Manual de Calculo Financeiro - Aulas e Listas de Exercicios Versao 2009

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Universidade de Brasília Faculdade de Economia, Administração, Contabilidade e Ciência da Informação e Documentação Departamento de Administração Manual de Matemática Financeira Disciplina: Cálculo Financeiro Professor: Aldery Silveira Júnior Brasília, 2009

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Manual da Disciplina Cálculo Financeiro do Curso de Administração da Universidade de Brasília

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Universidade de Braslia Faculdade de Economia, Administrao, Contabilidade e Cincia da Informao e Documentao Departamento de Administrao Manual de Matemtica Financeira Disciplina: Clculo Financeiro Professor: Aldery Silveira Jnior Braslia, 2009Matemtica Financeira Apontamentos de Aula Professor Aldery Silveira Jnior Sumrio INTRODUO ....................................................................................................................................1 1 CAPITALIZAO..........................................................................................................................2 1.1 CAPITALIZAO SIMPLES.......................................................................................................................2 1.1.1 Frmulas....................................................................................................................................2 1.1.2 Exerccios de Capitalizao Simples ....................................................................................3 1.2 CAPITALIZAO COMPOSTA...................................................................................................................5 1.2.1 Frmulas....................................................................................................................................5 1.2.2 Exerccios sobre Capitalizao Composta .......................................................................5 2 ESTUDO DAS TAXAS ..................................................................................................................8 2.1 EQUIVALNCIA DE TAXAS .......................................................................................................................8 2.1.1 Equivalncia de Taxas de Juros Simples.............................................................................8 2.1.2 Equivalncia de Taxas em Juros Compostos: ....................................................................8 2.1.3 Exerccios sobre Equivalncia da Taxas..............................................................................9 2.2 TAXAS NOMINAIS..................................................................................................................................10 2.2.1 Clculo da Taxa Efetiva ........................................................................................................10 2.2.2 Exerccios sobre Taxas Nominais .......................................................................................10 3 DESCONTO.................................................................................................................................11 3.1 DESCONTO RACIONAL SIMPLES ..........................................................................................................12 3.1.1 Frmulas de Desconto Racional Simples ..........................................................................12 3.1.2 Exerccios sobre Desconto Racional Simples ...................................................................12 3.2 DESCONTO COMERCIAL SIMPLES........................................................................................................15 3.2.1 Frmulas de Desconto Comercial Simples........................................................................15 3.2.2 Clculo da Taxa Efetiva em Desconto Comercial Simples .............................................16 3.2.3 Exerccios sobre Desconto Comercial Simples.................................................................16 3.3 DESCONTO RACIONAL COMPOSTO .....................................................................................................19 3.3.1 Frmulas de Desconto Racional Composto ......................................................................19 3.3.2 Exerccios sobre Desconto Racional Composto...............................................................20 4 EQUIVALNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS ..............................................................................22 4.1 EQUIVALNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS COM DESCONTO RACIONAL SIMPLES ...............................22 4.2 EQUIVALNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS COM DESCONTO COMERCIAL SIMPLES.............................23 4.3 EXERCCIOS SOBRE EQUIVALNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS COM JUROS SIMPLES .......................24 4.4 EQUIVALNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS COM DESCONTO RACIONAL COMPOSTO ..........................27 4.5 EXERCCIOS SOBRE EQUIVALNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS COM JUROS COMPOSTOS................27 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula Professor Aldery Silveira Jnior 5 RENDAS (SRIE DE PAGAMENTOS OU ANUIDADE)..............................................................31 5.1 RENDAS DO MODELO BSICO:.............................................................................................................33 5.1.1 Frmulas..................................................................................................................................33 5.1.2 Exerccios sobre Rendas do Modelo Bsico .....................................................................34 5.2 RENDAS NO CONSTANTE DO MODELO BSICO.................................................................................37 5.2.1 Frmulas..................................................................................................................................37 5.2.2 Exerccios sobre Rendas no constantes do Modelo Bsico .........................................37 6 USO DE TABELA FINANCEIRA.................................................................................................40 6.1 INTERPOLAO.....................................................................................................................................41 6.2 EXERCCIOS COM A UTILIZAO DE TABELAS FINANCEIRAS..............................................................42 7 INFLAO..................................................................................................................................44 7.1 FRMULAS ............................................................................................................................................44 7.2 EXERCCIOS SOBRE INFLAO.............................................................................................................45 8 SISTEMAS DE AMORTIZAO DE DIVIDA..............................................................................47 8.1 SISTEMA DE AMORTIZAO CONSTANTE SAC................................................................................47 8.2 SISTEMA FRANCS...............................................................................................................................48 8.3 TABELA PRICE.......................................................................................................................................48 8.4 EXERCCIOS SOBRE SISTEMAS AMORTIZAO DE DVIDAS...............................................................48 9 EMPRSTIMOS COM CORREO MONETRIA .....................................................................50 9.1 PLANILHA DE ATUALIZAO MONETRIA ............................................................................................50 9.2 EXERCCIOS SOBRE EMPRSTIMO COM CORREO MONETRIA.....................................................51 10 ENGENHARIA ECONMICA....................................................................................................54 10.1 ANLISE PELO MTODO DA TAXA MDIA DE RETORNO...................................................................55 10.2 ANLISE PELO MTODO DOS PERODOS DE PAY BACK...................................................................55 10.3 ANLISE PELO MTODO DO VALOR ATUAL.......................................................................................56 10.4 ANLISE PELO MTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO...............................................................56 10.5 EXERCCIOS SOBRE ENGENHARIA ECONMICA ...............................................................................57 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior1 Introduo OestudodaMatemticaFinanceirapossuiumaimportnciaimparparaosAgentes Econmicos,Administradores,Contadores,EconomistaseGestoresdasmaisdiferentes reasempresariais,assimcomotambmparaaspessoasfsicascomuns,jquepermite aosmesmosrealizaremclculosmaisapuradoserealsticosnassuasrealizaes comerciais e de trabalho onde o conhecimento de Matemtica Financeira se faz presente. AMatemticaFinanceiranoumapropriedadedeumacategoriadeprofissionaisoude um ramo do conhecimento, como a Economia, a Administrao, a Contabilidade ou o Direito. a Matemtica Financeira possui uma linguagem prpria, o que a caracteriza como um ramo do conhecimento. AMatemticaFinanceiranodeveestarrestritaaosAgentesqueoperamosistemade trocasequeautilizamcomoferramentaparamensurarsuasdiversasvariveis,oseu conhecimentotilenecessrioparatodasaspessoas,independentedaprofissoque exeram.AspessoasquedesconhecemosprincpiosdaMatemticaFinanceiraso,s vezes, levadas a acreditarem em informaes que no esto de acordo com a realidade. Ou seja, so enganadas e tm prejuzos em financeiros.

OconhecimentodaMatemticaFinanceirapossuiumasignificativaimportnciaemnossa vida; proporciona o fim de uma escurido e nos lana com maior clareza para o mundo em quevivemosdiariamente,ondesomosativosepassivosatodoomomento,emtermosde agenteeconmico.EsseconhecimentonosfazdeixardeservitimasdosAgentes conhecedoreseformadoresdepreo,juros,etaxas,parasermospessoasativase questionadoras em relao utilizao do nosso dinheiro.

Nomundoatual,ostermos:juros,desconto,paridadedetaxa,amortizaodedvidase engenhariaeconmica,entretantosoutros,fazempartedonossolinguajarcotidianoeo conhecimentocorretodosmesmosnosproporciona,semnenhumaduvida,umganho significativo e qualitativo nas nossas transaes econmico-financeiras. O presente Manual contm os apontamentos das aulas da disciplina Clculo Financeiro e fruto da contribuio do Aluno Alisson Robert Gomes Peixoto, que cursou esta disciplina no 2semestrede2006,edasatualizaesefetuadaspeloprofessordadisciplinasnos semestres subseqentes. Paracadatpicodadisciplina,soapresentados:i)asanotaesbsicasquesero devidamenteexplanadaspeloprofessornasaulas;ii)osexemplosqueseroresolvidose explicadospeloprofessor;eiii)aslistasdeexercciosqueseroresolvidaspelosalunos, sob a superviso do professor, durante as aulas. Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior2 1 Capitalizao Capitalizao corresponde operao destinada a calcular o valor futuro de um determinado valor presente, considerando uma taxa de juro previamente fixada. Existem dois tipos de capitao, simples e composta, conforme o tipo de juro a que se refira: simples ou composto. Conceitos Bsicos Capital: valor que pode ser aplicado com a finalidade de rendimento de juros. Juros: a remunerao do fator capital o dinheiro pago pelo uso do dinheiro. Montante: soma do capital inicial mais os juros recebidos. Taxa de juros: relao entre juros traduzidos e uma unidade de tempo. Taxa de Juros Existem dois tipos de taxas de juros: taxa percentual e taxa unitria. Nas frmulas a serem utilizadas no presente curso, a taxa a ser adotada ser a unitria. Taxa Percentual: a utilizada na pratica. Ex: 5% ao ms (o todo 100). Taxa Unitria: uma taxa tcnica. Ex: 0,05 ao ms (o todo 1). A taxa unitria obtida dividindo-se a taxa percentual por 100. Ex: 5/100 = 0,05. Nesta taxa no se utiliza o smbolo da percentagem. Simbologia: P = CapitalS = MontanteJ = Valor dos Juros i = Taxa de Jurosn = Nmero de perodos de Capitalizao. 1.1 Capitalizao Simples Nestetipodecapitalizaoapenasocapitalinicialrendejuros,ouseja,osjurosincidem apenas sobre o valor inicialmente aplicado. 1.1.1 Frmulas (1) ( ) n . i P S + = 1(2) in 1SP+= (3) n1PSi= (4) i1PSn= (5)J P S + = (6) P = S J(7) J = S P (8) J = P. i. n(9) n . iJP = (19) n . PJi = (11) i . PJn =Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior3 Exemplos (1) Quantodeveseraplicadohojetaxade5%a.m.,paraqueseresgate$ 3.300,00 ao final de seis meses? (2) Caso voc aplique $ 5.000,00 e aps sete meses resgate $ 6.050,00 qual ter sido a taxa de juros dessa operao? (3) Qualojuroproduzidoporumcapitalde$8.000,00aplicadotaxade24%a.a durante 3 meses? 1.1.2 Exerccios de Capitalizao Simples 1)ObancoXemprestaaoSr.Carlosaquantiade $300.000,00,taxade5%aoano, para ser paga aps trs anos e meio. Calcule o montante dessa operao. R: S = $ 352.500,00 2)A que taxa devemos aplicar um certo capital para que, em 8 meses, ele dobre de valor? R: i = 12,5% a.m. 3)Um capitalde$7.000,00foiaplicadoajuros simplesdurante 1anoemeio,taxade 15% a.s. Calcular os valores dos juros e do montante obtidos no final deste prazo. R: J = $ 3.150,00; S = $ 10.150,00 4)Umcapitalde$900,00foiaplicadoajurossimples,taxade5%a.a.,sendoobtidos$ 15,00 de juros. Calcular o prazo de aplicao em meses. R: n = 4 meses 5)A empresa Monitoria S/A aplicou o valor de $ 5.000,00 a juros de 1,5% a.m. e pretende sacar o valor aps 12 meses. Qual o montante a ser regatado? R: S = $ 5.900,00 6)Certo cliente adquireum titulopor$ 60.000,00 e resgata $119.350,00, aps9 meses. Qual a taxa de juros dessa operao? R: i = 10,9% a.m. 7)Qual o juros recebido por um comerciante que investe $ 20.000,00, taxa de 5% a.m., durante 2 meses? R: $ 2.000,00 8)Calcularoprazo,emanos,necessrioparaumcapitaltripliquedevalor,casoseja aplicado taxa de 10% a.t. R: n = 5 anos 9)Um capital aplicadopor 16 meses gerou$ 13.440,00 de juros. Sabendo que a taxa de juros mensal foi de 6%, calcule o valor do capital inicial. R: P = $ 14.000,00 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior4 10)Qual ser o valor dos juros de um capital de $ 3.145,00, aplicado a uma taxa de 0,5% a.m., durante 1 ano e meio? R: J = $ 283,05 11)Umcapitalde$4.250,00,aplicadoaumataxade3%a.m.,produziuummontantede$ 6.162,50. Qual foi o perodo de aplicao? R: n = 15 meses = 1 ano e 3 meses 12)Danilo decidiu investir $ 1.035,00 em ma instituio financeira que opera com uma taxa dejurossimplesde1,8%a.m.,durante1ano.Qualseromontanteaofinaldo perodo? R: S = $ 1.258,56 13)Umemprstimode$15.000,00foifeitoparaserpagoem24meses,foiliquidado,ao final do perodo, por $ 23.000,00. Qual a taxa de juros utilizada? R: i = 2,22% a.m. 14)Em quantos meses um capital de $ 750,00 render juros igual a um tero de seu valor, se aplicado a uma taxa de 6,67% a.m.? R: n = 5 meses 15)Gilberto solicitou em seu banco um emprstimo de $ 6.000,00. O pagamento ser feito em36mesescomincidnciadejurosde2,7%aoms.Qualovaloraserpagopara liquidar a dvida? R: S = $ 11.832,00 16)Porumemprstimode$12.450,00,pagou-se$3.200,00dejuros.Sabendo-sequea taxa de juros utilizada foi de 1,79% a.m., qual foi o perodo dessa operao? R: n = 14 meses e 11 dias 17)Leonardo solicitou um emprstimo de $ 3.990,00 para pagar em 6 meses. A financeira cobrou juros de 1,97% a.m. Qual o valor dos juros a pagar? R: J = $ 471,62 18)Qualataxadejuroscobradoporumbanco,sabendoqueporumemprstimode$ 500,00 pagou-se $ 115,00 de juros, em 3 meses? R: i = 7,7% a.m. 19)Qualocapitalqueaplicadoajurossimplesde12%a.a.,durante5meses,gerouum montante de $ 1.260,00? R: P = $ 1.920,00 20)Aoseaplicaaimportnciade$5.000,00,taxade8%a.a.,obtm-se,apscerto perodo, o montante de $ 6.000,00. Qual o perodo de aplicao? R: n = 2,5 meses Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior5 1.2 Capitalizao Composta

