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ndice

Introduo ....................................................................................................................................... 2

Cardinalidade .................................................................................................................................. 3

Comparao de conjuntos ........................................................................................................... 3

Conjuntos finitos, contveis e incontveis .................................................................................. 3

Princpio de contagem..................................................................................................................... 4

Anlise combinatria................................................................................................................... 5

Factorial de um nmero ........................................................................................................... 5

Permutao simples ................................................................................................................. 6

Permutao completa ou com repetio .................................................................................. 7

Permutao circular ................................................................................................................. 8

Arranjos silples ........................................................................................................................ 8

Arranjos completes ou com repetio ................................................................................... 10

Combinao simples .............................................................................................................. 10

Combinao completa ........................................................................................................... 12

Tringulo de pascal ....................................................................................................................... 14

Propriedades .............................................................................................................................. 15

Dualidade de e familia de conjuntos ............................................................................................. 18

Donjunto potncia ......................................................................................................................... 19

Concluso ...................................................................................................................................... 20

Bibliografia ................................................................................................................................... 21

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Introduo

O presente trabalho que tem como tema cardinalidade e principio de contagem, dualidade,

famlia e partio de conjuntos, como os nomes indicam estes iro introduzir uma nova relao

dos conjuntos facilitando ainda mais a compreeno dos problemas neles envolvidos. Esto

incluidas tambm o tringulo de Pascal e o Binmio de Newton que de uma forma breve eles

iro demonstrar como ser possvel simplificar expresses de longo perodo de resoluo em

simples passos.

O trabalho em se composto por um breve resumo terico (uma vez que no h pratica sem

teoria), logo em seguida os exemplos prtico onde neles poders notar com clareza como aplicar

as tais teorias na prtica. Temos como objectivos principal com o trabalho em destaque mostrar,

explicar detalhadamente algumas relaes importantes e indispensveis que iro dar um grande

auxlio na resoluo destes problemas.

Boa leitura.

3

CARDINALIDADE

A cardinalidade de um conjunto uma medida do "nmero de elementos do conjunto.

Existem duas abordagens para cardinalidade uma que compara conjuntos directamente,

usando funes bijetoras e funes injectoras, e outra que usa nmeros cardinais.

A cardinalidade de um conjunto A usualmente denotada |A|, com uma barra vertical de cada

lado; trata-se da mesma notao usada para valor absoluto, por isso o significado depende

do contexto. A cardinalidade de um conjunto pode ser denotada ainda ou #A.

Comparao de conjuntos

Caso 1: |A|= |B|

Dois conjuntos A e B possuem a mesma cardinalidade se existe uma bijeo, ou seja,

uma funo que seja simultaneamente injectora e sobrejetora, entre eles.

Caso 2: |A| |B|

A tem cardinalidade maior ou igual que a cardinalidade de B se existe uma funo injectora de B

para A.

Caso 3: |A||B|

A tem cardinalidade menor ou igual que a cardinalidade de B se existe uma aplicao injectiva

de A para B.

Conjuntos finitos, contveis e incontveis

Dizemos que um conjunto finito quando ele tem fim, ou seja, quando a cardinalidade dele

pode ser representada por um numero inteiro.

Qualquer conjunto X com cardinalidade menor que a do conjunto dos nmeros naturais, ou

|X| < |N|, dito conjunto finito.

4

Qualquer conjunto X que tenha a mesma cardinalidade do conjunto dos nmeros naturais, ou

|X| = |N| = 0, denominado conjunto infinitamente contvel.

Qualquer conjunto X com cardinalidade Maior que a do conjunto dos nmeros naturais, ou

|X| > |N|, por exemplo |R| = c > |N|, denominado incontvel.

PRINCPIO DE CONTAGEM

O princpio fundamental da contagem um princpio combinatrio que indica de quantas

formas se pode escolher um elemento de cada um de n conjuntos finitos. Se o primeiro conjunto

tem k1 elementos, o segundo tem k2 elementos, e assim sucessivamente, ento o nmero total T

de escolhas dado por:

T = k1 .k2 .k3 . ... kn

Este acontecimento formado por dois estgios caracterizados como sucessivos e independentes:

O primeiro estgio pode ocorrer de m modos distintos.

O segundo estgio pode ocorrer de n modos distintos.

