MA14 - Unidade 3

Sistemas de Numerao

Semana de 15/08 a 21/08

O sistema universalmente utilizado pelas pessoas comuns para representar osnmeros naturais o sistema decimal posicional. Este sistema de numerao,que uma variante do sistema sexagesimal utilizado pelos babilnios 1700anos antes de Cristo, foi desenvolvido na China e na ndia. Existem documen-tos do sculo VI comprovando a utilizao desse sistema. Posteriormente, foise espalhando pelo Oriente Mdio, por meio das caravanas, tendo encontradogrande aceitao entre os povos rabes. A introduo do sistema decimal naEuropa foi tardia por causa dos preconceitos da Idade Mdia. Por exemplo,num documento de 1299, os banqueiros de Florena condenavam o seu uso.

O sistema comeou a ter maior difuso na Europa a partir de 1202, quandoda publicao do livro Liber Abacci, de Fibonacci. Vrios sculos se pas-saram para que, finalmente, esse sistema fosse adotado sem restries peloseuropeus.

H outros sistemas de numerao em uso, notadamente os sistemas binrioou em bases potncias de 2, que so correntemente usados em computao.

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Uma caracterstica comum a esses sistemas de numerao o fato de seremtodos sistemas posicionais com base constante.

No sistema decimal, todo nmero representado por uma sequncia for-mada pelos algarismos

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

acrescidos do smbolo 0 (zero), que representa a ausncia de algarismo. Porserem dez os algarismos, o sistema chamado decimal.

O sistema tambm chamado posicional, pois cada algarismo, alm doseu valor intrnseco, possui um peso que lhe atribudo em funo da posioque ele ocupa no nmero. Esse peso, sempre uma potncia de dez, varia doseguinte modo:

O algarismo da extrema direita tem peso 1; o seguinte, sempre da direitapara a esquerda, tem peso dez; o seguinte tem peso cem; o seguinte tem pesomil, etc.

Portanto, os nmeros de um a nove so representados pelos algarismosde 1 a 9, correspondentes. O nmero dez representado por 10, o nmerocem por 100, o nmero mil por 1000.

Por exemplo, o nmero 12019, na base 10, a representao de

1 104 + 2 103 + 0 102 + 1 10 + 9 = 1 104 + 2 103 + 1 10 + 9.

Cada algarismo de um nmero possui uma ordem contada da direita paraa esquerda. Assim, no exemplo acima, o primeiro 1 que aparece 1 desegunda ordem, enquanto que o ltimo de quinta ordem. O 9 de primeiraordem, enquanto que o 2 de quarta ordem.

Cada terna de ordens, tambm contadas da direita para a esquerda, formauma classe. As classes so, s vezes, separadas umas das outras por meio deum ponto.

1No se esquea, sempre da direita para a esquerda.

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Damos a seguir os nomes das primeiras classes e ordens:

Classe das Unidades

unidades 1a ordemdezenas 2a ordemcentenas 3a ordem

Classe do Milhar

unidades de milhar 4a ordemdezenas de milhar 5a ordemcentenas de milhar 6a ordem

Classe do Milho

unidades de milho 7a ordemdezenas de milho 8a ordemcentenas de milho 9a ordem

Os sistemas de numerao posicionais baseiam-se no seguinte resultado,que uma aplicao da diviso euclidiana.

Teorema 1. Dados a, b N, com b > 1, existem nmeros naturais c0, c1, . . . ,cn menores do que b, univocamente determinados, tais que a = c0 + c1b +c2b

2 + + cnbn.Demonstrao Vamos demonstrar o teorema usando a segunda forma doPrincpio de Induo Matemtica sobre a. Se a = 0, ou se a = 1, basta tomarn = 0 e c0 = a.

Supondo o resultado vlido para todo natural menor do que a, vamosprov-lo para a. Pela diviso euclidiana, existem q e r nicos tais que

a = bq + r, com r < b.

Como q < a (verifique), pela hiptese de induo, segue-se que existemnmeros naturais n e d0, d1, . . . , dn , com dj < b, para todo j, tais que

q = d0 + d1b+ + dnbn .Levando em conta as igualdades acima destacadas, temos que

a = bq + r = b(d0 + d1b+ + dnbn) + r,

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donde o resultado segue-se pondo c0 = r, n = n + 1 e cj = dj1 paraj = 1, . . . , n.

A unicidade segue-se facilmente das unicidades acima estabelecidas.

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A representao dada no teorema acima chamada de expanso relativa base b. Quando b = 10, essa expanso chamada expanso decimal, equando b = 2, ela toma o nome de expanso binria.

