MA - Mecânica Aplicada Prof. Dr. Cláudio S. Sartori...

MA - Mecânica Aplicada – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori – Revisão – 2° Bimestre

Exercícios de Livros (Beer Johnston, Kraige, Hibbeler)

1

1

Vibrações Forçadas

Vibrações de corpos rígidos

1. Um cilindro de 5 kg está suspenso por uma

mola de constante igual a 320 N/m e está submetido a

uma força periódica vertical m fP P sen t , onde

14mP N . Determine a amplitude do movimento do

cilindro para

(a) f = 6 rad/s e

(b) f = 12 rad/s.

2. Um cilindro de massa m suspenso de uma

mola de constante k está sob a ação de uma força

periódica vertical de módulo m fF F sen t .

Determine a faixa de valores de f para os quais a

amplitude de vibração excede duas vezes a deflexão

estática produzida por uma força de modulo mF .

3. No Problema 2 determine a faixa de valores

de f para os quais a amplitude de vibração é menor que a

deflexão estática produzida por uma força de módulo

constante mF .

4. Um pêndulo simples de comprimento l está

preso a um cursor C, que é forçado a deslocar-se

horizontalmente de acordo com a relação

C m fx sen t . Determine a faixa de valores de

f para a qual a amplitude do movimento da massa

exceda 2m. (Suponha que m é pequeno em comparação

ao comprimento l do pêndulo.)

Suponha agora que:

m = 1.2 kg, m = 10 mm e ff = 0.5 Hz e l = 600 mm e

a massa do colar é 1.4 kg. Determine: (a) a amplitude do

movimento e (b) a amplitude da força Fm e a força F(t)

necessária aplicada no colar para manter esse movimento.

5. No Problema 4, determine a faixa de valores

de f para a qual a amplitude do movimento da massa seja

maior que 3 m .

6. Um motor de 125 kg é suportado por uma viga

leve horizontal. O desbalanceamento do rotor é

equivalente a uma massa de 25 g localizada a 200 mm do

eixo de rotação. Sabendo que a deflexão estática da viga

devida ao peso do motor é 6.9 mm, e g = 9.81 m/s2,

determine:

(a) a velocidade (frequência, em rpm) em que

ocorrerá a ressonância;

(b) a amplitude do estado estacionário do motor

na freqüência de 720 rpm.

7. Resolva o Problema 6 supondo que o motor de

125 kg seja suportado por um conjunto de 4 molas.

8. Quando se aumenta lentamente a velocidade de

um motor, suportado por molas, de 200 para 300 rpm, a

amplitude de vibração devida ao desbalanceamento do

rotor decresce continuamente de 0.125 in para 0.4 in.

Determine a velocidade para a qual ocorrerá ressonância.

9. Para o sistema abaixo, a frequência angular da

força aplicada é f. Se a amplitude de força Pm é 100N,

determine a amplitude de deformação de xm para:

(a) 10f

rad

s (b) 19f

rad

s

(c) 30f

rad

s

mF F sen t

10. Um motor de 40 lb (de peso) é suportado por

quatro molas, cada uma de constante 225 lb/in. O motor é

forçado a mover-se verticalmente e a amplitude

observada de seu movimento é de 0.05 in a uma

velocidade de 1200 rpm. Sabendo que o peso do rotor é 9

lb, determine a distância entre o centro de massa do rotor

e o eixo da árvore.

1in = 1 ft/12 e g = 32.2 ft/s²



2

2

11. Um motor de peso 400 lb (12.4224 lb.s2

/ft) é suportado por molas que têm uma constante de 1200

lb/in. O desequilíbrio do rotor é equivalente a um peso de

1 oz (0.001941 lb.s2/ft) localizado 8 in a partir do eixo de

rotação. Determinar a gama de valores permissíveis da

velocidade do motor, se a amplitude da vibração não deve

exceder 0.06 in.

12. A barra AB está rigidamente presa à

carcaça de um motor de velocidade constante. Quando um

cursor de massa m é colocado sobre a mola, observa-se

que vibra com amplitude de 15 mm. Quando dois

cursores, cada um de massa m, são colocados sobre a

mola, a amplitude observada é de 18 mm. Que amplitude

de vibração deve ser esperada quando três cursores, cada

um de massa m, forem colocados sobre a mola? (Obtenha

duas respostas.)

13. Uma pequeno bloco A de 20 kg está ligado

à haste de BC massa negligenciável que é apoiado em B

por um pino e suporte e em C por uma mola de k =

constante de 2 kN/m. O sistema pode mover-se num plano

vertical e está em equilíbrio, quando a haste está na

horizontal. A vareta é actuada em C por uma força de

magnitude periódica P = Pm sin(ωf t), onde Pm = 6 N.

Sabendo-se que b = 200 mm, determinar o intervalo de

valores de ωf para o qual a amplitude da vibração do

bloco A superior a 3,5 mm.

14. Três cilindros idênticos A, B e C estão

suspensos por meio de arranjos de molas idênticas que se

prendem numa barra DE, como ilustrado. A barra DE,

move-se verticalmente acordo com a relação

my sen t . Sabendo que as amplitudes da

vibração dos cilindros A e B são 0.0381 m e 0.0191 m,

respectivamente, determine a amplitude de vibração de C.

15. Um disco uniforme de 8 kg e de raio de 200

mm, é soldado a um eixo vertical, com uma extremidade

fixa no disco B. O disco gira um ângulo de 3°, quando um

binário estático de magnitude 50 N.m é aplicado a ele. Se

sobre o disco atuar uma torção periódica de magnitude T =

Tm sen(f.t), onde Tm = 60 N.m, determinar o intervalo de

valores de f para o qual a amplitude da vibração é menor

do que o ângulo de rotação causada por um par estática de

magnitude Tm.

16. Um pêndulo invertido consistindo de uma

barra rígida ABC de comprimento L e a massa m é

suportado por um pino de suporte em C. Uma mola de

constante k é presa à barra em B e é deformada quando a

barra se encontra na posição vertical mostrada. Determine

(a) a freqüência de pequenas oscilações,

(b) o menor valor de a para o qual irá ocorrer

essas oscilações.

17. Um disco de massa m está preso a uma

distância r em relação a um eixo vertical AB que gira com

uma velocidade angular . Denotando por k a constante de

elasticidade do sistema para movimento horizontal do

disco e por e a excentricidade do disco em relação ao eixo,

mostre que a deflexão do centro do eixo pode ser escrita

na forma:

2

0

2

01

er



3

3

18. Um motor de velocidade variável é

rigidamente ligada a uma viga BC. Quando a velocidade

do motor é menor do que 600 rpm ou mais do que 1200

rpm, de um pequeno objecto colocado em A é observada a

permanecer em contacto com a viga. Para velocidades

entre 600 e 1200 rpm o objeto é observado "dançando" e

realmente perder o contato com a haste. Determinar a

velocidade na qual a ressonância irá ocorrer.

19. Um prumo de um pêndulo simples pesa

2.75 lb e possui comprimento l = 24 in como mostrado na

figura; ele é suspenso por um colar C de 3 lb. O colar é

forçado a se mover de acordo com a relação:

C m fx sen t

com amplitude m = 0.4 in e frequência ff = 0.5

Hz. Determine:

(a) a amplitude do movimento do prumo;

(b) a força que deve ser aplicada ao colar C para

manter o movimento.

20. Um simples pêndulo de comprimento l está

suspenso a partir de colarinho C, como indicado na figura

anterior; ele é forçado a mover-se horizontalmente de

acordo com a relação:

C m fx sen t

Determinar a gama de valores de f para que a

amplitude do movimento do pêndulo é inferior a m.

(Assume que m é pequeno comparado com o

comprimento l do pêndulo.)

21. Um pequeno reboque com massa total de

250 kg é suportado por duas molas, cada uma de

constante 10 kN/m. O reboque é puxado sobre uma estrada

cuja superfície pode ser aproximada por uma curva

senoidal de 40 mm de amplitude e 5 m de comprimento de

onda (isto é, a distância vertical de uma crista a um cavado

é de 80 mm). Determine

(a) a velocidade em que ocorrerá ressonância, e

(b) a amplitude de vibração do reboque a uma

velocidade de 50 km/h.