Desse modo, podemos dizer que o nmero de formas diferente que pode ocorrerem um

acontecimento igual ao produto .

Exemplo:

Alice decidiu comprar um carro novo, e inicialmente ela quer se decidir qual a modelo e a cor do

seu novo veculo. Na concessionria onde Alice foi h 3 tipos de modelos que so do interesse

dela: A, B e C, sendo que para cada carro h 5 opes de cores: preto, vinho, azul, vermelho e

prata.

Qual o nmero total de opes que Alice poder fazer?

5

Segundo o Princpio Fundamental da Contagem, Alice tem 3x5 opes para fazer, ou seja, ela

poder optar por 15 carros diferentes.

ANLISE COMBINATRIA

Quando o nmero de elementos elevado, a contagem pelos processos anteriores praticamente

impossvel e, nestes casos, recorre-se anlise combinatria.

Assim, a anlise combinatria pode ser entendida como um conjunto de processos alternativos e

simplificados de contagem.

FACTORIAL DE UM NMERO

Ao proesso de multiplicar um nmero pelos seus antecessores at o 1 designamos factorial de um

nmero e representamos por !.

Para um factorial genrico temos:

! = ! = ! = ( ) ( ) !

Segundo tal definio, o factorial de 5 representado por 5! E l-se 5 factorial.

5! igual a 54 3 21 que igual a 120, assim como 4! igual a 43 2 1 que igual

a 24, como 3! igual a 3 . 2 . 1 que igual a 6 e que 2! igual a que igual a 2.

Exemplo:

8! = 8 .7 . 6. 5 .4 .3 .2 . 1 = 40320

6

PERMUTAO SIMPLES

Permutaes simples uma tcnica combinatria utilizada quando desejamoscontar as

possibilidades formao de uma fila ou seqncia em que no h repetio de elementos e todos

esses elementos so utilizados no problema.

As permutaes que podemos formar com as letras da palavra mar so:

(m, a, r) (a, m, r) (r, m, a) (m, r, a) (a, r, m) (r, a, m)

Para generalizar se devemos dispor n objetos em fila teremos n! (n fatorial) maneiras distintas de

dispormos esses n objetos, Simbolizaremos assim:

= !

Exemplo:

De quantos modos diferentes podemos dispor 5 pessoas em fila?

Resoluo:

Pelo mesmo raciocnio: = ! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 modos ou filas diferentes.

Para terminar quanto vale 1!e 0!?

1! = 1 Podemos pensar combinatoriamente e nos indagarmos sobre a quantidade de maneiras de

dispormos (1) objeto em fila. Existe uma nica maneira. Dessa forma 1! = 1

0! = 1 Podemos pensar, utilizando combinatria, de quantos modos podemos colocar 0 (zero)

objetos em fila. Esta resposta polmica, mas bem aceitvel. Como no h objetos podemos

realizar esse ato de uma maneira - no construindo a fila, logo dizer 0! = 1 o correcto.

7

PERMUTAO COMPLETA OU COM REPETIO

Se quisssemos, por exemplo, contar os anagramas da palavra AMIZADE no poderamos

utilizar tal ferramenta, pois a letra A aparece repetida duas vezes. Portanto elemento epetido.

Outro exemplo em que o uso de permutaes simples indevido seria, por exemplo, formar

nmeros de trs algarismos distintos utilizando 3, 4, 5, 6. Uma vez que s utilizaramos trs

algarismos e dispomos de quatro. Dessa forma no utilizaramos todos os elementos fornecidos.

Logo a permutacao simlpes seria inviavel nestas situacoes entao recorre-se a outro tipo de

relacao desta que a permutao com repetio.

Essa nova ferramenta, como o nome indica diferentemente das permutaes simples, lida com

elementos que se repetem. Isto , busca formar filas ou seqncias com elementos repedidos.

Vale a ressalva: todos os elementos em questo devem ser utilizados.

Para demonstrar vamos, agora, contar todas as seqncias formadas a partir da troca dos

smbolos de XIII (treze em romanos). Como podemos notar o smbolo I aparece trs vezes no

nmero. Dessa forma contaremos o nmero de seqncias formadas com XIII como se os I,s

fossem diferentes. Assim obteramos 4!. No entanto sabemos que contamos seqncias iguais

mais de uma vez. Na realidade contamos cada seqncia 6 ou 3! vezes. Assim para obtermos a

resposta correta, basta dividirmos 4! por 3!. Obteremos: =

!

