Manual de Formulas e Tabelas Matematica 2

2a ediçic

Murray R. Spiegel

Abrange desde a matemática elementar até a avançada

Contém mais de 2.400 fórmulas e tabelas

Prático e fácil de consultar

\

f t *

1*

Prefácio

Este manual reúne uma coleção de fórmulas e tabelas matemáticas que será valiosa para estudantes e pesqi sadores nas áreas de Matemática, Física, Engenharia e outras ciências. Tivemos o cuidado de incluir some te aquelas fórmulas e tabelas que provavelmente serão mais utilizadas, ignorando resultados altamente esp cializados que raramente serão necessários. O material apresentado neste manual de fácil utilização prove de assuntos profundamente enraizados em cursos matemáticos e científicos universitários. Na verdade, a pi nieira edição ainda pode ser encontrada em muitas das bibliotecas e dos escritórios e, muito provavelmenl t.-m acompanhado seus donos de emprego em emprego, desde sua época de faculdade. Assim, este manual s li reviveu ao teste do tempo (enquanto a maioria dos outros livros da faculdade já foi jogada fora).

Esta nova edição mantém o mesmo espírito cia primeira, eom as seguintes alterações. Em primeiro lugi retiramos muitas tabelas desatualizadas que, hoje em dia, podem ser facilmente obtidas com simples calc ladoras e omitimos algumas fórmulas raramente utilizadas. Além disso, reorganizamos a tabela de integr em seções numeradas para facilitar a busca. A principal mudança foi a inclusão de capítulos sobre Anál Numérica e Estatística; estes dois assuntos são, agora, ferramentas básicas na maioria das aplicações cien ficas e das Engenharias, sendo que a Estatística aparece tanto nas ciências físicas quanto sociais, inclusj na Educação.

Os tópicos abordados variam do básico ao avançado. Os tópicos básicos incluem os de Álgebra, Geou tria, Trigonometria, Geometria Analítica, Probabilidade e Estatística e Cálculo. Os tópicos avançados cluein os de Equações Diferenciais, Análise Numérica e de Análise Vetorial, como séries de Fourier, funçi beta e gama, funções de Bessel e Legendre, transformadas de Fourier e Laplace e funções elípticas e outi funções especiais importantes. Esta ampla cobertura de tópicos foi adotada para fornecer, em apenas um 1 lume, a maioria dos resultados matemáticos importantes que o estudante e o pesquisador necessita, indept den-iemente de seu particular campo de interesse ou nível de conhecimento.

Es»te livro está dividido em duas partes. A Parte A apresenta fórmulas matemáticas junto com algum < tro material, essencial para o devido entendimento e aplicação das fórmulas, como definições, teoremas, g

, í lagramas, etc. A Parte B apresenta as tabelas numéricas, que incluem as distribuições estatísticas 1

cZ *rin^rr r l f ' ^ « p e e i « . (Bessel, Legendre, elípticas, etc.) e f.çoe, financeiras (montante composto e valor presente de uma quantidade e anuidade).

- t o r e s e editoras (por exemplo, o agente literário do fa,\ MeGraw-Híü deseja agradecer ao« _VCI j*Yates, F.R.S. e Oliver and Boyd Ltd., de Edinburgh, n l

rido sir Ronald A. Fischer ^ '^ ^ f o r B w l o g i c a i , Agricultural and Medical Research) que der»m Tabela ffl de seu üvro Srami.ro/ em várias tabelas deste manual. As r e fe r g ®permissão para adaptar dado» e se tabelas c o r r e s p o n d e n t e s .

apropriadas a tais fontes da Coleção Schaum na McGraw-Hill, especialmente Barb*.

r , por sua cooperação dedicada.

JohnlwTemple University

Sumário

Fórmulas

C o n s ta n te s , P ro d u to s e F ó rm u la s E lem en tares1. Alfabeto Grego e Constantes Especiais2 . Produtos e Fatores Especiais3. Formula Binomial e Coeficientes Binomiais4 . Números Complexos5. Soluções de Equações Algébricas6 . Fatores de Conversão

G e o m e tr ia7. Fórmulas Geométricas8 . Fórmulas da Geometria Analítica Plana9. Curvas Planas Especiais

10. Fórmulas da Geometria Analítica Espacial11, Momentos de Inércia Especiais

F u n ç õ es T ra n s c e n d e n te s E le m e n ta re s12. Funções Trigonométricas13. Funções Exponenciais e Logarítmicas14. Funções Hiperbólicas

> C álcu lo15. DerivadasJ*V16/ Integrais Indefinidas

W Integrai. Indefinidas Especiais18. Integrais Definidas

11

13

151719222527

293138445057

5 9

617174

81838892

127

SEÇÂOV -9

II SumAWIO

SEÇÃO VI

SEÇÃO VII

SEÇÀO VIII

SEÇAO IX

SEÇÀO X

SEÇÃO XI

SEÇAO XII

Equações D iferenciais e A nálise Vetorlal19. E .IIU C& » Diferenciai» BÍHica» e « 1« S o lu ç õ e .

2 0 . Form ulas «lu Análise Vetorial

Séries2 1 . Series de 'lerm os Constantes

2 2 . Séries de Taylor2 3 . Nil morou ih* Bernoulli e de Euler

' 24. Series de Fourier

Polinóm ios e Funções Especiais25. A Funyào Gam«26. À Funçio Beta27. Funções de Bessel28. Fun voes «le I rendre e de I gendre Associadas29. Polinómios de k(ermite30. Polinómios «le* 1 .aguerre e de I.aguerre Associados31. Polinómio# de Chebyshev32. Funçôes Hipergeométriras

Transform adas de Laplace e de Fourier3 3 . Transform ada* de Laplare3 4 , Transformadas de Fourier

137139142

157159163167169

175177180181193198200204207

209211224

Funções Elípticas e O utras Funções E specia is 22935. FiinçiVi Elíptica*3 6 . O utra* I* unções K npenak

Desigualdades e Produtos Infinitos37. Desigualdades38 . Produtos Infinitos

Probabilidade e Estatística39. Kstatfstira Descritiva40. Variáveis Aleatória«11 Distribuições de l’ rohahilidad«

M étodos N um éricos42. Interpolação43. Ouadrattira

44. Soluçfcj de Equaçftoi Nfío lineares

231236

239241243

245247255259

261263267269

45. JMtodo. Numérico, paru E q u ^ fe , Diferen.iai» Ordinárias &46. Mátodo. Numeric«. |.ara Equnçfl». DifWoncinis ParciaU 273

M,t°dos Iterativos para Sistemas Lineares - 2?6

S umário

PARTE B TABELAS 279

SEÇÃO Funções L o g a rítm ic a s , T rig o n o m é tric a s e E x p o n e n c ia is1. Logaritmos Comuns2. Seno (em graus e minutos)3. Cosseno (em graus e minutos)4. Tangente (em graus e minutos)5. Conversão de Radianos para Graus, Minutos e Segundos6. Conversão de Graus* Minuto* e Segundos para Radianos7. Logaritmos Naturais ou Neperianos8. Função Exponencial Crescente9. Função Exponencial Deerescente10. Integrais Exponencial, Seno e Cotseno

281

283285286287288289290292293294

SEÇÃO II F a to ria l, F u n ç ã o G am a e C o efic ien tes B inom iais11. Fatorial12. Função Gama13. Coeficientes Binomiais

295

297298 300

SEÇÃO III F u n çõ es d e B essel14. Funções de Bessel / #(jc)15. Funções de Bessel J,(x)16. Funções de Bessel Y0(ar)17. Funções de Bessel Y,(x)18. Funções de Bessel Ij x)19. Funções de Bessel í.(x)20. Funções de Bessel Kq(x)21. Funções de Bessel /£,(*)22. Funções de Bessel Ber(x)23. Funções de Bessel Bei(x)24. Funções de Bessel Ker(x)25. Funções de Bessel Kei(x)26. Valores Aproximados de Zeros de Funções de Bessel

303

305305306306307307308308309309310310311

SEÇÃO IV

SEÇÃO V

Polinóm ios de L e g e n d re27. Polinómio* de Legendre P„(x)28. Polinómios de Legendre P (cos 9)

313315316

Integrais Elípticas29.30.31.

Integrais Elípticas Completas de 1“ e 2" Espécies Integrais Elípticas Incompletas de 1* EspécieIntegrai* E líp t ica s Inromplclus de 2" Espécie

317319320321

üi

SEÇÃO VI Tabelas Financeiras32. Montante Composto33. Valor Presente cie um Montante34. Montante cie uma Anuidade35. Valor Presente de uma Anuidade

10 SUMARIO_________ _________ _______ _

SEÇÃO VII Probabilidade e Estatística36. Áreas sob a Curva Normal Padrão37. Ordenadas da Curva Normal Padrão38. Valores Percentis t da Distribuição t de Stu ent39. Valores Percentis x) Distribuição J ( Q u i - Q u a d r a d o )

40. Valores do 95“ Percentil da Distribuição F41. Valores do 99u Pereentil da Distribuição t42. Números Aleatórios

ÍNDICE DE SÍM BO LO S E NOTAÇÕES ESPECIAIS

ÍNDICE

ParteF ô r m u l

/

A LFA B ETO G R E G O

NomeGrego

Letras GregasMinúsculas Maiúsculas

Alfa a ABeta BGama y rDelta s AEpsílon e EZeta c ZEta Tl HTeta e ©lota i ICapa K I KLambda X AMi L M

Minúsculas MaiúsculasNomeGrego

Ni VXi 1 g

A

Omicron 0Pi nRô

__________________PSigma aTau L TIpsílon L vFi _____ 0Qui

__________________2Pd "

A

Omega_________________

ú)

e , T a b e l a s M a t e m á t ic a s16 ^U A LD LFôeM U t^ --------

C O N S T A N T E S E S P E C IA IS

, j - 3,14159 26535 80708 28040 264J ^

1 2 e - 2,71828 18284 50045 28586 0 2 8 7 ... - 1*2 [ 1 n. base natural dos logaritmos

1.3 n/2 = 1,41421 35628 78005 0488 . • •

1.4 V ã - 1,73205 08075 68877 2 0 8 5 ...

1.5 VE - 2,23606 79774 99789 6964 ...

1.6 \ /2 =■ 1,25992 1050 ...

1.7 V'S - 1,44224 9 5 7 0 ...

1.8 t á - 1,14869 8 3 5 5 .. .

1.9 V'S - 1,24573 0 9 4 0 ...

1.10 «* = 23,14069 26327 79269 0 0 6 ...

1.11 ij* - 22,45915 77183 61045 47342 7 1 5 ...

1.12 e* = 15,15426 22414 79264 1 9 0 ...

1.13 logto2 - 0,30102 99956 63981 19521 3 7 3 8 9 ...

1.14 logio3 - 0,47712 12547 19662 43729 5 0 2 7 9 ...

1.15 logroe “ 0,43429 44819 03251 82765...

1.16 logtow- 0,49714 98726 94133 85435 12683...

1.17 log, 10 - ln 10 - 2,30258 50929 94045 08401 7991.

1.18 log*2 = ln 2 - 0,69314 71805 59945 30941 7 2 3 2 ...

1.19 log,3 - ln 3 - 1,09861 22880 08109 89139 5245 .

1.20 y = 0,57721 56849 01532 86080 6512 ... - coûtante do Eulm

- l j m l Í + - + - + . n n

\ 4 f j l i

1.21 f f » - 1,78107 24179 90197 9852 ... [yw 1.2011.22 V f *= 1,84872 12707 00128 1408.1.23 Vw - T(|) - 1,77245 38509 0551« 02729 8187

onde r ê * função gama [ ver 25 .11

rt|) » 2,67898 85347 07748.. 1.25 n i) - 3,02580 99082 219081*26 1 radiano ■ 180*/« ■ *<•157 u ' nm 57,20577 95180 8232 •

tlOft

2.1 (ac + y)2 = ar + 2xy + y-

2.2 (* - y)* = x* - 2xy + y*

2.3 (x + y)3 = x3 + 3a*y + 3xtf + y3

2.4 ( x - y ) ’ = x®- 3 * ^ + Sxy2 - y3

2.5 (* + y)4 = x4 + 4x3j/ + fia^y2 + 4XJ/3 + y42.6 (* - y)4 = x4 - 4xsj/ + 6 x V - 4X2#3 + y*

2.7 (x + y)s = x® + 5x4y + lto fy2 + 1 0 x V + 5xj/4 + y82.8 (a:- y)8 = x* - 5x*y + I0x3y2- lQ x V + 5xi/4- y °

2.9 (x + y)6 = x8 + 6x®j/ + 15x4y2 + 2Qary + lSa^y4 + Sxy8 + ya

2.10 (x — y)a = x ° — 6x*y + 15x*y2 - 20x?y3 + 15 x V - 6xy* + y°Os resultados de 2.1 a 2.10 são casos especiais da fórmula binomial [ver 3.31

2.11 x* - y2 = (x - y)(x + y)

2.12 a ^ -y 3 = (x -yH a^ + xy + y2)

2.13 x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2)2.14 x4 - y* = (x - y)(x + y)(x* + y2)

2.15 x8- ! /* - (* —y)(x4 + x*y + xay2 +a^3 + y4)2.16 a + y8 «a (x + y)(x4 — a *y + a^y2 - ay3 + y4)

2.17 x* - y* - ( x - y)(x + y)(x*+xy + y ^ x 2 - x y + y2)

2.18 x4 + x2}/2 + y4 = (x* + xy + y2)(x2 — xy + y2)2.19 x4 + 4y4 - (x2 + 2sy + 2y*Ha? - 2xy + 2y2)

d„ lórmul„ >ci„ , , Jo d>di< iegu.nt(!<e um inteiro po-

....... . r r '■ ■= Tabelas Matemáticas

2 .2 0 a?n+1 — y2"*1 — (x — l /K * 3" + as2" " 1» + a;3" ‘ V + * ' ' + ^

- (x2ir 2

# ) [ * a - 2 x 2/ c o s ^ y + *r

2nir o■ I x 2 - 2xy cos-------- ~ + y

4 ir1 1 _____________. 2

+ *

• •

2n + 1

2»«-1*. _l ,*.2»-2^2w + ar + 1/2nj

(x + y) íx 2 + 2xj/ cos-

• • • í Xa + 2xy cos

2 ir 2 + Ma

2» + 1 2mr

2n + 1

4 ir^ + 2 w co« 5 ^ Y + »

+ y

2.22 Xa" - y2" = (x - j/)(x + y)(xn * + xn~ay + x" aya + " — 2I / + * " V

(x - y )(x + 2/) ^x2 - 2xy cos^ + y2 j ^x32 ‘ir „

2 x v c o s — + yn

• •, „ ( n - l j i r , ^a r — 2xy cos--------------- h y *

n

2.23 x2" + 1/*" = 1Tx2 + 2x1/ cos----- H2w

2Z2 j íx 2 + 2x j/co s^~ + j /

• •o (2n - l)7r x2 + 2xj/ cos---------------4-1/2

Fórmula Binomial Coeficientes Binomiais

FA TO R IA L D E nPara n = 1, 2 , 3 , ...,fatorial d e n t denotado e definido por:

3.1 til — 1 • 2 • 3 • • • • nZerofatorial é definido por

3.2 0! = 1Alternativamente, podemos definir fatorial de n recursivamente por:

0! = 1 e n! = n • (w - 1)!

Exemplo: 4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24,5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 5 • 4! * 5(24) = 120,8! = 0 * 5! = 6(120) = 720

F Ó R M U L A B IN O M IA L PARA n IN TE IR O P O S IT IV OPara « - 1 , 2 , 3 , . . . ,

3*3 (* + VT = a* + nx” - li/ + — ~~ a + w ( w - l ) ( n - 2 )2! * g]--------- V + *** + t f

f v t a í í ™ " 1“ “ * P° de " “ “ " dida * ’ * ' » '• 1« »Exemplo:

a uma série infinita

(«) (a - 2b)* = a* + 4a*(—2b) + 6 a \ -2 b f + 4a(-2bV> + í-o m « 4 0A q u i, ï - a e y * -2 6 . ( 2b) - a ~8a b + 24a2b2 - 32ab3 + 16b*

(b) Ver Fig. 3-1 (a).

3.4

3.5

COEFICIENTES B INO M IAISA Fórmula 3.3 pode ser reescrita na forma

ní * + * r - * " + i GK-v(

VI

*y-v+

onde os coeficientes, denominados coeftcientes binomi

- lM n - 2)— ( n -f c + j> _ ----- - --------- ( *----------- r; kl(n -k ) l \ n -n

f c

f c

Exemplo:9 \ 9 - 8 7 * 6

* 1-2-3-4= 126,

12

512*11*10‘ 9 ‘ 8

1-2-3-4-5= 792,

107

103

109-81-2-3 = 121

nObserve que [ I tem exatamente r fatores tanto no numerador quanto no denominador.

Os coeficientes binomiais podem ser arranjados numa disposição triangular de números fluB i triângulo de Pascal, como mostrado na Fig. 3-1(6). 0 triângulo possui as duas seguinte? propriedades

(1) O primeiro e o último número em cada linha é 1.

(2) Todos os outros números no triângulo podem ser obtidos adicionando os dois números que diretamente acima do número. Por exemplo:

10*4 + 6, 15 = 5 + 10, 2 0 = 1 0 + 1 0

A propriedade (2) pode ser especificada como:

3.6 n nk+ 1

w +1 Jc+ 1

(«+ * )• - I (a+ 6)'=: a + b

(o + b)2= J + iab + tf(a + 6)J= a3 + 3o*i + 3 +

a* + A^b + éa V + 4,^3 + b4

(a + b) — a + fc& + 1 5 a V + 20aV + l5 «V + 6ai5

(a + i>)4= s

(a)• »

11 1

1 2 1 1 3 3 1

11 6 1

Fig. 3-7(*»

3.7

3.8

PROPRIEDADES DE CO EFIC IP w t c «a lista a seguir dá propriedade, «dic B ,N ° M lA I S

3.9

3.10

n0w0nn

+ , ! K ) - - C - rlonaxs dos coeGei

entes binomiais:

n1 + n

2nn - 0

+ n + ln + n + 2

n + ... + ( n + m

o ) + Í 2 l +n

n= i

n + i+ • * • 2M-1

C a p ítu l o 3 • F ó r m u la B inom ial e C o s f íc íe n te s B imomiass 21

» . t y Q . ç . — r -

>■»' :)*■♦ov* o**- cr- (í3.i3 i * n * v m i ” u / m+ "

o / Vp/ \ i / \p- 1 / \ p )\ o ) \ p

3.M « ) ( " ) + ® ( ô ) H 3 ) ( " ) + ■ • + (•.)(" ) - « -

3.15 Q - o

FO R M U LA MULTINOMIALSejam nlJ nr inteiros não*negativos tais que n, + « 2 + ••• + wr= n. Então a seguinte expressão, denominada coeficiente multinomial* é definida por:

3.16 ( w \ _____ —\ *i, fti,»• fir / nt!na! - * •HjJ

/ 7 \ 7! / 8 \ 8!Exemplo: f „ ) = — — = 210, ( | ---------------- 420r \ 2 , 3, 2 / 2 !3 !2 f \ 4 , 2 , 2 , 0 / 4 !2 ! 2 ! 0 !

O nome coeficiente multinomial vem da seguinte fórmula:

3,17 (* i+ *2 + — + jc"*a5ã* • * * £?r«*•

onde a soma, denotada por E, é tomada sobre todos os coeficientes multinomiais possíveis.

4.1

4.5

D EFIN IÇ Õ ES ENVOLVENDO NÚM ERO S C O M P L E X O SUm número complexo z é, geralmente, escrito na forma

z = a + bi

onde a e ò são números reais e i, chamada unidade imaginária., tem a propriedade i = — 1. Os números reais a e b são chamados partes real e imaginária de z — a + biy respectivamente.

O conjugado complexo dezé denotado por ê e é definido por

a + bi = a -b i

Assim, a + bie a -b i são conjugados um do outro.

IG UALDADE DE NÚMEROS CO M PLEXO S

a + b i-c + di se, e somente se, o - c e f c - d

A R ITM É TIC A DE NÚM EROS C O M PLEXO SFórmulas para adição, subtração, multiplicação e divisão de

4.2 (a + W) + (c + di) - (a + e) + (b + d)i “ meros complexos

4.3 (a + bi) ~(c + di) = (a - c) + (b - d)i

4.4 (a + bi)(c + di) - (ac - bd) + (<,<* + ^

seguem

a + W = a + W .c -M _ « + Mc+íIt c+dí « - * c’ +d*

Observe que as operações acima s5o ob.. .por - 1, onde quer que isso ocorra. USando «« regras n . • J0Í

g normaig da Álgebra e subsütuW«0

GapItm w 4 •23

Exemplo: Suponha que * - 2 + 3 i* W - 2 ^ l»niíU

z + w m(2 I- 8fl + (ô 21) m 8 I f* i •*/ * 2 / * 7 + 1

mv * (2 + 80(8 “ ao - 10 + 1B< 1/ *<* - ' , u

I * 2T 3Í - a - Bí r w - n • 5 t 2/

W

*f t -2 / (5 2/H2 :I0 _ 2 + 8f " (24 í»/)(2 M/J

l 10/

1.1

1 lí»13 I8

/

4.6

PLANO C O M PLEXOOs números reais podem ser representado» por ponto» em uma ruU# diamada J t i . ríifr J fd e Ar-

o . „úm ero, com pl.x ,. pod.m - r r .p r™ n U ,l.. .................... ................. ......... d ^ ra m a d . Argand ou p ia » . 5 J . u m o o», ................ ,1» ,M,W « « » '/* * »■ M -‘ > W « « « 1» ; ° P™to (a, 6) no plano representar o número complexo i * « H W- •'$,fr « l ® P % ° Pon 0 * ' ’ vetorsenta o número complexo a - 3 + 4i. O námaro rorn ,.!«» po.le w r t«rnJ>ém int«rpret«do como umda origem Ö ao ponto P. t â t ^

O valor absoluto de um número complexo * • a * W# c»crito |0|# é droit # por»

|*| * y/ãFTT? » V 3

Observamos que |*| é u distância da origem () ao ponto * no plano complexo.

P (*,V)(r,ê)

♦ X

Flg. 4-1 Flg. 4-2

F O R M A P O LA R DE N Ú M E R O S C O M P L E X O SO ponto P, na Fig. 4-2, com coordenaria» ( * , y), repre»enlM o número complexo * - x f y 4 . ( ) ponto P tam bem pode ser representado pelas coordenada* palarvn (r, 0). Como * - r eo» 0r y - r sen (9, temos

4,7 X - * + iy m r(co* 0 + < sen 0)

chamaria de forma polar rio número complexo. Freqüentemente, chamamos r ** |*| • lo e 0 a amplitude de * <■ x + yi.

O rnódu

4.8

4.9

M U LTIPLIC A Ç A O E D IV ISÃ O DE N U M E R O S C O M P L E X O S N A F O R M A P O L A R{rjCeos0i + <sen0I)l(r3(co»0a + <»enM - r,ra|eoii(0, i o j i ísen(ât * 0,)|

r^coadi + ísendj) rx mm U H B am n r r r m — r r • “ - #a) ♦ <»mío, 0*11r*ooê 0a + í sen 0a) r« *'*

Manual de Fórmulas e T abelas Matemáticas

4.10

4.11

TEO R EM A DE DE M OIVREPara qualquer número real p, o teorema de De Moivre afirma que.

[r(cos 6 + tsenfl)P - r '( cos pO + i sen pS)

RAÍZES DE NÚM ERO S COM PLEXOSSeja p = l/n, onde n é qualquer número inteiro positivo. Então 4.10 pode ser escrito

0+Zkw 1 fl+2fcir[r(cos 0 + i sen 0)]Vu = rVn ( cos— - — + tsen ^

onde k é qualquer número inteiro. A partir desta fórmula podemos obter todas as n raízes enésimas de um número complexo, tomando k = 0 ,1 , 2 , . . . , n - 1.

Soluções de Equações Algébricas

E Q U A Ç Ã O Q U A D R Á T IC A : ax2 + bx + c - O

e , o , - -i> ± Vb* - 4acj . I aoluçoes: x = -----------------------v 2 a

Se a, ò e c são números reais es e D = ò2 - 4ac é o discriminante, então as raízes são:

(i) reais e desiguais se D > 0(ii) reais e iguais se D = 0

(iii) conjugadas complexas se D < 0

5.2 Se Xj, #2 são as raízes, então, xx + x2 = — ò/a e XjXj9* c/a *

3E Q U A Ç A O C U B IC A : # + « j * + a2x + a3 ■ 0

^ 302 - af 9a1aa-2 7 a 3-2 a ? Sejam Q --------— , R -------------- --------------

s= V f i +vq*+ fi2, r= V r - Vò5 + fí5onde ST = —O.

Xx = S + T - §0,15.3 Soluções: | #2-----g($ + T) — + jiVSÍS — T)

*3 | 4- T) - - JiV5(S - D

Se a ,, « 2 e a3 são reais es e D - Q + R ê o discriminante, então

(i) uma raiz é real e duas são complexas conjugadas se D > 0(ii) todas as raízes são reais e, no mínimo, duas são iguais se D « 0

(iii) todas as raízes são reais e desiguais se D < 0

Se D < 0, o cálculo é simplificado usando-se trigonometria.

Manual de F ó rm u la s e T a b e la s M a te m á tic a s

~ Sol“ s6“ 1 0 " J 1 2 \ ^ | » 5 i í 9 + a*'«’ ) " ! “ >

,r . + XtX* + D * ' x * * » “ _ a 95.5 * ! + * ,+ * 3 , - -« ! • JflX’* + ^

onde Xj e *3 são as três raízes.

E Q U A Ç Ã O Q U Á R TtC A : A n ,**+ fla* a+ °s * + a* " 0Seja i/, uma raiz real da equação cúbica seguinte:

5.6 j/3 - a*y* + (« ,a á - 4a*)j/ + - <** “ a > “ 0

As quatro raízes da equação quártica são as quatro raizes da < qtiação seguinte.

5*7 + |{«j ± Vai ~ + é (l/i ^

5.8

Suponha que todas as raízes da Equação 5.6 sào reais; então o cálculo é simplificado usando a raix particular que produz todos os coeficientes roais na Equação Quadratica 5.7.

+ + ■ - a tXijr* + %% + a-sx4 + X4X1 + + £*£4 " Oa

4* Xj%â* + Xixj,x4 * -« aX|X*X3X4 - 0|

onde x,, *j, x3 e x4 são as quatro raízes.

Comprimento

*Area

Vohime

Fatores de Conversão

1 quilômetro (km) - 1.000 metro« - 0,6214 milhas 1 metro (m )» 100 centímetro» ■ 1,0M4 jardas 1 centímetro (cm) - UP m - 0,3937 polegadas 1 polegada (in) = 2.540 cm 1 pé (ft) - 12 in - 30,48 cm 1 jarda (yd) - 3 ft - 91,44 cm 1 milha (mi) = 1.760 yd = 1,609 km1 milímetro (mm) = lO^m 1 micrômetro (jtm) = 10 m 1 angstrõm (Â) * 10-1°m

1 quilómetro quadrado (km2) * 100 hectares - 247,104 acres 1 metro quadrado (m~) - 10,76 ft21 centímetro quadrado (cm2) - 0,155 in21 hectare (ha) * 100 ares - 104 m2 - 2,471 acres1 are (a) * 100 m2 • 119,6 yd2 1 acre » 0,4047 ha - 43.560 ft2 1 polegada quadrada (in2) - 6,45 cm2 1 pé quadrado (ft2) - 929 cm2 1 milha quadrada (mi2) - 640 acres - 2,590 km2

1 litro (1) - 1.000 cm3 * 61,02 in3 - 0,03532 ft3 1 metro cúbico (m3) - 1.000 1 - 35,32 ft3 1 galão americano (gal) « 231 in3 - 3,785 11 pé cúbico (ft3) . 7,481 gal - 0,02832 m3 - 28,32 1

Massa

Velocidade

Densidade

Força

Energia

Potência

Pressão

9 904.6 libras1 quilograma (kg) = 1.000 gramas1 grama (g) - 10 1 kg1 libra (lb) * 453,6 g

1 km/h = 0,2778 m/s - 0,6214 mi/h - 0,9113- íUb 1 mi/h = 1,467 ft/s - 1,609 km/h = 0,4470 ml

1 g/cm3 = 1. 000 kg/m3 - 62,43 lb/ft1 lb/ft3 = 0,01602 g/cm3

1 quilograma-força (kgf) - 9,807 newton = 2,205 lb-peso 1 newton (N) = 10s dinas - 0,1020 kgf - 0,2248 lb-peso1 dina (dyn) = IO-5 N 1 libra-peso (lbf) = 4,448 N = 0,4536 kgf

1 unidade térmica britânica (btu) = 778 lbf ft = 1055 joules = 0,293 watt-hora 1 joule (J) = 1 watt-segundo = 1 N m = 107 ergs = 0,2389 calorias = 9,481 X 10 btu 1 libra-peso pé (lbf ft) = 1,356 J = 0,3239 calorias = 1,285 x 10 btu 1 caloria (cal) = 4,186 J = 3,087 lbf ft = 3,968 X 10"3 btu1 quilowatt-hora (kwh) = 1000 watt-hora = 3,6 X 106 J = 860.000 cal = 3.413 btu 1 elétron-volt (eV) = 1,602 X 10’ 19 J

1 watt (W) = 1 J/s = 107 ergs/s = 0,2389 cal/s 1 horse-power (HP) = 745,7 W = 550 lbf ft/s 1 cavalo-vapor (cv) = 735,5 W1 quilowatt (kw) - 1,341 HP = 737,6 lbf ft/s = 0,9483 btu/s

1 pascal (Pa) = 1 N/m2 = 10 dyn/cm2 = 9,869 X 10“6 atm = 2,089 X 10~2 lbf/ft21 atmosfera (atm) = 1,013 X 105 Pa = 1,013 X 106 dyn/cm2 = 76 cm Hg

ÏJLBRA - Canoasw a Marlmho Lutero

Fórmulas Geométricas

R E T Â N G U L O D E C O M P R IM E N T O b E L A R G U R A a

7.1 Área - ab

7.2 Perímetro = 2a + 26

P A R A L E L O G R A M O D E A LTU R A h E B A S E b

7.3 Àrea - bh « ab sen 8

7A Perímetro *• 2a + 2b

Fig. 7-1

Fig. 7-2

T R IÂ N G U L O D E A LTU R A h E B A S E bm

7.5 Àrea = \bh = \ab senO“ V«(8 - a)(8 - b)(s - c)

onde 8 = \{a + b + c) = semiperímetro

7.6 Perímetro - a + b + c

F i g . 7 - 3

M a n u a l o e F ó r m u l a s e_TabewsMatemAtiçís

T R A P E Z Ó ID E D E A L T U R A h El a d o s p a r a l e l o s

7.7 Área - \h(a + &)

7.8 Perímetro " <» + b + fc( ie,1

'aehfl- a + b + híconex 6 + cosec <t>)

P O L ÍG O N O R E G U L A R D E n L A D O S D E C O M P R IM E Nb

* ir , „ cos(W n)7.9 Area - 1 rib2 cotg— = \rúr-----—r r4 w sen (fr/n)

7.10 Perímetro - nfc

C ÍR C U L O D E R A IO r

7*11 Área»7ir7.12 Perímetro - 2nr

F/g. 7-5

S E T O R D O C ÍR C U L O DE R A IO r

7.13 Á re a - ir*0

7.14 Comprimento do arco s ■ rO[onde Oé em radianos]

Flg. 7-6

R A IO DE UM C ÍR C U LO IN SC R ,T 0Fig. 7-7

e m7.15 U M T r i â n g u l o

'“‘m‘p<Títnetro

D E L A D O S

Capítulo 7 * r-óMM«jtA§

R A IO D E U M C ÍR C U L O C IR C U N S C R IT O A U M T R IÂ N G U L OD E L A D O S a* b, c

7.16 Rabc

4\ * « - « ) ( * - &)(*-<•)

onde semiperínielro

iDMÉ '»«CA»

F/fif, 7-9

P O L ÍG O N O R E G U L A R D E n L A D O S IN S C R IT O E M U M C ÍR C U L O D E R A IO r

2w7.17 Aita * Ur* sen— = Jur* sen

860n ti

- ^ w 180 7,1o Penm clro * 2 nr sen— * 2nr sen-----

H M

Flg. 7-10

P O L ÍG O N O R E G U L A R D E n L A D O S C IR C U N S C R IT O A U M C ÍR C U L OD E R A IO r

- t . » 180°7.19 Arva = nr* ta; — = « r tg -------M M

ir 1807.20 Perímetro « 2nr tg — * 2t*r tg-----B K n n

Flg. 7-11

S E G M E N T O DE U M C ÍR C U L O DE R A IO r

7 . 2 1 Á r e a da parte sombreada - Jra(0 -sen 0 )

Flg. 7-12

O i PÒHMULÀÜ I TaBEI A8 MATKMÀriCAS

E L IP S E D E S E M I-E IX O M A IO R « E S E M I-E IX O M E N O R

7.22 A r«ii • nab

7*23 IVrírnetro • 4 ««/a

V l - k? êrn^B (10

- 2ir V j(a * + b3) [aproximadamente]

ou de /c - V o * - fofy«. Ver Tabelu 43 paru valor«« numérico». Fia. 7-13

S E G M E N T O D E U M A P A R Á B O L A

7.24 Á rc.a - jjuh

7.25 Comprimento ilo mtcoABCh* / 4 a +

+ — ln Ha \ h

Fig. 7-14

P A R A L E L E P ÍP E D O R E T A N G U L A R D E C O M P R IM E N T O « , A L T U R A 6 E L A R G U R A c

7*26 Volume • abc

7.27 Ârea da Hiiperfície - 2(a6 * ac + bc)

Fia. 7-19

P A R A L E L E P ÍP E D O D E Á R E A DE S E Ç Ã O N O R M A L A E A L T U R A /,

7.28 Volume - Ab - Ab *en 0

a

Fig. 7-16

E S F E R A D E R A IO r

4 *7.29 V o lu m e * «►wr

7.30 Área «la Supri In i( I m

Fig 7 -17

C a p ít u l o 7 • F ó r m u l a s G e o m é t r ic a s

C IL IN D R O C IR C U L A R R E T O D E R A IO r E A L T U R A h

7.31 Volume * mr'h

7.32 Area da superfície lateral = 2nrh

Flg. 7-18

C IL IN D R O C IR C U L A R D E R A IO r E A L T U R A IN C L IN A D A l

7.33 Volume = Ttr7i = nr2l sen 0*

7.34 Area da superfície lateral = 2ttH =2 irrh sen 0 2 vrh cosec 9

Fig. 7-19

C IL IN D R O D E Á R E A D E S E Ç Ã O N O R M A L A E A L T U R A IN C L IN A D A /

7.35 Volume = Ah = Al sen 6* ’ ' - ___-

7.36 Area da superfície lateral - plph

sen 0=ph cosec 6

Observe que as Fórmulas 7.31 a 7.34 são casos especiais das Fórmulas7.35 e 7.36.

Fig. 7-20

C O N E C IR C U L A R R E T O D E R A IO r E A L T U R A h

7.37 Volume = \irr~h

7.38 Área da superfície lateral - irrVr* + ti2 - wrl

Fig. 7-21

P IR Â M ID E D E Á R E A D E B A S E A E A L T U R A h

7.39 Volume = íAh

Flg. 7-22

d e F ó r m u l a s e T a b e l a s M a te m á tic a s

7.40

C A L O T A E S F É R IC A D E R A IO r E A L T U

Volume (sombreado na Figura) • (

7.41 Área da superfície ■ 2nrh

Fig. 7-23

T R O N C O D E U M C O N E C IR C U L A R R E T O D E R A IO S a , b E A L T U R A h

7 .42 Volume = \7rh(a2 4- ah + b2)

7 .43 Área da superfície = 7r[a + h) V h 2 + (b — «)= 7r(a + />)l

Fig. 7-24

T R IÂ N G U L O E S F É R IC O D E Â N G U L O S A , JB, C N A E S F E R A D E R A IO r

7 .44 Área do triângulo ABC = (A + B + C - n)r2

T O R O D E R A IO IN T E R N O a E R A IO E X T E R N O b

7.45 Volume = \irHa + b)(b - a f

7.46 Área tia superfície = ir2(b2 - «*)

F/g. 7-25

Flg- 7 -*

E L IP S Ó ID E D E S E M I-E IX O S a. b , r

7.47 Volume = 57rabc

P A R A B O L Ó ID E DE R E V O L U Ç Ã O

7.48 Volume = Jirb2«

C a p ít u l o

Fórmulas da G e o m e tr ia Analítica Plana

D IS TÂ N C IA d ENTRE DOIS PONTOS

8.1 d = V(Jf, - X ,)* + (* » - U i )

Fig.8-1

D E C LIV ID A D E m DA RETA LIG ANDO DO IS P O N TO S P ,(x„ y ,) E P2(x2, y2)

8.2 m = Si = ts e

e q u a ç ã o d a r e t a l i g a n d o d o is p o n t o s p u v \ c p / vr i j ^ 2\xv y 2)

■ <* í i _* “ * » * t - * , ,n ou y - J/l = m(x -

8.4 y*tnx + b

onde b - » . - m*. — _ - é o coeficiente linear d , w , - . -#-com o eixo ». ’ 1Sto e ’ a ordenada do ponto de ta‘e

C a p ít u l o 8 • F ô r m u u s d a G e o m e t r ia A n a l ít ic a P l a n a 3 9

F O R M A S E G M E N T Á R IA D A E Q U A Ç Ã O D A R E T A

8.5

Flg. 8-2

onde a $ 0 e a medida algébrica do segmento determinado pela rota no eixo x c ò ^ O é l medida algebri- GA do segmento determinado pela reta no eixo y.

E Q U A Ç Ã O

8.6oudto

x co» a + y sen a • pp - distância perpendicular da origem O à reta « - Angulo de inclinação da perpendicular com eixo

x positivo.

E Q U A Ç Ã O G E R A L DA RETA

Fig. 8-3

8.7 Ax + Br + C ■ 0

8.8

D IS T Â N C IA D O P O N TO ( * „ y ,) À RETA Ax + By + C * 0

Axt + Byt + C±VÃFTW

o n d i i o h íiiiiI ó O B U ü lliid o d o t a l m a n e i r a q u o u d i s t â n c i a n ã o s e j u n e g a t i v a .

Â N G U L O i/y E N TR E DUAS RETAS C O M D E C L IV ID A D E S m, E m .

8.9 I « # " t

Hetas «ài» paralelas ou coincidente* se, e somente se, mt - m Hetas « lo perpendiculares ne. e somente se» m, - l/m,.

Fig. 8-4

Ma n u a l d e F ó r m u la s e T a b e la s M atem á tica s

Á R E A D O T R IÂ N G U L O C O M V É R T IC E S E M (xv y ,), ( * 2, y2), (x3, y3)

8.10 Área = ± 12

12

% Vi 1x2 y2 1^3 2/3 1

(Xi2/2 + y xxs + y3x2 - y2x3 - 2/ ^ - Xi2/3)

onde o sinal é escolhido de tal maneira que a área não seja negativa. Se a área for zero, os pontos são colineares.

T R A N S F O R M A Ç Ã O D E C O O R D E N A D A S E N V O L V E N D O T R A N S L A Ç Ã O P U R A

8.11 X = x ' + x 0

y = y' + 2/0ou X = X-Xo

y ' m u - ifo

onde (*, y ) são as antigas coordenadas, relativas ao sistema (x y ) ; (x \ y f) são as novas coordenadas, relativas ao sistema x 'y ' ; e (x09 y Q) são as coordenadas da nova origem O' relativas ao antigo sistema de coordenadas x y .

V 1 y111 (*<>’ Vo)10' 1

0 |1

x'

Fig. 8-6

T R A N S F O R M A Ç Ã O DE C O O R D E N A D A S E N V O LV E N D O R O TA Ç Ã O P U R A

8.12 x = x ' cos a — y ' sen <x y = x ' sen a + y ' cos a ou

x ' = x cos a + y sen a y ’ — y cos a — x sena

onde as origens do antigo (x y) e do novo (x y ) sistemas de coordenadas são as mesmas, porém o eixo xr faz um ângulo a com o eixox positivo

\\\\\

\\

T R A N S F O R M A Ç Ã O DE C O O R D E N A D A S E N V O LV E N D OT R A N S L A Ç A O E ROTAÇAO

Fig. 8-7

8.13

ou

x = x ‘ cos a — y' sen a + x 0 y = x ' sen cL + y ' cos a + y 0 x' * (x — x0) cos a + (y — y 0) sen a y ' = ( y - Vo) eos a - {x - x (>) sen a

onde a nova origem O do sistema de coordenadas x 'y tem coordenadas (x0, y Q) relativas ao antigo sistema de coordenadas x y , eo eixo x' faz um ângulo a com o eixo x positivo.

A IV* M

\ s '

s *•>\

\0 \

\\

Fig. 8-8

8.14

CApfTULO 8 « Fó rm u la s oa G eom etria Ahai hrccA Pi ana 41

C O O R D E N A D A S P O L A R E SUm ponto / ' podíi wr determinudo pelas coordenadas retangulares■ ' U) coorílenadas polares (r,6). A transformação entre*’■*"* coordenadas se estabelece por:

■ rco»0y m r mn 0 ou w

0 « arctg [y/x)

8.15

Fig. 6-9

E Q U A Ç Ã O D O C ÍR C U L O D E R A IO R E C E N T R O EM (xv

(X - X 0f + (j, - y 0 f = R 2

Flg. 8-10

8.16E Q U A Ç A O

r » 2 H c o s ( 9 - a )

o n d e O, 9) hão as c o o r d e n a d a s p o la re s de qualquer pon to no círculo e ( /?» a ) sã o as coordenadas polares do cen tro do círculo.

Fig. 6-11

8.17

C Ô N IC A S (E L IP S E , P A R Á B O L A O U H IP É R B O L E )

Sc um p o n t o P m o v e -s e de tal maneira que sua distância a um ponto f ix o (denominado foco ) dividida por sua d is ta n c ia a uma reta fixa (denominada diretriz) é uma constante € (denominada excentricidade) , en-

m a»- m • • a • / • l -!£»• » m u * «umangul

Se o foco é e s c o lh id o na o r ig e m O, a equação de uma cônica em c o o r d e n a d a s p o la r e s (r, 0) ép cD1 ■ 1 - € COS 8 1 - «C O 80

onde O Q = p eL M = D [ver Figura 8-12]. A cônica é

(i) uma elipse, se c < 1;(ii) uma parábola, se e = 1;

(iii) uma hipérbole, se €> 1.

Diretriz

Fig. 8-12

E L IP S E C O M C E N T R O C(x0, y 0) E E IX O M A IO R P A R A L E L O A O E IX O *

8.18 Comprimento do eixo maior A'A = 2a

8.19 Comprimento do eixo menor * 26

8.20 A distância do centro C ao foco F ou F ' é

c =

8.21 Excentricidade = e = — = ^a a

8.22 Equação em coordenadas retangulares

( * - *Q>2 (a-M o)2 ,2 T------- ----- — 1

0

Fig. 8-13

a b

8.23 Equação em coordenadas polares se C estiver em O: r2 = azba* sen2 0 + b2 cos2 0

8.24 Equação em coordenadas polares se C estiver no eixo x e F ' estiver em O:

8.25 Se P for qualquer ponto na elipse, PF + PF* - 2a.

Q (l-c * ) 1 — €0080

Se o eixo maior for paralelo ao eixo y , troque x por y ou substitua 9por \tt- 9 [ou 90° - 01

P A R Á B O L A C O M E IX O P A R A L E L O A O E IX O *

Se o vértice está em A(x0, y0) e a distância de A ao foco F é a > 0, a equação da parábola é8.26

8.27

0/ J/o) - 4a(x — Xo) se a parábola abrir para a direita [Fig. 8-14]

(1/ ~ l/o) = -4 a (x -X o ) se a parábola abrir para a esquerda [Fig. 8-15]

Se o foco está na origem [Fig. 8-16], a equação em coordenadas polares é

8.28 2ar =

C a p ít u l o 8 • F ó r m u l a s d a G e o m e t r ia A n a l ít ic a P l a n a

Fig. 8-14 Fig. 8-15 Fig. 8-16

No caso de o eixo ser paralelo ao eixo i/, troque x por ?/, ou substitua Opor 0 [ou 90o-

H IP É R B O L E C O M C E N T R O C (*0> yo) E E IX O M A IO R P A R A L E L O A O E IX O *

X

Fig. 8-17

8.29 Comprimento do eixo maior A*A ■ 2a

8.30 Comprimento do eixo menor B/B « 26

8.31 Distância do centro C ao foco F ou F* m e m V a 3 + b2

0 r- • • • . . c V a 1* + b*o.ox Lxcentricidaae « = — ■»-------------a a

8.33 Equação em coordenadas retangulares: —— * j

8.34 Deelividades das assíntotas C/H e GH* m ± —sK.--.' ■ '■■■' •' Q

8.35 Equayão em coordenadas polares se C estiver em O: r2 * _______a~h~S © ' I ^ 008*0-a*sen *0

8.36 Equação em coordenadas polares se C estiver no eixo x e F estiver em O: r = ***** ~ X)

8.37 1 - € COS 0

Se P for qualquer ponto na hipérbole, P F - P F ± 2a [dependendo do ramo],

Se 6 eixo maior for paralelo ao eixo y. trocpxe * por „ ou substitua Opor Jw. 0[ou 90«._ fl]

Capítulo 9

LE M N IS C A TA

9.1 Equação em co o rd e n a d a s polares:2 2r « a cos 20

9.2 K quação em coordenadas retangulares

(**+ V2f m a (x2- y£)9*3 Angulo entre AH' ou A'fí e eixo * = 45°

£9.4 Area de uma alça * a2

Fig. 9-1

trC IC L O ID E

9.5 Kquação na forma paramétrica:

X ■ a( <t> - sen <£) y = a( 1 — cos 0)

9.6 \ rea de um arco - 3nai

9.7 Comprimento de um arco = 8a

Eh 1 a é a curva descrita por um ponto P de um círculo de raio a que rola ao longo do eixo x.

Fig. 9-2

Capítulo 9 • C u r v a s P l a n a s E s p e c ia is

H IP O C IC L Ó ID E C O M Q U A T R O C Ú S P ID E S

9.8 Equação em coordenadas retangulares2/3 2/3 2/3x + y = a

9.9 Equação na forma paramétrica:

x = a cos 3 0 y = a sen* 0

9.10 Area limitada pela curva = àita*O9.11 Comprimento total da curva = 6a

Esta é a curv a descrita por um ponto P de um círculo de raio a/4 que rola pela parte interna de um círculo fixo de raio a.

C A R D IÓ ID E

Ii\\

/ / / /

y a

V \ \

N . os // /

\ \ / /\ 1f XV 1

F/g. 9-3

9.12 Equação: r = 2a (l f c o & 0)

9.13 Área limitada pela curva - óiuT

9.14 Comprimento total da c u r v a = 16a

Esta é a curva descrita por um ponto P de um círculo deraio a que rola pela parte externa de um círculo fixo deraio a. A curva tambem é um caso especial do limaçon de Pascal [ver 9.321.

Flg.9-4

C A T E N A R IA

2 aEsta é a curva determinada por uma corrente uniforme pesada suspendida verticalmente pelos pontos fixos A e B.

F/g. 9-5

R O S Á C E A D E T R Ê S P É T A L A S9.16 Equação: r = a cos 30

A equação r = a sen 36é uma curva similar obtida pela rotação da curva da Fig. 9-6 no sentido horário por 30a ou kí6 radianos.

r - a cos nô ou r - a sen nQ tem n pétalas sen for ímpar.

Manual d e F ó r m u la s e T a b e la s M a te m á tic a *^ |

r o s á c e a d e q u a t r o p é t a l a s

9,17 Equação: r • o cos 20

A equação r »<i 2 $ é iiuui eurva similar obtida pela rotação da curva da Fig. 9-7 no sentido liorarto por 45" ou fJ 4 radia nos.Em geral, r ■ « roa tit) ou r » ii seu nO tem 2n pétala» nr n for par.

E P IC IC L Ó ID E G E R A L

9.18 Equações paramétricas:

x m (a + b) cos 6 - b cos [ - - — ) 0

i/ “ (« + b) sen 0 - fe sen [ — — 1 0

Esta é a curva descrita por um ponto P de um círculo deraio b que rola pela parte externa de um círculo fixo deraio a.A cardióide [Fig. 9-4] é um cato especial de epiciclóide.

H IP O C IC L Ó ID E G E R A L

9.19 E<juações paramétricas:

x ■ (a - b) coH 4> + b cos [ —-j-— ) $

H a - by m (a - b) sen<#> - h sen ( —- — j

Esta é a curva descrita por um ponto P de um círculo de raio b que rola pela parte interna de um círculo fixo de raio a.Se b - a/4, a curva é aquela da Fig. 9-3.

Fig. 9-8

Fig. 9-7

T R O C Ó ID E

9.20 Equações paramétricas: x - a<t> - st*n</> y m ( i - b coh (j)

ESta é u curva descrita ,.„r um ponto /> a un.a dutflncia b do centro de um círculo de raio a qu<lo eixo x .

C a p ítu l o 9 • C ur vas P lan as E s p e c ia is 47

Fig. 9-10Fig. 9-11

Se b > a , a curva é com m° S ra a na ^*8° 9-10 e é chamada de ciclóide encurtada.Se b - a , a curva é o ciclóldT dl Fig* 9 -2^ * ' ^ chamada de ciclóide ProU>ngada

T R A C T R IZ

9.21 Equações paramétricas: f * = < ln 0048 ~ cos<My — a sen <\>

Esta é a curva descrita pelo ponto final P de um cordão esticado FQ de comprimento a quando a outra extremidade v ® puxada ao longo do eixo x.

C U R V A D E A G N E S I

9*22 Equação em coordenadas retangulares: y = 8a£c2 + 4 a 2

9.23 Equações paramétricas: x - 2a cotg 6 y = a (l - cos 20)

Na Fig. 9-13, a reta variável AO intersecta y - 2a e o círculo de raio a com centro (0, a) em A e f i , respectivamente. Qualquer ponto P da curva é obtido pela interseção das retas paralelas aos eixos x e y por B e A , respectivamente.

Fig. 9-13

F Ó L IO D E D E S C A R T E S9.24 Ecjuação em coordenadas retangulares:

x*+ y3 - 3 axy

y


3 atX --------------T1 + t 3

3 aí2y ~ l + t8

m i- 39.26 Área da alça = ^ a

9.27 Equação de assíntota: x + y + a ** ®

Fig. 9-14

Fig. 9-12

Ma n u a l d e F ó r m u la s e T a b e la s M a tem á tic a s

E V O L V E N T E D E U M C ÍR C U L O9.28 Equações paramétricas:

x = a(eos <l> + <l> sen </>)i

y = alsen<t> - <f> cos 4>)

Esta é a curva descrita pelo ponto final P de um cordãoque e mantido esticado enquanto é desenrolado de um círculo de raio a.

Fig. 9-15

E V O L U T A D E U M A E L IP S E9.29 Equação em coordenadas retangulares:

(a*)M+ (fcj/f3- (a2 - b2f 3


ax — (o2 — b2) cos3 0 by = (a2 - b2)sen3 6

Esta curva é a envoltória das normais da elipse x /a + y lb = 1, mostrada tracejada na Fig 9-16.

Fig. 9-76

O V A IS D E C A S S IN I

9.31 Equação polar: r + a — 2a r cos 2 0 = 6

Esta é a curva descrita por um ponto P tal que o produto das distâncias a dois pontos fixos (e distantes 2a entre si) é uma constante b .A curva é como mostrada nas Figs. 9-17 ou 9-18, de acordo com ò < o ou b > a, respectivamente.Se b = a , a curva é uma lemniscata [Fig. 9-1],

Fig. 9-17

L IM A Ç O N D E P A S C A L9.32 Equação polar: r = b + a cos 6

Fig. 9-18

donnr^l P t~eta 0 Ponto origem O a qualquer ponto Q de um círculo de diâmetro a passanp . Entao a curva e o lugar geométrico dos pontos P tais que PQ - b.

C a p í t u lo 9 • C urvas P la n a s E speciais 49

A cu rv a 6 como m ostra d a nas Fig«. 9-19 ou 9-20, de a c o r d o com 2 a> b> a ou b< a, re»j»ect iva mente. Se /> a, u curva c cardióide [Fig. 9-4]. Se b 2a, a curva é convexa.

Fig. 9-19 Fig. 9-20

C IS S Ó ID E D E D IO C L E S

9.33 Equação em coordenadas retangulares:

y2 =X

2a —x


x = 2a sen2 02a sen3 fl

cos 02/ =

Esta é a curva descrita por um ponto P tal que a distância ■ distância RS. Isto e usado no problema da duplica

ção do cubo, isto é, o da construção de um cubo cujo volume e o dobro do volume de um cubo dado.

Fig. 9-21

E S P IR A L D E A R Q U IM E D E S

9.35 Et Inação polar: r * a $

Fig. 9-22

Fórmulas da Geometria Analítica Espacial

D IS TÂ N C IA d E N T R E D O IS P O N TO S P,(xv yv zA) E P2(x2, y2, z j

d = V ü a - X XY + (y2 - y xY + - « t ) 2

C O S S E N O S D IR E T O R E S DE U M A R ETA L IG A N D O O S P O N T O S? 1» *l) ^ ^ 2(^2» ^2» *2)

10.2d d n = cos *y

onde or, /?, y são os ângulos que a linha P, P2 faz com[ver Fig. 10-11. os eixos x9 y e z , respectivamente, e d ê dado por

R E L A Ç Ã O E N T R E O S C O S S E N O S D IR E T O R E S

10,3 cos® a + cos2 p + cos2 7 = 1 OU l2 + m2 + n2 = l

— 10 • P6RMUUS da G eom etria A nalítica E sf*cial

N Ú M E R O S D IR E T O R E S

IpEï "S -trPTcio”“ “■ d ire ,o ra n»números

10.4V t f + AP + N•'

m = MV U T W T n ^

n NV Ï F + W T W

E Q U A Ç Õ E S D A R E T A L IG A N D O P f a , y v * ,) E P2(x2, y2, z2) N A F O R M A PA D R Ã O

10.5 s - X t y - y , * - * , X- Xi y - y x t - z ,~ * --------- ou — :— ----------« --------*1 l / r í / i « j - * , l m n

Estas também são válidas s e l . m e n forem substituídos por L,

£ 2 * ? “ r e t a l i g a n d o P , ( x „ j , „ „ ) E /> ,<*„ y „F O R M A P A R A M É T R IC A

M e iV, respectivamente.

z2) N A

10.6Estas também são válidas se l ,m e n forem substituídos por L, M cN, respectivamente

A N G U L O <p E N T R E D U A S R E T A S C O M C O S S E N O S D IR E T O R E S !» ***1» E £y m~, n2

10.7 cos 0 = Z, 2 + Wïm2 + iijii«

E Q U A Ç Ã O G E R A L D E U M P L A N O

10.8 Ax + By + Cz + D = 0 [A, B, C, D são constantes]

e q u a ç ã o d o p l a n o p a s s a n d o p e l o s P O N T O S ( * „ («3, - Zj)

X -X i 2/ — 2/i

#2 ” * 110.9 # 2 ~ # 1 2/2 " 1

^ 3 - « l 2 / 3 - 2

ou

10.10 2/2 “ 2/1 « 2 - * l( X - X | ) +

á* 1 M £1

2 / 3 - 2/1 3 s - * i «3- « ! #3- %

« 3 ~ Z\

= 0

(2/ - í/l) + *®2 2/2 l/l * 3 - * l 2/3 ~2fl

E Q U A Ç Ã O

10.11 x y z - + {f + - = l a b c

onde a, b e c são as medidas algébricas dos segmentos determinados nos eixos x, y e z, respectivamente.

Fig. 10-2

M a n u a l d e F ó r m u la s e T a b ela s M atem áticas

s

E Q U A Ç Õ E S D A R E T A P O R ( * 0> y0, * 0) E P E R P E N D IC U L A R A O P L A N O Ax + B y + Cz + D = 0

10.12 Í-J52 = y_V o = ?_Jo QU X==X0 + M , y = y0 + BU ^ = o + CfcA B C

Observe que os números diretores da reta perpendicular ao plano Ax + By + Cz + D =* 0 são A ,B zç

D IS T Â N C IA D O P O N T O ( * 0, y0, z0) A O P L A N O Â x + B y + Cz + D = 0

10.13 Axç + By0 + Czo + D ± V A 2 + B* + ( ?

onde o sinal é escolhido de tal maneira que a distância não seja negativa

F O R M A N O R M A L DA E Q U A Ç Ã O D O P L A N O

10.14 x cos c* + y cos )8+ z cos y**p

onde p = distância perpendicular, a partir de O, ao plano em P e a, p, y são os ângulos entre OP e eixos positivos x9 y e z.

