Mario Terra Cunha - pantheon.ufrj.br · O desenvolvimento da teoria clãssica de treliça ......
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DIMENSIONAMENTO PRATICO A FORÇA CORTANTE
DE SEÇOES DE CONCRETO ARMADO
Mario Terra Cunha
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÕS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CltNCIAS (M.Sc.)
Aprovada por:
D i az
flui,,., M.,<.,O rk,.,_,_ k LaA,O 1w · e;: Prof. Antônio Clãudio F. Maia
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL MAIO DE 1981
i i
CUNHA, MARIO TERRA
Dimensionamento Prãtico ã Força Cortante de Seções de Con
creto Armado IRio de Janeiro!, 1981.
VIII, p. 29,7 cm (COPPE-UFRJ, ·M.Sc., Engenharia Ci-
vil, 1981)
Tese - Univ. Fed. Rio de Janeiro. Fac. Engenharia
l. F6rça Cortante
I. COPPE/UFRJ
II. TTtulo (Serie)
i i i
AGRADECIMENTOS
Ao professor Benjamin Ernani Diaz, pelo incenti
vo e orientação prestada a este trabalho.
Ao professor Eduardo Christo Silveira Thomaz,
cujo apoio permitiu-me cursar o Programa de Pós-Graduação em
Engenharia.
A Bronislaw Klimovitsch, Luiz Cesar Kowalski e
Gilberto Martins dos Santos, pelo aux1lio na apresentação grã
fica deste trabalho.
Aos colegas que, com incentivos e sugestões con
tribuíram para a execuçao deste projeto.
i V
SUMIIRIO
Um processo prãtico para o dimensionamento a for
ça cortante de seções de concreto armado, com a utilização de
calculadora programãvel, é apresentado neste trabalho.
O processo e resultante de simplificações efetu~
das num modelo mecânico de uma chapa fissurada de concreto ar
mado, de modo a adaptã-lo âs regras usuais de dimensionamento.
Com as simplificações adotadas, as tensões ditas
de cisalhamento, correspondentes ãs componentes
das tensões nas bielas de concreto, podem ser
através de uma seção equivalente de concreto.
tangenciais
determinadas
O método pode ser aplicado em seções retangula
res, com qualquer distribuição simétrica de armadura, em rela
ção ao eixo vertical z, e, por aproximação, em seçoes em que a
largura não varie bruscamente ao longo da altura, como por
exemplo, a seção circular.
Para a adaptação do método ã calculadoras progr~
mâveis, foi desenvolvido um programa para computador que gera
tabelas de deformações em seções de concreto armado, definidas
pela deformação axial no centrÕide da seção e pela curvatura.
V
ABSTRACT
Practical procedures for soear design of rein-
forced concrete members, with the aid of a programmable calcu
lator, are hereby presented.
These procedures result from simplifications on
a mechanical model of a cracked reinforced concrete plate,
aiming its application to the usual design of reinforced con
crete.
With the simplified model, shear stresses,corre~
ponding to the tangential components of the compressive stres
ses on the concrete struts, may be determined through an equi
valent concrete section.
The equivalent section method could be appl i ed
torectangular cross-section linear members with a vertical sy~
metry axis. The application of this method could be extended
to members with other cross-sectional shapes, provided that no
sharp variation occurs in their width and the symmetry in rela
tion to the z axis is maintained, as it occurs with the circu
lar cross-section members.
ln order to permit the use of this method in pr~
grammable calculators, a computer program was developed in FOR
TRAN IV language, generating tables which allow the determina
tion of the axial deformation and the curvature of circular and
rectangular section.
Vi
INDICE
CAPITULO I - INTRODUÇIIO ............................... .
CAPITULO II - REVIS/10 DA LITERATURA.................... 3
CAPITULO III - DESENVOLVIMENTO TEDRICO.. .. ... . . ........ 7
3.1 - Modelo Mecânico da Chapa Fissurada.. .. . . . ........ 7
3.2 - Adaptação do Modelo da Chapa Fissurada.ãs .Reoras
de Dimensionamento de Concreto Armado ........... .
3.3 - Método da Seção Equivalente ..................... .
3.4 - Aplicação do Método da Seção Equivalente em cale~
1 adoras Programãvei s ............................ .
CAPITULO IV - PROGRAMA PARA GERAÇ/10 DE TABELAS DE DE-
FORMAÇDES ............................... .
4 .1 - Descrição do Programa ........................... .
4.2 - Fluxograma do Programa .......................... .
4.3 - Sub-Rotinas Usadas pelo Programa ................ .
4.3.1 - Sub-Rotina PROC ............................... .
4.3.2 - Sub-Rotina INTEG .............................. .
4.3.3 - Sub-Rotina ACO ................................ .
4.3.4 - Sub-Rotina CONCR .............................. .
4.3.5 - Sub-Rotina CPAR ............................... .
20
25
29
39
39
42
53
53
56
58
61
63
Vi i
4.3.6 - Sub-Rotina LIMIT............................... 64
4.3.7 - Sub-Rotina ERROR............................... 66
CAPITULO V - PROGRAMA DE DIMENSIONAMENTO A FORÇA COR-
T ANTE .................................... .
5.1 - Descrição do Programa ........................... .
5.2 - Fluxograma do Programa de Dimensionamento ã Força
Cortante ........................................ .
CAPITULO VI - EXEMPLOS ................................ .
6.1 - Exemplo 1 ....................................... .
6.2 - Exemplo 2 ....................................... .
CAPITULO VII - CONCLUSOES ....................•.........
BIBLIOGRAFIA ...........•............•..................
APÊNDICES ............................................. .
A - PROGRAMA PARA GERAÇAO DE TABELAS DE DEFORMAÇOES ....
A.l - Cartões de Entrada de Dados para Geração das Ta-
belas ..•.........................................
A.2 - Mensagens de Erro Impressas pelo Programa ....... .
67
68
76
82
82
91
l O 1
105
109
11 D
11 O
11 7
V i i Í
A.3 - Listagem do Programa............................. 119
B - PROGRAMA PARA DIMENSIONAMENTO Ã FORÇA CORTANTE PARA
CALCULADORA PROGRAMIIVEL HP-41 C..................... 136
B.l - Programa SHEDR para Seções Retangulares.......... 136
B.l.l - Instruções para o Uso do Programa .............. 137
B.1.2 - Listagem do Programa ........................... 140
B.1.3 - Registros Alocados no Programa ................. 147
B. 2 - Programa SHEDC para Seções Circulares............ 149
8.2.l - Instruções para o Uso do Programa .............. 150
B.2.2 - Listagem do Programa........................... 151
B.2.3 - Registros Alocados no Programa................. 154
C - TABELAS DE DEFORMAÇDES EM SEÇDES DE CONCRETO ARMADO 155
C.l - Seção Retangular Cheia com Armadura Distribui da
em Igual Percentagem nos Quatro Lados - Aço CA-
508 .............................................. 155
C.2 - Seção Circular Cheia com Armadura Distribuída em
uma Camada - AÇO CA- 508.............. . . . . . . . . . . . . 206
D - EXEMPLO DE UTILIZAÇÃO DO PROGRAMA PARA DIMENSIONA -
MENTO Ã FORÇA CORTANTE PARA CALCULADORA PROGRAMIIVEL
HP-41C ............................................. 257
1
CAPITULO I
INTRODUÇAO
O desenvolvimento cada vez maior das calculado
ras programãveis vem permitindo adotar-se na prãtica processos
sofisticados para o cãlculo de estruturas, antes sã acessiveis
atraves do uso de computadores. Deste modo, problemas ate en
tão solucionados atraves de metodos simplificados, passaram a
ser analisados por metodos mais racionais, resultando em dimen
sionamentos mais fidedignos.
Com o objetivo de permitir uma anãlise prãtica e
consistente de peças de concreto armado submetidas a esforço
cortante, com auxilio de equipamento de processamento facilmen
te obtido, foi desenvolvido um programa para calculadora pro
gramãvel de porte (tal como HP-41C), baseado no metodo da se
ção equivalente proposto por DIAZ 4,
5,
6,
19• Este programa, com
algumas simplificações, pode ser implementado em calculadoras
programãveis de menor porte (tais como HP-67, HP-97, TI-59).
Anãlises mais completas, com base no citado meto
do, podem ser desenvolvidos em computadores, fugindo porem do
objetivo a que se propõe este trabalho.
O computador foi utilizado na geraçao de tabelas
de deformações em seções de concreto armado, que permitem, por
interpolação, a determinação da configuração deformada, no es-
2
tado limite ultimo, em uma seçao submetida ã flexão composta.
A utilização destas tabelas evitam um demorado processo itera-
tivo para a determinação da deformada, necessãria no
das tensões tangenciais pelo metodo adotado.
cãlculo
Tanto o programa de dimensionamento ã força cor
tante, para calculadora programãvel, quanto o de geração de t~
belas de deformações, preparado para computador, foram desen-
volvidos para dois tipos de seção transversal, retangular e
circular, muito usados em pilares e estacas, peças em que a
adoção deste novo metodo se mostra necessãria. No entanto, com
pequenas modificações ambos os programas podem ser adaptados
para outros tipos de seção, com pelo menos um eixo de simetria.
Este trabalho tem, portanto, um carãter eminente
mente prãtico, pois, com as tabelas de deformações e o progra
ma para calculadora programãvel e possível dimensionar ã esfor
ço cortante seções em concreto armado, num trabalho de rotina,
usando um processo de cãlculo razoavelmente sofisticado.
3
CAPrTULO II
REVISAO DA LITERATURA
O desenvolvimento da teoria clãssica de treliça
criada por Moersch, permitiu ãs normas a fixação de uma metodQ
logia no dimensionamento ã for~a cortante de vigas de concreto
armado, baseada no cãlculo de tensões de cisalhamento t, no es
tãdio III, isto e, no estado limite ultimo. Esta tensão, adota
da como referência por motivos histõricos, ê limitada .pelas
normas, com base em numerosos ensaios,de modo a garantir a se
gurança de peça quanto ao esmagamento das bielas inclinadas de
concreto do modelo de treliça.
Em seçoes retangulares a tensão cisalhante ê cal
culada pela divisão do esforço cortante pela largura da seçao
e pelo braço de alavanca das forças internas, determinadas no
estãdio III.
De modo a levar em conta a parcela de força cor
tante resistida pela zona comprimida de concreto da seçao, e
outros fatores como o engrenamento entre fissuras, encavi 1 ha-
menta das armaduras e a menor inclinação das bielas de concre-
to em relação ao eixo da Viga , as normas, tais como as do
CEB 1 , N B-1 2 e DIN 1045 3 , admitem reduções na tensão ci sal hante
t para o cãlculo da armadura transversal.
4
No entanto, em vigas submetidas ã flexão compos
ta, o conceito de tensão cisalhante baseado no braço de alava~
ca das forças internas perde o sentido. Isto é contornado nas
normas do CEB 1 e NB-1 2, definindo-se uma tensão cisalhante de
referincia, calculada em função da altura ~til da seção,e ado
tando-se fatores de córreção na parcela de redução da tensão
para o cãlculo da armadura transversal. Pela norma DIN 1045 3,
a influincia do esforço normal pode ser desprezada se a linha
neutra permanece no interior da seção, não se admitindo porem
a redução na tensão cisalhante para o cãlculo da armadura,qua~
do a seção estã submetida ã força normal de tração. Quando a
linha neutra resulta fora da seção transversal, a norma reco
menda a verificação de tensões no estãdio I, armando-se a se
çao para a tensão principal de tração.
Baseados nesta formulação empírica, desenvolvida
a partir de ensaios realizados, fundamentalmente, em vigas de
seção retangular, T ou I, com armadura longitudinal concentra
da junto ãs faces inferior e superior da peça, alguns autores
tendem a generalizar o conceito de tensão cisalhante para ou
tras seções transversais com armadura longitudinal distribuída
em toda a altura da seção.
Para a seçao circular, por exemplo, OPLADEN 12
fornece uma tabela para o cãlculo do braço de alavanca z, no
estãdio III, para flexão simples, determinando a tensão cisa
lhante através da fÕrmula t = V/b.z, sendo b a largura da se
çao ao nível da linha neutra. Através de ãbacos, PERTZ 13 intra
5
duz uma correçao devida ã inclinação do estribo ao nível da
linha neutra no cãlculo da armadura transversal, baseado na
tensão cisalhante determinada a partir do braço de alavanca
das forças internas, em seçoes circulares submetidas a flexão
simples. LEONHARDT 15 sugere a adoção de um valor aproximado Pi
ra o braço de alavanca no cãlculo da tensão cisalhante em se
çoes circulares e anelares.
A generalização de uma teoria em que a
de tensões tangenciais e feita independentemente do
anãl i se
esforço
normal e do momento fletor, com base em resultados experimen
tais, pode levar a uma redução na margem de segurança estipuli
da pelas normas vigentes.
Visando uma anãlise consistente de tensões em p~
ças de concreto armado, COLLINS 16'17 desenvolveu uma teoria ra
cional, baseada no estudo do estado plano de tensões de uma
chapa fissurada de concreto armado. No entanto, a completa ob
servância desta teoria, implicaria numa reformulação nos meto
dos atualmente adotados no dimensionamento de peças de concre
to armado, exigindo, alem disso, o uso de programas de computi
dor.
Com base no modelo mecânico da chapa fissurada,
constituído por bielas de concreto e armações discretas de
aço, mantendo-se dentro dos princípios bâsicos de dimensiona
mento da norma do CEB 1, DIAZ", 5
,6
,19 idealizou uma metodologia
para o dimensionamento ã força cortante atraves do cãlculo de
6
tensões, no estado limite ultimo, em uma seçao homogênea, por
ele denominada seção equivalente. Mesmo com as simplificações
feitas no desenvolvimento deste mêtodo, ele conduz a resulta
dos que podem ser considerados bons, conforme mostrado por
SCHULZ 7, que o comparou a um processo mais completo, porêm mui
to mais oneroso, em vista dos custos de processamento envolvi
dos, considerando inclusive o empenamento da seção transver
sal apõs a deformação.
Baseado no mêtodo da seçao equivalente proposto
por DIAZ 4•
5•
6•
19 foi desenvolvido um programa de dimensianame~
to ã força cortante em seções retangulares e circulares de con
ereto armado, exposto a seguir.
7
CAPITULO III
DESENVOLVIMENTO TEDRICO
3.1 - MODELO MECÂNICO DA CHAPA FISSURADA
O modelo mecânico proposto para a anãlise de pe
ças de concreto armado com seção transversal simétrica em rela
çao ao plano de atuação das cargas, adota as seguintes hipÕte
ses bâsicas:
a) A anãlise é feita através de um estado plano de tensões, re
presentando portanto uma simplificação no estudo do compor
tamento.espacial da peça. Desta maneira, apenas peças com
seção transversal em que a largura não sofre variações brus
cas ao longo da altura podem ser satisfatoriamente analisa
das.
b) O material concreto nao resiste a tensões de tração.
c) As tensões de compressao no concreto sao consideradas orien
tadas na direção das fissuras, as quais variam de inclina
ção ao longo da altura e do eixo longitudinal da peça, for
mando bielas curvas de concreto entre elas.
d) As barras da armadura longitudinal sao consideradas discre
tas ao longo da altura da peça.
8
e) A armadura transversal e constitu1da de estribos perpendic~
lares ao eixo longitudinal da peça, admitindo-se variãvel,
em cada n1vel, a sua inclinação em relação ao plano de sime
tria, como no exemplo da seção circular, dado na
(III.l).
• , X
, '
z
Figura Ill.l
Figura
f} Considera-se que a seçao analisada estã afastada das ''zonas
de perturbação de Saint-Venant", conforme são chamadas as
regiões de introdução de forças concentradas, como por exem
plo, os apoios da peça.
/ I'
I'
I' /
I'
9
/ I'
/ I'
I' =45º
Figura III.2
' ' ' ' ' ' '
g) Não sao levados em conta os efeitos de engrenamento
fissuras e de encavilhamento das armaduras.
h) Não sao admitidos deslocamentos relativos entre as
das armaduras e o concreto que as envolvem.
entre
barras
Com o propÕsito de simplificar as expressoes ma
temãticas no desenvolvimento da teoria, não são descontadas as
areas de concreto ocupadas pela armadura. Entretanto, no pro
grama de dimensionamento ã força cortante, elaborado para cal
culadora programãvel, este desconto ê efetuado, como pode ser
visto no Cap,tulo V.
l o
ª1 t ª•
(l"<I>
7 ªh 1 t crh
1
1 cr, crv
Figura III.3
Considerando-se um elemento infinitesimal plano
da peça fissurada, conforme Figura (III.3), em que as fissuras
formam um ângulo <I> com o eixo longitudinal, as seguintes rela
ções de equilibrio podem ser obtidas:
(III.l)
(III.2)
(III.3)
onde ªh' ªv e ªt sao as tensões correspondentes as componentes
horizontal, vertical e tangencial da tensão º<1> atuante na bie
la de concreto.
l l
.r
Figura I II.4
De acordo com a hipÕtese d formulada, as barras
da armadura longitudinal são consideradas discretas ao longo
da altura da peça. Deste modo, a variação de tensões em um ele
mento de concreto em conjunto com a armadura transversal, con
forme Figura (III.4), pode ser analisada sem interferência das
barras longitudinais. Sendo b a largura da peça ao nivel do
elemento, p a taxa de armadura transversal e o a tensão nes W SW
ta armadura, as equações diferenciais de equilibrio no elemen-
to sao:
(III.4) az ax
l 2
a(p ,b,cr ,cos w) + w sw = O (III.5)
az az
.r G1+õ.Gt
j j jlj' lcrsw+II08w
a.+11.a.