Nessetipodecapitalizaoosjurosproduzidosemcadaperodosocapitalizados, formando um novo capital que ir render juros no perodo seguinte. P0P0+J1 = P1P1+J2 = P2P2+J3 = P3P3+J = S |-----------------|--------------------|-------------------|-------------------| 0 1 2 34 1.2.1 Frmulas (1)( )ni P S + = 1 (2) ( )niSP+=1 (3) ( )ni S P+ = 1 (4) 11||

\|=nPSi(5) 1 =nPSi(6) ( ) i LogPSLogn+=1 (7) S = P+J(8) P = S J (9)( ) P i P Jn + = 1 (10)( ) [ ] 1 1 + =ni P J(11) ( ) 1 1 +=NiJP Exemplos (1) Casovocaplique$3.500,00emumainstituiofinanceiraquepaguejurosde2,75% a.m., quanto resgatar no final de sete meses? (2) Caso vocaplique $ 7.000,00 em uma instituio eao final e cinco meses resgatea importncia de $ 8.640,12 qual ter sido a taxa de juros dessa operao? (3) Qualotemponecessrioparaqueumcapitalde$10.000,00dobredevalor,se aplicado a taxa de 20% a.a.? (4) Qualojuroproduzidoporumcapitalde$6.500,00,aplicadoataxade15%a.a., durante seis meses? 1.2.2 Exerccios sobre Capitalizao Composta 1)Calcule o montante de uma aplicao de $ 50.000,00 pelo prazo de 6 meses, taxa de juros compostos de 6% a.m.R: S = $ 70.925,96 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior6 2)Quantodevereiaplicarhojeparaterdireitoareceberaimportnciade$ 500.000,00 daqui a 5 anos, se a taxa de juro composto adotada for 15% ao ano?R: P = $ 248.588,37 3)Jeanconseguiuumvaleemsuaempresanovalorde$200,00aseremdescontados nos seus prximos 2 salrios. Sabendo que a empresa vai descontar no final o valor de $ 230,00, qual ser a taxa de juros compostos cobrada? R: i = 7,24% a.m. 4)Emquantotempoumcapitalde$1.650,00produzirummontantede$1.776,87,se aplicado a uma taxa composta de 2,5% a.m.? R: n = 3 meses 5)Qual o valor dos juros produzidos por um capital de $ 2.500,00, aplicado taxa de 4% a.m., durante 12 meses? R: J = 1.502,58 6)Rivaldo, desejando viajar no prximo ano, decidiu aplicar $ 2.200,00 e resgatar daqui a 12meses,finscustearaviagem.Sabendoqueainstituiofinanceirapagajuros compostos de 1,2% a.m., qual ser o montante a ser resgatado ao final do perodo? R: S = $ 2.538,57 7)Umcapitalde$7.000,00,aplicadodurante6meses,proporcionouaoaplicadorum montante de $ 8.117,85. Qual a taxa de juros compostos dessa operao? R: i = 2,5% a.m. 8)O que mais vantajoso? Investir $ 5.000,00 durante 2 anos a juros compostos de 2% a.m. ou investir $ 5.000,00 durante 2 anos, a juros simples de 3% ao ms. R: Investir os 5.000 reais sob o regime de juros simples 9)Uminvestidorinvestiu$5.000,00ajurosde1,5%a.m.,duranteumano.Qualsero valor a ser resgatado ao final do perodo? S = $ 5.978,09 10)Umcapitalde$5.000,00,aplicadotaxade20%a.m.,produzirummontantede$ 10.000,00 em quanto tempo? R: n = 3 meses e 24 dias 11)Uminvestidoraplicou$45.000,00emumainstituiofinanceiraqueoperacomjuros compostosde3,55%a.t.,peloperodode1ano.Qualovalordosjurosdessa operao? R: J = $ 6.738,39 12)Saul contraiuumadvidade $ 2.000,00para serquitadaaps2 anose meio. Ao final doprazocontratado,SaulquitouadvidacomumnicopagamentodeR$3.400,00. Qual a taxa de juro composta mensal dessa operao?R: i = 1,78% a.m. 13)Quantos dias so necessrios para que um capital de $ 35.000,00, aplicado a uma taxa de 10% a.m., produza juros de $ 11.585,00? R: n = 90 dias Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior7 14)Umdeterminadottulodecapitalizao,comvalordefacede$6.000,00,remunerao aplicador com juros de 3% ao ms. O prazo de aplicao de 18 meses. Qual ser o valor de resgate desse ttulo ao final do prazo contratado? R: S = $ 10.214,60 15)Qual a taxa de juro composta mensal que faz um capital dobra de valor em 6 meses? R: i = 12,25% a.m. 16)Uma pessoa tem uma dvida no valor de $ 900.000,00, a ser saldada daqui a 6 meses. Quanto dever aplicar hoje, taxa de 7% a.m. para que, ao final de 6 meses, disponha daimportncianecessriaparasaldaroseucompromisso,considerandooregimede juros compostos? R: P = $ 600.000,00 17)Um capital de $ 5.000,00 produz juros de $ 800,00 em um perodo de 4 meses. Qual a taxa mensal de juros compostos? R: i = 3,78 a.m. 18)UmapessoacompraumlotedeaesnaBovespapor$1.250,00.Depoisde1ms resolvevendersuasaespor$1.500,00.Qualfoiarentabilidade,emtermos percentuais, auferida por essas aes? R: i = 20% a.m. 19)Emquantotempoumcapitalpodeproduzirjurosa70%deseuvalorseaplicadoa 5.72% ao ms?R: 9 meses e 16 dias 20)Bruno pede emprestado a um colega a importncia de $ 1.250,00 para consertar o seu carro. Tal amigo o empresta, porm cobra uma taxa de juro composto de 1,5% ao ms. Ao final dos 6 meses, quanto Bruno dever pagar ao seu amigo para liquidar a dvida? R: S = $ 1.366,80 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior8 2 Estudo das Taxas Neste tpico, estudaremos equivalncia de taxas em juros simples e compostos, e as taxas nominais taxas onde o perodo de capitalizao difere do perodo do tempo. 2.1 Equivalncia de taxas Duas taxas so ditas equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo espao de tempo, porm com perodos de aplicao diferentes, produzem o mesmo juro ou o mesmo montante. 2.1.1 Equivalncia de Taxas de Juros Simples Formulas: 1) kiiK= 2)k . i iK=

