Marcelo Velloso Flamarion Vasconcellos - IMPA · 2018. 6. 21. · 101 f. Orientador: Prof. Dr. Andr...

Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada

Modelos para ondas geradas devido a interacao deuma correnteza com topografia

Marcelo Velloso Flamarion Vasconcellos

Rio de Janeiro-RJ

Fevereiro de 2018

Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada

Modelos para ondas geradas devido a interacao deuma correnteza com topografia


Tese de doutorado apresentada ao Instituto

Nacional de Matematica Pura e Aplicada como

requisito parcial para obtencao do tıtulo de

Doutor em Matematica.

Orientador: Prof. Dr. Andre Nachbin.

Coorientador: Prof. Dr. Paul Milewski.

Rio de Janeiro-RJ

Fevereiro de 2018

Flamarion, M-V.

Modelos para ondas geradas devido a interacao de uma correnteza com topografia

/ Marcelo Velloso Flamarion Vasconcellos. – Rio de Janeiro: IMPA, 2018.

101 f.

Orientador: Prof. Dr. Andre Nachbin.

Coorientador: Prof. Dr. Paul Milewski.

Tese (doutorado) – Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada, 2018.

Referencias bibliograficas.

1. Dinamica dos fluidos. 2. Ondas de gravidade. 3. Fluxo com cisalhamento

4. Ondas estacionarias - Tese. I. Nachbin, Andre II. Milewski, Paul. III. Instituto

Nacional de Matematica Pura e Aplicada. IV. Tıtulo.

CDU : 531.3

: 531.32

Modelos para ondas geradas devido a interacaode uma correnteza com topografia


Tese de doutorado apresentada ao Instituto

Nacional de Matematica Pura e Aplicada como

requisito parcial para obtencao do tıtulo de Dou-

tor em Matematica, aprovada em 26 de fevereiro

de 2018.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Andre Nachbin (Orientador)

(IMPA)

Prof. Dr. Paul Milewski (Coorientador)

(University of Bath)

Prof. Dr. Dan Marchesin

(IMPA)

Prof. Dr. Alexei Abaevich Mailybaev

(IMPA)

Prof. Dr. Daniel G. Alfaro Vigo

( IM-UFRJ)

Prof. Dr. Roberto Ribeiro Santos Junior

(UFPR)

Em memoria de meu pai,

Jose Flamarion Vasconcellos.

Agradecimentos

Inicialmente eu gostaria de agradecer ao meu pai Jose Flamarion (in memorian),

por sempre ter me mostrado a importancia do estudo, pelo carinho e por ter sempre

acreditado em mim. Me lembro que desde quando eu era uma crianca, sempre gostei de

matematica. Meu pai e seu irmao Fernando, como engenheiros, ambos eram apaixonados

por matematica e fısica. Me lembro vagamente, eu deveria ter uns 4 ou 5 anos, eles

faziam competicoes de quem conseguia fazer contas de cabeca mais rapido. Eu do lado

deles com uma calculadora sempre perdia. Meu pai foi a razao pela qual eu decidi estudar

matematica. Muito obrigado por tudo que voce fez e que ainda faz por mim.

Agradeco a minha mae, Rosane Guimaraes, pelo carinho, apoio incondicional em

todos os momentos da minha vida, por sempre rezar por mim e ter pensamento positivo

que tudo vai dar certo. Por vibrar com cada etapa concluıda por mim desde a graduacao

ate o doutorado. Sei que cada uma destas etapas tambem foi uma conquista especial

para ela. Em especial durantes esses ultimos quatro anos. Muito obrigado por tudo.

Agradeco tambem a minha irma, Priscilla Flamarion, pelo o apoio que me deu quando

decidi estudar matematica na universidade, pela sua ajuda nas primeiras disciplinas do

curso e por sempre estar ao meu lado todas as vezes que necessitei. A minha namorada,

Victoria Ortiz, por ter sempre me apoiado em momentos difıceis, como no meu exame de

qualificacao, meus exames no IMPA e por todos nossos momentos felizes juntos. Muito

obrigado pelas palavras de conforto, elas apareceram na hora certa. Obrigado a todos

voces, nunca esquecerei o que voces fizeram por mim.

No meu primeiro ano como estudante de doutorado eu nao sabia se escolhia

Analise ou Dinamica dos Fluidos como area de pesquisa. Agradeco ao Roberto Ribeiro

Santos, agora Prof. Roberto Ribeiro Santos, pelos conselhos sobre o IMPA e por ter

me ajudado na minha decisao de estudar Matematica Aplicada. O Roberto foi o grande

responsavel por minha escolha do Prof. Andre Nachbin como orientador. Muito obrigado

Prof. Roberto.

Agradeco ao Prof. Andre Nachbin por ter dado o curso de Dinamica dos Fluidos

em 2014, no final do curso tive a certeza do queria estudar. Por ter me aceitado como

seu estudante de doutorado. Por ter feito a minha transicao da Matematica Pura para

Matematica Aplicada de maneira facil. Pelos diversos Cursos de Leitura em Matematica

Aplicada que tive a oportunidade de fazer. Estes cursos me ajudaram a formar minha

base na Matematica Aplicada. Por ter tido paciencia para responder minhas perguntas e

sanar minhas duvidas. Muito obrigado Prof. Andre.

Com o Prof. Andre tive a oportunidade de conhecer o Prof. Paul Milewski. Mais

tarde, o Prof. Paul se tornou meu coorientador. O perıodo que trabalhamos juntos na

University of Bath (Inglaterra) foi muito importante para o desenvolvimento desta tese.

Gostaria de agradecer ao Prof. Paul pela coorientacao, por ter me ajudado quando cheguei

na Inglaterra, pelos conselhos, por estar disponıvel para sanar minhas duvidas ainda que

longe do IMPA. Nossas conversas e principalmente suas perguntas, contribuıram muito

para o desenvolvimento desta tese. Muito obrigado Prof. Paul.

Agradeco a todos os amigos que fiz no IMPA e na University of Bath, em especial

ao Francisco por ter me ajudado quando cheguei a Inglaterra, ao Harry, Hellen e Tsmei

meus housemates.

Agradeco a todos os funcionarios do IMPA a boa convivencia e atencao durante

esse perıodo.

Agradeco a University of Bath pela oportunidade de fazer parte da minha pes-

quisa sob a orientacao do Prof. Paul Milewski.

Agradeco ao CNPq pelo apoio financeiro no Brasil e na Inglaterra.

Resumo

O estudo de ondas geradas devido a interacao entre uma correnteza com topogra-

fia e um topico recente. O modelo usado para estudar esse problema sao as equacoes de

Euler. Nosso regime de interesse ocorre quando a velocidade da correnteza esta proxima

da velocidade de ondas longas. No regime fracamente nao linear e de ondas longas uma

equacao forcada de Korteweg-de Vries (fKdV) e usada como aproximacao para o modelo

de Euler. No entanto, este caso se limita a uma topografia de amplitude pequena. Estu-

dos sobre o modelo das equacoes de Euler carecem tanto de teoria quanto de resultados

numericos.

A proposta deste trabalho e analisar as equacoes de Euler na presenca de uma

correnteza linear variando verticalmente. Este modelo nos permite analisar as ondas ge-

radas para topografias de amplitudes maiores. A tecnica do mapeamento conforme e

utilizada para transformar o problema de fronteira livre dado pelas equacoes de Euler em

um problema mais simples. Um metodo numerico baseado na tecnica do mapeamento

conforme e proposto para resolver as equacoes de Euler. Mostramos que a principal dife-

renca entre o modelo reduzido de fKdV e as equacoes de Euler surge quando a amplitude

da topografia aumenta a partir de um certo valor. A equacao de Euler preve a formacao

de ondas ıngremes que quebram. No caso crıtico, isto e, quando a velocidade da corren-

teza e igual a velocidade de ondas longas, a equacao de Euler preve um choque dispersivo.

Tais resultados sao ineditos na literatura. Para validar o metodo numerico proposto de-

duzimos uma equacao do tipo fKdV na presenca de uma correnteza nao uniforme. Foi a

primeira vez que uma equacao do tipo fKdV na presenca de uma correnteza nao uniforme

foi obtida na literatura. Na presenca de uma correnteza nao uniforme encontramos no-

vos tipos de ondas estacionarias. Essas ondas sao caracterizadas por serem oscilatorias.

Numericamente estudamos a estabilidade dessas ondas. Alem disso, um termo dissipa-

tivo foi adicionado as equacoes de Euler e os efeitos sobre as ondas estacionarias foram

analisados. Mostramos que em certos regimes, ondas estacionarias geradas a partir de

um transiente podem ser obtidas como um limite dissipativo de ondas estacionarias de

caracter oscilatorio.

Palavras-chave: Ondas aquaticas. Ondas estacionarias. Modelos reduzidos. Numero

de Froude. Estabilidade numerica. Fluxo com cisalhamento.

Abstract

The study of waves generated by the interaction between a current and a topo-

graphy is a recent topic. The model used to study this problem is the Euler’s equations.

Our regime of interest occurs when the velocity of the current is near the velocity of a

long wave. In the weakly nonlinear long wave regime, a forced Korteweg-de Vries equation

(fKdV) is used as an approximation for the Euler’s model. However, this case is valid only

for topographies with small amplitude. Studies about the Euler’s model in this regime

lack either theory or numerical results.

The purpose of this work is to analyze the Euler’s equations in the presence of

a linear current varying vertically. This model allows us to analyze the waves generated

by topographies of larger amplitudes. The conformal mapping technique is used to trans-

form a free-boundary problem given by the Euler’s equations into a simpler problem. A

numerical method based on conformal mapping is proposed to solve the Euler’s equation.

We showed that the main difference between the reduced model of fKdV and the Euler’s

equations arises when the amplitude of the topography increases above a certain value.

The Euler’s equation predicts the formation of steep waves which break. In the critical

case, that is, when the velocity of the stream is equal to the long wave speed, Euler’s

equation predicts a dispersive shock. These results are unprecedented. In order to vali-

date the numerical method, we deduce an equation of the fKdV-type in the presence of

a non-uniform current. It was the very first time that an equation of the fKdV-type in

the presence of a non-uniform current was deduced in the literature. In the presence of

a non-uniform, we found new types of stationary waves. These waves are characterized

by its oscillations. Numerically, we study the stability of these waves. Furthermore, a

dissipative term was added to the Euler equations and the effects on the stationary waves

were analyzed. We have shown that in certain regimes, stationary waves generated from

a transient can be obtained from a dissipative limit of oscillatory waves.

Keywords: Water waves. Stationary waves. Reduced models. Froude number. Numeri-

cal stability. Shear flow.

Lista de Figuras

1 Solucoes tıpicas para o problema (3) para a topografia h(x) = e−x2. A

figura a esquerda mostra a solucao do problema com F = 0.5 e a figura a

direita para F = 1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.1 Descricao dos parametros do problema matematico. . . . . . . . . . . . . . 28

1.2 A figura mostra a velocidade de propagacao dos modos de Fourier para

diferentes valores de Ω com f = 0. Em vermelho (linha tracejada) Ω = 0.5,

em preto (linha solida) Ω = 0 e em azul (linha com quadrados) Ω = −0.5. 33

1.3 A figura mostra a evolucao da superfıcie livre para f = −0.5 e Ω = 0. . . . 36

1.4 A figura mostra a evolucao da superfıcie livre para f = 0 e Ω = 0. . . . . . 37

1.5 A figura mostra a evolucao da superfıcie livre para f = 0.75 e Ω = 0. . . . 38

1.6 A figura a esquerda mostra as ondas geradas no caso crıtico com Ω = −0.5

e a figura a direita mostra o caso crıtico com Ω = 0.5. . . . . . . . . . . . . 38

1.7 A figura mostra a evolucao da superfıcie livre no caso crıtico, no instante

τ = 30. Em vermelho Ω = 0.5 e em azul Ω = −0.5. . . . . . . . . . . . . . 39

1.8 A figura a esquerda mostra as ondas geradas no caso supercrıtico f = 0.75

com Ω = −0.5 e a figura a direita mostra o caso supercrıtico f = 0.75 com

Ω = 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.9 A figura mostra a evolucao da superfıcie livre no caso supercrıtico com

f = 0.75, no instante τ = 30. Em vermelho Ω = 0.5 e em azul Ω = −0.5. . 40

1.10 A figura a esquerda mostra as ondas geradas no caso subcrıtico f = −0.5

com Ω = −0.5 e a figura a direita mostra o caso subcrıtico f = −0.5 com

Ω = 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.11 A figura mostra a evolucao da superfıcie livre no caso subcrıtico com f =

−0.75, no instante τ = 5. Em vermelho Ω = 0.5 e em azul Ω = −0.5. . . . 41

2.1 Descricao do mapeamento conforme em um tempo t. . . . . . . . . . . . . 45

3.1 Descricao do mapeamento conforme duplo para um tempo t. . . . . . . . . 53

3.2 Descricao do mapeamento conforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5713

3.3 A figura mostra uma comparacao entre os Jacobianos avaliados na su-

perfıcie livre para uma topografia de amplitude A = 0.5. Em azul (linha

solida) o Jacobiano foi computado pelo metodo iterativo e em vermelho (li-

nha tracejada) atraves do Schwarz-Cristoffel toolbox. A figura mais abaixo

e um detalhe da superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4 A figura mostra a evolucao da superfıcie livre para diferentes valores de

t com F = 1.25 e A = 0.1. Em azul (linha com quadrados) t = 50, em

vermelho (linha tracejada) t = 100 e em preto (linha solida) t = 220. . . . . 62










3.8 As figuras mostram a evolucao da superfıcie livre no caso crıtico, f = 0 nos

tempos valores de τ = 30, 60 e ε = 0.1. Em vermelho a solucao foi obtida

a partir da equacao de fKdV e em azul a partir das equacoes de Euler. . . 67

3.9 As figuras mostram a evolucao da superfıcie livre no caso supercrıtico,

f = 0.75 nos tempos valores de τ = 15, 30 e ε = 0.1. Em vermelho a

solucao foi obtida a partir da equacao de fKdV e em azul a partir das

equacoes de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.10 As figuras mostram a evolucao da superfıcie livre no caso subrcrıtico, f =

−0.5 nos tempos valores de τ = 15, 30 e ε = 0.1. Em vermelho a solucao

foi obtida a partir da equacao de fKdV e em azul a partir das equacoes de

Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.11 As figuras mostram a evolucao da superfıcie livre no caso crıtico, f = 0 nos

tempos valores de τ = 30, 60 e ε = 0.05. Em vermelho a solucao foi obtida

a partir da equacao de fKdV e em azul a partir das equacoes de Euler. . . 68

3.12 As figuras mostram a evolucao das superficies livres obtidas a partir da

equacao de fKdV e Euler com numero de Froude F = 0.8 com A = 0.075,

B = 0, Ω = 0 e tempo t = 40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.13 As figuras mostram a evolucao das superfıcies livres obtidas a partir da

equacao de fKdV (em azul) e Euler (em vermelho) com numero de Froude

F = 0.8 com A = 0.075, B = 0, Ω = 0 e t = 46. . . . . . . . . . . . . . . . 71


equacao de fKdV e Euler com numeros de Froude F = 1.0 com A = 0.075,

B = 0, Ω = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72


equacao de fKdV (em azul) e Euler (em vermelho) com numeros de Froude

F = 1.0 com A = 0.075, B = 0 e Ω = 0 e t = 140. . . . . . . . . . . . . . . 73


equacao de fKdV e Euler com numero de Froude F = 1.2 com A = 0.075,

B = 0, Ω = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73


equacao de fKdV (em azul) e Euler (em vermelho) com numero de Froude

F = 1.2 com A = 0.075, B = 0, Ω = 0 e t = 92. . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.18 As figuras mostram a evolucao das superficies livres obtidas a partir das

equacoes de e Euler com numeros de Froude F = 0.8, 1, 1.2 (de cima para

baixo) e Ω = 0. Em vermelho A = 0.075 e B = 0 e em azul A = 0 e

B = 0.075. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75


equacoes de e Euler com vorticidade Ω = −0.5,−0.3,−0.1 (de cima para

baixo) com A = 0.075 e B = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76


equacoes de e Euler com vorticidade Ω = 0.5, 0.3, 0.1 (de cima para baixo)

com A = 0.075 e B = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1 A figura mostra a velocidade de propagacao de ondas de comprimento

λ = 2π/k para diferentes valores de Ω e F = 0. Em vermelho (linha

tracejada) Ω = 1, em preto (linha solida) Ω = 0 e em azul (linha com

quadrados) Ω = −1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2 A figura mostra a onda estacionaria obtida a partir do metodo numerico

proposto para F = 0.6 e Ω = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83





4.5 A figura mostra a onda estacionaria o obtida a partir do metodo numerico

proposto para F = 0.9 e Ω = 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85


proposto para F = 0.4 e Ω = −0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85


proposto para F = 1.25 e Ω = 1.0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.8 A figura mostra a evolucao da solucao perturbada com α = 1.5 ao longo do

tempo. Em azul (linha tracejada), a solucao em t = 0, em vermelho (linha

com quadrados) em t = 140 e em preto (linha solida) a solucao estacionaria

obtida atraves do metodo de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87



solida) em t = 36. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88



com quadrados) em t = 70 e em preto (linha solida) a solucao estacionaria

obtida atraves do metodo de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88



com quadrados) em t = 80 e em preto (linha solida) em t = 140. . . . . . . 89


tempo. Em azul (linha tracejada), a solucao estacionaria obtida atraves do

metodo de Newton, em vermelho (quadrados) em t = 80 e em preto (linha

solida) em t = 140. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90



com quadrados) em t = 140 e em preto (linha solida) em t = 250. . . . . . 91

4.14 A figura mostra a evolucao da solucao perturbada com α = 1.5 ao longo

do tempo. Em azul (linha tracejada), a solucao estacionaria obtida atraves

do metodo de Newton, em vermelho (linha com quadrados) em t = 140 e

em preto (linha solida) em t = 250. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.15 As figuras mostram ondas estacionarias para diferentes valores de ν. Em

todas as imagens foram considerados F = 1.25, Ω = 1, a amplitude da

topografia e A = 0.1. De cima para baixo temos ν = 0, ν = 0.01, ν = 0.05. 93

4.16 As figuras mostram ondas estacionarias para diferentes valores de ν. Em

todas as imagens foram considerados F = 0.9, Ω = 0.5, a amplitude da

topografia e A = 0.1. De cima para baixo temos ν = 0, ν = 0.01, ν = 0.05. 94

Sumario

Introducao 19

1 A equacao fKdV na presenca de vorticidade 27

1.1 Formulacao matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2 Analise assintotica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3 Metodo numerico para a equacao fKdV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.4 Simulacoes numericas para a equacao fKdV . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2 Equacoes de Euler na presenca de uma pressao movel 43

2.1 O problema para uma distribuicao de pressao movel . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 O mapeamento conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Equacoes de Euler na presenca de uma topografia variavel 51

3.1 O problema para um obstaculo com correnteza . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2 O mapeamento conforme duplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Metodo numerico para as equacoes de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4 Validacao do metodo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4.1 O problema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4.2 Validacao do metodo numerico para o problema linear . . . . . . . 60

3.4.3 O problema fracamente nao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.5 Os efeitos da amplitude da topografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.5.1 Os efeitos da amplitude da topografia e da intensidade da pressao . 75

3.5.2 Os efeitos de uma correnteza nao uniforme nas equacoes de Euler . 76

4 Ondas estacionarias para as equacoes de Euler 79

4.1 O problema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2 Metodo numerico para ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.3 Simulacoes numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3.1 Estabilidade das solucoes estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.3.2 Solucoes estacionarias na presenca de dissipacao . . . . . . . . . . . 91

Conclusoes e projetos futuros 95

Referencias 99

Introducao

O problema e os resultados na literatura

Ondas aquaticas e uma area de Dinamica dos Fluidos e Equacoes Diferencias

Parciais que vem sendo estudada extensamente devido ao grande numero de problemas

tanto no ponto de vista teorico quanto numerico. Especialmente os modelos para equacoes

de ondas longas (aguas rasas), obtidos a partir das equacoes de Euler tais como a equacao

de Korteweg-de Vries (KdV) e as equacoes de Boussinesq. Isto deve-se ao fato que estes

problemas sao reduzidos a uma dimensao espacial. Em particular, ondas solitarias para

estes modelos vem sendo estudadas e comparadas com ondas solitarias geradas em modelos

mais complexos como as equacoes de Euler [26, 27, 19]. No entanto, ondas geradas por uma

forca externa, o que ocorre na natureza ou em experimentos em laboratorios, vem sendo

menos estudadas, especialmente do ponto de vista das equacoes de Euler. Ondas geradas

por uma distribuicao de pressao localizada sobre um canal de profundidade finita sao

estudadas especialmente para ondas de gravidade, quando a tensao superficial e ignorada.

