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1 Estudo sobre as Séries de Fourier Isabela Florindo Pinheiro 1 , Jaguarê Smith Gonzaga Filho 2 e Douglas Kirk 3 1 UFF, Niterói – RJ, Brasil. [email protected] 2 UFF, Niterói – RJ, Brasil. jaguar_gonzaga @hotmail.com 3 UFF, Niterói – RJ, Brasil. [email protected] Resumo Série é, em matemática, a soma dos termos que formam uma seqüência (conjunto de números dispostos numa certa ordem). Uma série pode ser finita, se tem um número determinado de termos ou infinita quando é impossível contar seu número de termos. Costuma-se usar a letra sigma () para indicar a soma dos termos da série. Por exemplo, a série a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n + ... pode ser representada por ou simplesmente a n . Algumas séries matemáticas que encontram vasta aplicação científica receberam o nome dos matemáticos que as desenvolveram. É o caso das séries de Fourier, nomeadas em honra de Jean- Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), que dentro da tradição inaugurada por Galileu e Newton, usou a observação experimental e a matemática aplicada a problemas físicos. Em sua obra mais notável, Théorie analytique de la chaleur (1822; Teoria analítica do calor), demonstrou que a condução do calor em corpos sólidos pode ser expressa por séries matemáticas infinitas. As séries de Fourier assim obtidas aplicam-se a grande número de problemas físicos e matemáticos, inclusive como base das operações em mecânica quântica. Sendo assim, as séries de Fourier ilustram como a solução de um problema físico acaba gerando novas fronteiras na matemática. Com o desenvolvimento dessas séries, Fourier mostrou que qualquer função, por mais complicada que seja, pode ser decomposta como uma soma de senos e cossenos. Séries de Fourier 1– Funções Periódicas

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Estudo sobre as Séries de FourierIsabela Florindo Pinheiro1, Jaguarê Smith Gonzaga Filho2 e Douglas Kirk3

1UFF, Niterói – RJ, Brasil. [email protected], Niterói – RJ, Brasil. jaguar_gonzaga @hotmail.com

3UFF, Niterói – RJ, Brasil. [email protected]

ResumoSérie é, em matemática, a soma dos termos que formam uma seqüência (conjunto de

números dispostos numa certa ordem). Uma série pode ser finita, se tem um número determinado de termos ou infinita quando é impossível contar seu número de termos. Costuma-se usar a letra sigma (∑) para indicar a soma dos termos da série. Por exemplo, a série a1 + a2 + a3 + ... + an

+ ... pode ser representada por ∑ ou simplesmente ∑ an .Algumas séries matemáticas que encontram vasta aplicação científica receberam o nome

dos matemáticos que as desenvolveram. É o caso das séries de Fourier, nomeadas em honra de Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), que dentro da tradição inaugurada por Galileu e Newton, usou a observação experimental e a matemática aplicada a problemas físicos. Em sua obra mais notável, Théorie analytique de la chaleur (1822; Teoria analítica do calor), demonstrou que a condução do calor em corpos sólidos pode ser expressa por séries matemáticas infinitas. As séries de Fourier assim obtidas aplicam-se a grande número de problemas físicos e matemáticos, inclusive como base das operações em mecânica quântica.

Sendo assim, as séries de Fourier ilustram como a solução de um problema físico acaba gerando novas fronteiras na matemática. Com o desenvolvimento dessas séries, Fourier mostrou que qualquer função, por mais complicada que seja, pode ser decomposta como uma soma de senos e cossenos.

Séries de Fourier

1– Funções Periódicas

Uma função f(x) é dita periódica com um período T se f(x + T) = f(x) para qualquer x. Do que decorre que f(x + nT) = f(x) para n inteiro n = 0, ±1, ±2, ±3, ...

Exemplos: a) Se f(x) = tan(x), temos que tan(x + π) = tan(x). Logo, T = π.

b) Achar o período da função f(x) = sen nx.Se a função for periódicasen n(x + T) = sen nxsennx.cosnT + sennT.cosnx = sen nx

cos nT = 1 cos nT = cos(2π) T = 2 πn

sen nT = 0 sen nT = sen(2π)

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2

Logo ,T=2 πn

OBS: Se duas funções g(x) e h(x) possuírem período T, então a função f(x) = a.g(x) + b.h(x) é periódica com período T.

2- Série Trigonométrica

É uma série de funções cujos termos são obtidos multiplicando-se os senos e os cossenos dos múltiplos sucessivos da Variável Independente (x) por coeficiente, que não dependem da variável (x) e são admitidos reais. Sendo a variável x real, sen(nx) e cos(nx) são então limitadas e a série convergirá sob condições bem fracas impostas a ane bn .

12

a0+a1cos (x )+a2 cos(2 x)+...+b1 sen(x )+b2 sen(2x )+...

Ou 12

a0+∑n=1

an cos (nx )+bn sen (nx )

Sendo esta uma série de funções, sua soma S (no caso de existir, ou seja, se a série for convergente) será uma função variável independente e como os termos da série são trigonométricas, funções periódicas de período (2π), a soma S(x) será uma função periódica de período (2π). De modo que precisamos estudar a série trigonométrica em um intervalo de comprimento (2π), por exemplo: (-π, π) ou (0, 2π).

As funções periódicas de interesse podem sempre ser representadas por uma série trigonométrica.

Se a série trigonométrica converge (uniformemente ou não), ela representa então uma certa função f(x), e podemos escrever:

f ( x )=12

a0+∑n=1

ancos ( nx )+bn sen (nx )

Esta representação é possível se a f(x) satisfaz as condições de suficiência de Dirichlet. Exemplos:

a¿a¿n=bn=1n2 n≠ 0a0=0

A série será:

cosx+senx+ 14

cos2 x+ 14

sen2 x+ 19

cos3 x+…

Que converge absoluta e uniformemente para todos os valores (reais) de x (por exemplo, pelo teste da razão e pelo teste M de Weierstrass).

b¿an=0 ( todos os n ) , bn=1n

.

