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LUCIENE MARIA DE SOUZA ZANARDI

FRANCISCO ROBERTO PINTO MATTOS

APRENDENDO DESENHO GEOMÉTRICO COM O MOODLE

Rio de Janeiro, 2018

LUCIENE MARIA DE SOUZA ZANARDI

FRANCISCO ROBERTO PINTO MATTOS


1ª edição

Rio de Janeiro, 2018

CATALOGAÇÃO NA FONTE

COLÉGIO PEDRO II

PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO, PESQUISA, EXTENSÃO E CULTURA

BIBLIOTECA PROFESSORA SILVIA BECHER

Ficha catalográfica elaborada pela Bibliotecária Simone Alves – CRB-7: 5692.

Z27 Zanardi, Luciene Maria de Souza

Aprendendo Desenho Geométrico com o Moodle / Luciene Maria

de Souza Zanardi; Francisco Roberto Pinto Mattos. - 1.ed. – Rio de

Janeiro: CPII, 2018.

[19], 42, [2] f.

Bibliografia: f. [2].

ISBN: 978-85-64285-82-8.

1. Desenho Geométrico – Estudo e ensino. 2. Geometria. 3.

Moodle. I. Mattos, Francisco Roberto Pinto. II. Título.

CDD 516

RESUMO

ZANARDI, Luciene M. de S. Aprendendo Desenho Geométrico com o Moodle. 2018. 63 f. Produto Educacional (Mestrado) – Colégio Pedro II, Pró-Reitoria de Pós-Graduação, Pesquisa, Extensão e Cultura, Programa de Mestrado Profissional em Práticas de Educação Básica, Rio de Janeiro, 2018. Este produto educacional tem como fundamento contribuir para o ensino do Desenho ofertado Colégio Pedro II, tendo em vista os alunos da 1ª série do Ensino Médio, oriundos por meio de concurso e que cursaram o Ensino Fundamental em escolas que não possuem o Ensino de Desenho em suas grades. A inquietação que promoveu a construção deste produto educacional está no fato de que muitos desses alunos possuem muita dificuldade na aprendizagem dos conteúdos da disciplina de Desenho durante o Ensino Médio, pois carecem de uma série de conteúdos que deveriam ter aprendido no Ensino Fundamental. Dessa forma foi viabilizado um produto educacional para responder a essas questões tendo como base alguns pressupostos da Pesquisa de Desenvolvimento, também conhecida como Design Research que visa à aplicação do produto educacional e a coleta de informações junto a todos os envolvidos de forma a aperfeiçoar constantemente o material produzido. Assim, o presente trabalho visa favorecer a aprendizagem dos alunos para melhor desenvolvimento na disciplina de Desenho durante o Ensino Médio, para isso, utilizará de dois suportes integrados: o Ambiente Virtual de Aprendizagem – Moodle combinado com uma apostila, para que o aluno possa experimentar vários aspectos da Geometria. Palavras-chave: Geometria; Ensino de Desenho Geométrico; Ambiente Virtual de Aprendizagem; Moodle.

INTRODUÇÃO

Prezado professor, este produto educacional foi feito sob um determinado

contexto social e pedagógico, porém pode ser adaptado para outras realidades. Por

exemplo, o Ambiente Virtual de Aprendizagem - Moodle pode ser substituído por

outro recurso disponível no seu local de trabalho.

A ideia do presente produto educacional que se justifica em agregar o Manual

(apostila) com o Tecnológico (Moodle) pode ser replicada em outros segmentos e

séries, trabalhando inclusive com outras disciplinas, cabendo alguns ajustes.

Agora vamos entender um pouco mais sobre o produto educacional em

questão para que possam imaginar como podem aplicar a ideia em sua realidade

escolar.

O produto educacional “Aprendendo Desenho Geométrico com o Moodle” foi

desenvolvido e aplicado durante o ano letivo de 2017 no Campus São Cristóvão III

do Colégio Pedro II. Tal produto é a combinação de uma apostila de resumos dos

conteúdos e propostas de exercícios com o Ambiente de Aprendizagem Virtual –

Moodle, esse último contendo vídeos, links, propostas de atividades e fóruns.

A proposta dessa construção se deu através de uma preocupação didática

observada no cotidiano escolar. Pois muitos alunos que ingressam por meio de

concurso na 1ª série do Colégio Pedro II não tiveram a disciplina de Desenho no

Ensino Fundamental.

A apostila física combinada com o virtual permite dar mais flexibilidade ao

ensino dos conteúdos de maneira a oferecer um suporte dual e personalizado.

Dessa forma, o aluno tem contato tanto com a realidade tradicional quanto a digital,

alargando seus horizontes quanto as possibilidades de expressão em cada um dos

suportes.

A apostila e o Moodle estão relacionados de tal forma que o aluno apoia seus

estudos em ambos, sendo o ideal estar com os dois abertos no momento do estudo

junto com os instrumentos de Desenho Geométrico (régua, esquadros, transferidor,

compasso, lapiseira, entre outros).

Dessa forma, durante a leitura do resumo que consta na apostila o aluno será

solicitado para acessar o Moodle e fazer alguma atividade, como por exemplo

assistir um vídeo:

A criação de links por meio de ícones foi escolhida por causa de sua função

didática e de rápida assimilação. Logo, toda vez que o aluno se deparar com o ícone

do vídeo saberá que assistirá no Moodle.

Existem outros ícones utilizados durante a apostila com esse objetivo, segue

abaixo:

Experimente aqui!!!

Informa que deverá acessar um link no Moodle.

Sugere acesso ao Moodle para baixar arquivos PDF das normas técnicas e sua leitura para aprofundamento.

Indica que no Moodle tem alguma atividade para ser realizada utilizando o programa gráfico: Geogebra, que é disponível online.

Pede a participação dos alunos nos fóruns disponíveis no Moodle.

Esse ícone indica a proposta de exercícios na apostila.

