Mariana Marques dos Santos 1 - silabo.pt · MANUELA MAGALHÃES HILL licenciou-se em Matemática...

INVESTIGAÇÃOOPERACIONAL

Vol. 1 – Programação LinearVol. 2 Exercícios de Programação LinearVol. 3 Transportes, Afectação e Optimização em redes

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INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

Vol.

1


PROGRAMAÇÃOLINEAR

MANUELA MAGALHÃES HILL licenciou-se em Matemática Aplicada pela Faculdade de Ciências de Lisboa,frequentou o curso de pós-graduação em Matemática Aplicada à Investigação Operacional da FundaçãoCalouste Gulbenkian e, em 1987, doutorou-se em Economia (Universidade de Keele, R. U.). Actualmente éProfessora Catedrática no Departamento de Métodos Quantitativos do ISCTE onde coordena o mestrado emProspecção e Análise de Dados e lecciona nas licenciaturas e mestrados em Gestão de Empresas eEconomia. Tem coordenado e participado em vários projectos de investigação na especialização de métodosestatísticos e econométricos aplicados às Ciências Sociais. De 1972 a 1988 acumulou as funções docentescom as de técnica no Gabinete de Estudos e Planeamento do Ministério da Educação.

MARIANA MARQUES DOS SANTOS BELMAR DA COSTA é licenciada em Gestão de Empresas pelaUniversidade Católica Portuguesa e detém um MBA pelo INSEAD (Fontainebleau), tendo também frequen-tado o mesmo programa em Kellogg – Northwestern University, em Chicago. De 1989 a 2006, afecta aoDepartamento de Métodos Quantitativos, foi docente universitária no ISCTE. A par das actividadesacadémicas, desenvolveu uma carreira empresarial ligada a diversas áreas e funções. Começando porcolaborar com uma instituição financeira internacional na área de gestão de carteiras de títulos, ingressoudepois numa equipa de capital de risco, onde foi analista de projectos, noutra instituição financeira nacional.Foi também consultora em Madrid, numa empresa multinacional, estando associada a diversos projectosentre os quais o lançamento da sucursal portuguesa. Assumiu de seguida uma sucessão de pelourosinternacionais, dentro de um grupo de empresas na área da construção e engenharia civil, nomeadamenteem Moçambique e na Alemanha, gerindo projectos em diversas áreas como a alimentar ou a produção edistribuição de materiais de construção. Finalmente, iniciou um projecto empresarial próprio na área docomércio internacional de medicamentos, ao qual se dedica actualmente.

Esta obra resulta da experiência das autoras no ensino da InvestigaçãoOperacional e pretende ser um contributo útil para iniciar ou consolidar osconhecimentos nesta área. Destina-se quer aos estudantes das licenciaturasem Gestão, Economia, Matemática, Engenharia ou alunos de pós-graduaçãoe mestrados, quer a todos aqueles que na sua vida profissional necessitam deter uma visão prática da Programação Linear.

Ao longo do livro previligia-se a resolução de problemas concretos, suainterpretação e análise de relativamente às técnicas matemáticasnecessárias à sua obtenção. Numa linguagem simples, a exposição teóricaapresentada é sempre acompanhada com exemplos práticos ilustrativos.

O último capítulo é dedicado ao estudo completo de um caso que sintetizatodos os conhecimentos transmitidos e permite uma visão completa daspotencialidades da Programação Linear como ferramenta auxiliar à tomada dedecisão.

outputs

1VOL.Manuela Magalhães HillMariana Marques dos Santos

EDIÇÕES SÍLABO

PROGRAMAÇÃO

LINEAR220

7897

2618

8155

9ISB

N 9

78-9

72-6

18-8

15-5


PROGRAMAÇÃO LINEAR

Manuela Magalhães Hill

Mariana Marques dos Santos

3ª EdiçãoRevista e Corrigida

EDIÇÕES SÍLABO

É expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer meio ou forma,nomeadamente FOTOCÓPIA, esta obra. As transgressões serão passíveis das penalizaçõesprevistas na legislação em vigor.

