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Os métodos de mínimos quadrados na estimação simultânea

Autor(es): Almeida, José Dionísio de

Publicado por: Faculdade de Direito da Universidade de Coimbra

URLpersistente: URI:http://hdl.handle.net/10316.2/25952

Accessed : 22-Jul-2022 16:29:00

digitalis.uc.ptimpactum.uc.pt

l~tETIM DE ~IÊN~IU E~~N~MI~U SUPLEMENTO AO BOLETIM DA FACULDADF. DE DIREITO

VOLUME X

1 9 6 7

FACULDADE DE DIREITO

COIMBRA

BOLETIM DE CIÊNCIAS ECONÓMICAS SUPLEMENTO AO BOLBTIM DA FACULDADB DB DIRBITO OE COIMBRA

VOLUME X

Os métodos de mínimos quadrados na estimação simultânea

1. INTRODUÇÃO

1.1 - ESBOÇO HISTÓRICO

A. m dos problemas a qu , nos último dedicado mal studo. econom trico é o da

parâmetro de uma forma trutural.

anos, s tem

t imação dos

té à década de 30, o modelos económico ram tra­

tado ap nas m t rmo mat mático, em a preocupação

d obter m -timativa dos verdadeiro valor dos parâ­

metro, ,por vez at, m e formularem hipót se quanto

à forma analítica das funçõe que repre ntariam as relações económicas.

Foi Tinbergen, ao construir modelos macro conómico

para a Holanda (1936), E tado nidos (1939) e Reino

nido (1951), que marcou a tran ição para o modelo m

que, atravé de método e tatí tico, e procuram stimar

o parâmetro ou n aiar h ipóte e obr o valore do me mo (1).

(1) O modelo con truldo por Tinbergen para a Holanda em 1936 é o macromodelo mais antigo que e conhece. f. H . Theil (1966, pág. 83) . De tinava- e a prever o efeito obre o emprego e a balança de pagamento de vária medid alternativa de política económica orno de valorização da moeda, re triçõe na importação, alterações

na de pe a pública e redução no nível de emprego.

1 - Boletim de ién ia Económica - \'01. ::t

Pro urou Tinb >r'~ n rl'l1111r, numa. .... íntl" oJl:-.trutiv<l,

onh 'C111l1'11tO

C Illleia: teoria

até nUo <lJ"pl'r"o:-, por \ .trio" ramo:-. da.

) on' mie,). (teO\ü do" 'i 'lo. 'c nóm ieo

do Lf" imento t' onômi o; mode1o:-. dinàmi o· sob a forma

til . I t 'm,b d' equ.l -l'" !-imultân 'a:-.). ,l\1áli:-. > ma tem '!tira

(trat.tm ' l1to dI.' ,,\:-.t ma" linâmico:-. 'omo t'quaçõ" às dif ,­

r 'n a:-., ordin.tna ou c tn ástl a,,) método l':-.latí:-.ticos ( ':-.ti­

maç ào . te de hipote l' ,) ( ~ ). Jlai:-. importante ainda, 001"-

ti 'nou o. onh cim'nto:-. te'ri o

on..,truçà de moddo .... dinâ)11ilo:-.

Embora a:-. r 'laçõe. mat\:n Ati ,1." apre:-.entauas I 01' Till­

her T '11 ,ti\l' em c gTupada" 'm :-.i~t m s, a . tima ào dos

parim troo fazia-s eparadam nt por quaçõ p la apli-

a ao do m't d d mínimo quadrad S. " .... ist ma usa lo~

lor > te autor ã d tipo re ur:-.iyo', amo salientar mos n

nún1('ro eruintc-.,· 1 'Títima a aplica(;ào dir cta do métod

UL' mínimo quadrad ne :-. i..,t mas .

Em 1~)-t3, Haa\' 'Imo hama a atençã para o fa to

d o nu' "m rit rio d mínim s quadrados produzir esti­

matrize . ·c'ntrica quand as quaçõ . r pr ntativa duma

trutura ..,tão r unida numi"t 'ma int rdep ndente para

a nec "idade d encontra7', para tai si t mas, outr pro-

e-."'o" d timaçào do parâm tro .

E a foi a principal tar fa da 07 . ...tC ollllHi lOn no ano

e.CTuinte e em 19-0 publica-o a prim ira obra d vulto

obre e tImaçào imultân a, -lal islical lnferCllce in Dynamic

Ecollomic .l/ode! . que, a par de um e tudo ir un .... tanciado

de m . todo .... d ~timaçào d parâm tro , refere ao pro­

bl ma da id ntificaçào. até aí ó a id ntalm nt abordado.

Tr'" ano. d pois a oli.'le ommi ion publica nova olec-

(~ H O .. -\ . \\'old (19-9. páa . 356).

3

tânea d studos, .(·itudics út Economctrlc Jl!ctltod, em qu'

"ao abordados alguns dCh t mas já in luíclos na obra ant<,rior,

mas agora escritos d f rma mais ar' ,sívcl, e a C[ll - se jun­tam trabalhos ntretanto 'laborados.

Desd' 'ntao, grande número d estudos foram publi­

cados sob r . tim çao ele parâm tros m moei los economé­

tri o,>. Dado que os m todos de má'ima verosimilhança

- sobretudo o d' informaçao ompleta - são muito tra­

balho , pro uraram- outros proc s. o alt rnatlvos que,

mbora mant ndo todas, ou alguma,>, propri -dades óptimas

daqu la stimatrizc. , foss m d' cálculo mais acessível.

J .2 OBJECTIVO DE TE E T DO

orno sab, a r solução d um probl ma cono-

m trico comporta, m r gra, e. ta quatro fase ... : a sp ci­

Ii a ào, a tima ão, a verificação a predição. Delas obre­

ai, pela ua importância p la: di cu ,ões a qu t m dado

orig m, a tima ão, a úni a fas a que nos ref riremos.

timaçã pod r 'portar- e a uma só r lação mat _

máti a ou a umi t ma d r laçõc qu dev m v rificar-se njuntam nt ; diz-s , n t cas, que

imultân a . trata d e.timação

B. O crit rio d nummlzação duma orna d quadra­

dos d rro , empr t m d . emp nhado um papel d pn­

melr plano na timação d parâmetro 'truturais. om

ef ito, f i o m todo d mínimo quadrado qu aplicou

inicialm nt para atimação do parâmetro d uma qua-

ão trutural , qu r tratas, e d uma relação umca, qll r

fo ' uma de vária r laçõ d um i t ma. Depoi ', quando

om çaram a u 'ar-e mod I s interdepend nt ,o ritério

de mínimo quadrado pa ou aer aplicado à timação

4

de par.im tr struturai d si. temas

ficado.. .\ ne 'sidade d> nc ntrar pr

xa tam nte id 'nti­

sO d aplicaçã

g ralo I ara , istemas id 'ntificáwi". !C,' tI algum aut r s a propor u o rcp tido. 111 duas ou trê tapas, do mét do

dt' mínullos quadrad .. P rqu s r "ultado btido' atra­

'\' dt.: -tas última - ,,,timatrizes cio satisfatório e omp n­

o m amplamente acr' lnl d> ál. ulo a que brigam.

par c-nos que de ,'cm _ r r com ndada , mpr qu não

. Ja uÍlci ntc a utiliza ào. uma ' v z, d m todo d míni-

mo quadrado:.

Rei re- o no trabalho à. apli açào d m t d

de mínim quadrado à timação imultânea.

omeçámo. por faz r. n -t núm ro, um bre"

hi -t' ric do probl ma da timação. l' núm ro . uinte, r f rimo-no ao m todo que n­

i -t na aplicação directa do ritério d minimização da

oma d quadrado d rro para a e timação do parâ­

m tro de urna quação -trutural. Tanto e t proce o,

com a ua eneralização - propo ta por itken a qu

também no ref rimo -, ão u ado na dedução do méto­

do mai ' complexo que e eauem. Depoi - ( 3. ), tratamo da aplicação do método d

mínimo quadrado a i terna de equaç e imultânea

xactamente identificadas (r ar ão indir cta) ou me mo

obreid ntificadas (método bietápico).

Referimo-no, m eguida (4.), à timatriz de míni­

mo quadrado mai r cente, denominada trietápica, reco­

mendável quando o i tema contém equaçõe imultânea

obreidentificad .

Por fim C .), apreciam- e o método de e timação expla­

nado no número anteriore e comparam- e com outros

método de e timação.

5

2. REGRESSÃO DIRECTA

2. 1 - PRES PO TO. PROPRIEDADE

proc s d mínimo quadrados foi propo~to pela primeira vez por L cici1dr m 18 . Pouco temp d poi ,

Lapla Gau. apre" ntaram algumas propri dades óptima

d t m todo. D sde ntão, foram muita~ as contribuiçõe por matemático ilu tres como Markov, itk n, Fi h r, Dar­mIe outro.

proce so de ~timação p lo qual se determinam os parâmetros e truturai pela aplicação directa do método d

mínimos quadrado é conh cido por método directo de míni­

mo quadrados ou regressão directa.

B. amo ref rir-no ap nas ao caso da regressão múl-tipla, m que há diversa variá ei· «(independente ), por a

r gre ão impl er exc pcional em Economia - uma ez

qu a variaçõ numa grandeza económica dificilmente serão

xplicadas atra é da rn,odificaçõe duma ó variável -por

tipla. poder bter como ca o particular da regre ão múl-

Parta- e, poi , do princípio que a variável cuja flutuaçõe

pr tend m xplicar contém uma parte sistemática que

d p nd linearment de um certo número de variávci e

uma parte não-sistemática de cuja di tribuição de proba-bilidade conh cemo algun parâmetro.

v I ( 3) toma valore Yg (t); a variávei pnmelra variá­

xplicativa a u-

( 3) vanável individuailza- e pelo índice g, que poderá igni-ficar a ordem da equação no i tema em que e tá integrada .

6

mém \"alons "1 (t), ... , "1-0: (t) t' a ' plfturbaçôl' aleatórias ,,<lo

' , pr .... ,t · por u" (t) :

(2.1) (t) = Y~I " 1 (t) + .. , + YgJo: Xh (t) + llg (t)

(t = 1, ... ,T).

critéri l1"ado n> t nll{todo o da dd rminaçào

do hip rphno II.' mínimo" qUJ.drad s.

(2.~) y: (t) = C~l Xl (t) + .. , + g K XI>: (t),

m qu as e timativas Cg k d s

da ' de forma a minimizar .... ma do

Ygkão alcula­

quadrado ' do

T

rro · Z = -- u~ (t) . nsider mos Xl (t) = I, i. ., variá\'cl

t = 1

auxiliar . Faça-~c a r pr entaçào matri ial do .... i t ma d T qua-

-e (2.1) :

(2.3) yg = X Yg + Ug

em que • - é a matriz d va.lore tomado,> p la ariá IS

explicativa y , Yg U g ào o \' ctore -coluna do alo­

re ' , r pecti\'ament, da variável g (t). do. coeficiente Yg k

e da.-; perturba õe aleatória ug (t) .

Explicitam nte:

y (1) XK (1)

+

y.; (T) Xl{ (T)

7

D. método dir eto de mínimos quadrados ba eia-<)('

g ralm .nt no!-. !-.('gllinl<'!-. pr 'ssupostos ( 1 ) :

(2.5)

(1) a!-. perturba ões aI 'atórias cl' (2.3) tAm spC'rança

mat mátiea nula.: E (uI() = O;

(2) as pertmb2.ções aleatória" de (2.3) "ão homoeedás­

ti as e não existe orrelação gueneial: E (u I( ug ) = = cr gg I , cr ~g < +

(3) o I -m ntos da matriz X são núm ro reai. não

estocásticos ou têm distribuição independ nte de

t d . valor pa 'sados, pr sentes futuro,> da

perturbação aI at6ria, i. " nã incluem variávei

nd6g na .