Figura III.5
A variação de tensões nas elevações em que se
concentram as barras da armadura longitudinal, se processa na
forma de acr~scimos discretos,conforme Figura (III.5). Sendo
As a ãrea de armadura longitudinal num determinado n'ível, e
ªs a tensão nesta armadura, as equações diferenciais de equill
brio nesta elevação, sao:
a(As·crs) 6(b,crt) + ~~~
ax = o (III.6)
(III.7)
1 3
Nas equaçoes (11!.5) e (111.7), o ângulo w cor-
responde a inclinação das barras da armadura transversal em
relação ao eixo z, na elevação considerada, conforme
da Figura (III.l).
exemplo
O estado de deformação num elemento de chapa e
definido pela deformação longitudinal Eh' pela deformação
transversal Ev e pela distorção y, funções das deformações me
dias u e w, nas direções x e z, respectivamente, conforme Fi
gura (111.6)
X
l l l L _______ J dwl'az , , , ª"'ª·
Figura 111.6
y = au/az + aw/ax
Dj"1ax 1 1 1
1 I -- 1 +-+ --...i
3u/az
14
A deformação s5w numa barra da armadura transver
sal, considerando-se nula a deformação na direção y, conforme
Figura (III.?) e dada por:
.1
Figura III.?
De acordo com a hipÕtese h adotada para o mode
lo, a deformação s5
em cada barra da armadura longitudinal e
igual ã deformação longitudinal no concreto ao nivel desta bar
ra. Assim:
A deformação s~ numa biela de concreto, inclin~
da de um ângulo~ em relação ao eixo longitudinal x, pode ser
obtida a partir da geometria das deformações, em função das de
formações sh e sv e da distorção y.
1 5
Atraves do principio do trabalho complementar ob
tem-se a expressao:
(III.11)
Derivando-se convenientemente as equaçoes
(III.8), (III.9) e (III. 10), obtem-se a equação de compatibili
dade das deformações sh, sv e y no estado plano de tensões:
az 2 ax 2 (III.12)
As relações tensão-deformação, definidas pela
norma adotada, para os materiais concreto e aço, sao utiliza
das na solução do problema proposto. Assim, as seguintes equa
ções constitutivas podem ser escritas:
(III.13)
(III.14)
(III.15)
Os dados do problema, alem da geometria da se-
çao, sao os esforços solicitantes M, N e V, conforme Figura
(III.8).
l 6
L dx , M V M+dM
.r -+i · :!f ..
Figura 11!.8
Como mostra a Figura (111.9), os esforços sol ic.:!_
tantes devem satisfazer ãs equações globais de equilTbrio na
seçao. Assim temos:
1 L b
1 L
=tdz y
/
/ '• .1 L +
z
Figura (III.9)
l 7
N = r crh.b.dz + z }
M = f oh . b. z. dz + l:
V = r ªt·b.dz
Tem-se ainda que:
dM V = dx
ªs . A (III.16) s
a .A . z (III.17) s s
{III.18)
{III.19)
Introduzindo-se as condições de contorno pode-se
resolver, de uma forma completa, o problema de uma chapa fiss~
rada de concreto armado, utilizando-se o conjunto de
apresentadas.
-equaçoes
No entanto, para o dimensionamento de peças de
concreto armado, ê importante poder-se analisar as seçoes iso
ladamente, com seus esforços solicitantes.
Admitindo que a força normal e a força cortante
permanecem constantes no intervalo estudado, de modo a simpli
ficar a formulação do mêtodo, SCHULZ 7 adotou uma função polinQ
mial para a deformação longitudinal sh' na solução, por um
processo numêrico, do conjunto de equações. A função adotada
foi do tipo:
n l
p=l
p-1 Ci .z
p (III.20)
18
levando, portanto, em consideração o empenamento da seçao
apôs a deformação- Baseado na hipõtese simplificadora de que
as forças normal e cortante permanecem constantes no interva
lo, o problema pode ser analisado a n1vel de uma seção, obten
do-se as derivadas das tensões e deformações, em relação a x,
a partir de funções polinomiais do 39 grau interpoladas entre
seções prõximas, conforme Figura (Ill.10).
5 s, s, s, 1
1
M M+V.llx M +2V. llx M+3V,II X
X lP lP lP lP: •
V V V V
z
, l llx , l llx , l llx , l
Figura III.10
Combinando-se as equaçoes (III.10) e
(III.11), obtêm-se:
tan 2<P (III.21)
Sendo Eh definido pela função polinomial (III.20),
l 9
observando-se as expressoes {111.2), {111.3) e {lll.l4), pode
se escrever a equaçao (111.21) na seguinte forma:
tan 2 cj, = {111.22)
Portanto, conhecida a deformação longitudinal
Eh' a tensão ºte a armação transversal, o ãngulo e)> pode ser
determinado em cada nivel resolvendo-se, por um processo nume-
rico, a equação não linear a que se reduz a expressao
(111.22). As demais variãveis são obtidas atraves das equações
apresentadas.
Assim, através de um processo iterativo, a par
tir de uma aproximação inicial para as tensões ºt' obtem-se as
tensões ao longo de toda a seção, dentro da precisão desejada.
Devido aos elevados custos de processamento, a
aplicação deste metada na prãtica fica restrita, servindo no
entanto para avaliar a precisão de outros metadas simplifica
dos.
Uma simplificação sugerida por COLLINS 16 •17
, co~
siste em supor vãlida a hipÕtese de BERNOULLI, definindo assim
uma função linear para a deformação longitudinal Eh:
{111.23)
20
em que EO e a deformação longitudinal ao n1vel da origem doei
xo z e K e a curvatura da peça deformada.
A adoção desta hipótese, elimina a equaçao de
compatibilidade de deformações (111.12) do conjunto de equa-
ções necessãrias â solução do problema. Este procedimento foi
adotado por GUEDES & PRE 2 º em seus estudos, onde o elemento de
concreto armado utilizado diverge um pouco do modelo aqui em
pregado.
No entanto, esta simplificação, isoladamente,não
acarreta reduções no custo de processamento capazes de viabili
zar o processo na prãtica.
3.2 - ADAPTAÇÃO DO MODELO DA CHAPA FISSURADA AS REGRAS DE DI
MENSIONAMENTO DE CONCRETO ARMADO
Comparando-se o diagrama de tensões longitudi-
nais ºh' dado na Figura (111.9), com os usados no dimensiona
mento â flexão de seções de concreto, de acordo com as diver
sas normas vigentes, conforme mostra a Figura (III. 11), obser
va-se de imediatoas discrepâncias existentes.
21
L b 1 Eh ªe
• 1 I
~
M+IIM
y
/
/
- + As .r F,
z
Figura III.11
Devido ao incremento de forças de tração na arma
dura longitudinal, necessãrio para equilibrar a componente ho
rizontal da tensão de compressão nas bielas de concreto, ao
longo da altura da seção, as normas prescrevem um deslocamento
no diagrama de forças de tração na armadura ao longo da peça.
Na pratica, este deslocamento e comumente substituido por um
deslocamento no diagrama de momentos fletores, correspondendo
ã adoção de um acréscimo AM no momento fletor solicitante na
seçao . Conforme serã visto adiante, não sõ o momento fle-
tor, mas tambem o esforço normal devem ser corrigidos na se
çao, para se levar em conta o efeito das tensões tangenciais no
dimensionamento ã flexão.
e 1
22
Procurando adaptar a teoria da chapa fi ssu rada
ãs regras usuais do dimensionamento ã flexão, DIAZ 4 , 5 , 6 , 19 adQ
tou algumas simplificações que permitem a definição de esfor
ços incrementais ao momento fletor e força normal solicitantes
na seçao.
b " l Eh 0 hn aht ah ª, ' /
=$:dz M+M -M ..-.
+ i,;...-,-- +.N +. ,-A,
/ Fh Fh
Figura III.12
A principal simplificação introduzida correspon
de a admitir que as tensões tangenciais ªt obtidas atravês das
expressões (111.4) e (111.6), a partir das componentes horizo~
tais ªh das tensões de compressão nas bielas, podem ser aproxl
madas por outras determinadas a partir de uma distribuição de
tensões ªhn' formulada de acordo com as regras usuais de dimen
sionamento ã flexão, conforme Figura {111.12). Assim, a expre~
são {111.4), ê substitu1da pela equação:
= o (111.24) ax
23
Isto pode ser feito, admitindo-se que a função
tensão-deformação do material concreto, definida pela equaçao
{III.14), pode ser utilizada para o cãlculo de ºhn' a partir
de Eh' ou seja:
(III.25)
Desta forma, de acordo com a Figura (III.12),
pode-se introduzir o conceito de tensões longitudinais comple
mentares ºht' devidas ao esforço cortante V solicitante na se-
çao, que em conjunto com as tensões longitudinais de f 1 exã o
ºhn' obtidas com esforços solicitantes Me N incrementados de
Me N, reproduzem a distribuição de tensões longitudinais ºh
correspondente aos esforços solicitantes Me N. Assim:
{lll.26)
As equaçoes globais de equilibrio passam a ser:
Na = N + N = f ºhn.b.dz + E ºs .A s (III.27)
~1a = M + M = f ºhn"b.z.dz + E ºs·As.z (III.28)
{Ill.29)
sendo ºta tensão tangencial obtida a partir de ºhn"
24
Os esforços incrementais Me N sao determinados
através de um processo iterativo, a partir de uma aproximação
inicial M1 e N1. As deformações longitudinais sh,corresponden
tes aos esforços incrementados Ma e Na em cada iteração, sao
determinadas através de um método de Newton-Raphson, apresenti
do no Capitulo IV, seguindo a expressão (III.23). Através das
equações (III.6) e (Ill.24), determina-se o fluxo de cisalha
menta (b.crtl em toda a altura da seção. Com a equaçao (Ill.22)
determina-se o ângulo~ de inclinação das bielas de concreto,
em cada nivel, desde que a armação transversal Asw seja conhe
cida. As componentes horizontais ªh das tensões de compressao
nas bielas é dada pela equação (Ill.l). Obtendo-se as tensões
longitudinais ªht' através da equação (111.26), determina-se,
por integração ao longo da altura, os esforços incrementais
Me N resultantes, os quais comparados aos valores iniciais
M1 e N1 indicam a necessidade ou não de uma nova iteração.
Ao final do processo iterativo, equilibrados os
esforços internos com os esforços solicitantes, pode-se redi
mensionar a armadura transversal, com o auxilio das tensões
tangenciais ªt·
Como, por hipÕtese, a força cortante V é consta~
te no intervalo estudado, pode-se supor que o termo o(b.crt)/ax
na expressao (111.5) seja nulo, o que em conjunto com a equa
ção (Ill.2), resulta em:
( I 11. 30)
25
expressao esta empregada usualmente no dimensionamento a força
cortante de peças de concreto armado.
Como,de um modo geral, a largura b da seçao, a
tensão tangencial ºt' o ângulo~ de inclinação das bielas de
concreto e o ângulo w de inclinação dos estribos variam ao lon
goda altura, o dimensionamento da armadura transversal deve
ser efetuada em vãrios n1veis para poder-se determinar a eleva
çao em que a armadura necessãria e mãxima.
As tensões de compressao o~ nas bielas de concre
to podem ser verificadas ao longo de toda a altura da
atravês da equação (Ill.3).
3.3 - METODO DA SECAO EQUIVALENTE
seçao
A partir das simplificações adotadas para adap
tar a teoria da chapa fissurada ãs regras usuais de dimensiona
menta ã flexão, DIAZ 4,
5•
6•
19 desenvolveu um mêtodo para a de
terminação do fluxo de cisalhamento ao longo da altura da se
ção, denominado mêtodo da seção equivalente.
A hipõtese formulada de que a derivada parcial
da tensão tangencial ºtem relação a x e aproximadamente nula
no intervalo estudado, em virtude de ser suposta constante a
força cortante V, pode ser estendida ã derivada parcial da ten
são longitudinal ºtem relação a x. Assim:
26
(III.31)
Considerando-se que a força normal N tambêm nao
varia no intervalo, a expressão (III.31), em conjunto com as
equaçoes (III.16), {lll.17), {III.19), (III.26), (III.27) e
{III.28), conduz ãs seguintes equações de equilibrio:
a(N + N)/ax = O (III.32)
a{M + M)/ax = V (III.33)
A diferenciação sucessiva das equaçoes (III.13)
e (III.25) resulta em:
(III.34)
(III.35)
sendo E e E as inclinações das tangentes as curvas tensão-de-s c
formação dos materiais aço e concreto, nos pontos de deforma-
ções longitudinais Es e Eh' respectivamente. Como pode ser
visto nas Figuras {V.2) e (V.3), onde estão representadas as
curvas tensão-deformação do concreto e do aço tipo B, defini
das pelas normas, Ec e Es podem ser nulos quando as deforma
ções atingem os patamares existentes nas curvas dos dois mate
riais.
27
A derivação da expressao (111.23) em relação a
x, conduz a:
(111.36)
onde k1 e k2 sao duas constantes a serem determinadas.
O desenvolvimento das equaçoes (111.32) e
(111.33), com o auxilio das equações (111.27), (111.28),
(111.34), (111.35) e (111.36), leva ã formulação das seguintes
expressoes:
(111.37)
(111.38)
nas quais Ae '
se e le sao dados por:
Ae = J E c.b.dz + l: Es.As (111.39)
se = J E c.b.z.dz + l: Es'As'z (111.40)
le = J Ec.b.z 2.dz + l: Es.As.22 (111.41)
As constantes k1 e k2 sao definidas através das
equaçoes (111.37) e (111.38), permitindo a determinação do flu
xo de cisalhamento v = b.ot' ao longo da altura da seção. A
y
28
partir das equaçoes diferenciais de equilibrio (III.4) e
(III.6), levando-se em consideração as condições
(III.35) e (III.36), obtem-se a expressao:
(III.31),
(III.42)
onde zs e a ordenada z correspondente ao bordo superior da se
çao.
A seçao equivalente ê então definida como sendo
a seçao resultante da multiplicação da ãrea real de concreto e
aço pelos mõdulos tangente Ec e Es, correspondentes ãs deforma
ções longitudinais Eh e Es' ao longo da altura da seção, con
forme mostrado na Figura (III. 13).
+
z
Figura (III.13)
nal
"y' na Figura
correspondente ao ponto
29
(III. 13), ê a deformação longitudl
inicial do patamar da curva ten-
são-deformação do aço utilizado.
Se a origem do eixo z for convenientemente esco-
- . e - . lhida, de modo a anular o momento estat1co S da seçao equiva-
lente, isto ê, coincidindo a origem com o centrÕide desta se
çao, a constante k1 tambêm se anula, conforme mostra a equa
ção {111.37). Desta maneira, com a constante k2 definida pela
equação (II 1.38), a expressão (III. 42) se transforma em:
v = {V S)/1 (111.43)
onde I e o momento de inercia da seçao equivalente em relação
ao seu centrÕide e Sê o momento estãtico das divisões elemen
tares da seção equivalente, compreendidas entre o bordo supe
rior e a elevação considerada, em relação ao centrÕide da se
ção equivalente.
Portanto, uma vez definida uma configuração de
formada da seção, pode-se determinar o fluxo de cisalhamento
em toda a sua altura, atravês da seçao equivalente correspon
dente a esta deformada, usando a expressão {111.43).
3.4 - APLICAÇllO DO METODO DA SEÇ/10 EQUIVALENTE EM CALCULADORAS
PROGRAMllVEIS
A determinação das tensões tangenciais ºt•ª partir de uma
30
configuração deformada, pode ser feita, sem maiores dificulda
des, em calculadoras programáveis, utilizando o mêtodo da se
ção equivalente. Porem, a necessidade de processos iterativos
para o cãlculo dos esforços incrementais R e N, para a obten
ção da configuração deformada correspondente aos esforços in
crementados Ma e Na e, tambêm, para a definição do ângulo rp de
inclinação das bielas de concreto em cada elevação, tornam o
processo excessivamente demorado.
Com o objetivo de eliminar o processo iterativo
para a determinação da deformada da seção, definida pela defoi
mação relativa no centrÕide da seção e pela curvatura, foi de-
senvolvido um programa, para computador, de geração de tabe-
las de deformações para uma dada geometria de seçao, com va-
rias percentagens de armadura. Atravês de uma sub-rotina de in
terpolação, adaptada ao programa de dimensionamento preparado
para calculadora programãvel, obtêm-se, com razoãvel precisão,
a deformada correspondente a um par de esforços Ma e Na.
Nas Figuras (111.14), (111.15) e (111.16), estão
traçadas as curvas de mesma deformação axial no centrÕide da
seçao e as de mesma curvatura, para seções circulares de con
creto armado, com três diferentes percentagens mecânica de ar
madura, obtidas atravês das tabelas geradas por computador, e
incluídas no Apêndice C deste trabalho. Estas curvas dão uma
ideia das regiões onde a precisão da interpolação nas tabelas,
para determinação da deformada na seção, ê maio~ De um modo
geral, os resultados obtidos por interpolação nas tabelas sao
31
\t:~~~ -0,60 +-----ll---l,-\---t----".~-"'"',,~~._..,,..._,+----+---1
~
•e o "
s. (J./ ,.,?. q ' ~ ~ ~J ~
- 0,20 +-----t----t-+---+-t-----t----t-cc+----+---+-t-------l/-~---t-----:::-1
, / / L~---,
/ º·'
0,20
KND
0,2 0,3 /0,5~ ~ ~ o,s 0,9
/ , /~
CURVAS DE DEFORMAÇÃO AXIAL E CURVATURA EM SEÇOES DE CONCRETO ARMADO
SEÇÃO CIRCULAR CHEIA
AÇO CA-50 B llh/h , 0,10
1 w, o,s l
Figura III. 14
'·º KMD
32
-0,70
E:0 =·-2,0
~ t---... \
~ên: ~ \ ,~ r-.....
-0,60
\ ---~ ~ \ ""
~ ~ -0,50
\ Ea=-J,O \ .~ ~ 1
\ ~ N ~ 1
-0,40
' ' \ \~ \s 1
\ ' \ \"" -0,30
E: 0 =-015 \ ·" " - o o o
\ o 9-"O tJ
,,.-" " " " 9 " s ' s
-0,20
/ / J -) I
/ 1- / ri ' ) €.o:: o,O / I ~
-0,10
J-I
/ / / / A /
.L / --- ,'
/ o ··; 0,2 º; 0,4 0,5 / L v_/ ~ W' 1,0 KMD
I ,á º·º
0,10
I / / / ...... ~ / ~
/ L w 7 ~ V ' // ~ ~
V
/ ) / ~ ~ ~ ~
0,20
V, ~ ~ CURVAS DE DEFORMAÇÃO AXIAL E CURVATURA EM SEÇOÊS DE CONCRETO ARMADO
~ ---SEÇÃO CIRCULAR CHEIA
AÇOCA-50B llh /h = 0,10
0,30
Eo= 10,0 1w=1,01
KN D Figura III. 15
33
-0,60
~~ ;
\ i\~ ~ ' \ ~ ~~
-· -0,50
\ ""~ ~ ~ E:o=,-Jp \ "' '~ 1'. .
