MA211 - C´alculo II - Unicamprmiranda/cursos/2020-2-ma211/... · 2020. 9. 22. · max ⇢ 4MP +6EF...

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MA211 - C´ alculo II Segundo semestre de 2020 Turmas D/E Ricardo M. Martins [email protected] http://www.ime.unicamp.br/ ~ rmiranda Aula 1: Introdu¸c˜ ao -

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Funcoes de varias variaveis reais. Formula de Taylor. Maximos e
mnimos. Integrais multiplas. Integrais de linha. Teorema da
divergencia. Teorema de Stokes.
Alerta de curso coordenado!
cursos/2020-2-ma211/2020-2-ma211.html
\o/ .
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Provas: realizacao e entrega entre 07h30 ate 10h30 (3h)
As provas nao serao mais difceis pelo fato do curso ser “online”.
A entrega devera ser feita no horario. Excecoes serao tratadas
como tais.
000 O
unicamp.br/disciplinas/ma211-calculo-ii/
com/channel/UC6TTtp9Hdx7GUz0OjrVg1_Q
com/channel/UCWhwZNMMzAXfBrd2EPUi5dg/videos
# Centenas de outros canais do YouTube sobre calculo de varias
variaveis.
Nosso curso
# Aulas teoricas online toda 2a e 4a as 08h (serao gravadas).
# Aulas de exerccios toda 6a as 08h (PEDs) (serao gravadas).
# Comunicacao pelo grupo do WhatsApp (ou e-mail).
# Materiais estarao no Moodle, nao no Classroom. Estou
aprendendo a usar o Moodle, sejam pacientes, eu farei varias
besteiras ao longo do semestre.
Teremos algumas atividades extras, sempre no Moodle.
Elas valerao nota? Nao.
Elas valerao chocolate? Sim, um vale chocolate para ser resgatado
no pos-pandemia.
Carlos Fabian Alvarez Escorcia (Turma D)
Danilo Andres Garcia Hernandez (Turma E)
Horarios de atendimento: todo dia na hora do almoco e do jantar
(divulgaremos os links em breve).
Informacoes importantes
# Participem das aulas de 6a feira. Deem trabalho para os
PEDs.
# Facam as listas e os exerccios que ficam na aula.
# Nao se preocupe com a prova.- à
O que vamos estudar neste curso
# Funcoes de varias variaveis f : Rn ! Rm
# Limites e derivadas
# Multiplicadores de Lagrange
# Integrais em superfcies
O ←
Nas definicoes basicas
retangulos, crculos ou coisas mais gerais.
# Precisamos entender um pouco mais da topologia de Rn.
# Se f : Rn ! Rm entao existem funcoes f1, . . . , fm tais que
f (x1, . . . , xn) = (f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn)).
# Como e o grafico de uma funcao f : Rn ! Rm?
• f :[a.b)→ IR • g :(a. b)→¥ç% -mi:::
*-¥
Graficos
Quando h : A R ! R, o grafico e representado no plano
cartesiano. De fato, o grafico de h e um subconjunto de R2:
Gr(h) = {(x , h(x)); x 2 A} A R.- Í;µ"
cnn.r.i.tk#(x , y , flx , JR← ( (my) , flush
O que muda do Calculo I?
Graficos
No caso f : U Rm ! Rn, o grafico sera um subconjunto de
Rm Rn:
Gr(f ) = {(x , f (x)); x 2 U} Rm Rn = Rm+n.
Isto e um problema serio se voce gosta de desenhar graficos.
00
o
É "
Graficos
Em condicoes normais, nao conseguimos “enxergar” Rk para
k 4, entao nossos graficos ficarao restritos a R3, ou seja, aos
casos em que as funcoes sao R2 ! R (e o caso R ! R2?).
Neste caso, se z = f (x , y), com f : U R2 ! R, representaremos
o domnio de f no plano z = 0, logo os pontos do grafico serao da
forma (x , y , f (x , y)), com (x , y) 2 U.
