Lugares geométricos 8ºano esaic

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Áurea Azevedo Ano Lectivo 2009/2010 8ºano Escola Secundária António Inácio da Cruz

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Áurea Azevedo

Ano Lectivo 2009/2010

8ºano

Escola Secundária António Inácio da Cruz

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� Um lugar geométrico é uma região do plano ou do espaço com determinadas propriedades comuns.

Conceito de Lugar Geométrico

O objectivo desta apresentação é o estudo mais aprofundado de alguns lugares geométricos de que já ouviste falar.

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Circunferência e Círculo

Um jardineiro quer construir um canteiro com a forma de uma circunferência. Para isso coloca uma estaca num ponto do terreno e prende nela uma corda. Na outra ponta da corda coloca um objecto e vai fazendo, com a corda totalmente esticada, um sulco no chão.

O jardineiro está a desenhar uma circunferência sobre o chão.

Todos os pontos estão situados à mesma distância do ponto onde se encontra espetada a estaca ( centro da circunferência).

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À distância de qualquer ponto da circunferência ao seu centro dá-se o nome de raioda circunferência.

Na figura, o raio da circunferência corresponde ao comprimento do segmento de recta [PC].

Uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de um ponto fixo chamado centro da circunferência.

Circunferência e Círculo

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Assim, o circulo é o lugar geométrico dos pontos pertencentes a uma circunferência ou ao seu interior.

Os pontos A e B da figura abaixo estão situados no interior da circunferência. A distancia destes pontos ao centro da circunferência é menor do que o raio.

Um circulo é formado por todos os pontos interiores àcircunferência e pela circunferência.

Circunferência e Círculo

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Circunferência e Círculo

Na figura abaixo estão representados os pontos D e E. A distancia destes pontos ao centro da circunferência émaior do que o raio da circunferência. Os pontos D e E são pontos exteriores à circunferência.

O exterior de uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam do centro da circunferência mais do que o seu raio.

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Circunferência e Círculo

Considerando duas circunferências concêntricas (com o mesmo centro) e raios diferentes, podemos definir um lugar geométrico do plano situado entre as duas circunferências, incluindo-as. Essa região do plano designa-se por coroa circular.

A região assinalada a amarelo representa uma coroa circular. Os seus pontos encontram-se a uma distância do ponto C igual ou maior do que e igual ou menor do que .

BC

AC

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Mediatriz de um segmento de recta

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Mediatriz de um segmento de recta

Propriedades:

� Um ponto qualquer da mediatriz de um segmento de recta é equidistante dos extremos desse segmento.

�O ponto médio do segmento de recta é o ponto da mediatriz desse segmento que se encontra àmenor distância dos extremos desse segmento de recta.

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Mediatriz de um segmento de recta

Pretende-se construir uma estrada que diste igualmente de duas localidades.

A estrada vai ter de corresponder à mediatriz do segmento de recta que une as duas localidades.

Desta forma, qualquer ponto da estrada éequidistante das duas localidades.

Exemplo 1:

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Circuncentro de um triângulo

Exemplo 2:

A Câmara de Grândola quer construir uma piscina municipal que fique à mesma distância das três localidades referidas na figura. Em que lugar se deve colocar a piscina?

A piscina deve deve ficar colocado na posição indicada. O ponto assinalado chama-se circuncentro do triângulo e corresponde àintersecção das mediatrizes dos lados do triângulo.

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Bissectrizes de um ângulo

Considerando a recta r e o ponto P, não pertencente àrecta, a menor distância entre o ponto P e a recta r é dada pelo comprimento do segmento de recta [PA], perpendicular árecta r, no ponto A.

A bissectriz de um ângulo éuma semi-recta que divide o ângulo em outros dois ângulos geometricamente iguais.

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Bissectrizes de um ângulo

Para construíres a bissectriz de um ângulo começas por desenhar o arco [AB], centrando o compasso no ponto V (vértice do ângulo)

De seguida, abres o compasso com raio igual ao comprimento do segmento de recta [AB]. Centras o compasso em A e depois em B, traçando os arcos que se encontram a verde. Esses arcos interceptam-se num ponto.

Traçando a semi-recta que passa por esse ponto e pelo vértice do ângulo, obténs a bissectriz do ângulo.

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Bissectrizes de um ângulo

Cada um dos pontos da bissectriz de um ângulo éequidistante dos lados do ângulo.

Por exemplo:

AP BP e CQ DQ= =

Podemos agora definir a bissectriz como o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes dos lados de um ângulo.

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Bissectrizes de um ângulo

Se pretendermos colocar candeeiros entre duas ruas de modo a que cada um deles esteja a igual distância de ambas as ruas, teremos de determinar a bissectrizdo ângulo formado pelas duas ruas (linha a amarelo)

Como a figura ilustra, os candeeiros deveriam ficar segundo a bissectriz do ângulo cujos lados são representados pelas duas ruas A e B.

Exemplo 3:

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Alguns lugares geométricos especiais

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Lugares geométricos no espaçoSuperfície esférica e esfera

O vidro do qual é feito o abat-jour do candeeiro de tecto (amarelo) pode imaginar-se como sendo uma região do espaço cujos pontos se encontram todos a igual distância de um ponto central fixo.

Ao lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes de um ponto fixo chamado centro, dá-se o nome de superfície esférica.

O abat-jour representa uma superfície esférica.

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Lugares geométricos no espaçoSuperfície esférica e esfera

Se considerares agora todos os pontos da superfície esférica e todos aqueles que lhe são interiores, tens um novo lugar geométrico denominado esfera.

Assim, a esfera é o lugar geométrico de todos os pontos do espaço que se encontram a igual ou menor distância de um ponto fixo chamado centro.

A distância do centro da esfera a um qualquer ponto da superfície esférica, chama-se raio da esfera.

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Lugares geométricos no espaçoPlano mediador

Supõe que tens dois candeeiros no chão da tua sala, como se representa na figura ao lado.

Pretendes saber quais são os lugares da sala que estão equidistantes dos dois candeeiros.

Considerando o segmento de recta cujos extremos são as bases dos dois candeeiros, os pontos do plano representado a verde são pontos equidistantes das bases.

Exemplo 4:

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Lugares geométricos no espaçoPlano mediador

O plano representado a verde denomina-se Plano Mediadordo segmento de recta.

O plano mediador de um segmento de recta é o lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes dos extremos do segmento de recta.

O plano mediador éperpendicular ao segmento de recta e contém o ponto médiodesse segmento de recta.

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FIM

Maio de 2010