Assim, observando o ícone do vídeo o aluno deverá acessar o Moodle do

Colégio Pedro II pelo endereço eletrônico: https://www.cp2.g12.br/moodle/login/

Ao acessar será solicitado a identificação do usuário e a senha. Os alunos

foram previamente cadastrados com a coleta de alguns dados básicos (Nome,

sobrenome, matrícula e e-mail pessoal) que foram encaminhados para o setor

técnico responsável.

O técnico responsável pelo Moodle no Colégio Pedro II, cadastra os alunos

dando um retorno para que o professor fale com seus alunos que foi liberado o

acesso dos mesmos, e orientá-los quanto ao uso do Moodle.

A princípio o aluno terá o acesso por uma senha provisória padrão que deverá

ser modificada após o primeiro acesso, como usuário será utilizado o número da

matrícula e se possuir letras deverão ser inseridas como minúsculas e a senha

provisória padrão é a sequência numérica: 123456.

O Ambiente Virtual de Aprendizagem – AVA - Moodle possui um Design bem

simples e limpo, com tons de branco, cinza e azul.

Suas telas não possuem propagandas e textos que possam contribuir para a

dispersão dos alunos pelos sites da internet.

O professor tutor pode organizar os conteúdos guiando seus alunos para o

aprendizado do conteúdo, podendo inserir links que irão direcionar a sites

específicos, o que promove um foco maior no estudo.

https://www.cp2.g12.br/moodle/login/

Esta é a tela inicial do curso com suas descrições:

Como pode-se perceber no canto superior direito tem o seu nome de usuário

e ainda pode inserir uma foto. A setinha ao lado da foto abre um menu referente ao

perfil do usuário. Em que é possível ajustar algumas preferências.

No menu lateral esquerdo temos a navegação do site, que permite encontrar os conteúdos por meio de links de acesso rápido.

No menu lateral direito temos informações sobre o curso e seu andamento, como possibilidade de pesquisa, notícias, eventos, calendário, entre outros que podem ser inseridos, com o intuito de auxiliar os alunos no processo.

Na parte central estão dispostos os conteúdos em si, como tópicos, é possível inserir links, documentos, atividades, entre outros em cada um dos tópicos.

Dessa forma o aluno deslizando para baixo a rolagem encontrará o que busca

de maneira rápida, pois os nomes dos capítulos são os nomes dos tópicos, como

vemos na captura de tela abaixo.

A apostila que foi dividida de acordo com os conteúdos pertencentes ao

Ensino Fundamental na Disciplina Desenho do Colégio Pedro II. Abaixo o sumário

da apostila:

1- Conhecendo os instrumentos de Desenho Geométrico

2- Caligrafia técnica

3- Ponto, reta e plano: Estudos e conceitos

4- Paralelas e perpendiculares: Utilizando os esquadros

5- Mediatriz e Bissetriz

6- Polígonos

7- Circunferência de Círculo

8- Retificação da circunferência de Círculo

9- Tangência e concordância

10 – Divisão de segmentos em partes proporcionais

A seleção dos conteúdos foi realizada por meio de comparação das apostilas

relacionando os conteúdos que atualmente são aplicados no Ensino Fundamental e

Ensino Médio do Colégio Pedro II com as apostilas de nivelamento que são

oferecidas para os alunos que ingressam no E.M., pensando quais assuntos do

Ensino Fundamental são prioritariamente necessários para que os alunos possam

ter bom desempenho no Ensino Médio. A partir dessa atitude de comparação, temos

os conteúdos da apostila desse projeto, contando com assuntos essenciais para

quem ainda não teve contato com a disciplina de Desenho Geométrico expressos de

forma clara e enxuta, pois esse projeto é desenvolvido extraclasse.

A apostila consta disponível em formato PDF para download no AVA:

Temos os fóruns para conversas e trocas online:

Além do Glossário, que funciona como um dicionário que é construído de

forma colaborativa pelos usuários.

Como se pode observar o glossário fica organizado por ordem alfabética para

facilitar a busca.

Durante o curso os alunos deveriam responder alguns questionários para

testar seus conhecimentos, com perguntas pertinentes aos conteúdos que estavam

estudando, assim temos links de formulário tipo teste do Google, como vemos a

seguir:

Ao clicar o aluno era redirecionado para o preenchimento do formulário.

Para aprimorar o produto educacional é de suma importância saber dos

usuários qual sua impressão do material utilizado, pensando vários aspectos,

principalmente do Design e estrutura. Assim, pela utilização de formulários do

Google também foi solicidado dos alunos que respondessem a pesquisa de

avaliação.

Abaixo veremos como aparece no site os links:

E abaixo o formulário do Google para a pesquisa de avaliação:

E em cada tópico o aluno terá a possibilidade de acessar links de vídeos

como vemos a seguir:

Ao aluno clicar no item indicado ele será direcionado para uma página do

vídeo que está hospedado no YouTube a princípio.

Poderá ter documentos PDF para donwload:

Abertura do arquivo online:

Tem links para acesso a sites que podem ajudar no entendimento do

conteúdo:

Ao clicar o aluno não será redirecionado automaticamente como acontece

com os links dos vídeos, mas abrirá a seguinte página no Moodle que mostra o link

com essa finalidade:

Temos até mesmo as tarefas que são atividades feitas com um prazo

estabelecido pelo professor para que seja anexada no AVA Moodle.

As atividades foram feitas em um programa gráfico que é diponível online

chamado GeoGebra, que possui link logo acima do item da atividade como vemos

acima. Ao clicar o aluno é direcionado para a página do programa, como vemos

abaixo:

O Geogebra é um software de geometria dinâmica que permite ao usuário

explorar tanto a geometria analítica como a geometria plana. Suas construções em

geometria plana são possíveis através da ativação dos botões que controlam o

traçado que se deseja, tornando-o seu manuseio intuitivo e facilitado.

Esses foram os recursos utilizados no Moodle a princípio, porém existem

diversas possibilidades de usos e recursos para além dessas mostradas que podem

ser utilizadas de acordo com as necessidades e realidades de cada professor.

