Maria Isabel Ribeiro António Pascoal · Cap 2 – Modelação de Sistemas Físicos Maria Isabel...

Controlo ‐2ºsem‐2007/2008 © Isabel Ribeiro, António Pascoal

Capítulo 2 ‐Modelação

Cap 2 – Modelação de Sistemas Físicos

Maria Isabel RibeiroAntónio PascoalFevereiro de 2008

Transparências de apoio às aulas teóricas

Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram

elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

CONTROLO2º semestre – 2007/2008



Objectivos

• Definir o que é um modelo e discutir o seu uso para responder a perguntas sobre sistemas físicos

• Introduzir os conceitos de entrada, saída e dinâmica

• Dar exemplos de modelos de sistemas físicos emdomínios diversos

• Linearização

Referênciaso Cap.2 – do livro de Franklin, Powel, Naemi (referência principal)

o Cap.2 ‐ do texto de Karl Astrom, Richard Murray, disponível naWeb.



Revisão sobre Introdução ao Controlo

Controlo =

= Sensoriamento + Computação + Actuação

Sensoriamento / Percepção

Computação

ActuaçãoSistema físico

Sistemas de controlo por retroaçcão ocorrem em muitos domínios

Objectivos do controlo• Modificar o comportamento de sistemas

com as seguintes restrições:

Estabilidade em cadeia fechadaRobustez face a incertezas de modelizaçãoAtenuação de perturbações



Modelos

• Modelo = representação matemática de um sistema físico, biológico, mecânico, de informação, ...

• Um modelo fornece uma predição de como é o comportamento do sistema

• O projecto de controladores para sistemas físicos faz‐se a partir de ummodelo desse sistema. Os modelos não têm que ser exactos.

– Modelos que descrevam muito detalhadamente um sistema podem ser complexos

– Desconhecem‐se todos os fenómenos físicos que regulam o comportamento do sistema

– Na modelação fazem‐se, muitas vezes, hipóteses simplificativas

• A retroacção garante robustez a incertezas (em determinados limites) no modelo

• Os modelos usados para controlo relacionam entradas com saídas e(eventualmente) com variáveis internas do sistema



Modelos

• O modelo que se deriva depende da pergunta a que se pretende responder sobre o sistema físico.– Perguntas diferentes modelos diferentes

– Perguntas iguais mas hipóteses simplificativas diferentes modelosdiferentes

• Ao mesmo sistema físico podem corresponder modelos diferentes

• Devem ser escolhidas escalas de tempo e de espaço adaptadas às questões a que se pretende responder



Modelo

• De entrada‐saída – relaciona directamente a entrada com a saída

• Equação diferencial• Linear ou não linear• Variante ou invariante no tempo

• Função de Transferência• Só para sistemas lineares invariantes no tempo

• De estado – relaciona a entrada, a saída e variáveis internas do sistema

Entrada Saída

r(t) y(t)Sistema



Modelação: Exemplos

Alguns exemplos de sistemas físicos– Sistemas mecânicos

– Circuitos eléctricos

– Sistemas electromecânicos

– Sistemas térmicos

– Sistemas hidráulicos

– Dinâmica de populações

– ......



Sistema de Controlo de Velocidade (Cruise Control)

• Objectivo do sistema de controlo– Manter constante a velocidade do veículo

• Modelo do sistema físico– Entrada: força f(t) gerada pelo motor

– Saída: velocidade v(t) do automóvel

f(t)Sensor develocidade

MotorControladorv(t)vref(t) +

_f(t)

v(t)f(t)

• Qual é o modelo matemático deste sistema físico que relaciona f(t) com v(t) ?

• Fazendo hipóteses simplificativas obtem‐seum modelo.



Sistemas Mecânicos de Translação

Lei de Newton (séc. XVII)

F = soma das forças aplicadas ao corpo (N)v = vector velocidade do corpo (m/s)M = massa do corpo (Kg)mv= momento linear Kgm/s

F= d(mv)/dt

A força total aplicada a um corpo rígido é igual à derivada em ordem ao tempo do seu momento linear




• Massa

• Mola

X

2

2

dt)t(xdm)t(f =

Massa - Armazena energia cinética

m f(t)

X

K

)t(x K)t(fs −=

Mola - Armazena energia potencial

K=constante da mola

fs(t) = força de restituição da mola, resultado de uma deformação (alongamento ou compressão). Kx(t) é a força que é necessário exercer para efectuar o alongamento (x(t)>0) ou a compressão (x(t)<0).

