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    5.3 Aceleración tangencial y radial[1][2][4].

    Si tenemos una partícula que cambia de dirección y además en magnitud, tenemos que exiaceleración radial yaceleración tangencialcomo se muestra en la figura 5.5. En este caso hablamos de unmovimiento circularNO uniforme

    Figura 5.5

    En esta situación, la velocidad y la aceleración tangencial son siempre tangentes a la traymientras que la aceleración radial es perpendicular a la trayectoria.

    Cómo aceleración radial y tangencial son perpendiculares entre si, existe una aceleración tolo tanto, existe un comportamiento vectorial de las aceleraciones que se describe en la figura 5.6.

    Figura 5.6a t

    a r a total

    θ

    a t = a total cos(q )

    a r =

    a total sin(q

    )q = tan 1

    a r a t

    ²

    #

    %

    &

    ¢¢

    a total = a t2 + a r

    2

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    Como la aceleración tangencial proviene del cambio de magnitud de la velocidad, entoncescalcula como la primera derivada de la velocidad tangencial respecto al tiempo:

    si v=cte, entonces at=0(ecuación 5.3)

    La aceleración tangencial se expresa en m/s2

    En un movimiento circular, la aceleración radial siempre existe, debido al cambio de direccvelocidad (si no hubiese cambio de dirección de esta, sería un movimiento lineal) pero no necesaexistirá aceleración tangencial. Recordar que la aceleración tangencial aparece sólo si hay un ca

    magnitud dentro del movimiento circular. Si estamos en presencia de un movimiento circular unaceleración tangencial es cero.

    Ejercicio 5.3:En un instante dado la aceleración total de una partícula que se mueve en la direccde las manecillas del reloj en un círculo de 2.5 m de radio es de 15 m/s2, formando un ángulo de 30ºcon su radio. En ese instante de tiempo encuentre:

    a. La aceleración centrípeta,b. Aceleración tangencial.

    c. La velocidad de la partícula

    Solución:

    Datosatotal= 15 m/s2 radio =2,5 mθ = 60º (el enunciado dice que el ángulo de 30º lo forma con elradio, así que por conveniencia utilizamos el ángulo complementariopara que coincida con las ecuaciones)

    a. ar como componente y del vector atotal

    b. ar como componente y del vector atotal

    a t =dvdt

    ar = a totalsin(q )= (15m/ s)sin(60)= 13m/s2

    at = atotalcos(q )= (15m/ s)cos(60)= 7,5m/s2

    Figura 5.7a t

    a r15 m/s2

    α=30º

    θ=60º

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    c.

    5.4 Fuerza radial y tangencial[1][2][4].

    Según la segunda ley de Newton (F=m·a), un objeto que acelera debe tener una fuerza neactúa sobre él. Un objeto que se mueve de manera circular debe tener una fuerza aplicada a estemantenga en esa trayectoria circular. Esta fuerza que mantiene dicha trayectoria está asociadaceleración centrípeta.

    De esta manera si F = m·a, entonces la fuerza que mantiene al objeto en trayectoria cillamadaFuerza Centrípeta se escribe de la siguiente forma

    (ecuación 5.4)La fuerza radial se expresa en N

    La dirección de esta fuerza está dirigida siempre hacia el centro, al igual que la acelecentrípeta. La fuerza centrípeta no es un nuevo tipo de fuerza, sino que sólo describe la direcciónLa verdadera fuerza para hacer girar el objeto se debe impartir de manera externa, como por ejempersona que hace girar una pelota atada a una cuerda.

    Existe una confusión respecto ala existencia de una fuerza centrífuga (que sale del ceConsiderando el mismo ejemplo de la persona que sostiene la pelota atada a una cuerda, mientsiente una fuerza hacia afuera, pero esta corresponde a una fuerza de reacción (tercera ley de Newa una fuerza centrífuga (este concepto es erróneo)

    Si el movimiento no es uniforme, es decir, que hay un cambio de velocidad, existirá un comtangencial de aceleración y por lo tanto también existirá unafuerza tangencialque se escribe de lasiguiente forma:

    ar =v2

    r

    v = ar · r = (7,5m/s2)(2,5m) = 4,33m / s

    Fr = m· ar

    si ar =v2

    r , entonces,

    Fr = m·v2

    r

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    (ecuación 5.5)La fuerza tangencial se expresa en N

    La dirección de esta fuerza siempre es tangente a la trayectoria, al igual que la acelertangencial. Además si Ft y Fr son perpendiculares entre si, existirá una fuerza total. El compovectorial de las fuerzas se describe en la figura 5.8.

    Figura 5.8

    Ejercicio 5.4: Un atleta realizará un lanzamientode martillo de 0,5 kg, la cadena del martillo tieneuna longitud de 1,5 m. Si la cuerda soportarauna tensión máxima de 50 N ¿Cuál es lavelocidad máxima que el martillo puedealcanzar?

    Solución

    Datosm =0,5 Kg.r =1,5 mFr = 50 N,(como es la fuerza de la cuerda que está dirigida hacia el centro, se entiende que se refiere a la fuerza radial)

    Ft = m· a t

    si at = dvdt ,entonces,

    Ft = m·dvdt

    Ft

    Fr F total

    θ

    Ft = F

    totalcos(q )

    Fr = F

    totalsin(q )

    q = tan 1Fr Ft

    ²

    #

    %

    &

    ¢¢

    atotal

    = Ft2 + F

    r 2

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    La ecuación 5.4 contiene todos los elementos necesarios para obtener la velocidad a partir de n

    datos.

    5.5 Cinemática angular [1][2][4].

    5.1.1. Posición y desplazamiento angular

    La posición angular de un objeto se refiere a su ubicación con respecto a un sistema de refespacial definida (plano xy). En cambio el desplazamiento angular es la diferencia entre la posicifinal del objeto en rotación. Al hablar de desplazamiento angular, es necesario designar la direccrotación. Rotación en sentido anti-horario se considera positivo, y la rotación horaria negativa. E5.9 se muestra una partícula que cambia desde la posición inicial en el punto P1 con una posición angulardeθ 1 a la posición P2 con un aposición angular deθ 2.

    Figura 5.9

    El desplazamiento que realizó la partícula desde el punto P1aP2queda determinada por la ecuación5.6 medida en radianes.

    (ecuación 5.6)

    5.1.2. Velocidad angular

    Fr = m·v2

    r

    v =F

    r · r

    m=

    (50N)(1,5m)0,5Kg

    = 12,25m/s

    q = q2 q

    1

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    La velocidad angular promedio es la relación entre el desplazamiento angular y el inter

    tiempo en el cual ocurre, nos indica el comportamiento promedio de la partícula en un intervaloestablecido. Se determina mediante la ecuación 5.7 expresada en las unidades del si rad/s.

    (ecuación 5.7)

    La velocidad angular instantánea queda determinada por el límite de la velocidad angular pcuando t tiende a cero. Esto también es la primera derivada de la posición angular respecto al tie

    (ecuación 5.8)

    5.1.3. Aceleración angular

    Si la velocidad angular varía en un intervalo de tiempo t existe una aceleración anguaceleración angular media, la cual se define como la relación de cambio en la velocidad angul

    determinado intervalo de tiempo t. Se determina mediante la ecuación 5.9 expresada en las unidsi rad/s2.

    (ecuación 5.9)

    La aceleración instantánea se define como el límite de la aceleración angular promedio cuatiende a cero.

    (ecuación 5.10)

    Esto también es la primera derivada de la velocidad angular respecto al tiempo y la sederivada de la posición angular respecto al tiempo.

    wm

    = q t

    =q

    2 q

    1

    t2 t1

    w = lim t® 0

    q t

    =d qdt

    m =

    w t

    =w

    2 w

    1

    t2 t1

    = lim t® 0

    w t

    =d wdt

    =d 2qdt 2

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    5.6 Cinemática angular bajo aceleración constante[1][2][4].

    Cuando un objeto gira en torno a un punto fijo, normalmente gira bajo una aceleración angular cEn este caso la situación es análoga al modelo de partícula bajo aceleración constante para movlineal. De esta manera se pueden definir cuatro ecuaciones para movimiento rotacional bajo acconstante que se explican en la tabla 5.1.

    Ecuaciones para movimiento en el eje x bajo aceleración constante5.11 Para determinar la velocidad angular de un objeto en cualquier tiempo

    se conoce la velocidad angular inicial del objeto y su aceleracióangular.

    5.12 Para obtener la posición angular final de una partícula cuando se

    conoce sus velocidades angulares final e inicial y el tiempo.5.13 Proporciona la posición angular de la partícula en el tiempot entérminos de la velocidad angular inicial y la aceleración angulaconstante.

    5.14 Permite obtener la velocidad angular final cuando se conoce lavelocidad angular inicial, la aceleración angular constante y la posicangular de la partícula.

    Tabla 5.1

    Ejercicio 5.5:Una rueda gira con una aceleración de 3,5 rad/s2, si la velocidad de la rueda es de 2rad/s.

    a. ¿Qué posición tiene la rueda a los dos segundos?

    b. ¿Cuántas vueltas dio?

    c. ¿Cuál es la velocidad angular en t=2 s?

