Lógica Formal

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Demonstrações Lógica Formal (1.1 a 1.4) Lógica Proposicional Lógica de Predicados Técnicas básicas de demonstração (2.1) Demonstrações por Indução Matemática (2.2) Primeiro Princípio de Indução Segundo Princípio de Indução

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Matemática Discreta. Lógica Formal.

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Page 1: Lógica Formal

Demonstrações

• Lógica Formal (1.1 a 1.4)

‣ Lógica Proposicional

‣ Lógica de Predicados

• Técnicas básicas de demonstração (2.1)

• Demonstrações por Indução Matemática (2.2)

‣ Primeiro Princípio de Indução

‣ Segundo Princípio de Indução

Page 2: Lógica Formal

Lógica Formal

• Proposições e Tautologias

• Lógica Proposicional

• Quantificadores e Predicados

• Lógica de Predicados

Page 3: Lógica Formal

Lógica é a “ciência do raciocínio”.

Aristóteles(384 a.C.–322 a.C.)

Leibniz(1646–1716)

George Boole(1815–1864)

Augustus De Morgan(1806–1871)

Page 4: Lógica Formal

Objetivos

• Proporcionar universalidade na representação do “raciocínio”.

‣ Evitar ambigüidades

• Garantir consistência

Page 5: Lógica Formal

A Lógica formal ignora o conteúdo de um argumento e se preocupa com a

validade da argumentação.

A Lógica formal fornece as estruturas básicas para descrever o método de pensar organizado e cuidadoso que

caracteriza qualquer atividade racional.

Page 6: Lógica Formal

Conceitos Primitivos

• Sentença

• Valores Lógicos

‣ Falso (F ou 0)

‣ Verdadeiro (V ou 1)

Page 7: Lógica Formal

Proposições

• Uma proposição é uma sentença que é falsa ou verdadeira.

• Em lógica, utilizamos proposições para representar afirmações que fazemos em linguagem natural (fatos e informações)

‣ Usaremos letras maiúsculas para representar proposições.

Page 8: Lógica Formal

Exemplo 1

• Quais das seguintes sentenças são proposições?

‣ A = “Dez é menor do que sete”;

‣ B = “Como você está?”;

‣ C = “Ela é muito talentosa”;

‣ D = “Existe vida em outros planetas do universo”.

Page 9: Lógica Formal

Exemplo 1

• Quais das seguintes sentenças são proposições?

‣ A = “Dez é menor do que sete”;

‣ B = “Como você está?”;

‣ C = “Ela é muito talentosa”;

‣ D = “Existe vida em outros planetas do universo”.

Page 10: Lógica Formal

Conectivos Lógicos

• Podemos usar conectivos lógicos para combinar proposições em expressões.

‣ Conjunção

‣ Disjunção

‣ Condicional

‣ Equivalência

‣ Negação

Page 11: Lógica Formal

Conjunção

• A expressão A ∧ B é chamada conjunção

• O símbolo ∧ é o conectivo lógico de conjunção (“e”).

• A e B são os fatores (ou elementos) da expressão.

• Qual é o valor lógico da expressão A ∧ B?

Page 12: Lógica Formal

A B A ∧ B

V V V

V F F

F V F

F F F

Tabela-Verdade da conjunção

Page 13: Lógica Formal

Disjunção

• Denotada pelo símbolo ∨ (“ou”)

A B A ∨ B

V V V

V F V

F V V

F F F

Page 14: Lógica Formal

Condicional• O conectivo → representa uma expressão

condicional

• A → B significa “se A, então B”

A B A → B

V V V

V F F

F V V

F F V

Page 15: Lógica Formal

Condicional

• Uma expressão condicional é também denominada “implicação”

‣ A → B também significa “A implica B”

• Suponha que A → B seja verdadeira, então:

‣ A ser verdadeira implica que B seja verdadeira

‣ B é uma condição necessária para A.