Fig. 10-3

10.15

t r a n s f o r m a ç ã o d e c o o r d e n a d a s e n v o l v e n d o t r a n s l a ç ã o P U R A

X = x' +Xo

y = y' + yo ourx ’ = X-QCq

y ’ — y ~ Vo[ z ' = z - S o

onde (x9 y9 z) são as antigas coordenadas [isto é, coordenadas em relação ao sistema xyz]; (x\ y', z') são as novas coordenadas [em relação ao sistema x'y'z'] e (*0, y0, z )são as coordenadas da nova origem O' relativas ao antigo sistema de coordenadas xyz.

Fig. 10-4

C a p ítu l o 1 0 • F ó r m u la s da G e o m e tr ia A nalIt ic a E spacial 5 3

10.16

T R A N S F O R M A Ç Ã O D E C O O R D E N A D A S E N V O L V E N D O R O T A Ç Ã O

OU

x = ltx * + l2y ' + h z'

y = mxx' + m 2y ' + m^z'

z = nxx' + n2y ’ + nòz ’

x ' — l\X + n iiy + riiZ

y ' = l2x + m ^y + n^z

z’ = l3x + m sy + nsz

onde as origens dos sistemas xyz e x y z são as mesmas e lv m19 nx; Z2, m2, n2; m3, n3 são os cossenos diretores dos eixos x , y y zf relativos aos eixos x ,y e z , respectivamente. Fig. 10-5

y

T R A N S F O R M A Ç Ã O D E CO< T R A N S L A Ç Ã O E R O TA Ç Ã O

10.17

ou

x — lix' + l y' + l3s' + x0 y = myx' + m 2y ’ + m sz' 4* y 0 z — nxx' + n 2y ' + n$z' + Zq

x ' = lx(x -X o ) + m i(y - y 0) + n x{z - z0)

2/ ' = l2(x - X q ) + m 2(y - y 0) + n2{z - z0)

z' = l*(x - Xq) + m 3(y - s/o) + *h(z - z0)

onde a origem O' do sistema x'y z tem coordenadas (*0, y0, z0) relativas ao sistema xyz e l19 mp Z2, ro2, n2; Z3, m3, n3 são os cossenos diretores dos eixos x y z relativos aos eixos Xy y e Zy respectivamente.

y

y

10.18

C O O R D E N A D A S C IL ÍN D R IC A S (r, 6, z)

Um ponto P pode ser determinado pelas coordenadas cilíndricas (r, 6 , z) [ver Fig. 10-7] bem como por coordenadasretangulares (*, y, z).

A transformação entre essas coordenadas é

x = r cos 6 y = r aenO ouz = z

y

Fig. 10-7

10.19

10.20

10.21

10.22

10.23

10.24

C O O R D E N A D A S E S F É R IC A S (r , e , <p)

Um ponto P pode ser determinado por coordenadas esféricas (r, d , <p) [ver Fig. 10-8] bem como por coordenadas retangulares (xy y, z).

A transformação entre essas coordenadas é

' x = r sen 6 cos $ y = r sen# sen $z = r cos 0

r = y/x2 + y2 + z2ou <#> = arctg {y/x)

6 = arccos (2/ VS5 + w2 + ? )

Fig . 10-8

E Q U A Ç Ã O D A E S F E R A EM C O O R D E N A D A S R E T A N G U L A R E S

Cz - X o )a + (1/ - J/o)2 + (a - * o ) 2 =

onde a esfera tem centro (x0, yQt z0) e raio R .

Fig . 10-9

E Q U A Ç Ã O D A E S F E R A E M C O O R D E N A D A S C IL ÍN D R IC A S

r 2 - 2r0r cos (fl - 8o) + r j + ^ - *o)a = JR2

onde a esfera tem centro (r0, 0O, z0) em coordenadas cilíndricas e raio RSe o centro está na origem, a equação é

r ' + a2 - ^ 2

E Q U A Ç Ã O

r* + r i - 2r0r sen 0sen 0O cos (<*>-&,)- fi*

onde a esfera tem centro (r0, 0O, 0O) em coordenadas esféricas e raio R. Se o centro está na origem, a equação é

r - R

C a p ítu lo 10 • F ó r m ulas da G eo m etr ia A nalítica E sracial

E Q U A Ç A O D O E L IP S Ó ID E C O M C E N T R O ( * 0, y0, * 0) E S E M I-E IX O S a, b,

1 0 . 2 5

c

, (y i y o)2 (g - gp)2b2 c C 1 1

Srli

a >

Flg. 10-10

10.26

C IL IN D R O E L ÍP T IC O C O M E IX O N O E IX O »

x y— + 7T = 1a2 b2

onde a e 6 são semi-eixos de corte transversal elíptico. Se 6 = a , isto torna-se um cilindro circular de raio a

Flg. 10-11

C O N E E L ÍP T IC O C O M E IX O N O E IX O «

10.27 £ Ja2 b2

Flg. 10-12

H IP E R B O L Ó ID E D E U M A F O L H A,2 2

10.28 a2 b

Flg. 10-13

Manual de F ó r m ulas e Tabelas Matemáticas

H IP E R B O L Ó ID E DE DUAS F O LH A S_i „* j

10.29 £__ iL_£_ = 1a» 6* c*

Observe a orientação do» eixo* na Fig. 10-14.

PARABO LÓ IDE ELÍPTICO

10.30•* è* c

PARABOLÓIDE H IPERBÓ LICO

1041 f ! - » *a 1

Observe a orientação dos eixos na Fig. 10-16

A tabela abaixo mostra os momentos de inércia de vários corpos rígidos de massa M. Em todos os casos, su põe-se que o corpo tem densidade uniforme, isto é, constante.

Mom ento de InérciaT ipo de Corpo Rígido

11*1 Vara delgada de comprimento a

(a) em torno do eixo perpendicular à vara, através do centro da massa (ò) em torno do eixo perpendicular à vara, através de uma extremidade

11.2 Paralelepípedo retangular de lados a , b e c

(a) em torno do eixo paralelo a c e através do centro da face ab(b) em torno do eixo através do centro da face bc e paralelo a c

M ( a 2 + b 2) & A f ( 4 a 2 + b 2)

11.6 Placa circular de raio a _____________ ___ ________ _______

(а) em torno do eixo perpendicular à placa, através do centro(б) em torno do eixo coincidente com um diâmetro

11.7 Placa circular oca ou anel com raio externo a e raio interno b

(a) em torno do eixo perpendicular ao plano da placa, através do centro

(b) em torno do eixo coincidente com um diâmetro

11.8 Anel circular delgado de raio a

(a) em torno do eixo perpendicular ao plano do anel, através do centro

(b) em torno do eixo coincidente com um diâmetro

11.9 Esfera de raio a

(a) em torno do eixo coincidente com um diâmetro (ò) em torno do eixo tangente à superfície

11.10 Esfera oca de raio externo a e raio interno b

(a) em torno do eixo coincidente com um diâmetro (ò) em torno do eixo tangente à superfície

11.11 Casca esférica de raio a

(а) em torno do eixo coincidente com um diâmetro(б) em torno do eixo tangente à superfície

11.12 Elipsóide de semi-eixos a, b e c

em torno do eixo coincidente com o semi-eixo cem torno do eixo tangente à superfície, paralelo ao semi-eixo c e a uma distância a do centro

11.13 Cone circular de raio a e altura h

ioro com raio externo a e raio interno b

(а) em torno do eixo através do centro de massa e perpendicular ao plano de toro

(б) em torno do ebt0 através do centro de massa e no plano de toro

D E F IN IÇ Ã O D A S F U N Ç Õ E S T R IG O N O M É T R IC A S P A R A UM T R IÂ N G U L O R E T Â N G U L OO triângulo ABC tem um ângulo reto (90°) em C e lados de comprimento a, b e c. As funções trigonomé-tricas do ângulo A são definidas como segue:

12.1 a opostoseno de A = sen A - — = —c hipotenusa

b adjacente12.2 cosseno de A - cos A - — = —— 7---------c hipotenusa

^ a oposto12.3 tangente aeA = tg A = — =b adjacente

b adj acente 12.4 co-tangente de A = cotg A = — - —

\ J L oposto

B

a

C

c hipotenusa 12.5 secante de A - sec A - ^ adjacente

12.6 co-secante de A - cosec Ac hipotenusaa oposto

Fig. 12-1

e cons

E X T E N S Õ E S A Â N G U L O S Q U E P O D E M S E R M A IO R E S D O Q U E 90°Considere um sistema de coordenadas xy [ver Figuras 12-2 e 12-3]. 0 ponto P no plano xy tem coorde-

J , x onde x é considerado como positivo ao longo de OX e negativo ao longo de OX , enquanto yna ddeVado positivo ao longo de OY e negativo ao longo de OY\ A distância da origem O ao ponto P é

. e denotada por r = V x2 + íP- O ângulo A descrito no sentido anti-horário a partir de OX é con- sid^rado positivo Se for descrito no sentido horário a partir de OX é considerado negativo. ChamamosX'OX e Y'OY os eixos x e y 9 respectivamente,

Os vários quadrantes são denotados por I, II, III e IV e são chamados primeiro, segundo, terceiro equarto quadrantes, respectivamente. Na Fig. 12-2, por exemplo, o ângulo A está no segundo quadrante, enquanto que na Fig. 12-3, o ângulo A está no terceiro quadrante. ,JLBRA . Canoas

Hwlioteca Martmno Lutero

Fig. 12-2 Fig. 12-3

12.712.812.9

12.1012.1112.12

Para um ângulo A em qualquer quadrante, as funções trigonométricas de A são definidas

sen A - y/r

cos A • x/r

tg A - ylx

cotg A j x/y

sec A - r/x

cosec A - r/y

RELAÇÃO EN TR E G R A U S E R A D IA N O SO radiano é o ângulo 6 subentendido no centro O de um círculo por um arco MN igual ao raio r.

Como 2 7T radianos = 360°, temos

12.13 1 radiano = 180°/ir * 57,29577 95130 8232 . . ,°

12.14 Io = 77/180 radianos - 0,01745 32925 19943 29576 92 . . . radianos

Fig. 12-4

R ELA Ç Õ ES E N TR E A S FU N Ç Õ E S T R IG O N O M É T R IC A S

«a «* . sen A12.15 tgA « -------cos A

. . j - 1 cos A12.16 c o tg ^ -— — ------- --tgA senA

12.17 sec A =*cos A

12.18 cosec A * *senA

12.19 sen2 A + cos2 A = 1

12.20 sec2 A - tg2A = 1

12.21 cosec2 A - cotg2 A « 1

A n g u lo A em g r a u s

Angulo A em radianoã

5ir/12

7w/\2

5w/6

19v/12

llw/6

23ir/12

Tmoonomctrcas

V Á R IO S Â N G U L O S F U N Ç Õ E S T R IG O N O M É T R IC A S

345

360°

Vã JVã -22 + V ã 2 - V i - (V e + Vã)

£000

-(2 + V3) - ( 2 -V ã ) V §+ V2-V ã -JV ã 2-1 - i V2

- |V ã -V ã |V 5- ( 2 -V ã ) -(2 + Vã) V S - V2

0

Too 1

tgA eotg A see A C0Sí‘C/|

0 1 0 0 1 1 •

2 - V ã 2 + V ã V e - V 2 V 5 + V 5

JVã Vã fV s 2

i i V2 V2

Vã JVã 2 JVã

2 + V ã 2 - V ã V0 + V2) V e - V f

0 ±m | i

(2 * V5) - (3 -V S ) - ( V ê + V5) V e - V õ .

-V ã -JV ã -2 JVs

- i -1 -V 2 V 5

-J n/9 -V ã -JV ã 2

Para outros ângulos, ver Tabelas 2, 3 e 4.

M a n u a l d e F ó r m u l a s e T a b e l a s M a t e m á t ic a s

SIN A IS E VA R IA ÇÕ ES DAS FU N Ç Õ E S T R IG O N O M É T R IC A S

G RÁ FIC O S DAS FUNÇÕ ES TR IG O N O M É TR IC A SEm cada gráfico, x está em radianos.

12.22 y = sen x 12.23 y - cos x

Fig. 12-6

12.25 y = cotg x

Fig. 12-8

12.27 y * cosec x

Fig. 12-5

12.24 y ■ tg x

x

Fig. 12-7

y = see x

Fig. 12-9

Fig. 12-10

F U N Ç Õ E S D E Â N G U L O S N E G A T IV O S

12.28 sen (-A ) = -sen A

12.31 cosec (-A ) = —cosec A12.29 cos (-*4) = cos /I

12.32 sec (-A ) = sec A

F Ó R M U L A S D E A D IÇ Ã O

12.34

C a p í t u lo 1 2 • F u n ç õ e s T rig o n o m étricas 65

12.30 tg (~/t) = ~tg A

12.33 cotg (-A ) == —cotg A

sen (A ± B) — sen A co s B ± cos A senB

12.35cos (A ± B) = cos A cos B sen A sen B

12.34 tg(A ± B) = tgA ± tgB 1 + tgA tgB

12.37 cotg (A ± B) = cotg A cotgB + 1 cotg B ± cotg A

D E Â N G U L O S EM T O D O S O S Q U A D R A N T E S EM T E R M O S D E Â N G U L O S D O Q U A D R A N T E I

inteiro

sen A

cosecA

cotgA

- A90° ± A

TT— ± A o

180° ± A7T± A

270° ±/ 3tt

-i-_______2

sen I -senA cos A TsenA —cosA

cos cos A TsenA —cos A ±senA

tg -tg A + cotgA ±tg A + cotgA

cosec I — cosec A sec A + cosecA -s e c A

sec sec A +cosecA —secA ±cosecA

cotg -co tg A + tgA ± cotgA +tg A

cosA = u cotg A = usenA = u sec A = u cosecA = u

cos A

u/\/u2 — 1

cosecA

R E L A Ç Õ E S E N T R E F U N Ç Õ E S D E Â N G U L O S N O Q U A D R A N T E I

Para extensões a outros quadrantes, use sinais apropriados, como os dados na tabela anterior.

12.38

12.39

12.40

12.41

12.42

12.43

12.44

12.45

12.46

12.47

12.48

12.49

12.50

12.51

12.52

12.53

12.54

12.55

12.56

F Ó R M U L A S D E Â N G U L O D U P L O

sen 2A = sen A cos A

cos 2A = cos2 A — sen“ A = 1 — 2 sen A = 2 cos A —1

tgüA =2 tgA

1 — tg A

F Ó R M U L A S DE Â N G U L O M E TA D E

Asen— « 2

Acos— =

2

t « A ,

1 - cos A2

1 + cos A2

1 - cos A 1 + cos A

" +, se A /2 está no quadrante I ou II se A /2 está no quadrante III ou IV

+, se A /2 está no quadrante I ou IV se A /2 está no quadrante II ou III

+, se Al2 está no quadrante I ou III - se A /2 está no quadrante II ou IV

sen A1 + cos A

1 — cos A senA

= cosec A — cotg A

F O R M U L A S DE Â N G U L O M Ú LTIPLO

senSA = 3 sen A — 4 sen3 A

cos 3A = 4 cos3 A - 3 cos A

3 t g A -t g 3A tg3A = — 2------- f -----6 l - 3 t g 2A

sen4A = 4 sen A cos A — 8 sen3 A cos A

cos 4A = 8 cos4 A — 8 cos2 A + 1

tg4A = 4 tgA - 4tgaA l - 6tg2A + tg4A

sen5A » 5senA - 20sen3A + 16sen5A

cos 5A = 16 cos8 A - 20 cos3 A + 5 cos A

tg5A = tg * A -1 0 tg 3A + 5tgA1 - 10tg2A + 5tg4A

Ver também as Fórmulas 12.68 e 12.69.

PO TÊN C IA S DE FU N Ç Õ E S T R IG O N O M É T R IC A S

sen2 A = 5 —g cos 2A

cos* A =2 + 2 cos 2A

sen3 A - 4 sen A - \ sen 3A

cos® A - J cos A + 1 cos 3A

Ver também as Fórmulas 12.70 a 12.73

12.57 seri* A = § - J cos 2A + g cos 4A

12.58 cos'* A = § + j cos2A + g cos4A

12.59 sen5A = §senA - ^sen3A + j^senCA

12.60 cos5 A = § cos A + fjcosSA + Acos5A

C a H tu l o 12 » F u n ç õ e s T r ig o n o m étr icàs

. D IF E R E N Ç A E PR O D U TO DE FU N Ç Õ ES TR IG O N O M É TR IC A S12.61

«en A + sen B - 2 sen J(A + B) cos J(A - B)12.62

sen A - sen B - 2 cos J(A + B) sen |(A - B)12.63

co«A H-cosB = 2 cos|(A + B) cos |(A - B)12.64

c o s A -c o s B - 2 senj|(A+B)senJ(B-vi)12.65

*en A sen B = \ {cos (A - B) - cos (A + B))12.66

cos A cos B = 2{cos(A — B) + cos (A + B)]12.67

8enA cosB = |{sen(A - B) + sen(A + B))

f ó r m u l a s g e r a i s

12.68

12.69

sennA -s e n A {(2 c o s A ) -« - ( n " 2 j {2 c o s A )-* + ( W- 32 (2 cos A)" 5 —

coanA = \ { (2 cosA)» - (2 c o s A )-* + J “ 3 j (2 cm A r - 4

n / n - 4 3 (2 cosA)"~6 + •••

12.70

12.71

12.72

12.73

seu 2 n - l A (“ D22" ”

cos2»—1

sen(2n 1 )A - ( ^ 1 jsen (2 w -3 )A + 1 IsenA

2w - l22H. a , cos (2n - 1)A + ( — * ]cos (2n - 3)A + • ■ • + f 2m ; 1 ) cosA ]

n - 1 )

sen2” A « 1 /2n\ ( -1 ) ”2m n cos2A

COS2mu41 /2 n

o2n 4-1

n 2a” iH I H l 2fi\ ocos2nA + I 1 J cos(2 n - 2)A + ’ " + ( J _ lcoS2A

F U N Ç Õ E S T R IG O N O M É T R IC A S INVERSASSe x - sen y, então y - arc sen *, isto é, o ângulo cujo seno é x ou o arco seno dex , ê uma função plurívo- ca de * que é uma coleção de funções bem definidas denominadas ramos da função inversa do seno An logamente, as outras funções trigonométricas inversas também são plurívocas.

Para muitos propósitos, é requerido um ramo particular. Este é dito o ramo principal e os valores deste ramo são denominados ramos ou valores principais da função inversa

V A L O R E S P R IN C IP A IS D A S F U N Ç Õ E S T R IG O N O M É T R IC A S IN V E R S A S

Valores principais para x 0 Valores principais para x < 0

Oá arc sen x ^ tt/ 2 —'n /2^ arc sen x < 0

0 £ arc cos x tt/ 2 7t/2 < arc cos x ^ tt

Oáí arc tg x < r r / 2 - tt/ 2 < arc tg x < 0

0 < arc cotgxsá tt/2 tt/ 2 < arc co tg # < 7 r

0 ^ arc sec x < tt/ 2 tt/ 2 < arc sec x M tt

0 < arc cosec x ã tt/ 2 - tt/ 2 £ l arc cosecx < 0

R E L A Ç Õ E S E N T R E F U N Ç Õ E S T R IG O N O M É T R IC A S IN V E R S A SEm todos os casos, supõe-se que são usados os valores principais.

12.74 are sen x + are cos x — t t / 2

12.75 are tg x + arc cotg x — t t / 2

12.76 arc secx + arc cosec ar = tt/2

12.77 arc cosec# = arc sen (l/x )

12.78 arc sec# = arc cos(lAr)

12.79 arc cotgx = arc tg(lAr)

12.80 arc sen(-ar) = -a r c sen x

12.81 arc co s (-x ) = tt — arc cos x

12.82 arc tg(—x) = — a rctgx

12.83 arc co tg (-x ) = tt -a r c cotg x

12.84 arc sec(—x) = tt—arc secx

12.85 arc cosec(—x) = —arc cosec x

G R Á F IC O S D AS F U N Ç Õ E S T R IG O N O M É T R IC A S IN V E R S A SEm cada gráfico, y está em radianos. Porções sólidas de curvas correspondem aos valores principais.

12.86 y - a r c sen x 12.87 y = arc cos x 12.88 y = a r c tg *

Fig. 12-11 Fig. 12-12 Fig. 12-13

12.89 y = arc cotg x

Fig. 12-14

12.90 y ■ arc sec x 12.91 y arc* eosec x

Fig. 12-15 Fig. 12-16

R E L A Ç Õ E S E N T R E LA D O S E Â N G U LO S DE UM TFOs resultados seguintes são válidos para qualquer triângulo plano ABC com lados a, ò, c e ângulos .4, B e C.

A

12.92 Lei dos Senos:a b

sen A sen B sen C

12.93 Lei dos Cossenos:c2= a2+ b~ — 2ab cos C

com relações similares envolvendo a outros lados e ângulos

12.94 Lei das Tangentes: Fig. 12-17a + b t g j ( A + B )

a — b t g J ( A — B )

com relações similares envolvendo outros lados e ângulos.

12.95sen A = — y/s(s ~~ ct)(s b ) ( s c)

bc

onde 8 = j(o + b + c) é o semiperímetro do triângulo. Relações simüares envolvendo os ângulos B

dem ser obtidas.Ver também Formula 7.5.

R E L A Ç Õ E S E N TR E LA D O S E Â N G ULO S DE UM TR IÂ N G U LO ESFÉR IC Om 1 1 _ . A M

O triângulo esférico ABC está na superfície da esfera, como mostrado na Fig. 12-18. Os lados « , b e c [que são arcos de grandesdrculos], são medidos por seus ângulos subentend.dos no centroO da esfera. A, B e C são ângulos opostos aos lados o. b e c, respectivamente. Então, os seguintes resultados sao validos.

12.96 Lei dos Senos:sen a senft senc sen A sen B senC

12.97 Lei dos Cossenos:cos a - cos 6 cos c + sen b sen c cos A

cos A - -cos B cos C + sen B sen C cos o

com resultados similares envolvendo outros lados e ângulos

Manual de Fórm ulas e T abelas Matbuáticas

12.98

12.99

11100

12.10112.102

Lei das Tangentes;tg |(A + B) tg J(a + b)Xg í ( A - B) tg i(a -b )

com resultados similares envolvendo outros lados e ângulos.

A /sen s sen(s — c) cos— =2 V sen 5 sen c

onde s = j(a + b + c). Resultados similares são válidos para outros lados e ângulos

a /cos (S — B) cos {S - C) cos— = ■!■■■■■■■■■■■■■!2 V senBsenC

onde S = j (A + B + C). Resultados similares são válidos para outros lados e ângulos

Ver também fórmula 7.44.

REGRA DE NAPIER PARA TRIÂNGULOS RETÂNGULOS ESFERICOSExceto pelo o ângulo reto C, há 5 outras partes do triângulo esférico ABC as quais, arranjadas na ordemdada na Fig. 12-19, são a, b, A, c e B.

Fig. 12-19 Fig. 12-20

Considere que essas quantidades são arranjadas em um círculo como na Fig. 12-20, onde colocamos o prefixo co [indicando complemento] à hipotenusa c e aos ângulos A e B.

Qualquer uma das partes deste círculo é chamada parte média, as duas parte vizinhas são chamadas partes adjacentes e as duas partes restantes são chamadas partes opostas. Então, as regras de Napier são:

O seno de qualquer parte média é igual ao produto das tangentes das partes adjacentes.

0 seno de qualquer parte média é igual ao produto dos cossenos das partes opostas.Exemplo: Como co-A - 90a— A, co-B - 90" - B, temos

sen a = tg 6 (co-B) ou sen a « tg b cotg B sen(co-A) - cos o cos (co-B) ou cos A = cos a sen BJL

E claro que estas também podem ser obtidas a partir dos resultados dados em 12.97

LEIS DOS EXPOENTESaixo, p e q sao números reais, a e ò são números positivos e m e n são inteiros positivos.

13.1 • a* ~ ap+q 13.2 ap/aq — ap~q 13.3 {ap)q = a^1

13.4 a ° = l , a * 0 13.5 a~p = l/ap 13.6 (aby = apbp

13.7 \Za=-aUM 13.8 Vãr = am/n 13.9 VÕSb^Vã/Vb

Em ap, p é chamado de expoente, a é a òase e ap é a potência p-ésima de a. A função y - a* é chamada de uma função exponencial.

LO G A RITM O S E ANTILOGARITMOSSe ap = TV, onde a ^ O o u l, então p = logaiV é chamado de logaritmo de N na base a. O número N=ap é o antilogaritmo de p na base a, escrito como antilogap.

Exemplo: Como 3 - 9 , temos log3 9 = 2, antilog3 2 = 9,A função y = logn# é uma função logarítmica.

LEIS DOS LOGARITM OS

Ioga MN = logn M + logo N

M10ga~ = lOgoAT-IogaiV

lOga Mp - p lOga Aí

13.10

13.11

13.12

Ma n u a l d e Fó r m u la s e T a b e la s Ma tem á tic a s

13.13

13.14

13.15

13.16

1 3 . 1 7

1 3 . 1 8

1 3 . 1 9

1 3 . 2 0

13.21

1 3 . 2 2

13.23

LO G A R ITM O S E A N TILO G A R ITM O S C O M U N SOs logaritmos e antilogaritmos comuns [também chamados decimais ou de Briggs] são aqueles em qUe base a = 10. O logaritmo comum de N é denotado por log10iV ou, simplesmente, log N. Para valores ^ méricos de logaritmos comuns, ver Tabela 1.

LO G A R ITM O S E A N TILO G A R ITM O S NATURAISOs logaritmos e antilogaritmos naturais [também chamados neperianos] são aqueles nos quais a base a = e = 2,71828 18... (ver página 16). O logaritmo natural de N é denotado por logeIV ou ln /V. Para valores numéricos de logaritmos naturais, ver Tabela 7. Para valores de antilogaritmos naturais (isto é, a tabela fornecendo e*para valores de *), ver Tabela 8.

M UDANÇA DE BASE DE LO G ARITM O SA relação entre logaritmos de um numero /V para diferentes bases a e b é dada por

logs JVlo&i N m Ioga a

Em particular,

log, .V - ln N = 2,30258 50929 9 4 . . . log10 AT

logioA7 - log N * 0,43429 44819 03 . . . log, AT

RELAÇÃO ENTRE FUNÇÕ ES EXPO NENCIA IS E T R IG O N O M É T R IC A S

e,# = cos 0 + i sen 0, e~i@ = cos d - i sen 0

Estas são chamadas identidades de Euler. Aqui, i é a unidade imaginária [ver página 22]

sen 6 = eí#- e - “2i

e'9 + e“"cos 0 --------------2

ei6- e ~ (6tg 0 * — ----------- » - t f - ei(e" + e-'*) * « '• + e-í»

e

2see 0 =eí# +

2icosec 0 =eí# - e~i$

PERIO DICIDADE DE FUNÇÕ ES EXPO N EN C IA ISi(B+2kx) i0

“ e km mteiroA partir disso, vemos que c'tem período 2ni.

C a p ítu lo 1 3 * F u n ç õ e s Exponenciais e Lo o a ritm ica s 7 3

13.24

13.25

13.26

13.27

13.28

F O R M A P O L A R D E N Ú M E R O S C O M P L E X O S E X P R E S S O S C O M O U M A E X P O N E N C IA L

orma polar [ver 4 .7 ] de um número complexo z = x + iy pode ser escrita em termos de oxpmionciais co-mo segue:

**

z = x + iy = r(cos 0 + i sen 0) = re

O P E R A Ç Õ E S C O M N Ú M E R O S C O M P L E X O S N A F O R M A P O L A RAs Fórmulas 4 .8 a 4.11 são equivalentes ao que se segue:

rje4*1 ra

(r e '^ = rpe,p9 [teorema de De Moivre]

(re*9)17” = [rei(*+2*w))l/H * r v»e**+ainrv»

L O G A R IT M O D E U M N Ú M E R O C O M P LE X O

13*29 ln (re##) = ln r + id + 2 km k = inteiro

Funções Hiperbólicas

D E F IN IÇ Ã O D A S F U N Ç Õ E S H IP E R B Ó L IC A S

6* — 614.1 Seno hiperbólico de x = senh x = — 2

e14.2 Cosseno hiperbólico de x = cosh # = — —

m

mm m m , e r ~ C ' r14.3 Tangente hiperbólica de x * tgh # = , _j.6» * C

C* % €514.4 Co-tangente hiperbólica de x = cotgh * =

e* — e

214.5 Secante hiperbólica de x = sech # =

14.6 Co-secante hiperbólica de x = cosech# =er -

R E L A Ç Õ E S E N T R E A S F U N Ç Õ E S H IP E R B Ó L IC A S

14.7 , senh# tgh # ---------—

cosh #

14.8

14.9

. i 1 cosh # cotgh# = — - — --------------tgh # senh#

sech # = *cosh #

C A P ffU U ) 1 4 » F u N Ç Q O HtPEftBÒUCAS

1 4 . 1 0 r<>Hi*<h jT1

nr nh

14.11

14.12

14.13

co*h*jr -iwnMü » 1

MH'h2jr + tgh#x ■ l

COt*h#x — coftech** • 1

F U N Ç Õ E S D E A R G U M E N T O S N E G A T IV O S

14.14 senh ( -* ) - -senh x

14.17 cosech ( -* ) - -cosech x

14.15 co»h (-x ) • co«h x

14.18 sech (-x ) - seeh x

F Ó R M U L A S D E A D IÇ Ã O

14.16 tgh ( -* ) • -tgh x

14.19 cotgh ( -* ) - -cotgh *

14.20 ftenh(x ± y) - senh x cosh y ± coshx senhy

14.21 cosh (x ± y) = coshx cosh y ± senh x senhy

14.22, i tgh x ± tgh y

tgh (x±y) = — : ■1 ± tghx tghy

14.23_ cotghx cotghy ± 1

co tgh (x ± y ) — t ' . ,6 cotgh y ± cotgh x

F Ó R M U L A S D E Â N G U L O D U P L O

14.24

14.25

senh2x m 2 §enhxcoshx

cosh2x «■ co»hax + »enhax • 2 coshax - l - l + 2 »enhax

14.26 tgh 2x =2 tgh x

1 + tghax

F Ó R M U L A S D E Â N G U L O M E T A D E

14.27

14.28

14.29

genhx2

[+ ,s e x > 0 ; - , * e x < 0|

cosh2

rc o « h x - 1WBII*__ *' J c u e h x + l

l áex> 0; - , « e x <01

ignhxCOáíll X + 1

oo # h x - 1 senh x

M a n u a l d e F ó r m u l a s e T a b e l a s M a t e m á t i c a s

f ó r m u l a s d e a n g u l o m ú l t i p l o

14.30 sen h = 3 senhx + 4 aenbPx

14.31 cosh 3x = 4 cosh3 x - 3 cosh #

ia oo , 3 tg h x + tg h 3#14.32 tgh 3x - —^------f i ----1 + 3 tgh2 a;

■ 4 .33 senh4r = 8 senh3 x cosh + 4 senh# cosh a?

14.34 cosh 4x = 8 cosh4x - 8 cosh2« + 1

14.35_ 4 tg h x + 4tgh3x

l + 6tgh2a;+tgh4x

P O T Ê N C IA S D E F U N Ç Õ E S H IP E R B Ó L IC A S

14.36 senh2* = j cosh 2x — \

14.37 cosh2 x = I cosh 2 * + j14.38 senh3 x = \ senh 3 x - f senhx14.39 cosh® a: = \ cosh 3x + 1 cosh x14.40 senh4 a; = § — 2 cosh 2x + £ cosh 4x14.41 cosh4 x = | + j cosh 2x +£ cosh 4x

S O M A , D IF E R E N Ç A E P R O D U T O D E F U N Ç Õ E S H I P E R B Ó L I C A S

14.42 senh x + senh y = 2 senh J(x + y) cosh J(x - 3,)

14.43 senh * - senh2/ = 2 cosh |(x + y) senh J(x - y)

14.44 coshx + coshjj = 2 cosh J(x + y) cosh J(x - y)

14.45 cosh x - cosh y = 2 senh |(x + y) 8enh i(x - „ )

14.4« senh x senh y = * {cosh (x + y) - cosh (* - y) j

14.47 cosh x cosh y = 2 {cosh (x + y) + cosh (x — y)}

14.48 senhx cosh y = J{senh(x + y) + senh(x - y))

C a p ítu lo 1 4 • Funções H iperbólicas 7 7

E X P R E S S Ã O D AS FU N Ç Õ E S H IP E R B Ó L IC A S EM T E R M O S DAS O U TR A SNa tabela abaixo, consideramos x > 0. Se x < 0, use o sinal apropriado, como indicado nas Formulas14.14 a 14.19. W Ê W Ê I • ' I

senhx = u

senh x u

coshx V l + w2

tgha; u/ v T + m5

cotgh x V u x + l/u

sechx 1 /V l + u a

cosech x l /u

VÏÏ*

u

V u2 - l/u

í / V ^ T

tgh x = u cotgh x — u sechx = u cosech x — u

w/V 1 - uÀ l /V u 1“17! V l - ua/u l /u

1/V 1 - U* u/VÛT^l l /u V l + u2/u

u l/u 1 /v T + w 3

l/u u l / V l - U* V l + us

V l - uÀ V u 3 - l /u u M /Vi + M4

V l - u*/u V Í ^ I W V l - M* u

G R Á F IC O S D A S F U N Ç Õ E S H IP E R B Ó LIC A S

14.49 y = senh x

Fig. 14-2

x

14.51 y - t g h *

Fig. 14-3

14.52 y = cotgh x 14.53 y = sech* 14.54 y - cosech x

F i g 14-4

x

F U N Ç Õ E S H IP E R B Ó L IC A S IN V E R S A SSe x - senh y então y » arc senh * é chamado de seno hiperbólico inverso de x. Analogamente definimos as outras funções hiperbólicas inversas. As funções cosseno e secante hiperbólicas inversas são plunvo- cas e, como no caso das funções trigonométricas inversas [ver 12.86 a 12.91], nos restringimos a valoresprincipais nos quais estas funções podem ser consideradas bem definidas.

lNu a l d e F ó r m u l a s e T a b e l a s M a t e m á t ic a s

A lista a seguir apresenta os valores principais [a menos que o contrário seja indicado] das funç~ perbólicas inversas, expressas em termos de funções logarítmicas, que são consideradas como tomavalores reais. H

14.55

14.56

14.57

arc senh x = ln (x + V x 2 + 1)

arc cosh x = ln (x + Vx^ - 1)

1 /14* x arc ten x = — ln --------

& 2 \ l - x

x 1 [arc cosh x > 0 é o valor principal ]

- 1 < x < 1

14.58 * I * / * + 1arc cotgh x = — ln --------6 2 l x - 1 x > l o u x < - l

14.59

14.60

arc sech x = ln I — + - 1x V x 2

arc cosechx » ln I — 4- /“ 4-11 x # 0X v x

0 < x á l [arc sechx> 0 é o valor principal]

R E L A Ç Õ E S E N T R E A S F U N Ç Õ E S H IP E R B Ó L IC A S IN V E R S A S

14.61

14.62

14.63

14.64

14.65

14.66

14.67

arc cosech x = arc senh (1/x)

arc sech * — arc cosh (1/x)

arc cotgh x = arc tgh (1/x)

arc senh (—x) = — arc senh x

arc tgh(-a;) = - arc tgh*

arc cotgh (—x) = — arc cotgh x

arc cosech (-a;) = - arc cosech x

G R Á F IC O S D AS FU N Ç Õ E S H IP E R B Ó L IC A S IN V E R S A S14.68 y * arc senh x

x

14.69 y - arc cosh x 14.70 y = arc tgh x

Fig 14-7 Fig. 14-8 Fig. 14-9

14.71 y - arc: cotgh *

rig. 14-10Fig. 14-11 pig. 14-12

14.72 y arc «crh -î;14*73 y - íi rí; cose* fï x

R E L A Ç Ã O E N T R E F U N Ç Õ E S H IP E R B Ó LIC A S E TR IG O N O M É TR IC A S

14.74 sen (ia:) = isenhac

14*77 cosee (ix) m —i cosech a:

14.80 senh(ix) = ísenx

14.83 cosech (ix) = — i cosec x

14.75

14.78

14.81

c o s ( t x ) = c o s h x

see (ix) = s e c h x

C O S h (ix) = C 0 8 X

14.84 sech (ix) = secx

14.76 tg (ix) * t tgh x

14.79 cotg(úr) - ~í cotgh x

14.82 tgh (ir) ■ i tg x

14.85 cotgh(ix) = cotg x

P E R IO D IC ID A D E D AS FU N Ç Õ E S H IPER B Ó LIC A SNa» fórmulas a seg u ir , k é qualquer número inteiro.

14.86 s e n h (x + 2 kiri) *= sen h x 14.87 cosh (x + 2kni) * cosh x

14.89 cosech (x + 2kiri) * cosech x 14,90 sech (x 4- 2krti) m sechx

14,88 tgh (x f km) * tgh x

14.91 cotgh (x + kiri) • cotgh x

R E L A Ç Ã O E N T R E FU N Ç Õ E S H IPER B Ó LIC A S E T R IG O N O M É T R IC A S IN V E R S A S

14.92 are sen (ir) » *are sen h x

14,94 are cosx ■ ±iarc coshx

14,96 are tg (ix) » i are tghx

14,98 arc cotg (ix) *= i arc cotgh x

14,100 a r íï secx — ±* arc sechx

14,102 are cosec (ix) * —tare cosechx

14.93 a rc senh (ix) — i a rc ten x

14.95 arc cosh x tare cosx

14.97 arc tghtfg) * i arc tg x

14.99 arc cotgh (ir) * Hare cotgx

14.101 arc sechx = tiare s e cx

14,103 arc coftech(tx) = —iarc c o s e e x

Derivadas

15.1

DEFINIÇÃO DE UMA DERIVADAConsidere y A derivada de y ou J[x) é definida por

m Jim jTx + h) -J[x) = jjx + Lx)-J[x)dx h Ü-X te

onde h, , d , é o'ht;,d.dd f i S “ t é” é 'l“ ,0“ d , p" r - o u / 'w ' 0 d' « i » » « » " o« uma deri-

15.2

REGRAS GERAIS DE DERIVAÇÃO

* * 7 9ã0,fr Çf e8 ^ ^ a ’ f ’ Cen 850 COn8Ume* restrições quando indicado!- e - 2,71828... e a base natural dos logaritmos; l n u e o logaritmo natural de u [isto é o logaritmo rlp K londe supomos u > 0 e todos os ângulos são em radianos. * ed

dx (c) = 0

15.3 “ ~(rx) * cdx

15.4 — (cx") = nex" 1dx

15.5 —— (u ± d ± wdx

IÍT du í/ d dw— + — + ----dx dx dx

15.6 -^ -(au )«a—da* dx

i c 7 d , . dv c/m3,7 *= u— + ir—dar dx dx

i c o ^ /. . duo dv du HZ UVW " WtJ— +MI4)— + irn>—“ * dx dx dx

[número finito de parcelas]

i m . mi iai riF F ó r m u l a s e T a b e l a s M a t e m á t ic a s

Î5.9

15.10

15.11

15.12

15.13

15.14

15.15

15.16

15.17

15.18

15.19

15.20

15.21

15.22

15.23

15.24

15.25

d / u \ vídu/dx) - u(dv/ dx)

d , du— (uM) = nu — dx dx

— = — — [Regra da Cadeia] dx du dxdu 1dx dx/dudy _ dy/du dx dx/du

D E R IV A D A S D A S F U N Ç Õ E S T R IG O N O M É T R IC A S ET R IG O N O M É T R IC A S IN V E R S A S

d du— senu = cosu— dx dxd dx cosw = -senu

dudx

v

d du— teu = secu— dx dxd

dx cotg u = - cosec2ududx

d dusec u = secutgudx dx

d— cosec u = - cosec u cotg u du

dxd

dx

-íLdxd

are senu = 1 du

arc cosu

V Ï - u2 dx~~ 1 du

77 , ir- ~<arc sen u < —2 . 2

v T - i ? d x [0 < arc cos u < irl

... • 1 du — arc teu ------------# b 1 + u2 dx — 17 ^ 2 c t g u < -d— arc cotg u = ------—** b 1 + u 2 dx [0<arc cotgu<7r]d dxd

arc sec u =

^ a r c cosecu «

"K se 0 < arc sec u < tt/2 se tt/ 2 < a rc s e c u < 7r

+’ 8e 0 < arc cosec u < 7r/2

se — tt/2 < arc c o s e c w c o

C a p í t u l o 1 5

D E R IV A D A S D A S F U N Ç Õ E S E X P O N E N C IA IS E L O G A R ÍT M IC A S

, - d Ioga e du15.26 — log„M ----------— a * 0 ,1ax u dx

1C a7 ^ . d 1 du15.27 — ln u = — log .u —-------d® d® u dx

15.28 j - a “ = a“ ln a —dac

15.29dx dx

15.30 — u’ = — e»*“ = e"»«-2 -[t ,ln u l = , » - > ^ + u 'l n u dVdx dx dx dx dx

D E R IV A D A S D A S F U N Ç Õ E S H IP E R B Ó L IC A S E H IP E R B Ó L IC A S IN V E R S A S

15.31 — senhu = co sh u ——dx dx

15.32 — cosh u = senhu—dx dx

15.33 tgh u = sech2 u —dx dx

15.34 — cotgh u = —cosech2 udx b dx

d du15.35 — sech u = -sech u tgu —dx dx

15.36 — cosechu = —cosechu cotghudx

15.37 — arc senh u =dx

. . . . d _ ±1 du15.3o — arc cosh u = —> .,■■■■■■.. ——dx ' V u 2 - 1 dx

d , 1 du15.3y — arc tgh u = ---------dx 6 1 - u 2 dx

+, se arc cosh u > 0, u > 1 - , se arc cosh u < 0, u > 1

d 1 du15.40 — arc cotgh u = ------- r ,dx 6 1 - u 2 dx

d , T l du15.41 — arc sech u = — 7= = f ”7”u V 1 “ u2 dx

15.42

dx

Adx

arc cosech u =- 1 du T l

[u > 1 ou u < -1 ]

- , se arc sech u > 0 , 0 0 ;+ , se u < 0 ]

D E R IV A D A S S U P E R IO R E SAs derivadas segunda, terceira e superiores são definidas como segue.

15.43 Derivada segunda = — = /"(x ) = y"

15.44 Derivada terceira = — j = V "

15.45 Derivada enésima = — í d x "^ ) = dx" = ^ 0

• D er iv a d a s

dudx

M anual de F ó r m u l a s e Tabelas Matemáticas

R E G R A D E L E IB N IZ P A R A D E R IV A D A S S U P E R IO R E S D E P R O D U T O S

Seja t f o operador — , de modo que ITu = ~ = p-ésüna derivada de u. Então,

15.46 D"(uv) = uD"v + I ” J (Du)(D>-'v) + / ” | (tfuHIT - 2 v) + ••• + vD*u

onden n1 / \ 2 )• ’ * ’ sâo 08 coeficientes binomiais [ver 3.5].

Como casos especiais, temos:

15.47 d2dxa(wv)

15.48 d dxa (Uü)

.. d v . 0 du dv d2um7 7 + 2 - ------ + t>------

«te dx dx dx

u — + q dM ^ . o rf2w dv «**«“ -------- í ^ 8 t õ - +t>-----dx3 dx dx d*2 dx dx3

D IF E R E N C IA IS

Seja y =Ã X) e -Jlx + Ax)-Jlx). Então,

15.49 % fix + Az)-fix )A * ----------- IT----------- / '(* ) + eAx £?lí

dx + eonde e~*0 com Ax—*0. Assim,

15.50

Se chamamos Ax « dx& V=f(x)Ax+e Ax

15.51a diferencial de x , então definimos a diferencial de

dr - / ' ( * ) dxy por

R E G R A S P A R A D IF E R E N C IA ISAs regras para diferenciais são exatamente análoemos que 5

15.52

15.53

15.54

15.55

15.56

15.57

as àquelas para derivadas. Como exemplo, observi

d(w - v ± w ± —)^ d u ± d v ± dio ±

d(uv) = u dv + v du[somas finitas]

d /W\ vd u -u d vv V

d(un) = nun~l du

dCsenu) = co sudu

d(cos u) = — sen u dw

1 5 . 5 8

D E R IV A D A S P A R C IA IS

Seja z - f {x , y) uma função das duas variáveis x e v Então J r • lem relação a x, mantendo y constante, por definimos a derivada parcial de z ou /* . f>

— - lim j f r + ») -JTa;.»)Ófct AjC*0 y\T

Esta derivada parcial é também denotada por dz/dx,fz ou «_

C a p ítu l o 1 5 • D erivaoas 8 7

o , ieri\ ada parcial de z y) em relação a y, mantendo x constante, é definida por

15.59 £ , lim f a y ± % ) -J te y) ày

Esta derivada parcial é também denotada por «k/á»./, ou «r

adas parciais de ordens superiores podem ser definidas por:

^ L . ± ( £ \ f f m± ( £àx* dx V * : / ’ dy* dy \ày

15.61 - £ L - ± ( * \ * j ,_* / yàeây dx\âyj' âydx ty\âtx

Os resultados em 15.61 serão iguais se as funções e suas derivadas parciais forem contínuas; ou seja, em tais casos, a ordem de derivação não faz diferença.

Extensões para funções de mais de duas variáveis são totalmente análogas.

15.60

D IF E R E N C IA IS DE VÁRIAS VARIÁVEISA diferencial de s -J{x, y) é definida como

15.62 <i* m tff mèx ây

onde dx - Ax e dy • Ay. Observe que dz é uma funçào de quatro variáveis, a saber x, y, dx e dy, e é linear nas variáveis dx e dy.tr

ExtençÒes para funções de mais de duas variáveis sào totalmente análogas.Exemplo; Seja s«* t Sxy + 2y\ Então

jzM - 2x + 5y e zy « 5* + 6y

e portantodz « (2jc * 5y) dx + (Sx + 6y)dy

Suponha que queremos encontrar dz para dx - 2, dy - 3 no ponto P (4,1), ou seja, quando * = 4 e y - 1.A substituição resulta em

dz - (8 + 5)2 + (20 + 6)3 -2 6 + 78-104

X

Integrais Indefinidas

16.1

16.2

16.3

16.4

16.5

DEFINIÇÃO DE UMA INTEGRAL INDEFINIDAdy _— ~f{x)y então y e a função cuja derivada éj[x) e é chamada de antiderivada àef(x) ou integralin-

definida dej[x), denotada por I f(x)dx. Analogamente, se y *= [J\u)dut então — =/(w). Como a deriva-J J du

da de uma constante é zero, todas as integrais indefinidas diferem por uma constante arbitrária.Para a definição de uma integral definida, ver 18.1. 0 processo de determinação de uma integralé

chamado integração.

REGRAS GERAIS DE INTEGRAÇÃONo que segue, u, vetv são funções de x ;a ,b ,p e q são quaisquer constantes, com restrições quando indicado; e - 2,71828... é a base natural dos logaritmos; ln u denota o logaritmo natural de u, onde supomo u > 0 [em geral, para estender fórmulas aos casos em que também u < 0, substitua ln u por ln | u \ ]; todos os ângulos são em radianos; todas as constantes de integração estão omitidas mas ficam subentendidas.

adx =* ax

aJXx) dx = a f[x)dx

(u ± v ± w ± - )d x = udx± vdx± wdx±- [finitas parcelas]

udv uv I vdu [Integração por partes]

Para integração por partes generalizada, ver 16.

J\ax)dx = - I f(u) duCXi

4 8

16.26 cosh u du = senh u

16.27 I tgh u d u - ln cosh u

16.28 I cotgh u du = ln senh u

16.29 sechudu = arc sen (tghú) ou 2 arc tg eH

u16.30 I cosech u du = ln tgh — ou - arc cotgh cM

16.31 sech2 u du = tghu

16.32 cosech2 u du = - cotgh u

16.33 tgh2 u du = u - tgh u

16.34 cotgh2 w du = i< - cotgh u

16.35 , o T senh2u u . senh u du = — —------- — = |(senh u cosh u — u)

as ét*

16.36 , senh2w u .cosh" u du — — - ------ f- —■ = Ifsenh u cosh u + u)

*

16.37 sech tí tgh udu= -sech u

16.38 j cosech u cotgh udu = -cosech w

16.39 du 1 * u—-------- --- — arc tg —u* + a* a a

16.40 rfu 1 / w - a 2 = — lnu - a 2a u + a

1 , u- - arc cotgh - u2 > a2a a

16.41 du 1 /a + u= — l n ,a - u

1a 2 - u 2 2 a

u= - arc tgh - u2 < a2a a

16.42du u

—w n = arc sen — w - w2 a

16.43 du- ln (u + V u a + a 2) ou a rc senh

a

16.44 du= ln (w +

1 6 . 4 5 ua

16,44 / Ü V V + n5 = '

16.47du 1

uVa* — u2 -------- lna

a + cr - «14

16.48 J f m) M "d x

Isto e chamado de integração por partes generalizada.

T R A N S F O R M A Ç Õ E S IM P O R T A N T E SNa prática, frequentemente uma integral pode ser simplificada, usando uma substituição ou transformação a equadas juntamente com a Fórmula 16.6. A lista seguinte fornece algumas transformações e seus efeitos.

16.49

16.50

16.51

16.52

16.53

16.54

16.55

16.56

16.57

F\ax + b) dx —%

F[u)du

FCVax + b)dx = F\ü)du

FXVax + b) dx = F\u) du

— X ) dx = F\a cos u) cos u du

V x 2 + a2) dx = F\a sec u) sec2 u du

fTVx2 — a2) dx = F\a tg u) sec utgu du

FXe^dx du

FX ln x) dx F\u) eu du

F arc sen ! ) * ■ “ /fXu) cos u du

onde u = ax + b

onde 14 = Vax + b

onde u = Vax + 5

onde x — a sen u

onde x = a tg u

onde x = a sec w

onde M = e "

onde u = lnx

onde u = arc sena

Resultados similares aplicam-se a outras funções trigonométricas inversas.

16.58 Hsenx, cos onde u = tg 2

Aqui fornecemos tabelas de integrais indefinidas especiais. Como enunciamos na» observações acima da regra J6.J, também nestas tabelas a, b, p , q e n são constantes, cora restrições quando indicado; *• 2,7J828.., ç a base natural dos logaritmos; ln u denota o logaritmo natural de u, onde supomos u >0[«n geral, para estender fórmulas aos casos em que também u < 0, substitua ln u por ln | u | ]; todos oh âirçu los sâo em radianos; todas as constantes de integração estio omitidas mas ficam subentendidas. Supomos em todo« os casos que a divisão por zero está excluída.Nossas integrais estão divididas em tipos que envolvem as seguintes funções e expressões algébricas;

(1) ttr+ ò (13) Var* 4- íwr + c (25)(2) V ar + 5 (14) «* + «* (26) \nx(8) ar + b e /jj* f c| (15) (27) senhor(4) V W í b e /w? t í/ (18) (28) co#h ar15) V«u i b e Yj&r r q (17) sen ar (29) senhor e coahar(«) (18) cosaz (30) tghar(7) x* - a4, com «r*>a# (19) sen ar e casar (31) eotgh ar(«) a 1* - /* , com x * < a a (20) tgajr (32) sechar(9) V ? + a8 (21) colgar (33) cosech ar

(10) á m * V (22) secar (34) funções hiperbólicas inversa»( l i ) V a * -# 1 (23) cosecar(12) íax* 4- Ur + c (24) funções trigonométrica* inversas

Algumas integrais contêm os números de Bernouilli, B 9eoê númerospítulo 23. *

1 IN T E G R A IS E N V O LV E N D O a * + b

17.1.1 í ------ - « i Jn (ajr + b)J (tr + b a

17 I * f jc bI i m * ~ ---- - ln(ar + b)J ajr + b a a* 9

17.1.3r x*d*

a x 4- b+ b)a 2b(cur + b2

a ln (ax + b)

17.1.4dx 1

x(ax 4- 5) b ln 2ase-fb

17dx

(ax + b) =+X “+*17.1.6

dx 1(ax + b)2 a (a r + b)

17.1.7xdx b

(ax + b): a *(ax + b) a 21

+ — ln (a # 4 b )

17.1.8x 2dx ax + b b2

(ax + b): a 3 a (ax + b) a2b

- — ln (a # 4 b )

17.1.9dx 1

x (a x 4* b)_1_

b(aa: + b) + b * ln ax + b

17die a 1

(ax + b)2 b2(ax 4- b) b2x ’ b32a

4 — ln ax + bx

17.1.11dx - 1

(ax + b)3 2 (ax + b)2

17.1.12 1(cur + b]

4 ba (ax 4 b) 2 a 4(a r 4 b)2

17 j= dx 2b b2

(ax + b)3 a 3(a x 4 b ) 2 a 3(a x 4 b )2 a 34* ~ r ln (ax + b)

17.1.14(ax + b)n 1 c i 7 i i(euc + b)M ä r = ------ --— . S e » = - l . v e r 17.1.1(w 4-1 )a

17,1.15M + l(ax + b) n + 2 b ( a a ; + b ) ^ , 0

xia x + b)” cbc = ~---------------------- ---------------------------- — — • n * - l , 2(n + 2)a ( « + l ) o

S e n 1 —2, ver 17.1.2 e 17.1.7.

