Malhas Numéricas a partir de Imagens Sísmicas

Karl Apaza Agüero

Orientador: Paulo Roma Cavalcanti

COPPE – Sistemas - UFRJ

Conteúdo

Resumo. Introdução. Método.

●Realçar as características de interesse.

●Gerar um reticulado inicial de átomos.

●Minimizar a função de energia potencial total.

●Conectar os átomos.

Resultados.

Conclusões e Sugestões. 2

Resumo

• Confecção de malhas numéricas a partir de imagens sísmicas.

• Integra diversas técnicas:

– Processamento de imagens.

– Modelagem física.

– Otimização.

– Geometria Computacional.

Introdução

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Métodos sísmicos●Baseiam-se na emissão de ondas na

subsuperfície da terra ou no mar. ●Método de reflexão:

Aquisição. Processamento. Interpretação.

Introdução

Tradicionalmente: sísmica modelo geométrico malha

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Modelo geométrico = Conjunto de curvas e superfícies

● Horizontes: superfícies de separação entre camadas geológicas

● Falhas: descontinuidades causadas por deslizamento de camadas Modelo geométrico

Introdução

Proposta:sísmica malha

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Malhas diretamente a partir de imagens sísmicas.

Não criação de um modelo geométrico intermediário.

Os horizontes e falhas são extraídos diretamente da malha. Malha

Aplicações

Imagens digitais podem ser utilizadas para obter malhas para processos computacionais.●Na indústria petrolífera, decisões podem

ser tomadas a partir de simulações de processos geológicos que utilizam malhas numéricas geradas a partir de dados sísmicos.

● Imagens do cérebro humano permitem obter malhas para simulação do fluxo do sangue em suas artérias.

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Método Realçar as características de

interesse.● Técnicas de processamento de

imagens.

Visualização Volumétrica

Imagem Sísmica

Dados Sísmicos

Realce de Características de Interesse

Geração de ReticuladoInicial de Átomos

Minimizaçãode Energia Potencial

Conexão de Átomos

Malha Alinhada Simulação

Gerar um reticulado inicial de átomos em função das características de interesse.

● Modelo de forças entre átomos.● Algoritmo de Reticulado pseudo-

regular. Minimizar a função de energia

potencial total.● Modelo de forças entre átomos.● Método do gradiente descendente.

Conectar os átomos. ● Triangulação de Delaunay /

Diagrama de Voronoi.

Átomos

• Um átomo é um ponto na imagem sujeito a forças exercidas pelos seus vizinhos.

• Área de influência é função de uma distância limite D.

• Uma função de força inter-atômica deve satisfazer certas condições:

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Interação entre átomos

Propriedades

●Ser nula a partir de uma distância pré-definida, limitando a zona de influência de um átomo.

●Ser uma função contínua da distância inter-atômica.

●Ser repulsiva (positiva) para evitar átomos muito próximos.

●Ser atrativa (negativa) para evitar grandes espaços vazios, quando os átomos estiverem muito distantes.

Distância Nominal

A distância nominal d é a distância na qual as forças de repulsão passam a ser forças de atração.

Modelo de Força

Força de interação entre átomos é uma função polinomial, definida por partes :

d

xxu

ji

12

d: distância nominal de um átomo.

, distância normalizada.

u

uuuuf5.10

5.104

5

8

19

8

9 32

Potencial Escalar

Para usar técnicas de minimização:• força pode ser definida pelo negativo do

gradiente de um potencial escalar.

duufu )()(

u

uuuuu5.10

5.1016

5

24

19

8

9

256

153 43

Energia Potencial Atômica

A energia potencial atômica A é o somatório ponderado da energia associada a cada átomo no sistema.

A energia de um átomo é o somatório das forças exercidas sobre ele pelos seus vizinhos:

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n

i

n

j j

ji

n xd

xxxxxAA

1 121 2

1,...,,

Energia Potencial da Imagem

A energia potencial da imagem B é o somatório dos campos potenciais associados aos pixels da imagem que contenham átomos.

O campo potencial de um ponto b(xi) é função

do valor do pixel (nível de cinza) associado à imagem.

n

iin xbxxxBB

121 ,...,,

Energia Potencial da Imagem

O valor do campo potencial b(xi) esta no intervalo [-1,0]

O valor do campo potencial depende do tipo de estruturação final dos átomos: Na Triangulação de Delaunay:

b(x) = (pixel/255)-1,

o que faz com que o nível branco (255) produza o potencial 0 e o nível preto (0) produza o potencial -1.