2.1.2 Equivalncia de Taxas em Juros Compostos: Frmulas: 1)( ) 1 i 1 ikK + = . 2)( ) 1 i 1 i k1k + = . 3)1 i 1 ikK + = Exemplos (1)Se aplicado $ 3.000,00 taxa de 3,2% a.m., quanto ser resgatado ao final de 13 dias? (juros simples). (2)Quanto dever ser aplicado hoje, taxa de 5,4% ao trimestre, para que se resgate$ 10.000,00 ao final de um ano? (juros simples). (3)Qualojuroproduzidoporumcapitalde$6.000,00,aplicadotaxade13%a.a., durante cinco meses? (juros compostos). (4)Seaplicado$8.000,00emumafinanceiraquepaguejurosde2,5%a.m.,quanto ser resgatado ao final de trs anos? (juros compostos). Onde: Ki = Taxa do menor perodo i = Taxa do maior perodok= Maior perodo / menor perodo Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior9 2.1.3 Exerccios sobre Equivalncia da Taxas 1)Qualomontanteproduzidoporumcapitalde$1.000,00,aplicadotaxadejuros simples de 17,28% ao ano, durante 6 meses? R: S = $ 1.086,80 2)Um capital $ 30.000,00, aplicado taxa de juros simples de 0,99% ao ms, durante um binio, produzir o montante de ..... R: P = $ 37.128,00 3)Qual o valor dos juros produzidos por um capital de $ 1.000,00, aplicado taxa de 5% ao ms, durante 21 dias? R: J = $ 35,00 4) Umdeterminadobancopagajuroscompostosde6%aotrimestre.Seumapessoa necessitardisporde$6.000,00daquia3anos,quantodeveraplicarhojenesse banco? R: P = $ 2.981,82 5) Umbancopublicaemsuasagnciasoseguinteanncio:Aplique$1000,00hojee receba$1.900,00aofinalde6meses.Determinarastaxassemestralemensalde juros compostos oferecidas por este banco. R: i = 90% a.s. e 11,29% a.m. 6) Umaaplicaode$6.700,00,efetuadataxade36%aoano,durante7meses, produzir juros no valor de ...... R: J = $ 1.316,27 7) Qual a taxa mensal de juros compostos cobrada num emprstimo de $ 64.000,00, que dever ser quitado no prazo de 117 dias, por $ 79.600,00? R: i = 5,75% a.m. 8) Umaaplicaode$3.800,00proporcionouumrendimentode$2.400,00nofinalde 208dias.Determinarastaxasdiria,mensal,trimestraleanualdejuroscompostos dessa operao. R: i = 0,24% a.d.; i = 7,32% a.m.; i = 23,59% a.t.; e i = 133,33% a.a. 9) Quanto uma pessoa resgatar ao final de 93 dias se aplicar $ 2.000,00 taxa de 150% ao ano? R: S = $ 2.534,14 10)Determinaromontanteproduzidoporumaaplicaode$200.000,00,admitindoos seguintes prazos e taxas compostas: a) i = 5% a.m., durante 2 anos b) i = 12% a.t., durante 1 ano e meio R: a) S = $ 645.020,00 e b) S = $ 394.764,50 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior10 2.2 Taxas Nominais Forma de apresentao: 72% a.a.c.c.m (ao ano com capitalizao mensal) Semprequenosdeparamoscomumataxanominal,faz-senecessriosecalcularataxa efetiva,ouseja,devemosdeterminarqualaverdadeirataxaqueestportrsdataxa nominal. 2.2.1 Clculo da Taxa Efetiva Calcula-se a taxa efetiva por meio de dois passos: 1) Calcular a taxa efetiva do menor perodo utilizando a formula de equivalncia de taxas de juros simples: kiifK= 2) Calcular a taxa efetiva do maior perodo utilizando a formula de equivalncia de taxas de juros compostos: ( ) 1 if 1 ikk f + = Resoluo da taxa efetiva da taxa nominal 72% a.a.c.c.m.: Passo 1 06 , 01272 , 0ifK= = ao ms Passo 2 ( ) % 22 , 101 1 06 , 0 1 i12f= + =ao ano. 2.2.2 Exerccios sobre Taxas Nominais 1)Determinar o valor dos juros produzidos por um capital de $ 15.000,00, aplicado s taxa de 48% a.a.c.c.m., durante 2 anos. R: J = $ 23.449,56 2)Casovocaplique$3.000,00,staxade6,78%a.m.c.c.d.,por7meses,quanto resgatar ao final do perodo? R: S = $ 4.819,53 3)O Banco Alfa opera com uma taxa de 15% a.t.c.c.m. Se voc efetuar um emprstimo de $ 5.000,00 nesse banco, quanto desembolsar ao final de 2 anos para liquidar a dvida? R: S = 16.125,50 4)Dada a taxa de juros 120% a.a.c.c.m., quais so as taxas efetivas mensal e anual? R: ifk = 10% a.m. e if = 213,84% a.a. Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior11 3 Desconto DescontoumaoperaoinversaCapitalizao,ouseja,correspondeatrazermosum valor futuro para a data presente, descontando os juros que esto imbutidos no valor futuro. ODescontopropriamenteaoabatimentoobtidoporsesaldarumadvidaantesdo vencimento. Conceitos bsicos: Valor de face: valor de um titulo na data de sua emisso. Valor nominal: valor de um titulo na data de seu vencimento. Valor atual: valor de um titulo em uma data intermediaria entre a de emisso e a de vencimento. Obs.:Titulodenominaogenricaparaqualquertipodedvida(NotaPromissria, Duplicata, etc.). Tipos de Desconto Existemdoistiposdedescontos:RacionaleComercial.Ambospodemserutilizadostanto em juros simples quanto em juros compostos. ODescontoRacionalcorrespondeverdadeiraoperaodeDesconto.ODesconto Comercial nada mais do que uma variao do Desconto Racional adotada pelo Mercado. Racional (por dentro)Simples Desconto: Comercial (por fora)Composto QuantoaoDescontoComercial,naprtica,omesmoutilizadosomentesoboregimede juros simples. Simbologia utilizada nas operaes de desconto: N - Valor Nominal Dr- Valor do Desconto Racional Simples Vr - Valor Atual Racional SimplesDc - Valor do Desconto Comercial Simples Vc - Valor Atual Comercial Simples Drc- Valor do Desconto Racional CompostoVrc- Valor Atual Racional Composto i - Taxa de Desconto n - Nmero de perodos que faltam para o vencimento da dvida Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior12 3.1 Desconto Racional Simples Neste tipo de Desconto, a taxa aplicada sobre o Valor Atual, sobre o nmero de perodos que faltam para o vencimento da dvida. 3.1.1 Frmulas de Desconto Racional Simples 1)( ) n . i V NR+ = 1 n . iNVR+=1 nVNiR1 = iVNnR1 =. 2) N = Vr + DrVr = N Dr Dr = N Vr 3) n . in . i . NDR+=1. Ex: N = 10.000,00 I = 10% ao ms n = 3 meses Dr = ? Vr = ? 3 . 1 , 0 13 . 1 , 0 . 000 . 10DR+= Dr = 2.307,69. Vr = 10.000,00 2.307,69Vr = 7.692,31. Exemplos de Desconto Racional Simples (1) Caso voc desconte um ttulo de R$ 35.000,00 15 dias antes do vencimento, a uma taxa de 5,5% a.m., qual ser a importncia recebida? (2) Umttulofoidescontadotaxade2%a.m.Sabendo-sequeovalornominalera$ 7.414,00 e o valor descontado racional $ 6.740,00, qual o prazo da antecipao? (3) Uma promissria com valor nominal de $ 275.820,00 e vencimento para 75 dias foi descontada taxa de 90% a.a. Qual o valor do desconto racional dessa operao? 3.1.2 Exerccios sobre Desconto Racional Simples 1)MartadescontouumTtulonovalorde$15.000,00,1mse15diasantesdo vencimento,considerandoqueataxacobradafoide4,5%a.m.Qualovalordo desconto racional simples? R: Dr = $ 948,48 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior13 2)Desconta-se racionalmente uma Nota Promissria 9 meses antes do vencimento, a uma taxade5,8%a.m.Sabendoqueovalordescontadofoi$5.250,00,qualeraovalor nominal dessa Nota Promissria? R: N = $ 7.990,50 3)Uma Nota Promissria com valor nominal de $ 25.000,00 foi descontada 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de 4% a.m. Qual o valor do desconto racional simples? R: Dr = $ 2.678,57 4)Paulo,aoresgatarumTtulocomvalornominalde$50.000,00sobocritriode desconto racional simples, desembolsou a quantia de $ 32.000,00. Considerando que a operaofoiefetuadacombaseemumataxade23%a.a.,calculeoperodode antecipao. R: n = 2 anos, 5 meses e 10 dias 5)Qual o valor a ser pago hoje por uma Duplicata de $ 58.000,00, com vencimento para 60 dias,se fordescontadasobo critriodedescontoracional simples,aumataxade3% a.m.? R: Vr = $ 54.716,98 6)PorumTtulocomvalornominalde$1.200,00,comvencimentopara16deoutubro, Manuel obteve o valor de $ 1.110,00, em 1 de setembro do mesmo ano. Qual foi a taxa mensal de desconto racional simples utilizada pelo banco? R: i = 5,29% a.m. 7)UmaNotaPromissriafoidescontada 1anoantesdovencimento,aumataxade 20% aoano.Usandoodescontoracionalsimplesesabendo-sequevaloratualfoide$ 30.000,00, qual seria o seu valor nominal? R: N = $ 36.000,00 8)Uma dvida de $ 10.000,00 ser saldada 2 meses antes de seu vencimento. Qual ser o valor do desconto racional simples, se a taxa de juros for de 16% a.m.?R: Dr = $ 2.424,24 9)QuantodevopagarporumTtulocomvalornominalde$10.000,00,comvencimento paradaquia60dias,sedesejoterumataxaderetornode24%aoano?(desconto racional simples) R: Vr = $ 7.142,86 10)Antecipando3mesesumTtulocom valor nominalde$600,00, obtenhoumdesconto de $ 41,86. Qual a taxa de desconto racional simples mensal dessa operao? R: i = 2,5 % a.m. 11)Ao descontar um Ttulo no valor de $ 46.800,00, a uma taxa de 6,7% a.m., 6 meses de antes do vencimento, o valor do desconto racional simples ser .... R: Dr = $ 13.419,11 12)QuantodevopagarporumaPromissriacomvalornominalde$24.000,00,com vencimento para 9 meses, se pretendo obter um rendimento de 12% a.t? R: Vr = $ 17.647,06 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior14 13)Uma Duplicata foi descontada a uma taxa de 4,5% a.m., 210 dias antes do vencimento. Sabendoqueovaloratualracionalfoi$19.452,48,calculeovalornominaldessa Duplicata. R: N = $ 25.580,01 14)Emumaoperaodedescontoracionalsimples,comumataxade12%a.m.,ovalor atual de um Ttulo igual metade do seu valor nominal. Qual o tempo necessrio para que isso ocorra?R: n = 8 meses e 10 dias 15)$981,00ovalordodescontocomercialsimplesdeumTtulocomvalornominalde$ 10.900,00, se descontado 3 meses antes do vencimento. Calcule o valor do desconto racional simples desse Ttulo, considerando a mesma taxa de desconto mensal. R: Dr = $ 900,00 16)Se um Ttulo for resgatado trs meses antes do vencimento por $ 53.409,00, taxa de desconto racional simples de 84% a.a., qual o valor nominal desse Ttulo? R: N = $ 64.624,89 17)UmaNotaPromissriafoidescontadaracionalmentecom78diasdeantecipaopor$ 3.652,00, taxa de juros simples de 4% a.m. Qual o valor do desconto auferido nessa operao? R: Dr = $ 379,80 18)Marina possui um CDB de $ 1.300,00, com vencimento para daqui a 3 meses. A fim de comprarumnotebookqueestempromooparapagamentovista,elapretende descontar esse Ttulo hoje. Considerando o critrio de desconto racional simples e taxa de 1,5% a.m., qual ser o valor de resgate desse CDB?R: Vr = $ 1.244,02 19)Diego resgatou um Ttulo de $ 1.150,00, a uma taxa de desconto racional simples de 2% a.m., tendo recebidoa importncia de $ 1.045,45. Quanto foi o perodo de antecipao dessa operao?R: n = 5 meses 20)Se uma dvida de $ 6.462,20 for quitada 60 dias antes do prazo estabelecido, taxa de juros de 60% a.a., qual ser o valor do desconto racional simples?R: Dr = $ 587,50 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior15 3.2 Desconto Comercial Simples Neste tipo de Desconto, a taxa de juros aplicada sobre o Valor Nominal, vezes o nmero de perodos que falta para o vencimento da dvida. 3.2.1 Frmulas de Desconto Comercial Simples 1)n . i . N Dc = n . iDcN= n . NDci =i . NDcn = 2)Dc Vc N + = Dc N Vc = Vc N Dc = . 3)( ) n . i N Vc = 1n . i 1VcN=N1NVci+ =i1NVcn+ = 4)( ) n . i Dr Dc + = 1n . i 1DcDr+= Ex: N = 10.000,00 i = 10% a.m. n = 3 meses Dc =? e Vc = ? Dc = 10.000,00. 0,1. 3 = 3.000,00. Vc = 10.000,00 3.000,00 = 7.000,00. Vc = 7.000,00 Exemplos de Desconto Comercial Simples (1)Qualovaloratualcomercialrecebidopelodetentordeumtitulode$4.000,00, descontadostrsmesesantesdovencimento,aumataxade7%a.m.Calculea taxa efetiva de desconto comercial dessa operao. (2)Uma duplicata de $ 180.000,00 foi descontada 4 meses antes de seu vencimento. Considerando uma taxa de desconto simples de 60% ao semestre, calcule o valor do desconto e o valor recebido pelo detentor da duplicata. (3)Umttuloavencerem120dias,novalorde$13.000,00foidescontadopor$ 11.400,00. Calcular a taxa anual dedesconto comercial simplese a taxa efetiva de desconto. Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior16 3.2.2 Clculo da Taxa Efetiva em Desconto Comercial Simples AtaxadeComercialSimplesumataxanominal,e,comotal,devesercalculadaataxa efetiva, que obtida utilizando-se a seguinte frmula? n1VcNif= Ex: N = 10.000,00 i = 10% a.m. n = 3 meses Vc =7.000,00 If = ? % 29 , 14 if31000 . 7000 . 10if== 3.2.3 Exerccios sobre Desconto Comercial Simples 1)UmaDuplicatacomvalornominalde$12.000,00foidescontada2mesesantesdo vencimento,aumataxade17,17%aoano.Qualfoiovalordodescontocomercial simples? R: Dc = $ 343,40 2)UmaDuplicatanovalornominalde$25.000,00foiliquidada12mesesantesdoseu vencimento. Foi pago por ela a importncia de $ 18.960,00. Calcule a taxa de desconto comercial simples da operao e a taxa efetiva que vigorou na transao. R: i = 2,01% a.m.; if = 2,65% a.m. 3)Andr decide descontar um Ttulo trs meses antes do vencimento. Sabendo que o valor do ttulo $ 4.500,00 e que a taxa de desconto de 1,5% a.m., qual o valor do desconto comercial? R: Dc = $ 202,50 4)Qual o valor atual comercial de uma Duplicata com valor nominal de $ 5.000,00, que foi descontada3mesesantesdovencimento,aumataxadedescontosimplesde1,5% a.m.? R: Vc = $ 4.775,00 5)UmTtulofoidescontado3mesesantesdovencimento,taxade24%a.a.Sabendo que o valor atual comercial apurado foi de $ 17.860,00, qualerao valornominal desse Ttulo? (desconto comercial) R: N = $ 19.000,00 6)UmaDuplicatacomvalornominalde$45.000,00descontada6mesesantesdo vencimento, taxa de 30% a.a. Qual o valor de desconto comercial? R: Dc = $ 6.000,00 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior17 7)OvalornominaldeumTtulo$35.000,00.CasoesteTtulosejadescontado1ms antesdovencimento,aumataxade3%a.t.,qualserovalordodescontocomercial simples? R: Dc = $ 350,00 8)Umttulonovalornominalde$20.000,00sofreumdescontocomercialsimplesde$ 1.800,00, trs meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto. R: i = 3%. 9)Uma Duplicata de valor nominal de $ 20.000,00 foi resgatada por $ 19.250,00. Se a taxa dedescontocomercialsimpleserade90%a.a.,quantotemporestavaparao vencimento dessa Duplicata? R: n = 15 dias 10)Qual o valor atual comercial recebido pelo detentor de um Ttulo no valor de $ 4.000,00, descontado7mesesantesdovencimento,aumataxade6,5%a.m.Qualfoiataxa efetiva de desconto comercial aplicada na operao? R: Vc = $ 2.180,00; if = 11,93% a.m. 11)UmTtulocomvalornominalde$6.000,00foidescontado5mesesantesdo vencimento, a uma taxa de 5% a.m. Qual o valor do desconto comercial simples e qual o valor do recebido pelo detentor do ttulo? R: Vc: $ 4.500,00; Dc = $ 1.500,00 12)Ao quitar uma dvida, obteve-se um desconto comercial simples. O valor nominal era de $ 15.000 e a taxa de desconto de 2,75% ao ms. A antecipao foi de 9 meses. Qual o valor pago pela dvida? R: Vc = $ 11.287,50 13)Umanotapromissriade$22.000,00descontada6mesesantesdovencimento, uma taxa de desconto comercial simples de 1,6% a.m. Calcule o valor atual da nota. R: Vc = $ 19.888,00 14)CalculeovaloratualcomercialsimplesrecebidoporDiegopeloseuttulonovalorde$ 5.000,00, descontado 3 meses antes do vencimento, a uma taxa de 8,5% a.m. Calcule tambm a taxa efetiva de desconto comercial dessa operao? R: Vc: $ 3.725,00 e If = 11,41% a.m. 15)Emumaoperaodedescontocomercialsimplesdeumttulocomvalornominalde$250,00,odescontoauferidofoide $25,00.Considerandoqueataxautilizadafoide 10% ao ms, qual foi o tempo de antecipao? R: n = 1 ms. 16)UmaduplicatacomvalornominaldeR$35.000,00foidescontada8mesesantesdo vencimento,aumataxadedescontocomercialsimples de24%a.a,determineovalor recebido pelo detentor do ttulo. R: Vc =$ 29.400,00 17)Por quanto tempo devo antecipar o pagamento de um ttulo de $ 1.100,00 para obter um desconto comercial de $ 300,00, a uma taxa de 3,5% ao ms? R: n = 6 mesesMatemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior18 18)Qualovaloratualcomercialrecebidoporumttulode$900,00descontado2meses antes do vencimento a uma taxa de 1,5% ao ms? R: Vc = $ 873,00 19)Qualtaxadejurosdevodescontarumttulode$15.00,00paraobterumdesconto comercial de $ 1.500,00, descontado 3 meses antes do vencimento? R: i = 3,33% a.m. 20)Umaduplicatade$250.000,00foiresgatadapor$215.000,00,antesdoseu vencimento.Calcularotempodeantecipao,sabendoqueataxadedesconto comercial foi de 3,5 % ao ms. R: n = 4 meses Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior19 3.3 Desconto Racional Composto OprincpiodoDescontoRacionalCompostoomesmodoDescontoRacionalSimples, sendo que agora os juros utilizados so os compostos. Na prtica, em se tratando de operaes com juros compostos, utiliza-se apenas o Desconto Racional. 3.3.1 Frmulas de Desconto Racional Composto AnicadiferenadoDescontoRacionalCompostoemrelaoaoDescontoRacional Simples diz respeito apenas ao regime de juros, o princpio o mesmo. 1)( )ni Vrc N + = 1( )niNVrc+=111 ||