22. Um bloco A pode mover-se sem atrito no slot como

mostrado e é submetido por uma força de magnitude

m fP P sen t , com Pm = 20 N e f = 2 rad/s.

Uma mola de constante k é anexada ao na parte inferior do

bloco A e na superior de um bloco de 22 kg B. Determinar:

(a) o valor da constante k que vai impedir uma

vibração estado estacionário do bloco A,

(b) a amplitude da vibração correspondente do bloco B.

23. A barra homogênea de 3,00 kg mostrada na figura está

presa a uma mola de constante k = 900 N/m. Se a extremidade da

barra é abaixada de 25 mm e então solta, determine

(a) o período de vibração e

(b) a máxima velocidade da extremidade A.

24. A barra homogênea de 5.44 kg está presa a uma mola de

constante k = 525 N/m.A extremidade B da barra for abaixada de

12.7 mm e, então, solta, determine

(a) o período de vibração e

(b) a máxima velocidade de B.



4

4

25. Uma barra AB de 5.44 kg está rebitada a um disco

homogêneo de 4.35 kg. Uma Corrêa prende-se à borda do disco

e a uma mola que mantém a barra em repouso, horizontalmente.

Se a extremidade A da barra for abaixada de 38.1 mm e

então solta, determine:

(a) de quanto será o período.

(b) a máxima velocidade da extremidade A.

26. Um cilindro homogêneo de 15 lb pode rolar sem

escorregar num plano inclinado e está preso a uma mola AB,

como indica a figura.

Se o centro do cilindro for deslocado de 0.4 in, plano

abaixo, a partir do seu ponto de equilíbrio e, então, solto,

determinar (a) qual será o período de vibração (b) a máxima

velocidade do centro do cilindro.

27. Uma correia, passando pela periferia de um disco de

12 kg, está presa a um cilindro de 4 kg e a uma mola de

constante k = 500 N/m, como indica a figura. O cilindro é

abaixado de 75 mm, a partir de sua posição de equilíbrio e,

então, é solto. Determine (a) o período de vibração e (b) a

máxima velocidade do cilindro. Suponha que o atrito é

suficiente para impedir o escorregamento da correia sobre o

disco.

28. No Problema 27, determine:

(a) a freqüência de vibração e

(b) a máxima tensão entre em C e B.

29. A barra homogênea de 8 kg está presa a uma mola de

constante k = 500 N/m. A extremidade A da barra for abaixada

uma pequena distância e, então, solta, determine

(a) a frequência de vibração e

(b) o menor valor da constante k para o qual irá ocorrer a

oscilação..

30. Duas hastes uniformes, cada um de massa m = 12 kg e

comprimento L = 800 mm, são soldadas juntas para formar o

conjunto mostrado. Sabendo que a constante de cada mola é k =

500 N/m e que em A é dado um pequeno deslocamento e

liberado, determinar a freqüência do movimento resultante.

31. Uma barra homogênea AB de 3.00 kg está presa a uma

mola de constante 900 N/m, como indica a figura. Coloca-se em

A um bloquinho C de 0.50 kg.

(a) Se a idade A for então abaixada de o (pequeno) e, a

seguir, for solta, determine o período de vibração.

(b) Determine o máximo valor permissível de o para

que bloco C não perca o contato com durante todo o movimento.

32. Uma barra de massa m e comprimento l está

suspensa por duas molas, cada uma de constante k. Determine a

freqüência de vibração se a barra for

(a) deslocada verticalmente e, solta e

(b) girada de um pequeno ângulo em torno de um eixo

horizontal passando por G e, abandonada

(c) Determine a razão b/l para a qual as freqüências

calculadas nos itens (a) e (b) são iguais.



5

5

33. Uma placa quadrada homogênea de massa m é

mantida num plano horizontal por um pino em B e está presa em

A a uma mola de constante k. Desloca-se ligeiramente o vértice

A e a seguir abandona-se a placa. Determine o período do

movimento subseqüente.

34. Um pêndulo composto e definido como uma placa

rígida que oscila em torno de um ponto fixo O, chamado centro

de suspensão. Mostre que o período de oscilação de um pêndulo

composto é igual ao período de um pêndulo simples de

comprimento OA, onde a distância de A ao centro de massa G é

2kGA

r

O ponto A é definido como o centro de oscilação e coincide

com o centro de percussão definido no Problema 17.66.

35. Um carro esportivo de 1300 kg tem um centro de

gravidade G localizado a uma distância h acima de uma linha

que liga os eixos dianteiro e traseiro. O carro está suspenso a

partir de cabos que estão ligados aos eixos dianteiro e traseiro,

como mostrado. Sabendo-se que os períodos de oscilação são

4.04 s quando L = 4 m e 3.54 s, quando L = 3 m, determinar h, e

o raio de giração do centro de gravidade.

36. Uma placa rígida oscila em torno de um ponto

fixo O. Mostre que o período mínimo de oscilação ocorre

quando a distância r do ponto O ao centro de massa G é igual a

k .

37. Algumas dificuldades aparecem quando se usa um

pêndulo simples ou composto determinação experimental da

aceleração da gravidade g. No caso do pêndulo simples, o fio

verdadeiramente desprovido de massa, enquanto no caso do

pêndulo composto, torna-se localizar exatamente o centro de

massa. Neste último caso a dificuldade pode ser contornada se

um pêndulo reversível ou de Kater. Constróem-se dois pontos de

apoio A e B não-simétricos em relação ao centro de massa e

mede-se a distância l com grande precisão. Ajusta-se a do

contrapeso D de modo que o período de oscilação t quando se

usa o ponto de suspensão A é idêntico o período de oscilação

quando se usa B. Mostre que t é igual ao de pêndulo ideal de

comprimento l e que:

2

2

4 lg

38. 38.1 - Um arame dobrado homogênea para

formar a figura mostrada é ligado a um suporte pino em A.

Sabendo que r = 220 milímetros e que o ponto B

é empurrado para baixo 20 mm e liberada, determinar a

magnitude da a velocidade de B, 8 s mais tarde.

38.2 Determine o período de pequenas oscilações

de uma placa homogênea semicircular de raio r quando

(a) suspensa por A.

(b) quando suspensa por B.

39. Uma haste CD uniforme de 5 kg e de

comprimento l = 0,7 m é soldada em C por duas varetas elásticas,

que fixa as extremidades de A e B e são conhecidos por ter uma

constante de mola de torção combinadas K = 24 N.m/rad.

Determinação do período de pequenas oscilações, se a posição de

equilíbrio de CD é (a) vertical, como mostrado, (b) horizontal.

40. Um disco uniforme de raio r = 250 mm é ligado

em A para uma haste de 650 mm AB de massa negligenciável, a

qual pode rodar livremente num plano vertical sobre B. Se a

haste é deslocada 2° a partir da posição mostrada e libertado,

determinar o magnitude da velocidade máxima do ponto A,

supondo que o disco é (a) livre de rodar em um rolamento em A,

(b) rebitadas à haste em A.



6

6

41. 41.1 Um fio homogêneo dobrado na forma de um

triângulo equilátero de lado l = 250 mm é posto a oscilar com

pequena amplitude. Determine o período das pequenas

oscilações

(a) quando o fio estiver suspenso por um vértice e (b)

pelo ponto médio de um dos seus lados.

41.2 Para a placa triangular equilátero uniforme de

lado l = 300 milímetros, determinar o período de pequenas

oscilações, se a chapa é suspensa a partir de (a) um dos seus

vértices, (b) o ponto médio de um dos seus lados.

42. Duas barras delgadas e homogêneas, cada

uma de massa m estão soldadas na forma de um T, como

indica a figura. Determine a freqüência de pequenas

oscilações do sistema.

43. Remove-se temporariamente a pá AB do

gerador a vento mostrado na figura. Impede-se o gerador

de se mover em torno de y mas as três pás restantes,

rigidamente ligadas, podem oscilar em torno de x.

Supondo que cada pá seja equivalente a uma barra de 36.6

m de comprimento, determine o período das pequenas

oscilações, na ausência de vento.

44. Dois pesos de 40 g estão ligados a A e B para a

borda de um disco uniforme de 1.5 kg de raio r = 100 mm.

Determinar a freqüência de pequenas oscilações quando = 60 °.