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FICHA TÉCNICA

Título: Investigação Operacional – Vol. 1 – Programação LinearAutoras: Manuela Magalhães Hill, Mariana Marques dos Santos Belmar da Costa@ Edições Sílabo e autorasCapa: Pedro Mota

1ª Edição – Lisboa, Setembro de 1999.3ª Edição – Lisboa, Setembro de 2015.Impressão e acabamentos: Europress, Lda.Depósito legal: 396445/15ISBN: 978-972-618-815-5

EDIÇÕES SÍLABO, LDAR. Cidade de Manchester, 21170-100 LisboaTelf: 218130345Fax: 218166719e-mail: [email protected]

Índice

Prefácio 13

Capítulo 1

Introdução

1. Os modelos de programação linear e a investigação operacional 17

2. O problema de programação linear 18

2.1. O problema de programação linear em substituiçãoda análise intuitiva 19

2.2. O problema de programação linear e a definição do objectivo 21

3. Aspectos a considerar na análise, resolução e implementaçãode um processo de decisão 23

3.1. A escolha da abordagem 23

3.2. A formulação do problema 24

3.3. A resolução do problema 25

3.4. A tomada de decisão 26

3.5. A análise pós-optimal 28

3.6. Conclusão 29

Capítulo 2

O modelo geral de programação linear

1. A representação matemática de um problema de programação linear 33

1.1. A formulação de uma situação real 33

1.2. A análise do processo de formulação 35

1.3. Os problemas standard do tipo máximo e do tipo mínimo 41

1.4. A representação dos modelos na forma matricial 48

2. As hipóteses que assistem ao modelo geral de programação linear 50

2.1. Proporcionalidade 50

2.2. Divisibilidade 52

2.3. Não negatividade 53

2.4. Aditividade 54

2.5. Linearidade da função objectivo 55

Capítulo 3

Formulação

1. Casos práticos de formulação 59

2. Problemas tipo 84

2.1. Problema de produção geral 84

2.2. Problema de produção sequencial 86

2.3. Problema da mochila 89

2.4. Problema de misturas ou de dietas 92

2.5. Problema de trim-loss 94

2.6. Problema de Investimentos 96

2.7. Problema de transportes 101

2.8. problema de transexpedição 105

2.9. Problema de afectação 112

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 115

Capítulo 4

Resolução gráfica

1. Resolução gráfica de um problema standard tipo máximo 125

2. Resolução gráfica de um problema standard do tipo mínimo 131

3. Resolução gráfica de um problema misto 135

3.1. Problema original 135

3.2. Problema revisto 138

4. A representação gráfica de uma solução múltipla 140

4.1. Problema original 140

4.2. Problema revisto 143


Capítulo 5

Resolução pelo algoritmo do simplexe sua interpretação económica

1. O algoritmo 151

1.1. Formulação 152

1.2. Resolução gráfica 152

1.3. Forma canónica 155

1.4. Quadro inicial do simplex 157

1.5. Melhoria da solução 158

1.6. Teste de optimalidade 162

1.7. Melhoria da solução 163

1.8. Novo teste de optimalidade 164

2. A interpretação do algoritmo do simplex 165

2.1. Forma canónica 165

2.2. Algoritmo do simplex 179


Capítulo 6

Casos especiais

1. Solução degenerada 203

2. Solução óptima múltipla 213

3. Solução ilimitada 218


Capítulo 7

Resolução de problemas com variáveis artificiais

1. O método do grande M ou das penalidades 228

2. O método das duas fases 236

3. Casos práticos 248

3.1. Problema de maximização 248

3.2. Problema de minimização 259


Capítulo 8

Dualidade

1. O problema dual 270

1.1. Os preços sombra 271

1.2. As funções objectivo primal e dual 276

1.3. Os custos reduzidos 278

1.4. Conclusão da apresentação do problema dual 283

2. Relações entre uma formulação primal e o seu dual 285

2.1. Regras de transformação primal-dual 285

2.2. Os procedimentos matemáticos de transformaçãode problemas 287

3. Relações entre uma solução primal e o seu dual 291

4. Importância da dualidade 293

5. A questão da dualidade na noção de valor 294

6. Casos práticos de dualidade 297

6.1. Problema standard do tipo máximo 297

6.2. Problema standard do tipo mínimo 303

