MagnetostáticaCap. 5

Equações da magnetostáticaPotenciais escalar e vetorIndutâncias (auto e mútua)Campo magnético dipolarMagnetização e correntes de magnetizaçãoForça magnetomotriz Densidades efetivas de carga magnética (ferromagnetismo)Condições de contorno em superfícies e interfacesProblemas de condições de contorno

Inovações tecnológicas do Século XIX

bobina Eletroímã

Lei de Biot - Savart

Equivalentes de cargas em movimento : densidades de correntefiliformes, superficiais e volumétricas

Ex. : Carga puntiforme em movimento ( v << c)

q

Princípio da Superposição

Ex. Corrente filamentar em segmento ilimitado.

Exercício: Mostre que a força entre dois circuitos obedece a

Lei de Newton : .

Resp.: como

Existe, portanto, uma força atrativa entre as duas espiras paralelas.

Fluxo magnético

Divergência nula de B implica na inexistência de observação experimental de monopolos magnéticos:

Teorema da divergência :

Em consequência, define-se o Potencial Vetor A :

Expressão integral para o Potencial Vetor A :

Verifique que :

Lembrando que J é função das coordenadas (x’, y’, z’) :

Analogia

Se em Eletrostática temos :

Então em Magnetostática temos :

Sendo

Então

Pois

Uma vez que

x Magnetostática !!!

Lei de Ampère

o( I1 +I2 +I 3 ) oI

Ex.:I1 I2 I3

Transformação de Calibre

Calibre de Coulomb

Equações do Campo Magnetostático

Forma integral

Campos magnetostáticos não apresentam dependência do tempo.

Potenciais Magnéticos

Caso

ExercícioÉ possível haver uma onda magnetostática? Se sim, como assim!

Sugestão:

http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/spinwave.pdf

Ex.: Campo magnético no eixo de uma bobina plana e na vizinhança do eixo.

Fluxo sobre o cilíndro :

Fluxo nasuperfícielateral

Fluxo atravésda tampa decima

Fluxo atravésda tampa debaixo

Sobre o eixo (r = 0) temos :

Na vizinhança do eixo temos :

Lembando que : ou seja a inclinação de B relativaao eixo em M é:

Ex.: Sendo então .

Ex.: Potencial vetor em torno de segmento filamentar com corrente elétrica I.

ExercícioPar de fios paralelos conduzindo correntes de sentidos opostos.

Sobre a linha mediatriz entre os fios :

Indutância mútua entre dois circuitos de corrente

Equação de Neumann

Ex.: Cálculo da indutância mútua entre dois solenóides coaxiais.

ExercícioMostre que nesse caso a densidade de energia

magnética deve ser escrita como:

Momento de dipolo magnético

Campo magnético dipolar

Ex.: Campo magnético dipolar (releitura!)

Momento dipolar magnético (generalização!)

( )

Visão microscópica

ExercícioMostre que a expressão geral do campo magnético dipolar inclusive dentro da distribuição dipolar de raio R é dada por:

tal que

satisfazendo a condição:

A energia de interação dipolar entre momentos dipolares magnéticos m1 e m2 separados pela distância r constante é descrita pela expressão:

Questão

Qual a alternativa corresponde a configuração mais estável de energia, (i.e., mínima energia) orientacional magnética.

A B C D E

B

321o

2

3

4 r

mm

Interação entre dipolos magnéticosimersos num campo externo

ExercícioObtenha o dipolo magnético associado a uma espira plana no limite r >> a.

ExercícioReleitura do exercício anterior sem a imposição r >> a.

Integrais Elípticas

ExercícioObtenha o campo magnético do dipolo magnético do exercício anterior.

Mostre que:

ExercícioNova releitura do exercício anterior usando os harmônicos esféricos.

m =1

l par

l impar

ExercícioObtenha o campo dipolar magnético do exercício anterior.

Uma força magnética conservativa no caso de uma distribuição de correntes localizadas num campo

magnetostático que varia suavemente

Equivale a um monopolo

"Nulo"

Força Conservativa

Energia potencial magnetostática

Magnetização

A magnetização é definida através do momento de dipolo magnético por

unidade de volume de um material.

Didaticamente, é associada as correntes de magnetização (Amperianas).

“pictórico”

Admitindo:

Da relação vetorial : x (f F) = (f ) x F + f ( x F)

∫ X F dV = ∫ dA X F Gauss-Ostrogradski

Materiais magnetizados

Densidade de corrente de magnetização volumétrica :

Densidade de corrente de magnetização superficial :

B e M são funcionais de H

Magnetização : M = dm/dV no SI a unidade de M é A m-1

Susceptibilidade magnética

Permeabilidade magnética

Permeabilidade magnética relativa

Indução Magnética B e Campo Magnético H

Definição do campo magnético H :

Equação constitutiva ou funcional :

Em consequência

Lei de Ampère em presença de material magnético

Ex.: Campos magnéticos externos a ferromagnetos

Densidades efetivasde carga magnética

Distante de uma região com M localizada

Magnetic PeriodicTable

Magnetismo de átomos livres

As ligações químicas tendem a tornar todas as camadas e/ou sub-camadas eletrônicas completas, eliminando os spins « desemparelhados » !