E. Pretende- minimizar o e calar

che- e a d rivada em ord m a Yg

X =- 2X'yg+ 2X'XYg Yg

igual.e- e ao v ctor nulo para obter a quaçõe normal

(2.6) X'Xcg = X'yg

(4) H . Theil (1958, pág. 20 ) e B . J. F . Murteira (1962).

8

qu apr '" ntamo tamb m xplicitament

T

(2.7)

n1 qu' as ma ~e r fer m a t = 1, ... , T.

s lu ào d (2.) u (2.7)

(2. ) Cg= (X'.,r) 1 'I .< g,

~XI g I

qu r pr "enta o hiperplano d mínim ::, quadrad , pr urad

:l1põe-~e que a matriz X t m implica T » K e a nào xi tên ia d uma r lação lin ar

xacta ntre o ' K \' ctore d ,'alore., a urnido ' p la '

,-ariá,-ei::; xplicativa. om r (. ') = K, a matriz X '., d finida po iti a,

xi -t a ua inv r -a (X 'X) 1 g d t I1nina um mínimo,

Poi ê!!"./ 2 - 2 X ' X I. Yg - .< ..t.

F. ub titua-" em (2.) g pelo valor dado em (2.3);

obtém-

(2.9) Cg = Yg + (X'X) 1 X' ug ,

o que mo tra, dada a rupót e (1) e (3) , qu E cg = Y g' i. .,

trata- e d uma ti matriz cêntrica (5) .

(5) e as \'ariá \'ei explicativa lDcluem variávei end6a enas d ia adas, a e- tlmatnz é excêntrica e o me mo e verifica para a predição condiCionada da variável dependente.

9

16m disso, d (2.) at nd ndo ao pr suposto (2), vem

(2.10)

= E [(X'X) I I uI( uI( X (X'X) I] = crgg (X/X) - I

que r pre enta a matriz da ovariância da timatriz d

mínimo quadrados. E ta matriz é igual ao produto de um

calar cr gg p la inv r a da matriz X 'X das ornas, dIa T,

dos produto do valor das variávei xplicativa tomado

doi a doi r D sd qu O aum nto da dim n 'ã T da amos­

tra implique um aumento, al m de todo o limite, de a

, orna , a e ' timatriz é on i t nte.

Embora tenha d xigir o pres 'uposto (3) para que

' ta timatriz ja con i t nte, d mon traram H . O. . Wold

L. Jur en (1953, pág . 1 9 37-38), pelo seu teorema da

proximidade, qu a in onsi tência erá pequena d de que

a correlação ntre a variávei explicativa a perturbação

aI atória eja r duzida e que a variância da perturbação

ja pequena ( 6) .

G. upu emos que r (X) = K, o que a egura a não

ingularidade de X 'X e torna po ív I o cálculo da esti­

matriz cg através d (2.8). Embora m geral a multicoli­

n aridade não t ja pr ente na ua forma extrema - a de

er inf rior a I a caract rí tica de X - e ta ituação é por

(6) O problema foi ob er ado por forma diferente por F . M. F i her (1965, pág. 598): a perturbação aleatória pode r con iderada uma ombinação linear de variávei não incluída na equação e mo -tra- que as incon i tência na e timativa do parâmetro ão iguai ao coeficiente d a regre ão múltipla da perturbação a leatória sobre as variávei expll ativa .

10

\. 'le~ qua" > tin TIda. m hnno" g<.: métri o. e consid rando

c'>paç (r õ 1) dim n"ional da \'ariá\' is ~. Xl •...•. h.

\"cnfica- > 'm r><rn qu' T pontos am ~tra nà ' tão dis­

tribllido~ duma f rma r "'ular tm torn dt um hip rplano

K-dimen"i nal ma. ante.;; ('st':-o r unidos '111 t rn de um

hip rplano de menor núm ro dI.' lim nsõ t fa t difi-

ulta a d tcrminaçã ,-meta do prim ir hip rplano.

ntal1to, e m m no a. o d ' xi t'n ia le um alto grau

de multi olin aridad . \" ri fica-se qu a timatriz d míni­

mo quadrados t m pr pri jad . óptima,. om f it . d de

que jam ati"f ita. a condiç ' s (1). (2) (3), ta sti­

matriz a m lh r timatriz linc •. r c ' 11tri a (7) .

I ualm nt d mon. traqu . ,>atU ita a. hipót (1).

(_) (3) t nd a p rturbaçõe aI atória. di tribuic;ão nor-

mal , a e timatriz d mlnimos quadrado

máxima v r imilhança ( ).

a timatriz d

H . T mo admitido. pel pr upo to (2). que a p r-

turbaçõ aleatória nào tào orr la ionada. a realidad

n m :: mpr a im acontece. D facto . o a umid05

p la variá\' i ' r fe:em- e m r ra a ponto ou inter alos

uce i\'o d tempo e o erro. ai at ' rio ão o fito conjunt

de grande número de variá ei d importância individual

~ecundária. alguma deI autoc n lacionada . Em tai ca O . é pref ri\' I ub. tituir o pr upo to (2) p la condi ào:

(2 *) a matriz da co ariância da perturbaçõe alea­

tória d (2.3) é finita nào ingular E (ug ug) = n.

(7) f . por exemplo, H . Thell (1 - . pág. 2 15. nota 1). ( ) B . J ' . lurteira (1962, pág. 68).

II

fo trou . '. Aillc'n (1934, págs. 42-48), Cjue, no aso

dOs r onhc~id() (9), <1 'vemos sub tituir as cquaçõ s nor­mi ' (2.6) por

(2.11) X' n t. • X' n 1 .l.<I g = .l.<I Yg

m qu ; é a e timatriz de 1'ninirnos quadrados generalizados.

D (2.11) d (2.3) obtém-s

(2.12) c; = (X' O I X) \ X' O 1 Yg

= Y g + (X' O I X) - I X' 0 - 1 Ug .

orno E c; = Y g, ta e timatriz é igualmente cêntrica.

A ua matriz da. covariâncias é

(2.13) E [(c; - Y g) (c; - Y g)'J

= E [(X' 0 - 1 X) I X' 0 -1 Ug Ug O- I X (X' O I X)- I]

= (X' O 1 X) - t ,

por r O = E (ug u~) demon tra-se que t m propriedade.

mínima. IO ca o deer 0 = crgg I, (2.12) e (2.13) dão, re -

pectivament (2.9) e (2.10).

2.2 - APLICAÇÃO DO MÉTODO

o proc o d e timação do parâm tro e truturai

qu con i te na aplicação dir cta do método d mínimo qua-

(9) Pod m in lu ivamente o erro a leatório er heter cedá. ­ti o I i . e' l não e verifi ar a igualdade do elemento da diagonal principal de n.

12

drad mai. antigo e aqu le qu ,e aplicou, qua c rn xc pçã ,at qu Haav 1m a."inalou o s u. d fito (10 ).

d legí tima quand e acha

ndóg na o br uma ou mai'

\'ariá\'ei ' domínio da t oria

ndó'ena - a qu pr t nd (I xpli ar» - n prim iro mem-

bro da quaç (2.1), ficaríamo om uma ou mai ' ariá-

\' i (c njuntam nt ) d pend nt n gundo m mbro. não

\' rifi ação d pr upo ' to (1) implicaria a da

, timatriz _, qu de forma alguma d ejáv 1.

de conhecimento do rro ist mático que e om-

tia quando no . egundo membro da quação mantinham

,'ariáwi - dependente conduziu, por \' z ,a rro ba tante

gra\' . Por xempl, no fim da última gu rra, quand e

pô em di\" r o paí o probl ma da r ::on r ão a uma

conomia d paz, procurou- e pr \' r o ni el a que e e ta­

be1eceriam . pontân amente o con umo e o aforro globai •

d man ira a garantir o quilíbrio conómico. Para o efeito

julgou- uficiente a utilização do mod lo

(2.14) (t) = o: R (t) + ~ + u (t)

( 10) pnrneiro artigo publicado por T. Haavelmo obre a excentncldade do método directo de mímmo quadrado f i «The

tatlsttcal Imphcahon of a y tem of imultaneou Equation ~ (Ecollometrlca, \'01. 11 , n.O 1, 1 -t3). Este tudo de pertou meno IOtere e que um outro .Method of lea uring the Ia rginal Propen­!Uty to onurne. que foi publicado ImClalmente no J ournal of the Alllencan tatlsltcal AssociatlOn, vol. 42, n .O 237, 1947 e depoi em

tudtes ln EconQIllt!tric Jlethod, " 'de)', 1953. utro autor e refe-nram po tenormente a este problema orno L. R. Klem (1946)

1- Bronfenbrenner (1953).

13

m qu o onum (t) dano t d p ndia linearm nt· d

rendim nto di ponivel R (t) do me mo ano d num ro­

so· outr factores não id ntifi áv is d reduzido efeito

individual, que s r uniam na variáv 1 al atória não use r­

váv 1 u (t) . Estimaram-s' os parâm tro oc ~ p -lo mét do

d mínimos quadrados e a quação obtida p rmitia pr -

r o v lum do on umo (O) num periodo futuro O para

o qual o rendimento di ponível previ to ra R (O) . r cta

d r gr ão devia 10m c r boa. e timativas da variável qu

e pr t ndia pr v r.

o contrário do qu e sperava, as timativas - quando

omparadas com o valor s r ai - mo traram-se ba .... tant

más. D facto, tava-se a cometer um erro, poi o con-

umo global e o r ndimento di ponív 1 'ão duas grand za

interdep ndente . mod lo completo incluirá dua quações

(2.15)

onde

f (t) = oc R (t) + ~ + u (t)

1 R (t) = (t) + I (t)

(t) e R (t) têm o ignificado referido anteriormente

e I (t) é o in e timento relativo ao periodo t.

O m todo de mínimo quadrado s6 dev u ar- e d poi

de re olvido o i tema m ordem à variávei nd6gena, (t)

e R (t), de maneira que no egundo membro de cada equa­

ção e ncontrem apena o I mento ex6g no , I (t) eu (t):

(2.16) f (t) = (oc' - 1) I (t) -la- ~' + oc' u (t)

1 R (t) = oc ' I (t) + ~' + oc' u (t)

com oc' = l j(l-oc) e ~'= ~j(l-oc).

l~

.\ apli a ào d m todo directo k mínimo .... quadra­

lil). para a \' t lmação tio parâmetro .... t'~truturai~ é ainda

legitima quando o .... i tema é do tipo rI.' uri\ 0, poi .... , como ~e

,lb , 11l' e l,l .... O p sÍ\ d obter cada \, .. triáv'l d 'P ncknt

omo fun(;ào apena d' \ arián,i .... pn' l't rmin,l.da.' da per­

turhação all'atóna, • mbora por \'ez. .... > 'n ontr 'm na prática m d los

r uri\" s, t m-.... e "erjfjcad que lUTt tipo de m delo qu

análi .... onómica ab tracta do qu à

d t muna ão >mpíri a de parâmetr de umi t ma, om

ef it ,quando abandona a teoria onómi a ab' tracta ,

atra\" da liminaçào d "ariá\' i , agr gação u utm

. implificaç-e , .e procura bt r WI1 mod <]u

p rnlita a d terminação do ' parâm tr ' ~truturai', intro­

duz-.... e n model a inte:-dep'ndên ia (11). I.... o não qu r

dlzer, ublinh - , que atribuam .... m nor importância a s

modelo ... r u qu neauemo. int r ... se ao "tudo

d W Id doutro. c nomi .... tas no cntido d hamar a

atençã para a xi tência utilidad de tais mod lo (12) .

mpr que s po. a dar a forma r cur. i\'2, a Wl1 mod 1 ,

ti \' er. a forma a pref rida; com efeito ~ trotz \\' ld

mo. traram qu ,quand um model int rd p nd nt

c ptí" I duma interpretação cau ai, ele d \' S r crito ob

a forma recur i\"a: o i t ma interdep ndente é, u uma

apro, 'imação do . i t ema recur i\'o, ou uma de crição do u

tado de quilíbrio ( 13 ) a timaçã de parâmetro atra-

\'é d t "i t ma interdep ndent nvolve um erro d . ti-

ma ão ( 14 ), .-\J m dis. o, no ca .... o d cada C]uação ter mai

( 11 ) R. Bentzel e B Hansen ( 195-1 , pág 15-1 ). ( I. ) H O -\ \\'old (1959, 196-1 ) (13) R H trotz e H . O. \ \\'old (19 O, pág. -126). ( 1\ ) R H . trotz ( I 60. pág -128).