Este regime tem aplicacoes para modelos de ondas geradas por navios. Ondas geradas

por um fluxo sobre um obstaculo sao estudadas com aplicacoes em fluxos atmosfericos

encontrando obstaculos topograficos. Os parametros de fluxo utilizado para estudar as

ondas geradas sao o numero de Froude, F = U0/(gh0)1/2, a intensidade da pressao aplicada

e seu comprimento ou a amplitude do obstaculo e seu comprimento. Temos que U0 e a

velocidade da distribuicao de pressao sobre a supefıcie livre ou da correnteza, h0 e a

profundidade de agua no canal em repouso e g e a aceleracao da gravidade.

Na presenca de uma forca externa a equacao forcada de KdV (fKdV) foi for-

malmente deduzida por Akylas em [24] a partir de uma pressao movendo-se ao longo da

superfıcie livre com velocidade constante. Akylas mostrou que quando F 6= 1 a solucao

das equacoes de Euler linearizadas e dada por uma onda estacionaria e um transiente. Ele

mostrou que o transiente desaparece em qualquer regiao quando t → ∞, permancendo

apenas uma onda estacionaria. No entanto, este comportamento nao e valido quando

F = 1. Neste caso, o modelo linear preve um aumento ilimitado na amplitude das ondas

para tempos grandes. Na presenca de uma topografia e uma correnteza constante este19

20

problema foi estudado por Grimshaw e Smyth [13]. Neste trabalho Grimshaw e Smyth

consideraram uma topografia localizada, por exemplo um monte com perfil Gaussiano.

Eles obtiveram uma aproximacao analıtica para a solucao da fKdV. A solucao analıtica

foi comparada com a solucao numerica e os resultados apresentaram boa concordancia.

Eles observaram que quando o numero de Froude esta proximo de 1, ondas sao geradas

subindo rio acima e descendo rio abaixo. As ondas subindo rio acima podem ser ondas

solitarias quando a distribuicao de pressao e uma funcao positiva ou como um trem de

ondas oscilatorio se a distribuicao de pressao e uma funcao negativa. As ondas descendo

rio abaixo tambem pode ser classificadas como ondas solitarias ou como um trem de on-

das oscilatorio de acordo com o sinal da distribuicao de pressao. Numericamente esse

fenomeno foi primeiramente observado por Wu e Wu em [30]. Em um estudo teorico e

experimental apresentado em [17], Lee mostrou que os experimentos estavam de acordo

com dois modelos teoricos, a equacao de Boussinesq e a equacao de fKdV, ambas con-

tendo um termo forcante devido ao termo de pressao. Pratt em [21] usou a equacao de

fKdV para explicar alguns experimentos relacionados ao fluxo atmosferico sobre multiplos

obstaculos. Neste trabalho Pratt considerou multiplos obstaculos e comparou resultados

experimentais com resultados teoricos. A equacao de fKdV foi entao usada por Wu em

[29] para explorar o mecanismo de geracao de ondas solitarias subindo rio acima devido a

uma distribuicao de pressao movendo-se ao longo da superfıcie livre. Camassa e Wu [7, 8]

estudaram a estabilidade de ondas solitarias estacionarias e confirmaram seus resultados

analıticos com experimentos numericos. Dias, Nguyen e Vanden-Broeck [9] estudaram

a estabilidade numerica de ondas estacionarias para a equacao de fKdV com multiplos

obstaculos. Ao inves de calcular solucoes estacionarias numericamente para a equacao

de fKdV eles construıram a topografia de modo que uma solucao exata para a superfıcie

livre fosse obtida. Numericamente foi demonstrada a estabilidade de solucoes com dois

obstaculos de perfil Gaussianos na presenca de uma correnteza uniforme e instabilidade

de solucoes para obstaculos do tipo mesa. Mais recentemente Albalwi, Marchant e Smyth

[18] propuseram um modelo de fKdV de quinta ordem para estudar ondas geradas de-

vido a interacao entre uma topografia e uma correnteza constante para o regime onde o

numero de Froude esta proximo de 1. Neste trabalho eles compararam o modelo de fKdV

apresentado por Grimshaw e Smyth em [13] com o modelo de fKdV de ordem mais alta

que eles chamaram de eKdV (“extended KdV”). Eles observaram que o modelo de ordem

mais alta apresenta oscilacoes na regiao da formacao de um resalto ondulatorio (“undular

bore”). Isto indica a formacao de um choque dispersivo. As amplitudes das ondas, tanto

as ondas subindo rio acima quanto as ondas descendo rio abaixo apresentaram maior am-

plitude para o modelo de quinta ordem. Alem disso, eles observaram que o comprimento

do ressalto ondulatorio do modelo de ordem mais alta e menor.

21

Do ponto de vista das equacoes de Euler, Vanden-Broeck e Tuck [16] estudaram

numericamente os problemas linear e nao-linear para um fluxo de agua em profundidade

finita e mostraram que para fluxos subcrıticos (F < 1) a pressao cria um trem de ondas

viajantes que pode ser usado para modelar ondas geradas por navios. Asavanant [14],

estudou o fluxo gerado por uma distribuicao de pressao em aguas de profundidade finita.

O problema foi estudado numericamente usando o metodo de integral de contorno. Foi

mostrado que para ambos os casos, supercrıtico (F > 1) e subcrıtico (F < 1), as solucoes

dependem de tres parametros: o numero de Froude, a amplitude da pressao aplicada e

o comprimento da regiao onde a pressao e exercida. Para o caso supercrıtico as solucoes

sao uma onda estacionaria na regiao onde a pressao e aplicada, com de um transiente

descendo rio abaixo. Para o caso subcrıtico as solucoes sao trens de ondas que surgem

atras das ondas geradas pela distribuicao de pressao movendo-se ao longo da superfıcie

livre. Essas ondas sao similares as ondas geradas no caso de aguas profundas. A medida

que o numero de Froude se aproxima de 1 esse trem de ondas desaparece.

Comparacoes entre modelos aparecem naturalmente em Dinamica dos Fluidos.

Choi e Camassa [27], usando o mapeamento conforme dependente do tempo, introduzido

por Dyachenko e Zakharov [1], achataram a superfıcie livre em uma faixa lisa e com-

param as ondas solitarias produzidas pelas equacoes de Euler com as ondas solitarias

produzidas pela equacao da KdV. Mais tarde, Choi [26] obteve ondas viajantes para as

equacoes de Euler na presenca de um escoamento com vorticidade constante, mas sem

topografia. A formulacao do mapeamento conforme para ondas nao lineares em aguas

profundas e em profundidade uniforme finita foi inicialmente introduzida por Dyachenko

e Zakharov em [1]. Milewski, Vanden-Broeck e Wang [19] utilizaram o mapeamento con-

forme em aguas profundas achatando a superfıcie livre. Neste trabalho foi estudado a

estabilidade numerica das ondas obtidas e colisoes entre duas ondas viajantes. Em [2], na

ausencia de correnteza, Nachbin construiu um mapeamento conforme achatando a topo-

grafia obtendo uma equacao do tipo Boussinesq com coeficientes variaveis. A vantagem

de utilizar essa formulacao e que permite transformar um problema de fronteira livre e

valor inicial para um sistema de equacoes diferenciais parciais em um problema de valor

inicial. Este entao podera ser resolvido numericamente de maneira mais simples. No

entanto por fazer-se uso de aplicacoes conformes trata-se de um metodo limitado ao caso

bidimensional. Contudo, em muitos problemas de ondas aquaticas a dinamica das ondas

e predominantemente unidimensional. Grimshaw e Maleewong [22] usaram o modelo de

fKdV para validar o metodo da integral de contorno para equacoes de Euler em um re-

gime transcrıtico para uma pressao de amplitude pequena. A maior diferenca observada

entre os modelos de fKdV e Euler aparece quando a intensidade da pressao aumenta.

Para o caso supercrıtico, a equacao fKdV continua prevendo uma solucao instavel com

22

grande amplitude movendo-se para longe da regiao onde a pressao esta sendo aplicada.

No entanto, para as equacoes de Euler, as ondas de amplitudes grandes sao ıngremes

e quebram. Binder, Vanden-Broeck e Dias [6] utilizaram o metodo da integral de con-

torno para computar solucoes estacionarias para o problema com topografia localizada na

forma de dois triangulos e correnteza constante classificando os tipos de ondas geradas

para o caso supercrıtico. Alem disso, novos tipos de ondas estacionarias foram obtidas.

No entanto, nao e conhecido na literatura um estudo comparando as equacoes de fKdV

deduzidas quando temos uma topografia e uma correnteza constante com as equacoes de

Euler. Fazemos isto pela primeira vez e ainda permitimos a correnteza de ter vorticidade

constante, ou seja, variando linearmente na direcao vertical.

O problema matematico e objetivos

O problema de ondas geradas por um fluxo sobre um obstaculo pode ser abordado

de diferentes maneiras. Utilizando-se as equacoes de Euler da teoria do potencial, as

equacoes podem ser reescritas em termos de tres parametros adimensionais. O parametro

de ondas longas (aguas rasas) µ, o parametro de nao-linearidade ε e o numero de Froude

F . Estes parametros sao definidos da seguinte maneira:

µ =h0

λ, ε =

a

h0

, e F =U0

(gh0)1/2.

Onde λ e o comprimento tıpico da onda, h0 e a profundidade tıpica, a e a amplitude tıpica

da onda, g e a aceleracao da gravidade e U0 e a velocidade da correnteza. Desta forma

tem-se as seguintes equacoes

µ2φxx + φyy = 0 em − 1 + εh(x+ Ft) < y < εζ(x, t),

µ2(Fhx + εφxhx) = φy sobre y = −1 + εh(x+ Ft),

ζt + εφxζx −1

µ2φy = 0 sobre y = εζ(x, t),

φt +ε

2(φ2

x + φ2y) + ζ = 0 sobre y = εζ(x, t),

(1)

com dados iniciais nulos. Milewski e Vanden-Broeck [20], expandiram a funcao potencial

φ, em torno de y = 0 usando series de Taylor e substituiram nas condicoes cinematica e

de Bernoulli para o problema (1) obtendo a equacao do tipo Benney-Luke

Φtt − Φxx + Ψ + µ2

[1

6Φxxxx −

1

2Φxxtt + Ψtt −

1

2Ψxx

]+ ε

[1

2(Φ2

x)t + (ΦtΦx)x

]= 0,

Ψ = Fhx + εΦxx,

(2)

23

onde Φ(x, t) = φ(x,−1, t) e Ψ(x, t) = µ−2φ(x,−1, t). O problema (2) e linearizado

fazendo-se µ, ε→ 0. Segue-se que

Φtt − Φxx = −Fhx.

Usando que ζ ≈ −Φt obtem-se

ζtt − ζxx = F 2hxx.

Consideremos a equacao da onda com dados iniciais nulos:

ζtt − ζxx = F 2hxx,

ζ(x, 0) = 0, ζt(x, 0) = 0.(3)

Usando o princıpio de Duhamel, obtemos que a solucao do problema (3) e

ζ(x, t) =F 2

F 2 − 1

[h(x+ Ft) +

1

2

((F − 1)h(x− t)− (F + 1)h(x+ t)

)], F 6= 1. (4)

A solucao acima mostra que sempre existem duas ondas de elevacao e uma onda de

depressao. Observe que a solucao nao esta definida para F = 1. No entanto, fazendo o

limite F → 1 em (4) e usando a regra de L’Hopital obtemos:

ζ(x, t) =1

4

[2th′(x+ t) + h(x− t)− h(x+ t)

].

Desta forma a |ζ(x, t)| → ∞ quando t→∞. Esse fenomeno e conhecido como ressonancia

pura e aparece em sistemas mecanicos como massa-mola e tambem em circuitos eletricos

(ver [10]). A figura 1, mostra a solucao do problema (3) nos casos subcrıtico (F < 1) e

supercrıtico (F > 1) respectivamente. Em ambas figuras temos a formacao de duas ondas

de elevacao e uma onda de depressao.

Figura 1: Solucoes tıpicas para o problema (3) para a topografia h(x) = e−x2. A figura a

esquerda mostra a solucao do problema com F = 0.5 e a figura a direita para F = 1.5.

24

A solucao (4) nao esta definida para F = 1, pois a amplitude da solucao explode

quando o numero de Froude se aproxima de 1. Agora suponhamos que F = 1 +O(ε). A

fim de que a solucao ζ seja de ordem O(1) a equacao (4) nos mostra que topografia, h,

deve ser reescalonada como h ∼ O(ε). Desta forma, a amplitude da topografia nao pode

ser considerada arbitrariamente. Para estudar o problema quando o numero de Froude

esta proximo de 1 os efeitos nao-lineares devem ser considerados. Como uma primeira

aproximacao nao-linear para o problema (1) usa-se a equacao de fKdV.

A equacao de fKdV pode ser obtida a partir da equacao (2). Fazendo ε = µ2,

F = 1+εf , h→ εh, introduzindo τ = εt, a variavel viajante ξ = x+(1+εf)τ , substituindo

nas equacoes (2) e usando que ζτ = −Φξ +O(ε) obtem-se:

ζτ + fζξ −3

2ζζξ −

1

6ζξξξ =

1

2hξ(ξ), (5)

a equacao forcada de Kortweg-de Vries KdV (fKdV).

Algumas perguntas que surgem naturalmente sao: O que acontece quando a

amplitude da topografia aumenta? E possıvel comparar a equacao de fKdV para uma

topografia e uma correnteza constante com as equacoes de Euler? O que acontece quando

vorticidade e adicionada a este problema? Modelos reduzidos para as equacoes de Euler

na presenca de uma correnteza nao uniforme e fundo plano foram inicialmente propostos

por Freeman e Johnson [12]. Neste trabalho Freeman e Johnson obtiveram uma equacao

do tipo KdV a partir das equacoes de Euler na presenca de uma correnteza nao uniforme

variando verticalmente. A equacao do tipo KdV obtida por eles e dada por:

−2I31ζτ + 3I41ζζξ + J1ζξξξ = 0,

onde, os coeficientes I31, I41, J1 sao constantes que dependem da correnteza nao uniforme.

A velocidade de propagacao c da onda deve satisfazer:∫ h

0

1

(U(y)− c)2dy =

1

g,

Esta condicao e denominada condicao de Burns. A condicao de Burns e equivalente a

relacao de dispersao das equacoes de Euler na presenca de uma correnteza nao uniforme

variando verticalmente. Desta forma, quando a correnteza considerada e nao uniforme

uma singularidade e introduzida ao problema.

O objetivo deste trabalho e responder as questoes levantadas acima. Ondas ge-

radas devido a interacao de uma correnteza uniforme e nao uniforme na presenca de um

obstaculo serao estudadas. Este trabalho esta estruturado da seguinte forma:

• No primeiro capıtulo o problema sera matematicamente formulado a partir das

equacoes de Euler. A seguir o problema sera adimensionalisado como feito por

25

Freeman e Johnson [12]. A partir do problema adimensional sera feita uma analise

assintotica de equacoes. Sera considerado o regime de ondas longas e fracamente

nao linear a fim de obter uma equacao do tipo fKdV na presenca de uma correnteza

nao uniforme. Esta e a primeira vez que uma equacao do tipo fKdV com uma

correnteza nao uniforme e obtida. Simulacoes numericas irao ilustrar solucoes deste

novo modelo.

• No segundo capıtulo serao consideradas as equacoes de Euler com uma pressao

movendo-se ao longo da superfıcie livre com velocidade constante e uma correnteza

variando verticalmente. Esta formulacao permite reescrever as equacoes de Euler

em termos da teoria do potencial. A partir destas equacoes sera feito uma adimen-

sionalisacao diferente da apresentada no capıtulo anterior. Definidas as equacoes

adimensionais, o mapeamento conforme dependente do tempo sera apresentado,

achatando a superfıcie livre com o intuito de reescrever o problema de maneira mais

conveniente do ponto de vista numerico.

• No terceiro capıtulo as equacoes de Euler apresentadas no capıtulo anterior serao

revisitadas na presenca de uma topografia. Uma vez apresentado o problema, sera

considerado o mapeamento conforme dependente do tempo, achatando a superfıcie

livre e a topografia. Desta forma o domınio fısico sera mapeado em uma faixa re-

tangular de uma unica vez. Um metodo numerico sera proposto para resolver as

equacoes de Euler no domınio canonico. Inicialmente, o metodo numerico sera vali-

dado para o problema linear. Para isto compararemos nossas solucoes com solucoes

computadas pelo metodo apresentado por Nachbin [2]. Para o problema fracamente

nao-linear, as solucoes obtidas serao comparadas com as solucoes da equacao de

fKdV. Alem disso, os efeitos da topografia sobre as ondas geradas serao estudados.

Em particular, com nossa nova modelagem topografias de amplitudes maiores que

as estudadas no regime de fKdV serao analisadas.

• No quarto capıtulo um metodo numerico sera proposto para computar ondas esta-

cionarias para as equacoes de Euler na presenca de uma correnteza nao uniforme e

topografia. Novos tipos de ondas de caracter oscilatorio serao obtidos. A estabili-

dade numerica dessas ondas sera investigada numericamente. Estas novas solucoes

nao podem ser obtidas a partir da superfıcie livre em repouso, ou seja, via um tran-

siente. Por isso, um termo dissipativo sera adicionado as equacoes de Euler e seu

efeito sobre as novas ondas estacionarias sera estudado.

Capıtulo 1

A equacao fKdV na presenca de

vorticidade

1.1 Formulacao matematica

Consideremos um escoamento invıscido, incompressıvel com densidade cons-

tante ρ em duas dimensoes com uma distribuicao de pressao sobre a superfıcie livre. Nesta

secao vamos estudar o problema de ondas geradas devido a interacao entre uma topogra-

fia e uma correnteza variavel ao longo da vertical. O ponto de partida para estudar esse

problema sao as equacoes de Euler na presenca de uma fronteira livre. Denotaremos por

ζ(x, t) a superfıcie livre e por h(x) a topografia. As equacoes matematicas que descrevem

esse problema sao [28]:

ut + uux + vuy = −pxρ

em h(x) < y < ζ(x, t),

vt + uvx + vvy = −pyρ− g em h(x) < y < ζ(x, t),

ux + vy = 0 em h(x) < y < ζ(x, t),

p = P (x) sobre y = ζ(x, t),

v = ζt + uζx sobre y = ζ(x, t),

v = uhx sobre y = h(x),

(1.1)

onde denotamos por p a pressao exercida sobre o fluido, P e uma distribuicao de pressao

imposta na superfıcie livre, u a velocidade horizontal e v velocidade vertical do fluido. Va-

mos supor que todas as funcoes (h, u, v, ζ e p) das equacoes (1.1) sao suaves e h, u, v, ζ, p→0 quando |x| → ∞. A fim de deduzirmos a equacao de Korteweg-de Vries forcada (fKdV)

vamos adimensionalisar o sistema (1.1). Para tal, consideremos as seguintes unidades ca-

racterısticas: λ para o comprimento de onda, a para a amplitude caracterıstica da onda,

h0 para a profundidade e λ/√gh0 para o tempo. Desta forma podemos considerar as

27

28

variaveis adimensionais :

x→ λx, y → h0y, t→ λ√gh0

t,

u→√gh0u, v → h0

√gh0

λv, h→ h0h.

Por fim a pressao e a supefıcie livre sao adimensionalisadas como:

p→ ρgh0(h0 − y) + ρgh0p, P → ρgh0P e ζ → h0 + aζ.

Figura 1.1: Descricao dos parametros do problema matematico.

Introduzindo os parametros adimensionais µ = h0/λ (ondas longas / aguas ra-

sas), ε = a/h0 (nao linearidade) e substituindo as novas variaveis adimensionais em (1.1)

obtemos:

ut + uux + vuy = −px em h(x) < y < 1 + εζ(x, t),

µ2vt + ε(uvx + vvy) = −py em h(x) < y < 1 + εζ(x, t),

ux + vy = 0 em h(x) < y < 1 + εζ(x, t),

p = P + εζ sobre y = 1 + εζ(x, t),

v = ε(ζt + uζx) sobre y = 1 + εζ(x, t),

v = uhx sobre y = h(x).

