RESOLUCIN DE PROBLEMA

UNIDAD 1LGICA MATEMTICAS

Introduccin:La palabra lgica se deriva de la palabra griega logos que significa razonamiento o discurso.

La lgica matemtica es la disciplina que trata de mtodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lgica proporciona reglas y tcnicas para determinar si es o no vlido un argumento dado.

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El razonamiento lgico se emplea en matemticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computacin para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias fsica y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lgico para realizar cualquier actividad.

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Definicin de lgica de acuerdo a algunos autores:Para Gorski: Lgica es la ciencia de las formas del pensamiento cientfico estudiadas desde el punto de su estructura; la ciencia de las leyes que deben observarse para obtener un conocimiento inferido; la lgica estudia tambin los procedimientos lgicos generales utilizados para el conocimiento de la realidad.

Segn Fingemann: Lgica en la ciencia de las formas y leyes del pensamiento, que nos da normas para la investigacin cientfica y nos suministra un criterio de verdad.

Entonces se puede decir que la lgica en una ciencia que ensea a razonar con exactitud y que posee un lenguaje exacto, el cual para su desarrollo utiliza reglas las cuales nos permite obtener una conclusin

PROPOSICINDefinicin.- Una proposicin es una unidad semntica que, o slo es verdadera o slo es falsa.

La proposicin es un elemento fundamental de la lgica matemtica; generalmente se las expresa en oraciones declarativas o aseverativas, tales como:

Oraciones afirmativas. (Informan). Ej.: Maana es lunes.

Oraciones descriptivas. (Describen). Ej.: La tiza es blanca

Oraciones explicativas. (Explican). Ej.: Si hace fro entonces es invierno

Oraciones que son proposiciones5 es un nmero primo.- 17 + 38 = 21.Todos los nmeros enteros son positivos.Vicente Rocafuerte fue presidente del Ecuador.

Las oraciones anteriormente expuestas son proposiciones, ya que son verdaderas o falsas.

Representacin simblica de ProposicionesLas proposiciones se representan simblicamente por medio de las primeras letras del alfabeto en minscula, dos puntos y la proposicin propiamente dicha.

Ejemplo: 5 es un nmero primo a: 5 es un nmero primo.

Oraciones que no son ProposicionesLas oraciones exclamativas. (Sentimientos, interjecciones). Ej.: socorro!, auxilio! te quiero!Las oraciones imperativas. (rdenes), Ej.: Cierra la puerta; te vas afuera.Las desiderativas. (Deseos, splicas). Ej.: Ojala no haya clases.Las oraciones interrogativas. (Preguntas). Ej.: Qu hora es?

EJERCICIOS : INDIQUE PORQUE NO SON PROPOSICIONESLava el auto, por favor.Hola, Cmo ests?Aprate!Maana se acabar el mundo!Come rpido.

X+5 = 9 (no es una proposicin porque su valor de verdad no se puede determinar).

CLASES DE PROPOSICIONESLas proposiciones se clasifican en proposiciones simples o atmicas y proposiciones compuestas o moleculares:

Proposiciones Simples o atmicas.- son aquellas que no poseen operador lgico.

Ejemplo:a: Todo organismo viviente se adapta a su medio fsico.b: Si un nmero es divisible por 4 tambin lo es por 2c: (a+b) = a+2ab+b

Proposiciones Compuestas o moleculares.- estn formadas por otras proposiciones y operadores lgicos.

Ejemplos:p: La nia Mara canta y su hermano Luis toca el piano.q: Ecuador es un pas Amaznico y latinoamericano.Los conectivos lgicos son elementos gramaticales que unen dos o ms proposiciones simples.

VALOR DE VERDADDefinicin.- El valor de verdad de una proposicin es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposicin. Este puede ser verdadero o falso.