15

(1 um variá v 1 d P neI 'nt, Ó cIuando o sistema ~ r cur­

~I () é pos. ív 1 < pli ar ° método dir 'cto cI mínimos qua­

drados .., t(' método P, (\(' todos os proc('s os d(' 'stimaÇo,

o qu exig(' i I ulos nwnos moro,>os.

D. m. dos fa tor's ql1e tt'm de con..,iclcrar-s quando

..,t· 'lpr ia um método para a :timac;ão dt' paràm ·tros a

sua s 'nsibihclad aos lTOS d' ''>pecifi ação, isto é, a influ ~n­

cia elos rros d esp cificação nas propri dad 'S óptima.., das

(·..,timatrizes. Este,> erros t{m as mai. div rsa,> ausas: sco­

lha inad quada d ariiv i,> ou da forma analítica da,> C]ua-

,variaçã no co fi i nt '>, erros d obs rvação, pertm­

uaçõ s não normais, não homogéneas ou não ind p ndcnt .

V rifi ou-se qu ,ao contrário do qut' a ont· e com outro,>

I ro os d estimação, o método dir cto de mínimos qua­

drados é pouco s nível aos r1'O cl e,p cificação ( 15), () que

naturalm nt dcvt' onsid rar uma \·antagem.

3. REGRESSÃO INDIRECTA E MÉTODO BIET ÁPICO DE MíNIMOS QUADRADOS

3.1 - REGRE ÃO INDIRECTA

Vimo no númer anterior qu a aplicação dir cta

do proce . o d mínimos quadrado para a ti mação dos

truturai. , no a o de hav r mai d uma variá-

nt m cada qua ào nã . e tratar d . i. t ma

r urivo, c nduz a , timatrize excêntrica,>. Foram, por

, , pro urado u t~os pr d timação, do quai

tudar m ap na. aqu I s m que ainda é usado métod

(IS) \\r. A . Nelwanger e T. . Yan ey (I 6 , pág. 67-).

16 --d mínim s quadrado.', mbora não rur cta / u 'clu. iva-m nte. pr cc.' d etima.çJo d qu' 1 rimeiram nt nos

vamo upa.r no prescnt núm 'ro - onh cido p r lIlétodo

IIld,rt'c!o dt' 1/Iíl/Imo quadrado' ou regre ' elo indirecta - f i

• U'" rido p r )1. .. Gir"hick d n~ o !> unam ao ia to d • para a timação do_ parâm trotruturai ' se uar ainda.

ma indircct<U11 nte, métod d mínimo quadrado.

( .1)

on ider -'e o mod lo linear

_ 'I (t) + ~12Y2 (t) + ... + ~lG YG (t) +

+ YuXI (t) + .. , + YIKXK(t) + u1(t) = 0

~Gl ' 1 (t) + ~G2 Y2 (t) + ... - Y G (t) + + YG1X1(t) + ... + YGKX..-(t) + udt) = O

para t = 1 •.... T. ejam ) (t), x (t) e u (t) o ectore -coluna. r pectiva-

m nt , da variávei dep nd nt . das variá i pr det r­

minada e da perturbaçõ al atória :

Y (t) = [j 1 (t) . .. G (t)]

x (t) = [Xl (t) ... XI{ (t)]

u (t) = [UI (t) ... u G (t)1·

e ainda B e C a matrize do coeficiente. re pectivamente.

das variávei d pendente e da variávei predeterminada.

A im o i tema (3. 1) e cr ve- e na forma matricial

(3.2) B Y (t) + x (t) + u (t) = O

para t = 1 ..... T.

• ~

17

Tom m-. e as ombinaçõ lin ares de (3.2) qu resolvem o sist ma m ordem às variá\' is d pencl ntes. Sendo B não

singular, a prcmultiplicaç,i.o de (3.2) por B 1 dá-nos a forma r duzida

(3.3) Y (t) = 1t .' (t) + v (t) (t=l, ... ,T)

com

(3.4)

(3.5)

1t = - B I

v (t) = - B-l u (t)

o pre uposto u uai ne te métod ão os eguintes:

(1 ') a p rturbaçõe aleatória v (t) têm sperança mate­mática nula: E [v (t) ] = O;

(2') a perturbaçõ al atória vg (t) Vh (t') relati-

va a um par de inteiros t, t' (= 1, ... , T) e a um

pard índice g,h(= l , ... ,G) atifazem

e t = t'

=0 , e t =1= t'

e (J~b é independente de t e t'.

(3') a variáv i pr determinadas não incluem variá­

vel endóg na de fa ada .

E te pre upo to erão sati feito quando a equaçõe

e truturai ati fazem condiçõe emelhante. correlação

2 - Boletim de Ciência Económica - ,"01. x

ntre p rturbaç -e aleatória" que s pf r 111 a um n1', m p nodo t (corrdação (.contcmp rânca'») P de nã ser nula

ma 'Llo-á para P dado ' dif 'rent s, qu r as perturbaçõ"

pertençam li não à me ma quaç.lo da forma r duzida.

lém di. 0, a "ariàn ias \'ariân i s « ont mp rân 'as')

são COR tantc .

métod indir cto d mí.nimo~ quadrad n-

. 1 te m d t rminar, p r rC'Tr' 'sã dir cta, a matriz P das

~timatL\'a dos parâm tro'> da forma reduzida ,a partir

dIa" atra\' ~ do sist ma (3.-1), o. parâm t-.o da f rma

trutural. E\'id nt 111 nte, podlamos contentar-no m bt r ,ti-

mati\'c do. parâm tro, da forma reduzida, uma v z qu

o conh cim nto da matriz T' da di tribuiç - do rr v (t)

defin completament uma trutura. i TO ntanto, O ' parâ-por 'er m m troo e. truturai. têm para nó:

mai, directam nte -ignificati\'o ' na c nó­mica. porque é na fomla trutural que abemo faz r

a modificaçõe r qu rida por c rta aplicaÇ ( 16).

E. É i tema de parâm tro (3.4) que relaciona

parâm tro e truturai" e ° da forma reduzida. Ó p sí­

\'el calcular aquel parâmetro, a partir de te quando o

i tema (3.-1) , determinado ou incompatível ou, o m mo

é dizer, quando a forma e trutural e tá exactamente identifi-

cada ou , obreid ntificada. orno a identificabilidade da

quações d pende do número de r triçõ «a priori», o

parâm tro e. truturai podem obt r- e a partir do da forma

reduzIda dde que as retriçõe ejam m número uficiente.

(18) E . ~Ialin\'aud (196.\ , pág -32).

19

as r striçõ . «a priori) são ap na.,; a

sárias para produzir a id ntificabilidael .,tritam nt nec s­

isto é, s di po-mo. om nt da informação mínima nccc ária - o si·t ma

d parâm tros d t rminado, o qu ignifica qu o parâ-

m tro 'truturai. ã obtido!:> univocament a partir el

ela forma r duzida. uando o número de r triçõ «a priori)

ultrapa a o mínimo nece sári para produzir a id ntifi a­

bilidad ,o ist ma d parâm tro' é incompativ 1 e, pela

. colha d si tema d t rminado, poderão bt r- várias

soluçõe para parâm tros struturai'.

ab, nquanto é fácil v rificar s a condição

d ord m para a id ntificabilidad é ati fita por uma dada

quação trutural, o me mo não e dá habitualmente com

a ndição d caracterÍ tica. D maneira que, em r gra,

v rifica- e apena o núm ro de variávei pr determina­

da xcluída de uma dada quação igual ou up rior ao

número d variáv i d pend nte nela incluída diminuído

d uma unidade, por ab rmo que o primeiro ca o apa­

rece g ralm nt ligado à identificação exacta e o egundo à obr identificaçã .

F. uponha- e a quação trutural d ordem g

(3.6) ~g y (t) + Yg x (t) + ug (t) = O (t = 1, ... , T)

m qu ~g e Y g repr ntam, re pectivamente, o vector

uja component o co ficiente da variávei d pen-

dent e da variáv i pred terminada. dmita- e que o

I mento de ~g e Yg e tão di po to de man ira que m

último lugar e ncontram a compon nte nula do doi

v ctore. eja GH = - Gl o número d variá ei d pen-

dente de coeficiente nulo e Knn = K - Kn o número d

20

variá, ci pr J l rminada· d> odiei 'nt igualment nulos.

EntJo

(3.í) ~e; == (~ 1 ... ~g, Og,GH \ . . , g(, )

( . ) =- (Y <:1 • • • Y g h Og, h fi fi •• ' g I..:) .

cjam ~ YnO os sub\ tor ''i, rc:pC ti\'am nt , d ~g

c Y~ com mp ncnte nula:

(3. )

(3.1 )

d c mponham- d maneira orr :pondente (t) e . (t):

(t) = [Yl (t) Y (t)]

(3. 11) x (t) = [, n (t) X[!Q (t)] .

ab mo que a forma e trutural e obtém da forma

reduzida por premultiplieação por B. 1m, a quação

d ord m g (3.6), da forma e trutural, obtém- a partir

da forma reduzida por premultiplieação por ~ g, que é a

g-é ima linha de B. on idere- e a decompo ição de P, matriz da tima-

tivas do parâmetro da forma reduzida, de acordo com a

de y (t) e x (t)

21

Pelo que di"s m anteriorm nte, quando I (2 (2 = d - 1

rá, cm r gra, possivel det rminar univocam 'nte s parâ-

m iro truturais a partir do da forma r clutida, e,

quand I nn > - I , o m smoe não v rifi ará.

sde qu di'p nhamos ela informação mínima n ces­

sária l(n n = - I, a ondição d ord m salisf 'ita e

t mos pelo m no.> . ,sa ba, para pre.;umir que a equação

é identificá\! 1. Em g ral, v':ificar-se-á também a ondição d aractcrí . tica

r (PA,Qn) = G.l - 1

, portanto, erá possível ncontrar uma solução única b.\,

timativa de ~ , que satisfaça

(3.12) b P.l,Q[2 = O.

A partir da e timativa b ... e da relação

obt m-se ( 17) uma estimativa cn de Yn , ubvcctor do coe­

fici nte não nulo de Y g.

G. P rguntaT- e-á e o parâmetro e truturai , obti­

do ne te método indirectamente, gozarão ainda da mma.

pTopriedad da e timativa qu con titu m a matriz P.

Pode mostrar- que a Te po ta é afirmativa quanto à

propriedad a imptótica (18). o que e r f Te à pro-

(17) J. Dionf io de Almeida (1966) , eparata, pág. 11. ( 18 ) H . rámer (1946, pág. 255) .