\|=nVrcNi( ) i LogVrcNLogn+=1 2)Drc Vrc N + = Drc N Vrc = Vrc N Drc = 3) ( )

+ =nRCi 111 . N Dou ] ) i 1 ( 1 [ N DnRC+ = Ex: N = 10.000,00 i = 10% a.m. n = 3 meses Drc = ? Vrc =? ( )

=31 , 111 00 , 000 . 10 Drc

=331 , 111 00 , 000 . 10 Drc Drc = $ 2.486,85. Vrc = $ 7.513,15. Exemplos . (1)Qual o valor do desconto racional composto de um titulo de $ 8.000,00 descontado dois meses antes do vencimento a taxa de 5,5% a.m. (2)Umtitulocomvalornominalde$15.000,00foidescontadoantesdovencimento, tendo o detentor desse titulo recebido $ 13.870,00. Considerando uma taxa de 42% a.a., determine o perodo de antecipao (juros compostos). (3)Casodesconteumtitulode$5.000,00trsmesesantesdovencimentoereceba$ 4.380,00 qual a taxa de juros compostos dessa operao? Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior20 3.3.2 Exerccios sobre Desconto Racional Composto 1)QuantodeverserovalordodescontoracionalcompostodeumTtulocujovalor nominalde$29.500,00,queserdescontado8mesesantesdovencimento,auma taxa de 6,8% a.m.? R: Drc = $ 12.071,82 2)OvalordecertoTtulonovencimentode$175.000,00.Odetentordomesmo, desejandosaldaralgumasdvidas,resolveuantecip-lo,recebendoumvalorde$ 144.000,00, sendo utilizada, para tanto, uma taxa de desconto racional composto de 5,5% a.m. Qual foi o perodo de antecipao? R: n = 3 meses e 19 dias 3)CarlosAlbertodesejaanteciparopagamentodeumemprstimonovalorde$15.000,00,quevencerdaquia10meses,tendonegociadocomocredoro pagamento de $ 13.685,00para liquidar advida. Qual foi a taxa dedesconto racional composto acordada nessa operao? R: i = 0,92% a.m. 4)CalculeovalornominaldeumTtulocujovalordodescontoracionalcompostofoide$ 685,00, antecipao de 4 meses e taxa de juros de 3,67% a.m.? R: N = $ 5.102,05 5)Um Ttulo cujo valor nominal era de $ 55.000,00 foi antecipado em 3 meses, utilizando-seumataxadedescontoracionalcompostade6,35%a.m.Pergunta-se:qualovalor lquido que foi recebido pelo dono do Ttulo? R: Vrc = $ 45.724,63 6)Um Titulo com valor nominal de $ 8.000,00, vencvel em 3 meses, foi descontado taxa de 4,5% a.m. Calcule o valor do desconto racional composto. R: Drc = $ 2.226,66 7)UminvestidorrealizouaantecipaodeumTitulo,obtendoumdescontoracionalde$ 1.186,22. A taxa composta de juros acordada foi de 12% a.a. e a antecipao foi de 6 meses. Qual era o valor nominal do titulo? R: N = $ 2.404,33 8)Qualovalordodesconto racionalde umttulocujo valornominal$13.000,00,caso ele seja resgatado 4 meses antes do vencimento, a uma taxa composta de 4,2% a.m.? R: Drc = 1.972,62 9)UmTituloteveoseuresgateantecipadoem5meses, aumataxa compostade2,5% a.m., obtendo-se um desconto de $ 1.250,00. Qual o valor nominal desse Ttulo? R: N = 10.762,34 10)Quedescontoracionaldeve-seexigirnacompradeumTtulocomvalornominalde$ 25.000,00, vencvel em 3 meses, se a taxa de juro composto for de 5% a.m.? R: Drc = $ 3.404,06 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior21 11)UmTitulocomvalornominalde$18.000,00foidescontado5mesesantesdeseu vencimento, obtendo-se um desconto de $ 500,00. Qual foi a taxa de desconto racional composto utilizada nessa operao? R: i = 1,04% a.m. 12)UmaDuplicatafoiliquidada11mesesantesdovencimento,taxade3,75%a.m.A operaoresultouemumdescontode$2.555,00.Qualeraovalornominalda Duplicata? R: N = $ 3.830,54. 13)AMascavoS.A.esttrocandoseusativosfinanceirosporttulosdadvidapblica. NestasemanacomprouumTtulocomvalornominalde$138.503.39,quetemprazo dematuraode180dias.CalculeovalordecompradesteTtulosabendoqueo GovernobrasileiroestadotandoataxaSelicde14,5%a.a.comoindexadorde referncia. R: Vrc = $ 129.436.77 14)Desconta-seracionalmenteumaNotaPromissria6mesesantesdovencimento. Sabendoqueovalornominaldamesmaerade$79.500,00eovalordodesconto racionalfoide$8.750,00.Qualfoiataxadejurocompostoempregadanessa operao? R: i = 0,44% a.m. 15)Odescontodeumttulo,pagvelem2anose6meses,de$11.500,25.Calcularo valornominaldottulosabendo-sequeataxaempregadanessatransaode18% a.a, usando o Desconto Racional Composto. R: N = $ 33.938,29 16)Qual o valor do desconto racional composto sofrido por um Ttulo com valor nominal de $ 6.688,78, descontado 55 dias antes do vencimento, taxa de 6% a.a.? R: Drc = $ 59,28 17)UmTtulocomvalornominalde$8.996,68foidescontado5mesesantesdo vencimento,aumataxacompostade2,5%am.Calculeovalorlquidorecebidopelo detentodoTtulo,tendoemvistaqueaoperaofoirealizadasobocritriode Desconto Racional Composto. R: Vrc = $ 7.951,75 18)Uma dvida com valor de $ 8.560,00 foi descontada 5 meses antes do vencimento sob o critriodeDescontoRacionalComposto.Sabendo-sequeataxadejurosfoide1,5% a.m., qual foi o valor do desconto obtido? R: Drc = $ 2.220,85 19)Tenho uma divida de $ 50.000,00 e pretendo liquid-la 5 meses antes de vencimento, a uma taxa de juros compostos de 5% a.m. Considerando o desconto racional composto, quanto deverei pagar por essa dvida? R: Vrc = $ 39.176,31 20)Bruna pretende descontar um ttulo de $ 10.000 8 meses antes do vencimento. Se ela receber $ 7.500,00. Qual ser a taxa de juros compostos dessa operao? R: i = 3,66% a.m. Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior22 4 Equivalncia de Capitais Diferidos Definio: Um conjunto de capitais diferidos no tempo (um ou mais capitais) considerado equivalente aoutroconjuntodecapitaistambmdiferidosse,esomentese,fordescontadoparauma mesma data focal e em idnticas condies e produzir o mesmo valor. Data focal: data base de comparao dos valores diferidos. Idnticas condies: mesmo critrio de desconto e mesma taxa de juros. 4.1 Equivalncia de Capitais Diferidos com Desconto Racional Simples Duas dividas, a primeira no valor de $ 5.000,00 com vencimento para hoje, e uma segunda, comovalorde$10.000,00comvencimentoparatrsmesesestosendonegociadaspor duas outras dividas. A primeira no valor de $ 7.000,00 com vencimento para quatro meses e asegundaparaserpagaaseismeses.Considerandoocritriodedescontoracional simples, e data focal trs e taxa de 5% ao ms, calcule o valor do segundo pagamento. Resoluo: 5.000,0010.000,00 |---------------|----------------|---------------|----------------|----------------|---------------| 01 2 34 5 6 7.000,00 X Obs.: Usar a frmula de Valor Nominal (ou Montante) Usar a frmula de Valor Atual (ou Capital) ( )3 . 05 , 0 1X1 . 05 , 0 100 , 000 . 700 , 000 . 10 3 . 05 , 0 1 00 , 000 . 5+++= + + 5.750,00+10.000,00 = 6.666,67+0,869565217X X=9.083,33/0,869565217 = 10.445,83 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior23 4.2 Equivalncia de Capitais Diferidos com Desconto Comercial Simples Duas dividas, a primeira no valor de $ 5.000,00 com vencimento para hoje, e uma segunda, comovalorde$10.000,00comvencimentoparatrsmesesestosendonegociadaspor duas outras dividas. A primeira no valor de $ 7.000,00 com vencimento para quatro meses e asegundaparaserpagaaseismeses.Considerandoocritriodedescontocomercial simples, e data focal trs e taxa de 5% ao ms, calcule o valor do segundo pagamento. Resoluo: 5.000,0010.000,00 |---------------|----------------|---------------|----------------|----------------|---------------| 01 2 34 56 7.000,00 X 5.000,00/1-0,05.3 + 10.000,00 = 7.000,00 (1-0,05.1) + X (1-0,05.3) 5.882,35 + 10.000,00 6.665,00 = 0,85X X = 9.232,35/0,85 = 10.861,59 Suponhaquevocdeva$3.000,00parapagamentodaquiacincomesesequeira renegociaressadividaparapagaremtrspagamentosmensaiseiguais,vencendoo primeiro pagamento a trinta dias. Com desconto comercial simples e data focal trs, calcule o valor dos pagamentos. Taxa de 3% ao ms. Resoluo: 3.000,00 |---------------|--------------|--------------|----------------|---------------| 01234 5 XXX ( )( ) ( ) 2 . 03 , 0 1X1 . 03 , 0 1XX 2 . 03 , 0 1 00 , 000 . 3++ = . 2.820,00 = X + 1,030927835X + 1,06382978X ->22 , 911094757622 , 300 , 820 . 2X = = Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior24 Refazer o exerccio anterior considerando com a data focal zero e com o desconto racional simples 3.000,00 |---------------|---------------|---------------|---------------|---------------| 0 1 2 3 4 5 XXX ||

