Por: Joana Pinto

São representações esquemáticas

constituídas por conjuntos finitos de pontos

(vértices) e por segmentos (arestas), que

unem os pontos.

No quotidiano, os grafos são utilizados para

encontrar soluções ótimas para

determinadas situações: na definição de

redes de distribuição de mercadorias, na

organização de roteiros, na definição de

horários ou de sequências de tarefas.

Grafo conexo1 – grafo onde existe sempre uma

sequência de arestas a unir quaisquer dois dos seus

vértices.

Digrafo (ou grafo orientado)2 – grafo em que as

arestas têm orientações (sentidos) definidas (com

setas).

Grafo completo3 – grafo em que cada um dos

vértices é adjacente a todos os outros.

Por exemplo, o grafo 3 é de ordem 5 pois tem 5

vértices

12 3

Grau (ou valência) de um vértice é o número de

arestas que nele concorrem. Diz-se que um vértice

tem grau par se nele concorre um número par de

arestas e que tem grau ímpar no caso de esses

números ser ímpar.

Passeio – sequência de vértices em que cada dois

vértices consecutivos estão ligados por uma

aresta, podendo haver repetição;

Caminho – passeio em que apenas se passa uma

vez em cada vértice;

Trajeto (ou trilho) – é um passeio em que apenas

se passa uma vez por cada aresta;

Circuito (ou ciclo) – é um caminho que começa e

acaba no mesmo vértice.

Trajeto euleriano – percorre todas as arestas e um grafo uma única vez. Regra: Num grafo conexo, podemos encontrar um

trajeto euleriano se e só se existirem, no máximo, dois vértices de grau ímpar.

Circuito euleriano – é um trajeto euleriano (ou seja, percorre todas as arestas do grafo uma única vez) que começa e acaba no mesmo vértice Regra: Num grafo conexo podemos encontrar um

circuito euleriano se e só se todos os vértices tiverem grau par.

Problemas eulerianos – problemas que envolvem as arestas de um grafo.

Eulerização de grafos – eulerizar um grafo

consiste em acrescentar-lhe arestas, por forma a

tornar possível encontrar um circuito euleriano.

Se pretendermos eulerizar um grafo, devemos:

1. Verificar o grau de cada vértice para localizar

os que têm grau ímpar;

2. Adicionar arestas sempre com o objetivo de

que todos os vértices fiquem com grau par.

No entanto, adicionar arestas corretamente significa

que só podemos duplicar uma aresta já existente

entre dois vértices. A melhor eulerização é sempre

aquela que acrescenta o menor número de arestas.

Circuito hamiltoniano é um caminho quecomeça e acaba no mesmo vérticepercorrendo todos os vértices uma sóvez. Um grafo diz-se hamiltoniano senele se pode encontrar, pelo menos, umcircuito hamiltoniano.

Pesos – número que se atribui a cadauma das arestas de um grafo. Poderepresentar distâncias, custos, tempo,etc. A um grafo com pesos atribuídoschamamos grafo ponderado.

Métodos de resolução de problemas

Árvores – grafo conexo e

sem circuitos.

Algoritmo dos mínimos

sucessivos (ou do vizinho

mais próximo)

Algoritmo por ordenação dos

pesos das arestas (ou das

arestas classificadas

(Com valores e totais)

O objetivo é começar o

percurso numa cidade e

seguir sempre para a

cidade mais próxima

ainda não visitada

Ex.: A B C (t = 30

km)

1. Começa-se por ordenar as

arestas do grafo por ordem

crescente de distâncias;

2. Escolhe-se sucessivamente

a aresta que corresponde ao

valor mais baixo, tendo em

conta que:

• Um vértice não pode ter

mais de duas arestas

que lhe concorram;

• Não se pode fechar

circuito enquanto

houverem mais vértices

a visitar.

Dica: desenha o grafo à medida

que eliminas as arestas.

Árvore abrangente (ou árvore geradora)

é uma árvore que contém todos os

vértices de um grafo dado.

Árvore abrangente mínima – árvore

em que a soma dos pesos das arestas

é mínima.

Nos tipos de problemas que compreendem

as árvores abrangentes mínimas, não temos

de regressar ao ponto de partida: só temos

de encontrar um percurso que visite todos

os vértices sem criar circuitos. Por isso, os

vértices podem ter tantas retas a concorrer-

lhes quantas necessárias.

Para descobrir a árvore abrangente

mínima num grafo existe o Algoritmo de

Kruskal.

Algoritmo de Kurskal: Vão-se unindo as

arestas do grafo por ordem crescente

dos pesos, desde que não formem

circuitos e se garanta que no final todos

os vértices estão na árvore.

Caminho crítico é umasequência de tarefas quedeve ser realizada no tempoprevisto, de forma quedeterminado trabalho ouprojeto seja concretizadodentro do prazo. A suaduração é aquela quedetermina o menor tempopara a conclusão do projeto ecorresponde à maior duraçãoglobal

Tarefa Tempo (dias) Dependências

T1 1 Nenhuma

T2 2 T1

T3 3 T2

T4 4 T2

T5 5 T2

T6 7 T3 e T5

T7 6 T4 e T5

T8 8 T5

T9 9 T8

Crescimento populacional positivo: há um aumento da população;

Crescimento populacional negativo: há uma diminuição/declínio da população

Crescimento contínuo – as mudanças acontecem a todo o instante;

Crescimento discreto – as mudanças acontecem de tempos a tempos e sempre que se dá uma mudança, diz-se que ocorreu uma transição

Progressão aritmética – sucessão em que a diferença entre transições é constante, à qual chamamos razão, r, da progressão. No caso de crescimento populacional, a razão representa a taxa de crescimento da população.

Modelo de crescimento linear discreto: é um modelo em que a evolução da população é descrita por uma progressão aritmética (Pn + 1 – Pn = r) diferença entre cada termo e o anterior é constante. Para um modelo linear discreto:

Pn = P0 + n x r ou y = ax + b