Resumos Práticos 2

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Mapas Mentais

Questões Comentadas

Referências

Autor:

José Hilário

RESUMO: TRELIÇAS PLANAS

Treliças são estruturas reticuladas compostas por barras interligadas em suas

extremidades através de pinos, soldas, rebites, parafusos etc., formando uma estrutura

rígida capaz de suportar grandes cargas de esforços normais e vencer grandes vãos. Os

materiais mais comuns nesse tipo de estrutura são a madeira, o metal e o alumínio.

A relação entre o número de barras, nós e reações de apoio de uma treliça fornece

informações acerca do grau de estaticidade da estrutura. O sistema rígido mais simples é

constituído por três barras articuladas entre si. Sendo 𝑏 o número de barras e 𝑛 o número

de nós, a condição necessária – mas não suficiente – para a estabilidade interna da treliça

é dada pela relação 𝑏 + 3 = 2 ∙ 𝑛. A estaticidade externa é garantida pela restrição dos

três graus de liberdade através das condições de apoio da estrutura.

Figura 1 – Treliça isostática estável.

Fonte: Autoria própria.

Figura 2 – Treliça isostática instável.

A figura em azul AB’C’D representa a estrutura deformada após a aplicação da

carga P.

Fonte: Autoria própria.

Para o dimensionamento das barras de uma treliça, é necessário o cálculo dos

esforços normais atuantes na estrutura. Os métodos mais utilizados para a resolução dos

esforços são o Método dos Nós (ou Método de Cremona) e o Método das Seções (ou

Método de Ritter).

Método dos Nós

Nó é o encontro de duas ou mais barras de uma treliça. O cálculo dos esforços

consiste em verificar o equilíbrio de cada nó da treliça. A resolução pode ser feita

seguindo os passos a seguir:

Determinar das reações nos apoios;

Iniciar e prosseguir a verificação pelos nós que possuam apenas duas incógnitas a

determinar;

Aplicar as equações de equilíbrio estático em cada nó (∑ 𝐹𝑥 = 0; ∑ 𝐹𝑦 = 0);

Deve-se ter atenção quanto ao sentido do esforço normal (tração ou compressão)

atuante na barra que será transferido aos nós.

Figura 3 – Representação do problema com as cargas atuantes nos nós.

Fonte: HIBBELER, 2010, p. 201.

Figura 4 – Determinação das reações nos apoios.

Fonte: HIBBELER, 2010, p. 201.

Figura 5 – Representação dos esforços atuantes nas barras e das transferências

para os nós da estrutura.

Fonte: HIBBELER, 2010, p. 201.

Método das Seções

Diferentemente do Método dos nós, que precisa de uma ordem sequencial para

cálculo dos esforços nas barras, o Método das Seções permite o cálculo dos esforços

normais diretamente, ou bem próximo, das barras de interesse. O cálculo dos esforços

pode ser feito da seguinte forma:

Determinar das reações nos apoios;

Traçar uma seção na treliça, dividindo-a em duas partes;

Em geral, ao seccionar a treliça, o corte não pode interceptar mais do que três

barras em que as forças não são conhecidas, de forma que haja apenas 3 incógnitas

na parte a ser resolvida;

Aplicar as equações de equilíbrio estático (∑ 𝐹𝑥 = 0; ∑ 𝐹𝑦 = 0; ∑ 𝑀 = 0) na parte

seccionada;

Considerar, inicialmente, todas as barras tracionadas. Ao final do cálculo, as que

apresentarem sinal negativo, estarão comprimidas;

Repetir o procedimento para calcular os esforços nas barras.

Figura 6 – Exemplo de seccionamento correto.

Fonte: Autoria própria.

Figura 7 – Exemplo de seccionamento incorreto.

Fonte: Autoria própria.

MAPA MENTAL

QUESTÕES COMENTADAS

1. (ENGENHEIRO CIVIL – PREF. DE SÃO JOÃO BATISTA – FAEPESUL – 2018) A Figura mostra

uma treliça metálica submetida a um carregamento de 20 kN em sua extremidade.

