Manual das Olimpíadas Brasileira de Matemática

7/27/2019 Manual das Olimpadas Brasileira de Matemtica

1/185


2/185


3/185


4/185

OBMEP - Banco de Questes 2013

Johel Beltrn, Jonathan FarfnMarcelo Hilrio e Tertuliano Franco


5/185

Banco de Questes 2013Copyright 2013 by IMPA

Direitos reservados 2013 pela AssociaoInstituto Nacional de Matemtica Pura eAplicada IMPAEstrada Dona Castorina, 11022460-320 Rio de Janeiro, RJ

Impresso no Brasil/Printed in BrazilPrimeira edio e impresso

Texto e diagramao: Johel Beltrn, JonathanFarfn, Marcelo Hilrio, Tertuliano Franco

Este livro foi escrito usando o sistema LATEX.

Capa: Rogrio Kaiser

IMPA/OBMEPBanco de Questes 2013Rio de Janeiro, IMPA, 2013

184 pginasISBN 978-85-244-0348-4

DistribuioIMPA/OBMEPEstrada Dona Castorina, 11022460-320 Rio de Janeiro, RJE-mail: [email protected]: www.obmep.org.br


6/185

CONTEDO

Apresentao 7

Prefcio 9

Nvel 1 Enunciados 13



Nvel 1 Solues 73

Nvel 2 Solues 105

Nvel 3 Solues 137

ndice de Problemas 167

www.obmep.org.br OBMEP Banco de Questes 2013


7/185


8/185

APRESENTAO

Desde sua primeira edio em 2005, a OBMEP oferece a todas as escolas pbli-cas do pas um Banco de Questes com problemas e desafios de matemtica paraalunos e professores. O Banco pretende despertar o prazer pela matemtica, es-timular o aluno interessado com perguntas instigantes e proporcionar um treina-mento para as provas da OBMEP.

O Banco de Questes deste ano apresenta uma coleo de problemas concebidose resolvidos pelos professores Johel Beltrn (PUCP), Jonathan Farfn (PUCP),Marcelo Hilrio (UFMG) e Tertuliano Franco (UFBA).

A edio do Banco de Questes deste ano assim como todas as edies anteriorese as apostilas do Programa de Iniciao Cientfica da OBMEP esto disponveis na

pgina www.obmep.org.br.Se voc, leitor, encontrar uma soluo para algum problema diferente da soluoapresentada ao final do Banco de Questes, no deixe de mand-la para o [email protected] , pois ela poder ser publicada na pgina daOBMEP!

Boa diverso,

Claudio LandimCoordenador Geral da OBMEP



9/185


10/185

PREFCIO

Querido leitor/leitora,

O Banco de Questes deste ano da OBMEP Olimpada Brasileira de Mate-mtica das Escolas Pblicas vem com noventa questes, sendo trinta de cadanvel. Sugerimos que o leitor no se limite a fazer questes apenas de um nvel.H questes no Nvel 3 possivelmente mais fceis do que determinadas questes doNvel 1, por exemplo. E no desanime se alguma questo lhe parecer complicada.Pule para outra, repense, reflita... assim funciona a Matemtica, com persistncia,reflexo. E tambm com busca pela esttica, por solues no apenas corretas, mas

tambm bonitas.Para facilitar a busca de questes em meio ao livro, h um sumrio no incio,e tambm um ndice remissivo ao final com os nomes dos problemas e respectivaspginas onde aparecem seus enunciados e solues. Alm disso, as questes doNvel 1 so numeradas como 1 , 2 , 3 , etc. As questes do Nvel 2 so numera-das como 1 , 2 , 3 , etc. E as questes do Nvel 3 so numeradas como 1 , 2 ,3 , etc.

De modo algum as solues dos problemas aqui apresentados so as nicas pos-sveis e/ou as melhores. Incentivamos fortemente o leitor a tentar as suas prpriassolues, usando as solues aqui apresentadas como um apoio.

Aproveitamos para agradecer a colaborao de todos os envolvidos neste projeto.

Esperamos que desfrutem!

Johel Beltrn, Jonathan Farfn, Marcelo Hilrio e Tertuliano Franco



11/185


12/185

Hoje eu vim, minha nega

sem saber nada da vida

querendo aprender contigo

a forma de se viver

as coisas esto no mundo

s que eu preciso aprender.

Paulinho da Viola, trecho da msicaCoisas do Mundo, Minha Nega


13/185


14/185

NVEL 1 ENUNCIADOS

1 gua na medida certa

Fbio precisa obter exatamente quatro litros de gua. Para isso ele usar apenasos dois nicos baldes de gua que tem em sua casa e uma torneira. Sabendo queum dos baldes que Fbio tem em sua casa tem capacidade de trs litros, e outro temcapacidade de cinco litros, determine uma maneira com a qual Fbio pode obter aquantidade de gua que necessita.

2 Laranjas e goiabas

Numa quitanda, h trs caixas. Uma contm apenas laranjas, outra contm apenasgoiabas, e a terceira contm laranjas e goiabas. Ives, que trabalha nesta quitanda,escreveu em uma caixa Laranjas, em outra Goiabas e em outra Laranjas e

Goiabas, de maneira que cada nome estivesse na caixa errada. Pedindo a Ivesque retire e mostre apenas uma fruta de apenas uma caixa, possvel saber comoreescrever todos os nomes nas caixas de maneira correta. Explique como!



15/185

14 Nvel 1 Enunciados

3 Cubos e cubos

Brulia cortou um cubo em muitos cubinhos de aresta 1 cm, atravs de cortes pa-ralelos s suas faces. Por exemplo, se este cubo tivesse 4 cm de lado, os cortes

produziriam:

Entretanto, o comprimento da aresta deste cubo desconhecido.

a) Aps cortar o cubo, Brulia contou os cubinhos de 1 cm de lado, os quais eram512. Qual era o comprimento da aresta do cubo?

b) Laura faz o mesmo com outro cubo, para o qual tambm desconhecido o com-primento da aresta. Aps o corte, Laura conta 512 cubinhos que antes no tinhamnenhuma face em contato com o exterior do cubo. Qual era o comprimento do cubo?

4 Qual a unidade?

Qual o algarismo das unidades do nmero 31 + 32 + 33 + 34 + 32013 ?Lembre-se, por exemplo, que 32 = 3 3 = 9. E 33 = 3 3 3 = 27. Lembre-setambm que o algarismo das unidades de um nmero o ltimo direita dele. Por

exemplo, o algarismo das unidades de 376564534539 9.



16/185


5 Pintando um cubo

Mnica tem seis cores para pintar as faces de um cubo. De quantas maneiras elapode fazer isso se:

a) Todas as faces tm a mesma cor?b) Cinco faces tm a mesma cor e uma face tem uma cor diferente das restantes?

c) Todas as faces tm cores diferentes?

Observao: lembre-se, por exemplo, que as duas pinturas abaixo so iguais, poisse girarmos uma delas de maneira apropriada, obteremos a outra!

6 Formiga espertaUma formiga esperta, que passeia sobre a superfcie do cubo abaixo, faz sempre omenor caminho possvel entre dois pontos. O cubo tem arestas de tamanho 1 cm.

Qual distncia a formiga esperta percorrer se ela for:

a) Do vrtice A ao vrtice B?

b) Do ponto M ao ponto N?

c) Do vrtice A ao vrtice D?



17/185


7 Soma de felinos

Emlio gosta de propor desafios matemticos e de animais. Ele escreveu num papela seguinte soma:

G A T O+ P U M A P U M A S

Emlio disse que a soma acima representa uma soma correta de dois nmeros, ondecada letra representa um algarismo distinto.

a) Qual o algarismo representado pela letra P?

b) Quais so os algarismos representados pelas letras G e U?

c) Qual o nmero representado pela palavra PUMAS?

8 Trs pontos colineares

Nove pontos so desenhados em uma folha de papel, como mostrados na seguintefigura:

a) De quantas maneiras possvel escolher trs pontos colineares?

b) De quantas maneiras possvel escolher quatro pontos de modo que trs delessejam colineares?



18/185


9 Tabuleiros e domins

Wanderson tem um tabuleiro 6 6 e peas de domin como ilustrado na figuraabaixo.

Cada uma das duas faces da pea de domin quadrada e tem a mesma rea de

cada uma das casas do tabuleiro, que tambm so quadradas.a) Wanderson quer cobrir todo o tabuleiro utilizando suas peas de domin de formaque cada face das peas de domin fique posicionada sobre uma casa do tabuleiro.Quantas peas de domin Wanderson precisar para faz-lo?

b) Renato recorta do tabuleiro de Wanderson duas faces de forma que o novo tabu-leiro tenha 34 casas como desenhado abaixo:

Logo aps, Renato desafia Wanderson a cobrir o novo tabuleiro usando as suaspeas de domin. Existe algum modo de Wanderson vencer o desafio?

c) Renato agora troca o tabuleiro de Wanderson pelo tabuleiro desenhado abaixo:

Ele troca tambm as peas de domin pelas novas peas 3 1 desenhadas abaixo:

Feito isso, ele repete o desafio feito a Wanderson, agora com o novo tabuleiro e asnovas peas. Existe algum modo de Wanderson vencer este novo desafio?



19/185


10 Diferena de reas

a) Na figura abaixo mostram-se dois quadrados sobrepostos. O maior tem ladoigual a 4, e o menor tem lado igual a 3. Quanto a rea da regio pintada de cinza

menos a rea da regio pintada de preto?

b) Na figura abaixo esto desenhados seis quadrados, cujos lados, da esquerda paraa direita, so iguais a 6, 5, 4, 3, 2 e 1, respectivamente. Quanto a rea pintada de

cinza menos a rea da regio pintada de preto?

11 Faltam trs

Aureliano escreve uma lista contendo cinco nmeros, sendo o primeiro deles o 6 eo ltimo deles o 8. O produto dos trs primeiros nmeros 648, o produto dos trscentrais 432, e o produto dos trs ltimos 288. Qual a lista de Aureliano?



20/185


12 Nmeros especiais

Um nmero chamado de especial se ele no contm o algarismo zero e, alm disso,a soma de seus algarismos igual ao dobro do primeiro algarismo. Por exemplo, o

nmero 8161 especial, pois: nenhum de seus algarismos o zero; a soma de todos os seus algarismos 8 + 1 + 6 + 1 = 16; o dobro de seu primeiro algarismo 8 2 = 16.

a) Existe um nmero especial de cinco algarismos que seja par? Por qu? Casoexista, d um exemplo.

b) Qual o menor nmero especial de quatro algarismos?

c) Qual o maior nmero especial?

d) Qual o maior nmero especial que tem todos os algarismos distintos?