A série será:

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f(x)

x

3

senx+ 12

sen2 x+ 13

sen3 x+…

Que converge para todo x (digamos, pelo teste da integral), pois a integral ∫−∞

sen txt

dt

converge para todo x. No entanto, a convergência não é absoluta; por exemplo, o ponto x=π2 ;

também não é uniforme (sobre todo o eixo real).

c ¿an=1, bn=0(todos os n)A série será:

12+cosx+cos2 x+cos3 x+…

Que diverge (pelo teste do n-ésimo termo) para quase todos os valores de x (com exceção de

pontos com x=π2 ).

3- Condições de Dirichlet

Embora não sejam conhecidas as condições necessárias e suficientes para que uma função possa ser representada por uma série trigonométrica, as condições de suficiência de Dirichlet, apesar de mais restritas, asseguram a convergência da série para a função.

1ª) A função f(x) deve ser contínua e, portanto, limitada no intervalo (-π, π), com exceção, talvez, de um número finito de pontos de descontinuidade de primeira espécie (finitas).

Exemplo:

f ( x )={1 para−π<x<00 para 0<x<π e f(x + 2π) = f(x)

Esta função representa, num período, apenas um ponto de descontinuidade finita em x = 0.

Contra-exemplo: f(x) = (9 - x²)-1 no intervalo (0, 2π)

Apresenta um ponto de descontinuidade infinita no ponto x = 3

2ª) Efetuando-se uma partição no intervalo (-π, π) em um número finito de sub-intervalos, a função f(x) em cada um deles será monótona. A função f(x) tem somente um número finito de máximos e mínimos em um período.

Exemplo: Podemos considerar 3 sub-intervalos:

No 1º, f(x) é crescenteNo 2º, f(x) é decrescenteNo 3º, f(x) é crescente

Apresenta no período um ponto máximo e um mínimo.

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π-π

f(x)

x

4

Contra-exemplo:

f ( x )=sen (1n ) ,−π<x<π

Esta função apresenta um número infinito de pontos máximos e mí-

nimos na vizinhança de x = 0.

4- Ortogonalidade – Integrais de Euler

Os termos na série são ditos ortogonais com relação ao período T = 2π, isto é, a integral em um período do produto de quaisquer dois termos diferentes é nula.

Integrais de Euler:

1¿∫−π

π

cos (nx ) dx=0 ;n=1 ,2 , 3 ,…2¿∫−π

π

sen (nx )dx=0 ;n=0 ,1 , 2, …

3¿∫−π

π

cos ( px ) cos (qx)dx=0 ;(p ≠ q) inteiros

4 ¿∫−π

π

cos ² ( px ) dx=π ; p=1 ,2 , …

5¿∫−π

π

sen ( px ) sen (qx )dx=0 ;( p≠ q)inteiros

6¿∫−π

π

sen ² ( px )dx=π ; p=q≠ 0

7¿∫−π

π

sen ( px )cos (qx )dx=0 {p=qp≠ q

ou

Demonstrando:

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5

1¿∫−π

π

cos (nx ) dx=sen (nx )¿−ππ

n=1

n[ sen(n π )– sen (−nπ )]=0¿

2¿∫−π

π

sen (nx )dx=[−cos (nx)n ]

−π

π

=−1n

[cos(nπ )– cos(−nπ)]=0

3) Como, cos[(p + q)x] = cos(px)cos(qx) – sen(px)sen(qx) (a)

cos[(p – q)x] = cos(px)cos(qx) + sen(px)sen(qx) (b)

Somando membro a membro (a) + (b):

cos(px)cos(qx) = 12 {cos[(p + q)x] + cos[(p –q)x]}

∫−π

π

cos ( px ) cos (qx)dx=12∫−π

π

{cos [ ( p+q ) x ]+cos [ ( p−q ) x ]}dx=0

4 ¿ Como, cos²(px) + sen²(px) = 1 (c) cos²(px) – sen²(px) = cos(2px) (d)

Somando membro a membro (c) + (d):2cos²(px) = 1 + cos(2px)

∫−π

π

cos ² ( px ) dx=12∫−π

π

(1+cos2 px )dx=12∫−π

π

dx+∫−π

π

cos (2 px )dx=12

(2 π )+0=π

5¿ Como,cos[(p + q)x] = cos(px)cos(qx) – sen(px)sen(qx) (e)cos[(p + q)x] = cos(px)cos(qx) + sen(px)sen(qx) (f)

Fazendo (f) – (e):

sen(px)sen(qx) = 12 {cos[(p - q)x] – cos[(p +q)x]}

∫−π

π

sen ( px ) sen ( qx ) dx=12∫−π

π

{cos [ ( p−q ) x ]−cos [ ( p+q ) x ]}dx=0

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= 0 = 0

6

6¿∫−π

π

se n2 ( px )dx=∫−π

π 1−cos (2 px )2

dx=12∫−π

π

dx− 12∫−π

π

cos (2 px )dx=π

7¿ Como,sen(p + q)x = sem(px)cos(qx) + sen(qx)cos(px) (g)sen(p – q)x = sen(px)cos(qx) – sen(qx)cos(px) (h)

Fazendo(g) + (h):

sen(px)cos(qx) = 12{sen[(p + q)x] + sen[(p – q)x]}

∫−π

π

sen ( px ) cos (qx ) dx=12∫−π

π

sen ( p+q ) xdx+ 12∫−π

π

sen ( p−q ) xdx=0

5- Determinação dos Coeficientes de Fourier

Usando propriedades das funções trigonométricas podemos facilmente determinar an e bn em termos de f(x) de maneira que no intervalo (-π, π), a série trigonométrica (1) seja igual à função f(x), isto é:

f ( x )=12

an+∑n=1

ancos ( nx )+bn sen (nx )(1)

Integramos os dois membros de (1) entre (-π, π):

∫−π

π

f ( x ) dx=∫− π

π 12

a0 dx+∑n=1

∫−π

π

ancos ( nx ) dx+∫−π

π

bn sen (nx ) dx

∫−π

π

f ( x ) dx=12

an∫− π

π

dx=12

an (2 π )=a0 π

an=1π ∫

−π

π

f ( x ) dx

Cálculo de an:Multiplicando (1) por cos(px), sendo p um número fixo dado e integremos entre os limites –π

e π.

