Ludwig Krippahl, 2007 Programação para as Ciências Experimentais 2006/7 Teórica 5.
Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.
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Ludwig Krippahl, 2008
Programação para as Ciências Experimentais
2007/8
Teórica 10
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Ludwig Krippahl, 2008 2
Na aula de hoje...
Ajustar um modelo a dados experimentais.
Interpolação linear Minimização de funções Cálculo de erros Estimar uma constante cinética
ajustando o modelo aos dados. Conceitos básicos de Excel
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Ajuste de um modelo
Dados Experimentais Simulação
Discrepância
Minimizar
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Ajuste de um modelo
Exemplo: reacção química
Dados Experimentais Simulação
Discrepância
Minimizarminfn
cinetica
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Ludwig Krippahl, 2008 5
Ajuste de um modelo
Dados: matriz com tempo na primeira coluna e concentração (ou concentrações) na segunda (ou outras).
Função erro compara cada vector com o correspondente na simulação.
Mas os valores de t podem ser diferentes. É preciso interpolar.
Primeiro, função interpol
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Interpolação linear
Função interpol Recebe: uma matriz x, y, em colunas, e um
vector x1 com os pontos a interpolar. Devolve: vector y1 com os valores em x1
interpolados de x, y.
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Ludwig Krippahl, 2008 7
Interpolação linear
xix1 x2
y1
y2
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Interpolação linear
yi = (y1*(x2-xi) + y2*(xi-x1)) / (x2 – x1)
xix1 x2
y1
y2
yi
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Interpolação linearfunction yi=interpol(matxy,xi)yi=0*xi;for f=1:length(xi)
for g=2:rows(matxy)if matxy(g,1)>=xi(f);
x1 = matxy(g-1,1);x2 = matxy(g,1);y1 = matxy(g-1,2);y2 = matxy(g,2);d = x2-x1;yi(f) = (y1*(x2-xi(f))+y2*(xi(f)-x1))/d;break
endifendfor
endfor
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Ludwig Krippahl, 2008 10
Interpolação linearfunction yi=interpol(matxy,xi)yi=0*xi;for f=1:length(xi)
for g=2:rows(matxy)if matxy(g,1)>=xi(f);
x1 = matxy(g-1,1);x2 = matxy(g,1);y1 = matxy(g-1,2);y2 = matxy(g,2);d = x2-x1;yi(f) = (y1*(x2-xi(f))+y2*(xi(f)-x1))/d;break
endifendfor
endfor
Cria vector yi, dos valores interpolados
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Ludwig Krippahl, 2008 11
Interpolação linearfunction yi=interpol(matxy,xi)yi=0*xi;for f=1:length(xi)
for g=2:rows(matxy)if matxy(g,1)>=xi(f);
x1 = matxy(g-1,1);x2 = matxy(g,1);y1 = matxy(g-1,2);y2 = matxy(g,2);d = x2-x1;yi(f) = (y1*(x2-xi(f))+y2*(xi(f)-x1))/d;break
endifendfor
endfor
Para cada xi onde interpolar percorre os x da matriz até encontrar o primeiro que ultrapassa xi. Começa do 2º elemento porque precisa do anterior para interpolar.
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Ludwig Krippahl, 2008 12
Interpolação linearfunction yi=interpol(matxy,xi)yi=0*xi;for f=1:length(xi)
for g=2:rows(matxy)if matxy(g,1)>=xi(f);
x1 = matxy(g-1,1);x2 = matxy(g,1);y1 = matxy(g-1,2);y2 = matxy(g,2);d = x2-x1;yi(f) = (y1*(x2-xi(f))+y2*(xi(f)-x1))/d;break
endifendfor
endfor
Calcula a interpolação e termina o ciclo interno (g).
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Ludwig Krippahl, 2008 13
Interpolação linear
xy=[[1:10]',[2:2:20]'];
xi=[2.5:2:8];
yi=interpol(xy,xi)
hold off
plot(xy(:,1), xy(:,2))
hold on
plot(xi,yi,"ob;;");
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Interpolação linear
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Ludwig Krippahl, 2008 15
Medir a discrepância (erro)
Reacção• 2A B
• Só kd
Função erro mede o erro quadrático médio, que é a média dos quadrados das diferenças entre os vectores
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Ludwig Krippahl, 2008 16
Medir a discrepância (erro)
Exemplo:• 2A B
• Só kd (irreversível)
Função erro2AB mede o erro quadrático entre os dados experimentais e a simulação.
A função codifica a concentração inicial e reacção, recebe como argumentos o kd e os valores para comparar.