12 --priedadc de amo~tra-' p qu n~, ' Ia ... não r;o nece- ' ria­

m nt ext n-'l\oa àtimativas do paràm tro, truturais,

ma , rifi a- que, s a... stimati,oa da forma r duzi la

obtidas a partir duma am stra finit< c Antricas I u

f " t rresp nu nt timati a. da f rma estrn-> lCI n ., u. -turaI ~ rào aproximadament Antri a~ I u fi i nte - ::, m-

pre qu de. vio_ padrõe d m .,trag m do I m nt s

de ~ jamuficientcm nt p qu n - (19).

R ~I rece pecial referência a apli aç -o da r gr . são

indir cta às f rma _ truturai-. m qu uma da iguaIdad s

, uma identidad ,portanto om fi i nt fix m

qualquer p rturbação al atória. Há d is caminho. qu pdm

• r c uid s para a d t rnúnaçào, p 1 m tod indir ct d

mínimo quadrado , do parâm tro ' duma trutura qu

inchti uma id ntidadc. Um d I

id ntidad para liminar uma da

uma trutura modificada D

on titucm a trutura irti ial

parâm t[.O pod m er obtido

m ut ilizar a

ariáv i , obt nd a im

d que a quaçõe qu

aociada à e trutura modifi ada ' . I con gu - e uti-

lizando de novo a identidade para, atra é do parâm tro

da trutura modificada, obter o parâmetro da e trutura

ori ·naI. Foi te o proce o eguido por T . Haavelmo (1947),

que no xemplo apre entado utilizou apena equaçõe exac­

tam nt id ntificada .

utro caminho con i tirá em aplicar o proce o habi­

tual da regr ão indirecta a todo o i tema, incluindo a

identidad : timam- e o co ficiente da fo rma reduzida e ,

a partir d le , o parâmetro da e trutura original. Notar-

(18) T. . Koopman e \\'m . . Hood (1953, pág. 141).

23

-se-á que, na f rma reduzida, uma da" quações se obtNá

doutra com o au,'ílio da id ntidad. Este s('gundo processo

apr nta, m r 'Iação ao prim 'iro, o in onveniente d· exi­

gir o álculo d mai uma equação de r ar ssão, mas a van­

tag m d c; r m mai simpl('~ as restriçõ<,s nos o ficientes 5tnüurais.

r. onsid r mos, agora, o ca<;o d ser Knu > G.\ - 1.

Então, não erá pos! 1 det rminar, pel me mo pr ce. so

simpl ant riorm nt indicado, as timativa dos parâme­

tro struturais a partir da matriz P. Diz-se qu dispomos

c1 um cxcc so de informação, qu rend , ignifi ar que o número

d r tri õ s que utilizamo é up rior ao número em regra

suficient para a id nhficabilidad. Pod, naturalm nte,

acontecer qu, m <;mo pos 'uindo exces o d informação,

a 'trutura não ja id ntificáv I, por não ser atisfeita a condição cl aracteri tica.

Em geral, quando Knn > G.\ -1, também s ven­

fi a r (P .l,n n) > G.\ - 1 não exi toluçã não nula

para (3.6). Daí a impo ibilidade de obter, por e te pro­

ce o, e timativa b.l cn do parâmetro truturai a

partir da e timativa do coefici nte da forma reduzida.

Também aqui e no abr m doi caminho.. m deI

n i t em colh r, arbitràriamente, G6 - 1 coluna de P.\,nn

para formar uma ubmatriz de caracterÍ tica Gil - 1 e obt r

e timativa con i tente do parâm tro truturai a partir

da e timativa d mínimo quadrado de ta ubmatriz. E ta

olução apr enta o inconv ni nte de de pr zar informação

«a priori» obr a quação trutural d er arbitrária a

colha da G~ - 1 coluna. Outro caminho con i tirá na

utilização de método de timação do oefici nt da forma

reduzida qu as gurem que a caracterÍ tica da e tima­

tiva P~,nn erá G~ - 1 me mo quando Knn > G~ - 1.

--em de~t ~ m t do: f i propo to por T. W. And rs n II .

hubin (19-l(') , 1950) e di utido por T. . Koopmans "m. Ho d (W53, pág. 1-l1) .

ca~o d . cr KfIfI < G~ - 1, não ~ ~,ttisf itn. a on-

li ào d ordem de id ntificabilida I " e, portant ,não h ga

a pôr- e o probl ma da ·timação dos parâm tro .

3.~ lÉTODO BIET PICO

A. m todo a qu acabámo. cl no r f rir util iza

a. timati\'a do. co fici nt da forma reduzida para o

álculo datimati\"~ do parâm tros ~truturai. pr -

_o d -timaçào que agora. \'amo~ m 'n ionar, prop -to

por H. Th iI (19-3) mai~ tarde cb n\'oh"id p lo ln m

autor (1~)5) e indep ndentem nte dele por R. L. a -

mann (1957). utiliza a forma reduzida d outro modo: numa

prim ira tapa, cal ulam-. , pelo m todo d mínimo qua­

drado, timati\"a.! do' oefi iente - da forma reduzida para

a. \"a.riá\"ei· d p ndent s explicati\Oas que entram na qua­

ção e' trutural que qu r mas timar; numa gunda tapa,

o pr c . o de mínimo quadrado é aplicado à própria equa­

ção e trutural depoi de feita aub tituição da variávei'

dependent xplicati,"as p la difer nça entre e a yariá­

vel e a perturbaçõe- aleatória e timada (20).

B. abemo qu a xc ntricidade da expre ão dir cta

e de\"e ao facto de e tomar, m cada quação, uma ou

mai variá\"ei dependente como pr det rminada . om

fito, por nào ha\"er independência entr aquela variávei

(20) J . K Arro,," e ~I. Hoffenberg (1959, pág. 50-51) apre­entam um proces. o de e hmação lmultânea que é um caso epe­

Clal do aqui indicado.

25

a p rturbaçõ ' . tntturais, as stimativas são ex êntri-

as. d terminação, através da forma r duzicla, das p r-

turbaç- ligadas a cada variáv 1 depend nt e a sua po -

1. rior d duçã , p rmit liminar - pelo m no. parcialm nt

- a «contaminação) qu a interd p ndência trouxe a e sa

variáv i. A variáv is d 'p nd ntes, já «purificadas), uti­

lizam- e m eguida para, atravé do método directo d

mínim s quadrado, estimar m o parâm tros das

quaçõ ..

consid re-. a stimação do parâm tro da

quaçã strutural de ord m g, que supomo' identifi ável integrada num ist ma ompleto,

(3.13) Yg = Yg ~g + X g Yg + ug

m que Yg Xg ão a matrize, re pectivamente de

orden T X (G - 1) e T ;( K n, do valor tomado ' pelas

variáv i dep ndente p la variáv i predeterminada que

figuram no gundo membro da equação.

ab mo qu a variávei d pendente e podem cr­

ver como funçõe lineare tocástica de X atravé da

forma reduzida. Tome- e n . ta a parte corre pondente às ariávei depend nte que e encontram no egundo membro

de (3.13), apliqu - ja 'g a matriz

das perturbaçõ aI atória correspondente, timada pela

forma reduzida. upõ m- e ati feita a condiçõ

(3) anteriorm nte indicada e que o i t ma (1), (2)

trutural pode er re olvido m ord m à variáveis dependente , i. e.,

xi te forma reduzida.

E creva- e então (3 .13) ob a forma

(3.14)

apliqu _ > a r "'resão directa J. ta >quação. ·t im,l-

ti,'3.!: d .... J râm tro~ ~ão obtida., d poi d ter arli

ad

d m tod directo d mlnimo quadrad ua .... v z ....

. jlbtifi ação do m t d bi tál i o dada por H. Th iI

( 1 9~ , P' cr. 225) n .... -.,-auint tem o'., nh cê's mo ' Yerdaddr .... valore- da ' p rturbaçõ ' ai at' rias orr 'pond 11-

t a Y g' diO'amo Y g' poderiam aplicar o pr c d

nunim s quadrado a

p rqu pa aria a nã . er "álida abjecção d qu algu­

ma da "ariáYei: do egundo membro nã -o indep nd nt '

da.; b. erva õe:, uma \' z qu Y , - " g uma funçã lin ar c. acta d X ,portanto, não ·t cá tica, ão conhec mo s,

ma podemo e' timá-Ia por m io d V g e o rro de amo -

tra m ( 21 ) tende para z r com o aum nto da dim n ão T

da amotra em condiçõ apropri da . ublinh e que, mbora a hipóte e (2') ja d m . mo

tipo de (2). aquela hipót é n ce ária para garant ir a

entri idade a imptótica no método bietápico, nquanto (2)

não ra n ce ária para as gurar a centricidad de amo -

tr fini t na regre ão directa.

D. Define Theil uma ela e de e timatrize, a que

chama classe k, obtida ubtraindo às variávei dep nd n­

te explicativa k veze a perturbaçõ aleatória, em que k

qualquer e calar, toc tico ou não e tocá tico . O méto-

do directo e bietápico de mínimo quadrado ão ca o

(~1) eja (bit , c K) uma e bmatriz de (~g, YIÇ); então o erro de amo tragem é dado por e = (b!t, C g) - (~g, Y g ).

27

parti ular d sta lasse c1 'stimatriz pnm Iro obtido

c m k = O glmdo om k = 1. a m sma forma, como cl monstr u II. Th iI (195 ,pág. 228), a stimatriz d máxima

v ro imilhança om informação limitada, proposta por T. \i .

nd r on e H . I ubin (194 ; 1950) , é ainda um aso parti-ular da. timatriz ' da ela. k ( 22 ) .

4. MÉTODO TRIET ÁPICO DE MíNIMOS QUADRADOS

4.1 - DESCRIÇÃO DO PROCESSO

A. R centemente A. Zellner e H. Th iI (1962) propu­

seram um método de timação simultânea mai perfeito

que os anteriore e que e ba eia ainda no critério de míni­mos quadrados. O método diz- e trietápico porque utiliza

a matriz do momentos e timado , por um método bietá­

pico d mínimo quadrado, da perturbações estruturai ,

para e timar imultân am nte todo o coefici nt da forma

trutural.

upõe- e ne te método que as equaçõe e truturai veri­

ficam a condiçõe (1), (2) e (3), ão identificáv i , formam

um i tema completo e qu e t pode r r . olvido em ordem

à variáv i d p ndente .

B . eja a quação de ordem g da forma e trutural

(4.1) Yg = Yg ~g + X g Yg + ug = Z g Og + ug

( 22) O e tudo conjunto de te doi m todo foi feito por E . Lyttken (1964, pág . 329-331).

28 --onde

R pr 'ente-, e p r n~ núm ro total d variá\' i (dep n-

d nt xplicati\'a pr detcmlinada ) da quaçã trutural

d rd ln g:n~ = G~ + Kl1 - 1. Faça-e a pr multiplicaçã d (.t .l) por X' ; obtém-

qu um i tema de K quaçõ s (i e., núm ro de variá-

pr d t munada!') com ng incógnita: um ctor d

p rturbaç - X 'u com valor médio nulo. Ja CI <: a variância d cada uma da T p rturbaçõ

aleatória da quaçào strutural de ord m g; então, a matriz

da co\"ariância · do \'ector da p rturbaçõ ' r , ug é

(-l.4) " (X' u g) = E (X' ug ug X) = CIgg X' X.

pliqu - e o método de mínimo quadrado g neraliza­

do de Aitk n, já referido, à equação (.t .3) para e timar 8g ;

tem-e

d nde re ulta a e tirnatriz bietápica de mínimo quadrado

(4.6) dg = [Zg X (X' X)- I X' Zg] I ZgX (X' X) - I X' Yg .