!=

!

!= 4

Nota-se, com o exposto acima, que ao tentarmos contar o nmero de permutaescom repetio

de elementos devemos no numerador colocar o nmero que remete a quantidade de elementos na

forma fatorial e em seguida dividir pelo produto fatorial da quantidade de elementos repetidos de

cada tipo.

Para generalizar, o nmero de permutaes com elementos em que um deles aparece

repetidamente vezes, outro vezes, outro vezes e assim sucessivamente dado por:

(, , , ) =

!

!!!!

8

Exemplo:

De quantas maneiras diferentes podemos empilhar 5 figurinhas, sabendo que trs so repetidas?

()

= 5!

3!=

5 4 3!

3!= 20

Podemos empilhar as figurinhas de 20 maneiras diferentes.

PERMUTAO CIRCULAR

Permutaes circulares uma ferramenta intrinsecamente ligada permutaes simples. Difere

dessa pelo fato de os elementos em questo estarem dispostos em fila circular, isto , atravsde

um circulo.

Para determinarmos o numero de permutaes circulares, utilizamos a seguinte expresso:

=!

ARRANJOS SILPLES

A ferramenta arranjos simples utilizada quando desejamos formar filas com p elementos

escolhidos a partir de um grupo de m elementos, com p m. Se, por exemplo, de um grupo de

oito (8) pessoas, devemos dispor cinco (5) delas em fila. De quantos modos podemos realizar tal

processo?

J sabemos pelo principio multiplicativo ou principio fundamental da contagem que podemos

formar: 8 x 7 x 6 x 5 x 4

Desse modo obtemos 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 6720 filas com cinco pessoas escolhidas dentre oito.

Podemos concluir dessa maneira que Arranjos uma aplicao do principio multiplicativo para

formar filas quando for necessrio escolher alguns elementos de um grupo para formar tal Fila.

9

Simbolizaremos o resultado desse exemplo como ,, ( Arranjo 8 elementos tomados 5

a 5), isto , formamos uma fila com cinco elementos selecionados de um grupo de oito.

pois temos de escolher dentre 100 elementos 4 para serem dispostos em fila. Esse resultado

tambm pode ser reescrito em funo dos valores 8 e 5, observe: =

!

()!

Note que esse resultado idntico a = 8 x 7 x 6 x 5 x 4. Essa nova representao desse valor

motivada a aparecer apenas para efeito de generalizao, isto , para se obter uma frmula geral

para arranjos.

Da mesma Forma = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 ou

=!

()!

Para generalizar, se desejarmos dispor p elementos em fila escolhidos dentre de m elementos,

com p m, podemos realizar esse processo de

= !

( )! Maneiras distintas.

Exemplo:

Quantos nmeros de trs dgitos distintos escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, podemos formar?

Resoluo:

Em outras palavras queremos formar uma fila de trs algarismos escolhidos de um grupo de sete

algarismos.

Podemos ento formar filas distintas ou efetuando os clculos obtemos:

=

!

()!=

!

!= 7 6 5 = 210

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ARRANJOS COMPLETES OU COM REPETIO

Um arranjo completo de n elementos tomados p a p dado pelo nmero de sequncias com p

elementos que podemos constituir a partir de um conjunto com n elementos,

e em que as sequncias diferem entre si quer pela ordem, podendo estes

serem repetidos uma ou mais vezes.

Tendo em conta que os elementos escolhidos podem se repetir, poderemos formar sequncias c

onstitudas por p elementos,

sendo que os p elementos escolhidos podem ser mais que os n elementos

existentes no conjunto inicial

simbolicamente, o nmero total de arranjos com repetio que possvel formar com p

elementos, escolhidos de entre os n elementos dados, vujo estes podem estar repetidos

dado por:

=

Exemplo:

Num determinado pas, as matrculas dos automveis so formadas por 4 letras do alfabeto

(de 26 letras). Quantas matrculas distintas so possveis arranjar desta forma?

= 26 = 456976

COMBINAO SIMPLES

Combinao simples uma ferramenta combinatria utilizada quando desejamos contar as

possibilidades de formao de um subgrupo de elementos a partir de um grupo dado. Em outras

palavras se possuirmos um Conjunto de elementos, desejamos contar as possibilidades de

formao de um subconjuntoformado a partir do conjunto dado.