A seguir temos a parte do produto educacional para os alunos. Ou seja, a

apostila de fato. A carta a seguir foi elaborada pensando o público em que foi

aplicado, podendo ser adaptada e reescrita em outra situação e instituição.

Prezado(a) aluno(a),

Seja bem vindo ao Colégio Pedro II que ao longo de sua história se

consagrou pela excelência no ensino tendo por princípio formador desenvolver as

potencialidades do aluno e formar cidadãos críticos, ativos e transformadores na

sociedade.

O ensino do Colégio Pedro II conta com uma grade curricular de disciplinas

que mantém o ensino do Desenho Geométrico, acreditando que esse pode

desenvolver no aluno uma série de habilidades que são exigidas do profissional

contemporâneo, tais como: o aumento da coordenação motora fina, da acuidade

visual, além de colaborar para desenvolver o raciocínio lógico e ampliar a noção

espacial.

Além disso, o Desenho faz parte da linguagem gráfica que tem por finalidade

comunicar através das formas, refletindo a noção espacial. Esta linguagem é

universal, assim o Desenho técnico e/ou arquitetônico é executado e entendido

independente da nacionalidade de quem o executou. Portanto, é de suma

importância que o aluno possa desenvolver e ampliar seu vocabulário visual de

diversas maneiras.

Esta apostila foi desenvolvida pensando prioritariamente nos alunos ingressos

no Ensino Médio por meio de concurso e que não tiveram a disciplina Desenho

Geométrico no Ensino Fundamental, e tem como fundamento trazer alguns

conhecimentos que fazem parte da grade desta disciplina no Ensino Fundamental

do Colégio Pedro II e que vão colaborar para que obtenham sucesso nessa nova

fase dos estudos com a disciplina de Desenho.

A apostila depende do acesso à plataforma Moodle (Ambiente de

Aprendizagem Virtual) que necessita de um login e senha para acesso, estando

logado você terá acesso aos vídeos, enquetes, fóruns, curiosidades entre outros que

irão colaborar para que conclua essa apostila com êxito e detenha os

conhecimentos necessários sobre Desenho.

Bons estudos =D

Professora Luciene Zanardi

Campus Duque de Caxias

Esta apostila pertence a:

_______________________________________________________________

Acesso ao Moodle CPII: https://ead.cp2.g12.br/login/index.php

ID usuário: ________________________ Senha: _______________________

SUMÁRIO

1- Conhecendo os instrumentos de Desenho Geométrico ................................ 03

2- Caligrafia Técnica ............................................................................................... 04

2.1 – Preenchimento da legenda ou rodapé .............................................. 05

3- Ponto, reta e plano: Estudos e conceitos ........................................................ 07

4- Paralelas e perpendiculares: Utilizando os esquadros .................................. 10

5- Mediatriz e Bissetriz ........................................................................................... 14

6- Polígonos ............................................................................................................ 17

6.1 – Triângulos : Conceitos e construção ............................................... 21

6.2 – Quadriláteros: Conceitos e construção .......................................... 24

7- Circunferência de Círculo .................................................................................. 27

8- Retificação da Circunferência de Círculo ........................................................ 35

9- Tangência e Concordância ............................................................................... 37

10 - Divisão de segmentos em partes proporcionais ........................................ 41

Aprendendo Desenho Geométrico com o Moodle PÁG. 03

1- Conhecendo os instrumentos de Desenho Geométrico Para esta disciplina são necessários alguns instrumentos básicos, que você encontra em qualquer papelaria a um preço bem acessível, mas fique atento as dicas sobre os materiais que deve escolher na hora de adquirir, até porque eles estarão com vocês durante todo o Ensino Médio e o material adequado ajuda a você ter um melhor desempenho.

a) Utilizando uma mesma lapiseira tente fazer diferenciações no traçado do mais forte para o mais fraco, controlando a força que é empregada. b) Utilizando o compasso, faça circunferências de círculo apoiando a ponta metálica (ponta seca) nas interseções das retas abaixo, experimente fazer diversas aberturas. c) Com a régua meça as medidas dos segmentos abaixo e escreva ao lado:

+ Forte + Fraco

____ cm

____ cm

____ cm

>>> Acesse o Moodle e veja o vídeo: Algumas dicas sobre os

materiais de Desenho.

Experimente aqui!!!


2- Caligrafia Técnica A escrita utilizada em Desenho Geométrico segue a norma técnica prevista pela ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas, ela é popularmente conhecida como Caligrafia Técnica, pelo seu formato simples, sem enfeites e rebruscamentos, sendo facilmente legível. Algumas considerações importantes para executar a caligrafia técnica: As letras devem ser desenhadas apoiadas em linhas paralelas, conhecidas

como linhas de guia que devem possuir o traçado claro;

Execute o traçado com firmeza seguindo o modelo padronizado.

Copie as letras e algarismos da NBR 8402 pág 3 (Figura 2 – Forma da escrita vertical) nos espaços abaixo de acordo com o exemplo acima.

>>> Acesse o Moodle e veja a ABNT: NBR 8402 – Execução de

caracter para escrita em desenho técnico.

LETRA MAIÚSCULA

SUA ALTURA OCUPA TODO O ESPAÇO 3/3

letra minúscula sua altura é

aproximadamente 2/3 da maiúscula

Experimente aqui!!!

Caligrafia técnica vertical e Inclinada


2.1 – Preenchimento da legenda ou rodapé

(baseado na apostila do 6º ano do Colégio Pedro II)

A legenda ou rodapé é a parte integrante das pranchas (margens retangulares impressas nas folhas dos blocos) para desenho técnico destinada a informar: o nome da empresa ou colégio; número, título e autor do desenho; escala e datas. Nas indústrias, cada empresa possui seu próprio padrão de legenda, normalmente já impressa ou carimbada, na folha para o desenho. A legenda deve ficar situada no canto inferior direito da folha, tanto nas folhas posicionadas horizontalmente como verticalmente.

(Estephanio, Carlos. Desenho técnico: uma linguagem básica. p.41. 2ªed. Rio de Janeiro, 1994)

Nos trabalhos de desenho são utilizadas frequentemente as folhas do bloco prancha A4.