(ax + b)"+8 2b(ax + b)H+2 b2(ar + b)17.1.16 x\ax + b)" tte —

w + 1

(n + 3)a 3 (n 4 2)a (n 4 1 )a

S e n ^ —2, —3, ver 17.1.3, 17.1.8 e 17.1.13.'a;m+1(a # 4 b )M

17,1.17 xm(ax + bYdx

nb

m 4 n 4 14 ic^ax + b)" ' 1 da:

a m(ax + b)"+1 _(m + n + D « (w + n + l )a

W l4 n 4 lmb xm~l(ax 4 b)n dx

»i+i 4 n 4 2

(n 4 l)b (n 4 l)b

2 I N T E G R A I S E N V O L V E N D O v & i b

17.2.3

17.2.4

x 2 dx 2(3a2x 2 - 4 abx + 8 b2)V a x + b

dx

15a

1 lV ax + b - V bIn I ------------- -y/b \Vax + b + v b

x V a x + b 2 /ax + bI v = í arc ' * —b

17.2.5

17.2.6

dx ax + b ax 2V a x ï b bx 2b

dxocVax + b

V a x + bdx =2 V (a x + b)3

3a

[Ver 17.2.12]

17.2.7. 2(3ax - 2b) n--------x V a x + b dx = ------— ------V (a x + b)

15 a 2

17.2.8 * !--------- 2(15a2x2 - 12abx + 8b2) n--------—*x2V a x + bdx = —------------------ --------------- V W + b r105a3

17.2.9 vax + bx

dx = 2 V a x + b + bdx

x V a x + b[Ver 17.2.12 J

17.2.10 vax + bdx = —

xV a x + b a f dx

x 2 I x V a x + b [Ver 17.2.12]

17.2.11 xm

V a x + b dx = 2xm V a x + b 2 mb(2m + l)a (2m + l )a J V a x + b

x rn-1dx

17.2.12

17.2.13

17.2.14

17.2.15

dx V a x + b (2m - 3)ax m V a x ï b (m - l)bxm_1 (2m - 2)b I x m_1 V a x T b

dx

x mV ax + bdx 2x

Vax + b------------- dx

(2 m + 3)a

V a x T b

(ax + b)3/2 _ 2mb(2m + 3)a V a x + bdx

x ( m - l)x m- T + — 2 — I1 2(m - 1) J

dxx m 1 V a x T b

V a x T b — (ax + b)3/2 (2nt------ -— dx -------------------------- ------- - 5)ax (m - l)b xM'-1 (2 w - 2)b

V a x T bx m -l -dx

17.2.16 1 ..........a2(m + 2)

17.2.17 + b)~" dx = + h)(jM+4y2 2fc(a* +a 2(m *f 4) a 2(m 4- 2)

17.2.18 x*(ar + 6)«'* dx = -2(qag_+ b)(m+81/2 _ 4b(as + by-+*y2 2b2(ax +a 8(m + 6) aa(m + 4) a a(m + 2)

17.2.19 (ax + b)m/aX

fix - 2(ax í b>‘"/* + ir (<** +x

17.2.20 (ax + b)m/2— dx * —2

(ax + b)(m* av'a niabx 2b

(ax + b)m/2x dx

1 7 . 2 . 2 1 dx 2x(ax + b)m/2 (rn — 2)b(ax + 2 + dx

x(ax + b)(m~2VÀ

C a p ít u l o 1 7 • T a b e l a s d e In t e g r a is In d e f in id a s E s p e c ia is

3 IN T E G R A IS E N V O L V E N D O ax * b Epx + «

17.3.1 dx 1_ ______ , (p x + q(ax + b)(px + q) bp - a q l âr"+"ib

17.3.2 x d x 1(a x + b)(px + q) b p -a q

b Q-\n (ax + b ) - -\ n (p x + q)a p

17.3.3 dx 1(a x + 5 )2(í*k + q) bp aq

1+

17.3.4 xd x 1(ax + b)2(px + q) b p - a q [ b p - a q

ax + b bp — aq

q (ax + b ln

p Ipx + q ln

ax + b

bpx + q ) a(ax + b)

17.3.5 x 2dx b2+ 1 Q2

(ax + b) (px + q) (bp - a & fta x + b) (bp - aq)2 i p ln (px + q) +b(bp - 2 aq) ln (a x + b)

a

17.3.6 dx 1(a x + b)m(px + q)* (n - 1 )(bp - aq)

1(a x + b)m '(p x + q)

+ a(m + w — 2)

M-i

dx(a x + b)m(px + q)»i-i

17.3.7 ax + b px + q

dx = a x bp — aq — + ------ ;— ln (p x + q)P P

17.3.8 (ax + b)m

(p x+ q )"dx —

- 1(n - 1 )(bp -a q ) [ (px + q)

f (ax + b)m+1+ (n — m — 2 )a(ax + b)m

(px + g)"*1dx

- 1 f (a x + 5)m----------------r + m(bp — aq)(px + q)n

m—1(ax + b)(px + q)"

dx

1 f (ax + b)m f (ax + b) -------------i ----------------- —ma ---------- ——rdx(n — l ) p 1 (px + q) 1 — i

m-1

(px + q)'

4 IN T E G R A IS E N V O L V E N D O Vax + b E px + q

17.4.1px + q 2(apx + 3aq — 2bp)

Vãx + b 3 aa

17.4.2

1 t / Vp(ax + b ) - Vbp - aq V b p -a q V p n \ Vp(ax + b) + V b p -a q

(px + q )V ax + b 2V a q -b p V p

arc tgp(ax + b) a q -b p

17.4.3V a x + b px + q

dx =

2 Vãx + b V b p -a q f Vp(ax + b ) -V b p -a qn l y/p(ax + b) + Vbp — aq+

V pV p

2V ax + b 2 V a q -b p ^ lp(ax + b)

P pV p a q -b p

17.4.4 (px + q)n y/ax + b dx = (2 n + 3)p

17.4.5

(px + q)n (2n + S)p J V ax + b

(2n - 3)a

dx

to Vãx + b________ (2 n - 3 )o f(px + V o « 'Í 6 = (n - l ) ( « a - M (P * + q ) - 7 2 (n - l ) ( o q - bp) J ( ^ + « ) " '1

M a n u a l d e F ó r m u l a s e T a b e l a s m a t e m á t ic a s

17.4.6

17.4.7

5

17.5.1

17.5.2

17.5.3

17.5.4

17.5.5

6

17.6.1

17.6.2

17.6.3

17.6.4

17.6.5

17.6.6

17.6.7

17.6.8

17.6.9

(px + g)" 2(px + g)" \/ãx + b 2n(aq - bp) —. dx -------------------------------H---------------------Vax + b (2n + l)a (2n + l)a

Vax + b —V ax + b a ------------- dx ------------------------------ tH----------------(px + qY (n — l)p(px + g )"- * 2( n - l ) p

IN T E G R A IS E N V O L V E N D O V S Í T E E v p * T g

dx2

Vãpln (Vaipx + q) + Vj>(ax + £))

V(ax + b)(px + q)v -a p

2 / -p (a x -4- b)arc tc a(px + q)

xdx V(ox + b)(px + q) bp + aqV(ax + b){px + q) ap 2 ap

dx(ax + b)(px + q)

j----------------------- 2apx + bp + aq /— --------------v(ax^nb){põcT^)dx * ------------------------V(ox + b)(px + q) -

4ap(bp - og):

8 ap

+ q v(ax + b)(px + q) aq — bp -----<ir = ----------------- --------- + ------------

ax + b a zadx

{ax + b)(px + q)

dx 2 vax + b(px + q) V (ar + b)(px + q) (aq — 5p) V px + q

2 2IN T E G R A IS E N V O L V E N D O * + adx 1 x

Ü ------õ - — arc tg —x2 + a2 a a

xdx 1 . j o%= — ln (x + a2)x2 + a2 2

x2dx xx2 + a2 w a

X s d x x 2 a2 2--------------ln (x2 + a2)

= x — a arc tg

x2 + a2 2 2

dx 1 / xln

x(x2 + a2) 2a2 \x2 + a2

dx 1 1 xo, õ ,— 2T “ -----õ--------ã arc tg —x2(x2 + a2) a 2x a3 a

dx 1 1 / x2ln

x3(x2 + a 2) 2a2x2 2a4 \x2 + a2

dx x 1 x(x2 + a2)2 2a2(x2 + a2) * 2a3 &rC a

xdx -1(x2 + a2)2 2(x2 + a 2)

C a p ítu l o 1 7 • T ab ela s de In te g r a is Indefinidas E speciais

17.6.10 x2dx xx 12 _L ~2\2 n>/_2 . _2\ + ~ a r C t g —u(x + a 2)2 2(x2 + a2) 2a

17.6.11xsdx a 1

(*2 + a2)2 " 2(x* + a2) + £ l n + ° 2)

17.6.12dx

x(x2 + a 2)2 2a2(x2 + a2) T 2a4, 1 i / x + ----- ln

x2 + a2

17.6.13dx 1 x 3

x2(x2 + a2)2 a4x 2a4(x2 + a2) 2a* arc tg a

17.6.14

17.6.15

17.6.16

dx 1 1x3(x2 + a2)2

dx 2 . «

1---- rln X'

2 a4x 2 2a4(x2 + a2) o 6 U* + «*

X

(x* + a2)" 2(n - D a V 2 + a2)__ 2n - 3 C dx"~l (2ti - 2)a2 J (a:2 + a2) " '1

xdx - 1(x2 + a2)" 2(n - l)(x2 + a2)""1

17.6.17(ir 1

x(x2 + a2)H 2(n - l)a 2(x2 + a2) +2W-1 a2dx

x(x* + a )2\»i—1

17.6.18 x mdx f xm 2dx 2 f xm~2dx(x2 + a2)" J (x2 a2)M_l a J (x2 + a2)"

17.6.19 mdx dx dx(x + az)2v a2 x m(x2 + a*)2\m —1 I ~m-2/ .2 _L „2via xm-*(x* + a*)'

7 IN T E G R A IS EN VO LVEN D O * 2- a2, x2 > a

f dx 1 / x - a \ 1 ,17.7.1 —----- - - — ln I ------- ) ou — arccotgh-

J x — CL 2a \x + a ) a a

,7.7.2 í m ^ - a 2)

o 2x2-a r 2a

xdx 1— _ lix2- a 2

“ i J 2

x2 dx = x +x2 — a2

x* dx X aBB 'x2- a 2

«■i2

dx

x -a \ln I — — ) x + al

17.7.4 f xSdx- m — + — ln(xa- a J)J x * - a ? 2 2

17.7.5 — í = ^ - r - - ^ l n1 /a:2 - o2

arfa:2- a 2) 2a2 V *

r dx 1 1 x -a \17.7.6 J í ^ r r ^ - ^ + i ^ ln U + a )

17.7.7 * stea - o*) " 2o V ~ 2^ lU(x3-a 2

1 7 , 7 , 8 / ( x - ax + a

1 7 .7 .9xda: -1

(x2 - o*)2 2(*2 - o2)

Í x2dxI (X2 - a2)2 ’

f Xs doc - a 2 1 t %, 7 - 7 - 1 1 j **

17.7 .12 I ~.1 . t - i - l n ' **r dx

J x(x2 - a 2)2 ~~ 2a2(x2 —a 2) 2a4 * \ x 2 —a 2

i t t i * h dx 1 X 3 / x - a 17.7.13 I —— ------- — ------------------------------------------- Inx ’ (x - a 2)2 a 4x 2a4(x2- a 2) 4 a 5 I x + a

17.7.14 dx 1 1 1 X 2+ — Inx*(x2 - a 2)2 2a4x 2 2a4(x2 - a 2) a* l x 2 - a 2

17.7.15 1 *** ” * 2 n “ 3(xa - a 2)" 2(n — l ) a 2(x2 - a 2)"-1 (2« - 2)a2 I (x2- a

17.7.16 Í - xdx - _______J (x.2 - a2)" 2 (n - l ) (x * -< ia)“-*

17.7.17 f *** ________ Z l ________ _L fJ x(xa - a*)" 2(n - l)a 2(x3 - a * )" '1 ~ a 2 J x(x2 - a 2)”" 1

17.7.18 Í - x-mdx = f + (1» fJ (x2 — a 2)" J (x* — a 2)"“' J (x2 — a 2)"

17.7.19 Í ------- — -------= -L f ----------^ ________L [ **J x m(x - a 2)- a 2 J x - ^x* - a2)" a2 I x m(x2 - a2)"-

8 IN T E G R A IS E N V O L V E N D O a 2 - * 2, * 2 < a 2

17-8-1 j ou ^ "<= t g h I

17.8.3 f 4 ^ j . - I + 2 l n ( £ i £ \J a ? - * 2 2 V o - x /

i t o x f * 8d r x* a*17’8 '4 J ã 2^ x 2 “ “ T _ T ln (

17.8.5 f — i n / * *I _ „2\ 0^2x (a2- x 2) 2a2 l a 2- x 2

, 7 -8 ‘

, 7 -8 - 7

17.8.9 ■ xdx 1(a2 - x 2)2 2(a2- x 2)

CAPfTULO 1 7 • TABELAS DE INTEGRAIS INDEFINIDAS

17.8.10

17.8.11

17.8.12

17.8.13

17.8.14

17.8.15

17.8.16

17.8.17

17.8.18

17.8.19

9

17.9.1

17.9.2

17.9.3

17.9.4

17.9.5

17.9.6

17.9.7

17.9.8

17.9.9

x*dx(a2 - x 2)2

Xa dx(a3 - x a)a

x________1 I a + x2(aa - x*) 4a V<T-x

a 1^ í 3 ^ + - ,n (a a - x a)

dx2 — -y.2 2

1x(aÁ - x2)2 2a 2(a2 - x 2) 2a4

1 I X+ — -ln

2

a 2- x 2

dx - 1x a(a2 - x2)2 a4x ' 2« 4(aa - x a)

+ X 3 /a + x + — - ln

4a » a — x

dx - 1x\ a 2 - x2)2 2a4x 2 ' 2a4(a3 - x 2) T a6

+ 1 1 / x + — ln

2

a2 - x2

dx x(a2 - X2)" 2<» - l)a 2(oa - x a) -> T (2n+ 2 n - 3

— 2)a2dx

2 _ _2\m-1(a ^ -x ^ )

xdx 1(a* - x 2)" 2(n - 1)(«2 - x2)

dx

x(a2 - x 2) h 2(n - l ) a 2( a 2 - x2)”-1 a2+ 1 dx2 _ «2\h-1x(az - x )

x mdx(a2 - x 2)H

= a2 m~2dx(a2 - x 2r

x m~2dx

(a2- x 2r " 1

dx 1 d x + 1x m(a2 - x 2r a 2 I x w(a2 — x2)"“1 a2 x m-*2(a2- x 2)M

d x

N T E G R A IS E N V O L V E N D O \Æ + a2

dx, -n----- g = ln (x + V x 2 + a 5)V * r + a*4 o u a r e s e n hx

a

XdX / H R/ » .... = f = V x 2 + a 2

V x 3 + a 2

X 2 dx 2

2-------- ln ( x + V x 2 + a 2)

2!

x*dxx 2 + a

(X 2 + a 2) ^ 2

3- a 2 V x * + a 2

a 2x

V x 2 + a 2 1 / a + V x ^ + a *- + — r ln2 22a*x 2a X

a

2+ — ln ( x + V x í a 2)

2

x V x 2 -f a 2 d x =( x 2 + a )

3

2\3/2

V x 2 T a 2 d x =

10 0 M a n u a l d e F ó r m u l a s e T a b e l a s M a te m á tic a s

17.9.10 x2V xä + a2dx - + a2)V2 a2x a4 8 - — ln (x + V x + a2)

17.9.11 f to - { ? + ft2)V2 « V + gT a5 3

17.9.12 dx =X

- a ln a +X

17.9.13 Vx* + a2dx = — a

X X+ \n(x +

17.9.14 V x2 4- a2dx = —Vx2 + a2 1

X 2a*2 ------ ln a 4- V x2 + a22a

17.9.15 dx( X 2 4- a2)*V2 a

17.9.16 xdx - 1(X2 + a2)372 V F + a

17.9.17 x2dx -X(X2 + a2)*2 V x 2 + « 2 + ln (x 4- Vx2 + a2)

17.9.18 xs dx(x2 4- a2)V2

a2r 4-

V# + a2

17.9.19 dx 1x(x2 + a2)*'2

17.9.20 r dx J x 2(x2 + a

a2 Vx2 4- a2 a3

Vx4 4- a2

1 . / a + Vx 4- a2 -----rlnx

x2 •*3/2) a4x a4 Vx2 + a2

17.9.21 dx 3x3(x2 4- a2)372 2a2x2 Vx2 4* a2 2a4 Vx2 4- a2 2a5

3 /a + + — - lnx

17.9.22 , * — . + « 2)3/2 . 3a*xVSF+7 3 ,(x 4* a ) dx = ------- -------- + --------- --------- + ~ a 4ln(x +4 O O

17.9.23 x(x2 + a2)3/2 dx2 « « 2W2(x 4- a -8)

5

17.9.24 x2(x2 4- a2)3/2 dx = x(x 4- a ) 6

aatar + fl)124

a4xV x2 4- a2 a®16

17.9.25 x3(x2 + a2)V2 dx =2 . „2\7/2(x + ar) a\x2 + a 2)ti/2

5

17.9.26 (x2 4- a2)372 (x2 4- a2)372 *-------------- dx ----------------- + a2x 3 a* - a3 ln a 4- Vx2 + a2x

17.9.27 (x2 4- a2f /2dx * —X‘

(x2 4- a2)3/2 í ------------------ -f .x 2

a " 3 _ _— 4- - a2 ln (x + Vx2 4- a2)

17.9.28 (x2 4- a2)3/2xH •dx = - Ü í « 2),V2 . 3 3 la + V t t ?

2 x 2 J2 ~ o n X

C a p ít u l o 1 7 » T a b e l a s d e In t e g r a is In d e f in id a s E s p e c ia is

10 IN T E G R A IS E N V O L V E N D O V x*^à'

17.10.2

17.10.3

17.10.4

17.10.5

17.10.6

17.10.7

17.10.8

17.10.9

17.10.10

17.10.11

17.10.12

17.10.13

17.10.14

17.10.15

17.10.16

17.10.17

17.10.18

1 7 . 1 0 . 1 9

dxy/p— ^3 ~ , n ( * + xdx

V x 2 - a2x 2dx - c r a

2 + — ln (x + V x1 - a2)

x 3 dx (x2 - a2)™— a 3 + a 2

dx 1x V x ^ i - - a r c sec

xa

— a— a a2x

dx - a - 12 ^ + 2a^arc sec

Xa

x V r - a 2 a22 ------- ln (x + Vx* - a2)

3

+3

dx = V x 2 - a2 - a arc sec a;a

x 2dx = —

X+ ln (x + V x1 - a 2)

V. dx = —1

— — — + -— arc sec 2ar 2axa

dx x(x2 - a2f /2

xdx (x2 - a 2);í/2

x2dx (x2 - a2)*'2

x*dx (x2 - a 2),V2

dxx(x2 - a 2)3/2 a

dxx 2(x2 - a2)*'2

a 3 V x 3 — a3

- 1

V x 2 - a 2+ ln (x + V x 5 - a 2)

V x 2 - a2 -a 2

1-----rare secar

xa

4 __________

- ln (x + V x2 - a2)

IJLBRA • Canoas Biolioieca Mortinho Lutem


17.10.20dx 1 3 3

xHx2 - a 2)*V2 2 a2x2 2 a 4V x * = a 2 2a®arc sec x

a

17.10.21 (xa - a 2)372 dx =x(x2 - a 2)372 3a

4 8+ —a 4 ln (x +

8

17.10.22 x(x2 - a 2)V2 dx - (x2 - a2)fi/2 5

f x(x2 - a 2)V2 a 2x(x2 - a 2)372 a17.10.23 x2(x2 - a 2)3/2 dx = - — + - -----------------

a o

16 + — In (x + V x 2 - a 2) 16

17.10.24 o . ( * 2 - a 2)7/2 . a 2(x2 - a*) x 3(x2 - a 2),V2 dx = ---------------- +2*15/2

7 5

17.10.25 j (x2 —a2- - 2)3/2 (x2- a 2)3/2 — dx -------------------

3 - a 2 - a 2 + a 3 arc sec xa

17.10.262 _ „2yV2f (x — a

J X *

2 _ _ 2\3/2dx = —(x* - a 2)

+X 2

3 3 ,— a 2 ln (x + 2

17.10.272 _ „2\3/2(«* - a 2)

x dx = —( X a - a 2)3/a 3— + _

2x2 23— •—aarc sec 2

xa

11 IN T E G R A IS E N V O L V E N D O

dx x= arc sen —ay/a — X a

17.11.2 xdxV a 2 - x 2

17.11.3 x2dx x V a 2- x 2 a 2 x------ --------+ — arc sen—2 2 a

17.11.4 f x 3dxJ Va! - i

_ (a2 - x2)*2 .---------- ----------- a3

17.11,5 dx

17.11.6 dxa 2x

17.11.7 dx2 a* x2 *2

1 , / a + ~ T -r ln 2a* x

17.11.8 V a ^ d x2

.o r x■f— arc sen — 2 a

17.11.9 (a2 - x 2)va 3

17.11.10 V a ^ . a * - « y * « 24 + x a ■ xÕ ----- * H-----arc sen —

8 8 a

1 7 . 1 1 . 1 1 J p rfr _ (Q* ~ * a)va a 2(g a - x 3)3'25 3

C a p í t u l o 1 7 • T a ö b l a b d e Intégrais In d e f i n i d a s E s p f c i a i s

1 7 . 1 1 . 1 2x dx - V a u - x 2 - a ln a f

x

1 7 . 1 1 . 1 3a — xx dx - -

xx-a r c »en—a

1 7 . 1 1 . 1 4xa dx » — a* - x* 1 a + V a 2 x

x

1 7 . 1 1 . 1 5dx

(a2 - x 2)372 a2

1 7 . 1 1 . 1 6xdx 1

(a2 - x 2)372 a - - x

1 7 . 1 1 . 1 7x2 dx

(a2 - x 2)va — arc sena

1 7 . 1 1 . 1 8x3dx

(a2 - x 2)*2a

1 7 . 1 1 . 1 9dx 1

x(a2 - x2)*21 , / a + V a 2 - x 2 lna v a - r a x

1 7 . 1 1 . 2 0dx

x2(a2 - x a4x + xa v a ~ ~ x

1 7 . 1 1 . 2 1dx -1

ar*(a2 - x ' f * “ 2 Ã V o ! x5 +3

2a4V a a - * a 2a"

1 7 . 1 1 . 2 2............... „ . *ía2 - íc*)“''* , 3a*xVã‘ - x ' 3 . x(a* - x*)*2 dx ------------------ + --------------------+ —a arc ie n -4 8 8 a

1 7 . 1 1 . 2 3 xCa2 - x* fn d x ~ -(dÀ - x')"*

1 7 . 1 1 . 2 4 x z(a* - x 2)*2 dx - -x(o* - f T » a2 .

0 + 24á‘x(a* - x*Y>/* a*x

+10

o, a X+ TT &rc Hcn— 16 a

17.11.25 x ls(a* x2? '2 dx (a* - x*)7/a 7

aa(a2 — x2)Â/25

17.11.26 (a*-**)*'* . (a* — iB*)w- - -------- » — /a + v o - idx -------- r :— - + a war - x2 - a In2 _ «2\H/2

3 x

17.11.27 (a2-x*)*/3 ---------------dxx x 2

• t arc wendCX

a

17.11.28 (a2 - x ^ 2x » í/.r » - ( a * -x 2)V2 í* V « --x * 3

2x2a + V a2 — 5?

x

M a n u a l d e F ó r m u l a s e T a b e l a s M a te m á tic a s

12

17.12.1

17.12.2

17.12.3

17.12.4

17.12.5

17.12.6

17.12.7

17.12.8

17.12.9

17.12.10

17.12.11

17.12.12

17.12.13

17.12.14

17.12.15

IN T E G R A IS E N V O L V E N D O a * 2 + bx + c

dxclr2 + bx + c

2 2 ax + b—====== arc tg—= = = = =V4ac - b2 V4ar - b*

1V/)2 - 4 ac

ln2 ax + b - Vb* - 4 ac 2ax +b + V b2 - 4ac

Se 6“ = 4ac, ax + bx + c = a(x + b/2a)2e os resultados de 17.1.6 a 17.1.10 e 17.1.14 a 17.1.17 podem* usados. Se ò = 0, use os resultados da página 96. Se a ou c = 0, use os resultados das páginas 92-93.

xdx 1 * b— -— -------- = — in {ax'- + bx + c) ------- , ,ax + bx 4- c 2a 2a íl ax + bx + c

dx

x2dx x b b2-2 a c f dx— 9— ;-------== — ln («x + bx + c) + ---------— — -— --------ax +bx + c a 2a 2a“ I ax +bx + c

xm dx nt-l x n,~2dx bax2 -\-bx + c (m - 1 )a a I ax2 + bx + c a ax2 + bx + c

x tu~1 dx

_____ dx_______ 1 / x2 \ h T dxx(ax2 + bx + c) 2c \ ar 2 4-ba* 4-c J 2c I ax2 + bx + c

dxx 2(ax2 + bx + c) 2c

dx

b / ax2 + bx + c\ 1 b2 - 2ac = ^ ,n ' — =— ' — +,2 cx 2c2

dxax2 + bx + c

bx"(ax2 + bx + c)

dx

(n - 1 )cxM-ldx a

c I x" '(ax2 + bx + c) c | x" 2(ax2 + bx + c)dx

2 ax + b + 2a(ax + bx -f c)2 (4ac — b2)(ax2 + bx + c) 4ac — b2 I ax2 + bx + c

dx

xdx bx 4* 2c b(ax2 -f bx 4- r)

x2dx

(4ac - b2)(ax2 4- bx + c) 4ac - b2 || ax2 + bx + cdx

(b2 — 2 ac)x + bc 2c(ax2 + bx + c) a(4ac - b2)(ax2 + bx + c) 4ac - b2 I ax2 + bx + c

dx

xm dx m-l(ax2 + bx + c) 4* ( m — 1 )c

(2»t - m - l)a(nx2 + bx + c)""1 ( 2 n - m - l ) a J (ax1 + bx + c)"x m~2<lx

(n - m)b m-l dx(2n -m - l)a I (ax2 + bx + c)M

aw-i dx 1(ax2 4 bx + cT a I (ax2 + bx 4 c)M-l a

,2 » - 3 dx(ax* + bx + c)“ a i (ax* + bx + c)"

2h -2 dx

dx 1 bx(ax2 4 &r 4 c)2 2c(ax2 4 bx 4 c) 2c I (ax2 + ba* + c)2

dr 4 dr.r(aa*2 4 ba; + c)

dx 1 3aJTÀ(<IX2 + bx+ c)2

dx

cx(ax2 4 ba* + c) c

1

dx 2b(ax2 4 for 4 c)2 c

dr

xw,(ojr2 4 ba* 4 r)"( m + 2 n - 3 )a

a*(ar2 + bx 4 c)2

da-(m - l)rar,w ‘ (ax2 4 bx 4 c ) " '1 ( m - l)c 7*4-2/__2(ax^ 4 bx 4 c)"

(m + H - 2)b( m - 1 )c

drarm l(a*r2 4 fxr + c)M

13

17.13.1

17.13.2

17.13.3

17.13.4

17.13.5

17.13.6

17.13.7

17.13.8

17.13.9

17.13.10

17.13.11

17.13.12

17.13.13

17.13.14

IN T E G R A IS ENVO LVENDO V^ + b x +Nusados*1«;ta‘,08 8egu,ntes’ se *>* = 4ac, Vaxi + bx + c = VR(x+b/'2a) e os resultados de 17.1 usados. Se 6 - 0, use os resultados de 17.9. Se a = podem ser

0 ou c ~ 0, use os resultados de 17.2 e 17.51

ln (2V a Vaã? + bx + c + 2ax + b)ax* + hx + c / 2 ar 4* bare sena Vb2 — 4 ac ou 1 . / 2ax + b—7 = are senh — 7 .Va \V4a c - b 2

x d r V f l r T b i Tbx + a

£ __b_ [ dx2a I V ax3 + bx + c

x 2dx 2ax 3b y— T m ------ 35a - 4acV õ P + bx + c a~* -Vax2 + bx + c +4a 8a"

dxVax2 + bx + c

1 / 2 Vê Vax2 + bx + c + bx + 2cV f , n ------------------- 1-------------------

ax“ + bx + c 1 / bx + 2carc; sen 7——7-,\ |x| Vb3™ 4ac ou

V?arc senh bx + 2c

|x| V 4 a c -b 5

dx Vax* + bx + cx 2 V ax5* + bx + c

bCX

dx2c I x Vax2 ï bx + c

- /— 5——r—-— , (2ax + b )V a jrT bx+ T 4ac — b2 V ax2 -f bx + c dx ------------- -------------------- + ------------4 a 8a

dxax + bx + c

y— «— -------- (ax2 + bx + c)3'2 b(2ax + b) ,— *— --------x V ax2 + fax + c dx = --------------------------------- ----- V a x + b x + c3a 8a2b(4ac - b2)

16a2

dxVax2 + bx + c

________ 6 a x -5 b . . ~/9 5b2 - 4ac ,, ,— ç———— .x2 V ax2 + bx + c dx = — - - (ax2 + bx + c)3/2 + ----- —r— II Vax2 + bx + cdx24 a 16a

V ax2 + bx + cx

dx = Vax* + bx + c +dx

Vax2 + bx + c+ c dx

x Vax + bx + c

V ax2 4* bx + cx 2

dx = -Vax + bx + c + a

dxVax2 + bx + c

+ dxx Vax 2 + bx + c

dx(ax2 + bx + c)

2(2ax + b)3/2 (4ac - b2) V ax' + bx + c

xdx 2 (bx + 2c)(ar2 + hx + c fn (b2 - 4ac) v W J + fce + c

x2dx (2b2 - 4ac)x + 2bc 1 + —

dx

(ax2 + bx + c)3 / 2 a(4ac - ti2) Va*3 + bx + c a J Vax* + ta + c

dxx(ax2 + bx + c)3 / 2

dx bx Vax2 + bx + c 2c il (ax2 + bx + c)

dx, 3 / 2

i m a n u a l d e F ó r m u l a s f T a b e l a s M a t e m á t ic a s

17.13.15djr » —

x2(ax2 + te + c)'ax* + 2/xr + c- b* - 2ac

2cadx

+ ar + c (a r2 + t e + c)3/2

3b2r2 + te + c

17.13.16 (ax* + fw + c)l,+l/* dx m 4rt(l! + 1)»*♦1/2 (2 n + 1 )(4ac - b2)

8a(n + 1 )

17.13.17(CMC2 + te + cY'**/À b I ( 2 4. »VE 4- cl*4 „ V.“ 4- Ji y 4- ^H+l/2 /Jr = ------ - ------- I (0X + WX T C)x(ax + te + c ) dx rt(2n + 8) 2a

«♦í/a dx

dx _ _____ 2(2ox + b)17,13,18 1 (ax2 + hx + c)H+I/a " (2n - l)(4ac - b2)(ax* + hat + c ) " "^

8a(n - 1 ) f d*

17.13.19

+ (2h - l)(4nc - b*) J (ax2 + bx+ c)”~xn

Ax 1.War* + hx + r)"+l/* (2n - l)e(ax* + bx + c)M' ,/!l

1 f dx b f dx+ •c I .riar' + hx+e)"-172 2c I (ax2 + bx + c)'*l/2

1 4 IN T E G R A IS E N V O L V E N D O * 5 + a 3Observe que para fórmulas envolvendo x — a , substitua a por —a

f dx 1 (x + a)2 1 2x - a17.14.1 —------ “ — ln -r-------- -— - + — 7= are tg-----j=-J 3? + a 6a2 x2-a x + a2 a2v 3 aV3

. f xdx 1 x2 - ax + a2 1 2x — a17.14.2 —------«= — ln— ------ -T— + — 7®arc tg-----^* * + «* 6a (x + a)2 a \/3 aV 3

I x dx 1 J x8 + a8 317.14.3 T * — ln (x® + a8)

17.14.4 !| — ^ £ _ a3- L i n / * *x(x8 + a3) 3a8 \ x8 + a8

1 7 1 i . f __ dx 1 1 x2-a x + a2 1J x2(x* + a8) a8x 6a4 ” (x + a)2 â^Vs ar° tg

2x - a aVS

17.14.6 f — Í í — --------- £-------+ — ln (* + «)* 2 . 2s - a(x» + a Y 3« V + a») 9a® x* - ax + a* 3a*\^) "õvTs"

17 14 7 f x2 1 x 2- a x + a2 1J (x8 + a*)* Sa^x* + as) 18o4 " (x + o)a + 3a V s *g

17.14.8 f ------------- 1J (x* + a8)2 3(x3 + as)

2x — aaV S

17.14 9 ____ 1 1x íx “ + a ” )1 ” 3a V + a» )+ 3a8 ( x 8 + a "

- V2dx

C A K T U .0 1 7 • ) AMKAS l '« InU UHAiíi iNOtftNtQAil i â P W Â li

17.14.10 ítr^ 1________ 4 C xtlr**(xs + a*)* " a V HoV* + «*) ~ Sto» J 1Vw l™ ' * 1

17.14.11 f í T í EJ x* + a s m - 2 J x» + a*

17.14.12 f — ---------- « -------- ~l 1 íJ jt-í** + as) a 3( « - l ) x —> n* I

ílx

1 5 IN T E G R A IS E N V O L V E N D O X 2fc fl

I 7 i ç i f _ 5 f e _____ r 1 . / JP* 4* c u r V S 1 t . x \ / ï \ K W f

f X<*X 1 J ar4 + a4 ™ 2c17.15.2

««ti« f xtÆr 1 . /ar*-aeV5+a*\ 1 / *V5\ /. *VS\1J ~ w r ln U ^ T ^ r r ^ ) “ ^ v ã r ° * ( 1 ) - « r « t R( 1 + — ) j

17.15.4 í 4 ^ 7 = - In (x4 + o4)J * 4 + a4 4

17.15.5 í — In ( ; )J x (x 4 + a 4) 4a \ * 4 + a 4/

_____ „ f d* l i . /Xa - a * V 5 + «*\ 1 r I. *V ã\ / . ,* V 5\117*15-6 J l n + i ^ r c ‘H 1 " V " ) - « r c t g ( i + —

f dx 1 1 * *5,7 I x\x* + a 4) “ " 2« 4x* ~ 2«8 HrC tg a*

f dx 1 í x - a \ l k xJ ^ ^ “ ( ï ï ï ) - 5 P «

( xâ x 1 / x * - a a\

r dx i . / * - « \

,7-,su J - À (f )+ 17-, 5 U í í ^ ? i - ^ ln ( S í í

1 6 IN T E G R A IS E N V O L V E N D O * " ± a n

17.16.1 I ----- — — = _ L ln_ _ í ! _xfx’1 + a") na" x" + a"

17.16.2 I - n lni[xH+a"]

17.16.3 f , í -«"'"«to f x " -d x(x" + a")r J (*" + a")1" 1 I (x" + a T

« ’"(a:" + a’1)’’ a" J x m(x" + a”)r_1 a" I x m_,,(x" + o ”)''

17.16.5 I - 1 » / V « l, + aw- v lai;\x V x " + a " w V ã7 \ V x " + a " + V a " /

17.16.6 í -----— ___ ____— ln ~ a>lx(x" - a**) n a " \ x "

17.16.8 í ~^mdx - a. í , f( x " - a T J ( x " - a T J ( x " - a ’T ~ ‘

17.16.9 f -------— ____ í t e 1 f dx

17.16.10

x“ (x" - a")r a" J x m- ( x " - a")r a" I xm(xM - o T 1

dx 2” / M M = — 7== arc cos x v x - a" n Va"

17.16.11 I = -----i___V ;cn (2fe ~ 1)P” - - - / « + a cos K2fc - l)ir/2m] \I jf 4- / 7 n arc t£ I IJ x +a ma p " 2m °\ asen[(2/c- l)7r/2m] )

ondei 0 £ { m asen(/c7r/m)1

+ { l n (x ~ a ) + 1 ) P ln (a:+a))onde 0 < p á 2 m .

17.16.13 I ~ X P l(Lr---- -- ------ g L 1 1____________V _2/cP” . /x + a cos (2/cir/(2+ a IW+I (2m + l)a 2w~p* 1 ~ 2m + 1 arc tg( “ ^ e n [2 ^ /(2 mm + 1)1

Ç I )1* 1 V ' 2kpir ( 2kir(2m + D a2- - ^ ‘ 2 y Cos^ T Ï ln ( x ' + 2ax 008 + 1 + a "{ (-íy -M n Ç x+ a )

(2m + l)a2m’ ^ 1onde 0 < p í 2m + 1.

17.16.14

17

17.17.1

17.17.2

17.17.3

17.17.4

17.17.5

17.17.6

17.17.7

17.17.8

17.17.9

17.17.10

17.17.11

17.17.12

17.17.13

17.17.14

17.17.15

17.17.16

x 2w + 1 — a 2 m+ l ( 2 m + l l ? ^ 7 r 2 seni ^ T arc ^ f — aC° 8l2fc,r/(2 m + l )lkml + i \ a sen I2kfr/(2m + 1)]

--------------------1 __________ V 2 k V 7 T / A O L -

(2m + l ) a 2w'P + i Z cosÏÏZ , ï l n ( * - 2a x co s— ------+ a2km\ 2 t n + l+ ln (x - a)

(2m + o n d e O < p S 2w + l .

IN TE G R A IS ENVOLVENDO s e n ax

sen axdx =a

a 2 a

x - sen ax dx - ^ fs e n a x + cosax

x» sen o r a , - ( 2 £ - - i ) ,e„ « + _ * 1 , cos

senax (axf iarV’---------- d r - a x ---------— + • « *

3 -3 ! 5 -5 !senax senax f cosax

— clx = --------— + a I ---------- rfx [Ver 17.18.51

ííj* X j ax----------- = — ln (cosec ru* - cote a#) = — ln tg—senax a a 2

xdx 1 f (a x f . 7(ax)5 2(22" -1 - 1 )B„(ax)2H+‘« x H-----------1-------------!-••• + — ------------------------ -— + • • •senax 18 1800 (2n + l ) !

, x sen2 axsen axdx ----------------------

2 4a

x 2 xsen 2ax cos2ax x sen axdx = ——

4 4a 8a 2

cos ax cos3 axsen;l ax dx = ------------- +

a 3a

Sx sen2ax sen4ax sen4axdx « —--------- ------- + —rr—8 4 a 32a

dx 1 — -— ---------cotgaxsen ax a

dx cosax 1 „ ax-— + — ln t g -2 « w. O/ . ° fsen;,ax 2asen2ax 2 a 2

sen (p -<7)x sen(p + <j)x ,0 ________senpxsenqxdx = —— -------- :--------- 0 , , * (Sep - ±q, ver 17.17.9.J

2 (p ~ q) *U> + 9)

dx 1 . / 7T ax\= ~ t g ( - + — )1 —senax a \4 2 /

17.17.17 / 1T (IX*dx / i r a x \ 21 -s e n o x a \ 4 + 2 / õ * ln 8 e n ( 4 ~ *2

17.17.18 dx 1 . / 7T ax— ----------- -------- tg | -----------1 -t-senar a \ 4 2

17.17.19 xrtx1 + sen (ix

— te ( \ 2 i (ir ax „ T - — I + — ln s e n f—+ —« \4 2 / a 2 14 2

17.17.20 dx( 1 - sen ax) 2a

17.17.21 rfcr( 1 + sen ax)2

1 / 7r 2 „ ‘ g ï

a r 2

1 » f i r a x

17.17.22 dx «P + q senax

ptgjax + qV p 2 - q2

1aVq - P

=rln

S ep = ±q, ver 17.17.16 e 17.17.18.

ptg^ax + q - y/q2 - p 2í) tg ^ a r + qf + V q2- p 2

17.17.23 da: qcosax(p + qsenaxf a(p2 - )(p + q sen

Sep = ±q, ver 17.17.20 e 17.17.21.

+ Po •>

p - < r

d rp + ç sen a r

17.17.24

17.17.25

17.17.26

17.17.27

p2 + q^senfaxdx 2 „__2 -------— : arc ter y p * + q2tgax

a p V P l l ® g P1

p * - q2 sen2 aa:

- ............. arc tg .9 a tgaxapVp* - q3 ë p

p‘ tgax + p2apVq2 - p2 l y/q2 - " 2

x ms enaxdx = x m cos ax nixm~l+

- p t g a r - p

sen a r m (m - 1 )a a 2 a 2

s en axh dx sen a r + a

( n ~ l ) kr"~ , n - lcos ax

x M 2 sen a r d *

x N-l dx [Ver 17.18.30]

17.17.28

17.17.29

sen” axdx » - sen" ‘ a rco s a ran 4-

n - ln sen” 2axdx

dx -cos ax n - 2sen” ax a(n - 1 ) sen"’ f a * n - ï

dxsen" 2 a r

17 .17 .30 ~x cos a r 1Msen" a r i« ( « - D s e n — a r fl2( n - l ) ( n - 2 ) 8e n " - ^ + Tn - 2 a-flr

senM~2a x

18 IN TE G R A IS EN VO LVEN D O cos a *17.18.1 ços ax dx = sen a r

a

17.18 .2 £ cos a r dx = — x sena 2 a

17.18.3

17.18.4

17.18.5

17.18.6

17.18.7

17.18.8

17.18.9

17.18.10

17.18.11

17.18.12

17.18.13

17.18.14

17.18.15

17.18.16

17.18.17

17.18.18

17.18.19

17.18.20

17.18.21

* > o o S a*<fa - ( | r - £ ) o o s a x +

x 2 • 2! 4 -4 ! 6 *6 !

eosaa: , cosax f sen a r------- I OCUIU .

#2 ---------- -------- o — - — dx |Ver 17.17.5)

dx 1 i ím= - ln (sec a * + tg ax) = - ln tg ( - + —

, (a r)4 5 (ar)u E„(ax)2"+2*T* _ I — 4* • * • +cos a r a* { 2 8 144 (2n + 2)(2n)!

2 . x sen2ar cos flur dLr » — + -----------2 4«

4 4a 8a 2

cos3 ax dx = sen a r sen* a ra 3a

. 3x sen 2 ar sen4arcos *axdx = — + ----------- + ------------8 4 a 32a

dx tg a rcos2 a r a

dx sen a r 1 . í tt ax+ — ln te I — +3 a r 2a cos2 a r 2a \ 4 2cos ax

s e n (a -p )x sen(a + p)x rcosaxcospxdx « -------------— + x Loea2(a - p ) 2(a + p)

dx 1 k a rcotg

1 — cos a r a 2 a 2

dx 1 a rt g "1 + cos ax a 2

xdx x ax 2 axtg ------1— - ln cos1 + cos ax a 2 a 2 2

dx 1 a r 1 ;iax-------cotg — - — cotgs—(1 —cosax)2 2a 2 6a 2

« * - L tg f í + i tg » —o ® O A/l(14- cos ax)2 2a 2 6a 2

112Ma n u a l d e f o r m u l a s e T a b e la s

2

17.18.22 dxp + q cos ax

_ I a y/p* — q2arc tg (P - q)/(p + q) tg I ax

17.18.23

17.18.24

1 ln |t g ^ + V i q + pV Ç q-p)tg iax - V(q + p)/(q - p)

íSep = ±q, ver 17.18.18 e 17.18.18. J

dx q senax{p + q cos ax)3 a(q* - p*)(p + q cos Q — í « - p 2 I p

dx+ q cosax

dx 1P + q 2 cos2 ax a arc tg p tg ax

V p â + q2

[Sep = ±q, ver 17.18.19 e 17.18.20.]

17.18.25

17.18.26

17.18.27

17.18.28

17.18.29

1dx

p 2 - q2 cos2 ax«pVp^ - q’ arC *

p tgax

2ap V q2 - p ln P tg a x - p tgax +

*"* cosaxdx « 4. ^ ^ c o s a x - ^ ” “ 30a a 2 a2 x m_2co 8 axdx

cosaxXN dx = - cosax a

( n - l ) x - 1 n — 1sen ax

M-l rfx (Ver 17.17.271

cos” ax dx * sen ax cos’* “1 ax » — 1+an n cosN 2 axdx

dx senax+ n - 2

cosMax a(n - l )c o s " -1ax n - 1dx

cosH_2ax

17.18.30 x d x X senaxcos ax a(n - 1) cos" 1 ax a2(n - l)(n - 2) cos"“2 + n — 2

ax n — 1xdx

cos" 2 ax

19 IN T E G R A IS ENVOLVENDO sen ax E cos ax

17.19.1 sen ax cos axdx = sen ax 2a

17.19.2 senpx cos qx dx = cos (p - q)x cos (p + q)x2 (p -q ) 2(p + q)

17.19.3 sen" ax cos axdx —sen"+I ax(n -I- l)a [Sen = -1 , ver 17.21.1.]

17.19.4 cos" ax sen axdx = —cos"+1 ax(n + l)a [Sen = -1 , ver 17.20.1.J

17.19.5 2 « . X sen4ax sen* ax cos ax dx -----------------8 32a

17.19.6 dxsen ax cos ax a Intgax

17.19.7 A? 1 . / 7T ax— õ------------- -- —ln tg I — H —sen* ax cosax a 14 21

a senax

1 7 . 1 9 . 8dx

sen ax cos“ ax a 2 a cosax

C a p ít u l o 1 7 * T a b e l a s d e In t e g r a is In d e f in id a s E s

17.19,9

17.19.10

17.19.11

17.19.12

17.19.13

17.19.14

17.19.15

17.19.16

17.19.17

17.19.18

17.19.19

17.19.20

17.19.21

17.19.22

17.19.23

17.19.24

17.19.25

17.19.26

dxsen2 ax cos2 ax

2 cotg 2axa

sen? axcosax

sen axa

+ 1 (a x 7r - ln t g — + —~ 2 4a

senax a. ax

— ln tg —a 6 2

dxcosax(l ± sen ax)

dx

1 1 fax ir— — ----------- - + — In tg I — + —2 a ( l ± senax) 2a 2 4

1senax(l ± cosax)

dx

2a(l ±cOvSar) 2a1 ax

+ lntg—

1 ar tr—------* m ln tff í —— ■+• —-sen ax ± cos ax a v 2 l 2 ” 8

sen axdx 1sen ax ± cos ax 2 2a ln (sen ax ± cos ax)

cos ax dxsen ax ± cos ax

x 1- ~ + — ln (sen ax ± cos ax)

** — O

sen ar dx p + q cos ax

1-------ln (p + q cos ax)

aq

cosax dx 1 ------------------- -- — ln(p + q senax)p + qsenax aq

s enaxdx 1(p + q cos ax)H aq(n - 1 )(p + q cos ax)H-l

cosaxdx - 1(p + qsenax)” aq(n - 1 )(p + qsenax)H-I

dx 1 . / a r + arc tg (q/p) \----------------------- -— = w a , 2 -----------õ-----------p sen ax + q cos ax a v p + q \ 2 /

dxp sen ax + q cos ax + r

2 _ arc t„ , P + (r ~ 9) tg (ax/2)a V r 2 - p2 - q2 \ V r 1 - p2 - q2

1 p - Vp* + q2 - r2 + (r - q) tg(ax/2) a V p2 + q2* - r2 \ P + V p 2 + q2 - r2 + (r - q) tg (ax/2)

ln

e r = q,ver 17.19.23. S er2 = p2 + q2, ver 17.19.24.

dxp sen ax + q(l + cos ax)

1 / ax— ln q + ptg — ap \ 2

dxpsen ax + q cos ax ±

- 1a V » J + tg

Tr _ ax + are tg (q/p)4 2

dx 1 / p tgaxarc tg

p2 sen2 ax + q2 cos2 ax apq V Q

dx 1 . / p tgax —q ----- ln

p2 sen2 ax — q2 cos2 ax 2 apq p tg ax + q


17.19.27

17.19.28

17.19.29

17.19.30

20

17.20.1

17.20.2

17.20.3

17.20.4

17.20.5

17.20.6

17.20.7

17.20.8

17.20.9

senm 1axcos”* 1ax m -

sen™ ax cos” ax dxaim 4- n)

4-

sen”1* 1 ax cos”“1 axa{m 4- n) +

m 4-n - 1 f m 4- w J

senm 2 ax cos” ax dx

senm ax cos”"2 ax dx

senw axcos” ax dx

senm 1ax m - la {n —1) cos”-1 ax n —1

senm 2ax cos”_2ax dx

sen”'+1 axa (n —1 ) 006* 1 ax

w - n + 2 n — 1

senmaxcos”~2ax

dx

senm 1axa(m - n) cos” "1 ax m — n

+m — 1 senm 2ax

cos”axdx

cosmaxsen” ax dx =

cosw 1ax m — 1a (n —l)sen” 1 ax n — 1

cosm 2ax sen”“2ax dx

cosw+1 axa ( n - l)sen”“1ax

m - n 4*2 n — 1

cosm ax sen”_2ax dx

cosm 1axa(m — n) sen”- 1 ax m4- m — 1

ncos'” 2ax

sen” ax dx

1dx

senm ax cos” axa(n — l)senm 1 ax cos_____________ - 1

m -l

H-l 4-ax

. a(m - l)senm 1 ax cos — 1 4-ax

m 4- n — 2 n — 1

m + n - 2 m - l

dxsenmaxcos” 2 ax

dxsenm 2 a r cos” ax

IN T E G R A IS ENVO LVENDO tg ax

tg axdx 1 , 1 — In cos ax = — In sec ax a a

tg2axdx = tgax— xa

tc2 ax 1tg3 axdx = — ------ + — ln cos ax2a a

_ tg”+1axtg” ax see2 axdx =(n 4* 1 )a

sec2ax 1---------- -dx « — ln tg axtg a x a

dx 17------- --- -- lnsenaxtg a x a

x tg axdx = 1a 2

fiar)3 (ax)s 2(ax)7 2a”r2a"H----------- h —--------- h • • • H-------1—3 152 m + 1

105 (2n 4-1)! 4- • #

tg ax 2nrc>2nX 9 75 (2n — l)(2 n )! 4- # •

x tg 2 axdx x tgaxa

14- — ln cos ax a 2

x 2

2

17.20.10

17.20.11

21

17.21.1

17.21.2

17.21.3

17.21.4

17.21.5

17.21.6

17.21.7

17.21.8

17.21.9

17.21.10

17.21.11

2217.22.1

17.22.2

17.22.3

17.22.4

C a p í t u l o 1 7 • T a b e l a s d e In t e g r a i s In d e f in id a s

N TE G R A IS ENVOLVENDO cotg

dx px qp + q tg a x ~ ] F T t f + l j p T q í ) ln iq 'iena* + pC*t* ax)

tgMaxd x - f tg "- *axdx( n - 1 )a

ax

* J 1 cotg axd x =“ — ln senax

a

a

. * , co te“ ax 1cotg axd x = --------- -------------lnsenax

2a a

cotg" ax cosec2 axdx = - M+,ax(n + l)a

cosec2 ax , 1— ------------ dx ---------ln cotgaxcotgax a

dx 1ln cosax

cotg ax a

1x cotg axd x = —

a(ax)3 (ax)8 22"B H(ax)2M+1

ax —-9 225 (2n + 1 ) !

Htl •»

5----- icotgax ^ _ 1 ax _ (ax)3 22MBw(ax)2" 1

x ax 3 135 (2n — 1)(2»)!

x cotgax 1 Xax c o tz a x c h c --------------------+ — ln sen ax— —

^ a a2 2

dx px q , . , _ .------------- “ - r -— 2 , ln (q sen ax + q cos ax)

p + q cotg ax p + q a(P + 9 )

cotg"_1ax f . cotg " a x d x -------- (w _ i ^ ~ ~ J cot8

N TE G R A IS ENVOLVENDO sec ax1 1 /a x ir

sec ax dX - - ln (sec ax + tg ax) - - ln tg I — + -

tgaxsec2axdx * —

a

sec ax tgax . 1 . t . . vsec3 a x d x » ------------- 5------+ — ln (sec ax + tg ax)

2a m

sec” ax tg ax dx =sec" ax

na

1 7 . 2 2 . 5dx sen ax—■ ■■■■■ ■ sss ——

sec ax a

17.22.6

17.22.7

17.22.8

17.22.9

17.22.10

23

17.23.1

17.23.2

17.23.3

17.23.4

17.23.5

17.23.6

17.23.7

17.23.8

17.23.9

17.23.10

24

17.24.1

17.24.2

17.24.3

xsecaxdx =a 21 f (axf , (ax)4 5(0*)® EJax)2”*2

~ ______ + * * * 4-2 8 144 (2n + 2)(2n)! +

+ ^ + + . Z i * # *4 96 + 4320 + " + - £ Æ +

x sec2 a r d x ----- tg ax + ~ ln cos axa a 2

dxQ + p sec a# q q J p + q cos ax

n-2

a(n - 1) n - 1

INTEGRAIS ENVOLVENDO cosec ax

cosec ax d x ----- ln (cosec ax ~ cotg ax) = — ln tga a 6 2

2 cotg a r cosec*4 ax d r ------------—a

cosec a r cotg a r 1 axcosec3 a r d r = ^ * + — lntgO#» O« 8

„ , cosec" ax cosec" a r cotg a r d r --------------------na

dx cos a rcosec ax a

x cosec axdx = —a 2

__ . («*)* . 7(«* )5 . . 2(22" - 1 - 1)Bn(ax)2n+1t i l T ——— -----------------• • • -f- ---- ---------------- —-----------------------— -f.18 1800 (2 « + 1 )!

cosec ax ____ l_ ax 7(ax)3 2(22" - 1 - IJB^a*)2—*x ax 6 1080 + ' + (2 » — l)(2n)I +

, , x co tg ax 1x cosec* ax dx = --------- —— + — lnsenax

a a*

dx x p [ dxq + p cosec ax q q J p + qsenax 1 er 17-17.22]

cosec"-2 ax cotg ax n - 2 f cosec” ax d* = ------------ — _ -------+ — j | cosecn~2axdx

INTEGRAIS ENVOLVENDO FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS00 X

arc sen —d r = a: arc sen — Ha a

X arc sen — rir - ( — a*\ X x V a ^ -X 2x arc sen —a x — —-------- arc sen — + ------------------a \ 2 4 / a 4

x arc sen — dx - — arc sen - +a 3 a 9

C a p î t u l o 1 7 • T a b e l a s d e In t é g r a i s In d e f in

1 7 .2 4 ,4

17.24.5

17.24.6

17.24.7

17.24.8

17.24.9

17.24.10

17.24.11

17.24.12

17.24.13

17.24.14

17.24.15

17.24.16

17.24.17

17.24.18

17.24.19

17.24.20

17.24.21

17.24.22

arc sen (x/a) g x (x fa f 1 • 3ix /a)B l * 3 ‘ 5(ar/a)7 ---------------------- dx = — + ------------+ --------——-— j-------------------— +x a 2 *3 *3 2 *4 * 5 * 5 2 * 4 * 6 * 7 * 7

arc sen (x/a)dx = —

xarc sen (x/a) 1 / a +-------------------- ------- ln ------------

x a \ x

arc sen — dx — x (arc sen —\ — 2x + 2V a 2 — x 2arc sen —a) \ a a

x xarc cos —dx = x arc c o s ----- V a 2 — x 2

a a

xx a rc cos —dx =

ax2 a2 \ x x

-------— I arc co s--------2 4 / a 4

x x s x (x2 + 2a 2) V a 2 - x5x arc c o s —dx = — arccos —

a 3 a 9

arc cos (x /a) ir---------------------- dx « — ln x

x 2arc sen (x/a)

dx [Ver 17.24.4]x

arc cos (x/a)dx - -

xarc cos (x/a) 1 , / a + V a 2 — x-------------------------- + — ln I -----------------------—

x a v x

Æ / jj \ arc cos — 1 dx = x f arc cos — | — 2x —

a ) \ a )— x arc cos

xa

W (jarc t g —dx = x arc t g ----- — ln (x2 + a 2)

a a ä

x i o « ? x ax* arc tg - d x = |(x2 + a 2)arc tg - — —

“ CL &a

x ax2 a 3•K OCa ----- i ~ - d x = — arc tga 3 a o ox 2 arc tg + — ln (x + a )

arc tg (x/a) .... x (x/a)3 ( (x /a )8 (x /a )7 [ • •

X a 3 5 7

arc tg (x /a) dx =x

1 X— arc tg — _ , ox a 2a \ x 2

1 /x 2 + a 2 ln

arc cotg — d x - x arc cotg — + — ln (x2 + a 2)a «a

xx arc cotg - dx = è(xz + a 2) arc cotg - + 2

CL

x ax

x 2arc cotgx x 3 x ax2 a 3 « 2x— dx = — arc cotg — + — —- ln (x + a )3 ü a 6 6a

arc cotg (x /a) 7r ------------tLl----- i do: = — ln x2x

arc tg (x/a)dx [Ver 17.24.16]

x

arc cotg (x/a) j ___A3C

arc cotg (x /a) 1 /x 2 + a 2H------ ln

x 2a x 2

M a n u a l d e F ó r m u l a s e T a b e l a s M a te m á tic a s

17.24.23

17.24.24

xarc sec —dx =a

xxarc sec---- a ln (x +a

xxarc sec — + a In (x +

ax x a V x 2 - a

xxarc sec—dxa

—arc sec----2 a 2

x2 x aVx* — a2— arc sec — + ---------------2 a 2

X 7T0 < a rc sec — < —a 2

-it x— < arc sec — < tt 2 a

X IT0 < arc sec — < —

a 2TT XT < arc sec — < tt 2 a

17.24.25 2 X Ax arc sec—ax =a

x 3

arc sec3 a

x ax Vx* - a2 a3 . , /-*---------------------------------- In (x + V # - a )6 6

x3 x ax\fõ? — arc sec — I-----------3 a 6

a5 a3— H-----In (x +6

X TT0 < arc sec — < —

a 2

TT ^ X— < arc sec —< tt 2 a

17.24.26 arc sec (x/a) ir a (a/x)3 1 • 3(a/x)a 1 • 3 • 5(a/x)7 ------------------dx = — lnx + — + ----------+ ------- *------ + ------------------ +x 2 x 2*3*3 2*4*5*5 2*4*6*7*7

• It

17.24.27 arc sec (x/a)dxx

arc sec (x/a) V x5 - a2x ax

arc see (x/a) V x5 — aaax

X 7T0 <arc sec — < —

a 2TT X— < arc sec — < tt2 a

17.24.28 xxx arc cosec — + a In (x + V x2 - a2)aarc cosec—dx =

Cl I , jpx arc cosec---- a In (x + Vx^ — a 2)

a

X 7T0 < arc cosec — < —a 2

TT X— < arc cosec — < 0 2 a

17.24.29

17.24.30

x arc cosec — dxa

x x a vx* - a— arc cosec — + -------------2 a 2

x2 x a V x - a 2— arc cosec--------------------2 a 2

X 7T0 < arc cosec — < —a 2TT X— < arc cosec — < 0 2 a

2 xx arc cosec — dxa

X 3 x ax V x2 — a2 a3arc cosec — + ------------------h — In (x +3x

a 6x ax V x2 — a 2 a 3arc cosec----

3 a 6 ------In (x +6

x0 < arc cosec — < —a 2

7T x— <arc cosec — <0 2 a

17.24.31 arc cosec (x/a)dx =x

a | (q/x)3 | 1« 3(0/3:)* 1*3»5(q/x)T x 2*3*3 2*4*5*5 2*4*6*7*7 +

17.24.32

arc cosec.(x/a)f arc coseI ?

osec (x/a)dx

x axarc cosec (x/a) V x 2 — a2 ------------------—.+ -------------

x axTT X— < arc cosec — < 0 * a

17.24.33j xm+1

x"arc sen — dx * --------a m +1x 1arc sen-------------a m +1

m+l

17.24.34 m X . X ~ * ‘ X 1x ” arc cos — dx -----------arc cos — + --------a m + l a m + 1

m + l

17.24.35 mr ~ .m + l

arc tg —dx ----------a m + l

x a arc tg ----a m + 1 I Xa + a

m + l

rdx

1 7 .2 4 .3 6 m X £Cx"*arc cotg — dx = —a m

TO+-1—- arc cotg — + + 1 a

a x m + l

m + l T " — 3d*x2 + a 2

17.24.37

17.24.38

25

17.25.1

17.25.2

17.25.3

17.25.4

17.25.5

17.25.6

17.25.7

17.25.8

17.25.9

17.25.10

17.25.11

17.25.12

17.25.13


x m are set Xa

iLr

' J 1"*1 arc st h» (x/a)m + 1

a

x mMarc see (x/a) m + 1 +

m + 1a

m + 1

x mdx

x mdx

X TT0 < arc sec — <*ra 2

ir x ^— < arc sec— < tt2 a

m X

x m *1 a rc cosec (x/a)m + 1

+a

x ’ arc cosec—dx *»a xm arc cogec(x/a)

m + 1

m + 1

am + 1

x mdx

x mdx

X 1T0 < arc cosec a 2

TT X---- < arc cosec — < 02 a

INTEGRAIS ENVOLVENDO e tIX

e«*e“* d x -

a

c « / ix e ^ d x - — ( x - -

a v a 1 —

2 a» j e " / 2ar 2x e dx --------( x a--------+ —o V a ar

x**e** n fxneaxdx ---------------I xn~1etucdx

a a J

e“* / nxM~l n(n — l)xw"a (— l )wn!* ---- x -----------+ --------- ----------- ------------- ] se w = inteiro positivoa [ a a2 an 1 r

e®* ax (ax)2 (ax)3— dx = lnx H-------- H-----------1----------1—x 1*1! 2*2! 3*8!

e** -e®* a f e°*dx * --------------r H-------- I -------rdxx" ( n - l ^ " ’ 1 n - 1 I x

dx x 1 ln (p + qe®*)p + qe“ p ap

dx x 1 1 . ,----- — _ « _ + ---------------------------rln(p + qeat)(p + q eT “ p2 apíp + qe®*) ap2

dxpe^ + qe'** I 1 fe*1* - V ~ q /p

2a V -p q n \e®x + V -q /p

e^ía sen bx — b cos fox)e^sen fax dx « -------------r— -r-----------aÀ + bÁ

eax(a cos bx + b sen bx)e<u‘ cos fax dx » ------------ -----------------ar + b

xe~senbxdx - 8 e n ~ b 008to) _ «“ ((a8~ b 2)se n te -2abcoabx)a 2 + 5® (a* + b2)2

«v , h* w . - xe^(a cos bx + b senbx) _ e“ {(a» - b2) cos t e - 2ab sen te }a 2 + b2 (o* + b*)2

a n

17.25.15 f e"sen" bx dx » £Ï!£ ïï!liîE f„ , , , . J n(» - 1) / /sen oxax - — 2 (a a en te - nbcmbx) + ..—j a + n o a + n ò

17.25.16 I , - c o s - ta to - í ^ i í ( „ o .» ta + to, + M z Ma •+■ n o a4 + n b

2 6 IN T E G R A IS E N V O LV E N D O In v

17.26.1 I lnxdx = x lnx — a*

xa17.26.2 I x lnxdx = — (ln x - 1)

£»m+i i I _17.26.3 I xmlnxdx = — — (lnor---------- ) [Se m - - 1 , ver 17.26.4.]

