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Lugares geom´ etricos b´ asicos I MA13 - Unidade 5 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Cole¸ c˜ ao PROFMAT
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Lugares geometricos basicos IMA13 - Unidade 5
Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:A. Caminha M. Neto. Geometria. Colecao PROFMAT
DefinicaoLugar Geometrico da propriedade P e o conjunto de todos os pontosque possuem essa propriedade.
Lugares geometricos basicos I slide 2/9
A circunferencia
Dados o ponto O e o segmento r , a circunferencia de centro O eraio r e o lugar geometrico dos pontos que distam r de O.
b
O
b A
r
Lugares geometricos basicos I slide 3/9
A mediatriz
A mediatriz do segmento AB e a reta perpendicular a essesegmento que passa pelo seu ponto medio.
A mediatriz de um segmento e o lugar geometrico dos pontos queequidistam das extremidades do segmento.
b
A
b
B
bP
b
M
Demonstracaoa) Todo ponto da mediatriz do segmento AB equidista de A e B.Seja r a mediatriz de AB, M o ponto medio de AB e seja P umponto de r .Os triangulos PMA e PMB sao congruentes (LAL). Logo,PA = PB.
Lugares geometricos basicos I slide 4/9
b) Todo ponto fora da mediatriz nao equidista de A e B.
b
A
b
B
b
M
bP
bQ
Seja P um ponto que nao pertence a mediatriz r do segmento AB.Imagine que P esta no semiplano de r que contem B.Trace PA e PB. O segmento PA corta r em Q.Trace QB. Como Q pertence a r entao QA = QB pelo itemanterior.No triangulo PQB a desigualdade triangular da PQ + QB > PB.Isto quer dizer que PQ + QA > PB, ou seja, PA > PB.Um enunciado equivalente e: Um ponto equidista de dois pontos Ae B se, e somente se, pertence a mediatriz do segmento AB.
Lugares geometricos basicos I slide 5/9
A bissetriz
A bissetriz de um angulo e o lugar geometrico dos pontos queequidistam dos lados desse angulo.
b
O
b
P
b
A
bB
A demonstracao fica para o leitor.
Atencao:Um enunciado equivalente e: Um ponto equidista dos lados de umangulo se, e somente se, pertence a bissetriz desse angulo.
Lugares geometricos basicos I slide 6/9
Problema
Sao dados dois pontos fixos A e B. Determine o lugar geometricodo ponto P sabendo que o angulo APB e reto.
bA
b
B
b
M
bP
b
C
RespostaO LG e a circunferencia de diametro AB, exceto os pontos A e B.
Sugestao para demonstracaoAssinale o ponto M, medio de AB.Prolongue PM de um segmento MC igual a PM.Analise o quadrilatero PACB.
Lugares geometricos basicos I slide 7/9
Mediana relativa a hipotenusa
No triangulo retangulo, a mediana relativa a hipotenusa valemetade da hipotenusa.
b
A
b
B
b
M
bP
A demonstracao decorre do problema anterior.
Lugares geometricos basicos I slide 8/9
Problema
Se em um triangulo ABC a mediana relativa ao vertice A e igual ametade do lado BC entao esse triangulo e retangulo em A.
Solucao:
Lugares geometricos basicos I slide 9/9
Lugares geometricos basicos IIMA13 - Unidade 5
Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:A. Caminha M. Neto. Geometria. Colecao PROFMAT
Arcos de uma circunferencia
A medida de um arco e, por definicao, a medida do seu angulocentral.
arc AB = θ
b
Ab
O
b
B
θ
Lugares geometricos basicos II slide 2/6
Angulo inscrito
A medida do angulo inscrito e a metade da medida do arco que elesubtende na circunferencia.
∠AVB = θ =arc AB
2
b
A
b
B
b
V
θ
Lugares geometricos basicos II slide 3/6
Arco capaz
Sao dados um segmento AB e um angulo θ.