∫−π

π

f ( x ) cos ( px )dx=¿¿

¿∫− π

π 12

ancos ( px ) dx+∑n=1

∫−π

π

ancos (nx )cox ( px )+bn sen (nx ) cos ( px )dx

Se n = p:

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1

0 π-π

f(x)

7

∫−π

π

f ( x ) cos (nx ) dx=an∫− π

π

co s2 ( nx ) dx=an π

an=1π ∫

−π

π

f ( x ) cos (nx ) dx

Cálculo de bn:Multipliquemos (1) por sen(px) e integremos entre –π e π.

∫−π

π

f ( x ) sen ( px ) dx=¿¿

¿∫− π

π 12

a0 sen ( px )dx+∑n=1

∫−π

π

an cos nx senpxdx+∫−π

π

bn sennxsenpxdx

Se n = p:

∫−π

π

f ( x ) sen (nx ) dx=∫−π

π

bn se n2 (nx )dx=bn π

bn=1π ∫

−π

π

f ( x ) sen (nx ) dx

Exemplo: 5.1- Determinar a série de Fourier de função f(x) que supomos possuir o período 2π e fazer o

esboço gráfico de f(x) das primeiras três somas parciais.

f(x) = { 1 ,0< x<π0 ,−π<x<0

an=∫−π

π

f ( x ) cos (nx ) dx= 1π

[∫−π

o

0 cos (nx ) dx+∫0

π

1cos (nx ) dx ]

an=1π [ 1

nsen(nx )]=0

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12

π-π π

π

1

1

12

π2

−π2

8

a0=1π [∫

−π

0

0 dx+∫0

π

1 dx ]= 1π

( π )=1

bn=1π [∫

−π

0

0 sen (nx ) dx+∫0

π

sen (nx ) dx ]= 1nπ

¿

bn=−1nπ

¿

f ( x )=12+ 2

π (senx+ 13

sen3 x+…)As somas parciais são:

S1=12

S2=12+ 2

πsen x

S3=12+ 2

π (senx+ 13

sen3 x)

Vimos que para:

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π-π -2π 2πx x

f 1(x) f 2(x)

12

−12

f(x)

9

f ( x )={ 1 ,0<x<π0 ,−π< x<0

nota-se que f(x+2π) = f(x)

A Série de Fourier representada é f ( x )=12+ 2

π (senx+ 13

sen3 x+…)5.2- Vamos determinar a série de Fourier para:

f 1 ( x )={ 12

,0<x<π

−12

,−π<x<0

f 2 ( x )={ 1 ,0< x<20 ,−2 π<x<0

A função f 1 ( x ) é a f(x) deslocada 12 unidade para baixo, logo:

f 1 ( x )= f ( x )−12= 2

π (senx+ 13

sen3 x+…)A função f 2(x) é a mesma f(x), exceto por uma alteração na escala do tempo:

f 2 ( x )= f ( x2 )=1

2+ 2

π (sen x2+ 1

3sen3 x

2+…)

Verificamos que alterar a escala de tempo, altera as freqüências angulares dos termos individuais, mas não altera seus coeficientes. Assim, para calcular os coeficientes, o período pode ser arbitrariamente mudado se isto parecer conveniente.

Exemplos:5.3- Verificar se as funções abaixo satisfazem as condições de Dirichlet.

a¿ f (t )= t−2t ²−t−2

, 0<t<2 π

Para t = 2, f(t) = 00

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t

1

2

13

π-π

f(x)

x

10

f (t )=limn →2

12t−1

=13

Resposta: Sim, pois no ponto t = 2 onde temos uma indeterminação, a descontinuidade é de 1ª espécie.

b¿ f (t )=¿Resposta: Não, pois temos descontinuidade infinita para t = +2 e t = -2.

c ¿ f ( x )=2( 1x−1 ) , 0<x<2π

Resposta: Não, descontinuidade infinita na vizinhança de x = 1.

d ¿ f ( x )={0 ,−π<x<0x ² ,0< x<π

Resposta: Sim, as duas condições são satisfeitas.

e ¿ f ( z )=sen( 1z−1 ) , 0<z<2 π

Resposta: Não, pois na vizinhança de z = 1 temos um número infinito de pontos máximos e mínimos.

5.4- Desenvolver em série de Fourier as funções supostas periódicas de período 2π:

a¿ f (x )={−x ,−π<x<0x , 0<x<π

Resposta: A f(x) satisfaz as condições de Dirichlet.

Cálculo dos coeficientes de Fourier:

a0=1π ∫

−π

π

f ( x ) dx= 1π ∫

−π

0

−xdx+ 1π∫0

π

xdx=¿¿

¿−1π

x ²2 |

−π

0

+ 1π

x ²2 |

0

π

= π ²2 π

+ π ²2 π

an=1π ∫

−π

π

f ( x ) cos (nx ) dx=1π ∫

−π

0

−xcos ( nx ) dx+∫0

π

xcos (nx ) dx

Fazendo a integração por partes:∫udv=uv−∫ vduu = x du = dx

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11

dv = cox(nx)dx v= sen (nx)n

an=−1π {x sen(nx)

n |−π

0

−∫−π

0 sen(nx)n

dx }+ 1π {x sen (nx )

n |0

π

−∫0

π sen(nx)n

dx }an=

−1π

cos (nx )n ² |

−π

0

+ 1π

cos (nx)n ² |

0

π

an=+1π

cos (nx )n ² |

0

π

+ 1π

cos (nx)n ² |

0

π

an=−2π n2 [cos (nπ )−cos0 ]= 2

n ² π[(−1 )n−1]

an={ 0 paran par−4n ² π

paran ímpar

bn=−1π {x cos (nx )

n |−π

0

−∫− π

0−cos (nx)

ndx}+ 1

π {x (−cos ( nx ))n |

0

π

−∫0

π−cos(nx)

ndx}

bn=+1π {π cos (nπ )

n+ sen(nx)

n ² |−π

0 }+ 1π {−π cos (nπ )

n+ sen (nx )

n ² |0

π}=0

Logo,

f ( x )= π2−4

πcosx− 4

9 πcos3 x−…

b¿ f ( x )=x3 ,−π<x<π

f ( x )=2[( π ²1

−613 )senx−( π ²

2−

623 )sen 2 x+( π ²

3−

633 )sen3 x−…]

c ¿ f (t )=e t ,−π<x<πA f(t) satisfaz as condições de Dirichlet.

