Logica Para Concursos_Excelente

8/3/2019 Logica Para Concursos_Excelente

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~

RACIOCINIO~

L06ICO

C O N C U R S O S P U B L I C O S /

I = O R M A t ; A O D E P R O I = E S S O R E S

(teoria, questoes comentadas, exercfcios propostos)

lIydio Pereira de S a



Meu passarinho

Nao tern penas ou bico comprido,

mas assobia como as aves.

Nao e urn grande passaro,

mas tern asas que abrigaram oito filhos.

Nao e uma aguia,

mas tern urn olhar certeiro,

que pressente os tropecos que a vida pode nos trazer.

Meu passarinho querido

e a minha linda, sabia, alegre, viva e lucida mae,

que, aos 90 anos, ainda e a minha melhor professora.

A minha querida mae Nilza,

com 0meu eterno agradecimento.

Ilydio

Marco de 2008



"PR~~ACIO

Quando 0 professor Ilydio me falou sobre seu novo livro, fiquei

muito contente. Logo pensei: sao boas notlcias para os nossos

alunos e certamente um enorme desafio para 0 Ilydio! Sim, isso

mesmo, um desafio! Depois de escrever "A Magia da Matematica"

e experimentar 0 estrondoso sucesso, a certeza que todos n6s de-

positavarnos sobre Ilydio tornaram-se expectativas: sera que sua

nova obra estara no mesmo patamar, ou acima?Quando eu vi 0 titulo "Raciocfnio L6gico: concursos e formac,;ao

de professores", confesso que fiquei preocupado. 0 motivo de

minha preocupacao residiu sobre a proposta da obra: como seria

possfvel conciliar a preparacao para concursos com a formacao de

professores? N6s, professores, sabemos que, no meio dos concur-

sos, a postura que reina absoluta entre os alunos eo imediatismo.

Tudo deve ser resolvido rapidamente, pelo atalho e pelo macete.

Na formacao de professores, ao contrario, buscamos uma postura

que busca a totalidade e a lnterligacao de saberes. A resolucao de

problemas se da de modo mais lento, atraves de discuss6es dasquais todo imediatismo passa longe. Como conciliar posturas tao

antagon icas?

Ap6s concluir a leitura desta obra, tiro 0 chapeu para 0 grande

Mestre lIydio Pereira de Sa! 0 seu texto consegue ser dlnamico

e profundo, interessante e agil, com exercfcios e exposicoes

interessantlssimas. As dezenas e mais dezenas de exercfcios pro-

postos, e com gabarito, foram muito bem escolhidas e servem aos

objetivos do texto como complemento e reforco, sem abrir mao da

perturbacao tao importante que fara 0 leitor repensar os conteudos

apresentados. A leveza de "A Magia da Maternatica" nao foi um

acaso, ela agora se institui como 0 estilo de seu autor.

o candidato que se prepara para um concurso encontrara um

texto objetivo que apresenta tudo 0 que deve ser apresentado, de

uma maneira diferenciada, que certamente se perpetuara sobre a

pr6pria preparacao do candidato. Apostilas sobre 0 mesmo as-

sunto sao sempre superficiais e apenas apresentam exercfcios,

desprovidos de contexto. E pouco provavel que, ao ler "Ra-



VI Raciocfnio toglco

ciocinio L6gico: concursos e formac;ao de professores", 0 leitor se

sinta inseguro. 0 texto e auto-suficiente e representara uma pode-

rosa ferramenta para a construcao de seus conhecimentos.

Os alunos de graduacao e pos-graduacao na area de educacao

rnaternatica encontrarao um texto rico, recheado de bons mo-

tivos para discuss6es. A enorme experiencia do professor Ilydio

na area de formacao de professores se torna mais aparente e

um lindo livro, bastante diferente daqueles livros classicos sobre

l.ogica e Teoria dos Conjuntos elaborados durante 0movimento daMaternatica Moderna, entao se coloca!

