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Resolucao de triangulos Lei dos cossenos Exercıcios
MA093 – Matematica basica 2Lei dos cossenos
Francisco A. M. Gomes
UNICAMP - IMECC
Setembro de 2018
Resolucao de triangulos Lei dos cossenos Exercıcios
Topicos importantes
O objetivo dessa aula e investigar
1 A lei dos cossenos.
2 Resolucao de triangulos: os casos LAL e LLL.
Resolucao de triangulos Lei dos cossenos Exercıcios
Resolucao de triangulos
Caso Medidas fornecidas Condicoes Aplicar
LAA A + B < 180◦Lei dossenos
ALA A + C < 180◦Lei dossenos
LLA a > bLei dossenos
LALLei dos
cossenos
LLLa < b + cb < a + cc < a + b
Lei doscossenos
Resolucao de triangulos Lei dos cossenos Exercıcios
Um problema simples
Medida de uma praca
Uma pracinha triangular esta situada entre tres ruas, como mostraa figura. Determine o comprimento do lado desconhecido.
Resolucao de triangulos Lei dos cossenos Exercıcios
Representacao matematica do problema (caso LAL)
Temos um triangulo escaleno.
Conhecemos dois lados e o angulo entre eles (caso LAL).
Queremos determinar o terceiro lado.
Resolucao de triangulos Lei dos cossenos Exercıcios
A lei dos cossenos
Teorema
Dado um triangulo ABCqualquer, temos
a2 = b2 + c2 − 2bc cos(A)
b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B)
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C )
Essa lei e usada na resolucao de triangulos, nos casos LAL e LLL.
Resolucao de triangulos Lei dos cossenos Exercıcios
Ideia da demonstracao da lei dos cossenos
Conhecemos b, c e Ae queremos determinar a.
xC = b cos(A)
yC = b sen(A)
Aplicando o teorema dePitagoras, obtemos
a2 = (xB − xC )2 + y2C = [c − b cos(A)]2 + [b sen(A)]2
a2 = c2 − 2cbcos(A) + b2cos2(A) + b2sen2(A)
a2 = c2 − 2cbcos(A) + b2[cos2(A) + sen2(A)] = c2 − 2cbcos(A) + b2
Resolucao de triangulos Lei dos cossenos Exercıcios
Voltando ao problema da praca
b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B)
b2 = 1002 + 802 − 2 · 100 · 80 · cos(55◦)
b2 ≈ 10000 + 6400− 16000 · 0, 57358 ≈ 7222, 7
b ≈√
7222, 7 ≈ 84, 99 m
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Caso LLL
Problema
Determine os angulos dotriangulo da figura.
a2 = b2 + c2 − 2bc cos(A)
42 = 82 + 102 − 2 · 8 · 10 cos(A)
16 = 64 + 100− 160 cos(A)
160cos(A) = 148
cos(A) = 148/160 = 0, 925
A = arccos(0, 925) ≈ 22, 33◦
b2 = a2 + c2 − 2ac cos(B)
82 = 42 + 102 − 2 · 4 · 10 cos(B)
64 = 16 + 100− 80 cos(B)
80cos(B) = 52
cos(B) = 52/80 = 0, 65
B = arccos(0, 65) ≈ 49, 46◦
C = 180◦ − A− B ≈ 180◦ − 22, 33◦ − 49, 46◦ = 108, 21◦
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Exercıcio 1
Problema
Determine o lado desconhecido do triangulo abaixo
7,46 m
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Exercıcio 2
Problema
Determine os angulos do triangulo abaixo
34, 048◦, 44, 415◦, 101, 537◦
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Exercıcio 3
Problema
Um banhista se afoga em um ponto D, a 20 m de uma praia.Calcule as distancias d1 e d2 que os salva-vidas situados nospontos A e B precisam nadar para alcancar o banhista.
d1 = 10√
13 m, d2 = 20√
2 m.
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Exercıcio 4
Problema
Determine a area da regiao amarela da figura.
8, 333 m2
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Exercıcio 5
Problema
Um topografo determinou as distancias mostradas na figura, bemcomo os angulos especificados na tabela abaixo. Calcule asdistancias entre A e B, e entre B e D.
Visada Angulo
ACB π/6
BCD π/3
ABC π/6
AB = 5√
3 m, BD = 5√
7 m
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Exercıcio 6
Problema
A figura abaixo mostra uma estrada que passa pelos pontos A, B Ce D. Calcule a distancia x entre A e C, bem como o angulo αmostrado na figura.
6,65 km, 37,88◦