6.3. Problema misto 308


Capítulo 9

Relações primal-dual

1. Introdução 317

2. Relações primal-dual 318

2.1. Análise da solução óptima 318

2.2. Relações primal-dual 323

3. Relações de complementaridade 329

3.1. Apresentação e cálculo das relações de complementaridade 330

3.2. Interpretação económica das relações de complementaridade 332

4. Caso prático de aplicação das relações primal-dual 340

4.1. O problema 340

4.2. Formulação 341

4.3. Quadro inicial do simplex 342

4.4. Resolução gráfica 342

4.5. A solução óptima, obtida com base nas relações primal-dual 344

4.6. Interpretação das relações de complementaridade 347


Capítulo 10

Análise de sensibilidade e de variação

1. Análise de sensibilidade 359

1.1. Introdução 359

1.2. Análise de sensibilidade para os coeficientesda função objectivo original 362

1.3. Análise de sensibilidade para os lados direitosdas restrições originais 371

1.4. Análise de sensibilidade para os coeficientes técnicosdas restrições originais 384

2. Análise de variação 388

2.1. Variação dos coeficientes da função objectivo 390

2.2. Variação dos lados direitos das restrições 393

2.3. Variação dos coeficientes técnicos 399

3. Casos práticos de análise pós-optimal 402

3.1. Problema de maximização 403

3.2. Problema de minimização 411

3.3. Conclusões 421


Capítulo 11

Análise de outputs

1. Introdução 431

2. Exemplo de produção 432

2.1. O problema 432

2.2. O output 433

2.3. A interpretação da solução óptima 442

2.4. Análise pós-optimal 443

3. Exemplo de comercialização 449

3.1. O problema 449

3.2. O output 450

3.3. Interpretação da solução óptima 451

3.4. Análise pós-optimal 451

3.5. O quadro final do simplex 454

4. Exemplo de minimização de custos 456

4.1. O problema 456

4.2. A formulação 457

4.3. O output 457

4.4. A interpretação da solução óptima 461

4.5. Os intervalos de sensibilidade 462


Capítulo 12

Caso prático de programação linear

1. A situação 477

1.1. Formulação do problema 478

1.2. Resolução gráfica do problema 481

1.3. Resolução pelo algoritmo do simplex 485

1.4. Apresentação do problema dual 489

1.5. Análise e interpretação do problema dual 490

1.6. Interpretação do quadro óptimo do simplex 492

1.7. Aplicação das relações primal-dual 493

1.8. Análise de sensibilidade para os termos independentesdas restrições 497

1.9. Análise de sensibilidade para um coeficiente originalda função objectivo 504

1.10. Análise de variação considerando a solução óptimaapresentada no quadro do simplex 508

1.11. Análise do output que traduz a solução do problema 518

Exercícios propostos (saídos em exames) 519

Bibliografia 527

Prefácio

Os desenvolvimentos ocorridos nas últimas décadas na área dos métodosquantitativos aplicados à tomada de decisão, resultantes da revolução infor-mática, fizeram com que no dia a dia de muitas organizações a InvestigaçãoOperacional se tenha tornado de extrema utilidade. Uma das áreas onde oimpacto se tornou mais notório foi na área da Programação Linear onde osmodelos desenvolvidos procuram encontrar a melhor solução para umproblema que envolva utilizações alternativas e competitivas com recursoslimitados.

Este livro resulta da experiência das autoras no ensino da InvestigaçãoOperacional nas licenciaturas em Gestão no ISCTE e foi escrito para doistipos de leitores. O primeiro, é o gestor ou executivo que precisa de melhorara sua agilidade para reconhecer e formular quantitativamente problemas prá-ticos de programação linear, bem como interpretar os resultados obtidos semse sentir perdido com o suporte matemático. O segundo, é o gestor deamanhã, ou seja, o jovem aluno de uma licenciatura em Gestão, Economiaou Matemática que pretende ter uma visão aplicada da Investigação Opera-cional e uma compreensão da utilidade prática que os modelos de progra-mação linear têm na tomada de decisão.