— O B + 1 \ m + 1

. I, lnx 117.26.4 I -----d x * —inax

x 2

17.26.5 II ! 2 f d x - - — - ±x* X X

17.26.6 I ln2xdx = xln2x - 2xlnx + 2x

i r o z v I 1 n"xdx ln"+lx rn17.26.7 I ---------- -- — — [Se n = - l , ver 17.26.8.]x n +1

17.26.8 I ..— = ln(lnx)xlnx

, dx , x , lnax ln8x17.26.9 I ----- = ln(lnx) + InxH---------- 1--------+ •••lnx 2-2! 3*3!

■

i T O i t A { x mdx , „ v i , ( w + D M n 3 * ( m + l ) s l n s x I/.26.10 I -------- = ln (lnx)+ (rn + 1) lnx + -------------------+ -------------------+l n * 2 * 2 1 3 * 8 !

17.26.11 I lnMxdx = xln”x - n II lnH lxdx

+ \ |»%N /M17.26.12 I x 1” ln"xdx -------- — ---------- — I *mln"‘ ‘ a:da: [Se m = -1 ,1 m + l m + 1 1 L ’

17.26.13 J ln (x2 + a2) dx = x ln (x2 + a2) - 2x + 2a arc tg —

17.26.14 I ln (x2 - a2) dx = x ln (x2 - a2) - 2x + a ln x + ax - a

m + 1 m + 1 I x2 ± a 2dx

2 fox d x

r<L. COH„ * bx fix

ver 17.26.7.]

C a p í t u l o 1 7 • T a b e l a s d e In t e g r a is In d e f in id a s E s p e c i

2 7 I N T E G R A I S E N V O L V E N D O s e n h a *

i, . , c o s h a x17.27.1 I s e n h a x d x ~ ------------

a

_ - I , . x cosh a x se n h a x 17 .27 .2 x senh a x d x ------------------------a a 2

t Ç ï / d 2 \ |2 j j17 .27 .3 x 2senh a x d x = — 4- — | cosh a x ----- -senh

J \ a ar ) ar

,, s e n h a x (a x )3 (ax)51 7 .2 7 .4 d x = ax4~ — - 4 - — - + •*•

x 3*3! 5*5!

ax

. . . .. h. s e n h a x , s e n h a x f c o s h a x 1- O Q /ll17 .2 7 .5 I -------; — d x = --------------- 4-a ------------- d x [V e r 17.28.4]ar x . i x

d x 1 ax17 .27 .6 -------— = - l n t g h —

senh ax a 2

17 .27 .7xd x 1

.2»+!

senh ax doax? 7(az )5 ^ 2 (— l) " ( 2 2n - l)B „ (a x )

^ 18 + 1800 ( 2 « + l ) !• »

. 0 senh ax cosh ax x17 .27 .8 II senh2 ax dx * ---------- — 2

x s e n h 2 a x cosh 2 a x x 217 .27 .9 x senh2 a x d x - — ga2 4

17.27 .10dx cotgh ax

senh2 ax a

senh (a 4- p )x senh (a - p)x 17.27.11 ! senh ax senhpxdx - + y - 2( a - p )

P a ra a = ± p , v e r 17.27.8

17.27.12. - m x” coshax _ m C » [V e r 17.28.121

x " senhaxdx - a a J

, - , senh ’- 1 « x cosh a x n ^ j . f17.27.13 I senh" ax dx ---------------“ « J

„ . senhax -senhax^ _ a _ f £ g g h f ^ [Ver 17.28.14]17.27.14 - 3 T - <te = ^ l í F r + n - l J x - 1

f tLr - c o s h a x ____ n ~ 2 f ***17.27.15 J genh"ãx “ a ( n - l ) 8enh- 1 ax n - 1 J s e n h -a ax

:rdx -x c o s h a x ________________JL_______ - — - —— - f — X ^ —17.27.16 »enh"ãx ** ã(n - l)Benh"~*ãx a * ( n - l ) ( n - 2) sen h -» ax n - 1 J s e n h - ax

2 8 IN T E G R A IS E N V O L V E N D O c o s h a x

senhax17.28.1 cosh axdx —— a

x s e n h a x cosh a s17.28.2 | x c o s h a x d x = ------ — a *

- 2 2 --------- - ^ * N W L o * EO w m u ia s 6 T a b & a s M a t e m At i c a s

►

17.28.4 f ^ f e + fe d’ * 2 *2 ! 4 *4 ! 6*6 !

• • •

17.28.5 I jtl cosh ax . f senh or+ a I — “ — dx [Ver 17.27.4]

17.28.6 I — * _____ _~ T — * — art' tg e oosh ax a *

17.28.7 f —rdr . JL f<S«£ _ (cu:)4 i H a r f ( - i)»KCax)2,,+2J cash or | 2 8 144 + + (2n + 2K2n)! +

17.28.8 f cosh* o r d r = - +2a

17.28.9 f xcosh’ a x d x - — + _ £osh2ax4 4« 8a

17.28.10 [ — —J cosh1« a

17.28.11 f cosh o r cosh , « dx = +J 2( a - p ) 2 (a + p )

17.28.12 [ * - f ^ - , senbaxdx [V e rl7 .27. l21

17 28 14 I coshcur a f senh axJ — J - ^ r r - t o (Ver 17.27.141

17.28.15 I — — __________senh as n - 2 f i tcosh"a* a (n — 1}cosh"-1 ax n - 1 I cosh"- *ax

w — 2 fn-1 I

17.28.16 f - J d * ______* s e n h a x _ _______ 1------------ -----------— — — -------+ ________________________n — 2 f xcosh-ax a ( n - 1) cosh"’ 1 ax (n - l ) ( n - 2)a2 cosh«"2 ax + ^ T J

dxn -2

29 INTEGRAIS ENVOLVENDO s e n h a * E c o s h a *

17.29.1 [ senh ax cosh ax d x « ^ ^J 2a

17.29.2 f senhpx cosh qx dx = — & + q)x , <**h (p -q )zJ 2 (p + q) 2 (p -q )

17.29.3 f senh2 ax cosh3 ax dx = £.en^4ax. __ £J 32a 8

ax

C a p í t u l o 1 7 • T a b e l a s d e I n t e g r a i s I n d e f i n i d a s

f dx 117.29.4 — - ----------- r — « — ln tgh ax] senh ax cosh ax a

1 7 5 9 5 f ________ d s 2 cotgh 2 axJ senh2 ax cosh2 ax a

f sentí*ax . senhax 117 .27 .0 I - ax -----------------------arc tg senhax

J cosh ax a a

mi oo T f cosh ax 1 _ ax17.29.7 --------dx ----------------- - f - l n t g h —I senh ax a a 2

30 IN T E G R A IS EN VO LVEN D O tgh ax

17.30*1 í tgh a x dx » — ln cosh axJ a

17.30.2 I tgh2 ax dx - * -.30 .2 J

f 1 tgh2ax17.30.3 I tgh3 a x d x = — ln c o s h a x -

a 2a

M-lo2n/o2» _ n »1 fíaxl3 fax)5 2(ax)7 ( - l ) " “ ^ 2 2" - l)B*(ax)17.30.4 I x tgh a x d x = — | ---------- + g j j g

C x 2 x tghax 117.30.5 x tgh2a x d x = — ------- = ------ + — ln cosh ax

r tfrli /nr íaxl3 2(ax)5 ( - l ) " - l22’*(22" - l ) B K(ax)2" -117.30.6 -S —— dx = a x - -----------------------------------------------------------------------+9 75 (2w - l ) (2n)!

17.30.7 I I - - - - - - - - - — — — ; - - - - - - - - - - - - - - - - - - 77- ^ — ^ ln (q senh ax + p cosh ax)p + q tgh ax p 2 ~ Q °ÍP ~ 9 /

17.30.8 tgh" a xd x -- t g h " -^ a x _ + J t g h - . a * ^

31 IN T E G R A IS ENVO LVENDO cotgh a *

17.31.1 J cotghaxd05 = - ln s e n h a x

r cotgh ax17.31.2 cotgh2 a xd x = x -----------

17.31.3 f cotgh3 axd x = - ln s e n h a x -cotgh2 ax

a 2a

1 f (ax)8 (ax)ft { ( ~ l ) n~122wBw(qx)2w+lf 1 f jaxj _ y ^ ) , v n i *17.31.4 I x cotgh ax dx = ^5 j ax + g 225 (2n + l ) t

x 2 xcotghax 1 ,17.31.5 I x cotgh2 ax dx = — ---------- f -------+ ^ ln s e n h a x

• •

17.31.6

17.31.7

17.31.8

32

17.32.1

17.32.2

17.32.3

17.32.4

17.32.5

17.32.6

17.32.7

33

17.33.1

17.33.2

17.33.3

17.33.4

17.33.5

17.33.6

17.33.7

I # *

cotgh ax , 1 ax (a x f (—1)**22"B n(aa:)ÎM~‘--------------dx -- ---------- h---------------- H---------------------------------------+

ax 3 135 (2 n - l ) (2 n ) !

dx px q , _In (p senh ax + q cosh ax)

p + q cotgh ax p 2 - g2 a(p2 — g2)

cotgh” axdx = - — ----- — + f cotgh”"2 ax dxa(w - 1 ) J

NTEG RAIS ENVOLVENDO sech ax

2sech axdx = — arc tg ea

tgh axsech axdx = ----------

a

Q sech ax tgh ax 1 ,sech3 ax dx = --------------------------+ — arc tg senh ax

2a 2a b

1 f (ax)2 (ax)* 5(ax)8 ( - 1 )uE„(ax)2"+2 ,X sech axdx = — { --------------------4- — -— + ------- 7- — +a 2 2 8 144 (2n + 2)(2n)!

• • •

« tgh ax 1X sech*' axdx = ---------------------- - In cosh ax

a a*

sech ctr (ax)* 5(ax)4 61(ax)° ( - l ) HE„(ax)2"-------------dx = ln x ----------- + -----------------------------1----------- - -----+

X 4 96 4320 2n(2n)!

sech ax tgh ax n — 2 , «sech" ax dx = -------------------------------- 1---------- II sech"- ax dx

a(n — 1) n — 1

NTEG RAIS ENVOLVENDO cosech ax1 1 1 ax

cosech axdx = — In tgh —a 2

1 o cotgh ax cosech axdx = ----------------

a

. „ , cosech ax cotgh a r 1 _ axcosech ax dx = ------------------------------------- -------------- In tgh —

2a 2a 6 2

1X c o s e c h axdx = -

a 2(ax)3 , 7(ax)5 _ 2 ( - l ) " (2 2"-1 - l)B„(ax)2M+1

(XX----------------1-----------------r • • • + — -----------------------------—-----------------------18 1800 (2n + 1)!

. « X cotgh ax 1 X cosech axdx ----------------------+ — In senh ax

a a2

cosech ax ^ ___1 ax | 7(ax)3 | ( - 1 ) ,,2(22>|- 1 - ljB ^ a x )2" " 1X ax 6 1080 (2n — l ) (2n)! +

• •

cosech» — dx - ~ cosech’‘~2 cotgh ax. n - 2cosech axdx -----------------_ _ Cosech’- 2 ax dx

3 4 IN T E G R A IS E N V O L V E N D O F U N Ç Õ E S H IP E R B Ó L IC A S IN V E R S A S17.34.1 J arc senh—dx

a x arc senh — V x a + a 3a

17.34.2 * a r c s e n h | d * - ( | . + ^ j arcgenh£ _x x V x a + a24

17.34.3 arc senh (x/a)

W a f t 1 * 3(x/a)* 1 * 3 * 5(x/a)7

x m <

a 2*3*3 2*4*5*5 2*4*0*7*7 ln2 (2x/ a) (a/x)2 1*3 (a/x)4 1 • 3 • Z(a/xf

2 2*2*2 2*4*4*4 2*4*6*0*8ln2(-2 x /q ) (gJxY

2 2 * 2*21 * 3(q/x)4 1 » 3 » !i(a/x)9 2*4*4*4 2*4*0*6*0

|x |< a

x > a

• • • x < - a

17.34.4 x x arc cosh (x/a) -arc cosh —dxa 1 x arc cosh (x/a) +

, arc cosh (x/a)> 0- a , arc cosh (x/a) < 0

17.34.5 x arc cosh — dx * [ a#) arc c° 8^ W-a) “ i x V i2 - a2, arc cosh (x/a) > 0a 1 J(2xa - o 1) arc cosh (x/a) + JxVx5 - a 3, arc cosh (x/a) < 0

17.34.6 cosh (x/a)x dx In* (2x/a) + + 1 ! W * ? + 1 * 3 * 5 («/* )6

2 2*2*2 2*4*4*4 2+, se arc cosh (x/a)> 0; —, sc arc cosh (x/a) < 0

» 3 « 5(a/x)a I*4*6*6*6 J

17.34.7 arc t g h - d x - x arc tgh — + — ln (a* - x a)a a 2

17.34.8 x ax xx arc tgh — dx = — + J(x2 - a 2) arc tgh —

a 2 a

17.34.9 arc tgh (x /a) . x (x/a)8 (x/a)ft------------------- dx = — + -----— + ---- -— +

x a 3 52

17.34.10 x . aarc cotgh — dx — x arc cotgh x + — ln (x2 - a 2)

17.34.11 x a rc cotgh — dx = — -f |(x2 - a 2) arc cotgh —& £ d

17.34.12 arc cotgh (x/a) dxx

a (a/x)3 (a/x)5—+ -------- + --------—Hx 32 52

• # •

17.34.13 . x J fxarc sech (x/a) + a arc sen (x/a), arc sech (x /a )> 0 arc seen— (\oc ■ j v Ja [x arc sech (x/a) - a arc sen (x/a), arc sech (x/a) < 0

17.34.14 0C Marc cosech — dx = x arc cosech — ± a arc senh —

a a a [+ , sex > 0 ; - , sex < 0 ]

1 7 . 3 4 . 1 5 x m arc senh—dx = —a

m+1 . x I f x m+l ---------arc s e n h --------------- I ——.w i+ 1 a tn+1 I V xa + a2dx

126 M a n u a l d e Fo r m u l a s e T a b e l a s M a tem At ic a s

17.34.16 xm arc cosh—dx *a

X X 1------ 7 arc cosh -------------m + l a m + 1

* m+1 « 1------7 arc cosh — +m + l

r r m + l

I 1/ iJ V x - a*

a m + lm + l

arc cosh (x/a) > 0

X■—?=s==sdx, arc cosh (x/a)< 0 V r - ar

17.34.17 m arc a; xm+1 x a f xm+ltg—dx = ------ - arc tg --------------I — ------- -d xa m + l a m + l J a -a:

17.34.18

17.34.19

x x m + l

xm arc cotgh—dxa m +

x— arc cotgh — 1 6 a1

m + lx m + l

a2- x 2 dx

„ . xr a r e sech—dxa

xw+1 X a r xmdx _ ,— —7 arc sech — + -------- I ■■ > arc sech (x/a) > 0m + l a m + l J V c r -a rx m + l X 1------7 arc sech-------------m + l a m + 1

x mdx arc sech (x/a) < 0

17.34.20 xx m arc cosech — dxa m + l

-,m+i „ _x . x aarc cosech — ± xmdxa m + l [+, sex>0 ; —, sex<0J

D E F IN IÇ Ã O D E U M A IN T E G R A L D E F IN ID AS e ja / l » definida em um intervalo a ^ xS b . Divida o intervalo em n partes iguais de comprimento Àx = (ò — a)/n. Então a integral definida de f[x ) entre x - a e x - b é definida por

18.1 í f{x)dx = lim {/(a ) Ax + /(a + Ax) Ax + /(a + 2Ax) Ax + * + /(a + (n - 1) Ax) Ax}Jái

O limite sempre existe sef{x) é contínua por pares.

Se /(x ) = — g(x)9 então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral defínida acima pode ser

calculada usando o resultado

í b f b d18.2 /(x ) dx = — g(x)dx = g(x)Ja •'«

= g(b) - g(a)

Se o intervalo é infinito ou aef[x) apresenta alguma singularidade em algum ponto no intervalo, a integral defínida é chamada de integral imprópria e pode ser defínida usando-se processos de limites apropriados. Por exemplo,

, b0018.3 f(x)dx = lim f(x)dx

»18.4 /(x ) dx = lim | f(x)dx

b— lim I

~ ° Ja

b~€

18.5 f(x) dx= lim f(x) dx se b é um ponto singulara

b

«—018.6 | f(x) dx = lim I f(x) dx se a é um ponto singular.a+€

giiAL d e F ó r m u l a s e T a b e l a s M a t e m á t ic a s

18.7

18.8

18.9

8.10

18.11

18.12

18.13

18.14

18.15

18.16

18.17

F Ó R M U L A S G E R A IS E N V O L V E N D O IN T E G R A IS D E F IN ID A S

o •'a •'a

I rb rb{f(x)±g(x)± h(x)± } d® = | f(x )d x± J g(x)dx± j h(x)dx± " [ finitas parcelas]

r*> rbcf(x)dx = c I f(x)dx onde c é qualquer constante.

•'oa

f{x) dx = 0O

f(x) eta = - I JXx)dx a Jb

a

f(x) dx = f[x )d x+ I f(x)dx a J a

b

f(x) dx — (b — à)J\c) onde c ê algum ponto entre a e ba

Isto é chamado o teorema do valor médio para integrais definidas, que é válido se j[x ) for contínua em a & xã b .

P Ç b

f(x) g(x) dx = f{c) I g{x)dx onde c é algum ponto entre a e ba

Esta é uma generalização de 18.12, que é válida sej[x) e g(x) forem contínuas em a S x ^ b e g(x)ã 0

R E G R A D E L E IB N IZ P A R A A D E R IV A Ç Ã O D E IN T E G R A IS

d rv f* I“') dF . „ dfc dÒ,P(x, a) dx — I — dx + F\<l>2, a)-~----- F[<j> i, a)J. Ja , ï da da da♦i(o) -' i(a)

F Ó R M U L A S P A R A C Á L C U L O A P R O X IM A D O D E IN T E G R A IS D E F IN ID A SNas fórmulas seguintes, o intervalo d e * - a a * » 6 é subdividido em n partes iguais pelos pontos «x *'x*.......= b e y0 - f ( x o), 2/i =/(Xj), y2 =f(x2) , . . j/„ = f(xn% = (fe - a)/n.Fórmula retangular:

hf(x)dx~hty0 + y l + y2 + “ + y H_l)

í»

Fórmula trapezoidal:b ,h

a

Fórmula de Simpson (ou fórmula parabólica) para n parb uh

af(x) dx = —(I/o + 4y, + 2y2 + 4y3 + ... + 2j/„_2 + + y„)

18.18

18.19

18.20

18.21

18.22

18.23

18.24

18.25

18.26

18.27

18.28

18.29

18.30

18.31

18.32

18.33

C a p ít u l o 1 8 * In t é g r a is D e f in id a s

INTEGRAIS DEFINIDAS ENVOLVENDO EXPRESSÕES RACIONAISOU IRRACIONAIS

dx 7T

x 2 + a2 2 a

^ " 'd x 7T

r ~ = ------- , o dx = a m 1 ,,prt(m-f 1)/ n] F(p + 1)«n (m + IVn + p + l]

x mdx(xM + a w)r 0 < m + 1 < nr

í 1 \ r- - 1 ___ 1 é 4 \ i %

Msenl(m+ l)w /n j(r - 1)! r[(wi + l l / » - r + 11

INTEGRAIS DEFINIDAS ENVOLVENDO FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICASTodas as letras são consideradas positivas, a menos que seja indicado o contrário.

W í O m, n inteiros e m # wsen mx sen nxdx = |[ tr/2 m, n inteiros e m = n

{O m, n inteiros e m # n. . . ’■ • .,

ti/2 m, n inteiros e m = n

0 m, n inteiros e m + w par2m /(m 2 — n2) m, n inteiros e m + n ímpar

sen mx cos nx dx =o

11/2 f « /2 7Tsen2xd x = J cos2xd x = *->

17/2 f w/2 . 1 • 3 • 5 • • • 2m — 1 7Tsen2m x dx = I cos2mxdx = — — - — ------ - , m = 1,2,. . .

I 2 * 4 * 6 ’ - 2 m 2•'Ow/2 rwa 2 * 4 * 6 - -2 w

8en2m+1 xd x = cos2m+,xdx = ———— - — — , m = 1,2,. . ,I 1 * 3 • 5 * • • 2 m + 1o Jo

w/2 . T(p) T{q)sen2p~l xcos2q lxd x = .2 f(p + q)

senpx-------- dx =

o

tt/ 2 p > 0

0 p = o

— 7t/ 2 p < 0

0 p > q > 01Ä s e n p x cos q x |18.34 -----— ------— d x = \ tt/2 0 0

. . . . s e n p x s e n q x f T rp/ 2 0 0

sen2 p x , irp18.36 ----- ö— dx = — -

x2 2

, 8 , 7 i Z i S Ü Ü Î * *»>x 2

c o s p x - cosqx q18.38 — ---------— das = ln —

* p

cos p x - cos q x f T r { q - p )18.39 — ^ ----- — cte = — - —

ar 2

cosrnx . 17-18.40 ----- -d x = —- e

x r + a 2 2a

18.4100

0

xsenm x tt—------ — d x = — e max 2 + a 2

18.42

18.43

18.44

18.45

00 senmæx ( x 2 + a*)2 A c

TT

O 2 a(1 - e” ma)

2 i r d x 2 TT

a + b s e n xo2ir d x 27r

a + b co sx V a 2 — bot t/2 d x

a + b c o s xarc cos (b/a)

0

2ir f r cto _ 2 im18.46 I + 5gena:)2 J (a + b cos# )2 (a2 — b2)37

o •'o

2w dx 2ir18 47 ----------------------— ---------- - , 0 < a < l

l — 2 a cosx + a a l - a a0

w x s e n x d x __ f (7r/a )ln (l + a), |a|<l18.48 i —2 a cosx + a 2 I ttIî i (1 + l /a ) , |a|> 1

o

18.49w co s m x d x r t a m

1 - 2 a cosx + a 2 1 — ao- , a *< 1, m

oo /• 0 0

18.50 I sen a x 2 d x - cos ax2 d x =2 V 2ao «»o

oo 1 TT18.51 I sen a x n d x — — — r (l/n )s e n — , n > lnawn 2 no

» 1 -IT18.52 I cos a x " d x = — — T (l/n ) cos — , n > 1

na /w 2wo

18.53

18.54

18.55

18.56

18.57

18.58

18.59

18.60

18.61

18.62

18.63

18.64

18.65

18.66

18.67

18.68

18.69

C a p ít u l o 1 8 • In t e g r a is D i

oo

O

senxv S

dx =o

cosa;dx =*

ao sen#d x

TT

0 sen 77/ 2) * 0 < p < 1

00c o s x

X'd x

TT

2r(p) c o s ( p t t / 2 ) ’ 0 < p < 1

00

Os e n a x 2 c o s 2 b x d x = -

26a b2

c o s --------s e n —a a

00

0c o s a x 2 c a s 2 b x d x = -

2tt / b2 b2

c o s — + s e n — a a

0

sen3# Btt— r— d x = —

x s 8

00 4sen x -n- ----- :— dx = —

0 3

00

0

t g X TT-------ax = —

x 2

ir/ 2d x TT

í + t g " * * 4

fr/2

3 2 + 521

72 +

o

1 72

+

o

a r c s e n x tt-------------------- d x = — l n 2

x 2

1 — c o s xd x

cosxx

d x — y [ver 1.20]

1 \ d x; -------- - - c o s x — = y1 + x 2 ) x

a r c tg p x - a r c t g q x tt p-------- 0 — -------------------------d x - — ln —

x 2 q

IN TE G R A IS D EFIN ID A S ENVOLVENDO FUNÇÕ ES EXPO N EN C IA ISAlgumas integrais contêm a constante de Euler y m 0 ,5772156 . . . [ver 1 .20].

oo a‘“ cosb x d x = -------a2 + b2 o

be " s e n bxdx =

a a + fca

ia -ta i e senbx b18,70 | ---------------dx = arc tga

f e " s eI xJ o

f ' — ,Jq

, °° e“" - e** b18.71 I --------------- dx = In

ez

18.72

18.73 II e"“*2 cos bx dx = — i—e b*/4a

18.74 e-ía^+te+o da- = i - é»*-*~V4o erfe bO 2 V a 2\/a

2 f monde erfe (p) = - 7= e ' jr* dx

Vw I Jp

18.75 I e~{ajc2+tuc+e) dx = f e d * -* “ **«

18.76 r a:» e -~ d x = r (n + .1)a" *

18.77 r « - e - - < to - rl(’ ”, +, y >212a(m iya

18.78

. Xdx 1 1 1 1 17318.79 = — + — + — + — + •••= —1 « * - 1 l 2 2 3 4 6o

“ x"~l / I 1 118.80 II —-----c te -r (n ) (— + — + — +e*— 1 \1" 2" 3"

Para n par, isto pode ser somado em termos dos números de Bernoulli [ver Capítulo 231.

18f xdx 1 1 1 1.81 I --------= —~----- - + —r — —" ■+••••

e f + l I a 2a 3a 4 aJq

r°° x "-i

/ # 7 1J Q

TT112

18.82 I - Í l l d x - r ( n ) í — - — + — -i» 2" 3w

Para alguns valores inteiros positivos de n, a série pode ser somada [ver 23.10]

18.83 —Ju e * " - 1 4 2 2m

0 0 p - J * - p - '18.85 I - ------- — dx = i

1 8

*

18.87

18.88

18.89

18.90

18.91

18.92

18.93

18.94

18.95

18.96

18.97

18.98

18.99

18.100

18.101

18.102

C A rfTU t-O 1 8 * iN H O H A l í l P j

J /&> + „•- ----------------—| xaecpx 2

___ ________________| O | J„ _ ®c ■ arc tg — —. tvrc* tu —o xcosecpar ^ p * p

“ e -“ ( l - c o s x ) n“ 5--------- dx - « r c cotga - - I n ( a * + 1)

o 2

IN T E G R A IS D EFIN ID A S ENVOLVENDO FUN ÇÕ ES LO G A R ÍTM IC A S

Ox M(lnx}" dx - —— -------- m > - 1 n > 0 1 2

(«I 4* 1)H* 1 * ’ **** •••

Se n # 0 .1 ,2 , . . . substitua ul por T(n + 1 ).

* ln3C «*1+X 12

1 lnar «*! -------dx ----------„ l ~ x «

1 l n ( l + x ) ttd xx 12

M n d - j r )-------------- dx -- --------x eo

1 1T3l n x ln ( l 4-x)dx * 2 - 2 l n 2 - —Im

1 ^2l n x ln ( l — x)dx = 2 — —

6

* «|»-1 | n «------------- dx = — Tr2 cosec p ir cotg prr 0 < p < 1

1 + Xo

1 X m — X * T H 4* 1i ------— dx - ln — —ln x n 4 lo

00e"xln x d x = - y

e Inxdx m -----“ (? + 2 ln 2)4O

oo

l n l 7 ^ i r r ’ T

tr/2 r w/2 TTInsenxdx = | lncosxdx ~ — ~ ln 2

V / 2 ~ n/2

8.103 I (lnsenx)2d x - I (lncoax)2dx = — (ln 2)3 -f —> 2 24

18.104 I xlnsenxdx = in2Jn 2

J pir/2sen x ln s e n * d x « l n 2 — 1

O2tt 2»

0 o8.106 I ln (a +bsenx)da: = I ' ln (a + b cos*) dar »■ 2irln (a + V a ^ b 5)

tr ;p|2trlna. a 2 s b > 018.108 ln (a2 — 2ab cosx + b*) d-r

O 2irln b, h í « > ( )

w/418.109 II ln (l+ tg a :)d x = —ln 2

1 0 2

Jl y 1 - •

18.110 I secx ln / — a ^ ) <** = *{(arc cos a)* - (arc cos b)*}

18.111 r i n f 2 s e n ? W = - / ' ^ + ^ + l ^ +2 o 2

Ver também 18.102.

IN T E G R A IS D E F IN ID A S E N V O LV E N D O F U N Ç Õ E S H IP E R B Ó L IC A Ssen a# t t . av

18.112 — : .. . dx = - t z h -#.A M U O K C7 fsenhbæ 2b 2bo

1Q 114 I " COStt . * . « ffl o . l l o -----——(Lr = — sechsh bx 2b 2bo

J fOO

á0

18.115OO

senh ax 4 a2

x" dx 2n+l — 1 f 1 1 1senha# 2Ho H+l 2,,+1 3M+I

Se n é um inteiro positivo par, a série pode ser somada [ver 19.19 a 19.21 e 23.8].00lfl , senha# t t arr 1

lo .I lo I — ;-----------dx — — cosec-----------------e ^ + l 2b b 2ao

. senhax 1 ir air18.117 —,-------- dx = -------------cotg—

I e ^ - l 2a 2b b bO

C a p ítu lo 1 8 • I n t e g r a is D e f in id a s

O U T R A S IN T E G R A IS D E F IN ID A S

18.11800

Ãax) - J[bx)X = í / ( 0 ) - / ( c o ) } in b

a

Esta e chamada integral de Fruüani. Ela vale se /'(* ) é contíontinua e mflx) - / ( ~ )x

dx converge.1

18.119o

dx 1 1 1 x r = ï T+25 + 33 + “ '

ra18.120

J-a(a + x r - 1 (a - * ) -> dx = r(m)r(7i)

T(m + n)

E q u a ç ã o D ife ren c ia l S o luçãoquação de variáveis separáveis

filx )yi(y)<te+f2Íx)g2(y)dy = 0

onde dM/dy =* dN/dJc onde dx indica que a integração é em relação a man tendo y constante.

jRm u la s e Ta b e la s M atemáticas

Equação Diferencial19.5 E q u a çã o hom ogênea

Solução

y F(xy) dx + X G{xy) dy = 0

19.7 E q u ação linear hom ode segunda ordem

seneaSejam m, e m2 as raizes de m + am + 6 = 0. Então há três casos.

Caso 1. m u m2 reais e diferentes:y = Ci e”*1* + C2 e™**

Caso 2. m lf m 2 reais e iguais:y = cx e™1* + c2ocemxX

Caso 3. rrii = p + qi, = p — qi:y = eP*(ci cos qx + c2 sen qx)

onde p = - a /2 , q = V b - a 2/ 4.

sao constantes reais

19.8 E qu ação linear não-hom ogênea desegunda ordem Há três casos correspondentes aos casos do item 19.7

a , b são constantes reais R(x)dx

e mzR(x)dx

Caso 2

R(x)dx

R{x)dxCaso 3

C a p ít u l o 1 9 * E q u a ç õ e s D if e r e n c ia is B á s ic a s e s u a s S o l u ç õ e s 1 4 1

Equação D ife re n c ia l

19.9 Equação de E u ler ou Cauchy

S o lu ç ã o

x = e , a equaçao torna-se

e pode ser resolvida como mostrado nos itens 19. í e19.8 acima.

19.10 Equação de Bessel

19.11 Equação transform ada de Bessel

19.12 Equação de Legendre

Fórmulas da Análise Vetorial

VETORES E ESCALARESDiversas quantidades da física, como temperatura, volume e rapidez, podem ser especificadas por um número real. Tais quantidades são chamadas escalares.Outras quantidades como força, velocidade e momento requerem uma direção para poderem ser especificadas, bem como magnitude. Tais quantidades são chamadas vetores. Um vetor é representado por uma seta ou um segmento de reta orientado, indicando o sentido. A magnitude do vetor é determinada pelo comprimento da seta, usando-se uma unidade apropriada.

NOTAÇÃO PARA VETORESUm vetor é denotado por uma letra em negrito, como A (Fig. 20.1). A magnitude é denotada por | A| ou A. A extremidade inicial da seta é chamada de ponto inicial enquanto que sua ponta é chamada de ponto final.

1.

3.

vezes a magni-

DEFINIÇÕES FUNDAMENTAISIgualdade de vetores. Dois vetores são iguais se eles tiverem a mesmamagnitude e direção. Assim, A = B, na Fig. 20-1.Multiplicação de um vetor por unia escalar. Se m £ qualquer numeroreal (escalar), então mA é um vetor cuja magnitude é tude de A e cuja direção é a mesma de A, ou oposta a de A, dependendo se m > 0 ou m < 0. Se m — 0, então mA = 0 é chamado de vetor zero ou nulo.

Soma de vetores. A soma ou resultante de A e B é o vetor C - A + B formado co ocan^ r Se2^2(b). #s' ciai de B no ponto finai de A e ligando o ponto inicial de A ao ponto final de B, como na ic- 20-2(c)* sa definição é equivalente à lei do paralelelogramo para adição de vetores, como indica o na igO vetor A — B é definido como A + (-B).

Fig. 20-1

C a p ít u l o 20 • F ó r m u l a s d a A n a l is e V e t o r ia l 1 4

A + B

(b)

Fig. 20-2

(c)

As extensões para somas de mais de dois vetores são imediatas. Assim, a Fig. 20-3 mostra como olter a soma E dos vetores A , B , C e D.

(a)

D

E =•r r + B + c + o

(b)

Fig. 20-3

4. V etor unitário. Um vetor unitário é um vetor com magnitude unitária. Se A é um vetor, então um v tor unitário na direção de A é a = A/A, onde A > 0.

P R O P R IE D A D E S DA A L G E B R A V E TO R IA LSe A , B e C são vetores e m e n são escalares, então:

20.1 A + B - B + A Comutatividade da adição

20.2 A + (B + C) « (A + B) + C Associatividade da adição

20.3 m(raA) = (mri)A = n(niÀ)

20.4 (m + n)A ■ mA + nA

20.5 m(A + B) - mA + mB

Associatividade da multiplicação por escalar

Distributividade

Distributividade

20.6

C O M P O N E N T E S D E UM V E TO RUm vetor A pode ser representado com o ponto inicial na origem do sistema de coordenadas retangulares. Se i, j e k são os vetores unitários nas direções dos eixosx yy e z positivos, então

A « i4 ,i + A.J

onde A - A x\ + A J + A:ik são chamados de componentes ve- toriais de A nas direções i, j e k ; e A2, A3são chamados componentes escalares de A. Fig. 20-4

P R O D U TO E S C A LA R

20.7 A*B = A B cohO

onde 6 é o ângulo entre A e B.

Os resultados fundamentais são20.8 Comutatividad<

20.9 A«(B + C )« A*B + A*C Distrihutividad *

20.10onde A » A , i + A j + Ask; B - fí,i + /?J + BJk

P R O D U TO VETO RI AL

20.11 A X B = .-\Bsen0u

onde 0 é o ângulo entre A e B e u é o vetor unitário perpendicular ao plano de A e B tal que A, B, u forma um sistema de mão direita [ou seja, um parafuso padrão que é aparafusado com um movimento de A para B pelo ângulo menor do que 180°, avançará no sentido do vetor u, como na Fig. 20-5].

A seguir, resultados fundamentais:

20.12 A X B = A,B] jE?2 Bg

= (A ,B n - A 3B 2) i + (A 3B i - A ,B 3y + (A ,B 2 - A 2B 1)k

20.13 A X B = —B X A

20.14 A X (B + C) = A X B + A X C

Fig. 20-5

20.15 I A x B = área do paralelogramo de lados A e B

FÓ R M U LA S D IVER SA S ENVOLVENDO OS PRO DUTO S ESC ALA R E VETORIAL

20.16 A*(B x C) =3Ai A 2 A

B í B2 BC\ C‘i C3

= A\B2C + A 2B$C\ + A$Bi C2 A$B2Ci A2B|Cs A A C a

20.17 |A*(B X C)| = volume do paralelepípedo de lados A, B e C

20.18 A X (B X C) = B(A-C) -C (A *B )

20.19 (A X B) X C « B(A-C) - A(B-C)

20.20 (A X B) • (C X D) = (A • C)(B • D) - (A • D)(B • C)

20.21 (A X B) X (C x D) = C{A*(B X D)} - D{A*(B X C)}

= B{A*(C X D)} - A{B*(C X D)}

Ca*tulo 20 * Pòm* jla* r* A*àu<,€ Ve ronwt 145D E R IV A D A S D E V E T O R E S

A derivada da um. funfio vrtorial Mu) - At(u)l 4 A2(«y * dâ varável escalar a é dada por

M .JJ 2 2 . ,lm « í i i í S h A W m , M ,U i " “ — 4 " * T ' * *7J ♦ i r k

í jpíi jj jj ^

das a« derivada« exintern â X# *) Ä definida» »imifarmente. Consideram^ que to-’ ■ mrnot fl“ « 8<íJa especificado o contrário.

F ó r m u l a s e n v o l v e n d o d e r i v a d a s

20.24 ——(A x B i a a v . dA( A X B ) . A x +du du

2“ 5 = - £ » * « * * • ( £ « ) « . ( ■ * £ )

20.26 A*— = A—du du

A * du * 0 *€ |A| é uma constante

O O P E R A D O R D E LO operador de/ é definido por

20.21 v - l — + j — + k —àx dy ês

No» resultados ubaixo, consideramos que V = 1\jc, y, s), V= VU y, *). A - AIx. y*> , w - m . tf^ . rivadas parciais.

O G R A D IE N T E

20.29 Gradiente de U • grad V - VU « [ I—- + I— + k - - ) V ■ — | f í í j ^ í f í t\ a* a»/ a* a** a **

O D IV E R G E N T E

M| M ) M jdjc dy àz

SB

, Í +JÍ + k Í lx (A ‘l+A iJ+A sk)i j k

— — _LdJC d y dz

A\ A j A3

^ /* * « W ,\ . / M , M|te j ( * • t e r ( t a dy

O L A P L A C IA N O

20.32 Laplaciano de U “ V*U = V»(V{') » fta* dy* ta*

20.33 Laplaciano de A = V*A = 4 + —- * —-ta* V ta*

O O P E R A D O R B I-H A R M Ô N IC O

20.34 Operador bi-harraônico em U = V417 = V2CV2Î7)

d*U B*U 9*U 3*U d4U 3*U+ ------ r + ----- r + 2 — r— r + 2 — r— ^ + 2 — ■— -ta4 du* da4 dxdy2 ta*d*2

F O R M U L A S D IV E R S A S EN VO LVEN D O V

20.35 V (tr+ v) = v u + v v

20.36 V*(A + B )~ V*A + V*B

20.37 V X (A + B) = V X A + V X B

20.38 V*(DA) ** (VI7)*A + Î7(V*A)

20.39 V x (ÜA) - (VIT) X A + U(V x A)

20.40 V*(AX B) = B*(V X A) —A*(V x B)

20.41 V X ( A X B) = (B*V)A —B(V*A) — (A*V)B + A(V*B)

20.42 V(A*B) - (B*V)A + (A*V)B + B X (V X A) + A X (V X B)

20.43 V X (VU) = 0, ou seja, o rotacional do gradiente de U é zéro.

20.44 V*(V X A ) a 0, ou seja, o divergente do rotacional de A é zéro

20.45 V X (V X A) » V(V • A) - VaA

C a p ítu lo 2 0 • F ó r m u l a s d a A n á l is e V e t o r ia l

IN TE G R A IS ENVOLVENDO VETORESSe A(u) d

du B(u). então a integral indefinida de A(u)

2 0 . 4 6J A(m) du m B(m) + c. c - vetor constante

A iintegral definida de A(u) de u - a „ „ u - , . .v / u c u . o a u . f t e , neste caso, dada por2 0 . 4 7

Mu) du = B(b) - B(a)

A integral definida pode ser definida como no item 18.1.|||

IN T E G R A IS DE L IN H A

e P (b CUrVa e8Pacia* ^ unindo os dois pontos Pt(at, a2, a*,)Irn S l* A Í ’ COm° na Fig- 20-6- Divida a curv. em n partes pelospontos de subdivisão ......Então a integralde Unha do vetor A(*, y, *) ao longo de C é definida por

2 0 . 4 8 A*drc

HA*dr 2 pm 1

onde Arp - A*„i + A yJ + A*pk, Ayp = j,p+1 - tfp,p zp+1 e onde supomos que a maior das magnitudes |Arp

tende a zero quando n — » . O resultado 20.48 é uma generalização da integral definida comum (ver 18.1).

A integral de linha 20.48 também pode ser escrita como

2 0 . 4 9 I A -dr = íJc Jc

- I {Aidx + A2dy + Asdz)c

usando-se A = A{i + ÁJ + A%k e dr = dxi + dyj + dzk.

P R O P R IE D A D E S DAS IN TEG R A IS DE LINHA

1 4 7

Fig. 20-6

2 0 . 5 0 A*dr = - I A»drP\

2 0 . 5 1r F* r p* r *I A*dr = I A»dr + I A»

Jp, Jp»dr

IN D E P E N D Ê N C IA DO C A M IN H OEm geral, a integral de linha tem um valor é dependente do caminho. Em tal caso particular de C, unindo os pontos Pj e P2 na reépão No entanto, no caso A = V<£ ou V x A = 0 , onde (p e suas derivadas par

ciaisis são contínuas em í%, a integral de linha j A*dr é iJc

independente do caminho. Em tal caso

2 0 . 5 2 A*dr =c

A*dr = <#P2) - ^{Pj)Pi

onde 0(Pj) e 0(P2) denotam os valores de 0em P 3 e P2, respectivamente. Em particular, se C ê uma curva fechada,

M a n u a l d e F ó r m u l a s e Ta b e l a s M a t e m á t ic a s

20.53

cA«rfr * d) A*dr = O

c

onde o circulo no sinal da integral é usado para enfatizar que C é fechada

IN T E G R A IS M Ú LT IP LA SSeja FX y) uma função definida na região $ do plano xr, como na Fig. 20-7. Subdivida a região em n partes por linhas paralelas aos eixos * e y, como indicado. M p = A *„A yp deno-

h rt " T dCSSaS Partes- EntSo « integral de F\x,!,) so-ore Jt e delinida por

20.54H

9tF(x,y)dA - lim ^ F(xv.yp)&A

M.1supondo-se que este limite exista.

Em tais casos, a integral também pode ser escrita como

20.55/««

li) dy dx

/«fl

f*JT) Fig. 20-7F\x, y)dy\dx

onde y = /,( * ) e y = /2(*) são as equações das curvas PHQ e PGQ, respectivamente, e a nadas * dos pontos P e Q .O resultado pode

e b são as coorde*ser escnto como

20.56d w ) fd

F[xt y)dxdy -y - e • ' j r - g t l u ) Hmr

uAu)F[x> y)dx\dy

onde x - tf,(y) e x = g2(y) são as equações das curvas HPG e HQG, respectivamente, e c e d são as coordenadas y de H e G.

Estas são as chamadas integrais duplas ou integrais de área. As idéias apresentadas podem ser analog* mente estendidas a integrais triplas ou de volume ou, ainda, a integrais múltiplas.

IN T E G R A IS D E S U P E R F ÍC IESubdivida a superfície S [ver Fig. 20-8] em n elementos dearea AS„, p = 1 .2.......n. Seja A(xp, yp, zp) - Ap, onde (xp, yp, z )e o ponto P em AS,,. Seja Np um vetor unitário normal a ASPem P. Então a integral de superfície do componente normal de A sobre S é definida por

20.57 A-tidS = lim ^ Alt>N„ASS ff—.QO P-l

y

Fig. 20-8

C a p 1t u i-0 2 0 • F ó r m u l a s da A n á lis e V e to r ia l 1 4 9

R ELA Ç Ã O

Se 9L é a projeção de S no plano então [ver Fig. 22-8]

20.58 A -N dS =8

A -N dxdyÍN-kl

91

O T E O R E M A DA D IV E R G Ê N C IAge -a ^ mn a/nhada nara f ^ U ntando uma região de volume V; então, se N é a normal positiva (dese-

F a iora j e tíò = N dS, temos [ver Fig. 20-9]

20.59V*A d V = A -dS

B sdo também é chamado de teorema de Gauss ou de teorema de Green.

Fig. 20-9 Fig. 20-10

T E O R E M A D E S TO K E SSeja S uma superfície aberta em dois lados limitados por uma curva fechada C sem auto-interseção (curva fechada simples), como na Fig. 20-10. Então,

20.60c

A*dr = I (V XA)*dS

onde o círculo na integral é usado para enfatizar que C é fechada

T E O R E M A DE G R E E N NO PLAN O

20.61r f (dQ dP\f ( P d z + Q d y ) - J J - - - l d x d l,

onde R é uma área limitada pela curva fechada C. Este resultado é um caso especial do teorema de diver gência ou do teorema de Stokes.

P R IM E IR A ID E N T ID A D E DE G R EEN

20,62 {4>V2./» + (V4>MVi//)}dV= (^ V ^ -d SV

onde (pe y/são funções escalares.

M a n u a l d e F ô h m u l a s e Ta b u l a s M a tî m â t ic a s

20.63

S E G U N D A ID E N TID A D E DE G R EEN

[ (* r

20.64

T E O R E M A S DE IN TE G R A IS D IVER SO S

v x A d V » J d 8 XJ*

A

20.65 <£drc

dS X V<*>flf

20.66

C O O R D E N A D A S C U R V IL ÍN E A SUm ponto P no espaço [ver Fig-« 20-11 | pode ser determinado por coordenadas retangulares ( x , y, z ) ou coordenadas curvilíneas (u,, u2, u3), onde as equações de transformação de um termo de coordenadas para o outro são dadas por

x - a < U , . U 2, U a )

y - irfttf è | 14«)

« « «(tii, u?, ti»)

Se u2 e ií{ são constantes, então, como u} varia, o vetor posição r = xi + yj + zk de P descreve uma curva chamada curva coordenada uv Analogamente, definimos as curvas coordenadas u2 e u3por P. Os vetores dr/dux, dr/dui*, dr/duâ representam os vetores tangentes às curvas coordenadas ul9 u2, uv See t, e2e e 3sao os vetores unitários tangentes a essas curvas, temos

C

curva i*3

cu rva « Icurva »2

7

Fig. 20-11

20.67dr

duhieu

1ardu?

dr

dtU

20.68

onde

dr dr drh t - * h * m —— h» ■

dttj atia du,

são chamados fatores d e escala. Se e,, e2ee3são mutuamente perpendiculares, o sistema de coordenada*

curvilíneas é chamado de ortogonal.

F Ó R M U L A S E N V O L V E N D O C O O R D E N A D A S C U R V IL ÍN E A S O R T O G O N A IS

20.69 dr dr dr drdu 1 + - — dus + - — du-j = hx dux ej + /i2dtt3e2 + h^du^eò

dU1 dU? dus

20.70 d*2 = dr*dr = fej dii* + h\dui + h%du%

onde ds é o elemento do comprimento de arco.

C a p ít u l o 2 0 • F ó r m u l a s d a A n á l is e V e t o r ia l 151

20.71

s. dv t „ de iolunw ^dVm l(îe1du,)*(iiaeadu

ond<J L .iL . J>£_ a**l õu,t

i) X (fisesdMa)| - h .h jh ,du, du ,du,

d u i d u2 du« = Hx, y, z)à(ult Uj, u8) du | du2 dui

20.72 __ y, *)àfautiz, Uz)

dx/dux d x / d U z dx/dun dy/dux dy/dii2 dy/du3 dz/dux dz/dUt dz/du3

as vezes escrito como J(x v . .* J* y un Uj, u3)% é chamado de jacobiano dída transformação

t r a n s f o r m a ç ã o d e i n t e g r a i s m ú l t ip l a s

das curvilíneas. P m «>v -»,„i^Sa( 0 âra tlansformar integrais múltiplas de retangulares para coordena

20.73 F\x * !/. z) dx d y dz GíuÛa, Wj,) apc, y y z)d(ti|, U2, W3)

dut du2du3

pondenteTtrlnsform a^ão.^ ^ tran8formaî 5° e “ 2’ “ 3) é ° valor de F(*> X* *) corres-

g r a d i e n t e , d i v e r g e n t e , r o t a c io n a l e l a p l a c ia n o

A seguir, <D é uma função escalar e A - A,e, + A2e2 + A3e3 é uma função vetorial de coordenadas curvilí neas ortogonais u ,, u2eu :i.

20.74 Gradiente de $ * grad 4> = V<í> = — + Î1 ÜÎ. + es ^ h i dUi h 2 du2 h$ du3

20.75 Divergente de A = dívA = V*A *hihvh* du dU- ÔU

20.76 Rotacional de A = rot A = V X A hxh2h3

M a ^ 3e3a a a

dUi dU2 attshiAi h j^ ij h§A$

1h*hs

a a(W a ) — T ( ^ a )du2 d u

6i + 1hih> du

d , a(hlAl) ~ - (fejjAs) I e2

dUx

1+

hth~— (h2A2) (feiAj)atii atia

120.77 Laplaciano de 4> = V24> - -

a /h2h3 a4>\ + a ih$hi a< ^ a /hxh2 a4>au, l /ij auj / a%2 v % aw2 / au3 \ du»

Observe que o operador bi-harmônico V*<D = Va(V2<E>) pode ser obtido a partir da equação 20.77

M a n u a l d e F ó r m u l a s e T a b e l a s M a t e m à t ic a 9

S IS TE M A S DE C O O R D E N A D A S O R TO G O N A IS ESPEC IA IS

Coordenadas cilíndricas (r, g, z)

20.78

20.79

20.80

x — r c o s 0, i/ = rsen 0 , z m z

h \ - r 2, /if , - 13

V2<D = d2<t> i d<t> i a2 a2<t>ar

+ —r ar r2 d02

+a«2

C oordenadas esféricas (r , 0, 0)

Fig. 20-12

20.8120.82

x - r sen 0 cos <f>, y = rsen0sen</>, s = rcos0

20.83 V2<D = i ar2 dr

hi = 1, h‘i = r2, h2 = r2 sen2 0

ar / r2sen0 d0a / a4>sen0— + 1 a23>

òo r2sen20 a</>2

C oordenadas c ilíndricas parabólicas (u, », s)

Fig. 20-13

20.84

20.85

20.86

x = ku2 - D*),2

Hi = /li = u2 + v*,2 h 'Í= l

V24> =1

t t2 + V 2 \ dU

a24> a24>\ a2<t> + — - 1 +2 dv2 a*2

Os traços das superfícies coordenadas no plano xy são mostrados na Fig. 20-14. São parábolas confocais com eixo comum.

Fig. 20-14

C a p ít u l o 2 0 • F ó r m u l a s d a A n á l is e V e t o r ia l 1 5 3

Coordenadas p arab o lo id a ls (u, », <(,)

2°-87 x m «»> COS 4>, II. uv sen</>, * - J(u2 - v2)

oní*e u i o , » t o , oa</)<27r

2°-88 M - h'a - M2 + t)2, h? - M2»2

20.89 V^ " 7 T T r - ^ 7 - f « — U - - V r - L — W - 4 t —M(u + t> ) du V du) t>(ttá + V2) dv l dv J U2V d<f>2

Dois conjuntos de superfícies coordenadas são obtidos pela rotação das parábolas da Fig. 20-14 eratorno do eixo x , que passa a ser rotulado como eixo z.

C oordenadas e líp tic a s c ilínd ricas (u , v, z)

20.90 x = acosh M cos d, y = asenhusenu, z = z

onde uã ;0 , 0 ^ i><2tt, - oo< * < oo

20.91 íi\ — h% = a2(senh2u + sen2v), h2 = 1

20.92 1 + - , i +« 2(senh2w + sen2u) \du2 dv2 ) dsr

Os traços das superfícies coordenadas no plano xy são mostrados na Fig. 20-15. São elipses e hipérbconfocais.

Fig 20-15

M a n u a l d e F ó r m u l a s i Ta b e l a s M a ie m a t ic a ®

C o o r d e n a d a s e s f e r o ld a is a lo n g a d a s (£ , </>)20.93

onae1

x * a s e n h f s e n T j C O * «/».

i fc O,

« - a c o s h f r o « 17

0 S T| Ss TT, 0 * è < 2 w

20.94 h'i » hj - a a(scnh2 { + §eti* tj), hl - a*«enha f sena 17

20.95 Va<t> - 1 a / ."T -----1 » . . *—:------r~:— senhf—«■(■enirf-f «en1 Tî)»enh{ B(\ d£

1 d<t> 1 da<Daa(senha ( + sena Tj)seni7 drj 9enr* 3 J a 3senha £sena17

Dois conjuntos de superfícies coordenadas silo obtidos pela rotação das curvas da Fig. 20-15 em it}r,no do eixo que passa a ser rotulado como eixo z. O terceiro conjunto de superfícies coordenadas con siste de planos passando por este eixo.

