Lógica Proposicional Dedução Natural. Conseqüência lógica Definição informal: Uma fórmula...

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Lógica Proposicional Dedução Natural

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Lógica Proposicional

Dedução Natural

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Conseqüência lógica Definição informal:

Uma fórmula é uma conseqüência lógica de um conjunto de fórmulas se sempre que estas forem verdadeiras aquela também seja verdadeira.

Definição formal: Dada uma fórmula H e um conjunto de

hipóteses , H é conseqüência lógica de num sistema de dedução, se existir uma prova de H a partir de

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Notação de Conseqüência Lógica e Teorema Dada uma fórmula H, se H é

conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses ={H1,H2,...Hn}, diz-se que: ├ H ou {H1,H2,...Hn}├ H

Uma fórmula H é um teorema se existe uma prova de H que não usa hipóteses ├ H

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Cálculo Proposicional Cálculo = Lógica + Sistema de

Prova (ou dedução) Um sistema de prova serve para

analisar e raciocinar sobre argumentos de uma lógica, de maneira a prová-los válidos ou inválidos.

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Sistema de dedução natural Alfabeto da Lógica Proposicional Conjunto de fórmulas da Lógica

Proposicional Conjunto de regras de dedução (ou

regras de inferência)

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Regras de inferência de dedução natural Servem para inserção e retirada de

conectivos lógicos, criando derivações Regras de Introdução Regras de Eliminação

Chama-se dedução natural por estar próxima da maneira como nós raciocinamos quando queremos (informalmente) provar um argumento.

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Regras de inferência - conjunção Introdução da conjunção (^I):

H G -> derivação H^G

Eliminação da conjunção (^E): H^G H^G

H G

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Prova Dados H uma fórmula e um

conjunto de fórmulas (hipóteses) Uma prova de H a partir de é

uma derivação onde As regras de inferência são aplicadas

tendo como premissas fórmulas de A última fórmula da derivação é H

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Exemplo de prova P ^ Q, R |- Q ^ R

P ^ Q (Premissa) Q (^E) R (Premissa) Q^R (^I)

Exercícios: (P^Q) ^ R, S^T |- Q^S P^Q |- Q^P (P^Q) ^ R |- P ^ (Q^R)

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Regras da Dedução Natural - implicação Eliminação da implicação - modus

ponens (E) H H G G

Introdução da implicação (I) [H] (hipótese eliminada)

| G .

H G

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Exemplo de eliminação da implicação P^Q, (P (Q R)) ├ (Q R) P^Q

P (^E) P (Q R) (premissa) (Q R) (E)

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Exemplo de introdução da implicação ├ (P ((PQ)Q) Supor os antecedentes Eles não poderão ser usados depois

[P] [(PQ)] (hipóteses) Q (E)

(PQ)Q) (I)(P ((PQ)Q) (I)

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Exercício ├ (P(Q P)) ├ (P(Q R)) ((P^Q)R))

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Exercícios

1. {P^Q, (P^Q)(R^P)} |- R^P

2. {P (Q R), PQ, P} |- R 3. {P (P Q), P} |- Q

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Regras da Dedução Natural- disjunção Introdução da disjunção (vI)

H G . HvG HvG

Eliminação da disjunção (vE) [H] [G] (hipóteses)

D1 D2 HvG E E

E

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Exemplo de Eliminação da disjunção {PvQ,Q,P} |- false

PvQ .[P] P (prem.) [Q] Q (prem.)

false falsefalse

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Regras da Dedução Natural- negação

De uma derivação de uma contradição (false) a partir de uma hipótese H, pode-se descartar a hipótese e inferir H e vice-versa

[H] (I) [H] (E ou RAA) | |

false false reductio ad H H absurdum

Exercícios: HH e H H

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Exercício Mostre que o seguintes argumento

é válido: Se este argumento for incorreto e

válido, então nem todas as suas premissas são verdadeiras. Todas as suas premissas são verdadeiras. Ele é válido. Portanto ele é correto.

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Solução Identificando as Sentenças:

P: as premissas deste argumento são verdadeiras.

S: este argumento é correto. V: este argumento é válido.

Formalizando:{(S ^ V) P, P, V} ├ S

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Exercício Deus não existe. Pois, se Deus

existisse a vida teria significado. Mas a vida não tem significado. Prove isso!

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Quando tudo o mais falhar EFQ: ex falso quodlibet ou regra da

contradição Podemos estar loucos, então

qualquer literal é aceitável! false

H

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Prova de EFQ

{P, P} ├ Q Q . P P (prem.) false

Q (E)

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Exemplo Prove o Silogismo Disjuntivo,

usando EFQ: {P v Q, P} ├ Q

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Lógicas clássicas Lógica minimal: {^v} x {IE} Lógica intuicionista =

Lógica minimal U EFQ

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Exercícios {P (QR), P, Q} |= R {P Q, P} |= Q {P (Q ^ R), P} |= P ^ Q {(P ^ Q) (R ^ S), P, Q} |= S

{AB, C(DvE), DC, AE} |= (C B)

{Cv(B A), A R, (B R) S} |= (C S)