(1.2)

Estamos interessados em estudar as equacoes (1.2) na presenca de um escoamento

cisalhante (com vorticidade constante) e de uma topografia de amplitude pequena. Desta

forma vamos reescalonar as variaveis no sistema (1.2) da seguinte forma,

u→ U(y) + εu, v → εv, p→ εp, P → ε2P e h→ ε2h. (1.3)

29

Assim, a velocidade do escoamento e predominantemente dada pela correnteza. Tomando

µ2 = ε e substituindo (1.3) em (1.2) segue-se que

ut + U(y)ux + U ′(y)v + ε(uux + vuy) = −px,

εvt + U(y)vx + ε(uvx + vvy) = −py,

ux + vy = 0,

p = ζ + εP sobre y = 1 + εζ(x, t),

v = ζt + U(y)ζx + εuζx sobre y = 1 + εζ(x, t),

v = εhxU(y) + ε2hxu sobre y = ε2h(x).

(1.4)

A fim de obtermos uma equacao do tipo KdV vamos considerar apenas a onda que viaja

para a direita. Desta forma introduzimos a variavel viajante ξ = x − ct onde c e uma

constante a ser determinada a posteriori. A variavel t e reescalondada lentamente como

τ = εt. Substituindo as novas variaveis em (1.4) resulta:

(U(y)− c)uξ + U ′(y)v + ε(uτ + uuξ + vuy) = −pξ,

ε(U(y)− c)vξ + ε(vτ + uvξ + vvy) = −py,

uξ + vy = 0,

p = ζ + εP sobre y = 1 + εζ,

v = (U(y)− c)ζξ + ε(ζτ + uζξ) sobre y = 1 + εζ,

v = εhξU(y) + ε2hξu sobre y = ε2h.

(1.5)

Na seguinte secao sera discutido como obter a equacao de fKdV atraves de uma

analise assintotica das equacoes, ou seja, obtendo-se um modelo reduzido.

1.2 Analise assintotica

Para estudarmos o problema (1.5) vamos considerar uma expansao assintotica

das funcoes u, v, p, ζ em potencias do parametro ε. Para isto vamos supor ε 1. Na

ausencia da topografia e do termo de pressao, este tipo de expansao foi inicialmente

apresentado por Freeman e Johnson [12]. As expansoes serao consideradas da seguinte

forma:

q(ξ, y, τ ; ε) ∼∞∑n=0

εnqn(ξ, y, τ), ζ(ξ, τ) ∼∞∑n=0

εnζn(ξ, τ), (1.6)

onde q = u, v, p. Substituindo (1.6) em (1.5) obtemos uma sequencia de problemas de

ordem O(εn).

30

• Problema de ordem O(ε0)

Neste caso temos o seguinte problema

(U(y)− c)u0ξ + U ′(y)v0 = −p0ξ; p0y = 0; u0ξ + v0y = 0;

p0 = ζ0; v0 = (U(y)− c)ζ0ξ; sobre y = 1; v0 = 0; sobre y = 0.(1.7)

Por integracao, facilmente podemos ver que o sistema (1.7) admite a seguinte solucao

v0 =

(U(y)− c)

∫ y

0

dz

(U(y)− c)2

ζ0ξ, (1.8)

u0 = −

1

U(y)− c+ U ′(y)

∫ y

0

dz

(U(y)− c)2

ζ0. (1.9)

Substituindo (1.8) na condicao cinematica (1.7) obtemos a condicao de compatibilidade

conhecida como condicao de Burns, dada por:∫ 1

0

1

(U(y)− c)2dy = 1. (1.10)

Esta condicao nos fornece os valores para a constante c. Observemos que neste momento

nao ha uma condicao sobre ζ0. A fim de obtermos uma condicao sobre a mesma devemos

considerar o problema de ordem mais alta, a saber O(ε1).

• Problema de ordem O(ε1)

Neste caso temos o seguinte problema nao homogeneo

(U(y)− c)u1ξ + U ′(y)v1 + u0τ + u0u0ξ + v0u0y = −p1ξ,

(U(y)− c)v0ξ = −p1y; u1ξ + v1y = 0,

p1 = ζ1 + P sobre y = 1,

v1 + ζ0v0y = (U(y)− c)ζ1ξ + U ′(y)ζ0ζ0ξ + ζ0τ + u0ζ0ξ sobre y = 1,

v = U(y)hξ sobre y = 0,

(1.11)

onde as funcoes na condicao cinematica em (1.5) foram expandidas em series de Taylor

em torno de y = 1. Das equacoes (1.7) e (1.11) usando calculos algebricos segue-se que

p1 = ζ1 + P +

∫ 1

y

(U(y)− c)2I2(y)dy

ζ0ξξ, (1.12)

(U(y)− c)2

v1

U(y)− c

y

+

1

U(y)− c+ U ′(y)I2(y)

ζ0τ

−

1

U(y)− c+ U ′(y)I2(y)

2

ζ0ζ0ξ = ζ1ξ + Pξ +

(∫ 1

y

(U(y)− c)2I2(y)dy

)ζ0ξξξ,

(1.13)

31

onde

In(y) ≡∫ y

0

dy

(U(y)− c)n, para n = 1, 2, 3, 4.

Integrando a equacao (1.13) de 0 ate y e usando a condicao de fundo v1 = U(y)hξ

sobre y = 0 resulta que

v1 = (U(y)− c)(

I2(y)

U(y)− c− 2I3(y)

)ζ0τ

+

(I4(y) + 4

∫ y

0

U ′(y)I2(y)

(U(y)− c)3dy − U ′(y)I2(y)

U(y)− c

)ζ0ζ0ξ + I2(y)ζ1ξ + I2(y)Pξ

+ ζ0ξξξ

∫ y

0

1

(U(y)− c)2

[ ∫ 1

y

(U(y)− c)2I2(y)dy

]dy

+U(y)− cU(0)− c

U(0)hξ.

Agora, fazendo y = 1 e impondo a condicao cinematica em (1.11) obtemos

(U(1)− c)ζ1ξ + U ′(1)ζ0ζ0ξ + ζ0τ − 2

1

U(1)− c+ U ′(1)I2(1)

ζ0ζ0ξ

+U(1)− cU(0)− c

U(0)hξ = (U(1)− c)(

I2(1)

U(1)− c− 2I3(1)

)ζ0τ

+

(I4(1) + 4

∫ 1

0

U ′(y)I2(y)dy

(U(y)− c)3− U ′(1)I2(1)

U(1)− c

)ζ0ζ0ξ + I2(1)ζ1ξ + I2(1)Pξ + J1ζ0ξξξ

,

(1.14)

onde

J1 =

∫ 1

0

∫ 1

y

∫ y1

0

(U(y1)− c)2

(U(y)− c)2(U(y2)− c)2dy2dy1dy.

Integrando a equacao (1.14) por partes obtemos a equacao do tipo KdV

− 2I31ζ0τ + 3I41ζ0ζ0ξ + J1ζ0ξξξ =U(0)hξU(0)− c

+ Pξ, (1.15)

onde In1 = In(1) para n = 1, 2, 3, 4. Retornando as variaveis originais x, t do sistema,

produzimos:

− 2I31

εζ0t −

2I31c

εζ0x + 3I41ζ0ζ0x + J1ζ0xxx =

U(0)hx(x)

U(0)− c+ Px(x). (1.16)

Desde que c = εf e a variavel t seja reescalonada com τ = εt a equacao (1.16) pode ser

reescrita como

− 2I31ζ0τ − 2I31fζ0x + 3I41ζ0ζ0x + J1ζ0xxx = hx(x) + Px(x). (1.17)

Esta equacao sera denominada como a nova fKdV. Pois a correnteza neste caso nao e

necessariamente uniforme. Esta equacao e consistente com a equacao de fKdV inicial-

mente obtida por Grimshaw e Smyth [13] para o caso em que a correnteza e constante.

Na ausencia de uma distribuicao de pressao e topografia esta equacao tambem e con-

sistente com a equacao obtida por Freedman e Johnson [12] para uma correnteza nao

32

uniforme. Notemos que os efeitos da topografia e pressao sao os mesmos do ponto de

vista da equacao fKdV. Em particular, no caso com a superfıcie inicialmente em repouso

e com P (x) = −h(x), ondas nao sao geradas.

Observacao: E importante observar que quando a condicao c = εf foi introdu-

zida, a classe de cisalhamento que podemos escolher foi tambem restringida. Particular-

mente estamos interessados no caso em que o cisalhamento na vertical e linear. Seja uma

forma generica dada por

U(y) = Ωy + β.

Impondo a condicao de Burns para esse perfil generico da correnteza temos que

1 =

∫ 1

0

1

(U(y)− C)2dy =

1

(β − C)(Ω + β − C)

de onde obtemos os possıveis valores da velocidade da onda:

C±(Ω, β) = β +(Ω±

√Ω2 + 4)

2.

Mas o nosso modelo exige uma velocidade de O(ε). Desta forma, seja o seguinte ansatz

para nossa correnteza de interesse:

U(y) ≡ U(y)− C−(Ω, β) + εf = Ωy − Ω

2+

√Ω2 + 4

2+ εf.

Substituindo na condicao de Burns (1.10) temos que a condicao e automaticamente satis-

feita com c = εf . Daı podemos escrever

U(y) = Ωy + γ(Ω) + εf, (1.18)

onde

γ(Ω) = −Ω

2+

√Ω2 + 4

2.

O numero de Froude e definido por

F (Ω) = −Ω

2+

√Ω2 + 4

2+ εf. (1.19)

Para a correnteza (1.18) os coeficientes da equacao (1.17) podem ser facilmente

obtidos, sendo esses

I31 =Ω + 2γ(Ω)

2γ(Ω)2(Ω + γ(Ω))2, I41 =

1

3

Ω2 + 3Ωγ(Ω) + 3γ(Ω)2

γ(Ω)3(Ω + γ(Ω))3, J1 =

1

3γ(Ω)3. (1.20)

A partir de agora a vorticidade e dada a partir do cisalhamento definido por (1.18).

33

Ondas solitarias para a equacao de fKdV definida em (1.17) no caso topografia

plana (hx = 0) e pressao externa constante (Px = 0) sao dadas por

ζ(x, τ) = Asech2(κ2(x− cτ)), onde c = f − 2J1

I31

κ2, A =4J1

I41

κ2. (1.21)

Na ausencia de uma distribuicao de pressao e topografia, a equacao (1.17) linea-

rizada e:

ζ0τ + fζ0x −J1

2I31

ζ0xxx = 0.

Procurando por solucoes da forma ζ0(x, τ) = Aei(kx−ωτ) obtemos a relacao de dispersao:

ω(k) = fk +J1

2I31

k3.

Desta forma a velocidade de propagacao das ondas de comprimento λ = 2π/k e:

c(k) = f +J1

2I31

k2.

Em particular, ondas estacionarias existem para

k =

√−2I31

J1

f.

Como I31, J1 > 0, ondas estacionarias podem ser obtidas apenas quando f < 0.

0 1 2 3 4

k

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

c(k)

Figura 1.2: A figura mostra a velocidade de propagacao dos modos de Fourier para

diferentes valores de Ω com f = 0. Em vermelho (linha tracejada) Ω = 0.5, em preto

(linha solida) Ω = 0 e em azul (linha com quadrados) Ω = −0.5.

A figura 1.2 mostra a velocidade de propagacao dos modos de Fourier para di-

ferentes valores de Ω com f = 0. E possıvel observar que a medida que a velocidade

34

da correnteza e menor no fundo os modos de Fourier viajam mais rapido. Alem disso,

para valores positivos de f ondas lineares viajam sempre para a direita. No entanto, para

valores negativos de f , podemos ter ondas estacionarias e ondas viajando tanto para a

direita quanto para a esquerda dependendo do comprimento da onda linear.

1.3 Metodo numerico para a equacao fKdV

Nesta secao vamos propor uma metodo numerico para calcular as ondas geradas

pela equacao fKdV obtida na secao anterior:

− 2I31ζτ − 2I31fζx + 3I41ζζx + J1ζxxx = hx(x), (1.22)

onde os coeficientes I31, I41, J1 sao dados em (1.20) e h e um forcante. Fisicamente, h pode

representar uma topografia ou uma pressao sobre a superfıcie livre ζ. Particularmente,

estamos interessados no caso em que ondas sao geradas por uma pressao ou uma topografia

localizada, isto e, h decai a zero quando x→ ±∞. Desta forma a superfıcie livre encontra-

se inicialmente em repouso.

Para resolvermos (1.22) numericamente usaremos um metodo pseudospectral com

fator de integracao. O fator de integracao nos permite resolver a parte linear do problema

analıticamente e assim evitamos problemas de instabilidade numerica. Vamos discretizar

os intervalos x ∈ [−L,L] e τ ∈ [0, T ], onde L, T sao constantes positivas com pontos

igualmente espacados tais que

xn = −L+ (n− 1)∆x, n = 1, 2, ..., Nx = 2J onde ∆x =2L

Nx

, J ∈ N,

e

τm = (m− 1)∆τ, m = 1, 2, ...,M onde ∆τ =T

M, M ∈ N.

Como faremos uso de transformadas discretas de Fourier (TDF) na variavel espacial x,

devemos considerar o numero de pontos na malha espacial da forma 2J com J ∈ N, (vide

[25]).

Tomando a transformada de Fourier na variavel espacial, x em (1.22), entao

− 2I31ζτ − 2I31(ik)f ζ +3

2I41(ik)ζ2 + J1(ik)3ζ = (ik)h(k). (1.23)

Dividindo ambos lados das equacoes (1.23) por −2I31 resulta

ζτ + (ik)f ζ − 3

4

I41

I31

(ik)ζ2 − J1

2I31

(ik)3ζ = − (ik)

2I31

h(k).

Consideremos o fator de integracao

E(k, τ) = exp(

(ik)f − J1

2I31

(ik)3)τ.

35

Multiplicando ambos os lados da equacao (1.23) pelo fator de integracao resulta

d

dτ

E(k, τ)ζ

+ E(k, τ)ζ2 = −E(k, τ)

(ik)

2I31

h(k). (1.24)

Definindo

U(k, τ) = E(k, τ)ζ , (1.25)

e considerando a condicao incial nula obtemos a famılia de equacoes diferencias ordinarias

a um parametro k

Uτ + EF((F−1(E−1U))2) = −E (ik)

2I31

h(k). (1.26)

Resolvemos o problema (1.26) discretizando o operador transformada de Fourier (F),

usando a transformada discreta de Fourier. A evolucao da equacao no tempo e computada

usando o metodo de Runge-Kutta de quarta ordem com passo no tempo ∆τ . Por fim,

usando a relacao (1.25) obtemos ζ.

Observacao: A TDF e ultilizada em funcoes periodicas, e em princıpio nao

estamos impondo periodicidade nas funcoes. No entanto, isto nao e uma restricao uma

vez que escolhendo um domınio computacional suficientemente grande, isto e, L 1

teremos que tanto ζ como h sao aproximadamente zero em ξ = ±L. Desta forma, os

efeitos das condicoes de fronteira afetarao a solucao computada apenas para os valores de

τ suficientemente grandes.

36

1.4 Simulacoes numericas para a equacao fKdV

Nesta secao vamos resolver numericamente a equacao de fKdV (1.17). Como os

efeitos da topografia e pressao sao os mesmos sobre a equacao, vamos considerar apenas um

deles. Sem perda de generalidade vamos considerar o caso com topografia. A topografia

sera denotada por h(x). Desta forma, vamos estudar a equacao:

−2I31ζτ − 2I31fζx + 3I41ζζx + J1ζxxx = hx(x).

Para nossas simulacoes vamos considerar os seguintes parametros:

• O passo na malha espacial e ∆x = 0.1.

• O numero de pontos igualmente espacados e Nx = 212.

• O perfil da onda inicial e nulo.

• A topografia no domınio fısico e h(x) =e−x

2

√π

.

• O passo na malha temporal e ∆τ = 0.01.

Figura 1.3: A figura mostra a evolucao da superfıcie livre para f = −0.5 e Ω = 0.

Em [24], [22] e [29], foram identificados tres padroes distintos de ondas na presenca

de uma correnteza constante. Para o caso subcrıtico (f < 0) foi observado um trem de

ondas periodicas descendo rio abaixo (a direita da origem), denomindado ondas de Lee.

37

A figura 1.3 mostra a evolucao da onda gerada devido a interacao entre a corren-

teza constante e a topografia no caso subcrıtico. Vemos que ondas sao geradas contra e

a favor da correnteza, o que esta de acordo com o que a teoria linear preve. A favor da

correnteza vemos um trem de ondas descendo rio abaixo e a esquerda vemos um transiente

subindo rio acima. Diminuindo f e possıvel obter uma solucao estacionaria. Neste caso

a solucao estacionaria correspondente e uma superfıcie de elevacao a esquerda da topo-

grafia e um trem de ondas estacionario a direita da topografia. A medida que o numero

de Froude se aproxima de 1 a amplitude das ondas subindo rio acima aumentam e ondas

estacionarias nao podem ser obtidas.

Para o caso crıtico (f = 0), foi observado que ondas solitarias sao geradas perio-

dicamente subindo rio acima para a equacao de fKdV. Este fenomeno nao e observado em

modelos mais simples, como na equacao de fKdV linearizada ou modelo linear (3). Neste

caso nao ha possibilidade de ondas estacionarias. A figura 1.4 mostra ondas geradas para

o caso crıtico. O trem de ondas descendo rio abaixo persiste, e o transiente da lugar a

um trem de ondas solitarias subindo rio acima.

Figura 1.4: A figura mostra a evolucao da superfıcie livre para f = 0 e Ω = 0.

No caso supercrıtico (f > 0) a correnteza e forte o suficiente de modo que ondas

subindo rio acima nao sejam produzidas. Alem disso, a superfıcie livre encontra-se em

ressonancia com a topografia em uma vizinhanca da topografia. Este tipo de comporta-

mento esta de acordo com a teoria linear para a fKdV. Alem disso, tal comportamento foi

previsto anteriormente no problema linear (3). A figura 1.5 mostra as ondas geradas no

caso supercrıtico com f = 0.75. Neste caso a solucao estacionaria correspondente e uma

superfıcie de elevacao em ressonancia com a topografia.

38

Figura 1.5: A figura mostra a evolucao da superfıcie livre para f = 0.75 e Ω = 0.

Agora estamos interessados em ver o efeito da correnteza nao-uniforme sobre

essas ondas. A nao-uniformidade afeta apenas os coeficientes da equacao de fKdV. Como

a correnteza considerada e da forma (1.18) temos que para Ω < 0 a correnteza sera mais

forte no fundo e para Ω > 0 a correnteza sera mais forte na superfıcie. Fisicamente, o

numero de ondas geradas rio acima deve ser maior para Ω < 0. Isso deve-se ao fato

que as ondas subindo rio acima sao ondas refletidas pela topografia. A figura 1.6 mostra

ondas geradas para o caso crıtico, contudo a correnteza nao e mais uniforme. A figura a

esquerda mostra o caso em que a correnteza e mais forte no fundo e diminue linearmente

a medida que se aproxima da superfıcie livre. Na figura 1.6 a direita vemos o caso em

que a correnteza e menor no fundo e aumenta linearmente a medida que se aproxima

da supefıcie livre. Comparando as duas figuras vemos que no caso em que a correnteza e

maior no fundo as ondas geradas tem amplitude maior e sao mais ıngremes. Isto trata-se

de um efeito puramente nao linear, por esta razao tal comportamente nao foi previsto

pela equacao de fKdV linear.

Figura 1.6: A figura a esquerda mostra as ondas geradas no caso crıtico com Ω = −0.5 e

a figura a direita mostra o caso crıtico com Ω = 0.5.

39

Na figura 1.7 vemos uma comparacao entre as solucoes mostradas na figura 1.6

para um tempo fixado. E possivel ver que o numero de ondas geradas rio acima e maior

para o caso em que a correnteza e maior no fundo. Alem disso, quando a correnteza e mais

forte na superfıcie livre, vemos que o trem de ondas descendo rio abaixo se desloca mais

rapido. Para o trem de ondas subindo rio acima observamos que as ondas se deslocam

mais devagar. Isto ocorre pois neste caso, as ondas viajam em direcao oposta a correnteza.