El valor verdadero se lo asocia con: 1, V, T, True.El valor falso se lo asocia con: 0, F, False. La convencin que usaremos es 0 y 1

Ejemplo: a: -17+38=21b: Todos los nmeros enteros son positivos.

Podemos observar que el valor de verdad de la primera proposicin es VERDADERO, mientras que el valor de la segunda proposicin es falso.

TABLA DE VERDADDefinicin.- Una tabla de verdad es una representacin de los posibles valores de verdad que podra tomar una proposicin.

Las tablas de verdad sirven para mostrar los valores, las relaciones y los resultados posibles al realizar operaciones lgicas.

Ejemplo: Construccin de tablas de verdad.La cantidad de combinaciones (filas de la tabla de verdad) depende de la cantidad de proposiciones presentes en la expresin lgica.

PROPOSICIONES Y VALOR DE VERDADa

bc

def

VFVVVVVVVVVVVVVVVVFFFFFFFFFFFFFFFFEn general para n proposiciones, se pueden presentar 2n posibilidades 212223Las tablas de verdad son representaciones grficas, en forma de arreglos, que sirven para analizar los posibles valores de verdad que puede tener una proposicin simple o compuesta.

OPERADORES LGICOSEn nuestro lenguaje comn usamos frecuentemente proposiciones ms complejas, no tan simple o elementales.

Ejemplos: Proposiciones que no son simple.Surge la necesidad de definir los nexos de estas proposiciones a los cuales se denominan conectores u operadores lgicos.

NEGACIN Este operador cambia el valor de verdad de una proposicin: si a es una proposicin verdadera, a es falsa; si a es una proposicin falsa, a es verdadera. La negacin se presenta con los trminos gramaticales:nono es verdad queno es cierto que

Tabla de verdad de la negacinSea a una proposicin, la negacin de a, representada simblicamente por a, es una nueva proposicin, cuyo valor de verdad est dado por la siguiente tabla de verdad.

Ejemplo Negacin de Proposiciones

CONJUNCIN (^)Este operador lgico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposicin resultante ser verdadera solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es verdadero.

La conjuncin se presenta con los trminos gramaticales: y, pero, ms, y signos de puntuacin como: la coma, el punto, y el punto y coma.

Tabla de verdad de la Conjuncin

Ejemplo: Conjuncin de Proposiciones

DISYUNCIN (V)Este operador lgico relaciona dos proposiciones para formar una nueva, en la cual la proposicin resultante ser falsa solamente cuando el valor de verdad de ambas proposiciones es falso.

La Disyuncin se presenta con el trmino gramatical o.

Tabla de verdad de la Disyuncin

Ejemplo: Disyuncin de ProposicionesSi se tienen las proposiciones:a: Tengo un libro de Trigonometra.b: Tengo un libro de lgebra.

La disyuncin entre a y b es:avb: Tengo un libro de Trigonometra o uno de lgebra.

Como se podr notar en este ejemplo, existe la posibilidad de poseer ambos libros, razn por la cual esta disyuncin recibe el nombre de disyuncin inclusiva.

Suelen presentarse situaciones que son mutuamente excluyentes entre s. La expresin o estoy en Quito o estoy en Guayaquil denota la imposibilidad de estar fsicamente en Quito y Guayaquil al mismo tiempo.

CONDICIONALViene a ser la combinacin de dos proposiciones con si entonces.Se lee si p entonces q.REGLA.- Una proposicin condicional es falsa cuando la primera proposicin es verdadera y la segunda es falsa. Es verdadera en cualquiera de las otras formas

Tabla de verdad de la Condicional

Terminologa gramatical de la CONDICIONAL

Ejemplo: Condicional de Proposiciones

BICONDICIONALEs la unin de dos proposiciones por si y slo si. Se lee a si y slo si b.REGLA.- Una proposicin bicondicional es verdadera cuando, o sus dos componentes son verdaderos o sus dos componentes son falsos.Trminos gramaticales: a si y slo b, a si y solamente b, a implica b y b implica a,

Tabla de verdad de la Bicondicional

Ejemplo: Bicondicional de Proposiciones

Polinomios Booleanos

Un polinomio booleano es una proposicin compuesta, donde el valor de verdad de las proposiciones componentes es variable.