Assumindo que cos 45°=sen 45° = 0,7, e que os esforços de tração são assumidos positivos e os

de compressão assumidos negativos, o esforço na barra BC é:

A) -23,5 kN.

B) 28,6 kN.

C) -28,6 kN.

D) 30,0 kN.

E) -44,7 kN.

Grau de dificuldade: Fácil.

Resolução: Para garantir o equilíbrio do sistema, o somatório de forças na vertical e na

horizontal é igual a zero. Utilizando o método dos nós para encontrar o esforço na barra BC,

tem-se:

Decompondo a força na barra BE em termos de suas componentes em y e x, tem-se:

∑ 𝐹𝑦 = 0

20 = 𝐹𝐵𝐸 ∙ sin 45

20 = 𝐹𝐵𝐸 ∙ 0,7 ∴ 𝐹𝐵𝐸 = 28,6 𝐾𝑁 (𝑡𝑟𝑎çã𝑜)

∑ 𝐹𝑥 = 0

𝐹𝐷𝐸 = 𝐹𝐵𝐸 ∙ cos 45 𝐹𝐷𝐸 = 28,6 ∙ 0,7 ∴ 𝐹𝐷𝐸 = 20,0 𝐾𝑁 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜)

Para o nó em D:

∑ 𝐹𝑦 = 0

𝐹𝐷𝐵 = 0

∑ 𝐹𝑥 = 0

𝐹𝐷𝐸 = 𝐹𝐶𝐷

𝐹𝐶𝐷 = 20 𝐾𝑁 (𝑡𝑟𝑎çã𝑜)

Para o nó em B:

∑ 𝐹𝑦 = 0

𝐹𝐵𝐶 ∙ cos 45 + 𝐹𝐷𝐵 = 𝐹𝐵𝐸 ∙ cos 45 𝐹𝐵𝐶 = 28,6 𝐾𝑁 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜)

∑ 𝐹𝑥 = 0

𝐹𝐴𝐵 = 𝐹𝐵𝐸 ∙ sin 45 + 𝐹𝐵𝐶 ∙ sin 45

𝐹𝐴𝐵 = 28,6 ∙ 0,7 + 28,6 ∙ 0,7

𝐹𝐴𝐵 = 40 𝐾𝑁

Resposta: C

2. (ENGENHEIRO CIVIL – SENADO FEDERAL – FGV – 2008) Na treliça da figura, o esforço normal na barra 6–7 é igual a:

(A) 1,5P, de tração. (B) 3P, de tração. (C) P, de compressão. (D) 1,5P, de compressão.

(E) 3P, de compressão. Grau de dificuldade: Médio.

Resolução: Numa treliça isostática, simétrica e com carregamento simétrico, a distribuição dos

esforços ocorre de forma igual em cada apoio. Dessa forma:

∑ 𝑀1 = 0

𝑅5 ∙ 8000 = (𝑃 ∙ 2000) + (𝑃 ∙ 4000) + (𝑃 ∙ 6000)

𝑅5 =𝑃 ∙ 12000

8000

𝑅5 =3 ∙ 𝑃

2

𝑅1 =3 ∙ 𝑃

2

Para garantir o equilíbrio do sistema, o somatório de forças na vertical e na horizontal é igual a

zero. Utilizando o método dos nós para encontrar o esforço nas barras 1-2 e 1-6, tem-se:

O ângulo formado entre as barras 1-2 e 1-6, será:

tan 𝛼 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

tan 𝛼 =1000

2000

𝛼 = 26,6°

Decompondo a força na barra 1-2 em termos de suas componentes em y e x, tem-se:

∑ 𝐹𝑦 = 0

3 ∙ 𝑃

2= 𝐹1−2 ∙ sin 26,6

3 ∙ 𝑃

2= 𝐹1−2 ∙ 0,45

𝐹1−2 =

3 ∙ 𝑃2

0,45∴ 𝐹1−2 = 3,33 ∙ 𝑃 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜)

∑ 𝐹𝑥 = 0

𝐹1−2 ∙ cos 26,6 = 𝐹1−6

𝐹1−6 = 3 ∙ 𝑃 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜)