-40 -20 0 20 40 60 80

x

-0.5

0

0.5

1

Figura 1.7: A figura mostra a evolucao da superfıcie livre no caso crıtico, no instante

τ = 30. Em vermelho Ω = 0.5 e em azul Ω = −0.5.

Para o caso supercrıtico, quando o caso ressonante aparece, observamos que a

amplitude da onda em ressonancia com a topografia aumenta no caso em que a velocidade

da correnteza e maior no fundo, alem disso as ondas se tornam mais ıngremes. Na figura

1.8 a esquerda vemos o caso em que a correnteza e maior no fundo e aumenta linearmente

a medida que se aproxima da superfıcie. A direita vemos o caso em que a correnteza e

menor no fundo e aumenta linearmente a medida que se aproxima da superfıcie livre.

Figura 1.8: A figura a esquerda mostra as ondas geradas no caso supercrıtico f = 0.75

com Ω = −0.5 e a figura a direita mostra o caso supercrıtico f = 0.75 com Ω = 0.5.


para um tempo fixado. E possıvel observar que o trem de ondas descendo rio abaixo viaja

com uma velocidade maior quando a correnteza e maior na superfıcie do que quando a

correnteza e maior no fundo exatamente como previsto pela teoria linear. O efeito da nao

40

linearidade da equacao e observado sobre a amplitude das ondas geradas. Em particular,

em uma vizinhanca da topografia vemos que a amplitude da onda e maior no caso em que

a correnteza e maior no fundo.

-20 0 20 40 60 80 100 120

x

0

0.2

0.4

Figura 1.9: A figura mostra a evolucao da superfıcie livre no caso supercrıtico com f =

0.75, no instante τ = 30. Em vermelho Ω = 0.5 e em azul Ω = −0.5.

Por fim, no caso subcrıtico observamos um comportamento semelhante ao caso

crıtico. Para o caso em que a velocidade e maior no fundo, o numero de ondas geradas e

maior. Alem disso, o trem periodico descendo rio abaixo e mais ıngreme neste caso. Na

figura 1.10 a esquerda vemos o caso em que a velocidade da correnteza e maior no fundo

e a direita a velocidade e maior na superfıcie. No caso em que a velocidade e maior na

superfıcie vemos que o transiente viaja mais devagar. Desta forma, para obtermos uma

onda estacionaria a partir do transiente devemos considerar valores de f menores.

Figura 1.10: A figura a esquerda mostra as ondas geradas no caso subcrıtico f = −0.5

com Ω = −0.5 e a figura a direita mostra o caso subcrıtico f = −0.5 com Ω = 0.5.


para um tempo fixado. E possıvel ver que o trem de ondas descendo rio abaixo viaja mais

rapido no caso em que a correnteza e mais forte na superfıcie, enquanto o transiente viaja

mais rapido no caso em que a correnteza e mais forte no fundo.

41

-20 -10 0 10 20 30 40

x

-0.5

0

0.5

Figura 1.11: A figura mostra a evolucao da superfıcie livre no caso subcrıtico com f =

−0.75, no instante τ = 5. Em vermelho Ω = 0.5 e em azul Ω = −0.5.

Concluımos que o efeito da vorticidade na equacao de fKdV nao altera as solucoes

qualitativamente. Para uma correnteza mais forte no fundo, observamos um numero maior

de ondas geradas descendo e subindo rio acima. Para o caso em que a correnteza e mais

forte na supefıcie, observamos que as ondas viajam para a direita mais rapido em acordo

com a teoria linear. A defasagem pode ser observada nas figuras 1.7, 1.9 e 1.11 . Alem

disso, a nao uniformidade da correnteza combinada com a nao linearidade do problema faz

com que as ondas geradas se tornem mais ıngremes. Por tratar-se de um modelo reduzido,

ao qual os efeitos de dispersao e nao linearidade estao em equilıbrio, a equacao de fKdV

nao captura a quebra de uma onda. No entanto, como sera mostrado nos proximos

capıtulos, a partir das equacoes de Euler poderemos capturar o momento em que essas

ondas ıngremes quebram.

Capıtulo 2

Equacoes de Euler na presenca de

uma pressao movel

2.1 O problema para uma distribuicao de pressao

movel

Neste capıtulo vamos considerar novamente as equacoes apresentadas no capıtulo

anterior para uma topografia plana. No entanto, vamos reformular as equacoes estudadas

anteriormente em termos da teoria do potencial. A motivacao para reformularmos o

problema esta no fato que a componente potencial da velocidade e uma funcao harmonica.

Desta forma, podemos usar a tecnica do mapeamento conforme para mapear o domınio

do fluido em uma faixa lisa. Consideremos novamente as equacoes de Euler em sua

forma vetorial com campo de velocidade−→U (x, y, t) = (u(x, y, t), v(x, y, t)). Neste caso as

equacoes de Euler sao:

−→U t + (

−→U · ∇)

−→U = −∇p

ρ− gj em − h0 < y < ζ(x, t),

∇ ·−→U = 0 em − h0 < y < ζ(x, t),

p = P (x) sobre y = ζ(x, t),


v = 0 sobre y = −h0.

(2.1)

Neste capıtulo vamos supor que todas as variaveis dependentes (ζ, u, v, e p) das equacoes

acima sao suaves e ζ, u, v, p→ 0 quando |x| → ∞. Estamos interessados em estudar o pro-

blema para uma correnteza linear variando verticalmente. Desta forma vamos considerar

a seguinte decomposicao do campo de velocidade

−→U = ∇φ+ (ay + U0, 0), (2.2)

43

44

onde −a e a intensidade da vorticidade e U0 a velocidade da correnteza. A componente

potencial da velocidade e denotada por φ. A seguinte identidade vetorial e valida

(−→U · ∇)

−→U =

1

2∇(−→U ·−→U ) + (∇×

−→U )×

−→U .

Por outro lado temos−→U t = ∇φt,−→U ·−→U = (φx + ay + U0)2 + φ

2

y,

(∇×−→U )×

−→U = −a(−φy, φx)− a(0, ay + U0).

(2.3)

Seja ψ a conjugada harmonica da funcao φ entao

(∇×−→U )×

−→U = −a∇ψ − a∇

[1

2ay2 + U0y

]. (2.4)

Substituindo (2.4), (2.3) na primeira equacao em (2.1) obtemos:

∇[φt +

1

2(φ

2

x + φ2

y) + (ay + U0)φx +1

2(a2y2 + 2U0ay + U2

0 )

− 1

2a2y2 − aU0y − aψ

]= ∇

[− p

ρ− gy

].

Segue-se que

φt +1

2(φ

2

x + φ2

y) + (ay + U0)φx − aψ = −Pρ− gy +B(t).

Temos que B(t) e uma funcao dependente do tempo. Considerando a mudanca de variavel

φ→ φ+

∫ t

0

B(s)ds,

como apresentado em [28] obtemos

φt +1

2(φ

2

x + φ2

y) + (ay + U0)φx − aψ = −Pρ− gy.

Logo, sobre a superfıcie livre y = ζ(x, t) vale

φt +1

2(φ

2

x + φ2

y) + (aζ + U0)φx − aψ = −Pρ− gζ.

Desta forma as equacoes (2.1) podem ser reescritas na formulacao da teoria do potencial

∆φ = 0 em − h0 < y < ζ(x, t),

φy = 0 sobre y = −h0,

ζt + (U0 + aζ + φx)ζx = φy sobre y = ζ(x, t),

φt +1

2(φ

2

x + φ2

y) + (U0 + aζ)φx + gζ − aψ = −Pρ

sobre y = ζ(x, t).

(2.5)

Na seguinte secao vamos adimensionalisar estas equacoes e utilizar a tecnica do mapea-

mento conforme para mapear o domınio do fluido em uma faixa lisa.

45

2.2 O mapeamento conforme

Nesta secao vamos considerar o mapeamento conforme para as equacoes (2.5).

Para isso vamos inicialmente adimensionalisar as equacoes escolhendo h0, (gh0)1/2, (h0/g)1/2

e ρgh0 como as unidades de comprimento, velocidade, tempo e pressao respectivamente.

Observemos que a adimensionalizacao ulitizada nesta secao e diferente da apresentada no

capıtulo anterior. Esta escolha e feita de modo que o potencial φ em variaveis adimensio-

nais seja harmonico. Com estas escolhas temos as seguintes equacoes adimensionalisadas

∆φ = 0 em − 1 < y < ζ(x, t),

φy = 0 sobre y = −1,

ζt + (F + Ωζ + φx)ζx = φy sobre y = ζ(x, t),

φt +1

2(φ

2

x + φ2

y) + (F + Ωζ)φx + ζ − Ωψ = −P sobre y = ζ(x, t),

(2.6)

onde F = U0/(gh0)1/2 e o numero de Froude e Ω = ah0/(gh0)1/2. O termo −Ω e a

vorticidade adimensional. Vamos considerar o mapeamento conforme

z(ξ, η, t) = x(ξ, η, t) + iy(ξ, η, t),

satisfazendo as seguintes condicoes :

y(ξ, 0, t) = ζ(x(ξ, 0, t), t) e y(ξ,−D, t) = −1.

Temos que D e uma funcao que depende de t e sera determinada a posteriori.

Figura 2.1: Descricao do mapeamento conforme em um tempo t.

Observemos que a funcao z(ξ, η, t) = x(ξ, η, t) + iy(ξ, η, t) e analıtica. Assim, as

funcoes x(ξ, η, t), y(ξ, η, t) sao conjugadas harmonicas e satisfazem as relacoes de Cauchy-

Riemann xξ = yη e xη = −yξ. Portanto,

yξξ + yηη = 0 em −D < η < 0,

y = Y(ξ, t) sobre η = 0,

y = −1 sobre η = −D,

(2.7)

46

onde Y(ξ, t) e uma funcao que a priori nao conhecemos. Tomando a transformada de

Fourier na variavel ξ obtemos a seguinte solucao para o problema (2.7)

y(ξ, η, t) = F−1

[sinh(k(η +D))

sinh(kD)Y(k, t)

]+

1

Dη, (2.8)

onde F denota a transformada de Fourier e F−1 a sua inversa. Da relacao de Cauchy-

Riemann xξ = yη segue-se que

xξ(ξ, η, t) = F−1

[kcosh(k(η +D))

sinh(kD)Y(k, t)

]+

1

D. (2.9)

Agora consideremos φ(ξ, η, t) = φ(x(ξ, η, t), y(ξ, η, t), t) o potencial de velocidade

no domınio canonico e seu conjugado harmonico ψ(ξ, η, t) = ψ(x(ξ, η, t), y(ξ, η, t), t). Da

condicao de Neumann em (4.10) obtemos

φη(ξ, 0, t) = φxxη(ξ, 0, t) + φyyη(ξ, 0, t) = 0.

Alem disso, φ e uma funcao harmonica, portanto temos as seguintes equacoes para φ

φξξ + φηη = 0 em −D < η < 0,

φ = Φ(ξ, t) sobre η = 0,

φη = 0 sobre η = −D,

(2.10)

onde Φ(ξ, t) e uma funcao desconhecida. Da relacao de Cauchy-Riemann obtemos que

ψξ(ξ,−D, t) = φη(ξ,−D, t) = 0 e segue-se que ψ(ξ,−D, t) = Q, onde Q e uma funcao

que depende de t. Desta forma temos as seguintes equacoes para ψ

ψξξ + ψηη = 0 em −D < η < 0,

ψ = Ψ(ξ, t) sobre η = 0,

ψ = Q sobre η = −D.

(2.11)

Resolvendo as equacoes (2.10) e (2.11) obtemos

ψ(ξ, η, t) = F−1

[sinh(k(η +D))

sinh(kD)Ψ(k, t)

]− Q

Dη, (2.12)

φ(ξ, η, t) = F−1

[cosh(k(η +D))

cosh(kD)Φ(k, t)

]. (2.13)

Usando a relacao de Cauchy-Riemann −φη = ψξ nas equacoes (2.12) e (2.13) sobre η = 0

segue-se que

Φξ(ξ, t) = F−1

[− icoth(kD)Ψξ(k, t)

]. (2.14)

Das equacoes (2.9) e (2.14) obtemos

Xξ(ξ, t) =1

D− C[Yξ(ξ, t)],

Φξ(ξ, t) = −C[Ψξ(ξ, t)],(2.15)

47

onde X(ξ, t) = x(ξ, 0, t). O operador C[·] e definido da seguinte maneira: Para f(ξ)

definimos

C[f(ξ)] = C0[f(ξ)] + limk→0

icoth(kD)f(k), (2.16)

onde C0[·] = F−1HF [·] e o operador H e definido por:

H(k) =

icoth(kD) se k 6= 0,

0 se k = 0.

Em particular, para funcoes da forma fξ(ξ) temos

C[f(ξ)] = C0[fξ(ξ)]−f(0)

D.

Usando a regra da cadeia obtemos as seguintes relacoes

φξ = φxxξ + φyyξ,

φη = φxxη + φyyη,

φt = φt + φxxt + φyyt.

(2.17)

Usando as relacoes de Cauchy-Riemann

xξ = yη, xη = −yξ, φξ = ψη, φη = −ψξ,

as equacoes (2.17) podem ser reescritas apenas em termos da derivada parcial ∂ξ como

φξ = φxxξ + φyyξ,

ψξ = φxyξ − φyxξ,

φt = φt + φxxt + φyyt.

Invertendo as relacoes acima resulta

φx =1

x2ξ + y2

ξ

(φξxξ + ψξyξ),

φy =1

x2ξ + y2

ξ

(φξyξ − ψξxξ),

φt = φt −1

x2ξ + y2

ξ

(φξxξ + ψξyξ)xt −1

x2ξ + y2

ξ

(φξyξ − ψξxξ)yt.

Em particular, sobre a superfıcie livre η = 0 vale

φx =1

J(ΦξXξ + ΨξYξ),

φy =1

J(ΦξYξ −ΨξXξ),

φt = Φt −1

J(ΦξXξ + ΨξYξ)Xt −

1

J(ΦξYξ −ΨξXξ)Yt.

(2.18)

48

Por J = X2ξ + Y2

ξ denotamos o Jacobiano da transformacao avaliado na superfıcie livre

η = 0. Usando as equacoes (2.18) nas condicoes cinematica e de Bernoulli em (4.10)

resulta que

XξYt − YξXt = −Ψξ − (F + ΩY)Yξ,

Φt + Y +1

J

[− (XξXt + YξYt)Φξ + (XξYt − YξXt)Ψξ +

1

2(Φ2

ξ + Ψ2ξ)

]+

1

J(F + ΩY)(XξΦξ + YξΨξ)− ΩΨ = −P .

(2.19)

Observemos que os termos Xt e Yt em (2.19)1 estao acoplados. Para desacoplar esses

termos vamos encontrar outra equacao que estas funcoes devem satisfazer. Para isso,

consideremos a funcao analıtica

z(ξ, η, t) =xt + iytxξ + iyξ

=xtxξ + ytyξx2ξ + y2

ξ

+ iytxξ − xtyξx2ξ + y2

ξ

.

Definindo Γ(ξ, η, t) = Re(z) e Λ(ξ, η, t) = Im(z) temos Γ,Λ sao conjugadas harmonicas

onde, alem disso, vale (2.19). Desta forma temos o seguinte problema de Laplace para Λ:

Λξξ + Ληη = 0 em −D < η < 0,

Λ = −Θξ(ξ, t)

Jsobre η = 0,

Λ = 0 sobre η = −D,

com Θξ(ξ, t) = Ψξ + FYξ + ΩYYξ. Seja Γ0 a restricao de Γ a η = 0, isto e, Γ(ξ, 0, t) =

Γ0(ξ, t). Entao Γ deve satisfazer o seguinte problema de Laplace:

Γξξ + Γηη = 0 em −D < η < 0,

Γ = Γ0(ξ, t) sobre η = 0,

Γη = 0 sobre η = −D.

Procedendo como nos problemas (2.10) e (2.11) obtemos que

Γ0(ξ, t) = C[

Θξ(ξ, t)

J

].

Segue-se desta equacao e de (2.19)1 que em η = 0

XξYt − YξXt = −Θξ(ξ, t),

XξXt + YξYt = JC[

Θξ(ξ, t)

J

].

Reescrevendo o sistema como um sistema de evolucao obtemos

Xt = XξC[

Θξ(ξ, t)

J

]+ Yξ

Θξ(ξ, t)

J,

Yt = YξC[

Θξ(ξ, t)

J

]− Xξ

Θξ(ξ, t)

J.

(2.20)

49

Por fim podemos escrever o seguinte sistema na superficıe livre η = 0:

Xξ =1

D− C[Yξ],

Yt = YξC[

Θξ

J

]− Xξ

Θξ

J,

Φξ = −C[Ψξ],

Φt = −Y − 1

2J(Φ2

ξ −Ψ2ξ) + ΦξC

[Θξ

J

]− 1

J(F + ΩY)XξΦξ + ΩΨ− P (X).

(2.21)

Estas sao as equacoes de Euler no domınio canonico. Resta determinar D. Escolhemos

D de modo que a solucao nao seja esticada em X em relacao a variavel ξ. Para o caso

periodico isso significa que as funcoes possuem o mesmo perıodo tanto em X quanto em

ξ. Assim, sejam 2L(t) e 2λ(t), respectivamente, os comprimentos de onda no sistema de

coordenadas (ξ, η, t) e (X,Y, t), ou seja,

X(ξ = L(t), t)− X(ξ = −L(t), t) = 2λ(t).

Daı, ⟨Xξ(·, t)

⟩≡ 1

2L(t)

∫ L(t)

−L(t)

Xξ(ξ, t)dξ = 1. (2.22)

Observando que⟨Xξ(·, t)

⟩= Xξ(0, t) segue-se de (2.9) que

λ(t)

L(t)=

Y(0, t)

D(t)+

1

D(t)=

⟨Y(·, t)

⟩+ 1

D(t).

Portanto, para que os comprimentos do domınio fısico e canonico sejam os mesmos deve-

mos impor que

D(t) =⟨Y(·, t)

⟩+ 1. (2.23)

No que se segue, D sera considerado como acima.

Notemos que para resolver o sistema acima os dados iniciais Y(ξ, 0) e Φ(ξ, 0)

devem ser fornecidos. No entanto a equacao (2.21)4 nos mostra que e necessario conhecer

Ψ(ξ, 0). A seguir vamos mostrar como obter Ψ(ξ, t) a partir de Φ(ξ, t). Da equacao

(2.21)3, com k 6= 0, podemos escrever

Ψ(k, t) = itanh(kD)Φ(k, t).

Isto determina Ψ(k, t) para k 6= 0. Alem disso, de (2.21)3 vale

kcoth(kD)Ψ(k, t) = Φξ(k, t).

Fazendo k → 0 obtemos

Ψ(0, t) = DΦξ(0, t).

50

O que determina Ψ(k, t) a partir de Φ(k, t) para todo k. Em particular, determina Ψ(ξ, t).

Outro fato interessante das equacoes (2.21) e que precisamos calcular o limite

limk→0

icoth(kD)F[Θξ

J

](k, t).

Uma maneira de calcular esse limite e observar que Θξ(ξ, t) e J sao suaves e J 6= 0. Assim,

existe M(ξ, t) tal que

Mξ(ξ, t) =Θξ(ξ, t)

J.

Observe que a unicidade de M(·, t) nao e assegurada a menos que uma condicao inicial seja

fornecida. No entanto, uma escolha de⟨M(·, t)

⟩determina uma unica condicao inicial

e desta forma M(·, t) e unicamente determinada. A partir da equacao (2.20)1 podemos

determinar que condicao⟨M(·, t)

⟩deve satisfazer. Por definicao do operador C temos

Xt = XξC0

[Θξ(ξ, t)

J

]+ Yξ

Θξ(ξ, t)

J− Xξ(·, t)

⟨M(·, t)

⟩D

.

Tomando a media em ambos os lados da equacao acima resulta:

⟨Xt(·, t)

⟩=

⟨XξC0

[Θξ

J

]+ Yξ

Θξ

J

⟩(·, t)−

⟨Xξ(·, t)

⟩⟨M(·, t)⟩

D.