A demonstrao do Teorema tambm nos fornece um algoritmo para de-terminar a expanso de um nmero qualquer relativamente base b.

Trata-se de aplicar, sucessivamente, a diviso euclidiana, como segue:

a = bq0 + r0, r0 < b,

q0 = bq1 + r1, r1 < b,

q1 = bq2 + r2, r2 < b,

e assim por diante. Como a > q0 > q1 > , deveremos, em um certo ponto,ter qn1 < b e, portanto, de

qn1 = bqn + rn,

decorre que qn = 0, o que implica 0 = qn = qn+1 = qn+2 = , e, portanto,0 = rn+1 = rn+2 = .

Temos, ento, que

a = r0 + r1b+ + rnbn.A expanso numa dada base b nos fornece um mtodo para representar

os nmeros naturais. Para tanto, escolha um conjunto S de b smbolos

S = { s0, s1, . . . , sb1 },com s0 = 0, para representar os nmeros de 0 a b 1. Um nmero naturala na base b se escreve da forma

xnxn1 . . . x1x0,

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com x0, . . . , xn S, e n variando, dependendo de a, representando o nmero

x0 + x1b+ + xnbn.

No sistema decimal, isto , de base b = 10, usa-se

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Se b 10, utilizam-se os smbolos 0, 1, . . . , b 1. Se b > 10, costuma-seusar os smbolos de 0 a 9, acrescentando novos smbolos para 10, . . . , b 1.Exemplo 1. No sistema de base b = 2, temos que

S = { 0, 1},

e todo nmero natural representado por uma sequncia de 0 e 1. Porexemplo, o nmero 10 na base 2 representa o nmero 2 (na base 10). Temostambm que

100 = 22, 101 = 1 + 22, 111 = 1 + 2 + 22, 1011 = 1 + 2 + 23.

O sistema na base 2 habitualmente utilizado nos computadores.

Exemplo 2. Vamos representar o nmero 723 na base 5.Por diviso euclidiana sucessiva,

723 = 144 5+ 3, 144 = 28 5+ 4, 28 = 5 5+ 3, 5 = 1 5+ 0, 1 = 0 5+ 1.

Portanto,723 = 3 + 4 5 + 3 52 + 0 53 + 1 54,

e, consequentemente, 723 na base 5 se representa por 10343.

Daremos a seguir critrios de divisibilidade por 5, por 10, por 3 e por 9para nmeros representados na base 10.

Proposio 1. Seja a = rn r1r0 um nmero representado no sistema de-cimal. Uma condio necessria e suficiente para que a seja divisvel por 5(respectivamente por 10) que r0 seja 0 ou 5 (respectivamente 0).

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Demonstrao Sendo a = 10 (rn r1) + r0, temos que a divisvel por5 se, e somente se, r0 divisvel por 5, e, portanto, r0 = 0 ou r0 = 5. Poroutro lado, a divisvel por 10 se, e somente se, r0 divisvel por 10, o quesomente ocorre quando r0 = 0.

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Proposio 2. Seja a = rn r1r0 um nmero representado no sistema de-cimal. Uma condio necessria e suficiente para que a seja divisvel por 3ou por 9 que rn+ +r1+r0 seja divisvel por 3 ou por 9, respectivamente.Demonstrao Temos que

a (rn + + r1 + r0) = rn10n + + r110 + r0 (rn + + r1 + r0) =

rn(10n 1) + + r1(10 1).

Como o termo direita nas igualdades acima divisvel por 9 (veja oExemplo 2, Unidade 2), temos, para algum nmero q, que

a = (rn + + r1 + r0) + 9q,

seguindo-se o resultado, em virtude das Proposies 3 e 4 da Unidade 1.

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Exemplo 3. O Nove Misterioso. Pea para algum escolher, em segredo,um nmero natural com, pelo menos, trs algarismos (no sistema decimal, claro). Pea, ainda, para que efetue uma permutao qualquer dos seusalgarismos, obtendo um novo nmero, e que subtraia o menor do maior dosdois nmeros. Finalmente, pea ao seu parceiro de jogo para reter um dosalgarismos diferente de zero desse novo nmero e divulgar os restantes. possvel adivinhar o algarismo retido!

Vamos desvendar o mistrio. Seja a = rn r1r0 o nmero secreto e sejaa o nmero obtido pela permutao dos algarismos de a. Pela demonstraoda Proposio 2 sabemos que existem q, q N tais que

a = (rn + + r1 + r0) + 9q e a = (rn + + r1 + r0) + 9q.