>>> Acesse o Moodle e veja a ABNT: NBR 10068 – Folha de

desenho – Leiaute e dimensões

Bloco Tipo 1 – é a folha que segue as normas da ABNT, possuindo uma legenda com dois andares.

Bloco Tipo 2 – é a folha alternativa, possuindo uma legenda com três andares.


Agora observe nos exemplos abaixo o que deve conter cada espaço dessas legendas e como devem ser preenchidas:

Observando os modelos acima complete a legenda abaixo como estivesse entregando um trabalho de desenho. Lembre-se de traçar as linhas de guia com traçado bem fraco.

Legenda do Bloco Tipo 1

Legenda do Bloco Tipo 2

Experimente aqui!!!

Participe dos fóruns no Moodle !


3- Ponto, reta e plano: Estudos e conceitos

Em nossos estudos de Desenho geométrico precisamos conhecer os entes

fundamentais da geometria, são eles: o ponto, a reta e o plano.

Abaixo veremos a conceituação de cada um deles:

O ponto: é o elemento básico da geometria e é obtido pela interseção de

duas linhas ou de uma linha com um plano.

Exemplo:

A reta: pode ser entendida como um conjunto de pontos alinhados ou como o

deslocamento de um ponto em uma determinada direção, ou ainda pela

interseção de dois planos, sendo infinita em sua dimensão. É um tipo de linha

que não possui curva e necessita de auxílio dos instrumentos de desenho

para ser construída.

Exemplo:

O plano: é o conjunto de infinitas retas alinhadas, podendo ser delimitado

através de três pontos não alinhados, uma reta e um ponto ou duas retas

concorrentes, sendo infinito em suas dimensões.

Exemplo:

B

r

β

t

A

s

β

r r

r

β

α

β

A

B

C

r s

t


Você percebeu?

► Como nomeamos os pontos, retas e planos?

Ponto letra maiúscula do nosso alfabeto;

Reta letra minúscula do nosso alfabeto;

Plano letra minúscula do alfabeto grego.

>>> Acesse o Moodle e veja o vídeo: Entes Fundamentais da

Geometria no GeoGebra.

Então quanto às dimensões:

► O ponto é adimensional, ou seja, não possui dimensão.

► A reta é unidimensional, pois possui somente uma dimensão, o comprimento.

► O plano é bidimensional, pois possui duas dimensões, o comprimento e a largura.

Como é mesmo o

alfabeto grego???

>>> Quer saber mais?

Acesse o Moodle e veja o link: Ponto, reta, plano e espaço.

Fonte: https://filosofandoehistoriando.blogspot.com.br/2010/11/em-busca-da-essencia-do-politico-parte_9101.html


1) Nomeie corretamente os entes fundamentais:

2) Construa um ponto sobre as retas dadas e nomeie-os:

3) Construa uma reta nos planos dados e nomeia-as:

4) Relacione corretamente:

a) Ponto

b) Reta

c) Plano

( ) Unidimensional ( ) Bidimensional ( ) Adimensional

Experimente aqui!!!

A

r

α

( ) ( )

( )

As linhas que limitam

a estrada seguem

mantendo a mesma

distância entre si, de

acordo com o tamanho

do veículo que irá

trafegar por ali.


► Atividade no

5) Construa a imagem abaixo utilizando o programa, salve e anexe no item do

Moodle : ATIVIDADE NO GEOGEBRA. Obs: Considere somente a forma e não as medidas.

4- Paralelas e perpendiculares: Utilizando os esquadros

Com o par de esquadros podemos construir retas paralelas e perpendiculares, que

irão nos auxiliar em nossas construções geométricas.

► Mas o que são retas paralelas?

São retas que possuem uma mesma distância entre si.

Exemplo:

>>> Acesse o Moodle e veja o link: GeoGebra online.

Você pode fazer sua construção online ou baixar o programa se

preferir.

(r) // (t)

Fonte:https://br.depositphotos.com/108594828/stock-illustration-highway-traffic-top-view.html

r

t

Vários produtos

confeccionados pela

indústria dão

preferência à construção

baseada em ângulos

retos.


► Mas o que são retas perpendiculares?

São retas concorrentes que formam entre si ângulos retos (90º).

Exemplo:

r

t

>>> Acesse o Moodle e veja o vídeo: Construção de retas

paralelas e perpendiculares com os esquadros.

(r) (t)

CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS

Fixo Fixo

Móvel

1) Traçado de paralelas com o par de esquadros

(Retirado da apostila do 7º ano do Colégio Pedro II)

Fixo Fixo

2) Traçado de perpendiculares com o par de esquadros

+ P + P + P

Fonte: https://samsung-fun.ru/cat/notebooks/samsung-305e5a-s0m/


1) Complete a faixa a seguir traçando paralelas a reta (r) pelos pontos dados:

2) Continue o traçado com retas paralelas as retas tracejadas para construir uma

estrada:

3) Reproduza o desenho do raio traçando retas paralelas e transferindo a medida

com o auxílio do compasso:

Experimente aqui!!!

>>> Se tiver dúvidas...

Acesse o Moodle e veja o vídeo: Paralelas com os esquadros.

r A B C D E


1) Trace retas perpendiculares a reta (r) pelos pontos dados:

2) Dadas as retas (r), (s) e (t) e os pontos (F), (G) e (H), faça o que se pede:

Participe dos fóruns no Moodle !


Acesse o Moodle e veja o vídeo: Perpendiculares com os

esquadros.

Experimente aqui!!!

r A B C D E

r

s

t

F

G H

► Trace a reta (f) perpendicular à reta (s) passando pelo ponto (F);

► Trace a reta (g) perpendicular à reta (r) passando pelo ponto (G);

► Trace a reta (h) perpendicular à reta (t) passando pelo ponto (H);

CERTO ERRADO


5- Mediatriz e Bissetriz

A mediatriz é uma reta que divide um segmento em duas partes iguais, sendo

perpendicular a este pelo ponto médio.