Para o nó em 6:

∑ 𝐹𝑥 = 0

𝐹1−6 = 𝐹6−7 𝐹6−7 = 3 ∙ 𝑃 (𝑡𝑟𝑎çã𝑜)

Resposta: B

3. (ENGENHEIRO CIVIL – IF-SP – IF-SP – 2019) Calculando as reações de apoio para a treliça apresentada a seguir, encontram-se os seguintes valores para as reações verticais dos nós A e H, respectivamente:

(A) 5kN e 5kN (B) 6kN e 4kN (C) 3,5kN e 6,5kN (D) 6,5kN e 3,5kN Grau de dificuldade: Fácil.

Resolução: Como a treliça é isostática, o comportamento da estrutura pode ser previsto pelas

equações de equilíbrio estático. Dessa forma, o somatório dos momentos nos apoios é igual a

zero. Assim,

∑ 𝑀𝐻 = 0

(4 ∙ 9) + (6 ∙ 3) + (6 ∙ 3) = (𝑉𝐴 ∙ 12)

𝑉𝐴 = 6 𝑘𝑁

∑ 𝐹𝑦 = 0

𝑉𝐻 + 𝑉𝐴 = 4 + 6

𝑉𝐻 = 4 𝑘𝑁 Resposta: B

4. (ENGENHEIRO CIVIL – PREF. DE SÃO BERNARDO DO CAMPO/SP – VUNESP – 2018) Considere a treliça metálica do projeto da construção de um galpão, ilustrada na figura a seguir.

As barras AB e AC estão solicitadas, respectivamente, pelas forças normais, em módulo e em kN, de (A) 40 e 20. (B) 35 e 25. (C) 30 e 20. (D) 25 e 15. (E) 20 e 10. Grau de dificuldade: Fácil.

Resolução:

Como a treliça em questão é isostática e simétrica, as reações verticais nos apoios A e G são

iguais a 20 kN em cada apoio (∑ 𝐹𝑦 = 5 + 20 + 5 + 5 + 5 = 40 𝑘𝑁). As forças normais nas

barras AB e AC, serão:

O ângulo formado entre as barras AB e AC:

tan 𝛼 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

tan 𝛼 =1,2

0,9

𝛼 = 53,13°

Decompondo a força na barra AB em termos de suas componentes em y e x, tem-se:

∑ 𝐹𝑦 = 0

20 = 𝐹𝐴𝐵 ∙ sin 53,13

20 = 𝐹𝐴𝐵 ∙ 0,80 ∴ 𝐹𝐴𝐵 = 25 𝐾𝑁

∑ 𝐹𝑥 = 0

𝐹𝐴𝐶 = 𝐹𝐴𝐵 ∙ cos 53,13

𝐹𝐴𝐶 = 25 ∙ 0,6 ∴ 𝐹𝐴𝐶 = 15 𝐾𝑁

Resposta: D

5. (ENGENHEIRO CIVIL – SEAD/AP – FMZ – 2010) A madeira apresenta grandes vantagens quando utilizada em edificações de pequeno porte, seja em elementos estruturais ou na estrutura de telhados. Para a treliça simétrica abaixo, em jatobá de 1ª categoria, as forças que atuam no nó 1 são:

Adote sen𝜃= 0,45; cos𝜃= 0,89 e tg𝜃= 0,51.

(A) 𝐹13= 16,67 T (compressão) e 𝐹12= 14,83 T (tração). (B) 𝐹13= 15 T (tração) e 𝐹12= 12 T (compressão). (C) 𝐹13= 12,50 T (compressão) e 𝐹12= 14,83 T (tração). (D) 𝐹13= 23,33 T (compressão) e 𝐹12= 6,67 T (tração). (E) 𝐹13= 4,72 T (tração) e 𝐹12= 4,20 T (compressão). Grau de dificuldade: Fácil.