Page 16: Lógica Formal

Exemplo 2

• Expressão condicional (implicação)

‣ A = “Há fumaça”

‣ B = “Há fogo”

‣ A → B (“se há fumaça, então há fogo”)

Page 17: Lógica Formal

Equivalência

• O símbolo ↔ é o conectivo de equivalência

• A ↔ B = (A → B) ∧ (B → A)

A B A ↔ B

V V V

V F F

F V F

F F V

Page 18: Lógica Formal

Negação

• A negação é um conectivo lógico unário, simbolizada por ′ (“não”)

A A′

V F

F V

Page 19: Lógica Formal

Exemplo 3

• Negação de uma expressão

‣ A = “Pedro é alto”

‣ B = “Pedro é magro”

‣ (A ∧ B)′ = ???

Page 20: Lógica Formal

Exemplo 3

• Negação de uma expressão

‣ A = “Pedro é alto”

‣ B = “Pedro é magro”

‣ (A ∧ B)′ = “Pedro é baixo ou gordo”

Page 21: Lógica Formal

FBF

• Uma combinação válida de proposições e conetivos lógicos é denominada uma fórmula bem formulada (FBF)

‣ (A → B) ∧ (B → C) é uma FBF

‣ A)) → ∧C não é uma FBF

Page 22: Lógica Formal

• O valor lógico de uma FBF depende dos valores lógicos associados às proposições que fazem parte da fórmula.

• Podemos identificar o valor lógico para uma FBF construindo sua tabela-verdade.

Page 23: Lógica Formal

Ordem de Precedência

1. ′2. ∧, ∨

3. →4. ↔

Em uma FBF, o último conectivo a ser aplicado é denominado o conectivo principal.

Exemplos:A ∨ (B′) = A ∨ B′ (A ∨ B) → C = A ∨ B → C

Page 24: Lógica Formal

Exemplo 4

• Construa a tabela-verdade para a seguinte fórmula:

‣ A ∨ B′ → ( A ∨ B)′

Page 25: Lógica Formal

Exemplo 4

• Construa a tabela-verdade para a seguinte fórmula:

‣ A ∨ B′ → ( A ∨ B)′

A B B′ A ∨ B′ ( A ∨ B) ( A ∨ B)′ A ∨ B′ → ( A ∨ B)′V V F V V F F

V F V V V F F

F V F F V F V

F F V V F V V

Page 26: Lógica Formal

Tautologia

• Uma tautologia é uma FBF “intrinsecamente verdadeira” pela sua própria estrutura.

‣ Ela assume o valor verdadeiro (V) independentemente do valor associado às proposições da fórmula.

• Exemplos:

‣ A ∨ A′

‣ (A → B) ↔ (B′ → A′)

Page 27: Lógica Formal

Contradição

• Uma contradição é uma FBF cujo valor lógico é sempre falso

• Exemplos

‣ A ∧ A′

‣ (A ∨ A′) → (B ∧ B′)

Page 28: Lógica Formal

FBFs Equivalentes

• Sejam P e Q duas FBFs

• Se P ↔ Q é uma tautologia, então dizemos

que P e Q são FBFs equivalentes.

‣ P ⇔ Q

Page 29: Lógica Formal

Equivalências Tautológicas

• A ∨ B ⇔ B ∨ A (comutatividade)

• (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C) (associatividade)

• A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (distributividade)

• A ∨ F ⇔ A (elemento neutro)

• A ∧ V ⇔ A (elemento neutro)

Page 30: Lógica Formal

Leis de Morgan

(A ∨ B)′ ⇔ A′ ∧ B′

(A ∧ B)′ ⇔ A′ ∨ B′

Page 31: Lógica Formal

Exercício 1

• Utilize a notação simbólica da lógica formal para representar as seguintes expressões.

1. Tanto ir dormir como ir nadar é uma condição suficiente para a troca de roupa; além disso, mudar a roupa não significa que se vai nadar.

2. Vai chover ou nevar, mas não ambos.

3. Se Jane vencer ou perder, ela vai ficar cansada.

4. Ou Jane irá vencer ou, se perder, ela ficará cansada.

Page 32: Lógica Formal

Exercício 2

• Construa a tabela-verdade para a seguinte fórmula:

‣ (A ∨ A′) → (B ∧ B′)

Page 33: Lógica Formal

Exercício 3

• Prove que é verdadeira a seguinte Lei de Morgan (A ∨ B)′ ⇔ A′ ∧ B′

Page 34: Lógica Formal

Exercício 4

• Suponha que você está viajando em um país onde todo habitante é completamente honesto ou completamente mentiroso. Você encontra dois habitantes daquele país: Parcival e Levelim. Parcival diz: “pelo menos um de nós é mentiroso”.