É nosso objectivo contribuir para uma melhor compreensão do tema apre-sentando uma abordagem interpretativa dos modelos de programação linearpor forma a colmatar a lacuna existente entre uma visão matemática (de difí-cil leitura por parte dos gestores) e uma abordagem demasiado introdutória esuperficial que não foca todas as virtudes técnicas dos modelos.

Esperamos assim que este livro tenha valor prático tanto para os alunoscomo para os gestores. Para isso tentámos enfatizar três aspectos essen-ciais: formulação de problemas, interpretação económica dos passos para asua resolução e análises subsequentes à obtenção da solução.

Parte dos exercícios apresentados no fim de cada capítulo foram seleccio-nados de testes e exames finais em Escolas Superiores e procuram fazer

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uma síntese dos conhecimentos adquiridos ao longo do livro. A sua resolu-ção será objecto de volume separado.

Antes de terminar queremos deixar aqui expresso aos nossos alunos eaos colegas da equipa de Investigação Operacional o nosso profundo obri-gada pela inspiração e apoio que nos deram durante a elaboração do livro.Uma palavra de agradecimento especial à colega Anabela Costa que seprontificou a ajudar-nos na dura tarefa da revisão do texto da primeira edição.Às colegas Ana Líbano Monteiro e Maria João Lopes um reconhecimentomuito particular pelos contributos válidos na revisão do texto desta segundaedição. Contudo, quaisquer erros que o leitor possa encontrar são inteira-mente da nossa responsabilidade e não deles.

As autoras

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1

Introdução

INTRODUÇÃO

OS MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEARE A INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

A Investigação Operacional traduz o estudo e desenvolvimento de mode-los de optimização que servem de apoio à tomada de decisão. Dentro do uni-verso alargado de modelos de optimização, existe um grupo específico demodelos de gestão, designados por modelos de Programação Matemática,que permitem determinar em que condições se pode maximizar ou minimizarum dado objectivo dada a existência de um conjunto de limitações.

Os modelos de Programação Matemática incluem por sua vez quer osmodelos de Programação Linear, quer os modelos de Programação NãoLinear.

A presente publicação trata apenas de modelos de Programação Linear(PL). Estes modelos são os mais simples e constituem a base fundamentalda Investigação Operacional, sendo ainda os mais largamente aplicados emmatérias de gestão.

A simplicidade dos modelos de Programação Linear deve-se principal-mente aos seguintes aspectos:

➩ tal como o nome o indica, qualquer expressão matemática utilizadanestes modelos é linear.

➩ estes modelos são determinísticos, ou seja, traduzem uma realidadeclara e única, não deixando margem para aproximações, estimativas,valores esperados ou probabilidades de ocorrência.

Se por um lado o facto de ser um modelo linear conduz à criação de ummodelo menos complexo, por outro pode-se afirmar que poderá eventual-mente traduzir um maior desafio ao nível da sua construção, pois a codifica-ção de uma realidade que pode ser deveras complexa, terá neste caso de setraduzir em simples equações lineares. Paralelamente, estes modelos permi-tem a introdução de incerteza após obtida a solução óptima, podendo tes-tar-se o seu efeito sobre os resultados encontrados, através de uma análisede sensibilidade. Esta técnica permite assim fazer simulações da realidadeque acabam por dar resposta ao gestor ou técnico sobre o que acontecerá

17

INTRODUÇÃO

se determinadas alterações ocorrerem. Optar por um modelo determinísticoou por um modelo dinâmico, e portanto mais complexo, dependerá da natu-reza do problema e duma análise custo-benefício das possíveis aproxima-ções a utilizar.

