumento vlido, j que ele reete certas das nossas intuies e que supostamente a lgica tradici-onal (ou pelo menos algum fragmento dela) que vale na nossa vida comum. Mas, comocomprovar este fato? H basicamente dois modos, que pretendemos sejam devidamentedistinguidos pelo leitor.O primeiro puramente sinttico, e diz respeito noo de deduo (indicada pelosmbolo -). Aconclusopodeserdeduzida(inferida)daspremissaspelasregrasdalgica(no caso, a clssica). Com efeito, uma das regras clssicas Modus PonendoPonens (ou simplesmente Modus Ponens). Signica que, dadas as premissas e (queseinterpreta"seento"), podemosinferir . Assim, seaceitamosasduaspremissas acima e as regras da lgica clssica, em particular MP, teremos que aceitar aconcluso. Note-se que tudo se passa condicionalmente: uma vez aceitas as premissas9precisoumcuidadoadicionalcomosexemplostomadosdalinguagemnaturalqueviaderegrausamos, principalmente em cursos bsicos. O signicado dos conectivos lgicos nem sempre coincide coma sua traduo para a linguagem comum. Por isso, exemplos que utilizem a linguagem natural devem serolhados com cautela. Na verdade, deveriam ser substitudos por exemplos tomados da matemtica.8 Introduoe as regras clssicas, devemos aceitar a concluso. A questo que, para ns, no hqualquer justicativa a priori que nos force a aceitar essa ou aquela lgica, mas esse outro problema.10Desse modo, a validade de uma inferncia que expressa por meio da linguagem deuma dada lgica, e que siga as regras dessa lgica, ca a ela de certa forma condicionada.Uma teoria baseada em uma lgica(ou, como se diz, tendocomo lgica subjacente) um conjunto de frmulas Ttal que as dedues que se faz a partir de frmulas de Tainda pertencem a T;em outros termos, T fechada para dedues. Podemos obterteorias acrescentando novos axiomas a, e esses novos axiomas chamam-se axiomasespeccos deT. Obviamente, a prpria uma teoria (com um conjunto vazio deaxiomas especcos).Outro conceito importante o de validade. Se o leitor procurar uma denio deraciocnio vlido em um livro introdutrio de lgica, provavelmente ir encontrar al-guma coisa como "um argumento vlido aquele em que a concluso no pode ser falsase as premissas forem verdadeiras". Equivalentemente, podemos dizer que se as premis-sas forem verdadeiras, ento a concluso ter de s-lo. Representando mais uma vez oconjunto das premissas por e a concluso por, escrevemos para indicar estefato e dizemos que conseqncia semntica de. Dizendo isso, estamos nos com-promentendo com algo que vai alm dos aspectos puramente sintticos de , como comas noes de verdade e falsidade, que so losocamente bastante problemticos. Comoeste conceito se liga ao de deduo acima introduzido? Ou seja, se puder ser deduzidodas frmulas em ( conseqncia sinttica de ), ser tambm conseqncia semnticade ?O que est por trs de uma resposta so as relaes entre os conceitos de demonstra-bilidade e de verdade. Em vrios dentre os sistemas mais utilizados, como no chamadoclculo proposicional clssico ou a lgica elementar clssica, bem como em vrios sis-temas no clssicos, esses dois conceitos se equivalem: conseqncia sinttica de se e somente se conseqncia semntica de. Quando isso acontece, a lgica completa. O teorema da completude para uma lgicapode ser assim enunciado: - se e somente se , onde o smbolodepende da semntica que se confere lgica .10O leitor interessado em se aprofundar no assunto pode consultar da [6],onde so tratadas questesde ndole pragmtica (no sentido de Morris) nesse contexto, ou seja, considera-se no apenas os sinaislingisticos e seus signicados (isto , aspectos sintticos e semnticos de ), mas tambm certas condiesligadas a quem est fazendo uso dessa linguagem.Paralogismos 9A abordagem algbricaSegundo a abordagem algbrica, uma lgica um par ordenado = (/, F), onde / um conjunto no vazio, dito conjunto das frmulas de(note que no se especica oque so as frmulas; elas podem ser aquelas descritas segundo a abordagem lingustica,oquemostraamaiorgeneralidadedaabordagemalgbrica), eFumacoleodesubconjuntos de /, satisfazendo as seguintes condies"(i) F /(ii) Se XXXXXXXXXXX (completar)Todas essas denies sero exemplicadas nos captulos seguintes.1.2 ParalogismosTendo especicado quais so as formas vlidas de inferncia de uma lgica, aquelasque no so -vlidas so chamadas de -paralogismos.Notocantelgicaclssica, queaparentementemaisprximadomodocomoprocedemos racionalmente acerca do mundo que nos cerca, dsitinguiremos dois tiposbsicos de paralogismos: as falcias e as indues. As falcias so formas de infernciaque reconhecemos como errneas relativamente aos princpios da lgica tradicional, eas indues, ainda que no sejam vlidas (no sentido de respeitarem as regras da lgicatradicional), apresentam certo grau de plausibilidade.Classicamos as falcias em dois grupos: (1) as falcias propriamente ditas, que sodecorrentes de erros no intencionais e (2) os sosmas que, ao contrrio, via de regraso elaborados com a inteno de se enganar algum.Os sosmas contm erros de raciocnio que so tomados como uma ttica de argu-mentao, visando mostrar que nosso argumento correto, quando na realidade ele no (ver N.C). Os sosmas no aparecem propriamente no escopo de sistemas lgicos, masno que se conhece como lgica informal, grosso modo, um conjunto de regras e pre-ceitos informais que reetem em parte aqueles da lgica clssica e a nossa forma usualde raciocinar (pelo menos o que se supe). Em outras palavras, envolvem a dimensopragmtica da linguagem [6]. Na verdade, a distino entre um sosma e um raciocnioindutivo, na acepo que usamos este termo, s pode se dar ao nvel da praxis.Claro que quando se fala em erro de raciocnio, h que se ter algum parmetro emconta, e em geral ele tomado como sendo o da lgica tradicional; em geral, pode-seestender a noo de falcia para qualquer lgica , mas isso no ser feito aqui.10 Introduo1.3 Indues e a Lgica IndutivaAinda que o estudo das falcias tenha grande importncia para a vida diria, assim comopara certas reas como o direito e a retrica, mais relevantes para a cincia, no entanto,soas-indues. Essasconstituemformasdeinfernciaque, aindaquenosendovlidas do ponto de vista da lgica (em geral a clssica), tm a sua concluso comouma assero muito plausvel, uma vez que se aceitem as premissas como igualmenteplausveis. O problema est em se especicar o que signica essa plausibilidade. Antesde prosseguirmos, porm, o modo como estamos usando a palavra induo merecealgum esclarecimento prvio.Um argumento indutivo tpico o seguinte: observamos que um certo cisne branco,e vamos vericando que, sempre que nos deparamos com cisnes, eles so brancos. Con-cluimos, assim, que todos os cisnes so brancos. Trata-se portanto de passarmos de umacerta quantidade de casos observados para uma armao geral: de alguns poucos paratodos. (O caso dos cisnes brancos famoso, pois at a descoberta de cisnes negros naAustrlia, os europeus no conheciam cisnes que no fossem brancos).De modo mais preciso, se voc olhar em um dicionrio de losoa, como o TheCambridge Dictionary of Philosophy [1], vai constatar que induo geralmente designauma inferncia que uma generalizao a partir de casos particulares ou, em sentidomaisamplo, denotaqualquerinfernciaampliativa, ouseja, "qualquerinferncianaqualaarmativafeitapelaconclusovaialmdaarmativafeitapeloconjuntodaspremissas"[1]. Outro exemplo famoso o exemplo dos corvos; os casos particulares decores de corvos observados at o