Reveja abaixo o passo a passo dessa construção geométrica, e faça você

mesmo:

1. Com a ponta-seca do compasso no ponto A abra seu compasso um pouco mais da

metade do segmento AB e trace um arco.

2. Agora com esta mesma abertura com a ponta-seca no ponto B trace outro arco.

3. Observe que os arcos se interceptam em dois locais, marque esses pontos e

nomeie-os como pontos 1 e 2.

4. Pronto! Ligando o ponto 1 com o 2 temos a mediatriz do segmento AB, que

divide o segmento em seu ponto médio que vamos chamar de ponto M,

nomeio-o na construção.

DICA: Para marcar os pontos 1 e 2 observe a maneira correta de destacar para

manter a precisão no traçado.

>>> Acesse o Moodle e veja o vídeo: Traçado de mediatriz.

A B

1 1


A bissetriz é uma semirreta que partindo do vértice de um ângulo o divide em duas

partes congruentes.

Reveja abaixo o passo a passo dessa construção geométrica, e faça você

mesmo:

1. Posicione a ponta-seca do compasso no ponto V, que é vértice do ângulo formado

entre as retas a e b, e com uma abertura qualquer trace um arco que irá cortar as

retas a e b.

2. Nomeie as interseções obtidas como ponto 1 e 2.

3. Com uma abertura do compasso maior do que a inicial coloque a ponta-seca no

ponto 1 e marque um arco, repita o processo no ponto 2 mantendo a abertura.

Teremos um ponto na interseção desses arcos, o ponto 3.

4. Pronto! Ligando o ponto 3 com o vértice V temos a bissetriz do ângulo

formado entre as retas a e b.

>>> Acesse o Moodle e veja o vídeo: Desenho Geométrico:

Bissetriz.

a

b

V

>>> Se você tem dúvidas na utilização desse instrumento...

Acesse o Moodle e veja o link: Como usar um transferidor.

>>> Você sabia?

Que o transferidor pode nos ajudar a medir e construir ângulos

facilmente.


1) Determine a mediatriz dos segmentos AB, CD, DE, FG, GH e IJ a seguir,

observando os dados:

> O ponto J a reta r e dista do ponto I 3 cm.

2) Determine a bissetriz dos ângulos dos vértices A,B,C,D,E,F e G a seguir,

observando os dados:

> Determine também a bissetriz dos ângulos formados entre as retas r e s.

Experimente aqui!!!

A

B C

D

E

F

G H

I

r

A

C B

D E

F

G

r

s


6- Polígonos

A palavra “polígono” é de origem grega, significando “poli”=muito e “gono”=ângulo,

ou seja, muitos ângulos. É uma figura plana delimitada por uma linha poligonal

fechada.

Exemplos:

► Elementos do polígono:

► Os polígonos podem ser...

Quanto à congruência de lados e ângulos

Polígono regular: possui todos os seus lados e ângulos iguais.

Polígono irregular: possui lados e/ou ângulos internos com medidas diferentes.

Exemplos:

POLÍGONO LINHA POLIGONAL

A B

C

D

E

d

β α

PERÍMETRO – É a soma das medidas dos lados do polígono.

VÉRTICE – Ponto de interseção de dois lados consecutivos. Ex: o ponto A.

LADO – Segmento de reta que une dois vértices consecutivos. Ex: o segmento AB.

DIAGONAL – Segmento de reta que une dois vértices não consecutivos. Ex: o segmento d.

ÂNGULO INTERNO – ângulo na região interna formado por dois lados consecutivos. Ex: o ângulo α.

ÂNGULO EXTERNO – ângulo na região externa formado por um lado e o prolongamento do consecutivo. Ex: o ângulo β.

POLÍGONOS REGULARES POLÍGONOS IRREGULARES

As construções das abelhas possuem um formato de polígono. F

onte

: htt

ps://r

u.p

ngtr

ee.c

om

/fre

epng/t

he

-

honey-b

ee_1060782.h

tml


Quanto à abertura dos ângulos internos

Polígono convexo: possui todos os ângulos internos menores que 180º e suas

diagonais estão na região interna.

Polígono côncavo: possui pelo menos um ângulo interno maior que 180º e pelo

menos uma diagonal passam pela região externa.

Exemplo:

Em relação à circunferência de círculo:

Polígono inscrito: se todos seus vértices pertencem a uma circunferência de

círculo.

Polígono circunscrito: se todos seus lados forem tangentes a uma circunferência

de círculo.

Exemplo:

Quanto ao número de lados:

3 lados – Triângulo

4 lados – Quadrilátero

5 lados – Pentágono

6 lados – Hexágono

7 lados – Heptágono

8 lados – Octógono

9 lados – Eneágono

10 lados – Decágono

11 lados – Undecágono

12 lados – Dodecágono

13 lados – Polígono de treze lados

14 lados – Polígono de quatorze lados

15 lados – Polígono de quinze lados

16 lados – Polígono de dezesseis lados

17 lados – Polígono de dezessete

lados

18 lados – Polígono de dezoito lados

19 lados – Polígono de dezenove lados

20 lados – Icoságono

POLÍGONOS CONVEXOS POLÍGONOS CÔNCAVOS

POLÍGONO INSCRITO POLÍGONO CIRCUNSCRITO


Segue a tabela abaixo para melhor entendimento:

>>> Acesse o Moodle e veja o vídeo: Polígonos no GeoGebra.

Fonte: https://br.pinterest.com/explore/pol%C3%ADgono-regular/

Nº de

lados

Nome do

Polígono

Polígono

Regular Irregular

3

4

5

6

7

8

9

10

12

20

Triângulo

Quadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octógono

Eneágono

Decágono

Dodecágono

Icoságono


► Atividade no

1) Utilize o programa para construir três polígonos regulares e dois irregulares,

sendo um côncavo e um convexo, o número de lados fica a sua escolha.

Ao término da atividade, salve e anexe no item do Moodle: ATIVIDADE NO

GEOGEBRA 2.