29

matriz das covariâncias d dg é

(4.7) V (c1 g) - crgg [lg X (X' X) 1 X' Zg} I + O ( ~. )

m qu O (I/T) indica um infinité imo de ord 'm superior a 1/T.

No caso d a 'quação strutural star ,'actament identifi ada (K = l1g), a matriz X 'lg é quadrada não ingular e a ,timairiz apre enta uma xpresão implifi­ada

(4.8) dg = (X' Z g) 1 X' Yg,

qu poderia ter obtido dir ctament de (4.3), sub-tituindo X' ug P 1 eu alor médio.

E cre a-o e (4.3), para o conjunto da equaçõe tru-turai , da forma

X'ZI O O -~l - - X'ul

-

O X'Z2 ... O ~2 X'u2

(4.9) +

O O

Trata- e d um i t ma de KG equaçõe com

G

n = L llg g= \

parâm tro . R pre ente- e por ~ o vector-coluna, de n el -

menta, do parâm tros que figuram no s gundo m mbro

o

d (4.9) apliqu -. o m t do de Ollnimo quadrado gcne­

rahzad d -\ük n para timar ::.imultân am nt s 1-

nl'ntos de ep G ,h a ovariància « ontemp r, n al

) das p rturba-

"truturai" da. equa - ::. d rd n g h. cgun \

os PP' sup st indicad s, on. tant a o\'ariân ia « n-

t mporân a da p rturbaçõ " ai atória ug Uh nula a

ovariância da p rturbaçõ relativa a dif r nt alor

de t:

crgh O

crgh O

(·u) E (ug Uh) = = crgh I,

O O crgh

m qu I ' a matriz id ntidad d ordem T. Então, a matriz

d covariâncias do vector d p rturbaçõ . de (4.9)

crll ••• crI , X' X-X, UI Tf X

(·Ul) v =1 X ' U G ,_ crGl X' r ••• a GG X' X

a ua inv ra

X' Ul

- ali (X' X) I ... a l G (X' X) - l

(4.12) Y 1 = I X' U G_ crGI (X' X) I ... crGG (X' X)- I

31

m qu (1,::h um 1 m nto ela inv r a. da matriz das ova-

riân ia «contemporâneas) elas p rturbaçõ ·truturais:

( _ g h) ( ) I v (1gh.

uando m z da quação (4.3) <; on id ra SI<;-

t ma (4.9), o v ctor- oluna do . gnndo m mbro d (4.5) v m

sub ·tituido pel v ctor- oluna

(4.13)

OU Z, X (X'X) 'X'y,+ .. . + O'C Z, X ( "X) 'X'yc, I

c; lZGX(X /X) IX/ y1+ · ··+(1GG2"X(X /X) IX/y(, I

a matriz ng ng qu preced Og no primeiro m mbro

d (4.5) toma a forma de matriz n X n

(111 21 X (X' X) I X' 21 , •• (1I G 21

X (X' X) 1 X' Z(,

(4.14)

(1G l 2~ X (X' X) 1 X' 21 , .. (1G Z~ X (X' X) - I X' Ze,

omo ta matriz inclui valore de (1 que m geral ão

d conhecido, o autorc d t método propõ m ( 23 ) a ub­

tituição pela ua timatrize bi tápica de mínimo qua­

drado, gh Por fim, a e timatriz trietápica de mínimo

quadrado é obtida por uma xpre ão paralela a (4.6), ma

em que não há evident m nte llminação da variân ia :

11 ZI X (X'X) 1 X/ZI .. . I G ZI X (X'X) I X/Z G -I

(4.15) 3 =

(23) . Zcllner H . Theil (1962, pág. 58).

--1 .,

• 'I:

. ( "' ") (,~ Ze, . . • 1 "' . y~

,

cm que o "matório: c r f~r'lll a g = 1, "', J.

M tram A. Zclln 'r e II . Thcil (19 2, pág. 58). qu' a

matriz da..... co,'ariàn ia d % ~

(-t 16) l 'ZI'Y (_ " X , )-IX ,'Z(-, 11Z • ("'X)- J "'2 .. , v . ).. -' • ;

I' , ).. . ' 1

-I

+

(IZ ,,(,,/,..., )-I " 'Z (,<.,Z • '(." ')- IX'Z J 1.I"'~ "' ''-. ''' '\. .. '\. "'1'"

+ O(I/T).

ompar m- e a.- matrize ' (-G) e (4.16) da covariân ias

da. stimatriz bi tápica trietápi a d minimo quadra­

do ' . "rifica-5 que a 'iegunda timatriz apr "enta uma

maior eficiência a imptótica que a prim ira ap na

quando (ü!;h) não é diagonal; com ef ito, no a o da matriz

er diaa nal, ão nulo ' 0-' el m nto d (-t.I6) que não p r­

tencem à diagonal principal e ag g = 1/agg , o que implica

a id ntidade do m 'todos bietápico e trietápico de mínimo

quadrado. acao alguma da equaçõe e truturai ão qua-

çõe de definição ou, dum modo geral, equaçõe com rro

idênticamente nulo. , então a matriz (crgh) tem alguma linha

e coluna coru>tituída por zero e, portanto, é ingular e não

xi te a ua in\'er a (agh). omo em regra e conhecem o

coefici nt de tas equaçõ ,não e torna n ce ário e ti-

má-lo podem eliminar- e tai equaçõe do 'i tema.

33

uand há quaçõ" subid ntifi aelas, não é possível ti-

mar as orr 'pond nt 'S linhas olunas d (O'gh) porqu

não xist m a · timati as bi lápicas d \ minimos quadra-

dos. é ainda liminar essas quaçõ '5 do sistema

uar o m tocl tri tápi o para as quaçõ s identifi áveis.

4 .2 - VANTAGE DE TE MÉTODO

Imos na secção ant ri r qu , no ca o de não er

diagonal a matriz (O"gh) das p rturbaçõe ' e truturais, o método

tri tápico apr enta, m r lação ao bi tápico, uma maior

fiei An ia a impt6tica. Para dispormo duma medida d e

ganho m fiei Ancia, pod mo ' comparar a matriz das cova­

riância da e ti matriz bi tápica para uma equação e trie-

t ápica para um i t ma de dua equaçõ '. im, obtemo

para a in er a da primeira ( 24), conforme (4.7),

(4 .17) 1

Q= - Z~X(X' X)-I X'ZI' 0'11

abemo que X t m caracterí tica K ; logo, exi te uma

matriz quadrada H, de ord me caracterí tica K tal que H 'H=

= (X'X) - I. Faça- e 1 = H X'Zv matriz de ordem K ,< n1

caracterí tica n1 ; então (4.17) e creve- e imple mente

Q=

inver a - I erá, evidentemente,

Q- l (') - 1 = 0'11 1 1 •

( 21) De prezam- e o termo de ordem uperior a 1 fT. 3 - Boletim de Ciên ia Económica - ,"01. x

34

P r outro la.do . a ill\ r..,a. d,l, m, triz das o\'ariânci,ls

da '-timatriz trietápi a para dua.., qu õ s (25 ). d a ardo

om (.t 1 )

1 Z • ( ., ') 1 r, Z (j ... .J 1 " '" -'" -'" 2

Pr tende-.e a Ofa faz r ti. omI ara ã d m a

.ubn1atnz o} 01 da im' r. a d (.t .l ). m qu tal ubm­tnz . a matriz do mom ot da e, timatriz tri t' pica & 1

do y tor 1 do.., e fiei nte da prim ira quaçà.

cp. também A_ = H • "Z2. matriz d rd m K n 2

earaet ri tiea 02 ' Então (.t .18) s rá

I 2

(.t.1 ) 2 2

E ere\'a- a matriz (a'h). para ai tema d dua

çõ , oa forma

que tem por lD\'er a

( ~:;) De prezam- e o termo de ordemuperior a 1fT.

qua-

35

Logo, (4. 19) pod rá scr vcr-

1 1 1 2

2 1 2 2

a submatriz n l '" nl da ua tnver~a é a tnV rsa de

(4.2 )

1 1 ) 1 '

2 J Al .

Ba tará agora faz r a comparação de * 1

om c mo por upor que a 'egunda equação tá

xactam nt id ntificada, o qu ignifica que 1 = n 2 qu

a matriz 2 é quadrada. Nc e ca o, o produto da ' matri­

ze qu e ncontram na gunda pare la d (4.20) é 1 AI

rifica- e que * = o que implica, vid ntement , a

igualdade da inv r a . uer dizer, quando a egunda

quação e tá xactament identificada, a matriz das cova­

riância da e timatriz trietápica iguala a da timatriz

bi tápica e não há, portanto, intere e em recorr r àquela

e timatriz.

uponha- e depoi qu a egunda quação e tá

obr identificada, o que ignifica que K > n 2 e que

mai linha que oluna . Para mo trar a relação

produto da matriz da egunda parcela d (4.20)

con id r mo a r gr ão d mínimo quadrado

obre im, a partir de

1 = 2t::. + E,

2 tem entre o

de

36

'm que ~ é matriz de rd m n2 n l .

bt(m-:" ,pel rit rio habitual, a matnz

(4.21)

ejam Â1

~ a matriz . , r p ti\'am nt , do' \alo-

rc ... timado para AI E. Então

e E-I 1 .

Por outro lado

(-l.22) AI· 1 = (" 1 + ~)' (~1 + Ê)

= AI AI + ~ I ~ + Ê I ~ 1 + Ê I E

porque

~ 1

e

relação (4 .22) mo tra que a matriz da ornas do

quadrado e produto cruzado d «variá ei dependente)

e pode decompor na matriz da oma do quadrado e

produto cruzado da (<parte i temática) e na matriz da

37

s mas do quadrados produtos cruzado,; dos s u'> re íduo ..

E mo

A , A

1=

2 (A~ 2 1

P d c rever- ,para o produto matricial do s gundo m m­

br d (4.20),

(4.23) 1 =

m qu :t: ':t: é uma matriz s midcfinida po itiva.

Então, d (4.20) atendendo a (4.23), vem

Q* = 1

:t:'Ê.

E ta igualdad mo. tra qu Q * se obtém adi ionando

a Q uma matriz emid finida po itiva. OrnO é matriz

definida po itiva e * ão imétrica, o det rrninante

de Q * é maior ou pelo meno igual ao de ; e o d termi­

nante de Q * 1 é menor ou quando muito igual ao de

ma ez que o d terminante d Q * - 1 e - 1 ã a ariân­

cla g neralizada, r p cti amente, da e timatriz trie­

tápica bietápica de mínimo quadrado, aquela variân­

cia generalizada inf rior a ta d d que p =1= O e Ê' Ê =1= O.

hegaríamo a uma condu ão emelhant e con id rá -

mo um maior número de quaçõe: d de que a forma

trutural contenha quaçõe obreidentificada, deve er pre­

f rida a e timatriz trietápica. Além di o, ta e timatriz

deverá limitar- e à quaçõ obr identificada, poi não

I

3

apr enta qualquer \"ant , ~ 'mo m r-lação à. bi tá.pi a. para.

a..'" t'qu,l.çõe.., xactan1eot identi fi ada. Demon tra- <lu' a ' ti matriz tri tál ica" bt]n a.di-

ionando J. bll .• táplca uma ombina ã lin ar da.... ,time triz s

tri 'taplc, d,1.'" l'quaçôl" .., brdd ntifi ada ... (26) .