momento induzem a formulao da lei geral "Todosos corvos so negros", que tendemos a aceitar como plausvel, ainda que no tenhamosobservado todos os corvos, mas devido ao fato de nunca termos encontrado um corvoque no seja negro.Esta inferncia, no entanto, no vlida sefor a lgica clssica, ou seja, no podeser deduzida das leis clssicas postas acima (como esperamos poder deixar claro mais frente). Porm, como parece evidente, a concluso muito plausvel, ou seja, temosuma grande expectativa de que ela seja verdadeira. Trata-se assim de um exemplo deuma -induo, sendoa lgica clssica, j que o argumento no errneo ou feito como propsito de sobrepujar algum oponente ou impor uma opinio. Observamos mais umavez, no entanto, que a distino entre -falcias e -indues algo vaga, uma vez que,por exemplo, no podemos dizer com preciso, fora do contexto de uma dada lgica, emque consiste um raciocnio errado.Assim, conclumos que uma argumentao vlida do ponto de vista de tem queser justicvel pelas regras dedutivas de, em contraposio com a argumentao-falaciosa, ouseja, aquelaqueviolaasregrasdedutivaspostaspelalgicaedas-Indues e a Lgica Indutiva 11indues, que apesar de no serem-vlidas, no so raciocnios errneos (intuitiva-mente falando).Supondo mais uma vez que a lgica clssica, um argumento indutivo, na formacomo estamos utilizando este termo, portanto uma inferncia que aceitvel com certograu de plausibilidade, mas cujas premissas no acarretam logicamente a concluso.Assim, uma pessoa cautelosa diria que a observao de cisnes brancos e a no observa-o de cisnes de outra cor, levam concluso de que provavelmente todos os cisnes sobrancos, e o mesmo ocorre com os corvos: provavelmente todos os corvos so negros.O problema est em se dar sentido preciso palavra provavelmente.Indues so inferncias ampliativas, no sentido acima de que o que sustenta a con-cluso vai alm do que permitem (dedutivamente concluir) as premissas. Esta forma deargumentao, saliente-se, vital para a cincia. Muitas leis da fsica, bem como de ou-tras disciplinas, em grande medida so formuladas inicialmente como generalizaes apartir de um grande nmero de observaes e experincias: via de regra, so ampliaesde casos observados, ou indues nesta nossa acepo, ainda que as teorias resultantesno sejam simplesmente colees de dados observados.No entanto, uma disciplina cientca no pode car restrita a coligir leis elabora-das de forma indutiva. Alis, nem todas as leis fsicas resultam de observaes ou deindues a partir de observaes. Einstein, por exemplo, iniciou a teoria da relatividadea partir da postulao de certos princpios, como o de que a velocidade da luz deve serconstante relativamente a todos os sistemas inerciais. Os princpios neste sentido, bemcomo as generalizaes indutivas, devem ser incorporados a um sistema adequadamenteformulado, noqualsepossamdeduzirteoremasqueposteriormentepodemviraserconfrontados com a experincia.Eventualmente, certosfatosindutivosincorporadosaumateoriapodemviraserteoremas dessa teoria, quando devidamente formulada. Por exemplo, a clebre lei daqueda dos corpos, formulada indutivamente por Galileu a partir de observaes, podeser deduzida dos axiomas da mecnica clssica de Newton, que foram colocados pos-teriormente.11Damesmaforma, arelaoqueexpressaoteoremadePitgoraseraconhecida muito antes de Euclides, e pode ser deduzida dos axiomas de sua geometria.Do ponto de vista cientco, no muito produtivo car unicamente com uma espcie decatlogo de informaes sobre um campo particular de investigao. Os antigos gregosnos ensinaram este fato no tocante matemtica, tendo transformado a matemtica an-terior em uma disciplina terica, dotada de princpios e provando teoremas, como bem11A preocupao de Galileu era vericar se h alguma relao matemtica entre o espao percorridopor um corpo que cai livremente e o tempo empregado em percorr-lo. A resposta de Galileu foi de queo espao percorrido s proporcional ao quadrado do tempo t levado para percorr-lo: s=12gt2, sendo aconstante de proporcionalidade g a acelerao da gravidade.12 Introduoilustram os Elementos de Euclides; em princpio, isso se aplica a qualquer disciplina.Com efeito, havia um conhecimento matemtico muito grande entre os egpcios eos babilnios, que era utilizado para demarcao de terras frteis (de onde veio o nomegeometria, ou medida da terra), na construo de monumentos, em clculos astron-micos, etc., mas no havia praticamente (ou no havia nenhuma) teoria. As informaeseram como que as de um catlogo telefnico atual, ou num livro de receitas, nos quais sepode buscar muitas informaes, mas que no constituem nenhuma teorizao. O usodo mtodo axiomtico foi essencial para, dentre outras coisas, estabelecer a matemticacomo disciplina dedutiva.12As inferncias indutivas, como etapas de formao do co-nhecimento (inclusive das leis lgicas), em particular do conhecimento cientco, sofundamentais, como fcil perceber, mas a cincia parece exigir que numa etapa poste-rior possam resultar dedutivamente de outras leis e princpios. Isso constitui a essncia,posta de modo breve, do chamado mtodo hipottico dedutivo. Da mesma forma, issovai acontecer com a lgica.Ainda com respeito s indues em geral, lembremos que o lsofo escocs DavidHume (1711-1776) salientou que as inferncias indutivas (no sentido acima de infern-cias ampliativas) no podem ser sustentadas logicamente (pensando-se aqui em lgicacomo sinnimo de lgica dedutiva conhecida poca), isto , deduzidas dos casosparticulares observados. Isso levou muitos lsofos a estudar vrias formas de lgicasindutivas, entendidas como modos de dar algum sentido plausibilidade da concluso luz da suposta admissibilidade das premissas, ainda que lsofos como Popper tenhamobjetado quanto possibilidade de tais lgicas (REFS).Uma das formas mais conhecidas de se introduzir arguementos indutivos a que atri-bui concluso uma certa probabilidade. Assim, a concluso, ainda que no possa serinferida dedutivamente a partir das premissas, pode ser aceita com uma certa probabili-dade, e o modo de se fazer isso (ou seja, de se entender o que quer dizer a probabilidade)distingue entre vrias lgicas indutivas. Ainda que no exploremos este pondo aqui,salientamos que h vrias acepes da palavra probabilidade, de forma que o assunto deveras importante e mereceria um texto independente.13Deixaremos porm de lado asindues, atendo-nos lgica dedutiva, que denominaremos simplesmente de lgica.Uma observao nal parece no entanto relevante. Mesmo que nos ocupemos dacontra-parte dedutiva de uma teoria preponderantemente, indues so essenciais emcincia(emesmonamatemtica, comosalientadoparticularmenteporImreLakatos[19]).12Hoje se sabe que o mtodo axiomtico est fortemente enraizado na lgica, mas curiosamente no hqualquer meno de Euclides,nem de matemticos da poca,pelo que se sabe, lgica de Aristteles,apesar deles terem sido contemporneos.13O leitor pode consultar [7].Notas e Complementos 131.4 Notas e complementosNesta seo, a ttulo de esclarecimento, comentaremos sobre alguns temas que forma menciona-dos acima.I. Princpio da Identidade. Como em geral acontece com este e com os demais princpiosda lgica, h vrias formas no equivalentes de enunci-lo, como as seguintes: 1. Formulaessintticas (admitindo que as linguagens mencionadas incorporem os smbolos utilizados): a) Emuma linguagem proposicional, P P, ou P P, sendo P uma varivel proposicional; b) Emuma linguagem de primeira ordem, x(x = x), sendo x varivel individual; c) Em uma linguagemde segunda ordem, Px(P(x) P(x)), sendo P uma varivel para predicados e x uma varivelindividual;2. Formulaes semnticas a) Uma proposio verdadeira sempre verdadeira, euma falsa, sempre falsa; b) Toda proposio possui um nico valor de verdade; c) Em qualquercontexto, as ocorrncias de um dado smbolo devem sempre ter o mesmo sentido; d) A no podeser, sob o mesmo aspecto e ao mesmo tempo, B e no-B. e) "A B"e "A no B"nunca sosimultaneamente verdadeiras;f) Todo objeto idntico a si mesmo;g) A A (eventualmenteacrescentando-se "e no no-A"), sendo A uma varivel.O leitor deve notar que essas formulaes no so todas equivalentes, de forma que, quandosefaladoprincpiodaidentidade(eomesmovaleparaosdemaisprincpiosapresentadosabaixo), deve-se especicar de qual formulao se est falando, ou deixar isso bem claro pelocontexto.II. Princpio do Terceiro Excludo. 