45. Uma biela é suportada por um gume no ponto

A; o período das pequenas oscilações, observado, é de

0.895 s. A biela é então invertida e suportada pelo gume

no ponto B, e o período das pequenas oscilações,

observado, é de 0.805. Sabendo que ra + rb = 270 mm,

determine:

(a) a localização do centro de massa G,

(b) o raio de giração baricêntrico k.

46. e 47. Um disco de raio r pode oscilar em

torno do eixo AB a uma distância b do centro de massa G,

como indica a figura,

(a) Determine o período de pequenas oscilações

para b = r.

(b) Determine um segundo valor de b para o qual

o período de oscilação é igual ao obtido na parte (a).

48. Observa-se um período de 3.80 s para as

oscilações angulares do giroscópio de 4 oz, suspenso por

um arame como ilustrado. Sabendo que o período de 3.80

s é obtido quando uma esfera de aço de 1.25 in de

diâmetro é suspensa da mesma forma, determine o raio de

giração baricêntrico do rotor (massa específica do aço =

490 lb/ft3 ).



7

7

49. Suspende-se uma barra de 6 kg por meio de

um fio de aço que constante torsional k = 1.75 Nm/rad.

Dá-se à barra um giro de 180° em torno da vertical e,

então, solta-se o sistema. Determine

(a) o período de oscilação e

(b) a máxima velocidade da extremidade A da

barra.

50. 50.1 - Uma placa fina e circular de raio r =

750 mm está suspensa por três arames comprimento h =

600mm, igualmente espaçados em torno do perímetro da

placa. Determine o oscilação quando

(a) a placa é girada de um pequeno ângulo em

torno de um eixo vertics por seu centro de massa e

liberada e

(b) é dada uma pequena translação horizontal à

seguida, é liberada.

50.2 Uma fina placa rectangular de lados a e b é

suspenso a partir de quatro arames verticais do mesmo

comprimento l. Determine o período de pequena oscilações da

placa quando

(a) é girado através de um pequeno ângulo torno de

um eixo vertical através de seu centro de massa G,

(b) é dado um pequeno deslocamento horizontal numa

direcção perpendicular à AB,

(c) é dado um pequeno deslocamento horizontal em

uma direção perpendicular BC.

51. Uma placa uniforme de 1.8 kg sob a forma de

um triângulo equilátero, suspenso no seu centro de

gravidade a partir de um arame de aço, que é conhecido

por ter uma constante de torção K = 35 mN.m/rad. Se o

prato é rodado 360° em torno da vertical e, em seguida,

libertado, determinar (a) o período de oscilação, (b) a

velocidade máxima de um dos vértices do triângulo.

52. Um disco uniforme de raio r = 20 mm é

soldada no centro de duas hastes elásticas de igual

comprimento com extremidades fixas em A e B. Sabendo

que o disco gira através de um ângulo de 8° quando um

500-mN.m par é aplicado ao disco e que oscila com um

período de 1.3 s, quando o par é removido, determinar

(a) a massa do disco,

(b) o período de vibração, se uma das hastes é

removida.

53. O princípio da conservação de energia

proporciona um meio conveniente para a determinação do

período de vibração de um corpo rígido ou de um sistema

de corpos rígidos que possuam um único grau de

liberdade, uma vez que foi estabelecido que o movimento

do sistema é um movimento harmônico simples ou que

podem ser aproximadas por um movimento harmônico

simples. Escolhendo uma variável apropriada, tal como

uma distância x e um ângulo , nós consideramos duas

posições particulares do sistema: (Chamando T: energia

cinética e V: energia potencial.

1. O deslocamento do sistema é máximo; temos

T1 = 0, e V1 pode ser expressa em termos de amplitude ou

xm ou m, (escolhendo V = 0 na posição de equilíbrio).

2. O sistema passa através da sua posição de

equilíbrio; temos V2 = 0, e T2 pode ser expresso em termos

de velocidade máxima mx ou da velocidade angular

máxima m .

1 1 2 2T V T V

Aplicando a conservação da energia, ache o

período para pequenas oscilações da placa da figura:



8

8

54. Determinação do período de pequenas

oscilações de um cilindro com um raio r, que

r rola sem deslizar no interior de uma superfície curva

com um raio R.

55. Um colar de 1.8 kg A está ligado a uma mola

de constante de 800 N/m, e pode deslizar sem atrito sobre

uma haste horizontal. Se o colar é movido 70 mm para a

esquerda a partir da sua posição de equilíbrio e libertado,

determinar a velocidade máxima e a aceleração máxima

da gola durante o movimento resultante. Use a

conservação da energia.

56. Dois blocos, cada um de peso 3 lb, estão

ligados a links que são conectados à barra BC, como

mostrado. Os pesos dos links e da barra são

insignificantes, e os blocos podem deslizar sem atrito.

Bloco D está ligado a uma mola de constante k = 4 lb/in.

Sabendo-se que o bloco A é movido 0.5 cm a partir da sua

posição de equilíbrio e libertado, determinar a magnitude

da velocidade máxima do bloco D durante o movimento

resultante.

57. Determine o período de vibração para o

pêndulo físico da figura, considerando:

Raio de giração sobre o ponto O:

0.95Ok m

Ponto G: Centro de massa;

Ponto O: Centro de oscilação.

0.9r OG m

58. Um arame homogéneo de comprimento 2l,

dobrado conforme a ilustração, oscila em torno do pino B.

Denotando por τ0 o período de pequenas oscilações

quando β = 0, determine o ângulo β para que o período de

pequenas oscilações seja 2τ0.

59. A barra uniforme de massa m e comprimento l é

articulada em seu centro. A mola da constante k na

extremidade esquerda é ligada a uma superfície fixa, mas a

mola de ponta direita, também da constante k, está ligada a

um suporte o qual é submetido a um movimento

harmônico dada por by b sen t . Determine

freqüência angular C que provoca ressonância.

60. A placa quadrada fina é suspensa a partir de um

rolamento esférico (não mostrado), que se encaixa no

acessório em O. Se a placa é colocada para oscilar em

torno do eixo AA, determinar o período para pequenas

oscilações. Negligenciar a massa e o atrito do rolamento

esférico.



9

9

61. O setor circular de massa m é cortado a partir

de chapa de aço de espessura uniforme e montado numa

chumaceira no seu centro S de modo que pode oscilar

livremente em relação ao plano vertical. Se o setor é

liberado a partir do repouso com = 0 derivar sua

equação diferencial de movimento assumindo

amortecimento desprezível. Determine o período para

pequenas oscilações em torno da posição = /2.

62. Um disco homogêneo de raio C está preso em

A por meio de uma junta esférica. Determine a frequência

das oscilações de pequena amplitude

(a) no plano do disco (eixo AA) e

(b) numa direção perpendicular ao disco (eixo BB).

63. Observa-se que quando um peso de 85 lb

está preso à borda de um volante de 14 in de diâmetro, o

período das pequenas oscilações do volante é 1.26 s.

Despreze o atrito no eixo e determine o momento de

inércia baricêntrico do volante.

64. Uma haste uniforme de massa m e

comprimento l é soldada numa extremidade a um aro

circular de raio l. A outra extremidade encontra-se no

centro do aro. Determinar o período para pequenas

oscilações sobre a posição vertical da barra, se o aro rola

na superfície horizontal, sem escorregar.

65. A barra homogénea ABC de 2.27 kg está

preso a duas molas como indica a figura. Dá-se um

pequeno deslocamento à extremidade Ce se libera o

sistema. Determine a frequência de vibração da barra.

66. A pequena esfera de massa m é montado na

haste de luz articulado em O e suportado na extremidade A

da mola vertical de rigidez k. A extremidade A é deslocado

um pequeno y0 distância abaixo da posição de equilíbrio

horizontal e liberado. Pelo método de energia, derivar a

equação diferencial do movimento para pequenas

oscilações da haste e determinar a expressão para a sua

frequência natural n de vibração. O amortecimento é

negligenciável.

67. Solda-se a barra AB de 5 kg a um disco

homogéneo de 8 kg. Uma mola de nstante 450 N/m

encontra-se presa ao disco, mantendo a barra na posição

mostrada na figura. Desloca-se ligeiramente a extremidade

B e libera-se o sistema. Determine o período de vibração

da barra.

68. A massa da haste delgada uniforme é 3 kg.

Determinar a posição x para a barra de tal modo que o

sistema é um período de 1 s. Suponha pequenas oscilações

sobre a posição de equilíbrio horizontal mostrado.