\|+++++=+ 3 . 05 , 0 112 . 05 , 0 111 . 05 , 0 11X5 . 05 , 0 100 , 000 . 3X = 878,79 4.3 Exerccios sobre Equivalncia de Capitais Diferidos com Juros Simples 1)Mrciatemduasdvidas,sendoumade$3.500,00comvencimentopara5mesese outrade$1.500,00comvencimentoparahoje.Elapretenderenegociaressasdvidas para liquid-las em um nico pagamento com vencimento para daqui a 4 meses. Qual o valor dessa nova dvida, considerando o critrio de desconto racional simples, data focal quatro e taxa de 4% a.m.? R: $ 5.105,38 2)Deacordocomoexerccioanterior,qualseriaovalordonovopagamento,casofosse utilizado o critrio de desconto comercial simples? Qual a opo mais vantajosa para Mrcia? R: $ 5.145,71; mais vantajosa a 1 opo. 3)Caso vocdeva $15.000,00para pagar daqui 10 mesesequeira renegociar tal dvida para pagar em 3 prestaes iguais, vencveis nos meses 5, 6 e 7, qual seria o valor das prestaes,seforadotadoocritriodedescontoracionalsimples,umataxade3,5% a.m. e data focal sete? R: $ 4.355,80 4)Caso a data focal do exerccio anterior fosse a zero, qual seria o valor dos pagamentos? R: $ 3.060,91 5)Joo tem uma dvida de $ 4.500,00 que vence no prximo ms, mas decide renegoci-la para pagar em duas prestaes iguais e seguidas, sendo a primeira com vencimento em 3meses.Qualovalordasprestaes,seadotadoocritriodedescontocomercial simples, taxa de 2% a.m. e data focal quatro? R: $ 2.369,44 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior25 6)Uma loja de instrumentos musicais vende um violo Eagle por $ 1.899,00 vista. Como opo, esse bem pode ser pago em duas parcelas mensais e iguais, vencveis em 3 e 4 meses.Sabendo-sequeataxade juroscorrentede24% a.a.,qualserovalordos pagamentos, considerando data focal zero e critrio de desconto racional simples? R: $ 887,38 7)Pedro tem que pagar uma dvida daqui a 6 meses no valor de $ 4.000,00. Caso queira renegociaressadvidaparapagarem3parcelasmensaiseiguais,comaprimeira vencendodaquiatrintadias,qualserovalordasparcelasseforconsiderandoo critrio de desconto comercial simples, taxa de 4% ao ms e data focal 6?R: $ 1.118,31 8)Aovenderseucarro,Joopropsumaentradade$8.000,00eoutraparcelade$ 6.000,00 para 6 meses. O comprador props a seguinte alternativa: o pagamento de umaparcelaem3mesesnovalorde$7.000,00eorestanteem10meses. Considerandouma taxa de jurosde 2,25%a.m., qualo valordo segundopagamento? (Data focal 6 e critrio desconto racional simples) R: $ 8.964,70 9)Julianadesejasubstituir3ttulosde$10.000,00,$20.000,00e$30.000,00,com vencimentos respectivamente para 3, 6 e 9 meses, por um nico titulo com vencimento para daqui a 1 ano. Qual ser o valor desse novo titulo, uma vez que seja adotada uma taxa de 3% a.m., data focal 1 ano e critrio de desconto comercial simples?R: $ 69.000,00 10)Uma moto custa $ 6.000,00 vista, porm, aps um acordo feito entre o comprador e o vendedor, ficouacertado queopagamento seria feito em3parcelas trimestrais iguais, vencendo a primeira daqui a 3 meses. Calcule o valor das parcelas sabendo que a taxa de juros de 3% a.m., a data focal a zero e o critrio desconto racional. R: $ 2.350,83 11)Nliopossuaumtitulonovalorde$300,00enecessitandodedinheiroadiantouo resgatedessetituloconseguindoumvalorde$250,00.Considerandoqueaoperao foi realizada sob o critrio de desconto comercial simples, data focal zero e taxa de 4% a.m., qual foi o prazo de antecipao? R: n = 5 meses 12)Uma televiso vendida por $ 700,00 vista ou duas parcelas trimestrais de $ 381,211. Considerando a data focal zero e o critrio desconto racional simples, calcule a taxa de juros adotada pela loja. R: i = 2% ao ms 13)Dois ttulos: um de $ 15.000,00, com vencimento para hoje e outro de $ 70.000,00, com vencimentopara6mesesserosubstitudosumporumnicottulocomvencimento para 3 meses. Considerando o critrio de desconto comercial simples, taxa de 84% a.a. e data focal 3, calcule o valor desse novo ttulo. R: $ 74.287,34 14)E uma concessionria de veculos, um determinado carro custa $15.000,00 vista, mas nanecessidadedelimparoestoqueessaconcessionriafezumsuperpromoo: oferecendo o carro paga pagamento em 3 parcelas mensais e iguais, com a 1 para 30 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior26 diasereduziuosjurospelametade,cobrandoagoras2%a.m.Qualovalordas parcelas,umavezqueparaoclculoseradotadoocritriodedescontoracional simples e data focal zero? R: $ 5.198,72 15)Umaempresapossuaduasdvidasjuntoaumdeterminadobanco:$900,00e$ 1.200,00, com vencimento para daqui a 5 e a 8 meses, respectivamente. O gerente do banco props transformar as duas dvidas em uma s, com vencimento para 10 meses, adotando-se, para tanto, uma taxa de 4% a.m., critrio de desconto comercial simples e data focal zero. Calcule o valor da nova dvida. R: $ 1.902,86 16)Ricardo comprou uma maquina fotogrfica que custava $ 1.800,00 vista para ser paga em 4 prestaes mensais e iguais, vencendo a primeira prestao daqui 3 meses, qual ovalordospagamentos,umavezquefoiadotadoocritriodedescontoracional simples, taxa de 2% a.m. e data focal 6? R: $ 436,89 17)Tenho uma divida de $ 3.000,00 para pagamento daqui a 4meses e quero renegociar essadividaparaserpagaem3pagamentosmensaiseiguais,vencendooprimeiro pagamento pra daqui trinta dias. Qual o valor das parcelas, sabendo que a data focal 3, desconto comercial simplese taxa de 3% ao ms. R: $ 3.038,31 18)Rosane possui um titulo no valor de $ 900,00, vencendo para daqui a 60 dias e outra no valorde$700,00,vencendoparadaquia90dias.Necessitandodedinheiro,Rosane descontaosdoisttulosemumafinanceira,tendoaoperaosidoefetuadasobo critriodedescontoracionalsimples,taxade3,5%a.m.edatafocalzero.Calculeo valor recebido pela mesma. R: $ 1.474,60 19)Umadeterminadamotocicletacusta$6.000,00vista.Querocompr-laem3 pagamentosmensaiseiguaiscomvencimentodoprimeiropagamentoparadaqui60 dias,comtaxade3,75%a.m.Calculeovalordessespagamentosconsiderandoo critrio de desconto comercial simples e data focal 2. R: $ 1.778,82 20)Possuoumadividanovalorde$3.000,00parapagamentodaquiatrsmeses.No entanto, quero quit-la hoje. Considerando o critrio de desconto racional simples, taxa de 2,5% a.m. e data focal zero, quanto deverei?R: $ 2.790,70 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior27 4.4 Equivalncia de Capitais Diferidos com Desconto Racional Composto Em juros compostos, a determinao da data focal deixa de ter importncia, pois qualquer data focal que venha a ser utilizada leva o resultado da operao ao mesmo valor. Um determinado bem custa $ 5.000,00 vista. Caso voc queira adquirir esse bem a prazo, parapagamentoemtrsvezesiguais,vencendooprimeiroummsapsacompra,qual ser o valor dos pagamentos se for considerado o critrio de Desconto Racional Composto e taxa de 3% ao ms? 5.000|-------------|--------------|--------------| 0123 XXX ( )( ) ( )65 , 767 . 1828611355 , 200 , 000 . 5X03 , 1X03 , 1X03 , 1X00 , 000 . 53 2= = + + = Exemplos: (1)Caso voc deva pagar $ 15.000,00 daqui a 6 meses e $ 8.000,00 em 12 meses, e queirarenegociaressasdvidasparapagar$5.000,00hojeeorestanteem3 meses, qual ser o valor dos pagamentos, se for considerado uma taxa de 37% ao ano e critrio de desconto racional composto? (2)Trs dividas, a 1 no valor de $ 3.000,00, a 2 de $ 7.000,00 e a 3 de $ 20.000,00, com vencimentos para 15 dias, 5 meses e 11 meses, respectivamente, esto sendo renegociadas para serem pagas hoje. Qual o valor desse pagamento se for usado taxa de 45% ao ano e critrio de desconto racional composto? 4.5 Exerccios sobre Equivalncia de Capitais Diferidos com Juros Compostos 1)Carlospossuiduasdvidas,umanovalordeR$1.000,00quevencehojeeoutrano valor de R$ 1.500,00 que vence em trs meses. Estas dvidas esto sendo negociadas poroutrasduas,sendoaprimeiraparadaquia2meses,novalordeR$750,00ea segundaaserpagadaquia5meses.Sabendoquetaxade2%aoms,calculeo valor do segundo pagamento utilizando o critrio de desconto racional composto. R: $ 1.868,77 2)Uma mquinade lavar roupa custa R$7.000,00 a vista. Casoo clientequeira adquirir esse bem a prazo, para pagamento em trs vezes iguais, vencendo oprimeiro em um Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior28 msapsacompra.Qualserovalordasparcelasconsiderandoataxade3%eo critrio de desconto racional composto?R: R$ 2.474,71 3)Suponhaquevoctenhaumadividade$10.00,00comvencimentoparadaquia8 meses, porm voc quer negoci-la para pagar $ 7.000,00 e o restante em dois meses. Qual ser o valor do segundo pagamento se for considerado a taxa mensal de 2,5% ao ms e o critrio do desconto racional composto? R: $ 1.268,59 4)Joo aplicou $ 30.000,00 em um banco que rende juros de 37% ao ano, pretendo assim retiraromontanteem9meses.Entretantodecorrido2meseseleretirou$ 5.000,00. Qual o valor retirado por ele no fim de 9 meses? R: $ 31.981,42 5)JooDeve$35.000,00paradaquiumano,porminesperadamenteelerecebeuum dinheirodeumacausanajustiaepropsorefinanciamentodesuadivida, comprometendo a liquid-la em 3 parcelas trimestrais iguais, vencendo a primeira hoje. Quantoserovalordasparcelasseataxadejuroscompostocobradade20%ao ano? R $ 10.168,58 6)Umadividade$7.350,00para12meseseoutrade$8.000,00para24mesesfoi transformadaem4parcelasiguaissemestrais,vencendoaprimeiradaquia6meses. Qual o valor das parcelas, se a taxa de juros considerada de 34% ao ano? R: $ 3.535,33 7)Henriquedesejacomprarumamotode$13.000,00.Eledispede$7.000,00para pagar a vista e pretende financiar o restante em 3 pagamentos iguais e trimestrais, com o primeiropagamentoparadaquia90dias.Considerandouma taxatrimestralde4%, qual ser o valor das prestaes? R: $ 2.162,09 8)Umatelevisoestsendovendidapor$6.500,00vistaoupodeseradquiridacom uma entradade$2.000,00 mais 3 parcelas mensais, com a primeira vencimentopara 60dias.Sabe-seaindaqueataxadejurosanualde17%.Qualovalordas prestaes? R: $ 1.559,96 9)Umalojaespecializadaembicicletasanunciouquevendeumasuperbicicletade corrida por $ 1.000,00 vista ou em dois pagamentos mensais, sendo o primeiro para 3 meses e o segundo para 4 meses. Considerando uma taxa de 14% a.a., calcule o valor dos pagamentos. R: $ 519,47 10)UmalojadeMveistinhaumadvidacomseusfornecedoresedecidiunegoci-la.O gerentedessalojaconseguiusubstituir3dvidasde$5.000,00,$2.000,00e$3.000,00comprazodevencimentode30,60e90dias,respectivamente,porum nico ttulo vencvel em 180 dias. Qual o valor desse ttulo, sabendo que a taxa de 25% a.a.? R: $ 9.249,94 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior29 11)Uma dvida de $ 20.000 para ser paga em 1 ano e outra no valor de $ 30.000 para ser pagaem2anosforamrefinanciadasparaserempagasem4parcelasiguaise semestrais, sendo que a 1 ser para daqui 6 meses. Considerando uma taxa de 20% a.a., qual ser o valor das parcelas? R: $ 11.713,72 12)Um comerciantetemuma dvidade$14.500,00,vencendoem5mesesequerpagar esta dvida parceladamente. Ele conseguiu junto ao banco o parcelamento em 3 vezes iguais,ajurosde2,3%aoms,vencendoaprimeiraemumms.Qualovalordas prestaes? R: $ 4.513,83 13)Determineovalornominaldeumtitulocomvencimentopara5mesesquesubstituir outros dois no valor de $ 500,00 cada, vencendo em 30 e 60 dias, taxa de 3% a.m. R: $ 1.109,12 14)Faltam3prestaesmensaiseiguaisde$700,00,vencendoaprimeiraem30dias, para quitar um financiamento de um imvel. Quero renegociar para pag-las uma nica prestaodaquia60dias.Considerandoumataxamensalde4%,qualovalordeste pagamento? R: $ 2.101,08 15)Duas dvidas, a primeira no valor de $ 500,00 com vencimento para hoje, e a segunda, com valorde $700,00comvencimentopara trs meses,estosendonegociadaspor duas outras dvidas: a primeira no valor de $ 400,00, com vencimento para 4 meses e a segundacomvencimentopara6meses.Considerandoocritriodedescontoracional composto e taxa de 5,2% ao ms, calcule o valor do segundo pagamento. R: $ 1.050,04 16)Suponhaque vocdeve $12.000,00paradaquia6mesesequeirarenegociaressa dvida para pagar em trs pagamentos bimestrais e iguais, vencendo o primeiro daqui a 60 dias. Considerando uma taxa de 7% ao ms, calcule o valor dos pagamentos. R: $ 3.472,53 17)Um ttulo com valor nominal de $ 75.000,00, com vencimento para 5 meses, trocado poroutrocomvencimentopara3meses.Sabendoqueataxadejurocorrenteno mercado de 3% ao ms, qual o valor nominal do novo ttulo? R: $ 70.694,92 18)Um comerciante,devedor deum ttulode$400.000,00, com vencimentopara3 anos, desejasubstituiressadvidapordoispagamentosanuaiseiguais:umparadaquia1 ano e outro no fim de 2 anos. Sabendo-se que a taxa de 40% ao ano, calcule o valor desses pagamentos. R: $ 119.047,10 19)Umatelevisodeplasmaquecusta$7.000,00podeseradquiridaem5prestaes mensais iguais, sendo a primeira na data da compra. Qual o valor de cada uma dessas prestaes se for adotada uma taxa composta de 10% a.m.? R: $ 1.678,70 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior30 20)Umempresriopossuidoisttulosapagarcomvaloresde$50.000,00e$70.000,00,vencveisem3e7meses,respectivamente,apartirdadatapresente. Sem liquidez para quitar os dbitos em suas datas, negocia com a Instituio bancria - queestipulajuroscompostosde3%a.m.-parasubstituiodasdvidasporduas outras de igual valor a vencerem em 9 e 12 meses. Determinar o valor de cada dbito nesta nova situao. R: $ 69.950,76 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior31 5 Rendas (Srie de Pagamentos ou Anuidade) Hvariasformasdepagamentodeumbem:comoopagamentonoatodacompra,no existindoumadiferenatemporalentreopagamentoeorecebimentodamercadoriae, conseqentemente,aincidnciadejuros,sendo,nestecaso,chamadodepagamento vista.Outraformadepagamentoaquehhiatotemporalentreorecebimentoda mercadoriaeopagamento,havendoassimopagamentodejurosporessadiferenade tempo, j que o valor do dinheiro no o mesmo no tempo, sendo essa forma chamada de pagamento no futuro. Outra forma o pagamento parcelado. Opagamentoparceladopossuiumagrandevariedadedetipos,podendoserefetuadoem variasparcelasseqencialmente,ouexistindoumperododecarnciaparaoinciodos pagamentos,ouserpagasemperodosnoseqenciais,etc.,dependendodoacordo ajustadoentreas partes:o devedoreo credor.Oquenodiferenciaemtodosostipos de Rendas que sempre haver a incidncia de juros, proporcional ao tempo e/ou ao nmero das parcelas. Pagamento vista: P |-------------------------------| 0n Pagamento no futuro: n S S = P(1 +i) |-------------------------------| 0n Pagamento parcelado (Rendas ou Srie de Pagamentos ou Anuidade): S PRRRRRR |------|-----|------|------|------|-----|0 1 234 56 Qualquer srie de pagamento uma Renda. R Variveis de uma Renda e suas relaes