-0,40
\ -r\--~ """ 1
' \ \ ~ -0,30
1\ ' ~ .
\ " E0 =-0,5
'i 1\. !"-
-0,20
"' o o o ....,_ º- \ ô -- j cv- 1'f: ... "' .. ' " s si ..
" '9- '9- s s I / \
j I 1
-0,10
ls0 =0.0 ' / / / ) / I 0,1 / 0,2
0,3 / 0,4 º; 0,6
/ 0,7 0,8 'bÁ 1,0 KMD
/ º·º
0,10
I ja I / /~ ~ y J / / /__ V V
~ .A'
J So~\,O / ---t;7'" / ~ V ~ /
/ / ~ V:::: V ~ 0,20
) I// ~ ~ V
// Jb ~ ~ . ,,, CURVAS DE DEFORMAÇAO AXIAL E CURVATURA
7~ ~~ EM SEÇOES DE CONCRETO ARMADO SEÇÃO CIRCULAR CHEIA
0,30
.
~ AÇO CA-508 llh/h = 0,10 0,40
E:0 = 10,0 1 w = 2,0 1
KND
Figura III. 16
34
muito bons quando a seçao estã submetida a esforços normais de
compressao, reduzindo-se a precisão quando, associados a esfo~
ços normais de tração são aplicados momentos fletores que pro
vocam deformações muito grandes na zona tracionada, aproximan
do-se de um estado limite ultimo por deformação excessiva na
armadura tracionada.
A determinação do ângulo~ de inclinação das
bielas de concreto, em cada nivel, através da expressao
{III.22), uma vez conhecidas as deformações longitudinais sh e
as tensões tangenciais ªt' conduz a um processo numérico iter~
tivo, que, repetido ao longo de toda a altura de seção em cada
iteração necessãria ao cãlculo dos esforços incrementais M e
N, resulta no consumo de um intervalo de tempo excessivo para
o dimensionamento prãtico de seções em concreto armado. Pores
te motivo, foram adotadas simplificações no método exposto, ba
seadasem hipóteses conservadoras da teoria de concreto armado,
para a determinação do ângulo~ ao longo da altura da seção.
Na zona comprimida da seçao sera suposto que o
concreto se comporta como um material homogêneo, submetido as
tensões longitudinais ªhn e tangenciais ªt· Desta forma, admi
tindo-se que a inclinação~ das fissuras coincidem com a dire
çao das tensões principais de compressão, pode-se determinar
com o auxilio do circulo de Mohr a inclinação ~a das tensões
de compressao no concreto, em cada elevação, na parte comprimi
da da seção.
1·
35
De acordo com a hipõtese acima formulada, pode
se supor que a inclinação <Pa = 45°, resultante ao nivel da 1 i
nha neutra da seção, se mantem em toda a zona tracionada, uma
vez que são nulas, as tensões longitudinais ºhn nesta zona.
b
' í Eh Ohn oh! oh o,
• '
=fdr ,
+.:N f, "'
+ ~
Ao
Fh Fh
Figura III.17
Esta simplificação, associada ãquela desenvolvi
da a partir da expressão (II!.25), resulta em uma distribuição
linear das tensões longitudinais ºh' nos trechos entre barras
longitudinais, na zona tracionada da seção, conforme mostra a
Figura (III.17).
A adoção de maiores inclinações para as bielas
de concreto ao longo da altura acarreta uma redução nas ten-
l,
36
soes longitudinais ºht' calculadas com o aux1lio das equaçoes
{III. 1) e (III.26). Para equilibrar os esforços externos M e
N serã necessãrio um acréscimo nas deformações longitudinais
Eh' correspondentes aos esforços incrementados Ma e Na' de mo
do a aumentar a tensão tangencial ºt mãxima e, consequentemen
te, as tensões longitudinais ºht" Desta forma, o dimensionamen
to da armadura transversal, através da expressão (III.30), ba
seado nesta hipÕtese simplificadora para a determinação do an-
gulo de inclinação das bielas de concreto, resulta conserva-
dor, requerendo uma maior taxa de armadura transversal que
aquele baseado no trabalho complementar minimo.
Esta diferença de inclinação nas bielas de con
creto e levada em conta nos critérios de dimensionamento ã for
ça cortante, adotados pelas normas citadas neste trabalho,
inclu1da numa parcela a subtrair das tensões tangenciais no
cãlculo da armadura transversal. Uma vez que o valor da tensão
subtrativa é definido pelas normas, fundamentado principalmen
te em ensaios de vigas de seção retangular, T ou I, com armadu
ra principal disposta junto ao bordo mais tracionado da se
ção, não foram adotadas neste trabalho reduções nas tensões
tangenciais resultantes do processo simplificado adaptado para
calculadoras programãveis.
Entretanto, outros autores (ver DIAZ 4•
5•
6•
19) ai
vogam a adoção destas reduções, desde jã, a fim de que a ana
lise por este processo conduza a resultados coerentes com os
37
critêrios das normas, para os casos mais simples de seçao
transversal. As normas alemãs DIN 1045 3 e DIN 4227 21 ,indireta
mente, efetuam estas reduções em suas prescrições.
O mêtodo iterativo para o cálculo dos esforços
incrementais Me N não pode, entretanto, ser dispensado no pri
cesso de dimensionamento ã força cortante, por não ser
vel definir a priori um valor suficientemente aproximado
estes esforços, conforme pode ser visto no Exemplo 6.1,
sentado no Capitulo VI.
~ poss1-
para
apre-
A definição dos esforços adicionais Me N, nece~
sários para o dimensionamento da peça no sentido longitudinal,
permite que este cãlculo tambêm possa ser efetuado unicamente
com os esforços solicitantes na seçao, sem a necessidade de es
calonar o diagrama de armadura necessãria, conforme prescrito
pelas normas de concreto armado.
O desenvolvimento do programa de dimensionamento
ã força cortante, adaptado para a calculadora programãvel HP-
41C, ê apresentado no Capitulo V deste trabalho, segundo os
critêrios de segurança das normas do CEB 1 e NB-1 2 • Consistente
com a simbologia adotada por estas normas, uma vez que o dimen
sionamento ã força cortante pela teoria apresentada se proces
sa no estado limite ultimo, as solicitações e resistências de
cálculo utilizadas no desenvolvimento do programa serão identi
ficadas pelo indice d. Esta identificação não foi utilizada no
desenvolvimento da teoria devido a generalidade da mesma, pois
38
tambem se aplica ã norma DIN 1045 3, a qual possui um criterio
de segurança diferente das outras duas normas, não utilizando
a mesma simbologia.
39
CAP!TULO IV
PROGRAMA PARA GERAÇAO DE TABELAS DE DEFORMAÇÕES
Com o objetivo de reduzir o tempo de processame~
to do programa de dimensionamento ã força cortante, desenvolvi
do para calculadoras programãveis, apresentado no Capitulo V
deste trabalho, foi elaborado um programa de computador, em
linguagem FORTRAN IV, para geração de tabelas de deformações
em seçoes de concreto armado, de acordo com os principios bãsl
cos do CEB 1• Por interpolação nas tabelas geradas para varia
das percentagens mecânicas de armadura, pode-se determinar as
deformações, correspondentes aos esforços Ma e Na aplicados
a seção, necessãrias ao dimensionamento ã força cortante, con
forme a teoria exposta.
4. 1 - DESCRIÇAO DO PROGRAMA
O programa gera tabelas adimensionais de deforma
çoes em seçoes de concreto armado, estando adaptado para nor
mas que seguem os mesmos criterios de dimensionamento estabele
cidos pelo CEB 1, como ocorre com a norma NB-1 2 e DIN 1045 3 • No
estãgio atual, o programa admite dois tipos de seçoes:
1. Seção retangular cheia com qualquer percentagem de armadura
nas faces superior, inferior e laterais, mantida a simetria
em relação ao eixo vertical z.
40
2. Seção circular cheia com armadura uniformemente distribu1da
em uma camada.
Pode, no entanto, ser adaptado, com pequenas modificações,p~
ra outros tipos de seções com um eixo de simetria.
Alem da geometria da seçao, sao dados de entrada
do programa as caracter1sticas do aço da armadura longitudinal,
os coeficientes de segurança da norma adotada e as percentagens
mecânicas de armadura das tabelas a serem geradas.
A ideia bãsica do programa, cujo desenvolvimento
e apresentado no fluxograma inclu1do no 1tem 4.2, e na descri
ção das sub-rotinas dada no 1tem 4.3, consiste em subdividir a
ârea interna de uma curva de interação (ver por exemplo GRAS-
SER 14), e calcular, através de um processo numérico iterativo,
a deformada da seção (definida pela deformação relativa no cen
trÕide da seção e pela curvatura) correspondente ao par momento
fletor-força normal relativo a cada subdivisão, como pode ser
visto na Figura (IV. l ).
Os parâmetros de entrada nas tabelas, KND e KMD,
correspondem ao esforço normal relativo e ao momento fletor re
lativo, de câlculo, divididos pelos fatores CN e CM, definidos
na sub-rotina CPAR, que reduzem as curvas de interação para di
ferentes percentagens de armadura, w, a uma mesma dimensão.
KNDmin
KNDj
o
41
b......___ KMDJim
"-.
~
"
Kf,l)k 1
À . . D-t7" / AKMD
\ld KNO=-
CN
CURVA DE INTERAÇÃO PARA UMA
NTAGEM MECÂNICA DE ' '\ PERCE
ARMA D URA W
'
' ,
7v 1,0 KMO, µd CM
Figura IV.l
As tabelas que fornecem a deformação relativa no
CG da seçao e a curvatura relativa da seção, em função do par
momento fletor relativo-força normal relativa, são geradas fi
xando um valor de KND e incrementando o parâmetro KMD atê atin
girou ultrapassar uma configuração deformada limite, conforme
definida na sub-rotina LIMIT. Se a deformada resultante para o
par (KNDj' KMDk) conforme Figura (IV.l), ultrapassa uma confi
guração limite, o programa determina o valor KMDlim' que em
conjunto com KNDj atinge esta configuração, atravês de subdivl
sões sucessivas do ultimo incremento 6KMD. O valor de KMDlim e
da deformada a ele correspondente são impressos entre parênte-
42
ses nas tabelas. Nestas, a deformada impressa para o par
(KNDj' KMDk), fora da curva de interação, ê resultante de uma
extrapolação, baseada no valor KMDlim' objetivando seu uso em
interpolações para valores prõximos ã curva de interação.
A deformada da seçao para um par de esforços so
licitantes Na e Ma ê dada nas tabelas em função da deformação
relativa ao n1vel do centro de gravidade da seção, Eo (EPCG) e
da curvatura relativa~ (FI), correspondente ao produto da cui
vatura K pela altura total da seção h, conforme Figura (IV.2).
Em tabelas baseadas nos critérios da norma DIN
1045 3, que adota coeficiente de segurança variâvel no dimensio
namento ã flexão, os parâmetros de entrada são definidos em
função dos esforços em serviço, e não dos de calculo, conforme
aqui apresentados.
4.2 - FLUXOGRAMA DO PROGRAMA
A relação das principais variâveis utilizadas no
programa principal e inclu1das no fluxograma, assim como os
seus significados, e dada a seguir:
XMIX
XNMI
percentagem mecânica mâxima de armadura do con
junto de tabelas
numero de tabelas do conjunto
DMI
NMI
XMI
AREA
se
FCD8
FYD
CN
CM
43
variação da percentagem mecânica de
entre duas tabelas consecutivas
valor inteiro igual a XNMI
armadura
percentagem mecânica de armadura de uma tabela
area total de armadura, correspondente a per
centagem mecânica XMI de cada tabela
areada seçao retangular de base e altura uni
tãrias ou circular de diâmetro unitârio
resistência do concreto a compressao, conforme
Figura IV.7, adotada no programa igual a
0.05 * FYD, para fins numéricos
resistência de cãlculo do aço
fator que divide a força normal relativa de
câlculo para obtenção do parãmetro KND de en
trada nas tabelas
fator que divide o momento fletor relativo de
câlculo para obtenção do parâmetro KMD de en
trada nas tabelas
CANMIN
CANMAX
Xl
NN
NM
DND
DMD
CAND
XN
V
CAMD
44
parâmetro KND correspondente ã força normal ma
xima de compressão, conforme Figura (IV.l)
parâmetro KND correspondente ã força normal ma
xima de tração, conforme Figura (IV.l)
variãvel auxiliar para determinação dos valo
res de KND
numero de divisões entre KND . e KND -m,n max
numero de divisões do parâmetro KMD
variação entre dois parâmetros KND consecuti
vos
variação entre dois parâmetros KMD consecuti
vos
parâmetro KND variando com o indice contador J
força normal de serviço, correspondente ao pa
râmetro KND
coeficiente de segurança
parâmetro KMD variando com o indice contador K
XM
EMAXC
EMINC
EPCG
FI
IT
CAM
SI
45
momento fletor de serviço, correspondente ao
parâmetro KMD
deformação longitudinal relativa, ao n1vel do
bordo superior da seção de concreto
deformação longitudinal relativa, ao nível do
bordo inferior da seção de concreto
deformação longitudinal relativa, ao n1vel do
centro de gravidade da seção
curvatura relativa da seçao
variãvel que define a posição da deformada
correspondente aos esforços XN e XM em relação
as deformações limites estabelecidas pela nor
ma adotada, conforme Figura (IV.9)
variãvel auxiliar na determinação do parâmetro
KMD correspondente a uma configuração deforma
da limite
valor unitãrio cujo sinal indica um incremento
ou decremento no parâmetro KMD na pesquisa da
configuração deformada limite
I L
CAML
EPCGL
FIL
TESTE
46
expoente que reduz o incremento DMD em cada
passo da pesquisa da configuração deformada li
mite
parâmetro KMD que em conjunto com o parâmetro
KND atinge uma configuração deformada limite
deformação longitudinal relativa, ao nivel do
centro de gravidade da seçao, para a configuri
ção deformada limite
curvatura relativa da seçao, para a configura
ção deformada limite
variãvel para definição da prõxima operaçao a
ser realizada pelo programa.
47
INICIO
Leitura das características
do aço e norma
Leitura da geometria da seção
e do numero de tabelas
DMI=XMIX/XNMI
I=l ,NMI
Impressão do título
no topo da pãgina
48
XMI=FLOAT(I)*DMI AREA=XMI*SC*FCD8/FYD
CALL CPAR (Câlculo de CN, CM,
CANMIN e CANMAX)
Impressão das características do aço, da seção e percentagem
mecânica de armadura
Xl=AINT(CANMIN*NN)/NN DND=l ./FLOAT(NN) DMD=l ./FLOAT(NM)
J=l ,NN
49
7
CAND=Xl+FLOAT{J-l)*DND XN=CAND*CN*SC*FCD8/V
K=O
51--------------i
K=K+l
CAMD{K)=DMD*FLOAT(K-1) XM=CAMD{K)*CM*SC*H*FCD8/V
CALL PROC (Cãlculo de EMAXC E EMINC)
EPCG(K)={EMAXC+EMINC)*500. Fl{K)=(EMINC-EMAXC)*lOOO.
8
50
CALL LIMIT (Cãlculo de IT)
=1
=3
CAM( 1 )=CAMD(K) SI=-1 I L = 1
=2
CAML=CAMl+SI*DMD/(2.**IL) XM=CAML*CM*SC*H*FCD8/V
CALL PRDC (Cãlculo de EMAXC e EMINC)
IL=IL+l SI= l
51
CALL LIMIT (Cãl culo de IT)
= l
=2
=3
EPCGL=(EMAXC+EMINC)*500. FIL=(EMINC-EMAXC)*lOOO.
Impressão de CANO, EPCG(K), Fl(K),
CAML, EPCGL e FIL
CONTINUE
IL=IL+l SI= -1
52
Impressão de
CANMAX, EPMAX e FIMAX
CONTINUE
=T =S
=E
FIM
53
4.3 - SUB-ROTINAS USADAS PELO PROGRAMA
4.3.l - Sub-Rotina PROC
r a sub-rotina que comanda o processo iterativo
para a determinação da configuração deformada da seção para um
dado
todo
par de esforços Na o
da matriz de rigidez
e M . Este processo ê baseado no ''mê ªo
tangente'', proposto por SANTATHADA-
PORN et al. 10, o qual tem sido utilizado por vãrios autores em
diversas anãlises em peças de concreto armado (ver, por exem
P lo, GALGOU L 1 8) •
Considerando-se a hipõtese de linearidade de de
formações longitudinais ao longo da altura da seção, conforme
Figura (IV.2), e devido ao comportamento não linear dos mate
riais concreto e aço, os esforços Ma e Na são definidos como
funções da deformação longitudinal s 0 , na altura da origem dos
eixos de referência, e da curvatura K. Utilizando o mêtodo de
Newton-Raphson estas relações podem ser escritas em termo de
incrementos de forças e deformações pela equação:
llNa aNa aNa
liso as0 aK
= (IV.l)
llMa aMa aMa
llK as ªK
o
Esta equaçao pode ser escrita da forma:
54
{t,f} = [Q] {t,D} (IV .2)
A matriz [Q], cujos termos serao definidos na
descrição da sub-rotina INTEG, ê denominada matriz de rigidez
tangente uma vez que ela representa a tangente a curva tensão
deformação dos materiais, assim como a rigidez da seção.
A partir de uma configuração deformada inicial,
E0 e K, a sub-rotina INTEG calcula os esforços M e N corres-a a
pondentes aquela configuração, assim como os termos da matriz
de rigidez tangente. Resolvendo-se a equaçao (IV.l ), onde
- N a
- M a '
obtem-se os incrementas 6Eo e 6K a serem somados aos ultimas
valores de Eo e K, determinando-se a deformada base de uma no
va iteração.