1. Formulaes sintticas a) Numa linguagem propo-sicional, A A; b) Em uma linguagem de primeira ordem, x(F(x) F(x)), sendo Fumaconstante para predicados mondica, ou ento sendo F(x) uma frmula qualquer tendo x comovarivel livre (e podendo conter eventualmente outros parmetros); c) Numa linguagemde ordemsuperior, Fx(F(x) F(x)), sendo x varivel individual e F uma varivel para predicados mo-ndica; 2. Formulao semntica Dadas duas proposies contraditrias, isto , uma das quaissendo a negao da outra, uma delas verdadeira.III. Princpio da Contradio (ou da No-Contradio) 1. Formulaes sintticas a)Numa linguagemproposicional, (AA); b) Emuma linguagemde primeira ordem, x(F(x)F(x)), sendo x varivel individual e F uma constante mondica para predicados (ou ento F(x)denota uma frmula qualquer comx como varivel livre, eventualmente contendo outros pa-rmetros); c) Em uma linguagem de ordem superior, xF(F(x) F(x)), sendox varivelindividual e F uma varivel para predicados mondica. 2. Formulao semntica Dadas duasproposies contraditrias, isto , uma das quais sendo a negao da outra, uma delas falsa.IV. Reduo ao absurdo. H vrias formas de reduo ao absurdo. Em sntese, a reduoao absurdo clssica tal que, para provarmos uma certa suposio p, iniciamos por assumir a suanegao, p. Ento, a partir de p e dos demais princpios aceitos, derivamos, no sistema em14 Introduoapreo, uma proposio q e a sua negao, q (o que, na lgica clssica, implica que podemosderivar uma contradio qq). Acontece que, no mbito da lgica tradicional, uma proposioque implique uma contradio tem que ser falsa e, portanto, pelo princpio do terceiro excludo,a sua negao, p (que equivale a p devido dupla negao), tem que ser verdadeira. Assimprovamosp indiretamente, mostrando que sep no for o caso, ou seja, se sua negao forverdadeira, chegaramos a uma contradio.V. Paradoxos de Zeno Zeno de Elia (sc V a.C.) formulou uma srie de paradoxos re-lacionados ao espao e ao tempo.14Por exemplo, aceitando-se a viso pitagrica de que o espao um conjunto de pontos, ou seja, que a realidade pode ser dividida sucessivamente em partes,chegaramos a contradies, assim devendo aceitar a tese de Parmnides de que a realidade umnico e indivisvel Um. Este o caso do paradoxo que arma que no se pode percorrer umadistncia dada. Com efeito, para percorrer, digamos, um kilmetro, devemos primeiro percorrera metade (500m), mas antes, a metade disso (mais 250m), e antes ainda a metade dessa metade(mais 125m), e assim sucessivamente, de modo que o movimento no possvel..Explicaes satisfatrias dos paradoxos de Zeno foram possveis somente aps a criaodateoriadeconjuntos, porGeorgCantor(1845-1918). Porexemplo, oparadoxocitadosolucionado percebendo-se que a srie geomtrica 1/2 + 1/4 + 1/8 + . . . tem soma nita 1, ouseja, limx(1/2n) = 1.A prova desse fato simples de ser dada, se aceitarmos o fato conhecido de que uma sriegeomtrica tem a forma a + ra + ra2+ . . ., onde a o primeiro termo e r a razo. Se |r| < 1, eque a srie converge para o valora1r. No caso acima, podemos escrever1/2 + 1/4 + 1/8 + . . . = 1/2 + 1/2(1/2 + 1/4 + 1/8 + . . .),que, como a = r= 1/2 < 1, converge para1/211/2= 1.14Para uma leitura mais detalhada, recomendamos o verbete Zenos Paradoxes, da Stanford Encyclope-dia of Philosophy, http://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/.Captulo 2Aspectos da evoluo da lgicaEmseulivro Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics, G. T. Knee-bone faz uma constatao que resume muito bem a grande evoluo pela qual passou aLgica a partir de meados do sculo XIX (Kneebone 1963, pp. 5ss), bem como demons-tra quanta demora houvepara a completa assimilao dessas transformaes. Comomostra esse autor, no artigo Logic da 14a. edio da Encyclopaedia Britannica, publi-cada em 1929, Abraham Wolf falava o seguinte:A lgica o estudo sistemtico das condies gerais da inferncia vlida. . . Inferncia um ato ou processo de derivar um juzo ou proposio deoutra ou de outras . . . Por uma proposio devemos entender um juzo ex-presso em palavras, o juzo sendo ele prprio um pensamento real ou umacrena em nossa mente, a qual pode ou no ser expressa em uma propo-sio, pensamento este que no podemos discutir at que tenha sido assimexprimido.Como salienta Kneebone, a Lgica, deste modo entendida, muito geral e levada acabo fazendo-se uso da linguagem natural, que como se sabe repleta de ambiguidadese no contm regras de formao muito precisas. Aponta ainda ele que, com a evoluoda Lgica, houve uma tendncia paulatina a se restringir o seu alcance, em parte pelanecessidade de maior preciso. Como se v no artigo da mesma Encyclopaedia Britan-nica, escrito pelo grande lgico norte-americano Alonso Church para a edio de 1959,e tambm citado pelo nosso autor, h uma mudana substancial na forma de encarar essadisciplina:1516 A evoluo da lgicaA lgica o estudo sistemtico da estrutura das proposies e das condi-es gerais da inferncia vlida por meio de um mtodo que abstrai o con-tedo ou matria das proposies, e lida unicamente com sua forma lgica.Esta distino entre forma e matria feita sempre que distinguimos entrea correo lgica ou validade de um raciocnio e a verdade das premissaspelas quais ele se processa e, nesse sentido, familiar no uso dirio. Entre-tanto, uma distino precisa deve ser feita com referncia a uma linguagemparticular ou sistema de notao, uma linguagem formalizada, a qual evi-tarainexatido, equvocossistemticoseirregularidadesdaestruturaeexpresso que so encontradas no portugus usual (coloquial ou literrio) eem outras linguagens naturais, e seguir ou reproduzir a forma lgica aocusto, quando necessrio, da brevidade e facilidade de comunicao.Essas citaes ilustram bem a transformao pela qual passou a nossa disciplina,e mostram um dos principais motivos: necessidade de preciso, ainda que para vriasnalidades (como veremos abaixo, notadamente para os estudos sobre os fundamentosda matemtica).Assim, podemos dizer que a lgica, de cincia das formas vlidas de raciocnio, ouestudo das formas vlidas de inferncia (esta denio ainda pode ser encontrada emalguns textos recentes), transformou-se em uma disciplina que envolve tpicos como aTeoria da Prova, a Teoria dos Modelos, a Teoria da Recurso, os Fundamentos da Teoriade Conjuntos, dentre outros, cujos contedos em nada lembram o mero estudo do quese deriva do que. a2.1 A lgica na antiguidadeA primeira sistematizao da lgica encontra-se na obra de Aristteles (384-322 a. C.).Apesar do feito de Aristteles coloc-lo, segundo alguns