Cálculo dos Coeficientes:

a0=1π ∫

−π

π

f ( t ) dt=1π ∫

−π

π

e t dt=1π

et|−ππ

= 1π

(eπ−e−π )

an=1π ∫

−π

π

f (t ) cos (nt )dt= 1π ∫

−π

π

et cos (nt )dt

Sabemos que ∫udv=uv−∫ vdu :

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12

u=e t∴du=e t dt ;dv=cos (nt )dt ∴v=−sen (nt)n

∫ et cos (nt ) dt=e t sen (nt)n

−1n∫e t sen (nt ) dt

u=e t∴du=e t dt ;dv=sen (nt ) dt ∴ v=−cos (nt)n

∫ et cos (nt ) dt=e t sen (nt)n

−1n [−et cos (nt)

n−∫−et cos (nt)

ndt ]

∫ et cos (nt ) dt=1n

et sen (nt )+ 1n ²

e t cos (nt )− 1n ²∫e t cos ( nt ) dt

∫ et cos (nt ) dt+ 1n ² ∫e t cos (nt ) dt=1

ne t sen (nt )+ 1

n ²e t cos ( nt )

(1+ 1n ² )∫et cos (nt ) dt=1

ne t sen ( nt )+ 1

n ²et cos (nt )

Multiplicando por n²:(n ²+1 )∫e t cos (nt ) dt=ne t sen (nt )+e t cos (nt )

∫−π

π

et cos (nt ) dt=ne t sen (nt )+et cos (nt )

n ²+1 |−π

π

Mas , sen (nπ )=sen¿nπ) = 0 cos(nπ) = cos(-nπ) = (−1)n

∫−π

π

et cos (nt ) dt= eπ(−1)n−e−π(−1)n

n ²+1=(−1)n eπ−e−π

n ²+1

an=1π

(−1)n eπ−e−π

n ²+1De modo análogo, calculamos bn:

bn=1π ∫

−π

π

f (t ) sen (nt ) dt=− (−1 )nn (eπ−e−π )π (n2+1)

Logo,

f ( t )=et= 12π

( eπ−e−π )+∑n=1

¿¿

ou e t= eπ−e−π

π¿

d ¿ f (t )={k ,−π< t<0−k ,0<t <π

f ( t )=4 kπ (sent+ 1

3sen3 t+ 1

5sen5 t+…)

5.5- Mais Exemplos de Séries de Fourier

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π-π

g(x)

x

h(x)

-π π x

13

Exemplo1: Considere a função f(x) = x². Seus coeficientes de Fourier são facilmente calculados:

a0=1π ∫

−π

+ π

x ² dx=2 π ²3

an=1π ∫

−π

+ π

x2cos (nx )dx=¿¿

bn=1π ∫

−π

x ² sen(nx)dx=0

É fácil notar que a série de Fourier é uniformemente convergente para todos os valores de x e representa a função:

g ( x )=π2

3+∑

n=1

¿¿

Fica evidente que a série de Fourier de f(x) = x² representa uma extensão periódica dos valores de f(x) no intervalo (-π,π).

6- Funções Pares e Ímpares

Sejam g(x) e h(x) funções definidas no intervalo (-π, π). Diz-se que:g(x) é par se g(-x) = g(x), para todo x.h(x) é ímpar se h(-x) = - h(x), para todo x.

Observações: O gráfico da função par g(x) é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.O valor da função ímpar no ponto zero: h(0) = 0Para calcular os coeficientes de Fourier de uma função par e de uma função ímpar

verifiquemos que:

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14

I ¿∫−π

π

g ( x ) dx=2∫0

π

g (x ) dx

De fato:

∫−π

π

g ( x )dx=∫−π

0

g ( x ) dx+∫0

π

g ( x )dx

¿−∫0

−π

g ( x ) dx+∫0

π

g ( x ) dx

¿−∫0

π

g (−x ) d (−x )+∫0

π

g ( x ) dx

então :∫−π

π

g ( x )dx=−∫0

π

g (x )(−dx)+∫0

π

g ( x )dx

∫−π

π

g ( x )dx=∫0

π

g ( x ) dx+∫0

π

g ( x ) dx=2∫0

π

g (x ) dx

II ¿∫−π

π

h ( x )dx=0

De fato:

∫−π

π

h ( x ) dx=∫−π

0

h ( x ) dx+∫0

π

h ( x ) dx

¿−∫0

−π

h ( x ) dx+∫0

π

h ( x ) dx

¿−∫0

−π

h (−x ) d (−x)+∫0

π

h ( x ) dx

então :∫−π

π

h ( x ) dx=−∫0

π

−h ( x ) (−d (x ) )+∫0

π

h ( x ) dx=0

III) O produto de uma função par g(x) por uma função ímpar h(x) é ímpar.q(x) = g(x).h(x)q(-x) = g(-x).h(-x)q(-x) = g(x).[-h(x)]q(-x) = [-g(x)].h(x)q(-x) = [-q(x)]

IV) O produto de uma função par por uma função par é função par.q(x) = g(x).g(x)q(-x) = g(-x).g(-x)q(-x) = g(x).g(x)q(-x) = q(x)

V) O produto de uma função ímpar por uma função ímpar é uma função par.q(x) = h(x).h(x)q(-x) = h(-x).h(-x)q(-x) = [-h(x)].[-h(x)]

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15

q(-x) = h(x).h(x)q(-x) = q(x)

Conclusão: Se f(x) é uma função par, f(x) = sen(nx) é uma função ímpar e

bn=1π ∫

−π

π

f ( x ) sen (nx ) dx=0

Se f(x) é uma função ímpar, f(x)cos(nx) é ímpar e an=1π ∫

−π

π

f ( x ) cos (nx ) dx=0.