    Solución

    wf = w

    i + t

    f =

    i + 1

    2(wi + wf )t

    f =

    i + w

    it+ 12 t2

    wf 2 = w

    i2 + 2 (qf qi)

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    Datosα = 3,5 rad/s2 ω = 2 rad/st = 2 s

    a. Si se considera que la posición inicial en cero se puede utilizar la ecuación 5.13

    b. una vuelta son 360º

    c.

    f =

    i + w

    it+ 12 t2

    f = 0+ (2rad/ s)(2s)+ 1

    2(3,5rad/ s2)(2s)2 = 11rad

    2p rad® 360º

    11rad® x

    x =(11rad)(360º)

    2p rad= 630,25 ºÞ 630,25 º

    360º = 1,75 vueltas

    wf = w

    i + a t

    wf = (2rad / s) + (3,5rad/ s 2 )(2s) = 9rad/s

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    5.7 Relación entre cinemática angular y lineal (movimiento angular y traslacional)[1][2][4].

    Existen relaciones útiles entre elementos lineales y angulares. Nose ahondará de dónde vieecuaciones sino que se mencionará para qué sirven.

    Se puede relacionar la velocidad tangencial con la velocidad angular mediante la ecuación 5.15

    (ecuación 5.15)

    Se puede relacionar la aceleración tangencial con la aceleración angular:

    (ecuación 5.16)

    Se puede relacionar la aceleración radial y velocidad angular

    (ecuación 5.17)

    Se puede relacionar la velocidad angular con la frecuencia y el periodo.

    (ecuación 5.18)

    v = r w

    a t = r

    ar =v2

    r = r w2

    w = 2p

    T= 2p f

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    Ejercicio 5.6:Un segmento del antebrazo se desplaza describiendoun movimiento circular como lo muestra la tabla 5.2:

    Tiempo (s) Posición angular (º)0,52 100,83 401,23 631,56 92

    Tabla 5.2Calcular: a. Velocidad angular media en t1= 0.83 y t2= 1.56b. Velocidad angular en t = 0.83c. Velocidad lineal en t1=0.83. (r = 0.4 m)d. Aceleración centrípeta en t = 1.56 (r = 0.4 m)

    Solución

    Primero se debe hacer la conversión de grados a radianesTiempo (s) Posición angular (º) Posición angular (rad)

    0,52 10 0,180,83 40 0,70

    1,23 63 1,101,56 92 1,61

    a. wm

    = q t

    =1,61rad 0,70rad

    1,56s 0,83s= 1,25rad/ s

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    b.

    c.

    d.

    BIBLIOGRAFÍA

    1. SERWAY, Raymond A., JEWETT, John W. (2008).Física para ciencias e ingeniería. 7ª ed. México:Cengage Learning, 2 v. ISBN: 84-306-0267-4.

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    4. Giancoli, Douglas C. (1997).Física principios y aplicaciones.4º ed. México: Prentice Hall.

    wm

    = q t

    =0,70rad 00,83s 0

    = 0,84rad/s

    wm

    = q t

    =0,70rad 00,83s 0

    = 0,84rad/s

    v= r w = (0,4m)(0,84 rad / s)

    wm

    = q t

    =1,61rad 01,56s 0

    = 1,03rad / s

    ar = r w2 = (0,4m)(1,03 rad/ s2)2 = 0,42m/s2

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    Capítulo 6. Dinámica Lineal

    Concepto de fuerzaConcepto de masa.

    Leyes de NewtonTipos de fuerza

    Diagramas de cuerpo libreAplicación de las leyes de Newton.Vectores aplicados a problemas de

    fuerza y equilibrio.Problemas asociados a condición de

    equilibrio en plano horizontal einclinado.

    Maquina simple: sistemas de masas ypoleas.

    La dinámica es una rama de la física clásica que se encarga del estudio de las causasprovocan cambios de estado físico y el origen del movimiento como tal. Para esto, es necesario extres leyes del movimiento las cuales se relacionan con el concepto de fuerza y masa.

    El estudio de la dinámica se divide en cinética que es la parte de la mecánica que estudfuerzas que hacen que un cuerpo se mueva y la estática que es la parte de la mecánica que estuequilibrio de las fuerzas, sobre un cuerpo en reposo tal como se resume en el siguiente diagrama:

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    6.1 Concepto de fuerza

    Una fuerza implica la interacción de dos objetos y produce un cambio en el estado de movde este empujando o tirando de él. La fuerza puede producir movimiento, detener el movimiento, cambiar la dirección del objeto. En cada caso, la aceleración del objeto puede o no cambiar.

    Características de una fuerza

    Las fuerzas son vectores y, como tal, tienen las características de estos, incluyendo magndirección. La magnitud es la cantidad de fuerza que se aplica y la dirección, que es el ángulo que

    respecto a un eje de referencia, determina su efecto, es decir, si la fuerza está empujando o tirando

    Los vectores, según se describe en el capítulo 2, se representan generalmente por las flechala longitud de la flecha que indica la magnitud de la fuerza, la punta de la flecha apunta en el senque está siendo aplicada. En el Sistema Internacional (SI) de medición, la unidad de fuerza es e(N). Existen otras dos características no menos importantes, el punto de aplicación y la línea de apunto de aplicación de una fuerza es el punto específico en el que se aplica en un objeto. Eimportante debido a que el punto de aplicación de mayor frecuencia determina si el movimiento es lineal, angular o ambos. En muchos casos, una fuerza se representa por un punto de aplicaciópunto específico, aunque puede haber muchos puntos de aplicación. Por ejemplo, el punto de apliuna fuerza muscular es el centro de unión del músculo al hueso, o la inserción del músculo (ver fEn muchos casos, el músculo no está unido a un sólo punto en el hueso, pero se une a muchos como en el caso del músculo deltoides en forma de abanico. En la solución de problemas mecánembargo, se considera que debe atribuirse a un solo punto. La línea de acción de una fuerza es urecta de longitud infinita en la dirección en la que la fuerza está actuando[3].

    Mecánica

    CinemáticaLineal

    Rotacional

    DinámicaEstática

    Cinética

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    Figura 6.1: representación vectorial de la fuerza del bíceps

    Una fuerza puede ser medida mediante un dinamómetro (sensor de fuerza) que indica la mde la fuerza y su sentido (si está tirando o empujando) como se muestra en la figura 6.2.

    Figura 6.2: modelo de brazo humano que representa la situación de la figura 6.1 medidamediante un dinamómetro PASCO

    6.2 Masa

    Newton determinó que la masa es sinónimo de cantidad de materia. Este concepto no epreciso debido a que el concepto de "cantidad de materia" no esta bien definida. Es más preciso demasa es unamedida de inercia de un cuerpo, que es la propiedad que tiene el objeto para especificacuánta resistencia tiene para cambiar de velocidad.Mientras más masa tenga un objeto, más difícil

    θ

    Línea de acci ón

    Punta de flecha: sentido

    Punto de aplicaci ón

    Ángulo de acción(dirección)

    Vector de fuerza

    Sensor de fuerza

    Cuerda que representael Biceps

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    será cambiar de estado de movimiento o dicho de otra manera, menos acelera o desacelera bajo unconocida. Un cuerpo que posee más inercia es más difícil hacer que comience a moverse desde el

    detenerlo si se estaba moviendo. Por ejemplo, si se desea lanzar una pelota de basquetbol y una bboliche, se va a requerir más esfuerzo en lanzar la de boliche debido a que posee más masa, y en tfísicos, se dice que posee más resistencia a cambiar de velocidad que la de basquetbol[1][2][4].

    La unidad del SI de masa es el kilógramo (kg) que corresponde a un cilindro de plata-iridconserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medida en Paris, que fue tomado como patrón[4].

    6.3 Leyes del movimiento

    Las leyes del movimiento, también conocidas como las leyes de Newton, son tres principios queexplican la mayor parte de los problemas planteados por la mecánica relacionados con el movimpartículas y constituyen la base del estudio de la dinámica. Su formulación matemática fue publIsaac Newton en 1687 en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.

    6.3.1. Leyes del movimiento: Primera Ley de Newton o Ley de Inercia.

    La primera ley de Newton del movimiento dice lo siguiente:

    "Todo cuerpo continúa en su sestado de reposo o de velocidad uniforme en línea recta a menos queuna fuerza neta que actúe sobre él lo obligue a cambiar de estado [1]"

    La tendencia que tiene un cuerpo de mantener su estado de reposo o de movimiento unifolínea recta se llama inercia[1].

    Esta ley postula que un cuerpo no puede cambiar por sí solo su estado de reposo o de movrectilíneo uniforme, a menos que se aplique una fuerza o una serie de fuerzas sobre el. En otras pcuando ninguna fuerza actúa sobre un objeto, la aceleración del objeto es cero, es decir que está e

    o con velocidad constante[4] De esto de desprende que los objetos en movimiento están sometidos constantemente a fue

    si estos se detienen fue debido a las fuerzas de fricción que tiende a frenarlos, es decir, que un obmovimiento no se detiene de forma natural si no se aplica una fuerza sobre él. En el caso de los cureposo, que su velocidad cero, para que comience a moverse es necesario que se ejerza una fuerzsobre ellos

    Ejemplo de ley de inercia:

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    una partícula en reposo. Frenar una pelota que viene con velocidad constante (si viniese con velocidad variable, sign

    existe aceleración, por lo tanto, ya viene con fuerzas provocando esa variación). Un auto que viaja a velocidad constante. Empujar una caja. En un auto que viaja a velocidad constante que se detiene repentinamente las personas tiende

    para adelante (lo que frena es el auto, pero nadie frena a las personas).

    Figura 6.3: algunos ejemplos gráficos de la inercia.