Deste modo, podemos afirmar que, se a Programação Linear é tão comu-mente aplicada, a sua utilidade prende-se com duas razões opostas. Por umlado, exige a representação «adaptada» da realidade, em modelos lineares edeterministicos; por outro, permite a obtenção de resultados que podem serrealisticamente implementados, desde que complementados com informaçõesqualitativas e avaliações subjectivas que os possam enriquecer ou comple-mentar. A larga aplicação da Programação Linear deve-se ao seu carizprático.

A gestão da produção é talvez o domínio dentro da gestão onde as aplica-ções da Programação Linear são mais numerosas. Contudo, tanto em marke-ting, na determinação de políticas de preços ou na afectação da força devendas, como em finanças (escolha de programas de investimento), logística(gestão dos transportes) ou recursos humanos (afectação de pessoal), a Pro-gramação Linear é um auxiliar precioso para a determinação eficaz da solu-ção que melhor satisfaz o objectivo ou os objectivos definidos inicialmente.

O PROBLEMADE PROGRAMAÇÃO LINEAR

Em muitas situações da nossa actividade profissional, quer seja empresa-rial ou não, encontramo-nos perante a necessidade de atingir objectivos bemdefinidos. Porém, estes objectivos encontram-se geralmente condicionados acertas limitações, nomeadamente à disponibilidade dos recursos que estãoao nosso dispor para serem utilizados.

18


Por exemplo,

Uma empresa que produz dois produtos distintos com lucros unitários dife-

rentes está interessada em encontrar a combinação adequada de produção que

lhe permita obter um lucro total tão grande quanto possível. Contudo, as

quantidades a produzir de cada um dos produtos estão limitadas pela disponi-

bilidade das matérias primas, pelo tempo diário de laboração da fábrica, pela

capacidade do equipamento produtivo ou pela quantidade de mão-de-obra

existente.

Este tipo de situação é um problema clássico de Programação Linear. Asua resolução deverá pois passar pelo desenvolvimento de um processo ade-quado, que permita encontrar a solução de lucro máximo, de acordo com aspreferências do gestor ou do accionista da empresa.

2.1. O PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAREM SUBSTITUIÇÃO DA ANÁLISE INTUITIVA

A maior parte dos problemas que surgem em ambientes de gestão ten-dem a ser resolvidos de modo intuitivo. Esta abordagem procura, quer naexperiência passada, quer na discussão sobre considerações qualitativas, umindício dos resultados a que cada solução alternativa poderá eventualmenteconduzir.

Contudo, se perante situações simples a intuição pode funcionar bastantebem, ela tende a falhar quando a organização é de grande dimensão e o pro-blema se apresenta mais complexo. Vejamos a seguinte situação:

A empresa de aparelhos de ar condicionado Friar tem três fábricas instala-

das em três cidades do país: Leiria, Setúbal e Viseu. Estas fábricas têm respec-

tivamente 140, 120 e 50 aparelhos disponíveis para entrega. Os armazéns que

procedem à distribuição dos aparelhos estão localizados em Lisboa, Aveiro e

Beja, pelo que é necessário planear o seu transporte das fábricas para os

armazéns. As encomendas em carteira de cada um dos armazéns são de 150,

100 e 60 aparelhos, respectivamente. Os custos de deslocação por aparelho

transportado de cada fábrica para cada armazém, são dados na tabela que se

segue:

19

INTRODUÇÃO

CUSTO POR UNIDADE TRANSPORTADA DA FÁBRICA PARA O ARMAZÉM

(u.m.)

Fábricas Necessidadesdos armazénsLeiria Setúbal Viseu

Armazéns

Lisboa 9 3 18 150Aveiro 5 12 10 100Beja 20 6 28 60

Disponibilidadesda fábrica 140 120 50 310

Qual o melhor esquema de distribuição a adoptar pela empresa?