S. PROCES O DE ESTIMAÇÃO

1 _ RlTÉRIO DE E COLHA

A. Ylmos no. núm r ant rior - qu . y rificadas c rtas

condlçõe . ' po.sh·el obt r timatrize do ' parâm tro , tm­

turai com~' propriedade ' ptima que m ncionámo . Endent mente qu a colha d m todo de -timação

a utilizar não arbitrária. É a t oria económica que no:

impõe a. condiçõe:::. qu o mod lo d ve ati faz r e, no ca o d er 1 gítimo o u. o d mais d um método de e timação,

p ~ _, o problema d aber comO dever fita a colha.

E ta de\"e ba ear-,e m doi critério fundamentai: a iro­plicidade de cálculo e a propri dade apre entada pela'

'timatrizes.

B. uando Haayelmo mo trou a xcentricidad da

r gre. ão directa, pen ou- e que e te método iria er total­

mente abandonado e que o trabalho de algun pioneiro da

Econom tria, como ehultz, Douglas e Tinbergen, tinha ido

inútil. .. Ta \"erdade, tal não a onteeeu. Por um lado, muito

do modelo u ado ão rceur ivo ou eon tituído por uma

(:8) ., Zellner e H . Thell (1962, pág. 67).

39

..,ó quação com uma única variáv I endóg 'na, ,portanto,

d..,d qu jam '\' rificaclos os prc upo tos quanto às p r­

tnrbaçõ . aI atórias, 'I gítima a aplicaçao do método dire to

d mínimos quadrados. Por outro lado - e no qu r sp 'ita

ao.., m d 1 s int rel p ndcntes -, mbora a cxccntri iclade

seja um in onveni 'nte para qualqu r stimatriz, pod' s 'r

ompen ada p la rifi açao doutras propriedad .. s sti-

matriz bas adas na r gr ssão dir 'cta são xcêntri as, mas,

mo afirma L. R Kl ln (1960, pág. 866), «isto é ap 'na.

um não dentr a ·ua· xc 1 nt s propri dad SI). E onclui

m mo autor qu ,pr nt ou não a xc ntricidad pró-

pria do mínimo quadrados, o trabalhos d hultz, ougla,>

Tinberg n ão o gand clássico da teoria ela timação

e on tituem as prim ira ' I ituras de qualqu r tu o moclerno

d Econometria.

Não há dú ida, no entanto, qu a r gr .. ão directa

nã e tá indicada para a timação d parâmetro trutu­

ral de mod lo interd p ndente. Outros critério foram

pro urado e já fizemo larga referência a algun do que,

indirecta ou repetidament , u am aincla o critério de TTÚni­

mo quadrado.

Propomo-no agora omparar o re ultado obtido por

e métodos com o alcançado atra é doutro proce o

de timação. Na impo ibilidade de fazer um tudo xau ti\'O

do a unto, referimo-no ap nas ao. pro ce o de tima­

ção mai divulgados ( 27 ) - método d máxima vero i­

milhança com informação completa, ele máxima veroimi-

(27) Recentemente H . método iterativo, que denominou o método reduzido do ponto fixo . ção com E . Mo baek, um e tudo rico e prático de e método.

. Wold (1965 ; 1966) propô um do «ponto fixo» e uma variante, Ete autor prepara, de colabora­ir un tanciado do pecto te6-

40 --lhança om infoonaçã limitada da variáveis in~trum Il-

, d t-l~lente {ar m s r ' f 'r ' n ia a litro tai _ e ~ aCl cn ,WI < .

procc:-;o de e~tin1açà .

DE E TIMA TRIZE

5.2 1 _ táxima vero imHhança com informação completa

A. método de máxima v r

mação ompleta (:'InlYI ) {i pr Cla.lmente pr po to para ~ub tituir

~imilhança m in[ r-d -timaçã ini-

d r gr o dir cta

no-, mod 10-' int rd p nd nt s. omo ~ ::.ab, o ~nl\' I m ça P r admitir qu as

perturbaçàe al atória da equações truturai t ' m d t r­

minada di -tribuiçào, por ex mplo uma di tribuiçã conjunta

nonnal om valor médio nulo ' uma matriz das cova­

riância de -conhecida ma - on tante. A - quaçõe truturai '

ão utilizada - como {unçõc_ d nutem xpre ar a variá\' i m t rmo variávei ... predeterminada p rturbaçõe aleatória.

Detenruna-. c, atray de ta quaçõ d tran formação, a

di tnbwção conjunta da variávei depend nte, que tá

relacionada com o parâm tro truturai do mod lo . For­ma-:e depoi a {unção d \"Cro imilhança da di tribuição

conjunta d maximiza- e a fun­

ção em relação ao parâmetro d conh cido. ub tituída

a yariávei pelo - valor e fornecido pela amo tra, a r 0-

lução do i tema formado pelas quaçõe de maximização

dá-no:-; o yalore e timado do parâm tro . Embora teoricamente apre ente grande implicidade, o

:\Dl\"I torna- e muito trabalho o na prática. O texto d

Econometria e o lino obre a teoria da e timação incluem,

em regra, uma aplicação do método a um i tema com um

41

p qu no núm r d quaçõ s. apli açã a a O ' r ais

xIgma, porém, um granel númC'ro d igllalda 1 " o qu

mpIi aria xtraordinàriam nt os cálculos; de facto, ,te

m t do ainda não f i aplicado at hoje om SltC "so a um

si-t ma om granel núm ro d quaçõ" ( 28). É v rdael

qu ob. tá ui vai t ndo m n r ignifi ado poi, p la

g n ralização do uso d mputador lectrónicos, possi­

v I faz r, nalgun. minuto., cálculo qu 1 variam muitos

diac; com aI uladora<; manuai. ou lé trica . Todavia, o

trabalho d pr paração do cálculo pod

utro. , xigindo álcuio mai ' impl s, con­

duzem a r ultado igualm nt ati fatório .

B. comparação do MM I com o método em que

u ado o crit rio de mínimo quadrado faz- e d div r a

f rma .

nte de mai , o MM I pod r con id rado, como

mo trou G. how (1964), uma generalização do método

d mínimo quadrado.

Por outro lado, a e timativa de máxima v ro imilhança

do parâmetro da forma r duzida ão a ' e timativa de míni­

mo quadrado (29) .

inda por outro lado, quando a e timati a obtida

pelo ~1 1VI ão a melhore e timativa a imptótica nor­

mai , também o ào a obtida pelo método tri tápico. om

fito, embora J. D . argan (1964) nào mo tra e dir cta­

mente que a e timativa obtida pelo método trietápico ão

a melhore e timativa a ' imptótica normai, d mon trou

qll ,a me ma condiçõe exigida para produzir e timati a

ummer (1965, pág. 2) . . Koopman e \Vm. . Hood (1953. pág . 151-155).

a ..,tmptôtl a ... normai nO ~nl\' I . produ úam ..,timatha d,t

mell1.a natur'u n m t d trict,í.pi n. Também T. J. Roth nbcrg t' . T. L end r.., (19 -l) mo"i-

traram qlH' uma outra cstimatriz. a qu ' d ram O nom' dl'

>tlmatnz d' má~itna \' rO"iimilh ança lin arizada t 111. ,

me ma di ... tribui 5.0 a' impt tira do MM\ '1 .

. \.., tre:- e tlmatrizc que t mos men

tott amcnh: c ' ntri a' d' inf rmação zarem toda a in{ rmaçã disponív l. . ti ma-

triz ,1, cmpr "'ar depcnd . P r um lad , d s difi uldad d

cálcul qu r, da um d s mét d imp ,por utr lado,

da matrizc' da-- \'ariân ia a. imI t 'ti a.. uanto a pri­

m ir a. ... pecto. já foi ali ntada a difi uldad da aplica ão

pratic, do ~Dln ; quanto a erund, 111. stra- e qu as

tr' ... timatriz . "ão fiei nt se é d . conh cida a matriz

dru c \ ariància da ' p rturbaç- truturai «contemporâ­

que o método tri tápico não é fi i nte e algun '

1 m nto'" da matriz da covariância

a priori') ( 30 ).

o nh cid .

métod . d informação completa ã timatri-

ze ideai ' quando todo o pr . upo to. ~ ão ati feito . No

ntanto, ai m das dificuldad d cálculo impo t a por tas

timatrize ,vária razõe ' no pod m levar a pr ferir outro

método d stimação. D facto, L. R. Klein 1. Naka-

mura (1 2) afirmam que o MMV1 é mai en ível à

multicolinearidad do que o método que não ão de informa­

ção completa. lém di o, a timativa obtida por infor­

mação compl ta ão ba tante influ nciada pelo rro de

pecificação que porventura t nham ido cometido na

(3()) T. J. Rothenberg e C. T . Leender (1964, pág. 57).

43

onstruçã do mod lo conom tri o. utilização d toda

a informação tlisp niv I é, ao 01 "'010 t mpo , uma qualidade

um d f it das stimatriz s dr informação com pI ta. ual-

p cifi a ao 001 ti lo numa dao; quaçõ.., do

01 d I vai r fi ctir- ' nac; stimativa dos parâm troo dou­

tras quaçõ . . uando S mod lo ' in lu 01 grand> núm ro

d quaçõ par c stimatriz s d

man ira a r duzir ap nas a alguns parâm tro ' a po 'sív 1 influ"ncia do rro d pecificação ( 31). Em r -umo, pod -

m afirmar qu a reduzida robu tez da . timatriz de

informação compl ta, m pr . nça da multi olin aridad ou

d rro d um do factor . qu devem s r

tomado 01 conta ao faz r a colha do mét do de . timação.

5.2.2 - Máxima vero imilhança com informação limitada

0010 vimo na s cção anterior, o métodos de

informação compl ta ão trabalho o enOl empre acon­

elhávei ; torna- , por i o, n ce ário r corr r a outros

proc o de timação.

Evident mente que o problema da e colha de um pro­

c o de timação ó e põe quando o modelo tá obreiden­

tificado. De facto, no caso de id ntificação exacta, a e ti­

mativa obtida por regr ão indirecta ão timativa d

máxima vero imilhança ,portanto, a impl aplicação do

critério de mínimo quadrado conduz-no a e timativas que

gozam de propriedade óptima.

B. Quando o modelo tá obreidentificado ,por qual­

qu r da razõe ant riormente xpo ta não e pr tende u ar

( 31 ) F . 1. i her (1965, pág. 602).

um m t do d' infonnaçã mpl >t., utiliza-s um. pr so

d' e timação d' inf Imaçà limitada. ~ t e m t dos, 'm.bora

tom'm m c nidera - aráct ' r ~im.ultân das quaçõ ,

d um modelo int 'rd pend 'nt , s n ' mos apena da infor­

maçã «a priori» relati \'a a um 'ubsi. t 'ma d ist ma n­

~inal - a m.ais da" \' Z(" uma úni a quaçào - d termi­

nam tm1. ti\'as .oment d s parâm tr s d Inelutm- , nc~ta ela . e d tim. triz m todo da má. ima

\cr Imilhança om informação limitada pll\IY1L). m t do

bl tápI d minimo. quadrado, utro' m t do da

ela e k de Th il, - pr c .' ' o da la' h d Th iI ( 32 ), o

proc os da la 'e dupl k d T a ar ( 33 ) m to lo das

\'ari Wl in trum ntais. Das e timatriz ' d informa ão lüni­

tada, a que 'e t Am mpreCTad

m tod bietapico o ~DlnL.

ap ntamento do proce o de cálcul

última timatriz.

amo a gUlr um

da propri dad

Tal como no 1\1:11\'1 , com çamo por admitir qu

a p rturbaçõe ' ai atória da., quaçõ e t ruturai t Am rta

di tribuição utilizamo a equaçõ do m d lo como fun-

õe de traru.formação que xpr am a variá d p n-

dente m termo da variá\' i pr d t rminada e da p r­

turbaç- _ aleatória. Determina-e, m eguida, a função de

\'ero:lmilhança para o ub i t ma que no int r a d mod lo

ori inal e não para todo o modelo como no 1\1 IV1 . 'laxi­

miza- e a função de "ero imilhança em relação ao parâm tro

d .:conhecido, ub tituem- e a variá ei pelo valor for­

n cido p la amo tra e reol ve- e o i tema para det rminar

a timativa do parâmetro.