C o o rd en ad as esfero lda is achatadas (£, rj, 0)20.96

onde

20.97

x • a c o s h f c o s r j c o s ^ , y m a c o s h f c o s T j s e n « ^ , z m a s e n h f s e n r j

( fcO, 0 a<t><2ir

h2t « h\ = aa(senha{ + sen2!]), h% = a2cosh2 {cos217

20.98 V2<1> « 1— ----------— ------------------------------------------- c o s h t —a ( s e n h £ + s e n t j ) c o s h ( d( \ d {

1 d / d$ 4 " !■ - ■ ■■■— I |J —

a 2( s e n h 2 £ + s e n 2 17) c o s 77 dr\ \ drj1 d2<X>

a 2 cosh2 ( c o s 2 T) d ^ :

n o

Dois conjuntos de superfícies coordenadas são obtidos pela rotação das curvas da Fig. 20-15 em tordo eixo y , que passa a ser rotulado como eixo z. O terceiro conjunto de superfícies coordenadas con ■■

siste de planos passando por este eixo.

C o o rd en ad as B ipo lares («, v, z)

20.99a s e nht>

x cosh y - c o s u

a s e n uy c o s h V - COB u

ondt 0 £ u < 2n, - » < * < 0 0

O U

20.100 x* + (y - a col g u)* - a* cosec* u, (x - a cotgh »)* + y2 = a* cosech2 v, * - *

20.101 J » î -Ma

(cosh v - cos u)a* f i ï - 1

20.102_ (oosh v ~~ cosu)a (d%$ d24>\ t 3aO ya<t> S ------ ---------------- I ------ 4------ I +

as du* dtr a«2

O h traços das superfícies coordenadas no plano xy * io mostrados na Fig. 20-16

C apitu lo 2 0 * F ó r m u l a s da A n á l is e V e t o r ia l

2

Fig. 20-16

C o o rd en ad as to ro id a is (u, r , <p)

20.103 asenht?cos<^ asenhvsenò asenux « --------------------------- y -

cosh v — cos u cosh t> — cos u ’ cosh v — cos u

20.104 M - h l - ---------- --- --------h g . at°enh2v -(cosh v — cosu) (cosh v — cos u)

20.105 y»<|> = C008*1 ~ 006 M)3 » t 1 a®a2 du V cosh ü — COS ti du

(cosh v — cos u)3 a / senht? a<S>\ , (cosh v - cos u)2 a2<S>+ a2s e n h dv \cosh v - cosu dv ) a2senh2t> d<f>2

As superfícies coordenadas são obtidas pela rotação das curvas da Fig. 20-16 em torno do eixo *, que passa a ser rotulado como eixo %•

C oordenadas côn icas (A, v)

20.106 x =kfivab y m

A

az = b b 2 - o 2

20.107A2(M2 - h 2 m * * * £ -— — -----

t f - L 8 ( ^ - a 2X ^ - b 2)

C o o rd en ad as e tip so id a is co n fo ca is (A, / i, v )

20 .108

2 2£ _ + - J L _ +

z~

a 2 - A b2 — A c2 — A 1.

f f y 2 s 2 — + ——a z — /i. b2 — /li c? — ti

3 .

1.

x r y g+ ----------+ - ------- --- 1,

a — v b2 — v cr — v

A < c2 < b2 < a 2

c2 < u < b2 < a2 2

c2 < b * < v < a

o u

(a 2 — AKa2 M)(a v)(a b2X a 2 c2)

2 0 .1 0 9 y(ft2 À)(b2 -

(b 2 - a 2X b 2 - c2)2\si.2

(c2 - AXc2 - /xXc v)(c a - a 2X c2 - b 2)

O i - À X v - À )4(a 2

20.110 4(a 2

4 (a 2

- A X b2 - A X c2 - A)

( y — m X A - jh)MXb2 - jLtXc2 - JLt)

(A - I>Xm - v)

vXb2 - vXc »0

C o o rd en ad as parabo lo ida is confocais (A, ß , v )

a 2- A b2 As - A, oo < A < b2

1/2 0 .1 1 1 t — -------+ — ------- = b2< a < a 2a ? - i x ft2 «

* 2 1/a a 2 < v<oo

ou

2 0 .1 1 2

X„ _ (a 2 - AXa2 - juXa2 - v)

b2 - a 2(b 2 - AXb2 - uX b

í/2 V )

a 2 - ft2

À + / I + i / - a 2 - 5 2

2*5

20 .113 ( f t !

b 2»

(m -- A X ^ - A)4 (a 2 ~ A X b2 - A )

( v - m X A - m)4 (a 2 -- M Xb2 - / a )

(A - - » X /Ü - V)16(a* - pXb2 - »0

Séries

21.1

S É R IE S A R IT M É T IC A S

a + (a + d ) + (a + 2 d )+ - + { a + ( w - l ) d } - i n { 2a + ( n - l ) d j = J w (a + Í)

onde I « o + ( n - l)d é o último termo.

Alguns casos especiais são:21.2 1 + 2 + 3H------ hn = \n(n + 1)

21.3 1 + 3 + 5 + • • • 4- (2 n — 1) * n 2

S E R IE S G E O M E T R IC A S

21.4 a + ar + ar2 + ar® + * * * + ar" 1 = —~ = —— —1 - r 1 - r

onde l - a r ” ” 1 é o último termo e r # 1.

S e -1 < r < 1, então

21.5a

a 4* a r + ar2 + ar3 + * * • = 1 - r

S É R IE S A R IT M É T IC O -G E O M É T R IC A S

„ . a ( l - r w) r d { l — nrH~l + ( n - l ) r n]21.6 a + (a + d ) r + (o + 2d )r 3 + - ••+{« + ( » - l )d ) r " - 1 _ r + ^ 7^

onde r # 1.

S e -1 < r < 1, então. a rd

21.7 a + ( a + d ) r + ( a + 2 d ) r * + - - j - +

SO M A TÓ R IO S DE P O TÊ N C IA S DE IN TE IR O S PO SIT IVO S

np+l , Btpnp~x B»p(p ~ lX p — 2)«**"®21.8 l " + 2 ', + 3 ', + --- + « '’ = — — + Jn" + — --------------------------- --------------- +• • •p + 1 2! 4!

onde a série termina em n ou n, conforme n é par ou ímpar, e fík são os números de Bernoulli [ver ftulo 23]. api

Alguns casos especiais são— ^ + 1 ) I21.9 1 + 2 + 3 + - - + n = ------------

2 |

21.10 l 2 + 2a + 3a + • • • + n2 = — - +- -6

21.11 1® + 2® + 3® H------ \-ns = n8(W + 1} - ( l + 2 + 3 + - - + n)a

a. A 4 A u(n + 1X2n + lX3na + 3n - 1) 21.12 l 4 + 2 + 3 + — hn ■ —

30

Se Sk — 1* + 2* + 3* + * • • + nk, onde k e n são inteiros positivos, então:

__ _ _ .Jc+1\ /fc + 1 \ / I c + l , , . . 21.13 ( j S ^ f JS2 + - + Í ) S* = (n + 1) — (n + 1)

S É R IE S EN VO LVEN D O R E C ÍP R O C A S DE PO TÊN C IA S DE IN TE IR O S POSITIVOS

1 1 1 121.14 1 — + -------- + ------------- ln 2

2 3 4 5

1 1 1 1 ir21.15 1 -----+ ------- + - ------ = -3 5 7 9 4

1 1 1 1 W 3 1, „21.16 1 -----+ ----------+ ----------- -----------+ —ln 24 7 10 13 9 3

„ 1 1 1 1 W 2 V ^ l n ( l + V2)21.17 1 ------ 1------------- 1------------ --- —■— i------------ -----------5 9 13 17 8 4

« , , « 1 1 1 1 1 tiV 3 1 , „21.1 8 1------------1-----—. • • = ---------1— ln 22 5 8 11 14 9 3

« , « i i i i? + j 5 + i 5 + J i + " — T

21.20 + + i + + -l 4 24 3 44 90

„ , . , 1 1 1 1 u®21.21 “ H— ■ + —“ + ” + • " = -----1® 2 3® 4® 945

- , . - 1 1 1 1 17321.2 2 + -----------+ . . .= —l 2 2a 3a 42 12

- . . - 1 1 1 1 7v*21.23 7 — ■ H—7 — - + ■•• * ------

l 4 2 34 4 720

. 1 1 1 1 3177®21 2 4 ----------- 1-------------l ... —_______1® 2® 3® 4® 30.240

21.27

21.28

21.29

21.30

21.31

21.32

21.33

21.34

21.35

21.36

21.37

21.38

21.39

21.40

21.41

21.42

21.43

21.44

i I 1 1— + -------- f ---------+ ~ 4 - ^1 « o« r Rô ^ + * * * * -----1 3 5 7 9601 1 1 1---------- + --------- VI a 3 5a 7a

8

32

I a 3S 5a ~ 7S + 128

1 , 1 . 1 1 I

1*3 3 *5 5 *7 + 7T9 + “ ' “ 2 1 , 1 , 1 1 a

1*3 2 . 4 + 3 . 5 + Í 6 + " , ! “ i

— - + , 1 , 7 ^ - 81 * 3 * 32»5a 52*7 2 7 M ? 16

------------- 1 , 1 4«* — 39I a »2a «3a 2 - • 3a • 42 F - 4 a.5 a ------------« “

ji * I___ 1 1 í 1ua~1du• " mmm " 4 * « « • —•a a + d a + 2d a + 3d 1 + u d

J O

1 1 1 1 22P~11T2pB— + -^ r + - r - + — + •••= p1»p 22p 3ap 42p (2p)\

J L , 1 , 1 , 1 (2ap- l ) ^ pB„I a" 3ap 52p 72p 2(2p)!

1 1 1 1 C22p- 1 -+ —■— — —"— 4* »** ®

l 2p 22p 32p 4 2p (2p)!1 1 1 1+ — — -----— - + . . . =

^ 2 p + l g 2 p + l 5 2 p + l y 2 p + l 2 2 p + 2 ( 2 p ) !

S É R IE S D IV E R S A S

1 sen(n + |)a— 4- cos a + cos 2a + • • • + cos na - ,2 2sen(a/2)

sen[|(n + ljjasen^na sena + sen2a + sen3a + * * * + senna - Sen(a/2)

1 - rcos a1 + rcos a-hr2 cos 2a + r cos 3a + ------ l - 2 r c o s a + r 2’ r| 1

rsena .\r\ < 1rsena + r a8en2a + r 3s e n 3 a + - = 1 _ 2rcosa + r8

r * * 2 cos na — r " +1 cos(n + l ) a - rcos a + 1 1 + rco sa + r 2co s2a+ ••• + r"c o s » a = 1 -2 r c o s a + r 2

rsena - r ”+1sen(» + l ) a + r “+2senna rse n a + r 2 sen 2a + + r wsenna - 1 - 2rco sa + r 2

ÏJLBRA - CanoasBiblioteca Mortinho Luierx

2 1 .4 5

21 .46

F Ó R M U L A DO S O M A T Ó R IO DE E U L E R -M A C L A U R IN

f F\k)dk-^[F\0) + F\n)}Jr-1

+ ••• ( - l)”' 1 lF'2' - ’\n) - F,I>-'>(0}} +(2p)l

F Ó R M U L A D O S O M A T Ó R IO D E P O IS S O N« 00

y , m Z w i m j rm » —oo

00

F\x)cLr

S É R IE S D E T A Y L O R PARA FUNÇÕ ES DE UMA VARIÁVEL

a i * . > - * ■ > + n * . - ♦ Q g p * * - * r ' “ i y - * «•

onde o enésim o resto, é dado por qualquer uma das duas formas seguintes:

|j| È - á)n 22*2 Form a de L acringe: H» -------

22.3 Forma de Cauchy: « - “ (tT^Í)Í

0 valor g, o qual pode ser diferente nas duas formas, fica entre a e x .O resultado determina se j{x ) temderivadas contínuas de ordem n, pelo menos.

Se lirn R = 0 a serie infinita obtida é chamada de série de Taylor para J{x) em * - a. Se a - 0, a se-rie é cham ada, freqüentemente, de série de Maclaurin. Estas séries são chamadas^de_SérieS de potências, que em geral convergem para todos os valores de * em algum intervalo, chamado de intervalo de conver-

' J í z t :r B“ ^

lo 23.

S É R IE S B IN O M IA IS. n(n - 1) , n ( n - l X n _ j ) a._3x, +

22.4 (a + xY = a" + na* x + — a * 3!

n n \ a- v + r K - V + -- a - + í " ) « - ‘ * + l 2 l a " * r l 3

Casos especiais:

22.5 (o + x f = a2 + 2ax + x 2

22.6 (o + x f = a3 + 3a2* + 3ax2 + *

22.7

22.8

22.9

22.10

22.11

22.12

22.13

22.14

22.15

22.16

22.17

22.18

22.19

22.20

22.21

22.22

22.23

22.24

22.25

22.26

(a + x)4 ■» a4 + 4a3x + 6aaxa + 4eue3 + x

(1 + x)-1 = 1 - x + xa - x3 + x4 - • 1 < x < 1

(1 + x)_a *■> 1 - 2x + Sxa — 4x3 + 5x4 1 < x < 1

(1+X) 1 - 3x + 6xa - 10x3 + 15x4 • • t 1 < x < 1

1 1*3(1 + x ) - = 1 — ~ x + ------

2 2*4x

1*3*52*4*6

x8 + • • • l < x ï 5 1

1 1( l + x ) 173» 1 H---- X — ■

2 2*4x2 +

1*32*4*6

x3 • * • ï < x á 1

1 1*4(1 + x ) 'I/3 = 1 -----x + ------

3 3*6x 1*4*7

3*6*9x8 + l < x £ l

1 2xz+

2*5(1 + x ) V3 = 1 + —x3 3*6 3*6*9

x 1 < x S 1

S É R IE S DE FU N Ç Õ E S E X P O N E N C IA IS E L O G A R ÍT M IC A S

xa X3e* = l + x + — + — +2! 3!

• • 0 0 < # < 0 0

a e*!n<t ( x ln a ) a ( x ln a ) 3 1 + x l n a + --------------+ ----------- — + • • •

2! 3! oo<X<»

1 il % Xa X3 X4ln (1 +x) = x ----- + ----------2 3 4

+ 1 < x S 1

2 l l - xx3 x5 x7X + — H------f— +3 5 7

• • 1 < x < 1

,n ;e. 2x + l ) 3 \ x + l ) ô l x + l

ln xx 1\ 1 + —

X / 2X l \ a 1 /x ~ 1 \ 3

x , + i h r ' +

x > 0

x ï

S É R IE S DE FU N Ç Õ E S T R IG O N O M É T R IC A S,3ar x

senx = x ----- + ---------- +3! 5! 7!

• • • « < a : <oo

2 6or x" x 2! 4!~<ÏÏ +

• • • < X < oo

tgx x3 2x® 17x7aH---- + ------H----------f3 15 315

cotgx = 1 x x3 2xs

x 3 45 945

2a,,(2a" — l)B„arÏH_1H------------------------------------(.

(2n )!

• •

, Xa 5x4 61x6 secx = 1 -f — h-------- 1----------l2 24 720

2 a,lB „x a" (2n)!

E x2"+ £ î£ _ +

-1• •

• 9

(2n )!

1 , x 7x3 31xs cosec x = — I----- j------- -f ------------ -x 6 360 15.120

• • + 2(22n-11 )Bnx,2 »i-l

(2n)!

i* i <TT2

0 < | x l< 7T

X\ <7T2

0 < \x\ < 7T

C a p ít u l o 2 2 • S é r ie s d e T a y l o r 1 6 !

__ l a ;8 1 . 3*822.27 arc sen x = x 4- — — + Ü , 1*3*5 x72 3 2*4 5 « : - +2*4*6 7

• • • x < 1

22.28 arc cos x = 7r2 l x a 1 . 3 * “X ---------- f- ----------- -

2 3 2*4 5

22.29 arc tg a: =x - — ï ! *7

3 5 ~ T

2 * 3*s

+ • »

1 5x» +

1*1 l ;p = 1, sex< -1 ]

22.31 arc sec x = arc cos (1/x) = - - ( ! + 1 1 *32 + 4 xl > 1

22.32 arc cosec x = arc sen (1/x) = - + — -— + — î—2__+x 2*3x3 2*4*5x5 xl > 1

S É R IE S DE FU N Ç Õ E S HIPERBÓ LICAS

X3 X5 X722.33 senh x = x + -----1----- 1— 4-3! 5! 7!

—o o < x < o o

X2 X4 X622.34 coshx = 1 + “ + -77 + 77 +2! 4! 6!

• • —oo<x<<»

x 3 2a:5 17a:7+(—l)"_l2 (2 l)B„x2»i —1

+ • • •(2n)!

x < TT

2

1 x Xa 2xD ( - î r - ^ ^ B ^ 2””13 2xs22.36 c o t g h a ; » ^ ^ - — + — + 4 • •

(2 n)\0 < |x| < TT

22.37x 5x

sechx = +4 61x6

720+ t •

( - l ) wEwx2w (2 n)\

4-

3 31x522.38

1 x 7 x ______cosech aî = - - - + 360 15 120 4-

( -1 ) ”2(22n-l _

(2n)!l)B*x2m —1

4

22.39 arc senh x =

x 3 l»3 x 6 1*3* 5x7 4 • *

x 2*3 2*4*5 2*4*6*7 / 1 1 ,3

í Í ln|2a:| + 2*4*4 41*3*5 • •

4x4 2*4*6*6x0

I .3 | 1*3*5 |22.40 arc cosh x = - \ ln (2 x )— [ nTTix* + 2 • 4 • 4x4 2*4*6*6a:8

1

22.41

2 2 .4 2

x 3 xs arc tghx = x + — + 5 7

1 1 + J - + — +arc cotgh x = - + ^ 3 + 5a.« 7a;7• • •

irx l < 2

0 < X < ir

x l < 1

4 , se x i £ 1

- 1

4 , se a r c c o s h x > 0 , x 1

—, se a r c c o s h x < 0 , x 1

x <1

h > i

A


S E R IE S D IV E R S A S

X 2 X 4 X 5 * •

22.44 eX 2 X 4 81x°

« " ' - c l 1 ------+ ------2 6 720

+ » •

xa Xa 3x4 22.45 e * ' » 1 + X + — + ~ + —2 2 8 +

22.46 e'sen x = x + x 2 +3 30 90

• « •2w/asen(nir/4)xw (

n!

— 00 < &<co

—oo < x < oo

X <ir2

22.47 e'cosxX s X 4 2*/aco8(nir/4)x"

1 4* X — • — — — + — ... . +3 6 nl

x a X4 X'o2m- 1 d m2n

22*48 ln |8enx| — ln Ixl - - —1 6 180 2835

2 Bnx• • •

n(2n)!+

22.49 ln x3 X 4 x0 17x8C O S X I » --------- • •

2 12 45 2520

X a 7x4 62x8

2aw- 1(2aw~ l) B wxn(2n)!

2 n+

22.50 ln |tg x| * ln Ixl H— + -------H-------------^ 1 3 90 2835

2a"(2an" 1 - l)B nx2M*f • • • + ------------------------------- H

n(2n)I

- , ln (l + x) , „ , ,22.51 — — ------- x - ( l + J)x* + (1 + j +J)xs -JL • «C

• •

— 0 0 < X < 0 0

0 < X < 7T

X <7T2

0 < x <7T

2

x < 1

IN V E R S Ã O DE S É R IE S DE P O TÊ N C IAConsidere

22.52 y « CjX + c2x 2 + c3x s + c4x4 + c5x 6 + c6x 6 + • • •

Então «

22.53 x = C , w + Cay2 + Cay3 + C4y4 + C y* + CBy° +

onde

22.54 CjCi * 1

• • •

22.55 c?C2 — — c2

22.56 cjCa - 2c| - C|C8

22.57 c[C4 - 5cjc2c3 - 5c| - cfc4

22.58 cfCft = ßcfc2c4 + 3c?c| - c?cft + 14c| - 21c*

22.59 c}lC„ - 7cfcac8 + 84dc|cs + 7c?csc4 - 28cfc,cf - cfc, - 28c?c|c4 - 42c?

S É R IE S DE TA YLO R PARA F U N Ç Õ E S DE D U A S V A R IÁ V E IS

22*60 JXx. y) •‘ fia , ft) + (x - a)/^a, ft) + (y - b)fv(a, 6)

1+ 2 Ït(X “ b) + 2(x ~ °)C» - *>)/*,(«• ft) + (y ft)V»(a, ft)) + • • •

ondt*y^(a, b ))fy(a , 6), ... denotam derivadas parciais em relação a x , y, ... calculadas e n i* * 0’ ^

23.1

23.2

23.3

23.4

23.5

23.6

23.7

Números de Bernoulli de Euler

D E F IN IÇ Ã O D O S N Ú M ER O S DE BERNOULLIOh números de Bernoulli ß p B2* ••• s^° definidos pelas senes

x x BjX2 B2x 4 B9x 6 , , 0 = 1 -----4- —-----------— + — --------- \x\<2tfe ? -\ 2 2! 4! 6!

x x B\X2 B2x4 . B$x 1 /v.i m-1 -----cotff — — — — 4- ■- + ------- + ••• \x\<ir

2 K 2 2! 4! 6!

D E F IN IÇ Ã O D O S N Ú M ER O S DE EULEROs números de Euler Ev E „ E „ ... são definidos pelas séries

+ w < =sechx “ 1 " 2! 41 01 2

, , J»** . § g ! x . . . M < -sec * - 1 + - ^ T + 4! ei 2

R E L A Ç Ã O D O S N Ú M E R O S DE BERNO ULLI E DE EULER

2 « + 1 \__ (2 n + l\„4o 4 . / 2 »+ 2 «d _ •••(—l)“_l(2 n+ 1 ) 2 ®*B. = 2 »2

B. 1 j f c I( + r . ' 1


23.8

23.9

23.10

23.11

23.12

S É R IE S E N V O LV E N D O O S N Ú M E R O S DE B E R N O U L L I E DE EULER

(2n)!II o2w-l2 7T2"

1 + - U - U2 2)1 32n

2(2 n)!(2

B

- D tt2"

2(2w)!

, 1 1 l+ -T T - + - ^ - + • é

32» 52»i

n(2 2« —1 U h3"

1 — Í - + 1 * *o2» q2mSé O

E2 2n+2(2n)!

n7T2" + 1 1

14*

1* * *

o 2tt+ l r ‘2M4 1 O O

F Ó R M U L A A S S IN TÓ TIC A PARA O S N Ú M E R O S DE B E R N O U L L I

Bn ~ 4 n a"(7Tey2nV m

TA B E LA DO S PR IM EIR O S N Ú M ER O S DE B E R N O U LLI E DE EU LER

Números de Bernoulli Números de Euler

1385

691/2730

3617/510

43.867/798

854.513/138

236.364.091/2730

D E FIN IÇ Ã O DE UM A SÉRIE DE FOURIERA série de F ourier correspondente a uma função J[x) definida no intervalo c S i S c + 2 L, onde c e L são constantes, é definida por

24.1nirx nirx

an cos _ ~ + oM senM-l

24.2

onde

a- =

*>„ =

c + 2 L n7nr ,

f(x) cos----- dx

e+ZL TITTXf(x) sen----- dx

- no _ nr nartes e f l » é definida por extensão periódica de período 2L, ou S » / * » e, { f T , “ “ , . »éril converge p . r . / ( . ) , « . « « - P «> » •*« continuid.de e p .r .

seja, A * + ZL>) « J W » j M„„„t!nnidade.12X . o » : M - o » .

FO R M A C O M P LE X A DA SÉRIE DE FOURIER Supondo „ue a .érie 24.1 e»»v „6.

24.3/(•*•) “ 2 e-

innjc/Ln

onder+2í*

24.4ffcr)e-h,nxyLdx =

2L

n > 0j(aH - ib j Ua-n + ib-n) n< 02 *0 n * 0

Ia n u a i d e F ó r m u l a s e Ta b e l a s M a t e m á t ic a s

ID E N T ID A D E D E P A R S EV A L

24.51L

c+2L 2 m{ /(x ) }2d r = ^ + 2 ( « î + bî)

w-1

ID E N T ID A D E D E P A R S E V A L G E N E R A L IZ A D A

24.6 1L

+ 2 L

f(x)g(x) dx - ~ + 2 (a*c„ + bHdJ»■1

onde an, bn e cB, dn são os coeficientes de Fourier correspondentes a J [x )eg (x ), respectivamente

S É R IE S D E F O U R IE R E S P E C IA IS E S E U S G R Á F IC O S

24.7 / (* ) = 1 0 < # < i r— 1 •"7r<a*<0

1

4 tsenx sen Sor sen&r+ — — + ---------+m ♦ • -2w Ir 2r

-1

Fíg. 24-1

24.8 fix) = W = 0 < x < ir-X -7T < X < 0

ir cosx cos3x cosõx+7T

+ 2

24.9 /(* ) = * , —ir< x< tr

2 ! senx sen2x aen3x• • •

2 4 . 1 0 / ( * ) = x, 0<x<2ir

n - o 18enx I Ben2a: ( sen3a:

- 4 r ~ 2 r

/ 1 / / 1 /X 1 / / 1 // 1 s / 1 // 1 / X l /

2 r

0 2r 4r

F /g . 2 4 - 4

c o s 4 x c o s f i r

F o r m u l a s e T a b e l a s M a t e m á t ic a s

24.16 f ( j C ) = X ( 7 T - X ) ( 7 T + J * ) , I T < X < T T

s e n x sen2x sen3x12 I —^ ----------- r - + # •

24.170 < x < TT — a

TT— a < x < T T + a

7T+ a t < x < 2 t t

a

TT TT

sen a cos x sen 2 a cos 2x

+ sen3acos3x

24.18 / (x ) =x(7r-x) 0 < X < T T

— T T < X < 0

8 /senx sen3a* sen ox -2r

M

Fig. 24-10

/(*)— 2a — — 2a — —•* 2a ♦* —

f " ” 1 Î J «! I 1 Í ! i _

i ! î : • 1 1 1i t î 1 1i i î îî î i iî » —r -3 r -2r ” »■ 0 r 2r

2«

3*

Fig. 24-11

It

Fig. 24-12

S E R IE S D E F O U R IE R D IV E R S A S

24.19 f ( x ) = sen/xxt — t t < x < tt, / x inteiro

2sen/x7r / senx7T i 2 - m

22 sen 2x 3 sen Sx

+2a - u 2

• # #82 — u 2

24.20 /( * ) = cos /xx, — 7T < x < 7T, /x =£ inteiro

2/xsen/x7r / 1 cosx cos2x cos3x+ — !-------- --------- --------- - +

“TT 2 l 2 - / i * 22 — jti2 32 — /i2• • •

24.21 /(x ) =arc tg [(asen x)/(l - a cosx)], - 7 r < x < 7r, lal < 1

a2 a* a sen x H---- sen 2x + — sen 3x +2 3

24.22 f ( x ) = ln ( l - 2 a COSX + a 2), — 77* < X < 7T, la l < 1

a2 a3 —2 I a cosx H----- cos 2x H------ cos 3x + • •

CAPtTULO 2 4 • S e r ie s d e F o u r ie r 1 7 3

sen 82* +o sen -r *+-

2 arc *§ I(2a cosar)/(l - a*))

cosh — T T < X < 77

2/i senh/tir / 1

D E F IN IÇ Ã O D A F U N Ç Ã O G A M A T{n) PARA « > 0

IX « )- í t“-'e-'d t n > 0O

F O R M U L A D E R E C O R R Ê N C IA

25.2

25.3

T(w + 1) = nT(w)

Se n * 0, 1 ,2 , . . . , um número inteiro não-negativo, temos o seguinte (onde 0! = 1)

T(n + 1) = n!

25.4

F U N Ç Ã O G A M A P A R A n < 0Para n < 0, a função gama pode ser definida usando a Formula 25.2, ou seja,

Hn §1) T ( n ) n

25.5

V A L O R E S E S P E C IA IS D A F U N Ç Ã O G A M A

r(i) = Vw1 .8 « 5 - ( 2 m - _ l ) m = 1 ,2 ,3 . . .

25.6 Hm + í) = 2».

25.7 - , • ( - i r i - v ;n - w + ü ) - 1 . 3 . 5 . . . (2 m - 1)

M a n u a l d e F ó r m u l a s e Ta b e l a s M a t e m á t ic a s

GRAFICO DA FUNÇÃO GAMA

Tin)

n-- ,w

__4fl—

t X #

J i 3T 1I

□ ; _ I 1 /

LmvmBmJ N V 1— \-4 f II— 1

.

hmmJ

r- j

- í ; - 2 , - 1 1•£ 3:r i4i s!■

■ - i I- 3 .1

h—«■ IJ .= 4.1• A-51

««O».

n

Fíg. 25-1

RELAÇÕES ENTRE FUNÇÕES GAMA

25.8 r ( p ) m - p ) 77senp7r

25.9 22x_ 1 r(x) r (x +.]) = V^r{2x)

Esta é a chamada fórmula de duplicação.25.10

r (x )r ix + ± ) r { x + —m j \ m

Para m = 2 , isto reduz-se a 25.9.

• •

O U TR A S DEFIN IÇÕ ES DA FUNÇÃO GAMA

25.11 T{x + 1 ) = liml»2-3 - Jc

h-~ (x + l)(x + 2) - (x + k)

25.12 1f(x) w-l

X1 + — I e m

■x/m

Esta é uma representação da função gama era produto infinito, onde 7 é a constante de Euier, definida em 1.20 .

DERIVADAS DA FUNÇÃO G AM A

25.13 n i ) e~'l nxdx = - y0

2 5 .1 4 rçx)F(x)

“ 7+1 2*” ) + í i —1 x ) \2 x + 1 +

Aqui, novamente, está a constante de Euler 7 .

25.15

25.16

25.17

E X P A N S Õ E S A S S IN T Ó T IC AC a p ít u l o 2 5 * A F u n ç ã o G a m a 1 7 9

PARA A pUNÇÃO GAMA

139p . í i l2x 288** ~ 51^840»*Esta e chamada série assintótica de Stirli

Tomando x - n um número é grande (por exemplo, n > im * P° 8!tÍV0 em 2^ , então

+

10). i dada pela fórmula de Stirli° aprOXÍma«ão úúi Para " ! quando »

onde ~ é usado para indicarn! m n"e~n

que a razão dos dois termos tende a 1 quando n ->00.

M A IS U M A R ELA Ç Ã O

|r«x)|*------ 1

DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO BETA B(m, n)

26.1 B (m ,n )= | m > 0 , n > 0O

RELAÇÃO ENTRE A FUNÇÃO BETA E A FU N Ç Ã O G A M A

26.2 „ Hw) r(n)B (m , n) ------------------T(m + n)

Extensões de B(m, n), para m < 0 e n < 0 , são obtidas usando-se 2 5 .4 .

ALG UNS RESULTADOS IM PO R TA N TES

B(m, n ) = B(n, m)

26.4 */2

B(m, n ) = 2 j| sen21"- 1 6cosaM~1 Odd0

26.5 00 f m - lB(m, n ) = I --------------- dt

1 a + t r + H

2 6 . 6B(m, n ) = r”(r + i ) m f ~ t ) " 1

J0 ( r + t )m d t

E Q U A Ç Ã O D IF E R E N C IA L D E B E S S E L

27.1 x V + ^ ' + ( í í ' n í) l / s 0 n - °

As soluções desta equação são chamadas de/unções de Bessel de ordem n

F U N Ç Õ E S D E B E S S E L D E 1* E S P É C IE D E O R D E M n

x u x 127.2 JJz) 2Hr(n + l ) 1 - — ------TT +2(2n + 2) 2 • 4(2 n + 2)(2w + 4)

” k\ n » + kT {n + k + 1 )kmO ' v

Xo ^ ,4-H r xa #

27.3 2- * T ( l - n ) 1 1 2(2 — 2n) 2*4(2 —2n)(4 2n)r%\2k~n( ~ l ? ( x / 2 )

k \ T ( k + l - n ) k-0

27.4 J_„(x) = ( - l)M«/„(x) n - 0, 1, 2,...

O -*n 1 9 J ( x ) e J (x) são linearmente independentes.Se n =p U, I , * » W c ■'-»A / ■ . , ... . jSe ra # 0 1 2 , J (*) é limitada em x = 0, enquanto que e ilimitada

Para n - 0 , 1 , temos

a-4 x 4 1 _ _ + • • •

27.5 í/o(x)= 1 2® 2® • 4® 2® • 4® • 6‘

x X s X 5 g 7

27.6 Ji(x) = 2®^4 + 2®*4®*6 2®*4®*6®*8• •

2 7 . 7 J 0'( x ) = - J , ( x )


F U N Ç Õ E S D E B E S S E L D E 2* E S P É C IE D E O R D E M n

27.8 Y Jx ) -

J«[x) cos nir - J.Jx)nennir n * 0, 1, 2,

lim ooaptr - J-Jx) n = 0, 1, 2,senpir

Esta também é chamada de função de Weber ou função de Neumcinn [também denotada por /V (*)j

Para n ■ 0, 1 ,2 , . . . , a regra de L’Hôpital nos dá

27.9 2 1 "_1 r„(x) = - (\n(xj2) + y) Jn(x) — Y

*

(n - f c - l)t kl

(x/2)2Jr—m

onde 7 = 0,5772156 ... é a constante de Euler [ver 1.20] e

27.10

Para n = 0,

27.11 Vo(*) = - { ln ( í /2 ) + y) J„(x) + ^ j | j - ^ ( 1 + i) + ^ ^ ( 1 + \ + i) • 0

w 2s4a62

27.12 r.«(*) - (- irr.(x) n = o, í , 2,. . .

Para qualquer valor n è O , / , ( * ) é limitada em * - 0, enquanto que YJx) é ilimitada

S O L U Ç Ã O G E R A L D A E Q U A Ç Ã O D IF E R E N C IA L D E B E S S E L

27.13 y - AJ„(x) + BJ-Jx) n * 0, 1, 2.

27.14 y - AJJx) + BYk(x)

27.15 y “ AJ„(x) + BJ"(X) / cir

onde A e B são constantes arbitrárias.

todos os n

todos os n

F U N Ç Ã O G E R A D O R A P A R A / »

27.16H-—«»

F Ó R M U L A S D E R E C O R R Ê N C IA P A R A F U N Ç Õ E S D E B E S S E L

27.17 2 n05

* /„(# )-JM_,(x)

2 7 . 1 8

27.19

27.20

27.21

27.22

27.23

27.24

27.25

27.29

27.30

27.31

27.32

C a p ít u l o 2 7 * F u k q Ô e s d e BeSSEí 1 8 3

xj;\x) - xJH , ( j * ) - riJJx)

xJ4(x) - tu/Jjr) xJ„ , y{jr)

d dx

d dx

Áh fimçoea Vn(x) satisfazem relações idênticas.

FUNÇÕES DE BESSEL DE ORDEM IGUAL À METADE DE UMNÚM ERO INTEIRO ÍMPARNesse caso, as funções são expressas em termos de senos e cossenos.

J1/2W senx2 fcosx

27.26 J_a/2(x) - J — (— + senx

J - i/íé (x ) cosx - 1 jsen x -^ co sx j

«J»/a(x) 27.28 J-H/2Í.X) — senx + I —— — 11 cosx77X 1 x Vx

Para mais resultados, use a fórmula de recorrência 27.17. Resultados para ... são obtidosa partir de 27.8.

FUNÇÕES DE HANKEL DE 1“ E 2* ESPÉCIES DE ORDEM n

Hí,"(x) - JH(x) + iy„(íe)

//">(*) - Jm(x) - <r„(*)

EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE BESSEL MODIFICADA

A> soluções desta equação são c h a m a d a s /u ^ de Bessel modificadas de ordem n.

FUNÇÕES DE BESSEL MODIFICADAS DE 1* ESPÉCIE DE ORDEM n

2

2” Tin +1)1 + 2(2 n + 2) 2• 4(2n + 2)(2n + 4)

+(x/2)

• *kl T(n + k 4-1)

Ia n u a l d e F ó r m u l a s e T a b e l a s M a t e m á t ic a s

27.33 /-„ (* ) = ix) =( x 2 x4 WZ (ac/2)2* --

l + --------- — + ■ — r -r r :— — +2 ',,r ( l -w )l 2(2 — 2n) 2 • 4(2 - 2n)(4 - 2n)

27.34 /-« (* ) = U x ) n = 0. 1, 2 , . . .

Se n ¥= 0 , 1 , 2 , então In{x) e /_„(%) são linearmente independentes

Para ra - 0 , 1 , temos

27.35 W * ) - l + | í + # T 5 + 2a. ^ í ^ 5 + -”

X X S X 5 x 7

27.36 J,(x) 2 + 22* 4 + 22*42* 6 + 22*42*62*8 +• •

27 .37 Ji(x) = /,(x)

F U N Ç Õ E S D E B E S S E L M O D IF IC A D A S D E 2a E S P É C IE D E O R D E M

27 .38 K„(x) =

— - — { / - m(jt) - U x ) } « * 0 , 1 , 2 , . . .2 s e n « i r

l i m -------—------( I - P(x ) - /p(as)} n => 0 , 1 , 2 , . . .i>—« 2 senpir

Para n = 0 , 1, 2 , . . . , a regra de UHôpital nos dá

27 .39 K„(x) = ( - 1)H+1 Un (x/2) + y }/„(x ) + (x/2)2*2 h.o

If-o ()Í + fc)!

onde $ (p ) e dada por 27.10.

Para n « 0 ,2 r4 x 6

27.40 Ko(x) = - ( ln (x /2 ) + y}/o(x) + r j + „2. 4-*( 1 + 2) + 22*42*62^ + 2 + ^ +

27.41K _ m (x ) = K„(x) n - 0, 1, 2 , . . .

S O L U Ç Ã O G E R A L D A E Q U A Ç Ã O D E B E S S E L M O D IF IC A D A

y = A U x ) + BI-„(x), « * 0 ,1 . 2.

y = A/„(X) + BK„(x), todos 08 71

. — . todos os re

27.42 y

27.43 y

27.44 y x / , f ( x )

onde A e B são constantes arbitrárias.

C a p ít u l o 2 7 • F u n ç õ e s d e B e s s e l

FU N Ç Ã O G E R A D O R A PARA / (* )

27.45wm

fl

F Ó R M U L A S DE R E C O R R Ê N C IA PARA AS FU N Ç Õ ES DE B ESSELM O D IF IC A D A S

27.46 í» + l(*) “ /„ - , (* ) ------ /„(£)X 27.522wK„+1(x) = /Cn_,(x) + — K„(x)X

27.47 / » ( * ) 108 ^ + l(x) ) 27.53 K^x) = -J {K H-,(x) + if„+1(x)}

27.48 x/^(x) - x l „ - , ( x ) - n/„(x) 27.54 xK„'(x) - -xK „-j(x) - nK„(x)

27.49 + n /H(x) 27.55 xK,;(x) = nK*(x) — xK„+i(x)

27.50d* 27.56 — {xMK„(x)) = —x"K„_i(x)

dx

27.51( I X

27.57 — (x-"K„(x)} = - x - iC M+i(x) dx

F U N Ç Õ E S DE B E S S E L M O D IFICA DA S DE O RDEM IG UAL À M ETADE D E UM N Ú M E R O IN TEIR O ÍMPARNeste caso, as funções são expressas em termos de senos e cossenos hiperbólicos.

senha;2 / cosh# senha;-----------

X

27.59 / - ! /* ( * ) - cosh x3

27.62 W x ) = I— \ I —T+ 1^senha; - - coshx

2 / senha; cosh a;---------- *

-mc ' x

3 \ , 3 ,—r + 1 I cosh a; — senha;

irx I var / a;

Para mais resultados, use a fórmula de recorrência 27.46. Resultados para Kln(x), K ^ (x ),.tidos a partir de 27.38.

F U N Ç Õ E S B er E BeiAs partes real eal e imaginária de são denotadas por B e r » e B e i » , onde

27.64 Ber„ (a:)ix/2)2k+n

k-0 kl T(n + k + 1)cos

(3n + 2 k)ir

27.65 Bei« (x)(x/2)nrtk+n (3n + 2k)TT

sen---------------k-0 kl r(n + fc + 1)

1 8 5

. são ob

27.66

27.67

27.68

27 .69

27.70

27.71

Se n = 0 ,

B e r ( x ) = l - ^ + ^2!® 4!2

B ei(x ) = (V 2 )a - < ^ + < ^ !3 ! 512

• •

FU N Ç Õ E S Ker E KeiAs p a rte , rea l e u n ag in ári. de 8ão denotada, por K e r . ( , ) e K e i » , oode

Ker,, (x) = - {ln (x/2) + y} Ber» (x) + Bei„ (x)

1 V (» - fc - 1)1 (íc/2)ah- M Í3n + 2k)irT o S . ----------------- -------------- c o s ------------------

J V (a /2)"+aft____ . . (3n + 2k)v« ( « + » i + * < » + " h “ « 4

K e i,, (ar) — {ln (x /2 ) + y} B e i* (x ) — \tt Ber,, (x )

1 V ~ k ~ 1)! ( x /2 )2* ” " (3 n + 2 /c)ir " ã à « ---------------8en~ i

, 1 V (x/2)H+2k r _ _ . _ _ (3 n + 2k)ir+ ã è [ W + * ' "■ + 'k» ' ■“ — 5—

e O é dada por 27.10.

Se n = 0 ,

K e r (x ) - - { l n ( x /2 ) + y } B e r (x ) + ^ B e i ( x ) + 1 - (1 + 1) + ( l + * + » + J)

7T . (x /2)6K e i( x ) = ~ { ln ( x / 2 ) + -y) B e i (x ) - — B e r (x ) + ( x /2 )a ------—5—(1 + £ + $) + * «

EQ UAÇAO D IFER EN C IA L PARA AS FUNÇÕ ES Ber, Bei, Ker E Kei

27 .72 x2y’ + xy' ~(ix2 + n2)y = 0

A solução geral dessa equação é

27 .73 y = A { B e r M(x ) + t B e U x ) } + B {K e rM(x ) + iK e lM(x )}

GRÁFICOS DAS FUNÇÕES DE

Flg. 27-1

C aH tu lo 2 7 • F uN çõíi ou Bfitoei 1 8 7

Hg. 27-3 Flg. 27-4

Kei x

y

Flg. 27-5 Flg. 27-6

INTEGRAIS INDEFINIDAS ENVOLVENDO FUNÇÕES DE BESSEL

27.74 J xJoix) dx * xJi(x)

27.75 x * M x ) dx - x 2J,(x) + x J 0(*) - *W*) dx

27.76

27.77

27.78

27.79

27.80

27.81

27.82

27.83

27.84

27.85

27.86

27.87

27.88

27.89

27.90

27.91

x ’"J,1(x)dj- = x ",J,(j-) + ( w - l V r " ' - IJ0( x ) - ( m - l ) 2 x m- 2J0(x)dx

«/o(x) J 0(x)— — d x = J , ( x ) -------------- I J 0(x )d x

J qW ^ = ________ Jotç)________ 1___ f J „(x )x m (m - l )2x " - 2 (m - ljx™-1 (w t -1 )2 x ”- 2 ^

J t (x )d x = - J 0(x)

x J , ( x ) d x = - x J 0(x) + J 0(x )d x

x m J , (x) d x = - x m J 0(x) + m J x m~1J0(x)dx

Jl(x)-d x = - J , ( x ) + li J 0(x) d x

I " » » ■ -■ m je— 1

x M J „_ ,{x ) d x = x"J„(x)

x~"JM+1(x)dx = - x - * J „ ( x )

xm JM(x) dx = - X " * JM.j(x) + (m + M - 1) x m~lt/M_ 1(x) dx

P2 — a2

x 2 ___ x 2 ( n2x J „ ( a x ) d x = — { J „ '( a x ) } 2 + — - 1 1 ------) [ J „ ( a x ) )

2 2 I orar

Os resultados acima também são válidos se substituirmos Jn(x) por Yn(x) ou, mais geralmente, por AJn(x) + BY (x) onde A e B são constantes.

IN T E G R A IS D E F IN ID A S EN VO LVEN D O FU N Ç Õ E S DE B E S S E L

e -^ M b x ) dx - 1

o V o 2 + ir

90e -azJu(bx)dx =

o

( V íF + F - a )”bMV a 2 -f b2

oo 1cos «x J 0(te) dx = < - b2

n > — 1

a > b

0 o a < h

2 7 . 9 2 í J » ( h j : ) d x = i . „ > _ !

» . » aO ”

27.94 e -~ j 0(6V x) dx =ç~bi*/4a

O «

27.95 I xJ ,(a * )J „ ( f t e ) d r - a J " ( E ) J " ( a ) I I B ã M M> 0a- a 2

27.96O

x J*(ax) dx = | {j;(a )}* + 1(1 - n2/ a2){J,,(a)}2

27.97 f x Jo(t« )7 0(/*r) dx = - Ó ( « )W )Jo a2 + /32

R E P R E S E N T A Ç Õ E S IN TE G R A IS DE FU N Ç Õ ES DE B E S S E L

1 r— I C O S 7T I

27.98 J0(x) = — I cos(xsen0)d0

- = í•'o27.99 J„(x) = - I cos (»0 - x sen 0) dd, n = inteiro

27.100 J .(x ) = 2. ^ r(w ^ I cos(xsen0)cos2" 0d0, n > |

2 I ,27.101 r 0(x) -------- cos (x cosh u) du

w Jo

27.102 J0(x) = - í cosh(xsen0)d0 - J eI ‘"*d0n Jo J °

2ir

E X P A N S Õ E S A S S IN T Ó T IC A S

, 2 / _ 2Î2H — — | onde « é grande27.103 J ^ ° ° T 2 4

.2 — \ onde * é grande27.104 r M(x )~ J — senlx 2 4 j *

% 1 / CX\M onde n é grande27.105 J-(x) ~ ( 2»

M a n u a l d e Fó r m u l a s e T a b e l a s M a tem a tjc a s

27.106

27.107

27.108

onde n é grande

onde x é grande

onde x é grande

sao raizes positivas de j j x ) - 0

xf(x)JM(Ákx)dx

Era particular, se n = 0

f\x) AiJ0(kiX) ^ 2* o( 2x) 4 AaJ0(\3x) +

x f f à J o i k k X ) d x

As fórmulas referem-se à expansão das funções de Bessel, onde S # 0

xf(x)JM(\i,x) dx

Em particular, se n = 0

xf(x)Jo(À*£) dx

C a p ítu l o 2 7 • F u n ç õ e s d e B e s s e l 191

x 'f{x)dx

x f ( x ) J H( À f f X ) ( I X

km particularde J , ( * ) -0 ] ,

se n * 0, de modo que R - 0 [ou seja, X2, X3, ... são as raízes positivas

xf(x) dx

xf(x)JoUkX)(lx

Neste caso, há duas raízes imaginárias puras ÜAq, bem como as raízes positivas X.,, Xj, X3, ... e temos

x f (x ) IJÂqx) dx

x f (x )J H(Àkx )d x

RESULTADOS DIVERSOS27.123 cos Cr sen 0) = M *) + 2 •«*> c o s 20 + 2J4(*) cos 40 + • • •

27.124 sen (jr sen 0) = 2 J, (*) sen 0 + 2 J,(*) sen 3 0 + 2 J„(*) sen 5 0 + •m

27.125 JAx + y )~ X J^x)J--"(y)n = 0, ±1, ±2 , . . .

Esta é chamada a fórmula de adição para as funções de Bessel

27.126 1 = M x) + 2 Jjfcr) + — + 2 + ■■■

27.127 ar = 2{J,(x) + 3J,(x) + 5J5(*) + •• • + (2* + lJJk+ií») + •••}

27.128 x2 = 2{4J,(z) + 16J4(aO + 36J«(aO + ' ' ' + (2n) + 1

2 M a n u a l d e F ó rm u la s e T a b e la s M a te m á tic a s

27.129

27.130

27.131

27.132

27.133

27.134

27.135

27.136

27.137

27.138

27.139

xJ, (x)— f é § J 2(x ) - 2 J 4(x ) + 3 J „ ( x ) -■■■

4

1 1 J%(x) + 2 J f ( x ) + 2 J | ( x ) + 2 'f iW + • •

J jm (®) 3e/„_i(x) + 3«/,í+i(j*) t/M ^(x)}

As Fórmulas 27 .131 e 2 7 .1 3 2 podem ser generalizadas.

ru r rf r / x 2 sen hitm

Y f \ T , x , 2sen)i7rTTX

i W - «/„(Jr) r M+I(x ) « J M(x) 1^ (ar) - J ,;( jr) F „ (z ) -nx

s e n x = 2 {J ,(a r) - J 3 (x) + J 5 (a*)------}

c o s j* — J tí(x ) - 2 J *(jc ) + 2 J 4(x ) - • ♦ •

s e n h x = 2 { í , (jc) + í 3(x ) + J5(x ) + • • ■}

co sh x = J0(x ) + 2 { I 2(x ) + / 4(x ) + / „ ( x ) + • • •}

E Q U A Ç Ã O D IFE R E N C IA L DE LEGENDRE

(1 - z 2)y* - 2x y ' + n(n + l ) y = 0

As soluções desta equação são chamadas de funções de Legendre de ordem n.

P O L IN Ó M IO S DE LEG ENDRESe n = 0 , 1 , 2, ... , uma solução de 28.1 é o polinómio de Legendre Pn{x) dado pela fórmula de Rodrigues

28.2 P„(x) = — — — {x2 - l f2"n! dx"

P O L IN Ó M IO S DE LEG ENDRE ESPECIAIS

28.3 P0(x) *= 1

*8.4 P j(x ) — x

28.5 P2(x) = è(3x2 - 1)

28.6 Pa(x) = è(5x3 - 3x)

28.7 P4(x) = è(35x4 - 30x2 + 3)

28.8 P9(x) = |(63x8 - 70xs + 15x)

28.9 P6(x) = à í231x6 - 315x4 + 105x2 - 5)

8.10 P7(x) = fe(429x7 - 093x* + 315xs - 35x)

PO LINÓ M IO S DE LEG EN D R E EM TE R M O S DE 6, O N D E x - cos 6

28.11 Po(co» ° ) m 1

28.12 P, (cos 0) - oos 0

28.13 Pa(c o s 0 )« | (l + 3cos20)

28.14 P8(cos 0) *■ J(3 oos 0 + 5 cos 30)

28.15 P4(c o s 0 )« À (9 + 2 0 cos 20 + 3 5 eos 40)

28.16 Ps(cos 0) = ^ ( 3 0 cos 0 + 3 5 oos 30 + 6 3 cos 50)

28.17 P«(co8 0) “ 5 ^ (5 0 + 105 cos 2 0 + 126 cos 4 0 + 231 cos 60)

28.18 P7(cos 0) = 15^(175 cos 0 + 189 cos30 + 2 3 1 c o s 5 0 + 4 2 9 cos 70)

FUNÇÃO G E R A D O R A PARA O S PO LIN Ó M IO S DE LE G E N D R E

28.191

V 1 - 2 Í X + . n-0

FÓ R M U LA S DE R EC O R R ÊN C IA PARA O S P O LIN Ó M IO S DE LEGENDRE

28 .20 (« + l ) P M+,(x ) - (2 n + l)x P „ (x ) + n P *_ i(x ) * 0

28.21 P,'.+i(aO- x K ( x ) « (n + l )P . ( x )

28.22 i P ; ( i ) - P ' „ . 1( ï ) » n P , ( x )

28.23 P!,+ l(tf) - K -i(x ) - (2w + l)P * (x )

28.24 (xa - l)PJ,(a:) - n x P J x ) - n P „_ ,(x )

O RTO G O NALIDA DE DOS PO LINÓ M IO S DE LEG EN D R E

28.25I

Pm(x)PM(x)dx = 0 m # n

28.26

ïï

{P„(x))*lix - 22 n + 1

Devido a 2 8 .2 5 , Pm(x) e Pn(x) são chamados ortogonais em - 1 < x < 1

SÉR IES O R TO G O N A IS DOS PO LIN Ó M IO S DE LEG EN D R E28-27 A*) = ^oP«(x) + A,P,(x) + A3P3{x) + • • •

onde

28.28 2fc+ 1 f »~ — 2— J / ( * ) P*G*0 dx

28.29

28.32

28.33

28.34

28.35

28.36

28.37

28.38

28.39

28.40

28.41

28.42

C a p ít u l o 2 8 » F u n ç õ e s d e L e g e n d r e e d e L e g e n d r e A s s o c ia d a s 1 9 5

RESULTADO S ESPEC IA IS ENVOLVENDO PO LINÓ M IO S DE LEGENDRE

P,U) = 1

P„(0) =O

(- 1)1*3*5- - ( n - 1)

2*4*6 n

n impar

n par

P„(x) = - íir IJo

(x + V i 2 - 1 cos 4>)M d<t>

P„(x)dx =Pn+l(fi)-Pu-i(x)

2w+ 1

PÁX) 21_c (»2 - i r

Jc (z-x)"+ ldz

onde C é uma curva fechada simples, tendo * como uni ponto interior

S O L U Ç Ã O G E R A L DA EQUAÇÃO DE LEGENDREÂ solução geral da equação de Legendre é

y = A Un(x) + B VH{x)

onden(n + 1) 2 ,----------- xz +

21n(n — 2)(w + l)(n + 3) 4 ————— ——

4!* # •

(n - l)(n + 2) Q (n - l)(n - 3)(n + 2)(n + 4) ft V w( x ) = * ----------------------------------* + -------------------------------------- x3! 5!

Estas séries convergem para — 1 < x < 1.

F U N Ç Õ E S DE LEG EN D R E DE 2* ESPÉCIESe re - 0 , 1 , 2 , . . . , uma das séries 28.38 ou 28.39 é finita. Em tais casos,

P„(x)U A x V U .il) n - 0 , 2, 4 . . . .v jx y v u i ) « - 1 , 3 , 5 , . . .

onde

U„(l) = ( - l ) “/22”n2

! n! n = 0, 2, 4 , . .

n - 1 2

! n! n = 1, 3, 5, .

Neste caso, a série infinita, com uma constante multiplicativa conveniente, é denotada por <>„(*) e é chamada de função de Legendre de 2a espécie de ordem n. Definimos

2 8 .4 3

f l/„(l)V»(x) n = 0, 2, 4, ... Q„(x) - I _ v„( 1 } £7.(05) w = 1 , 3, 5 , ...


28.44

28.45

28.46

28.47

28.48

28.49

28.50

28.51

28.52

28.53

28.54

28.55

28.59

FU N Ç Õ E S DE LE G E N D R E DE 2a ESPÉ C IE ESPEC IA IS

1 / I + x Qo(x) - T ln . 1 - x

- . X /1+ x1 - 1

QaOr) - — 1 ln —4 \ l - x ) 2

^ % 5a*- 3 * / 1 + x\ üx2 2G8( * ) - ------------ ln -------- - — + -4 \1 - x 2 3

As funções Qn{x) satisfazem fórmulas de recorrência exatamente análogas a 28.20 até 28.24. Usando estas, a solução geral da equação de Legendre também pode ser escrita como

y m A PH(x) + B Qn(x)

EQ UA ÇÃO D IFE R E N C IA L DE LEG EN D R E ASSO CIADA

(1 - x*)y” - 2xiy' + \ n(n + 1) -m2

l - x 2 y~ O

As soluções desta equação são chamadas funções de Legendre associadas. Restringimo-nos ao caso importante onde m e n são inteiros não-negativos.

F U N Ç Õ E S DE LEG EN D R E A SSO C IA D A S DE ESPECIE

d m n - x 2)m/2 d m+H

= í 1 - * * * - ^ (* a - i r

onde Pn(x) são polinómios de Legendre (ver 28.2). Temos

PÜ(x) - Pn(x)

P»(x) = O se m > n

FU N Ç Õ E S DE LEG EN D R E ASSO CIADAS DE 1* ESPÉCIE ESPECIAIS

P\(x) * (1 - x 2)l/2 28.56 Pi(x) = i(5*2 - 1)(1 - X 2 ) U 2

Pi(x) = 3#(1 — x2)l/2 28.57 Pj(#) * 15as(l ”~&2)

PÍ(x) * 3 (1 ~ # 2) 28.58 Pf(o?) - 15(1 x )2\8/2

FU N Ç Ã O G E R A D O R A PARA P?(x)

(2m)!(l - r r í2mrn!(l - 2to + í )

(*)t”

8.60

8.61

B.62

B.63

8.64

8.65

(8.66

28.67

CAPfruto 28 » F u n ç õ e s d e L e g e n d r e h d e L e g e n d r e Associadas

F Ó R M U L A S D E R E C O R R Ê N C IA

(n+ 1 w ) , (x) - (2 n + l )x P ” (x) + (n + m } P £ ., (x) = 0

p m**(r \ _ 2 t » i + l )x " ' ( ! _ x 2y / 2 (at) + ( n - m M n + m + 1)PT(*)» 0

O R T O G O N A L ID A D E P A R A P ^ ( * )

P?(x)Príx)dx = 0 se n # f-11

1{P ."(*))2 dx = — — m)I

2n + 1 (n - w)!