historiadores, entre maioresnomes da Lgica de todos os tempos, o que ele fez foi muito pouco se comparado aoalcance presente dessa disciplina, ou mesmo relativamente ao que zeram os lsofosdas escolas megrica e esticam, ainda na antiguidade grega. Os escritos em lgica deArtistteles abarcam essencialmente o que cou conhecido como Teoria dos Silogismos,que ao que tudo indica ele achava captava todas as formas relevantes de argumentao.No captulo seguinte, veremos algumas caractersticas da lgica aristotlica comoexemplo de um sistema formal que denominaremos de silogtica, de forma que no aabordaremosaqui. Ficanoentantooregistrodaimportnciadotrabalhodograndelsofo grego, que considerado (ainda que no com unanimidade) o pai da Lgica.A lgica na antiguidade 17Ainda na antiguidade, as escolas megrica (sculos IV e III a.C.) e estica (sculosIII e II a.C.) deram contribuies valiosas lgica. Sob certos aspectos, eles foram muitoalm de Aristteles e de seus discpulos, chegando a muito do que hoje conhecemoscomo clculo proposicional clssico, se bem que seus avanos no foram difundidos,cando em segundo plano em relao obra de Aristteles e seguidores, que dominou anossa cultura em suas origens.Os megricos apresentaram e estudaram uma srie de paradoxos envolvendo dicul-dades em se julgar a veracidade de uma frase que se refere a ela mesma, a discussosobre a natureza das formas declarativas condicionais e um estudo das modalidades (ouseja, de operadores que expressem o necessrio e o possvel, dentre outros conceitos), oque tambm fez Aristteles.So clebres os paradoxos, por eles tratados, como o do mentiroso, que se originaquando uma pessoa diz que est mentido: fcil ver que aquilo que ela diz verdadeirose e somente se for falso. Com efeito, suponha que eu armo que estou mentindo. Seisso for verdade, aquilo que eu armo deve ser verdadeiro (pela usual concepo de queuma proposio verdadeira se ela expressa um estado de coisas que de fato ocorre,dita teoria da verdade como correspondncia). Mas o que eu armo a frase Eu estoumentindo, ou seja, dizendo uma falsidade. Assim, se o que eu armo verdade (a minhafrase), a minha frase deve ser falsa. Por outro lado, se a minha frase falsa, ela ter queser verdadeira, pois ela est dizendo exatamente que eu estou mentindo.Outro paradoxo conhecido como Electra, ou do homem embuado: voc diz queconhece seu irmo, mas no foi capaz de reconhecer o homem que entrou agora com acabea coberta, que o seu irmo. Este paradoxo mostra a diculdade ocasionada pelaambigidade da palavra conhecer. Outras situaes deste tipo so trazidas por parado-xos como o do monte: um nico gro de areia por certo no um monte de areia, nemdois gros o so, e nem trs. Mas se continuarmos acrescentando gros de areia, teremosum monte. Em que momento isso acontece? Um quarto tipo de situao embaraosa ocasionada por paradoxos como o seguinte (formulado pela escola megrica):aquiloque voc no perdeu, ainda conserva. Ora, voc no perdeu os chifres, portanto, aindaos conserva.Estas formas de raciocnio, aparentemente ingnuas para os dias atuais, foram pre-ponderantes para o desenvolvimento de formas precisas de se articular raciocnios, e setratam de sosmas de acordo com a terminologia que introduzimos anteriormente.Dentre as formas condicionais tratadas pelos megricos e pelos esticos,esto asseguintes, que foram analisadas por eles em demonstraes: "Se p e se p ento q, entoq", "Se p ento q e no-q, ento no-p", "Se no ambas p e q e p, ento no-q", "Se pou q e no-p, ento q", "Sep ou q e no-q, entop". A lgica megrico-estica usou18 A evoluo da Lgicaclaramente o conceito de sistema axiomtico (Blanch 1968), havendo proposies nodemonstradas tomadas como pontos de partida, como a seguinte, escrita no simbolismoatual: ((p q) p) q), das quais derivaram inmeras concluses.Por outro lado, diculdades como as acima provavelmente levaram concepo dalgica clssica como uma lgica extensional, ou seja, que no abriga operadores intenci-onais como crena, necessidade, obrigatoriedade. Isso ser mencionado novamente frente.O uso do "Se . . ., ento . . ."aparece como deveras importante, e foram dadas inter-pretaes para o seu signicado lgico. Dentre as diversas possibilidades, consagrou-sehistoricamente aquela dada por Filo de Mgara: declaraes da forma "Se p ento q"soverdadeiras exceto quando a parte "Se"for verdadeira e a parte "ento"for falsa. Em ou-tras palavras, "Se p ento q" falsa se e somente se p for verdadeira e q for falsa, o qued a tabela-verdade da qual falaremos posterirmente (no simbolismo de hoje, dizemosque p q signica p q, onde lido como ou e como no). O condicionalde Filo tornou-se universal em lgica e esse o modo pelo qual usualmente se entendeaexpresso"Se. . ., ento. . .". BertrandRussell(1872-1970)nomeou-oimplicaomaterial, mas preciso cuidado com a expresso implicao neste contexto.Com efeito, comum, em "Sep ento q", dizermos informalmente quep implicaq, mas a implicao aqui deve ser entendida materialmente, ou seja, na acepo deFilo, e no indicando que haja alguma forma de conexo causal entrep e q. Se estecuidado no for tomado, somos levados a situaes aparentemente paradoxais, como asseguintes. Tendo em vista que "Se p, ento se q ento p" sempre verdadeira, seramoserroneamente levados a concluir que uma vez que 1+ 1= 4, ento Braslia a capitaldo Brasil, tendo em vista ser verdade que Braslia a capital do Brasil e 1+ 1 no serigual a 4. Este, e outros paradoxos da implicao material (ver N.C. so unicamenteresultados da interpretao de "Sep ento q"como "p implica (acarreta) q", o que nodeve ser feito. No obstante, comum nos textos, e no faremos diferente, chamar ocondicional "Se . . ., ento . . ."de implicao.No sculo XX, a insatisfao com esse tipo de condicional levou alguns pensadores,como C. I. Lewis a denir o condicional estrito; falaremos dele no captulo ??.2.2 Contribuies posterioresH vrios nomes importantes que no poderiam deixar de ser citados em qualquer his-tria razovel da lgica (que no estamos pretendendo fazer aqui), pois deram contri-buies relevantes para o seu desenvolvimento,como Ramon Lull (1235-1315) e suaGrande Arte (Ars Magna), que via o conhecimento nas cincias como uma espcieA lgica matemtica 19de juno de idias bsicas, o que contribuiu para dar os primeiros passos na direode uma linguagem automtica para o raciocnio (Nidditch 1962, p. 14). Outros no-mes relevantes so Duns Scotus (1265/66-1308), Pseudo Scotus, Descartes (1596-1650)e sua idia de uma linguagem geral, funcionando como uma espcie de aritmtica, eprincipalmente Leibniz (1646-1716).Em seu De Arte Combinatoria, de 1666, Leibniz props sugestes para uma mate-mtica de idias (ibidem, p. 19).DETALHAR mais mais mais2.3 A lgica matemticaO escopo da Lgica, e principalmente a sua aproximao com a matemtica comeoua se alterar em meados do sculo XIX, a partir dos trabalhos de Augustus De Morgan(1806-1871), George Boole (1815-1864), Charles Sanders Peirce (1839-1914) e, princi-palmente, Gottlob Frege (1848-1925). Depois, com o concurso de outros como BertrandRussell (1872-1970), Giuseppe Peano David Hilbert e outros, houve a transguraoefetiva da lgica tradicional para a lgica matemtica de nossa poca, ou seja, da lgicaestudada com mtodos matemticos.Boolepublicoudoistrabalhosclebres: Themathematical anaylsisof logic, em1847, eAninvestigationofthelawsofthought, em1854. Seuobjetivoeratrataralgica (aristotlica) de um ponto de