Por exemplo, o custo de deslocação de um aparelho da fábrica de Setúbalpara o armazém de Lisboa é de 3 u.m. Se forem transportadas 10 unidades,esse custo será igual a 30 u.m. Então, o encarregado da secção que tiver deplanear o transporte dos aparelhos, pensará que a forma mais lógica de ofazer seja começar por escolher o percurso com o custo unitário mais baixo.Neste caso seria Setúbal — Lisboa, cuja quantidade máxima que seria possí-vel transportar se elevaria a 120 aparelhos (o número máximo de aparelhosdisponível em Setúbal). Feito isto, ele iria de seguida escolher o percursocom o segundo custo mais baixo, que seria Leiria — Aveiro, e colocaria 100aparelhos nesse armazém, pois esta é a sua capacidade máxima. O per-curso a considerar numa terceira escolha seria Setúbal — Beja, mas como jánada se poderia transportar neste caminho, passar-se-ia para o percurso decusto mais baixo seguinte, ou seja Leiria — Lisboa. Como Setúbal já tinhafornecido 120 unidades, seriam necessários apenas mais 30 aparelhos parasatisfazer as necessidades de Lisboa, ficando a fábrica de Leiria com 10 apa-relhos por distribuir. Seguindo este raciocínio, o esquema de distribuição queseria montado, tal como se apresenta de seguida, corresponderia a um custototal de transporte de 2730 u.m.:

QUANTIDADES TRANSPORTADAS DA FÁBRICA PARA O ARMAZÉM


Armazéns

Lisboa 30 120 — 150Aveiro 100 — — 100Beja 10 — 50 60


20


Ora, este é um raciocínio perfeitamente lógico à primeira vista, mas naverdade é enganoso. Se analisarmos melhor a tabela, verificamos que estenão é o percurso óptimo, pois consegue-se transportar todos os aparelhos,satisfazendo as necessidades dos armazéns, com um custo mínimo de 2.100u.m. Esse plano de distribuição óptimo, o qual se encontra com o apoio daprogramação linear, traduz o transporte das seguintes quantidades nosseguintes percursos indicados:

QUANTIDADES TRANSPORTADAS DA FÁBRICA PARA O ARMAZÉM


Armazéns

Lisboa 90 60 — 150Aveiro 50 — 50 100Beja — 60 — 60


Este exemplo leva-nos também a concluir que, quanto mais complexas assituações a estudar, mais difícil se torna encontrar a solução óptima sem ouso de um método adequado, como a Programação Linear.

2.2. O PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEARE A DEFINIÇÃO DO OBJECTIVO

Vejamos outro exemplo que põe em destaque a necessidade de se definircom precisão as características que se pretende optimizar.

A empresa Movex fabrica três modelos de estantes para escritório — os

modelos Artic, Baltic e Celtic — para os quais utiliza três processos de

fabrico — os processos P, Q e R — os quais não podem funcionar em simultâ-

neo, por questões de logística. Os preços de venda das estantes são 70, 60 e

50 u.m., respectivamente. As capacidades de produção da fábrica são dadas na

tabela que se apresenta de seguida:

21

INTRODUÇÃO

Processo de Fabrico Preço devenda (u.m.)

ProcuradiáriaP Q R

Estante Artic 2 1 1 70 7Estante Baltic 2 – 2 60 10Estante Celtic – 2 1 50 6

Custo deProdução / hora 100 180 200

De acordo com a tabela anterior, podemos constatar que o processo Pcusta 100 u.m. por hora e produz duas estantes Artic e duas Baltic. Por outrolado, também podemos concluir que o máximo número de estantes Artic quea empresa pode vender por dia são 7, sendo as Baltic 10 e as Celtic 6.

O dono da empresa está interessado em conhecer qual o melhor modo deutilizar as linhas de fabrico disponíveis por forma a satisfazer as necessida-des do mercado. Do quadro ressalta que bastaria utilizar uma hora diária doprocesso P, outra do processo Q e quatro horas do processo R. O custo totalseria então de 1080 u.m. por dia e o correspondente valor de venda seria de1390 u.m., conduzindo a um lucro de 310 u.m.