PS Existem dois tipos de Rendas: Rendas Certas ou Determinsticas, que so estudadas pela Matemtica Financeira. Rendas Aleatrias ou Probabilsticas, que so estudadas pela Matemtica Atuarial. O nosso curso abordar apenas as Rendas Determinsticas. Certa (determinstica) = Matemtica Financeira. RendaAleatria (probabilstica) = Matemtica Atuarial. Onde: P = Valor Atual R = Valor dos Termos S = Montante Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior32 Classificao das Rendas Postecipadas Imediatas Peridicas ConstantesAntecipadas Temporrias Diferidas CertasNo Peridicas Variveis RendasPerptuas Aleatrias Temporrias possuem incio e fim Perpetuas no possui um fim, ad perpetum Peridicas os pagamentos ou recebimentos ocorrem em todos os perodos No-peridicasos pagamentos ou recebimentos no ocorrem em todos os perodos Constanteso valor de todos os termos so iguais em Variveis o valor de todos os termos no so iguais Imediatas os pagamentos ocorrem a partir do 1 perodo. Diferidas h uma carncia para o incio dos pagamentos. Postecipadas os pagamentos ocorrem no final dos perodos. Antecipadas os pagamentos ocorrem no incio dos perodos. Inicialmente,seroestudadasasRendasconstantesdoModeloBsico,quesoas Rendas que apresentam as seguintes caractersticas: Rendacertatemporriaperidicaconstanteimediatapostecipada Simbologia Nas operaes com Rendas (ou Anuidades) ser utilizada a seguinte simbologia: R Termos da Renda P Valor Atual. S Montante. i Taxa de Juros. n Nmero de Termos. Informaes importantes: As operaes com Rendas utilizam juros compostos. O montante de uma Renda (S) fica na altura do ltimo termo. O Valor Atual (P) de uma Renda corresponde soma dos Valores Atuais de seus Termos Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior33 5.1 Rendas do Modelo Bsico: PRRRRRRR ...... R |--------|--------|--------|---------|--------|--------|--------|--------| 012 345 68 ....... n P = soma dos valores atuais de seu termos. ( )( ) ( ) ( )N 3 2i 1Ri 1Ri 1Ri 1RP+ +++++= K 5.1.1 Frmulas 1) ( )( )

+ +=i . i 11 i 1. R PNN 2) ( )( )

++=1 i 1i . i 1. P RNN 3) ( )

+=i1 i 1. R SN 4) ( )

+=1 i 1i. S RN Obs.: estas frmulas so vlidas somente para as Rendas do Modelo Bsico. Exerccios resolvidos: Um determinado bem custa $ 10.000,00 vista. Caso voc queira adquirir esse bem aprazo,parapagamentoem24prestaesmensaiseiguais,vencendoaprimeira um ms aps a compra, qual ser o valor do pagamento com taxa de 3% ao ms. P = 10.000,00 i = 3% a.m. n = 24 R=? ( )( )

++=1 03 , 0 103 , 0 . 03 , 0 100 , 000 . 10 R2424R = 590,47 Caso voc queira dispor de $ 10.000,00 daqui a seis meses, quanto dever depositar mensalmenteemumainstituiofinanceiraquepaguejurosde2%aomsparque no ultimo deposito obtenha a quantia desejada? Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior34 S = 10.000,00 n = 6 i = 2% a.m. R = ?. ( )