K )t(x K

)t(fs

Elementos Básicos




• Atrito

Elementos Básicos

dt)t(xd )t(fd β−=

Atrito ‐ Elemento dissipador de energia

b=coeficiente de atrito viscoso

X

b

b

Xx(t)

dt)t(xd β

)t(fd

A força de atrito, fd(t), que se opõe ao movimento, é proporcional à velocidade

• simplificação da realidade

• é usualmente uma função não linear da velocidade



Sistema de Controlo de Velocidade (Cruise Control)

v(t)f(t)Qual é o modelo matemático destesistema físico que relaciona f(t) com v(t) assumindo as hipóteses simplificativas ?

Hipóteses simplificativas:• Inércia rotacional das rodasé desprezável

• O atrito que se opõe ao movimento é proporcional à velocidade (atrito viscoso)

• O automóvel move‐se noplano horizontal

β

m f(t)

Força externaaplicada

f(t) dt)t(xd (t)v =

Sistema




Exemplo de 1ª Ordem

β

m f(t) Força externa aplicada

f(t) dt)t(xd (t)v =

Sistema

A força de atrito opõe-se ao movimento

dt)t(dvm

dt)t(xdmaplicadas forças 2

2

==∑

dt)t(dvm)t(v)t(f)t(f)t(f d =β−=+

Força externaForça do atrito

Lei deNewton

)t(f)t(vdt

)t(dvm =β+

• Representação de entrada‐saídao no domínio do tempo

o entrada: f(t)

o saída: v(t)

o Equação diferencial linear decoeficientes constantes de 1ª ordem

o Sistema de 1ª ordem





β

m f(t) Força externa aplicada

f(t) x(t)Sistema

A força de atrito opõe-se ao movimento

2

2

dtx(t)dmaplicadas forças =∑

2

2

d dtx(t)dm

dtdx(t)βf(t)(t)ff(t) =−=+

Força externaForça do atrito

Lei deNewton

f(t)dt

dx(t)βdtx(t)dm 2

2

=+

• Representação de entrada‐saídao no domínio do tempo

o entrada: f(t)

o saída: x(t)

o Equação diferencial linear decoeficientes constantes de 2ª ordem

o Sistema de 2ª ordem





m f(t)Força externa aplicada

f(t) (t)xSistema

2

2

dt)t(xdmaplicadas forças =∑

2

2

dt)t(xdm)t(Kx

dt)t(dx)t(f =−β−

β

K

dt)t(xd β−

)t(Kx−

)t(f)t(Kxdt

)t(dxdt

)t(xdm 2

2

=+β+



Função de Transferência

)t(f)t(vdt

)t(dvm =β+

EQUAÇÃO DIFERENCIAL ‐ Representação matemática do sistema no domínio do tempo

• para uma dada entrada• a saída pode obter‐se por resolução da equaçãodiferencial

Aplicando Transformada de Laplace unilateral e considerando condições iniciais nulas

)s(F)s(V)s(msV =β+

∫∞

τ−

−

ττ=

=

=

0

s de)(x)s(X

)]t(f[TL)s(F

)]t(v[TL)s(V

Transformada de Laplaceunilateral

β+=

ms1

)s(F)s(V FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA ‐ Representação matemática

do sistema no domínio da variável complexa s




SLITr(t) y(t)

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

0.i.c)s(R)s(Y)s(G

=

=

G(s)R(s) Y(s)

Para condições iniciais nulas )s(R).s(G)s(Y =

• A função de transferência é um conceito potente para descrever o comportamento de sistemas do ponto de vista de entrada/saída

• Para SLITs, a função de transferência caracteriza completamente osistema do ponto de vista de entrada‐saída

Quociente da transformada de Laplace do sinal de saída pela transformada de Laplace do sinal de entrada considerando nulas as condições iniciais




SLITr(t) y(t)

0.i.c)s(R)s(Y)s(G

=

=

G(s)R(s) Y(s)r(t) y(t)

R(s) Y(s)

TL TL-1

Obtenção da solução da equação diferencial que é a representação do comportamento de entrada‐saída

)s(R).s(G)s(Y =

Se as condições iniciais forem nulas

A função de transferência é um conceito potentepara descrever o comportamento de sistemas do ponto de vista de entrada/saída