Considera-se alcançada a convergência em
de um par de valores E0 , K, quando tanto 6Eo quanto 6K
torno
forem
inferiores a um valor minimo de tolerância. Quando esta conver
gência não ocorre apõs vinte iterações, o programa assume que
a deformada da seção para os esforços dados ultrapassa o esta-
do limite ultimo, hipõtese esta que terã que ser confirmada
posteriormente na pesquisa do momento Ma que, em conjunto com
o esforço normal Na dado, conduz a uma configuração deformada o
55
limite, conforme Figura (IV.9).
(J
y
/ -A91
+
z
Figura IV.2
Determinados os valores de Eo e K, a sub-rotina
calcula as deformações longitudinais ao nível dos bordos supe
rior (EMAXC) e inferior (EMINC) da seção de concreto, seguindo
a hipõtese formulada de linearidade de deformações ao longo da
altura da seção, conforme a Figura {IV.2).
E= EÜ + K.Z (IV.3)
Da mesma forma sao calculadas as deformações ao
nível do eixo das armaduras mais prõximas dos bordos superior
{EMAXS) e inferior {EMINS) da seção.
Internamente, o programa considera a origem dos
eixos no nível do bordo superior, ao qual são referidos os es-
56
forços e as deformações na seçao.
Os valores das deformações nas extremidades da
seçao de concreto e da armadura, calculados pela sub-rotina
PROG, são utilizados na sub-rotina LIMIT para comparação com
as deformações limites impostas pela norma adotada.
4.3.2 - Sub-Rotina INTEG
Esta sub-rotina determina os esforços M e N re a a -
sultante da integração numérica dos diagramas de tensão no con
ereto e na armadura, para uma dada configuração deformada Eo
e K, conforme Figura {IV.3), usando as equações {IV.4) e
( I V . 5 ) .
y
z
Figura IV.3
57
n ns e Na = I o . 6Ac + I ºs .. 6As . {IV.4)
i = l e · i j = l l J J
n ns e Ma = I o . z . 6A + I 0 s.·zs.· 6As . (IV.5) e. e . e . i = 1 l l l j = l J J J
onde nc e ns sao o numero de elementos em que a seçao de con
creto e aço, respectivamente, foram divididos para a execuçao
da integração numerica. As tensões ºe. e ºs. são obtidas, atri. l J
ves das sub-rotinas CONCR e ACO, respectivamente, entrando-se
nas curvas tensão-deformação dos materiais com as deformações
se. e ss.' calculadas pela equação (IV.3). l J
Alem dos esforços Ma e Na' a sub-rotina INTEG
tambem calcula os termos da matriz de rigidez tangente [Q], de
acordo com as seguintes equações:
3N n ns e a = I E . 6A + I E . 6A 3so i = l Ci e.
j = l s . s . l J J
{IV.6)
3N 3M n ns e a a = I E . z . 6A + I E . z . 6A = dK dEQ i = l e. Ci e .
j = l s . s . s . l l J J J
(IV.7)
n ns 3M e
= l E .z 2 .6A + l E . z 2 • 6A e. e. e. s . s . s . dK i = l l l l j = l J J J
(IV .8)
onde E e E sao as tangentes as curvas tensão-deformação do e. s. l l
concreto e do aço, respectivamente, calculados pelas sub-roti
nas CONCR e ACO.
58
4.3.3 - Sub-Rotina ACO
A sub-rotina ACO e usada para a determinação da
tensão
çao da
a no sj
elemento de armadura !1As.' assim como a inclinaJ
tangente ã curva tensão-deformação do aço,
çao da deformação relativa
INTEG.
calculada pela
Es .' em funJ sub-rotina
O diagrama tensão-deformação do aço adotado
definido pela variãvel TS.
-e
Para o aço de dureza natural, TS = l., a sub-roti
na utiliza o diagrama da Figura (IV.4),onde
f - resistência de cãlculo do aço yd
Es - mõdulo de deformação longitudinal do aço
Eyd - deformação relativa de escoamento do aço, valor de cãlcu
lo
E -deformação relativa limite do aço, definida pela s l i m
norma
adotada: CEB e NB-1 -E =0.010 s l i m
DIN 1045 -E =0.005 s l i m
-E lim
-,4 arclan(EulO)
59
ª•
Figura IV.4
-4 are tan ( E
6x 10 )
Neste diagrama, foi adotada uma pequena inclina
çao na tangente ã curva para deformações maiores, em mõdulo,
que syd' com o objetivo de melhorar a convergência do proces
so, sem acarretar contudo, diferenças significativas no cãlcu
lo dos esforços Ma e Na.
Para o aço deformado a frio, TS = 2., o diagrama
da Figura (IV.5} e utilizado pelo programa. Neste diagrama, de
cãlculo, baseado no diagrama definido pelo CEB 1 , o trecho pari
60
bÕlico foi substituído por quatro segmentos de reta, ligando
pontos dessa parãbola, conforme Figura (IV.6). lambem foi ado
tada uma pequena inclinação na tangente ã curva para deforma
çoes maiores, em mõdulo, que (Eyd + 2 °100
).
VER FIGURA ( IV. 6 )
1yd --- --r-~-.=.=--;r-T"--="==i='=f=-= / I'
0,7 1yd
1 1 / I 1 / 1 1 /
-2%.,
-(E +2%.,) -E dl -CJlE d are tan
I E5 ,(
1 , ,
, , 1
{ : /1 1 1 1
/ 1 1 / 1 1
/ 1 1 / 1 1
/ 1
1 / 1
1 / 1 '/
I / /
0,7 E, eyd
2%.o
---- -0,7fyd
==d-li---~__jk,:=::::-:_J ----- - 1yd
-4 are tan (E9 xlO )
Figura IV.5
/ 1 / 1
/ 1 / 1
/ 1
/ 1 /
E., lim t;
61
º· ~ )5 E:,~+ 0,823 ( f -0,7 s Es yd
fyd
0,95 ty,1
0,90 fyd
-------~--;;;.-~----===-____ /
0,80 fyd
Q70 1yd
4.3.4 - Sub-Rotina CONCR
I ~ I
/
Figura IV .6
I
/ /
/ I
I I
/ /
I /
I
Esta sub-rotina calcula a tensão cr na area ele c. l
mentar de concreto 6A , assim como a c. inclinação da tangente ã l
curva tensão-deformação do concreto, E , c. 1
ção relativa E: , calculada em cada nivel Ci
INTEG.
a partir da deforma-
pela sub-rotina
A sub-rotina utiliza o diagrama tensão-deforma
çao dado na Figura (IV.7), onde fcd corresponde ã uma resisr
tência mãxima convencional do concreto ã compressao,para defor
- o -maçoes relativas maiores, em modulo, que 2 /00
, e que e defi-
62
nida conforme a norma adotada:
Para as normas do CEB 1 e NB-1 2:
Para a norma DIN 1045 3:
fcd =SR= 0.7 BwN (para BwN < 35.0 MPa) r
onde BwN e a resistência cúbica convencional definida por esta
norma.
Ec
-f d t r
-4 an: tan(E0 x 10 )
o
are tm ECo
-2.0 %o
Figura IV.7
-4 an: !an(E'ioxlO J
63
Neste diagrama, para facilitar a convergência do
processo, foi adotada uma pequena inclinação na tangente a cur
va para deformações positivas e menores que - 2 °;00
.
4.3.5 - Sub-Rotina CPAR
Esta sub-rotina determina os parâmetros CN e CM,
introduzidos nas tabelas de deformações com a finalidade de re
duzir a um mesmo tamanho as curvas de interação de uma seçao
de concreto com variadas percentagens mecânicas de armadura,
se usadas as mesmas escalas nos eixos verticais e horizontais
dos diagramas.
'
CN
CURVA DE INTERAÇÃO PARA UMA
PERCENTAGEM MECÃNICA D·E AR·MADURA
W : A, fyd
Ac fcdr
Mod µ: ----
Ae-h-fcdr
Figura IV .8
64
O cãlculo dos parâmetros CN e CM, conforme mos-
tra a Figura {IV.8) consiste na determinação do esforço normal
relativo mãximo de compressão, vd . m1n
e de tração, vd , e
momento fletor relativo mãximo, µd , max
nica de armadura w de cada tabela.
max para a percentagem
do
meca
De acordo com as configurações deformadas no es
tado limite ultimo, estabelecidas pela norma adotada, conforme
Figura (IV.9), o cãlculo dos esforços normais mãximo de tração
e compressao se resume a determinação, pela sub-rotina INTEG,
dos esforços correspondentes a uma curvatura K nula e deforma
çao longitudinal Eo igual ao limite de alongamento do aço na
tração, E , s 1 . ,m
conforme as Figuras (IV.4) e (IV.5) ou ao encur
tamento mãximo do concreto, em caso de compressão centrada, li
mitado pelas normas em 2 °100
. Utilizando a sub-rotina INTEG,
o programa pesquisa a configuração deformada correspondente ao
momento mãximo resistido pela seção, fixando a deformação no
bordo superior da seção de concreto em seu valor limite,
EMAXC = - 3.5 °100
, e incrementando a deformação mãxima na ar-
madura, EMINS, a partir de um valor inicial arbitrado em
4.3.6 - Sub-Rotina LIMIT
Esta sub-rotina tem por finalidade verificar se
a deformada calculada atraves da sub-rotina PROC, para um par
de esforços Ma e Na, ultrapassa as deformações limites no con-
ereto ou no aço, impostas pelas normas, conforme a Figura
..,
65
(IV.9).
r---------------------------1
A&.i!::-.--------------<--------f 'i;.m e: d L------------------~----------L----~---------'~
Figura IV.9
O resultado da verificação e transmitido pela va
riãvel IT como se segue:
IT = l - Significa que as deformações limites do concreto ou
do aço não foram atingidas.
IT = 2 - Significa que uma configuração limite foi atingida,
correspondendo na Figura (IV.9) a uma linha deformada
contida em uma das zonas numeradas de l a 5, passando
portanto por um dos pontos A, B ou C.
66
IT = 3 - Significa que pelo menos uma das deformações limites
do concreto ou do aço foi ultrapassada.
4.3.7 - Sub-Rotina ERROR
ta sub-rotina destinada a imprimir uma mensagem
de erro quando algo anormal ocorre na execuçao do programa,co~
forme a relação incluida no Apêndice A-2.
67
CAPTTULO V
PROGRAMA DE DIMENSIONAMENTO Ã FORÇA CORTANTE
Neste capTtulo serã apresentado um programa de d1 mensionamento ã força cortante, baseado no método da seção equ1
valente, exposto no CapTtulo III, desenvolvido para a calculado
ra programãvel HP-41C.
A listagem do programa, instruções para seu uso e
o conteúdo dos registros de memõria são fornecidos no Apêndice
B deste trabalho, em duas versões:
l. SHEDR - para dimensionamento de seçoes retangulares cheias
com armadura distribu1da nas quatro faces, admitindo qual-
quer distribuição percentual entre elas, desde que seja man
tida a simetria em relação ao eixo vertical z.
2. SHEDC - para dimensionamento de seçoes circulares cheias com
armadura uniformemente distribu1da em uma camada.
Com algumas modificações, o programa pode ser
adaptado para outras seções, simêtricas em relação ao eixo z,
conforme pode ser visto na listagem do programa SHEDC, apresen
tada na forma de alterações a serem introduzidas na listagem do
programa SHEDR.
O programa tambêm pode ser adaptado, sem maiores
dificuldades, para os critérios de segurança da norma DIN
68
1045 3, introduzindo-se a variação do coeficiente de segurança,
a partir da configuração deformada obtida por interpolação nas
tabelas de deformações, que seriam geradas de acordo com os
criterios desta norma, conforme visto no Capitulo IV.
5 .1 - DESCRI ÇJ!.O DO PROGRAMA
Para o dimensionamento ã força cortante, baseado
no mêtodo da seçao equivalente, o programa adota um processo
iterativo na determinação dos esforços incrementais Md e Nd,
resultantes das tensões longitudinais ºht' conforme figura
(III.12).
Com os valores iniciais de Md e Nd arbitrados l l
em O e 0,707.Vd , respectivamente, o programa procede a detei
minação das tensões ºht ao nivel de cada divisão da seção, a
partir das deformações longitudinais correspondentes aos esfor
ços incrementados Madl = Md + lild1
e Nadl = Nd + Nd1
·
Comparando-se os valores de Mad e Nad' obtidos
atravês dos esforços Md e Nd, resultantes da integração numêri
ca do diagrama de tensões longitudinais ºht' com os valores
iniciais Mad e Nad , constata-se a necessidade, ou nao, de l l
uma nova iteração.
Atravês de uma sub-rotina (•LBL R), o programa
determina a ãrea equivalente A~ de cada elemento em que a se
ção foi dividida, conforme Figura (V. 1), baseada na deformação
69
l o n g i tu d i na l s2 m . a o n i v e l d o e i x o medi o d este e l emento. D e , acordo com a hipõtese adotada de linearidade de deformações ao
longo da altura da seção, a deformação s2 m. em cada nivel e , dada pela equação:
( V . l )
sendo z a denominação aqui dada ao eixo vertical, com a origem
na elevação do bordo superior da seção, adotado
no programa.
bm;
e , ...
.e
z
Figura V.l
internamente
Erm;
+
70
A ârea equivalente de cada elemento Af, e obtida
através da equaçao:
A~= 1
+ A • E s . s . (V. 2) 1 1
onde:
A - area de concreto do elemento, descontada a area ocupada Ci
p e 1 a armadura : A e. 1
E - inclinação da tangente ã curva tensão-deformação do con e . 1
ereto, no ponto de deformação s2m., conforme 1
(V. 2)
figura
A - areada armadura longitudinal no intervalo bz do elemen-s . 1
to
Es. - inclinação da tangente ã curva tensão-deformação do aço, 1
no ponto de deformação s- Para o aço tipo B, foi su-zm;
posta uma variação linear na inclinação da tangente a
curva, no trecho compreendido entre as deformações 0,7 Eyd
e (syd + 2 °/00
), conforme Figura (V.3~
-0,85 fcd
Ezmi
71
are tan Ec1
1 1
1 1 1 1 1
1 1
-2,0 %o
Figura V.2
-3,5 'Yoo
o,
fyd -----,--=-"T"'"------, 1, /1
0>7 fyd ----
/ 1 / 1
1 / t
1 1
1
1 / 1 1 / J
1 / 1 1 /
1 / I 1 I; 1
are tan1
E5 j 1 1 / I
0,7Eyd Eyd
2°/oo
Es +-----,...
0,7~
Figura V.3
72
A ãrea total da seçao equivalente Ae, a profundi -dade z do centrõide desta seçao e o momento de inercia!, em
relação a este centrõide, são obtidos, numa primeira etapa do
processo numerico, pelas equações:
n Ae = I A~
l 1 ( V • 3)
n - (I e - ) e z = Ai . zm. / A l 1
( V • 4)
n e -2 I = I A .. Z11 - Ae .22
1 ' . l 1 (V. 5)
onde n e o numero de elementos em que foi dividida a seçao.
Na segunda etapa do processo numerico, repete-se
o cãlculo da ãrea equivalente de cada elemento, para a determi
nação do momento estãtico Si em cada nivel da seção equivalen
te, em relação ao seu centro de gravidade:
S = l: A~ (z i 1
(V. 6)
Com o valor do momento estãtico da seçao equiva-
lente pode-se determinar a tensão tangencial ªt., de 1
com a teoria exposta, pela equaçao
acordo
(V. 7)
sendo ªt. , inferior de
çao.
73
a tensão tangencial ao n1vel do bordo
cada elemento, e bi a largura da seçao nesta eleva
A tensão tangencial ªt ao nível do eixo mêdio mi
de cada elemento pode ser obtida por interpolação, usando a
tensão tangencial a do elemento anterior. tm. 1 , -
Com o valor da deformação longitudinal E-z em m. , cada nível, o programa determina a tensão l ongi tudi nal ªh no n. , concreto, usando a curva tensão-deformação do concreto, dada
na Figura (V.2).
Serã adotada aqui a hipõtese de que a inclina-
çao das fissuras se orientam de acordo com as tensões princi
pais de compressao, supondo um comportamento homogêneo do mate
rial e atuantes somente as tensões ªhn e ªt no concreto, como
explicado no Capitulo III. O programa, atravês de equações ob
tidas com o círculo de MOHR, determina a inclinação cJ>a. das , tensões de compressão na zona comprimida da seção. A tensão
longitudinal ªh. sera dada por: 1
G <j,. cos 2 cj,a. 1 ,
( V . 8)
Com a hipótese simplificadora dada acima quanto
ao ângulo cj,, prova-se (ver CEB 8,
9) que a tensão ª<P nas bielas
e numericamente igual a -( lcr 1 1 + lcr 11 1), onde cr 1 e ªII sao as
74
tensões principais fictícias obtidas com as tensões ªhn e ªt·
A tensão
forças incrementais Md
de ªh .. l
longitudinal ªht.' responsãvel pelos e~ l
e Nd pode ser obtida deduzindo-se ªh n .
l
Na zona tracionada da seçao, a inclinação$ das
bielas de concreto serã considerada igual a 45°, resultando:
equaçoes:
sendo que na
ªt. l
( V • 9)
Os esforços incrementais sao calculados pe 1 as
n = I (V.10)
1
(V.11)
equaçao (V.11) o momento fletor Md
estã referido a origem do eixo z.
Ainda na segunda etapa do processo numerico, o
programa pesquisa o valor mãximo da tensão tangencial ªt e o
parâmetro b.at.tan$/cosw que conduz ã mãxima armadura transver
sal, ao longo da altura da seção. Assim, para a seção circular
a pesquisa da armadura transversal mãxima deve levar em conta
a variação da largura bm. e do ângulo w de inclinação do estri l
75
bo em relação ao eixo z, conforme Figura (111.1).