13 O nmero grande N

Jos Arcdio gosta de brincar com nmeros. Em uma grande folha de papel, eleescreve os nmeros inteiros desde o 1 at o 2013 um depois do outro, formandoassim um nmero grande N.

N = 1234567891011121314 . . . 201120122013

a) Quantos algarismos tem o nmero grande N que foi escrito por Jos Arcdio?

b) Qual o 2013 algarismo no nmero grande N escrito por Jos Arcdio?



21/185


14 Vai dar galho

A rvore do professor Fernando cresce de acordo com a seguinte regra:

na primeira semana a rvore comea a crescer com apenas um galho;

aps crescer por duas semanas, esse galho d origem a um novo galho porsemana; cada novo galho gerado continua a crescer, e aps crescer por duas semanas

d origem a um novo galho por semana.

A figura abaixo ilustra a rvore do professor Fernando aps cinco semanas pas-sadas do incio do seu crescimento.

Note que aps trs semanas havia dois galhos; aps quatro semanas havia trsgalhos e aps cinco semanas havia cinco galhos.

a) Quantos galhos haver aps seis semanas?

b) Quantos galhos haver aps sete semanas?c) Quantos galhos haver aps treze semanas?



22/185


15 Vira vira rob

Um certo rob s anda para a frente ou vira direita, com um ngulo de x graus emrelao direo original com que estava andando, conforme mostrado na figura

abaixo:

Para retornar direo e ao sentido original, o rob precisa virar direita umcerto nmero de vezes. Por exemplo, se x = 90, ento o rob precisa virar direitaquatro vezes:

a) Quantas vezes o rob precisa virar direita se x = 60

?b) Quantas vezes o rob precisa virar direita se x = 42?

c) E se x = 47?



23/185


16 Relgio matemtico

No jogo Relgio Matemtico inicialmente um ponteiro aponta para um dos setenmeros contidos nas casas do relgio ilustrado na figura abaixo. Em cada rodada,

o jogador deve verificar qual o nmero apontado pela seta e depois desloc-la, emsentido horrio, pela quantidade de casas indicada pelo nmero para o qual a setaaponta no incio da rodada.

Por exemplo, caso o ponteiro aponte inicialmente para a casa de nmero 2, o jogadordever, na primeira rodada, mov-lo duas unidades no sentido horrio, de forma

que ele passar a apontar para a casa de nmero 4.a) Iniciando-se na casa de nmero 1, quantas rodadas so necessrias at que oponteiro retorne novamente a essa casa pela primeira vez?

b) Ao iniciar-se o jogo com o ponteiro inicialmente posicionado na casa de nmero6, qual ser sua posio aps uma rodada?

c) Qual o nico nmero para o qual, ao iniciar-se o jogo a partir dele, a setaapontar novamente para ele em uma rodada?

d) O jogador decide trocar o relgio mostrado na figura acima por um relgio con-tendo 128 casas. Iniciando-se da casa de nmero 127, quantas rodadas sero neces-

srias para que o ponteiro atinja a casa de nmero 128 pela primeira vez?



24/185


17 Desenhos bem desenhados

Dizemos que um desenho bem desenhado quando pode ser feito sem tirar o lpisdo papel e sem passar o lpis duas vezes por cima de uma mesma linha. Por exem-

plo, o desenho abaixo bem desenhado,

pois pode ser desenhado, por exemplo, seguindo a ordem dos vrtices

A B H F G K L C H E L D A

a) Mostre que o desenho abaixo bem desenhado:

b) O desenho a seguir bem desenhado? Justifique.



25/185


18 Clarissa divide um hexgono

Clarissa desenhou o hexgono abaixo e marcou os seus vrtices com as letras A, B,C, D, E e F.

Em seguida ela declarou que alguns pontos do hexgono seriam chamados de legais.Um ponto do hexgono de Clarissa chamado de legal se ele satisfaz alguma daspropriedades abaixo:

esse ponto um dos vrtices do hexgono; esse ponto a interseo entre duas diagonais do hexgono; esse ponto a interseo entre qualquer segmento de reta ligando dois outros

pontos legais.Por exemplo, na figura abaixo, os pontos A, B, D e F so pontos legais, j que so,todos eles, vrtices do hexgono de Clarissa. O ponto H tambm um ponto legal

porque a interseo da diagonal AB, com a diagonal BF.

Clarissa diz que um tringulo contido em seu hexgono legal se todos os seusvrtices so pontos legais. Por exemplo, na figura abaixo o hexgono de Clarissaest dividido em quatro tringulos legais.



26/185


a) Clarissa quer dividir um hexgono em seis tringulos legais. Mostre como elapode faz-lo.

b) Explique por que o ponto I na figura abaixo um ponto legal.

c) Mostre uma maneira com a qual Clarissa pode dividir o hexgono em 10 trin-

gulos legais.d) Mostre uma maneira com a qual Clarissa pode dividir o hexgono em 2014 trin-gulos legais.



27/185


19 Nmero mpar de divisores

O nmero natural preferido por Vladas possui uma quantidade mpar de divisores.Mostre que esse nmero um quadrado perfeito.

Sugesto: Note que se o nmero d um divisor do nmero n, ento nd tambm divisor de n. Por exemplo, 6 divisor de 24. Logo, 24/6 = 4, que tambm divisorde 24.

20 Aline pinta o cubo

Aline ganhou de presente um cubo composto por 4 4 4 cubinhos brancos, comona figura a seguir.

Sem separar os pequenos cubinhos, Aline decidiu pintar todas as faces do seu cubocom tinta vermelha.

a) Diga quantos cubinhos ficaram com exatamente uma de suas faces pintada emvermelho.

b) Diga quantos cubinhos ficaram com exatamente duas das suas faces pintadasem vermelho.

Tempos depois, Aline pediu ao seu pai um cubo ainda maior para pintar da mesmamaneira que ela havia feito com o cubo anterior.

c) Aps realizar a pintura, Aline separou os cubinhos. Ela notou que a quantidadede cubinhos que ficaram sem nenhuma face pintada em vermelho igual ao triploda quantidade de cubinhos que ficaram com duas faces pintadas em vermelho. Des-cubra o tamanho do novo cubo que Aline recebeu.



28/185


21 O segundo quadrado

Julio recebeu um tabuleiro 10 10 e seis quadrados todos de diferentes pinturas.Sabe-se que Julio posicionou os seis quadrados sobre o tabuleiro, um de cada vez,

de forma que todas as casas do tabuleiro fossem cobertas por, pelo menos, umquadrado. Ao final, Julio formou a seguinte figura:

a) Diga quais foram os dois ltimos quadrados colocados por Julio.

b) Diga qual o tamanho do segundo quadrado colocado por Julio.

c) possvel dizer o tamanho do primeiro quadrado colocado por Julio?



29/185


22 Tringulos pequenos e grandes

Neste desenho todos os tringulos so equilteros.

Sendo o permetro do tringulo AKT igual a 108 cm, calcule o permetro do trin-

gulo DEC.



30/185


23 Pirmide de nmeros

Aline gosta de brincar com nmeros naturais. Em uma de suas brincadeiras, elacoloca um nmero natural em cada um dos blocos da pirmide ilustrada abaixo.

Alm disso os nmeros so colocados de modo que o produto dos nmeros em doisblocos vizinhos do mesmo nvel coincida com o nmero colocado no bloco acimadesses. Por exemplo, na figura abaixo, caso Aline coloque os nmeros a e b nosblocos vizinhos indicados ento ela dever colocar o nmero a b naquele bloco quese localiza acima desses.

Encontre uma maneira na qual Aline possa colocar os nmeros de modo que os5 nmeros colocados na base da pirmide sejam distintos e o nmero colocado no

bloco do topo seja o 140026320.



31/185


24 Cruzes sobre o tabuleiro

Luana precisa colocar sobre um tabuleiro de 8 8 cruzes do formato desenhado aseguir,

de modo que duas cruzes no ocupem o mesmo quadrinho. Por exemplo:

No mximo, quantas cruzes Luana pode colocar sobre o tabuleiro?



32/185


25 Quantos rebotes?

Bruno e Pedro jogam sinuca sobre uma mesa estranha. Ela contm duas paredesque se encontram formando um ngulo de 20. Eles observaram que as reflexes da

bola contra as paredes so perfeitas, isto , caso a sua trajetria de incidncia faaum ngulo de x com a parede ento o ngulo que a trajetria refletida faz com aparede tambm ser igual a x. A figura abaixo ilustra essa regra de reflexo.

Brincando com a bola, eles perceberam que possvel que, aps refletir algumasvezes na parede da mesa, a trajetria da bola intersecte a si prpria. Por exem-plo, Bruno lanou uma bola de modo que, depois de 3 reflexes, a sua trajetriaintersectou-se a si mesma, como ilustra a figura abaixo.

Depois de Bruno, Pedro lanou a bola da maneira mostrada na seguinte figura:

Diga quantas reflexes sofreu a bola enviada por Pedro antes que a sua trajetriaintersectasse a si prpria.



33/185


26 Diviso do terreno

Dona Lgia tem um terreno em forma de quadrado. Ela decide dividi-lo em cincoregies, sendo quatro retngulos e um quadrado como ilustrado na figura abaixo:

Na figura acima temos que:

O quadrado do centro tem rea igual a 64 m2;

Os lados maiores dos quatro retngulos tm o mesmo comprimento;

As cinco regies tm o mesmo permetro.

Determine a rea do terreno de Dona Lgia.

27 Po e vinho

Dezesseis pessoas fazem fila na padaria. O dono da padaria oferece vinho fregue-sia. Uma garrafa entregue primeira pessoa da fila e passada de pessoa a pessoadesde a primeira da fila at a ltima, sem retornar. Por quatro vezes a garrafa foi

passada de uma mulher a uma mulher, por trs vezes de uma mulher a um homeme por seis vezes de um homem a um homem.

a) Por quantas vezes a garrafa foi passada de um fregus a outro?

b) Quantas vezes foi a garrafa passada de um homem na fila a uma mulher na fila?

c) A primeira pessoa da fila homem ou mulher? E a ltima pessoa da fila?