Por exemplo a partir de um grupo de sete pessoas {Adriana, Bruno, Carol, David, Eduardo,

Flvio, Gustavo} desejamos formar um subgrupo com quatro delas. De quantas formas podemos

formar esse subgrupo?

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Primeiro note que subgrupo de pessoas no sinnimo de fila com pessoas. Numa fila aordem

relevante, num subgrupo irrelevante. No entanto para se obter a resposta vamos supor, de inicio,

que estamos formando uma fila com as 7 pessoas. Uma vez formada a fila, selecionaremos os

quatro primeiros indivduos dessafila para ter o grupo de quatro pessoas que queremos elecionar.

Obteremos 7! filas distintas, assim ao obtermos 7! Achamos um resultado incorreto. Pois a

contagem foi excessiva.

Mas nem tudo est perdido. 7! no nossa resposta, porm ela pode ser corrigidapara se chegar a

resposta correta. Nosso erro inicial foi formar uma fila ao invs de um conjunto, assim, nesse

momento devemos desmantelar a fila. Isto , contamos excessivamente o conjunto {Adriana,

Carol, Bruno, David} toda vez que formamos uma fila com essas pessoas nas quatro primeiras

posies e as demais pessoas nas outras posies. O nmero de maneiras de dispor quatro

pessoas em fila 4!, e as demais (3 pessoas) 3!. Assim para desmantelar a fila devemos dividir

7! por 4!3!. Desse modo a resposta ser !

!! .

Esse resultado !

!! ser simbolisado por

,, l-se: combinao de 7 elementos

tomados 4 a 4. Assim fica: =

!

!! fazendo as contas teremos:

=

!

!!= 35

Para generalizar a idia de formao de grupos a partir de outro grupo dado, vamos observar os

resultados do exemplo anterior.

Quando encontramos !

!! o que tomamos no numerador foi a quantidade de filas com 7 pessoas

7!.No denominador como um fator corretortomamos a quantidade de filas com as quatro

pessoas mencionadas 4!e a quantidade de filas com as trs pessoas restantes 3!. Assim a partir de

uma fila, encontramos o conjunto desejado. Para encontrarmos a quantidade de pessoas que

restaram tomamos o total de pessoas 7 e subtramos as pessoas j mencionadas 4. Assim a

quantidade de pessoas restantes sempre ser igual ao total de pessoas menos as j mencionadas.

Podemos, dessa maneira substituir 3!, nas contas acima por (74)!, observe:

12

=

!

!!=

!

()!

Feito isso podemos generalizar a ideia de uma quantidade qualquer de elementos:

A partir de um conjunto com elementos devem-se formar um subconjunto com elementos. A

quantidade de subconjuntos igual a

Se < temos:

= Se

=!

()!

Observao: n, p {5,4,3,2,1,0...} ; 0!=1 ; 1!=1

Exemplo:

Dentre 9 livros distintos que esto em oferta em uma livraria, Ftima deseja escolher 5 para

comprar. De quantos modos diferentes Ftima pode escolher os 5 livros?

Resoluo:

Repare que nessa situao o que Ftima deve fazer escolher 5 livros dentre 9, isto , formar um

grupo de 5 livros a partir de um grupo de 9. Desse modo ela pode realizar esse processo de

maneiras diferentes. Esse smbolo resulta em:

=

9!

(9 5)5!= 126 .

COMBINAO COMPLETA

Combinaes simples de n elementos tomados p a p com , temos agrupamentos de p

elementos, tomados dentre os n elementos disponveis, que diferem entre si apenas pela natureza

dos elementos com repetio, isto , quando a ordem no importa, mas cada objecto pode ser

escolhido mais de uma vez, o nmero de combinaes :

, =

( 1 + )!

( 1)! !

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Exemplo:

De quantos modos podemos comprar 4 salgados sem uma lanchonete que oferece 7 opes de

escolha de salgados?

, =

, =10!

6! 4!= 210

Podemos comprar de 210 modos.