Definicao:O lugar geometrico do ponto P situado em um mesmo semiplanodeterminado pela reta AB e tal que ∠APB = θ chama-se arcocapaz do angulo θ sobre o segmento AB.
∠APB = θ = θ′ = ∠AP ′B.
b
A
b
B
bP
b
P′
θ
θ′
Lugares geometricos basicos II slide 4/6
Construcao do arco capaz
Sao dados um segmento AB e um angulo θ.Siga os passos:
1. Desenhe o segmento AB (horizontal).
2. Desenhe a reta r , mediatriz de AB.
3. Desenhe, abaixo da reta AB a semirretaAX tal que ∠BAX = θ.
4. Trace por A a reta AY perpendicular aAX .
5. A intersecao de AY com r e o ponto O.
b
A
b
B
bO
bY
b
θr
6. Desenhe acima da reta AB o arco de centro O comextremidades A e B.
7. Esse arco e o arco capaz do angulo θ construıdo sobre AB.
Obs: Uma semicircunferencia de diametro AB echamada de lugar geometrico de 90◦ sobre AB. b
Ab
B
bP
Lugares geometricos basicos II slide 5/6
Problema
Construir o triangulo ABC conhecendo o lado BC = a, o angulo∠BAC = θ e a altura relativa ao vertice A igual a h.Solucao: Siga os passos e observe o desenho a seguir
1. Desenhe uma reta r .2. Sobre r assinale pontos B e C tais que BC = a.3. Construa o arco capaz do angulo θ sobre BC .4. Construa a reta s paralela a r , de forma que a distancia entre
r e s seja h.5. Um dos pontos de intersecao de s com o arco capaz e o ponto
A. O triangulo esta construıdo.
b
B
b
Cab
b
h
bA
s
r
θ
Lugares geometricos basicos II slide 6/6
Triangulos e circunferencias IMA13 - Unidade 6
Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:A. Caminha M. Neto. Geometria. Colecao PROFMAT
Triangulos e circunferencias
Duas secantes a uma circunferencia cortam-se em um ponto Pinterior a ela.A medida de um angulo de vertice P e igual a semissoma dasmedidas dos arcos interiores ao angulo.
Na figura a seguir, α =arc AB + arc CD
2.
b
A
bB
bC
b
D
bα
Triangulos e circunferencias I slide 2/7
Duas secantes a uma circunferencia cortam-se em um ponto Pexterior a ela.A medida de um angulo de vertice P e igual ao modulo dasemidiferenca das medidas dos arcos interiores ao angulo.
Na figura a seguir, α =arc AB − arc CD
2.
b
A
bB
bC
b
Db
α
Triangulos e circunferencias I slide 3/7
Angulo de segmento
Uma corda de uma circunferencia e a tangente em uma dasextremidades determinam um angulo de segmento.A medida do angulo de segmento e a metade da medida do arcointerior ao angulo.
Na figura a seguir, α =arc AB
2.
b
A
bB
t
α
Triangulos e circunferencias I slide 4/7
A circunferencia circunscrita ao trianguloTeoremaAs mediatrizes dos lados de um triangulo cortam-se em umunico ponto.
DemonstracaoConsidere o triangulo ABC , a reta r , mediatriz de AB e a reta s,mediatriz de BC .
b
O
b
B
bA
bC
r
s
Seja O o ponto de intersecao de r e s.
O ∈ r ⇒ OA = OB e O ∈ s ⇒ OB = OC
Logo, OA = OC e, portanto, O pertence a mediatriz de AC .Triangulos e circunferencias I slide 5/7
Circuncentro
O ponto O chama-se circuncentro do triangulo ABC e e o centroda sua circunferencia circunscrita.
b
O
b
B
bA
b
C
r
s
Triangulos e circunferencias I slide 6/7
A circunferencia inscrita no triangulo
TeoremaAs bissetrizes dos angulos internos de um triangulo cortam-seem um unico ponto.
DemonstracaoFica para o leitor seguindo os passos da demonstracao anterior.
bI
b
b
b
bA
b
B
b
C
O ponto I , comum as tres bissetrizes internas chama-se incentrodo triangulo ABC e e o centro da sua circunferencia inscrita.