‣ Parcival é honesto ou mentiroso?

‣ E Levelim?

Page 35: Lógica Formal

Lógica Formal

• Proposições e Tautologias

• Lógica Proposicional

• Quantificadores e Predicados

• Lógica de Predicados

Page 36: Lógica Formal

Lógica Proposicional

• Um sistema formal de regras de dedução

‣ Como chegar a conclusões a partir de proposições dadas?

• Objetivo: provar a validade de um argumento

Page 37: Lógica Formal

Argumentos

• Uma argumento é uma FBF proposicional na seguinte forma:

‣ P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q

‣ P1, P2, … ,Pn são denominadas hipóteses;

‣ Q é a conclusão do argumento.

Page 38: Lógica Formal

Q pode ser deduzido de P1, P2, … ,Pn ?

Q é uma conclusão lógica de P1, P2, … ,Pn ?

• Q é uma conclusão lógica de P1, P2, … , Pn sempre que a verdade das proposições P1, P2, … , Pn implica na verdade de Q.

‣ Quando P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q é verdadeiro

Page 39: Lógica Formal

Argumentos Válidos

• Uma FBF proposicional na forma P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q é um argumento válido quando for uma tautologia

• Um argumento válido é “intrinsecamente verdadeiro”.

Page 40: Lógica Formal

Como podemos verificar se um argumento é válido?

Page 41: Lógica Formal

Regras de Dedução

• A lógica formal define regras que nos permitem deduzir uma conclusão a partir de hipóteses.

‣ Podem ser usadas para demonstrar a validade de um argumento

‣ As regras de dedução modificam as FBFs, mas preservam o seu valor lógico

Page 42: Lógica Formal

Demonstrações

• Uma demonstração é uma seqüência de FBFs na qual cada fórmula é:

‣ uma hipótese ou

‣ o resultado de se aplicar uma regra de dedução às fórmulas anteriores.

Page 43: Lógica Formal

Para demonstrar a validade de um argumento P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q

podemos derivar a conclusão Qaplicando as regras de dedução nas hipóteses

(ou fórmulas decorrentes)

P1

P2

…Pn

FBF1

…FBFn

Q

Page 44: Lógica Formal

As Regras de Dedução

• Existem dois tipos de regras de dedução na Lógica Proposicional:

‣ Equivalências (reescrever fórmulas anteriores)

‣ Inferências (deduzir novas fórmulas a partir das anteriores)

Page 45: Lógica Formal

Regras de Equivalência

• R ⇔ S significa que R ↔ S é uma tautologia.

• Neste caso, R pode ser substituída por S em uma fórmula, sem mudança do valor lógico da forma.

Page 46: Lógica Formal

As Regras de EquivalênciaEquivalência Nome da regra

P ∨ QP ∧ Q

Q ∨ PQ ∧ P

Comutatividade

(P ∨ Q) ∨ R(P ∧ Q) ∧ R

P ∨ (Q ∨ R)P ∧ (Q ∧ R)

Associatividade

(P ∨ Q)′(P ∧ Q)′

P′ ∧ Q′P′ ∨ Q′ Leis de Morgan

P → Q P′ ∨ Q Condicional

P (P′)′ Dupla negação

P ↔ Q (P → Q) ∧ (Q → P) Equivalência

Page 47: Lógica Formal

Regras de Inferência

• Permitem deduzir uma nova fórmula, a partir das fórmulas que fazem parte da seqüência da demonstração.