Resposta magnética dos materiais

Diamagnetismo: provém de camadas e sub-camadas eletrônicas completas

Paramagnetismo: provém de (sub-)camadas eletrônicas incompletas.

Ferromagnetismo: provém de (sub-)camadas eletrônicos incompletas e spins acoplados via interação de troca quantum-mecânica.

A susceptibilidade magnética é um funcional

do campo magnético sendo escrita na forma de um tensor de segunda ordem para levar em

conta efeitos de anisotropia de magnetização.

Invariância frente as simetrias espaciais torna o tensor diagonalizável. Três eixos principais de anisotropia.

xx xy xz

yx yy

yz

zx zy zz

xx a b

a yy c

b c zz

A interação dipolo-dipolo é muito fraca para explicar os ordenamentos

magnéticos

EDD ~ B Bdip ~ 3 x 10-6 eV sendo R ~ 2.5 Å e ~ 1 B então TC ~ 0,04 K !

Ferromagnetismo é um fenômeno quantum-mecânico relativístico!

Histerese Magnética Wh = H.dB = 4 BrHC

Br

HC

Domínios magnéticos

Minimização de energia magnética equivale a redução de área/volume de pólos magnéticos !

domínios defechamento

texturarizado

isotrópico

M

Energia magnética armazenada

espaço material

xdxdxdW 33

03

0 2

1

2

1MHHHM)(HH

Força magnetomotriz

M = H • d l = rH = Ni

= Ni/lS = S/lM

l = 2rm

Sl = VNi / l = HB = H

M = R

R = l/S (relutância)

= R i (lei de Ohm)

rm

= l/S

Ex.: Solenóide com núcleo de material magnético macio

o

usando um ímã ...

i

mg m mg g

mm

g

go

m m

m m

g g

g g g g

Otimização da densidade de energia magnética

Volume do gap : AgLg

Densidade de energia : ½ Bg

2/o

então

(½Bg2/o) AgLg

= ½ (Hg Bg)(AgLg) = ½ (Hg Lg)(AgBg)

½ (Hm Lm)(AmBm) = ½ (Hm Bm)(LmAm)

(BH) máximo !

O produto (BH)max é mais importante que a área do ciclo de histerese.

Br indica quanto forte é o ímã.HC indica quanto é difícil desmagnetizar o ímã.

(BH)maxindica o volume de material necessário para obter uma certa energia.

Ex.: Discontinuidade da intensidade de fluxo magnético.

Se •B = 0 e B = ( H + M ), então•( H + M ) = 0 e •H = -•M 0

Se M 0 em V e M 0 nas superfícies S1 e S2 , então temos:m•M 0

Algo equivalente a uma densidade de carga magnética efetiva, tal que :

Se •B = 0 e B = (H+M)

Então•(H+M) = 0 e •H = -•M 0 ( M 0 na superfície ! )

Logo,m•M (densidade de carga magnética efetiva:)

M = Mox^

H

m

m

mm

Ex.: Esfera uniformemente magnetizada.

Ex.: no Slide 100

= o +

B H M

Condições de contorno em interfaces com materiais magnéticos

Interfaces

Aproximação dipolar

Ex.: Blindagem magnética usando uma casca esférica de material permeável num campo magnético uniforme.

Temos B = H somente entre b > r > a. Logo, é preciso resolver apenas a equação de Laplace nas regiões r > b e r < a.

As soluções fisicamente aceitáveis nas três regiões são :

As condições de contorno em r = a e r = b são tais que H e Br são contínuos.

Em termos do potencial escalar magnético estas condições são:

( relativo)

Estas quatro condições são suficientes para a determinação de todas as

constantes desconhecidas pois todos os coeficientes com l ≠ 1 anulam-se.

Para l = 1 os coeficientes satifazem simultaneamente as equações :

As soluções para e são :

O potencial fora da casca esférica corresponde ao campo uniforme Bo mais um

campo dipolar com um momento de dipolo orientado paralelo a Bo. Dentro da

cavidade há um campo magnético uniforme paralelo à Bo igual em magnitude à .

Quando >> 1, o momento de dipolo e o campo interior tornam-se :

Portanto, o campo no interior da casca é proporcional a 1/e a blindagem magnética

com um material de alta permeabilidade torna-se bastante efetiva. Sendo ~ 103–106

se reduz significativamente o campo no interior da casca esférica.

B ~ 0

Exercício(a) Obtenha o potencial e campo magnéticos de uma esfera uniformente magnetizada.

(b) Obtenha B, H e M no interior uma esfera magnetizada imersa em um campo magnetostático.

ExercícioObtenha o potencial e campo magnéticos em torno de um orificio circular num plano condutor com um campo magnético externo assintoticamente tangencial e uniforme em um dos lados (seção 5.13 do livro do Jackson 3a Ed.)

Dipolo magnético puntiforme

Momento dipolar:

Força exercida por um B externo sobre o dipolo:

Identidade vetorial:

Expressão alternativa para eq. (1):

(1)

(2)

Densidades de correntes equivalentes :

Densidades de cargas magnéticas equivalentes :

Força magnética exercida sobre o dipolo (Força de Lorentz) :

Discretização em elementos finitos :

Dipolo magnético extenso