    6.3.2. Leyes del movimiento: Segunda Ley de Newton o Ley de Fuerza

    La primera ley de Newton explica qué sucede cuando no actúan fuerzas sobre un o(permanece en reposo o se mueve en línea recta con velocidad constante). En cambio la segundaNewton explica qué sucede cuando actúa una o más fuerzas sobre un objeto[1][2][4]..

    La ley dice lo siguiente:

    "La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él einversamente proporcional a su masa. La dirección de la aceleración es la misma que de la fuerz

    neta aplicada[4]."

    Esto quiere decir que si se empuja un bloque por una superficie horizontal sin fricción moverá con una cierta aceleración, si se le aplicara el doble de fuerza, el bloque aumentará la aceledoble y si se aumentara tres veces la fuerza la aceleración también aumentará al triple.

    La segunda le de Newton se puede escribir como:

    Si al escribimos en forma de ecuación queda como:

    (ecuación 6.1)

    Donde a es la aceleración medida en m/s2, m es la masa del objeto medida en Kg, por lo tanto lafuerza queda en kg·m/s2 que también es conocido como la unidad N (Newton). Un Newton es la funecesaria para impartir una aceleración de 1 m/s2 a una masa de 1 kg[1].

    a aF

    m

    F = m·a

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    La importancia de esa ecuación es que resuelve el problema de la dinámica de determinar de fuerza que se necesita para producir los diferentes tipos de movimiento: rectilíneo uniforme

    uniforme y uniformemente acelerado.Por ejemplo, si un corredor de 70 kg de masa, puede acelerar 11 m/s² hacia la meta, la fuerz

    debe ejercer ese corredor para alcanzar dicha aceleración es de 770 N (ver figura 6.4).

    Figura 6.4

    6.3.3. Leyes del movimiento: Tercera Ley de Newton o Ley de acción y Reacción.

    La segunda ley de Newton explica como afectan las fuerzas al movimiento. En cambio laley habla sobre las interacciones entre dos objetos. Se sugiere que una fuerza que se aplica a cuobjeto siempre es aplicada mediante otro objeto (una persona que empuja una caja, el golpe a untirar de una cuerda, entre otros). Pero esta interacción no es en un sólo sentido, así por ejemplopersona empuja una caja, la caja también ejercerá una fuerza sobre la persona. De esta manera laley de Newton dice lo siguiente[4]:

    "Siempre que un objeto ejerce una fuerza sobre otro, el segundo ejerce una fuerza igual y opuestsobre el primero[4]"

    Esta ley dice que a cada acción corresponde una reacción igual y opuesta. Esta ley se pobservar en muchas actividades de la vida diaria como empujar un bloque o sostener un objeto enfigura 6.5.

    Figura 6.5

    Cuando una persona realiza una marcha normal sobre el suelo, ejerce una fuerza de empujeste, por lo que el suelo ejercerá una fuerza igual y opuesta hacia arriba como se muestra en la fi

    F = 70 kg · 11m/s 2 = 770 N

    Acción

    Reacción

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    Estas fuerzas son conocidas en el estudio del movimiento humando ya que poseen un patrón conestudio de estas fuerzas se conoce como el estudio de la cinética de la marcha.

    Figura 6.6: modelo biomecánico donde se representan lasfuerzas de reacción en una plataforma de fuerza.

    6.4 Tipos de fuerza

    Las fuerzas que existen en la naturaleza y afectan al movimiento pueden ser clasificadas dmaneras. El esquema de clasificación más común es describirlas como fuerzas de contacto y fuecampo. Una fuerza de contacto implica las acciones de empujar o tirar, y son ejercidas por un ocontacto directo con otro objeto. En contraste con las fuerzas de contacto son aquellas que adistancia llamadas fuerzas de campo y se tratan de fuerzas que son ejercidas por objetos que no econtacto directo uno con el otro y en realidad pueden estar separados por una distancia considerabejemplos de fuerzas de campo se encuentran la fuerza magnética, fuerza eléctrica o fuerzas gravitacomo se muestran en la figura 6.7[3].

    Figura 6.7: fuerzas de campo

    Debido a que las fuerzas de contacto son los que resultan de una interacción directa entobjetos, el número de tales fuerzas es considerablemente mayor que las fuerzas de campo. Alguna

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    fuerzas de contacto que se consideran primordiales en el estudio del movimiento humano son freacción del suelo, fuerzas de reacción articular, fricción, fuerza de inercia, fuerza muscular y fuer

    entre otras.

    6.4.1. Fuerza gravitacional y peso

    Todos los objetos son atraídos hacia el centro de la tierra, esta fuerza de atracción se llamagravitacional la cual hace que un objeto acelere a 9.8 m/s2. La magnitud de esta fuerza es lo que scomo peso.

    Según la segunda ley de Newton y como la aceleración de gravedad es g el pesescribe como:

    (ecuación 6.2)

    Donde m es la masa del individuo y g es la aceleración debida a la gravedad. Entonces, ecorporal por ejemplo, es el producto de la masa del individuo y la aceleración debida a la gravevidente, por lo tanto, que la masa de un individuo y peso no son los mismo. Dado que el pesofuerza, que tiene los atributos de un vector, el cual tiene una línea de acción y un punto de aplicpeso total de un individuo se considera que tiene un punto de aplicación en el centro de la masa y de acción desde el centro de masa al centro de la tierra. El punto de origen del vector de peso se centro de gravedad (ver figura 6.8). Este es un punto sobre el que todas las partículas del cuedistribuyen uniformemente (ver punto 1.5: Centro de masa)[3].

    Figura 6.8

    F = m·a

    P = m· g

    Peso

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    Es importante no confundir los conceptos de masa y peso. Masa como se mencionó anterioes una medida de inercia y se mide en kilógramos, mientras que el peso es una fuerza producidaceleración de gravedad medida en Newton y varía de acuerdo a la posición. Por ejemplo un obKg. en la tierra también tendrá 1Kg. en la luna, mientras que un objeto de 180N en la tierra tendrde 30N en la luna debido al cambio de gravedad[1][2][4].

    Peso y masa son dos conceptos bien diferenciados, aunque aún en estos momentos, en el cotidiana, el término "peso" se utiliza a menudo erróneamente como sinónimo de masa. La Areconoce esta confusión en la definición del término "pesar" que dice: "Determinar el pesopropiamente, la masa de algo por medio de la balanza o de otro instrumento equivalente" (Diccionario de lalengua española, vigésima segunda edición, Real Academia Española, 2001).

    6.4.2. Fuerza normal

    La fuerza de gravedad actúa sobre un objeto cuando este cae, pero cuando un objeto esreposo esta fuerza no desaparece, por lo tanto, debe existir una fuerza que equilibre la fuerza de gpara que el objeto no se mueva. Según la segunda ley de Newton, si un objeto está en reposo signla fuerza neta sobre él es cero[1][4].

    La fuerza normal surge cuando un cuerpo está apoyado en otro y es la fuerza que la superfapoyo ejerce sobre el cuerpo que se apoya. Su dirección es perpendicular (normal) a la supercontacto y el sentido va desde dicha superficie al cuerpo[1][4].

    En la siguiente figura, se muestra la fuerza normal en tres situaciones diferentes:

    Figura 6.9

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    Si la superficie es horizontal, la normal es vertical y opuesta al peso, eso quiere decir que el vafuerza normal es igual al peso.

    Cuando la superficie es inclinada respecto de la horizontal, la normal es perpendicular al pligual a un componente vectorial de la fuerza peso.

    Si la superficie es vertical, la normal es nula si no se presiona el cuerpo contra ella.

    6.4.3. Fuerza de tensión

    La tensión es la fuerza que se realiza a través de una soga, hilo o cable. Sólo existe miensoga está tensa, y por eso sirve para ejercer tracción como se muestra en la figura 6.10.

    Figura 6.10

    Si no existe roce, la tensión de la cuerda es la misma en todos los puntos a lo largo dela cPor ejemplo, en el caso de una polea simple sin roce (ver punto 6.6: máquina simple) donde tiene unidos por una cuerda como se observa en la figura 6.11, la tensión que sostiene a la masa 1, es latensión que sostiene a la masa 2 independiente del valor de estas[5].

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    Figura 6.11

    6.4.4. Fuerza de fricción

    El roce es una fuerza de contacto aplicada por una superficie a un objeto en contacto consiempre es paralela a la superficie. La fuerza de roce actúa siempre en sentido opuesto al desplazageneralmente se opone a cualquier fuerza externa[5]. En la figura 6.12 se muestra un bloque sobre unasuperficie horizontal donde se aplica una fuerza externa F que tiende a mover el objeto hacia la por lo tanto la fuerza de rocefrva hacia la izquierda[1][4][5].

    Figura 6.12

    La fuerza F representa la fuerza que hará que el bloque se mueva. Si F es mayor a la fuerzaroce, el bloque se moverá F > Fr. En este caso, hablamos defuerza de roce cinético (f c). Si se mueve convelocidad constante la fuerza de roce es igual a la fuerza F tal como se demuestra a continuación:

    fr

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    Si la fuerza F es pequeña el bloque no se moverá, entonces se habla defuerza de roce estático (f e).Donde:

    La fuerza de roce depende de los tipos materiales que estén en contacto y es proporcional afuerza normal (que siempre es perpendicular al plano y por ende, a la fuerza de roce) [1][4][5].