vista algbrico. Boole usou smbolos tpicos dalgebra, como+, , , 0 e1 alm de variveis como a,b etc. para expressar leis ge-rais e que por sua vez podiam ser interpretados de vrios modos. Por exemplo, vamossupor que as variveis representam proposies e que os smbolos acima so interpreta-dos respectivamente como a disjuno, a conjuno, a negao, uma proposio falsa euma proposio verdadeira. Alm disso, a igualdade entendida como representando aequivalncia. Ento fcil ver (se conhecemos algo da lgica proposicional clssica) quealgumas leis bsicas da lgebra usual permanecem vlidas, como as seguintes: a+0 = a,a + 1=1, a0=0, a1=a etc. No entanto, outras leis algbricas no valem, poisa + a=a, aa=a, a + (a) =1, a(a) =0. Por outro lado, podemos entenderque as variveis agora percorrem os subconjuntos de um conjunto dado, e que+, , ,0 e 1 representam respectivamente a unio, a interseo, o complemento (em relao aoconjunto dado), o conjunto vazio e o conjunto original. A igualdade agora a igualdadede conjuntos. Segue-se que as mesmas regras acima so vericadas.As propriedades que se vericam com essas interpretaes caracterizam uma estru-tura que denominada de lgebra de Boole. De um ponto de vista algbrico, o clculoproposicional clssico uma lgebra de Boole, assim como o a coleo dos subcon-20 A evoluo da lgicajuntos de um conjunto dado, munida das operaes conjuntistas usuais. Interessante ob-servar que nos anos 1930, um matemtico do MIT (Massachussets Institut of Thechno-logy) chamado Claude Shannon mostrou uma interpretao interessante dessa estruturausando circuitos eltricos, os quais tm grande importncia por exemplo na construode computadores: as variveis representam circuitos por onde deve passar corrente el-trica, a + b indica que os circuitos a e b esto em paralelo, ab que eles esto em srie,a diz que a est fechado (se a est aberto e reciprocamente), 0 um circuito pelo qualno passa corrente e 1 um pelo qual sempre passa corrente. fcil ver que os axiomasde uma lgebra de Boole so satisfeitos.O trabalho de Boole permitiu que ele expressasse a silogstica aristotlica em termosalgbricos, de forma que a validade de silogismos podia ser vericada fazendo-se contasalgbricas. Segundo alguns autores, porm, o trabalho fundamental de Boole foi muitoalm, a talm ponto de chegarem a consider-lo, e no a Frege, como o criador da lgicamatemtica; esta , por exemplo, a opiniao de Corcoran (2005).No obstante a suaimportncia, a abordagemde Boole no impulsionou histori-camente a lgicade modo signicativo. Com efeito, a lgica tradicional aristotlica ea sua verso Booleana tratam unicamente de proposies que so redutveis formasujeito-predicado. Modernamente, referimo-nos a isso dizendo que a lgica aristotlica unicamente uma lgica de predicados unrios ou mondicos.O vnculo com a matemtica foi fundamental para o real desenvolvimento da Lgica.Na verdade, a grande evoluo dessa disciplina, que se deu principalmente nos sculosXIX e XX, no pode ser separada dos estudos acerca dos fundamentos da matemticaque se realizaram tambm nessa poca. Para entender o que se passou, uma breve visodesses estudos conveniente.Ainda que os desenvolvimentos apresentados por Boole e a escola da lgebra da l-gica tenham sido enormes, foi com G. Frege que a lgica matemtica se iniciou de fato.Em 1879, Frege publicou o seu clebre Begrisschrift, no qual apresentou a primeirasistematizao do que veio a ser chamado posteriormente de lgica clssica de ummodo formal, na qual as derivaes eram feitas exclusivamente em funo da forma dasexpresses envolvidas. O ttulo completo do trabalho de Frege Begrisschrift, eine derarithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens,ou seja,"Conceito-graa, uma linguagem formular do pensamento puro, imitada da linguagem aritmtica",e signica, como diz van Heijenoort na apresentao da traduo do artigo de Frege(van Heijenoort 1967), uma linguagem para o pensamento puro, no para representar algica por meio de frmulas, mas uma lngua livre de adornos retricos, modelada nalinguagem da aritmtica e construda a partir de smbolos especcos (distintos dos daaritmtica) que so manipulados de acordo com regras denidas, de forma que a lgicaOs fundamentos da matemtica 21possa ser usada para a fundamentao da aritmtica.Frege apresentou no somente o clculo de proposies, mas o clculo quantica-cional com identidade e a anlise de proposies em termos de funes e argumentos,como na matemtica, em vez de em termos de sujeitos e predicados. A introduo dosquanticadores (para todo, existe), por ele e por C. S. Peirce, constitui fator distintivopara a criao da lgica como a entendemos hoje, ainda que naquela poca no houvessea separao entre lgica de primeira ordem, que permite quanticao unicamente sobreindivduos, e as lgicas de ordem superior, nas quais se pode quanticar tambm sobrepropriedades de indivduos.No obstante o trabalho de Frege ser um marco na histriada lgica, no recebeu acolhida imediata, talvez pela grande diculdade ocasionada pelasimbologia utilizada, de difcil leitura. Paralelamente, estava sendo levada a cabo umagrande discusso acerca dos fundamentos da matemtica, qual seu trabalho presta umacontribuio enorme, e no se pode entender esta etapa da evoluo da lgica sem quese aperceber de algumas de suas nuances.maismaismaisPeirceemMoore: quanticadoresparaconjunesedisjunesinnitas2.4 Os fundamentos da matemticaOs sculos XIX e XX so aqueles nos quais um grande aprofundamento nas questesrelacionadas aos fundamentos da matemtica foi alcanado. Tal tipo de estudo se iniciaa partir da necessidade de formulao adequada de vrios conceitos que eram usadosinformalmente, os quais, pela forma como eram intuitivamente concebidos, apresenta-vam questes difceis de resolver. Por exemplo, o clculo innitesimal, desenvolvidopor Newton e por Leibniz, fazia uso de quantidades innitesimais, as quais se supunhaeram innitamente pequenas, mas sem que se dissesse de modo preciso em que issoconsistia. Newton, com seu mtodo de uxes (derivadas), calculava com tais quanti-dades, mas depois as desprezava. Por exemplo, empregando uma linguagem mais atual,para achar a derivada da funo y= x3, procedia mais ou menos do seguinte modo: for-necia um acrscimo innitesimal varivel independente x, digamos x + o, com issoobtendo (x + o)3=x3+ 3x2o + 3o2x + o3. Dividindo por o, parq que se possa saber ataxa de variao do acrscimo dado, obtemos 3x2+ 3xo + o2. Como o (e com maisrazo ainda o2) so desprezveis, camos apenas com 3x2, que o que se deseja.Este procedimento faz com que uma quantidade innitesimal pudesse ser despre-zada sem que a identidade fosse questionada, o que originava frases clebres, como oconhecido Princpio de lHospital, que dizia que duas quantidades que diram por umaquantidade innitamente pequena so iguais, ou a clebre frase de Johann Bernoulli,22 Aspectos da lgica clssicauma quantidade que acrescida ou decrescida de uma quantidade innitamente pe-quena no acrescida e nem decrescida. claro que h algo errado aqui, ainda que osresultados alcanados fossem incrveis. Um dos maiores crticos desse procedimento foio bispo B. Berkeley. Em seu clebre O Analista, ...........Newton no era o nico. O prprio modo de se fazer matemtica, ainda que le-vasse a resultados incrveis, de um ponto de vista rigoroso deixava muito a desejar. Porexemplo, Euler admitia que o quocienteN1N, para N muito grande, pode ser consideradocomo igual a 1, o que