S É R IE S O R T O G O N A IS

/ ( * ) - A mP -(x ) + A w+, P £ „ (x ) + A to+2P ^+2(x ) +

onde

A 2 k + l ( l c -m) ! f 12 (k + m)! J /M J T l* )< fcü—X

F U N Ç Õ E S D E L E G E N D R E A S S O C IA D A S D E 2 a E S P E C IE

Q r(x) = (1 - x 2)-^2 Q„(*)

onde Qn(x) são funções de Legendre de 2* classe (ver 28.43).

Estas funções são ilimitadas em x = ±1, enquanto P ” (x) são limitadas em P ” (x ).As funções Q,™(x) satisfazem as mesmas relações de recorrência que Pr(*) (ver 28.60 e 28.61).

S O L U Ç Ã O G E R A L D A E Q U A Ç Ã O D E L E G E N D R E A S S O C IA D A

u *= AP?(x) + BQ?{x)

Capitulo 29

Polinómios de Hermite

EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE HERMITE

m i * O

PGUNGM IOS DE HERMITE

S* » ■ ! , 1 ,2. rmÊB* a u «obçao da equação de Hermite é o polinómio de Hermite H (x) dada pelaIrtiUW :• •; l í/rit «■*■'%'

d<trM<«**)

POUNÓM IOS DE HERMITE ESPECIAIS

2 f J R \íx\ * 1 79 J /f4(x)« 16ar4-4flLr* + 12

29,4 ff .ír i* 2 2 f-Í H\(jc) ~ 32jr4 - 160crs + 12(Xr

9 « S B^Jjeí - -lar* - 2

%r*- IZr

2 f.f £/*f.r) * 64jr* - 480z4 + 72Ür3 - 1 *120

t f .1# Hrte) - 12ftrT - 1344-r3 + 3360ac3 1680o-

FUNÇÃO GERADORA

29.12

29.13

29.14

29.15

29.16

29.17

29.18

29.19

29.20

29.21

29.22

29.23

29.24

29.25

29.26

29.27

CaHtuk) 29 • PoI

f ó r m u l a s d e r e c o r r ê n c i a

/ /„ + ,(* ) • 2x / / . (x ) - 2n J/„ ,(x)

W»'(a) » 2nH„ .(x)

O R T O G O N A L ID A D E DO S PO LIN Ó M IO S DE HERM ITE

t fm(x )//„ (* ) rir * 0 m # n

( f íM(x)}sdx » 2 " n t \/ír

S É R IE S O R TO G O N A IS

/(X ) - A 0Ha{x) + yv, /íi(x) + A2 H3(x) + •

onde

R E S U LTA D O S ESPEC IA IS

n ( n - l ) . n ( n - l ) ( » - 2 ) ( » - 3 ) / /„ (x ) = (2 x )- — — (2x) + ------------------ ----------------(2 * ) «~4

ÍÍ2„-l(0 ) = 0

H a„(0) = (—1)"2"* 1 • 3 • 5 • • • (2n - 1)

' _ H .+,(x) Hm. ,(0) f í "(í) 2(n + 1) 2(n + 1)

O

— [e'^H ^x)) = - e '* 1 Hmtí(x)dx

e~'‘ HM)dt - H.-ifOl-f^H.-ilx]O

tHe~‘* HJxt)dt = V irn ! PM(x)

Hm(x + y) = X õ"'* ( Jc) Wh- kO/VÜ)J»-0 ' '

Esta é chamada a fórm ula de adição para polinómio, de Hermite.

^ H„{x) Hk(y) H ^ l (x )H „ (y ) -H „ {x )H . .A v ) Z j * 2 " * ln ! ( x - y)

Capítulo 30

Polinómios de Laguerre e de Laguerre Associados

(fc'

EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE LAGUERRE

30.1

POLINÓMIOS DE LAGUERRESc it» 0. 1,2. . . . . um» »olucilo de 30.1 é o polinómio de Legendre Lm(x) dado pela formula de Rodrigues

30.2 LJx) - e* dm(Lr" (jrH«r*r)

POLINÓMIOS DE LAGUERRE ESPECIAIS

30.3 /«(X) - 1 30.6 /-*(x) = - X s + 9xJ - lBx + 6

30.4 L.lx) x+ 1 30.7 IíAx) - x4 - 16** + 72x* - 96* + 24

30.5 /.,l.r| - xa - 4x + 2 30.8 L„(x) - - x B + 25x* - 20ttrs + «(MU1 - 600x + 120

30.9 U,(x) - x" - 36»° + 450ur4 - 2400*9 + 5400tr* - 4320* + 720

30.10 I , T» x ) - J 7 * »!»./" - 882X* + 7350*4- 28.400a-* + 52.020**- 35.280« + 5040

FUNÇÃO GERADORA

30.11 f * ' 11-0 v L .w r■— 1 ■ ■■ m > — ..............

1 - 1 ^ n!M-0

V * r m n u 4fU • f X X IN O M H H ÛC I AíAU*m*U! | IP U *

F Ó R M U L A S D E R E C O R R Ê N C IA

3 0 . 1 !

30.13

30. H

‘ ~ VÀH * l " «‘1 U x > * M» , lU )

L^x) ■ w í.„ t(a*) s »» l**,,(x ) * o

*r *'*(«*> « M - Hâ J,w |(jr)

O

O R T O G O N A L ID A D E D O S P O L IN Ó M IO S DE L A Q U E R R E

30.15 r # L J jt) ( ir * O m # H

30.16 e '* {L»(x))*fix - (h !)ao


30.17 A jt) ■ A « lo (x ) + A i t , ( j r ) + A * L ,(x ) + • •

o m l *

30.18 ^ í' •- <•>* JL

Afc«— I r 'f ( r )U (x )(L r(m I

R E S U L T A D O S E S P E C IA IS. I * . . . . Lh+i (3C)

30.19 UIO) = n! 30.20 L.(0 rtf - M x ) - “O

f >i jr li v « ~ *

30.21 ! % ( * ) - (~ U " I * “ ------ — + 2!* T "" ‘æ 1 { —l ) " n í• • •

30.22

30.24

30.25

O se p < « x*f 'L *(x)< lr = { ( - i ) “(nl)* se p - h

O

Lfc(x) U (y ) k .* » (x )U (y )30.23 2 j (fcí? " (n!)a(x -| /)

fc-0

V = e‘Jo (2V S )(W)*k «O

r ( x ) « f U " r * J o ( 2 V x m ) < i u

o

M atem áticasM an u al d e F o r m u l a s e

EQUAÇÃO D IFE R E N C IA L DE LA G U E R R E A S S O C IA D A

xy" + (m + l - s c )# ' + (n - t w ) j# -0

P O LIN Ó M IO S DE LA G U E R R E A S S O C IA D O SAs soluções de 30.26 para inteiros não-negativos m e n são dndas pelos polinóm io» de Laguerre ««»„ ciados

onde L (x) são polinómios de Laguerre (ver 30-2)

P O LIN O M IO S DE LAG UERRE A S S O C IA D O S E S P E C IA IS

FUNÇAO G ER A D O R A PARA !£ (» )

FO R M U LA S DE R ECO RRENCIA

o r t o g o n a l i d a d e

------ *----------39 * Pout**<lPS Ot LAGUt HfU £ ME lAOUfciMMt A8SOCIADÛ6

30.45» * « - ' L“ (X) L,r(x) Ar - O P * M

30.46 ,s* Me~'{í.,r(x))a( te « - iü Ü

(n - m }!


30.47

onde

30.48 . (fc - m)\ f"" "T fclf « " « ' ' l í M / W d *

Jo

R E S U L T A D O S E S P E C IA IS

30.49 L T ( x ) - ( - l ) - — - — I r » - - W(M ~' m )r— ■ i w(w~ l)(” - w « ) ( w - m - l ) ------ 2(H -w M l 1! 2!

• •

30.50 «♦ »--«»» ............. ( 2 * - m + lMwlrx m+ler'[L?(x))'s dx( » - OT)!

E Q U A Ç Ã O D IF E R E N C IA L D E C H E B Y S H E V

31.1 (1 - x y ‘ ♦ uMtt - O n m O, 3«

31*1

P O L IN Ó M IO S D E C H E B Y S H E V D E 1a E S P É C IEA *ij|têcAt) <l<t 3||1 é d td i por

f . U ) • etMif n a re r o iN

U ” T lra

I

P O L IN Ó M IO S E S P E C IA IS D E C H E B Y S H E V D E 1a E S P É C IE

31 j rjLjti• i i

31.4 r,UJ •» jr J l . i F iU )• lf t i * IB —t u

H .t F iii * 32jri I b 1 1 l i r 1

31 .é TA j r ) « 4 r J ir 3 1 .1 » Tm o i t i Mar* - 7x

F U N Ç A O G E R A D O R A P A R A T u >

31.11 I «* tr ^r r í T i r n ** :1 **• « I r # I* í ü H i

31.13

31.17

31.18

S U 9

31.20

31.21

31.22

31.23

31.24

31.25

31.26

3 1 .1 1

V A L O R E S E S P E C IA ISCahtulo 31 • Polinómios oc Chcbvshcv

11 » 1*1J S r®*(0) * 1 )■

F O R M U L A D E R E C O R R Ê N C IA PARA T ( * )

- ‘irT.(jr) + = 0

O R T O G O N A L ID A D E

. .. !i itr « O m # N ■ V l - r

1 i * -1-5 ) } * I rr M ' h * Ofir IM M M h H H

V I - x 1 ir/g ni* m « I. 2 , . , .


A-f) - i + A , T,(jr) + /\aTa(.r) + « ft

onilf

P O L IN Ó M IO S DE C H E B Y S H E V DE 2* ESPÉC IE

sen { (m + 1 ) are c o s j r )ir (J.) « ----------- -----------------sen (are eo* j*)

h 4*x** (1 - x a>*

5

P O L IN Ó M IO S D E C H E B Y S H E V A S S O C IA D A S DE 2* E S P É C IE E S P E C IA IS

l *o(jr) . j 31.27 U4{x) - lGx4 - 1 2 j p * + 1

V (Jt) - I r 31.28 f/„(;r) - 3 ir 1' - Sir* + <lr

í fa(x) = -Jx3 - 1 31.29 C/„(jr> - « U n - fiOc4 + 24ra - 1

r,(j-) = ar ’ - 4ai 31.30 î't(j-) - 12Hjt - l» 2x" + BOr" - Or

M a m u a i cm. FO hmulajb § Ta b c l a s M atem ática

F U N Ç Ã O G E R A D O R A P A R A Um(x)

31.31 -------------- ; - Ÿ Um(x) t"1 — 4>fr 4- tl 4LZ 'r i 0

V A L O R E S E S P E C IA IS

31.32 Um( - z ) - ( - i r U M(x) 31.34 Í7 .(-1 ) = ( -1 ) -< W + D 31-3é V»

31.33 ü . ( l ) - n + l 31.35 €/»»(0) — (— 1)”

F Ó R M U L A D E R E C O R R Ê N C IA P A R A U lx )

31.37 I/.*,(x) - 2* U„(x) + U .- ,M - 0

O R T O G O N A L ID A D E

31.38 I V T —x3 Um(x) U„(x) dx — 0 m ï nt

31.391

V l - x* lUK(x))2dx - ^I


31.40 /(x) - A0 U0(x) + Ai 17,(x) + At U3(x) + • •

onde

31 41 Ak = - f V 1 - x J/(x ) Uk(x) dxw J-,

R E L A Ç Õ E S E N T R E T„(x) E £/„(*)

31.42 T„(x) - 17m( x ) - x U h - , ( x )

31.43 (1 - x “)t/M-,(x) = xT„(x) - T„+1(x)

____ 1 f 1 d v31.44 UAx) - - -------- - 7 ; = g

i r I ( t ) - i ) v l - r

31.45 r„(x) = - ---------------ï-£-+dv7T I X - V-1

S O LU Ç Ã O G E R A L DA EQ UAÇÃO D IF E R E N C IA L DE C H E B Y S H E V

♦i(0) = o

31.44 r A T „ ( X ) + f lV l - x J ,(x) se n = 1, 2, 3tf ^ I

[A + Barc nenor se n = 0

E Q U A Ç Ã O D IF E R E N C IA L H IP E R G E O M É T R IC A

32.1 -rt I — j r ) y m + { e — (a + b + 1 ) x ) / / ' — a b y — O

32.2

F U N Ç Õ E S H IP E R G E O M É T R IC A SUma solução de 32.1 é dada por

( fh a{a+ l)b(b + 1) a(a + l)(a + 2)b(b + l)(h+ 2) F \ n I r c i j r ) ** 1 + -------- x + ---------------------------------- x “ + --------------------------------------------------------------

1 t l * 2 » r ( ^ I ) l - 2 * 3 * r ( r + l ) ( c + 2 )x 4 +

g e a b e c iã o números reais, então a série converge para -1 < x < 1, dado que c - (a + 6) > -1

C A S O S E S P E C IA IS

32.3 F i - p . 1 ; 1 ; - * ) = d + 32.8 /•Tj.JiJix’1) “ *en xl/x

32.4 FT1.1 :2 : -ar) = [In (1 + x)]/x

32.5 llm fT l.íi: 1: = r*

32.6 ftj|. - J; seir jr) = cos x

32.7 fTj. 1: lmen^x) = seca:

32.9 F\l líf; - x 2) = (arc tg x)/x

32.10 FT1. p; p: x) = 1/(1- x )

32.12 F[n. - n ; £; (1 - x)/2) = TU*)

M te à m o e F O n m u las s T a s b -a s M a tem a tica s c«<(nnw

S O L U Ç Ã O G E R A L DA E Q U A Ç Ã O H IP E R G E O M É T R IC AS e a —fe e c —a —6 são todos números n io-intriro», en tio u solução geral válida para

32.13 » - AFln.b-.cx)+ar,- 'f lo -P + l.»> -r + l ;2 - r .x )

P R O P R IE D A D E S D IV E R S A S

n o T(c - a - b)32.14 F X a.birA )-—--------r r r T7r i r - a ) H f - o)

32.15 — x) * — f l « + 1*6 + 1; 1:*)d x I

32.16 ^ « ;b ;r :x ) = — P * ‘ - |{ l - * r * - , ( l - « * ) " " * *r (b ) H f - b) Jo

32.17 fta.í»;r;x) = (l - í f " ' bf \ c - a . c ~ b -.r.r)

D E F IN IÇ Ã O DA TR A N S FO R M A D A DE LAPLACE DE F(tj

O

Em g era l,/( j) existirá para s > cl, onde a e constante. c chamado o operador transformada de Lap Lu

D E F IN IÇ Ã O DA TR A N S FO R M A D A DE LAPLACE INVERSA DE f i s )Se ££ {F(t)} « / ( » , então dizemos que F(t) = %Tl[/{$)) é a transformada de Laplace inversa dé f is ) , f i s ) Ht1 é chamado de operador transformada de Laplace inverso.

F Ó R M U L A C O M P L E X A DA INVERSÃOA transformada de Laplace inversa defis) pode ser encontrada diretamente pelos métodos da teoria de Variáveis Complexas.

O resultado é

33.21 f r + i ~ I Ç r * i T

Í T O - ----- - — IJm r*f[H)da2iri I 2iri r— JJ r - t » r ,T

onde c é escolhido de tal modo que todos o* pontos singulares d e ^ f ) encontram-se à esquerda da reta Re{s) - e no plano da variável complexa s.

«MULAS E

T A B E L A D A S P R O P R IE D A D E S G E R A IS D E T R A N S F O R M A D A S D E L A P L A C E

F\u)du

f (a} (Ha)

Capítulo 33 • Transformadas de Laplace 21

/ ( u ) du

c '* " F(u) du

F(u) du

J0(2 V mí) F(u) du

u _,,/2 J „(2 V it i) F(u) du

J0(2 V u (t -u ))F (u )d u

/*(«) «= polinómio de grau menor do qut

Q(h) = (s — « ,)(« - a2) • ■ • ( * - « „ ) o n d e a i , á a........a „ são to d o s d is t in to s .

JPr UB %•jm

MULAS £ 1*1■M

T A B E L A D E T R A N S F O R M A D A S D E L A P L A C E E S P E C IA IS

fl*) f\t)

a2

1

It • %

s2+ a 2

VI

n >

Mi— 1

■m-t

*-1

r(n)

sena

s2 + a 2 006

_ K\2+ asena

* —- hi? + a cos at

1 senh ats2 - a 2 a

« 1 « 2 — a 2 coshaí

1 e*4senh aí(s - h)2 - a 2 a

(3 - a212) »en at — Sat 000 at

t sen at - at

3t sen at + at* cos at

c*cm h a t

be * - a e *\b~ a

sen at - at cos at2a*

t sen at 2 a

sen at + at cos at2 a

cos at — I at sen at

I cos at

at cosh at - senh at2 a9

t sen h a if 2 a

senhot + at co*h at2 a

coflh at + 1 at senhat

t cosh at

é m u l a s e T a b e l a s M a t e m á t i c a s

33 .73

33 .75

33 .76

33 .77

33 .78

33 .79

3 3 .8 0

33.81

33 .82

S

« H a 1

a*

1

a• * -a *

a 3

1s4 + 4 a 4

«8 4 4- 4 a

s 2

s4 + 4 a 4

s4 + -ki4

1s4 — a4

' wn I

V 3 a i - V 3at i c o s -------- ■» +3a I 2 o VMMMi -1

13

ë*â< + 2* cos

trn , ^ n /„ V 3 a l |

3a3 , ------ V S .e n ---------- 12e V § a t V 3 a lE m V Î

“ — I V 3 sen— — cos + eSal/a3d I 2 2

1_3

f* + 2 f ai/a cosV 3 a t \ 2 j

14a (sen at cosh at - cos at senh at)

sen at senh at 2?

1— (sen at cosh at + cos at senh a/) 2a

cos at cash at

12a (senh at — sen at)

J

33.83 84 — a 41

— r (cosh at - cos at) 2 a*

33.84s

s4 - a 41

— (senh at *f sen at) 2a

33.858

84 - a 4 I (cosh a / -4- cos at)

33.841

a + V a + 5er* - e"a<

2(ò - a)VürP

33.87

33.88

18

1V # (« - a)

ea* erf V atV a

33.891

h — a + beat

1V m

— b e*3* erfc (bVÕ

I i'i& H , h \ 1 I M A I t M 4 l H A M

33.103

33.104#(C" r) «(1 rr *V e r t n r n l i r i n B 3 . 1 0 7

33.105

Util)

.U n VU! I- 2I>))

33.95

33.96

33.97

33.98

33.99

33.100

33.101

33.102

33,90

33.92 a V J n l l

33.93 a IJ a t)

33.94

1(• * - a “)“1'-

A

t*«- -

W W W M M I W I M H H H fllM I fllM H M p M N i

i»

l 44MlÈMMMMbr’

a a),,/a

1W I W I I . u

r *«(ci* I ) «(1 r •)Vi*r t h iii ! m ni 8-8,105

I r *

+ at/itat)

onde [{)k» |

i n i i i o r i n t e i r o â t

o c ih 2 V o ï

»M a il

33.VI

•/Ci(ff/) til

C aK T U C Q 3 3 » ï RANSfOHMAPAS QE ÍA ÍH A C Í 2 '

r f c ( ô / 2 V Ï )

u * / A a * l

constante de Euler * 0 ,5772156

constante de Euler = 0 ,5772156

- (ln i + y) constante de Euler = 0,5772156

(ln t + r r - á ^constante de Euler = 0,5772156

Si(fw) I — M<pn (im Ci(cifl)C O H O #

s I (an) [ - cos as Ciías)

ctmhaur

CtXsh .SLTs 4 cosh m

citth átr

se n h xV s

c o s h o v a

Vi* co r ih a V «

C O SIIX V s

c o a h x V *

c o s h x V s

s~ co sh <1V *

sJ o (í«V a )

«ao as raizes

J0(ixVã)s2Jo(iaVà)

sao as raizes positivas de Ja(k) » 0

r unção onda triangular

Função onda quadrada

Função onda senoidal retificada

tienu

Função onda dente de serra

Sr m u l a s e Ta b e l a s M atem áticas

33.156

>3.157

33.158

13.159

33.160

33.141

33.162

unçao unitária de Hetivisid

r também 33.138

Função pulso

Função escada

Ver também 33.102

F /o . 33-10

sen(wt/a)

T E O R E M A IN T E G R A L D E F O U R IE R

3 4 . 1 J\x) m I {4 fâr)í!<max + IHa)*rnajt) iiao

onilr

34.2A(t*) » I f\ i )vtm imjt <Ltff

^ ( ® ) " I riíUTíifw

Gondiçftofl h 11 í « « « « 111 | i i i m valrt cutr tm>rmtt« s u o

(*) yU‘) «’ / '( * ) *mo continua« |Mir |iurlr. «ui caria intervalo finito ~ L < x < L ,

Pf| I l/í »iíffe ruiivi i t-|

(*M) /( » ) c illlinllliMild Imii l i f t » . ui i fl i m i __ « .1 IUM } t /u « é um iHifito de dr*<*oiitinui<U<]r

F O R M A S E Q U IV A L E N T E S D O T E O R E M A IN T E G R A L D E F O U R IE R

3 4 . 3/ & ) m I I /! U t í( : .r u) tlu ï i í*

mmWwÊ*"** Nfc iS.M

34.4 **'*■«<«/ /lM)e " " iím

IJ l ' O r ' 0 * ’ i/„* n

C a p /t u lo 3 4 * T B A N S ro iim ap as o c f

3 4 .S / ( * )*2 r * m 1 1 sen ar da

O J /(u)senaMo

l(II

o n d e /(x ) i* uma fu n çã o ímpar [ / ( - * ) - - f l » ] .

34 .6*>

/(x ) «■ — | vos as da \ J[u) cos au du"o 18

o n d o ^ x ) é uma/unção p a r [ /( -x ) - f í x )

T R A N S F O R M A D A S D E F O U R IE RA transform ada de Fourier de /(x ) é definida por

34.7 * { / k ) } = F\a)*-■

fíx)e~lmrdx

E ntão, por 3 4 .7 , a transformada de Fourier inversa de F(oc) é

3 4 .8 i2tr

mF\a)elmrda

Chamamosj^.r) e F(ct) pares de transformadas <le Fourier.

T E O R E M A D A C 0 N V 0 L U Ç Â 0 P A R A T R A N S F O R M A D A S D E F O U R IE RSe F(cc) - S?t/(x)} e G(a) - SF{g(xU, então

34.91

2 irf*\a)G{a)ew da = f [u)g(x -u)du - f g

—m

34.10

o n A e f'g é chamada de convolução d e /e g. Assim,

ID E N T ID A D E D E P A R S E V A LSe F(a) - 9{J{x)} , então

34.11 [/tx)|2dx = -1

2 7r—m|F(a)|2da

Mais geralmente, se F(ct) - SF{/(x)} e G(a) = ^ {^ (x )} , então

34.120» 1

/tr)0 (jr)d j: = -27r00

JFTa)0(a)da

on<le a barra denota o conjugado complexo.

M an u al d e F o r m u l a s e Ta b e l a s M atem ática s

T R A N S F O R M A D A S E N O DE F O U R IE RA transformada se no de Fourier d e /t* ) é definida por

34.13 F*(or) « 9/tUÍx)) Jlx)& rnaxdx

Entfio, por 34.13, a trBnsforniflda seno de Fourier inversa de F (Ct) é

34.14 J[x) * ^«'{Fsía)} m -- f Fs(a)senJq

acx da

T R A N S F O R M A D A C O S S E N O DE FO U R IE RA transformada cosseno He Fourier dejf^x) é definida p

34.15 F<4a) = »cLAjt))m

f{x) a*H ax <lxU

Então, por 34.15* a transformada seno de Fourier inversa de Fi4a) é

34.16o

P A R E S D E T R A N S F O R M A D A DE FO U R IER E S P E C IA IS

W & f f y t â ém PfàgÊÊÊtm 227

T R A N S F O R M A D A S hl N O f jf

34.23

34.24

P O U R U H t ' i t ' f C lA H j

A ' ;

1 O 0

h 1 ' m u tar

4

*t F o r m u l a s k T a h f l a b M a t e m á t i c a s

T R A N S F O R M A D A S C O S S E N O D E FO U R IE R E S P E C IA IS

it r o a l i ( V T T C r /2 )

(2hVa)](co«(2fe\/a) -- Mrn

Funções Elípticas

35.1

35.2

35.3

35.4

IN T E G R A L E L ÍP T IC A INCO M PLETA DE 1* ESPECIE

m ti (* de _ f' dv______u ” ^ I V l -V sen ^ e I V(1 - r! M l -10 •'O

onde e sempre 0 < /c < 1, tanto nesta equação quanto nas equações a seguir.

IN T E G R A L E L ÍP T IC A CO M PLETA DE 1* ESPÉCIE

K = K/e, tt/2) =w/l de

V l — ff2 sen2 0o

1 í/w

Cl V (1 - v2 K1 - k2 v*)

m rr2

l\a / 1 • 3 \2 . / „i + , õ k + f e ï r + -

IN T E G R A L E L ÍP T IC A IN C O M PLETA DE 2* ESPECIE* r* v i - kÚVà

E(k,4>)= i V l -k*arnrdd0 = | — /■ = f dva

IN T E G R A L E L ÍP T IC A C O M PLETA DE 2 ‘ ESPÉCIE

E » E(k, tt/2)w/2

V l - Wser^QdQ =O

I

0

= 7r‘2

1 -19

2

fe2 -1 • 3 \a fr42*4 ) 3

1 • 3 • 5 \2 k11 2*4*6 / 5

* •

M a n u a l d e F o r m u l a s e T a b e l a s M a t e m á t ic a s

IN T E G R A L E L ÍP T IC A IN C O M P L E T A D E 3 1 E S P É C IE

pm

35.5 Il(#f, M, 6) (10

II ( 1 I n *cn2 0) V r i^ ^ O O ( 1 -f ndv

IN T E G R A L E L ÍP T IC A C O M P L E T A D E 3* E S P É C IE

35.6 li(k, w, ir/2)w/a <10

<» ( 1 + n geri2 Ô) r s e ir ö

1 dv

a (1 + mtz) V (1 - t>*Xl - T r i r )

T R A N S F O R M A Ç Ã O D E LA N D E N

35.7 •g<#>wen 2 </>,

k + von 24>i ou

Isto resulta em

35.8 dO 2O V I - k sen30 I + k

o

onde ki * 2V#ç/(l 4- k). Por aplicações sueessí/vas aào obtidas seqüência» kn k <jue k < fc, < /c-< fe3< < 1, onde lim kH = 1. Segue-se ciue

2»

35.9 F(/c, 4>) kxk2k:i. ..I

<s> dO

0kik-zk*,., ( ir — í — í + í

ondt

35.10 Je, — 2Vfe 1 + k

2 V ^1 4 h

* • e $ = lim <£„#1

Este resultado é usado no eáleulo aproximado de F(kf </>).

F U N Ç Õ E S E L ÍP T IC A S DE JACO BIA partir de 3 5 ,1, definimos as seguintes funções elípticas

35.11 x = sen (am u) = sn u

35.12 V 1 - X - cos (am u ) = en u

35.13 TT2 V l ~ k 2sn 2u = d n u

Podemos também definir as funções inversas de sn u, en u e dn u, bem ecomo as seguintes:

35.14 ns u 1sn u 35.17 seu su u

en u 35.20 ca te ** en usn u

35.151new

en u35.18 8(1 U —

sn u dn M 35.21 dcu = dn u

en u

3 5 . 1 6 n d u1

dn u 3 5 . 1 9 c d u —en m dn u 3 5 . 2 2 d.SM

dn usn u

35.23

35.24

35.25

35.26

35.27

35.30

35.31

35.32

35.33

35.34

35.35

35.36

35.37

Fó r m u l a s DE a d iç ã oCapítulo 35 • Fumca* El

DERIVADAS

»ntM + n U ^ c n f d n i n - c n m n u d n u1 -fc 2sn ausnat>

cn(M + „i = gn cn - snttsn» dn it dn «1 - fc2 sna u sna v

dn (w + d) - —nt<dnt,~fcasnMant>cnMcnp1 - fc* sna u sn2 v

d— s n u = c n u d n u 35 28 d h

du - f c snucnwd

~ c n u = - s n u d n u 35 29 d— -s c u * d c u n c uau

EXPANSÕES EM SÉRIES

sn u M - (1 + fc2)— + (1 + 14fc2 + fc4) ^ - - (1 + I35fc2 + 135k4 + fc*)— +5! 9 7j

cn u = 1 - ~ + ( l + 4fc2) 7 - - (1 + 44fc2 + 16fc4) — + • ■ •2! 4! 6!

2 % 4d n u » 1 — fc2^ - + fc2( 4 + fc2A - Je2(1 6 + 44fc2 + fc4) — - f . . .

2! 4! 6!

C O N S T A N T E D E CATALAN12

1 1 rl Kdk — —

o

w/2dddk

“ 2 «2 + k2o J»-q V l “ fcasen2 0 1 3 50,915965594...

P E R ÍO D O S D E F U N Ç Õ E S ELÍPTICAS

Sejam

K*/a

oJT

«r/2 íi0V l - lí senJ 0o

onde k* ~ V l - k2

sn u tem períodos 4K e 2iK1

en u tem períodos 4K e 2K + 2iK'

dn u tem períodos 2K e 4iK'

tá*****. Qg Formulas e Tabi las Matemáticas m*

ID E N T ID A D E S E N V O L V E N D O F U N Ç Õ E S E L ÍP T IC A S

35 .38 «n 2u -f en2M * 1 35*39 d n au + /ca8nau » 1

35 .40 ílirn — k2viij n — k f l onde k' » V l - k2

0%r ao 2 dn 2i< 4* ou 2ncn tí ~ — ---- --------1 4- dn 2 ti

35 .441 ~ c n 2)4 sn r i d n u

1 + cn 2 ii cn ti

35.41 «nau1 - cn 214

35 .43 ilii*"44

1 4 d n 2 i4

1 — k 2 + dn 2u f k 2 cn u1 + dn 2»

35 .451 — (ln 2u k sn u cn u1 4 dn 2u dn u

V A L O R E S E S P E C IA IS

35 .46 811 0 » O 35 .47 cn 0 - 1 35 .48 dn O - 1

3 5 .4 9 ncO - o 35 .50 n in 0 1)

IN T E G R A IS

35.51

35 .52

35 .53

35 .54

35 .55

35 .56

35 .57

35.58

35.59

35.60

35.61

35.62

* n M d 14 » j l n ( d n 14 - k v n 11)

cn «4 du » —are cos (dn ti)k

dn 14 du * urc .sen (.sn 11)

SC 14 d 11 14 +

r s 11 d u I n ( n s 11 - d « 14)

. , 1 < d 11 i f i i I r i ( i i d 11 I k s i I w )

k ® W l i

d r u d n I n { n c 11 1 a c 11)

8(111 rl 111

- h nc 14)

a ri* Meu (fccd 11)

( I » II d I I * 111 ( 118 II C8 11)

nu *4 d u * In (tf* 1 1 (vi u)

nc ti ff u 8C u

t l d 11 du1

y T i * 3 *i r r r o M ( * ‘d 14)

R E L A Ç Ã O D E L E G E N D R E35,63

EK' + E ' K - K K ' = tt/2o n d e

35.64 B K d0

o35.65 E

aftK '

o

W3

V I - fc’ sen1 »

de

o

F U N Ç Ã O E R R O e r f ( * ) - - i || e**du

36.1 erf(x) = —= I x ---------- +V ttV 3*1 ! 5*2! 7*3! 4* * * *

36 .2 — + - - — + ••Vwor V 2x* (2ar)2 (2o:2)3

36.3 erf(-jr) = -erf(j), erf(O ) = 0, erf(») = i

F U N Ç Ã O E R R O C O M P L E M E N T A R e r fc ( * ) * 1 - er f ( * ) - A f e ^ du4 k j *

36.4 erfc (jt) = 1 — ( x — - — + — _______ £ l _V i r \ 3 - 1 ! 5 * 2 ! 7 * 3 ! + • *

36.5 erfc (x) — ■ 7= [ 1 -------- +e ^ 1 1*3 1 • 3 • 5Virat \* 2xa T (2J2)2 (Zr2)3

♦ %

36.6 erfc (0 ) = 1, erfc (») = 0

IN T E G R A L E X P O N E N C IA L E i ( * )

36.7 Ei(j-) = — y — í n x + f - — - —o

d uu

X X 2 x *

3 6 . 1 0 Ei (oo) = o

36.8 Ei(j-) = - y - in x 4. ( -J í-------- £ — f. x1*1! 2*2 ! 3*8!-. _ f , ~ Jr / 1! OI Qf

36.9 Ei(jr)--------( 1 - — +

C a W IM I (J I B * O u »

IN T E G R A L s e n o0»

S i ( 0 I f t l 14

liUi

36.11 8 l(x )■ , r

s

1*11 3 * 5 ! i*5! 7*7!

36.12 Hi(x)it sen

at1 1!r r I

36.13 Si( ,r) HfLr), Hl(0) - 0

r

ill é* I If'á + 4

n il« ) « rr/iII

IN T E G R A L C O S S E N O Ci( x )f C d» (I

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36.14 OI(x) y In r 4o

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36.15 Ci(.r) y lu x 4I, ) » itX op- jI w 4

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36.16 Ci(.r) r r :r \„r jfB! ft!► 4» w I r r I I

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IN T E G R A L S E N O D E F R E S N E L S U ) M-ii ti duCI

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36.19 S ix )

V ir \3* l f * 11 *5! ~ 15*7!

2 V 2 Tr/,o a „ftx 2 X 4 .J»2 x4 (ni-nx*)

1 1*3*52 s * •2 *x7

4-

36.20 S f - x ) S {x). S(O) - 0, S(*>)

IN T E G R A L C O S S E N O D E F R E S N E L C ( x ) füK I I2 du(I

36.21 Cix)x ti X 1 •!

1!__ 4 ------- - — ----------

f t .2! 0*41 !» • « !

36.22 C(x)1)

1•jTT

(neiix11)1x

|*M2 V + 24x w

36.23 ( ' ( X) C (x ), 0(0 ) * 0* C(oo)12

WWW ((*<KN X )i

2x'12"jr7

F U N Ç Ã O Z E T A D E R IE M A N N• • •

36.24 flx)1 «** li

r ( x ) . «■.r lMl r# 14* x > 1

36.25 fl 1 - x ) > 1 rw [uxtans3es pur., outro« vu lores]

36.26 {(2fr)2*k% ir“ ‘ B„

(2fr)!h - 1.2. ■

CDCO0

" D

CO~ a

C O

COoccCOocn

COCDo

3

T 3OCL

Desigualdades

D E S IG U A L D A D E T R IA N G U L A R37.1

37.2

a , l “ l f l a|| S 1 « , + O j | S | a , | + | a 2 |

1°, + «2 + --- + a„|s|a1| + |a2| + -~ + |aM

37.3

D E S IG U A L D A D E D E C A U C H Y -S C H W A R Z

( a , 6 , + O tb t + ■ ■ ■ + a,,/),,)2 S (a f + a j + ■ • • + aJX&f + + ■ • • + **)

A igualdade dá-s« se, e som ente se* «j/ò j » ■» ... = a lb

R E L A Ç Ã O E N T R E A S M É D IA S A R ITM ÉTIC A , G E O M É TR IC A E H A R M Ô N IC ASe A « G e / / são as médias aritmética, geométrica e harmônica dos número* positivos a a

I **• 2 * * * -# - l n %

17.4 H g G ^ A

ondr

17.5 \ - a> 1 <H t— * an

A igualdade dá «r se, r somente se, « â - « , • ... - a m.

e n t à o

DESIGUALDADE DE HOLDER

37.8

37.9

37.10

37.11

37.12

37.13

37.14

37.15

|a,t>, + 0 ,6 , •*•••• + u„bn| s d a ,!" + 1 | * ' + f - •. + |/,

ood i

! 1- + I p > 1. o > 1p q

A igualdade dá-a c ai*, r »omentr m M (ô ^ l/|i>i| " |%||vr VM*a| *»•*•-• faMj> */| hdu* a 37.3.

DESIGUALDADE DE CHEBYSHEVSc ci| c *£ />3 £ï * * - h t»nlao

/ a , + g , + ••-+ g . w b, +ba + ■■■ + b. \ ntbl + g sbit + • • • +n « / n

ou

(n , + a , + • + a„K *i + fc* + • • + h j S «(«,/>, + a,bt + -*• + a » *,)

D E S IG U A L D A D E DE M IN K O W SK I° i ’ ° i ’ •"< ° . ®i> •••) 6. siio todos positivos e p > 1, entfio

{(a, + b ,r + (a, + b ,r + ■ ■ + (a. + fc .n s (rtf + af + • + ag)l/' + (ft}' + ftf + . . . + kg)

A igualdade dá-se se, e somente se, a ,/6, - Oj/6, » . . . - a jb m.

D E S IG U A LD A D E DE C A U C H Y -SC H W A R Z PARA IN TE G R A ISh

Jix)(f(x)djca f ï r n»

» I U\-r)]u<tJC I lt,(x)\*iUa

A i g u a l d a d e di-ae a<% e s o m e n t e *<^jïx)/g(x) f o r unia eomtante

D ESIG U A LD A D E DE HO LDER PARA IN TEG RAIS

\flx)fj(3r)\djr S«

*. „ î r f• il/«l/t*)!1’ ete I |£r(x}|«itc

«

onde 1/p + 1/q - l f p > i f ^ . S« p « 9 . 2, ihMO red uz #a a 37 .13.A i g u a l d a d r d a *<• m % e h o men te g e , LA-r|P' ' V | / / ( x ) | f o r u m a confiante

DESIG UALDADE DE M INKO W SKI PARA IN TEG R A ISSep > 1,

i/»l/T-r) + «IxJl'-flr S

A igualdade dá-se se, e somente sr,flx)lg(x) for orna constante.

I

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■ H É Maffli?"AfóTOEa*BHBaBS3B*gfKVrfHfT lyfgPBftPM

Produtos Infinitos

3 8 . 1

3 8 . 2

sen

cos x

* m j f í 1

lx* \ ( ' - - ? - i

— V9 it3/

3 8 . 3 s e n h x = x

38,4 co sh x * 1 1 +4x*m ) H

4x2 W 4x29 ^ ) 1 1 + 2 5 i r 2

• ••

38.51

rcx)xe (HHÍ(1+ - x / n 9 •

Ver também 2 5 .1 1.

3 8 . 6 Joix)

3 8 . 8

x 1

Ai» *

onde JL# X,, X , , ... são a« raízes positivas de J0(x) 0

3 8 . 7 J t{x ) * x í 1 1 -x 2

• •A?

onde JL, A,, X,, ... são as raízes positivas de J,(x) 0

Benx x x x ---------m c o « — 0 0 « - 7 COS“ " c o sx 2 4 8

x16

_ _ ir 2 2 4 4 6 63 8 . 9 — = — . — • — • — • —

2 1 3 3 5 5 7

Este é chamado o produto de Wollu.

oê numèncoê Xg, ... provêm ou de uma amostra aleatória de uma população maior ou então da própria população maior* Vamos distinguir entre este» dois casos usando notações diferentes, como segue:

n ■ número de itens de uma amostra N • número de itens de uma população

x - média de amostra (leia-se “xis barra” ) i ■ variância de amostrai • detvio-padrio de amostra

/ i « média de população (leia-se “ mu” )o = variância de populaçãoO = desvio-padrão de população

Observe «|ue as letras gregas são usadas com populações e são denominadas parâmetros, enquanto que letras latinas são usadas com amostras e são denominadas estatísticas. Em primeiro lugar apresentamos fórmulas para os dados provenientes de uma amostra e, em seguida, damos as fórmulas para uma população.

DADOS AGRUPADOSOh dados numéricos são, freqüentemente, coletados em grupos (dados agrupados). Um grupo se refere a um conjunto de dados, todos com o mesmo valor xi ou a um conjunto (classe) de dados num dado intervalo, com valor de classe xr Neste caso, supomos que há k grupos e q u e / denota o número de dados do grupo com valor ou valor de classe Assim, o número total de dados disponíveis é

- 2 / *

Como e costumeiro, X denota um soinatorio sobre todos os valores do índice, a menos de menção explícita em contrário.

Em vista disso, algumas das fórmulas serão denotadas por (a) ou por (6), onde (o) indica dados que não estão agrupados e (b) denota dados agrupados.

IJLBRA - Canoas Bwliowca Maninho Lutem

X.SWAXM4 Df rOWMULAS I Ta& eias MATE matic a s

M EDIDAS DE TEN D ÊNC IA CENTRALM É D IA ( M E D IA A R IT M É T IC A )

V mrtíiii iirúmrtira ou, simplesmente, n mêilia do um« nmostrn Xi.Xj......x „ qur í muita« ve*es dnadn “ valor medio", e « sonm do* valores dividida pelo número de vnlores, ou seja:

30 2f «a , - A + -Fa + •■• +‘*v«J Mediu amostrai: .r

39 ‘71 h\ u i Ji- .. . i - /i^ i T Ja*1 iS + * * * S/iJ\oy.xvu; ' 1 t iljii amostrai: x » ------------------------------ ------/ i + / i *♦’ *** +/* -/*

M E D IA N A

Vamos supor* agora, que os dados x^x*....... r„ estão arranjados era ordem crescente. V mediana dos d»dos, denotada por

M (leia-se “ x til**)

é definida com o o fc4valor central’*« ou seja:{ x**! se ii é ímpar e n • 2k + 1,

se n é par e n • 2k,

\ mediana X de dados agrupados ê obtida encontrando primeiro u fundão de freqüência acumuladat s Mai> especificamente, definimos

F» m fx +/a + * * * +/■

ou seja, b\ é a soma das frequências anteriores i\ f inclusive. Então:

sf n ■ 2fc + 1 (ímpar) e F|<k + 1<JFJ*i39.3 lb .1 ) Medi ana: + .— s e n - 2k- (par) e f ) - k.

1 nconirar a mediana i de dados arranjados em classes e mais complicado. Em primeiro lugar c» rontramo» a classe mediana m, que ê a classe com o valor mediano e em seguida interpolamos linearim »te na classe usando a fórmula

w . (m/2) - Fm-i 39 .3(0 .2 ) Mediana: x » Lm + c----------------

onde L demita o limite inferior da classe m que contem o valor mediano e c denota a amplitude (comprimento do interv alo) da classe m.

M O D AV moda e o valor ou valores que ocorrem mais freqüentemente, ou seja:

39.5 Moda ' alor numérico que ocorre o maior número de vezes

V nu «la não está definida se eada v. ocorre o mesmo número de vezes e quando a moda estn pode não ser única.

M É D IA S P O N D E R A D A E G R A N D E

Suponha que a eada .» seja associado um peso ir ,»0 .. Então:ICi-Ti + IC2Ja + ’ *• + tCfcXfc _ ^ U'jXi

39.5 Mrdi* ponderada xw “ - | ~ | ... + ~ 2

Observe que 39 J(fc.l) 6 um caso especial de 39.4 quando o peso «-, de ê a sua ireqüÊncltt.

39.7(a)

39.7(b)

39.7(c)

39.7(d)

39.9

3 9 .6

39.10

39 .11(0 )

39.11(5)

39.12(o)

39.12(b)

39.13

Suponha cxiitin i /* „

j i , = p ,7 unto« de «montra« e que o i-ési»io conjunto «cm n. elemento« e unta mi Io número d » f ° *°* >ta<*a l,or & <! * “ •"«‘li* d»* médias” onde cada média é ponderada pe lo numero de elemento, de «eu conjunto. E.,»eCif,e.mente: '

Grande média i - 1 í "»*» í " ' í w»*» m Iw *^Hi + Hf 4* *• * *fr Hh Xlti

MÉDIAS GEOMÉTRICA E HARMÔNICA geométrica (mg) e a media harmônica (m.) ião definida* como *egur

x ,a y ■ *_

"l /* i + l/xt + • • •+ i/x,, S (l/x,)

--------------------------=------------------- "f i / X i + / , / * , + • * • +JJxt, 2 (ftJx,)

RELAÇÃO ENTRE AS MÉDIAS ARITMÉTICA, GEOMÉTRICA E HARMÔNICA

A igualdade vale somente quando todus os valores dos dados são iguais.

PONTO MÉDIOO ponto médio amostrai e a média entre os limites inferior x l e superior xH dos dados, ou seja, entre o me nor e o maior valor.

Ponto médio: med2

MÉDIA POPULACIONALA fórmula para a média /i de uma população é dada a seguir.

.............. . - ..* ,+ ** + — +** 2x,Media de populaçao: /x -------------—----------= — *JV iV

........... , ~ fi* i +/a*a + * * *+/*** 2/#X/Media de populaçao: /x ------ T T 7 T ---- 77-----* T7~f l + j 2 + " - + f k 2//

(Lembre que /V denota o número de elemento» numa população.)Observe que a fórmula para a media /i de uma população e a mesma que a fórmula para a média d

uma amostra Por outro lado, veremos que a fórmula para o desvio-padrão ade uma população não é huia que a fórmula para o desvio-padrão s de uma amostra. [Esta é a principal razão para dar fór-

ee

a m<mulas separadas para /i e í.J

M EDIDAS DE DISPERSÃO

VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO DE AMOSTRAAqui a amostra tem n elementos e média í

. , Z (t, ~ i ? Zx?-(2x,)*/nVariância amostrai: r “ n _ j “ n —1

, , 2Ux, - x f Yftf - (2/^)VI/,Variância amostrai: ^ - (2/() _ l j--------

D e s v i o - p a d r ã o amostrai: * = V variância = V ?

Ia m t Ia h h a b MMfeUAttt a

. 1 4 ( 0 )

. 1 5 ( 0 )

39.16

39.17

39.11

39.19

39.20

39.21

39.22

CUtHftiilplt' rt .. «nml. ilialldiMÍuflil t|t> I» ■ iit

Ifé

í I !t í ft I)t l I I ~ T í i T T í I

KuIAii M ..I j / j * í * 0 %Jt %( 45 I*«*i I i i i i lo . jmt ‘MJ*}*

> 1 1 l i à % *Jt t i # í 4!*l« dj|l f * m m aM à 4» aastsm # 2 1 1

l/t 40

friuM ltl, H ‘ i * II if !$<*{• UlU l\n iMithi, poi UM, n $9 |g

4 'liltl { l i í l f Ir»F** 1,711 I» R» IJIS»14 * - *

OhlrltUWi M utrdltiUH X i íiriMll i Mllili* |*| inirii n a* f I f'*jOfilM'ÍWil a<"HHltllfi<laPi:

f\ - n. ic* » aa. K»» au. r4» 41, f* - 44, « 45 = »Aqui n 6 ímjmr ** (h i IV2 - 2.1. IWtttnto,

MoilinitH t * 23M valor » 3

( Vttlui • ittaM 1rrn jf í i i l r « ir t »í c * p o r ta n to

IV I i m I i i

D.MER.M.Q

Atjul D.M. üliirviM «/» m io tutulm r R.MLQ, ahtpvia m i * fia ffiétha do» quadrado* f lorno anta*, k ê «lia ilu* íIm<Íoh r, partt ihuítiH agrupado«, n m %f\.

■ me

w M 1 - k . ' I 3 9 . 1 4 ( 6 ) D . M > - 1 £ | A r , i\11 II

t i M Q sã ~ a . r*) 3 9 . 1 5 ( 1 » ) R.M .Q ,- A (X /> f )V M V h

MEDIDAS DE POSIÇÃOVanto» nttpor, ugoi <i, ON dailo* vlt .Vj,,.., \n t*«tAo ki i iinjinloN ru» ordrrti cre*ccnte

\lllplltU(l«t I i ,

(U qm rtíê (#,, Q-v <J% «íio ffoflnido« pomo ««*#11«», oiulo "iturtade" «ignifica u/2 «e n é par e (n - I)/2 *e nè impirt

- iiiriluma «li* p r i iu n i i i llirtatltf ilon valor«'«

- | liirtltatm ilon valor«*«íf| . ~ tnr«liana «In urgumln iiirtada «lo« valor«*«

R m i u m o «1« B in t H i m i m r r o í ; | / . . y „ ( ) a , / / 1 « m l « / , - * , ( m e n o r v a l o r ) * H - x „ ( m a i o r v a l o r ) .

\iii{)li(it<l«$ «(tiiniil: Ç| ()jAinplltiidr »rtiii (iitiii tils Ü ■ ■**———i

C) k «•hiiiio |»«n ruiil, «(« iioiiiilo por l \ % c o iuim. ro pura o «juitl k por crnto doM valores híio no má**100 um- ..... - ...... . . i I.nu* / ’t o (100 A ) |nir minto ilt»H v u lom hHo mitiorr» tio que l\. Eapccifioniucnle:

l\ - maior ,vfc tal que h\ s /f/100. AshIih, {), - 25“ poroentlí, Ça - 50“ pcrcentil« Q% - 75" percentil

ESTATÍSTICA DE ORDENS SUPERIORES

O m o i i i r n t o t i o o r t l r m r : ( « ) » « , . - - I x l . ( h ) mr - - S / . x /n li

39.23

39.24

39.25

39.26

39.27

39.28

39.29

39.30

3941

39.32

39.33

39.14

C A H ftll O M • t « lAf lan/ i J t at luff /A

O momento de ordem r centrado

(W

nu médiu v

1M r - ~ X - i - r #i

o momento absoluto de ord<

(a)*ni r (entrudo nu mediu x

(*>) Mr“ - ï \f,X, - IH«Ir

O momento reduzido de ordem r eentrndo na mediu x * 0/ , I(a) ar - - S * r

n (b) ar - - I / t fn onde #/•» — -f

17

M E D ID A S D E A S S IM E T R IA E C U R TO SECoeficiente de assimetria; Mi

yi m m acrMomento de assimetria • -&L

2 cr*Coeficiente de curfote: a. - —

a4

Coeficiente de excesso (eurtose): a4 - 3 = — - ao*

Coeficiente de assimetria quartil: - * ~ 2< * Vi

VA R IÂN C IA E DESVIO -PADRÃO D E POPULAÇÃOI^m lire «jue N denota o número de valores na populaçlo.

Variância de população: a2 sszN

Desvio padrão de população; cr — Vvnriíi IIC1U

N

V o3

D A D O S B IV A R IA D O SA i seguintes fórmula» aplicam a uma «crie de pui r« de valore« niiiiiét 1«CJH

'(■**'J* fjl )« í‘Tji Mj), (*•»,//,), , ( i Il I ff « )

o n d e 08 »»rimeiroa v a lo r e , co rresp on d em a uma van ávr l , * segundos „ Vl(l luvr| y q 0 J,j<n|V0cipal é detomiiniir sc existe uma relação matemáli. « entre os dudos, por r*ri„,.lo, o.n« reiaçfio linear

O diagrama de dispersão dos da.lo. é simples.,mule um esl.oço d.., r . d,, valores como ,|,uni pluno coordenado,, ■'

C O E F I C I E N T E D t C O R R E L A Ç Ã O

Um in d ic a d o r n u m é r ico de uma relaçjífo Unear ®ntrr un variávcia « n y è o ctwjU wniv , /r , orraltrai d** i í*y , d e f in id o c o m o seguia.

occio íunoê

Coeficiente de coi rolucào amostrai —tÊmm i s Hit, ù)v î t r ' s p

V u i i i o » supor «|ii«* o dciiomíimdoi ou Formulu 39.33 #* itUo nulo I eulai r é u seguinte

mu fóiouilu «lln iiuhvu puru cal

^ •* tu* ( ï H1 í/i y h

Ian u al Dfc Fo h m u ia s e Ta b e l a s M atem aticas

39.37

Vs propriedades do coeficiente d41 correlação r mäh as aeirituitCK:

39.35 (1)— 1 ^ r 

A covariância amostrai entre x e y é denotada e definida rumo mc«lie

39.36 Covarianeia amostrai: 2 {X, - jéXíí# - S)Hn — I

Usando a covarianeia amostrai, podemos escrever a Fórmula 3$*33 de forma compacta

onde sx e i y ia o os desvios padrão das amostras x e v, respectivamente

Exemplo: Considere os seguintes dados:

tí50 45 40 38 32 40 55

5 5,0 6,2 7,4 8,3 4,7 1,8

O diagrama de dispersão dos dados apareee na Figura 39-1, 0 coeficiente de correlação r para este» j dados pode ser ohtido construindo a ta hei a na Figura 39-2, F.utão, pela Fórmula 39.34 com n «■ 7, resulta

I* m 1431,8 - (300X35,91/7V I 3.218 - (300^/7 V 2 18,67 - 0,9562

Aqui r está perto de —1 e o diagrama de dispersão na Figura 39-1 realmente indica uma forte tenden cia linear negativa entre x e y.

Somas

50 2,5 2.50045 5,0 2.02540 6,2 1.60038 7,4 1.44432 8,3 1.02440 4,7 1.00055 1,8 3.025

U

6,2525,0038,4454,7668,8922,093,24

300 35,9 13.218 218.67

•**< Vt

125.0225.0248.0 281,2 265,6188.0 99,0

1431.8

Flg. 39-1

RETA DE REGRESSÃO

Fig. 39-2

Considere um dado conjunto de n dado. pontuais /» (*,, X(). Qualquer reta (n io-verticd ) l. pode ser definida por uma equação da forma

y m a + hx

Seja Ui o valor de y no ponto de L correspondente a ou seja, tome y f - a + bx,. Agora defina e denote o resíduo

tf/ “ Ui ~ Nt m Ui - (<* + &*,)

como a distfincia algébrica vertical entre o ponto Pi e a reta L. A soma dos quadrados dos rmíduos entre a reta L e o h dados pontuais é definido por

39,38 a tN

39.39

39.40

■■••MaC apítulo 3 9 • Estatística D escritiva 253

definição, a reta L cuja som ^ T ^ 0* ° U * *** mel[lor aj ust(‘ «u a linha de regre n ão de y tm x é, por tal reta sempre existe e é única ° " qUadr*do* dos resíduos é * m,“nor poraívd. Pode-se mostrar que uma

equações normais, onde n ” + ** d® reta L de me,hor aJüste podem ser obtidas das seguintesas «neognitas e n é o número de pontos:

(*

í na + ax,)b - 2 u ,

so luçao do sistema de equaçõesI ( i x,)a + (2 x?)b = 2 x,u,

normais acima é:

b n 2 (X yi) rstf8

2 y , l x (a -----------b------n n V -b x

' - . ^ n<>S C Z ( Ue ° Ponto (**ff) está e m í e a primeira equação nos diz rmc«x. ff + r*,) também está em L

o ponto

E xe m p lo :Temos * FCta ^ me^ or ajuste dos dados (*., y j apresentados na Figura 39-2.

e ' llsan(^o ® linha das somas daquela tabela obtemos as equações normal300Ò 35,9

Substituindo em 39.40, resulta300a + 13.2185 = 1431,8

b = 7(1431,8) - (300)(35,9)7(13.218) — (300)2 -0 ,2959

35,9 300a ~ (-0 ,2959)— - = 17,81007

\ssim, a reta L de melhor ajuste é

O gráfico de L aparece na Figura 39-3.y = 1 7 ,8 1 0 0 - 0 ,2 9 5 9 *

Fig. 39-3

AJUSTE DE CURVAS

Suponha que são dados /i dados pontuais Ps ff/) e que estes dados (usando um diagrama de dispersão ou o coefic iente de correlação r) indicam que não há uma relação linear entre as variáveis x e v há algum outro tipo padrão (bem conhecido) de curva y ~J{X) ((ut> aproxima os dados. Então^’ ^ a rti^ ! lar curva C. que utilizamos para aproximar estes dados, denominada eurva de melhor ajuste ou curva dos mínimos quadrados, é a curva da coleção que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos

2 d ía- d f + di+-'< + d*

onde agora os resíduos são dados por d, - y. - f a ) . A seguir discutimos três destes tipos de curvas. Funções polinorniais de grau rn: ff = u0 + a,x + a^x2 -f . . . + dn.xm

Os coeficientes « a „ a .. . . . . o . do polinómio de melhor ajuste podem ser obtidos resolvendo o se-guinte sistema <le m + 1 equações normais:

Man ual p€ Fo r m u la s e T a b e la s Ma te m á tic a s

39.41

39.42

nag + « j X x< + Oa £ x ? -f * * • + a . X x * ■» £ y,flfllXi + f l jI j- f 4 a2 X X* 4- * 4E -a mE x r l Z*iyt

a0Xxtm + ai I x r * i + <hXxr** + — + amI x f m-2 * r V i

39.43

Curva exponencial: y m aif ou logy « Ioga + (logfr)xA curva exponencial é utilizada quando o diagrama de dispersão de log y por x indica uma relaeit

linear. Então log a e log b são obtidos a partir dos dados pontuais transformados. Mais precisamente reta de melhor ajuste L para os dados pontuais P\x^ log yt) é

na' + (Xx,)b' * X(logy<)CExf)af + {Xx?)d# MX(x<logyi)

Então a - antiiog a', b - antilog 6'.