    La magnitud de la fuerza de fricción por tanto, se determina mediante la siguiente ecuación

    (ecuación 6.3)

    Donde N es la fuerza normal medida en Newton yμ es el coeficiente de roce que puede serestático (μe) o cinético (μc) y su valor depende de los tipos de material que están interactuando. En la t6.1 se muestran valores de coeficientes de roce de algunos materiales. El coeficiente de roce nunidad.

    μe μc Hule sobre concreto 1.00 0.8Acero sobre acero 0.74 0.57Aluminio sobre acero 0.61 0.47Vidrio sobre vidrio 0.94 0.4Cobre sobre acero 0.53 0.36Madera sobre madera 0.25-0-5 0.2Hielo sobre hielo 0.1 0.03Articulación sinovial en humanos 0.01 0.003

    Tabla 6.1

    Se observa que el coeficiente de roce estático s mayor que el coeficiente de roce cinético.

    6.4.5. Fuerzas elásticas

    Cuando se comprime un resorte con las manos, aplicamos una fuerza que producdesplazamiento hacia adentro, mientras que el resorte hace una fuerza hacia fuera. En cambio estiramos un resorte, la fuerza de nuestras manos incrementa la longitud, mientras que el resorte afuerza hacia adentro, en sentido contrario. En ambos casos cuando se deja libre el resorte, éste reculongitud original. De modo semejante al resorte se comportan todos los todos los cuerpos elásticos

    Fx = m·a = 0 , sila velocidad es constante, entoncesla aceleraci ónescero

    F Fr = 0

    F = Fr

    Fx = 0 , siel objetoest á enreposo,suvelocidad y aceleraci ónescero

    F Fr = 0

    F = Fr

    f = N·m

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    sólidos, que se pueden deformar por la acción por la acción de una fuerza exterior, pero apenas acción, recuperan su forma y tamaño original. La fuerza que se opone a la deformación de los

    elásticos, ya sea la compresión o el estiramiento, y que luego hace que recupere sus dimenoriginales, se denomina, fuerza elástica (ver punto 9.2)[5].

    Figura 6.13

    6.7 Diagrama de cuerpo libre

    Un diagrama de cuerpo libre D.C.L, es la representación de todos las fuerzas que actúan socuerpo. Estos diagramas se utilizan como herramienta para descubrir las fuerzas desconocidas queaparecen en las ecuaciones del movimiento del cuerpo. El diagrama facilita la identificación de lasmomentos que deben tenerse en cuenta para la resolución del problema.

    En la figura 6.14 se muestra hacia la izquierda un sujeto parado sobre un plano inclinadoderecha se muestra el diagrama de cuerpo libre de la situación. Donde se muestra la fuerza perpendicular al plano, hacia abajo el peso que se descompone de manera vectorial respecto al áninclinación y la fuerza de roce opuesta a la tendencia del desplazamiento.

    F Fr

    f e

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    Figura 6.14

    6.8 Aplicaciones de la leyes de Newton

    6.5.1. Partícula en equilibrio y primera condición de equilibrio.

    Si la aceleración de una partícula es cero, el objeto se considera como un modelo de partícuequilibrio. En este modelo, la fuerza neta sobre el objeto es cero[1]:

    Esto también, se conoce comola primera condición de equilibrio.Considere un libro que está apoyado sobre una mesa como se muestra en la figura 6.1

    diagrama de cuerpo libre para el objeto muestra que las fuerzas que actúan son el peso y la fuerzaEl análisis vectorial de cada eje es el siguiente[1]:

    Figura 6.15

    , debido a que no hay fuerzas en esta dirección

    , es igual a cero ya que está en equilibrio

    Debido a que el objeto está en equilibrio, la mesa debe ejercer sobre el libro una fuerza de imagnitud al peso y opuesta a este.

    Si se analiza la condición de equilibrio de la figura 6.14 se observa que actúan las fuerzas npeso y el roce sobre un plano inclinado.

    F = 0

    Fx = 0

    Fy= N P = 0

    N= P

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    Figura 6.14 (extracto)

    6.5.2. Partícula bajo fuerza neta

    Si un objeto experimenta una aceleración, su movimiento se puede analizar bajo el modelo partícula bajo una fuerza neta. La ecuación apropiada para este movimiento es la segunda Ley de N[1]

    Considere un bloque que se empuja hacia la derecha como se muestra en la figura 6.1observa que as fuerzas que actúan son la fuerza que ejerce el sujeto F, el roce en sentido opuesto, lque ejerce el piso sobre la caja (fuerza normal N) y el peso de la caja.

    Figura 6.16

    f e

    Fx = mgsin( ) f e = 0

    mgsin( ) = f e

    Fy= N mgcos( )= 0

    N= mgcos( )

    F = m·a

    $

    fr#

    ax

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    Si se desea obtener por ejemplo , la aceleración del sistema y la fuerza normal N se rea

    siguiente análisis vectorial:

    La aceleración sólo actúa en la dirección del movimiento, en el eje x , por lo tanto en la direccióny el sistema está en equilibrio.

    Ejercicio 6.1: Fuerzas en equilibrio

    Hallar la fuerza que ejerce sobre el pie el dispositivo detracción de la figura 6.17.

    Solución:

    El DCL de la situación es:

    Fx = F f r = m·a

    a =F f

    r

    m

    Fy= N P = 0

    N= P

    Figura 6.17

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    Ejercicio 6.2: Suma de fuerzas resultantes

    Ver ejercicio 2.12, capítulo 2.

    Ejercicio 6.3: Vectores de fuerza muscular

    El abductor de la cadera, que conecta la cadera al fémur,consta de tres músculos independientes que actúan a diferentesángulos. Se observa en la figura los resultados de medidas de lafuerza ejercida por separado por cada músculo. Hacer undiagrama de cuerpo libre y hallar la fuerza total ejercida por los tresmúsculos juntos, dirección y sentido.

    Solución:

    X

    Y

    F

    30 N

    55 º

    35 º

    30 N

    Fx= 30cos(55)+ 30cos(35) F = 0

    F = 30cos(55)+ 30cos(35)F = 41,78 N

    Figura 6.18

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    DCL:

    Ejercicio 6.4: Fuerzas en plano inclinado sin roce

    Un bloque de masa de 2 Kg se mantiene en equilibrio sobre unplano inclinado de ángulo 60° mediante una fuerza horizontal F, como se

    muestra en la figura 6.19 (ignore la fricción). Determine la magnitud delvector F y encuentre la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre elbloque

    Solución:

    DCL:

    X

    Y

    40 N

    48 º 86 º

    10 N

    20 N

    30 º

    Fneta x = 10cos(274) + 20cos(228) + 40cos(258) = 21,00 N

    Fneta y = 10sin(86) + 20sin(48) + 40sin(78) = 63,96N

    Fneta

    = ( 21,00)2 + ( 63,96)2 = 67,32N

    q = tg 1 63,96

    21,00

    æ

    èç

    ö

    ø÷ = 71,82 º+ 180 = 251,82 º

    IIIcuadrante

    Figura 6.19

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    Ejercicio 6.5: Fuerzas en plano inclinado

    Un sujeto parte del reposo y moviliza una caja de 75 Kg de

    masa empujándola por una superficie inclinada a 30° respecto a lahorizontal con una fuerza de 800 N como se muestra en la figura si semueve con una aceleración de 2 m/s2. Determine la fuerza y elcoeficiente de roce cinético.

    Solución:

    DCL:

    X

    Y

    F

    N

    60 º

    P

    60 º

    Fx= Fcos(60) 19,6sin(60)= 0

    F = 19,6sin(60)cos(60)

    = 33,95N

    Fy= N Fsin(60) 19,6cos(60)= 0

    N= 33,95sin(60)+ 19,6cos(60)= 39,2N

    Figura 6.20

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    6.9 Maquina simple: sistema de masas y poleas.

    Las poleas son parte de la llamadas maquinas simples, que son dispositivos mecánicopueden ejercer una fuerza sobre un objeto en un punto cuando se aplica una fuerza externa en otde esta máquina. Las poleas están determinadas a facilitar o mejorar el esfuerzo humano al desplacarga o resistencia, o buscar la realización de una acción motora de manera mas segura. Su pfunción es cambiar la DIRECCIÓN de las fuerza.

    X

    Y

    F

    N

    30 º

    fc

    P

    Fx= 800 735sin(30) fc = 0

    fc = 800 735sin(30)= 432,5N

    Fy= N 735cos(30)= 0

    N= 735cos(30)= 636,53 Nfc = N· m

    m= fcN

    =432,5636,53

    = 0,68

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    Las poleas se clasifican según como se encuentren ubicados el apoyo de la polea (donsostiene) la resistencia (generalmente masas) y la fuerza de potencia (generalmente la fuerza exte

    mantiene el sistema en equilibrio). En la imagen 6.21 se muestra como se clasifican las poleas.

    Figura 6.21

    La primera polea es Interapoyo (el apoyo de la polea esta en medio de la resistencia y la fuerzapolea independiente del ángulo de los cables sólo transmite la fuerza, por lo tanto, la resisteigual a la fuerza F = R.

    La segunda polea es interresistencia (la masa que sostiene la polea está en medio del apoyo yfuerza F) donde la fuerza F necesaria para mantener la polea en equilibrio debe ser la mitad dde la resistencia, de esta manera, F = R/2.

    La tercera polea es interpotencia (la fuerza F está en medio del apoyo y la resistencia), donde F necesaria para mantener la polea en equilibrio debe ser el doble de la resistencia, de esta mF = 2R.