Teorema I: A série de Fourier de uma função periódica par f(x), que possui período 2π, é uma série de Fourier em cossenos.

f ( x )=a0

2+∑

n=1

an cos (nx )

Com coeficientes : a0=2π∫0

π

f ( x ) dx

an=2π∫0

π

f ( x )cos (nx )dx

A série de Fourier de uma função periódica ímpar f(x) que possui período 2π é uma série de Fourier em senos.

f ( x )=∑n=1

bn sen ( nx )

Comcoeficientes : bn=2π∫0

π

f ( x ) sen (nx)dx

Consideremos f(x) par:

f ( x )=a0

2+∑

n=1

(ancos (nx )+bn sen (nx ))(1)

f (−x )=a0

2+∑

n=1

(ancos (−nx )+bn sen (−nx ))

Mas, como f é par, f(-x) = f(x):

f ( x )=a0

2+∑

n=1

(ancos (nx )−bn sen ( nx ))(2)

(1) + (2):

2 f ( x )=a0+2∑n=1

an cos (nx ) ou

f ( x )=a0

2+∑

n=1

an cos (nx )

Por outro lado,

an=1π ∫

−π

π

f ( x ) cos (nx ) dx

Como f(x) e cos(nx) são funções pares, temos:

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f(x)

16

an=1π [∫

−π

0

f (x ) cos (nx ) dx+∫0

π

f ( x ) cos (nx ) dx]¿ 1

π [∫− π

0

f (−x )cos (−nx )d (−x )+∫0

π

f ( x ) cos (nx ) dx]¿ 1

π [∫− π

0

−f ( x )cos ( nx) dx+∫0

π

f ( x ) cos (nx ) dx]= 1π [2∫0

π

f ( x )cos (nx )dx ]Consideremos f(x) ímpar:

f ( x )=a0

2+∑

n=1

( an cos (nx )+bn sen (nx ) )(1)

f (−x )=a0

2+∑

n=1

(an cos (−nx )+bn sen (−nx ) )Como f é ímpar, f(-x) = -f(x)

−f ( x )=a0

2+∑

n=1

(ancos ( nx )−bn sen (nx ))(2)

(1) – (2):

2 f ( x )=2∑n=1

bn sen (nx )∴ f ( x )=∑n=1

bn sen (nx )

Por outro lado:

bn=1π ∫

−π

π

f ( x ) sen (nx ) dx

Como f(x) e sen(nx) são funções ímpares:

bn=1π [∫

−π

0

f (x ) sen (nx )dx+∫0

π

f ( x ) sen ( nx ) dx ]¿ 1

π [∫− π

0

f (−x ) sen (−nx ) d (−x)+∫0

π

f ( x ) sen ( nx ) dx ]¿ 1

π¿

¿ 1π [∫0

π

f ( x ) sen (nx ) dx+∫0

π

f ( x ) sen (nx ) dx ]bn=

2π∫0

π

f ( x ) sen (nx ) dx

Logo, ao calcular os coeficientes nas Séries de Fourier para funções que tenham simetria, é conveniente integrar de –π a π ao invés de 0 a 2π.

Algumas vezes é interessante deslocar temporariamente ou o eixo vertical ou o horizontal ou ambos, de maneira a criar uma função par ou ímpar e usar as simplificações para formas de ondas simétricas.

Exemplos:6.1- Determinar a Série de Fourier da função:

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xπ 2π 3π-π-2π-3π

-π π 2π-2π

1

1

f 1(t)

t

f 1(t)

17

f ( x )={ xπ

, 0<x<π

2− xπ

, π<x<2π

Como f(x) é uma função que apresenta simetria, é conveniente integrá-la no intervalo (-π, π).Cálculo dos Coeficientes:

Como f(x) é par ; bn=0.

a0=2π∫0

π

f ( x ) dx∴a0=2π∫0

π xπ

dx∴ a0=2π2

x2

2 |0

π

=1

an=2π∫0

π

f ( x )cos (nx )dx ∴an=2π∫0

π xπ

cos (nx )dx= 2π ²∫0

π

xcos (nx )dx

Integral que foi calculada anteriormente:

an={ 0 paran par−4

n ² π ²paran ímpar

Portanto,

f ( x )=12− 4

π ² (cosx+ 19

cos3 x+ 125

cos5 x+…)6.2- Determine a Série de Fourier para f(t).

Embora pudéssemos determinar a série de f(t) diretamente vamos relocalizar os eixos a fim de usar as relações de simetria, pois a f(t) não é nem par nem ímpar.

1º Caso: A subtração de uma constante de 12 produz uma função ímpar f 1 ( t ) .

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-2π -π π 2π t

12

−12

f 2(t)

1

tπ2

3 π2

−π2

−3π2

18

Logo, a0=an=0

bn=2π∫0

π

f 1 (t ) sen (nt ) dt

bn=2π∫0

π 12

sen (nt ) dt= 1nπ

[cos (nt )]|0π= 1

nπ(1−cos (nπ ))

bn={ 0 para n par2

nπpara nímpar

f 1 ( t )= 2π (sent+ 1

3sen 3t + 1

5sen5t +…)

Portanto,

f ( t )=12+ 2

π (sent+ 13

sen3 t+ 15

sen5 t+…)2º Caso: Vamos mudar o eivo vertical para obter uma função par f 2 ( t ) .

Logo, bn=0

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19

a0=2π∫0

π

f 2 (t )dt

an=2π∫0

π

f 2 (t ) cos (nt ) dt

an=2π

¿

an=2π

¿

an=¿

f 2 (t )=12+ 2

π (cost−13

cos 3t + 15

cos5 t−…)Portanto,

f (t )=12+ 2

π [cos(t− π2 )−1

3cos3(t− π

2 )+ 15

cos5( t−π2 )−…]

Como,

cos (t−π2 )=costcos ( π

2 )+sentsen( π2 )=sent

cos (3 t−3 π2 )=cos3 tcos( 3 π

2 )+sen3 tsen( 3π2 )=−sen3 t

Podemos reescrever f(t):

f ( t )=12+ 2

π (sent+ 13

sen3 t+ 15

sen5 t+…)Como no resultado anterior.