(,.) H Theil(1961 ,pág 3-3-354) . (U) :\ L. .'aaar (1 62).

45

MM"IL, embora baseie no m smo princípio do lMVI , nec ssita aprnas duma informaçào mínima, i. C.,

basta o onh cimento das r .,triçõ s (Ia priori) qu S' refe­

rem ao subsit ma onsiderado. É muito amplo o ampo

d aplicaçã d t método, pois pod m studar-s, s para­

dament , o. m r ados d div ros bens ou os vários sec­

tor da onomIa. ecessàriam nt as quaçõ de estima­

ção . ão mais impl s que as do MMVI , mb ra nào goze

da m 'ma" propriedad '5 óptimas de e método, a com­

pulsar m- conjuntam nt a propri dade e o trabalho alculatório, dá- pr f 'r'n ia ao MM IL ( 34 ) . lém disso,

o erro de arr dondam nto com tido no d curso do ál ulo

aum ntam mai ràpidam nt no MM IC do qu no métodos

d informação limitada, pelo que a reduzida pr cisão dos

dado económico pode impor re triçõe à amplitud do

mod lo m que e mpr ga o método ( 36 ).

D. Quando e con trói um modelo conométrico, n m

empre e tá c rto d usar, para as diver a igualdad

que o con tituem, a e p cificação mai indicada ou de er

correcta a informação (Ia priorü> u ada. Poi bem, de d qu

t nha ido det rminada a forma geral do mod lo e e colhi­

da a ariáv i que n 1 entram, podemo, atravé do lM\'IL

xperimentar diver a ver 'õe de alguma igualdade ' m

faz r quai quer hipót e quanto à r tant s igualdad '.

im e con egu , por te método, con íruir por tapa

um modelo compl to.

E. Uma vantag m que tem ido apontada ao 1M IL

é tratar toda a ariávei endógena incluída na equação

(3~) T . M. Bro\\l1 (19-9. pág . 650-6-2). (35) R. ummer (1965, pág. 3).

46

• ( 3G ) duma f rma. ... im tn a

tamb m pod'

l' o 't1tant . ...ta propri 'dad '

um. ln onv ni nte. I fa to.

J. ada uma da rrcsp nd uma variá­

,d ndó cna. de (yrand la dl' t rminada p las unidades c n'-

nuca CU) omportament é repr ... ntad p la qu, çà

par natural 'lu a s Yari á\"(~l seja

d' d taque na quação. ,\ ... r ras d

part da ptclfi açã d um m d 1

dada uma p sição

n . rmalização são

mod I nào ... tá

ada yariá" I ndó-ompl tament... P cifi ado m qu

,yena apareça. P lo m n . de form.a

mente uma equaçào do m d 1 (37).

im pli ita.

qu

'rto da normalização adequada. a im tria uma propric­

d,ldc inde)<\\' 1 num mod lo b m p cifi ad .

F Fa amos a comparaçã ntr IM\'IL e o ' método.:;

de mínimo quadrado a qu fiz mo ref rência.

Já dt · emo. que astimativa d má xima v ro -imi­

lhança do. coeficiente duma equaçã da f nna reduzida

ào tim tiya de mínimos quadrado -o

Por outro lado, ao faz r- a comparação ntr o re ul­

tado obtido. P lo MM \ ' IL para o co fiei nt da dif r nt .

equaçõ d um modelo timativa de mínimo qua-

drado.. ncontram- e, em reara, ap na diferença mínimas,

que nào ju ... tificam o acr cimo de trabalho do método de

máxima vero imilhança. O facto videnciado por K .

Fox E . Thorbecke (196- , pág. 76) que calcularam, u ando

o crit rio d mínimo quadrado ', o' coeficiente da equa-

õe; do mod lo Klein-Goldberg r para o E tado nido

(H) ~I o. trou G. . ho\\' (196-t . págs. -32-533) que o IM\' IL é uma generahzação natural do método de mínimo quad rado na au 'nela duma regra de normalização teoncamente dada.

(37) F. ~l Fi her (196- , pág. 60-t ).

47

(L 2 -1 52) t' compararam-nos com a stimativa obtidas

ini ialmentc p lo 1:M\'1L; a", dif renças observadas s-o

muit p qucnas, o qu os l'vou a oneluir quc Kl in

oldb rg r pou o ou nada ganharam rn tcr li 'ado o 1MV1L.

É Ir qu nt faz 'r-s 'studo njunto d métod s d

timaçã d inf rmaçã limitada, sobr tudo o M {\' IL o

m tod bi tápico d minimos quadrados; aliás, os d is méto­

loà bàsicamcntc s m Ihant s o último pod ser con­

sid rado omo uma simplificação do prim iro ( 38). orno os

método d informação limitada t'm c ncialm nt a me. ­

ma pr pri dad s para amostra grand (39 ), a 'colha do

m todo faz-s p lo trabalho calculatório a qu obriga e, por

isso, a pr f rên ia vai para o mét do bictápico. firmavam

K. . Fox E. Thorbeck (1965, pág. 74).

timação ·tatí tica mudaram conid rà-

55, o método d máxima v ro imilhança

om informação limitada já não é considerado uma pana­

ia pelo m lhor . con m tri ta .. Theil, Ba mann, Nagar,

'/ elln r e tudaram a propriedade. da e timatriz bi tá­

pica tri tápi a d mini mo quadrado e outra da las e k).

G. robu. t z da várias timatriz d informação

limitada em pr ença da multicolinearidade ou d rro de

c p cificação é outro factor que deve er con id rado ao

e' olher- um proc o d timação. Mo traram L. R.

Kl in M. Nakamura (1962) qu o MMVIL mai en i­

v 1 à multicolinearidade do que o ' outro método da ela e k

, por i o F. M. Fi h r (1965, pág. 6 ), afirma qu , na

au ' ncia d outro critério d colha, e a falta d robus-

(3) L. R. Kl ein, R ]. Ball, Hazlewood e P. "and me (1961 , pág. 193).

(39) 1<. M. Fi her (1 65, pág. 604).

4

tez ~ o ... ufi iente para 'abam}on<l.r na práti 'a método

d> JDIYIL e pr ferir outra timatriz d' inf rmação linl.lt, d,l.

mOlo se " rifica quant .1,0 - 'rro.., tl 'sr cihcaçao pois

R. mnrner (1965. pág, _9). on luiu. d 'pois de um. ' ame

Clr UIl. tan ial da distribuiç-

"timatnze que, tant o 1\{?\IYI , ~J() muit en h'ci - ao. rr

colha entre

tada, que não ~eja JDl\ ' IL, torna-s

linll­

Ele em,

por e . 'mplo. um comportam nt tez, .'0 entanto. com métod bi tá pi o d mínimo.' qua-

drados ,dc_ s~ ·timatriz 'i, a qu xiO' meno álculo!',

on titui uma neralizaç~o do m ~ t d d mínim quadra­

do. quando há reara d n rmalização t àricam nt ·tab­

lecida , par c que d y r a timatriz pref rida no stado

pre'ente do no. "O conh ciment (40),

- ~ 3 - "ariáveis in trumentais

o método de máxima v ro imilhança qu temo

referido. ào utilizado para a -timação d parâmetro de

quaçõ identificá\'ei Fazemo-, ne ta ecçào, br" r ferência ao método da

(~O ) método uado na e timação do modelo h la ndê' (do C II(rlUJl Plallbul'eaf/) ão o bletáplco de mínimo quadrado e o :\L\InL. f P De "'olff (1966. pág. I ). O u ado no model ame­ncano do R QE (Research emmar on Quontltatwe Economics) são o de regre -ão directa. o bletápico de mínimo quadrado e o 1M IL. E te último tem ido pouco empregado por er ba ·tante in tável: uma pequena alteração no. dado conduz por veze a uma alteração en ín:1 na e-tlmatl\'a' O proce.o u -ado no modelo grego de

P. Pavlopoulo (1 66) ão também o de regre ão directa e o ble­tá piCO de mímmo quadrados.

49

variáv is instrum ntais da , ua r laçã com os métodos de mínimos quadrados.

proc 50 elas variáveis instrum ntais é usa lo, sobre­

tudo, para stimar rel çõ s . uhielentificaelas, om fcito,

quando uma r laçã é icl ntifi áv 1, pref rem-!> outros méto­

d , mais fi az s para fa;>; r a stimação do parâmctr s: se

a qua ão stá e 'a tam nt id ntificada, o m todo das

ariáv is instrum ntais é quival nte ao d minímo qua­

drados aplicado à f rma r duzida; s a relação tá sobr iden­

tifi ada, há um núm ro d variáveí fi tntm ntai ' up rior

a . tritam nt n ccssário, pIque há diversa. possibilida­

d de colha quanto à variáv is a utilizar como in tru-

mento ess é um inconv niente grave do método.

Propõe R. . Geary (1949, pág. 149), qu co-

lha uma ombinaçã d variá" i · in trum ntai m v z d

variá i ímpl e mo tra {. L. RI in (1955) que o métod

bi tápico de mínimo quadrado coincid com o da variá­

v i in trumentai d d qu e utiliz dada combinação lin ar de a variávei.

Por outro lado, . 1adanky (1964, pág. 51), stab I ce

a relação entr o mét do trietápico o das variáv i ' in­

trum ntai , apre entando as im uma expo ição implificada daquele método.

5.3 - AMOSTRAS PEQ ENAS

5.3.1 - Experiências de Monte Cario

. Tanto O método d timação d mínimo qua-

drado , como o outro proc o de e timação, apre ntam

propriedade a imptótica , que e erifi arão d -d que a

condiçõe iniciai jam ati feita. condu õe qu tirá-

4 - Boletim de iência Económica ' - Yol . li:

so

dl\ 'r..,as e ,timatrize" slo \' rdetd 'ir,'l' mlh, a mpar,1.r a

a-- amo tra- ln que .., ' ba ' ' i,1.1l1. O

rt qu,

te do.., nã tanta-- ob.., '[\ açõe' qUe nta.., as dC'cj, da.." o m smo não se

\ 'nhca quando ..,e trata d U l'ssQ' ron l ' i a , s I men-

to de qu dlpon11 mE 0 11 mia Cm m r ' ra cará t r.

uand pr t ndemo.., c mp mr as pr pri dad s d'

c. tJmatrize obtida-- a partir d am . tr~ pequ na pod mo,

'!Ulr a \"Ia analíti a, i, "pr curar a forma analítica xa ta

da 1 1. dl> pr babilidade da timatrize para dada pro­

pnedad . do. erro. aI at rio~, U a via mpíri a, p la qual

l' deternúnam emplricam nt as di. tribuiçõe de stima-

triz a partir d amo~ tra' obtida artificialment m

dúvida o primeiro método _ ria ideal porqu no ' varia

a um conhecim nto ompl to do pr bl ma; inf lizm nt tal

tudo ainda nà f i laborado, talvez pela norm difi­

uldad que leyanta, T m-eguido , qua e invariàv lment ,

o tratamento empírico, obr tudo atra é das t enica ditas

de I, ~lont arlo»,

omo abemo, trata- d conhecer a di tribuição

de probabilidade de um e tatí tica atravé da colheita de

grande número de amotra da população, Cal ula- o valor

da e tatística para cada amo t ra e procura- e determinar a

dI. tribuição por amo tragem a partir do r ultado obtido.