Triangulos e circunferencias I slide 7/7
Triangulos e circunferencias IIMA13 - Unidade 6
Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:A. Caminha M. Neto. Geometria. Colecao PROFMAT
As circunferencias exinscritas no triangulo
Uma circunferencia exinscrita e tangente a um lado e aosprolongamentos dos outros dois.A figura a seguir mostra, no triangulo ABC, a circunferenciaexinscrita relativa ao vertice A (ou ao lado a, se preferirem).
b
A
b
B
bCb I′
Triangulos e circunferencias II slide 2/8
O centro I ′ dessa circunferencia e o ponto de intersecao dabissetriz interna em A e das bissetrizes externas em B e C .
b
A
b
B
bCb I′
b
b
bb
Triangulos e circunferencias II slide 3/8
Tres circunferencias exinscritas de um triangulo
b
Ab
B
bC
b
b
b
Triangulos e circunferencias II slide 4/8
Tangentes a uma circunferencia
P1) A reta perpendicular a um raio de uma circunferenciatracada pela sua extremidade e tangente a circunferencia.
Na figura abaixo a reta t passa por A e e perpendicular ao raio OA.A reta t e tangente a circunferencia.
b
A
bO
t
Triangulos e circunferencias II slide 5/8
P2) Os segmentos das tangentes tracadas por um ponto exterior auma circunferencia sao iguais.
Na figura abaixo, PA = PB.
b
P
bO
b
B
bA
Para justificar, observe a congruencia dos triangulos POA e POB.
P3) Se PA e PB sao tangentes a uma circunferencia, entao a bissetrizdo angulo APB passa pelo centro da circunferencia.
Triangulos e circunferencias II slide 6/8
Problema
Os lados de um triangulo sao conhecidos. Os pontos de tangenciada circunferencia inscrita com os lados dividem cada lado em doispedacos. Quanto medem todos esses seis segmentos?Solucao:
b
N
b P
bM
bA
b
Bb
C
Sejam AB = c, BC = a e CA = b. Seja a + b + c = 2p.Pela propriedade P2 desta aula facamos AM = AP = x ,BM = BN = y e CN = CP = z .Temos entao o sistema x + y = c, y + z = a, z + x = b.Somando as equacoes obtemos x + y + z = p e como y + z = aobtemos x = p − a.Analogamente obtemos y = p − b e z = p − c .
Triangulos e circunferencias II slide 7/8
Problema
No triangulo ABC de perımetro 2p a circunferencia exinscritarelativa ao vertice A tangencia a reta AB no ponto T . Mostre queAT = p.
Sugestao:Use a propriedade P2 desta aula.
b
A
b
B
bC
b
T
Triangulos e circunferencias II slide 8/8
Quadrilateros inscritıveis e circunscritıveis IMA13 - Unidade 7
Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:A. Caminha M. Neto. Geometria. Colecao PROFMAT
O quadrilatero circunscritıvel
Um quadrilatero e circunscritıvel quando os quatro lados saotangentes a uma mesma circunferencia.Nesse caso, dizemos que a circunferencia esta inscrita noquadrilatero.
b
A
b
B
bCbD
Quadrilateros inscritıveis e circunscritıveis I slide 2/7
Teorema de Pitot
Em todo quadrilatero circunscritıvel as somas dos lados opostossao iguais.
b
b
M
b N
bP
bQ
b
A
b
B
b CbD
Quadrilateros inscritıveis e circunscritıveis I slide 3/7
Demonstracao do Teorema de Pitot
b
b
M
b N
bP
bQ
b
A
b
B
b CbD
A figura acima mostra o quadrilatero circunscritıvel ABCD e ospontos de tangencia de cada lado com a circunferencia. Temosentao:
AM = AQ BM = BN CP = CN DP = DQ
Somando membro a membro obtemos
AM + BM + CP + DP = AQ + DQ + BN + CN
ou seja,AB + CD = AD + BC
Quadrilateros inscritıveis e circunscritıveis I slide 4/7
A recıproca do Teorema de Pitot
E verdadeira a recıproca do Teorema de Pitot.