    En el caso de las poleas interpotencia e interresistencia sí importa el ángulo que forman losSi están en un cierto ángulo como se muestra en la figura 6.22 es necesario considerar un comphorizontal de la tensión de la cuerda.

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    Figura 6.22

    Para la primera polea interresistencia la fuerza F es la mitad del componente horizontal de laque sostiene a la resistencia, de esta manera, F=R/2cos(θ).

    Para la segunda polea interpotencia la fuerza F es el doble del componente horizontal de la cusostiene a la resistencia, de esta manera, F=2Rcos(θ).

    Ciertas piezas óseas como la rótula tienen la función de modificar la trayectoria de lasmusculares o de tendones. En la figura 6.23 se observa que la fuerza F1 y F2 son la mismaproducida por el cuádriceps y el tendón rotuliano el cual cambia de dirección debido a que la rócomo una polea fija interapoyo.

    Figura 6.23

    Ejercicio 6.6: Poleas

    Figura 6.24

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    Se observa una masa de 500 N conectada a un polea, esta a su vez se conecta a otra poleapermita cambiar la dirección de la fuerza F que sostiene la masa.

    a. Indicar a qué tipo de polea correspondeb. ¿Cuál será la fuerza necesaria para mantener el sistema en equilibrio?

    Solución:

    a. Polea interresistencia

    b.

    Ejercicio 6.7: Sistema masa-poleas

    Un bloque de 8,5 kg se conecta por medio de unacuerda que pasa por una polea a un bloque de 6,2 kg. que sedesliza sobre una mesa plana (figura 6.25). Si el coeficientede fricción durante el deslizamiento es 0.2, encuentre: Latensión y la aceleración de la cuerda.

    Solución:

    se deben plantear dos diagramas de cuerpo libre, para cada masa mostrada en la figura yplantear las ecuaciones para cada masa. Se llegará a dos incógnitas y dos ecuaciones, por lo quresolver con un sistema de ecuaciones.

    2Fcos(25)=

    500F =

    5002cos(25)

    = 275,84N

    T

    N

    fc

    P1

    m1

    ax

    Fy= N P1 = 0

    N= (6,5kg)·(9,8m/s2) = 63,7 N

    Fx= T fc = m1· axT (63,7· 0,2)= 6,5· a

    xT = 6,5· ax + 12,74

    Figura 6.25

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    BIBLIOGRAFÍA

    T

    P2

    m2

    - a x Fy= T P2 = m2· ax

    T (8,5· 9,8)= 8,5· axT = 83,3 8,5· ax

    T = 6,5· ax + 12,74 y T = 83,3 8,5· ax6,5· ax + 12,74= 83,3 8,5· ax

    6,5· ax + 8,5· ax = 70,5615 ax = 70,56

    ax =70,56

    15= 4,7m / s2

    T = 6,5· ax + 12,74

    T = 6,5· 4,7+ 12,74= 43,3 N

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    150

    1. SERWAY, Raymond A., JEWETT, John W. (2008).Física para ciencias e ingeniería. 7ª ed. México:Cengage Learning, 2 v. ISBN: 84-306-0267-4.

    2. Resnick, R.,Hlliday, D., Kenneth, S. (1998).Física volumen 1. 4º ed. México: Continental.

    3. Hamill, J; Knutzen, K.M. (2009).Biomechanical basis of human movement, 3ra edición.Massachusetts,EEUU: Lippincott Williams & Wilkins

    4. Giancoli, Douglas C. (1997).Física principios y aplicaciones.4º ed. México: Prentice Hall.

    5. Cromer, Alan H.(2011).Física para las ciencias de la vida. 2º ed. España: Reverté ediciones.

    Capítulo 7. Dinámica AngularMomento de una fuerza (Torque)

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    Segunda condición de equilibrio o condición de momentoTorque en sistema músculo esquelético (palancas biomecánicas)

    Ventaja mecánica (VM)Ley de Inercia aplicado a movimiento angular: Momento de inerci

    Segunda Ley de Newton aplicada a movimiento angular : Torque NetoMomento angular y su conservación

    Tercera Ley de Newton aplicada a movimiento angular: Acción y reacció

    La dinámica angular estudia las causas del movimiento rotacional y al igual se encuanalogías entre el movimiento lineal y el rotacional para describir el movimiento, tambiénequivalentes rotacionales en la dinámica [4]. Una de las causas de un movimiento rotacional es cuando seaplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, el cuerpo tiende a realizar un movimiento den torno a algún eje. Dicha propiedad, de la fuerza para hacer girar al cuerpo se mide con una mfísica que llamamos torque.

    7.1 Momento de una fuerza (Torque)

    En el capítulo anterior, se explicó el modelo de una partícula en equilibrio, pero hay objetocuales no podemos aplicar el modelo de partícula como es el caso de una palanca (una barra rígidasobre un punto de apoyo). En este caso, es necesario plantear una segunda condición de equilibdebe relacionar la fuerza que se está aplicando, pero además a qué distancia se encuentra desde ede apoyo. El concepto que relaciona fuerza y distancia es el torque[1].

    Análisis delMovimiento

    Cinemática

    Lineal

    Posición,velocidad,

    tiempo, etc.

    Angular

    Posición,velocidad,

    tiempo, etc.

    Dinámica

    Lineal

    Fuerzas

    Angular

    Torque

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    El torque es parte del estudio de la dinámica rotacional que explica la tendencia de una foriginar una rotación alrededor de un punto. En otras palabras, el torque es la capacidad que ti

    fuerza de producir un giro y representa aquella fuerza que se imparte sobre una palanca (barra rígse mueve alrededor de su punto de apoyo, la cual produce un movimiento rotatorio (angular)[5].

    El efecto rotacional de la fuerza aplicada sobre el cuerpo, depende de la magnitud de elladistancia del punto de aplicación y de la dirección relativa a la palanca (ver figura 7.1).

    Figura 7.1

    De esta manera se plantea que la ecuación de torque individual es:

    (ecuación 7.1)

    Donde: F es el componente vertical (componentey de la fuerza) que se aplica sobre la palanca. Por lo tanto,

    se expresa como Fsin(). Este componente es llamado también el componente rotatorio o normal fuerza. En cambio, el componente horizontal (componente x de la fuerza) es llamado componentecompresivo o distractivo dependiendo de su dirección. Compresivo se va en dirección del papoyo, distractivo si va en sentido contrario. La fuerza medida en Newton.

    El ángulo, es el que forma la fuerza respecto a la palanca medida en grados.

    F

    θ

    B p

    Barra r ígida

    Punto de apoyo

    o Fulcro

    F

    F//

    t = F ·Bp

    t = Fsin(q)·Bp

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    Bp es el brazo de palanca, que se define como la distancia perpendicular al eje de rotación h

    línea de acción de la fuerza medida en metros. La unidad de en el sistema internacional es Nm.

    El signo del torque se considera positivo si la fuerza tiende a producir una rotación alrededpunto de apoyo en sentido anti-horario y negativo si va en sentido horario (ver figura 7.2).

    Figura 7.2

    7.2 Segunda condición de equilibrio o condición de momento

    Cuando de habla de dinámica lineal, la condición de equilibrio es que la sumatoria de las

    sea cero. Pero en dinámica rotacional se plantea una segunda condición de equilibrio que dice qparaque un objeto este en equilibrio rotacional, la suma de los momentos producidos por todas lafuerzas que actúan sobre la palanca deben ser cero[4].

    7.3 Torque en sistema músculo esquelético (palancas biomecánicas)

    Para que un movimiento angular o rotatorio ocurra debe existir un objeto o segmento ríggire alrededor de un eje o punto de pivote En el cuerpo humano, esto puede ser una extremidad que gira alrededor de su articulación. Para analizar estos movimientos es necesario utilizar mmecánicos simples;Palancas[3].

    La palanca es una máquina simple, constituida por una barra rígida que se mueve sobre unde Apoyo o Fulcro, sobre la que intervienen dos fuerzas, una resistente oResistencia y otra motriz o

    t = 0

    t = t1 + t

    2 + t

    3....t

    n = 0

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    Potencia. En la figura 7.3 se muestra tres posibilidades de organización del Fulcro (F), la Resistenla fuerza de Potencia (P) que se explicarán más adelante. También se pueden apreciar los diagra

    cuerpo libre asociadas a cada palanca[3].

    Figura 7.3

    En el cuerpo humano se considera que:

    El punto de apoyo o fulcro corresponden a la articulación. La palanca es el segmento corporal. La fuerza de potencia corresponde a la fuerza muscular necesaria para vencer la resistencia. La resistencia corresponde al peso de los segmentos corporales y a resistencias externas como

    por ejemplo. El brazo de palanca de la resistencia se llamabrazo de resistencia y el de la fuerza muscularbrazo

    de potencia.

    En función de las posiciones relativas de los puntos de aplicación de las fuerzas respecto ade apoyo se distinguen tres tipos de palancas:

    Primera clase o interapoyo Segunda clase o interresistencia Tercera clase o interpotencia

    7.4.1 Primera clase o Interapoyo (de Balance):

    El Fulcro se encuentra entre la Resistencia y la Potencia (figura 7.4).

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    Figura 7.4: Palanca interapoyo

    Ejemplo de palancas de primer género en el aparato locomotor:

    Para el estudio de los sistemas de palancas en el aparato locomotor hay que identificelementos anatómicos que forman parte de la palanca.