Resolução da eq.diferencial



Função de Transferência e Diagrama de Blocos

v(t)f(t)

)t(f)t(vdt

)t(dvm =β+

β+=

ms1

)s(F)s(V

βms1+ V(s)F(s)

x(t)f(t)

βms1+

V(s)F(s) X(s)

s1

β)s(ms1+

X(s)F(s)

f(t)(t)xβ(t)xm =+ &&&

O mesmo sistema físicoModelos diferentes



Cruise Control (em plano horizontal)

v(t)f(t)

βms1+

V(s)F(s)

Sistema físico

K

modelo do sistema físico

Sistema controladocom controladorproporcional

Vref(s)+

_

?=(s)V

V(s)ref controlador



Sistemas Mecânicos de Rotação

rotação em torno de um eixo

• Lei de Newton‐Euler

A soma dos binários que actuam num corpoé igual ao produto do momento de inérciadesse corpo pela sua aceleração angular.

2

2

dtθ(t)dJT(t) =

2

2

dtθ(t)d

T = soma dos binários aplicados ao sistema (N‐m)

= vector aceleração angular a que o corpo está sujeito (rad/s2)

J = momento de inércia (Kg‐m2) (suposto constante)




• Inércia

• Mola Rotacional

Elementos Básicos

dtdJ

dtθ(t)dJT(t) 2

2 ω==

Armazena energia cinética rotacional

‐ Velocidade angular

θ(t)K (t)Ts −=

Mola armazena energia potencial rotacional

K = constante da mola

Ts(t) = binário de restituição da mola em resultado de uma deformação em torno do ponto de equilíbrio.

é o binário que é necessário exercer paraefectuar a rotação. θ(t)K

ω




• Atrito Rotacional

Elementos Básicos

Atrito ‐ Elemento dissipador de energia

b ‐ coeficiente de atrito viscoso

O binário de atrito Td(t), que se opõe ao movimento, é proporcional à velocidade angular

• simplificação da realidade

• é usualmente uma função não linear da velocidade

ω(t) β(t)Td −=

β



Sistemas mecânicos de rotação

2

1

2

1

1

2

NN

rr==

θθ

A velocidade linear é igual no ponto decontacto das duas rodas

Engrenagem (caixa de desmultiplicação)

2211 θθ rr =

Roda dentada 1 – entrada

Raio -

# dentes - 1N1r

Roda dentada 2 – saída

Raio -

# dentes -2N

2r

a desmultiplicação angular éinversamente proporcional ao quociente do número de dentes.



Sistemas mecânicos de rotação

Engrenagem (caixa de desmultiplicação)

Roda dentada 1 – entrada

Raio -

# dentes - 1N1r

Roda dentada 2 – saída

Raio -

# dentes -2N

2r

1

2

2

1

1

2

NN

TT

==θθ

Supondo que a engrenagem não acumula nem dissipa energia

2211 θθ TT =a “multiplicação” de binário é directamente proporcional ao quociente do número de dentesdas rodas.

Resumo

θ2θ1 Τ1Τ2

1

2

NN

2

1

NN

Energia rotacional



Exemplo: Pêndulo

m

L

mg

θ

PênduloMassa toda concentrada na extremidadeBraço de comprimento L [m]Binário aplicado Tc(t) [N.m]

Pergunta: Como varia o ângulo θ(t) como função de Tc(t)?

Momento de inércia em torno do ponto de rotação = J = mL2

∑= aplicados binários(t)θJ &&

θsin L mg-(t)T(t)θmL c2 =&&

2c

mL(t)Tsinθ

Lg(t)θ =+&&

mg

θ

θmgcos θ

mgsin θ

• Eq. Diferencial não linear• Não se pode obter directamente a Função de Transferência

• Faz‐se linearização

(t)Tc



Carro com pêndulo invertido

http://www.engin.umich.edu/group/ctm/examples/pend/invpen.html

M Massa do carro

m Massa do pêndulo

b Coeficiente de atrito no movimento do carro

L Comprimento do pêndulo

I Inércia do pêndulo

F Força externa aplicada ao carro

x Posição do carro

θ Ângulo do pêndulo relativamente à vertical

Pretende‐se: Equações da dinâmica de movimento do sistema em termos de x e de θ




Soma das forças no referencial horizontal associado ao carro

FNxbxM =++ &&&

Soma das forças no pêndulo na direcção horizontal

sinθθmLcosθθmLxmN 2&&&&& −+=

N = força de reacção (desconhecida) aplicada pelo pêndulo

FsinθθmLcosθθmLxbxm)(M 2 =−+++ &&&&&&




Soma das forças perpendiculares ao pêndulo

cosθxmθmLmgsinθNcosθPsinθ &&&& +=−+Soma dos momentos em torno do centróide do pêndulo