A armadura transversal mãxima corresponderã ao
mãximo valor de -(ov.·bm_lcosw), onde
a V •
l
l l
= ºt. l
(V.12)
r de se notar que o valor ºt·tan~ ê numericamen
te igual ao valor da tensão principal ficticia de tração o1
,
calculado supondo que~ seja igual a ~a' ângulo de inclinação
da tensão principal ficticia de compressão 0 11 , calculado com
a hipÕtese de material homogêneo sob a ação das tensões ºhn e
ºt·
Determinadas as tensões ao longo de toda a altu-
ra, o programa calcula os esforços incrementados Mad e Nad a
serem
caçao
comparados com os valores iniciais M d a 1
da convergência do processo iterativo.
e N d na verifi a 1
Atingido o equilibrio entre os esforços solici
tantes Md e Nd e as tensões longitudinais ºh' o programa calcu
la a armadura transversal mãxima, por comprimento unitãrio ao
longo do eixo da peça, necessãria na seção, pelas expressoes:
Para seçoes circulares:
A sw =
COSWi • f ywd (V.13)
76
Para seçoes retangulares:
A sw
ºt _.tan<Pa .. b 1 1
= ---'------
f ywd (V.14)
5.2 - FLUXOGRAMA DO PROGRAMA DE DIMENSIONAMENTO Ã FORÇA
TANTE
COR-
LBL SHEDR
L BL MAT
2 1--------i
LBL SEC
OMEG=(w)
T AB. 1
4
Entrada das propriedades dos materiais e fatores de segurança
Entrada da geometria da seçao
Percentagem mecânica de armadura
Entrada de w, CN e CM 1 1 1
4
N
s
T AB. 2
3 1--------i-----_J
LBL FORC
N
s
XEQ M
FL AG
5 \...-----...-+~----'
LBL DEF
6
77
Entrada dos esforços solicitantes
Esforços Mad e Nad 1 1
6
TAB. 1 XEQ K XEQ E
TAB.2 XEQ K XEQ E
XEQ I
EPCG=(E 0 ) FI=(,p)
7
78
Entrada dos parâmetros KM, KN, EP e FI
Entrada dos parâmetros KM,KN,EPeFI
Sub-rotina de interpolação
Deformações resultantes da interpolação
7
LBL C
XEQ R
e 'LA.
l e -
IA .. z111
• l l e _2
IA;. Zm;
DSE ndiv
Calculo de z e I
8
79
Sub-rotina para o calculo da ãrea equivalente, em cada nível zm;
_ e _ e z=( IA;. Zm; )/A
e _2 e _2 I=EA;.zm;-A .z
8
LBL D
XEQ R
cãlculo de
si, 0 t;•
ºt , ºI • max max
Nd e Mct(topo)
DSE ndiv
s
Cãl cul o de
Mad e Nad
9
N
80
1 O
e S; =l:A;. (z-zm·) , .':_t;=Si .Vd/(b.I)
Nd=l:( ºht; · b. ln)
Md=l:Nd; .Zm; (topo)
Esforços Mad e Nad resultantes
9
XEQ M
s 5 l---'--<
N
L B L RE S
G)----------t XEQ MAT
G)i-------------l XEQ SEC
0)--· -------t XEQ FORC
81
10
S - nova iteração a partir dos esforços Mad e Nad
Tensões e armadura transversal mãximas resultantes
Câlculo para novas propriedades dos materiais
Câlculo para nova geometria da seçao
Cãlculo para novos esforços
82
CAPTTULO VI
EXEMPLOS
6.1 - EXEMPLO 1
Neste exemplo serã estudado o comportamento dos
esforços internos adicionais Md e Nd, resultantes das tensões
longitudinais no concreto ºht' para uma força cortante Vd cons
tante e diversos pares Nd e Md, distribuidos no interior da
curva de interação para uma percentagem mecânica de armadura
w.
Dados: seçao circular cheia
Diâmetro: h = 1,0 m
Cobrimento: 6h = 0,10 m
Concreto: fck = 25,0 MPa
Aço CA-50B: fyk = 500,0 MPa,fywk = 420,0 MPa
Armadura: As = 0,012795 m2 + w = O, 5
Força cortante: V= 450 kN + fd = 675 kN
Os resultados obtidos atraves do processo itera-
tivo do programa SHEDC, para 20 pontos distribuidos no inte-
rior da curva de interação para w = 0,5 são dados na tabela
(VI.l).
Os pontos escolhidos, correspondentes aos esfor
ços Md e Nd' sao mostrados na Figura (VI. l), juntamente com os
83
deslocamentos devidos aos esforços internos Md e Nd. Os pontos
deslocados correspondem portanto, aos esforços
Mad e Nad·
incrementados
Como pode ser observado na Figura (VI. l), existe
uma grande variação dos esforços incrementais Md e Nd em fun
çao da deformação relativa ao nível do centro de gravidade s 0
e da curvatura relativa~. para uma mesma força cortante Vd.
Quando a linha neutra se encontra abaixo do cen
tro de gravidade da seção, s 0 < O, os esforços Md e Nd aumen
tam com s 0 e~. havendo porem uma mudança neste comportamento
quando a linha neutra se aproxima do bordo superior da seçao.
Assim,o esforço Nd passa a diminuir com o aumento da curvatura
relativa~ embora aumentando com a deformação relativa s 0 ,ati~
gindo seu valor mãximo, igual a Vd.cot $, no caso de tração
centrada, conforme mostrado por DIAZ 5• O esforço Md passa adi
minuir com o aumento da curvatura relativa~ e da deformação
relativa s 0 , atingindo valores negativos. Este comportamento
pode ser melhor entendido atraves das Figuras (VI .2) e (VI .3),
onde sao mostrados os diagramas de deformações e tensões longi
tudinais e tangenciais de duas das seções analisadas, apresen
tando configurações deformadas próximas do estado limite Últi
mo, com a linha neutra abaixo (seção 8) e acima (seção 15) do
centro de gravidade da seçao.
Nos casos em que a seçao estã toda
como, por exemplo, a seção 1, cujos diagramas de
comprimida,
deformações
84
e tensões sao mostrados na Figura (VI .4), os valores resultan
tes para os esforços incrementais Md e Nd sao muito pequenos.
Devido ã pequena inclinação ~a das tensões de compressao em
quase toda a seção, as tensões longitudinais ºh' calculadas p~
la equação (V.8), resultam praticamente iguais ãs tensões lon
gitudinais ºhn' ocasionando, desta forma, tensões longitudi
nais ºht' responsãveis pelos esforços incrementais Md e Nd'
muito reduzidas.
SEÇ/10 Md{kNm) Nd{kN) Mad{kNm) Nad ( k N) Nd(kNm) Nd(kN)
1 458,0 -14003,7 461 , 6 -13951 ,3 3,6 52,4
2 686,9 -11849,3 690,9 -11788,5 4, O 60,8
3 1144,9 -11849,3 1156,2 -11774,9 11 , 3 74,4
4 11 44 , 9 - 8617,7 11 54, 1 - 8521 ,3 9 , 2 96,4
5 1831,9 - 8617,7 1870,4 - 8413,l 38,5 204,6
6 686,9 - 6463,3 695,7 - 6350,5 8,8 1 1 2 , 8
7 1602, 9 - 6463,3 1635,1 - 6235,0 32,2 228,3
8 2060,8 - 5386,0 2114,6 - 5019,7 5 3, 8 36 6, 3
9 1144,9 - 3231 ,6 11 80, 5 - 2868,0 35,6 363,6
1 O 2060,8 - 3231 ,6 2100,2 - 2783,8 39,4 447,8
TENSAO ºt MIIXIMA
z ( m) ot(kPa)
O, 6 50 1188,8
0,610 11 58, 1
0,690 l 30 2, 8
0,570 l 20 3, 6
0,550 1377,8
0,550 1133,6
0,470 1 3 28, 8
0,470 1260,8
O, 3 70 1254,2
0,390 1292,4
ARMADURA MIIXIMA
z (m) ºt·tan<j,a Asw(m2/m)
O, 71 O 1 11 , 6 0,00033
O , 71 O 1 2 5 , 7 0,00037
0,890 11 9, 6 0,00092
0,830 1 9 4 , 9 0,00071
O, 71 O 938,8 0,00274
0,870 1 44 , 3 0,00070
0,670 803,4 0,00229
0,550 1153,2 O ,00317
0,550 935,8 O, 002 5 7
0,450 1 2 38 , 1 0,00340
continua ...
00 o,
SEÇ)IO Md(kNm} Nd(kN} Mad(kNm} Nad (kN}
l l 458,0 - 2154,4 470,9 -1796,8
1 2 l 60 2, 9 - 2154,4 l 639, 6 -1686,8
l 3 1831 , 9 - 1077,2 1806,7 - 597 ,6
l 4 1144,9 0,0 1157,5 5 59, 9
l 5 l 60 2, 9 0,0 l 540 ,o 508,7
l 6 686,9 1077,2 675,4 l 7 08 , O
l 7 1373,9 1077,2 1267,0 1621,9
18 458,0 21 54, 6 44 7 ,o 2822,7
l 9 91 5, 9 21 54, 6 804, l 2769, 2
20 229,0 3231 ,6 223,5 3905,9
TENSAO ªt MÃXIMA
Nd(kNm) Nd(kN} z (m} crt(kPa)
l 2 , 9 357,6 0,390 1321 ,4
36,7 467,6 0,370 1187,7
-25,2 479,6 0,270 1824,2
l 2 , 6 559,9 0,290 1200,6
-62,9 508,7 0,230 2293,2
-1 l , 5 630,8 0,210 11 84, 8
-106,9 544,7 O , l 9 O 3013,2
-11 , O 668, l O, 4 30 1075,l
-111,8 614 , 6 O , l 7 O 2357,9
-5,5 6 7 4, 3 0,430 1096,3
Tabela VI.l
ARMADURA MÃXIMA
z (m} ªt·tan,j,a ASW(m2/m)
0,550 685,0 0,00188
0,430 1137,9 0,00313
0,330 1715,9 0,00488
O , 31 O 1197,2 0,00345
0,290 2071 ,5 0,00605
O , 21 O 11 84, 8 O ,00384
0,230 28 54 , O 0,00891
O , 11 O 464, 7 0,00358
O , l 70 2357,9 0,00858
0,230 987,7 0,00309
00
"'
-0,50
-0,30
0,0
0,10
0,30 +----'---....___-~-L----'
KND
87
~ SEÇÃO DE CONCRETO IL:LJ TODA COMPRIMIDA
0,9
CURVAS DE DEFORMAÇÃO AXIAL E CURVATURA EM SEÇOÊS DE CONCRETO ARMADO
SEÇÃO CIRCULAR CHEIA
AÇO CA-~08 t.h/h •0,10
! w, o,~ 1
1,0
Figura VI. 1
KMD
r z
"'
LINHA NEUTRA
'~
SEÇAO 8
a, <t "} o " IN
Nd'·
./ Md' 2060,B
lj), 5,293
kNm
E:, 2,390
DEFORMAÇO-ES LONGITUDINAIS
E: (%o)
TENSO-ES LONGITUDINAIS
oh
Figura VI. 2
Nad, - 5019,7 kN ---1-=
M0d, 2114,6 kNm
a, :2 <t ô " a1• tan <j,
0 1N
o1, 1260,B kPa
a1, 1153,2 kPa
TENSOES TANGENCIAIS
a,
co co
"' ,.._
"' ô " IN r
LINHA NEUTRA
,.
1
' Md e 16 02,9 kN
''
SEÇAO 15
+
E' 6,565
DEFORMAÇOES LONGITUDINAIS
E (%o)
___ ~s_o_a,_7_k_N __ _
M0d, 1540,0 kNm
TENSOES
LONGITUDINAIS
oh
Figura VI. 3
"' "' ô " IN
o1, 2293 kPa
o1, 2071 kPa
TENSOES TANGENCIAIS
ºt
L.,,,..
r '"--
,~ .
SEÇAO
E:•-2,135
E: 0 -2,0
tj)•l,296
•
E,,•-1,487
E:" -0,839
DEFORMAÇOES LONGITUDINAIS
E: (%o)
/ ah•-0,85 fcd
0hn~
" /J
li . f ~--
I I
I
TENSOES LONGITUDINAIS
ah
Figura VI. 4
1 1 1
' _\Nad•-13 ' r951,3kN1
Mad" 461,6 kNm 1
o· t
o IO <D
ô " IN
' ' ' 1
o1 a 1188,8 kPa ah
' TENSOES TANGENCIAIS
a,
<O o
91
6.2 - EXEMPLO 2
Este exemplo tem por final idade estudar a in-
fluência da força normal e do momento fletor no dimensionamen
to ã força cortante. Serã analisada uma viga de seção retangu
lar, com armadura distribuída nas quatro faces, bi-apoiada,com
uma carga concentrada no centro do vão, conforme Figura
(VI.5).
1 1 1
j P' 700 kN
h,~oo LS. 2 3 4 5 ~
l 1
s,oo l 1
5,00 l 1
6h ,Q,05
~ 1050 1400
SEÇÃO TRANSVERSAL
DIAGRAMA DE lilSMENTO FLE TOR
(kNm)
1750
3õ0~1 ___ + _________ ~ ..._ _____ ___,1350
DIAGRAMA DE FORCA CORTANTE
(k N)
Figura VI. 5
Dados: seçao retangular cheia
Base
Altura
Cobrimento
b = 0,40 m
h=l,DDm
6h = 6h' = 0,05 (distância do CG da arma
dura ao bordo mais prõxi
mo)
92
Concreto f ck = 30,0 MPa
Aço CA-50B f yk = 500,0 MP a, f ywk = 420,0 MPa
Armadura A 5 tot =0,01564m 2 '" w = l , o
Nesta anãlise, a armadura longitudinal sera con
siderada constante em toda a extensão da viga. Cinco seçoes,
igualmente espaçadas de 1,0 m, serão dimensionadas para uma
força cortante constante, V= 350 kN, e diversas configurações
deformadas.
Com o objetivo de estudar a influência do esfor
ço normal no dimensionamento a força cortante, para os mesmos
momentos fletores solicitantes serao aplicadas a viga diferen
tes forças normais, de compressão, incrementadas atê atingir,
na seçao central, uma deformada prõxima do estado limite Ül ti
mo.
Os resultados do dimensionamento ã força cortan
te das cinco seções estudadas, executados pelo programa SHEDR,
para cada força normal solicitante, são apresentados na Tabela
( V I . 2 ) .
Na seçao 5, onde existe uma variação brusca na
força cortante, as simplificações adotadas na teoria exposta
não se aplicam integralmente. Considerando-se que a fissura de
flexão, nesta seção, se forma perpendicularmente ao eixo da vi
g a , as tensões l o n g i tu d i na i s oh t , conforme F i g u r a ( I I I. l 2 ) , se
anulam. Neste caso, os esforços solicitantes Md e Nd não neces
93
sitam ser incrementados no dimensionamento ã flexão, ã seme-
lhança do processo de deslocamento do diagrama de força na ar
madura baseado na teoria clãssica de treliça.
Nas seçoes adjacentes ã seçao 5, devido ãs ten
soes tangenciais ºt' as inclinações das fissuras diminuem, au
mentando-se, consequentemente, as tensões longitudinais ºht'
responsãveis pelos incrementas Md e Nd.
O dimensionamento nesta zona de transição requer
uma anãlise mais detalhada da teoria exposta, levando-se em
consideração os efeitos da introdução da carga concentrada no
fluxo de cisalhamento da viga.
Neste exemplo foi adotada uma simplificação no
dimensionamento da seção central, ã força cortante, considera~
do-se as tensões longitudinais ºhn resultantes dos esforços so
licitantes Md e Nd.
Na Tabela (YI.3) sao tambem apresentados os re
sultados do dimensionamento das seções a força cortante, para
os quatro casos de força normal, baseado na teoria de cisalha
mento, pela qual as tensões cisal hantes, no estado 1 imite Ül ti
mo, são obtidas dividindo-se o esforço cortante pela largura
da seção e pelo braço de alavanca das forças internas. Devido
ao propÕsito comparativo deste dimensionamento, nenhuma redu-
ção foi feita nas tensões cisalhantes de cãlculo, conforme
prescrevem as normas de dimensionamento. Em virtude da indefi-
94
nição do conceito de braço de alavanca das forças internas em
seções inteiramente comprimidas, a seção não pode ser dimen-
sionada nos casos de forças normais mais elevadas.
Na Figura (VI.6) sao mostrados os desenvolvimen
tos da linha neutra e das deformações longitudinais nos bordos
superior e inferior, ao longo da viga, para as diferentes for
ças normais.
Nas tabelas apresentadas, observa-se que, na fl~
xao simples, a teoria de tensão cisalhante, baseada no braço
de alavanca das forças internas, fornece resultados compatí
veis com o do metada da seção equivalente, enquanto não ocorre
a plastificação no concreto e as deformações no aço permanecem
na zona elãstica. No entanto, para seçoes em que as solicita
ções conduzem a deformações longitudinais prõximas dos limites
admitidos para o concreto e o aço, a redução do braço de ala
vanca das forças internas na flexão não corresponde ã redução
na ãrea equivalente, resultando portanto num sub-dimensionamen
to ã força cortante.
Devido ao criterio adotado para o cãlculo da
armadura transversal na zona comprimida da seção, baseado no
valor de ºt·tan~a' o esforço normal de compressao contribui,
de um modo geral, para a redução desta armadura. Porem esta re
dução nao se processa de uma forma uniforme, podendo, inclusi
ve, reverter num acrescimo de armadura quando as solicitações
conduzirem a uma deformada mais prÕxima de um estado limite ul
95
timo, conforme pode ser visto nos resultados para a seçao 5,
na Tabela (VI.2).
