Manova

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Análise Multivariada da Variância

(MANOVA)Notas para a disciplina de Análise

Estatística III

Tomás da Silva

© 2003 Universidade de Coimbra

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Pontos principais

• O que é a MANOVA? O que pode fazer-se com a MANOVA?

• MANOVA: Objectivos✸ Um exemplo

• Assunções para a MANOVA✸ Efectuar uma MANOVA com o SPSS

✸ Verificação das assunções

✸ Realizar a MANOVA

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O Que É A MANOVA?• Uma técnica similar à ANOVA

(Aliás, é uma extensão lógica da ANOVA)

• É usada quando o design envolve mais do que uma variável dependente.

• Na verdade, devemos falar de modelos da MANOVA (algo que, aliás, já tínhamos visto quando falámos da ANOVA)

• Em todos os modelos, de qualquer forma, teremos a seguinte equação:

DADOS = MODELO + ERRO

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OBJECTIVOSSe temos mais do que uma VD (var. dependente), então a

MANOVA permite:

• Controlar a inflação excessiva das taxas do erro “experimentwise”* de tipo I e II

• Obviar à incapacidade da parte do investigador, ao efectuar múltiplas ANOVAS unifactoriais, de ter em consideração as correlações entre as VD’s.

*a taxa de erro experimentwise (αEW), representa o grau de risco que acresce na análise de mais de uma variável dependente em cada experiência. Em concreto a taxa de erro é definida como a probabilidade de cometer um ou mais erros de tipo I numa série de análises de variáveis dependentes.

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Um ExemploBrace, Kemp & Snelgar (2003) apresentam o seguinte exemplo:

Imagine que uma equipa de investigadores está interessada em estudar se o facto de ser vítima de um crime influencia o grau de medo face ao crime. Neste caso pode comparar aqueles que foram vítimas de vários crimes, os que apenas foram vítimas uma vez e aqueles que nunca foram vítimas. Pode de seguida medir um certo número de diferentes aspectos do medo do crime, incluindo medidas objectivas tais como o número de medidas de segurança implementadas no lar, o número de vezes por semana que os participantes saem sozinhos, bem como uma medida de auto-relato.

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Estrutura da MANOVA• Por comparação com um modelo familiar consideremos a

estrutura de uma ANOVA bi-factorial, neste caso, já estudado, teremos:

ijkjkkjijk ey ++++= αββαµ

• Se aplicarmos a este modelo a partição dos diferentes tipos de variância, usando as SQ (Somas dos Quadrados), teremos:

erroABBAtotal SSSSSSSSSS +++=

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Estrutura da MANOVA—Cont.• Os testes de significância para cada uma das hipóteses do modelo são

obtidos através do teste F, um para cada efeito, e calculados como um rácio da Média dos Quadrados (MQ) do efeito pela MQerro.

• O modelo multivariado bi-factorial difere do modelo univariadoprimariamente porque a sua utilização envolve o emprego de múltiplas variáveis dependentes.

Por outro lado, as somas dos quadrados na partição do modelo da MANOVA envolverá o cálculo de valores de matrizes em vez de quantias escalares do tipo das SQ que encontrámos no modelo da ANOVA (Um escalar é um valor numérico singular, enquanto que uma matriz é uma arranjo bidimensional de valores numéricos.)

• Podemos rescrever (em álgebra das matrizes) a partição referente ao modelo bi-factorial com interacção, como:

ΕΗHΗΤ ABBA +++=

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Estrutura da MANOVA—Cont.• A matriz total das somas dos quadrados e do cruzamento dos

produtos (T) [SSCP T], é dividida numa parcela que contempla a adição das expressões matriciais que integram a informação sobre as SSCP entre os sujeitos (SSCP between; B) para cada hipótese do modelo (HA, HB e HAB) e uma matriz da SSCP para os elementos erro do modelo (E).

• Estas matrizes SSCP são muito importantes nas análises multivariadas. Constituem os termos que transmitem a informação acerca das correlações entre as variáveis dependentes. Esta informação é utilizada permanentemente na obtenção da solução do problema (Haase & Ellis, 1987).

• Depois de ter-se efectuado a partição da variabilidade, podemos calcular as estatísticas que nos permitirão testar se qualquer um dos efeitos contemplados no modelo permite dar conta de uma proporção significativa da variabilidade na variável dependente ou nas variáveis dependentes.

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Assunções para a MANOVA (unifactorial)

• Verifique o grau de correlação existente entre as VD’s (Lembre-se de que deve haver uma boa razão teórica para considerar mais do que uma VD na mesma análise. Aumentar indiscriminadamente o seu número pode reduzir o poder da MANOVA!). Tenha ainda em atenção que a correlação entre as VD’s não deve ser excessiva (problema da multicolineridade). Neste caso Tabachnick & Fidell (2001) sugerem que os r’s não devem exceder .90.