θINLcosθPLsinθ &&=−−

cosθxmLmgLsinθθ)mL(I 2 &&&& −=++




FsinθθmLcosθθmLxbxm)(M 2 =−+++ &&&&&&

cosθxmLmgLsinθθ)mL(I 2 &&&& −=++

Sistema de equações diferenciais não lineares



Sistemas Electromecânicos

Parâmetros característicos:

Ra ‐ resistência – Ohm

La ‐ indutância – Henry

ea ‐ tensão de entrada no circuito da armadura –Volt

ia ‐ corrente no circuito da armadura ‐ Ampere

vb ‐ força contra‐electromotriz – Volt

Tm – binário disponível no veio do motor

Motor de corrente contínua




O rotor gira num campo magnético

Força contra-electromotriz

)(tmbm

bb ωKdt

(t)dθKv ==

Equação do circuito da armadura

aba

aaa e(t)vdtdiLiR =++

tensão de entrada no estator

Forca contra‐electromotriz

tensão aos terminais daresistencia

queda de tensão na bobina

(s)E(s)V(s)sIL(s)IR abaaaa =++

sLR1

aa +

+

_

Ea(s)

Vb(s)

Ia(s) Θm(s)

bsK




Binario acessível no veio do motor

atm IKT =t

maatm K

)s(T)s(I )s(IK)s(T ==

(proporcional a ia; Kt=Kb)

sLR1

aa +

+

_

Ea(s)

Vb(s)

Ia(s)Kt

Tm(s) Qm(s)

bsK

termo em θm

(s)E(s)sΘKK

(s)s)TL(Ramb

t

maa =++

termos em Tm




(s)T(s)Ωβ(s)sΩJ mmmmm =+

Equação do ROTOR

(s)T(s)s)Θβs(J mmm2

m =+

)]t([TL)s( mm ω=Ω

sLR1

aa +

+

_

Ea(s)

Vb(s)

Ia(s)Kt

Tm(s)

)sJ(s1

mm β+

Qm(s)

bsK

Por reduções sucessivas do diagrama de blocos, obtenha a função de transferência do motor.




Se La puder ser desprezada (em comparação com Ra)

(s)T(s)s)Θβs(J mmm2

m =+

(s)E(s)sΘKK

(s)s)TL(Ramb

t

maa =++

(s)E(s)sΘK(s)ΘK

s)βss)(JL(Rambm

t

m2

maa =+++

(s)E(s)sΘK)βs(JKR

ambmmt

a =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

)]RKK(β

J1s[s

)J/(RK(s)E(s)Θ

a

btm

m

mat

a

m

++=

a)s(sK

(s)E(s)Θ

a

m

+=

Função de TRANSFERÊNCIA da forma


Capítulo 2 ‐ModelaçãoControlo de posição de um motor de corrente contínua

Sistema de controlo de posição angular do motor

a)s(sK

(s)E(s)Θ

a

m

+=

a)(sK+ s

1

Integrador(posicao angular é o integral da velocidade angular. Póloem zero!)

Ωm(s)Εa(s)

Θm(s)

Dinâmica davelocidade angular

asK+ s

1+_

K

Θm(s)

Εa(s)

R(s)

KKsasKK

R(s)(s)ΘG(s) 2

m

++==



Dinâmica de condução de um robot móvel

R)t(y

)t(x

)t(θ

WY

W WX

vd(t) – velocidade linear da roda direita

ve(t) – velocidade linear da roda esquerda

L – distância entre rodas

2 rodas motoras traseiras

2 rodas dianteiras não motorizadas

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

+=

+=

L(t)v(t)v(t)θ

(t))sin(2

(t)v(t)v(t)y

(t))cos(2

(t)v(t)v(t)x

ed

ed

ed

&

&

&

θ

θ

Pergunta:

Como variam no tempo a posição (x,y) e orientação θ do veículo em função das velocidades lineares das duas rodas ?