Segue-se daı que

⟨M(·, t)

⟩=

D⟨Xξ(·, t)

⟩⟨XξC0

[Θξ

J

]+ Yξ

Θξ

J

⟩(·, t)−D

⟨Xt(·, t)

⟩⟨Xξ(·, t)

⟩ .Esta condicao determina M(·, t) unicamente. Portanto,

limk→0

icoth(kD)F[Θξ

J

](k, t) = − 1⟨

Xξ(·, t)⟩⟨XξC0

[Θξ

J

]+ Yξ

Θξ

J

⟩(·, t) +

⟨Xt(·, t)

⟩⟨Xξ(·, t)

⟩ . (2.24)

Agora note que das equacao (2.21)1 e de (2.23) decorre que

X(ξ, t) = ξ − C0[Y].

Segue-se que⟨Xt(·, t)

⟩= 0. Usando este fato e (2.22) em (2.24) obtemos

limk→0

icoth(kD)F[Θξ

J

](k, t) = −

⟨XξC0

[Θξ

J

]+ Yξ

Θξ

J

⟩(·, t).

No capıtulo seguinte vamos propor um metodo numerico para a resolucao destas equacoes

na presenca de uma topografia. Por esta razao omitiremos resultados numericos neste

capıtulo com respeito as equacoes (2.21).

Capıtulo 3

Equacoes de Euler na presenca de

uma topografia variavel

3.1 O problema para um obstaculo com correnteza

Consideremos as equacoes de Euler em sua forma vetorial na presenca de uma dis-

tribuicao de pressao ao longo da superfıcie livre movendo-se com velocidade constante U0.

Neste capıtulo consideraremos tambem um obstaculo movendo-se com velocidade cons-

tante U0 em ressonancia com a distribuicao de pressao. Vamos reformular as equacoes

de Euler em termos da teoria do potencial. Desta forma podemos usar a tecnica do ma-

peamento conforme para mapear o domınio do fluido em uma faixa lisa. O mapeamento

conforme e feito achatando ambos, obstaculo e superfıcie livre, em uma faixa lisa. Consi-

deremos novamente as equacoes de Euler em sua forma vetorial com campo de velocidade−→U (x, y, t) = (u(x, y, t), v(x, y, t)). As equacoes de Euler que modelam este problema sao:

−→U t + (

−→U · ∇)

−→U = −∇p

ρ− gj em − h0 + h(x+ U0t) < y < ζ(x, t),

∇ ·−→U = 0 em − h0 + h(x+ U0t) < y < ζ(x, t),

p = P (x+ U0t) sobre y = ζ(x, t),


v = ht + hxu sobre y = −h0 + h(x+ U0t).

(3.1)

Neste capıtulo assim como no capıtulo anterior vamos assumir que todas as funcoes

(ζ , u, v, h e p) nas equacoes acima sao suaves e ζ , u, v, h, p→ 0 quando |x| → ∞. Estamos

interessados em estudar o problema para uma correnteza linear variando verticalmente.

Vamos considerar o campo de velocidade da forma

−→U = ∇φ+ (ay, 0), (3.2)

51

52

onde −a e a intensidade da vorticidade. Substituindo (3.2) em (3.1) e procedendo analo-

gamente ao capıtulo anterior, obtemos

∆φ = 0 em − h0 + h(x+ U0t) < y < ζ(x, t),

(U0 − ah0)hx + ahhx + φxhx = φy sobre y = −h0 + h(x+ U0t),

ζt + (aζ + φx)ζx − φy = 0 sobre y = ζ(x, t),

φt +1

2(φ2

x + φ2y) + aζφx + ζ − aψ = −P (x+ U0t)

ρsobre y = ζ(x, t).

(3.3)

Uma outra maneira de estudar o problema e considerar que a pressao e o obstactulo sao

estacionarios e considerar uma correnteza com velocidade constante U0 nas equacoes em

(3.3). Para tal, vamos considerar uma mudanca de variaveis x→ x+ U0t e

ζ(x− U0t, t) = ζ(x, t), φ(x− U0t, y, t) = φ(x, y, t).

Substituindo em (3.3) resulta

∆φ = 0 em − h0 + h(x) < y < ζ(x, t),

(U0 − ah0)hx + ahhx + φxhx = φy sobre y = −h0 + h(x),

ζt + (U0 + aζ + φx)ζx − φy = 0 sobre y = ζ(x, t),

φt +1

2(φ

2

x + φ2

y) + (U0 + aζ)φx + ζ − aψ = −P (x)

ρsobre y = ζ(x, t).

(3.4)

Note que neste referencial a topografia e a pressao sao estacionarios. Na seguinte secao

vamos adimensionalisar estas equacoes e utilizar a tecnica do mapeamento conforme para

mapear o domınio do fluido em uma faixa lisa.

3.2 O mapeamento conforme duplo

Nesta secao vamos considerar o mapeamento conforme para as equacoes (3.4). O

mapeamento sera feito de modo que a superfıcie livre ζ e a topografia h sao achatados

de uma unica vez. Para isso vamos inicialmente adimensionalisar as equacoes escolhendo,

h0, (gh0)1/2, (h0/g)1/2 e ρgh0 como as unidades de comprimento tanto em x como em y,

velocidade, tempo e pressao respectivamente. Com estas escolhas obtemos as seguintes

equacoes adimensionalisadas

∆φ = 0 em − 1 + h(x) < y < ζ(x, t),

(F − Ω)hx + Ωhhx + φxhx = φy sobre y = −1 + h(x),

ζt + (F + Ωζ + φx)ζx − φy = 0 sobre y = ζ(x, t),

φt +1

2(φ

2

x + φ2

y) + (F + Ωζ)φx + ζ − Ωψ = −P (x) sobre y = ζ(x, t).

(3.5)

53

Lembramos que F = U0/(gh0)1/2 e o numero de Froude e Ω = ah0/(gh0)1/2. O termo −Ω

e a vorticidade adimensional. Vamos considerar o mapeamento conforme

z(ξ, η, t) = x(ξ, η, t) + iy(ξ, η, t),

satisfazendo as seguintes condicoes

y(ξ, 0, t) = ζ(x(ξ, 0, t), t) e y(ξ,−D, t) = −1 +H(ξ, t).

Onde H(ξ, t) = h(x(ξ,−D, t)) e D uma funcao que depende de t. Novamente a funcao

D sera determinada a posteriori.

Figura 3.1: Descricao do mapeamento conforme duplo para um tempo t.

Sejam φ = φ(ξ, η, t) a componente potencial da velocidade e ψ = ψ(ξ, η, t) seu

conjugado harmonico no domınio canonico. Denotemos por Φ(ξ, t) e Ψ(ξ, t) o potencial

de velocidade e seu conjugado harmonico avaliados na superfıcie livre η = 0. Por X(ξ, t),

Y(ξ, t) denotamos as coordenadas horizontal e vertical, respectivamente no domıno fısico

avaliadas na superfıcie livre η = 0. Substituindo essas variaveis nas condicoes de Bernoulli

e cinematica em (3.5) e procedendo analogamente ao capıtulo anterior, produzimos

Yt = YξC[

Θξ

J

]− Xξ

Θξ

J,

Φt = −Y − 1

2J(Φ2


[Θξ

J

]− 1

J(F + ΩY)XξΦξ + ΩΨ− P (X),

(3.6)

onde Θξ(ξ, t) = Ψξ + FYξ + ΩYYξ. Note que as condicoes cinematica e de Bernoulli no

domınio canonico sao as mesmas que no caso onde a topografia e plana. Por outro lado, as

funcoes y, φ, ψ sao harmonicas logo, satisfazem problemas de Laplace. A funcao y(ξ, η, t)

satisfaz o seguinte problema:

yξξ + yηη = 0 em −D < η < 0,

y = Y(ξ, t), η = 0,

y = −1 +H, η = −D,

54

onde as condicoes de fronteira sao devidas ao mapeamento conforme. Para o potencial

φ(ξ, η, t) temos o seguinte problema de Laplace:

φξξ + φηη = 0 em −D < η < 0,

φ = Φ(ξ, t), η = 0,

φη = (F − Ω)Hξ + ΩHHξ, η = −D,

onde a condicao no fundo (η = −D) e devida a condicao de Neumann no domınio fısico.

Usando a relacao de Cauchy no fundo η = −D, obtemos que a conjugada harmonica

ψ(ξ, η, t) satisfaz:

ψξξ + ψηη = 0 em −D < η < 0,

ψ = Ψ(ξ, t), η = 0,

ψ = −(F − Ω)H − Ω

2H2 +Q, η = −D.

Q e uma funcao que depende de t. Usando que os problemas acima sao lineares, podemos

escrever as solucoes em termos da transformada de Fourier:

y(ξ, η, t) = F−1

[(Y − H

cosh(kD)

)sinh(k(D + η))

sinh(kD)+

H

cosh(kD)cosh(kη)

]+η

D,

φ(ξ, η, t) = F−1

[cosh(k(D + η))

cosh(kD)Φ +

i(F − Ω)H + iΩ2H2

cosh(kD)sinh(kη)

],

ψ(ξ, η, t) = F−1

[(Ψ +

(F − Ω)H + Ω2H2

cosh(kD)

)sinh(k(D + η))

sinh(kD)

−(F − Ω)H + Ω

2H2

cosh(kD)cosh(kη)

]− Q

Dη.

(3.7)

Usando as relacoes de Cauchy-Riemann xξ = yη, φη = −ψξ nas equacoes (3.7) sobre η = 0

obtemos

Xξ(ξ, t) =1

D+ F−1

[− icoth(kD)

(Yξ(k, t)−

Hξ(k, t)

cosh(kD)

)],

Φξ(ξ, t) = F−1

[− icoth(kD)

(Ψξ(k, t) +

(F − Ω)Hξ(k, t) + Ω2∂ξH2(k, t)

cosh(kD)

)].

(3.8)

Sobre o fundo η = −D temos

xξ(ξ,−D, t) =1

D− C

[F−1

(Yξ

cosh(kD)− Hξ

cosh2(kD)

)]+ T

[Hξ

], (3.9)

onde

T[Hξ

]= F−1itanh(kD)F

[Hξ

].

Agora notemos que da equacao (3.8)1 obtemos que⟨Xξ(·, t)

⟩=

1 +⟨Y(·, t)

⟩−⟨H(·, t)

⟩D

.

55

Como no capıtulo anterior impusemos que o mapeamento conforme preservasse compri-

mento. No caso periodico isto e equivalente a impor que o perıodo das funcoes nos

domınios fısico e canonico sejam iguais. Desta forma, impondo essas condicoes devemos

tomar D como

D = 1 +⟨Y(·, t)

⟩−⟨H(·, t)

⟩. (3.10)

A partir de agora D sera considerado como em (3.10). Das equacoes (3.6) e (3.8) segue-se

que as equacoes de Euler no domınio canonico sao

Xξ =1

D− C

[Yξ −F−1

(Hξ(k, t)

cosh(kD)

)],

Φξ = −C[Ψξ(ξ, t) + F−1

((F − Ω)Hξ(k, t) + Ω

2∂ξH2(k, t)

cosh(kD)

)],

Yt = YξC[

Θξ

J

]− Xξ

Θξ

J,

Φt = −Y − 1

2J(Φ2


[Θξ

J

]− 1

J(F + ΩY)XξΦξ + ΩΨ− P (X).

(3.11)

Alem disso, de (3.9) e da definicao do operador C temos ainda as equacoes

H(ξ, t) = h(Xb(ξ, t)),

Xb(ξ, t) = ξ − C0

[F−1

(Y

cosh(kD)− H

cosh2(kD)

)]+ T

[H].

(3.12)

Vale observar que as equacoes (3.11)-(3.12) sao compatıveis com as equacoes (2.21) no caso

em que a topografia e plana (hx = 0). Assim como no caso em que a topografia e plana,

para resolver o sistema acima os dados iniciais Y(ξ, 0) e Φ(ξ, 0) devem ser fornecidos. No

entanto, a equacao (3.11)4 nos mostra que e necessario conhecer Ψ(ξ, 0). A seguir vamos

mostrar como obter Ψ(ξ, t) a partir de Φ(ξ, t). Da equacao (3.11)2 para k 6= 0 podemos

escrever

Ψ(k, t) = itanh(kD)Φ(k, t)−(F − Ω)H(k, t) + Ω

2H2(k, t)

cosh(kD).

Isto determina Ψ(k, t) para k 6= 0. Alem disso, de (3.11)2 vale

kcoth(kD)Ψ(k, t) = Φξ(k, t)−(F − Ω)H(k, t) + Ω

2H2(k, t)

cosh(kD)kcoth(kD).

Fazendo k → 0 obtemos

Ψ(0, t) = DΦξ(0, t)− (F − Ω)H(0, t) +Ω

2H2(0, t).

O que determina Ψ(k, t) a partir de Φ(k, t) para todo k. Em particular, determina Ψ(ξ, t).

De maneira analoga apresentada no capıtulo anterior obtemos

limk→0

icoth(kD)F[Θξ

J

](k, t) = −

⟨XξC0

[Θξ

J

]+ Yξ

Θξ

J

⟩(·, t).

56

Na secao seguinte um metodo numerico sera discutido para resolver as equacoes (3.11)-

(3.12).

3.3 Metodo numerico para as equacoes de Euler

Consideremos as equacoes de Euler (3.11)-(3.12) no domınio canonico. Para re-

solvermos estas equacoes numericamente usaremos um metodo pseudospectral. Vamos

discretizar os intervalos ξ ∈ [−L,L] e t ∈ [0, T ], onde L, T sao constantes positivas. As

malhas serao tomadas com pontos igualmente espacados

ξn = −L+ (n− 1)∆ξ, n = 1, 2, ..., Nξ = 2J onde ∆ξ =2L

Nξ

, J ∈ N,

e

tm = (m− 1)∆t, m = 1, 2, ...,M onde ∆t =T

M, M ∈ N.

As derivadas em ξ e o operador C serao computados espectralmente atraves da transfor-

mada discreta de Fourier (TDF) na variavel ξ. A fim de aumentarmos a velocidade das

operacoes aritmeticas, devemos considerar o numero de pontos na malha espacial da forma

2J com J ∈ N. As equacoes em (3.12) mostram que Xb(ξ, t) e H(ξ, t) estao relacionados

implicitamente. Para ultilizarmos o metodo de Runge-Kutta, o termo H(ξ, tm) deve ser

conhecido a priori, por esta razao usaremos um metodo iterativo para computa-lo. O

metodo iterativo para calcular o termo H(ξ, tm) e dado por:

Xlb(ξ, tm) = ξ − C0

[F−1

(Y(k, tm)

cosh(kD)− H l(k, tm)

cosh2(kD)

)]+ T

[H l(ξ, tm)

],

H l+1(ξ, tm) = h(Xlb(ξ, tm)).

(3.13)

O metodo iterativo e calculado a cada passo no tempo ∆t, com o criterio de parada

maxξ∈[−L,L]

|H l+1(ξ, tm) − H l(ξ, tm)| < 10−16. A validacao deste metodo numerico sera feita

na seguinte secao.

57

3.4 Validacao do metodo numerico

3.4.1 O problema linear

As equacoes (3.5) sao linearizadas assumindo que a superfıcie livre ζ possui am-

plitude pequena, isto e, ζ ≈ 0 e que a velocidade de deslocamento do fluido e pequena,

isto e, |∇φ| ≈ 0. Com essas hipoteses as equacoes (3.5) se tornam:

∆φ = 0 em − 1 + h(x) < y < 0,


ζt + Fζx = φy sobre y = 0,

φt + Fφx + ζ − Ωψ = −P (x) sobre y = 0.

(3.14)

Diferentemente dos capıtulos 2,3 o mapeamento conforme que vamos considerar e inde-

pendente do tempo. O mapeamento conforme e definido da seguinte maneira

z(ξ, η) = x(ξ, η) + iy(ξ, η),

satisfazendo as seguintes condicoes:

y(ξ, 0) = 0 e y(ξ,−D) = −1 +H(ξ).

Onde H(ξ) = h(x(ξ,−D)) e D e uma constante a ser determinda a posteriori.

Figura 3.2: Descricao do mapeamento conforme.

Sejam φ = φ(ξ, η, t) a componente potencial do campo de velocidade e ψ =

ψ(ξ, η, t) seu conjugado harmonico no domınio canonico. Denotemos por Φ(ξ, t) e Ψ(ξ, t)

o potencial de velocidade e seu conjugado harmonico avaliados na superfıcie livre η = 0

e por x(ξ, 0) = X(ξ) a coordenada horizontal no domıno fısico avaliada na superfıcie

livre η = 0. Desta forma o Jacobiano na superıcie livre e dado por J(ξ) = M(ξ)2, onde

58

M(ξ) ≡ Xξ. Por outro lado, as funcoes y, φ, ψ sao harmonicas e satisfazem os seguintes

problemas de Laplace:

yξξ + yηη = 0 em −D < η < 0,

y = 0, η = 0,

y = −1 +H, η = −D,

φξξ + φηη = 0 em −D < η < 0,

φ = Φ(ξ, t), η = 0,

φη = (F − Ω)Hξ + ΩHHξ, η = −D,

e

ψξξ + ψηη = 0 em −D < η < 0,

ψ = Ψ(ξ, t), η = 0,

ψ = −(F − Ω)H − Ω

2H2 +Q, η = −D,

onde Q e uma funcao que depende de t. Usando a Transformada de Fourier podemos

expressar as solucoes dos problemas acima como:

y(ξ, η) = F−1

[cosh(kη)

cosh(kD)H −

(H

cosh(kD)

)sinh(k(D + η))

sinh(kD)

]+η

D,

φ(ξ, η, t) = F−1

[cosh(k(D + η))

cosh(kD)Φ +

i(F − Ω)H + iΩ2H2

cosh(kD)sinh(kη)

],

ψ(ξ, η, t) = F−1

[(Ψ +

(F − Ω)H + Ω2H2

cosh(kD)

)sinh(k(D + η))

sinh(kD)

−(F − Ω)H + Ω

2H2

cosh(kD)cosh(kη)

]− Q

Dη.

(3.15)

Usando as relacoes de Cauchy-Riemann xξ = yη, φη = −ψξ sobre η = 0 nas equacoes

(3.15) obtemos

Xξ =1− H(0)

D+ F−1

[icoth(kD)

(Hξ(k)

cosh(kD)

)],

Φξ = F−1

[− icoth(kD)

(Ψξ(k, t) +

(F − Ω)Hξ(k) + Ω2∂ξH2(k)

cosh(kD)

)],

(3.16)

e sobre o fundo η = −D temos

xξ(ξ,−D, t) =1

D+ C[F−1

(Hξ

cosh2(kD)

)]+ T

[Hξ

]. (3.17)

Agora notemos que da equacao (3.16)1 vale a seguinte equacao para as medias⟨Xξ

⟩=

1−⟨H⟩

D.

59

Para que tenhamos⟨Xξ

⟩= 1, D deve ser tomado como D = 1−

⟨H⟩.

Da equacao (3.14) a condicao cinematica linearizada pode ser reescrita como:

D

Dt

(ζ(x, t)− y

)= 0, onde

D

Dt≡ ∂t + F∂x + φy∂y.

No sistema de coordenadas canonico a posicao da superfıcie ζ e descrita por N(ξ, t), isto e,

ζ(X(ξ), t) = y(ξ,N(ξ, t)). Alem disso, N e uma superfıcie material no domınio canonico,

daı usando que ∂ξ = M(ξ)∂x e ∂η = M(ξ)∂y obtemos

DDt(N(ξ, t)− η

)= 0, onde

DDt≡ ∂t +

F

M(ξ)∂ξ +

φηM(ξ)

∂η.

Reescrevendo as condicoes cinematica e de Bernoulli de (3.14) no domınio canonico resulta

Nt +F

M(ξ)Nξ =

φηM(ξ)

sobre η = 0,

φt +F

M(ξ)φξ + ζ − Ωψ = −P (X) sobre η = 0.

(3.18)

Como supomos ζ ≈ 0, segue-se que N ≈ 0. Daı, usando a serie de Taylor em torno de

η = 0 em y(ξ,N(ξ, t)) produzimos:

ζ(X(ξ), t) = y(ξ,N(ξ, t)) = y(ξ, 0) + yη(ξ, 0)N(ξ, t) = M(ξ)N(ξ, t) +O(N2). (3.19)

Portanto, das equacoes (3.16)-(3.19) segue-se que as equacoes lineares de Euler no domınio

canonico sao:

Xξ =1

D+ C[F−1

(Hξ

cosh(kD)

)],

Φξ = −C[(

Ψξ + F−1

((F − Ω)Hξ + Ω

2∂ξH2

cosh(kD)

))],

Nt = − F

M(ξ)Nξ −

Ψξ

M(ξ),

Φt = −M(ξ)N − F

M(ξ)Φξ + ΩΨ− P (X),

(3.20)

onde

H(ξ) = h(Xb(ξ)),

Xb(ξ) = ξ + C0

[F−1

(H

cosh2(kD)

)]+ T

[H].