• Verifique ainda:

1. As VD’s devem ser contínuas ou discretas e qualquer relação entre elas deve ser do tipo linear.

2. Deve certificar-se que o número de casos em cada célula é maior do que o número de VD’s

3. Deve existir homogeneidade das matrizes de variância-covariância.

4. Deve assumir-se normalidade das distribuições univariada e multivariada(Esteja atento à platicurtose. Veja ainda se existem outliers).

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Efectuar uma MANOVA com o SPSS

• Avaliação da significância estatística dos resultados (testes multivariados)

Existem quatro testes que podem ser usados para determinar se existem diferenças estatisticamente significativas entre os níveis da VI na combinação linear das VD’s:

� Traço de Pillai

� Traço de Hoetelling

� Lambda de Wilks

� Maior raiz de Roy

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• O SPSS oferece um valor para cada um dos índices anteriores. Para além disso transforma cada um deles num valor de F e determina a significância estatística que lhes está associada.

• Se o factor em estudo apenas tem dois níveis, então todos os testes de F, apresentados pelo SPSS, serão idênticos;

• Porém se o factor tem mais de dois níveis, então os valores de F para cada um dos testes estatísticos serão, habitualmente, diferentes e é mesmo possível que alguns sejam significativos e outros não!

• Como regra (Cf. Tabachnick e Fidell, 1996), a maioria dos autores refere o Lambda de Wilks’, e a nossa sugestão vai também nesse sentido.

• Todavia, o teste do traço de Pillai é considerado como sendo aquele que apresenta maior robustez. Daí, se o n for pequeno, talvez seja apropriado interpretar este teste.

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• Depois de ter realizado um teste multivariado geral (omnibus), no caso de ter obtido significância estatística, convém localizar onde se encontram as diferenças entre os níveis da VI, para cada uma das VD’s. Como proceder?

✸ Análises de Follow-up:

� Múltiplas ANOVAS univariadas*

� Análise Stepdown

� Análise Discriminante*

� Contribuição de cada VD para o efeito multivariado

� Realização de Contrastes Multivariados

* Apenas estas técnicas serão referidas

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• O Exemplo

Vamos usar a base de dados, construída por Brace, Kemp & Snelgar (2003).

Trata-se do estudo sobre o medo do crime para diferentes grupos de vítimas deste tipo de violência.

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• Verificação das assunções

1. Tamanho da amostra?

2. Normalidade (univariada e multivariada)?

3. Outliers (usando o programa Explore)?

4. As VD’ estão correlacionadas e a relação é linear?

5. Homogeneidade das matrizes de variância-covariância?

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Como testar?

2. Normalidade (univariada e multivariada)

Na barra de comandos do SPSS escolha: (1)Analyse Regression Linear; (2) Variables Dependent id; (3) Independent security, outings, report; (4) Save Distances Mahalanobis.

3. Outliers (usando o programa Explore)

Analyse Descriptive Statistics Explore: (1) Dependent Mah_1; Label cases by id; (3) Statistics Descriptive Outliers. Continue.

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Normalidade (univariada e multivariada)?

Outliers (usando o programa Explore)?

Residuals Statisticsa

2,94 28,22 15,50 8,383 30

-1,499 1,517 ,000 1,000 30

,589 1,452 1,010 ,239 30

2,28 27,73 15,40 8,382 30

-6,14 5,82 ,00 2,689 30

-2,161 2,050 ,000 ,947 30

-2,262 2,275 ,016 1,016 30

-6,73 7,17 ,10 3,104 30

-2,475 2,493 ,012 1,061 30

,282 6,617 2,900 1,785 30

,000 ,300 ,039 ,061 30

,010 ,228 ,100 ,062 30

Predicted Value

Std. Predicted Value

Standard Error ofPredicted Value

Adjusted Predicted Value

Residual

Std. Residual

Stud. Residual

Deleted Residual

Stud. Deleted Residual

Mahal. Distance

Cook's Distance

Centered Leverage Value

Minimum Maximum Mean Std. Deviation N

Dependent Variable: IDa.

Comparar com o valor crítico obtido numa tabela do qui-quadrado; g.l. = nº de VD’s

g.l. =3, alfa=0.001valor = 16.27NS

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• Realização da MANOVA

General Linear Model Multivariate DependentVariables security, outings, report Fixed Factorsgroup Multivariate options Display Means for group Display Descriptive statistics Estimates ofeffect size Homogeneity tests.

(Cf. Output em Anexo)

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