Sistema de 3 equações diferenciais não lineares

rodas motoras



Dinâmica de condução de um robot móvel

R)t(y

)t(x

)t(θ

WY

W WX

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

+=

+=

L(t)v(t)v(t)θ

(t))sin(2

(t)v(t)v(t)y

(t))cos(2

(t)v(t)v(t)x

ed

ed

ed

&

&

&

θ

θ

Controlo:

Que valores devem ter ve(t) e vd(t) para que o veículo siga um determinado caminho?

rodas motoras

Controlador

(x,y,θ)Coordenadas do caminho aseguir

ve

vd

É com base neste modelo do sistema físico (é ummodelo simplificado) que se projecta o controlador



Linearização

v(t)f(t)

β

m f(t)

Força externaaplicada

Sistema não linear Aproximação linear

Exemplo: carro a alta velocidade

dtdv(t)mv(t)βv(t)βf(t) 2

21 =−−

Velocidade elevada Força de atrito: termo linear + termo quadrático

221d v(t)βv(t)β(t)f −−=

Sistema não linear



Linearização: Exemplo

dtdv(t)mv(t)βv(t)βf(t) 2

21 =−−

Condição de equilíbrio

• O que é uma situação de equilíbrio ?• Se o sistema estiver numa situação de equilíbrio e não houver nenhuma perturbação, ele mantém‐se indefinidamente nessa situação

• O sistema está numa situação de equilíbrio quando uma força externa iguala a força de atrito

dinâmica não linear

evctev(t) ==

Caracterização do equilíbrio

0=dt

dv(t) 0vβvβf 2e2e1e =−−

2e2e1e vβvβf += Os pares (ve, fe) que satisfazem esta relação

são pontos de equilíbrio do sistema

Sistema não linear Aproximação linear em torno de uma situação de equilíbrio



Linearização: exemplo

Estudo do comportamento do sistema emtorno de uma situação de equilíbrio (ve, fe)

δv(t)vv(t) e +=

δf(t)ff(t) e +=

2e2e1e

e δv(t))(vβδv(t))(vβδf(t))(fdtδv(t))d(vm +−+−+=

+

221 v(t)βv(t)βf(t)

dtdv(t)m −−=

Incrementos pequenos em torno do equilíbrio

????2e1e βδv(t))(vβδf(t))(fdt

(t)dδm −+−+=v

???linear linearVe=cte.




???=+= 2e

2 δv(t))(vv(t)Apr. série de Taylor em torno do ponto de equilíbriodesprezando os termos não lineares (ordem superior à 1ª)

...)xx(dx

fd21)xx(

dxdf)x(f)x(f 2

0xx

2

2

0xx

0

00

+−+−+≅==

Apr. série de Taylor

δv(t)2vvv(t) e2

e2 +≅ Desprezando termos de ordem superior

δv(t))2v(vβδv(t))(vβδf(t))(fdt

(t)dδm e2e2e1e +−+−+=

v

É válido para incrementos pequenos

v

v2

ve




δv(t))2v(vβδv(t))(vβδf(t))(fdt

(t)dδm e2e2e1e +−+−+=

v

2e2e1e vβvβf += Condição de equilíbrio

δv(t)vβδv(t)βδf(t)dt

(t)dδm e21 2−−=v

δf(t)v(t))vβ(βdt

(t)dδm e21 =++ δ2v Eq. diferencial linear

Função detransferência)]v2β(β[sm

1δF(s)δV(s)

e21 ++=




Função detransferência)]v2β(β[sm

1δF(s)δV(s)

e21 ++=

v(t)f(t)

δv(t)δf(t)

Sistema não linear

Sistema Linearizado δf(t)v(t))vβ(βdt

(t)dδm e21 =++ δ2v

f(t)v(t)βv(t)βdt

dv(t)m 221 =++

•Relaciona incrementos na saída com incrementos na entrada•Os incrementos são em torno de um determinado ponto de equilíbrio (ve,fe)

A localização do pólo depende da velocidade de operação ve



Pêndulo: Linearização

m

L

mg

θ

2c

mL(t)Tsinθ

Lg(t)θ =+&&(t)Tc

Não linear devido ao termo sinθ

0T 0,θ c == Ponto de equilíbrio do sistema

Para θ pequenos (pequenas perturbações em torno do ponto de equilíbrio)

θsinθ ≅

2c

mL(t)Tθ

Lg(t)θ =+&&

Modelo linear que descreve o comportamento do sistema, mas só

para θ pequenos

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