Se em um quadrilatero os lados opostos tem mesma soma entaoexiste uma circunferencia tangente aos quatro lados.
AB+CD = AD+BC ⇒
b
A
b
B
b C
bD
Quadrilateros inscritıveis e circunscritıveis I slide 5/7
Problema
E dado o triangulo ABC . Os pontos M e N dos lados AB e AC ,respectivamente sao tais que o segmento MN e tangente acircunferencia inscrita em ABC . Mostre que o perımetro dotriangulo AMN e constante.
bA
b
B
b
C
bM
b N
Quadrilateros inscritıveis e circunscritıveis I slide 6/7
Solucao do problema
Para simplificar a notacao sejam: AB = c ,BC = a, CA = b, AM = x , MN = y eNA = z .
Como BCNM e circunscritıvel temos, peloTeorema de Pitot, BC + NM = BM + CNou seja, a + y = c − x + b − y .
Isto significa que x + y + z = b + c − a.
O perımetro do triangulo AMN e constante.
bA
b
B
b
C
bM
bN
Quadrilateros inscritıveis e circunscritıveis I slide 7/7
Quadrilateros inscritıveis e circunscritıveis IIMA13 - Unidade 7
Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:A. Caminha M. Neto. Geometria. Colecao PROFMAT
O quadrilatero inscritıvel
Um quadrilatero e inscritıvel quando os quatro vertices pertencema uma mesma circunferencia.
b
A
b
B
bC
bD
Quadrilateros inscritıveis e circunscritıveis II slide 2/8
TeoremaEm um quadrilatero inscritıvel os angulos opostos saosuplementares.
Demonstracao:
b
A
b
B
bC
bD
Na figura acima, sendo A e B as medidas dos angulos DAB eBCD, respectivamente, temos
A + C =arc BCD
2+
arc DAB
2=
360◦
2= 180◦
Quadrilateros inscritıveis e circunscritıveis II slide 3/8
Recıproca
A recıproca do teorema anterior e verdadeira.
Se um quadrilatero possui dois angulos opostos suplementares entaoele e inscritıvel.
Sugestao para demonstracao
Considere o quadrilatero ABCD com B + D = 180◦. Considere,em seguida a circunferencia que passa por A, B e C . Imagine queD nao pertenca a essa circunferencia ...
Quadrilateros inscritıveis e circunscritıveis II slide 4/8
Reconhecimento do quadrilatero inscritıvel
1. Dois angulos opostos suplementares.
A + C = 180◦ ⇔ ABCD e inscritıvel
2. Um angulo interno igual ao externo oposto.
α = α′ ⇔ ABCD e inscritıvel
b
A
b
B
b C
bD
α
α′
Quadrilateros inscritıveis e circunscritıveis II slide 5/8
3. No quadrilatero ABCD, ∠ACB = ∠ADB.
α = ∠ACB = ∠ADB = α′ ⇔ ABCD e inscritıvel
De fato, o arco capaz do angulo ACB construıdo sobre ABpassa por D.
b
A
b
B
bC
bD
α
α′
Quadrilateros inscritıveis e circunscritıveis II slide 6/8
Problema
No triangulo ABC os angulos A e B medem 60◦ e 70◦,respectivamente. Os segmentos BD e CE sao alturas. Quantomede o angulo AED?
b
B
bA
70◦
60◦
b
C
bE
b D
Quadrilateros inscritıveis e circunscritıveis II slide 7/8
Solucao
O angulo ACB mede 50◦.Como ∠BDC = ∠BEC = 90◦ o quadrilatero BCDE e inscritıvel.Logo, ∠AED = ∠ACB = 50◦.
b
B
bA
b
C
bE
bD
θ
50◦
Quadrilateros inscritıveis e circunscritıveis II slide 8/8