34/185


28 Greve de quadrados e cubos

Um nmero natural chamado de quadrado se pode ser escrito como o produto dedois nmeros iguais. Por exemplo, 9 um quadrado, pois 9 = 3 3. Os primeirosquadrados so 1, 4, 9, 16, 25, . . .. Um nmero natural chamado de cubo se podeser escrito como o produto de trs nmeros iguais. Por exemplo, 8 um cubo, pois8 = 2 2 2. Os primeiros cubos so 1, 8, 27, 64, 125 . . ..Em um certo dia, os nmeros quadrados e cubos decidiram entrar em greve. Foiassim que os demais nmeros naturais tiveram que assumir novas posies:

21 posio

, 32 posio

, 53 posio

, 64 posio

, 75 posio

, 106 posio

, 117 posio

, . . .

a) Qual o nmero que ficou na 12 posio?

b) Quais so os nmeros menores ou iguais a 2013 que so ao mesmo tempo quadra-

dos e cubos?c) Qual a nova posio ocupada pelo nmero 2013?

d) Descubra qual o nmero que ficou na 2013 posio.

29 Ximena e o tabuleiro

Ximena deve escolher sete nmeros diferentes da lista 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 paraserem colocados no tabuleiro da figura a seguir. Ela deve colocar um nmero emcada casa de modo que o produto dos nmeros na Fila 1 coincida com o produto dosnmeros na Fila 2 e que coincida tambm com o produto dos trs nmeros colocadosna nica coluna do tabuleiro.

a) Quais so os nmeros que Ximena deve escolher?

b) Mostre a Ximena uma forma de conseguir seu objetivo.



35/185


30 Vamos construir escadas

Utilizando-se quadradinhos de 1 cm de lado so construdas escadas conforme afigura abaixo:

a) Calcule a rea total e o permetro da quinta escada construda.b) Precisamos de uma escada de 78 cm2 de rea. Qual escada devemos escolher?

c) Precisamos de uma escada de 100 cm de permetro. Qual escada devemos esco-lher?



36/185

NVEL 2 ENUNCIADOS

1 Tartaruga corredora

Uma tartaruga corredora anda em linha reta da seguinte maneira. No primeirotrecho do caminho, que mede 1

2m, ela corre velocidade de 3 m/s. No segundo

trecho, que mede 13

m, ela corre velocidade de 4 m/s. No terceiro trecho, que mede14

m, ela corre velocidade de 5 m/s e assim por diante.

a) Qual o tempo que a tartaruga leva para percorrer o primeiro trecho? Escreva oresultado como diferena de duas fraes unitrias, ou seja, fraes com numeradorigual a 1.

b) Faa o mesmo com respeito ao segundo trecho.c) Calcule o tempo que a tartaruga leva para percorrer os 2013 primeiros trechos.

2 Gato late, cachorro mia?

Na cidade de Trocalndia, 20% dos gatos pensam que so cachorros e 25% dos ca-chorros pensam que so gatos. Certo dia, um psiclogo veterinrio resolve testartodos os gatos e cachorros de Trocalndia, verificando que 30% do total pensava sergato. Que proporo dos animais testados era de ces?



37/185


3 Os funcionrios do hospital

Um hospital tem os seguintes funcionrios:

Sara Dores da Costa: reumatologista

In Lemos: pneumologistaEster Elisa: enfermeiraEma Thomas: traumatologista

Ana Lisa: psicanalistaIncio Filho: obstetra

a) De quantas maneiras os funcionrios podem fazer uma fila?

b) De quantas maneiras os mesmos funcionrios podem sentar numa mesa re-donda? Lembre-se que, numa mesa redonda, se todos se mudam para a cadeirada esquerda, a mesa continua igual!

c) E de quantas maneiras os funcionrios podem compor uma comisso formadapor presidente, vice-presidente e suplente?

4 A Lista de Pedro

Pedro escreveu a lista de todos os nmeros inteiros positivos menores que 10000nos quais cada um dos algarismos 1 e 2 aparecem uma nica vez. Por exemplo,1234, 231, 102 foram escritos na lista, mas 1102 e 235 no esto na lista. Quantosnmeros h na lista escrita por Pedro?



38/185


5 rea em cinza

Na figura a seguir, ABCD um retngulo, e o comprimento do segmento BC igual a 2. Alm disso, os comprimentos dos segmentos IJ, KL, DO e N M so todos

iguais a 1. Determine a rea da regio pintada de cinza.

6 Quantos andares?

Um prdio tem trs escadas diferentes, todas comeando na base do prdio e ter-minando no topo. Uma escada tem 104 degraus, outra tem 117 degraus, e a outratem 156 degraus. Sempre que os degraus das trs escadas esto na mesma altura,h um andar. Quantos andares tem o prdio?



39/185


7 Pulga pula

Uma pulga, que est no ponto A de uma reta, pula exatamente 1 m de cada vez,sem nunca sair dessa reta.

a) Se a pulga quer chegar no ponto B localizado sobre a reta, a uma distncia de5 m direita de A, com exatamente 7 pulos, de quantas maneiras ela pode fazerisso?

b) Se a pulga quer chegar no ponto C localizado sobre a reta, a uma distncia 5 m direita de A, com exatamente 9 pulos, de quantas maneiras ela pode fazer isso?

c) possvel que a pulga chegue no ponto D localizado sobre a reta a uma distnciade 2013 m de A, com exatamente 2028 pulos? Justifique.

8 Crculos e crculos

Abaixo, veem-se crculos grandes e pequenos. Os crculos grandes tm raio 2, e oscrculos pequenos tm raio 1. Qual a rea da regio pintada de cinza?

Observao: A rea de um crculo de raio r igual a r2.



40/185


9 Rodzio de veculos

Na cidade de Autolndia, a numerao de placas de carros feita atravs de n-meros de trs dgitos, portanto indo da placa 000 at a placa 999. Para diminuir a

poluio, o prefeito Pietro decidiu implementar um rodzio de carros, estabelecendoos dias nos quais as pessoas podem usar seus carros. As regras do rodzio so:

Segunda-feira: somente carros com placa mpar;

Tera-feira: somente carros com placa cuja soma dos trs dgitos maior ouigual a 11;

Quarta-feira: somente carros com placa cujo nmero mltiplo de 3;

Quinta-feira: somente carros com placa cuja soma dos trs dgitos menor

ou igual a 14; Sexta-feira: somente carros com placa contendo pelo menos dois dgitos

iguais;

Sbado: somente carros cujo nmero na placa for estritamente menor do que500;

Domingo: somente carros cuja placa tenha os trs dgitos menores ou iguaisa 5.

a) Em quais dias o carro com a placa 729 pode circular?b) Maria, a esposa do prefeito, quer um carro que possa circular todos os dias excetoaos domingos. Qual placa ela deve ter?

c) O prefeito Pietro precisa de uma placa que o permita circular todos os dias. Queplaca ele deve ter?

d) Por que todos os habitantes de Autolndia podem circular pelo menos uma vezpor semana?



41/185


10 Cubo do dia

Patrcia quer escrever algarismos nas faces de dois cubos de madeira de tal modoque qualquer dia do ms possa ser representado juntando um algarismo de uma

face de um dos cubos e outro algarismo de uma face do outro cubo. Por exemplo,para representar o dia primeiro, Patrcia junta os cubos de modo a mostrar as faces:

0 1

Para representar o dia 26, Patrcia junta os cubos de maneira adequada mostrandoas faces:

2 6

O algarismo 6 pode ser usado para representar o 9, bastando para isso girar a face.Lembre-se tambm que os dias de um ms vo de 01 at 31.

a) Quais algarismos devem ser escritos em ambos os cubos?

b) Encontre quais algarismos devem ser escritos em cada cubo.

11 rea do losango

Considere um retngulo ABCD onde os comprimentos dos lados so AB = 4 eBC = 8. Sobre os lados BC e AD se fixam os pontos M e N, respectivamente, de

modo que o quadriltero BMDN seja um losango. Calcule a rea deste losango.



42/185


43/185


13 O lema de Quatrolndia

No pas da Quatrolndia, o nmero quatro representa a liberdade e o lema do pas a seguinte multiplicao:

S E R V I L 4

L I V R E S

Na multiplicao acima, cada letra representa um algarismo, possivelmente comrepetio.

a) Mostre que a letra S representa o algarismo 2 e que a letra L representa oalgarismo 8.

b) Mostre que a letra E representa o algarismo 1 e que a letra I representa o alga-rismo 7.

c) Mostre que o nmero LIVRES igual a 219978.

14 Quantos quadrados?

O professor Ciconete desenhou no quadro os seguintes pontos:

Em seguida, ele perguntou aos seus alunos quantos quadrados com vrtices em taispontos possvel desenhar. Qual a resposta correta para a pergunta do professor

Ciconete?



44/185


15 Paralelogramo

Na figura a seguir, ABCD um paralelogramo, ou seja, um quadriltero cujoslados opostos tm o mesmo comprimento (e so paralelos). Alm disso, o segmento

BE tem comprimento 6, e os segmentos CD e DE tm o mesmo comprimento. Qualo comprimento do segmento F G?

16 Os 50 nmeros de Vanessa

Vanessa deseja escolher 50 nmeros inteiros positivos distintos menores do que 100

e tais que a soma de quaisquer dois nmeros escolhidos por ela seja sempre distintade 99 e de 100.

a) Mostre como Vanessa pode atingir o seu objetivo.

b) Mostre que h somente uma maneira pela qual Vanessa pode escolher esses 50nmeros para atingir o seu objetivo.



45/185


17 Pintando tabuleiro

Um tabuleiro de tamanho 20135 (ou seja, com 2013 linhas e 5 colunas) deve ser pin-tado com as cores A, B, C, D. Algumas casas na primeira linha j foram pintadas,

conforme mostra a figura abaixo (as casas no representadas na figura no forampintadas ainda). Para continuar a pintar o tabuleiro, devemos seguir a seguinteregra: quadrados vizinhos (aqueles que compartilham um lado ou um vrtice) nopodem ter a mesma cor.

a) Descreva de que maneiras podemos completar a pintura das duas primeiraslinhas.

b) De quantas maneiras podemos pintar o tabuleiro inteiro?

c) Descreva quais so as possveis pinturas para a linha de nmero 2013.



46/185


18 ngulo

Na figura a seguir, os ngulos marcados em cinza tm a mesma medida. Do mesmomodo, os ngulos marcados em branco tambm tm a mesma medida. Determine

a medida do ngulo b.

19 Qual o nmero?Juarez utilizou os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 para escrever o nmero abcde de cincoalgarismos distintos. Sem revelar qual esse nmero, ele disse a Luciana que:

o nmero abc divisvel por 4; o nmero bcd divisvel por 5; o nmero cde divisvel por 3.

Em seguida, Luciana disse a Juarez que possvel descobrir qual o nmero abcde.

Mostre que Luciana est correta, isto , encontre o nmero abcde.