Parabens ao professor Ilydio, a Editora Ciencia Moderna e tam-

bern a voce leitor. Escrever,viabilizar e ter acesso a tal material nao

e para qualquer um!

Dr. Carlos Eduardo Mathias da Motta

Doutor em MatemcWca pe/a UFRJ. Professor Adjunto da Universi-

dade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ).



S U M A R I O

Prefacio v

Introdu~ao 1

1) No~oes Basicas da L6gica Matematica 3

1.1)Proposi~6es - Calculos Proposicionais 3

Exerdcios Propostos (lista 1) 19Gabarito (lista 1) 29

1.2) Problemas com Tabelas 32

Exerdcios Propostos (Iista 2) 37

Gabarito (lista 2) 51

1.3) Argumentacao L6gica: 52

Exerdcios Propostos (Iista 3) 61


1.4) Argumento Dedutivo e Argumento Indutivo 72

2) A Teoria dos Conjuntos e Problemas com Diagramas 75

Exerdcios Propostos (lista 4) 85


3) Questoes Classlcas de Raciocfnio e

Importantes Metodos Algebricos e Aritmeticos 99

3.1) Regrade Tres 99

3.2) Regrade Sociedade 103

3.3) Regra do Falso Nurnero ou da FalsaPosicao 106

Exerdcios Propostos (lista 5) 11 7


3.4) 0Prindpio da Casa dos Pombos 126



VIII Raciocfnio toglco

3.5) Aplicando as Operacoes Inversas(do Fim para 0Corneco) 128

3.6) 0 Principio Multiplicativo, Problemasde Contagem e de Probabilidades 132

Exercicios Propostos (lista 6) 139


3.7) Sequencias L6gicas e Lei de Formacao 150

Exercicios Propostos -lista 7 153


4) Verdades e Mentiras 167

Exercicios Propostos -lista 8 175


5) Questoes Gerais de Raciocinio L6gico 185

Gabarito • Exercicios Gerais 205

Bibl iografia 20 7

OAutor 209



~~ ~ ~t : ' RACIOC IN IO L061CO ___,

"~I

" INTRODU~AO:

Nos concursos publicos, com a prova de Raciodnio L6gico,

procura-se medir a habilidade do candidato em entender a estru-

tura 16gica de relacoes entre pessoas, lugares, coisas ou eventos,

deduzir novas informacoes e avaliar as condicoes usadas para es-

tabelecer a estrutura daquelas relacoes.

As questoes das provas, normalmente, tratam das areas:

estruturas 16gicas; 16gica de argurnentacao: diagramas 16gicos; ra-

ciodnio verbal; raciodnio rnaternatlco: raciodnio sequencia]: ra-

ciodnio espacial e temporal.

As competencies acima descritas sao tarnbern fundamentais

na formacao de qualquer cidadao, seja nas aulas de maternatica ou

nas demais areas do conhecimento.

Algumas vezes, nas provas de raciodnio 16gico, sao tam-

bern exigidos alguns conteudos de maternatica basica, como: Re-

gra de Tres, Regra de Sociedade, Problemas de Contagem e Proba-

bilidades. Alguns desses temas serao tambern abordados no livro,

sem a pretensao de esgota-los nessa publicacao,

Dessa forma, nossos objetivos ao escrever esse livro foram:

1) Fornecer material de consulta e estudo para candidatos aos di-

versos concursos publicos do pais, como os que sao normal mente

elaborados pelas lnstituicoes, como: Fundacao Carlos Chagas,

Vunesp, Cespe, Esaf, Fundacao Cesgranrio, UFRJ, FEC, UNB, entre

outras.