Obs: Escreva o nome dos polígonos que você construiu.

2) Classifique os polígonos quanto ao número de lados:

3) Agora volte no exercício anterior e escreva dentro de cada polígono (CV) para os

polígonos côncavos e (CX) para os polígonos convexos:

Experimente aqui!!!

>>> Acesse o Moodle e veja o link: GeoGebra online.

Você pode fazer sua construção online ou baixar o programa se

preferir.


6.1 – Triângulos : Conceitos e construção Triângulo é o polígono com três lados. E se classificam:

Quanto ao comprimento dos lados:

Equilátero: os três lados são iguais.

Isósceles: possui dois lados iguais e um diferente.

Escaleno: os três lados são desiguais.

Exemplo:

Quanto à amplitude de seus ângulos internos:

Retângulo: o maior ângulo é reto 90º.

Acutângulo: todos os ângulos são agudos, ou seja, menores que 90º.

Obtusângulo: o maior ângulo é obtuso, ou seja, maior que 90º.

Exemplo:

A soma dos ângulos internos de um triângulo sempre somam 180º.

Triângulo equilátero Triângulo isósceles Triângulo escaleno

Triângulo retângulo Triângulo acutângulo Triângulo obtusângulo

As pirâmides do Egito são construções espaciais que se utilizam do formato triangular.

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► Linhas e pontos notáveis do triângulo

As cevianas de um triângulo são retas que unem cada um de seus vértices ao lados

opostos a estes vértices. A relação existente com os outros elementos do triângulo

as divide em três grupos: altura, mediana e bissetriz.

4) Classifique os triângulos abaixo quanto aos lados e ângulos internos:

Fonte: https://pt.slideshare.net/lucimeires/geometria-20593364

Experimente aqui!!!

______________________

______________________

______________________

______________________

______________________

______________________

______________________

______________________


Os exercícios que seguem abaixo são de construção do triângulo com os instrumentos de desenho geométrico.


Acesse o Moodle e veja o vídeo: Construindo triângulos.

5) Construa o triângulo isósceles ABC sabendo que o lado a é a base e mede 35mm e o ângulo oposto a esse lado é igual a 40º.

6) Construa o triângulo equilátero DEF cujo perímetro mede 12cm.

7) Construa o triângulo GHI dado seus lados GH = 40 mm e GI = 35 mm e a altura relativa ao lado i mede 20 mm.

8) Construa o triângulo equilátero JKL dado seu circuncentro C e o vértice J.

J

C


6.1 – Quadriláteros: Conceitos e construção Quadrilátero é o polígono com quatro lados. E se classificam: Paralelogramos Trapézios Trapezóides

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero sempre somam 360º.

Paralelogramos

► São eles: Paralelogramo, Retângulo, Losango e Quadrado.

► Características: - Lados opostos paralelos e congruentes.

- Diagonais cruzando-se em seus pontos médios.

- Ângulos opostos congruentes.

Vejamos suas particularidades:

Trapézios

► São eles: Trapézio Retângulo, Trapézio Isósceles e Trapézio Escaleno.

► Características: - Possuem apenas dois lados paralelos denominados bases.

- Altura é a distância entre as bases.


As construções modernas utilizam muito o formato

quadrangular.

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Vejamos a associação estabelecida com os triângulos para melhor entendimento:

Trapezóides

► Características: - Quadriláteros que não possuem paralelismo com relação

aos seus lados.

Exemplos: 9) Qual quadrilátero eu sou?

a) Irregular e com ângulos retos. Sou ____________________.

b) Não possui lados paralelos. Sou ______________________.

c) Regular e com ângulos retos. Sou ____________________ .

d) Possui lados iguais e ângulos opostos congruentes. Sou ___________________.

e) Os únicos lados paralelos são chamados de bases. Sou ___________________ .


Experimente aqui!!!


Os exercícios que seguem abaixo são de construção dos quadriláteros com os instrumentos de desenho geométrico.


Acesse o Moodle e veja o vídeo: Construindo quadriláteros.

10) Construa o quadrado ABCD sabendo que a metade da sua diagonal é igual a 2cm.

11) Construa o retângulo EFGH conhecendo seus lados EF = 20mm e FG = 30mm.

12) Construa o losango IJKL dados seu lado IJ = 25mm e sua diagonal desenhada.

13) Construa o trapézio retângulo MNOP dados sua base maior NO = 50mm, o ângulo O = 50º e sua altura h= 30mm.

I K


7- Circunferência de Círculo

Circunferência: é qualquer curva plana fechada.

Círculo: é a união de uma circunferência com seu interior.

Circunferência de círculo: é o lugar geométrico dos pontos que equidistam de um ponto fixo chamado centro da circunferência de círculo.

► Observe o exemplo abaixo, a construção da circunferência de círculo de centro

(A) e raio (AB).

Podemos escrever a notação para simplificar: Circ (A;AB)

Autor: Mcgill at English Wikibooks. Disponível em: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Geom_draw_circle_sequence.png

>>> Você sabia?

Que o compasso pode nos ajudar a construir circunferências de

círculo facilmente.

A roda que é uma

importante invenção

humana tem um formato

circular.

Fonte: http://www.borrachariajk.com.br/consertos-de-pneus/rodas-automotivas/rodas-para-carros-volkswagen/roda-para-carro-fiat-campo-limpo


Elementos da Circunferência de círculo:

► Determinação do centro da Circunferência de círculo:

O

E

D

C

B

A

F r

d

FLECHA (DF), segmento cujas extremidades são os pontos médios da corda e do arco.

SEMICIRCUNFERÊNCIA (DE), é o arco que mede a metade da circunferência de círculo.

O A

B

C

m1

m2 A partir do desenho ao lado podemos concluir que:

A flecha é perpendicular à corda;

A reta suporte da flecha é a mediatriz da corda;

A mediatriz passa pelo centro da circunferência de círculo;

A interseção de m1 com m2 (mediatrizes) me dará a localização do centro da circunferência de círculo.