47/185


20 Cinco amigos, cinco corridas

Os cinco amigos Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo, Dernaldo e Ernaldo disputaram en-tre si cinco corridas. Em cada corrida, o ganhador recebeu cinco pontos, o segundo

colocado quatro pontos e assim sucessivamente at o ltimo colocado, que rece-beu apenas um ponto. Para obter a pontuao final de cada corredor, foram so-madas as pontuaes obtidas nas cinco corridas. Na pontuao final, Arnaldo ficouem primeiro lugar com 19 pontos, seguido de Bernaldo com 16 pontos. O terceiro,quarto e quinto lugares foram ocupados por Cernaldo, Dernaldo e Ernaldo, respec-tivamente. No houve empate em nenhuma corrida e nem na pontuao final. Masum fato curioso que nem Arnaldo e tampouco Bernaldo ganharam sequer umadas cinco corridas.

a) Mostre que, em cada corrida tanto Arnaldo quanto Bernaldo obtiveram sempreo segundo e o terceiro lugar (em alguma ordem).

b) Diga quantos pontos conseguiu Cernaldo.c) Quantas corridas ganhou cada um dos corredores?

21 Superquadrados

Um nmero natural N maior que 10 chamado superquadrado se o nmero for-mado por cada dois algarismos consecutivos do nmero N (considerados na mesmaordem) sempre um quadrado perfeito. Por exemplo, 8164 superquadradoporque os nmeros 81, 16 e 64 so quadrados perfeitos. Outros exemplos de su-perquadrados so 25 e 649.

a) Quantos nmeros superquadrados existem?b) Qual o maior nmero superquadrado?



48/185


49/185


23 Pentgono regular

A figura abaixo composta por um quadrado e um pentgono regular.

Calcule a soma dos ngulos a

e b

.Fatos que ajudam. (Voc pode us-los!). A soma dos ngulos internos de umtringulo sempre igual a 180. Alm disso, a soma dos ngulos internos de umquadriltero sempre igual a 360. Para ver isso, basta dividir o quadriltero emdois tringulos, ligando dois vrtices opostos.

Cada tringulo tem 180 como soma dos ngulos internos, da obtemos 180 2 =360 como soma dos ngulos internos do quadriltero. E a soma dos ngulos inter-nos de um pentgono igual a 180 3 = 540, pois podemos dividir um pentgonoqualquer em trs tringulos como mostra a figura a seguir.



50/185


24 Um aps um

Considere a lista de nmeros a1, a2, .. . , onde

an = 111111 . . . 1 3n algarismos

,

ou seja, a1 = 111trs uns

, a2 = 111111111 nove uns

, a3 = 111 . . . 1 vinte e sete uns

, e assim por diante.

a) Mostre que a1 mltiplo de 3 mas no de 9.

b) Mostre que a2 mltiplo de 9 mas no de 27.

c) Mostre que a3 mltiplo de 27 mas no de 81.

25 Retngulo ou trapzio

A figura abaixo contm um quadrado e dois tringulos retngulos congruentes.

Com esses polgonos formamos um retngulo e um trapzio como mostra a figuraseguinte:

Sabendo que o permetro do retngulo 58, e que o permetro do trapzio 60,calcule o lado do quadrado.

Observao: Um tringulo dito retngulo se um dos seus ngulos mede 90.Dois tringulos so ditos congruentes quando os dois possuem lados com os mesmoscomprimentos.



51/185


26 Sabotando os planos do Chris

Sobre um tabuleiro de n n, Chris planeja desenhar trs Os. Ele deseja faz--lo de modo que cada O fique dentro de um quadradinho e de modo que os trs

quadradinhos utilizados estejam dispostos no formato de um L. A seguinte figuramostra alguns exemplos com n = 4.

Nosso objetivo ser sabotar o plano de Chris! Chegaremos antes que ele e marcare-mos alguns dos quadradinhos com um X, no permitindo assim que ele desenheos seus Os dentro desses quadradinhos. Por exemplo, em um tabuleiro de 3 3podemos marcar cinco quadradinhos como mostra a figura seguinte.

Vemos que assim no h uma maneira pela qual Chris possa cumprir com seuplano.

a) Para n = 2, qual a quantidade mnima de quadradinhos que devemos marcarcom um Xpara sabotar o plano de Chris?

b) Para n = 3, encontre um modo de sabotar o plano de Chris marcando exatamentequatro quadradinhos com um X.

c) Para n = 4, encontre um modo de sabotar o plano de Chris marcando exatamenteoito quadradinhos.

d) Para n = 4, mostre que impossvel sabotar o plano de Chris marcando apenas

sete quadradinhos com um X. (Sugesto: use o item a)).



52/185


27 Kiara e Yndira

Sobre um quadro negro, Kiara escreveu 20 nmeros inteiros, todos eles diferentesde zero. Em seguida, para cada par de nmeros escritos por Kiara, Yndira escreveu

sobre o mesmo quadro o respectivo produto entre eles (inclusive, se o resultado dealgum produto j estava escrito, Yndira o repetiu).

Por exemplo, caso os nmeros 2, 3, 4 e 6 estivessem entre aqueles escritos por Kiara,ento Yndira teria escrito os nmeros 6, 8, 12, 12, 18 e 24, pois temos que 6 = 2 3,8 = 2 4, 12 = 2 6 = 3 4, 18 = 3 6 e 24 = 4 6. Note que o nmero 6 teria sidoescrito novamente mesmo j tendo sido escrito por Kiara, enquanto que o nmero12 teria sido escrito duas vezes por Yndira.

a) No total, quantos nmeros foram escritos por Kiara e Yndira sobre o quadronegro?

b) Suponhamos que, do total de nmeros escritos sobre o quadro, exatamente120so positivos. Se Kiara escreveu mais nmeros positivos do que negativos, diga

quantos dos nmeros escritos por Kiara eram positivos.

28 A rea do quadriltero

Na figura abaixo, ABCD um paralelogramo, e M o ponto mdio do segmentoAD.

Se a rea do quadriltero MOCD igual a 5 cm2, calcule a rea do tringulo AOM.



53/185


29 Abrindo e fechando portas

Os 50 primeiros nmeros naturais atravessaro um corredor que contm 50 portasnumeradas de 1 a 50, todas elas inicialmente trancadas. O primeiro a atravessar

ser o nmero 1, o segundo ser o nmero 2, em seguida o nmero 3 e assim pordiante, at o nmero 50 que ser o ltimo a atravessar. Ao atravessar o corredor,o nmero n carregar consigo as chaves das portas numeradas com mltiplo de n.Assim, por exemplo, o nmero 1 carregar as chaves de todas as portas, enquantoque o nmero 2 carregar somente as chaves das portas com numerao par e onmero 25 carregar somente as chaves das portas numeradas com 25 e 50. Du-rante o seu percurso, cada nmero usa as chaves que possui para trancar as portasque estiverem abertas e destrancar aquelas que estiverem fechadas.

a) Quais sero as portas destrancadas pelo nmero 15?

b) Mostre que, depois do nmero 50 ter percorrido o corredor, a porta de nmero 10

ficar destrancada enquanto que a porta de nmero 9 ficar trancada.c) Depois do nmero 50 ter percorrido o corredor, quais sero as portas destran-cadas?

30 Use as paralelas

Na figura abaixo, ABCD um quadrado, e a circunferncia de centro O tangenteaos segmentos DE e CD.

a) Mostre que se L1 a reta que passa por AC e L2 a reta que passa por DO, entoL1 e L2 so paralelas.

b) Sabendo que a rea do quadrado ABCD igual a 36 cm2, calcule a rea do trin-

gulo ACO.



54/185

NVEL 3 ENUNCIADOS

1 Quadrado mgico

Um quadrado mgico uma tabela quadrada na qual a soma dos nmeros emqualquer linha ou coluna constante. Por exemplo,

um quadrado mgico, o qual usa os nmeros de 1 a 9. Como o leitor pode verificar,a soma em qualquer linha ou coluna sempre igual a 15.

a) O quadrado abaixo parte de um quadrado mgico que usa os nmeros mparesentre 1 e 17. Descubra qual nmero X deve ser.

b) Um quadrado mgico dito hipermgico quando a soma em qualquer linha,coluna, ou diagonal, constante. Escreva os nmeros de 1 a 9 no quadrado abaixode modo que ele se torne hipermgico.



55/185


2 Clube de ciclistas

Os ciclistas tm averso ao nmero zero (porque oval) e ao nmero oito (porqueassim ficam as rodas aps os acidentes). Quantos scios podem se inscrever num

clube de ciclistas se cada um deve possuir uma identificao de trs dgitos, semusar o dgito zero nem o dgito oito?

3 Tesoura e papel

Uma folha de papel retangular, com base igual a 20 cm e altura 10 cm. Esta folha dobrada nas linhas pontilhadas conforme a figura abaixo, e no final recortada poruma tesoura na linha indicada, a qual paralela base e est na metade da alturado tringulo.

a) Depois de cortar no local indicado, em quantas partes a folha ficou dividida?

b) Qual a rea da maior parte?



56/185


4 A corrida de Cordisburgo

Na cidade de Cordisburgo, foi realizada uma corrida de bicicleta num circuito circu-lar, da qual participaram trs ciclistas, Guimares, Rosa e Joo. Na primeira hora

da corrida, Guimares fez exatamente 230 voltas completas, Joo fez exatamente111 voltas completas, porm no se sabe quantas voltas Rosa realizou, sabe-se ape-nas que foi um nmero inteiro e que Rosa deu mais voltas que Joo e menos do queGuimares. Alm disso, cada um deles andou com velocidade constante, e todospartiram juntos do mesmo ponto. Considerando tambm as ultrapassagens feitasno tempo inicial, quantas ultrapassagens no total foram feitas nessa primeira horade corrida?

5 Mltiplos de 3 e quadrados

Escreve-se, em ordem crescente, cada um dos mltiplos de 3 cuja soma com 1 umquadrado perfeito:

3, 15, 24, 48, . . .

a) Qual o prximo nmero que aparecer, nesta sequncia, depois do 48?

b) Qual o oitavo nmero desta sequncia?

c) Qual o nmero que aparecer, nesta sequncia, na 2013 posio?



57/185


6 Minhoca matemtica

Uma minhoca matemtica parte do ponto A e chega no ponto B da figura abaixo.