69. A barra delgada AB de massa m está presa a

dois cursores de massas desprezíveis. Sabendo que o



10

10

sistema repousa num plano horizontal e está em equilíbrio

na posição ilustada determine o período de vibração se se

deslocar ligeiramente o cursor A e, então, se liberar o

sistema.

70. Os discos A e B possuem pesos 30 lb e 12 lb,

respectivamente. Um pequeno bloco C de 5 lb está

preso à borda do disco B. Supondo que não haja

escorregamento entre os discos, determine o período

das pequenas oscilações do sistema.

71. Dois discos homogéneos de 12 lb estão

ligados a unia barra AB de 20 lb, como indica a figura.

Sabendo que a constante da mola é 30 lb/in e que os

discos rolam sem escorregar, determine a frequência de

vibração do sistema.

72. Uma haste AB de 800 g é parafusada em um

disco de 1.2 kg. Uma mola de constante k = 12 N/m está

ligada ao centro do disco em A e para a parede em C.

Sabendo-se que os rolos de disco sem deslizamento,

determinam o período de pequenas oscilações do sistema.

73. A haste delgada de 3 kg AB é aparafusada

em um disco uniforme de 5 kg. Uma mola de constante de

280 N/m está ligada ao disco e então é esticada na posição

ilustrada. Se a extremidade B da haste é dada um pequeno

deslocamento e libertada, determinam o período de

vibração do sistema.

Q 74. Três barras idênticas estão ligadas como

ilustrado. Se 34lb determine a freqüència das pequenas

oscilações do sistema.

75. O invólucro cilíndrico semicircular de raio r,

com pequena espessura de parede uniforme, mas é

colocado em pequena oscilação de balanço sobre a

superfície horizontal. Se não ocorre escorregamento,

determinar a expressão para o período de cada oscilação

completa.

76. Uma barra homogênea de comprimento L é

sustentada em A por uma junta e por um fio vertical CD.

Deduza uma expressão para o período de oscilação da

barra se se desloca ligeiramente a extremidade B e então se

libera o sistema.

77. O anel circular de raio r é suspenso a partir de

um casquilho (não mostrado), que se encaixa no acessório

pequeno bola em O. Determinar o valor da razão entre os

períodos de pequenas oscilações em torno dos eixos BB e

AA. Negligenciar o pequeno deslocamento, massa e atrito

da esfera de rolamento.



11

11

78. Um pequeno colar de massa de 1 kg é

rigidamente ligado a uma haste uniforme de 3 kg de

comprimento L = 750 mm. Determine

(a) a distância d para maximizar a freqüência de

oscilação quando a haste é dado um pequeno

deslocamento inicial,

(b) o período correspondente de oscilação.

79. Uma semi-seção de um tubo encontra-se sobre

um plano horizontal. Gira-se a peça de um pequeno

ângulo e então se libera o sistema. Supondo rolamento

sem escorregar. Determine o período de oscilação.

80. Uma barra delgada de comprimento l está

suspensa por dois arames verticais de comprimento h cada

um, localizado a uma distância 1/2b do centro de massa

G. Determine o período de oscilação quando

(a) a barra é girada de um pequeno ângulo em

torno de um eixo vertical que passa por G e liberada e

(b) é dada uma pequena translação horizontal à

barra ao longo de AB e liberada.

81. A armação retangular é formada de uma haste

delgada uniforme e está suspensa a partir de um

receptáculo (não mostrado), que se encaixa no acessório

pequeno em O. Se o rectângulo é feito para rodar em torno

do eixo determinar a frequência natural para pequenas

oscilações. Negligenciar o pequeno deslocamento, massa e

atrito do acessório.

82. Quando um corpo submerso se move através de

um fluido, as partículas do fluido movem-se em torno do

corpo e, assim, adquirem energia cinética. No caso de uma

esfera que se move num fluido ideal, a energia cinética

total adquirido pelo fluido é 21

4V v , onde é a

densidade de massa do fluido, V é o volume da esfera, e v

é a velocidade da esfera . Considere-se um 500 g de casca

esférica oca de raio 80 milímetros, que é submersa em um

tanque de água por uma mola de constante 500 N/m.

(a) Desprezando o atrito de fluidos, determinar o

período de vibração da casca quando é deslocado

verticalmente e, em seguida, liberado.

(b) resolva a parte (a), assumindo que o tanque é

acelerado para cima a taxa constante de 8 m/s2.

83. Uma fina placa de comprimento l repousa

sobre um semicilindro de raio r. Deduza uma relação para

o período de pequenas oscilações da placa.

84. Determine o período de pequenas oscilações

de um cilindro de raio r que rola sem escorregar no

interior de uma superfície curva de raio R.

r R

(1) G

m

(2)

r

b

B

A l

G

h



12

12

Energia potencial na posição (1):

1

( ) 1 cosp mE P h P R r

221 cos 2

2sen

Para pequenos ângulos, essa aproximação será

utilizada. Então:

1

2

2

mpE P R r

Quando a esfera estiver na posição mais baixa,

sua energia cinética será dada por:

2

2 21 1

2 2m mcE mv I

Como:

m mv R r

m m

R r

r

85. Um cilindro de peso P e raio r está suspenso

por um laço de corda, como mostra a figura. Uma

extremidade da corda está presa diretamente a um suporte

rígido, enquanto a outra extremidade está presa a uma

mola de constante elástica k. Determine o período e a

freqüência de vibração do cilindro.

B

r

B

T0 T

r

A

x B

P a

1iO

N

F O

i

I

Escolhendo o ponto O = A teremos:

1

2iA

N

F A A

i

I T r P r I

Aplicando o teorema dos eixos paralelos: 2_____

2

2A O A

M RI I M AO I M R

2

222

M RT R P R M R

23

22

M rT r P r

Antes da deformação:

0 0 02

PT T P T

Após a deformação:

0 22

PT T k k r

0 22

PT T k k r

23

2 22 2

P M rk r r P r

22 3

42

M rr P k r P r

22 3

42

M rk r

8

3

k

m

2 8 8

3 3

k k

m m

2 32

8

mT T

k

1 8

2 2 3

kf f

m

86. Um disco circular, pesando 100N e de raio

0.2m, está suspenso por um arame como ilustrado. O disco

é girado (torcendo, portanto, o arame) e em seguida

liberado; o período de vibração de torção é de 1.93 s.

Supondo que o momento do binário exercido pelo arame é

proporcional ao ângulo de torção, determine

(a) a constante de torção do arame,

(b) o momento de inércia baricêntrico da

engrenagem e

(c) a velocidade angular máxima alcançada pela

engrenagem quando é girada de 900 e liberada.



13

13

0.2m

Momento de torção:

oM K

K: constante de torção do arame.

1iO

N

F O

i

I

0o

K

I

2

2

2

o

K K

I m R

222

2

m RT T

K

2

1 2

2 2

Kf f

m R

87. Faça uma pesquisa sobre a vibração

equivalente que destrui a ponte abaixo, indicando os

modos vibracionais que causaram a destruição da ponte.



14

14

Oscilações amortecidas.

Oscilações amortecidas e forçadas.

1. No caso do amortecimento subcrítico, os

deslocamentos x1, x2,..., xn, etc., ilustrados na figura,

podem ser supostos iguais aos deslocamentos máximos.

