Felipe Dias de MirandaEngenharia Mecânicaflpdsmrnd@gmail.com

Equação do Calor

RESUMO

A condução do calor através de um cilindro pode ser modulada matematicamente por meio de uma equação diferencial parcial. Tal equação, denominada “Equação do Calor”, tornou-se de suma importância para o estudo científico em diversas áreas. Este trabalho propõe-se a solucionar esta equação em coordenadas cilíndricas.

Palavras-chave: Calor, Bessel, Laplaciano, Cilindro.

INTRODUÇÃO

Em meados do século XVII, os matemáticos debatiam a expansão de funções arbitrárias em séries trigonométricas. Nomes como D'Alambert, Euler, Bernoulli e Lagrange ajudaram a desenvolver na época algo próximo ao que hoje é conhecido como Séries de Fourier.

Jean-Baptiste Joseph Fourier, matemático e físico francês, fazendo uso da teoria de seus antecessores, submeteu seu primeiro trabalho à Academia Francesa em 1807, onde solucionou e formalizou o problema da condução do calor. O trabalho não foi aceito. Em 1811, Fourier novamente submeteu seu trabalho para avaliação da Academia, mas a banca julgadora outra vez não o publicou, alegando falta de rigor. Seu trabalho só seria publicado anos mais tarde, quando Fourier tornou-se secretário da Academia.

Desta forma deu-se o reconhecimento da teoria de Fourier, porém novos problemas surgiram decorrentes de seu trabalho. Dentre as áreas que se desenvolveram em decorrência do estudo de Fourier destacam-se Equações diferenciais, Análise, Integral e Teoria dos Conjuntos.

APLICAÇÃO

Existem diversas variações da Equação do Calor. A forma mais conhecida modela a condução do calor em um sólido homogêneo, isotrópico e que não possua fontes de calor, sendo escrita da seguinte maneira:

A equação do calor é de uma importância fundamental em numerosos e diversos campos da ciência. Na matemática, são as equações parabólicas em derivadas parciais por antonomásia. Na estatística, a equação do calor está vinculada com o estudo do movimento browniano através da equação de Fokker–Planck. A equação de difusão, é uma versão mais geral da equação do calor, e relaciona-se principalmente com o estudo de processos de difusão química.

A Equação pode ser escrita de maneira mais geral utilizando-se da notação de operadores diferenciais:

Onde o operador Δ é conhecido como Laplaciano.

LAPLACIANO EM COORDENADAS POLARES

Analisando-se o caso bidimensional, o Laplaciano é definido da seguinte forma:

Onde opera uma função arbitrária u(x,y) de duas variáveis. No entanto, em muitos casos pode ser conveniente trabalhar com coordenadas polares, ao invés das clássicas coordenadas cartesianas, de acordo com a geometria do problema abordado.

As coordenadas polares são definidas por:

Ou ainda:

Onde r é a distância do ponto (x,y) da origem e θ o ângulo formado pelo segmento que une o ponto e a origem com o eixo das abcissas.

Assim, a função u(x,y) passa a ser v(r,ϑ). Derivando u fazendo uso da regra da cadeia, obtém-se:

Derivando novamente:

Mas como, supondo que u seja de classe C²:

Temos então:

E, de maneira análoga:

Aplicando na definição de Laplaciano:

Resolvendo as derivadas:

Portanto:

LAPLACIANO EM COORDENADAS CILÍNDRICAS

Pode-se entender as coordenadas cilíndricas como sendo uma “expansão” das coordenadas polares para um sistema tridimensional. É acrescentada uma variável z cujo funcionamento é equivalente ao sistema de coordenadas cartesianas em três dimensões. Desta forma, é definido:

O Laplaciano em coordenadas cartesianas para o caso tridimensional é definido da seguinte forma:

Portanto, aproveitando-se dos cálculos anteriores, podemos definir o Laplaciano em coordenadas cilíndricas como sendo:

FUNÇÕES DE BESSEL

Equação diferencial de Bessel

As funções de Bessel surgem como soluções da equação diferencial:

Chamada equação diferencial de Bessel. A solução geral de (1) é dada por:

A solução Jn(x), que tem limite finito quando x tende a zero, é chamada função de Bessel de primeira espécie de ordem n. A solução Yn(x), que não tem limite finito (é não-limitada) quando x tende a zero, é chamada função de Bessel de segunda espécie de ordem n, ou função de Neumann.

Se a variável independente x em (1) é substituída por λx, (λ constante), a equação resultante é

Com solução geral:

A equação diferencial (1) ou (3) é obtida, por exemplo, a partir da equação de Laplace expressa em coordenadas cilíndricas (ρ, Φ, z).

O Método de Frobenius

Um método importante para a obtenção de soluções de equações diferenciais tais como a de Bessel, é o método de Frobenius. Nesse método, supomos uma solução da forma

Onde ck, = 0, para k<0, de modo que (5) começa efetivamente com o termo contendo c0, que se supõe diferente de zero.