Esta minhoca matemtica se move sempre sobre as linhas pretas do desenho acima,e nunca passa sobre um lugar no qual ela j esteve anteriormente. Alm disso,esta minhoca pode andar para baixo, para cima e para a direita, mas no para aesquerda. Por exemplo, um caminho possvel para que a minhoca matemtica vdo ponto A ao ponto B poderia ser:

a) De quantas maneiras diferentes a minhoca matemtica pode ir do ponto A aoponto B atravs de caminhos contidos nos segmentos mostrados na figura abaixo?(seguindo as regras descritas anteriormente).

b) Qual o nmero total de maneiras que a minhoca matemtica pode ir do ponto Aao ponto B? (seguindo as regras anteriores, para qualquer caminho, no apenas osdo item a)).



58/185


7 Equilteros

O tringulo ABC abaixo equiltero, ou seja, tem seus trs lados de mesmo com-primento e todos seus ngulos iguais a 60. O senhor Simas marca um ponto Hqualquer no lado

BCdo tringulo. Em seguida, ele traa um segmento paralelo ao

lado AC, comeando em H e terminando no ponto I sobre o lado AB. Em seguida,traa um segmento paralelo ao lado AB, comeando em H e terminando no pontoJ sobre o lado AC, conforme a figura abaixo:

a) Sabendo que o lado AB tem comprimento igual a 1, calcule o permetro doquadriltero AIHJ.

b) O senhor Simas segue desenhando, como mostra a figura a seguir, e traa ossegmentos LO e MP de maneira perpendicular ao lado BC.

Seja d o comprimento do segmento IL, seja f o comprimento do segmento JM eseja x o comprimento do segmento OP. Mostre que

x =1 + d + f

2



59/185


8 Tridomins

Um tridomin a figura a seguir, que composta por trs quadrados.

Podemos juntar tridomins para formar figuras. Por exemplo, podemos juntar doistridomins para formar um retngulo 2 3, conforme observa-se abaixo:

a) Mostre que no possvel juntar tridomins (sem sobrep-los) de maneira aformar um quadrado 3 3.b) Mostre que no possvel juntar tridomins (sem sobrep-los) de maneira aformar um quadrado 4 4.c) Qual o nmero mnimo de tridomins necessrios para formar um quadrado?Justifique.

9 Nascimento?

O personagem histrico mexicano Benito Jurez nasceu na primeira metade dosculo XIX (o sculo XIX vai do ano 1801 ao ano 1900). Sabendo que Benito Jurezcompletou x anos no ano x2, qual foi o ano do seu nascimento?



60/185


10 Dobrando papel

Jlio Daniel tem um quadrado de papel com vrtices A, B, C e D. Ele primeirodobra este quadrado de papel ABCD levando os vrtices B e D at a diagonal,

como mostra a figura a seguir:

E em seguida, Jlio Daniel leva o vrtice C at o vrtice A, obtendo assim umpentgono, como mostrado a seguir:

a) Mostre que o ngulo a mede 90.

b) Determine a medida do ngulo b.



61/185


11 Gato em cachorro

O professor Guilherme criou trs estranhas mquinas. A mquina A transformaum gato em um cachorro com probabilidade 1

3. A mquina B transforma um gato

em um cachorro com probabilidade

2

5 . A mquina C transforma um gato em um ca-chorro com probabilidade 14. E se o animal um cachorro, nenhuma das mquinas

faz transformao alguma.

O professor Guilherme colocou um gato na mquina A, depois colocou o animalresultante da mquina A na mquina B e, por fim, colocou o animal resultanteda mquina B na mquina C. Qual a probabilidade de ter sado um cachorro damquina C?

12 Dez quadrados perfeitos

Seja a um nmero inteiro positivo tal que h exatamente 10 quadrados perfeitosmaiores que a e menores que 2a.

a) Encontre o menor valor possvel de a.

b) Encontre o maior valor possvel de a.



62/185


13 Menores caminhos

A figura a seguir mostra um cubo de aresta 1.

a) Qual o menor comprimento possvel para um caminho formado por arestas docubo que passa por todos os 8 vrtices?

A figura abaixo mostra um cubo de aresta 1 no qual todas as 12 diagonais da faceforam desenhadas. Assim, criou-se uma rede com 14 vrtices (os 8 vrtices do cuboe os 6 centros da face) e 36 arestas (as 12 do cubo e mais 4 sobre cada uma das 6faces).

b) Qual o menor comprimento possvel para um caminho formado por arestas dessarede que passa por todos os 14 vrtices?



63/185


64/185


15 Caminhos inusitados

Considere o diagrama ilustrado abaixo:

Augusto gosta de contar caminhos partindo de algum ponto, chegando no ponto Ae nunca passando por um mesmo vrtice duas vezes. Para isso, ele representa umcaminho pela sequncia dos pontos que o caminho visita. Por exemplo, o caminhopontilhado na figura abaixo representado pela sequncia DCBA.

Augusto chama um caminho de inusitado se a sequncia que representa esse ca-minho est ordenada de maneira alfabtica decrescente. Em outras palavras, ocaminho inusitado se nunca anda para a esquerda, seja subindo ou descendo. Por

exemplo, o caminho DCBA inusitado. J o caminho DBCA no inusitado, jque a letra C aparece antes da letra B.

a) Quantos caminhos inusitados existem comeando em D e terminando em A?

b) Mostre que o nmero de caminhos inusitados comeando em E a soma donmero de caminhos inusitados comeando em D com o nmero de caminhos inusi-tados comeando em C.

c) Augusto calculou o nmero de caminhos inusitados saindo de K e chegando emA. Qual esse nmero?



65/185


16 Tetraedro dentro de cubo

Um tetraedro regular um slido de quatro faces, sendo todas elas tringulos equi-lteros de mesmo tamanho. A figura abaixo mostra um tetraedro regular.

O comprimento de qualquer aresta de um tetraedro regular o mesmo. Por exem-plo, no tetraedro acima, AB = AC = CD = BC = AD = BD. Mostre como colocarum tetraedro de lado

2 inteiramente dentro de um cubo de lado 1.

17 Achou?

a) Encontre todos os nmeros inteiros positivos de dois algarismos ab tais que:

(a + 1)(b + 1) = ab + 1.

b) Encontre todos os nmeros inteiros positivos de trs algarismos abc tais que:

(a + 1)(b + 1)(c + 1) = abc + 1.



66/185


18 Os nmeros de Luana

No interior de cada um dos crculos que aparecem na figura abaixo, a pequenaLuana colocou um dos nmeros 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.

Ela o fez de modo que todos os nmeros foram usados. O seu irmo mais velho,

Pedro, olhou para cada trio de crculos colineares e somou os trs nmeros nelescolocados. Pedro observou que a soma resultava ser sempre a mesma.

a) Mostre que o nmero colocado por Luana no crculo do topo 4 e que a somaconstante observada por Pedro igual a 12.

b) Encontre uma maneira pela qual Luana poderia ter conseguido realizar talproeza.

19 Os amigos de Ernaldo

Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo, Dernaldo e Ernaldo so estudantes de distintas par-tes do Brasil que foram escolhidos para representar o seu pas nas olimpadas inter-nacionais. Depois de vrias semanas de treino, algumas amizades foram formadas.

Perguntamos, ento, a cada um deles quantos amigos tinham feito no grupo. Ar-naldo, Bernaldo, Cernaldo e Dernaldo responderam, respectivamente, que tinhamfeito 1, 2, 3 e 4 amigos dentro do grupo. Quantos dos integrantes do grupo soamigos de Ernaldo?



67/185


20 Quem inclinou o quadrado?

Na figura, PQRS um quadrado, QE = 17, e P H = 12.

Calcule SE.

21 Quatro nmeros para quatro casas

Os nmeros x, y, z e w na figura so nmeros inteiros todos diferentes entre si,maiores do que 1, e foram colocados nas casas abaixo de modo que cada nmero (apartir de y) divisor do nmero na casa da esquerda.

Descubra todas as solues possveis para x, y, z e w sabendo que a soma deles 329.



68/185


22 O presente do pequeno Abel

O pequeno Abel ganhou de presente um tabuleiro 2 n e n fichas de tamanho 2 1.Por exemplo, a figura a seguir mostra o caso em que n = 10, isto , quando Abel

tem um tabuleiro 2 10 e 10 fichas de tamanho 2 1.

Ele brinca de preencher o tabuleiro usando as n fichas. Por exemplo, para n = 10Abel poderia preench-lo dos modos ilustrados a seguir:

Observe, no entanto, que existem muitas outras maneiras pelas quais Abel podepreencher o seu tabuleiro.

a) Calcule o nmero total de maneiras pelas quais Abel pode preencher o seu tabu-leiro nos casos em que n = 1, n = 2 e n = 3, isto , no caso em que os tabuleiros tmdimenses 2

1, 2

2 e 2

3.

b) Seja an a quantidade de maneiras pelas quais Abel pode preencher um tabuleiro2 n utilizando n fichas 2 1. Mostre que a10 = a9 + a8.c) Calcule o nmero total de maneiras pelas quais Abel pode preencher o seu tabu-leiro quando n = 10.



69/185


23 Calcule AP C

Nos lados AB e BC de um tringulo equiltero ABC, fixam-se dois pontos D e E,respectivamente, de modo que AD = BE.

Se os segmentos AE e CD se cortam no ponto P, determine AP C.

24 Algum quer batata?

Um comerciante recebeu quatro sacos de batatas e deseja medir o peso de cada umdeles. Ele sabe que os pesos desses sacos em quilogramas so quantidades inteirase distintas. Suponha que os pesos dos sacos (em quilogramas) sejam a, b, c e d, coma < b < c < d.

a) Mostre que, ao pesar os sacos de dois em dois, o maior resultado c + d, e que o

segundo maior b + d. Mostre tambm que o menor resultado a + b e o segundomenor a + c.

b) A balana do comerciante quebrou. Assim ela s consegue indicar pesos maioresou iguais do que 100 quilogramas. Ele decide ento pesar os sacos de dois em doisrealizando assim seis pesagens. Em quatro das pesagens ele obteve como medidas(em quilogramas): 101, 112, 116 e 127. Nas outras duas, ele s conseguiu descobrirque as somas eram menores ou iguais a 100 quilogramas. Encontre os pesos dosquatro sacos.



70/185


25 Consecutivos em casas vizinhas

Sobre um tabuleiro de 5 5 casas foram distribudos os nmeros 1, 2, 3, . . . , 25 demodo tal que cada casa seja ocupada por um nico nmero e que dois nmerosconsecutivos sempre estejam colocados em casas vizinhas. A figura a seguir mostraum exemplo de como distribuir esses nmeros.

a) Mostre que, em qualquer distribuio cumprindo tal condio, todos os nmeroscolocados nas casas das duas diagonais so mpares.