Exem plo: Considere os seguintes dados que indicam crescimento exponencial;

X i *2* u 4 5 6y 6 18 55 160 485 1460

Portanto procuramos a reta dos mínimos quadrados L dos dados »eguintes:

X 1 1 2 3 4 5 6i °g 10,7782 1,2553 1,7404 2,2041 2,6857 3,1644

Usando a Equação 39.42 para L, obtemos

a' — 0.3028, b ' » 0.4767

Os antilogaritmos comuns de a' e b' são, aproximadamente,

a 2,0 e 6 -3 ,0

Portanto y -2(3") é a curva exponencial C solicitada. 0s dados pontuais e C estio ilustrados na Figura 39-4

Flg. 39-4

Função potência: y - ar» ou logy = Ioga + b log

Acurva potência é utilizada quando o diagrama de dispersão de log y por lofi* indica uma relaçSo

u T m S o ? a t gsteL “ ° ^ ^ ^ transf° ™ “ dos. Mais precisamente, a reia ae meilior ajuste L nara os d a rins rmntnoi« nu i~„ - i___ w 1ajuste L para os dados pontuais P'(log x;, log y.) e

na + 2 (log*,)/» = 2 (log y,)2 Cogx()a' + £(logx,)í b « 2 (log*, log y,)

Então a » antilog a1

Capítulo 40

Variáveis Aleatórias

protutbLtaíad e / l t ü i ldef,n,d" e“ algum esPa«° de amostras s com alguma função distribui p aaej(x). Utilizamos a «fguintf notação:

P(X - *.) é a probabilidade de X -P(a < X < b) ê a probabilidade de X estar em [a, 6].Hx ou E(X) ou, simplesmente, Jlê a média ou esperança de X. uxz ou Var(X) ou, simplesmente, o* é a variância de X.Gx ou, simplesmente, cré o desvio-padrâo de X.

Também supomos que Y é uma variável aleatória tal que Y~g(X). Há dois casos: X tória discreta ou X c uma variável aleatória contínua. é uma variável alea

VARIAVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

Vamos supor que X tem somente um número finito ou enumeravel de valores diiram«* _e —■ i* *i * ~ « l i uigaiiuia, j , jj,,funçao distribuição tem as propriedades

W /f o ) ^ 0 e (ii) - 1Além disto,

P(X - *,) - /(* .)

. A

40.1

40.2

MED/A

VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO40.3 = Var(.V) - I (jr, - n f/U ,) * E((X - a f )

MM

40.4

40.5

40.6

40.7

40.8

40.9

Form ulas E Tabelas Matem áticas

VI terna ti va men te, V « r ( ï ) pud« ser obtida conto nf|ur:

UX*) - Mf

Jy* - W a r (X ) • V«(X*J - m

Observação: A variância Vur(X) - 0* e o dr* viu-padrão CTmrdrni ■ dispersão pondf-ntdn xt em torno da média /i ; no entanto, o dcsvio-pudrão tem us mesma« unidade* «pie « média fí

Exemplo: Suponha que X tem a seguinte distribuição de probabilidade:

£ 1I 2 4 i 0 8/(jr) 0,1 0,2 0 3 0,4

Então

;.t - E(.Y) => ÏjrJtx,) - 2(0,1) + 4(0,2) + 0(Ü,3) + 8<0,4) - 0 E(A'J) - Xjrffljr,) - 2*(0,1 ) + 4*(0I2) + íl‘ (0.!l) + 8*(0,4) - 40

cr* - Vart.Y) - E(Xa) - u to - 30 • 4

cr » V Va ft A) *» V 'í " 2

V A R IÁ V E IS A L E A T Ó R IA S C O N T ÍN U A SVamos su por que X tem um contínuo de valore» e c|tir / ! \) é uma ftinçio continua p or parte

rllem disto.

( l ) /U ) * 0 e (il) I - || /(jc)fix» !

PC« < X «a b) * fix)<lx

MÉDIA

M* - W O - jrf(ar) (lx

LXy - E(V) - £(*)/(*) í/-r

VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO

crVa * Var(X) ( # - m)2/(*£) d * • E ( ( X - a f )

Alternativamente, Vur(X) pode ser obtida como segue;

ViirtX) x*f(x) dx *• - K(.V-) - tia

10.10 </\ - v V u r ( . V ) * V K(A ) -

40.11

40.12

4 0 . 1 3

4 0 . 1 4

4 0 . 1 5

4 0 . 1 6

Capitulo 40 » VAmAvtEts AleatOwas 2 5 7

«vfóvcl aleHUn'itt ''”n ,'n*'a , on> « seguinte função diatribulçio:

A*>f í r m O i í j r * ' J

l 0 caso contrário

1 <AJr)ftr = r 11 “ «ra dr « J'1 ■KVHHpK&t* 4Wt pMJo 2 í> 0 S

m * ) >r%r) rir vz r* i í * * dr

X8 o

2

mm. V ftitY ) - K(A*) - .«* - o W 2* K |

9 9

1 1 _ «r * V VurCÀI - / ~ * — \/2

V » a

F U N Ç À O D ISTRIBU IÇÃO ACUM ULADA

kftm çàa distribuição acumulada de uma variável aleatória X é a função F:R-»R definida por

Ftm\ * P(A’ < ci)

Km particular, &tt|Hitihjt que é a função distribuição de X. Entào

f\x) 2K V fiJTi) ou F\x) / m d*

dependendo se \ e uma variável aleatória discreta ou contínua. Em ambos casos:

F\a) «£ F[b) sempre que a < b

Um FU ) * 0 e Um ft*) - 1

Portanto F\ t) ê monótona na reta real com limite lateral à esquerda igual a 0 e limite lateral à direitaigual a 1. Alem «liito,

P(n * X * b ) - F[b)-F\a)

O Feorema Fundamental do Cálculo no» «li* que, no caso contínuo,

ac

A s ) m— njr)m n * )(Lr

Portanto a função distribuição de probabilidade/fc) de X pode ser obtida da função distribuição ■umuladu F(x) por derivação, sempre que existir . derivada.

Ma m u m PC F ó r m u la s s T a b e la s M/ctem aticas

VARIAVEL ALEATÓ RIA PADRO NIZADAA variáiwl aleatória padronizada de ama variável aleatória X com média // e desvio-padrio cr> 0 é definida por

4 0 - 1 7 ZW

cr

Uma tal variável aleatória padronizada Z tem as seguinte« propriedades:

Mi * E(Z) ** 0 0W ■ 1

Ex&mpfo: Considere a variável aleatória V do exemplo que segue a Fórmula 40.5, onde fix m (j eax m 2. A distribuição de Z m{X~ 0 ) /2 , ondej{x) « jf{x), é a seguinte:

f|§,:# ?jf - 2 - 1 0 1m 0,1 0,2 0,8 0,4

Então

E(Z) » - (-2X0,1) + (-1X0,2) + 0(0,3) 4-1(0,4) - 0E(**) * Saf/fo) * ( - 2)-(0a) 4- (~1}2(0,2) 4- 02(0,B) 4 X*(0.4) » 1

Var(Z) - 1 - O1 - 1 e c% « V V ar(Z ) * 1

ÜMSÜ

'

D IS TR IB U IÇ Ã O BINOM IAL

4 1 . 1 *(•>■) ■ 2 ( ? jp 'o " ' p>0, q > 0 ,p + q = 1

D ISTR IB U IÇ Ã O DE POISSON

4 1 . 2

D ISTR IB U IÇ Ã O HIPERGEOMÉTRICAr

41.3 #(£) * Z j — :..7...ù t ('■+*

n

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

4 1 . 4 <KaO = —4 » Il e~,a/*dt

DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT. n +1r

1 \ 2 J \ ( t‘* \41.5 i w i T 1 + n dt

Manual oi Formulas i Tabelas Matemáticas

DISTRIBUIÇÃO x* (QUI-QUADRADO)

41.4 I à i » * w n » U t . u2 " / 3 r ( » / 2 ) J r"

DISTRIBUIÇÃO F

1 1 ■B g *i r *»j?

4 1 . 7 <tKj ) — _ . 1 '" — ........ íl i ,M,/a,' , (w * + H|í)r ( n t/ 2 ) r ( n a /2 )

Métodos Num éricos

IH T E R P O L A Ç A O DE LAGRAMGEFórmula d » interpolação óm doét ponto*

42.1 ftsf m/(s^*Z £f, . / t r „- — = = — “ | mm '

jr-*

jfg-BSIGb

utttié' jA m) k ti m piAitUêfnitê teüKsr tttüt rt»A» mlu k í Am* ptm im

' /« . / ( / ^ ( / ;: / ( / | |Í, # /

Fórrnulfi gem i (Mi intmpoiaçào

4X2 i/.n ffs* +fÍJ\)L« tU) ♦ +fbrmíLmJL/

tittdã

nI JkM M .

i iiímIí' p(f m ) á u m «!** | t m i it i fi trrjKjJji ímIí# ij# h * ! p o n i / a v

Cf**/lfê)ír ff * 0. 1* «««# wç f Mi # I #1

Fórm ula d o rm to#]

ii!|H m ki *|ii# / !*) r |T (tf* & j* E#ilã<t r u i u ifrn jx>n!o Qxf E | « />j ta l que

4 2 J /(* ) ” /•'M4 ~ ~ “ l ' ^>í* x,j u

MANUAL D l roW M U L A l i I ABC IA S MATEMÁTICAS

4 2 .4

IN T E R P O L A Ç Ã O D E N E W T 0 NFórmula do quociente de diferenças de primeira ordem

f (X |) mmtf i Xgj)ffl |M É0 I ÉÈÊtÊ*/ 1 X „ . X , | -

X j í ( )

FÔrmula de Interpolação de dois pontos

42 .5 jHs) ~ f(A>) +/l-r«.X| |(x - J-o)

o n d e p ( x ) ó u m p o l in ó m io l in o n r in te r p o la n d o ou d o is p o n to *

(Jr„,nxn)). (x ,./( jr ,)h

4 2 .6

Fórmula do quociente de diferenças de segunda ordem

/|Xl,X|| i^ ll/Ix<>.x,.x3l ----------- ------ -Xj — Xo

Fórmula de interpolação de três pontos

4 2 .7 p(x) “ /(Xq) + /I x 0 .xtl(x ™ Xq) + / lx 0 ,x i*xal(x - XoKx - x s)

(>nde / í(a ) r uin polinómio q u a d r á t ic o interpolando os três pontos

Fórmula do quociente de diferenças geral de k-ésima ordemm*% o ~ /JX | tX | ,. . m Xfc] “ * /IX o »X | ,. . X fc - i ]4 Í . 0 jI X ^ X i, ------------------------------------------------------ — —

x* “ Xo

Fórmula de interpolação geral

4 2 .9 p(x) - / ( X o ) + / I x o . x , l ( x - X o ) + • • + / l x o . x „ . . . . X » I ( X - X o ) ( x - x , )

on d e p (x ) é iiui polinóm io de grau ft interpolando os n -f I pontos

(Xi„X(Xfc)), k - 0, 1 , . . . . n; e x* # Xj para < # j

Fórmula do resto%maI

S u p o n h a q u e / U ) E C [ o , 6 ] . Kntão exibte um ponto í u ) G ( a , 6 ) ta l q u t

4 2 .1 0 * * > “ P(x) + (* ~ *b)(* - * i ) " (* ~ * J

f ó r m u l a d e n e w t o n d e d i f e r e n ç a s p a r a a f r e n t e

Diferença para a frente de primeira ordem em *0

42.11 •VUu) = /(X i) - / (X o )

Diferença para a frente de segunda ordem em x0

42.12 AVUo) - 4 f(x 0 - V U o )

Diferença para a frente de k-ósima ordem em x,

42.13 A\Ax<o) - Ak' l/ [ x , ) - âk~lAA>)

H —

L u

4 1 1 5

C a WTULO 4 2 • In tb f ifo la ç JU I 285

Goeâcréafe binomial

i (i - l ) “ * ( i - k 4 - 1)k fe!

Fórmula de Newton de diferenças para a frente emx

ê ...

K*) « y í * u * /w

onde fH*) c um polinómio de grau n interpolando m n ♦ 1 ponto» igiüdmente eapaçadoi

(**•/!**)). ** - jr0 -f kh k • 0, 1, n

F Ó R M U L A D E N E W T O N DE D IFER EN Ç A S PARA TR Á S

Diferença para trás de primeira ordem 0 m x

42.16 V /U .)- / ( * . ) - M . - 0

Diferença para trás de segunda ordem am *

42.17 • VflxJ - VA*.-,)

Diferença para trás de k-éstma ordem am *

4 2 . 1 8 V /U .) = V ^ * /U .)- V ' / t x . - , )

Fórmula de Newton de diferenças para trás em x„

42.19 p(x) = ^ v v ^ )Ir-O

onde p(x) é um polinómio de grau n interpolando os n + 1 ponto, igualmente espaçados

(xk./(x fc)). x* « Xo + W» fc - 0, 1...... n

IN T E R P O L A Ç Ã O DE HERM ITE B a s e d e p o lin ó m io s p a ra dois pontos

42.20/ X “ X o \ ( * * l ) r i

II 1.0= ( 1 " 2 a*- scJ (*0- *i)*’ 1.1 l - 2 JT -JT , \ ( X - J C o ) 4Í

r t - ,r0 / (jtj - Xo)

('"■“»'fe-x,)*' " " 1 (x, - *„)*

42.21

Fórm ula d e in terp o lação de dois pontosf f a ( x ) » / l * » ) W | í+ / l * l ) W u + /'(X b )fi| 0 + /'lX | )W l.|

i .... trí» mie tem o mesmo valor <• u» mesmas derivada» primeira* que/fa)r um itolinômio de grauonde H,(x) e

em dois ponto», ou wj**

HsGJCo) “ / í*o)HÍ(Xo) - / ' ( X o ) . ffsfcsd W (X |)-/'(x ,)

it I W

UWUAl i n POflMUlMl 1 H ;A|

IMüd t/ti polinôiiïloê uw *1

4 i m h* I ut

it* Î, /Inj a 11 * <> {ï * ^

15

* *

I .*IÄi

4133 Mu*» » i(.i ) 4U|Mt Ho m l r 1! ’ '\ a ) «* i i i i i | i o l t t i ò n i i i » *.1»- g r t i i i 2# i i I q i i f * I f t i * o n i m n m v u l o t r t M . i i i r m t iH * * «!»•

/( 11) «MU II í I IMIllttlM, fill HI*]»,

itiHiiUk) ~ n i« . îu j n * o * * °* *• r i

Formula do lostoS i i | i u n ) u i q u o / I \ ) S C ’ * | f i , l > ] , K t i i l o « ' * i * l t t i i i i i p o u t « » ) € ( a , f e ) t i l « 11* » *

42.24 ru) -----------™ ~ ~ ( , .r„)a(,i I,)*1 ( j r j

(2n I 2)1

1 1Vi i d i m jfir i i i H i i sis m i r

REGRA DO TRAPÉZIORegra do trapézio

43.1b - o

f\x ) i t r — ~ l A a ) + A b ) \n

Regra do trapézio composta

43.2 f A *) dx - 1 ^/(a) + 2 ^ /(a + ift) +/(&)

onde h - (b - a)/n c o tamanho do passo

R E G R A D E S IM P S O NRegra de Simpson

* 5 — a4 3 . 3 ! f l x )d x ö

a *f b/ ( « ) + v I — I + /W

Regra de Simpson compostan/t *11

4 3 . 4 I A *" )<Lr _ - (/(.*„) + 2 / Ui , ,) + 42^/lar,, ,) +/(*„)

3 \ 1-1 #•!ff

_ . I / 1 /í - H + i/l* * * Ö, 1, ...» rt.4>Iîde n t par, h m \V a ) * *

R E G R A D O P O N TO M ÉDIORegra do ponto médio

rb / a 4 b, / {x )d x~ (b -a ]f[ —

lANUM. O f FORMULAS £ TABELAS MATEMÁTICAS ■

Hegra do ponto médio composta

43.6

M / 2

fix) <it 2h V fixa )ft imO

onde ft ê par, h m (b — n)/{n + 2), x t m n +■ (i — 1 )ht i 1, 0 . . . . . n + 1

FÓ R M U LA DA Q U A D R A TU R A G A U S S IA N APolinómio de Legendre

43.7 i < r 0

P„(jr) = ---------------I(.r - i nV n ld s*

43.8

Fórmulas dos pontos de abscissa e dos pesos

Os pontos de abscissa j*£M) e os coeficientes do peso a>(w) são definidos como segue.

4 H) - o Ar-ésimo zero do polinómio de Legendre Pn(x)

43.9 4 1»)

Na Figura 43-1 apresentamos uma tahela de valores para as abscissas e os peipesos

Fórmula de Gauss-Legendre no intervalo ( - 1, 1)

43.10 A*) d* = Ÿ oil"'f(jrlHy) + fiN1 fc-1

Fórmula de Gauss-Legendre num intervalo (a, ft) qualquer

43.11

Fórmula do resto

43.12

para algum a < £ < ò .

J **» L M

d Jr-l

(b - a)íu+l(n!)4 , (2it+ l)|(2n)!|

l - l D S 3 I0 < 1*>M

0 , 5 7 7 3 5 0 2 6 9 2 1,0000000000- 0 , 5 7 7 3 5 0 2 6 9 2 1 O O O O O Q C K H H )

30 , 7 7 4 5 9 8 6 6 9 2 0 , 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6

0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 , 8 6 6 8 8 8 8 6 8 9

- 0 , 7 7 4 5 9 6 6 6 9 20 , 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6

4 M 6 1 1 3 6 3 1 l t T0 , 3 4 7 8 5 4 8 4 5 1

0 , 8 8 9 9 8 1 0 4 3 6................... 0 , 6 5 2 1 4 5 1 5 4 9

- 0 , 3 3 9 9 8 1 0 4 3 6 0 , 6 5 2 1 4 5 1 5 4 9

- 0 , 6 6 1 1 3 6 3 1 1 60 , 3 4 7 6 5 4 6 4 5 1 1

0 , 9 0 6 1 7 9 6 4 5 9 1 0 , 2 3 6 9 2 6 6 8 5 0

.0 , 5 3 6 4 6 9 3 1 0 1 0 , 4 7 8 6 2 8 6 7 0 5

- Q t O O O O O O O O O O0 , 5 6 8 6 8 8 8 8 8 9

- 0 , 5 3 6 4 6 9 3 1 0 10 , 4 7 8 6 2 8 6 7 0 5

- 0 , 9 0 6 1 7 9 6 4 5 9 0 , 2 3 6 9 2 6 8 6 5 0

F i g . 4 3 - 1

44.1

44.3

S o lu çã o de E quações N ão -L inea res

l | U Í a | M T t M m e t O * K \ > é f $ o H e r Q M f M l l t l t W f l I I * í ê « i t t f t * n i i | l 1t ' i r i t ! t

"-IO QitHIOftr 0

44,2 E q u a \ * i o y ^ - K a f t r % W p -o i

Píx lemos alternar 44.1

% #

ara 44.2 ou ii<* 4-IJ |virtt « i l lontátitlo

élMr) -Jfcx) ♦ ar ou f\.r\ - g*jr) - *

Como os métodos >io iterativos. existem tia*> ti|H>s *íe eshmativ :\ tie erroLftaJl < * 0« k«* 1 — x J < «

para a%um € > 0 |*retieternuna»liK

M É T O D O DA B IS S E Ç Ã Ol titizaroos o segmnte letaTBBMitTeorema do Valor Interrmmtuíno: Suponha que/é continua num intervalo |n. h\e « | u e < 0, Kn

tao existe uma raia 1* de^A) -- 0 em (o, fc).

O U ié to d o d e b is s e ç ã o a p r o x im a um a tal ruIuçRo «V

44.4 Método cie bi»«*vào:Passo inicial: Torne <*„ - a e \ b

Passo de iteração(a) Tome cm • («, ♦(b) S eflaJ A O <°* mitãu tome <>, , - r &,t. 1 - ‘V «’ii o contrário* tome ,1 , , - rm e bn,, -

M É T O D O D E N E W T O NMésúdo õe Hewion

M i/U » )

* “+í ’ * ~ 7 £ i

Carw&rgèncaa quadrática

UJ>f l x l

lim ■ H l ■ 1 1- U . - r * ) 1 2 { f 0 n f

■ ie i * é — n i» 4« «qM çio »8» fa e « r 44.1

M E T O D O D A S E C A N T EM éto d o da s e c a n te

4 4 J Ç x .-x ,-1)/t»v)/U J

Taxa de com-erpéncia

4 U Ui rc* * )

«adt x* e w a ru i dt «qiiaçlo nio-tinrar 44.1.

P O N T O F IX O P O R IT E R A Ç Ã OU t ü if m » dsfuúção e o teorema a seguir:Lirfimiçma: D i i f n qat uma função g de [a , 6] em [a , &] é m u canlração se

! g í * ) - g í } ' ) l ^ Í - ] * - y p a r« q u a is q u e r* , y € [o ,fc ] ,

omIt L < 1 é — i rw W H lf positiva.Teorema do Pomo Fixo de Contrações: Supunha que g i uma eontração de [a, 6]. Então g tem um úni

co ponto fixo em [a, fc],

D «ái m m tai f— triçiog, podemo* uíilizar o método a seguir.

Ponto fixo por iteração

* . . i “ * í * J

_ Métodos Numéricos para Equações Diferenciais Ordinárias

Aqui apresentamos métodos de resolver o seguinte problema de valor iniciaJ de uma equação diferenciai ordinária:

45.1dr

*(tv) » -T0

Os métodos apresentados utilizam uma malha computacional45.2 í, = ío + nh

onde o passo h da malha é uniforme.

4 5 4

M ÉTO D O S DE PRIM EIRA ORDEMMétodo de Euler para a frente (método explícito de primeira ordem)

jc{t + l i ) = a to + V W O . t)

Método de Euler para trás (método implícito de primeira ordem)

4 5 #4 Jít + h) - jjtf) + hfíMt + h). t + h)

45.5

M ÉTO DO S DE SEGUNDA ORDEMRegra do ponto médio (método explícito de segunda ordem)

x* * Jdt) + -/W O . 0&

x(t + h)~ x(l) + 9\f |jr*. f + ~ \

MANUAL. OC

45.6

45J

45.8

45.9

45.10

45.11

45.12

45.13

45.14

F ó r m u l a s e T a b e l a s M a t e m a t ic a i

Regra trapezoidal (método implícito de segunda ordem)

JF(t + h ) - jr(t) + ~ t/tjr(t). f) t / ( 4 ( i h% e + li)j

Método de Heun (mótodo explícito de segundã ordem)

j j I a(t) I V M 0. |1

a # + h )» j ( 0 + - ( /W 0 . 0 + /(**. f li))

M É TO D O D E ESTÁ G IO Ú N IC O DE O R D E M S U P E R IO RMétodo de Runge-Kutta de quarta ordem (método explícito de quarta ordem)

JT(t + Í1) - J(t) + - (F , + 2 F, + 2F„ + FÁ)

onde

F\ = t), F, = + t + ^ y Fs - v ( * + “ . * + £ ) . F„ = ft/(x + F;„ í 4-h)

M É TO D O S DE PASSO S M Ú LTIPLO S DE O R D EM S U P E R IO RMétodo de Adams-Bashforth de dois passos

x(t + * ) « J*t) + h í |/(x(í), t) - ~f(x(t - h l

M étodode Adams-Bashforth de três passos

M l + ft) = *(t) + h ( y|/W í), t) - - ft), t - ft) + ~ S W - 2ft). t - 2ft)\ % l*a

Método de Adams-Bashforth de quatro passos

* w ■ * ” * h ( S » « - f ï * * « - » « - « - a » M - a » - i / w , - a * ,., _ a » ,

Método de Milne

4 t + ft) = - Sh) + J» (|/(*(0, t) - | /W t- ,0, £ - „) + 1 /w t — 2h), t — 2V 3 i/O

Método de Adams-Moulton de dois passos

Xít + ft) = *(t) + ft ( ^ / ( z ( t + ft). I + ft) + f /W t ) , t) - A / C # - ft). t - ft)

Método de Adams-Moulton de três passos

^ + f c ) - ^ ) + h ( + , 0. t + ft)+ r ) _ A / W í _ h)< t _ k )+ 1_ _ 2 Í (), _ 2

Métodos Numéricos para Equações Diferenciais Parciais

M É T O D O D E D IFE R E N Ç A S FINITAS PARA A EQUAÇÀO DE POISSONA t*<|tiNçiÍf> ílt» INuftMiu no «loiníttio (o , 6) x ( r , </) ê clttili: por;

46.1 <U úuJ

i.o ritlírâ o dt< l i untn» a46.2 n( r , y ) » f i i r . f l ) P « rn x - n,b OU ;y r t d

Mtilhü romput»« uuuil46.3 jr, o + pin« I m 0, 1. .... n

Hi m r 1 JA// pura J • 0, I......m

46.4

i * ü „ i / w M Au * Itl r)/wi *1 « o* taiiuinhoM iIon p*Mo# pura ha vuriávria x «• >% w p i*c im m R ’«Uiillllr A í l*1 10* OJr w f «í# 1 F

Aproximação de diferenças finitas de segunda ordem

(Df í l>l)uU,.lh' ~ A*» lh)

Olllll»lUnuHi) uu,

nfuUi.iij) ~ ... ^

m(ít„ //> * I ) i/j , )V iu lX t' Ilj) " A„»

.te fi’ont&t'S computacional

*mv* x,' ” .tH'1 *,V n<x„.fíjt * s(f).Ni) I'«»’« 1*1* !*•■«**

WUV B*) * #•*» « V «(•>.. w.») “ M*f- ‘0 para J - l, 3.......n

M ETO DO DE D IFE R E N Ç A S FINITAS PARA A EQUAÇÃO DO CALOR

4 fsMKitái fikvr mi iW tin io (<** M ^ (f* »1) * Ç M i é ila«la |M>ri

** ra * V' «H

CMMbcèn é t frftntwr»;

4á J ju.r,j».H - 0 x,i/l para x - n,h ou y - c . d

Cxflfedkão ifttóâl

44J-

\|alhi com m ttdoA tl:^ ^ » a + i&r para 1 * 0 , i , . . . . «

m ç +J*fc£ para j • O* !*•««•w lfc ■ |cA( para k mO,

«kW A* - (fc - «V » . Ay - (d - c)/m e At são os tamanhos dos passos p .r . as variáveis x ,y e t

■ fB l f

Cond^Ao da fronteira computacional

4 ^ 0 ,.(Xo.ft) - * « • » » .* * « .» > - * * • » ) para j - 1. 2.......m« t o , í / „ ) - S ( x f . c ) , u ( x „ | u ) - « * * < ■ < 9 P a r a 4 * X - 2 . . . . . . . . . . . w

1, 2...... n; j - 0. 1........mConótçào tntoal cxxnputadonâl

1 ^ 1 1 u(xh Uy. O) m *©(-*#« #j) para < ■

Método de Euler para a frente com condição de estabilidade

2 «Cxr. ÍCj. »»*>) “ W + At<PÍ + Dl)uix„ j/j , U)

46.132At 2Af . -----+ — : < 1.&r á t

Método de Euler para trás sem condição de estabilidade

4ft>14 u<x.V> fk+.) = «(**.»> W + AKPÍ + DÍ)uíx,. v> **m)

Método de Crank-Nichotson (sem condição de estabilidade)

« t o .* ^ 0 - k(x,.* W + AKflí + K ) | g g * W + “ <*'• !/ * ' ‘ )}/2

46.16

46.17

46.18

46.19

46.20

46.21

46.22

46.23

CâXnju>46 * Mrroooc miu Eqüaoûes Dp&kmomí Rwcwís 27!

M É T O D O D E D IF E R E N Ç A S F IN IT A S P A R A A E Q U A Ç Ã O D A O N D AA equação da onda no domínio (a ,6) X (c. ti) X (0. T) é dada por:

2

onde /I é um . constante representando a velocidade da onda. Condição de fronteira*

para x = a. b ou y * c, d

Condição inicial:

Malha computacional:

|g«(*. y, 0) = «o(x, 1/}. — M(x, *, 0) = «,(* .# )

0W

* tma + iÁjc para i ■ 0, 1, »

Kl « € +jAy para j « 0, 1 ,.... m U * feAt para k - - lt 0. 1 ,..

onde A* - (5 - « y * . A» - (d - c)/m r A la io o . tamanhos dos pa.mente. 8808 para as variáveis x ,ye< , respectiva-

Aproximação de diferenças finitas de segunda ordem

»* W - 2«(x„ K rt*)- Uíx,, Vj, t^ ,) + Aí2A2CDJ + Djyuix,. yp U

Condição de fronteira computacional

*(*«.Kj) g(a,yj), «(x . ,y j — p(fc,jjj) para j = 1, 2 ..... m «(*i. Jfe) = flfo. c), u(x(, j/ra) = g(xh d) para i - 1, 2...... n

Condição inicial computacional

“í*i. ilj’ W - «oCXf, yj) para < - 1.2.......*; j - o. 1........ m*4*V. í~ i) - MX/, y}) -f At2Ul(xh yj) para t « 1, 2...... n; j « 0 1 m

Condição de estabilidade

At*A miníAx, Ax)

1 1 '/ g a - 1

«»|> Z U j mit »? .m l) ,io d n g * •’»HÜh** o u u k ) tt|itftint.>|) ?i?tf it|H|H u p fis,»

\ u np q ,i V u u \ u «i.tiiftii mini • |famio

9 IP

ÇZtrI If «»II || O )

S IV H 3 0 S 3 U V 3 N H SVIAI31SIS V tíV d OAÜVH3J.I 0 0 0 1 3 W

+ r4 « (» - I( '/ - 1 rm + 1 +r»„ + rt -i„ + n ^ „ )j-. r * r z *

(*Y - S f'n f <♦*„ + r»4 „ + r ,> ) f . r,„

lapios-ssneo ep o p o tp w

(r ,/ - ’ “r4n + '* > + r’ -i" + r' » f - , > K7„

fqooB f e p opojpw

iog» hui%>|min » ja.vjoK j »uml no \i jtu.tii «opoi^ui «*14 j

I j§ ....... j *| « y turn) 0 p M ,W « ***I - « ........Z 'I - f turn! 0 « r*H m

I —M...... Z *1 t o f m — ' “P*tt4.1 ♦fHi^H-**h^ri*»w

:j«m I 11UOSHIO,! up o y Ã m ilw » ii.n u l « m iu ij su5tHt.u»)t|> o p o ü M w n x o .id n v

NO SSIO d 3Q 0 V Ò V n 0 3 V VH Vd OALLVtíBil 0 Q013W

17»

T *

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11A «H

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1 « rsa«

47 J

Ju*wPEcK9 S ^ u ss*S<ncM

47.9 10* U i ■ r « l

"Oô C/6 SOÙre- r€*î-üXil'OÔ S SmüC#$3LS#WMI éjÈËÈÊÊË

47.10 là Q lr è l) t- f i llHf*

Logaritmos ComunsI<%0/V ou log /V

H

1 6

0000 0414 0792 1139 1461

1761204123042553278830105222£424361738023979415043144472462447714914605151855315544165635682579869116021 6128 6232 6336 64366532 6628 6721 6812 6902

0043 04531 0828 1178 1492179020682330257728103032324334443636382039974166433044874639478649285065619853285453 56755694 6809 59226031 6138 6243 6346 64446542 6637 6730 6821 6911

0086 0492 0864 1206 152318182095235526012833305432633464365538384014418343464502465448004942507962115340546566875705682169336042 6149 6253 6355 64646651 6646 6739 6830 6920

0128053108991239155318472122238026252856307532843483367438564031420043624518466948144955509252245353647855996717583259446053 6160 6263 6365 64646561 6656 674968396928

0170056909341271158418752148240526482878309633043502369238744048421643784533468348294969510552375366549056115729584369556064617062746375647465716666675868486937

0212060709691303161419032176243026722900311833243522371138924065423243934548469848434983511962505378550256235740685559666076618062846385648465806675676768676946

0263064610041335164419312201245526962923313933453541372939094082424944094564471348574997613262635391551466365762686669776085619162946396649365906684677668666965

0294068210381367167319592227248027182945316033653560374739274099426544254579472848715011614562765403552766475763687769886096620163046405650365996693678568756964

8 9 1f’artiii 1

2 8 4Yofi

SM irrim tu ii

6 7 K 9

0334 0374 4 8 12 17MH

21f - '

25 29 83 370719 0766 4 8 11 16 19 23 26 30 341072 1106 3 7 10 14 17 21 24 28 311399 1430 3 6 10 18 16 19 23 26 291703 1732 8 6 9 12 16 18 21 24 27

1987 2014 8 6 8 11 14 17 20 22 252263 2279 3 6 8 11 13 16 18 21 242504 2629 2 6 7 10 12 15 17 20 222742 2765 2 5 7 9 12 14 16 19 212967 2989 2 4 7 9 11 13 16 18 20

3181 3201 2 4 6 8 11 13 16 17 193385 3404 2 4 6 8 10 12 14 16 183579 3598 2 4 6 8 10 12 14 16 173766 3784 2 4 6 7 9 11 13 15 173945 3962 2 4 5 7 9 11 12 14 16

4116 4133 2 3 5 7 9 10 12 14 154281 4298 2 3 6 7 8 10 11 13 154440 4456 2 3 6 6 8 9 11 13 144594 4609 2 3 5 6 8 9 11 12 144742 4767 1 3 4 6 7 9 10 12 134886 4900 | 1 3 4 6 7 9 10 11 135024 5038 1 3 4 6 7 8 10 11 125169 5172 1 3 4 5 7 8 9 11 126289 5302 ! i 3 4 5 6 8 9 10 125416 5428 i 3 4 5 6 8 9 10 11

6539 5551 i 2 4 5 6 7 9 10 115658 5670 i 2 4 5 6 7 8 10 116775 5786 i 2 3 5 6 7 8 9 106888 5899 i 2 3 5 6 7 8 9 105999 6010 i 2 3 4 6 7 8 9 10

6107 6117 i 2 3 4 5 6 8 9 106212 6222 i 2 3 4 5 6 7 8 96314 6325 i 2 3 4 5 6 7 8 96415 6425 i 2 3 4 5 6 7 8 96513 6522 i 2 3 4 5 6 7 8 96609 6618 i 2 3 4 5 6 7 8 96702 6712 i 2 3 4 5 6 7 7 86794 6803 i 2 3 4 5 5 6 7 86884 6893 i 2 3 4 4 6 6 7 86972 6981 i 2 3 4 4 5 6 7 8

9642 9547 9552 95579590 9595 9600 96059638 9643 9647 96529685 9689 9694 96999731 9736 9741 9745

9777 9782 9786 97919823 9827 9832 98369868 9872 9877 98819912 9917 9921 99269956 9961 9965 9969

98099854989999439987

w

«■M

sen X (X em graus e minutos)

10°11121314

0.0000 0,0175 0,03490,0523

10,06980,0872040450,1219043920J5640473604908

O20 21 22232425°262728 2930°3132333435°3637383940°41424344

0,22500.24190,25880*27560.29240.3090032560.34200.35840.37460,39070.40670,42260,43840,45400,46950,48480.50000,51500,52990.54460.55920.57360,58780.60180,61570,62930,64280.65610,66910,68200,6947

0,00290.02040,03780,05520,07270.0901 04074 04248 04421 04 $930,1765 04937 01108 0.2278 0,24470.26160.27840,29520.31180,32830,34480.36110.37730,39340,40940.42530,44100,45660.47200,48740,50250.51750.53240.54710,56160,5760 0,5901 0,6041 0.6180 0,63160.6450 0,6583 0,6713 0,6841 0.6967

0,00580,02330,04070,05810,07560,092904103042760444904622>4794

OJtlMÖ ...230-6 0.24760J2644 0.2812 0.2979 0.3145 0*33110,3475 0,3638 0.3800 0.3961 0.41200,42790,44360,45920,47460,48990,50500.52000,53480,54950.56400,5783 0.5925 0,6065 0.6202 0,63380.6472 0.6604 0,6734 0,6862 0.6988

0,008?0,02620*04360,06100*07960,0958041320430504478046500 18290*19040*11643JÉ I0JE5O4

0,0116 0*0291 0*0465 0,0640 0*06140*0087041610*133404607046790,1861 0 *10-22 0J193 0.2363 0*2532

0JS672 0,27000.2840 0.28680.3007 0.30350,3173 0.32010.3338 0,33650.3502 0.3665 0.3827 0.3987 0,41470,43050,44620,46170,47720,49240.50750,52250.53730,55190.56640,5807 0,5948 0.6088 0,6225 0,63610,6494 0,6626 0.6756 0,6884 0,7009

0,35290,36920,38540,40140,41730,43310,44880,46430,47970,4950

0*01460,0320 0,0494 0,0669 0*0843040160*11900*1363046360,17060,18800*20610.22210,23910.256Ô0J27280.28960.30620,32280.33930,35570,37190,38810,40410,42000,43580,45140,46690,48230,4975

0,5100 0,51250,5250 0,52750,5398 0,54220,5544 0.55680,5688 0,57120,58310,59720,61110,62480,63830,65170,66480,67770,69050,7030

0,58540,59950,61340,62710,64060,65390,66700,67990,69260,7060

0.7071 0.7092 0,7112 0,7133 0.71S3 0.7173

30' 40' 50'0,70710,7193

0,7092 0,7112 0,7133 0,7153 0,7173 0,7214 0,7234 0,7254 0,7274 0,7294

■}*7314 0,7333 0,7363 0,7373 0,7392 0.74120,7451 0,7470 0,7490 0,7509 0,7528 0,7566 0,7585 0,7604 0.7623 0.7642

4849

0,74310.7547

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1,0000

i lyarn c f l |

i f l á íJ t f s

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0,7071 0,7060 0,7030 0.7009 0,6988 0,6967

cos X (x em graus e minutos)

5o 678 9

10° 11 121314

16°161718 19

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25°262728 29

30°31323334

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40°41424344

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1,00000,99970,99900,99810,9969

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0,76660,74610,73330,72140,7092

* O' i r w

46° 0,7071 0,70(0 0,7080 0,700946 0,6947 0,6926 03906 0/Ä8447 0,6820 03790 0.6777 1} A 7 T." / ' if t J

48 0,6691 0,6670 0,664* o m m

49 0.6661 0,6639 0 6617 0,6494

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eot- 0,3420 0,3393 03366 0333871 0,3266 0,3228 0,8201 0317372 0,3090 0,3062 0.3036 0300778 0.2924 0,2896 0,2868 0.284074 0,2756 0,2728 0.2700 0,267275° 03588 03560 03632 0350476 03419 0,2391 0,2363 0333477 0.2250 03221 0,2193 0316478 0,2079 03051 0.2022 0,199479 0,1908 0,1880 0,1851 0,182280° 0,1736 0,1708 0,1679 0,165081 0,1664 0,1636 0,1607 0,147882 0.1392 0,1363 0.1334 0,130583 0,1219 0,1190 0,1161 0413284 0,1046 0,1016 0,0987 0,095885° 0,0872 0,0843 0,0814 0,078686 0,0698 0,0669 0,0640 0,061087 0.0623 0.0494 0,0465 0,048688 0,0349 0,0320 0,0291 0,026289 0,0175 0.0145 0,0116 0,0087

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Tabela

1,7321 1,7437 1,7556 1,7675 1,7796 1,79171,8040 1,8165 1,8291 1,8418 1,8546 136761,8807 1,8940 1,9074 1,9210 1,9347 1,94861,9626 1,9768 1,9912 2,0057 2,0204 2,03532,0503 2,0655 2,0809 2,0965 2,1123 2,12832.1445 2,1609 2,1775 2,1943 2,2113 23286 2,2460 23637 23817 2,2998 2,3183 2,3369 2,3559 2,3750 2,3945 2,4142 2,4342 2,4545 2,4751 2,4960 23172 2,5386 2,5605 2,5826 2,6051 2,6279 2,6511 2,6746 2,6985 2,7228

12,7475 2,7725 2,7980 2,8239 2,8502 237702,9042 2,9319 2,9600 2,9887 3,0178 3,04758,0777 3,1084 3,1397 3,1716 3,2041 3,23713,2709 3,3052 3,3402 3,3759 3,4124 3,44958,4874 3,5261 3,5656 3,6059 3,6470 3,68918,7321 8,7760 3,8208 3,8667 3,9136 33617

[4,0108 4,0611 4,1126 4,1653 4,2193 4,27474,3315 4,3897 4,4494 4,5107 4,5736 4,63824,7046 4,7729 4,8430 4,9152 4,9894 5,06585.1446 5,2257 5,3093 5,3955 5,4845 5,57645,6713 5,7694 5,8708 5,9758 6,0844 6,19706,3138 6,4348 6,5606 6,6912 6,8269 6,96827,1154 7,2687 7,4287 7,5958 7,7704 7,95308,1443 8,3450 8,5555 8,7769 9,0098 9,25539,5144 9,7882 10,078 10,385 10,712 11,05911,430 11,826 12,251 12,706 13,197 13,72714,301 14,924 15,605 16,350 17,169 18,07519,081 20,206 21,470 22,904 24,542 26 43228,636 31,242 34,368 38,188 42,964 49,10457,290 68,750 85,940 114,59 171,89 343 77

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1 0176 1,0235 1,0295

r0,00000,01760,03490,05240,0699

0,08750,10510,12280,14060,1584

0,17630,19440,21260,23090,2493

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04793049740,21560333903524

037110,2899030890,32810,3476

03673038720,40740,42790,44870,46990,49130,51320,53540,65810,6812 0.6048 0,6289 0,6536 0,67870,70460,73100,76810,78600,81460,8441 0.8744 0,9067 0,9380 0.9713

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0,0934 04110 04237 0,1466 04344

0,1823 030040318603370 03656

0,2742 03931 03121 0,3314

103508

03706039060,41080,43140,45220,47340,49500,51690,63920,56190,58510,60880,63300,65770,68300,7089 0,7365 0,7627 0,7907031950,8491 03796 0,9110 0.9436 0,9770

0,00870,02620,04370,06120,0737

0,09630,113904317 04496 0,1673

0485303036032170340103686

0377803962031530,33460,36410,37390,39390,41420,43480,4557

0,01160,02910,04660,06410,0816

0,09920,11690,13460452404703

0,188303065032470343203617

0,2805039940,3186033780,35740,37720,39730,41760,43830,4692

0,0145 0,0320 0,0495 0,0670 0,0846

0,1022 0,1198 0,1376 0,15640,1733

0,191403096032780346203648

0,28360,302603217034110,36070,3805 0,4006 0,4210 0,4417 0,46280,4841 0,5059 0,5280 0,5505 0,57350,5969 0,6208 0,6463 0,6703 0,6959

1,0000 1,0355 1,0724 14106 1,1604

1,19181,2349 1,2799 1,3270 1,37641,42811,48261,63991,60031,66431,7321 1,8040 1,8807 1,9626 2,0503

1,0058 1,0416 1,0786 1,1171 1,1571

1,19881,24231,28761,33511,3848

1,4370 1,4919 1,5497 1,6107 1,6753

1,7437 1,8165 1,8940 1,9768 2,0655

1,0117 1,0477 1,0850 1,1237 1,1640

1,2059134971,29541,34321,3934

1,4460 1,5013 1,5597 1,6212 1,6864

1,0176 1,0538 1,0913 1,1303 1,1708

1,21311,25721,30321,35141,4019

1,4550 1,5108 1,5697 1,6319 1,6977

1,0235 1,0599 1,0977 1,1369 1,1778

1,22031,26471,31111,35971,4106

1,4641 1,5204 1,5798 1,6426 1,7090

1,0295 1,0661 1,1041 1,1436 1,1847

1,22761,27231,31901,36801,4193

1,47331,53011,59001,65341,7205

Frações de GrausRadianos G r a u s M i n

abela Conversão de Radianos p Graus, Minutos e Segund

ou Frações de Graus

1 57° 17' 44,8" 57,2958o2 114° 35' 29,6" 114,5916°3 171° 53' 14,4" 171.8873°4 229° 10' 59,2" 229,1831°5 286° 28' 44,0" 286,4789°6 343° 46' 28,8" 343,7747°7 401° 4' 13,6" 401,0705°8 468° 21' 58,4" 458,3662°9 515° 39' 43,3" 515,6620°

10 572° 57' 28,1" 572,9578°

0,1 5° 43' 46,50,2 11° 27' 33,00.3 17° 11' 19,40,4 22° 55' 5,90.5 28° 38' 52,40.6 34° 22' 38.90,7 40° 6' 25,40.8 45° 50' 11.80.9 51° 33' 58,3

0.01 0° 34' 22,6"0.02 1° 8' 45,3"0.03 1° 43' 7,9"0.04 2° 17' 30.6"0,05 2° 51' 53,2"0,06 3° 26' 15,9"0.07 4° 0' 38,5"0.08 4° 35' 1,2"0.09 6° 9' 23,8"

0.001 0° 3' 26.30.002 0° 6' 52,50.003 0° 10' 18,80,004 0° 13' 45,10.005 0° 17' 11,30,006 0° 20' 37,60,007 0° 24' 3,90,008 0° 27' 30,10,009 0° 30' 56,4

0,0001 0° 0' 20.60,0002 0° 0' 41,30.0003 0° 1' 1,90.0004 0o 1' 22,50.0005 0° r 43,10,0006 0° m 3,80,0007 0° 2' 24,40.0008 0o r 45.00.0009 0o 3' 5,6

Conversão de Graus, Minutos e Segundos para Radianos

lâDBÍH

Graus Radianos

1° 1 0,01745332° 0,03490663° 0,05236994o 0,06981325° 0,08728656° 0,10471987° 0,12217308° 0,13962639° 0,1570796

10° 0,1745329

Minutos Radianos

1# 0,000290892' 0,000581783' 0,000872664' 0,001163555' 0,001454446' 0,00174533V 0,002036228' 0,002327119' 0,00261800

10' 0,00290888

Segundos Radianos

1" 0,00000484812" 0,00000969633" 0,00001454444" 0,00001939255" 0,00002424076" 0,00002908887" 0,00003393708" 0,00003878519" 0,0000436332

10" 0.0000484814

10

Tabela

1,0W1,2wM

Logaritmos Naturais ou NeperianosloiLX ou ln x

0,000000,096310,182320,262360,33647

0,405470,470000,530630,587790,64185

0,693150,741940,788460,832910,87547

0,91629 0,95551 0,99325 1,02962 1,06471

1,09861 1,13140 1,16315 1,19392 1,22378

1,25276 1,28093 1,30833 1,33500 1,36098

0,009950,104360,190620,27003034359

0,019800,113330,198850,277630,35066

0,029660,122220*207010,285180,35767

0,039220,131030,215110,29267036464

0,048790,139760,22314030010037156

0,058270448420,23111030748037844

0.06766045700033902031481038526

0,07696046651034686032208039204

0,086180,17395035464032930039878

0,412110,476230,536490393330,64710

0,418710,482430,542320,598840,65233

0,425270,488580348120,604320,65752

0,431780,494700,553890,609770,66269

0,438260300780,659620,615190,66783

0,444690,506820,565310,620580,67294

0,461080,512820370980,625940,67803

0,457420318790376610,631270,68310

0,463730324730382220336580,68813

0,698130,746690,79299033725037963

0,703100,751420,79751034157038377

0,708040,75612030200034587038789

0,712950,760810,806480,850150,89200

0,717840,765470,810930,854420,89609

0,722710,770110315360,858660,90016

0,727550,77473031978036289030422

0,732370,779320324180367100,90826

0,737160,78390032865037129031228

0,920280,959350,996951,033181,06815

0,924260,963171,000631,036741,07158

0,928220,966981,004301,040281,07500

0,932160,970781,007961,043801,07841

0,936090,974561,011601,047321,08181

0,940010,978331,015231,050821,08519

0343910,982081,018851,054311,08856

0,947790385821,022451,057791,09192

0,961660,989541,026041,061261,09527

1,101941,134621,166271,196951,22671

1,105261,137831,169381,199961,22964

1,108561,141031,172481,202971,23256

1,111861,144221,175571,205971,23547

1,115141,147401,178651,208961,23837

1,118411,150571,181731,211941,24127

1,121681,153731484791,214911,24415

1424931,156881,18784131788134703

1,12817146002149089132083134990

1,255621,283711,311031,337631,36354

1,268461,286471,313721,340251,36609

1,261301,289231,316411,342861,36864

1,264131,291981,319091,345471,37118

1,266951394731,321761348071,37372

1,269761,297461,324421,350671,37624

1372571,300191,327081353251,37877

1375361,302911,329721355841,38128

1378151,305631332371,35841138379

1,388791,413421,437461,460941,48387

1,391281,415851,439841,463261,48614

1393771,418281,442201,465571,48840

1,396241,420701,444561,467871,49065

1398721,423111,446921,470181,49290

1,401181,425521,449271,472471,49515

1,403641,427921,451611,474761*49739

1,406101,430311,453951,477051,49962

1,408541,432701,456291,479331,50185

1,506301,528231,549691,670701,69127

1,508511,530391,551811,572771,59331

1,510721,632561,553931,674851,59534

1,612931,534711,566041,576911,59737

1315131,536871,558141,578981,59939

1,517321,539021,660251,581041,60141

1,519611,541161,562351,583091,60342

1,521701,543301,664441,585151,60543

1,523881,545431,566531,587191,60744

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3,02043396243060

3,70624.0960

4,4817435305,47396*04966.6859

43267Ü Ü

6,11046.7531

6471963210

7,8460837119,58311039111,70512336 14*296 15300 17,462 19398213282337126,05028,789313173546338,8614234847,46552.457

7338383311930731047611346

7,7679838499,487710,48611,5881 2 3 0 7

14,15415,64317,28819,10621,1152333625,79028,50331,5003431338.475423214639351,935

83352937491031312,0611333014,73216381173931938621,97724,28$26,8432936632.786

1037811*359123541337415,3331634518,7282039722,87425.28027,9383037734,12437,71341,67948,06350307

2038722,42124,779273853036533,44836366403544545049,899

Função encial Crescente e

81,451221,41601,851636.04447.1 12088

9 I 0

íi,0 1.000004 1 140520 3 132140 3 134990,4 M918

1,0!1131*14(18

1,41140191

1M &83

90,017 244,69 66544 1808,0 4914313360

54,598148,41403,43109632981,08103422026

60340164,02445361212,03294389553

131 00241 709 491wÈmM96H l p.#»■BK

134.29365.0499237269737332,019930

66,686 181,27 492,75 1339.43641.09897.1

4 'í 1 s)frnmím

73,7002003454437148034023,910938

99,484270,43735,101998,25431,714765

109,9529837812,41220836002,916318

12131330,30897,852440,66634318034

••«3*\f f . I ■ Il

v r A

Tabela

Exponencial Decrescente e X

9 0 i0,0 130000 0,990050,1 0,90484 0395830,2 031873 0,810580,3 0,74082 0,733450,4 0,67032 0,663650,5 0,60653 0,600500,6 0,54881 0,543350,7 0,49659 0,4916403 0,44933 0,444860,9 0,40657 0,402521,0 10,36788 0,36422w 0,33287 0,3295613 0,30119 0,298201*3 0,27253 0.26982M 0,24660 0.2441414 0.22313 0,220911,6 0,20190 0499891.7 0,18268 0,1808713 0.16530 0,1636513 0,14957 0,148082,0 043534 0,1339924 0,12246 0,1212423 0,11080 0,1097023 0,10026 0,099262,4 0,09072 03898223 0.08208 0,0812723 0,07427 0,073532,7 0.06721 0,0665423 0,06081 0,0602023 0,05502 0,05448

33 0,04979 0,0492934 0,04505 0,0446083 0,04076 0,0403633 0,03688 0,036523,4 0,03337 033304

33 0.03020 0,0290033 0,02732 0,027063,7 0.02472 0,0244833 0,02237 0.0221633 032024 0,02004

4,0 0,018316 0,0166786,0 0.0*67379 0,0*609676,0 0.022478« »,0*224207.0 (1.0*01188 0,0*826109 % wH 0 0,0*33546 0,0*30364'.'iW

0,010,0

0,0*12341 0,0*4 6400

0,0*11167

2 3 4 5 6 7 8 90,98020í t Qf) 037045 0,96079 0,95123 0,94176 0,93239 0323121 0,91393u.88692 0,87810 0,86936 036071 0,85214 0,84366 0,83527f 0326960,80252 0,79453 0,78663 0,77880 0,77105 0,76888 0,75578 0,748260 »72615áfik «*• mm a* 0,71892 0.71177 0,70469 0,69768 0,69073 038386 0,677060,65705 0,65051 0,64404 0,63763 033128 0,62500 0,61878 0,612630,59452 0,58860 0,58275 0,57695 0,57121 0,56558 0,55990 0,554330,53794 0,53259 0,52729 0,52205 0,51685 0,61171 0,50662 0,501680,48675 048191 0,47711 0,47237 0,46767 0,46301 0,45841 0,453840,44043 0,43605 0,43171 0,42741 0,42316 0,41895 0,41478 0,410660,39852 0,39455 039063 0,38674 0,38289 0,87908 0,37531 0371580,36060 0,35701 0,36345 0,34904 0,34646 034301 0,33960 0,336220,32628 0,32303 0,81982 0,31664 0,31349 0,31037 0,30728 030422039523 0,29229 0,28938 0,28650 0,28365 0,28083 037804 0,275270,26714 0,26448 0,26185 0,25024 035666 035411 0.26158 0,24908034171 0,23931 0,23693 0,23457 0,23224 0,22993 0,22764 0,22537031871 031654 0,21438 0,21225 0,21014 0,20805 0,20598 0,203930,19790 0,19598 0,10308 0,10205 0,19014 0,18825 0,18637 0,184620,17907 0,17728 0,17652 0,17377 0,17204 0,17033 0,16861 0,166960,16203 0,16041 0,16882 0,15724 0,15567 0,15412 0,15259 0,151070,14661 0,14515 0,14370 0,14227 0,14086 0,13946 0,13807 0,136700,13266 0,13134 0,13003 0,12873 0,12745 0.12619 0,12493 0,123690,12003 0,11884 0.11765 0,11648 0,11533 0,11418 0,11304 0,111920,10861 0,10753 0,10646 0,10540 0.10435 0,10331 0,10228 0,101270,09827 0.09730 0,00633 0,00537 0,09442 0,09348 0,09255 0,091630,08892 0.08804 0,08716 0,08629 0.08543 0,08458 0,08874 0,082910,08046 0,07066 0,07887 0,07808 0,07730 0,07654 0,07577 0,076020,07280 0,07208 0,07136 0,07066 0,06995 0,06925 0,06866 0,067880,06687 0,06622 0,06457 0,06393 0,06329 0,06266 0,06204 0,061420,05961 0,06001 0,05843 0,06784 0,05727 0.06670 0.06613 0.055580,06393 0,05340 0,05287 0,05234 0,05182 0,05130 0,05079 0,060290,04880 0,04832 0,04783 0,04736 0,04689 0,04642 0,04696 0,04550 I0,04416 0,04372 0,04328 0,04286 0,04243 0,04200 0,04169 0.04117 I0,03996 0,03956 0,03016 0,03877 0,03839 0,03801 0,03768 0,03725 I0,03615 0,03670 0,03544 0,03508 0,03474 0,03439 0,03405 0,03371 I0,03271 0.03230 0,03206 0,03175 0,03143 0,03112 0.03081 0.03050 I0 02960 0,02030 0,02901 0,02872 0,02844 0,02816 0,02788 0,027600 02678 0,02652 0,02625 0,02599 0,02573 0,02548 0,02522 0,02497 I0.02423 0,02309 0,02375 0,02352 0.02328 0,02305 0,02282 0,02260- * & HF0 02193 0,02171 0.02140 0,02128 0,02107 0,02086 0,02065 0,02045 I0,01084 0,01964 0,01045 0,01025 0,01906 0,01887 0,01860 0,01850 1