‣ Também preservam os valores lógicos

‣ Não são “aplicáveis em ambas as direções” como as regras de equivalência

Page 48: Lógica Formal

As Regras de Inferência

De Podemos concluir Nome

P , P → Q Q Modus Ponens

P → Q , Q′ P′ Modus Tollens

P , Q P ∧ Q Conjunção

P ∧ Q P , Q Simplificação

P P ∨ Q Adição

Page 49: Lógica Formal

Exemplo

• Demonstre que o argumento a seguir é válido:

‣ A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

Page 50: Lógica Formal

A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

Page 51: Lógica Formal

A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

1. A hip

Page 52: Lógica Formal

A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

1. A hip

2. (B → C) hip

Page 53: Lógica Formal

A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

1. A hip

2. (B → C) hip

3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip

Page 54: Lógica Formal

A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

1. A hip

2. (B → C) hip

3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip

4. B hip

Page 55: Lógica Formal

A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

1. A hip

2. (B → C) hip

3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip

4. B hip

5. C 2, 4 mp

Page 56: Lógica Formal

A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

1. A hip

2. (B → C) hip

3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip

4. B hip

5. C 2, 4 mp

6. A ∧ B 1, 4 conjuncao

Page 57: Lógica Formal

A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

1. A hip

2. (B → C) hip

3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip

4. B hip

5. C 2, 4 mp

6. A ∧ B 1, 4 conjuncao

7. D ∨ C′ 3, 6 mp

Page 58: Lógica Formal

A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

1. A hip

2. (B → C) hip

3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip

4. B hip

5. C 2, 4 mp

6. A ∧ B 1, 4 conjuncao

7. D ∨ C′ 3, 6 mp

8. C′ ∨ D com

Page 59: Lógica Formal

A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

1. A hip

2. (B → C) hip

3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip

4. B hip

5. C 2, 4 mp

6. A ∧ B 1, 4 conjuncao

7. D ∨ C′ 3, 6 mp

8. C′ ∨ D com

9. C → D cond

Page 60: Lógica Formal

A ∧ (B → C) ∧ [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] ∧ B → D

1. A hip

2. (B → C) hip

3. [(A ∧ B)→(D ∨ C′)] hip

4. B hip

5. C 2, 4 mp

6. A ∧ B 1, 4 conjuncao

7. D ∨ C′ 3, 6 mp

8. C′ ∨ D com

9. C → D cond 10. ∴D 5, 9 mp

Page 61: Lógica Formal

Exercício

• Demonstre que

‣ [(A ∨ B′) → C] ∧ (C→D) ∧ A → D

Page 62: Lógica Formal

Método Dedutivo

P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → ( R → S )

P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn ∧ R → S

Page 63: Lógica Formal

Silogismo Hipotético

(P → Q) ∧ (Q → R) → (P → R)

Page 64: Lógica Formal

Como podemos representar a sentença a seguir com a simbologia da Lógica Proposicional?

“Para todo X, X é maior que 0.

Page 65: Lógica Formal

Predicados

• Um predicado descreve uma propriedade particular P de uma variável x

‣ Notação P(x)

• O valor lógico de P(x) depende do valor e do domínio de x

• Exemplo:

‣ P(x) é a propriedade de x ser par, dado que o conjunto universo é o conjunto dos inteiros.

Page 66: Lógica Formal

Quantificadores

Nome Símbolo Exemplo

Quantificador Universal

∀(∀x) P(x)

“Para todo x, P(x) é verdadeiro”

Quantificador Existencial

∃∃(x) P(x)

“Existe algum x, tal que P(x) é verdadeiro”

Page 67: Lógica Formal

Escopo

• “Símbolos de agrupamento”, como parênteses ou colchetes, identificam o escopo de um quantificador.

‣ Escopo é a “parte” da fórmula à qual o quantificador se aplica

• Uma variável livre é uma variável que não faz parte de um quantificador.

Page 68: Lógica Formal

Exemplo de Predicado

• Domínio: é o conjunto dos números inteiros

• P(x): “x é par”

‣ P(1) é falso

‣ P(4) é verdadeiro

‣ (∀x)P(x) é falso

‣ (∃x)P(x) é verdadeiro

Page 69: Lógica Formal

Exemplo

• Determine o valor lógico da fórmula predicada a seguir:

• (∃x) ( P(x) ∧ (∀y)[(Q(x,y)→R(y)] )

‣ P(x): “x > 0”

‣ Q(x,y): “x > y”

‣ R(y): “y ≤ 0”

‣ O domínio é o conjunto dos números inteiros

Page 70: Lógica Formal

Exemplo

• Determine o valor lógico da fórmula predicada a seguir:

• (∃x) ( P(x) ∧ (∀y)[(Q(x,y)→R(y)] )