Vamos chamar de diagonal principal a diagonal do tabuleiro pintada em branco na

figura seguinte.

Note que a diagonal principal divide o tabuleiro em duas zonas, uma superior eoutra inferior.b) Sejam x e y dois nmeros em {1, 2, . . . , 25} tais que x < y. Mostre que se xe y pertencem a zonas distintas, ento existe um nmero z situado na diagonalprincipal tal que x z y.

c) Determine qual o menor valor que pode ser assumido pela soma dos nmerosque so colocados sobre a diagonal principal quando distribuem-se nmeros sobreo tabuleiro, respeitando a condio do problema.



71/185


26 Congruncias e semelhanas

Na figura abaixo, OC = 12 e DM = 10.

Calcule BO.

27 Nmeros ziguezague

Um nmero inteiro positivo chamado ziguezague, se satisfaz as seguintes trscondies:

Seus algarismos so no nulos e distintos. No possui trs algarismos consecutivos em ordem crescente. No possui trs algarismos consecutivos em ordem decrescente.

Por exemplo, 14385 e 2917 so ziguezague, mas 2564 e 71544 no.a) Encontre o maior nmero ziguezague.

b) Quantos nmeros ziguezague de quatro algarismos existem?



72/185


28 rea do retngulo

A figura mostra um retngulo ABCD de lado AD = 4 e onde o ponto M o pontomdio do segmento AB.

Sabendo que os segmentos AC e DM so ortogonais, calcule a rea do retnguloABCD.

29 Calcule AM

Na figura abaixo, ABC um tringulo acutngulo, O o centro da circunferncia eM o ponto mdio de AC.

Sendo DM = 9 e ME = 4, calcule AM.



73/185


30 Lendo os pensamentos de Ivan

Sergio pediu para Ivan pensar em um nmero inteiro positivo. Depois, pediu paraIvan calcular a soma de seus algarismos e, finalmente, elevar ao quadrado o re-

sultado. Sem falar o nmero em que pensou inicialmente, Ivan contou que obtevecomo resultado final x. Mostre a Sergio como chegar s seguintes concluses:

a) Se Ivan tivesse pensado em um nmero com 3 ou menos algarismos, ento xseria menor do que 730.

b) Se Ivan tivesse pensado em um nmero com 4 algarismos, ento x seria menordo que o nmero no qual Ivan pensou.

c) Se Ivan tivesse pensado em um nmero com 5 ou mais algarismos, ento x seriamenor do que o nmero que Ivan pensou.

Sergio fez depois o seguinte: Considerou o nmero x que Ivan disse, calculou a

soma dos seus algarismos e elevou ao quadrado o resultado. Quando Sergio faloupara Ivan o nmero que obteve, Ivan disse com surpresa que esse foi o nmero quehavia pensado.

d) Determine todos os possveis valores para o nmero que Ivan pensou.



74/185

NVEL 1 SOLUES

1 gua na medida certa SoluoO primeiro procedimento que Fbio deve tomar encher completamente o balde detrs litros e, em seguida, transferir todo o seu contedo para o balde de cinco litros.Feito isso, ele ter trs litros de gua dentro do balde de cinco litros, enquanto obalde de trs litros estar vazio. Depois desse primeiro procedimento, Fbio deveento encher totalmente o balde de trs litros mais uma vez e, em seguida, trans-ferir o contedo desse balde novamente para o balde de cinco litros at que essesegundo esteja completamente cheio. Em seguida ele descarta toda a gua contidano balde de cinco litros. E transfere toda a gua contida no balde de trs litros para

o balde de cinco litros. Aps essa etapa, Fbio ter o balde de trs litros vazio en-quanto o de cinco litros conter um litro de gua. Finalmente Fbio dever enchertotalmente o balde de trs litros e transferir todo o contedo para o balde de cincolitros, obtendo no final uma quantidade de quatro litros de gua no balde de cincolitros enquanto que o balde de trs litros estar vazio.

2 Laranjas e goiabas SoluoPrimeiro, pedimos a Ives que retire uma fruta da caixa onde est escrito Laranjase Goiabas. Temos dois casos possveis, ou Ives mostra uma laranja ou Ives mostra

uma goiaba.Primeiro caso: Ives mostra uma laranja. Como todos os nomes esto em caixaserradas, isso significa que nesta caixa onde est escrito Laranjas e Goiabas hapenas laranjas. Resta descobrir o contedo das outras duas caixas:

Novamente, como todos os nome esto errados, na caixa onde est escrito Goiabas,

no pode haver somente goiabas. Logo, a caixa onde est escrito Goiabas a quecontm laranjas e goiabas. E a caixa restante, onde est escrito Laranjas, a quecontm apenas goiabas.



75/185

74 Nvel 1 Solues

Segundo caso: Ives mostra uma goiaba. O raciocnio o mesmo do caso anterior.Na caixa onde est escrito Laranjas e goiabas deve haver apenas goiabas. Logo,na caixa onde est escrito Laranjas, deve haver laranjas e goiabas, e na caixaonde est escrito Goiabas, haver somente laranjas.

3 Cubos e cubos Soluo

a) Como 512 = 83, ento o comprimento da aresta do cubo antes de ser cortado erade 8 cm.

b) Os cubinhos que no tinham nenhuma face em contato com o exterior do cubooriginal formavam tambm um cubo. Como foram contados 512 cubinhos deste tipo,isso quer dizer que este cubo interior tinha aresta 8 cm (usando a resposta do itemanterior). O cubo interior tem aresta duas unidades menor do que o cubo original.Logo, o comprimento da aresta do cubo original era de 10 cm.

4 Qual a unidade? Soluo

Note que

31 = 3, cujo algarismo das unidades 3.32 = 9, cujo algarismo das unidades 9.33 = 27, cujo algarismo das unidades 7.34 = 81, cujo algarismo das unidades 1.35 = 243, cujo algarismo das unidades 3.36 = 729, cujo algarismo das unidades 9.37 = 2187, cujo algarismo das unidades 7.38 = 6561, cujo algarismo das unidades 1.

A j podemos notar que a cada quatro potncias, os algarismos das unidadesse repetem (sempre 3, 9, 7 e 1, nessa ordem). E tambm que, como 3 + 7 = 10e 1 + 9 = 10, esses grupos de quatro nmeros no influenciam o algarismo dasunidades, porque somar um nmero que termina em zero no muda o algarismodas unidades.

Dividindo 2013 por 4, notamos que o resto 1. Logo, o algarismo das unidades

de 31 + 32 + 33 + 34 + + 32013 3.

5 Pintando um cubo Soluo

a) Como todas as faces devem ter a mesma cor, s podemos pintar o dado com umacor. Como so seis cores a escolher, so seis maneiras distintas de pintar o cubo.

b) Pinte uma face com uma das seis cores possveis. H seis possibilidades paraisso. Para cada uma dessas possibilidades, as demais faces podem ser pintadas,todas com a mesma cor, de uma das cinco cores restantes. Logo, temos 6 5 = 30possibilidades. Note que no importa qual foi a face inicial escolhida, pois semprepodemos girar o cubo de forma adequada e mostrar que as pinturas so as mesmas.



76/185

Nvel 1 Solues 75

c) Se pintarmos o cubo parado em uma certa posio, vamos ter: seis possibilidadespara a primeira face; cinco para a segunda; quatro para a terceira; trs para aquarta; dois para a quinta e uma para a ltima, que d 6 5 4 3 2 1 = 720.Porm, nesta maneira, estamos contando uma mesma pintura vrias vezes, pois,girando o cubo, a pintura no muda. Vamos contar quantas vezes estamos contando

repetidamente cada pintura. Fixe uma cor, digamos, azul. Esta face pintada deazul pode ser colocada em seis posies diferentes. Em cada uma delas, podemosrotacionar o cubo em quatro posies distintas (mantendo fixa a posio da faceazul). Da, conclumos que so 6 4 = 24 o nmero de vezes que contamos umamesma pintura. Logo, 720 dividido por 24 d 30 maneiras diferentes de pintar ocubo.

6 Formiga esperta Soluoa) Como o cubo tem arestas de tamanho 1, a distncia entre A a B igual a 1 cm.

b) O menor caminho entre M e N feito indo em linha reta de M at L, e depois,novamente em linha reta, de L at N. Veja a figura abaixo:

A razo disso simples: se colocarmos as faces ABHF e BCDH num mesmoplano, o caminho M L N uma linha reta! Logo, o menor caminho entredois pontos. Veja a figura abaixo:

Logo, a distncia a ser percorrida neste caso de 2 cm.

c) Repetindo a ideia do item anterior, vamos colocar as faces ABHF e FHDEnummesmo plano, veja a figura a seguir:



77/185

76 Nvel 1 Solues

Logo, a menor distncia entre A e D ser dada pelo Teorema de Pitgoras:

AD2

= 12 + (1 + 1)2

= AD2 = 5= AD =

5 .

Como a formiga esperta, ela far este menor caminho e percorrer

5 cm!

7 Soma de felinos Soluoa) Como o nmero PUMAS tem cinco algarismos, e os nmeros GATO e PUMAtm apenas quatro algarismos, ento, obrigatoriamente, o primeiro algarismo donmero PUMAS igual a 1, ou seja, P = 1.

b) Para descobrir o valor de U, temos que notar que existem duas possibilidades:

G + 1 = 10 + U ou 1 + G + 1 = 10 + U.

Note que o segundo caso s pode acontecer se A+ U for maior ou igual a 9.

No primeiro caso, temos que G = 9 + U, o que s possvel se G = 9 e U = 0.

No segundo caso, G = 8 + U o que s poderia ocorrer se U fosse igual a 1 ou 0. MasU no pode ser igual a 1, pois j temos que P = 1. Assim, conclumos que a nicapossibilidade restante U = 0 e G = 8. Mas sendo U = 0, no poderia ocorrer

A+ U = 10. Logo deveramos ter que A+ U = 9 o que nos forneceria A= 9. Masisso tambm no pode ocorrer, j que teramos M = A+ U = 9. Assim, o segundocaso deve ser descartado.

Conclumos ento que vale o primeiro caso, isto , U = 0 e G = 9.

c) Pelos itens a) e b), j sabemos que P = 1, G = 9 e U = 0. Logo, a operao

G A T O

+ P U M A P U M A S



78/185

Nvel 1 Solues 77

pode ser reescrita como:

9 A T O+ 1 0 M A

1 0 M A S

Assim, vale tambm que

A T O+ M AM A S

Como A = M, isso s pode acontecer se A+ 1 = M. A partir disso, temos duaspossibilidades:

M + T = 10 +A ou M + T + 1 = 10 +A.