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Medir a discrepância (2A B)
function r=erro2AB(vals,k)er=[2,0]; define a reacçãoep=[0,1];cis=[1,0]; e as concentrações
aqui falta calcular os valores previstos pelo modelo para este k e comparar com o vector vals para calcular o erro, interpolando os valores. Para resolver na prática...
endfunction
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Medir a discrepância (2A B)
Para simular a reacção podemos usar a função cinetica da aula anterior.
Para comparar com os dados experimentais precisamos interpolar para os valores de t experimentais (que podem não coincidir com os da simulação)
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Ludwig Krippahl, 2008 19
Medir a discrepância (2A B)
O erro é o erro quadrático:
r=sum((vals(:,2)-int).^2);vals é a matriz com as concentrações de A na segunda colunaint é o vector das concentrações de A obtido interpolando a simulação para os valores na 1ª coluna de vals.
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O mínimo de uma função
Método da razão dourada
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Ludwig Krippahl, 2008 21
O mínimo de uma função
Tal como “encurralámos” a raiz num intervalo, vamos fazer o mesmo com o mínimo, mas precisamos de 3 pontos:
a
b
c
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Ludwig Krippahl, 2008 22
O mínimo de uma função
Se x1<x2<x3 e y2<y1 e y2<y3 então tem que haver um mínimo local entre x1 e x3
x1 x2 x3
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O mínimo de uma função
O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno
x1 x2 x3
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O mínimo de uma função
O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno
x1 x2 x3
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O mínimo de uma função
O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno
x1 x2 x3
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O mínimo de uma função
O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno
x1 x2 x3
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O mínimo de uma função
O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno
x1 x2 x3
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O mínimo de uma função
O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno
x1 x2 x3
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Ludwig Krippahl, 2008 29
O mínimo de uma função
O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno
x1 x2 x3
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Ludwig Krippahl, 2008 30
O mínimo de uma função
O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno
x1 x2 x3
![Page 31: Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022051413/552fc102497959413d8bdd89/html5/thumbnails/31.jpg)
Ludwig Krippahl, 2008 31
O mínimo de uma função
O algoritmo é (novamente) partir os intervalos, testar, e repetir até que seja suficientemente pequeno
x1 x2 x3
![Page 32: Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022051413/552fc102497959413d8bdd89/html5/thumbnails/32.jpg)
Ludwig Krippahl, 2008 32
O mínimo de uma função
Guardar sempre os 3 pontos consecutivos em que o y do meio é menor que os extremos.
x1 x2 x3
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Ludwig Krippahl, 2008 33
O mínimo de uma função
Como dividir o intervalo:• O ideal é manter as proporções. Dividir ao
meio não é ideal.
x1 x2 x3
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Ludwig Krippahl, 2008 34
O mínimo de uma função
Como dividir o intervalo:• O ideal é manter as proporções. Dividir ao
meio não é ideal.
x1 x2 x3x4 x5
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Ludwig Krippahl, 2008 35
O mínimo de uma função
Como dividir o intervalo:• Escolher o ponto novo no intervalo maior e
• Partir pela razão dourada:
(a+b)/a = a / b
a= 0.618 (a+b)
b= (1-0.618) (a+b)
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Ludwig Krippahl, 2008 36
O mínimo de uma função
function xm=minfn(func,params,x1,xm,x2,prec)
c=1-0.618;
ym=feval(func,params,xm);Nome da função, parâmetros (como no zerpol), os 3 pontos iniciais e precisão
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Ludwig Krippahl, 2008 37
O mínimo de uma função
function xm=minfn(func,params,x1,xm,x2,prec)
c=1-0.618;
ym=feval(func,params,xm);
Constante c para os intervalos (razão dourada)
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Ludwig Krippahl, 2008 38
O mínimo de uma função
function xm=minfn(func,params,x1,xm,x2,prec)
c=1-0.618;
ym=feval(func,params,xm);
Avalia a função no ponto do meio. Nota: assume-se que y é maior em x1 e x2.