simplicava substancialmente suas contas. Outras questes quesurgiam eram as seguintes: o que nmero? O que uma funo? A prpria geometriaeuclidiana, tida por sculos como o paradigma de uma teoria matemtica desenvolvidarigorosamente, apresentava problemas; j a proposio 1 do livro 1 de Euclides, em suademonstrao, usa fatos que no so assumidos pelos axiomas e que no foram provadospreviamente. Isso mostra como a intuio dos matemticos e o raciocnio informal soessenciais, mas uma disciplina como a matemtica no podia restar sobre uma base tofrgil. Para dar sentido a coisas como o quociente acima, do caso de Euler, foi precisoa introduo do conceito de limite, por A. L. Cauchy, no incio do sculo XIX. Comos limites, os innitsimos foram dispensados; o clculo, e a matemtica em geral, noprecisava mais deles (porm, ver abaixo).Outro passo importante foi a evoluo da lgebra.O programa de Hilbert. Blanch 1968: em fsica, comeou com Arquimedes.OS POLONESESAS LGICAS NO-CLSSICAS Dito de modo breve, por lgica clssica enten-demos o chamado clculo de predicados de primeira ordem, com ou sem igualdade, oualguma de suas extenses, tal como o clculo de predicados de ordem superior (teo-ria de tipos) ou mesmo algum sistema de teoria de conjuntos, como Zermelo-Fraenkel,von Neumann-Bernays-Gdel, Tarski-Kelley-Morse ou o sistema ML de Quine-Wang,levando-se em conta possveis variantes desses sistemas relativamente ao uso de smbo-los e/ou axiomas.Devido impreciso que h em se delimitar a lgica clssica, haver igualmente umaimpreciso em qualquer conceituao das lgicas no-clssicas. Mesmo assim, podemosdizer que as distines entre as lgicas clssicas e a clssica residem basicamente nosseguintes itens: 1. As lgicas no-clssicas podem estar baseadas em linguagens maisricas em capacidade de expresso do que as linguagens da lgica clssica. 2. Podem serfundamentadas em princpios distintos 3. Podem ser caracterizadas por terem semnticadistinta da usual.As lgicas que satisfazem (1) so chamadas de complementares da clssica. Porexemplo, as lgicas modais, temporais, denticas, epistmicas, erotricas, imperativas,Os fundamentos da matemtica 23intensionais, asqueincorporamoperadoresparaformartermosligandovariveis(oschamados v.b.t.o.s) e as lgicas condicionais. Nas lgicas modais, cuja linguagem es-tende a linguagem da lgica clssica de modo a incorporar operadores intensionais quepermitem exprimir os conceitos de necessidade e de possibilidade. Da mesma forma,nas lgicas denticas usuais, h operadores que permitem exprimir os conceitos de obri-gatoriedade e proibio. As lgicas temporais permitem, como o nome sugere, tratarda noo de tempo; nas lgicas da crena, pode-se falar em acreditar (em) uma propo-sio, e assim por diante. Esses so exemplos de algumas lgicas complementares clssica que tm linguagens mais ricas que esta.Aquelas que obedecem (2) so as lgicas heterodoxas (por uma razo que ser ex-posta no captulo 3, evitaremos cham-las de rivais da lgica clssica, como s vezes sefaz), Por exemplo, a lgica intuicionista , dito de modo abreviado, obtida a partir dalgica clssica pela rejeio do princpio do terceiro excludo. Nas lgicas paraconsis-tentes, o princpio da contradio restringido, e nas lgicas no-reexivas, o conceitousual de identidade (tal como tratado pela lgica clssica) sofre algum tipo de restri-o. Ademais, pode-se ter, por exemplo, lgicas pararaconsistentes denticas, nas quaisno somente no vale em geral o princpio da contradio, como aparecem os concei-tos de obrigatoriedade e de proibio, dentre outros. Essas lgicas so importantes, porexemplo, na losoa do direito. Em todos esses casos, semnticas distintas da usual sorequeridas, de forma que os trs itens acima se acham relacionados. H ainda outraslgicas as quais difcil de enquadrar em algum dos itens acima, como as lgicas fuzzy, algicalinear, asvriaslgicasqunticasousistemasquediferemprofundamenteda lgica clssica tanto em aspectos sintticos como em aspectos semnticos, como ossistemas de Lesniewski, as lgicas innitrias ou as combinatrias. No obstante, a clas-sicao dada pode ser usada em uma primeira aproximao. O exposto acima pode seraqui sumarizado da seguinte forma. A transgurao sofrida pela lgica nos ltimos150 anos se deve,basicamente,a trs fatores: (1) o grande desenvolvimento tcnico,em especial devido ao seu vnculo com a matemtica, (2) o aparecimento das lgicasno-clssicas e (3) a ecloso de variadas e numerosas aplicaes. No captulo 3 teremosoportunidade de falar mais sobre isso e sobre alguns desses sistemas.Proposies Categricas. Proposies tpicas da lgica aristotlica, que tm a se-guinte forma, ditas respectivamente universal armativa (A), universal negativa (E),particular armativa (I) e particular negativa (O): Todo S P; Nenhum S P; AlgumS P e Algum S no P. O que se disse no texto acerca dos termos das proposiescategricas denotarem termos gerais, e no nomes particulares, contrasta com sentenasusualmente tomadas como exemplo nos textos, como Scrates homem, que deve serentendida da mesma forma que O homem um animal, e isso tem a ver com o fato24 A evoluo da lgicade que em ambas os termos sujeitos pertencem categoria de substncia (MELHORARKneale e Kneale, p. 33).2.5 Sistemas mais geraisPara alguns lsofos, como Quine, por Lgica deve-se entender unicamente a lgicaclssicadeprimeiraordem. Quinenuncasepronunciou, peloquesesabe, sobreaslgicas no clssicas, exceto quanto lgica modal, que combateu ferozmente. Umaexceo pode ser uma pequena frase em seu livro Pursuit of Truth, na qual diz que amecnica quntica convida a desvios lgicos, cuja reduo aos velhos padres no evidente.1NoobstanterarospontosdevistacomoodeQuine, hojeemdiaaceitam-seossistemas no clssicos e os de ordem superior como lgicas. Abaixo, faremos umaexposio da chamada teoria simples de tipos, para dar uma idia ao leitor do que cons-tituem as linguagens e lgicas de ordem superior ( primeira)....2.5.1 Linguagens innitriasAs linguagens que introduzimos at o momento eram sempre nitrias, ou seja, aindaque pudessem envolver uma quantidade enumervel de smbolos primitivos, admitiamcomo bem formadas apenas expresses contendo um nmero nito de tais smbolos.Porm, em matemtica freqentemente aparecem expresses como 1/2+1/4+1/8+. . .ou ento x = 0 x = 1 x = 2 . . . para dizer que x um nmero natural. Obviamente,no possvel escrever uma expresso contendo um nmero innito de smbolos, logose desejamos aceitar e dar sentido preciso a expresses como as acima, e no apenastom-las como abreviando alguma coisa, devemos nos dirigir para a considerao daslinguagens innitrias.Usaremos dois subndices para uma linguagem innitria de primeira ordem L, es-creventoLonde e so ordinais,para representar uma linguagem que admite at blocos dequanticadores (cada um contendo um nmero nito deles), e disjunes ou conjun-es com um nmero mximo < de termos.1 pgina 36 da segunda reimpresso de 1993, pela Harvard Un. Press.Captulo 3Sistemas FormaisNestecapitulo, s aovistos alguns conceitos relacionados aos sistemas formais queimportam lgica e ao estudo mais geral da metodologia dos sistemas dedutivos (Tarski1995). Apesar dessas notas constiturem unicamente uma breve introduo ao assunto(ver as Referncias para trabalhos mais abrangentes), importante destacar o ponto devista aqui encerrado. Tradicionalmente, a lgica tem sido ensinada dentro de uma tradi-o lingustica, que remonta basicamente a Frege e a Russell. Isso signica, em resumo,o