Contudo, é natural que seja pretensão do dono da empresa, não só satis-fazer as encomendas mas obter com isso o máximo lucro possível tendo ematenção as restrições de produção. Neste caso, a utilização de apenas 3horas do processo R e duas do processo P custariam 800 contos, mas tra-riam um lucro de 440 u.m., pois as estantes seriam vendidas por 1240 u.m. Aprodução diária de estantes tipo Artic, Baltic e Celtic seria respectivamentede 7, 10 e 3, pelo que embora o lucro fosse superior, as necessidades nãoseriam totalmente satisfeitas.

Encontramos pois duas soluções possíveis para este problema, as quaissatisfazem objectivos diferentes. Assim, convém definir de forma muito cons-ciente aquilo que se pretende atingir com uma eventual decisão, para que aresolução do problema sirva eficazmente os objectivos reais da situação aanalisar. Adicionalmente, podemos observar com este exemplo que a própriadefinição do contexto de decisão também afecta o nível de adequação doobjectivo que se pretende atingir. A inclusão de mais restrições a este pro-blema, como por exemplo o limite de matéria prima disponível e o número detrabalhadores necessários, dificultaria de certa forma a conclusão sobre otipo de solução ideal e criaria com certeza a necessidade de contar comestes factores no tipo de objectivo a definir.

22


ASPECTOS A CONSIDERAR NA ANÁLISE,RESOLUÇÃO E IMPLEMENTAÇÃODE UM PROCESSO DE DECISÃO

3.1. A ESCOLHA DA ABORDAGEM

A escolha de um determinado modelo pode ditar o sucesso ou insucessode uma análise considerando que um modelo matemático traduz sempre umarepresentação simplificada da realidade, e que quanto mais esse modelo seaproximar dessa realidade maior a sua aplicabilidade prática e real. Assim, énesta fase que se deverão visualizar e antecipar as limitações da futura apli-cação de cada um dos modelos alternativos, incluindo a interpretação eimplementação dos resultados a que os mesmos nos permitam chegar.

Posto isto e, numa tentativa de sistematização dos aspectos a considerarna selecção da abordagem mais adequada de uma determinada situação,conclui-se que se deve ter em atenção:

➜ a adequabilidade da situação ao algoritmo a utilizar, ou seja, o nívelde simplificação ou de alteração das informações recolhidas que o al-

goritmo exigir para que possa ser aplicado;

➜ a adequabilidade do algoritmo a utilizar em termos da sua eficiên-cia, ou seja, o nível de esforço ou trabalho que este exigirá face à pre-cisão ou rigôr dos resultados obtidos;

➜ a adequabilidade do algoritmo a utilizar em termos da sua eficácia,ou seja, a sua maior ou menor aproximação à solução ou informaçãoque realmente se pretende obter;

➜ a aplicabilidade dos resultados obtidos à realidade estudada, no-meadamente em termos de descodificação da solução óptima e formacomo esta deverá ser interpretada e posteriormente implementada.

23

INTRODUÇÃO

3.2. A FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

Quando nos encontramos perante um problema de decisão é necessáriodescrevê-lo através de expressões matemáticas, de forma tão exaustiva efidedigna quanto possível. Assim, formular um problema não é mais do querepresentar em termos matemáticos os aspectos que traduzem a situaçãoreal que se pretende estudar:

➩ a especificação do objectivo com base no qual se pretende tomar adecisão;

➩ a definição clara do critério de decisão ou medidas de avaliação dagrandeza em que o objectivo é definido;

➩ a descrição de todas as limitações, regras e/ou condições que defi-nem a realidade em causa.

Uma mesma realidade pode ser codificada de diferentes formas, sendoque tudo começa na definição do objectivo e posteriormente das variáveis dedecisão, ou seja aquelas que são controláveis ou manipuláveis pelo decisorno sentido da obtenção de um determinado resultado. Assim, vejamos doisexemplos em que uma situação real poderá ser tratada de forma diversa.

■ A DEFINIÇÃO DO OBJECTIVO

Num problema de optimização dos resultados de exploração de uma uni-dade produtiva, podemos considerar alternativamente quer o objectivo de mi-nimização dos custos das operações quer o objectivo de maximização doslucros. Esta segunda grandeza é muito mais abrangente que a primeira maspoderá ser equivalente à primeira, em determinadas situações.