• No Diagrama de Voronoi:b(x) = -pixel/255,

o que faz com que o nível branco (255) produza o potencial -1 e o nível preto (0) produza o potencial 0.

Energia Potencial Total A energia potencial total P é dada pela soma

ponderada da energia potencial atômica e a energia potencial da imagem:

O fator de escala ß determina a contribuição relativa de A e B.• ß=0 os átomos formam um reticulado regular que não

necessariamente está alinhada às características de interesse da imagem.

• ß=1 os átomos são sensíveis apenas às características da imagem, obtendo-se um reticulado altamente irregular.

Depende do tipo de estruturação final dos átomos.

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BxAxxxxPP ii )()(1,...,, 321

Realce

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Dimensões: 220 x 220 pixels Dimensões: 206 x 198 pixels

Características de interesse podem ser simples de detectar! Ou não?

Detector de Sobel

• Identificar as características de interesse da imagem.

• Detector de Sobel: – diferenciação da

imagem– suavização da

imagem

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Detector de Sobel

Atributo de caos

O atributo de caos realça mudanças (gradiente) ao longo das camadas de reflexão.

A partir das mudanças, a orientação dominante é calculada usando análise de componentes principais. Adicionar os gradientes dentro de

uma matriz de covariança. Decompor nos seus autovetores e

autovalores.

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Atributo de caos Camadas suaves e não

quebradas têm uma direção dominante:

Camadas curvas têm duas direções:

Uma falha com regiões irregulares têm gradientes apontando em todas as direções:

As falhas são obtidas usando uma máscara vertical ou uma máscara ortogonal na orientação dominante.

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Atributo de caos: máscara de 6 x 10

12

minmax

midJ

minmax mid

minmax mid

minmax mid

Operadores Morfológicos

• Para o realce das características de interesse são usados os operadores morfológicos de dilatação e erosão.

• Permitem o espaçamento ou adelgaçamento das características de interesse.

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Dilatação: máscara de 3 x 9

Tipos de Reticulados

• Retangular

• Hexagonal

• Pseudo-Regular

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Reticulado Inicial

O reticulado inicial de átomos deve ter as seguintes características:

● minimizar localmente a energia potencial atômica,● ser altamente regular, ● ser consistente com a função de distância nominal.

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Função de Distância Nominal

Para uma função de distância nominal constante, é fácil gerar um reticulado regular inicial de pontos que cumpra as propriedades mencionadas.

Um reticulado retangular é a escolha mais simples. Um reticulado hexagonal é uma solução melhor

para um reticulado inicial de pontos.

Função de Distância Nominal

Para uma função de distância não constante pode-se usar um reticulado pseudo-regular de átomos, adaptado de métodos desenvolvidos para refinamento de malhas de Delaunay.

●O reticulado é altamente regular mesmo com características finas em 2D e 3D.

●Baseia-se no fator r/d que mede a razão entre o raio r do circuncírculo do triângulo de Delaunay e a distância nominal, d, do átomo na posição do circuncentro.

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Imagem sísmica

Função de distância nominal dmin = 7 (pixels pretos)

dmax = 14 (pixels brancos)

Construa uma fila de prioridade de triângulos. Posicione um átomo nos 4 cantos da imagem e

outro numa posição pseudo-aleatória longe dos cantos.

Compute a triangulação de Delaunay das posições dos átomos e adicione os triângulos na fila de prioridade segundo o fator r/d

Enquanto a fila não estiver vazia ● Obtenha e remova o primeiro triângulo t da

fila (maior r/d)● Crie um novo átomo xi na posição do

circuncentro do triângulo t● Se xi estiver dentro dos limites da imagem

Adicione xi na triangulação de Delaunay.

Compute a nova triangulação de Delaunay, e adicione os triângulos na fila de prioridade se r/d(xi) > c.

Remova da fila de prioridade os triângulos que foram destruídos pela atualização da triangulação de Delaunay.

Defina o reticulado inicial de átomos com os vértices da Triangulação de Delaunay final.

Algoritmo: Reticulado

pseudo-regular de

átomos

2D: c = 0.760 3D: c = 0.803

Minimização da função de energia

●Após a geração do reticulado inicial, os átomos devem ser movidos para uma configuração que minimize a energia potencial total P.