Ejemplos de Polinomios Booleanos

Operaciones de Polinomios Booleanos

Operaciones de Polinomios Booleanos

Operaciones de Polinomios Booleanos

Orden de los Operadores Lgicos

Los signos de agrupacin ms conocidos son: el parntesis ( ), corchete [ ] y llaves . Estos signos reemplazan a los signos gramaticales: punto (.), la coma (,), el punto y como (;), y los dos puntos (:). Regla 1.- Si no hay signos de puntuacin ni parntesis se debe considerar el siguiente orden de menor a mayor jerarqua de los operadores y de izquierda a derecha, para ubicar los parntesis

Orden de los Operadores Lgicos

Regla 2.- Si las proposiciones tienen el mismo tipo de operador o conectivo lgico, se debe colocar los parntesis de izquierda a derecha as:

Orden de los Operadores Lgicos

Regla 3.- Si la proposicin compuesta est escrita con parntesis, la ubicacin de stos nos indicar cul es el operador predominante:

Orden de los Operadores Lgicos

Regla 4.- Si un esquema molecular no lleva los signos de agrupacin, se puede indicar cul es el operador predominante as:

EjerciciosFormaliza las siguientes proposiciones:No es cierto que no me guste bailarMe gusta bailar y leer libros de ciencia-ficcin.Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustara acariciarlos.Si y slo si viera un marciano con mis propios ojos, creera que hay vida extraterrestre.Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un energmeno.Si los elefantes volaran o supieran tocar el acorden, pensara que estoy como una regadera y dejara que me internaran en un psiquitrico.Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar.

Solucin[B me gusta bailar]. (B)

[B me gusta bailar. C me gusta leer libros de ciencia ficcin]. B C

[G los gatos de mi hermana sueltan pelo. A me gusta acariciar los gatos ]. GA

[M ver un marciano con mis propios ojos. E creer en los extraterrestres ]. M E

[P salir a dar un paseo. E estudiar como un energmeno]. P V E

[V los elefantes vuelan. T los elefantes tocan l acorden. L estar loco. P internar en un psiquitrico ]. ( V V T ) ( l P)

[ V ir de vacaciones. N no hacer nada. T tener tiempo. I ir a trabajar]. (T I ) (V V N )

EjerciciosFormaliza la siguientes proposicin:Si tuvieran que justificarse ciertos hechos por su enorme tradicin entonces, si estos hechos son inofensivos y respetan a todo ser viviente y al medio ambiente, no habra ningn problema. Pero si los hechos son brbaros o no respetuosos con los seres vivientes o el medio ambiente, entonces habra que dejar de justificarlos o no podramos considerarnos dignos de nuestro tiempo.

J. Justificar hechosT. Enorme tradicin.I. hechos inofensivos y respetan a todo ser vivo y al medio ambienteN. no hay problemaD. dignos de nuestro tiempo

[(J T) (I N)] [(-I -J) V D]

EjerciciosFormaliza la siguientes proposicin:Mary puede escribir el programa en Fortran o Pascal o de plano no escribirlo. Si no escribe el programa sacar cero y reprobar el curso. Si reprueba el curso ser puesta en el padrn de jalados y si se saca cero su novio la dejar. Si Mary escribe el programa en Fortran reprobar el curso pero si lo escribe en Pascal pasar.

P: Mary escribe el programa en PascalQ: Mary escribe el programa en FortranR: Mary no escribe el programaS: Mary saca un ceroT: Mary reprueba el cursoU: Mary es puesta en el padrn de jaladosV: El novio de Mary la deja.

(PVQVR) (PVQR) (R(S T) (TU) (QT) (PT)