(3.21)

O metodo numerico ultilizado para resolver essas equacoes sera o mesmo que foi apresen-

tado no capıtulo 3. Contudo nao ha necessidade de calcular H(ξ) a cada passo no tempo

como em (3.13).

60

3.4.2 Validacao do metodo numerico para o problema linear

Escolhas de metodos numericos capazes de modelar propagacao de ondas sobre

uma topografia variavel vem sendo estudados por exemplo, para modelos reduzidos como

as equacoes de fKdV e Boussineq [13] e [2]. Em [2], Nachbin construiu um mapeamento

conforme achatando a topografia. Diferentemente do metodo numerico apresentado nesta

tese, Nachbin ultilizou o Schwarz-Cristoffel toolbox (ver Driscoll [?]) para computar o

mapeamento conforme numericamente.

O objetivo desta secao e comparar as solucoes de (3.14) com Ω = 0 e P = 0

usando o metodo numerico descrito neste capıtulo com o metodo ao qual o mapeamento

conforme e calculado usando o Schwarz-Cristoffel toolbox apresentado por Nachbin. Em

ambos os metodos a evolucao no tempo e calculada a partir do metodo de Runge-Kutta

de quarta ordem. Para nossas simulacoes vamos considerar os seguintes parametros:

• O passo na malha espacial e ∆ξ = 0.1.

• O numero de pontos igualmente espacados e Nξ = 211.

• O potencial de velocidade e o perfil da onda inicial sao nulos.

• A topografia no domınio fısico e h(x) = Ae−0.01x2 .

• O passo na malha temporal e ∆t = 0.01.

E importante observar que o mapeamento conforme nao depende da correnteza.

Desta forma, o parametro que controla o erro do mapeamento conforme e a amplitude da

topografia. Variando o parametro A, foram observados que erros absolutos sao de pelo

menos ordem 10−4 e os erros relativos sao pelo menos de ordem 10−3 para as superfıcies

livres computadas pelos dois metodos numericos diferentes.

A figura 3.3 mostra uma comparacao entre os Jacobianos calculados a partir

do metodo numerico proposto e usando o Schwarz-Cristoffel toolbox. Neste caso em

particular observamos que o erro relativo e absoluto foram de ordem 10−3. No entanto, a

amplitude da topografia foi considerada como 50% da profundidade. Como veremos, em

termos do problema nao linear, uma topografia de amplitude de tamanho correspondente

a 10% da profundidade faz com que as ondas geradas quebrem. Assim, o metodo se

mostra eficaz para nosso tipo de problema. Alem disso, o metodo se mostrou mais rapido

que o metodo usando o Schwarz-Cristoffel toolbox. Uma deficiencia do Schwarz-Cristoffel

toolbox e que o calculo computacional do mapeamento conforme se torna lento a medida

61

que aumentamos o numero de pontos na malha espacial. Como o problema envolve

uma correnteza, a derivada de h deve ser calculada. Assim, o numero de pontos na

malha espacial para representar a topografia deve ser maior. Por esta razao o calculo

computacional se torna lento. Para o problema nao linear o mapeamento conforme deve

ser computado a cada passo no tempo. Portanto, o uso de Schwarz-Cristoffel toolbox se

torna inviavel. Logo, para mapeamentos conformes que dependem do tempo este metodo

se mostra mais vantajoso.

-60 -40 -20 0 20 40 60

0.2

0.4

0.6

0.8

-60 -40 -20 0 20 40 60

-1

-0.5

0

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1415

0.142

0.1425

0.143

0.1435

0.144

Figura 3.3: A figura mostra uma comparacao entre os Jacobianos avaliados na superfıcie

livre para uma topografia de amplitude A = 0.5. Em azul (linha solida) o Jacobiano foi

computado pelo metodo iterativo e em vermelho (linha tracejada) atraves do Schwarz-

Cristoffel toolbox. A figura mais abaixo e um detalhe da superior

Nas simulacoes abaixo consideramos amplitudes 0 ≤ A ≤ 0.2 e numeros de Froude

0 ≤ F ≤ 0.75 e 1.25 ≤ F ≤ 1.75. As figuras 3.4 e 3.5 mostram que no caso supercrıtico

62

duas ondas sao geradas. Uma onda de elevacao em ressonancia com a topografia e uma

onda de depressao viajando no sentido da correnteza. Comparando ambas as figuras e

possıvel observar que a amplitude das ondas geradas aumenta a medida que aumentamos

a amplitude da topografia. Este tipo de comportamento foi previsto no modelo mais

simples obtido em (3).

-60 -40 -20 0 20 40 60

-0.2

0

0.2

-60 -40 -20 0 20 40 60

-1

-0.5

0

Figura 3.4: A figura mostra a evolucao da superfıcie livre para diferentes valores de t

com F = 1.25 e A = 0.1. Em azul (linha com quadrados) t = 50, em vermelho (linha

tracejada) t = 100 e em preto (linha solida) t = 220.

-60 -40 -20 0 20 40 60-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

-60 -40 -20 0 20 40 60

-1

-0.5

0




63

A figura 3.6 mostra que no caso subcrıtico duas ondas sao geradas. Uma de

depressao que entra em ressonancia com a topografia e uma de elevacao que viaja no

sentido contrario da correnteza. Isto ocorre pois a correnteza nao e forte o suficiente para

arrastar a onda em seu favor. Este fenomeno tambem foi observado no modelo (3) (pagina

11).

-60 -40 -20 0 20 40 60

-0.1

0

0.1

-60 -40 -20 0 20 40 60

-1

-0.5

0




-60 -40 -20 0 20 40 60-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

-60 -40 -20 0 20 40 60

-1

-0.5

0




64

A figura 3.7 mostra que quando aumentamos a amplitude da topografia, ondas

passam a ser geradas rio acima. Este tipo de comportamento nao pode ser observado a

partir das equacoes (3) (pagina 11). No entanto, este fenomeno foi observado na equacao

de fKdV para o caso subcrıtico. Na seguinte secao usaremos a equacao de fKdV obtida

no capıtulo 1 para validar o metodo numerico no regime de aguas rasas (ondas longas) e

fracamente nao linear.

65

3.4.3 O problema fracamente nao linear

A equacao de fKdV deduzida em (1.17) mostra que os efeitos da pressao e da

topografia sao os mesmos. Nesta secao vamos fazer uma breve comparacao utilizando as

equacoes de Euler. No capıtulo 1 vimos que os efeitos da vorticidade sobre a equacao

de fKdV nao alteram a solucao qualitativamente. Por esta razao vamos nos limitar a

mostrar apenas o caso irrotacional. No entanto, adicionando a vorticidade ao problema

os resultados foram validados da mesma forma.

Observamos uma diferenca na velocidade de fase das ondas geradas. Isto pode

ser observado atraves da relacao de dispersao dos dois modelos linearizados. Na ausencia

de vorticidade a equacao de fKdV deduzida em (1.17) e dada por:

ζτ + fζx −3

2ζζx −

1

6ζxxx =

1

2hx(x).

Desta forma para uma topografia plana o problema linearizado e

ζτ + fζx −1

6ζxxx = 0. (3.22)

Procurando solucoes de (3.22) da forma ζ(x, τ) = Aei(kx−ωKτ) obtemos a seguinte relacao

de dispersao:

ωK(k) = fk +1

6k3.

Assim, a velocidade de propagacao de uma onda linear de comprimento λ = 2π/k e

cK(k) = f +1

6k2. (3.23)

Por outro lado, para as equacoes de Euler (3.14) na ausencia de vorticidade, pressao e com

uma topografia plana a velocidade de propagacao de uma onda linear de comprimento

λ = 2π/k e:

c±E(k) = F ±√tanh(k)

k.

Em particular, para ondas longas, k 1 temos

c±E(k) = F ±(

1− 1

6k2 +

1

15k4 +O(k6)

). (3.24)

Logo, para F = 1+f segue-se das equacoes (3.23) e (3.24) que para ondas longas (k 1)

c−E ≈ cK e que para ondas curtas cK ≥ c−E.

A equacao de fKdV foi obtida em um regime de aguas rasas e amplitude fraca.

No entanto as equacoes de Euler (3.5) foram obtidas a partir de outro escalonamento. A

fim de fazer uma comparacao entre as solucoes destas equacoes sejam xK e τ as variaveis

adimensionais de comprimento e tempo, ζK a superfıcie livre e hK a topografia para a

equacao de fKdV. Denotemos por xE e tE as variaveis adimensionais de comprimento,

66

tempo, ζE a superfıcie livre e hE a topografia para a equacoes de Euler. Desta forma

temos que

xE = ε1/2xK , tE = ε−3/2τ, ζE = ε−1ζK , hE = ε2hK . (3.25)

Agora vamos fazer um estudo comparando essas duas equacoes usando os metodos numericos

discutidos nos capıtulos 1 e 3. Para nossas simulacoes vamos considerar os seguintes

parametros para a equacao de fKdV:

• O passo na malha espacial e ∆xK = 0.1.

• O numero de pontos igualmente espacados e NxK = 214.

• O perfil da onda incial sao nulos.

• A topografia e hK(xK) =e−x

2K

√π

.


Os parametros considerados para as equacoes de Euler sao:

• O passo na malha espacial do domınio canonico e ∆ξ = 0.1.


• O potencial de velocidade e o perfil da onda incial sao nulos.

• A topografia no domınio fısico e hE(xE) =ε2e−εx

2E

√π

.

• O passo na malha temporal e ∆tE = 0.01.

• O numero de Froude e F = 1 + εf .

As figuras abaixo mostram uma comparacao entre as solucoes obtidas pela equacao

de fKdV e Euler para diferentes valores do numero de Froude. Vemos que a solucao das

equacoes de Euler convergem para a solucao da equacao de fKdV. Alem disso, a con-

vergencia nao depende do numero de Froude. E importante observar que a equacao de

fKdV foi obtida em um regime ao qual a amplitude da topografia e de ordem ε2. Na

figura 3.8, vemos uma comparacao entre a solucao de fKdV com a solucao de Euler no

67

caso crıtico. E possıvel observar que as ondas descendo rio abaixo viajam mais rapido

para a equacao de fKdV. Isto deve-se a relacao de dispersao das equacoes. No entanto,

a amplitude das ondas de Euler sao maiores. Isto ocorre porque apesar das equacoes de

Euler estarem no regime de fKdV elas contem uma nao linearidade maior.

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

x

-0.5

0

0.5

1

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

x

-0.5

0

0.5

1

Figura 3.8: As figuras mostram a evolucao da superfıcie livre no caso crıtico, f = 0 nos

tempos valores de τ = 30, 60 e ε = 0.1. Em vermelho a solucao foi obtida a partir da

equacao de fKdV e em azul a partir das equacoes de Euler.

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

x

0

0.2

0.4

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

x

0

0.2

0.4

Figura 3.9: As figuras mostram a evolucao da superfıcie livre no caso supercrıtico, f = 0.75

nos tempos valores de τ = 15, 30 e ε = 0.1. Em vermelho a solucao foi obtida a partir da


Na figura 3.9 vemos uma comparacao entre a solucao de fKdV com a solucao

68

de Euler no caso supercrıtico. E possıvel observar uma onda de amplitude maior em

ressonancia com a topografia e ondas descendo rio abaixo. Como no caso crıtico, as ondas

viajam mais rapido para a equacao de fKdV e a amplitude das ondas de Euler sao maiores.

Na figura 3.10 vemos uma comparacao entre a solucao de fKdV com a solucao de Euler

no caso subcrıtico. A analise neste caso e analoga aos casos anteriores.

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

x

-0.5

0

0.5

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

x

-0.5

0

0.5

Figura 3.10: As figuras mostram a evolucao da superfıcie livre no caso subrcrıtico, f =

−0.5 nos tempos valores de τ = 15, 30 e ε = 0.1. Em vermelho a solucao foi obtida a

partir da equacao de fKdV e em azul a partir das equacoes de Euler.

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

x

-0.5

0

0.5

1

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

x

-0.5

0

0.5

1

Figura 3.11: As figuras mostram a evolucao da superfıcie livre no caso crıtico, f = 0 nos

tempos valores de τ = 30, 60 e ε = 0.05. Em vermelho a solucao foi obtida a partir da


69

Na figura 3.11, vemos uma comparacao entre a solucao de fKdV com a solucao de

Euler no caso crıtico. E possıvel observar que a defasagem entre as solucoes e menor neste

caso. A medida que ε→ 0, a aproximacao entre as solucoes melhora isso se deve ao fato

que a fKdV foi obtida a partir de uma analise assintotica de operadores diferenciais. No

entanto, fisicamente podemos pensar que a aproximacao melhora pois a medida que ε→ 0

o comprimento da topografia aumenta. Desta maneira ondas de comprimentos maiores

sao geradas. Assim, a diferenca de fase entre as solucoes diminui. Isto valida o metodo

para o problema nao linear. Na proxima secao vamos ultilizar este metodo numerico para

estudar o que acontece com as solucoes quando aumentamos a amplitude da topografia e

mantemos o numero de Froude proximo de 1.

70

3.5 Os efeitos da amplitude da topografia

Nesta secao vamos analisar a dinamica da superfıcie para as equacoes de Euler a

medida que aumentamos a amplitude da topografia assim como a intensidade da pressao.

Em [22], Grimshaw e Smyth consideraram uma distribuicao de pressao movendo-se com

velocidade constante sobre a superfıcie livre para as equacoes de Euler. Nesta secao o

estudo sera feito como em [22]. Contudo elementos como topografia e vorticidade serao

agregados ao problema.

Para nossas simulacoes vamos considerar os seguintes parametros para as equacoes

de Euler:




• A topografia no domınio fısico e h(x) = Ae−0.1x2 .

• A pressao no domınio fısico e P (x) = Be−0.1x2 .


Para a equacao de fKdV vamos considerar os seguintes parametros:

• O passo na malha espacial e ∆x = 0.1.

• O numero de pontos igualmente espacados e Nx = 214.


• A topografia no domınio fısico e h(x) = e−0.1x2 .


• A vorticidade, Ω e o numero de Froude, F sao relacionados em (1.19).

71

A figura 3.12 mostra uma comparacao entre as ondas geradas pela a equacao

de fKdV e Euler para F = 0.8. A equacao de fKdV produz um trem de ondas suave

descendo rio abaixo com um transiente subindo rio acima. Para o modelo de Euler vemos

a formacao de transiente e um trem de ondas ıngremes descendo rio abaixo. O que gera

uma perda de regularidade da solucao. Neste caso em particular, as ondas geradas pelas

as equacoes de Euler quebram antes que o transiente suba rio acima.

Figura 3.12: As figuras mostram a evolucao das superficies livres obtidas a partir da

equacao de fKdV e Euler com numero de Froude F = 0.8 com A = 0.075, B = 0, Ω = 0

e tempo t = 40.

-60 -40 -20 0 20 40 60

x

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Figura 3.13: As figuras mostram a evolucao das superfıcies livres obtidas a partir da

equacao de fKdV (em azul) e Euler (em vermelho) com numero de Froude F = 0.8 com

A = 0.075, B = 0, Ω = 0 e t = 46.

A figura 3.13 mostra as comparacoes feitas na figura 3.12 para um tempo fixo.

Vemos que a maior onda descendo rio abaixo gerada pelas equacoes de Euler e ıngreme.

Esta onda quebra e como consequencia o transiente nao se desenvolve. E interessante

observar que a onda de amplitude maior descendo rio abaixo nas equacoes de Euler tem

72

amplitude correspondente a 25% da profundidade. No entanto, essa onda e ıngreme o

suficiente para quebrar. E possıvel observar que a equacao de fKdV produz um trem de

de ondas descendo rio abaixo com uma envoltoria de largura maior do que nas equacoes

de Euler. Indicando conter uma banda de numeros de ondas mais estreita do que na

solucao de Euler.

Para o caso crıtico ambos os modelos preveem um trem de ondas descendo rio

abaixo e ondas solitarias subindo rio acima. Todavia, as ondas geradas pela equacao

de fKdV sao suaves e pelas equacoes de Euler ha perda de regularidade. Neste regime

foi observado um choque dispersivo para as equacoes de Euler. Tal comportamento foi

observado muito recentemete por Albalwi, Marchant e Smyth em [18]. Neste artigo, eles

compararam as equacoes de fKdV com uma equacao do tipo fKdV de quinta ordem (ambas

equacoes para uma correnteza uniforme). Eles observaram que o modelo de ordem mais

alta gerava oscilacoes na regiao de formacao do ressalto ondulatorio (“bore”) que indica a

formacao de um choque dispersivo. Alem disso, que o comprimento do ressalto ondulatorio

do modelo de ordem mais alta e menor. A figura 3.14 mostra uma comparacao entre as

ondas geradas pela a equacao de fKdV e Euler para o caso crıtico. Para as equacoes

de Euler, observamos que as ondas geradas apresentam uma amplitude correspondente a

40% da profundidade. Alem disso, estas ondas apresentam cristas ıngremes e oscilacoes

na regiao do ressalto ondulatorio que tambem podem ser observadas. Isto e mostrado em

mais detalhes na figura 3.15.


equacao de fKdV e Euler com numeros de Froude F = 1.0 com A = 0.075, B = 0, Ω = 0.


Os resultados estao de acordo com os resultados apresentados em [18]. E possıvel ver

oscilacoes surgem no modelo de Euler na regiao onde o ressalto ondulatorio e formado.

Contudo, por tratar-se de um problema nao linear o modelo completo de Euler preve

73

que as ondas descendo rio abaixo quebram, enquanto o modelo de fKdV (fracamente nao

linear) nao captura este fenomeno.

-60 -40 -20 0 20 40 60 80

x

-0.2

0

0.2

0.4


equacao de fKdV (em azul) e Euler (em vermelho) com numeros de Froude F = 1.0 com

A = 0.075, B = 0 e Ω = 0 e t = 140.

A figura 3.16 mostra uma comparacao entre as ondas geradas pela a equacao de

fKdV e Euler para o caso supercrıtico. Ainda assim a correnteza nao e forte o suficiente

para arrastar todas ondas geradas em favor da correnteza. Assim, observamos ondas su-

bindo rio acima e um transiente viajando em favor da correnteza. O modelo de fKdV

preve ondas suaves sendo geradas rio acima com uma frequencia menor a observada no

caso crıtico. Por outro lado, devido a amplitude da topografia, a nao linearidade do pro-

blema faz com que as ondas nao consigam subir rio acima, quebrando em uma vizinhanca

da topografia. E interessante observar que antes da quebra da onda, esta onda possui

amplitude correspondente a 70% da profundidade.


equacao de fKdV e Euler com numero de Froude F = 1.2 com A = 0.075, B = 0, Ω = 0.

74


E possıvel observar que a onda subindo o rio gerada pela a equacao de fKdV possui uma

amplitude maior que a onda gerada pela equacao de Euler. No entanto, a nao linearidade

das equacoes de Euler e maior, o que faz com que a onda quebre. Note que a onda quebra

para tempos menores que no caso crıtico. O que e supreendente pois o numero de Froude

nao e crıtico.

-60 -40 -20 0 20 40 60 80

x

0

0.2

0.4

0.6


equacao de fKdV (em azul) e Euler (em vermelho) com numero de Froude F = 1.2 com

A = 0.075, B = 0, Ω = 0 e t = 92.

A equacao de fKdV e uma boa aproximacao para o problema de ondas geradas

devido a interacao de uma correnteza com uma topografia em regimes onde a amplitude da

topografia e de ordemO(ε2). Para amplitudes de ordemO(ε) a equacao de fKdV nao preve

ondas ıngremes nos casos subcrıtico e supercrıtico como ocorre com as equacoes de Euler.

Para o caso crıtico, o modelo de fKdV de quinta ordem proposto por Albalwi, Marchant

e Smyth [18] indica a formacao de um choque dispersivo. Isto de fato foi comprovado

para o modelo das equacoes de Euler. Alem disso, qualitativamente foi observado que

as amplitudes das ondas descendo rio abaixo e subindo rio acima apresentam amplitudes

maiores para o modelo de ordem mais alta. Observamos ainda que a regiao de formacao

do ressalto ondulatorio possui comprimento maior para os modelos de ordem maior. Estes

resultados concordam com os resultados apresentado em [18] para o modelo de fKdV de

quinta ordem.

