Exercıcios Resolvidos de MA 11

Unidades 13 e 14

A seguir, apresentamos alguns exercıcios resolvidos de forma completa.Cabe observar, que existem outras maneiras de se resolver um mesmo exercıcioe, assim, as solucoes apresentadas nao sao unicas.

Unidade 13

Exercıcios Recomendados

5. Se A(t) denota a area coberta do lago no dia t, por uma alga, pelos dadosdo problema temos A(t) = 2tA(0). Como uma alga cobre a superfıcie do lagoem 100 dias, temos que A(100) = 2100A(0). Por outro lado, 2 algas cobrem2A(t) no dia t. Portanto,

2100A(0) = 2.2tA(0), (1)

Como A(0) e diferente de zero, segue de (1) que t = 99. Assim, o numero dedias necessarios para que duas algas, de mesma especie, cubram a superfıciedo lago e 99.

No caso de termos tres algas, observamos que (1) nao pode ser resolvidaapenas com as propriedades de exponenciacao. Vamos precisar da nocao delogartimos, que estudaremos na proxima unidade.

Unidade 14.

3. Ora, devemos ter ax = x2 − 1 para x = 3. Portanto, a3 = 32 − 1, ou sejaa = 2.

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4. Denotemos por S o conjunto solucao das inequacoes propostas.

(a) 32x+2 − 3x+3 > 3x − 3⇐⇒ 32x.32 − 3x.33 − 3x + 3 > 0⇐⇒9(3x)2 − 28.3x + 3 > 0.

Fazendo 3x = y, obtemos 9y2−28y+3 > 0, que e equivalente a termos y < 19

ou y > 3. Como y = 3x, 3x < 19

ou 3x > 3, isto e, 3x < 3−2 ou 3x > 3,mostrando que x < −2 ou x > 1. Assim, S = {x ∈ R;x < −2 ou x > 1}.

(b) 2x − 1 > 21−x ⇐⇒ 2x − 1 > 22x⇐⇒ 2x(2x − 1) > 2(2x)2 − 2x − 2 > 0.

Fazendo 2x = y, obtemos y2 − y − 2 > 0, que e equivalente a termos y < −1ou y > 2. Mas, y = 2x, logo 2x < −1 ou 2x > 2. Lembrando que 2x > 0 paratodo x ∈ R, temos 2x > 2, ou seja x > 1. Assim, S = {x ∈ R;x > 1}.

(c) 4x+12 + 5.2x + 2 > 0⇐⇒ 4x.4

12 + 5.2x + 2 > 0⇐⇒ 2.(2x)2 + 5.2x + 2 > 0.

Fazendo 2x = y, obtemos 2y2+5y+2 > 0, que e equivalente a termos y < −2ou y > −1

2. Como y = 2x, segue que 2x < −2 ou 2x > −1

2. Lembrando que

2x > 0 para todo x ∈ R, temos 2x > −12, ou equivalentemente, x ∈ R. Assim,

S = R.

5. Suponhamos a > 1. O caso 0 < a < 1 e tratado de modo analogo. Fixe0 < ε < 1. Pelo lema da Unidade 13, existem s ∈ Q e r ∈ Q tais que1− ε < as < 1 < ar < 1 + ε. Como a0 = 1 e a funcao ax, x ∈ R, e crescente,temos que s < 0 e r > 0. Tome δ = min{−s, r}. Note que δ > 0. Seja h ∈ Rtal que −δ < h < δ Entao, 0 ≤ h < δ ou −δ < h < 0. Se 0 ≤ h < δ, entao1 = a0 ≤ ah < aδ ≤ ar < 1 + ε, mostrando que, neste caso, ah − 1 < ε. Se−δ < h < 0, entao 1 − ε < as ≤ a−δ < ah < a0 = 1, mostrando que, nestecaso, 1− ah < ε. Como 0 < ε < 1 foi tomado de modo arbitrario, mostramosque limh→0 a

h = 1.

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