7- Funções com Período Arbitrário

Até agora consideramos as funções periódicas de período 2π. Por uma simples mudança de variável podemos encontrar a Série de Fourier de uma função f(t) de período T qualquer.

Esta mudança de variável é feita pela seguinte transformação linear.

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20

Seja f(t) definida no intervalo [−T2

, T2 ].

t=ax+b onde {−π<x<π−T

2<t < T

2

T2=aπ+b (1 ) e−T

2=−aπ+b(2)

Somando membro a membro (1) e (2):

0=0+2b∴b=0

Substituindo em 1:

T2=aπ∴a= T

2 π

t= T2 π

x⟶x=2 πT

t

Vamos, pois, trocar a variável t por x, ondex=2πT

t, logo a f ( T2π

x ) é definida no intervalo (-

π,π).

Assim , f ( t )=f ( T2 π

x)=a0

2+∑

n=1

[a¿¿n cos (nx )+bn¿sen (nx )]¿¿

Onde ,a0=1π ∫

−π

π

f ( T2π

x)dx ,

an=1π ∫

−π

π

f ( T2 π

x )cos (nx )dx , bn=1π ∫

−π

π

f ( T2 π

x)sen ( nx ) dx

Para simplificar os cálculos, façamos x=2πT

t ∴dx=2 πT

dt

f ( t )=a0

2+∑

n=1

∞ [an cos( 2 nπT

t )+bn sen ( 2 nπT

t )]Onde ,a0=

1π ∫

−T2

T2

f ( t ) 2πT

dt= 2T ∫

−T2

T2

f (t ) dt

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21

an=2T ∫

−T2

T2

f ( t ) cos( 2 nπT

t )dt ebn=2T ∫

−T2

T2

f (t ) sen ( 2nπT

t)dt

O intervalo de integração pode ser substituído por qualquer intervalo de comprimento T, por exemplo, 0 < t < T.

O Teorema I se verifica para funções pares e ímpares, periódicas de período T qualquer.

Exemplos:

7.1- Determinar a Série de Fourier da função f(t), periódica de período T=4.

f ( t )={0quando−2<t ←1 ,K quando−1< t<1 ,

0 quando 1<t <2

Temos:

an=2T ∫

−T2

T2

f ( t ) cos( 2 nπT

t )dt

Como f(t) é par, bn = 0 e an = 2 2T ∫

0

T /2

f (t )cos ( 2 nπT

t)dt

a0=∫0

2

f ( t ) dt=∫0

1

kdt+∫1

2

0 dt=kt|0

1

=k

an=∫0

2

f ( t ) cos( nπ2

t)dt=∫0

1

k cos( nπ2

t)dt=2 knπ

se n( nπ2

t)|0

1

=2 knπ

sen( nπ2 )

an=¿

f ( t )=a0

2+∑

n=1

ancos ( 2 nπT

t)= k2+ 2 k

π (cos ( π2

t )−13

cos ( 3π2

t)+15

cos(5 π2

t)−…)

8- Séries em Senos e Séries em Cossenos

Desenvolvimento de meio período

Seja f(t) de período T=2L. Se f(t) for par a série de Fourier fica:

f(t)

-2 -1 1 2 t

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22

f ( t )=a0

2+∑

n=1

ancos ( 2 nπT

t )ou f ( t )=a0

2+∑

n=1

an cos( nπL

t )(1)Com coeficientes:

an=1L ∫

−L

L

f (t ) cos( nπL

t)dt=2L∫0

L

f ( t )cos ( nπL

t)dt (2)

a0=2L∫0

L

f (t )dt

Se f(t) for ímpar:

f (t )=∑n=1

bn sen ( nπL

t)(3)

Com coeficientes:

bn=2L∫0

L

f (t )sen( nπL

t)dt(4)

f(t) prolongada como

função par

prolongamento periódico ímpar

OBS: Constatamos que 2 e 4 empregam unicamente os valores de f(t) do intervalo (0,L).

Para uma função definida neste intervalo, podemos formar as séries 1 e 3. Se a função satisfaz as condições de Dirichlet, ambas as séries representam a função no intervalo (0,l). Fora

L -L L

L-L

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23

deste intervalo, a série 1 representará o prolongamento periódico par da f(t), tendo período 2L, e a 3 o prolongamento ímpar de f(t).

Exemplos:

8.1- Encontrar a Série de Fourier em cossenos da função f(t) definida no intervalo (0,L) e fazer o gráfico do prolongamento periódico correspondente.

f ( x )={1 se 0<t< L/20 se L/2<t< L

a0=2L∫0

L

f (t )dt= 2L [∫0

L/2

1 dt +∫L /2

L

0dt ]= 2L

t|0

L/ 2

=1

an=2L∫0

L

f (t )cos ( nπL

t )dt= 2L [∫0

L/2

cos( nπL

t)dt+∫L /2

L

0cos ( nπL

t )dt ]=¿

¿ 2L

Lnπ

sen ( nπL

t)|0

L/2

= 2nπ (sen ( nπL

L 2 )−sen0)= 2nπ

sen( nπL )

an={ 0 sené par2

nπ(−1 )

n−12 paran ímpar

Logo,

f ( t )=12+ 2

π [cos( πL

t)−13

cos( 3 πL

t)+ 15

cos( 5πL

t)−…]8.2- Verificar se as funções são pares, ímpares, ou nem pares e nem ímpares.

a) f(x) = senx + cosx

f(-x) = sen(-x) + cos(x)= -senx + cosx

logo, função nem par e nem ímpar

b) f(x) = x2cos(nx)

f(-x) = (-x)2cos(-nx) = x2cos(nx) = f(x)

logo, função par

-L -L/2 L/2 L t

f(t)