➩ Se o decisor optar por uma abordagem de maximização dos lucros, elepoderá querer garantir um limite máximo de custos de produção, bemcomo, que a produção, e consequentemente, as vendas estejam a serdevidamente limitadas pela garantia da utilização restrita dos recursosprodutivos existentes.

➩ Se o decisor considerar seu objectivo a minimização dos custos, elepoderá exigir como condição que as margens de exploração tenhamum valor mínimo garantido. Adicionalmente, neste contexto de minimi-zação de custos de produção, o decisor deve partir do princípio queestá perante uma situação de produção óptima, garantindo assim que

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PROGRAMAÇÃOLINEAR

MANUELA MAGALHÃES HILL licenciou-se em Matemática Aplicada pela Faculdade de Ciências de Lisboa,frequentou o curso de pós-graduação em Matemática Aplicada à Investigação Operacional da FundaçãoCalouste Gulbenkian e, em 1987, doutorou-se em Economia (Universidade de Keele, R. U.). Actualmente éProfessora Catedrática no Departamento de Métodos Quantitativos do ISCTE onde coordena o mestrado emProspecção e Análise de Dados e lecciona nas licenciaturas e mestrados em Gestão de Empresas eEconomia. Tem coordenado e participado em vários projectos de investigação na especialização de métodosestatísticos e econométricos aplicados às Ciências Sociais. De 1972 a 1988 acumulou as funções docentescom as de técnica no Gabinete de Estudos e Planeamento do Ministério da Educação.

MARIANA MARQUES DOS SANTOS BELMAR DA COSTA é licenciada em Gestão de Empresas pelaUniversidade Católica Portuguesa e detém um MBA pelo INSEAD (Fontainebleau), tendo também frequen-tado o mesmo programa em Kellogg – Northwestern University, em Chicago. De 1989 a 2006, afecta aoDepartamento de Métodos Quantitativos, foi docente universitária no ISCTE. A par das actividadesacadémicas, desenvolveu uma carreira empresarial ligada a diversas áreas e funções. Começando porcolaborar com uma instituição financeira internacional na área de gestão de carteiras de títulos, ingressoudepois numa equipa de capital de risco, onde foi analista de projectos, noutra instituição financeira nacional.Foi também consultora em Madrid, numa empresa multinacional, estando associada a diversos projectosentre os quais o lançamento da sucursal portuguesa. Assumiu de seguida uma sucessão de pelourosinternacionais, dentro de um grupo de empresas na área da construção e engenharia civil, nomeadamenteem Moçambique e na Alemanha, gerindo projectos em diversas áreas como a alimentar ou a produção edistribuição de materiais de construção. Finalmente, iniciou um projecto empresarial próprio na área docomércio internacional de medicamentos, ao qual se dedica actualmente.

Esta obra resulta da experiência das autoras no ensino da InvestigaçãoOperacional e pretende ser um contributo útil para iniciar ou consolidar osconhecimentos nesta área. Destina-se quer aos estudantes das licenciaturasem Gestão, Economia, Matemática, Engenharia ou alunos de pós-graduaçãoe mestrados, quer a todos aqueles que na sua vida profissional necessitam deter uma visão prática da Programação Linear.

Ao longo do livro previligia-se a resolução de problemas concretos, suainterpretação e análise de relativamente às técnicas matemáticasnecessárias à sua obtenção. Numa linguagem simples, a exposição teóricaapresentada é sempre acompanhada com exemplos práticos ilustrativos.

O último capítulo é dedicado ao estudo completo de um caso que sintetizatodos os conhecimentos transmitidos e permite uma visão completa daspotencialidades da Programação Linear como ferramenta auxiliar à tomada dedecisão.

outputs

1VOL.Manuela Magalhães HillMariana Marques dos Santos

EDIÇÕES SÍLABO

PROGRAMAÇÃO

LINEAR

220

7897

2618

8155

9ISB

N 9

78-9

72-6

18-8

15-5

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