Levando (5) em uma equação diferencial dada, podemos obter uma equação β (constante) (chamada equação indicial), bem como equações que podem servir para determinar as constantes ck.

Funções de Bessel de primeira espécie

Define-se a função de Bessel de primeira espécie de ordem n como

Ou

Onde (n+1) é a função gama. Se n é inteiro positivo Г(n+1) = n!, Г(1) = 1. Para n=0, (6) se torna

A série (6) ou (7) converge qualquer que seja x. Se n é metade de um inteiro ímpar, Jn(x) pode-se exprimir em termos de senos e cossenos Pode-se definir uma função J -n(x) n>0, substituindo-se n por –n em (6) ou (7), Se n é inteiro, então pode-se mostrar que:

Se n não é inteiro Jn(x) e J-n(x) são linearmente independentes, e neste caso a solução geral de (1) é:

Funções de Bessel de segunda espécie

Define-se a função de Bessel de segunda espécie de ordem n como:

Quando n = 0,1,2,3,4..., obtemos o seguinte desenvolvimento em série para Yn(x):

onde γ = 0,5772156... é a constante de Euler.

Função Geratriz de Jn(x)

A função:

É a função geratriz da função de Bessel de primeira espécie de ordem inteira. É de grande utilidade na obtenção de propriedades dessas funções para valores inteiros de n – propriedades que, frequentemente, podem ser provadas para todos os valores de n.

Fórmulas de Recorrência

Os resultados abaixo valem para todo n:

Se n é inteiro, tais resultados podem ser demonstrados utilizando a função geratriz. Observe que os resultados 3 e 4 são equivalentes a 5 e 6, respectivamente.

As funções Yn(x) satisfazem precisamente as mesmas relações, com Yn(x) substituindo Jn(x).

Funções relacionadas com as funções de Bessel

Funções Hankel

As funções Hankel de primeira e segunda espécies definem-se, respectivamente, por

Funções de Bessel modificadas

Define-se a função de Bessel modificada de primeira espécie de ordem n como:

Se n é inteiro,

Mas se n não é inteiro, In(x) e I-n(x) são linearmente independentes.A função de Bessel modificada de segunda espécie de ordem n é definida como

Essas funções verificam a equação diferencial

E a solução geral desta equação é

ou, se n ≠ 0,1,2,3,4,...,

Funções Ber, Bei, Ker, Kei

As funções Bern(x) e Bein(x) são respectivamente as partes real e imaginária de

onde

As funções Kern(x) e Kein(x) são respectivamente as partes real e imaginária de

onde

isto é:

Essas funções são úteis em relação à equação

Que surge na engenharia elétrica e em outros campos da técnica. A solução geral desta equação é:

Se n = 0, costuma denotar-se Bern(x), Bein(x), Kern(x) e Kein(x) por Ber (x), Bei(x), Ker(x), Kei (x), respectivamente.

Equações transformáveis na equação de Bessel

A equação:

Onde k, α, r, β são constantes, admite a solução geral

Onde

Se α = 0, a equação é uma equação de Cauchy ou Euler e tem como solução

Fórmulas assintóticas para funções de Bessel

Para grandes valores de x temos as seguintes fórmulas assintóticas:

Zeros das funções de Bessel

Pode-se mostrar que, n é real, Jn(x) = 0 tem um número infinito de raízes todas reais. A diferença entre raízes sucessivas tende a π na medida em que as raízes aumentam de valor. Este fato pode ser constatado pela expressão (29). Pode-se ver também que as raízes de Jn(x) = 0 (os zeros de Jn(s) estão entre as raízes de Jn-1(x) =0 e as de Jn+1 (x) = 0. Observações análogas valem para Yn(x).

Ortogonalidade das funções de Bessel de primeira espécie

Se λ e μ são duas constantes diferentes, pode-se mostrar que

enquanto que

De (30) pode-se ver que, se λ e μ são duas raízes distintas quaisquer da equação

onde R e S são constantes, então

O que equivale afirmar que as funções xJn(λx) e xJn(μx) são ortogonais em (0,1). Note-se como casos especiais de (32), λ e μ podem ser duas raízes distintas de Jn(x) = 0 ou de J’n(x)=0. Pode-se dizer também que as funções Jnλx e Jnμx são ortogonais em relação à função densidade (função peso) x.

Séries de funções de Bessel de primeira espécie

Tal como no caso das séries de Fourier, pode-se mostrar qie se F(x) e f’(x) são seccionalmente contínuas, então em todo ponto de continuidade de f(x) no intervalo 0<x<1 existirá um desenvolvimento em série de Bessel da forma

onde λ1, λ2, λ3, λ4, λ5, ... são as raízes positivas de (32) com R/S ≥ 0, S ≠ 0 e

Em qualquer ponto de descontinuidade, a série à direita de (34) converge para

Expressão que pode ser utilizada em lugar do membro esquerdo de (34).Se S = 0, de modo que λ1, λ2, λ3, λ4, λ5, ... são as raízes de Jn(x) = 0,

Se R = 0 e n = 0, então a série (34) começa com o termo constante

Neste caso, as raízes positivas são as de J’n(x) = 0.