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24

c) f(x) = x|x|

f(-x) = -x|-x| = - x|x| = -f(x)

logo, função ímpar

d) f(x) = ex

f(-x) = e –x =1/e

logo, função nem par e nem ímpar

e) f(x) = x3senx

f(-x) = (-x3)sen(-x) = -x3[-sen(x)] = x3senx = f(x)

logo, função par

8.3- Determinar a série de Fourier das funções periódicas de período T:

a) f (t )={1 ,−1<t <00 , t=0

−1 ,0<t<1;T=2

Como f(t) é ímpar, a0 = an = 0.

bn=2T ∫

−T2

T2

f ( t ) sen (2 nπtT )dt= 4

T ∫0

T2

f ( t ) sen (2 nπtT )dt=4

2∫0

22

(−1 ) sen( 2nπt2 )dt=¿

¿2 ¿¿

Nota-se que:

bn={ 0 , se n é par−4nπ

, se né ímpar

Logo:

f (t )=∑n=1

+∞

bn sen (2 nπtT )

f (t )=−4π

¿

b) f(x) = x , 0 ≤ x ≤ 2 , T = 2 2

f(x)

-1-1

1

1

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x

25

a0=2T ∫

0

T

f ( x )dx=22∫0

2

xdx= x2

2 |0

2

=2

an=2T ∫

0

T

f ( x) cos ( 2nπxT )dx=2

2∫02

x cos( 2 nπx2 )dx=¿

¿ x sen (nπx )nπ |

0

2

−∫0

2 sen(nπx)nπ

dx= x sen(nπx)nπ |

0

2

+cos (nπx )

n2 π2 |0

2

=0

bn=2T ∫

0

T

f ( x) sen( 2nπxT )dx=2

2∫02

x sen (nπx )dx=¿¿

¿−x cos (nπx )nπ |

0

2

+∫0

2 cos (nπx )nπ

dx=−x cos (nπx )nπ |

0

2

+ sen (nπx)n2 π2 |

0

2

=−2nπ

Logo:

f ( x )=1− 2π (sen (πx )+ sen (2 πx )

2+

sen (3 πx)3

+…)8.4- Representar por meio da Série de Fourier em co-senos e senos as seguintes funções e

fazer o prolongamento periódico correspondente:

a¿ f (x )={ x , 0<x<2x−2 , 2<x<4 ; T = 4

Prolongamento periódico par

Como f(x) é par, bn = 0.

a0=2T ∫

0

T

f ( x )dx= 24∫0

4

f (x ) dx=12 [∫0

2

xdx+∫2

4

( x−2 ) dx ]=¿¿

x-6 -4 -2 0 2 4 6

f(x)

2

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26

¿ 12 [ x2

2 |0

2

+( x2

2−2 x)|2

4]=12 [2−(−2)]=2

an=2T ∫

0

T

f ( x) cos ( nπxT )dx=2

4∫04

f ( x )cos ( nπx4 )dx=¿

¿ 12 [∫0

2

xcos ( nπx4 )dx+∫

2

4

( x−2 )cos ( nπx4 )dx]

Cálculo da integral:

∫ xcos ( nπ x4 )dx

{ u=x→ du=dx

dv=cos ( nπx4 )dx → v= 4

nπsen ( nπx

4 )∫ xcos ( nπx

4 )dx=4 xnπ

sen(nπx4 )−∫ 4

nπsen ( nπx

4 )dx=¿

¿ 4 xnπ

sen( nπx4 )+( 4

nπ )2

cos(nπx4 )

Logo:

an=12¿

−2 4nπ [sen ( nπx

4 )]|24}

an=12 {−16

n2 π 2 +16

n2 π2 (−1)n+8

nπ sen ( nπ2 )}= 8

n2 π2 [−1+(1)n ]+ 4nπ sen ( nπ

2 )Nota-se que:

{ an=0 paran par

an=−16n2 π2 +

4nπ

(−1)n−1

2 pa ranímpar , n=2k+1

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27

Assim:

f ( x )=a0

2+∑

n=1

+∞

an cos( nπx4 )

f ( x )=1+∑k=1

+∞

( −16(2 k+1)2 π2 +

4 (−1)k

(2 k+1) π )cos( (2 k+1) πx2 )

b) f(x) = cos x , 0<x<π

Como f(x) é ímpar, a0 = an = 0.

bn=2T ∫

0

T

f ( x) sen( nπxT )dx= 2

π∫0π

cos x sen( nπxπ )dx= 2

π∫0π

cos x sen (nx ) dx

Lembrando que: senacosb=12 [sen ( a+b )+sen (a−b)]

bn=2π

12∫0

π

sen [ (n+1 ) x ]+sen [ (n−1 ) x ] dx=12 [−cos [ (n+1 ) x ]

n+1−¿

−cos [ (n−1 ) x ]n−1 ]|0

π

=12 [−cos [(n+1)π ]

n+1−

cos [(n−1)π ]n−1

+ 1n+1

+ 1n−1 ]=¿

¿ 1π [1−cos [(n+1)π ]

n+1+

1−cos [(n−1) π ]n−1 ]

Nota-se que:

cos [(n+1)π ]={1 , se n=2 k+1−1, sen=2 k

b2k=1π [ 2

2k+1+ 2

2 k−1 ]= 1π ( 8 k

4 k2−1 )Logo:

1

-1

π2

π

f(x)

x

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28

f ( x )=∑k=1

+∞ 8π ( k

4 k 2−1 )sen (2 k x )

9- Mudança de intervalo

Até aqui, tratamos exclusivamente de funções nos intervalos [-π, π] e [0, π]. Para muitas finalidades, entretanto, esta colocação é muito restritiva, e agora nos propomos a generalizar nossos resultados para um intervalo arbitrário [a, b]. Mas, ao invés de começar imediatamente com o caso geral, será mais simples considerarmos primeiro os intervalos da forma [-p, p] e seus espaços euclidianos cp[-p,p]. Porque, aqui, a situação pode ser tratada com presteza.