+=1 02 , 0 102 , 000 , 000 . 10 R6R = 1585,26 Exemplos de Rendas do Modelo Bsico (1)Umdeterminadobemestasendo vendidopornoveprestaes de $500,00reais, vencendoaprimeiraummsapsacompra.Considerandoumtaxade2,5%ao ms, determine o valor vista desse bem. (2)Caso voc efetue 24 depsitos mensais e iguais de $ 300,00 em um instituio que pague juros de 1,5% ao ms, quanto dispor por ocasio do ultimo deposito? 5.1.2 Exerccios sobre Rendas do Modelo Bsico 1)Um bem custa $ 15.000,00 vista. Caso a aquisio desse bem seja feita a prazo, para pagamentoem6prestaesmensaiseiguais,aumataxade1,5%a.m.,qualsero valor das parcelas? R: R = $ 2.632,87 2)Quantodevereidepositarmensalmenteparaque,aofinalde3anos,disponhade$ 50.000,00, considerando que a instituio financeira pague juros de 0,5% a.m.? R: R = $ 1.271,09 3)Lliancomprouumcarroparaserpagoem60prestaesde$550,00,comtaxade 1,0% a.m., qual o valor vista do carro? R: P = $ 24.725,27 4)Qual o valor das parcelas de um bem que custa $ 25.000,00 vista e que ser vendido em 12 pagamentos iguais e mensais, cuja taxa de juros de 1,5% a.m.?R: R = $ 2.291,99 5)Se efetuo um emprstimo de $ 3.500,00, taxa de juros de 2% a.m., para ser liquidado em 8 pagamentos mensais e iguais, qual ser o valor das prestaes? R: R = $ 477,80 6)Ivanpretende levantarumemprstimode$15.000,00.Sea taxadejurosdemercado for 3,5% a.m. e o mesmo deseja pag-lo em 24 parcelas mensais e iguais, qual ser o valor das prestaes? R: R = $ 934,10 7)Danilodecidiufazerumaviagemdaqui1anoemeioe,paratanto,desejadisporde$ 10.000,00 na data da viagem. Para tanto, pretende efetuar depsitos mensais e iguais Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior35 numa instituio financeira que paga juros de 1%a.m. Qual sero valordosdepsitos para que, por ocasio do 18 depsito o mesmo disponha da importncia desejada? R: R = $ 509,82 8)Um carro vendido em 36 parcelas mensais e iguais de $ 599,00. Sabendo que a taxa utilizada 1,5% a.m., qual valor do carro vista? R: P = $ 16.568,75 9)Fernando depositar mensalmente $ 450,00, durante 6 meses, em um banco que paga juros de 3% a.m. Qual o montante que poder ser sacado por Fernando por ocasio do ltimo depsito? R: S = $ 2.910,78 10)Quantotereiquedepositar,mensalmente,emumainstituioquepagajurosde2,5% a.m. para que, ao final de 8 meses, eu possua $ 10.000,00? R: R = $ 1.144,67 11)Ana comprou uma casa de $ 80.000,00 financiada em 36 prestaes mensais e iguais. Calcule o valor das prestaes, considerando uma taxa de 1,5% a.m? R: R = $ 2.892,19 12)Comprei um carro financiado em 24 prestaes mensais de $ 800,00. Qual o seu valor vista, sabendo que foi usada uma taxa de 2% a.m? R: P = $ 15.131,14 13)Robertoprecisoufazerumacirurgiaquecustava$3.000,00vista.Parapag-la,fez umemprstimodessevalor,aumataxade0,5%a.m.,paraquit-loem12parcelas mensais e iguais. Qual o valor das parcelas? R: R = $ 258,20 14)Umcomputadorcusta,atualmente,$3.500,00.Paulodecidecompr-lo,efinanciao objeto desejado em 10 prestaes iguais e mensais, sendo que a 1 parcela dever ser paga daqui a 1 ms. Sabendo que a taxa de juro de 5,5% a.m., quanto Paulo ter que desembolsar mensalmente? R: R = $ 464,34 15) Getuliosepropsafazerumapoupanaparaviajarapssuaformatura.Paratanto, efetuou18mesesdepsitosmensaiseiguaisde$200,00emumacadernetade poupanaquepagajurosde0,5%a.m.Qualaimportnciadisponvelporocasiodo ltimo depsito? R: $ 3.757,16 16)Quantoumapessoadevedepositarmensalmentedurante15mesesnumfundode investimentosquerende1,8%a.m.,paraquenoinstantedoltimodepsitotenhaum montante de $ 60.000,00? R: R = $ 3.519,95 17)Marta efetuou 12 depsitos bimestrais e iguais no valor de $ 500,00 em uma instituio que paga juros de 3% a.b. Quanto ela ter no momento do ltimo depsito? R: $ 7.096,01 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior36 18)Qualaprestaomensaldeumcarrocujopreovista$50.000,00,sefor financiado em 24 prestaes mensais e iguais, taxa de 3,5% a.m.? R: R = $ 3.113,65 19)Umfinanciamentode$100.000,00foiconcedidoaumaempresa,paraserpagoem4 prestaes semestrais iguais, juros de 20% a.s. Qual o valor das prestaes? R: R = $ 38.628,90 20)Qual o preo vista de um carro que est sendo vendido por 12 prestaes mensais e iguais de $ 5.000,00, considerando que a taxa contratada foi de 8% a.t?R: P = $ 37.680,39 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior37 5.2 Rendas no constante do Modelo Bsico ParaseresolverqualquertipodeoperaoenvolvendoRendanoconstantedoModelo Bsico tem-se que, necessariamente, transform-las em Renda do Modelo Bsico e aplicar as frmulas correspondentes. 5.2.1 Frmulas As frmulas a serem utilizadas so as mesmas de Rendas do Modelo Bsico Exemplos de Rendas no constante do Modelo Bsico (1)Opreovistadeumcarrode$80.000.Arevendedoraexige30%como entrada,financiandoosaldoem36prestaes,com6mesesdecarncia. Sabendo-se que a taxa de juros 3,5% a.m. Qual o valor das prestaes? R: $ 3.277,91 (2)Umapessoaabriuumacontaemumainstituiofinanceiraedepositou$ 1.000. Em seguida, efetuou uma srie de 24 depsitos mensais de $ 300, sendo que o primeiro foi feito 4 meses aps a abertura da conta. Supondo-se que no seja efetuada nenhuma retirada,e considerandoquea instituio financeirapaga juros compostos de 2% a.m. sobre o saldo devedor, quanto essa pessoa ter disponvel 5 anos aps a abertura da conta? R: $ 20.824,39 5.2.2 Exerccios sobre Rendas no constantes do Modelo Bsico 1)O preo a vista de uma casa $ 70.000,00. No entanto, o banco exige 20% de entrada. O restante ser financiado em 60 parcelas iguais e mensais com 4 meses de carncia, a uma taxa de 2,5% a.m. Qual ser o valor das parcelas? R: R = $ 1.951,10. 2)Uma pessoa vai receber 10 parcelas mensais e iguais de $ 250,00 com uma carncia de 4mesespararecebimentodaprimeiraparcela.Qualovaloratualdestasriede pagamentos, se a taxa considerada for de 2% a.m?R: P = $ 2.116,11. 3)Umfogofoidivididoem5parcelasmensaiseiguaisde$125,00,sendoaprimeira parcelapaganoatodacompra,comoumaentrada.SeataxaquealojaSFoges opera de 1,5% a.m., qual o preo do fogo a vista? R: P = $ 606,80. 4)Joo efetuou uma compra cujo pagamento deveria ser efetuado em 4 parcelas trimestrais de $ 2.500,00, a taxa de juros seria de 2% a.m., vencendo a 1daqui a 3 meses. Caso Joo queira pagar essa compra em 12 parcelas mensais e iguais, vencendo o 1 pagamento em 1 ms, qual ser o valor das parcelas? R: R = $ 816,89 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior38 5)Carloscomprouumaparelhodesomquefoipagodaseguintemaneira:3parcelas mensaiseiguaisde$200,00,vencendoa1daquiaummseduasparcelasde$500,00aserempagasno5eno6ms.Considerandoataxadejurosfoide3%, calcule o valor do aparelho vista.R: P = $ 1.415,77 6)Um carro vendido da seguinte forma: uma entrada de $ 3.500,00, 4 parcelas mensais iguais de $ 2.500,00, vencendo a 1 daqui a 1 ms e outras 2 parcelas com vencimento nosextomsnovalorde$3000.Seataxadejurosforde2%a.m.,qualovalordo carro a vista. R: P = $ 18.294.92 7)Calculeovalorpresentedoseguintefluxodecaixa,realizadosafimdecadams:1 ms $ 20.000,00 e do 2 ao 5 ms $ 40.000,00, considerando uma taxa de juros de 3% a.m. R: P = $ 16.377,08 8)Opreoavistadeumbem$80.000,00.Pretendocompr-loaprazo,dandouma entradade$24.000,00eorestantefinanciarem36prestaescomoprimeiro pagamento para daqui a 6 meses. Considerando uma taxa de 3,5% a.m., calcule o valor das prestaes. R: R = $ 3.277,91 9)Um veculo foi compradopara ser pago em 3 prestaes mensais e iguais, vencendoa primeira somente no final do terceiro ms aps a compra. Sabendo que o veculo a vista $17.850,00equea taxadejurosutilizadapelaloja 7%a.m., qualoo valordas prestaes? R: R = 7.787,35 10)Aodarentradade$60.000,00emumaHilux,Lucasseresponsabilizouempagar mensalmente parcelas de $ 1.380,00 por 60 meses, com a primeira parcela vencendo ao finalde2mesesapsacompra.QualovalorvistadaHiluxconsiderando, considerando que a operao foi efetuada taxa de 2% a.m.? R: P = $ 107.029,43 11)Simpsonefetuouumemprstimoemumainstituiofinanceiraparapagarem10 prestaesde$1.700,00, comumacarnciade5 mesesparapagamentodaprimeira parcela, Sendo a taxa utilizada de 5% a.m., qual o valor do emprstimo? R: P = $ 10.800,00 12)Eduardo comprou uma motocicletaque custa $10.000,00. A aquisio foiefetuadaem 18 pagamentos mensais e iguais, com uma carncia de 4 meses para comear a pagar. O valor da taxa acertada foi de 2,8% a.m. Calcule o valor das mensalidades?R: R = $ 621,27 13)Rivaldo estava andando no shopping e se interessou por um aparelho eletrnico. Porm, ele possui uma atividade que lhe remunera durante 3 meses e fica 2 meses sem. Assim, ficouacordadoentreeleeovendedoraseguinteformadepagamento:6pagamentos iguais de $ 75,00, sendo os 3 primeiros pagamentos para o 3, 4 e 5 ms e as outras 3 para o 8, 9 e 10 ms, a partir de hoje. A taxa de juro utilizada foi de 2,5% a.m. Qual era o valor vista do aparelho? Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior39 R: P = $ 384,08 14)Danilo foi a um feiro de carros usados e se interessou por um que custava $ 9.500,00 vista.Sempossuiodinheiroparaadquiri-lonestaformadepagamentoeapslonga conversacomovendedor,ficaacordadooseguinte:daquia2meseselepagaria$3.000,00e, 3mesesapsessepagamento,elepagaria mais5pagamentosiguaise subseqentes.Sabendoquefoiadotadaumataxade2%a.m.,qualserovalordas parcelas? R: R = $ 1.519,46 15)Igordecidiucomprarumcarro0kmquecusta$24,990,00vista.Elepossui$ 12.000,00 para dar de entrada e se compromete a pagar 24 parcelas iguais e mensais comumacarnciade6meses.Sabendoqueataxadejurosajustadafoide2%a.m., qual ser o valor das parcelas?R: R = $ 758,28 16)Maria adquiriu um aparelho eletrnico para pagar em oito prestaes, sendo que as trs primeirasseriamnovalorde$120,00,astrsseguintesnovalorde$100,00eas restantes no valorde$ 80,00. Considerando uma taxa de1,5%a.m., calculeo valor vista desse aparelho. R: P = $ 771,06 17)Se uma TV esta sendo vendida em 12 prestaes mensais, sendo as seis primeiras no valor de $ 150,00 e as restantes no valor de $ 200,00. Considerando uma taxa de 1,0% a.m., calcule o valor vista dessa TV.R: P = $ 1.961,24 18)Se eu fizer um depsito hoje de $ 1.000,00 em uma instituio financeira e depois de 5 mesesdepositar$250,00pormsdurante1ano,qualovalorqueeutereiaopor ocasiodoltimodepsito,sabendoqueataxadejuroadotadapelainstituio financeira de 1% a.m.? R: S = $ 4.354,92 19)Em uma renegociao de dvidas, ficou acertado que seria pago 10 prestaes mensais eiguaisde$300,00,comumacarnciade6mesesparaopagamentodaprimeira parcela.Qualovaloratualdessadvida,considerandoqueaoperaofoiefetuadaa uma taxa de juros de 2,5% a.m.? R: P = $ 2.320,66 20)Opreovistadeumcomputador$2.500,00.Avendedoraexigeumaentradade$200,00efinanciaosaldoem12prestaespensaiseiguais,ajurosde2,5%a.m., com2mesesdecarnciaparaopagamentodaprimeiraparcela.Qualovalordessas prestaes? R: R = $ 258,25. Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior40 6 Uso de Tabela Financeira AsTabelasFinanceiraspossibilitamumaformaalternativadeseobterosresultados solicitadospelaMatemticaFinanceira.Algunspodemconsiderarmaisfciloclculopor meio da Tabela Financeiro e outros no, mas o que importa que pelo mtodo convencional (frmulasnormais)oupelousodeTabelaFinanceiras,oresultadoomesmo,apenaso canal diferente. Observao: as siglas a serem utilizadas nas operaes com Tabelas Financeiras possuem as seguintes definies:

FPSfator de P para S, ou seja, clculo de S (montante) a partir de P (valor atual). FSPfator de S para P (clculo de P partindo de S). FRPfator de R para P (clculo de R partindo de R). FPRfator de P para R (clculo de R, partindo de P). FRSfator de R para S (clculo de S, partindo de R). FSRfator de S para R (clculo de R, partindo de S). NaTabela,ascolunasrepresentamosfatoreseaslinhasonmerodeperodos(n).Por exemplo, para um FSP (5%,8), identifica-se a Tabela relativa taxa de juros de 5%; nessa Tabela, localiza-se a coluna FSP e, por ltimo, a linha 8, onde acha-se o fator desejado. Formulas ConvencionaisFormulas Tabeladas 1)( )ni 1 P S + =S = P.FPS (i, n) 2)( )ni 1 S P+ = P = S.FSP (i, n) 3) ( )( )

+ +=i . i 11 i 1. R PnnP = R.FRP (i, n) 4) ( )( )

++=1 i 1i . i 1. P RnnR = P.FPR (i, n) 5) ( )

+=i1 i 1. R SnS = R.FRS (i, n) 6) ( )

+=1 i 1i. S RnR = S.FSR (i, n) Ex: P = 5.000,00 i = 3% a.m. n = 9 R =? R = 5.000,00.FRP(3%,9) R = 5.000,00. 0,12843 R = 642,15 As frmulas 1 e 2 so utilizadas nas operaes com Rendas com um s termo e nas operaes de Capitalizao composta e Desconto composto. Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior41 Exemplos (1) calcule o valor atual (P) dos valores abaixo, com i = 5%. P50050050050010001000100010001000 0123456789 5.000300300300400400400400 0123456789 (2) calcule as prestaes (R) das rendas abaixo, com i = 3% 15.000RRRRRR 0123456789 RRRRRRR10.000 0123456789 6.1 Interpolao AinterpolaoummtodoutilizadoparasecalcularumfatorquenotemnaTabela Financeira. Consiste em usar dois fatores existentes para se chegar ao fator desejado. Ex: P = 3.000,00 i = 2,7% a.a n = 6 FSP = ? Comonoh2,7%naTabelaFinanceira,encontramospormeiodaseguinteoperao (interpolao): 2,5 --------------- 1,15969 2,7 --------------- X 3,0 --------------- 1,19405 173434 , 1 S03436 , 0X 15969 , 15 , 02 , 019405 , 1 15969 , 1X 15969 , 13 5 , 27 , 2 5 , 2= ==>===>= S = P.FPS(2,7%, 6) -> S = 3.000(1,173434) -> S = 3.500,30 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior42 6.2 Exerccios com a utilizao de Tabelas Financeiras 1)Qual o montantede uma aplicaode$ 2.550,00, a uma taxa de 1,5%a.m. durante cinco meses? R: S = 2.747,07 2)Uma pessoa receber 10 prestaes iguais e mensais de $ 1.000,00, mas decide optar porreceberapenasumaprestaoaofinaldoperodo.Qualseressevalor, considerando uma taxa de juros compostos de 3% a.m.? R: S = $ 11.463,87 3)Qualovalordasparcelasdeumbemquecusta$25.000,00vistaequeser parceladoem12vezesiguaisemensais,cujataxadejurosde1,5%a.m.?(juros compostos) R: R = $ 2.291,99 4)Qualovalordodescontoracionalcompostodeumttulode$12.000,00quefoi descontado 7 meses antes do vencimento, cuja taxa era de 2% a.m.? R: Drc = $ 1.553,28. 5)Quanto se deve depositar mensalmente para que ao final de 3 anos possua $ 50.000,00, considerando que a instituio financeira pague 0,5% a.m? R: R = $ 1.271,09 6)Llian comprou um carro em 60 prestaes de $ 550,00, com taxa de 1,0% a.m, qual o valor vista do carro? R: P = $ 24.725,27 7)Umbemcusta$15.000,00vista.Casotalbemfosseadquiridoparceladoem6 prestaes mensais e iguais e considerada uma taxa de 1,5% a.m, qual seria o valor das parcelas? R: R = $ 2.632,87 8)Qual ser o valor atual de um ttulo de $ 150.000,00 se esse for resgatado 90 dias antes do prazo previsto, a uma taxa composta de 4% a.m.? R: $ 132.710,40 9)Uma dvida com valor nominal de $ 1.000.000,00 e vencimento daqui a 3 anos deve ser liquidadahoje.Considerandoumataxadejuroscompostosde10%aoano,qualo valor atual dessa dvida? R: Vrc = $ 751.314,80 10)Ao final de 2 anos, quanto devo retirar, se apliquei $ 20.000 a uma taxa de 3,5% a. m.? R: S = 45.666,57 11)Se efetuo um emprstimo de $ 3.500,00 a uma taxa de juros de 2% e desejo pag-lo em 8 pagamentos mensais e iguais, qual ser o valor das prestaes? R: R = $ 477,80 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior43 12)Preciso dispor de $ 10.000,00 daqui a 12 meses para viajar com a famlia. Quanto devo aplicar mensalmente, a partir deste ms, em uma instituio financeira que pague juros de 1,5% a.m. para que eu tenha essa importncia por ocasio do ltimo depsito? R: R = $ 766,80 13)Umfinanciamentode$100.000,00concedidoaumafirmaparaserpagoem4 prestaes semestrais iguais, taxa de 20% a.s. Qual o valor das prestaes? R: R = $ 38.628,90 14) Umcarrovendidoem36parcelasmensaiseiguaisde$599,00.Sabendoque utilizada uma taxa de 1,5% a.m., qual seria o valor do carro vista? R: P = $ 16.568,75 15)Fernandopretendedepositarmensalmente$450,00,durante6meses,emumbanco que paga juros de 3% a.m. Qual o montante que Fernando dispor por ocasio do ltimo depsito? R: S = $ 2.910,78 16)Quantotereiquedepositarmensalmente,emumainstituioquepagajurosde2,5% a.m., para que, ao final de 8 depsito, possua $ 10.000,00? R: R = $ 1.144,67 17)Joo depositou $ 5.000,00 em um banco que rende juros de 2% a.m. Aps 6 meses, ele decideretirarseudinheiroem12parcelasmensais,iguaisesucessivas,vencendoa primeira 30 dias aps.Considerando a mesma taxa de juros para todo operodo, qual o valor das parcelas que sero sacadas? R: R = $ 532,48 18)Ana comprou uma casa de $ 80.000,00 para ser financiada em 36 prestaes mensais e iguais.Qualserovalordecadaprestao,sabendoquesercobradaumataxade juros de 1,5% a.m.? R: R = $ 2.892,19 19)Comprei um carro financiado em 24 prestaes mensais de $ 800,00. Qual o seu valor vista, sabendo que foi usada uma taxa de 2% a.m.? R: P = $ 15.131,14 20)Marta,necessitandodedinheiro,descontaumtitulode$25.000,003mesesdo vencimento,aumataxae2%a.m.Qualovalordodescontoracionalcompostodessa operao? R: Drc = $ 1.441,94 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior44 7 Inflao Inflao a aumento generalizado dos preos. A inflao desvaloriza o dinheiro no tempo, j quediminuioseupoderdecompra,porisso,torna-senecessriofazerumacorreo monetria, a fim de recuperar o poder de compra de um determinado valor. Taxa de mercadoi Taxa de jurosTaxa de juros realr Taxa de inflaoj 7.1 Frmulas ( )( ) 1 j 1 r 1 i + + =