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TRINGULO DE PASCAL

O tringulo de Pascal um tringulo numrico infinito formado por nmeros binomiais n

,

onde n representa o nmero da linha (posio horizontal) e representa o nmero da coluna

(posio vertical), iniciando a contagem a partir do zero. Quando expomos os binomiais em

linhas e colunas, de modo que os de mesmo numerador fiquem em uma mesma linha e

os de mesmo denominador fiquem em uma mesma coluna, estamos construindo o tringulo

de Pascal.

Linha 0 00

Linha 1 10

11

Linha 2 20

21

22

Linha 3 30

31

32

33

Linha 4 40

41

42

43

44

Linha 5 50

51

52

53

54

55

Linha 6 60

61

62

63

64

65

66

. . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

Linha n n0

1

2

3

4

5

6. . . .

15

Substituindo-se cada elemento do tringulo pelo seu resultado, o tringulo fica assim:

Linha 0 1 2 = 1

Linha 1 1 1 2 = 2

Linha 2 1 2 1 2 = 4

Linha 3 1 3 3 1 2 = 8

Linha 4 1 4 6 4 1 2 = 16

Linha 5 1 5 10 10 5 1 2 = 32

Linha 6 1 6 15 20 15 6 1 2= 64

n0

+ 1

+ 2

+ 3

+

= 2

Propriedades

Primeiro elemento de cada linha da forma n0

, logo igual a 1.

O ltimo elemento de cada linha da forma n

, logo igual a 1.

Em uma linha, binomiais eqidistantes dos extremos so iguais.

50

51

52

53

54

55

1 5 10 10 5 1

A soma de dois elementos consecutivos de uma mesma linha igual ao elemento situado

imediatamente abaixo do segundo elemento somado.

16

Linha 1 00

Linha 1 10

11

Linha 2 20

21

22

Linha 3 30

31

+ 32

33

Linha 4 40

41

42

43

44

A soma de todos os elementos de uma mesma linha do tringulo de Pascal igual 2, onde

a ordem da linha.

BINMIO DE NEWTON

Denomina-se binmio de Newton a expresso ( + ) , onde , R e N.

Desenvolvamos entao ( + ) para alguns elementos de :

( + ) = 1

( + ) = 1a +1b

( + ) = 1 + 2 + 1

( + ) = 1 + 3 + 3 + 1

( + ) = 1 + 4 + 6 + 4 + 1

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Se extrairmos apenas os coeficientes das equaes resultantes temos:

Linha 0 1

Linha 1 1 1

Linha 2 1 2 1

Linha 3 1 3 3 1

Linha 4 1 4 6 4 1

Veja que no desenvolvimento de ( + ) temos:

Os coeficientes dos termos do desenvolvimento so os nmeros da linha n do tringulo de

Pascal.

Os expoentes de xdecrescem de n at 0, enquanto os expoentes de acrescem de 0 at n.

A soma dos expoentes de xe a, em cada termo, igual ao expoente ndo binmio.

Generalizando, obteremos a seguinte expressao:

( + ) = n0

. . + 1

. . + 2

. . + 3

. . + +

.

+ +

. .

O termo geral ou genrico do binmio ( + ) dado por:

=

.

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DUALIDADE DE E FAMILIA DE CONJUNTOS

Dualidade (teoria da ordem)

Na reamatemtica da teoria de ordem, cadaconjuntoparcialmenteordenado P dorigema um

conjuntoparcialmenteordenadodupla (ouaolado) que muitasvezesdenotadopor Pop ou Pd.

Este Pop ordemdupla definidocomosendo o conjunto com a ordeminversa, ouseja, x y

detmem Pop se e somente se y x detmem P. Numsentidomaisamplo,

doisconjuntostambmesto a serdito duos se elessoduplamenteparecidos, isto tem a mesma

forma ouseja, se um conjunto ordemsemelhanteao dual do outro.

Aimportnciadesta simples definiodecorre do fato de quecadadefinio e teorema da teoriaordempodeserfacilmentetransferido para a ordem dual. Formalmente, esta capturadapeloPrincpioDualidade para conjuntosordenados:

Se umadeterminadaafirmao vlida para todososconjuntosparcialmenteordenados,

entosuadeclaraodupla, obtidoinvertendo a direo de todas as relaes de ordem e portodas as

definiestericasdualizingordemenvolvidos, tambm vlida para todos os conjuntos

parcialmente ordenados.

Se umadeclaraooudefinio equivalente suadupla, entoele ditoser auto-dual.