A seguir vamos fazer breve comparacao entre os efeitos da topografia e pressao

sobre as equacoes de Euler. No regime de fKdV, sabemos que as solucoes de Euler para

pressao e topografia sao equivalentes. Vamos explorar o caso em que a topografia e pressao

sao dadas pela mesma funcao, ambas com uma amplitude de ordem O(ε).

75

3.5.1 Os efeitos da amplitude da topografia e da intensidade da

pressao

Ja sabemos que no regime de fKdV os efeitos de topografia e pressao sobre as

equacoes de Euler sao os mesmos. Fora do regime fKdV, observamos que as ondas geradas

sao qualitativamente as mesmas. No entanto, as ondas geradas pela pressao quebram antes

das ondas geradas pela a topografia. As figuras abaixo foram obtidas para o maior tempo

possıvel antes da quebra das ondas.

Figura 3.18: As figuras mostram a evolucao das superficies livres obtidas a partir das

equacoes de e Euler com numeros de Froude F = 0.8, 1, 1.2 (de cima para baixo) e Ω = 0.

Em vermelho A = 0.075 e B = 0 e em azul A = 0 e B = 0.075.

76

3.5.2 Os efeitos de uma correnteza nao uniforme nas equacoes

de Euler

Para Ω = −0.5 a equacao de fKdV produz ondas subindo rio acima e um trem de

ondas descendo rio abaixo. Para o modelo de Euler vemos a formacao de transiente e um

trem de ondas rio abaixo, no entanto o transiente e mais ıngreme, desta forma o gradiente

da superfıcie livre se aproxima do ponto onde a onda quebra em um tempo menor, o que

nao e previsto na equacao de fKdV. A medida que a vorticidade aumenta, o transiente se

torna suave, desta forma ondas subindo rio acima sao geradas periodicamente.


equacoes de e Euler com vorticidade Ω = −0.5,−0.3,−0.1 (de cima para baixo) com

A = 0.075 e B = 0.

77

Para Ω > 0 tanto a equacao de fKdV quanto as equacoes de Euler produzem

ondas subindo rio acima e um trem de ondas descendo rio abaixo. Qualitativamente nao

vemos diferencas entres estas equacoes ainda que as equacoes de Euler nao estejam no

regime de fKdV.


equacoes de e Euler com vorticidade Ω = 0.5, 0.3, 0.1 (de cima para baixo) com A = 0.075

e B = 0.

Observemos que ambas, a amplitude da topografia e da correnteza controlam o

regime das equacoes. Para amplitudes de ordem O(ε2), observamos que o modelo de

78

fKdV e uma boa aproximacao para o modelo de Euler. Vimos que para amplitudes de

ordem O(ε) as ondas geradas pelas as equacoes de Euler quebram para uma correnteza

uniforme. Quando a correnteza e nao uniforme, para Ω > 0 as ondas geradas pela equacao

de Euler quebram para tempos maiores do que no caso com correnteza uniforme. Para

Ω < 0 as ondas de Euler quebram para tempos menores que no caso onde a correnteza e

uniforme. O diferencial de velocidade da correnteza no fundo e na superfıcie tem um papel

importante. Como discutido no capıtulo 1, a equacao de fKdV preve que ondas geradas

se tornam mais ıngremes a medida que a correnteza e maior no fundo do canal. Assim,

as equacoes de Euler concordam com os resultados obtidos para a equacao de fKdV.

Capıtulo 4

Ondas estacionarias para as equacoes

de Euler

As figuras 1.3, 1.5 mostram que a medida que o tempo passa o transiente viaja se

afastando da regiao onde a topografia esta localizada, permanencendo apenas ondas esta-

cionarias nesta vizinhaca. Desta forma, sao observados dois tipos de ondas estacionarias,

uma de elevacao em ressonancia com a topografia para o caso supercrıtico e um trem de

ondas estacionario com uma onda de depressao mais acentuada sobre a topografia para

o caso subcrıtico. Ondas estacionarias para a equacao de fKdV assim como problemas

relacionados com sua estabilidade foram investigados em [7, 8, 9]. Mais recentemente [22],

Grimshaw e Maleewong estudaram a estabilidade das solucoes de Euler na presenca de

uma distribuicao de pressao movendo-se com velocidade constante ao longo da superfıcie.

Neste trabalho, eles consideraram as ondas estacionarias obtidas a partir do transiente

da solucao de fKdV nos casos subcrıtico e supercrıtico. Estas ondas foram usadas como

dado inicial para as equacoes de Euler e sua estabilidade foi analisada. Na presenca de

uma topografia e uma correnteza constante, Vanden-Broeck [15], utilizou o mapeamento

conforme para calcular ondas estacionarias para as equacoes de Euler. Neste trabalho

Vanden-Broeck obteve diferentes tipos de ondas estacionarias localizadas. No entanto, a

estabilidade numerica destas ondas e a verificacao de que de fato essas ondas sao viajantes

nao foram explorados.

Neste capıtulo vamos propor um metodo numerico baseado no metodo de Newton

para calcular ondas estacionarias para as equacoes de Euler. Depois usaremos o metodo

numerico dependente do tempo, proposto no capıtulo anterior, para validar as solucoes

obtidas. Questoes como a estabilidade das solucoes estacionarias obtidas serao discutidas

numericamente. Alem disso, dissipacao sera adicionada as equacoes de Euler e seu efeito

sobre as solucoes estacionarias sera investigado.

79

80

4.1 O problema linear

Na ausencia de uma correnteza nao e possıvel obter ondas estacionarias para as

equacoes de Euler. Neste caso estuda-se o problema de ondas viajantes. No entanto,

quando uma correnteza e adicionada em direcao oposta a uma onda viajante e possıvel

obter uma onda estacionaria. De acordo com a equacao (3.14) a velocidade de propagacao

de uma onda linear de comprimento λ = 2π/k na ausencia de uma topografia e:

c±(k) = F − Ωtanh(k)

2k±√

Ω2tanh2(k) + 4ktanh(k)

2k. (4.1)

Como estamos interessados em correntezas viajando para a direita, ondas estacionarias

podem ser encontradas apenas quando as ondas lineares viajam para a esquerda. Assim,

vamos considerar c(k) = c−(k). A figura 4.1 mostra a velocidade de propagacao das ondas

lineares em funcao do numero de onda. Da relacao (4.1) vemos que ondas estacionarias

ocorrem apenas quando

F <Ωtanh(k) +

√Ω2tanh2(k) + 4ktanh(k)

2k. (4.2)

Em particular, para o caso irrotacional, vemos que ondas estacionarias ocorrem apenas

quando F < 1. No entanto, como sabemos o modelo nao linear apresenta ondas esta-

cionarias geradas a partir de um transiente em ambos os casos, subcrıtico e supercrıtico.

0 2 4 6 8 10

k

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

c(k)

Figura 4.1: A figura mostra a velocidade de propagacao de ondas de comprimento λ =

2π/k para diferentes valores de Ω e F = 0. Em vermelho (linha tracejada) Ω = 1, em

preto (linha solida) Ω = 0 e em azul (linha com quadrados) Ω = −1.

81

4.2 Metodo numerico para ondas estacionarias

Nesta secao vamos descrever um metodo numerico para encontrar ondas esta-

cionarias para as equacoes de Euler. Para isto vamos considerar um metodo baseado

em TDFs e o metodo de Newton. Buscaremos por ondas estacionarias para diferentes

numeros de Froude e diferentes intensidades da vorticidade. Supondo o problema esta-

cionario (∂t = 0), das equacoes (2.20) concluimos que Θ = 0, ou seja,

Ψξ(ξ) = −FYξ(ξ)−1

2ΩY2

ξ(ξ). (4.3)

Assim, as equacoes (3.11) e (3.12) podem ser reescritas como:

H(ξ) = h(Xb(ξ)),

Xb(ξ) = ξ − C0

[F−1

(Y

cosh(kD)− H

cosh2(kD)

)]+ T

[H],

Xξ(ξ) =1

D− C

[Yξ −F−1

(Hξ(k)

cosh(kD)

)],

Φξ(ξ) = −C[(

Ψξ(k) + F−1

((F − Ω)Hξ(k) + Ω

2∂ξH2(k)

cosh(kD)

))],

Y +1

2J(Φ2

ξ −Ψ2ξ) +

1

J(F + ΩY)XξΦξ − ΩΨ + P (X) = 0.

(4.4)

Vamos discretizar o intervalo ξ ∈ [−L,L], onde L e uma constante positiva com pontos

igualmente espacados, da seguinte forma:

ξn = −L+ (n− 1)∆ξ, n = 1, 2, ..., N = 2M onde ∆ξ =2L

N, M ∈ N.

Cada funcao avaliada em um ponto da grade ξn definida acima sera denotada por Yn :=

Y(ξn), Xn := X(ξn), Φn := Φ(ξn), Ψn := Ψ(ξn), Hn := H(ξn) e Pn := P (Xn). E importante

observar que as equacoes (4.4) podem ser reescritas apenas em termos de Y. No entanto,

manteremos a notacao do problema discreto como a do problema contınuo. A condicao

cinematica e discretizada por:

Gn(Y1,Y2, ...,YN) := Yn +1

2J(Φ2

ξn −Ψ2ξn) +

1

J(F + ΩYn)XξnΦξn − ΩΨn + Pn, (4.5)

para n = 1, 2, ...N . O metodo numerico iterativo proposto anteriormente sera usado

novamente para calcular Hn para n = 1.2...., N . As derivadas em ξ e o operador C sao

computados atraves da transformada discreta de Fourier (TDF) na variavel ξ. O sistema

e resolvido usando o metodo de Newton e a matriz Jacobiana sera calculada da seguinte

maneira:

∂Gn

∂Yl

=Gn(Y1,Y2, ...,Yl + ∆Y, ...,YN)−Gn(Y1,Y2, ...,Yl, ...,YN)

∆Y, (4.6)

82

para n, l = 1, 2, ...N . O criterio de parada ultilizado e∑Nj=1 |Gn(Y1,Y2, ...,YN)|

J≤ 10−16.

4.3 Simulacoes numericas

Para as simulacoes que se seguem vamos supor P = 0. Ondas estacionarias sao

computadas usando o metodo numerico descrito na secao anterior. A solucao obtida

sera ultilizada como dado inicial para as equacoes de Euler dependente do tempo e sera

evoluıda a partir do metodo numerico apresentado no capıtulo anterior.

Para nossas simulacoes vamos considerar os seguintes parametros:



• A chute dado para iniciar o metodo de Newton e Y0(ξ) = 0.

• A topografia no domınio fısico e h(x) = 0.1e−0.1x2 .

Para a validar o metodo numerico vamos considerar:


Em nossas simulacoes, na ausencia de vorticidade ondas estacionarias foram ob-

tidas para numeros de Froude tais que, F ≤ 0.6 e F ≥ 1.3. Para numeros de Froude

0 < F ≤ 0.5 foram observadas ondas estacionarias de depressao com oscilacoes em ambas

as direcoes. Estas ondas se encontram em ressonancia com a topografia. Quando au-

mentamos o numero de Froude para F = 0.6, observamos uma onda de depressao sobre

a topografia. No entanto neste caso as oscilacoes radiadas possuem amplitudes maiores.

Este tipo de onda ainda que na ausencia de vorticidade ate o momento nao e conhecido

na literatura. Para F ≥ 1.3 foram observados ondas estacionarias de elevacao localizadas.

Estas ondas se encontram em ressonancia com a topografia. A figura 4.2 mostra a onda

estacionaria obtida para o caso subcrıtico com F = 0.6. E possıvel observar que oscilacoes

sao geradas em ambas as direcoes. Este tipo de comportamento nao e observado para

ondas estacionarias geradas a partir de um transiente. Isto ocorre pois o metodo numerico

esta restrito a calcular ondas periodicas. Como veremos, e possıvel obter estas ondas es-

83

tacionarias com oscilacoes em ambas as direcoes a partir de ondas geradas a partir de um

transiente. Contudo, devemos adicionar um termo dissipativo nas equacoes de Euler.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

-0.04

-0.02

0

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

-1

-0.8

-0.6

Figura 4.2: A figura mostra a onda estacionaria obtida a partir do metodo numerico

proposto para F = 0.6 e Ω = 0.

A figura 4.3 mostra a onda estacionaria obtida para o caso subcrıtico com F =

0.5. Neste caso vemos apenas uma onda de depressao localizada sobre a topografia. A

amplitude das ondas radiadas e significantemente menor que a amplitude da onda de

depressao em ressonancia com a topografia.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

-0.04

-0.02

0

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

-1

-0.8

-0.6



A figura 4.4 mostra a onda estacionaria obtida para o caso supercrıtico com

84

F = 1.3. Neste caso vemos apenas uma onda de depressao localizada sobre a topografia.

Esta onda consiste na onda estacionaria obtida a partir de um transiente.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.1

0

0.1

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

-1

-0.8

-0.6



Denotaremos as ondas estacionarias obtidas por YS(ξ) e por Y(ξ, t), a solucao

das equacoes de Euler no tempo t com dado dados inicias YS(ξ) para a superfıcie livre

e ΦS(ξ) para o potencial avaliado na superfıcie livre. Em todos os experimentos os erros

absolutos EA sao pelo menos

EA ≡ max0≤t≤1000

maxξ|YS(ξ)− Y(ξ, t)| = O(10−16),

e os erros relativos

ER =EA

maxξ|YS(ξ)|

= O(10−11).

Isto valida o metodo numerico na ausencia de vorticidade.

Na presenca de vorticidade, ondas estacionarias oscilatorias e localizadas foram

observadas. A equacao (4.2) nos indica onde devemos encontrar ondas estacionarias.

Para Ω = 0.5, a teoria linear assegura a existencia de ondas estacionarias para F < 1.3.

Atraves do metodo numerico proposto, ondas estacionarias localizadas de depressao e

elevacao foram observadas quando F ≤ 0.6 e F ≥ 1.6, respectivamente. Ondas de caracter

oscilatorio foram observadas para 0.7 ≤ F ≤ 0.9. A figura 4.5 mostra a onda estacionaria

obtida para o caso subcrıtico com F = 0.9 e Ω = 0.5. E possıvel observar um trem

de ondas em ambas as direcoes e a formacao de uma onda de amplitude maior sobre a

topografia.

85

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

-0.04

-0.02

0

0.02

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

-1

-0.8

-0.6

Figura 4.5: A figura mostra a onda estacionaria o obtida a partir do metodo numerico

proposto para F = 0.9 e Ω = 0.5.

Para Ω = −0.5, a teoria linear assegura a existencia de ondas estacionarias para

F < 0.8. Porem no caso nao linear, fixando Ω = −0.5 ondas estacionarias localizadas

de elevacao foram observadas para F ≥ 1.1. Ondas localizadas de depressao foram ob-

servadas para F < 0.4. Para 0.4 ≤ F < 0.5 foram observados ondas de depressao com

pequenas oscilacoes a direita e a esquerda da regiao de depressao. Veja a figura 4.6.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

-0.04

-0.02

0

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

-1

-0.8

-0.6


proposto para F = 0.4 e Ω = −0.5.

Para Ω = −1.0, ondas estacionarias localizadas de elevacao foram observadas

para F ≥ 0.9 e de depressao para F < 0.3. Contudo, nao foi possıvel encontrar ondas de

86

caracter oscilatorio. No entanto, para Ω = 1.0 tanto ondas localizadas quanto ondas de

caracter oscilatorios foram observadas. Para F < 1, foram observados ondas estacionarias

de suporte compacto e para 1 ≤ F ≤ 1.25, ondas de caracter oscilatorio foram observadas.

A figura 4.7 mostra a onda estacionaria obtida para o caso supercrıtico com F = 1.25 e

Ω = 1. Vemos a formacao de uma onda de depressao sobre a topografia e um trem de

ondas em ambas as direcoes.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

-1

-0.8

-0.6


proposto para F = 1.25 e Ω = 1.0.

Sobre os erros absolutos e relativos definidos acima, no caso onde a vorticidade e

incluıdo observamos pelo menos os seguintes erros:

EA ≡ max0≤t≤1000

maxξ|YS(ξ)− Y(ξ, t)| = O(10−16),

e os erros relativos

ER =EA

maxξ|YS(ξ)|

= O(10−10).

Isto assegura que as ondas obtidas a partir do metodo numerico proposto na presenca de

uma correnteza nao uniforme sao de fato estacionarias. Na seguinte secao vamos analisar

numericamente a estabilidade das solucoes obtidas nessa secao.

87

4.3.1 Estabilidade das solucoes estacionarias

Nesta secao vamos estudar numericamente a estabilidade das ondas estacionarias

obtidas na secao anterior. Denotando por Y0(ξ) uma onda estacionaria, vamos considerar

pertubacoes da forma αY0(ξ), onde α e uma constante positiva. A solucao pertubada

sera ultilizada como dado inicial para as equacoes de Euler e sua evolucao sera estudada.

As ondas estacionarias localizadas se mostraram estaveis com respeito a esse tipo

de perturbacao. Para perturbacoes na amplitude a onda sempre retorna a sua posicao

de equilıbrio. No entanto, para cada onda localizada e possıvel obter um numero crıtico,

αc, tal que, se α ≥ αc estas ondas quebram. Consideremos a solucao numerica obtida na

secao anterior para F = 1.3 e Ω = 0. Para 1 < α ≤ 2.4, observamos que uma massa de

agua se desloca em favor da correnteza, fazendo com que a onda retorne a sua posicao de

equilıbrio. A figura 4.8 mostra a onda estacionaria obtida para F = 1.3 na secao anterior,

com amplitude perturbada, em diferentes tempos. Vemos que parte da agua se desloca

em favor da correnteza fazendo com que a onda retorne para a sua posicao de equilıbrio.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

x

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Figura 4.8: A figura mostra a evolucao da solucao perturbada com α = 1.5 ao longo do

tempo. Em azul (linha tracejada), a solucao em t = 0, em vermelho (linha com quadrados)

em t = 140 e em preto (linha solida) a solucao estacionaria obtida atraves do metodo de

Newton.

Para α ≥ 2.5 a solucao se torna instavel o que ocasiona na quebra da onda. Como

no caso 1 < α < 2.5, massa se desloca no sentido da correnteza, no entanto, isto faz com

que a onda se torne mais ıngreme e consequentemente a onda quebra. A figura 4.9 mostra

a evolucao da superfıcie livre com α = 2.5. E possıvel observar que a onda quebra antes

que o excesso de massa se desloque em favor da correnteza.

Para 0 < α < 1, as solucoes se mostraram estaveis. Em todos os casos, uma onda

88

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

x

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


tempo. Em azul (linha tracejada), a solucao em t = 0, em vermelho (linha solida) em

t = 36.

de depressao foi formada seguida por um trem de ondas dispersivo. Desta forma, massa

foi transferida para a onda localizada sobre a topografia ate esta onda adquirir a forma

da onda estacionaria.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

x

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15



em t = 70 e em preto (linha solida) a solucao estacionaria obtida atraves do metodo de

Newton.

A figura 4.10 ilustra essa dinamica para α = 0.5. Vemos um aumento de massa

89

na onda localizada sobre a topografia. Devido a conservacao de massa, ondas de depressao

surgem. Estas ondas se propagam em favor da correnteza e possuem a forma de um trem

dispersivo.

Agora vamos considerar as solucoes estacionarias com comportamento oscilatorio

obtidas na secao anterior. As ondas estacionarias de caracter oscilatorio tambem se mos-

traram estaveis com respeito a perturbacoes da amplitude. No entanto, uma vez pertur-

bada, essas ondas nao retornam a suas posicoes de equilıbrio. Consideremos a solucao

estacionaria obtida para F = 1.25 e Ω = 1. Para 0 < α < 1, observamos que as ondas

sao estaveis, no entanto elas nao retornam ao estado estacionario como ocorre para as

ondas localizadas. Observamos uma pequena defasagem para a direita e uma perda de

massa na regiao acima da topografia. Essa massa se propaga em ambas direcoes, contudo

em maior quantidade para a direita, e por esta razao um aumento na massa das ondas

descendo rio abaixo foi observado. E importante observar que a dinamica e lenta. Desta

forma, para analisar a dinamica tivemos que considerar tempos grandes. As figuras 4.11

e 4.12 mostram a evolucao das solucoes para α = 0.5. A figura 4.11 mostra que as ondas

descendo rio abaixo se afastam da solucao perturbada, enquanto o trem de ondas subindo

rio acima se aproximam da solucao perturbada.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

x

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02



em t = 80 e em preto (linha solida) em t = 140.