( )( ) j 1 r 1 i 1 + + = +

1j 1i 1r ++=

1r 1i 1j ++= Ex: Casovocefetueumemprstimode$10.000,00,taxade3%aoms e,por ocasio de pagamento, constate que a inflao de perodo (um ano) foi de 34%, qual ter sido a taxa de juros real dessa operao? P = $ 10.000,00 i = 3% a.m. n = 12 ( ) 100 , 000 . 1061 , 257 . 14i 1PSi 61 , 257 . 14 03 , 1 00 , 000 . 10 SN12 = = = = i = 0,42571 i = 42,5761% j = 34%a.a r = ? 34 1425761 0 1++=,r r = 6,4% a.a Exemplos (1)Porumemprstimode$15.000,00,deve-sepagar$19.000,00em1ano.Sea inflao ao final do perodo for 37%, qual ser a taxa de juro real dessa operao? (2)Seeuaplicar$3.000,00e resgatar$3.700,00aofinalde1 ano,qualter sidoa taxa real de juros, se nesse perodo for constatado as seguintes taxas de inflao: 1 trimestre 3,4%; 2 trimestre 3,11%; 3 trimestre 2,75%; 4 trimestre 3,37%? Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior45 7.2 Exerccios sobre Inflao 1)Uma aplicao de $ 5.000,00 rendeu juros de $ 1.500,00 no prazo de um ano. Sabendo-se que neste perodo a taxa de inflao foi de 25%, pergunta-se: qual foi a taxa de juro real obtida pelo aplicador? R: r = 4% a.a. 2)Um indivduo aplicou $ 540.000,00 por trs meses. No mesmo perodo, a inflao foi de 20%. Qual valor do resgate para que a taxa real seja nula? R: S = $ 648.000,00 3)Martaaplicou$10.000,00eaps2anosrecebeu$3.600,00dejuros.Considerando que a inflao no perodo foi de 20% a.a., qual a taxa de juros real ganha? R: 0,97% a.a. 4)Umaaplicaode$10.000,00rendeu$2.000,00emjuros,durante1ano.Calculea taxa de juros real da aplicao sabendo que a inflao do perodo foi 15%. R: r = 4,3% a.a 5)Pedro aplicou $ 1.000,00 em CDB pelo perodo de 2 anos e, ao final do perodo, obteve o montante de $ 1.322,5. Qual a taxa de correo monetria anual sabendo que o CDB rende juros reais de 10% a.a R: j = 4,5% a.a 6)Se a taxa de mercado for 25% a.a., qual ser a taxa de juros real se a taxa de inflao for de 19% a.a.? R: r = 5,04% a.a 7)Marcos aplicou $ 30.000,00em um fundo de investimentos e,aps 2anos, resgatou o montante de $ 38.500,00. Considerando que a inflao do perodo foi de 11%, qual foi a taxa de juro real anual da aplicao? R: r = 2,05% a.a 8)Umgrupodeinvestidoresaplicou,porumperodode24meses,umcapitalde$10.000,00,tendoresgatadoomontantede$16.500,00.Ainflaodoperodofoi estimada em 3,6% a.m. Qual a taxa real de juros mensal dessa operao? R: r = 1,44% a.m. 9)Umaaplicaode$3.200,00proporcionouoresgatedomontantede$5.100,00num perodo de 8 meses, a uma taxa de juros real de 2% a.m. Pergunta-se: qual foi a taxa de inflao mensal desse perodo? R: j = 3,92% a.m 10)Uminvestimentode$15.000,00rendeuumjuronovalorde$3.600,00,aps3anos. Qual a taxa de inflao anual do perodo, se a taxa real de juros foi de 15% a.a.? R: j = 6,58% a.a 11)Se a taxa de juro real operada por uma determinada financeira de 2% a.m., Qual dever ser a taxa de juro cobrada pela mesma se a inflao estimada para os prximos meses for de 1% a.m.? R: i = 3,02% a.m. Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior46 12) CarlosviajouparaaEuropaparafazerseuCursodeMestrado.Entretanto,antesde viajarfezumaaplicaode$4.500,00eobtevejurosde$6.300,00numprazode2 anos.Carlosficoucuriosoparasaberqualorendimentorealdessaaplicaodepois quesoubequeataxadeinflaodoperodofoide17%.Calculeataxadejuroreal dessa operao. R: r = 19,66% nos dois anos 13)Thiago aplicou $ 2.300,00 numa caderneta de poupana e aps 6 meses percebe juros novalorde$700,00.Considerandoqueataxadejurorealfoide1,75%a.m.,quala taxa de inflao mensal desse perodo? R: j = 2,73% a.m. 14)Uma casa esta sendo vendida por $ 73.000,00 vista ou parcelada em 60 pagamentos mensais e iguais, vencendo o primeiro pagamento 1 ms aps a compra. Considerando queoproprietriodesejajurosreaisde8,5%a.a.equeataxadeinflaoanual prevista para os prximos anos seja de 15% a.a., calcule o valor das prestaes. R: R = 2.030,30 15)A taxa de juros para aplicao de curto e mdio prazos em um banco de 40% a.a. Que remunerao real recebe o cliente, se a inflao for de 30% a.a? R: r = 7,69% a.a. 16)Que taxa de inflao anual deve ocorrer para que um aplicador ganhe 12% a.a. de juros reais, caso a taxa nominal seja de 25% a.a.? R: I = 11,61%a.a. 17)Porumcapitalde$6.000,00aplicadopor2anos,oinvestidorrecebeu$5.179,35de juros. Qual a taxa de juros real ganha, se a inflao for de 30% a.a.? R: r = 5% a.a. 18)CarlarecebeuseuFGTSeemprestouovalorrecebidoaumataxade10%a.a.Qual dever ser a taxa de inflao para que ela obtenha uma taxa real de jurode 4% a.a.? R: j = 5,77% a.a. 19)Umaaplicaode$4.000,00rendeujurosde$500,00em1ano.Sabendo-seque nesseperodoataxadeinflaofoide10%,qualfoiataxadejurosrealobtidapelo aplicador? R: r = 2,27% a.a. 20)O capital de $ 850,00 esteve depositado durante 6 meses em uma instituio financeira queoperaaumataxadejurosreaisde2,5%aosemestre.Sabendoqueacorreo monetria semestral foi de 3,4% qual foi o montante auferido no final do perodo? R: S = $ 900,87 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior47 8 Sistemas de Amortizao de Divida Soutilizadosparafinanciamentodelongoprazo.Normalmentecomtaxadejurosreais, comopagamentocorrigidomonetariamentenadatadovencimento,pelainflao acumulada do perodo (taxa ps-fixada). Os so juros calculados sobre o saldo devedor. Principais Sistemas de Amortizao: Sistema Hamburgus (Sistema de Amortizao Constante SAC) Sistema FrancsTabela Price 8.1 Sistema de Amortizao Constante SAC + = j a Rk Frmulas: 1) nPaK= 2) K Kj a R + = 3) a SD SDK K =1 4) 1 =k KSD . r j Ex: P = $ 20.000,00; n = 5 pagamentos anuais; r = 10% ao ano 00 , 000 . 4500 , 000 . 20aK= = PLANILHA K KSDKaKJKR020.000,00------------ 116.000,004.000,002.000,006.000,00 212.000,004.000,001.600,005.600,00 38.000,004.000,001.200,005.200,00 44.000,004.000,00800,004.800,00 5-----4.000,00400,004.400,00 Onde: k =perodo a =amortizao J =Juros R =Prestao SD= Saldo Devedor Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior48 8.2 Sistema Francs + = j a R Frmulas: 1) ( )( )

++=1 r 1r . r 1. P Rnn 2) k k kj R a = 3)a SD SD1 K K = 4) 1 K Kr.SD j= Ex: P = $ 20.000,00; n = 5 pagamentos anuais; r = 10% ao ano ( )( )95 , 275 . 51 1 , 0 1i . 1 , 0 1. 000 . 20 R55=

++= PLANILHA

8.3 Tabela Price

Corresponde ao Sistema Francs, todavia com as seguintes alteraes: 1)A taxa dada em ano, porm a capitalizao mensal. 2)As amortizaes so mensais.

8.4 Exerccios sobre Sistemas Amortizao de Dvidas 1)Opreovistadeumacasa$100.000,00.Seessacasaforadquiridaparaser liquidada pelo SAC, em 5 prestaes anuais, a juros de 10% a.a., qual ser o valor da terceira prestao? R: R = $ 26.000,00 K KSDKaKJKR020.000,00--------------- 116.724,053.275,952.000,005.275,95 213.120,513.603,541.672,415.275,95 39.156,13.963,901.312,065.275,95 44.796,324.360,26915,665.275,95 5-----4.796,32479,635.275,95 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior49 2)Qual o valordasprestaes,no sistema Francs,deum emprstimo de $18.000,00, sendo amortizado em 5 prestaes anuais, com taxa de 9% a.a.R: R = $ 4.627,66 3)Umemprstimonovalorde$2.000.000,00concedidotaxadejuroscompostosde 10%a.a.,paraserreembolsadoem5anospormeiodeprestaesanuais,sendoa primeiravencvelaofinaldoprimeiroano,pelosistemaSAC.Qualovalordaltima prestao? R: R = $ 440.000,00 4)MontarumaplanilhadeumfinanciamentoefetuadopeloSACrelativoaosdados indicados a seguir: P = $ 64.000,00; n = 8 pagamentos anuais; e i = 12% a.a. R: ltima prestao: $ 8.960,00 5)Umemprstimode$30.000,00seramortizadopeloSistemaFrancsem8parcelas anuais, a uma taxa real de juro de 5% a.m. Qual o valor do saldo devedor no 3ms? R: SD = $ 23.559,60 6)Qual ser o valor da 4 prestao de um financiamento de $ 20.000,00, com juros de 10% a.a., em 4 prestaes anuais, segundo o sistema SAC?R: R = $ 5.500,00 7)Montar as planilhas do Sistema Francs do financiamento abaixo: P = $ 70.000,00 n = 7 pagamentos anuais r = 7% ao ano. R: a8 = 12.138,99 8)Umemprstimonovalorde$10.000seramortizadopelaTabelaPrice,emde12 prestaes meses, a uma taxa de 15% a.a. Indique o valor da 4 amortizao. R: a4 = $ 807,11 9)Monteaplanilhadeumfinanciamentode430.000,00,efetuadopeloSAC,aser amortizados em 4 parcelas anuais, a juros de 12% a.a. R: R4 = 8.400,00 10) Construa a planilha do financiamento efetuado pelo Sistema Francs, de acordo com os dados apresentados a seguir: P = $ 40.000,00; n = 5 pagamentos anuais; r = 15% a.a.R: a5 = 10.376,00 Matemtica Financeira Apontamentos de Aula e Exerccios Professor Aldery Silveira Jnior50 9 Emprstimos com Correo Monetria CorreoMonetriacorresponde recuperao dopoderdecompradamoeda emfuno dadesvalorizaoprovocada pelainflao,poressarazo,aCorreoMonetriaequivale justamente taxa de inflaoCM = j.P AtualizaoMonetriacorrespondeaocapitalinicial,adicionadaCorreoMonetria,e calculada pela seguinte frmula: AM = (1 + j).P Exem