‣ P(x): “x > 0”

‣ Q(x,y): “x > y”

‣ R(y): “y ≤ 0”

‣ O domínio é o conjunto dos números inteiros

Verdadeiro

Page 71: Lógica Formal

Exemplo

• Determine o valor lógico da fórmula predicada a seguir:

• (∀x)(∃y) ( P(x,y) )

‣ P(x,y): “x+y=0”

‣ O domínio é o conjunto dos números inteiros

Page 72: Lógica Formal

Exemplo

• Determine o valor lógico da fórmula predicada a seguir:

• (∀x)(∃y) ( P(x,y) )

‣ P(x,y): “x+y=0”

‣ O domínio é o conjunto dos números inteiros

Verdadeiro

Page 73: Lógica Formal

Exemplo

• Escreva a sentença “Todo papagaio é feio” como uma fórmula predicada.

‣ P(x) : “x é um papagaio”

‣ F(x) : “x é feio”

‣ (∀x) [ P(x) → F(x)]

• “Existe um papagaio feio”

‣ (∃x) [P(x) ∧ F(x)]

Page 74: Lógica Formal

Exercício• Usando os símbolos predicados E(x): “x é um

estudante”, I(x): “x é inteligente” e M(x): “x gosta de música”, escreve fórmulas que descrevam as sentenças abaixo. O domínio é o conjunto das pessoas.

‣ Todos os estudantes são inteligentes.

‣ Alguns estudantes inteligentes gostam de música.

‣ Existem estudantes que não gostam de música.

‣ Apenas estudantes inteligentes gostam de música.

Page 75: Lógica Formal

Validade

• O valor lógico de uma fórmula predicada depende da interpretação (propriedade+domínio).

• Uma fórmula predicada é válida se ela é verdadeira para qualquer interpretação.

• A validade de uma fórmula predicada deve ser deduzida de sua forma

‣ a validade independe de qualquer interpretação

Page 76: Lógica Formal

Para mostrar que uma fórmula predicada não é válida, basta apresentar uma interpretação para

a qual a fórmula é falsa.

Exemplo:

(∃x)P(x) → (∀x)P(x)

Se o domínio de x é o conjunto dos números inteiros e P(x) significa que “x é par”, então é

verdade que existe um número inteiro par, mas é falso que todos os números inteiso são pares.

Page 77: Lógica Formal

Lógica de Predicados

• Um sistema lógico formal que nos permite demonstrar a validade de argumentos com fórmulas predicadas.

‣ conjunto de regras de dedução para construir uma seqüência de demonstração que, a partir das hipóteses, chega à conclusão.

‣ este conjunto inclui as regras de equivalência e inferência da lógica proposicional.

Page 78: Lógica Formal

De Podemos deduzir Nome

(∀x)P(x) P(t), t é uma variável ou constante.

Particularização Universal - pu

(∃x)P(x) P(c), c é uma constante. Particularização Existencial - pe

P(x) (∀x)P(x) Generalização Universal - gu

P(x) ou P(c), x é uma variável e c é uma constante.

(∃x)P(x) Generalização Existencial - ge

Page 79: Lógica Formal

Exercício

• Considere o domínio dos números inteiros

• P(x): “x é ímpar”

• Q(x): “x é par”

• A fórmula a seguir é válida?

‣ (∀x) [ P(x) ∨ Q(x)] → (∀x)P(x) ∨ (∀x)Q(x)

Page 80: Lógica Formal

Exercícios

• Demonstre os argumentos a seguir:

‣ “Todos os humanos são mortais. Sócrates é humano. Portanto, Sócrates é mortal.”

‣ (∀x)[P(x)→Q(x)] ∧ (∀x)P(x) → (∀x)Q(x)

‣ (∀x)[P(x) ∧ Q(x)] → (∀x)P(x) ∧ (∀x)Q(x)

Page 81: Lógica Formal

Desafio

• Mostre que o seguinte argumento é válido: “Todo computador tem uma porta serial. Alguns computadores têm uma porta paralela. Portanto, alguns computadores têm uma porta serial e uma porta paralela”.

Page 82: Lógica Formal

É a forma do argumento que interessa,não o conteúdo.