CENTRO (O), ponto fixo equidistante de qualquer ponto da circunferência de círculo.

RAIO (OA), distância do centro à circunferência de círculo.

CORDA (BC), qualquer segmento de reta cujas extremidades são pontos da circunferência de círculo.

DIÂMETRO (DE), é a maior corda da circunferência de círculo e sua medida (d) é igual ao dobro do raio (r) >>> d=2r

ARCO (AE), é a parte da circunferência de círculo limitada por dois pontos.


1) Determine o centro (O) das circunferências de círculos abaixo:

Ângulos do círculo:

Experimente aqui!!!

ÂNGULO CENTRAL: Vértice no centro da circunferência de círculo e seus lados são raios.

ÂNGULO SEGMENTO: Vértice na circunferência de círculo, um de seus lados é uma corda e o outro é uma reta tangente.

ÂNGULO INSCRITO: Vértice na circunferência de círculo e seus lados são suas respectivas cordas.

ÂNGULO CIRCUNSCRITO: Seus lados são retas tangentes à circunferência de círculo.


Posições relativas:

► Entre uma reta e uma circunferência de círculo;

► Entre duas circunferências de círculo;

RETA EXTERIOR: Não há ponto em comum.

RETA TANGENTE: Possuem um ponto em comum.

A reta tangente será sempre perpendicular ao raio da

circunferência de círculo. O ponto onde o raio toca a reta tangente é

o ponto de tangência.

RETA SECANTE: Possuem dois pontos

comuns.

EXTERIORES: Não há pontos comuns.

INTERIORES: Não há pontos comuns.

SECANTES: Possuem dois pontos comuns.

CONCÊNTRICAS: Possuem o mesmo centro.

TANGENTES INTERNAS: Possuem um ponto comum.

TANGENTES EXTERNAS: Possuem um ponto comum.


2) Determine os ângulos pedidos nas circunferências de círculos abaixo:

Ângulo central na Circ (A;r)

Ângulo segmento na Circ (B;r)

Ângulo inscrito na Circ (C;r)

Ângulo circunscrito na Circ (D;r)

3) Nomeie corretamente os elementos da circunferência de círculo:

Experimente aqui!!!

A B

C D

E

F

G

H I

J

(E) ______________________________

(HI) _____________________________

(EG) ____________________________

(GI) _____________________________

(GJ) ____________________________

(FG) ____________________________

(FG) ____________________________


► Divisão da Circunferência de círculo:

A maneira mais fácil de desenhar um polígono regular é inscrevê-lo em uma

circunferência de círculo. Há processos especiais e o processo do ângulo central.

Processo do ângulo central;

Todo polígono pode ser decomposto em triângulos.

Sabemos que o centro da circunferência de círculo mede 360º. Se dividirmos este

valor pelo número de partes que queremos dividir a circunferência de círculo,

obteremos o valor do ângulo dos triângulos no centro da curva.

Exemplo: 360º 5 = 72º

Logo, para construir um pentágono regular devo fazer ângulos centrais de 72º. Os

pontos na circunferência de círculo serão os vértices do polígono.

4) Construa os polígonos pedidos abaixo, através do processo do ângulo central nas

circunferências de círculo dadas:

>>> Acesse o Moodle e veja o vídeo: Processo do ângulo central

para construção dos polígonos regulares.

Experimente aqui!!!

A B C

Na Circ (A;r) construa um triângulo regular;

Na Circ (B;r) construa um hexágono regular;

Na Circ (C;r) construa um pentágono regular;


Processos especiais.

► Triângulo equilátero;

► Quadrado;

► Pentágono regular;

>>> Acesse o Moodle e veja o vídeo: Processo especial para

construção de pentágono regular inscrito.

Experimente aqui!!!

O

Experimente aqui!!!

7) Construa ao lado um pentágono regular inscrito na circunferência de círculo dada.

5) Construa abaixo um triângulo regular inscrito na circunferência de círculo dada.

6) Construa abaixo um quadrado inscrito na circunferência de círculo dada.

O

O

O

D

C

A B

Traçar um diâmetro AB.

Centro em B raio BO, descreva um arco que cortará a circunferência de círculo nos pontos C e D.

Ligar AC, CD e DA.

O

Traçar dois diâmetros perpendiculares.


► Hexágono regular. 8) Construa um hexágono regular inscrito na circunferência dada:

O O raio da circunferência de círculo é igual ao lado do hexágono.

Experimente aqui!!!

O


8- Retificação da Circunferência de Círculo

Retificar uma circunferência é determinar seu comprimento, ou seja, transformar a linha curva em um segmento de reta.

Processo de Arquimedes;

Em matemática o comprimento de uma circunferência de círculo é igual a 2r,

sabemos que é um número irracional que equivale a 3,1416... Dessa forma Arquimedes desenvolveu um processo para retificar a circunferência de

círculo, no qual considera = 22 . 7

Dividindo 22 por 7 encontraremos um resultado bem próximo 3,1428... Considerando:

C comprimento da circunferência de círculo (2r)

d diâmetro (2r)

C= 2r C= d C= 22d C= 21d + 1d C= 3d + 1d 7 7 7 7 Portanto, o comprimento da circunferência de círculo é, aproximadamente, igual ao triplo da medida do diâmetro mais um sétimo desse diâmetro.

1) Determine o comprimento da circunferência de círculo abaixo, utilizando o processo de Arquimedes:

>>> Acesse o Moodle e veja o vídeo: Retificação da

circunferência pelo processo de Arquimedes.

Experimente aqui!!!

O


Pela divisão da circunferência;

Dada uma circunferência basta dividi-la em três e em quatro partes iguais. Transportar para uma semirreta, o comprimento de duas vezes a medida do lado triângulo equilátero e duas vezes a medida do lado do quadrado, ambos inscritos na circunferência que se pretende retificar.

Esses segmentos somados correspondem a 2r = 2 lados do + 2 lados do

2) Determine o comprimento da circunferência de círculo abaixo, utilizando o processo da divisão:

>>> Acesse o Moodle e veja o vídeo: Retificação da

circunferência pela sua divisão.