2) Servir de fonte de consulta para professores e licenciandos de



2 Raciocfnio toglco

rnatematica, que encontrarao aqui material complementar a sua

formacao com diversas sugestoes de exercfcios e atividades que

possam contribuir para 0 preparo de suas aulas, visando 0 desen-

volvimento do raciocfnio 16gicornaternatico de seus alunos.

o nosso trabalho esta dividido em cinco partes:

I) Nocoes Basicas da L6gica Matematica,

II) A Teoria dos Conjuntos e os "Problemas com Diagramas".III) Ouestoes Classicas de Raciocfnio e Importantes Metodos Alge-

bricos e Aritmeticos,

IV) Verdades e Menti ras

V) Ouestoes gerais sobre Raciocfnio L6gico



-" " "I) MO£ ;O~S BAS ICAS D~ L 06 1CA MAT~MAT ICA

- ".1 ) PROPOSI£ ;O~S - CALCULO PROPOS IC IOMAL

- "D~~IM I£;O~S BASICAS :

• Denominamos proposicao a todo conjunto de palavras ou

sfmbolos que exprimem um pensamento de senti do completo.

~X~MPLOS:a) A lua e um satelite da Terra.

b) 7 < 9

c) Pele e 0 nome de um planeta do Sistema Solar.

As proposicoes sao sentencas fechadas e que podem ser

c1assificadas como verdadeiras ou falsas.

Uma sentence do tipo x > 2 nao pode ser considerada uma

proposlcao pois 0julgamento de sua veracidade vai depender do valoratribufdo a variavel x. Sentencas deste tipo sao denominadas abertas.

~X~MPLOS:

a) "Fulano" e jogador de futebol.

b)3x+2=11

c) "Ela" e eficiente.

• Denomina-se conjunto Universo de uma sentenca aber-

ta ao conjunto formado por todos os valores que a variavel pode

assumir. Ao subconjunto formado pelos valores da variavel quetornam a sentenca verdadeira denominamos conjunto verdade ou

conjunto solucao da sentenca aberta.

~X~MPLO:Considere a sentenca aberta: x e um nurnero natural, multiple de 3.

Considere ainda 0conjunto Universo {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10} Neste



4 Raciocfnio toglco

conjunto universo, 0 conjunto verdade da sentenca sera:{3,6,9}

aBS: Simbolizaremos porV ou Fosvalores 16gicosde uma proposicao,

representando, respectivamente uma verdade e uma falsidade.

. . . . , . . . . ,

P R O P O S '~ O ~ S S 'M PL ~ S ~ P R O P O S '~ O ~ S C O M PO S T A S :

Uma proposicao podera sersimplesou atomica, senaocontem

nenhuma outra proposlcao como parte integrante de si mesma.

~ X ~ M P L O S :a) p: Carlos e inteligente.

b) q: 7 e urn nurnero par.

Uma proposicao sera denominada composta se for formada pela

cornbinacao de duas ou mais proposicoes simples.

~ X ~ M P L O S :

a) p: Carlos e inteligente e Manoel e torcedor do Botafogo.b) q: Se Pedro e sozinho, entao e infeliz.

aBS: Normalmente representaremos as proposicoes simples ou

compostas por letras rninusculas do nosso alfabeto, como nos

exemplos anteriores.

CON~CT 'VO S ~ M O D ' I = ' C A D O R ~ S :

Sao termos, slmbolos ou palavras que usamos para combi-

nar proposicoes simples, tornando-as proposicoes compostas.

E usual representarmos as proposicoes compostas ou sim-

ples atraves de tabelas das possibilidades de seus valores 16gicos

(V ou F), que denominaremos tabelas-verdade. Ap6s 0 estudo dos

conectivos iremos desenvolver urn estudo mais detalhado sobre as

tabelas-verdade.



Nocoes Basicas de toglca Maternatica 5

Os p rin cip a is cone c tiv os e mod ific a do re s u sados em 16g ic asao:

A) Negacao:

Se uma propos icao p for ve rdade ira , a sua ne gacao (~p) se ra

fa lsa e se a propos lcao p for fa lsa, a sua ne gacao ~p se ra ve rdade ira .