Ortogonalidade e séries de funções de Bessel de segunda espécie

Os resultados acima, relativos às funções de Bessel de primeira espécie, podem ser estendidos às funções de Bessel de segunda espécie.

PROBLEMA PROPOSTO

Seja um cilindro oco muito longo, de raio interno a e raio externo b,é feito com material

condutor com difusividade α. Se as superfícies interior e exterior são mantidas à temperatura de 0 ºC e 100 ºC, enquanto a temperatura inicial é f(r) (sendo r o raio). Determine a temperatura em um ponto qualquer,em um instante arbitrário t.

A figura ilustra esquematicamente o problema. Deseja-se saber como pode descrever a temperatura no cilindro em coordenadas cilíndricas, ou seja, busca-se uma função

u(r,θ,z ;t)Levando-se em conta a simetria do problema e que este é regido pela equação do calor, o que se

almeja de fato é descobrir como a temperatura se distribui ao longo do tempo entre os raios interno (a) e externo do cilindro (b), portanto a≤r≤b.

SOLUÇÃO

Denotemos por f(r) a função que determina a temperatura inicial de um ponto qualquer no instante inicial t=0 dentro de a≤r≤b. Pela simetria do problema, observa-se que a temperatura jamais varia com as variáveis z ou θ.

Utilizando a equação do Calor

Em coordenadas cilíndricas e fazendo as considerações necessárias

Onde as condições de contorno são

Ou seja, a temperatura para um ponto qualquer no cilindro oco em um instante arbitrário pode ser escrita como uma combinação de

Onde u0(r,t) é a solução homogênea, em que as temperaturas externa e interna do cilindro são 0° C, e u100(r) é a solução particular em que a temperatura do raio externo é 100° C e independe do tempo t.

Assim sendo, realizar-se-á primeiro a solução para u0(r,t) homogênea associada.

Pela separação de variáveis, façamos:

Aplicando em (1):

Então:

Que resultam em

Como u=RT, temos:

Aplicando-se as condições de contorno para u0(r,t) em que u(a,t)=0 e u(b,t)=0, obtém-se:

Estas equações nos levam à

De (5), temos:

Deste modo,a eq.(4) pode ser escrita como:

e

Do fato, de que u(r,0)=f(r) e utilizando a eq. (7):

Logo, a solução é

Quanto à solução particular u100(r), tem-se a equação

Como a temperatura é estacionaria esta equação pode ser considerada ordinária pois as derivadas são apenas com respeito a r. Com isso:

Como r≥0, tem-se como solução

Aplicando-se as condições de contorno para u100(r) em que u(a)=0° C e u(b)=100° C:

Ou que

E a segunda condição

Portanto

Com as constantes determinadas, pode-se escrever

Para escrever a solução final basta lembrar que

Ou seja, a solução final do problema proposto é

É a função que descreve a temperatura para qualquer ponto dentro de um cilindro oco com raios a interno e b externo as temperaturas 0° C e 100° C, respectivamente, para qualquer instante de tempo t≥0. O caráter exponencial do tempo na solução homogênea garante que a distribuição tende a estacionária conforme o tempo flui. Ou seja

Esta característica da solução vem como conseqüência da equação do calor, mostrando dessa forma a irreversibilidade desse processo.

Distribuição estacionária de temperatura em cilindro oco como o descrito no problema. A figura ajuda a mostrar como a temperatura varia de forma logarítmica. OBS: o gráfico foi traçado com raios interno a=2 e externo b=5 e o eixo z significa u100(r).

CONCLUSÃO

Conforme visto, a Equação do Calor revela-se como sendo de suma importância para as mais diversas áreas da Engenharia e da Física. Através dela é possível realizar vários estudos no que diz respeito à distribuição da temperatura e o fluxo de calor de determinado objeto. Desta maneira, tal equação torna-se uma ferramenta imprescindível para a resolução de inúmeros problemas.

AGRADECIMENTOS

Ao professor Altair Souza de Assis, pela assistência prestadas nas aulas e em outras oportunidades onde ela foi necessária. Sem a colaboração do professor Altair não seria possível o pleno entendimento dos conceitos abordados nesse artigo.

REFERÊNCIAS

1 - Murray R. Spiegel, Análise de Fourier, Coleção Schaum, Editora McGraw - Hill do Brasil Ltda,1976

2 - D. Kreider, D. R. Ostberg, R. C. Kuller, e F. W. Perkins, Introdução a Análise Linear, Volume 3, Ao Livro Técnico S/A e Editora UNB, RJ, 1972.

3 - Stanley J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, John Wiley & Sons Inc., 1982.

4- E. Butkov, Física Matemática, Guanabara Dois, RJ, 1978.

5 – A. S. de Assis, Notas de Aula de Métodos I, 2010