(Note que o segundo caso acontece quando O +A 10). Como A+ 1 = M o primeirocaso nos d que T = 9, o que no pode acontecer, pois j temos G = 9.

Assim, conclumos que vale o segundo caso: M + T + 1 = 10 +A. Como tambmvale que A+ 1 = M, podemos concluir que T = 8. Lembrando ainda que O +A 10,e sabendo que S

= 0 e S

= 1 devemos ter O +A

12.

Sendo T = 8, ento:

A {2, 3, 4, 5, 6, 7} e S {2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Como A+ 1 = M, no poderia ser A= 7 pois, nesse caso, teramos M = 8, o que impossvel, pois j sabemos que T = 8.

Assim, de fato, temos que:

A {2, 3, 4, 5, 6} e S {2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Como O +A 12, e O = A, s nos resta a escolha

A= 5 e O = 7,

o que ainda nos fornece S = 2. Mais ainda, como A+ 1 = M, vale M = 6.Dessa maneira, o nmero PUMAS igual a 10652.

8 Trs pontos colineares Soluo

a) Existem oito maneiras de se escolherem trs pontos colineares como ilustradona figura a seguir:



79/185

78 Nvel 1 Solues

b) Para escolhermos um conjunto de quatro pontos contendo trs pontos colinearespodemos adotar um procedimento composto pelos dois passos abaixo:

(1) primeiro, escolhemos trs pontos colineares;

(2) fixados estes trs pontos colineares, escolhemos um dos outros 6 pontos querestam.

Observe que dessa forma possvel gerar todos os conjuntos de quatro pontos quecontm trs pontos colineares. Alm disso, cada escolha desse tipo produz um con-junto distinto daquele produzido pelas demais escolhas. Agora podemos contarquantas escolhas so possveis. Pelo item a) acima sabemos que h oito escolhasno primeiro passo do procedimento. Fixada uma escolha no primeiro passo do pro-cedimento, existem seis escolhas possveis no segundo passo. Assim, no total, h8 6 = 48 escolhas. Logo existem 48 conjuntos de quatro pontos contendo trspontos colineares.

9 Tabuleiros e domins Soluoa) Comeamos colorindo as peas de domin de Wanderson em preto e branco comodesenhado abaixo:

Note que o tabuleiro de Wanderson pode ser ento dividido em exatamente 18

pares de casas coloridos como as peas de domin. Logo, possvel cobrir o tabuleirousando exatamente 18 peas.

b) Consideramos novamente as peas de domin pintadas como na resoluo doitem anterior:

Se fosse possvel cobrir o tabuleiro com as peas de domin teramos no finalutilizado a mesma quantidade de faces pretas e brancas, pois cada pea contm

uma de cada face. Porm o novo tabuleiro tem 16 casas pretas e 18 peas brancas.Dessa forma impossvel cobri-lo com as peas de domin, sendo assim impossvelque Wanderson vena o novo desafio.



80/185

Nvel 1 Solues 79

c) Vamos numerar as casas de um tabuleiro 6 6 da maneira ilustrada na figuraabaixo:

Note que cada nmero aparece exatamente 12 vezes nessa numerao. Seguindo amesma regra de numerao o novo tabuleiro teria os seguintes nmeros associadoss suas casas:

Se posicionarmos uma das novas peas de trs faces cobrindo exatamente trs casasdo tabuleiro, ento cada face dessa pea ficaria posicionada sobre um dos nmeros1, 2 ou 3. Mais ainda, faces distintas da mesma pea ficariam posicionadas sobre

nmeros distintos. Logo, se fosse possvel cobrir todo esse tabuleiro com as peasde trs faces, ento cada um dos nmeros 1, 2 e 3 teria que ficar abaixo da mesmaquantidade de faces. Isso s seria possvel se o tabuleiro tivesse a mesma quanti-dade de faces numeradas com cada um desses nmeros. Porm isso no verdade,j que o tabuleiro possui 12 faces com o nmero 3, 11 com o nmero 2 e apenas 10com o nmero 1.

Isso nos mostra que impossvel que Wanderson vena esse novo desafio pro-posto por Renato.

10 Diferena de reas Soluoa) O quadrado de lado 4 tem rea igual a 4 4 = 16, e o quadrado de lado 3 temrea igual a 3 3 = 9. Note que a diferena entre a rea da regio pintada de cinzae a rea da regio pintada de preto no muda quando movemos os quadrados, poisao fazer isso, as reas das regies cinza e preta aumentam ou diminuem da mesmaquantidade. Logo, o resultado procurado o mesmo que teramos se os quadradosno tivessem nenhuma sobreposio:



81/185

80 Nvel 1 Solues

Disso, conclumos que a diferena entre as reas das regies cinza e preta 169 =7.

Outra soluo seria: seja C a rea da regio pintada em cinza, seja B a rea daregio branca e seja P a rea da regio pintada de preto. Temos que C+ B = 16 e

B + P = 9. Logo, fazendo a subtrao dessas equaes,C+ B (B + P) = 16 9 = 7

e, portanto,C P = 7

o valor procurado.

b) Aplicando a mesma ideia do item anterior, mover qualquer quadrado no mudaa diferena entre a soma das reas das regies pintadas de cinza e a soma dasreas das regies pintadas de preto, pois sempre que movemos algum quadrado,aumentamos ou diminumos as reas de cada cor da mesma quantidade. Logo, oresultado procurado o mesmo que teramos para a situao onde os quadradosno tm qualquer sobreposio:

Logo, o resultado procurado 6 6 + 4 4 + 2 2 menos 5 5 + 3 3 + 1 1, que igual a 21.

11 Faltam trs SoluoVamos chamar de a, b e c o segundo, terceiro e quarto nmeros da lista, respecti-vamente. Como o primeiro nmero da lista o 6 e o ltimo o 8, a lista pode serrepresentada como:

6, a, b, c, 8.

Como o produto dos trs primeiros termos igual a 648, o produto dos trs nmerosdo meio igual a 432 e o produto dos trs timos nmeros igual a 288, temos que:

6 a b = 648 , a b c = 432 e b c 8 = 288.

Dividindo os dois lados da primeira equao por 6, obtemos que:

a b = 108. (.1)



82/185

Nvel 1 Solues 81

Substituindo (.1) na segunda equao, temos 432 = (a b) c = 108 c, logo:108 c = 432.

Dividindo os dois lados dessa equao por 108, obtemos que c = 4. Usando o valor

de c = 4 na equao, b c 8 = 288, obtemos que b 4 8 = 288, logob 32 = 288.

Dividindo os dois lados por 32 obtemos que b = 9. Finalmente, podemos substituirb = 9 na equao (.1) para concluir que

a 9 = 108.Dividindo os dois lados por 9 obtemos que a = 12. Logo, a lista procurada :

6, 12, 9, 4, 8.

12 Nmeros especiais Soluoa) Existem. Por exemplo, o nmero 51112 especial, pois o zero no aparece entreseus algarismos e, alm disso, o dobro de seu primeiro algarismos 25 = 10, igual soma de seus algarimos, dada por 5 + 1 + 1 + 1 + 2 = 10.

b) O maior nmero especial o 9111111111. Nenhum outro nmero maior do que ele

pode ser especial, vejamos o porqu disso. Se tivermos outro nmero especial tam-bm com 10 algarimos (o 9111111111 tem 10 algarismos) maior do que o 9111111111,este nmero teria algum algarismo diferente. O primeiro algarismo 9 no pode ser,porque 9 o maior algarismo. Se algum outro diferente, a soma de seus algaris-mos seria maior do que 18. Logo, no h um nmero de 10 algarismos maior do queo 9111111111.

Se um nmero tem mais de 10 algarismos, todos diferentes de zero, ento asoma de seus algarismos maior do que 10. Logo, a soma de seus algarismos nopode ser o dobro de nenhum algarismo. Da conclumos que 9111111111 o maiornmero especial.

c) O menor nmero especial de quatro algarismos o 3111. Nenhum outro nmeroABCD de quatro algarismos, menor do que ele, poderia ser especial, pois a soma deseus ltimos algarismos, A + B + C+ D seria maior ou igual a 4. Logo, o primeiroalgarismo A maior ou igual a 2. Se tivssemos A = 2, ento teramos 2 + B + C+D = 4, e portanto B + C+ D = 2, o que impossvel, pois nenhum algarismo zero.

d) Note que, se dois nmeros tem quantidades diferentes de algarismos, ento omaior deles sempre o que tem mais algarismos. Logo, comearemos buscandoqual ser a maior quantidade possvel de algarismos.

Dizer que o dobro do primeiro algarismo igual soma de todos os algarismos

o mesmo que dizer que o primeiro algarismo igual soma dos demais algarismos.Como 1 + 2 + 3 + 4 = 10, nenhum nmero especial com algarismos todos distintospode ter cinco algarismos, j que a soma dos quatro ltimos seria maior do que 9, o



83/185

82 Nvel 1 Solues

maior dgito possvel. Logo, podemos buscar apenas nmeros especiais com menosde cinco algarismos.

Vamos escolher o primeiro algarismo como o maior possvel. Logo, este deve sero 9. Os trs algarismos restantes devem ser distintos e somar 9. Logo, o nmeroser da forma 9BC D, com B + C + D = 9. Para que B seja o maior possvel,

escolhemos B = 6 (se B for maior do que isso, no h como encontrar C e D). Logo,teremos C+D = 3. Escolhendo C como o maior possvel, teremos C = 2 e da D = 1.Portanto, o maior nmero especial com todos os algarismos distintos o 9621.

13 O nmero grande N Soluoa) Sejam a e b quaisquer nmeros naturais com a < b. Note que a quantidade denmeros compreendidos entre dois nmeros a e b (contando a e b inclusive) iguala b a + 1. Assim, por exemplo, entre 2 e 4 existem 4 2 + 1 = 3 nmeros, a saber2, 3 e 4. Da mesma forma, entre 20 e 30 existem 30

20 + 1 nmeros.

No conjunto {1, 2, 3, . . . , 2013}, os nmeros que possuem apenas um algarismoso aqueles compreendidos entre 1 e 9 (inclusive), que so 9 1 + 1 nmeros nototal. De maneira anloga, os nmeros que possuem dois algarismos so aquelescompreendidos entre 10 e 9 (inclusive), que so 99 10 + 1 no total. Finalmente osnmeros que possuem trs algarismos so aqueles compreendidos entre 100 e 999(inclusive), que so 999 100+1 no total. Nmeros que possuem quatro algarismosso aqueles compreendidos entre 1000 e 2013 (inclusive), que so 2013 1000 + 1 nototal.