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Ludwig Krippahl, 2008 39
O mínimo de uma função
while abs(x2-x1)>prec
if abs(x1-xm)>abs(x2-xm)
intervalo maior é x1 a xm
else
intervalo maior é xm a x2
endif
endwhile
Enquanto o intervalo é maior que a precisão
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Ludwig Krippahl, 2008 40
O mínimo de uma função
while abs(x2-x1)>prec
if abs(x1-xm)>abs(x2-xm)
intervalo maior é x1 a xm
else
intervalo maior é xm a x2
endif
endwhile
Encontra o sub-intervalo maior, (x1 a xm ou xm a x2)
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Ludwig Krippahl, 2008 41
O mínimo de uma função
x1 xm x2
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Ludwig Krippahl, 2008 42
O mínimo de uma função
Se o intervalo maior é de x1 a xm
o novo x será entre x1 e xm, próximo de xm
xn=xm-c*(xm-x1)
o novo y será feval(func,params,xn)
Se o novo y for menor que o anterior (em xm) passar o x2 para onde está xm, xm para o novo x, e ym será o novo y.
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Ludwig Krippahl, 2008 43
O mínimo de uma função
x1 xm x2xn
ym
yn
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Ludwig Krippahl, 2008 44
O mínimo de uma função
x1 x2 x2xm
ym
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Ludwig Krippahl, 2008 45
O mínimo de uma função
Se o intervalo maior é de xm a x2
o novo x será entre xm e x2, mais próximo de xm.
xn=xm+c*(x2-xm);
Se o novo y for menor que o anterior (em xm) passar o x1 para onde está xm, xm para o novo x, e ym será o novo y.
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Ludwig Krippahl, 2008 46
Ajustar o modelo (2A B)
Basta usar a minfn para calcular o k que minimiza o erro
Exemplo:• vals=[0.5,0.5;2,0.2;6,0.07;9,0.055];
• k=minfn("erro2AB",vals,0,1,2,0.001)• k = 0.97843
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Ludwig Krippahl, 2008 47
Ajustar o modelo (2A B)
Comparar o modelo com os dadoser=[2,0]ep=[0,1];cis=[1,0];xy=cinetica(esteq,cis,k,0,0.01,10);hold offplot(xy(:,1),xy(:,2))hold onplot(vals(:,1),vals(:,2), "x");
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Ludwig Krippahl, 2008 48
Ajustar o modelo (2A B)
![Page 49: Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022051413/552fc102497959413d8bdd89/html5/thumbnails/49.jpg)
Ludwig Krippahl, 2008 49
Ajustar um modelo
Abordagem genérica• Simular dados previstos para um conjunto
de parâmetros
• Minimizar a discrepância entre os valores previstos e observados alterando os parâmetros.
• Na prática pode ser difícil...
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Ludwig Krippahl, 2008 50
Conceitos básicos de Excel
Célula: A5 Grupo de células: A5:B12 Referência relativa ou absoluta:
• O cifrão marca uma referência absoluta.
• A$5, $B$5 Nestes casos o 5 e o B estão fixos.
• Sem cifrão a referência é relativa, e muda com copy/paste ou fill down/right
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Ludwig Krippahl, 2008 51
Conceitos básicos de Excel
Referência relativa:• Nota: fórmulas começam sempre por =
![Page 52: Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022051413/552fc102497959413d8bdd89/html5/thumbnails/52.jpg)
Ludwig Krippahl, 2008 52
Conceitos básicos de Excel
Referência relativa:• O B passou a C e o C a D copiando para a
direita
![Page 53: Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022051413/552fc102497959413d8bdd89/html5/thumbnails/53.jpg)
Ludwig Krippahl, 2008 53
Conceitos básicos de Excel
Referência relativa:• O 2 passou a 3 copiando para baixo
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Ludwig Krippahl, 2008 54
Conceitos básicos de Excel
Referência absoluta
![Page 55: Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022051413/552fc102497959413d8bdd89/html5/thumbnails/55.jpg)
Ludwig Krippahl, 2008 55
Conceitos básicos de Excel
Referência absoluta• Fill down (seleccionar, ctrl+d)
![Page 56: Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022051413/552fc102497959413d8bdd89/html5/thumbnails/56.jpg)
Ludwig Krippahl, 2008 56
Conceitos básicos de Excel
Referência absoluta• Multiplicar pelo C1, mas sem mudar o 1...