    1º. Punto fijo o engranaje que es elFULCRO2º. Motor del gesto a estudiar, es decir, el músculo que provoca el movimiento POTENCIA3º. Elemento que se opone al movimiento RESISTENCIA

    Figura 7.5: Palanca del primer género. Fulcro: Facetas occipitales.Potencia: Músculos occipitales. Resistencia: Peso de la cabeza.

    Este tipo de palanca es muy importante para el movimiento humano. Cuanto más cerca

    punto de apoyo del punto de aplicación de la Potencia se consiguen movimientos de la palanamplios. En la contracción muscular podemos aplicar una contracción intensa pero de corto recmúsculo puede acortarse como mucho un 20 – 25 %, esto supone unos pocos centímetros que puedendeterminar un movimiento amplio de un segmento utilizando esta palanca de Balance[3].

    7.4.2 Segunda clase o Interresistencia (de Poder):

    El Fulcro está en un extremo y la Resistencia entre este y la Potencia (figura 7.6).

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    Figura 7.6:Palanca interresistencia

    Ejemplo de palancas de segundo género en el aparato locomotor:

    Figura 7.7:Palanca interresistencia. Fulcro: Punto de apoyo del pie en el suelo. Potencia: Musculatura extenstobillo localizada en el punto de inserción del tendón de Aquiles en el calcáneo. Resistencia: articulación tibi

    astragalina, baricentro donde se localiza todo el peso el cuerpo.

    La palanca interresistencia es unapalanca de Poder. Tiene ventaja mecánica ya que con una

    potencia de magnitud moderada se pueden mover grandes cargas permitiendo mayor amplimovimiento limitado[3].

    7.4.3 Tercera clase o Interpotencia (de velocidad):

    La Potencia se aplica en un punto entre el Fulcro (en un extremo) y la Resistencia. Por tBrazo de Resistencia Siempre es mayor que el de Potencia (figura 7.8)

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    Figura 7.8: Palanca interpotencia

    Ejemplo de palancas de tercer género en el aparato locomotor:

    Figura 7.9:Palanca interpotencia. Fulcro: Articulación del codo. Potencia: musculatura flexora del codo, insebíceps braquial. Resistencia: Peso sujetado por la mano.

    La palanca interpotencia es una palanca que facilita la velocidad. Al aplicar la potencia sconseguir que la carga o resistencia se pueda mover con velocidad.

    7.4 Ventaja mecánica (VM)

    Una palanca puede ser evaluada por su eficacia mecánica mediante el cálculo de su ventventaja mecánica se define como la relación entre el brazo de potencia (Bp) y el brazo de Resiste[3]. Esto es:

    VM= BpBr

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    Se pueden dar tres situaciones:

    VM = 1 VM > 1 VM < 1

    6.4.1. Que VM sea 1: Situación de equilibrio

    Esto sucede cuando el brazo de potencia es igual al de resistencia. En este caso, la funciónpalanca es alterar la dirección de movimiento o el equilibrio de la palanca, pero no para magpotencia o resistencia. Por lo tanto, el torque de la resistencia es igual al torque de la potencia[3].

    Figura 7.10

    6.4.2. Que VM sea mayor que 1: Ventaja mecánica

    Esto sucede cuando el brazo de potencia es mayor que el brazo de resistencia. En este cabrazo de potencia aumenta el torque de la fuerza muscular. A medida que el Bp sea mayor que el Bserá la fuerza que tenemos que aplicar para vencer la resistencia. Esto se conoce comoventaja mecánica[3].

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    Figura 7.11

    6.4.3. Que VM sea menor que 1: Desventaja mecánica

    En la tercera situación, MA es menor que 1, y el brazo de potencia es menor que el brresistencia. Mayor debe ser la magnitud de la potencia para vencer la resistencia. Haydesventajamecánica.

    La fuerza de potencia actúa sobre una pequeña distancia, sin embargo, con el resultado defuerza de resistencia se mueve sobre una distancia mucho mayor en la misma cantidad de tiemvelocidad es mayor[3].

    Figura 7.12

    Ejercicio 7.1: torque del bíceps

    Un deportista entrena su bíceps mientras mantiene una contracciónisométrica para mantener una pesa de 6 kg en su mano.

    Ángulo de inserción muscular: 40°.

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    Brazo de palanca de Bíceps: 5 cm. Peso de la Antebrazo-mano: 35N Brazo de palanca Cg Antebrazo-mano: 0.15m. Angulo Antebrazo sobre la horizontal: 40° Brazo de palanca Resistencia externa: 0.40m

    a. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la palanca.b. ¿Qué fuerza debe generar el bíceps para mantener el sistema en equilibrio? R: 881,56 Nc. ¿Cuál será la magnitud de las componentes normal y compresiva de la fuerza muscular?d. Mencione el tipo de palanca.

    Solución:

    a. DCL:

    b.

    c.

    d. Interpotencia

    Ejercicio 7.2: torque del cuádriceps

    Un sujeto mantiene una extensión de rodilla derecha en la horizontal,con una resistencia a nivel de tobillo de 100 N. Si la inserción decuádriceps crural se encuentra a 5 cm del centro articular, el sujetomasa 80 kg y la longitud del segmento pierna (medido desde epicóndilo

    35 N

    40 º

    0. 0 5 m

    50 º

    50 º

    58,8 N

    0. 1 5 m

    0. 4 m

    Fm

    t = 0t

    1 + t

    2 + t

    3 = 0

    (Fm sin(40)· 0,05) (35sin(50)· 0,15) (58,8sin(50)· 0,4)= 0

    Fm =(35sin(50)· 0,15)+ (58,8sin(50)· 0,4)

    (sin(40)· 0,05)= 685,74N

    FN = Fm sin(q )= 685,74sin(40)= 440,78 NFC = Fm cos(q )= 685,74cos(40)= 525,31N

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    lateral hasta maléolo lateral) es de 60 cm (Ángulo de Inserción Muscular: 25°):

    a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la palanca.b) ¿Qué fuerza debe generar el cuádriceps para mantener el sistema en equilibrio?c) ¿Cuál será la magnitud de las componentes normal y compresiva de la fuerza muscular?d) ¿Cuál es el torque del cuádriceps? y Mencione el tipo de palanca

    Solución:

    a. DCL:

    b.

    c.

    d.

    Interpotencia

    Ejercicio 7.3: torque extensores del cuelloCuál es la fuerza que deben generar los músculos extensores

    del cuello para mantener el equilibrio de la cabeza. Considere que lamasa promedio de una cabeza es de 4.5 kg. La distancia de laresistencia se encuentra a 12 cm de la articulación occipitoatloidea, y ladistancia de los músculos extensores está a 6 cm de la mismaarticulación. Indique el tipo de palanca.

    P CG

    25 º

    50 º

    100 N

    0.05m

    Bp CG

    0.6 m

    Fm

    t = 0t

    1 + t

    2 + t

    3 = 0

    (Fm sin(25)· 0,05) (36,46sin(90)· 0,26) (100sin(50)· 0,6)= 0

    Fm =

    (36,46sin(90)· 0,22)+ (100sin(50)· 0,6)(sin(25)· 0,05)

    =

    2623,75N

    FN = Fm sin(q )= 2623,75sin(25)= 1108,84NFC = Fm cos(q )= 2623,75cos(25)= 2377,93N

    tm

    = Fmsin(q )·Bp= 2623,75sin(25)· 0,05= 55,44Nm

    P CG = 80kg· 9,8m/ s 2· 0,0465 = 36,46NBpCG = 0,6m· 0,433 = 0,26mVer cap ítulo1usode tablasantropom étricas

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    Solución:DCL:

    El signo negativo de la fuerza sólo indica que va hacia abajo.

    Palanca interapoyo

    Ejercicio 7.4: máquina de ejercicio

    Un deportista entrena su cuádriceps cruralderecho mientras mantiene una contracciónisométrica para mantener el sistema enequilibrio. De acuerdo a los siguientes datos,responda: (desprecie roce de las poleas y elcable).

    44,1 N

    0.12 m0.06 m

    Fm

    t = 0t

    1 + t

    2 = 0

    (Fm sin(90)· 0,06) (44,1sin(90)· 0,12)= 0

    Fm =(44,1sin(90)· 0,12)

    (sin(90)· 0,06)= 88,2N

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    La tensión T2 pasa por la polea P3, P4 y P5 que son interapoyo, por lo que no cambia de magnitud sólo de

    dirección hasta la P6

    c. Interpotencia

    d.

    e.

    Ejercicio 7.5: De acuerdo a la figura mostrada determine:

    a. El tipo de palancab. Músculo agonista

    t = 0

    t 1 + t 2 + t 3 = 0

    (Fm sin(25)· 0,07) (41,01sin(40)· 0,19) (157,14sin(50)· 0,45)= 0

    Fm =(41,01sin(40)· 0,19)+ (157,14sin(50)· 0,45)

    (sin(25)· 0,07)= 2000,38N

    tm

    = Fmsin(q )·Bp= 2000,38sin(25)· 0,07= 59,18Nm

    FN

    = Fm

    sin(q )= 2000,38sin(25)= 845,40NFC = Fm cos(q )= 2000,38cos(25)= 1812,96N

    2· T2 cos(30)= 196cos(40)

    T2 =196cos(40)

    2cos(30)= 86,69N

    2· T2 cos(25)= T3T3 = 2· 86,69cos(25)= 157,14N

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    c. Plano de movimiento correspondiente al hombro.