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Logo, a diferena entre o maior e o menor desses nmeros divisvel por 9.Portanto, para adivinhar o algarismo que falta, basta descobrir, dentre osnmeros de 1 a 9, quanto devemos somar soma dos algarismos divulgadospara que o resultado seja divisvel por 9.

A excluso do zero no algarismo retido para eliminar uma possvelambiguidade que ocorre quando a soma dos algarismos divulgados seja jmltiplo de 9; neste caso, o algarismo escondido tanto poderia ser o novequanto o zero.

A representao binria tem peculiaridades interessantes, como veremosa seguir. Inicialmente extramos um corolrio imediato do Teorema 1.

Corolrio. Todo nmero natural se escreve de modo nico como soma depotncias distintas de 2.

Determinar a expanso binria de um nmero a ainda mais fcil do quedeterminar a sua expanso relativa a um nmero b 6= 2.

De fato, escreve-se a lista de nmeros comeando com a, seguido peloquociente q0 da diviso de a por 2, seguido pelo quociente q1 da diviso deq0 por 2, seguido pelo quociente q2 da diviso de q1 por 2, etc. (Note que adiviso por 2 to fcil que pode ser feita mentalmente.)

Na diviso euclidiana sucessiva, temos que, se a mpar, ento r0 = 1;caso contrrio, r0 = 0; temos r1 = 1 se q0 mpar, e r1 = 0, caso contrrio.Em geral, ri+1 = 1 se qi mpar, e ri+1 = 0, caso contrrio. At encontrarmosqn1 = 1, quando colocamos rn = 1. Segue-se, portanto, que

a = r0 + r1 2 + + rn 2n.

Exemplo 4. O mtodo acima, para determinar expanses binrias, per-mite desenvolver um algoritmo utilizado pelos antigos egpcios para calcularo produto de dois nmeros usando apenas multiplicaes e divises por 2,alm de adies. Este mtodo tem a vantagem de apenas necessitar do con-hecimento da tabuada do 2.

De fato, para efetuar a multiplicao de a por b, escreve-se a como soma

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de potncias de 2:a = r0 + r12 + + rn2n,

com cada ri zero ou um. Logo,

a b = r0 b+ r1 2b+ rn 2nb.

Escrevem-se duas colunas de nmeros, uma ao lado da outra, onde, nacoluna da esquerda, colocam-se, um em cada linha, os nmeros a, q0, q1, . . .,qn1 (= 1) (como descritos acima) e, na coluna da direita, tambm um emcada linha, os nmeros b, 2b, 4b, . . ., 2nb. Como a paridade do elemento dacoluna da esquerda na linha i 1 determina se ri = 0 ou ri = 1, quandosomarmos os elementos da coluna da direita que correspondem a elementosmpares da coluna da esquerda, obteremos a b.

Vejamos um exemplo. Vamos multiplicar 523 por 37.

37 523 +

18 1046

9 2092 +

4 4184

2 8368

1 16736 +

Portanto,37 523 = 523 + 2092 + 16736 = 19351

Problemas

1. Mostre que, na base 10, o algarismo das unidades de um quadrado per-feito s pode ser 0, 1, 4, 5, 6 ou 9.

2. Um certo nmero de trs algarismos na base 10 aumenta de 36 se per-mutarmos os dois algarismos da direita, e diminui de 270 se permutarmos osdois algarismos da esquerda. O que acontece ao nmero se permutarmos osdois algarismos extremos?

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3. [Critrio de divisibilidade por uma potncia de 2] Seja a = anan1 . . . a0um nmero representado na base 10. Usando o fato de que 2k|10k, mostreque 2k divide a se, e somente se, o nmero ak1 . . . a1a0 divisvel por 2k. Emparticular, a divisvel por 2 se, e somente se, a0 0, 2, 4, 6 ou 8; tambm,a divisvel por 4 se, e somente se, a1a0 divisvel por 4.

4. Escolha um nmero abc de trs algarismos no sistema decimal, de modoque os algarismos das centenas a e o das unidades c difiram de, pelo menos,duas unidades. Considere os nmeros abc e cba e subtraia o menor do maior,obtendo o nmero xyz. A soma de xyz com zyx vale 1089. Justifique estefato.

5. Seja dado o nmero 4783 na base 10; escreva-o nas seguintes bases: 2,3, 4, 7, 12 e 15.

6. O nmero 3416 est na base 7; escreva-o nas bases 5 e 12.

7. Um nmero na base 10 escreve-se 37; em que base escrever-se- 52?

8. Considere 73 na base 10; em que base ele se escrever 243?

9. Escreva a tabuada na base 5. Use-a para calcular 132 + 413 e 23 342.10. Utilize o mtodo dos antigos egpcios para calcular 527 72.