Como efeito, é óbvio que as funções

1 ,cos( πxp ) , sen( πx

p ) ,cos (2 πxp ) , sen(2 πx

p ) ,…

são mutuamente ortogonais em cp[-p, p]. Além disso, justamente como n ocaso em que p = π, pode-se mostrar que essas funções formam uma base deste espaço, e, por conseguinte, que as suas séries ortogonais associadas (as quais, diga-se de passagem, denominam-se ainda séries de Fourier) convergem em média. E, finalmente, levando-se na devida consideração o comprimento do intervalo, todas as nossas observações concernentes à convergência pontual são válidas neste contexto.

Para obtermos as fórmulas para os coeficientes de Fourier de uma função de cp[-p, p], notemos que

∫−p

p

dx=2 p ,∫− p

p

cos2( nπxp )dx=¿∫

−p

p

sen2( nπxp )dx=p¿

Então pela fórmula,

f ( x )=a0

2+∑

k=1

∞ [an cos( nπxp )+bn sen( nπx

p ) ](média)

onde

an=1p ∫

− p

p

f (x ) cos ( nπxp )dx ,bn=¿ 1

p∫− p

p

f ( x ) sen( nπxp )dx ¿

para todo n. E, com isto, encerramos.

A discussão acima pode ser facilmente adaptada para tratar do espaço euclidiano cp[a,b]. Com efeito, se fizermos 2p = b – a de modo que [a, b] = [a, a + 2p], as funções formarão também uma base para cp[a, a + 2b]. Isto nos leva imediatamente às seguintes fórmulas para o cálculo do desenvolvimento em série de Fourier de uma função f em cp[a, b]:

f ( x )=a0

2+∑

n=1

∞ [an cos( 2nπxb−a )+bn sen( 2nπx

b−a )](média)

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29

em que

an=2

b−a∫ab

f ( x ) cos( 2 nπxb−a )dx ,bn=

2b−a∫a

b

f (x ) sen ( 2nπxb−a )dx ,

para todo n.

Exemplo:

9.1- Determine a série de Fourier da função f.

f ( x )={x−2 ,2≤ x ≤ 34−x ,3 ≤ x ≤ 4

As fórmulas dão:

an=2

b−a∫ab

f ( x ) cos( 2 nπxb−a )dx=2

2∫24

f ( x ) cos(2 nπx2 )dx=∫

2

4

f ( x ) cos (nπx ) dx

bn=2

b−a∫ab

f ( x ) sen ( 2nπxb−a )dx=2

2∫24

f (x ) sen ( 2nπx2 )dx=∫

2

4

f ( x ) sen (nπx ) dx

Embora essas integrais possam ser calculadas diretamente, os cálculos podem ser simplificados consideravelmente, mediante o seguinte raciocínio.

Designemos por F a extensão periódica de f a todo o eixo dos x. Então, as funções F(x)cos(nπx) e F(x)sen(nπx)são periódicas com período 2, e temos

∫a

a+2

F ( x )cos (nπx )dx=¿∫2

4

f ( x )cos (nπx ) dx ¿

∫a

a+2

F ( x ) sen (nπx ) dx=¿∫2

4

f ( x ) sen (nπx ) dx¿

para qualquer número real a. Neste ponto nos apoiamos no fato óbvio de f ser contínua por partes em ]-∞,∞[ com período 2p. Então,

∫a

a+2 p

f ( x ) dx= ∫b

b+2 p

f ( x )dx

para qualquer par de números reais a, b. Fazemos agora a = -1 para obter

an=∫−1

1

F ( x ) cos (nπx ) dx ,bn=∫−1

1

F ( x ) sen ( nπx ) dx

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Mas, no intervalo [-1,1], F coincide com a função par |x|. Donde bn=0 para todo n, e

an=2∫0

1

xcos (nπx ) dx . Portanto,

a0=1 , ak={ −4n2 π2 ,n ímpar

0 , n par ,n ≠ 0

Assim,

f ( x )=12− 4

π ² (cosx+ 19

cos3 x+ 125

cos5 x+…)10- Forma complexa das séries de Fourier

O desenvolvimento da série de Fourier

f ( x )=a0

2+∑

n=1

∞ [an cos( nπxL )+bn sen( nπx

L ) ]onde – L ≤ x ≤ L

pode ser escrito sob forma complexa. Escreva:

cos ( nπxL )=1

2(e i nπx

L +e−i nπx

L )

sen(nπxL )=1

2(ei nπx

L −e−i nπx

L )

e introduza estas expressões na série. É conveniente definir:

cn={12 (an−i bn ) ,(n>0)

12 ( an+ibn ) ,(n<0)

12

a0 ,(n=0)

Então a série de Fourier pode ser escrita em sua forma complexa:

f ( x )= ∑n=−∞

+∞

cn ei nπx

L onde L≤ x≤ L

A conveniência desta forma é óbvia.

Das fórmulas para an e bn segue-se a fórmula para cn:

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cn ¿1

2 L ∫−L

+ L

f (x )e−i nπx

L dx

Observação:

Embora a série de Fourier apareça agora sob forma complexa, sua soma f(x) é ainda suposta real. Neste caso, as propriedades seguintes são facilmente verificadas:

1) c0 é real; cn*,

2) Se f(x) é par, todos os cn são reais,3) Se f(x) é ímpar, c0 = 0 e todos os cn são imaginários puros.

Considere agora as funções complexas da variável real x. Elas podem também ser desenvolvidas em série de Fourier e agora a forma complexa da série torne-se mais natural. A fórmula para cn não se altera, mas as três propriedades acima não mais se verificam.

Pode-se mostrar, no entanto, que:a) Se f(x) for par, então c-n = cn eb) Se f(x) for ímpar, então c-n = -cn (e c0 = 0).

Exemplo:

10.1- A função f(x) pode ser representada por uma série de Fourier complexa.

f (x){0 ,−π<x≤ 01, 0<x ≤ π

Os coeficientes serão:

c0=1

2 π∫0π

dx= 12

cn=1

2π∫0π

e−inx dx=1−e−inπ

2 πni ={ 0 ,(n=par)1

πni,(n=ímpar )

Portanto:

f ( x )=12+ 1

πi ∑n=−∞

n=ímpar

+∞ 1n

einx