●O método do Gradiente (Steepest Descent Algorithm - SDA) é usado para minimizar a função de energia potencial total, que pode possuir vários mínimos locais.

●A busca é repetida até que o mínimo mais adequado seja encontrado.

Otimizador do Reticulado de Átomos

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A tolerância Є permite controlar as iterações até que o decremento em P seja insignificante.

Imagem sísmica

Perturbação = 0.2 x d

Obter o reticulado inicial x1, x2, ...,

xn

Computar a energia potencial total do reticulado inicial P

Fazer {

● P0 = P

● Perturbar x1, x2, ..., xn

● Fazer{

Pi = P

Executar um passo do Método do Gradiente

} Enquanto Pi – P > Є |Pi|

} Enquanto P0 – P > Є |P0|

Triangulação de Delaunay • O reticulado de átomos

otimizado é estruturada via triangulação de Delaunay ou diagrama de Voronoi.

• Triangulação de Delaunay e Diagrama de Voronoi tendem a criar bordas (em 2D) e faces (em 3D) alinhadas às características da imagem.

• A triangulação de Delaunay sempre conecta os átomos com seus vizinhos mais próximos.

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Triangulação de Delaunay

316 átomos

Diagrama de Voronoi

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O diagrama de Voronoi conecta os circuncentros dos triângulos de Delaunay.

Os átomos ficam mais concentrados junto à fronteira das características de interesse.

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Diagrama de

Voronoi

652 átomos

Reticulado

inicialdmin= 5

dmax = 10

Reticulado

otimizado

Pert. = 0.2 x d

Diagrama

de Voronoi

sobre o

reticulado

otimizado

Resultados

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Triangulação de Delaunay

495 átomosdmin = 10 (pixels pretos)

dmax = 20 (pixels brancos)Perturbação = 0.1 x d

Diagrama de Voronoi

775 átomosdmin = 8 (pixels pretos)

dmax = 16 (pixels brancos)Perturbação = 0.1 x d

Resultados

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Sobel

3 x 3

Dilatação

3 x 3Cérebro

Resultados

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Malha renderizadacor do pixel = circumcentros

de triângulos

Reticulado otimizadodmin = 3 (pixels pretos)

dmax = 9 (pixels brancos)Perturbação = 0.2 x d

Malha1700 átomos

Resultados

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Triangulação de Delaunay gerada

sobre o Volume Sísmico do

Campo Stratton, no Sul do Texas.

Conclusões

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O realce de características de interesse é fundamental no método apresentado para que o otimizador de pontos produza bons resultados.

Nos resultados constata-se que o método alinha a malha adequadamente às características de interesse para imagens suaves em níveis de cinza.

Os parâmetros usados no pré-processamento da imagem devem ser estudados mais adequadamente, para que permitam uma automatização no realce dos horizontes e falhas em imagens sísmicas pouco nítidas.

Conclusões

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No resto do método, os parâmetros apresentados nos resultados são aplicáveis a maioria das imagens.

Se a imagem de entrada não permitir obter regiões fechadas, talvez porque tenha sido filtrada inapropriadamente, o método não será capaz de fechar os "buracos".

O método implementado pode ser usado para segmentar imagens em geral.

O número de átomos do reticulado deve ser grande o suficiente para garantir que a maioria deles se alinhem às características de interesse.

Sugestões

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Existem algoritmos de visualização volumétrica [Silva2004] que ajudam a realçar de modo apropriado características geológicas de interesse na sísmica.

Por outro lado, pode-se melhorar a qualidade da malha através de uma fase de pós-processamento.

O método implementa um modelo de forças que praticamente é independente do minimizador de energia, o que significa que o método pode ser estendido usando outros modelos de forças.

Etapa direta de segmentação da malha gerada.

Referências

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[Hale2001] “Atomic images – A Method for Meshing Digital Images”. Proceedings of the 10th International Meshing Roundtable, pp. 185-196. 2001.

[Hale2002] “Atomic meshes: from seismic imaging to reservoir simulation”. Proceedings of the 8th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery. 2002.

[Jalba2004] “CPM: A Deformable Model for Shape Recovery and Segmentation Based on Charged Particles”. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 2004.

[Silva2004] “Visualização Volumétrica de Horizontes em Dados Sísmicos 3D”. Tese de Doutorado. PUC-Rio . 2004.