Resumindo, temos que:

existem (9

1 + 1) = 9 nmeros de 1 algarismo;

existem (99 10 + 1) = 90 nmeros de 2 algarismos; existem (999 100 + 1) = 900 nmeros de 3 algarismos; existem (2013 1000 + 1) = 1014 nmeros de 4 algarismos.

Ento para descobrir a quantidade de algarismos que o nmero grande N contm,devemos somar a contribuio dos nmeros de um, dois, trs e quatro algarismosobtendo assim

1 9 + 2 90 + 3 900 + 4 1014 = 6945algarismos no total.b) A parte do nmero N formada pelo enfileiramento dos nmeros de 1 e 2 algaris-

mos, usa um total de 9 + 2 90 = 189 algarismos:N = 1234567891011121314...979899

189 algarismos

100101 . . . 201120122013.

Restam contar 2013 189 = 1824 algarismos. Observe que 1824 = 3 608 assim,devemos enfileirar os primeiros 608 nmeros de 3 algarismos a fim de obter osprximos 1824 algarismos do nmero grande N, comeando ento do nmero 100 eacabando no nmero 707:

N = 1234567891011121314...979899

189 algarismos100101 . . . 705706707

1824 algarismos609610 . . . 201120122013.

Isso mostra que o algarismo que ocupa a posio 2013 o ltimo algarismo donmero 707, ou seja o 7.



84/185

Nvel 1 Solues 83

14 Vai dar galho Soluoa) Seguindo as regras de crescimento da rvore do professor Fernando podemoscontinuar o desenho mostrado no enunciado do problema para obter uma ilustraodessa rvore aps a sexta semana de crescimento:

Essa figura mostra que aps a sexta semana de crescimento temos um total de oitogalhos.

b) Note que a sequncia que determina o nmero de galhos por semana de cresci-mento a seguinte:

1, 1, , 2, 3, 5, 8, . . .Essa sequncia satisfaz a seguinte regra: a partir de seu terceiro termo, cada

termo a soma dos dois termos anteriores. Por exemplo, o terceiro termo 2 que igual soma do primeiro termo 1 com o segundo termo 1. Tambm o quarto termo 3 que igual soma do terceiro termo 2 com o segundo termo 1.

A quantidade de galhos presentes aps a stima semana de crescimento serdada pelo stimo termo da sequncia. Para gerar esse stimo termo precisamosento somar o sexto termo (8) com o quinto termo (5). Isso, o stimo termo dasequncia igual a 8 + 5 = 13.

c) A quantidade de galhos aps 13 semanas de crescimento ser dada pelo dcimo

terceiro termo da sequncia que aparece na soluo do item b). Lembrando quecada termo naquela sequncia ser dado pela soma dos dois termos anteriores,podemos gerar os demais termos da seguinte forma:

sexto termo: 8; stimo termo: 13; oitavo termo: 8 + 13 = 21; nono termo: 13 + 21 = 34; dcimo termo: 21 + 34 = 55; dcimo primeiro termo: 34 + 55 = 89;

dcimo segundo termo: 55 + 89 = 144;

dcimo terceiro termo: 89 + 144 = 233;Assim, a quantidade de galhos aps 13 semanas igual a 233.



85/185

84 Nvel 1 Solues

Observao: A sequncia obtida foi:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, . . .

Que a famosa sequncia de Fibonacci!

15 Vira vira rob Soluoa) A cada vez que o rob vira direita, a direo ao longo da qual ele se movi-menta varia em 60 no sentido horrio. Assim a variao total da direo do seumovimento aps um certo nmero de viradas sempre um mltiplo de 60.

Aps virar seis vezes, a variao total na direo do seu movimento ser de6 60 = 360 no sentido horrio. Porm girar um ngulo de 360 significa voltar direo e sentido originais. Assim, aps virar seis vezes, a direo e o sentido domovimento do rob sero iguais direo e ao sentido original.

b) A variao total da direo do movimento do rob aps um certo nmero deviradas sempre um mltiplo de 42. Note que 360 no um mltiplo de 42.Assim impossvel que o rob varie a direo e o sentido do seu movimento por360 virando cada vez direita por um ngulo de 42.

No entanto, logo que a variao total do ngulo de seu movimento seja iguala um mltiplo de 360, ento o rob ter novamente retornado direo e sen-tido originais de movimento. Assim, vamos procurar o menor nmero que seja, aomesmo, tempo mltiplo de 42 e de 360.

Notando que 42 = 6 7 e que 360 = 62 10 temos que o mnimo mltiplo comum(mdc) entre 42 e 360 igual a 62

7

10 = 2520.

Como 2520 = 42 60, necessrio que o rob vire direita 60 vezes para que avariao total da direo do seu movimento no sentido horrio seja igual a 2520.Assim, somente aps virar 60 vezes o rob retornar direo e ao sentido originaisdo seu movimento.

c) Assim como no item anterior, devemos encontrar o menor mltiplo de 47 queseja tambm um mltiplo de 360. Como 47 e 360 so nmeros primos entre si, ommc entre eles igual a 47 360. Isso quer dizer que o rob deve virar 360 vezespara que o seu movimento retorne direo e ao sentido originais.

16 Relgio matemtico Soluoa) Iniciando-se da casa de nmero 1, aps a primeira rodada, o ponteiro deverapontar para a casa de nmero 1 + 1 = 2. Realizando-se uma nova rodada, oponteiro dever mover-se por duas casas no sentido horrio, apontando ento paraa casa de nmero 2+2 = 4. Ao realizar a terceira rodada, o ponteiro ser deslocado,a partir da casa de nmero 4, quatro casas no sentido horrio. Isso equivale adesloc-lo por trs casas e depois por mais uma casa adicional. Aps deslocar-setrs dessas casas o ponteiro ser posicionado na casa de nmero 4 + 3 = 7, devendoagora deslocar-se, adicionalmente, uma casa no sentido horrio. Ao movimentar-se

essa casa adicional, o ponteiro ser posicionado na casa de nmero 1, retornandoassim sua posio inicial. Dessa forma, o nmero total de passos necessrios ato primeiro retorno casa inicial ser igual a trs.



86/185

Nvel 1 Solues 85

b) Iniciando-se da casa de nmero 6, o jogador dever mover o ponteiro por seiscasas no sentido horrio. Isso equivale a mov-lo, primeiramente por uma casa, edepois por outras cinco casas adicionais. Ao mov-lo por uma casa, a posio doponteiro ser 6 + 1 = 7. Agora, ao mov-lo por mais cinco casas, a sua posio finalser igual a 5.

c) Ao iniciar-se o jogo a partir da casa de nmero 7, o jogador dever mover oponteiro por sete casas no sentido horrio, terminando assim, exatamente na casade nmero 7. Pelo item a) j sabemos que iniciando-se dos nmeros 1, 2 e 4, oponteiro no retorna ao nmero inicial na primeira rodada. Pelo item b), sabemostambm que, ao comear do nmero 6, o ponteiro no apontar novamente para onmero 6 aps uma rodada. Iniciando-se do nmero 3, o ponteiro apontar parao nmero 6 aps uma rodada. Finalmente, iniciando-se do nmero 5, o ponteiroapontar para a casa de nmero 3 aps uma rodada. Assim, a casa de nmero 7 a nica que satisfaz a propriedade que aparece no enunciado desse item.

d) Seja n = 128 e note que 127 = n 1. Ao iniciar-se o jogo da casa de nmeron 1 = 127, o ponteiro dever mover-se 127 casas no sentido horrio. Isso equivalea mover-se por uma casa at atingir a casa de nmero 128 e depois pelas 126 casasadicionais atingindo, ao final, a casa de nmero n 2 = 126. Assim, aps umarodada, o ponteiro ter movido-se da casa n 1 para a casa n 2.

Na segunda rodada, o ponteiro inicia-se na casa de nmero n 2 = 126. Logo,deve mover-se por duas casas at atingir a casa de nmero 128 e depois deve mover--se pelas 124 casas adicionais atingindo, ao final, a casa de nmero 124. Assim, aofinal da segunda rodada, o ponteiro haver movido-se da casa de nmero n

2 para

a casa de nmero n 4.Repetindo-se o mesmo argumento, vemos que, ao sair da casa de nmero n4, o

ponteiro dever mover-se para casa de nmero n 8 e dessa para a casa de nmeron 16 e assim por diante at atingir a casa de nmero n 64, o que ocorrer depoisde seis rodadas.

Note que n64 = 12864 = 64, logo aps seis rodadas, o ponteiro encontra-se nacasa de nmero 64. A partir da casa de nmero 64, o ponteiro move-se 64 casas nosentido horrio atingindo a casa de nmero 64 + 64 = 128. Assim o ponteiro atingea casa de nmero 128 pela primeira vez aps, exatamente, sete rodadas.

Observao: Note que 128 = 27. O leitor interessado pode generalizar a soluodesse problema para mostrar que, se o relgio tem n = 2k casas, ento iniciando-sena casa de nmero n 1 a casa de nmero n ser atingida pela primeira vez apsk rodadas.

17 Desenhos bem desenhados Soluo

a) Faremos algo equivalente a desenhar (bem) a figura. Sem tirar a borracha do

papel, apagaremos cada uma das linhas, sem passar a borracha duas vezes numamesma linha. Comearemos no ponto marcado na figura e faremos, com a borracha,o percurso marcado pelas setas.



87/185

86 Nvel 1 Solues

Aps este passo, chegamos ao ponto inicial, sem o retngulo que acabamos de apa-gar. Continuando, fazemos agora o percurso:

Neste momento, apagando o caminho que j fizemos, temos a figura abaixo, onde oponto marcado corresponde ao ponto onde paramos a borracha.

Continuando de onde paramos a borracha, fazemos o caminho abaixo:

E a partir dele, terminamos de apagar a figura inteira:



88/185

Nvel 1 Solues 87

b) A figura

no pode ser bem desenhada. Vejamos o porqu disso. O vrtice F tem trs segmen-tos ligados a ele. Temos dois casos a analisar: ou o desenho comea nesse vrticeF, ou o desenho comea em outro vrtice.

Se o desenho comea no vrtice F, um dos segmentos ligados a F de sada,outro de entrada e o terceiro de sada novamente. Logo, o desenho no pode ter-

minar nele. Entretanto, E, C e B tambm tm trs segmentos ligados a eles. Logo,cada um deles deveria ser o ponto final do ca

Manual das Olimpíadas Brasileira de Matemática

Documents

Transcript of Manual das Olimpíadas Brasileira de Matemática