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1 a Prova (11/09/2013) F 789B - Mecˆ anica Quˆ antica II Instituto de F´ ısica Gleb Wataghin - UNICAMP Nome:............................................................................................, RA:............ 1. Considere um ´ atomo de hidrogˆ enio em um campo magn´ etico uniforme: A(R)= - 1 2 R × ~ B. O Hamiltoniano deste problema se escreve H = 1 2m [P - qA(R)] 2 + V (R). (1) (a) Mostre que o Hamiltoniano pode ser escrito como H = H 0 + H 1 + H 2 , com H 0 = 1 2m P 2 + V (R), H 1 = - μ B ¯ h L · ~ B, H 2 = μ 2 B m 2¯ h 2 ~ B 2 R 2 ⊥ , sendo R 2 ⊥ = R 2 - (R· ~ B) 2 ~ B 2 = X 2 + Y 2 para ~ B = B ˆ k e μ B = q¯ h 2m . (b) Considere H 0 = H 0 + H 1 somente. Quais s˜ ao os autoestados si- multˆ aneos de H 0 , L 2 e L z ? E quais s˜ ao os autovalores de H 0 ? 2. Considere o espalhamento por um potencial do tipo: V (r)= V 0 , se 0 ≤ r ≤ a 0, se r>a (2) (a) Utilize a aproxima¸c˜ ao de Born e derive a se¸c˜ ao de choque total para baixas energias. ´ E poss´ ıvel tornar V 0 = ∞ nessasitua¸c˜ ao ? Porque? (c) Considere o espalhamento a baixas energias nessa situa¸c˜ ao tal que somente o espalhamento de onda S seja significativo. Obtenha a se¸ c˜ ao de choque total e compare com o resultado do ´ ıtem (a). 3. A an´ alise do espalhamento de part´ ıculas de massa m e energia E de um centro de espalhamento fixo com comprimento caracter´ ıstico de es- palhamento a leva ao seguinte deslocamento de fase δ l = sen -1 " (iak) l p l(2l + 1)! # (3) (a) Derive um express˜ ao fechada para a se¸c˜ ao de choque total em fun¸ c˜ ao da energia E. (b) Para quais valores de E a an´ alise de espalhamento de onda S fornece uma boa estimativa de σ? 1
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1a Prova (11/09/2013)F 789B - Mecanica Quantica IIInstituto de Fısica Gleb Wataghin - UNICAMP
Nome:............................................................................................, RA:............
1. Considere um atomo de hidrogenio em um campo magnetico uniforme:A(R) = − 1
2R× ~B. O Hamiltoniano deste problema se escreve
H =1
2m[P− qA(R)]
2+ V (R). (1)
(a) Mostre que o Hamiltoniano pode ser escrito como H = H0 +H1 +H2,com
H0 =1
2mP2 + V (R), H1 = −µB
hL · ~B, H2 =
µ2Bm
2h2~B2R2
⊥,
sendo R2⊥ = R2 − (R· ~B)2
~B2= X2 + Y 2 para ~B = Bk e µB = qh
2m .
(b) Considere H ′ = H0 + H1 somente. Quais sao os autoestados si-multaneos de H ′, L2 e Lz? E quais sao os autovalores de H ′?
2. Considere o espalhamento por um potencial do tipo:
V (r) =
{V0, se 0 ≤ r ≤ a0, se r > a
(2)
(a) Utilize a aproximacao de Born e derive a secao de choque total parabaixas energias. E possıvel tornar V0 =∞ nessa situacao ? Porque?
(c) Considere o espalhamento a baixas energias nessa situacao tal quesomente o espalhamento de onda S seja significativo. Obtenha a secao dechoque total e compare com o resultado do ıtem (a).
3. A analise do espalhamento de partıculas de massa m e energia E deum centro de espalhamento fixo com comprimento caracterıstico de es-palhamento a leva ao seguinte deslocamento de fase
δl = sen−1
[(iak)l√l(2l + 1)!
](3)
(a) Derive um expressao fechada para a secao de choque total em funcaoda energia E.
(b) Para quais valores de E a analise de espalhamento de onda S forneceuma boa estimativa de σ?
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