![Page 57: Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022051413/552fc102497959413d8bdd89/html5/thumbnails/57.jpg)
Ludwig Krippahl, 2008 57
Conceitos básicos de Excel
Referência absoluta• Marcar o 1 como ref. absoluta
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Ludwig Krippahl, 2008 58
Conceitos básicos de Excel
Referência absoluta• Marcar o 1 como ref. absoluta
![Page 59: Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022051413/552fc102497959413d8bdd89/html5/thumbnails/59.jpg)
Ludwig Krippahl, 2008 59
Conceitos básicos de Excel
Dar nomes às células.• Exemplo: 2A B
• Parâmetros• Constante
• DeltaT
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Ludwig Krippahl, 2008 60
Conceitos básicos de Excel
Dar nomes às células.• Exemplo: 2A B
• Parâmetros• Constante
• DeltaT
![Page 61: Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022051413/552fc102497959413d8bdd89/html5/thumbnails/61.jpg)
Ludwig Krippahl, 2008 61
Conceitos básicos de Excel
Dar nomes às células.• Exemplo: 2A B
• Parâmetros• Constante
• DeltaT
![Page 62: Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022051413/552fc102497959413d8bdd89/html5/thumbnails/62.jpg)
Ludwig Krippahl, 2008 62
Conceitos básicos de Excel
Dar nomes às células.• Exemplo: 2A B
• Parâmetros• Constante
• DeltaT
![Page 63: Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022051413/552fc102497959413d8bdd89/html5/thumbnails/63.jpg)
Ludwig Krippahl, 2008 63
Conceitos básicos de Excel
Dar nomes às células.• Exemplo: 2A B
• Parâmetros• Constante
• DeltaT
![Page 64: Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022051413/552fc102497959413d8bdd89/html5/thumbnails/64.jpg)
Ludwig Krippahl, 2008 64
Conceitos básicos de Excel
Dar nomes às células.• Exemplo: 2A B
• Parâmetros• Constante
• DeltaT
![Page 65: Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022051413/552fc102497959413d8bdd89/html5/thumbnails/65.jpg)
Ludwig Krippahl, 2008 65
Conceitos básicos de Excel
Dar nomes às células.• Exemplo: 2A B
• Parâmetros• Constante
• DeltaT
![Page 66: Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022051413/552fc102497959413d8bdd89/html5/thumbnails/66.jpg)
Ludwig Krippahl, 2008 66
Conceitos básicos de Excel
Dar nomes às células.• Exemplo: 2A B
• Parâmetros• Constante
• DeltaT
![Page 67: Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022051413/552fc102497959413d8bdd89/html5/thumbnails/67.jpg)
Ludwig Krippahl, 2008 67
Conceitos básicos de Excel
Dar nomes às células.• Exemplo: 2A B
• Fill down...
• Mas falta o tempo.
![Page 68: Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022051413/552fc102497959413d8bdd89/html5/thumbnails/68.jpg)
Ludwig Krippahl, 2008 68
Conceitos básicos de Excel
Seleccionar a primeira coluna (click no topo da coluna, no A).
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Ludwig Krippahl, 2008 69
Conceitos básicos de Excel
Insert, Columns
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Ludwig Krippahl, 2008 70
Conceitos básicos de Excel
Insert, Columns
![Page 71: Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022051413/552fc102497959413d8bdd89/html5/thumbnails/71.jpg)
Ludwig Krippahl, 2008 71
Conceitos básicos de Excel
Definir a fórmula, e fill down.
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Ludwig Krippahl, 2008 72
Conceitos básicos de Excel
IF(condição; valor se verdade; valor se falso)
Ex:
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Ludwig Krippahl, 2008 73
Conceitos básicos de Excel
IF(condição; valor se verdade; valor se falso)
Ex:
![Page 74: Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022051413/552fc102497959413d8bdd89/html5/thumbnails/74.jpg)
Ludwig Krippahl, 2008 74
Conceitos básicos de Excel
Exemplo: raiz do polinómio x3+2
![Page 75: Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022051413/552fc102497959413d8bdd89/html5/thumbnails/75.jpg)
Ludwig Krippahl, 2008 75
Conceitos básicos de Excel
Exemplo: raiz do polinómio x3+2
![Page 76: Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022051413/552fc102497959413d8bdd89/html5/thumbnails/76.jpg)
Ludwig Krippahl, 2008 76
Conceitos básicos de Excel
Exemplo: raiz do polinómio x3+2
Fill right, fill down
![Page 77: Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022051413/552fc102497959413d8bdd89/html5/thumbnails/77.jpg)
Ludwig Krippahl, 2008 77
Conceitos básicos de Excel
Exemplo: raiz do polinómio x3+2
![Page 78: Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022051413/552fc102497959413d8bdd89/html5/thumbnails/78.jpg)
Ludwig Krippahl, 2008 78
Conceitos básicos de Excel
Exemplo: raiz do polinómio x3+2
Fill down
![Page 79: Ludwig Krippahl, 2008 Programação para as Ciências Experimentais 2007/8 Teórica 10.](https://reader034.fdocumentos.com/reader034/viewer/2022051413/552fc102497959413d8bdd89/html5/thumbnails/79.jpg)
Ludwig Krippahl, 2008 79
Dúvidas