0 014096 0.018660 0,012277 0,011109 0,010062 0.0*00963 0,0*82207 0,0*74466 IU »V * ’■ * - wn 0*56166 0,0*49016 0.0*48166 0,0*40868 0,0*36979 0,0*33460 0,0*30276 0,0*27394 Iff V Uiíli 0*20294 0,0*18363 0,0*16616 0,0*16034 0,0*13604 0,0*12309 0,0*11138 0,0a 10078 I* * Bir à* •>' ** *’<i 0*74669 0,0*67664 0,0*61125 0,0*66308 0.0*60046 0,0*46283 0,0*40973 0.0*37074 I1 1 j|W • ^li AJ27466 0,0*24852 0.0*22487 0,0*20347 0.0*18411 0,0*16669 0,0*16073 0,0*13639 IJP • * *U,0*10104 0,0491424 0,0482724 0,0474862 0,0467720 0,0*61283 0.0*66462 0,0*50176 I

Integrais Exponencial,Seno Cosseno

Si(at)« I SSEJIdu, Ci(*)wSm

COtUfou

X EÍ(x) 81 (X) Cl(jr)

0,0 0,00000,5 0,5598 0,4931 0,1778

1,0 0,2194 0,9461 - 0,3374

1,5 0,1000 1,3247 - 0,4704

*,0 0,04890 1,6054 - 0,4230

8*5 0,02491 1,7785 - 0.2859

3,0 0,01305 1,8487 -04196

3,5 0,0*6970 1,8331 0,0321

4,0 0,0*3779 1,7582 0,1410

4,5 0.0*2073 1,6541 0,1935

5,0 0,0*1148 1,5499 0.1900

5,5 0.0*6409 1,4687 0,14216,0 0,0*3601 1,4247 0.0681

6,5 0.0*2034 1,4218 -0,01117,0 0,0*1165 1,4546 - 0,0767

7,5 0.0<6583 1,5107 - 0,11568,0 0,0*3767 1,3742 -0,1224

8.5 0.0*2162 1,6296 - 0,09943

»,0 0,0*1245 1,6650 - 0,05535

9.5 0,0*7185 1,6745 0,0*267810,0 0.0*4157 1,6583 0,04546

Fatoria l, Função GamaCoeficientes Binomiais

isrO I X 89288*6 001

m O I X $9888*6 66ttfO Î X 6 8 9 3V I 86m O I X 82619*6 16•nOt X 81916*6 96ttiO l X OOgÇO‘ 1 96

•m OI X 18180* t *6» iO t X 11991*t 86m o t X m *s * t 86otiOÏ X 00*98*1 16•ci 01 X 8198**1 06

et: ? d T X 08099* 1 68m O I X 88*981 88■et o i X o u o rs 18•tto i X i m f i 98m O I X 01118*3 98

•tio i X t m n 1*8w iO l X 8 9 9 * rc 88m O I X *9691*9 88«KfO! X 81161*9 18tiiO I X 96991 ! 08

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i*t01 X t u o t tMioi x n o tt>••foi X 9 m r t(•rot X «xtorswiOl X 98161*1

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X 28S80‘9X m ttx

| x m tr iX 0809*9X 88961*1

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X 88896*1 t« ix S ft t t ‘9 88X 18199*8 { f i tX »9888*8 ÎS

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M 9 D I B U O j e d

IBZ

1,000000,994330,988840,983550,978440,973500,968740,964150,959730,955460,951350,947400,943590,939930,936420,933040,929800,926700,923730,920890,918170,9)5580,913110,910750,908520,906400,904400,902500,900720,89904

0,897470,896000,894640,893380,892220,891150,890180,889310,888540387850,887260,886760,886360.886040,885810,885660,885600,885630,885750385950.88623 0,88659 0,88704 0,88757 0,88818 0,88887 0.88964 0.890490,89142039243

Função Gama

Tabela

1 2

[Para outros valores, use a fórmula T(* + 1) * x F(#)]

0393520,894680,895920,897240,898640,900120,901670,903300,905000,90678

0,908640,910570,912580,914670 ,916830,919060.92137

Coeficientes Binomiais

800812378185642713238760

1144019448318245038877520

12870243104375875582

125970

11440243104862092378

167960293930497420817190

13075042042975312455046868256906900

1001500514307150

436861888568

1162815504

54264 116280 20349074613 170544 319770

100947 245157 490314134596 346104 735471177100 480700 1081575230230 657800 1562275296010 888030 2220075376740 1184040 3108105475020 1560780 4292145593775 2035800 5852925

2034926334336494250453130657808073098280

118755142506

Observe que cada número é luna e o outro na coluna Pascal [ver 3.6].

soma de dois número» na linha acima; um deste« números está na mesma co- [por exemplo, 56*21 ♦ 351. Este arranjo é chamado de Triângulo de

16 1 1617 1 1718 1 1819 1 1920 1 2021 1 2122 1 2223 1 2324 1 2425 1 2526 1 2627 1 2728 1 2829 1 2930 1 30

3 16 4 1

10 10 615 to 15SI 85 8628 56 7036 84 12646 120 21055 165 33066 2t0 49578 286 71591 364 1001

105 455 1365120 560 1820136 680 2380153 816 3060171 969 3876190 1140 4845210 1330 5985231 1540 7315253 1771 8855276 2024 10626300 2300 12650325 2600 14950351 2925 17550378 3276 20475406 3654 23751435 4060 27405

IS78

3841S664868

12376318247*582

167960

286100180038008

194484375892378

184756352716646646

18206188

1856450388

125970293930646646

13520782704156

56023808568

2713277520

203490497420

114406624961445200300

10400600200583003744216067863915

119769850

120680

30601162838760

116280319770817190

196125644574009657700

200583004011660077558760

145422675

16136816

38761550454264

170644490314

130750432687607726160

173838603744216077558760

155117520

7054321352078249614444574007726160

13037895214741803459729054627300

1961256326876053117358436285

13123110

96577001738386030421755518959358649322530045015

Para k > 15, use o fato que (js^ - - k j •

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0. 1,0000 0,9975 0,9900 0,9776 0.9604 0,9385 0,9120 0,8812 0.8463 0,8075

1. 0,7652 0,7196 0.6711 0,6201 0,5669 0,5118 0,4554 0,3980 0,3400 0.2818

2. [ 0,2239 0.1666 0,1104 0,0555 0,0025 - 0,0484 - 0,0968 - 0,1424 - 0,1850 -0 .2 24 3

3. -0 ,2 6 0 1 - 0,2921 -0,3202 -0 3 4 4 3 -0,36 43 -0,3801 -0 ,39 18 - 0,3992 - 0,4026 -0,4 018

4. - 0,3971 -0 .3 8 8 7 - 0,3766 ~ 0,8610 - 0,3423 -0 ,32 0 5 - 0,2961 - 0,2693 - 0,2404 -0J2097

5. - 0,1776 -0 ,1 4 4 3 -0 4 1 0 3 -0 ,0 758 - 0,0412 - 0,0068 0,0270 0,0599 0,0917 0,1220

6. 0,1506 0,1773 0.2017 0.2238 0,2433 0,2601 0.2740 0.2851 0,2931 0,2981

7. 0,3001 0.2991 0.2951 0,2882 0,2786 0,2663 0,2516 0.2346 0,2154 0.1944

8. 0 ,1717 0,1475 0,1222 0.0960 0,0692 0,0419 0,0146 -0,0125 -0,039 2 - 0,0653

9. -0 .0 9 0 3 -0 ,1 1 4 2 -0 .1 3 6 7 -0JL577 - 0,1768 -0,1939 - 0.2090 - 0.2218 -0 ,2 32 3 - 0.2403

Funções de Bessel J,(x)

Tabela

36 la

Funções de Yo(x)

0 1 2 8 ft 6 7 8

0. Sptti-1,6342 —1,0811 - 0*8073 0,6060 0,4446 • 0,8086 04907 - 0,0868 0.0066L I 0,0883 04821 0,2281 0,2866 0.3379 0*8824 0*4204 0,4610 0,4774 0,496«

a. 0,6104 0,6188 0,6208 0,6181 0,6104 0,4981 0,4818 0,4606 0.4869 0,40798. 0,8769 03481 0,8071 0*2691 0.2296 04890 04 477 0,1061 0.0646 0,02344. 0,0169 0,0661 ->0,0938 - 0,1296 0,1633 04947 ~ 0,2286 0,2494 ^ 0,2723 -0.29216. - 0,3086 • 0,8216 0,3313 0J314 - 0,3402 0,3396 0,3364 0,8282 0.8177 - 0,30446. -0.2882 -0,2694 -0,2483 - 0.2261 - 04999 0.1732 0.1462 - 0,1162 0,0864 «•0,0663

7. - 0,0269 0,0042 0,0339 0,0628 0,0907 0*1178 0,1424 0,1668 0,1872 «K20668. 0/2235 0.2381 OJ6OI 0.2696 0J668 0,8702 0,2716 0.2700 0,2669 0,25929. 0,2499 0J383 0.2246 0.2086 0,1907 0,1712 0,1602 0,1279 0.1046 0,0804

abeta

Funções de Bessel YAx)

m 0 1 2 3 4 6 6 7 8 9

0. mmmm -6,4690 -3,3238 —2*2931 -1,7809 -1*4716 —1*2604 -14032 -0,9781 - 0,87311* -0,7812 - 0,6981 0,6211 - 0,6486 - 0,4791 -0,4123 -0,3476 -0,2847 - 0.2237 -0,16442. - 04070 -0,0617 0,0016 0,0623 0,1006 0,1469 0,1884 0,2276 0.2636 0.29692. 0,3247 0,3496 0,3707 0,3879 0,4010 0,4102 0,4164 0,4167 0,4141 0,40784. 0.3979 0,8846 0,8680 0,3484 0,8260 0,3010 0,2737 0,2446 0,2136 0,18126. 0,1479 04137 0,0792 0,0446 0,0101 - 0,0238 - 0,0668 - 0,0887 -0,1192 - 0,14816. -0,1760 ~ 0.1998 - 0,2223 - 0,2422 - 0*2696 - 0,2741 - 0,2857 - 0,2946 -0,3002 -0,80297. - 0,3027 - 0,2995 - 0,2934 0,2846 - 0*2781 - 0*2691 - 0,2428 - 0,2243 - 0.2039 - 0,18178. -04681 - 0,1331 - 0,1072 - 0,0806 - 0,0636 -0,0262 0,0011 0,0280 0,0544 0.07999. 0.1043 0,1276 0,1491 0,1691 0,1871 0.2032 0.2171 0,2287 0,2379 0*2447

Funções

Funções de Bessel IAx)

Tabela

0,0000 0,0501 0,1005 0,1517 0*2040 0,2579 0,3137 04719 0,4329 0,49710.6652 0.6376 0,7147 0,7973 0,8861 0,9817 1,085 1,1 m 1*317 1,448

1,591 1,745 1,914 2,098 2,298 2,517 2,765 3,016 3301 M133,953 4,326 4,734 6,181 6,670 6.206 6,793 7,486 8,140 83139.759 10,69 11,71 12,82 14,05 15,39 1636 18,48 20,25 22,2024,34 26,68 29,25 32,08 35,18 38,59 42,33 46,44 5036 553061,34 67,32 73,89 81,10 89,03 97,74 107,3 1173 129,4 1424156,0 171,4 188,3 206,8 227,2 249,6 274,2 801.3 8314 8633399,9 439,5 483,0 531,0 683,7 641,6 705,4 775,5 852,7 93731031 1134 1247 1871 1508 1658 1824 2006 2207 2428

Funções de Bessel K0(x)

0. 00 2,4271 1,7527 1,3725 1,1145 0,9244 0,7775 0,6605 0,5653 0,4867

1. 0,4210 0,8656 0,3185 0.2782 0,2437 0,2138 0,1880 0,1655 0,1459 0,1288

2. 0,1139 0,1008 0,08927 0,07914 0,07022 0,06235 0,05540 0,04926 0,04382 0,03901

8, 0,03474 0,03095 0,02759 0,02461 0,02196 0,01960 0,01750 0,01563 0,01397 0,01248

4, 0,01116 0,0*9980 0,0*8927 0,0*7988 0,0*7149 0,0*6400 0,0*5730 0,0*5132 0,0*4597 0.0*4119

5. 0,0*3691 0,0*3308 0,0*2966 0,0*2659 0,0*2385 0,0*2139 0,0*1918 0,0*1721 0,0*1544 0,0*1386

6. 0,0*1244 0,0*1117 0,0*1003 0,0*9001 0,0*8083 0,0*7259 0,0*6520 0,0*5857 0,0*5262 0,0*4728

7. 0,0*4248 0,0*3817 0,0*3431 0,0*3084 0,0*2772 0,0*2492 0,0*2240 0,0*2014 0,0*1811 0,0*1629

8. 10,0*1465 0,0*1317 0,0*1185 0,0*1066 0,0*9588 0,0*8626 0,0*7761 0,0*6983 0,0*6283 0,0*5654

9. 10,0*5088 0,0*4579 0,0*4121 0,0*3710 0,0*3339 0,0*3006 0,0*2706 0,0*2436 0,0*2193 0,0*1975

Funções de Bessel KAx)

0.1.2.3.

5.6.7.8. 9.

0 1

9,8538 4,77600,6019 0,5098 0,43460.1399 0,1227 0,10790.04016 0,03563 0.031640,01248 0,01114 0,0*99380.0*4045 0,0*3619 0,0*32390,0*1344 0,0*1205 0,0*10810,0*4542 0,0*4078 0,0*36620,0*1554 0,0*1396 0,0*12550,0*5364 0,0*4825 0,0*4340

6 8

3,0560 2,1844 1,6564 1,3028 1,0503 0.8618 0,71650,3725 0,3208 0,2774 0,2406 0,2094 0,1826 0.15970,09498 0,08372 0,07389 0,06528 0,05774 0,05111 0,045290,02812 0,02500 0,02224 0,01979 0,01763 0,01571 0,014000,0*8872 0.0*7923 0,0*7078 0,0*6325 0,0*5654 0,0*5055 0,0*45210,0*2900 0,0*2597 0,0*2326 0,0*2083 0,0*18 66 0,0*1673 0.0*14990,0*9691 0,0*8693 0,0*7799 0.0*6998 0,0*6280 0,0*5636 0,0*50590.0*3288 0,0*2953 0,0*2653 0,0*2383 0,0*2141 0.0*1924 0,0*1729

0,0*1128 0,0*1014 0,0*9120 0,048200 0,0*7374 0,0*6631 0.0*5964

0,0*3904 0,0*3512 0.0*3160 0,0*2843 0,042559 0,0*2302 0,0*2072

Funções de Ber(%) 2 2

i) .984 4 0,07710,7517 0,4087

~*0.2214 —0,3855-2*5634 -2*8843'-'-•6,2301 -6,6107

1 -M 583 -84401I —3,6320 -2J2571

20*074 24.95773,936 80.576

0.6680

7,3344

Funções de Bessel Bei (ac)bela

2 3& 0,0000 0,0*2600 0,01000 0.02250 0,04000 0,06249 0^89H 0,1224 0JS99 0-2023

1. 0.2496 0,3017 0.3587 0.4204 0,4867 0.5576 0,6327 0,7120 0,7053 m.8821

z 0,9723 1,0654 1,1610 1,2585 1,3575 1,4572 1,5569 1,6557 1,7529 1JM72

3. 1,9376 2,0228 24016 2,1723 2,2334 2,2832 24199 2*3413 2*3454 2*3300

4* 2,2927 2,2309 2,1422 2,0236 1,8726 1,6860 1,4610 14046 03837 0.5251 I

6. 0.1160 -0,3467 -0,8658 -1,4443 -2,0845 -2,7890 -3,5597 -4,3*86 —5*3068 -6.2854

6. 1 -7,3347 -8,4545 -9,6437 -10,901 —12*223 -15,047 -16,538 -18,074 —19,644

7, —21,239 -22348 —24,456 -26,049 -27,609 -29416 -30,548 -31,882 —33,092 -34.14T |

8. -35,017 -35,667 -36.061 -36,159 -35,920 —35,298 -34*246 -32,714 -30,651 -28.003 | 43,4599. -24,713 -20.724 -15,976 -10,412 -3,9693 3,4106 11,787 21.218 31,758

3 1 0

Tabela

2 4 Funções de

0. 2,4205 1,7331 1.33721. 0,2867 0,2228 04689 0.12352.-0,04166 - 0,05111 -0,05834 - 8.-0,06703 - 0,06468 - 0,06198 -

5.6.7,8.

-0,03618 - 0,03308 - 0,03011- 0,01151 - 0,0*9865 - 0,0*8359- 0.0*6530 -0,0*1295 0,0*3191

0,0*1922 0,0*1951 0,0*19560,0*1486 0,0*1397 0,0*13060,0*6372 0,0*5681 0,0*5030

0,063670,059030,027260,0*69890,0*69910,0*19400,0*12160,0*4422

1,0626 0,8559 0,6931 0,5614 0,4529 0,36250,08513 0,05293 0,02603 0,0*3691 -0,01470 - 0,029660,06737 - 0,06969 - 0,07083 - 0,07097 - 0,07030 - 0,068940,05590 - 0,05264 - 0,04932 - 0,04597 - 0,04265 - 0,039870,02456 - 0,02200 - 0,01960 -0,01734 - 0,01525 - 0,013300.0*5749 - 0,0*4632 - 0,0*3632 - 0,0*2740 - 0,0*1952 - 0,0*12580,0*1017 0,0*1278 0,0*1488 0,0*1653 0,0*1777 0,0*18660,0*1907 0,0*1860 0,0*1800 0,0*1731 0,0*1655 0,0*15720,0*1126 0.0*1037 0,0*9511 0,0*8675 0,0*7871 0,0*71020,0*3855 0,0*3330 0,0*2846 0,0*2402 0,0*1996 0,0*1628

Tabela

2 5 Funções de Bessel Kei (x)

9 0 1 2 3

0*Í- 0,7854 - 0,7769 - 0,7581 - 0,7331

1. - 0.4950 - 0,4601 - 0,4262 - 0,39832. 0,2024 0,1812 - 0,1614 - 0,1431S. IL 0,05112 - 0,04240 - 0,03458 - 0,027624,1 0,0*2198 0,0*4386 0,0*6194 0,0*76615J 0,01119 0,01105 0,01082 0.010616. 0.0*7216 0,0*6696 0,0*6183 0,0*56817. 0.0*2700 0,0*2366 0,0*2057 0,0*17708. 0,0*3696 0,0*2440 0,0*1339 0,0*38099.1- 0,0*3192 0,0*3368 0,0*3486 - 0,0*3652

- 0,7038 0,3617 0,1262 0,02145 0,0*8826 0,01014 0,0*5194 0,0*15070,0*4449

5 6 7 8 9

- 0,6716 - 0,6374 - 0,6022 - 0,5664 - 0,5305- 0,3314 - 0,3026 - 0,2752 - 0,2494 - 0.2251-0,1107 - 0,09644 - 0,08342 - 0,07157 - 0,06083-0,01600 - 0,01123 - 0,0*7077 - 0,0*3487 - 0,0*4108

0,0*9721 0,01038 0,01083 0,01110 0,011210,0*9716 0,0*9255 0,0*8766 0,0*8258 0,0*77390,0*4724 0,0*4274 0,0*3846 0,0*3440 0,0*30580,0*1267 0,0*1048 0.0*8498 0,0*6714 0,0*5117

-0,0*1149 0,0*1742 0,0*2233 - 0,0*2632 - 0.0*29490,033574 0,0*3557 0,0*3508 - 0,0*3430 0,0*3329 - 0,0*3210

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1 HIÉÉjgg

|L ■ l&ll * 1 1»■sítB HWL 1

V*sÉ

íÈK_ J 1—— —ü*

Calores Aproximados de Zeros de Funções de

Tabela

2 6A seguinte tabela apresenta as primeiras seis raízes positivas de vária- equaçõ**«. Observe que em todo* os casos listados as raizes sucessivas diferem, aproximadamente, por t = $ 4 4 1 5 9 ... .

2,4048 3,8317 5,1356 6,3802 7,5883 8,7715 9,9361

5,5201 7,0156 8,4172 9,7610 11,0647 12.3388 13,5893

8,6537 104735 11,6198 13,0152 14,3725 15,7002 17,0038

11,7915 13,3237 14,7960 16,2235 17,6160 18,9801 20,3208

14,9309 16,4706 17,9598 19,4094 20,8269 22,2178 23.5861

18,0711 19,6159 21,1170 22,5827 24,0190 25,4303 26.8202

0,8936 2,1971 3,3842 4.5270 5,6452 6,7472 7,8377

3,9577 5,4297 6,7938 8.0976 9,3616 10,5972 11,8110

7,0861 8,5960 10,0235 11.3965 12,7301 14,0338 15,3136

10,2223 11,7492 13,2100 14.6231 15^996 17,3471 18,6707

133611 143974 16,3790 17.8185 19,2244 20,6029 21,9583

16,5009 18,0434 19,5390 20.9973 22,4248 233265 25.2062

0,0000 1,8412 3,0542 4,2012 5,3176 6,4156 7,5013

3,8317 5,3314 6,7061 8,0152 9,2824 10,5199 11,7349

7,0156 8,5363 9,9695 11,3459 12,6819 13,9872 153682

10,1735 11,7060 13,1704 14,5859 15.9641 17,3128 18,6374

13,3237 14,8636 16,3475 17,7888 194960 20,5755 21,9317

16,4706 18,0155 19,5129 20,9725 22,4010 233036 25,1839

24971 3,6830 5,0026 6,2536 7,4649 8,6496 9.8148

5,4297 6,9415 8,3507 9,6988 11,0052 123809 13,5328

8,5960 10,1234 11,5742 12,9724 143317 15,6608 163655

11,7492 13,2858 14,7609 16,1905 17,5844 18,9497 203913

14,8974 16,4401 17,9313 19,3824 20,8011 22,1928 233619

18,0434 19,5902 21,0929 22.5598 23,9970 25,4091 26,7995

ômios de Legendre P(x)

0000 0 j o « tro 0000 0 0009*0 ' 0000*0 ©06LM'd t m o I6 * r o - 988**0 - 22,80*0 ©98

1 01*20 • m o n w ro - tw * o - m i * o *08I UftQ m r o « r t r o - 9668*0 - 8892*0 o9L! w z ro 8*00'0 O ltfO - 9»zro oz*e‘o *QL1 fftT O .m r o - * m ‘o - m r o - 92Z*‘0 ©991 u * r o - f tg f ‘0 ~ 0921*0 - 0009*0 1 ©09

MWli - i m « - 9888*0 - 9900*0 98/*9*0 «991 fW T O " • o r o - zo o ro - 86110 82*9*0 o09I Lm<n j 890t*0 “ m r o - 0092*0 u o ro I o9*1 z 4 rro ~ o « ir o - 3920*0 ” 2088‘0 099Z,*0 ©0*I U 9 f*0 ~ ] m r o - m r o 9909*0 26180 o9€

m r o ~ m e o m r o 0929*0 0908*0 ooe*oooo m r o 9109*0 XZÎLH e906*0 o92•U T # OStf'O ewro § W fj 1 6 8 0 I oOZU *T 0 i t i r o ztoro 9668*0 6996*0 I •91o m o m r o #016*0 8*96*0 8*86*0 J oOlm e « ezstfo ÎUA 0 9886*0 2966*0 o9

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0 p SOjLUOUI|Orleieqex

Integrais Elípticas Completasde 1 e 2a Espécies

Tabela

29Hm f

*9

ri Ah /*•/* ________ _, f. - V T T O i 4#, fc -»«»#

* K E

60° 2,1666 1,211161 2,1842 1,2016

62 2*2132 1,1920

63 2+2436 1,1826

64 2,2754 1,1732

66 2,3088 1,1638

66 2*3439 1,1545

67 2,3809 1,1453

68 2,4198 1,1362

69 2,4610 1,1272

70 2,6046 1,1184

71 2,5607 1,1096

78 2,5998 1,1011

73 2,6621 1,0927

74 2,7081 1,0844

76 t,7681 1,0764

76 2,8327 1,0686

77 2,9026 1,0611

78 2,9786 1,0638

7» 3,0617 1,0468

80 8,1634 1,0401

81 8,2553 1,0338

82 8,3699 1,0278

88 3,5004 1.0223

84 8,6619 1,0172

86 | 34317 1,0127

86 4,0528 1,0086

87 4,3387 1,0063

88 4,7427 1,0026

89 6,4349 1.0008

90 4$ iSSj 1,0000

(</' HU

ap9ds3 a eps e j a I d ui oo u I seoudiB siej6e;ui BieqBi

*191*1 Ít0Í*l in flHOI 0110*1 9818*1HWl 69«9'l minoiin *108*1 6t9S*t 98t8*11010*1 **0O*t Dt «6*0 hm\\)11891*0 *09i*0 v89t*o 98H*08iH*o *8W*0 <i8N*0 88H'0m t® IIHtf‘0 ««««'0 9NR*0>9ito mi*o lufo 8941*00000*0 0000*0 0000*0 0000*0

»06 •0* »0 L •09

9986't mwx 8989*1 0089* 10999* t 1699*t 9*8**t m * * i890**1 s m 'i 8988*1 96*«‘tÍ*91*t 9881*t 9680*1 0990* 1t0*6*0 61.16*0 8868*0 8*88*08881*0 8181*0 9tU*0 8*01*0

*889*0 1689*0 8989*0tíftfítiH) 0898*0 8098*0 66*8*01911*0 eti.ro iu t*o 9*11*00000*0 0000*0 0000*0 0000*0

321■H MhH UM m IMP * w*» »• -

ntegrais tupticas Incompletas Tabela

31♦

0.00000474604491

04?4 30,5473

14217U N ) 1*3870

ÍJI4I 10214597 1*3161

0 0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0474a 0,1740 0,1799 0,1788 0,1787 04786

0446* 0,1410 0,3438 0,8429 04422 04420

M l 41 0,6100 0,5061 0,6029 0,6007 0,6000

M ?69 0J667 0,6676 0,6497 0,6446 0,6428

03117 041*4 0,7964 0,7801 0,7697 0,7660

04*01 0.949S 0,9184 04914 0,8728 0,8660

u m 1.0760 1,0266 0,9830 0,9614 0,9897

1,2590 14926 1,1225 1,0666 1,0064 0,9848

LS93I 1,3055 U1U 1,1184 1,0401 1,0000

Montante CompostoA - P(I ♦ r f

Se um capital P t aplicado a uma taxa de juros r (em decimai») com poití» [íeriodicarafínte, enta o no final (k n dente» período» o montante acumulado A • P(l -f r/\ A tabela a seguir apresenta o» valorei de (1 + r) „

1,12361,19101,2625143821,41851,50361,59381,68951,79081,89832,01222,13292^6092.39682,54042,69282,85433,02563,2071

3,6035331974,04894,29194.54944,82235,11175,41845,7435

r 1% 1J%

1 1,0100 1,01252 1,0201 1,02523 1,0303 1,03804 1,0406 1,05095 1,0510 1,06416 1,0615 1,07747 1,0721 1,09098 1,0829 1,10459 1,0937 1,1183

10 1,1046 1,1323

11 1,1157 1,146412 1,1268 1,160813 1,1381 1,176314 1,1495 1,190015 1,1610 1,204816 1,1726 1,219917 1,1843 1,235118 1,1961 1,250619 1,2081 1,266220 1,2202 1,2820

21 1,2324 1,298122 1,2447 1,314323 1,2572 1,330724 1,2697 1,347425 1,2824 1,364226 1,2063 1,381227 1,3082 1,398528 1,3213 1,416029 1,3345 1,433730 1,3478 1,4516

|Mh 2% 2|%

1,0150 1,0200 1,02501,0302 1,0404 1,05061,0457 1,0612 1,07691,0614 1,0824 1,10381,0773 1,1041 1,13141,0934 1,1262 1,15971,1098 1,1487 1,18871,1265 1,1717 1,21841,1434 1,1951 1,24891,1605 1,2190 1,2801

1,1779 1,2434 1,31211,1956 1,2682 1,34491,2136 1,2936 1,37851,2318 1,3195 1,41301,2502 1,3459 1,44831,2690 1,3728 1,48451,2880 1,4002 1,52161,3073 1,4282 1,55971,3270 1,4568 1,59871,3469 1,4859 1,6386

1,3671 1,5157 1,67961,3876 1,5460 1,72161,4084 1,5769 1,76461,4295 1,6084 1,80871,4509 1,6406 1,85391,4727 1,6734 1.90031,4948 1,7069 1,94781,5172 1,7410 1,99651,5400 1,7758 2,04641,5631 1,8114 2,0976

3% 4 % 5 %

1,0300 1,0400 1,05001,0609 1,0816 1,10251,0927 1,1249 1,15761,1255 1,1699 1,21551,1593 1,2187 1,27631,1941 1,2653 1,34011,2299 1,3159 1,40711,2668 1,3688 1,47751,3048 1,4233 1,55131,3439 1,4802 1,6289

1,3842 1,5395 1,71031,4258 1,6010 1,79591,4685 1,6651 1,88561,5126 1,7317 1,97991,5580 1,8009 2,07891,6047 1,8730 248291,6528 1,9479 2,29201,7024 2,0258 2,40661,7535 2,1068 2,52701,8061 2,1911 2,6533

1,8603 2,2788 2,78601,9161 2,3699 2,92531,9736 2,4647 3,07152,0328 2,5633 3,22512,0938 2,6658 3,38642,1566 2,7725 3,55572,2213 23834 3,73352,2879 2,9987 3,92012,3566 3,1187 4,11612,4273 8,2434 4,3219

<10*1« 9

i j i l l I f 1,4898 1,58651,1749 1,4881 1 J 1 0 I14887 1,5067 ■ 1,63451,40M 1*8868 1,65901.4166 1,1446 1,68391,4306 1,5839 1,70911,4451 1,5886 1,73481,4696 1,6083 1,76081,4741 1,6238 1,78721,4889 1,6436 131 *0

1,5038 1,6642 1,84121,5188 1,6850 1,86881,6840 1,7060 1,89691.5493 1,7274 1,92531,6648 1,7489 1,96421,6806 1,7708 1,98351,5903 1,7920 2,01331,6122 1,8164 2,04331,6283 1,8380 2,07411,6446 1,8610 2,1062

2.3153 2,7319Î’,9909 2^722 2,81392,0399 2,4325 2,89832,0807 2,4933 2,98522,1223 2,5557 3,07481,1647 2,6196 3,16702,2080 2,6861 3,2620

2,2522 2,7522 3,35999.9972 2,8210 3,46072,3432 2,8915 3,56452,3901 2,9638 3,67152,4379 3,0379 3,78162,4866 3,1139 3,89502,5363 3,1917 4,01192.5871 3,2715 4,1323

3,6484 5.0032 6.84063,7943 5,2533 7,2510 j3.94S1 5,5160 7,6861 I4,1039 5,7918 8,1473 I4,2681 6,0814 8,63614.4388 6,3855 9,15434,6164 6,7048 9,70354,8010 7,0400 10,2857

10.9029 I 11,5570 12,2505 12.9855 13,7646 14,5905 15,4659 16,3939 17*3775 18,4202

1% ■ /

6,4534 I

2,68882,6916

3,3583 8,4371

4,25624,3839

4,9931549285,40055,0165534126,07486,31786,57050,83337*1067

1*39107,76168,14978,55728,98509,43439,0060

10,401310*921311,4674

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Montante de uma AnuidadeiébbWIIImv

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31,969234,248036,617939,082641,645944,311747,084249,967652,966356,084959,328362,701566,209569,857973,652277,598381,702285,970390,409195,025599,8265

104,8196110,0124115,4129121,0294126,8706132,9454139,2632145,8337152,6671

35,719338,505241,430544,502047,727151,113554,669158,402662,322766,438870,760875,298880,063885,067090,320395,8363

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39,992743,392346,995850,815654,864559,156463,705868,528173,639879,058284,801790,889897,3432

104,1838111,4348119,1209127,2681135,9042145,0585154,7620165,0477175,9505187,5076199,7580212,7435226,5081241,0986256,5645272,9584290,3359

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35 Presente de uma Anuidade

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0,9616 0,9624 0,943414661 14594 143342,7761 2,7232 2,67303,6299 34460 3,46614,4618 44296 4412464421 64767 4417364021 6,7864 648246,7327 6,4632 6,20987,4363 74078 640178,1109 7,7217 7,36018,7606 8,3064 748690,3851 83633 8483894666 9,3936 84627

10,6681 ô,8986 9,296011,1184 10,3797 9,712211,6623 10,8378 10406912,1667 114741 10,477312,6693 11,6896 10427613,1339 124863 11,168113*5903 12,4622 11,4699

12,821213,163013,488613,798614,093914,375214,643014,898115,141115,3725

15,592815,802716,002516,192916,374216,546916,711316,867917,017017,159117,294417,423217,545917,662817,774117,880117,981018,077218,168718^559

14,029214,451114,856815,247015,622115,982816,329616,663116,983717,2920

17,588517,873618,147618,411218,664618,908319,142619,367919,584519,7928

19,993120,185620,370820,548820,720020,884721,042921,195121,341521,4822

16,184516,765417,332117,885018,424418,950619,464019,964920,453520,9303

21,395421,849222^91922,723823,145223,556323,957324,348624,730325,102825,466125,820626,166426,503826,833027,154227,467527,773228,071428,3623

21 18,8570 18,3697 17,9001 17,011222 19,6604 19,1306 18,6208 17,658023 20,4558 19,8820 19,3309 18,292224 21,2434 20,6242 20,0304 18,913925 22,0232 21,3573 20,7196 19,523526 22,7952 22,0813 21,3986 20,121027 23,5596 22,7963 22,0676 20,706928 24,3164 23,5025 22,7267 21,281329 25,0658 24,2000 23,3761 21,844430 25,8077 24,8889 24,0158 22,3965

31 1 26,5423 25,5693 24,6461 22,937732 27,2696 26,2413 25,2671 23,468333 27,9897 26,9050 25,8790 23,988634 28,7027 27,5605 26,4817 24,498635 29,4086 28,2079 27,0756 24,998636 30,1075 283473 27,6607 25,488837 30,7995 29,4788 28,2371 25,9695

I 38 31,4847 30,1025 28,8051 26,440639 32,1630 30,7185 29,3646 26,902640 32,8347 31,3269 29,9158 27,3555

1 41 33,4997 31,9278 30,4590 27,7995

42 34,1581 32,5213 30,9941 28,2348

1 43 34,8100 33,1075 31,5212 28,6616

1 44 35,4555 33,6864 32,0406 29,080045 36,0945 34,2582 32,5523 29,4902

I 46 36,7272 34,8229 33,0565 29,8923

I 47 37,3537 35,3806 33,5532 30,2866

I 48 37,9740 35,9315 34,0426 30,6731

49 38,5881 36,4755 34,5247 31,052150 39,1961 37,0129 34,9997 31,4236

Probabilidade e Estatística

335

Área sob a Curva Normal PadrãoTabela

36«I« tit) lg

if It

0,84380,86660,88090,9049».»207

0,84010,86860,88880,90660,9222

0.8508 0,8729 0,89260.90090,9261

0.86990,88100.89970,91620,9306

0,93940,96060,96990,90780.9744

0,94060,96160,96080,96860.9760

0,97780,98200,98640,98960,9920

0,97830,98300,98080,98980.9922

0,97880,98.140,98710,99010,9926

0,99400,00660,99600JÍO750,9982

0,99490,99620,99720,99790.9986

0.99870,99900,99980,99960,9097

(».99890,99920,99960,99900.9997

0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000

0.999M 0.9999 0,9090 0,9099 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,69600.72010.761t0,70100,8186

0,60160,72680,76800,78810,8160

0,70640,73890,77040,79900,8204

0,71230,74640,77640,80610,8316

0.69880,73240,70420,79300J212

0,70100,73670,76730,70670J238

0,70880,74220,77340,80230,8280

0,71670,74800,77940,80780,8340

I vt»t

0,71000,76180,78230,81000,8366

0,72240,76400,78620,81330,8380

0*39820*39390,38570.3739ÜJ5S9

0*39890*39700*39100*38140,3683

0.3372041660.29430.2709ÖJ246S

0*35030*33120*31010,2874ÖJ2637

0*34850.32920*30790.28500.2613

0.35210*33320,31230,28970,2661

0*24200*21790*19420,17140,1497

0*23960,21550*19190,16910.1476

0,08480.07070,0584

8 9

0.3977 0.39730.3925 0.39180*3836 0J8250*3712 ojm i0.3555 0.3538

0*04490.03630.02900.02290.0180

0.0139 0.0107 0.0081 0,0061 0,0046 1

0,05080,04130.03320,02640,0208

0,01630,01260,00960,00730,0055

0.0040 0 0030 0,0022 0,0016 0,00110.00080,00050,00040,00030.0002

0,04980,04040,03250,02580,0203

0.01580.01220,00930,00710,0053

0,00390,00290,00210,00150,0011

0,0008 0,0005 0.0004 0,0003 0,0002

0,04880,03960,03170.02520,0198

0*01540,01190.00910,00690,0051

0.00380.00280,00200,00150.00100,0007 0,0005 0,0004 0,0002 0,0002

0,0037 0.0027 0 .0020 0,0014 0,0010

0,00360,00260,00190.00140.0010

0.00350.00250.00180.00130,0009

0,00340,00250.00180.00130.0009

0,00070,00050,00030,00020,0002

0.00070.00050,00030,00020.0002

0.00070.00050,00030,00020.0001

0.00060.00040.00030.00020,0001

0.05400,04400,03550,02830.0224

0.05290,04810,03470,02770.0219

0.06100,04220,03390,02700,0213

0,0175 0.0136 0.0104 0.0079 0 .0060

0.0171 0,0132 0,0101 0,0077 0.0058

0,01670,01290,00990,00750,0056

0,0044 0.0033 0,00240.00170,0012

0.00430,00320,00230,00170,0012

0 0042 0.0031 0.0022 0,0016 0,0012

o,00090.00060,00040,00030,0002

0,00080,00060,00040,000311.0002

0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002

0,04780*03870,03100.02460,0194

0*0151 0,0116 0,0088 0,0067 0.0050

0.04680,03790,03030,02410,0189

0,01470,01130,00860,00650.0048

0,04590,03710.02970.02350,0184

0,01430.01100,00840,00630.0047

1 ms «•J» V m t»J9 V » W jm %.S5

1 6336 3132 12,71 631 3.06 1376 1,000 0.7*7 0.3*5 04582 9 j n 636 430 232 139 1361 0316 0.617 0.289 0442S SM 0 4 348 23$ 1*64 0378 0,765 0.584 Ô Í7T 04374 430 3,75 2,78 243 1,53 0341 0.741 0369 0371 0434

5 433 U 6 237 232 1,48 0320 0.727 0.559 0.267 04326 x n 344 2.45 1.94 1,44 0306 0.718 0.553 0.265 0.1317 S.. 50 3,00 236 1.90 1.42 0.896 0.711 0.549 0.263 04308 3,3€ 230 231 136 1,40 0.889 0,706 0.546 0.262 04309 3 JS 182 236 1.83 1,38 0383 0,703 0.543 0.261 0.129

10 347 2,76 2^3 131 UN 0.879 0.700 0.542 0.260 0JL2911 341 2,72 2.20 130 1.36 0,876 0.697 0.540 0*260 042912 336 238 248 1,78 1*36 0373 0,695 0.539 0.259 0.12813 331 235 246 1,77 135 0,870 0,694 0.538 0.259 042814 z s s 2.62 244 1,76 1.34 0368 0,692 0,537 0358 0.128

15 235 2.60 243 1,75 1.34 0,866 0.691 0,536 0358 0.12816 232 238 242 1.75 1,34 0.865 0,690 0.535 0,258 042817 230 2^7 241 1*74 133 0363 0.689 0,534 0.257 042818 238 2.55 2,10 1,73 133 ".362 0,688 0.534 0.257 0.12719 236 2M 239 1,73 1,33 0,861 0,688 0,533 0.257 0.127

20 2*84 233 239 1,72 132 0.860 0,687 0,533 0357 0.12721 233 232 2,08 1,72 132 0.859 0,686 0.532 0*25? 0.12722 232 231 2,07 1,72 1,32 0,858 0.686 0,532 0.256 0.12723 231 230 237 1*71 1,32 0.858 0,685 0.532 0.256 0,12724 230 2,49 2,06 1*71 1,32 0,857 0,685 0,531 0.256 0.127

25 2,79 2.48 2,06 1*71 1,32 0,856 0,684 0.531 0.256 0.12726 2,78 2,48 2,06 1*71 1,32 0.856 0,684 0.531 0.256 0.12727 2,77 2,47 2,05 1*70 1,31 0.855 0,684 0.531 0.256 042728 2,76 2,47 2,05 1,70 131 0.855 0.683 0.530 0.256 0,12729 2,76 2,46 2,04 1,70 1,31 0,854 0.683 0,530 0.256 0.127

2,75 2,46 2,04 1*70 131 0.854 0,683 0,530 0,256 0,1272,70 2,42 2,02 1,68 1,30 0,851 0,681 0,529 0,255 0,1262,66 239 2,00 1,67 1,30 0348 0,679 0,527 0,254 0.1262,62 4% am 236 1,98 1,66 1,29 0,845 0,677 0,526 0.254 0,1262.58 2,33 1,06 1,645 1,28 0,842 0,674 0,524 0.253 - ■ --

0.126

n T Õ iiv er . 1 Boyd'ud .. M m b ‘ ’ A* ™ u U u ra i a n d M e d ic a l R e te a r c h (6* W U ). Tabela’ p t n n i8aao dos au to res e e d ita re s .

Valores Percentis x p da Distribuição %2 (Qui-Quadrado)

com n gratis d«* liberdade (área iombrcada * pj

7^8 6,63 5,02 3,84 2,7110,6 9,21 7,38 6,99 4,6112,8 11,3 9,35 7,81 63614,9 133 11,1 9,49 7,78

16,7 16,1 123 11,1 93418,5 163 14,4 12,6 10320,a 18,5 16,0 14,1 12,022,0 20,1 173 16,5 13,423,6 21,7 19,0 163 14,7

253 233 20,5 183 16,026,8 24,7 21,9 19,7 17328,3 263 23,3 21,0 18,620,8 27,7 24,7 22,4 19,831,B 29,1 26,1 23,7 21,1

32,8 30,6 27,6 25,0 223343 32,0 283 26,3 23,585,7 33,4 30,2 27,6 24,837,2 343 313 28,9 26,038,6 363 32,9 30,1 27,2

40,0 37,6 34,2 31,4 28,441,4 38,9 36,6 32,7 29,6423 40,3 863 333 30344,2 41,6 38,1 36,2 32 345,6 433 39,4 36,4 833

46,9 44,3 40,6 87,7 34,4483 46,6 41,9 38,9 36,640,6 47,0 433 40,1 86,761,0 483 44,6 413 87362,3 49,6 46,7 423 39,1

63,7 603 47,0 433 403663 63,7 693 663 6137»t6 76,2 71,4 673 63392,0 88,4 833 79,1 74,4

1043 100,4 96,0 90,ô 86,61163 1123 106,6 1013 963128,3 124,1 118,1 113,1 107,61403 1353 129,6 1243 118,6

1,322,774,116,39

77388.1m s

109,1

0,4551,392,378,36

0,1020,575

1,211,92

0,01580,2110,584

1,06

0,0039 0,0010 0,0002 0.00000,103 0,0500 0,0201 0,01000,352 0J16 0,115 0,0720,711 0,484 0,297 0.207

03311,241.69 2,182.70

0,5540,872

1*241,652,09

0,4120,6760,939

1,341,73

F a n f C a f K r r i i t # M I h ib t* t j f ,«*«** o f ths KÀ distribution lUi,meirik»t V „ i 12 ( pmrmumê* 4mMU(4« r « i 4 i l i#r.

K j | l 1

Valores do 95 Percentil da Distribuição F 4 0

H| ■ graus de liberdade do numerador l i , * graus de liberdade do denominador

(área sombreada - 0,95)

161,4 199,S 215,7 224,6 290,2 234,0 288,9 243,8 246,3 248,0 250,1 251,1 252*2 263,0 264.318,51 19,00 19,16 19,25 18.30 18,33 18,37 18.41 18,43 18,46 18,46 18.46 18.47 18.48 19.6010,13 8,55 8,28 8,12 8,01 8,94 8,85 8,74 8,68 8.66 8.62 8,60 8.68 8.56 8.53

5,84 M 0 5,76 6,71 6,70 6,6« 6,83

C COChr*n' S ,a iU “ C al M e ,h o ,U (6‘ ^ l967>- •— State Univeraity Press, Ames lo » . ,ob permiMâo du» autores e editor. 7 1 ,Wb* ,ow». »ob

340

Tabela

41Valores do 99 Percentil

da Distribuição Fji, * gruiiN (1(* lílu n i la i lr ii<i n u»it* ri»ilo i

*4 * (prmi» tlt* U b e rd a d e «lo iln io in iim u o r

(árca lombifiAuiP 0,’W)

I V 1 2 8 12 16 20 30 40 50 100

405298,4934.1221,2016,26

499999,0130,8118,0013*27

6 13,74 10,927 1235 9,558 1136 8,659 1036 8.02

10 10.04 7.56

11 9,06 73012 933 633

i 1 39,07 6,70

14 8.86 6311 5 8.68 6.36

16 8.53 63317 8.40 6,1118 838 6,0119 8,18 5,9320 8,10 535

22 734 5,7224 732 5,6126 7,72 5,5328 7,64 5,4530 7,56 5,39

540399,1729,461 6 , 6 9

12,06

9,788,457,596,996,55

99,2528,7115,9811,39

9,167,857,016,425,99

576499,3028,2415,5210,97

8.767,466.63 6,065.64

6,326,064,864 . 6 9

4,56

586999,3327,4115,2110,67

8,993,908,823,768,70

5,185,064,984,924.88

3333,723,658,603,56

3 , B I

3,413,843,298,25

6,906.816,766,706,64

8,988,913,883,833,78

3,203,148,113.063,02

3,763,673,593,533,47

3,293,183,123,078,04

2.90 2,922.90 2,85 2,80

598199,3627,4914,8010,27

8,106,846,035,476,06

610699,4227,0514,379,89

4,404,163,963,803,67

616999,4428,6314,159,68

7.52 6,27 5,48 4,924.52

4,218,988,783,623 , 4 8

620899,4526,6914,029,56

4,103363 , 6 7

3313,36

625899,4726,5013,83

7,236,985,204,644.25

6 2 8 6

99,4826,4113,749.29

3363,613,423363,12

630299,4826,3513,699,24

7,095355.06 4,51 4,12

3,803,563,373,213.07

99,4926331M79,13

3,703,463373,112,97

99,5026,1 S13,469,02

3,603,363,163,002.87

3.89 3,55 337 3,25 3,10 3,01 2,96 236 2,758,79 3,45 3,27 3,16 3,00 2,92 2,86 2.76 2,653,71 337 3,19 3,07 2,91 2,83 2,78 2,68 2373,63 3,80 3,12 3,00 234 2,76 2,70 2,60 2,493,56 3,23 3,05 2,94 2,77 2,69 2,63 233

■ • -* • • v AM wmmm

2,42

3,45 3,12 2,94 233 2,67 238 2,53 2,42 2313,36 3,03 235 2,74 238 2,49 2,44 2,33 2313,20 2,96 2,77 2,66 2,60 2,41 2,36 2,25 2,133,23 2,90 2.71 2,60 2,44 2.35 2,30 2,18 2,068,17 2,84 2,66 2,55 2,38 2.29 2,24 2,13 2,01

2,99 2,66 2,49 2,37 230 2,11 2,05 1,94 1,812,88 2,56 2,39 236 2,10 2,00 1,94 1,82 1,682,82 2,50 2,32 230 2,03 1,93 1,87 1,74 1,602,77 2,45 2,28 2.15 1,98 1,88 1,82 1,69 1,532,74 2,41 234 2,11 1,94 1,84 1,78 1.65 1,49

2,69 2,36 2,10 2,06 1,89 1,79 1,73 1,50 1,432,62 2,30 2,12 2,00 1,83 1,72 1,66 1,51 1,332,60 2.28 2,09 1,97 1,79 1,60 1,62 1,48 1.282,55 2,23 2,04 1,92 1,74 1,64 1,57 1,42 1,192,51 2,18 1,99 1,87 1,69 1,59 1,52 1,36 1.00

f a l t o : G w S m - r W o r * W . C . C o r J i r a f t , Statittiral MíhIuhU ( 6 * f c d i ç l o , 1 9 6 7 ) , Iuwa S t a t e U i . i v c n . i f y I V . - « , A m i ü , l u w a , « o l ip w i i m i o ( i o i mutmm r n h t o r .

Números Aleatórios

61778 74840 42881 2904414088 88491 88687 0868845939 80178 62078 2642480686 02188 76797 4640608686 79368 81988 82822

64987 08866 96888 8079016680 64769 81188 9862709448 68801 67688 80277SI 681 91167 77881 6071091007 17480 29414 06829

60688 26498 96868 4248707186 40876 79971 6419687989 84728 10744 0889686184 78949 86801 4626864898 21164 97810 86764

66644 84871 09691 0788908863 66962 86762 6428639817 67908 48286 1606762267 04077 79443 9620368298 90276 62646 21944

........

^rngrntmmim"mmÊmÊmÊÊÊimm9imitÊHtHÊtÊHllttÊm00Êt9mmmtÊltKÊlÊfltKÊKiÊttÊÊKÊÊiMÊm0ÊtKÊÊmÊHÊmKttÊIIHnKÊKt9ttmÊÊKttmimÊm

48681 62898 98688 04186 19640 87061

21960 21887 76106 10868 97468 90681

11646 66870 66974 87428 98607 94271

81041 86707 12978 17169 88116 42187

96799 86669 86081 60884 14070 74960

66804 66169 00746 66268 11822 16804

68686 41889 26489 88086 24084 67288

94688 86418 68829 06668 41982 49169

68290 16886 48668 71690 16169 14676

87848 28196 87279 47162 86688 47280

78647 76662 60020 24819 62984 76168

86708 61817 86732 72484 94923 76936

66248 90986 28868 99431 60996 20607

00477 26284 09908 86674 72139 70186

32869 11786 66261 69009 88714 88723

68892 92843 72828 91341 84821 63886

89238 18776 84303 99247 46149 03229

81812 16816 63700 86916 19219 4694302479 80763 92486 64088 23681 0682616630 03878 07616 96716 02626 83687

índice de símbolose notaçoes especiais

«rjgtiàr mmtrt r m%\*v!W* r»prrwu« junUi rtuw n» pagpia* »»** ”i ■ n .'i m . 0« t**m ifc *imUvU* mm »® A» um tfevrrt« R.* vlurot |n»lt» rtiwtesta

S im b o io sÍ ht^ cK ÍM j(x ) KwnçiV» B «r # fM « 185

i ( f l i , a ) F tts ç lt b#Ui) I l t l

fi, Numero dc Hcrooulti, 167-168

Q i ) Integral c«s*et*o dt» rrw nrtl, 231

Cl(4t) I s t c f n l wxwgso» 2 3 ?D.MI Desvio iiu<tttml, 150-351

e,» r ,, e s V H o m unitários em rtH m lrnuI«« curvilíneas, 14£*15â

E • £ ( à , | f3) I.íii^r^I eliptiea eiMU|deta »1* 2* 2 2 ^ , 2 3 1 -2 3 2fe" • E(fc, ^ Im ffr e l eBfvtica »Ir J* r í j ^ i f , 2 2 9 , 231 231

Eifü) Iniffrtl rxiHMwnfiil, 236-237

E N iim rn »Ir Euler, 167-168

erf| i ) F unçio «rn>, 236*23?t t í r i x ) F u n çio erro fomplpnifiitir, 236-237

K \X ) Média ou esperança «la variável aleatória V, 255*2Sft

/ ( * , , x ,, . . . . i , ) Fórmula tio quociente d ed iferro ça i, 2 6 1 , 263 265

F \a ) t f|a ! Função dutribuiçAo acum ulada. 2 S 7 4 S 8

f \m % h i c \ i ) F un çio h ip r ip o n ftr tr a , 207 -208F • #1(lr, $ } Integral elíptica incompleta d f 1* 2 2 ^ , 2 31 -23 2

3 „ 7 Transform ada de Fourier e tranâforroada inversa* 225*,226h ; , k t% k i Fatores de e*cala rm coordenadas curvüineas, 149-150

I i J x) Polinómio de llerm ite, 19$ i 9^Funções de llankel de 1* e 2* e*|*ecies, HU IBI

t j . k Vetorea unitáriu« em coordenadas m a n g u lv rn i, 143-144

l (( f ) Funçio de Rf**el modificada de 1* es|>éc»s», IS3-1B4Jm{ ir) F unçlo de Bessrl de 1“ « t p k i« , 181-182

K » K ( k t 0 2 } Integral elíptica eom|dela de 1* espécie, 2 2 9 ,2 3 1 -2 3 2K rrJji), K r í j f ) Funç&es Ker e K ei, 186

K ,ix ) Funçlo de B m e ) modificada de 2* aapécia, 184ln x ou l«% a Logaritmo natural de *„ T l-7 2

log « ou lo fMx Logaritmo comum de x , 71-72

L j f ) Polinómio de Lafuenrv, 200-201L mm(x ) Polinómio de Laguerre associado, 202

S ■ í f lYanaform ada de Laplace e tranaíormada inversa, 2 0 9 , 211m , M W íi geométrica, 248 249

»»i. Média harmônica, 248 -249

P ,( i ) PoÜuômio de Legendre, 193-194P * j »í fruuçào de Legcndre associada. 196-197

Q i* <?3* Q t Quartia, 2SO-2S1Q jí* í Função da Lcgendre de 2* esjierie, 195-196

V J " 1* unçào d»* 1 v p mire a**ociada de 2" cs|*éci«*, 197r Go*ftrient« ,Ie correlação aiuostrml, 251-252

if MlJ Hill 4ti t#-ááü»tv4M4•4M**llÉM A#244M^ I

I VldilÛ «WtfKllty 2-ÎU , ; ;■ '.'.y .;;■ '_■ V~A;i Oiver iiiM iê SM»)2

ItUrft# «•) si* ï *r*iâ*l* JKmW (f) I*if#g;i?íií p. I4ê 'ÍJ?/ j « ) F*iií**áí#io d« Cbübyilii» »i* I*#iC*) d* llh#l*y*lii*v *1« I* »ipáíitf, N M M

V«f(K) Viriltu M 4i variévpI »l*itóríi I» 25>-W# l ^ t| Mé<tÍ4| metUaii*, gf ê/ui* w^líli 24$, 2474ÍP

« ’I !» * ijfrtii **»ri# tlu unhiiÁMia d# l4|fiwlfr PJ *1 ? 2 ^V J * ) Kuiiîu I An «Íí it* Mpéf*ii| ISI-lftZ

/ Virlévnl áilí-íiíff* s»* j>íílrinii<*i,lif 257*l5fl

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f* f«Ni(u<i(io «Ir onium f m 11 r «d <# tm ná<lli, 250f ||# KuJ#f, 16

f%t) Fitnf«* §»««, 171, 17747iy * I t m*\é» »rl« dr l( ir iiin iiiit 237

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M. du d* |m»|>mUçío, 249 250« liíml» 1« i , 5 3 ;

2|( 4f0 4 1 rëf&rU'ët ^PI, 11 1«Cuurtiâtii« «afáriî, 54

A MMn i I +- *•* 4* mm 4*1** #11

- <ÎXO)-Ot 1H2-J8Í■ ■ ■ ■ M M IPtiftfii» il# diatrdiMiylo dû* jü ojíaiiiÍid#d#*s 259~2ó<JDr.vii# padrão d«» |>Ofnd«çfto, 251-252V«nài»f*iii d«* |f0|>uliicÍ0v 251 -252

N o t a ç õ e s

A m H A á «|in»kti»iiidainirni# igual a tíA II

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|/ l | V iio r ihu ilu ti) dc 4I aloriul «li« nt 19-20

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8 6

Ui rivadöfe parciaU, 86 «7

ü f lr#&!," íta.«a) J,co,,Un«- IW »51

í f{x) dx Integral indefinida, 88-89b

f{x) dx Integra! definida, 127-128cr

A*dr Integral de linha de A ao longo de C* 14c

A*B Produto escalar de A e B, 143-144A X B Produto vetorial de A e B % 144

V Operador dei, 145V2 — V* V Operador laplaciano, 146

V4 ss V2(V2) Operador bi-harmônico, 146

Manual de Formulas e Tabelas Matematica 2

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