SEÇIIO M(kNm) N ( kN) Mad(kNm) Nad(kN) EO X 1 0 3
1 350,0 0,0 540,0 4 7 6 , l 0,225
2 700,0 0,0 1078,0 436,4 0,324
3 1050,0 0,0 1607,3 416,4 0,453
4 1400 ,o o. o 2119,6 404,9 0,930
5 1 7 50 , O 0,0 - - l , 9 3 2
1 350,0 -1000,0 555,7 -1158,6 -0,085
2 700,0 -1000,0 1090,0 -1143,0 0,007
3 1050,0 -1000,0 1618,3 -1140,9 O , 1 O 1
4 1400,0 -1000,0 2143,2 -1142,0 O , 2 21
5 1750,0 -1000,0 - - 0,400
TENSJIO ªt MIIXIMA
iJ) X 1 0 3 - (m) ªt ( kPa) z
O, 9 87 O, 390 1689,2
1 , 889 O, 390 1 702, 1
2,893 O, 390 1722,3
5,008 0,330 1862,8
9,794 0,230 3314,8
0,705 0,410 1842,8
1 , 60 2 0,390 1747,9
2,534 0,410 1724,1
3,624 0,410 1 7 38, O
5,488 0,390 1835 ,8
MIIXIMA ARMADURA
z ( m) ªt·tan<j,a Asw(m2/m)
0,390 1689,2 0,00185
0,390 1702,l 0,00186
0,390 1722,3 0,00189
0,330 1862,8 0,00204
O , 31 O 2891,5 0,00317
0,630 1446,0 0,00158
0,510 1653,5 O ,00181
0,470 1697,7 0,00186
0,450 1725,9 0,00189
0,430 1827,7 0,00200
continua ...
<O m
lENSAO ºt MIIXIMA MIIXIMA ARMADURA
SEÇ/10 M(kNm) N(kN) Mad(kNm) Nad(kN) E:o X 1 0 3 1/) X 1 o 3 z (m) crt(kPa) -z ( m) ºt·tan<Pa ASW(m2/m)
1 350,0 -2000,0 542,0 -2820,9 -0,299 0,589 O , 51 O 1816,9 0,690 722,6 0,00079
2 700,0 -2000,0 1084,8 -2750,3 -0,262 1 , 36 7 0,450 1873,5 0,690 1305,8 0,00143
3 1050,0 -2000,0 1619,6 -2712,3 -0,194 2,299 O ,4 30 1789,3 0,590 1574,6 0,00172
4 1400,0 -2000,0 21 49, O -2693,8 -O, 127 3,323 0,450 1761 ,6 0,550 1668,8 0,00183
5 1750,0 -2000,0 - - -0,166 4,695 0,470 1808,7 0,550 1757,4 0,00192
1 350,0 -3000,0 5 31 , 3 -4387,7 -0,480 0,609 O , 51 O 1807, 1 O , 61 O 459,9 0,00050
2 700,0 -3000,0 1070,0 -4347,5 -0,486 1 , 2 71 0,490 1875,0 0,890 798,3 0,00087
3 1050,0 -3000,0 1611,3 -4291, 1 -0,460 2, 1 4 3 0,470 1863,9 0,730 1285,5 0,00141
4 1400,0 -3000,0 2147,7 -4250 ,8 -0,446 3,284 0,490 1828,4 0,650 1572,7 0,00172
5 1750,0 -3000,0 - - -0,640 5,037 0,550 1867,7 0,630 1803,0 0,00197
Tabela VI.2
SEÇI\O M(kNm} N ( k N} E:OX10 3 1/JX 1 0 3
1 350,0 0,0 O, 1 1 5 0,866
2 700,0 0,0 0,224 1 , 7 5 2
3 1050,0 0,0 0,330 2,675
4 1400,0 0,0 0,575 4 , 11 6
5 1750,0 0,0 1 , 9 3 2 9,794
1 350,0 -1000,0 -O, 1 36 0,627
2 700,0 -1000,0 -0,063 1 , 4 7 4
3 1050,0 -1000,0 0,024 2,397
4 1400,0 -1000,0 O , 1 21 3, 41 8
5 1750,0 -1000,0 0,400 5,488
Esupxl03 Einfxl03 zLN(m}
-0,318 0,548 0,367
-0,652 1 , 1 00 0,372
-1 , 008 1 , 66 7 0,377
-1 , 48 3 2,633 O, 360
-2,965 6,829 0,303
-0,450 O, 1 7 7 O , 71 7
-0,800 0,674 0,543
-1,175 1 , 2 2 2 0,490
-1 , 588 1 , 830 0,465
-2,344 3 , 1 44 0,427
z ( m} 'd=Vd/b.z
0,773 1697,9
0,772 1 700, 1
O , 7 71 1702,3
0,757 1733,8
O, 71 4 1838,2
O, 729 1800,4
0,755 1738,4
O , 7 61 1724,7
O , 7 61 1724,7
0,742 1 7 68 , 9
Asw(m2/m}
0,00186
0,00186
0,00186
0,00190
O ,00201
0,00197
0,00190
0,00189
0,00189
0,00194
continua ...
<O co
SEÇIIO M(kNm) N(kN) E0x10' ,Pxl0 3 Esupxl03 E; nfxl 0
3 zLN(m) z ( m) Td=V d/b .z Asw(m2/m)
l 350,0 -2000,0 -0,320 O, 5 71 -0,606 -0,034 l , 060 - - -
2 700,0 -2000,0 -0,303 l , 28 6 -0,946 0,340 0,736 0,723 1815,3 0,00199
3 1050,0 -2000,0 -0,250 2, l 81 -1 , 341 0,840 O, 61 5 0,744 1764,l 0,00193
4 1400,0 -2000,0 -0,194 3, l 84 -1 , 7 86 l , 398 O , 561 0,749 1752,3 0,00192
5 1750,0 -2000,0 -0,166 4,695 -2,514 2 , l 81 0,535 0,738 1778,4 0,00195
l 350, O -3000,0 -0,493 0,604 -0,795 -0,191 l , 31 6 - - -
2 700,0 -3000,0 -0,506 l , 2 4 5 -1,129 O, l l 6 0,906 0,680 1930,2 0,00211
3 1050,0 -3000,0 -0,496 2,067 -1 ,530 0,537 0,740 0,720 1822,9 0,00199
4 1400,0 -3000,0 -0,495 3 , l 7 6 -2,083 l , 09 3 O, 6 5 6 O, 728 1802,9 0,00197
5 l 7 50, O -3000,0 -0,640 5,037 -3,159 l , 8 78 0,627 O, 71 7 18 30, 5 0,00200
Tabela VI. 3
• 3-,0
-2,0
-1,0
o
E:suP C%ol
o
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
L.iNHA NEUTRA
-
2 3
Figuro VI. 6
-N=-3000kN -N= OkN -N=-2000kN
N=- 1 OOOkN
-----j-N= O kN
--------J- N=- 1 000 kN
-----J-N=-2000kN
----~--N=-3000kN
4 5
-N=- 1 OOOkN
~
o o
/
101
CAP1TULO VII
CONCLUS0ES
Foi analisado um problema de estado plano de te~
soes em uma chapa fissurada de concreto, com armadura transve~
sal continua e armaduras discretas longitudinais, tendo como
condicionante o afastamento da seção estudada das zonas de in
trodução de cargas concentradas. A extensão desta analise a se
ções outras que não a retangular, com pequena largura, repre
senta uma simplificação do comportamento espacial da peça.
A partir de simplificações na formulação deste
estado plano de tensões, no sentido de adapta-lo ãs regras
usuais de dimensionamento, obtem-se um processo iterativo pa
ra a determinação das tensões tangenciais na seção, com o au
xilio do computador, que conduz a resultados bastante satisfa
tõrios quando comparados aos obtidos com o modelo completo,co~
forme mostrado por SCHULZ 7•
Este processo simplificado permite o dimensiona
mento ã força cortante a partir da geometria da seção e dos
esforços nela solicitantes, sendo portanto adequado a um dimen
sionamento completo da seção, feito por computador, permitin
do inclusive a pesquisa das armaduras longitudinais e transver
sais mais econõmicas quando analisadas em conjunto.
102
Baseado na consideração de que a armadura longi
tudinal nao varia no intervalo considerado, foi mostrado por
DIAZ', 5 , 6 , 19 que as tensões tangenciais na seção podem ser ob
tidas a partir de uma seção equivalente de concreto, de acordo
com a conhecida fórmula da resistência dos materiais:
T = (V.S)/(b.l)
A seçao equivalente ê obtida pela multiplicação
das ãreas reais de concreto e aço da seção pelo mõdulo tangen
te de deformação longitudinal de cada material, obtidos nas
curvas tensão-deformação, definidas pelas normas, a partir das
deformações longitudinais que variam linearmente ao longo da
altura da seção, de acordo com a hipótese de Bernoulli formu
lada no processo simplificado.
Adotando-se a hipótese conservadora de que a
inclinação das bielas de concreto coincidem com a direção das
tensões principais de compressao, a partir da suposição de que
o concreto se comporta como um material homogêneo submetido as
tensões longitudinais ªhn e tangenciais ªt' pode-se adaptar em
calculadoras programãveis de certo porte (tal como a HP-41C),
o processo iterativo para a determinação dos esforços incremen
tais Me N, usando o mêtodo da seção equivalente.
A definição desses esforços incrementais Me N,
a partir dos esforços solicitantes na seção, dispensa o artifi
103
cio usualmente empregado de escalonar o diagrama de armadura
necessária, o qual não consegue reproduzir o incremento de ar
madura longitudinal realmente necessário no dimensionamento de
peças submetidas ã flexão composta, principalmente em casos
de seções tracionadas, em que a armadura do lado menos tracio
nado é reduzida, ao invés de ser aumentada conforme requer o
equil1brio das tensões longitudinais na seção. Nestes casos,os
incrementos de esforços se aproximam dos valores N = V.cot~ e
M = O resultantes em seções submetidas ã tração centrada.
Em seçoes totalmente comprimidas, o art1fico de
escalonamento de armadura introduz uma excentricidade adicio
nal na seção que, conforme mostrado neste trabalho, não se faz
necessária, pois os esforços incrementais Me N, nestes casos,
resultam praticamente desprez1veis.
Também foi mostrada a inadequação da generaliza
çao do cálculo de tensões tangenciais a partir do braço de al~
vanca das forças internas, que apenas em casos especiais con
duz a resultados corretos, nao sendo, portanto, compat1vel com
o dimensionamento geral de concreto armado no estado limite ul
timo.
Mesmo com as considerações simplificadoras adot~
das no seu desenvolvimento, o programa de dimensionamento a
força cortante com o aux1lio de calculadora programável, de-
monstra a possibilidade da introdução de processos mais sofis
ticados na prática corrente nesta área do cálculo de estrutu-
104
ras de concreto armado.
Dentro do processo continuo de aperfeiçoamento
da têcnica de dimensionamento em concreto armado, contando, i~
clusive, com o apoio de modernos mini-computadores, o presente
trabalho procura contribuir para a introdução de um método con
sistente de dimensionamento ã força cortante em peças, com se
ção transversal simétrica em relação ao eixo z, que possam ser
analisadas atravês de um estado plano de tensões.
Maiores estudos terão que ser desenvolvidos, na
teoria geral, no sentido de tentar analisar corretamente o
comportamento espacial das tensões em peças com seçao transver
sal qualquer, assim como a perturbação provocada pela introdu
çao de cargas concentradas neste estado de tensões.
Outros aperfeiçoamentos poderão ser implementa
dos no programa preparado para a calculadora programãvel HP-
41C, a fim de levar em conta a menor inclinação das bielas de
compressao em relação ao eixo longitudinal da peça. Isto pode
ra ser obtido atravês de adaptações no processo para determin~
çao do ângulo~ a partir do principio do trabalho complementar
ou, procurando-se definir o valor de uma parcela subtrativa
das tensões tangenciais, conforme adotado nas normas vigentes,
baseado em pesquisas feitas por computador em um modelo com
pleto para certas seçoes, como, por exemplo, aquelas adotadas
neste trabalho.
105
BIBLIOGRAFIA
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108
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Beschraenkter oder voller Vorspannung, Koeln, 1979.
mit
109
APtNDI CES
11 O
APÊNDICE A
PROGRAMA PARA GERAÇAO DE TABELAS DE
DEFORMAÇOES EM LINGUAGEM FORTRAN IV
A. l - CARTOES DE ENTRADA DE DADOS PARA GERAÇAO DAS TABELAS
19 Cartão - Define as características do aço
6 1 O 20 30 40 50 ACO TS FY K EMS EA
(2A3) (4X) (Fl0.4) (Fl0.4) ( Fl O .4) (Fl0.4)
ACO - Nomenclatura dada ao aço. Ex: CA-50B
TS - Variãvel que define o tipo de aço
T S = 1 •
TS = 2.
aço de dureza natural (tipo A)
aço deformado a frio (tipo B)
FYK - Resistência característica do aço
EMS - Deformação mãxima de tração do aço, definida pela norma
a ser utilizada: CEB, NB-1 - EMS = 0.010
DIN 1045 EMS = 0.005
EA - MÕdulo de deformação longitudinal do aço
111
29 Cartão - Define os coeficientes de segurança, de
com a norma a ser utilizada
lo 20 30
GSS VI vs (Fl0.4) (Fl0.4) (Fl0.4)
acordo
GSS - Coeficiente que reduz a resistência característica do
aço: CEB, NB-1
DIN 1045
GS S = l . l 5
GS S = l . O O
VI - Coeficiente que reduz os esforços solicitantes no estado
ultimo, quando o alongamento mãximo da armadura de tra
ção excede Es = 0.003, de acordo com a norma DIN 1045 :
VI=l.75
VS - Coeficiente que reduz os esforços solicitantes no estado
ultimo, quando a armadura não estã tracionada (Es < O.O),
de acordo com a norma DIN 1045: VS = 2.1
Para as normas do CEB e NB-1, VI deve ser igual
a VS, correspondendo ao coeficiente majorativo dos esforços s~
licitantes para obtenção dos esforços de cálculo. Em
CEB - VI = VS = l. 5
NB-1- VI= VS = 1.4
geral :
11 2
39 Cartão - Define a geometria da seçao
O programa admite atualmente dois tipos de se-
çao:
1. Seção retangular cheia (Figura A.1)
l o 20 30 40 50 PARS(l) RI RS PI PS
(Fl0.4) (Fl0.4) (Fl0.4) (Fl0.4) (Fl0.4)
PARS(l) = l. - Parâmetro que define o tipo da seçao
RI = Lih/h
RS = Lih' /h
Relação entre o cobrimento da armadura inferior
e a altura total da seção
Relação entre o cobrimento da armadura superior
e a altura total da seção
PI = As/As - Relação entre as areas da armadura inferior e tot
total
PS= A;/As - Relação entre as areas da armadura superior e tot
total
Por cobrimento entende-se a distância do centro
de gravidade da armadura ao bordo mais prõximo da seção.
113
A definição da geometria da seçao, aqui usada,
parte do princípio que a armadura superior corresponde ãquela
comprimida pelo momento fletor positivo , uma vez que
as tabelas geradas pelo programa sõ consideram este
para o momento fletor.
2. Seção Circular Cheia (Figura A.2)
1 O
PARS(l)
(Fl0.4)
20 RS
(Fl0.4)
PARS(l) = 2. - Parâmetro que define o tipo da seçao
sentido
RS = llh/h Relação entre o cobrimento da armadura e o diâ
metro da seção
Entende-se por cobrimento da armadura a distân
cia entre a circunferência sobre a qual a armadura estã dispo~
ta e a borda da seção.
-
A~-/ \ t....
1
~ 1/
""
. Ai',.
Figura A.1
-
... A •101
11 4
Figura A.2
4Q Cartão - Define as percentagens mecânica de armadura (w)
das tabelas a serem geradas
1 O 20 21
XMIX XNMI TESTE
{Fl0.4) (Fl0.4) ( A 1 )
XMIX - Percentagem mecânica de armadura mâxima do conjunto de
tabelas
XNMI Numero de tabelas do conjunto. A percentagem mecânica
de armadura das tabelas varia com um incremento igual
a XMIX/XNMI. A n-esima tabela terâ uma percentagem me
cânica de armadura igual a: wn = n{XMIX/XNMI). Se, por
erro de perfuração, XNMI exceder 50., o programa e i n
terrompi do neste ponto, imprimindo uma mensagem de er
ro, sem gerar as ta bel as
1 1 5
TESTE - Flag que define a continuação do programa apos a gera
ção de um conjunto de XNMI tabelas
TESTE= T - O programa le dados para um novo conjunto
de tabelas a partir do 19 cartão, definin-
do-se as características do aço, norma,
geometria da seção e percentagens mecânica
de armadura.
TESTE= S - O programa le dados para um novo conjunto
de tabelas a partir do 39 cartão, manten
do-se as características do aço e norma
utilizadas no conjunto anterior e definin
do-se a nova geometria da seção, assim co
mo as percentagens mecânicas de armadura.
TESTE= E - O programa termina a execuçao apos a gera
çao deste conjunto de tabelas. Se a coluna
21, correspondente ao flag, não for perfura
da, o programa termina a execução, impri
mindo uma mensagem de erro, apôs a geraçao
dos conjuntos de tabelas definidas atê es
te cartão.
Exemplo: Como exemplo de entrada de dados para geraçao de tabe
las de deformações em seções de concreto armado sera
incluída, a seguir, a listagem dos cartões necessa
rios para a geraçao das tabelas componentes do Apêndl
ce C deste trabalho.
116
CA-50A 2. 500000. 0.01 210000000. 1. 1 5 1 • 'i 1 • 5 1 • o.os 0,05 0,25 0,25 2,5 25, s 1. O, 1 n. t 0,25 0,25 2,5 25. s 2, o.os 2,5 25. s 2. 0.1 2,5 25, E
11 7
A.2 - MENSAGENS DE ERRO IMPRESSAS PELO PROGRAMA
As mensagens de erro impressas pelo programa,
através da sub-rotina ERROR, tem o seguinte formato: UM ERRO -----FOI ENCONTRADO NA SUBROTINA nn NA DECLARACAO i i i i i, onde:
nn
i i i i i
r o numero que identifica a sub-rotina ou programa
principal, definido no inicio da listagem do progra
ma, como se segue:
o - Programa principal
- Sub-rotina PROC
2 - Sub-rotina INTEG
3 - Sub-rotina ACO
4 - Sub-rotina CONCR
5 - Sub~rotina CPAR
6 - Sub-rotina LIMIT
7 - Sub-rotina ERROR
r o numero da declaração na qual a sub-rotina ERROR e
chamada quando o erro e detectado.