A tabe la-ve rdade que re pre se nta uma proposicao pe a sua

negacao ~p se ra :

p ~p

V F

F V

B ) Conjuncao ("e ") , s imbo lo A :

D adas duas propos icoe s p e q, a conjun¢o de ssas proposicoe s

s e r a a proposicao com posta p e q (p A q), que s6 se ra v erdade ira quando

p e q fo rem amb as ve rd ad e ira s, s en do fa ls a no s d ema is c as os .

A tabe la ve rdade da conjuncao p A q se ra:

p q pAq

V V V

V F F

F V F

F F F

~X~MPLOS:

Indique 0 valo r 1 6g ico d as prop osico es se guinte s:

A ) "A neve e branca e 0 sa l d e co zinha e doce "

R esp os ta : Fals o, p ois a p rim e ira p ro po sic ao e ve rdade ira e a

segunda e fa ls a (linh a 2 d a ta be la -ve rd ad e).

B ) "0 a lgodao e d uro e Porto A le g re e a c ap ita l d o R io G ra nd e d o S uI."



6 Raciocfnio toglco

Resposta: Falso, pois a primeira proposicao e falsa e a segunda e

verdadeira (linha 3 da tabela-verdade).

C) Disjuncao: ("ou"), sfmbolo v:

Dadas duas proposicoes p e q, a disjuncao dessas

proposicoes sera a proposicao composta lip ou q" (pv q), que sera

verdadeira quando, pelo menos uma das proposicoes p ou q for

verdadeira, ou seja, a disjuncao s6 sera falsa quando ambas asproposicoes forem falsas.

A tabela-verdade da disjuncao p v q sera:

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

~X~MPLOS:Qual 0 valor 16gicodas proposicoes seguintes:

A) "Paris e a capital da Francaou 1 + 2 = 7 "

Resposta: Verdadeiro, pois a primeira proposicao e verdadeira e a

segunda e falsa. (linha 2 da tabela-verdade).

B) "9 e urn ruirnero primo ou 16 e multiple de 4".

Resposta: Verdadeiro, pois a primeira proposicao e falsa, mas a

segunda e verdadeira. (linha 3 da tabela-verdade)

C) "15 e urn nurnero par ou 0 Brasil fica na America do Norte"

Resposta: Falso, pois ambas as proposicoes sao falsas. (linha 4 da

tabela-verdade) .




D) Condicional: ("Se p entao q), sfmbolo: p~q

A proposicao condicional "se p entao q" e uma proposicao

composta que s6 admite valor 16gico falso no caso em que a

proposicao p e verdadeira e a proposicao q e falsa, sendo verdade

nos demais casos.

A tabela-verdade da proposicao condicional e :

p q p~q

V V V

V F F

F V V

F F V

aBS: Pode parecer muito estranho ao estudante que a proposicao

condicional seja verdadeira ate nos casos em que a primeirasentenca seja falsa. Como exemplo, sugiro que pensemos numa

situacao do tipo. Uma pessoa chega perto de uma porta onde se

Ie: "Se voce e torcedor do Flamengo, entao nao pode entrar." A

pessoa era torcedora do Botafogo e entrou.

professor que tenta ensinar sem infundir no aluno 0 desejo de

prender esta malhando em ferro frio.

Horace Mann



8 Raciocfnio toglco

Podemos considerar que sua atitude estava de acordo com

a frase lida, e tarnbern estaria caso resolvesse nao entrar, ja que

nada era dito aos torcedores dos demais times.

Um outro exemplo e a proposicao: "Se a Terra e plana, en-

tao 0 quiabo e um minerai", e considerada logicamente verdadei-

ra, pois a primeira proposicao e falsa e a segunda tarnbern e falsa.

(linha 4 da tabela-verdade).

Mais um exemplo:A proposicao: "Se0alfacee um vegetal,entao

4 + 3 =9" e consideradalogicamentefalsa,poisa primeira proposicao e

verdadeirae a segundae falsa.(linha2 databela-verdade).