seguinte.Uma lgica, e de maneira mais geral um sistema formal, concebida comouma linguagem, consistindo (pelo menos) das contrapartes sinttica e semntica. Na suacontraparte sinttica, estudam-se os aspectos combinatoriais dos smbolos dessa lingua-gem, sem levar em conta o que eles representam, enquanto que na contraparte semnticaessa questo considerada.Aqui, um sistema formal, logo uma lgica, concebido como algo distinto, comouma espcie de lgebra, independentemente de linguagem. Trabalha-se numa teoria (in-tuitiva) de conjuntos, ou em um sistema como Zermelo-Fraenkel se se quiser preciso. Ageneralidade desta abordagem patente, e certamente interessa ao lsofo e ao linguistaentend-la.3.1 Sistemas formaisUm sistema formal S constitudo pelas seguintes categorias de entidades:2526 SISTEMAS FORMAIS(1) Uma coleo no vazia de objetos, que chamamos de frmulas de S,(2) Uma sub-coleo do conjunto de frmulas (ventualmente vazia), cujos elementoschamamos de axiomas de S e(3) Um conjunto de regras de inferncia. Abreviadamente, uma regra de inferncia uma relao entre conjuntos de frmulas e frmulas, que nos fornece um processopara se obter uma frmula (a conseqncia imediata da regra) a partir de outras fr-mulas, que so as premissas da regra.Se chamarmos de F o conjunto das frmulas de S, de A o seu conjunto de axiomase de F o seu conjunto de regras,podemos olhar um sistema formal como uma triplaordenada da formaS = (F, A, F).Em geral, consideraremos unicamente regras nitrias, tendo um nmero nito depremissas; se 1, . . . , n so as premissas de uma regra R F e conseqncia ime-diata das i (i = 1, . . . , n) pela regra R, escrevemos1, . . . , n(R)para indicar este fato.O que importa caracterizar uma relao de dedutibilidade, simbolizada por -, oupor -S (quando houver necessidade de mencionar o sistema em questo), que permitaexprimir o conceito de deduo: a partir de certas frmulas, dadas como premissas, po-demos obter uma frmula, a concluso. Isso tudo pode ser feito sem que leve em contao signicado, ou interpretao, dos smbolos envolvidos, cando-se dependente unica-mente das caractersticas puramente sintticas do sistema considerado, o que caracterizao nome formal dado a esse tipo de sistema. Dito de um modo muito geral, uma lgicade conseqncias , de um ponto de vista abstrato, um par = (F, -), ondeF umconjunto no vazio cujos elementos so chamados de frmulas e - uma relao de de-dutibilidade, satisfazendo as seguintes condies, para todo A F (para um tratamentogeral, ver da Costa 2005):(-1) A A - (-2) A - A B - (Monotonicidade)(-3) Se A - para cada elemento B e B - , ento A - .Conceitos Sintticos 27Pode-se mostrar (ibid.) que h uma e uma s maneira de transformar um sistema for-mal em uma lgica de conseqncias e reciprocamente. H sistemas no-monotnicos,nos quais a regra da monotonicidade acima no vale, e que podem ser enquadrados comosistemas formais na acepo acima, mas no falaremos deles aqui.Via de regra, as frmulas de um sistema formal S so obtidas a partir de um conjuntoinicial de smbolos, o vocabulrio, ou alfabeto bsico (da linguagem) de S. Depois, ou-tros smbolos podem ser introduzidos por meio de denies, que ajudam a expressar osconceitos desejados na linguagem de S. Seqncias de smbolos (em geral, seqnciasnitas) so chamadas de expresses da linguagem de S e, mediante regras gramaticaisdadas de modo preciso, dentre as expresses distinguem-se ento as frmulas. Os sis-temas formais tm regras gramaticais precisas, contrariamente s linguagens naturais, eessa uma de suas grandes vantagens.1Uma vez que se tenha o conceito de frmula construdo de modo preciso, escolhem-se dentre elas aquelas que sero consideradas como axiomas do sistema, assim comoexplicitam-se as suas regras de inferncia. No h em princpio qualquer critrio paraa escolha dos axiomas. Isso depende das nalidades do cientista ou mesmo do gostopessoal.3.1.1 Alguns conceitos sintticosPor uma prova ou demonstrao de uma frmula em S, entenderemos uma seqncianita de frmulas 1, . . . , n tais que n e cada i (i < n) um axioma ou conseqn-cia de frmulas precedentes por uma das regras de inferncia. Se h uma prova de emS, dizemos que um teorema (formal) de S, e escrevemos -, ou S - (ou ainda-S), quando houver necessidade de se explicitar o sistema S.Dizemos que conseqncia sinttica de um conjunto de frmulas se h umaseqncia 1, . . . , n de frmulas tais que n e cada i (i< n) um axioma, ou per-tence a , ou conseqncia de frmulas precedentes por uma das regras de inferncia;neste caso, escrevemos - e tambm dizemos que foi deduzida do conjunto depremissas. Alternativamente, podemos escrever 1, . . . , n -, ou (como faremos),simplesmente 1, . . . , n - . Evidentemente, se o conjunto vazio (isto , no h pre-missas), ento derivvel (ou demonstrvel) unicamente a partir dos axiomas de S e portanto um teorema de S. Resulta da denio dada que todo axioma demonstrvel.1O aluno atento deve estar percebendo que fala-se por exemplo em seqncia de smbolos. O que uma seqncia? Tecnicamente, uma funo cujo domnio o conjunto dos nmeros naturais. Issomostra que, a rigor, estamos trabalhando em um local onde se possa falar de seqncias, funes, etc., ouseja, numa teoria de conjuntos. Uma linguagem , na verdade, uma certa lgebra.28 SISTEMAS FORMAISApenas para registro, salientamos que o conceito de prova acima no univer-sal. Existe prova na matemtica intuicionista, por exemplo, que distinta da acima,e sobre a qual falaremos oportunamente. Ademais, cabe observar que provas comodadas pelo conceito acima praticamente nunca ocorrem nos textos de matemtica. Porqu?O motivo que seria muito tedioso mencionar cada pequeno passo dado em umademonstrao. As provas (demonstraes) apresentadas so via de regra argumentosinformais dados na metalinguagem (o portugus acrescido de smbolos especcos), enelas so apontados unicamente os passos que podem suscitar algum cuidado especial,ou questionamento por parte do leitor. Tais so as provas informais, e faremos muitasdelas no decorrer deste livro. Em geral, os matemticos sabem (pelo menos ideal-mente) como preencher os espaos deixados em uma prova informal, de modo que elaspodem, em princpio, ser escritas de acordo com a denio acina, caso necessrio. Mais frente, veremos uma comparao entre uma prova formal e uma informal.Teorema 3.1.1Em um sistema formal S, tem-se:(i) - (ii) - - (Monotonicidade)(iii) Se - para toda e se - , ento - (iv) - Demonstrao: Exerccio.Oconceito de conseqncia sinttica (-) se relaciona como de conseqncia semntica()mediante um (meta)teorema importante, denominado de teorema da completude, que noentanto no vale em geral. Para aqueles sistemas formais para os quais vale o referidoteorema, temos em particular que se e somente se - (veremos isso com mais vagar frente). Abreviadamente, isso est dizendo, informalmente, que todas as verdades lgi-cas so demonstrveis (so teoremas do sistema), e que todos os teoremas so verdadeslgicas. Este parece, claro, um grande ideal a ser atingido, pois em um tal sistema for-mal, dito sem rigor, provaramos todas as suas verdades, e somente elas. Como veremos,apesar de haver sistemas formais completos nesta acepo, o resultado no se aplica parasistemas mais interessantes, como a aritmtica elementar.Exerccio 3.1.1(1) Prove o teorema acima. (2) Descreva o signicado de cada uma dasexpresses seguintes: (a) - ; (b) - ; (c) ; (d).Exemplos de sistemas formais 29Denio 3.1.1Um