As mensagens, dadas pela ordem em que sao encon
tradas no programa, assim como seus significados,são as segui~
t es:
l. ''UM ERRO FOI ENCONTRADO NA SUB-ROTINA O NA DECLARACAO 230"
O valor dado para o parâmetro PARS(l}, que define o tipo de
118
seçao no 39 cartão e diferente dos valores 1. e 2. e stabel e
cidos para as seçoes retangular e circular.
2. ''UM ERRO FOI ENCONTRADO NA SUB-ROTINA O NA DECLARACAO 260''
O numero de tabelas XNMI dado no 49 cartão ê maior que 50.
Verificar se houve erro de perfuração.
3. ''uM ERRO FOI ENCONTRADO NA SUB-ROTINA O NA DECLARACAO 240''
O programa não convergiu para um par de valores XN, XM em
que o estado limite não havia sido atingido, apõs 20 itera
çoes. Isto significa que o método da matriz de rigidez tan
gente nao se aplica para a seção dada, o que p~de ocorrer,
por exemplo, em seções retangulares com armadura de tração
concentrada em uma única camada.
4. ''uM ERRO FOI ENCONTRADO NA SUB-ROTINA O NA DECLARACAO 250''
A coluna 21 do 49 cartão, correspondente ao flag TESTE, não
foi perfurada, ficando indefinido o prõximo passo do progr~
ma.
5. "UM ERRO FOI ENCONTRADO NA SUB-ROTINA 1 NA DECLARACAO 435"
O determinante da matriz de rigidez tangente ê menor que
1 O - 6 •
A.3 - LISTAGEM DO PROGRAMA
FILE ~=lRrUNlT=R[ADER FILE h=lP,llNll=PRINTER e
11 9
C T[SE DE M.SC - MARIO TERRA CUNHA - CUPP[/UFRJ/1961 e C C.AL.,CULO DE Dl:fOR~iACOES EM S[Cüt::S Ili·. COl"Ci<ETO _A.RHAOíl C DE AC0RD1l COM OS PR1NC1PI0S ~ASICílS DO CFB e C f'O - Pé;OGRl1MA PRINCJ!'AL C P 1 - PR DC C !'2 • I N r !:G C r3 - .ACO C p11 " COi,CR C P', - CPAR C f' 6 - 1- I M l T C PI - ERROR e
ilI ME N s 1 o N L (l Q o ) , s e l o o l 1 ,: il e o (l n n ) • s A e (l ( 1 íJ o ) • /\ e o ( 2 ) 1 p AR 5 (l. o )
l.CA•1L)(20) 1 U-'CGC20),Fl(20J DATA ll]11,1IH,,TI1MD 1 TIH)[J/3HK•1 ,.3HKN ,31JKMD 1 3HK~ll)/ [)AT/; Tl, 12, T3/)i1T I HiS, )HF./-
1P=6 IR=;,
2 READC!R,l)ACO,TS,FYK,EMS,EA 1 FOR"AT(2AJ 1 4X,QFI0.4)
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C f'CDB - RESIS1ENC1A MAXIMA llE CALCULU Dll CONCRETO C rcoo = 0,5S*FC~/GC (CE[ E Ndll e
FCIJ8=0. O';i,FVD 3 t<EÁO(IR,11) (P.Ae)S0() ,K=l 1 8J li FORMAT(HflD.a)
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120
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130 CONTINUE e
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X =H / 2. e C CALCULO D09 PARAM[IRüS e~ E CM e
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25 6 FOR~Al [lH ,BX,~6HSlCA0 CIRCULA~ CHtIA COM ARMADURA DISTRI8U IDA E!>i
CN=, 2F6,4,2X,JHCM=,Fb,Ql
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135 WR1TEl1P 1 8J B FORMA1(1H0 1 20X 1 92HPARAM~1R0S DE ENTRADA : OMEG=AS•BETAS/CAC •BETARJ
1 , KN=N/(AC•UETAR*CN) E KM=M/(•C•H•HtTAR•CMJ,l/,&6(2H *1) 164 NM=IO
D~D=l,/FLOAT(NP1l NMl =t~M-i-J D D 11.15 K:: l , N r11
1as CAMD(K)=DMD•FLOAf(K-1) lflVS,NE.VllGO 10 J~~ 1'/ R t n: ( I P , 9 ) T .l T '1 [l , ( C AMO C K J , 1\::: \ , hJ M l J ~RITE(lP,ll)llTND GOTO 184
155 '1f/lH:(H' 1 'J)lI1M, íCAMDUO 1 K=,,r;;,,i) Y FORMA T ( 1 X , 1 H * , 3 X , A-~ , 3 X , !ri* , 1 O ( F b • 1 , 4 X) , F 6, l I t 3 X, 1 H • , / , E, 6 ( 2 H . ) )
1~ RI TE CIP, 1 J ) 11 HJ 11 fOHMAT(lX,JH•,9X,1H•,23X,?2HIODD•EPCG = DEFDRMACAO RELATIVA
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X, 1 H •, ?.'-!!XdF!1000«FJ : CURVATLIR/, X ALTURA D4 S[:CAQ,Q)X11.H*, l,66(2
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CALL PROC(Z,S,NC,N~,XN 1 XM,X,EA,15,tMAXC,EMINC,ZACO,SAC0, 1FCD5,FYD,H,Rl,RS,Vl,VS,JP,tMAXS,fN1N9,V,AREA1SC,XlA1XlC,IDD
IF(IDIJ.F.Ll.l)GO 10 160 . EPCG(K):(EMAXC+EMlNC)•SDO, Fl(K)=[EM!NC-E~AXC)•IDOO. FLG=O. CALL t..Iri1T(EMAXC 1 f:MJNC,EIIAXS 1 0\IN5 1 IT,i:M:1 1 1'LGJ r;o TO(l50 1 170,l6Ul,l'l
170 CAML=CAMD(K) GO H) 190
!hO ÇAíl!=CAMD(Kl SI::-111 I t.= 1
165 CAML=CAMJ+5I*üHDl(2.**1L) IF(ll .• t..E.20JGO TO 175 F!-G=l. CA1.L LIMIT(EMAXÇ 1 F.Hl~C 1 EMAXS 1 EMJNS,IT,tMS,fLG) IFCI1,ELl.2)GO 10 190
210 C4LL EHROR(1P,0,2QOJ l75 11.=lL
'I Ll
1 8 O
190
200 ) , FIL 210
3 X l '
J.FCVS.NE.\/Ilv:::1. XM~CAML•CM*SC•H•FCDBIV
1 2 5
CALL PRDC(l,S,NC,NA,XN,XM,X,EA,15,EMAXC,EMlNC,ZACO,SACO, lFCD8 1 FYD 1 H,RI,RS,Vl,VS 1 If',EMAX51tMINS,V,AREA 1 SC,XlA,xIC,1DD
IF(lDD,EQ.)lGü TO 10~ Fl-(;;::o, CALL LIM1TCEMAXC 1 E~INC,E•tAXS,EMINS 1 1T,tMS,FLGl GO TOC\ll0,190,1.8'.:í) ,I'T H.= lt ·>i s1=1, CAMl=CAfiL GO Hl 1.6'.i Il. = I :1 • l s1=-1. CAtll=CAML Gil TO 165 EPCGL=CEMAXC+EMlNC)•SOO, FIL=(EMINC•EMAXC)*IOQO. PR:; tcA,~D U.)-C.4~1D (K-1 l l / (CM11.-CAMl) u,-1) l EPCG(K)=EPCG(~•!J•CEPCG1.-EPCG(~-l))•PR F 1 C t( l :: F I C !\ - l l + C r l L -F I C K -1 ) l •PR K2=Kl-l GD T0(200,2íll,2Q2,20J,204,2QS 1 2Db,20/r20B,209J,K2 ,IR l T E ( 1 p • 2 1 o J e A M l •• ( E p e(; ( K ) ' K :: 1 , K ) ) ! [ f' e,; L , e A N D I e F 1 ( K ) • K = l ' K l
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21H(,Fb • .S, lH) ,9\X, P·J•J GD 10 140
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1 2 6
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21H(,Fb.3,IH),51X,IH•) GOTO 140
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3 X J ,
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3 X) ,
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2 l f! ( , F 6 • 3, n: J , a \ X, HI •) Gíl TO 140 WR J1 E (1 P, 2 1 6 J C AML. , CE PC G ( K) 1 1(: 1 , K l ) , 1:. !' C G L, C A N D , ( F l. ( K J , K: ! , K 1
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207 l , f 1 L 217
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127
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1 'l ( F 7 • 3, 3 X) , 1 i~ ( , F 6 , j, 1 H J , 2 U , l!i * , / , lX I t H * , F 7 , 3, 3 H * , 9 (F 7' • 3 1
2) H ( , F 6 • 3 1 1 H) , ?.1 X , P ! * l GO 'TO l'•O t!R I TE ( l p 1 2 18) e(\ ML' ( e p e G ( n I K = i ' K J ) ' E p C[; LI e A No • e F l ( !() , K = 1 , K l
F O 1' MA'! ( 1 X , 1 H * , '1 X 1 1!1 *, 1 O O X , ). H ( , F 6 • 3, HO , 11 X , ! H * , / 1 1 X , 1 H * , 9 X,
11 O ( F 7 • 3 , .5 X J , 1 t1 ( , F b • 3 , .1 H l , 1 l X , 1 H * , / 1 1 X , 1 H * , f' 7 • 3 , 3 H • , l O ( F 7 • 3,3Xl,
209 J,FlL. 219
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lQ FORfi.AT(1X,1H•,9X 1 lHt,.!J9X,\i1*l NRITE(lP,12)EPM~X,CANMAX,FJMAX WRlTE(IP,13)
13 FORMAT(66(2H •)l 100 CONTINUE e C TF.STl:=T., NOVO:S DADOS,\ PARTIR DO TIPO l)E ACO C TESTE=S ~ NOVOS DADOS A PARTIR DA SECAO C TE51E=E • lERMINA A EXECUCAO e
rr ('Tt:STE ,E(J. Tl)GO ·ro 2 IF(TESTE.EQ,T2JGD 10 3
]28
1F(TESTE.E~.13)GO 10 220 250 CALL ERROR(IP,0,2SQ) 2;~0 STOP
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,IL) 0IHEíl5l0N Z(IOOJ,S(1DOJ,R(2,2),ZACüllDD) 1 SACü(100l
e C TRACAü E ALONGAMENTO POSITIVOS C XN E XM - E5F0RCü5 ATUANTES DE SlRVICD,EM HELACAO Aíl CG C 5PL E $XML• ESFURCüS UE SERVICD,EM RELACAü Aü BORDO SUPERI OR C PL E XML~ ESFORCOS DE RUPlliRA,EM RELACAü AO OORDO 9uPERI0R C DP E OQ ~ ACRE3C1M0B UE E5F0RC0S,CALCULA005 NA RUPTURA e
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421 EMAX(:=l:M
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129
1 F ( ( ( U1 ,;. X .'.l • O , O O 3 J • r; r, • O , ) • [JR , ( ( !:JH li S - O , O O 3 J , G [ • O • J J G O TO 5 OS H((l.Jl!AXS,Lf::,O.),A''/tl.(EMP.J.'.l.L{:,O.)JGO lí.1 '.,07 IF(El1AXS,LE,EMINS)GO TO ~Oj v=v1-cvs~v1l•tEMAXs-o.003J10.ou3 GO Tü 509
503 V-VI•(V5•Vl)*(EMINS•D,OD3)/0.0U] GOTO 509
505 v=vr GOTO '.i09
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437 Fl=l. 438 ROíl=HOO+DRüD*R
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130
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300 cor{DNLIE DO 3U J=l,UA EPS=EH+RílO*ZACO(I) CALL ACO(TS,FYD,EPS,EA,FS,GS,XJ) V[&l:V(&)+SACO(JJ•FS•ZACO(ll V(7)::V[7)+3AC0(Il*F5 Vl8J::V(8J+SACOCil*GS•ZACO(ll**2 V(9)::V(9)+SACO[IJ•GS•ZACO(I) V(!O)::V(IO)+SACO(IJ•GS
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r,c1,2J=vcaJ+V('JJ ll(2,1l=Q(l,2) Q (?., 2 l ::v ( '.i J ,j,\/ l\ O) RETlJRN E r,D SUBHOUllNE 1coc1:1,FYD,EPS,EA,FS,GS,XJ)
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1 31
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130 E!=0.7•EE E2=0.8*EE+0.00H23110DO. E3::0.9•EE+0.26j3h/1000, E4=0,9j*EE+O,B037111000. [5:::E[t0.002 l ~(A'IS(.E·ºS')•~·)~D "O 1r0 ,, ,I.,', .l [,.l ~ ,.)._, _')
150 !F(A[oS(EPS)•!::2Jlh0,16(1,l70 160 rs=.l*FYDt(ADS(EPS)-El)/(E2•El)+0,7*FYD
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F!:i=SIG~Jlf Sr l:PS) GS=,OS*FYU!lE4-E3) fffTiJR~•
210 IF (/\t\S lf:PSJ "['5) 220, 1;~0, li'!O 220 FS:::.D5RFYU•l~BS(EPS)•t4)/(t5•[4)+0,~~RfYD
f!i::SIGNC!'S,EPSJ GS:::.05,FYO/(l:5-F.4) RETURN
120 rs::FYD+(AHS([PS)-E~)~E~/1000,*XJ rS==1HGN (f-S, [PSJ G!:i::(A/1000 .•·XJ fH~lURf\1 [ N tl !:iUDROUTINE CONCR(FCD6,EPC,FC,GC,X~)
13 2
e C TRACAU E ALUNGAM[NlO POSITIVOS C FC: TENSAO DO C~NCHETO C GC = DERIVADA ílA CURVA TEN3AO • uErUHMACAD e
lF[EPC)bOl,601,,nl 501 rc=FCD8•EPC*X~
GC::FCDB*XI~ ifflURN
601 JF(EPCt0,002)80! 1 8D1,701 701 rc=~FCD8*(\.-(1.•EPC*SJ(l,J••2J
GC:FCD8•C1000.+500DDO.•EPC) IF[GC.LT.fCDD•XKJGC=FCDH•XK rsETURN
601 FC:•FCDA+(O.OD2+lPC)tFCOB•XK (;e= r e a 8 * x 1< l<F.'TURi'J i:: '-l ll 5UURUUTINE CPAR(Z,S,1JC,NA,X,F.A,EMS,ZACU,saco,1·s,H,FC08,FYD,
SC 1 Rl, 1VJ 1 VS,CN,CM,CANH1N,(AN~AX)
D l'H: N SI íl N l l l O O l , S ( l O O J I Z AC O ( 1 ü O) , 5 AC O (l O O) , r.i r ~, ;; J ç C C/ll .. CULA OS PAYMH:TfWS CN E C'.1 e C CALCULO Díl NORflA!.. UINX:11J (COr,;PRESSAU) e
V[))
[M::-0.002 ROO=O. e A 1. ! • 1 N TE G ( z 1 :.l ' ri e , ri.A ' E A I p L , ~ ;-11. ' EM ' 11 o o I fl ' T s , $ A e o ' z A e D , F' e D 6 , F
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f.M::f:/1S CALL JNTEG(Z,S,NC,NA,EA,PL,XML,EM,RDO,W,TS,SACO,ZACO,Fcoõ,f
YD)
e
133
XNMAX=PL IF(Vl.NE.VS)JNMAX=PL/Vl tN=(XNMAX•XNMlN)/(SC*F~OB) CANMIN=XNMlN/(SC•FCDd*CN) ~A~MAX=XNMAX/(SC*FCOH*CN)
C CALCULO DO MOMENTO MAXIMO RESISTIDO i'ELA SECAO e
XMNAX=O. f.~AXC:•0.0035 EMINS=FYD/(CA•2.J [M=E~AXC
10 ROíl:(EMl~S~EMAXC)/RI CALL INTEG(Z 1S,NC,NA,EA,PL,XP1L,EM,RDU,íl,151SAC0,ZAC0,FCD8,F
YDJ e e PL r XML - [SFORCOS DE RUPTURA,EM RELACAO AO BORDO SuPERIOR e
lF(VI,EQ,VS)GO TO 6S IF((EMlNS-0,003).GE.O,)GO 10 ~U V=VI•(VS-Vll•(EM1NS•O.OOJ)/O.DD3 GCl TO 60
so v~vr 60 XNC=PL/V
XMC=XML/V•XNC•X e C MN~ E XMC • ES~OHCílS QE SERVICO,E11 RELACAO AO CG (NORMA DIN ) e
GOTO 70 b~ XNC=PL
~MC=XNL~XNC•X e e iNc E XMC - ESFORCUS DE RUl'TURA,EM RtLACAO AO CG (CER E NBl )
e 70 JF[XMC.Lí.XHMAX)Gíl 10 75
X~t•Ax~xHC EMINS=EMINS+0.0001
GO TO 1 O 75 CONTINUE
f<ETURN CND
134
SUDRUUTlNE LlMIT(E•!AXC 1 ~MJNC 1 EMAKS,EMlNS,11,EM5,FLG) e C ALONGAMENTO P05TT1Víl C l T:: ,\ - E 5 '1 A D O L 1'íl 1 E 1,1 A (J A TJ r,, G l D O C I1=2 • ESTADO LI~JTl ATJ'IG1Díl C IT:3 - ESTADíl L!;~J1E Ull'RAPASSAQO e
Tí.JL=O. 00000) IF (fLf; ,Nt::. Q.) 10L.:::TOi.·•50 l T:), lF(E'HIIJCl 10, J,O, 15
10 If'CABS(f.11,\XÇ,..EMl.'iCJ-TllUl.l.,11,l~ l ! I F (A tl S ( F. 'lA X C + O • O O 2 ) - TO 1- J 1 :l I l .S, 1 a 13 Il;;;,~
GO Tíl 200 14 JF((EMAXC+0,002).LT,U.)JT=.S
GO TD 200 1?. X!.=3,17,
f:PL::EMI\XC- CEMAXC~tr1Jr-1C) ~XL IF[ABS([PL+0,002)-TüLl2D,2ü,25
20 If((EMAXC•.0035),LT.TUL)GO 10 QO .(T:2 GOTO 200
25 IF(CEPL+0.002),LT,0.JTT=:s GOTO 200
15 JF(AUS(EMAXC+.00~5J-TOLJj0 1 30,i5 30 IF((EMINS-EMS1.~f,10L*2,JG0 Tíl 40
I T:: 2 GO TD 200
35 IF(EMAXC+.QOJ5Jao,qn,as 40 IT::S
GO lll 200 45 1F(A~StEMINS-EMSJ•TUL~2,)5U,S0,~~ SO IT=2
l 3 5
GOTO 200 55 lF((E~TNS~tMS).Gl-0,JIT=J 200 Rf.TURN
E 'JO SIJHROUTINE ERROR(!P,K,N) ,Y R T TE ( I P , 1 ) K , fJ
! FDl)MAT[2(/J,1X,.L!HU1·i Ermo FOI tNcoo,1r,ADO NA SUtlROTil~AdX,12 , 1 X ,
!!3HNA DfC!.ARAC40,1X,i:i,/,1X,58(1H:)) STOP END
136
. APÊNDICE B
PROGRAMA DE DIMENSIONAMENTO Ã FORÇA CORTANTE
PARA CALCULADORA PROGRAM~VEL HP~41C
B.l - PROGRAMA SHEDR PARA SEÇDES RETANGULARES
B. 1.1 - Instruções para Uso do Programa
B.1.2 - Listagem do Programa
B. 1.3 - Registros Alocados no Programa
l 3 7
INSTRUÇOES PARA O USO DO PROGRAMA SHEDR FOLHA_j_DE___.3_
ITEM OBSERVAÇOES DADOS FUNÇÃO RESULTADOS
01 SIZE 047 XEQ SHEDR
·02 •LBL MAT FCK? 03 fck R/S SFCO? 04 ·'!e R/S TS?