Resolução: Para a treliça isostática, simétrica e com carregamento simétrico, as forças

atuantes no nó 1 são:

Decompondo a força na barra 13 em termos de suas componentes em y e x, tem-se:

∑ 𝐹𝑦 = 0

9𝑇 − 1,5𝑇 = 𝐹13 ∙ sin 𝜃

7,5𝑇 = 𝐹13 ∙ 0,45 𝐹13 = 16,67 ∙ 𝑇 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜)

∑ 𝐹𝑥 = 0

𝐹12 = 𝐹13 ∙ cos 𝜃

𝐹12 = 16,67 ∙ 𝑇 ∙ 0,89 𝐹12 = 14,83 ∙ 𝑇 (𝑡𝑟𝑎çã𝑜)

Resposta: A

6. (ENGENHEIRO CIVIL – DETRAN/RN – FGV – 2010) A estrutura treliçada a seguir suporta uma força de 7 tf. Se as tensões admissíveis são 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝑡 = 14kgf/mm² (tração) e 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝑐 = 10,5kgf/mm² (compressão), a menor seção transversal possível para as barras é:

A) 400,0 mm² B) 450,0 mm² C) 465,5 mm² D) 500,0 mm² E) 416,2 mm² Grau de dificuldade: Difícil.

Resolução: Numa treliça isostática, simétrica e com carregamento simétrico, a distribuição dos

esforços ocorre de forma igual em cada apoio. Dessa forma:

∑ 𝑀𝑎 = 0

𝑅𝑏 ∙ 6 = 7 ∙ 3 𝑅𝑏 = 3,5 𝑡𝑓

𝑅𝑎 = 3,5 𝑡𝑓

Para garantir o equilíbrio do sistema, o somatório de forças na vertical e na horizontal é igual a

zero. Utilizando o método dos nós para encontrar o esforço nas barras AB e AD, tem-se:

O ângulo formado entre as barras AB e AD, será:

tan 𝛼 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

tan 𝛼 =4

3

𝛼 = 53,1°

Decompondo a força na barra AD em termos de suas componentes em y e x, tem-se:

∑ 𝐹𝑦 = 0

7 = 𝐹𝐴𝐷 ∙ sin 53,1

3,5 = 𝐹𝐴𝐷 ∙ 0,8

𝐹𝐴𝐷 = 4,375 𝑡𝑓 (𝑡𝑟𝑎çã𝑜)

∑ 𝐹𝑥 = 0

𝐹𝐴𝐵 = 𝐹𝐴𝐷 ∙ cos 53,1

𝐹𝐴𝐵 = 4,375 ∙ cos 53,1 𝐹𝐴𝐵 = 2,627 𝑡𝑓 (𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜)

Para o nó em B, tem-se:

∑ 𝐹𝑦 = 0

𝐹𝐵𝐷 = 7 𝑡𝑓 (𝑡𝑟𝑎çã𝑜)

∑ 𝐹𝑥 = 0

𝐹𝐴𝐵 = 𝐹𝐵𝐶 𝐹𝐵𝐶 = 2,627 𝑡𝑓 (𝑡𝑟𝑎çã𝑜)

Resolvendo o nó em C, tem-se:

∑ 𝐹𝑥 = 0

𝐹𝐵𝐶 = 𝐹𝐶𝐷 ∙ cos 53,1

𝐹𝐶𝐷 =2,627

0,6∴ 𝐹𝐶𝐷 = 4,378 𝑡𝑓 (𝑡𝑟𝑎çã𝑜)

A tensão nas barras será:

𝜎 =𝐹𝐴𝐵

𝐴

Assim, para a 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝑡 = 14kgf/mm² (tração) e 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝑐 = 10,5kgf/mm² (compressão), a área mínima da barra deve ser calculada utilizando as maiores forças atuantes nas barras:

14 =7000

𝐴

𝐴 = 500 𝑚𝑚2

10,5 =2627

𝐴

𝐴 = 250 𝑚𝑚2 Portanto, a área mínima para as barras deve ser de 500 mm². Observação: 1 tf = 1.000 kgf.

Resposta: D

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1 HIBBELER R. C., Estática Mecânica Para Engenharia 12ª Edição, São Paulo – 2010.

201 p.