sistema formal S compacto se sempre que se tem - , existe umsubconjunto nito tal que - .Como em nossos sistemas toda prova envolve sempre um nmero nito de frmulas,resulta que os sistemas formais que estamos considerando so compactos.3.2 Exemplos de sistemas formaisNesta seo, daremos alguns exemplos de sistemas formais. Para enfatizar o aspectoformal, nada ser dito sobre o signicado dos smbolos ou das regras primitivas, aindaque no primeiro deles o leitor poder facilmente identicar o processo usual de somarnmeros naturais.3.2.1 O sistema MAISO sistema MAIS ser designado porM (cf. Hodel 1995, pp. 8ss). A sua linguagem,denotadaLM, consta unicamente dos seguintes smbolos: +, =, . Intuitivamente, ossmbolos de LM so como os sinais que esto em um teclado de um computador (nestecaso, nosso teclado tem somente trs teclas), por meio do qual desejamos escrever coisasacerca dos objetos de determinados domnios. Precisamos portanto aprender a escrevercom nossa linguagem. Para isso, vejamos as regras gramaticais de LM.Seqncias nitas de smbolos de LM so expresses dessa linguagem. Uma frmula uma expresso do tipo x+y = z, onde x, y e z so seqncias nitas de s. Alm disso,a expresso = uma frmula. Por exemplo, + = uma frmula, mas == no . Repare que x, y e z no fazem parte de LM, que denominada de lin-guagem objeto. Aqui, smbolos como x, y, z, . . . so usados para nos referir a expressesde LM, e pertencem metalinguagem de LM, enquanto que outros smbolos, como , sousados como nomes deles prprios. Se no zermos essa distino, seremos conduzidosa diculdades, como teremos oportunidade de esclarecer frente.Dentre as frmulas deLM, devemos agora escolher algumas para axiomas deM.Escolheremos apenas uma, a saber, a frmula + = . Isso feito, resta apontar asregras de inferncia de M. So as duas seguintes (cada uma com uma nica premissa),onde e denotam frmulas:x + y = zx +y = z(R1) ,x + y = zy + x = z(R2) = = (R3). fcil ver que + = um teorema de M. Com efeito, temos aseguinte prova (repare que a prova aqui apresentada satisfaz a denio dada acima):30 SISTEMAS FORMAIS1. + = Axioma2. + = 1, R13. + = 2, R14. + = 3, R25. + = 4, R16. + = 5, R1Na coluna da direita, indica-se como as derivaes foram realizadas. Podemos intro-duzir outros conceitos por meio de denies, e h vrios modos de se fazer isso.2Porexemplo, chamemos de um, dois, etc. aos objetos que satisfazem respectivamente ospredicados 1 =def , 2 =def , 3 =def , etc. Da mesma forma que x, y e z, os smbo-los 1, 2, 3 e os demais que podemos introduzir deste modo no pertencem linguagemobjeto LM, mas sua metalinguagem. O smbolo =def lido igual por denio.3Te-oremas acerca desses novos objetos podem agora ser derivados, como por exemplo que2 = 1 + 1 (isso se segue das denies, do unico axioma e da regra (R3).O importante, relativamente aos sistemas formais, no unicamente o que se poderealizar no seu interior (provar os seus teoremas), mas analisar os prprios sistemascomo um todo e estudar o seu uso para se entender peculiaridades de outros sistemas. Ocaso da aritmtica um bom exemplo no s pela sua importncia intrnsea, mas por nosfornecer informaes relevantes sobre outros sistemas, como sera visto abaixo. Porm,antes de tudo isso, vamos continuar com o nosso sistema M. Sobre ele, podemos dizervrias coisas, como se exemplica com o conceito de verdade em M, que chamaremosde M-verdade, e que o seguinte: dizemos que uma frmula x +y = z M-verdadeira seo nmero total de ocorrncias de do lado esquerdo da igualdade igual ao nmero deocorrncias deste mesmo smbolo do lado direito da igualdade; caso contrrio, diremosque ela M-falsa. Por exemplo, + = (ou 2+2 = 4) M-verdadeira, enquantoque += (2 + 1= 1) M-falsa. Podemos ento mostrar que todos os teoremas deMso M-verdadeiros por meio de uma tcnica chamada de induo sobre teoremas.Isso funciona assim: fcil ver que o nico axioma de M M-verdadeiro, e que seas premissas das regras (R1) e (R2) so M-verdadeiras, suas concluses tambm o so.Deste modo, devido denio de prova dada antes, todos os teoremas deM soM-verdadeiros, como queramos provar. No entanto, a armativa de que todos os teoremasde Mso M-verdadeiros no um teorema de M, pois em particular no uma frmulada linguagem desse sistema, mas um teorema sobre M, o que usualmente se denomina de2Falaremos sobre denies oportunamente.3Podemos acrescentar smbolos estendendo a linguagem objeto, desde que algumas condies sejamsatisfeitas, mas sobre isso falaremos frente.O sistema MIU 31um metateorema de M. (Os resultados de Gdel, v.g., que veremos abaixo, so exemplosde metateoremas sobre determinados sistemas formais.) As distines entre teoremae metateorema,assim como entre linguagem objeto e metalinguagem,so facilmentecompreendidos depois de um pouco de experincia, de modo que continuaremos comode hbito a empregar a terminologia que vimos adotando de chamar de teoremas algunsresultados que na verdade so metateoremas (como o metateorema da completude dalgica elementar, do qual falaremos abaixo).Se assumirmos que as verdades lgicas de Mso as frmulas M-verdadeiras, entopodemos provar um teorema de completude paraM. A demonstrao deste fato no difcil de ser dada,e o leitor pode constatar intuitivamente (ainda que isso no tenhaestritamente valor matemtico) que uma frmula M-verdadeira pode ser provada ser umteorema de forma anloga ao caso (da prova) exemplicado acima. Reciprocamente, sealgo um teorema de M, fcil constatar que ela ser M-verdadeira.Exerccio 3.2.11. Mostre que + = um teorema de M.2. Porque podemos resolver o exerccio anterior simplemente contando os nmerosde s esquerda e direita do smbolo de igualdade (ou seja, porque essa contagemresponde a pergunta feita?)3. Construa um sistema formal MULT, similarmente a MAIS, cujos teoremas sejamfrmulas verdadeiras acerca da multiplicao de nmeros naturais. Depois, mostreque = um teorema desse sistema.3.2.2 O sistema MIUUm outro exemplo interessante de sistema formal foi apresentado por Douglas Hofstad-ter em seu livro Gdel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid (Hofstadter 1980). Ointeressante desse sistema que ele no tem, aparentemente, qualquer motivao intui-tiva. O alfabeto do sistema chamado de MIU consiste dos seguites trs smbolos:M, I,U. As frmulas so ocorrncias nitas e no vazias de smbolos do alfabeto. O nicoaxioma MI e h quatro regras de inferncia:(Regra I) A qualquer frmula terminada com I, pode-se acrescentar um U no nal (ouseja, se xI um teorema, ento xIU um teorema);32 SISTEMAS FORMAIS(Regra II) Dada qualquer frmula do tipoMx, pode-se duplicar a parte aps oMinicial, obtendo-se Mxx;(RegraIII)SetrsI ocorremconsecutivamenteemumafrmula, elespodemsersubstitudos por um U;(Regra IV) Dois U consecutivos podem ser deletados de qualquer teorema.Alguns fatos bsicos sobre MIU so por exemplo os seguintes:4MUIU um teoremadeste sistema, mas que MU no ; em smbolos, -MIUMUIU, mas -MIUMU. Aqui vaium resumo da soluo: o primeiro bastante simples,e o leitor no ter diculdadeem mostrar uma derivao de MUIU a partir da axiomtica dada;quanto ao segundo,basta vericar que as quatro regras de inferncia preservam a multiplicidade por 3:aprimeira e a quarta no alteram o nmero de Is em um teorema. Quanto segunda e terceira, verica-se que ambas, uma vez iniciando-se com um nmero mltiplo de 3 emum teorema, este nmero no alterado pela aplicao das regras (e elas no criam Is,mas apenas mudam em mltiplos de 3 os j