Mostre que a razão entre dois deslocamentos sucessivos,

xn e xn+1 .é constante e que o logaritmo natural desta

razão, chamado de decremento logarítmico, é

2

1

2ln

1

cn

nc

c cx

x c c

xm

xn xn+1

tn tn+1

τ

Solução:

Teremos nesse caso a considerar:

2( ) ( )c

tm

mx t x e sen t

Para dois máximos consecutivos, ocorrendo nos

instantes tn e tn+1, teremos, lembrando a função senθ:

2nt

1 2 52 2

nt

2( ) ( )n

ct

mn m nx t x e sen t

2

2

n

ct

mn mx x e sen

2 1n

ct

mn mx x e

12

1 1( ) ( )n

ct

mn m nx t x e sen t

12

1

5

2

n

ct

mn mx x e sen

12

1 1n

ct

mn mx x e

Fazendo a razão entre xn e xn+1:

1

2

1 2

n

n

ct

mn m

ct

n mm

x x e

xx e

12

1

n n

ct t

n m

n

xe

x

Observando a figura:

1

2n nt t

2

2

1

c

n m

n

xe

x

Aplicando o logaritmo natural:

2

2

1

ln lnc

n m

n

xe

x

Utilizando a propriedade dos logaritmos:

log logn

B Ba n a

E: ln e = 1

1

2ln

2

n

n

x c

x m

Substituindo:

2

0 1c

c

c

21

0

2ln

21

n

n

c

x c

x mc

c

0

21

2

2ln

1

n

n

c

c

x m

xc

c

Como:

02cc m

21

ln 2

1

cn

n

c

c

cx

xc

c

2

1

2ln

1

cn

nc

c cx

x c c

2. Desloca-se o bloco mostrado na figura,

posicionando-o 20 mm abaixo de seu ponto de equilíbrio,

quando, então, é solto. Depois de oito ciclos o

deslocamento máximo do bloco é 12mm. Determinar

(a) o fator de amortecimento c/cc e

(b) o valor do coeficiente do amortecimento

viscoso c.



15

15

Solução:

Do exemplo anterior:

2

1

2ln

1

cn

nc

c cx

x c c

Note que:

71 2

22 3 8

2ln ln ln

1

c

c

c c xx x

x x xc c

71 2

22 3 8

2ln ln ln 7

1

c

c

c cxx x

x x x c c

Mostre que, usando agora a propriedade:

ln ln lnA

A BB

71 21 8

2 3 8

ln ln ln ln lnxx x

x xx x x

71 2 1

2 3 8 8

ln ln ln lnxx x x

x x x x

1

28

2ln 7

1

c

c

c cx

x c c

2 22

1

2

8

4ln 49

1

c

c

c cx

x c c

2

2 221

8

1 ln 196c c

xc c c c

x

2 2

2 221 1

8 8

ln ln 196c c

x xc c c c

x x

2

1

2 8

2

2 1

8

ln

196 ln

c

x

xc c

x

x

2

1

8

2

2 1

8

ln

196 ln

c

x

xc c

x

x

1

8

2

2 1

8

ln

196 ln

c

x

xc c

x

x

1

8

2

2 1

8

ln

196 ln

c

x

xc c

x

x

1

8

2

2 1

8

ln

2

196 ln

x

x kc m

mx

x

3. Um motor de M = 400kg é suportado por 8

molas, cada uma com constante elástica de k = 20 kN/m, e

possui um amortecedor de constante de amortecimento de

c = 8000 Ns/m, e pode-se mover verticalmente. O

desbalanceamento do rotor é causado por uma massa de m

= 20g a r = 30 mm do eixo de rotação. Numa freqüência

de vibração de f =5000 rpm, qual a deformação máxima xm

?

Dados:

22 2

0 0

1 2

mm

c

x

c

c

2

mF m r ; 2 f

mm

e

F

k

M = 400kg; ke = 8.20000=160000N/m

0

16000020

400rad

sp

02 2 400 20 16000 N sc m

c m

m = 0.02kg; r = 0.03m

50002 2 523.59

60rad

sf

2

2 50000.02 2 0.03 164.49

60mF m r N

164.490.001028

160000

mm

e

Fm

k

22 2

0 0

1 2

mm

c

x

c

c

22 2

0.001028

523.29 8000 523.291 2

20 16000 20

mx

60.0010281.503 10

684.08mx m



16

16

4. Mostre que, no caso do amortecimento

supercrítico (c > cc); um corpo nunca passa por sua

posição de equilíbrio O (a) se é liberado com velocidade

inicial nula de uma posição arbitrária ou (b) se parte de O

com uma velocidade inicial arbitrária.

5. Mostre que, no caso do amortecimento

supercrítico (c > cc), um corpo liberado de uma posição

arbitrária não pode passar mais de uma vez por sua

posição de equilíbrio.

6. Na prática é muitas vazes difícil determinar o

decremento logarítmico definido no Problema 1 medindo-

se dois destacamentos máximos sucessivos. Mostre que o

decremento logarítmico pode ser expresso como:

(1 / k) ln (xn / xn+k )

onde k é o número de ciclos entre as leituras do

deslocamento máximo.

7. Num sistema com amortecimento subcrítico (c

< cc), o período de vibração é comumente definido como

o intervalo de tempo = 2/q que corresponde a dois

pontos sucessivos onde a curva deslocamento-tempo toca

uma das curvas-limites ilustradas no exercício 1. Mostre

que um intervalo de tempo

(a) entre um deslocamento máximo positivo e o

deslocamento máximo negativo seguinte é /2,

(b) entre dois deslocamentos nulos sucessivos é

/2 e

(c) entre um deslocamento máximo positivo e o

deslocamento nulo seguinte é maior que /4.

8. Deslocamentos máximos sucessivos de um

sistema massa-mola-amortecedor, semelhante àquele

ilustrado na Fig. 19.10, são 50, 40, 32 e 25,6 mm.

Sabendo-se que m = 12 kg e k = 1500 N/m, determine



viscoso c (Sugestão: Ver os Problemas 19.109 e 19.110

Beer Johnston 5a Edição).







viscoso. (Sugestão: ver os Problemas 19.109 e 19.110

Beer Johnston 5a Edição).

k = 120 N/m c

4 kg

10. O cano de um canhão de campanha peso 6.23

kN e retorna à posição de tiro, após recuar, graças a um

recuperador de constante k = 1.75.106 N/m.

(a) Determine o valor do coeficiente de

amortecimento do mecanismo de recuo que fez o cano

retornar à posição de tiro, no menor tempo possível, sem

oscilação,

(b) Calcule o tempo gasto pelo cano para mover-

se da sua posição e máximo recuo até o ponto médio de

seu percurso total.

11. Supondo-se que se efetuou uma alteração do

cano do canhão tratado no Problema 10, resultando num

aumento de peso de 1.78 kN, determine

(a) a constante k que deve ser empregada para

manter o cano criticamente amortecido e

(b) o tempo gasto pelo cano modificado para

deslocar-se de sua posição de máximo recuo ao ponto

médio de seu percurso total.

12. No caso da vibração forçada com um dado

fator de amortecimento c/cc , determine a razão entre as

freqüências /p (p = 0 ) para que a amplitude de vibração

seja máxima.

13. Mostre que, para um valor pequeno do fator

de amortecimento c/cc

(a) a amplitude máxima de uma vibração forçada

quando = p, e

(b) o valor correspondente o fator de ampliação é

aproximadamente (cc/2)/c.

14. Um motor de 13.6 kg é sustentado por uma

viga leve horizontal que apresenta uma deflexão estática

de 1.27 mm causada pelo peso do motor. Sabendo-se que

o desbalanceamento do rotor é equivalente a uma massa de

28.3 g localizada a 0.191 m do eixo de rotação, determine

a amplitude das vibrações do motor a uma velocidade de

900 rpm, supondo

(a) ausência de amortecimento e

(b) que o fator de amortecimento é c/cc = 0.075.

15. Um motor de 22.7 kg é sustentado por quatro

molas, cada uma possuindo uma e de 1,75. l05 N/m. O

desbalanceamento do rotor é equivalente a uma massa de

28,3g situada a 127 mm do eixo de rotação. Sabendo-se

que o motor é obrigado a se mover verticalmente,

determine a amplitude de vibração do estado estacionário

do motor numa velocidade de 1800 rpm, supondo

(a) que não há amortecimento,

(b) que o fator de amortecimento c/cc é igual a

0.125.



17

17

16. Derivar a equação de movimento para o

cilindro circular homogêneo, que rola sem escorregar. Se

o cilindro de massa é de 50 kg, o raio do cilindro de 0.5

m, a constante da mola 75 N/m, e o coeficiente de

amortecimento 10 N.s/m determinar

(a) a freqüência natural não amortecida;

(b) a razão de amortecimento;

(c) a freqüência natural amortecida;

(d) o período do sistema amortecido.