Uma outra forma de observarmos uma proposicao con-

dicional e considera-la como a inclusao de um conjunto (p), em

outro (q), Ou seja, sempre que p ocorre, q tarnbern ocorre.

Podemos sempre imaginar atraves de um diagrama, que 0

condicional p ~ q representa um conjunto associado a p, contido

em outro conjunto associado a q.

~X~MPLO:

Se0 jovem e escoteiro, entao e leal.




A proposicao condicional acima pode ser representada da

seguinte forma:

E)ProposicaoBicondicional: (lip see somente seq"), sfmbolo pHq

o valor 16gico da proposicao bicondicional s6 sera verda-

deiro no caso em que ambas as proposicoes apresentarem valores

16gicos iguais, ou seja, as duas verdadeiras ou as duas falsas.

A tabela-verdade da proposicao bicondicional sera:

p q pHq

V V V

V F F

F V F

F F V

~X~MPLO:

A proposicao: "0 acucar e doce, se e somente se 0 Brasil esta

na America do Sui" e logicamente verdadeira, pois a primeira

proposicao e verdadeira e a segunda tarnbern e verdadeira. (linha 1

da tabela-verdade).



10 Raciocfnio toglco

OBS: Podemos tarnbern entender a proposicao bicondicional

(pH) como sendo equivalente a (p~ q) /\ (q~ p), ou seja, vale

a condicao de "ida" e tarnbern a condicao de "volta". Vamos mos-

trar a tabela verdade dessa proposicao composta e verificar que e

exatamente igual a que mostramos acima.

p q p~q q~p (p~q)/\(q~p)

V V V V V

V F F V F

F V V F F

F F V V V

GlUAMTI~ICADOR~S:

Sao sfmbolos logicos que atuam sobre sentencas abertas,

tornando-as sentencas fechadas ou proposicoes,as principais quantificadores sao:

A) Quantificador Universal (sfmbolo \I)

Este quantificador significa "para todo", "qualquer que seja" .

~X~MPLO:

A sentencax > 4 e umasentencaaberta,noentantoa sentenca

\I x, x > 4 (Le-se: qualquer que seja x, x e maior do que 4) e uma

proposlcao, (Logicamente falsa)

" Eu nao posso ensinar nada a ninguern, eu apenas posso faze-los

pensar."

Socrates




B) Quantificador Existencial (sfmbolo : J )

Significa: "Para algum", "Existe algum"

Exemplo: x e um ruimero par e uma sentenca aberta.

A sentence: : J x i x e um ruimero par (Le-se: Existe algum x, tal que

x e par) e uma proposicao, (Logicamente verdadeira).

Obs: A variavel x neste exemplo pertence ao universo dos numeros

inteiros.

CONSTRU~AO D~ TAB~LAS -V~RDAD~:Dadas varias proposicoes simples: p, q, r, s, ..., podemos

cornbina-las pelos conectivos 16gicosque estudamos (-, /\, v, etc) e

construir proposicoes compostas, tais como:

(p /\ q) ~ (-p v r).

E possfvel construirmos tabelas-verdade correspondentes a

qualquer proposicao composta dada. Estatabela rnostrara os casos

em que a proposicao composta e verdadeira ou falsa, de acordocom os valores 16gicosdas proposicoes simples que a comp6em,

bem como dos conectivos que foram usados. As tabelas verdade

poderao ser muito utels na analise de argumentos 16gicos,que mos-

traremos posteriormente.

OBS: A tabela-verdade de uma proposicao composta tera

2n linhas, sendo n 0 nurnero de proposicoes simples existentes.

A justificativa da propriedadeacima e decorrente de rnaternati-

ca combinat6ria e do prindpio fundamental da contagem. Cadaproposicao simples tem duas possibilidades de julgamento (V ou F),

como sao n propos icoes , teremos: 2 .2.2 .2 .2 .....= 2n

"Feliz aquele que transfere 0 que sabe e aprende 0 que ensina."

(Cora Coralina)

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