    Solución:

    a. Se plantea el diagrama de cuerpo libre de la palanca biomecánica, donde:

    F = Fulcro F.D.A. = Fuerza Deltoides Anterior mg = masa del brazo x gravedad

    Palanca Interpotencia(queda apoyo, fuerza muscular y resistencia).

    b. Deltoides anterior

    c. Plano sagital

    7.5 Ley de Inercia aplicado a movimiento angular: Momento de inercia.

    Un cuerpo en rotación continuará en un estado de movimiento angular uniforme a menos qsobre él una torque externo.

    F

    F.D.A.

    mg

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    Es decir, si la suma de los torques es cero, entonces el objeto está en estado de reposo o gia una velocidad angular constante. En el caso lineal, de acuerdo con la primera ley del movim

    Newton, la inercia es la tendencia de un objeto a resistir un cambio de estado o resistencia a camvelocidad (acelerar o desacelerar). Además, la medida de la inercia de un objeto es su masa. La coangular a masa es elmomento de inercia[3].

    Elmomento de inercia es una cantidad que indica la resistencia de un objeto a un cambio enmovimiento angular. A diferencia de su homólogo lineal masa, el momento de inercia de un cdependiente no sólo de la masa del objeto, sino también en la distribución de la masa con respectode rotación. El momento de inercia también tiene valores diferentes porque un objeto puede girarde muchos ejes. Es decir, el momento de inercia es variable y se define con la siguiente ecuación[3]:

    (ecuación 7.2)

    Donde m es la masa del objeto, r es la distancia al eje de rotación (radio de giro) que puedevarios. El momento de inercia se mide en Kg·m2

    En un segmento corporal hay tres momentos de inercia debido a que un segmento corporaltorno a tres puntos; desde el CG, desde un punto proximal y uno distal. Estos valores de radios dpueden obtener mediante tablas antropométricas, las cuales tienen cuantificadas los factores que peste cálculo.

    Figura 7.13

    En la tabla antropométrica de Dempster (ver punto 1.4: Uso de tablas antropométricas), hcolumnas que corresponden a cálculos de radios de giro. Para obtener estos valores se debe multilongitud del segmento por el factor de Dempster correspondiente. A su vez la masa del segmentose obtiene mediante la misma tabla.

    Ejercicio 7.6: momento de inercia

    Se tiene un sujeto de 80 Kg. Se quiere obtener el momento de inercia dela pierna, cuya longitud es de 0.435 m.

    Io = m· r 2

    ongitud desegmento

    0,465 m

    Io CG

    Io Proximal

    Io Distal

    Longitud desegmento

    0,465 m

    Io CG

    Io Proximal

    Io Distal

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    Solución:

    7.6 Segunda Ley de Newton aplicada a movimiento angular : Torque Neto

    Un torque produce una aceleración angular en un cuerpo que es proporcional a la dirección de lainversamente proporcional al momento de inercia del cuerpo. Esta puede expresarse algebraicame[3]:

    MasaPierna = 80kg· 0,0465 = 3,72Kg

    Radios de giro

    r giiro = Longitudde segmento · Factor antropom étrico

    r giiro

    CoM = 0,435m· 0,302 = 0,131m

    r giiroproximal= 0,435m· 0,528 = 0,230 m

    r giiro

    distal = 0,435m· 0,643 = 0,280m

    Desde el centro de masa

    Io= 3.72kg · (0,131m)2 = 0.064 Kg m2

    Desde proximal

    Io= 3.72 · (0,230m)2 = 0.197 Kg m2

    Desde distal

    Io= 3.72 · (0,280m)2 = 0.292 Kg m2

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    (ecuación 7.3)

    Donde

    T: es el torque neto o suma de todos los torques que actúan sobre el objeto. Io es el momento de inercia del objeto es la aceleración angular del objeto. Por ejemplo, si un individuo abduce el brazo del cuerp

    posición horizontal, el torque neto de hombro resulta en una aceleración angular del brazo.mayor es el momento de inercia del brazo alrededor de un eje a través del hombro, menoaceleración angular del segmento.

    Ejercicio 7.7: Torque neto

    Si la pierna del sujeto del ejercicio 7.6 rota con respecto a la rodilla, con una aceleración an17.5 rad/s². ¿Cuál es la magnitud del torque aplicado sobre el segmento pierna? (considere el mominercia proximal).

    7.7 Momento angular y su conservación

    El momento angular o cantidad de movimiento angular, es la resistencia que ofrece dicho cla variación de la velocidad angular. En el Sistema Internacional de Unidades el momento angulaen kg·m²/s. Se expresa como[3]:

    T=

    Io·

    T = Io·

    Io = 0.197kgm2 (ejercicio 7.6)

    T = (0.197kg m2 )(17.5rad/ s 2 ) = 3.45Nm

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    (ecuación 7.4)Donde

    L es el momento angular es el momento de inercia es la aceleración angular

    Cuando la gravedad es la única fuerza externa que actúa sobre un objeto, como en el movde proyectiles, el momento angular generado en el despegue se mantiene constante durante todo e

    Este principio se conoce como laconservación del momento angular y se deriva de la primera ley deNewton, que el momento angular de un sistema permanecerá constante a menos que exista unexterno.

    El momento angular se conserva durante el vuelo porque el vector de peso, actúa a travcentro de gravedad, es decir, no hay brazo de palanca y por lo tanto, el torque es nulo. No hay mointernos o torques en los segmentos que influyan en el momento angular. Este principio permgimnastas realizar maniobras aéreas mediante la manipulación de sus momentos de inercia y la vangular debido a que su momento angular es constante.

    Si el momento angular (L) es constante, al aumentar la velocidad angular el momento dedebe disminuir para que la igualdad se mantenga. Así mismo, si aumenta el momento de inercobjeto la velocidad angular debe disminuir (ver figura 7.13)[3].

    Figura 7.13

    Considere el momento angular de un gimnasta que realiza un salto vertical con giro en partístico alrededor de su eje (figura 7.14). Durante la fase de vuelo, el momento angular no cagimnasta, sin embargo, puede manipular el momento de inercia para girar más rápido o más lentoeje.

    L=

    Io·w

    Iow

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    Figura 7.14

    En el despegue, la gimnasta está en una posición de salida con un momento de inercia relativgrande (con los brazos extendidos aumenta el radio de giro y por lo tanto, aumenta el mominercia) y una velocidad angular relativamente pequeña.

    A medida que la gimnasta asume una posición encogida de sus brazos, el momento de disminuye y la velocidad angular aumenta.

    Después de haber completado la rotación y en la preparación de la tierra, la gimnasta se exaumentando el momento de inercia y disminuyendo la velocidad de giro para caer de pie al sue

    Las rotaciones pueden ser iniciadas en el aire y son las llamadas rotaciones de momento cero. Uejemplo de ello es la acción de un gato cuando se deja caer desde una posición boca arriba. El inicia una rotación de momento cero y aterriza en sus pies.

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    Figura 7.14

    A. A medida que el gato comienza a caer, arquea la espalda, para crear dos secciones, una parte fruna parte posterior, y dos ejes distintos de rotación.

    B. Las patas delanteras del gato se ponen cerca de la cabeza, disminuyendo el momento de inercsección frontal, y la parte superior del tronco se gira 180 °. El gato extiende sus extremidades tgira la sección trasera en la dirección opuesta para contrarrestar la rotación del segmento Debido a que el momento de inercia de la sección trasera es mayor que la de la sección frodistancia angular que mueve la sección trasera es relativamente pequeña.

    C. Para completar el giro, el gato trae las patas traseras y la cola en línea con la trompa y gira laposterior alrededor de un eje a través de la sección trasera. La reacción de la porción delantera a la rotación de la sección trasera es pequeño porque el gato crea un gran momento de imediante la extensión de las patas delanteras.

    D. Finalmente, el gato ha girado suficientemente para aterrizar en posición vertical sobre sus cuat

    El uso de este tipo de acciones en deportes como el buceo y el atletismo ha recibido una atconsiderable.

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    7.8 Tercera Ley de Newton aplicada a movimiento angular: Acción y reacción.

    Por cada torque ejercido por un cuerpo sobre otro cuerpo, hay un torque igual y opuesto por el cuerpo de este último en el primero. Esta ley ilustra exactamente el mismo principio que elineal. Cuando dos objetos interactúan, el torque ejercido por el objeto A en el objeto B es contrarrun torque igual y opuesto ejercido por el objeto B en el objeto A. Estos torques son iguales en pero de sentido opuesto. Esto es[3]:

    Generalmente, el torque generado por una parte del cuerpo para girar hace que se gene

    contratorque en otra parte del cuerpo. Por ejemplo, en un salto de longitud las piernas se balancedelante y hacia arriba en preparación para el aterrizaje. Para contrarrestar esta torsión inferior del resto del cuerpo se mueve hacia adelante y hacia abajo, produciendo una torque igual y opuesto inferior del cuerpo. Aunque el torque y contratorque son iguales y opuestos, la aceleración angulados porciones de cuerpo es diferente, porque los momentos de inercia son diferentes (ver figura 7.[3].

    Figura 7.15

    T A sobreB

    = TB sobre A

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    BIBLIOGRAFÍA

    1. SERWAY, Raymond A., JEWETT, John W. (2008).Física para ciencias e ingeniería. 7ª ed. México:Cengage Learning, 2 v. ISBN: 84-306-0267-4.