Além disso, determinar x como uma função de tempo, se

o cilindro é libertado a partir de repouso na posição:

x = - 0,2 m, quando t = 0.

xi

i

F m x c x k x F m x

21

2O O

i

M I F r m r

21 1

2 2

r xF m F m x

r r

0c k F

x x xm m m

132 0 02

m xc k c k

x x x x x xm m m m m

2 20 0

3 3

c k c kx x x x x x

m m m m

17. Um motor de 50 kg é sustentado diretamente

por uma viga leve horizontal que a deflexão estática de 6

mm devida ao peso do motor. O desbalanceamento do

rotor é equivalente a uma massa de 100 g localizada a 75

mm do eixo de rotação. A amplitude das vibrações do

motor é 0,9 mm a uma velocidade de 400 rpm. Determine

(a) o fator de amortecimento c/cc

(b) o coeficiente de amortecimento.

18. Uma plataforma de 200 lb é sustentado por

duas molas, cada uma possuindo uma constante de 250

lb/in. Uma força periódica possui valor máximo igual a

125 lb e o coeficiente de amortecimento é 12 lb.s/in,

determine

(a) a freqüência natural de vibração em rpm

quando não há amortecimento;

(b) a freqüência da força aplicada em rpm para o

caso de máximo fator de magnitude, quando há

amortecimento.

(c) a amplitude da vibração para cada caso (a) e

(b).

19. Determinar a amplitude x do movimento de

estado estacionário da massa de 10 kg, se

(a) c = 500 N.s/m

(b) c = 0

20. Uma plataforma de 90.7 kg, sustentada por

duas molas, cada uma de constante k = 4,38.10N/m, é

submetida a uma força periódica de 556N de módulo

máximo. Sabendo que o coeficiente de amortecimento é

1.75 kN s/m, determine

(a) a freqüência natural, em rpm, da plataforma,

se não há amortecimento,

(b) a freqüência, em rpm, da força periódica

correspondente ao valor máximo do fator de ampliação,

supondo amortecimento, e

(c) a amplitude do movimento real da plataforma

para cada uma das freqüências encontradas nos itens (a) e

(b).



18

18

21. Um elemento de máquina de pesagem 800 lb

é suportado por duas molas, tendo cada um deles uma

constante a 200lb/in. Uma força periódica do valor

máximo 30 lb é aplicada ao elemento com uma frequência

de 2.5 ciclos por segundo. Sabendo-se que o coeficiente

de amortecimento é 8 lb.s/in, determinar a amplitude da

vibração de estado estacionário do elemento.

22. A suspensão de um automóvel pode ser

representada pelo sistema simplificado mola-amortecedor

como ilustrado,

(a) Escreva a equação diferencial que define o

movimento absoluto da massa m, quando o sistema se

desloca a uma velocidade v sobre uma estrada de seção

longitudinal senoidal, como indica a figura,

(b) Deduza uma expressão para a amplitude do

movimento absoluto de m.

23. Duas cargas, A e B, cada uma de massa m,

estão suspensas, como ilustrado, por meio de cinco molas

de mesma contanto k e conectadas por um amortecedor de

coeficiente de amortecimento c. A carga B está submetida

a uma força de intensidade F= Fmsent. Escreva as

equações diferenciais que definem os deslocamentos xA e

xB das duas cargas, medidos a partir das posições de

equilíbrio.

Características entre sistemas mecânicos e

elétricos

Sistema Mecânico Sistema Elétrico

Massa m L indutância

Constante de

amortecimento viscoso c

R resistência

⟿

Constante elástica da

mola k

Inverso da

Capacitância┨┠

1/C

Deslocamento x Carga q

Velocidade v i : corrente F: força aplicada E: voltagem aplicada

1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2

2 2 2 2 1 2 2 1

0

m f

m x c x c x x k x k x x

m x c x x k x x P sen t

1 1 21 1 1 1 2 1 2

1 2

2 12 2 2 2 1

2

0

m f

q q qL q R q R q q

C C

q qL q R q q E sen t

C

24. Determine a faixa de valores da resistência R,

para os quais aparecerão oscilações no circuito ilustrado

quando a chave S for fechada.

2

2 1

m

f

f

Ei

R LC



19

19

25. Considere o circuito do Problema 24,

quando a capacitância é igual a zero. Se a chave S for

fechada no instante t = 0, determine

(a) o valor final da corrente no circuito e

(b) o instante t em que a corrente atingirá

(1 - 1/e) de seu valor final (este valor de t é

conhecido por constante de tempo do circuito).

26. e 27. Desenhe o análogo elétrico do sistema

mecânico ilustrado. (Sugestão: trace as malhas

correspondentes ao corpos livres).

F = Fmsent

28. e 29. Escreva as equações diferenciais que

definem

(a) os deslocamentos da massa m e do ponto A e

(b) as correntes nas malhas correspondentes do

análogo elétrico.

30. e 31. Desenhe o análogo elétrico do sistema

mecânico ilustrado.

32. e 33. Escreva as equações diferenciais que

definem (a) os deslocamentos das massas m1 e m2 as

correntes nas malhas correspondentes do análogo

elétrico.

F = Fmsent

34. Um vagão de trem carregado com peso de

30.000 lb está rolando a uma velocidade constante v0 (1)

quando os pares mola e amortecedor são acionados como

um sistema pára-choques. A curva de deslocamento versus

tempo do vagão após o acoplamento é registrada como se

mostra em (2). Determinar (a), a constante de

amortecimento (b) a constante da mola. (Dica:. Use a

definição de decremento logarítmico dada em em

problema anterior).

35. O bloco é mostrado comprimido 1.2

polegadas de sua posição de equilíbrio e liberado.

Sabendo-se que, após 10 ciclos o deslocamento máximo

do bloco é de 0.5 polegadas, determinar (a), o factor de

amortecimento c/cc, (b) o valor do coeficiente de

amortecimento viscoso c.



20

20

36. Um motor elétrico de 50 kg é suportado por

4 molas cada uma com uma constante elástica de 100

N/m.O disco D é excêntrico em 20 mm. Determine a

velocidade angular onde ocorre a ressonância.

37. No pistão de 100 lb da figura atua uma

pressão:

0 20.625 30

lbp p sen t sen t

in

sobre uma área de 80 in2. Há uma mola de sustentação de

constante elástica k = 200 lb/in e um amortecedor de

constante de amortecimento c = 85 lb.s/ft.

Mostre que o deslocamento do estado

estacionário é dado por:

mx t x sen t

0.01938 30 1.724x t sen t ft

Onde:

02

0

2

arctan

1

c

c

c

22 2

0 0

1 2

m

m

c

F

kx

c

c

02cc m

0

k

m

38. Os elementos da suspensão traseira

independente para os automóveis estão representados na

figura. O diferencial D está ligado rigidamente à armação

do carro . Os eixos são articuladas nas suas extremidades

interiores (o ponto O para o meio do eixo mostrado) e

estão rigidamente ligados às rodas. Elementos de

suspensão não representados restringem o movimento da

roda para o plano da figura . O peso do conjunto roda-pneu

é W = 100 lb e seu momento de inércia em torno do eixo

diametral que passa pelo seu centro de massa G é 1 lb.ft.s2.

O peso do meio eixo é negligenciável . A constante da

mola k e o coeficiente de amortecimento são ,

respectivamente, k = 50 lb/in e c = 200 lb.s/ft. Se há um

desbalanceamento estático presente, representado por um

peso concentrado adicional w = 0.5 lb, determinar a

velocidade angular que resulta do sistema de suspensão a

ser conduzido na sua frequência natural não amortecida.

Qual seria a velocidade do veículo

correspondente ?

Determine a constante de amortecimento

Suponha pequenos desvios angulares e

negligenciar efeitos giroscópicos e qualquer vibração do

quadro de carro. A fim de evitar as complicações

associadas com a força normal variando exercida pela

estrada no pneu, tratar o veículo como sendo em um

elevador com as rodas pendurado livre .



21

21

Analogia Elétrica

A analogia entre sistemas elétricos e mecânicos é

válida tanto para oscilações transitórias como para o

estado estacionário.