Loft rz
Graficos
q
; t
Graficos
Exemplo
Como e o grafico de z = f (x , y) = 1?@2=81%7470
f- ← f :@→ f ( l , 2) = 1
÷:::: Ê
Graficos
Exemplo
Como e o grafico de z = f (x , y) = x2 + y2?
fingirei nz
Graficos
Exemplo
Como e o grafico de z = f (x , y) = p 1 x2 y2?
Exercício I -
Graficos - curvas de nvel
Existe uma forma mais simples de fazer uma representacao
geometrica do esboco do grafico de f : sao as curvas de nvel. Seja
f : U R2 ! R uma funcao.
As curvas de nvel de f sao as curvas dadas por equacoes da forma
f (x , y) = k , com k constante. Ela mostra os pontos (x , y) 2 U do
domnio de f tais que f vale k .
As curvas de nvel representam as projecoes no plano z = 0 das
-
Graficos - curvas de nvel
Graficos - curvas de nvel
Graficos - curvas de nvel
1. f (x , y) = 2x 3y + 1
2. g(x , y) = x2 + 2y2
3. h(x , y) = p
# Voce ja estudou curvas de nvel em geografia, se lembra?
# Se f : R3 ! R, as curvas f (x , y , z) = k serao as superfcies de nvel. Consegue fazer alguns exemplos?
Esboce as superfcies de nvel de f (x , y , z) = x2 + y2 + z2 + 2.
} barracão -
í÷÷÷: .
Limites: uma variavel
Na nocao de limite em dimensao 1, pode-se tender a x = p pela
esquerda ou pela direita.
Limites: varias variaveis
Agora teremos infinitas direcoes possveis. Testar limites laterais
nao sera suficiente, teremos que conseguir outra forma de provar a
"
Derivadas
Em funcoes R ! R, a derivada num ponto x = p representa o
coeficiente angular da reta tangente ao grafico da funcao neste
ponto.
É
Derivadas
nocoes coincidiam).
relacionadas ao plano tangente, que e o analogo em dimensoes
maiores da reta tangente. As derivadas parciais serao usadas para
obter a equacao deste plano.
-
Derivadas
Derivadas
i
Derivadas
a outra variavel “como se fosse uma constante”.
Exemplo
Seja f (x , y) = x2 + 3y5. Calcule as derivadas parciais. -
f- a Cni) = 3¥ = 2k
f-y la .g) =}#= 3. 5g" = 15g4
O que muda do Calculo I?
Derivadas
Formalmente, se f : R2 ! R e p = (a, b), entao definiremos as
derivadas parciais de f no ponto p como respeito a x e a y como
@f
h
h ,
respectivamente.
Derivadas
Derivadas
Derivadas
Integrais
Aqui aparecerao as maiores diferencas com o Calculo I - sao muitas
nocoes de integracao. A mais simples delas, e mais parecida com a
integral de Riemann de uma funcao R ! R, e a integral dupla (ou
tripla) em regioes retangulares.
Neste caso, se f : [a, b] [c , d ] ! R, a integral dupla representara
o volume da regiao abaixo do grafico. O
1 : [a.b)→ ( t : saiba →p
ti .
Integrais
Integrais
Volume =
[ mexam ! a.
Integrais
Mas no caso das integrais, ainda poderemos integrar em regioes
mais gerais, integrar sobre superfcies (esferas, paraboloides, etc).
O ultimo resultado que veremos sera o equivalente ao TFC para
dimensoes maiores: o Teorema de Stokes. Z
M d! =
Z
@M !.
Este e um dos mais belos e importantes resultados da matematica.
Ele tem muitas aplicacoes (de verdade!), e uma das bem legais (no
caso de integrais de linha) e o planmetro.
Dever de casa: descubra o que e o planmetro!
O← O Teo.GR#Q
Proxima aula: Funcoes de varias variaveis: limites e
continuidade.
Se cuidem: usem mascaras, limpem as maos com alcool em gel.
Fique em casa.