O O

D

C

A B

2 lados do 2 lados do

2r

Experimente aqui!!!

O

Tangentes interiores Tangentes exteriores


9- Tangência e Concordância

Tangente é toda superfície ou linha que ao se tocarem compartilham apenas um

ponto em comum, que é conhecido como Ponto de Tangência.

Tangência entre uma reta e uma circunferência de círculo: Quando uma reta e

uma circunferência de círculo são tangentes o raio da circunferência é sempre

perpendicular à reta no ponto de tangência.

Exemplo:

Tangência entre duas circunferências de círculo: Quando duas circunferências

de círculo são tangentes o ponto de tangências e os centros estão alinhados, ou

seja, serão colineares.

Exemplos:

(T) – Ponto de tangência

(n) – Reta normal

(t) – Reta tangente

(r) – Raio da circunferência de círculo

(O) – Centro da circunferência de círculo

O

T

t

r

n

O1 O1 O2 O2 T T


1) Trace retas (r) tangentes à circunferência de círculo dadas passando pelo ponto

de tangência (P):

2) Desenhe duas circunferências de círculo de raio 20mm. Uma tangente exterior da

circ. de círculo de raio (O1) e outra tangente interior da circ. de círculo de raio (O2).

Experimente aqui!!!


Acesse o Moodle e veja o vídeo: Exercícios de tangência.

P

P

P

P

P

O1

O2

O1


A concordância acontece quando a ligação entre reta e arco ou entre arcos ocorre

de forma harmoniosa, para isso, segue os princípios da tangência.

Concordância entre reta e arco: Para concordar uma semirreta ou segmento de

reta com um arco é necessário que o centro do arco e o ponto de concordância

estejam na reta perpendicular (normal) à semirreta ou segmento.

Concordância entre arcos: Na concordância entre arcos, os centros e os pontos de

concordância devem pertencer à mesma reta (normal), ou seja, os três pontos têm

que ser colineares.

(C) – Ponto de concordância

(n) – Reta normal

(CB) – Segmento de reta

(r) – Raio da circunferência de círculo

(O) – Centro do arco

O

C

B

r

n

C

O2

r

n

r

Os arcos nas construções

romanas utilizavam a

concordância.

Fonte: https://www.tripadvisor.com.br/LocationPhotoDirectLink-g666525-d6480208-i139002337-Arco_Romano-Medinaceli_Province_of_Soria_Castile_and_Leon.html


3) Trace segmentos (CB) = 30mm que concordem com os arcos dados pelo ponto

(C):

4) Complete o desenho da autopista fazendo a concordância:

Experimente aqui!!!


Acesse o Moodle e veja o vídeo: Exercícios de concordância.

C

C C


10 - Divisão de segmentos em partes proporcionais

A divisão de segmentos em partes iguais ou proporcionais baseia-se no Teorema de

Tales, que diz:

“ Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas, transversais quaisquer,

segmentos correspondentes proporcionais.”

Aplicando o teorema... Divisão de segmentos em partes iguais

► Agora é com você! Divida o segmento AB em cinco partes iguais.

AB = DE

BC EF

A B

>>> Acesse o Moodle e veja o vídeo: Aplicando o Teorema de

Tales para dividir um segmento em partes congruentes.


Divisão de segmentos em partes proporcionais

► Agora é com você! Determine 2/5 do segmento AB. 1) Observando o triângulo retângulo abaixo, faça as divisões de segmentos pedidas utilizando o Teorema de tales:

Divida a hipotenusa em 6 partes congruentes;

Determine 1/3 do cateto maior;

Divida em 3 partes iguais o cateto menor.

>>> Acesse o Moodle e veja o vídeo: Aplicando o Teorema de

Tales para dividir um segmento em partes proporcionais.

A B

Experimente aqui!!!

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Acredito que este produto educacional produzido durante minha atuação

como aluna do Mestrado Profissional em Práticas de Educação Básica do Colégio

Pedro II, possa colaborar para o departamento de Desenho do CPII, instigando

novos modelos de práticas docentes, voltados para o aprendizado com o auxílio da

tecnologia.

Professor, espero que o presente material possa ser útil em sua prática

docente, pois o mesmo é passível de adaptações de acordo com a realidade

escolar.

O produto educacional foi desenvolvido pensando uma expansão da sala de

aula, visando orientar o estudo dos alunos. Assim, podemos trabalhar com esse

intuito em outras disciplinas, trazendo os conceitos de forma contextualizada e

aproveitando os recursos tecnológicos disponíveis.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BUENO, Leonardo. Desenho: Construções Básicas. Apostila de apoio para alunos ingressos no Ensino Médio. Colégio Pedro II: Rio de Janeiro, 2015. CARVALHO, Benjamin de A. Desenho Geométrico. Rio de Janeiro: Imperial Novo Milênio, 2008. COLÉGIO PEDRO II. Apostila de Desenho do Ensino Fundamental. 6º,7º, 8º e 9º ano. Colégio Pedro II: Rio de Janeiro. 2014. COLÉGIO PEDRO II. Apostila de Desenho do Ensino Médio. 1ª,2ª e 3ª série. Colégio Pedro II: Rio de Janeiro. 2017. GEOGEBRA. [2018]. Disponível em: <https://www.geogebra.org/>. Acesso em 25 de maio de 2018. JORGE, Sonia. Desenho Geométrico. Vol. 4. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2012. MACÊDO, Guacira. Apostila de nivelamento de Desenho. Apostila de apoio para alunos ingressos no Ensino Médio. Colégio Pedro II: Rio de Janeiro, 2015. MOODLE. [2018] Disponível em: <https://docs.moodle.org/all/es/P%C3%A1gina_Principal>. Acesso em 25 de maio de 2018. MOODLE CPII. [2018] Disponível em: <https://www.cp2.g12.br/moodle/login/index.php>. Acesso em 25 de maio de 2018. PINHEIRO, Virgilio A. Noções de Geometria Descritiva I, II e III. 4ª ed. - Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1972.

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