Sistema Mecânico Circuito Elétrico

m Massa L Indutância

c Coeficiente de

amortecimento viscoso

R Resistência

k Constante da mola 1/C Inverso da

Capacitância

x Deslocamento q Carga

v Velocidade i Corrente

F Força aplicada E Tensão

aplicada

Usando a Lei de Kirchhoff, a soma algébrica da

tensão aplicada e das quedas de potencial ao longo de um

circuito é nula, podemos escrever a equação da carga no

circuito RLC alimentado por uma tensão alternada Em

sent por:

1

0m

diE sen t L R i q

dt C

1

mL q R q q E sen tC

2

221

mm

Ei

L RC

2

2 1

mm

Ei

R LC

Definimos como impedância, ao termo:

2

2 1Z R L

C

Exemplos Resolvidos

1. A figura representa o modelo de um

amortecedor de um automóvel cuja massa da suspensão é

de 80kg e é suportado por uma mola de constante elástica

de 32 kN/m, e um amortecedor de constante de

amortecimento de c = 3000 Ns/m. O proprietário do

automóvel esqueceu-se de trocar o amortecedor, portanto

sua constante de amortecimento c tornou-se menor que a

constante de amortecimento crítica cc .O valor da

constante de amortecimento crítica cc e a solução da

equação diferencial são dadas por:

Dados: 0

kp

m ; 02 mcc

22

2

0 0 12 c

c cq

m c

BsenqtqtAetxt

m

c

cos)( 2:

0

3200020

80rad

sp ;

02 2 80 20 3200 N sc m

c m

22 2

2

0 0

30001 20 1

2 3200c

c c

m c

6.96 rads

18.75( ) cos6.96 6.96tx t e A t Bsen t

2. Para um sistema de massa m = 1 kg, c = 50

N.s/m e constante elástica k = 400N/m a solução para a

equação: estmx P k x cx , nas condições

iniciais x0 = 0.05m e v0= 0,1m/s é:

Dados: 2

00 0c k c

x x x x x xm m m

0 02c

kc m

m

a. Amortecimento supercrítico c > cc:



22

22

1 20 2 0 0 0 1

2 1 2 1

( )t tx v v x

x t e e

2

2

1,2 02 2

c c

m m

b. Amortecimento crítico c = cc :

0

0 0 0( )2

tcx t x v x t e

m

c. Amortecimento subcrítico c < cc

2( ) cosc

tmx t e A t Bsen t

2

0 1c

cq

c

Ou

2( ) ( )c

tm

mx t x e sen q t

0

0 0

2

2

m xtg

mv cx

;

2

2 0 0

0

2

2m

mv cxx x

m

2

00 0c k c

x x x x x xm m m

0 0

40020

1rad

s

k

m

02 40 ; 50Ns Nsc c m m

c m c c

Amortecimento supercrítico c > cc : 2 2

2 2

1,2 0

50 5020

2 2 2 1 2 1

c c

m m

2

2

1,2 0 25 625 4002 2

c c

m m

1,2 1 125 225 25 15 10; 40

1 20 2 0 0 0 1

2 1 2 1

( )t tx v v x

x t e e

10 40

0.05 40 0.1 0.1 0.05 10( )

40 10 40 10

t tx t e e

10 40( ) 0.07 0.02t tx t e e

3. Um sistema de massa-mola amortecedor

possui m = 0.5 kg e constante elástica k = 20000N/m.

A constante de amortecimento do sistema é c,

dada pela tabela.

3.1 – Encontre a freqüência angular natural 0

do sistema.

0

20000200

0.5rad

s

k

m

3.2 – Determine a constant de amortecimento

crítica cc.

02 2 0.5 200 200 N sc m

c m

3.3 - As condições iniciais posição inicial x0 e

velocidade inicial v0 são dadas na tabela. Para cada caso,

classifique o amortecimento, dando a solução para:

A posição x(t).

A velocidade instantânea v(t).

A aceleração instantânea a(t).

Dado: Condições iniciais: x0 = 5 cm e v0= 1m/s

Ca

so i

c

(N.s

/m)

Cla

ssif

icaçã

o

am

oo

rtec

imo

Pa

râm

etro

s

x(t)

(m)

v(t)

(m/s)

v(t)

(m/s)

1 250

2 205

3 200

4 195

5 50

6 100

10Caso:

c = 250 > cc amortecimento supercrítico

Parâmetros: 2

2

1,2 02 2

c c

m m

2

2

1,2

250 250200

2 0.5 2 0.5

1,2 250 22500

1

1,2

2

100250 150

400

Hz

Hz

Posição x(t):

1 20 2 0 0 0 1

2 1 2 1

( )t tx v v x

x t e e

400 100( ) 0.02 0.07t tx t e e

Velocidade instantânea v(t):

d

v t x tdt

400 100( ) 8 7t tv t e e

Aceleração instantânea a(t):

d

a t v tdt

400 100( ) 3200 700t ta t e e

Gráficos:



23

23

30Caso:

c = 200 = cc amortecimento crítico

Parâmetros:

0

20000200

0.5rad

s

k

m

20 0 0( )

2

ct

mc

x t x v x t em

200( ) 0.05 11.5 tx t t e


d

v t x tdt

200( ) 11.5 200 0.05 11.5 tv t t e


d

a t v tdt

200( ) 4600 40000 0.05 11.5 ta t t e

Gráficos:

50Caso:

c = 50 = cc submortecimento

Parâmetros: 2

0 1c

cq

c

2

180200 1 193

200

rad

s

0

0 0

2

2

m xtg

mv cx

2.766tg

1.22rad

20.032s

2

2 0 0

0

2

2m

mv cxx x

m

0.053mx m

2( ) ( )c

tm

mx t x e sen t

Posição x(t):

2( ) ( )c

tm

mx t x e sen t

50( ) 0.053 193 1.22tx t e sen t


d

v t x tdt

50( ) 10.2956 cos 193.6 1.22 2.65 193.6 1.22tv t e t sen t


d

a t v tdt

50( ) 1029.56 cos 193.6 1.22 1860.8 193.6 1.22ta t e t sen t



24

24

4. No caso do amortecimento subcrítico, os

deslocamentos x1, x2,..., xn, etc., ilustrados na Fig. 19.11,

podem ser supostos iguais aos deslocamentos máximos.

Mostre que a razão entre dois deslocamentos sucessivos,

xn e xn+1 .é constante e que o logaritmo natural desta

razão, chamado de decremento logarítmico, é

2

1

2ln

1

cn

nc

c cx

x c c

xm

xn xn+1

tn tn+1

τ

Solução:

Teremos nesse caso a considerar:

2( ) ( )c

tm

mx t x e sen t

Para dois máximos consecutivos, ocorrendo nos

instantes tn e tn+1, teremos, lembrando a função senθ:

2nt

1 2 52 2

nt

2( ) ( )n

ct

mn m nx t x e sen t

2

2

n

ct

mn mx x e sen

2 1n

ct

mn mx x e

12

1 1( ) ( )n

ct

mn m nx t x e sen t

12

1

5

2

n

ct

mn mx x e sen

12

1 1n

ct

mn mx x e

Fazendo a razão entre xn e xn+1:

1

2

1 2

n

n

ct

mn m

ct

n mm

x x e

xx e

12

1

n n

ct t

n m

n

xe

x

Observando a figura:

1

2n nt t

2

2

1

c

n m

n

xe

x

Aplicando o logaritmo natural:

2

2

1

ln lnc

n m

n

xe

x

Utilizando a propriedade dos logaritmos:

log logn

B Ba n a

E: ln e = 1

1

2ln

2

n

n

x c

x m

Substituindo:

2

0 1c

c

c

21

0

2ln

21

n

n

c

x c

x mc

c

0

21

2

2ln

1

n

n

c

c

x m

xc

c



25

25

Como:

02cc m

21

ln 2

1

cn

n

c

c

cx

xc

c

2

1

2ln

1

cn

nc

c cx

x c c







viscoso c.

Solução:

Do exemplo anterior:

2

1

2ln

1

cn

nc

c cx

x c c

Note que:

71 2

22 3 8

2ln ln ln

1

c

c

c c xx x

x x xc c

71 2

22 3 8

2ln ln ln 7

1

c

c

c cxx x

x x x c c

Mostre que, usando agora a propriedade:

ln ln lnA

A BB

71 21 8

2 3 8

ln ln ln ln lnxx x

x xx x x

71 2 1

2 3 8 8

ln ln ln lnxx x x

x x x x

1

28

2ln 7

1

c

c

c cx

x c c

2 22

1

2

8

4ln 49

1

c

c

c cx

x c c

2

2 221

8

1 ln 196c c

xc c c c

x

2 2

2 221 1

8 8

ln ln 196c c

x xc c c c

x x

2

1

2 8

2

2 1

8

ln

196 ln

c

x

xc c

x

x

2

1

8

2

2 1

8

ln

196 ln

c

x

xc c

x

x

1

8

2

2 1

8

ln

196 ln

c

x

xc c

x

x

1

8

2

2 1

8

ln

196 ln

c

x

xc c

x

x

1

8

2

2 1

8

ln

2

196 ln

x

x kc m

mx

x

6. Observe que a amplitude de uma oscilação

forçada pode ser mantida pequena escolhendo um

coeficiente de amortecimento viscoso c grande ou

mantendo bem diferentes as freqüência natural e forçada.