A 'sim, começa-. e por con truir uma trutura artificial,

com parâm tro e ' truturai conhccido e um ctor aleató­

rio u (t) com di , tribuição igualmente conhecida, Parte- e de

um conjunto de valor da yariávei predet rminada : variá­

vei exó ena, para t = 1, '''' T e valor iniciai da variá­

vei endógena (t = 0, - 1, - 2, ... ). Obtém- e então, atra-

51

\' S el um gerador ele d "vios aleatório norm1.i, grande

núm ro d' amo tras d dim nsão T, om a distribuição de

probabilidad admitida para u (t). orno conh c mo, os

parâm t1"O struturais, as variáv IS exóg na,>, valor .­

ini iai - da variá i nd6g na a,> p rturbaçõ s aleató­

ria, podemo d·t rminar, p la f rma r 'Juzida, o correp n­

d nt onjunto de valor das variáv i· d p ndcnt . .

, upom , m s guida, ignorar o parâm tro u ado

- parâm tro - . truturai. di tribuição de u (t) - al-

culamo , p lo proce o d etimação qu pret ndemo tu-

lar, o )TI 'mo parâmetro '. álculo pod '.ier fito om

o m d lo corr eto, qu foi o inicialmente propo to, ou com

um mod lo incorr cto, para aber até que p nto um rro

d sp cificação modifica as -timativa ' do ' parâm tro .

P r fim, faz- e a c mparação entr a di tribuição por

amo trag .m da e timativas d cada parâm tro obtidas

p 1 vário proce so - d e ,timação e o v rdad iro valor

do parâmetro.

D . Até há pouco ano, a xperiência de Monte arlo

tinham em vi ta, qua e xc1u ivament ,o tudo do com­

portam nto da . timatriz do parâmetro e truturai. No

ntanto, muita veze não n ce itamo pro pr iam nt conh-

er o parâmetro truturai mas obt r, atrav deI, o

da forma reduzida, com o objecti o de faz r

obr a ariávei d pendent . É vid nt qu

há uma relação ntre a qualidad da e timatrize do parâ­

m tro truturai a do parâmetro r duzido ; porém,

é difí il tab lec r propo içõe imple obr o a unto que

ejam út paTa o a d pequena amo tra e ti matriz s

~x êntrica (41), ca o m qu encontram fr qu ntemente

(41) . F. hri t (1960, pág. 41 ),

52

c nomita. Ap na" potl m afirmar qu " s parâ-

m tr _ "truturais são nh id s xa tam nt , pod m s A -lo

também parâmetr ' reduzid s; que, a<; stimatriz

do. parâm tro truturai nt " tamb m sào

a da forma. r dllzida. R c ntem nt , p r m, a

tAm- Je ' tinad nã s a

xp ri 'n ia d Iont

mpamr o parâm tr ar!

'tru-

turai ma ' tamb ma' predi õ <; mdi ionadas, p rmitindo

a ' im um mai: p rf ito estuu d . div r o m t d d sti­maç-o, no qu r pita a am tra pequ na (J2).

E . llblinh - e qu a xp ri 'nci d 1 nt arlo

apr entam o inconv ni nte d tab lec r uma hi -rarquia n int r ' e da pr ci ã da ' timatrize do div r ' 0 .

parâm tros. om feito, no mod I

natur za do f nóm no qll , tá a

qual parâmetr (ou parâm tro) qll timar

com maior preci 'ão ou para qual da ariá i d pendent

pretend mo obt r uma pr dição ndi ionada mai pró ' ima. modelo artificiai con truído para a experi 'ncia d

ilIonte arl não há parâm tr prin ipai e ecundário ou

variáyei d pend nte de maior int re e que outras. Pode

acontecer que o diver ' o método de timação e com­

p rtem de modo emelhante m relação a todo o ' parâ­

metr " i .. , que o me m método conduza a re ultados

i ualmente ati fatório ' para todo o parâm tro . Em geral,

porém, nào e verificará a uniformidade d comporta­

mento : um método que fornec melhore e timativa para

um parâmetro, afa ta- e mai do verdadeiro valor para outro

parâm tro . A única olução erá procurar r unir, numa única

medida, o comportamento conjunto do diver o parâmetro

( t2 ) R. ummer' ( 196~ , pág. 5).

53

ou at ntar apena na proximidade das stimativas obtidas para a variáveis d p nd nt s.

ma limitação nas on lu - . a tirar, tanto das xpe­

ri"n ia d font arlo orno do tratam nto anallti o, pro­vém do facto de o mod >10. u. ado até agora não in luírem

ariáv i endóg nas d sfa ada, ou p lo m no não. erem u ada corno in trum nto pr d t rminados ( 43 ).

Deve, por m, m ncionar-s urna vantag m das xp riên-

ia d 1 nte ado: todo o método d timação usam

m mo conjunto d dado, de modo que as stünativa

são directam nte omparáv i. c os métodos de ·timação

ba ea m m dif r nt onjuntos de dados, o traba-

lho calcula tório t ria d aum ntar de forma xtraordinária para que to e obtida a me ma informação ( 44 ).

5.3.2 - Propriedades das estimatrizes

Fizemo atrás [5.2], para a estimatrize mal usa­

da , um e tudo comparativo da uas propriedade com as

apre entadas pelo método de mínimo quadrado. Na pr e-

ent cção procuramo fazer o mesmo e tudo compaIa-

tivo atravé de algun re ultados, que nos parecem mai

ignificativo ,obtido por experiência de Monte ado.

Em Março de 1954 r alizou-se na niver idade da Flo­

rida um « ympo ium on Monte arlo iethod I), onde foram

apre entado vários trabalhos e tatí ticos, reunido mai tarde num volume único (45). De de então, publicaram-se nume­

ro o e tudo obre o re ultado obtidos com experiências

de Monte Carlo, do quai citamos G. W. Ladd (1956), H . M.

(43) F . M . Fi her (1965, pág. 604). (44) R. Summer (1965, pág. lO). (46) H . . l\Ieyer, ed. (1966).

\ragn r (1 5 ), \\'. ,\ . iswanger (H)5~):

L ' ). . • a ar ( L ) c . F . •. l\l os-

baek (1 ~) e W11mers (1 65) .

. \ maior parte d - stud s comparam as (' timati\".\s

do paràmetro, -truturai -, obtidas proc sSOs

de tima,ão, com s v rdad aI r . do parâm tros, é .... a tamb m a ri ntaçã que pridirá a sta. nsi-

mo di- m já, um . tudo r ccntt' dR, um­

- pá . 16-2 ), r f re- igualm nt ao compor-

yária timatriz - quand mpr gal1l no

B. Ao faz r um tud mplrico d di tribuição por

amo traO'em, m que a. amo tra utilizada são p qu nas,

-tudam-. e àmente, c por razõ óbvia, a propri dad s

de centricidade eficiência. 'ote-. , de d já, que uma e timatriz pod r t àri-

camente cêntrica e apr entar, para d t rminado tudo

mpúico, uma ex entricidad po itiva ou negativa; é pro­

á el, no entanto, que ta

apr entada por uma e timatriz de ua natureza excêntri a.

E e facto é confirmado por . L. Nagar (1960, pág. 574),

quando compara a xcentricidade da regre ão directa com

trê método con i tente de e timação, pertencente à ela e k.

Kota ainda que o método bietápico de mlnímo quadrado

o que apre enta menor excentricidade em todos o ca o ',

ap ar de er o mai simple do método con i tente empre­

gado.

Quando apreciamo a eficiência do método de e tima­

ção atrav de experiência de fonte arlo, notamo (46)

(ta) Yeja- e, por exemplo, A. L. Nagar (1960, pág. 57-l) e R. ummer (1965, pág. 2 ).

55

_ também a confirmar os tudos te6ri os para amostra.

grand - qu é mínima a. variân ia d amostrag m do

m t d dir cto de mínimos quadrados.

Embora as on lus- s tiradas das ('XpC'1'l n ias d

1ontarlo s jam ap na. válida· para o modelo . tndado,

par cem-no. suge tiva as consid 1'a õe d R. umm rs

(1965, pág .. 29-32), ao r unir os r . ultados que obt ve pela

mparação ela . timativas dos parâm tros e truturais:

« regr . ã dir ta apr s nta-s mais atra tiva do qu tería-

mo p n ad p lo tudo da pr dição condi ionada da

tudent. M 1.VI omporta- admiràvel-

m nte ob ondiçõ s favoráveis, ma piora quando e nota

uma int rdepend Ancia levada ntre a variáv is onjunta­

m nte det rminada ou uma rrada e pecificação da estru-

tura. método mai con tante parece er o bi tápico de

mlnim quadrado . O M 1. IL, com uma ó quação, é

tão irregular quando exi t interdepend Ancia da variáv i ·

pr d terminada que o eu u o parece arrio cado).

O método da variávei in trumentai tem sido meno

tudado e a condu õe a qu e chega, ao comparar com

o re ultado obtido por outro processo de e timação, com

diver o modelo" ão por ze contraditória (47).

5.4 - CONCLUSÕES

A. A comparação qu acabámo de fazer entre o méto­

do de e timação que empregam o critério de mínimo qua­

drado e o ou tro proce o de e timação mai u ado , mo. ­

tra-nos que o critério inicialmente propo to ainda hoje

(47) H . M. \ agner (1958, pág. 131) .

56

c ntinua v<Uido, mb ra método t nham ido m lh rad '

tenha feito um stud dos a-.05 particular a q u alient - qu m lhor r , ultad .

d vem s br -

pá 7) a afirmar, qlland r f r a

rado,' no futur próxim : «E p ro uma m lh ria na pr cião

do: ,tudo ' conom tri ' da rd m d grand za, d ' in­

qu nta por ento c m rultado do m ]h r conh cim nto

do funcionam nto da

nov medida para a ariá\' i

pr ci o . Em contra t, P ro uma p qu na m lh ria d

cinco a dez por cento pelo u ' o de m todo mai pot nt

de inferência e tatí tica», ondui, porém , que: «Todo o

caminho qu conduzam ao aperf içoam nto de m er egui­

do , porque todo o ganho, me mo p queno, ão pr cio o ;

todavia, deve dar- e ' diferent contribuiçõe o rele o que

merec m. A adopção de método de tatí tica matemática

mai pot nte ' não é uma panaceIa>).

B. Pelo tudo feito no número a nteriore, conclui­

mo que o ~1l\1\' I poderá u ar- e quando o mod lo e tá

obreidentificado, o número de parâmetro a e timar nào

é muito elevado, e exige elevada preci ão na e timativa ,

, tá egurada a inexi tência da multicolinearidade, e ta-

mo certo de que a e pecificação u ada é a m ai conve­

niente e é correcta a informação «a priorü); o MM IL poderá

usar- e quando o modelo e tá obreidentificado, no intere a

apenas e timar o parâmetro de alguma equaçõe do modelo,

e tá a egurada a inexi tência de multicolinearidade e m e mo

que haia dúvida quanto à pecificação correcta, à norma­

lização mai adequada ou à veracidade da informação

57

(Ca pri ri); o método da ariáv is in trum ntai u:a-s , sobre­

tudo, para mod los 5ubid ntifi ado. No r tant asos - são a qua e totalidade - os

d minim. quadra los, pecialment o de r gre -

!;ão dir ta o bi tápi o, continuam a ter a preferência,

qu r por m no xig nt quanto à ondições em que sã

apli áv i , quer pelo menor núm ro de cálculo:> a qu obri­

gam.

Jo É DlO. Í I DE LMEIDA

Professor da Faculdade de Economia do Porto

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