Comparando as figuras 4.11 e 4.12 observamos que as ondas subindo rio acima se

aproximam mais da onda perturbada enquanto as ondas descendo rio abaixo se aproximam

mais da onda estacionaria. Isso ocorre pois a quantidade de massa que viaja para a direita

e maior do que a que viaja para a esquerda. Assim, as amplitude do trem de ondas

90

descendo rio abaixo aumenta e pelo princıpio da conservacao da massa a amplitude do

trem de ondas subindo rio acima diminui.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

x

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02


tempo. Em azul (linha tracejada), a solucao estacionaria obtida atraves do metodo de

Newton, em vermelho (quadrados) em t = 80 e em preto (linha solida) em t = 140.

Para α > 1 observamos que a massa se acumula na regiao acima da topografia.

Neste caso tambem observamos uma defasagem para a esquerda. Alem disso, uma vez que

a solucao e perturbada ela nao retorna a sua posicao de equilıbrio. As figuras 4.13 e 4.14

mostram a evolucao da superfıcie livre para α = 1.5. Como no caso 0 < α < 1, observamos

que as ondas subindo rio acima se aproximam mais da onda perturbada enquanto as ondas

descendo rio se aproximam mais da onda estacionaria.

Ondas estacionarias localizadas e na presenca de oscilacoes laterais se mostraram

estaveis com respeito a perturbacoes em sua amplitude. A principal diferenca entre as on-

das estacionarias localizadas e as ondas estacionarias de caracter oscilatorio esta no fato de

que ondas localizadas sempre retornam a posicao de equilıbrio, salvo perturbacoes gran-

des na amplitude. Ondas estacionarias com oscilacoes laterais quando perturbadas nao

retornam a posicao de equilıbrio, mas permanecem na vizinhanca destas solucoes/pontos

crıticos. Na proxima secao vamos ver como obter solucoes estacionarias geradas a partir

de um transiente usando o metodo de Newton. Nosso estudo se concentrara nas ondas

estacionarias de caracter oscilatorio obtidas na secao anterior. No entanto, as equacoes

de Euler no domınio canonico serao modificadas.

91

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

x

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02



em t = 140 e em preto (linha solida) em t = 250.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

x

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02


tempo. Em azul (linha tracejada), a solucao estacionaria obtida atraves do metodo de

Newton, em vermelho (linha com quadrados) em t = 140 e em preto (linha solida) em

t = 250.

4.3.2 Solucoes estacionarias na presenca de dissipacao

Solucoes estacionarias para as equacoes de Euler podem ser obtidas para os casos

supercrıtico e subcrıtico. Para o caso supercrıtico as ondas localizadas estacionarias sao

ondas de elevacao sobre a topografia. Por tratar-se de ondas localizadas o metodo de

92

Newton e capaz de capturar esse tipo de solucao. Assim, no caso supercrıtico as ondas

obtidas a partir do metodo de Newton e as ondas obtidas a partir de um transiente sao as

mesmas. Para o caso subcrıtico a solucao estacionaria correspondente e uma superfıcie de

elevacao a esquerda da topografia e um trem de ondas estacionario a direita da topografia,

isto pode ser visto na figura 1.3. Como as solucoes capturadas pelo metodo de Newton

sao periodicas este tipo de solucao nao pode ser capturado a partir do repouso no modelo

de evolucao.

Nesta secao vamos considerar as equacoes de Euler no domınio canonico com um

termo dissipativo ad hoc e verificar se estas ondas sao de fato estacionarias atraves das

equacoes de evolucao. Vamos considerar as equacoes (4.4) com o termo dissipativo νΦξξ

adicionado ao lado direito da equacao de Bernoulli (4.4), isto e,

H(ξ) = h(Xb(ξ)),

Xb(ξ) = ξ − C0

[F−1

(Y

cosh(kD)− H

cosh2(kD)

)]+ T

[H],

Xξ(ξ) =1

D− C

[Yξ −F−1

(Hξ(k)

cosh(kD)

)],

Φξ(ξ) = −C[(

Ψξ(k) + F−1

((F − Ω)Hξ(k) + Ω

2∂ξH2(k)

cosh(kD)

))],

Y +1

2J(Φ2

ξ −Ψ2ξ) +

1

J(F + ΩY)XξΦξ − ΩΨ = νΦξξ.

(4.7)

O domınio computacional para nossas simulacoes sera tomado como na secao anterior

com o parametro dissipativo ν tal que 0 ≤ ν ≤ 0.05. O metodo numerico e validado

como feito na secao anterior. Para isto vamos considerar as seguintes equacoes de Euler

modificadas no domınio canonico:

Xξ =1

D− C

[Yξ −F−1

(Hξ(k, t)

cosh(kD)

)],

Φξ = −C[Ψξ(ξ, t) + F−1

((F − Ω)Hξ(k, t) + Ω

2∂ξH2(k, t)

cosh(kD)

)],

Yt = YξC[

Θξ

J

]− Xξ

Θξ

J,

Φt = −Y − 1

2J(Φ2


[Θξ

J

]− 1

J(F + ΩY)XξΦξ + ΩΨ + νΦξξ.

(4.8)

H(ξ, t) = h(Xb(ξ, t)),

Xb(ξ, t) = ξ − C0

[F−1

(Y

cosh(kD)− H

cosh2(kD)

)]+ T

[H].

(4.9)

Na presenca de dissipacao o metodo de Newton foi capaz de capturar ondas estacionarias

semelhantes as solucoes estacionarias obtidas a partir de um transiente para o problema de

93

evolucao. A dissipacao faz com que o sistema perca energia e essa perda de energia afeta

predominantemente as ondas subindo rio acima. Alem disso, foi observado que as ondas

estacionarias calculadas a partir do metodo de Newton variam de maneira contınua com

o parametro ν. A figura 4.15 mostra ondas estacionarias computadas a partir do metodo

de Newton para diferentes valores de ν. Observamos que a medida em que aumentamos

a dissipacao, o trem de ondas subindo rio acima perde energia, e consequentemente a

amplitude destas ondas diminui mais rapidamente do que parte rio abaixo.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

x

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

x

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

x

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

Figura 4.15: As figuras mostram ondas estacionarias para diferentes valores de ν. Em

todas as imagens foram considerados F = 1.25, Ω = 1, a amplitude da topografia e

A = 0.1. De cima para baixo temos ν = 0, ν = 0.01, ν = 0.05.

Apesar do metodo de Newton ser capaz de encontrar ondas estacionarias para

ν > 0.05, verificamos que neste caso as ondas nao sao estacionarias no codigo de evolucao.

A figura 4.16 mostra solucoes estacionarias obtidas para diferentes valores de ν. Neste

caso vemos que a dissipacao afeta ambos, as ondas subindo rio acima e descendo rio

abaixo. Contudo, e possıvel observar a formacao de uma onda estacionaria descendo rio

abaixo quando ν = 0.01.

94

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

x

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

x

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

x

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

Figura 4.16: As figuras mostram ondas estacionarias para diferentes valores de ν. Em

todas as imagens foram considerados F = 0.9, Ω = 0.5, a amplitude da topografia e

A = 0.1. De cima para baixo temos ν = 0, ν = 0.01, ν = 0.05.

Nesta secao mostramos o seguinte: desde que um termo dissipativo seja adici-

onado as equacoes de Euler, qualitativamente e possıvel obter ondas estacionarias se-

melhante as ondas estacionarias obtidas a partir de um transiente usando o metodo de

Newton. No entanto, um estudo mais detalhado precisa ser feito para que resultados

quantitativos sejam obtidos. Assim, devemos obter o valor do coeficiente ν, de maneira

que a perda de energia do sistema seja compatıvel com a amplitude das ondas esta-

cionarias obtidas a partir do metodo de Newton assim como o numero de ondas descendo

rio abaixo seja o mesmo que no caso da onda estacionaria obtida a partir de um transiente.

Apesar da dissipacao ter sido introduzida diretamente nas equacoes de Euler no domınio

canonico, o mesmo pode ser feito no domınio fısico. Pelo custo computacional escolhemos

introduzi-la no domınio canonico.

Conclusoes e projetos futuros

Conclusoes

Neste trabalho foi realizada uma analise qualitativa das ondas geradas devido a

interacao de uma correnteza nao uniforme com uma topografia. Os seguintes problemas

foram estudados:

(1) Ondas fracamente nao lineares produzidas pela interacao de uma correnteza com uma

topografia modeladas pela equacao de fKdV;

(2) Ondas nao lineares produzidas pela interacao de uma correnteza com uma topografia

modeladas pelas equacoes de Euler;

(3) Ondas estacionarias para as equacoes de Euler e sua estabilidade devido a per-

turbacoes na amplitude das ondas;

Para o caso (1) uma equacao do tipo KdV na presenca de uma correnteza nao

uniforme foi inicialmente deduzida por Johnson e Freeman em [12]. No entanto, foi a

primeira vez que uma equacao do tipo KdV foi deduzida no caso em que uma pressao e

uma topografia sao adicionados ao problema com vorticidade. Os efeitos da correnteza

foram estudados. Observamos que as amplitudes das ondas geradas aumentam a medida

que a intensidade da correnteza e aumentada no fundo do canal.

Para o caso (2) foi apresentado uma formulacao atraves da tecnica do mapea-

mento conforme. Esta formulacao permitiu reescrever as equacoes de Euler, achatando

ambos, topografia e superfıcie livre em uma faixa lisa, transformando um problema misto

(de fronteira livre e valor inicial) em um problema de valor inicial em um domınio sim-

plificado. Foi a primeira vez que o mapeamento conforme foi utilizado para achatar a

topografia e superfıcie livre simultaneamente. Este metodo foi validado em diferentes

regimes. Para o regime linear, o metodo numerico proposto foi comparado com os resul-

tados apresentados por Nachbin em [2]. Para o regime fracamente nao linear, o metodo

numerico foi validado a partir da equacao de fKdV deduzida para uma correnteza nao uni-

forme. Observamos que a medida que aumentamos a amplitude da topografia as equacoes95

96

de Euler saem do regime de fKdV. Desta forma a diferenca entre os modelos e evidente.

Para as equacoes de Euler as ondas geradas sao mais ıngremes e quebram, enquanto que

o modelo de fKdV continua prevendo a geracao de ondas suaves. Tal fenomeno foi ob-

servado anteriormente para as equacoes de Euler na presenca de uma pressao viajando

com uma velocidade constante sobre a superfıcie livre por Grimshaw e Maleewong [22].

Contudo, observamos que as ondas geradas devido a pressao quebram para tempos me-

nores quando comparadas com as ondas geradas devido a interacao de uma correnteza

com uma topografia. Para o caso crıtico, mostramos que as equacoes de Euler preveem

um choque dispersivo. Este resultado esta de acordo com o modelo de fKdV de quinta

ordem apresentado recentemente [18].

Para o caso (3) ultilizamos o metodo de Newton para computar ondas esta-

cionarias nao lineares para as equacoes de Euler em diferentes regimes. Foi a primeira

vez que o metodo de Newton foi utilizado neste contexto. Com nosso metodo numerico

foi possıvel obter novos padroes de ondas estacionarias na presenca de uma topogra-

fia e uma correnteza nao uniforme. Essas ondas se mostraram estaveis. No entanto,

quando pertubarmos a amplitude dessas ondas, essas ondas nao retornam a sua posicao

de equilıbrio. Por outro lado, as ondas estacionarias localizadas sempre retornam a sua

posicao de equilıbrio, salvo o caso em que a perturbacao e grande. Dissipacao foi adici-

onada as equacoes de Euler e seus efeitos sobre as ondas estacionarias foram estudados.

Em particular, observamos uma transicao contınua entre as possıveis ondas estacionarias

a medida que o parametro de dissipacao ν se aproxima de zero.

97

Projetos futuros

Queremos estudar varias questoes que se colocam e que sao do interesse de ana-

listas que estudam estes tipos de problema e que ainda nao apresentam teoremas com as

respostas. Nosso estudo computacional no futuro, e dar continuidade e explorar novos

desdobramentos juntamente com o trabalho de Ribeiro-Jr e Nachbin [3, 5]. A continui-

dade deste trabalho deve produzir conjecturas e estimular a intuicao para a producao de

teoria subsequente. Pontos de interesse:

(1) Estudar a inclusao de topografia em problemas de ondas (periodicas) de Stokes,

conforme estudado por Ribeiro-Jr em [3]-[5]. Para isto, vamos considerar as equacoes

lineares da teoria do potencial

∆φ = 0 em − 1 + h(x) < y < 0,


ζt + Fζx − φy = 0 sobre y = 0,

φt + Fφx + ζ − Ωψ = 0 sobre y = 0,

(4.10)

e o sistema dinamico que descreve a trajetoria das partıculas dentro do fluido:

dx

dt= φx(x(t), y(t), t) + Ωy(t) + F,

dy

dt= φy(x(t), y(t), t).

(4.11)

Atraves do mapeamento conforme, vamos computar as trajetorias das partıculas em

(4.11) e estudar os efeitos da topografia nas trajetorias das partıculas. Alem disso,

uma comparacao com os resultados obtidos em [5, 4] sera feita.

(2) Estudar as trajetorias de partıculas de fluido produzidas pela passagem de ondas

nao-lineares. As orbitas das partıculas sao governadas pelo sistema dinamico (4.11)

que dependem da solucao da teoria do potencial nao-linear, que neste caso sao as

equacoes:

∆φ = 0 em − 1 + h(x) < y < ζ(x, t),


ζt + (F + Ωζ + φx)ζx − φy = 0 sobre y = ζ(x, t),

φt +1

2(φ2

x + φ2y) + (F + Ωζ)φx + ζ − Ωψ = −P (x) sobre y = ζ(x, t).

(4.12)

Ribeiro-Jr, Nachbin e Milewski [3] estudaram condicoes para a formacao de pontos

de estagnacao, pontos crıticos do sistema dinamico citado, quando este e formulado

98

no referencial movel da onda em canais com fundo plano. Vamos analisar esse

problema so o efeito da topografia. Este problema e de enorme interesse em Analise.

No caso do problema estudado nesta tese de doutoramento, as orbitas de partıculas

nao foram exploradas de nenhuma forma, teorica ou numerica. Trata-se de um

problema interessante, pois foi mostrado que no regime de ondas longas (aguas rasas)

as equacoes da teoria do potencial nao distigue o efeito de uma pressao viajante

sobre a superfıcie livre de uma correnteza interagindo com a topografia. Comparar

as trajetorias das partıculas sobre a superfıcie livre deve mostrar que no interior do

fluido os efeitos sao distintos. Devido a riqueza da dinamica na superfıcie livre para

diferentes numeros de Froude, e esperado resultados muito interessantes quando as

trajetorias das partıculas forem estudadas, principalmente no caso rotacional.

Referencias

[1] A.L. DYACHENKO, V.E. ZAKHAROV and E.A. KUZNETSOV, Nonlinear dyna-

mics of the free surface of an ideal fluid, Plasma Phys. Rep., 22 916-928, (1996).

[2] A. NACHBIN, A terrain-following boussinesq system, SIAM J. APPL, MATH., 63

905-922 (2003).

[3] A. NACHBIN and R. RIBEIRO-JR, A boundary integral formulation for particle

trajectories in Stokes waves, Discrete and Continuous Dynamical Systems., v. 34, p.

3135-3153, (2014).

[4] R. RIBEIRO-JR, A. NACHBIN and P. MILEWSKI, Flow structure beneath

rotational water waves with stagnation points, J. Fluid Mech., v. 812, p. 792-814,

(2017).

[5] A. NACHBIN and R. RIBEIRO-JR, Capturing the flow beneath water waves, iPhi-

losophical Transactions of the Royal Society., (2017).

[6] B. J. BINDER F. DIAS. and J. M, VANDEN-BROECK, Forced solitary waves and

fronts past submerged obstacles, Chaos 15., 15, 037106, (2005).

[7] R. CAMASSA and T. Y. WU, Stability of forced steady solitary waves, Philos. Trans.

R. Soc. Lond., A337:429-466, (1991).

[8] R. CAMASSA and T. Y. WU, Stability of some stationary solutions for the forced

KdV equation, Physica., D51:295-307, (1991).

[9] F. DIAS, F. NGUYEN and J. M, VANDEN-BROECK, Stability of some stationary

solutions to the forced KdV equation with one or two bumps, Journal of Engineering

Mathematics., 70 pp. 175-189, (2011).

[10] G. ZILL. DENNIS and S. WRIGHT. WARREN, Differential equations with

boundary-value problems, Brooks Cole., 8th edition, (2012).

[11] F. DIAS, and J. M, VANDEN-BROECK, Trapped waves between submerged obs-

tacles, J. Fluid Mech., 509, 93-102, (2004).99

100

[12] N. C. FREEMAN and R. S. JOHNSON, Shallow water waves on shear flows, J.

Fluid Mech., 42, 401-409, (1970).

[13] R. H. GRIMSHAW and N. SMYTH, Resonant flow of a stratified fluid over topo-

graphy, J. Fluid Mech., 169:429-464, (1986).

[14] J. ASAVANANT, M. MALEEWONG and J. CHOI, Computation of free-surface

flows due to pressure distribution, Korean Math. Soc., 16, 137-152, (2001).

[15] J. M. VANDEN-BROECK, Steep solitary waves in water of finite depth with constant

vorticity, J. Fluid Mech., 274, 339-348, (1994).

[16] J. M. VANDEN-BROECK and E. TUCK, Waveless free-surface pressure distribu-

tions, J. Ship Res., 29, 151-158, (1985).

[17] S. LEE, Generation of long water waves by moving disturbances, Ph.D. thesis,

California Institute of Technology, Pasadena, CA., (1985).

[18] M. D. ALBALWI, T. R. MARCHANT and N. F. SMYTH, Higher-order modulation

theory for resonant flow over topography, Physics of Fluids., 29, 077-101, (2017).

[19] P. MILEWSKI, J. M, VANDEN-BROECK and Z. WANG, Dynamics of steep two-

dimensional gravity-capillary solitary waves, J. Fluid Mech., 664:466-477, (2010).

[20] P. MILEWSKI, J. M, VANDEN-BROECK and Z. WANG, Time-dependent gravity-

capillary flows past an obstacle, Wave Motion., 29 63-79, (1999).

[21] L. J. PRATT, On nonlinear flow with multiple obstructions, J .Atmos. Sci., 41:1214-

1225, (1984).

[22] R. GRIMSHAW, and M. MALEEWONG, Stability of steady gravity waves genera-

ted by a moving localized pressure disturbance in water of finite depth, Phys. Fluids.,

25, 076605, (2013).

[23] T. DRISCOLL, The schwarz-christoffel toolbox for matlab,

http://www.math.udel.edu/ driscoll/software/SC.

[24] T.R. AKYLAS, On the excitation of long nonlinear water waves by a moving pressure

distribution, J Fluid. Mech., 141:455-466, (1984).

[25] L. N. TREFETHEN, Spectral Methods in MATLAB, Philadelphia: SIAM., (2001).

[26] W. CHOI, Nonlinear surface waves interacting with a linear shear current, IMACS.,

(2009).

101

[27] W. CHOI and R. CAMASSA, Exact evolution equations for surface waves, J. Eng.

Mech., 125:756-760, (1999).

[28] WHITHAM G. B, Linear and Nonlinear Waves, Wiley., (1974).

[29] T. Y. WU, Generation of upstream advancing solitons by moving disturbances, J.

Fluid. Mech., 184:75-99, (1987).

[30] T. Y. WU and D. M. WU, In Proc. 14th Symp. on Naval Hydrodynamics, 4th

Symp. on Naval Hydrodynamics, Washington, D.C. National Academy of Sciences.,

pp. 103-125 (1982).

Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada - IMPA

Estrada Dona Castorina, 110, Jardim Botanico, Rio de Janeiro - RJ

CEP: 22460 - 320

<http://www.impa.br>

Marcelo Velloso Flamarion Vasconcellos - IMPA · 2018. 6. 21. · 101 f. Orientador: Prof. Dr. Andr...

Documents

Transcript of Marcelo Velloso Flamarion Vasconcellos - IMPA · 2018. 6. 21. · 101 f. Orientador: Prof. Dr. Andr...