26

26

22 2

0 0

1 2

mm

c

x

c

c

Verifique os gráficos para cada caso c/cc.

Gabarito dos Exercícios

n Vibrações de corpos rígidos

Vibrações forçadas

1 (a) xm = 0.1 m (b) xm = 0.035 m

2 3

2 2

k k

m m

3 1 mf

F k

m g m

4 (a) xm = 25.2 mm

(b) 0.437F t sen t N

5 2

3f

k

m

6 (a) f 0= 360.1 rpm

(b) 55.33 10mx m

7 (a) f 0= 720.12 rpm

(b) 11.1015 10mx m

8 0 457ff f rpm

9

(a) 166.7mx mm em fase

(b) 128.2mx mm em fase

(c) 10.00mx mm fora de fase

10 38.3231 10 0.099r ft in

11 ff < 322 rpm 12

3 322.5 5.63m mx mm x mm

13 35.5 44.1f

rad rad

s s

14 0.0127 0.0076m mx m x m

15 109.3f

rad

s

16 (a)

2

2

6 32

2

ka mglf

ml

(b) 0.1033F sen t lb

17

2

0

2

01

er

18 n 651f rpm

19 (a) 1.034mx in

(b) 0.1033F sen t lb

20 2

f

g

l

21 (a) 25.6

kmv

h (b) 14.25mx mm

22 (a) 88N

km

(b) 0.227mx m



27

27

n Resposta

23 (a) 0.349T s (b) 0.45m

mv

s

24 (a) 0.219 s (b) 0.242 m/s 25 (a) 0.491 s. (b) 9.60 in.ys.

26 (a) 0.715 s. (b) 0.293 ft/s.

27 (a)

1 2

5 5T

(b)2

1.19 18.75m m

m mv a

s s

28 (a)

55

2f Hz

(b)T 29 (a) 2.21nf Hz

(b) 115.3N

km

30 0.945nf Hz

31 (a) 0.428 s

(b) 45.4 mm 32 3.04Hz

33 (a) 2

23

mt

k

34 2

lT

g

35

h = 0.1123 m; 0.808k m

36 k r

37

2

2

4 lg

38

38.1 82.2Bv mm s

38.2

(a) 3

28

n

r

g

(b)

2

32

162 1

9

n

r

g

39 (a) 0.885n s (b) 1.159n s

40 (a) 0.0881mAv m s (b) 0.0851

mAv m s

41 41.1 (a) s (b) s

41.2 (a) 0.933 s (b) 0.835 s

42 1 18

2 17

gf

l

43 17.1 s

44 0.346nf Hz

n Repostas

45 (a) ra = 163 mm(b) 76.2 mm 46 (a) (b)

47

(a) 5

24

rt

g

(b) 1

4r

48 0.672k in

49 (a) 2.01s

(b) 2.94 m/s

50

50.1

(a) 1.10 s (b) 1.55 s

50.2

51 (a) 1.951n s (b) 1.752mv m s

52 (a) 21.3m kg (b) 1.838n s

53 5

23

b

g

54 3

22

R r

g

55 21.476 31.1m mx m s x m s

56 12.11

mDv in s

57 2.01s

58 75.5

59 6

C

k

m

60 2

23

b

g

61 3 r

g sen

62 (a) 5

n

r

g (b)

32

2n

r

g

63 21.096 I lb ft s

64 2

23

n

l

g

65 5.28 Hz

66 2

20 n

l k l ky y

b m b m

67 1.70 s

68 x = 0.558 m

69 2

23 cos

n

m

k



28

28

n Respostas 70 1.785n s

71 2.29nf Hz

72 1.327n s

73 0.821n s

74 0.1899n

gf

l

75 22n

r

g

76 2

23

n

hL

bg

77 2

3

BB

AA

78 (a) 227d mm (b) 1.352n s

79 2

2n

r

g

80 (a) 2

3

l h

b g

(b) 2

h

g

81 3

2 2n

g

b

82 (a) 0.352n s (b) 0.352n s

83

3n

l

g r

84 32

2n

R r

g

85

32

8

mT

k

1 8

2 3

kf

m

86

(a) K=6.3 N.m/rad

(b)20.594engrenagemI kg m

(c) 5.11n

rad

s

n Respostas

Oscilações amortecidas e

Amortecidas forçadas

1

2

1

2ln

1

cn

nc

c cx

x c c

2

1

8

2

2 1

8

ln

196 ln

c

x

xc c

x

x

3 61.503 10mx m

4 Mostrar 5 Mostrar 6 (1 / k) ln (xn / xn+k ) 7 Mostrar 8 (a) 0.0355 (b) 9.53 N.s/m 9

Usar:

7

21 1

2ln 7

1

cn

n nc

c cx

x c c

10 (a) 1.92.104 N.s/m (b) 0.11 s

11 12 (a) 0.0355 (b) 9.53 N.s/m 13 mostrar

14 (a)

33.048 10mx m

(b) 32.078 10mx m

15 (a)

31.198 10mx m

(b) 45.59132 10mx m

16

(a) 0 0

21

3

k rad

m s

(b)

0

213 0.066732

23

c c

cc c c

c m ckm

m

(c) 2

0 1 0.998rad

s

(d) 2

6.3s

0.0667 (0.998 )t

mx t x e sen t

0.2 1.504mx m rad

17

(a) 0.07877c

c

c

(b) 318.5N s

cm

18 (a) 297 rpm (b) 252 rpm

(c) 0.335 in e 0.361 in

19 (a)

21.344 10mx m

(b) 22.27 10mx m



29

29

n Respostas

20 (a) 297 rpm (b) 267 rpm

(c) 10.2 mm e 10.7 mm 21 0.1791 in

22

(a)

2

2cos m

d x dxc k x k sen t c t

dt dt

(b)

2 2 2

2 22m m

k cx

k m c

2 v

L

mx x sen t

2

c ctg tg

k m k

23

2A A B A B m fm x c x x k x x P sen t

3 2 0B B Am x c x k x

24 2L

RC

25 (a) m

Ei

R (b)

Lt

R

26

e

27

2

22

mm A m

d xm k x x P sen t

dt

1 2 0AA A m

dxc k x k x x

dt

2

2

2

m Amm

q qd qL E sen t

dt C

1 2

0A mA Ax xdq q

Rdt C C

28

e

29

30

e

31

32

e

33

2

1 11 1 1 1 2 1 22

0d x dx

m c k x k x xdt dt

2

2 22 2 2 2 12

0d x dx

m c k x xdt dt

21 21 1 1

1 12

1 2

0q qd q dq q

L Rdt dt C C

22 12 2

2 22

2

0q qd q dq

L Rdt dt C

34

(a) 6485.9 6.49lb s kip s

cft ft

(b) 3230 10 230

lb kipsk

ft ft

n Respostas

35

(a) 0.01393

c

c

c

(b) 0.0417

lb sc

ft

36

37 0.01938 30 1.724x sen t ft

67.9 lb

38 10.24 11.95

1.707

n

rad ftv

s s

Lista 2

Vibrações de corpos rígidos

Vibrações forçadas 5,7,19,24,30,31,51,73

Oscilações amortecidas e

Amortecidas forçadas

3,9,10,12,14,15,16,17,18,19,37

BIBLIOGRAFIA Básica

BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Mecânica

vetorial para engenheiros: cinemática e dinâmica 5ª

ed. 2v. São Paulo: Makron, 1994.

HIBBELER, R. C. Dinâmica: Mecânica para

Engenharia. 8.ed. Rio de Janeiro Prentice Hall Brasil,

2004.

KRAIGE,L.G.;MERIAN,J.L. Mecânica: dinâmica. Rio

de Janeiro: LTC,2004.

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