    2. Resnick, R.,Hlliday, D., Kenneth, S. (1998).Física volumen 1. 4º ed. México: Continental.

    3. Hamill, J; Knutzen, K.M. (2009).Biomechanical basis of human movement, 3ra edición.Massachusetts,EEUU: Lippincott Williams & Wilkins

    4. Giancoli, Douglas C. (1997).Física principios y aplicaciones.4º ed. México: Prentice Hall.

    5. Cromer, Alan H.(2011).Física para las ciencias de la vida. 2º ed. España: Reverté ediciones.

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    Capítulo 8. Trabajo

    Energía y PotenciaTrabajo efectuado por una

    fuerza constanteTrabajo efectuado por una

    fuerza variableTrabajo angular

    Potencia MecánicaEnergía mecánica

    Energía cinéticaEnergía potencial

    Principio de conservaciónde la energía

    El término trabajo se utiliza para distinguir una variedad de cosas. En general, consideramotrabajo es algo que exige un esfuerzo mental o físico. En la mecánica, sin embargo, el trabajo significado más específico y estrecho. El trabajo mecánico es igual al producto de la magnitud de uaplicada contra un objeto y la distancia que el objeto se mueve en la dirección de la fuerza, mientrfuerza es aplicada al objeto.

    La potencia se confunde a menudo con fuerza, trabajo, energía o resistencia. Sin embapotencia es una combinación de fuerza y velocidad. En muchos esfuerzos atléticos, la potencposibilidad de utilizar la combinación de fuerza y velocidad, es de suma importancia. Ejemplos dque requieren altos niveles de potencia son el levantamiento de pesas, el lanzamiento de peso, bateel béisbol, el boxeo, carreras de velocidad y el salto entre otros.

    Al igual que con el trabajo, el término energía mecánica es a menudo mal utilizado. Enpalabras, la energía es la capacidad de hacer el trabajo. Los muchos tipos de energía incluyen luenergía nuclear, eléctrica y mecánica, sin embargo la principal preocupación de la biomecánienergía mecánica. La unidad de energía mecánica en el sistema métrico es el joule. Las dos forenergía mecánica más estudiadas en el análisis del movimiento humano son la energía cinética y p

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    8.1 Trabajo efectuado por una fuerza constante

    El término trabajo se utiliza para significar una variedad de cosas. En general, consideramotrabajo sea algo que exige un esfuerzo mental o físico. En la mecánica, sin embargo, el trabajo significado más específico. En física, el trabajo es la acción de una fuerza que hace que un objeto cierta distancia. Por ejemplo, en el movimiento de un objeto a lo largo del suelo, una persona eobjeto con una fuerza paralela al suelo. Si la fuerza necesaria para mover el objeto es 100 N y el desplazado 1 m, el trabajo realizado es 100 Nm[1][2].

    Específicamente, el trabajo efectuado por una fuerza constante (en magnitud y dirección) scomoel producto de la magnitud del desplazamiento por la componente de la fuerza paralela desplazamiento. Se expresa como:

    (ecuación 8.1)Donde

    F es la fuerza aplicada d es el desplazamiento

    es el ángulo entre el vector de fuerza y la línea de desplazamiento.La unidad de trabajo mecánico se deriva del producto de la fuerza en Newton y el desplaz

    en metros. Las unidades más comúnmente utilizados son el de Newton-metro y el joule (J). Seunidades equivalentes:

    1 Nm = 1J

    Para que exista un trabajo:

    Debe existir una fuerza aplicada. La fuerza aplicada debe actuar a través deldesplazamiento. La fuerza debe tener una componente a lo largo del desplazamiento.

    En la figura 8.1 se muestra los diferentes valores de trabajo cuando la dirección de la fuerza cambirespecto al desplazamiento.

    T= T//· d

    T = Tcos(q )·d

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    Figura 8.1

    8.1.1 Trabajo positivo y negativo

    De la figura 8.1 se desprende que cuando una fuerza o un componente de esta va a favdesplazamiento ejercetrabajo positivo y cuando va en contra del desplazamiento ejercetrabajo negativo.Aquellas fuerzas que no participan en el desplazamiento (aquellas que quedan perpendicdesplazamiento) no ejercen trabajo[1][2]..

    En la figura 8.2 se muestran varias fuerzas actuando para desplazar un bloque por una distadonde claramente se puede observar que la fuerza que ejerce trabajo positivo es la fuerza externa a favor del desplazamiento, mientras que la fuerza de roce ejerce trabajo negativo porque va a en cdesplazamiento. Las fuerzas normal y peso no ejercen trabajo porque quedan perpendicudesplazamiento[1][2].

    Fuerza

    Desplazamiento: 7m

    T=12cos(0)·7 = 84 J

    T=12cos(60)·7 = 42 J

    T=12cos(90)·7 = 0 J

    T=12cos(135)·7 = -59,40 J

    T=12cos(180)·7 = -84 J

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    Figura 8.2

    8.1.2 Trabajo neto

    Considerando el mismo ejemplo de la figura 8.2, cuando hay varias fuerzas actuando paradesplazar un objeto se puede obtener un valor de fuerza neta y a su vez de trabajo neto. El trabajo puede calcular de dos formas equivalentes[2][3]:

    Datos:

    F=1000 N

    f r = 200 Nd= 2 m

    1) El trabajo neto es la suma algebraica de todos los trabajo individuales:

    2) El trabajo neto también se puede calcular determinando la fuerza neta que actúa en la direccióndesplazamiento para luego multiplicarlo con el desplazamiento:

    $

    fr#

    d

    Tneto = TN + Tmg + Tfr + TFTneto = (Ncos(90)·2)+ (mgcos(90) ·2)+ (f r cos(180) ·2)+ (Fcos(0)·2)Tneto = 0+ 0+ (200cos(180) ·2)+ (1000cos(0) ·2)Tneto = 1600 J

    Fneta = Fx sólolas fuerzas eneleje x act úanenel desplazamiento

    Fneta = F f r Fneta = 1000 200 = 800N

    Tneto = Fneta·d = 800·2 = 1600J

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    Ejercicio 8.1: Trabajo plano inclinado 1

    Una persona lleva una mochila de 15 kg por una pendiente de30º y de altura h=10 m como se muestra en la figura 8.3. La personacamina a velocidad constante.

    a. Calcule el trabajo que debe efectuar la persona para llevar lamochila.

    b. Calcule el trabajo efectuada por la gravedad sobre la mochilac. Calcule el trabajo neto efectuado sobre la mochila

    Solución:

    a. DCL

    Figura 8.4

    Si la altura son 10 m con ángulo de inclinación de 30º. La distancia recorrida es de:

    Para obtener el trabajo de la persona, es necesario saber de cuánto fue la fuerza F (fuerza qurealiza la persona para subir).

    F

    P

    Px

    Py

    θ

    θ

    N

    d =10

    sin(30)= 20m

    Fneta = Fx = 0 como la velocidad es constantela aceleraci ón escero

    Fneta = F Px = 0

    F = PxF = 15· 9,8sin(30) = 73,5NTF= 73,5· 20 = 1470J

    Figura8.3

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    b. Si considero el trabajo de la gravedad, debo considerar la ecuación

    ¡Es el mismo resultado que en el punto a!

    Se observa que el trabajo efectuado sólo depende del cambio de altura y no del ángulo de sEl mismo trabajo se hubiese efectuado para levantar un objeto del suelo de manera vertical a la mialtura,. esto se debe a que la gravedad hace un trabajo sólo en dirección vertical [2]..

    c. Para el trabajo neto, necesito la fuerza neta:

    El trabajo neto sobre la mochila es cero, debido a que la fuerza neta sobre la mochila es cerembrago, el sujeto realiza un trabajo de 1470 J.

    Tgravedad = mghT

    gravedad = 15kg· 9,8m/ s 2 · 10m = 1470J

    Fneta = Fx = 0

    Tneto = 0

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    8.3 Trabajo angular

    Se define como el producto de la magnitud del torque aplicado en contra de un objedesplazamiento angular que el objeto rota en dirección del torque que fue aplicado[4].

    (ecuación 8.1)Donde

    es el torque aplicado en el objeto es el desplazamiento angular que el objeto tiene al rotar

    En la figura 8.6 se muestra un deportista que realiza un movimiento angular sobre un cabaltorque que se produce en el caballete genera impulsos angulares sobre el centro de masa del depor

    Figura 8.6

    Si se aplica un torque de 40,5 Nm y genera una rotación de 0,79 radianes, el trabajo realizado enes:

    T = t · q

    T = t · q

    T = 40,5Nm· 0,79radT = 32 J

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    8.3.1 Trabajo y contracción muscular

    Cuando un músculo se contrae y produce tensión para mover un segmento, se produce unen la articulación, y el segmento se mueve produciendo un desplazamiento angular y los múschacen girar el segmento realizan un trabajo mecánico angular[4].

    Al igual que en trabajo lineal, existe el trabajo angular positivo y negativo. Eltrabajo positivo estáasociado con acciones musculares concéntricas o acciones en las que el músculo se acorta. Por ejeun levantador de peso realiza una flexión de bíceps con un pesa, la fase en la que los codos se flpara llevar la barra hacia arriba es la fase concéntrica (ver figura 8.7-A).

    Trabajo negativo, por otra parte, se asocia con acciones musculares excéntricas, o acciones eque el músculo se está alargando. En la extensión, cuando el sujeto baja la pesa, resistiendo la fuegravedad, los músculos flexores están haciendo un trabajo negativo. En este caso, la pesa está hacitrabajo sobre los músculos (ver figura 8.7-B).

    Trabajo nulo se asocia a contracciones isom