Isto, pode ser provado aplicando o operador de complemento a uma igualdade de conjuntos que

envolvem unies e intersees.

Temos ( ) = ( ) = assim aps aplicar , todos os

conjuntos so substitudos por seus complementos, tudo substitudopor s e vice-versa.

A famlia de conjuntos F um conjunto cujos elementos so conjuntos.

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CONJUNTO POTNCIA

Dado um conjunto , o conjuntopotncia de , denotadopor (), o conjunto de

todosossubconjuntos de , isto :

() = {: }

Teoremas:

() ()

() () = ()

() () = ( )

|| = |()| = 2

Exemplo:

Seja dado um conjunto

= {2,3,5}

Entao o seuconjuntopotenciaser:

() = {{2},{3},{5},{2,3},{2,5},{3,5},{2,3,5}, }

PARTIO DE UM CONJUNTO

A partio de um conjunto o conjuntode subconjuntosnovazios de um conjuntoqueno se

intersectam e cujareunio o conjunto dado.

Exemplo:

Seja um conjunto A denotadopor:

= {2,3,5}

Entao podemos afirmar que o conjunto = {{2},{3,5} } uma partio de A pois:

a) Nenhum dos elementos de .

b) {2} {3,5} =

c) {2} {3,5} = {2,3,5} =

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Concluso

Chegando ao fim do trabalho, denotamos que o princpio de contagem no s um conjunto de

processos alternativos e simplificados de contagem, bem como existe uma importante relao

destes com a teoria de conjuntos em que podemos usar para fazer comparaes, organizaes, e

at mesmo oporaes com os mesmos. Denotou-se tambm que com relaes como Tringulo de

Pascal e Binmio de Newton no desenvolvimento de polinmio de grandes potncias as suas

resolues tornariam-se ainda mais fcil e rpidas, facto este que levaria muito tempo se

resolvssimos de forma natural.

21

Bibliografia

MORGADO, Augusto Csar; CARVALHO, Paulo Csar Pinto; FERNANDEZ, Pedro; Anlise combinatria e probabilidade, SBM Edirora;

MELLO, Margarida P.; Introduo Anlise Combinatria; Portugal; Cincia Moderna Edit; 2008;

JULIANELLE, Jos Roberto; DASSIE, Bruno Alves; DE LIMA, Mrio Lus Alves; Curso de Anlise Combinatria e Probabilidade - Aprendendo com a resoluo de problemas; 1 Edio; 2009;

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/pasca_l/pascal.htm

http://www.brasilescola.com/matematica/triangulo-pascal.htm

http://www.somatematica.com.br/emedio/binomio/binomio.php

http://www.estgv.ipv.pt/paginaspessoais/fmartins/Aluno/Matemtica/Ensino%20mdio/Binomio%20de%20Newtion/Binmio%20de%20Newton.htm

IntroduoO presente trabalho que tem como tema cardinalidade e principio de contagem, dualidade, famlia e partio de conjuntos, como os nomes indicam estes iro introduzir uma nova relao dos conjuntos facilitando ainda mais a compreeno dos problemas neles envolvidos. Esto incluidas tambm o tringulo de Pascal e o Binmio de Newton que de uma forma breve eles iro demonstrar como ser possvel simplificar expresses de longo perodo de resoluo em simples passos.O trabalho em se composto por um breve resumo terico (uma vez que no h pratica sem teoria), logo em seguida os exemplos prtico onde neles poders notar com clareza como aplicar as tais teorias na prtica. Temos como objectivos principal com o trabalho em destaque mostrar, explicar detalhadamente algumas relaes importantes e indispensveis que iro dar um grande auxlio na resoluo destes problemas. Boa leitura.CARDINALIDADEComparao de conjuntosCaso 1: |A|= |B|Caso 2: |A| |B|

Conjuntos finitos, contveis e incontveis

PRINCPIO DE CONTAGEMANLISE COMBINATRIAFACTORIAL DE UM NMEROPERMUTAO SIMPLES PERMUTAO COMPLETA OU COM REPETIO PERMUTAO CIRCULARARRANJOS SILPLESARRANJOS COMPLETES OU COM REPETIOCOMBINAO SIMPLESCOMBINAO COMPLETA

Propriedades

DUALIDADE DE E FAMILIA DE CONJUNTOSCONJUNTO POTNCIAConclusoBibliografia