05 Tipo de aço da armadura longitudinal A ou B R/S FYK?
06 fyk R/S SFST? 07 'Is R/.S EST?
08 Es R/S SFL?
09 '!f R/S STFAC?
10 Relação entre as resistências dos aços das armaduras trans\lersal e
l ongi tudi nal STFAC R/S
11 • LBL SEC B?
12 b R/S H?
13 h R/S OH!?
14 llh R/S DHS?
15 llh' R/S AS?
16 As+-+ R/S %SUP? 17 As/Ast-+ R/S %INF?
18 As/As+-+ R/S OMEG=( w) 19 w=Astot·fyd/(0.85fcd·Ac) R/S OMEGl? 20 Se Jwi-w)!,,; O. 005 ~W=W1 W} R/S CM?
• a
21 CM R/S CN?
22 CN R/S 23 Se w = w• o programa salta para o
l' -item 27 OMEG2?
24 ' w; R/S CM?
25 CM R/S CN? 26 CN R/S 27 •LBL FORC M? 28 M R/S N? 29 N R/S V? 30 V R/S ITERAR?S/N
138
INSTRUÇOES PARA O USO DO PROGRAMA SHEDR FOLHA_l_DL ... L.
ITEM OBSERVAÇOES DADOS FUNÇÃO RESULTADOS
' iterativo (5) 31 Se for usado o processo o programa adota os valores iniciais
Madi=Yf,M e Nadi=Yf, (N+V.cos11/4); caso contrãrio (N}, o programa salta para o item 33 5 ou N R/5 Mact=(Mad1}
32 R/5 Nad=(Nad1)
33 • LBL DEF R/5 TAB; 1
34 O programa fornece os parãmetros KMD
e KND de entrada na tabela 1 (w 1} R/5 KM=(KMD}
35 R/5 KN=(KND)
36 R/5 KMl?
37 KMD1 R/5 KM2?
38 KMD2 R/5 KNl?
39 KND1 R/5 KN2?
40 KNDt R/5 EPl , 1?
41 EPCG1 .1 R/5 EPl ,2?
42 EPCG1 2 R/5 EP2, l'?
43 EPCG? 1 R/5 EP2,2?
44 EPCG2.2 R/5 Fil ,l?
45 FI 1 1 R/5 FI 1 ,2?
46 FI1 ? R/5 FI 2, l?
47 FI2 1 R/5 FI 2 ,2?
48 FI? ? R/5
49 Se W=W1 o programa salta p/- o itêm 51 TAB.2
50 Repetir os passos do item 34 ao 48, para a tabela 2'(w2) R/5 ...
5i Ü programa fornece OS Valores de E0, e~· resultantes da interpolação EPCG=(E 0} ~
'
52 R/5 FI=(i,0}
53 R/5
O programa executa o processo numêri-co para a determinação das tensões,. ao longo da altura da seção, para a configuração deformada resultante da
interool acão.
· 13 9
INSTRUÇOES PARA O USO DO PROGRAMA SHEDR FOLHA_3_DL . ..1_
ITEM 0BSERVAÇ0ES · DADOS FUNÇÃO RESULTADOS
Ao final da execução, o programa para
fazendo soar um sinal audível de
alerta ao operador . sinal sonoro .
54 Se o processo iterativo não foi ado-
tado, o programa salta para o item 51 Mad=(Mad2)
55 R/S Nad=(Nad2)
56 R/S ITERAR?S/N
57 Se for necessãri a uma nova iteração
(S), o programa retorna ao item 33
(•LBL DEF); caso contrãrio (N), o
programa continua no item 58 S ou N · R/S
58 • LBL RES MAX STRESS
59 R/S Z=( 2crtmaxl
60 R/S SGT = ( cr tmax l
61 R/S MAX REINF
62 R/S Z=(ZAswmav)
63 R/S SGI=(ªt.cos<I>,
64 R/S ASW=(Aswl
Para repetir os resultados finais, a
partir do item 58 XEO RES
Para executar o cãlculo para novos
esforços, a partir do item 27, manti -
da a seção transversal XEQ FORC
.
Para executar o cãlculo para uma nova
seção transversa 1, a partir do ·item ll XEQ SEC
Para executar o cãlculo, a partir do
item 02 , mudando, _i n c 1 us i ve, as pro-
priedades dos mate riais XEQ MAT
140
LISTAGEM DO PROGRAMA SHE DR · FOLHA_l___DE_L_
PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇUES PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇUES .
001 •LBL SHEDR 051 PROMPT CLRG STO 32 RAD •LBL SEC 50 CF 02 STO 11 B? •LBL MAT 1
FCK? STO 20 PROMPT H? . 85 PH 1
010 * 060 STO 00 .. SFCO? RCL 11 PROMPT T / 2 STO 23 0.85fcd /
CF 00 STO 22 6z/2 A RCL 00 ASTO v DHI? AON PROMPT TS? -
020 PROMPT 070 STO 43 zl ASTO x OHS? AOFF PROMPT x=v? STO 44 ZS SF 00 AS? FYK? PROMPT PROMPT STO 24 SFST? 1 PROMPT "ICIIP? A~/Astot / PROMPT
030 STO 29 fyd 080 STO 46 EST? -PROMPT 'l!NF? As/Astot EEX 3 PROMPT / -STO 05 Es/1000 <;Tíl A~ %LAT / RCL 24 STO 06 Eyd (aço A) or, 29 FS? 00 * GTO 01 RCL 23
040 2 onn I
ST0+06 Eyd (aço B) or, 20 x~v I
. 7 RCL 00 * / Astot. fyd STO 30 EO. 7fyd (aço B) sTn 1 o ur=-o LBL 01 FTX ? 0.85fcd·b.h SFL? OMEG-PROMPT ARCL x STO 31 AV[EW
050 STFAC? 100 RIS
1 41
LISTAGEM DD PROGRAMA SHEDR FOLHA _2_DL .... l_
PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES PASSO INSTRUÇÃO 0BSERVAÇ0ES
101 .005 151 cos RCI 10 RCL ·33 OMEGl? * PROMPT ST0+41 Nadl =Nd+O. 707Vct. <;Tn 1 Q XEO M - SF 03 Processo iterativo ABS •LBL DEF x,;,y? 37 .1 SF 02 lw~wil,s.005=;. w=w1 STO 21
110 37. 1 160 TAB. 1 STO 21 AVIEW XEQ A RIS FS? 02 XEO K GTO FORC XED E OMEG2? . STO 17 EP1 PROMPT SF 01 RCL 19 XEO E - STO 18 Fll RCL 10 FS? 02
120 RCL 19 170 GTO 02 w ;=w1 - TAB.2 x~v AVIEW / R/5 STO 36 (w-wi)/( w2 -wi) XEO K XEO A XEQ E •LBL FORC STO 28 EP2 CF 03 RCL·· 17 M? STO 27 PROMPT RCL 36
130 RCL 31 180 STO 26
* XEO I STO 35 Md STO 17 EP STO 42 Mad1 SF 01 N? XEO E PROMPT STO 28 FI 2 RCL 31 RCL 18
* STO 27 STO 34 Nct RCL 36 STO 41 STO 26
140 V? 190 XEO I PROMPT STO 18 "FI RCL 31 •LBL 02 * RCL 17 STO 33 Vd EPCG= N ARCL x ASTO v AVIEW XEO 1T RIS PI 2 4 *
150 / 200 RCL 18
l 4 2
LISTAGEM DO PROGRAMA SHEDR FOLHA......LDE_L_
PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES .
201 FI= 251 STO ?6 ARCL x C::Tn ·?7 AVIEW or, 11
R/S c::r n 2 i; ndiv - or, ??
. 2 r~c:: I C::T/1 nA
STO 09 Esup=(2tcG + \D) 12 •LBI n or1 -lA v.n o
210 RCL 00 260 RCL 08 / RCL 04 STO 03 K"lj) /h -o RCL 07 STO 01 *
STO+lO e - -
STO 02 S;=l:A;.(z -.Zm;l STO 17 RCL 10 STO 18 RCL 33 STO 19 * RCL 11 RCL 19
220 STO 25 ndiv 270 / ,
RCL 22 RCL 20 CHS / crt;=S;. Vd/(b.I) STO 04 ENTER
.
•LBL C ENTER XEO R RCL 14 RCL 07 -STO+l7 l:A~ 3 Uf"I 04
1 7
* -230 STO+ 18 e - 280 STO 14 l:A; • Zm; ªtm;
LAST x Dr!~
* x>v? STO+l9
e -2 GTO 09 l:A;.zm; ªt >cr
DSE 25 x-;v max tm;
GTO C C::Tn 13 ªt =0:tm· RCL 18 Rr, nA max - ,
RCL 17 C::T/1 ,i; z(ªtmaxl I el RI OQ STO 08 z . = (l:Ar .Zm; )/Ae RCL 21
240 <' 290 X>O? RCL 17 GTO 10 Ezm;>O = ªhn;=O
* / -2
ST0-19 I e_i e--2 x>v? = IA; .Zm--A .z
o . 1 GTO 11 Ezm;<-2 =, O"hn;=s85fCd STíl 01 x-:.y ~Tn íl? ENTER STO 10 X 2 .
STO 13 4 . STO 14 7 i
250 STO 16 300 + Ezm-+Ezm-/4 , ,
l 4 3
LISTAGEM DO PROGRAMA SHEDR FOLHA __A_DE __l_
PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES
301 GTO 12 351 x>.v? •LBL 10 GTO 13 ªr<ªr o x::.v max
GTO 12 STO 16 a aLBL 11 RCL 04 lmax
-1 STO 17 z(Aswmaxl •LBL 12 • LBL 13 RCL 23 0.85fcd DSE 25
* raro n 310 STO 07 ªhn; 360 FIX 3
STO 12 TONE 9 2 FC? 03 I GTO RES ENTER RCL 35 x2 RCL 26 RCL 14 -x2 RCL 27 + RCL 00 SORT *
320 + ªr. 370 2 STO 02 1 / ST0-12 0 II · =a hn · - 0 I · + - -RCL 14 1 1 1 STO 42 Mad=Md-Mci+Nci.h/2 #O? RCL 34 GTO 03 ªtm; t O RCL 27 EEX-90 - -+ STO 41 Nad=Nd-Nd •LBL 03 XEO M / s
330 ATAN ~a;=arc tan(a1;/crtm;l 380 ASTO v CDS XEO IT x2 CF 03 RCL 12 • LBL RES RCL 02 FIX 3 - :i. MAX STRESS
* ªh i =( a II; - a 1; ) . cos~a; AVIEW RCL 07 RIS - ªht; =ah;-ªhn; Z= RCL 20 ARCL 15
340 * 390 AVIEW RCL 22 RIS * SGT= 2 ARCL 13 * AVIEW ST0+27 Nd0 =l:(crht; .b.LIZ) RIS RCL 04 MAX REINF * AVIEW - -ST0+26 Md =Nd· .Zm, (topo) RIS RCL 02 1 1 Z=
350 RCL 16 400 ARCL 17
144
LISTAGEM DO PROGRAMA SHEDR · FOLHA_S_· OE___l__
PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES
401 AVIEW 451 • LBL 01 -RIS o RCL 16 GTO 03 SGI= •LBL 02 ARCL x
1 ••,•
AVIEW . •LBL 03 R/S RCL 24 i RCL 20 * IA5 .
RCL 01 o l . ···' '.•
* l i-1 410 RCL 29 460 - As-=f.As-- r.As·
RCL 32 STO 02 l o .l o l
* STO+Ol / A5w=cr 1 . b/ ( f yd. STFAC) ST0-07 Ac-=Ai-A5 .
FIX 5 •LBL 04 l l
ASW= -2 ARCL x RCL 09 AVIEW RCL 03 RIS Rrl 04 GTO RES *
420 RTN 470 + •LBL R Sub-rotina para o STO 21 Ezmi RCL 22 cãlculo aa ãrea · " x>O? 2 equivalente GTO 05 Ezm; >0= Ec; =O * X(,y? RCL 20 GTO 05 Ezm·,;-2= Ec-=0 * 2
l l
STO 07 A· l / RCL 22 1 ST0+04 - +
430 ST0+04 Zm; 480 RCL 23 Ezm· RCL 04 * Ec; =O .85f cd. (T-+ 1) + z; =zm;+llz/2 ST0*07 e RCL 44 GTO 06 Ac. =Ac .. Ec. X>V? i •LBL 05 l l l
r:;To 01 - - = IA5 .=0 n z;<zs
x-;v o l ST0*07 RCL 43 el BL 06 x,:.v? i RrL 06 GTO 02 - -
> IAs. =Ast t RCL 21 zr~zI 440 RDN o l o nnn ªBS
Para zpz."s ou Zi <z1 X>V?
-, -RCL 44 1 GTO 07 1 Ezm;f>Eyd > Esi =O RCL 43 i z:-z. FS? 00
IA . = S l ' - .AsLAT+As GTO 08 Aço A o S1 - -/ zçz1 RCL 30 RCL 45 X>V?
* GTO 08 1Ezmil"E0.7fy/ >Es;=O RCL 46 -+ RCL 06
450 GTO 03 500 RCL 30
145
LISTAGEM DO PROGRAMA SHEDR FOLHA_6_DE_7_
PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇllES
501 - 551 RCL 20 entrada em cada tabela / , RCL 00 RCL 05 * * • RCL 23 . . CHS * RCL 05 ' STO 04 ' . - - -
+ .-1; Esi / GTO .09 RCL 00 • LBL 07 I
510 o 560 RCL IND 21 GTO 09 / 2
•LBL 08 KM= KM=Md/{b.h.0.85fcd) RCL 05 ARCL x • LBL 09 e AVIEW ST0*02 As. =As . . Es. RIS RCL 02
l l l ISG 21 e e e ST0+07 Ai=Aci+ASi RCL 41 RTN RCL 04 • LBL IT Sub-rotina para /
520 ADN condução do processo · 570 RCL IND 21 ITERAR?S/N iterativo / PROMPT KN= KN=Nd/(b.h.0.85fcd) ASTO x ARCL x AOFF AVIEW x=y? R/S GTO DEF ISG ti RTN STO 13 KN •LBL M Sub-rotina para x-:v Mad= impressão dos es forgJs KMl?
530 ARCL 42 Mad e Nad resultantes 580 PROMPT AVIEW em cada iteração -RIS LAST x Nad= CHS ARCL 41 KM2? AVIEW PROMPT R/S + RTN /
•LBL A Sub-rotina para STO 12 RM={KM-KM1)/(KM2-KM1) CM? arquivar os parâmetro, RCL 13
540 PROMPT CM e CN das tabe 1 as a 590 KNl? STO IND 21 serem utilizadas PROMPT "
ISG 21 -CN? LAST x PROMPT CHS STO IND 21 KN2? ISG 21 PROMPT RTN + •LBL K Sub-rotina para a 7 FIX 3 defi rii ção dos · STO 13 RN=(KN-KN1)/(KN2-KN1)
550 RCL 42 narãmetros KM e KN de 600 RTN
146
LISTAGEM DO PROGRAMA SHEDR' FOLHA_7_DE_7_
PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES
601 •LBL E Sub-rotina para 651 RCL 26 FS?í:01 entrada dos valores * GTO 02 de EP e FI para a RCL 27 EPl. l? interpolação + f"KI I IYll-'
0
1 RTN STíl 14 l'N n EPl ,2? PROMPT STO- 15
610 EP2,l? PROMPT STO 27 EP2.2? PROMPT STO 28 GTO 03
. •LBL 02 FTl 17 PROMPT
620 STO 14 FI 1 .2? PROMPT STO 15 FI2.1? PROMPT STO 27 FI2 .2? PROMPT STO 28
630 • LBL 03 RCL 12 STO 26 XEO I STO 16 llrl 14 STO 27 RCL 15 STO 28 XEO I
640 STO 27 RCL 16 ,
STO 28 RCL 13 STO 26 XEíl I EP{FI) IITN
•LBL I Sub-rotina de RCL 28 interpolação linear RCL 27
650 -
l 4 7
REGISTROS ALOCADOS NO PROGRAMA SHEDR
, REGISTRO TIPO CONTEUDO
00 p h 01 T E Ao; 02 T As;,ª!; 03 p K
-04 T Zm; 05 p Es/1000 06 p Evd(%,) 07 T
,e. Ac, , · A; , ªhn,
08 p z
09 p ES ( %, ) 10 T S; 11 p nct;v 12 T O TT.; ' RM
13 T ªt-,v• KN, RN 14 T ªtmi 15 T z(Gt_,.,) 16 T of ___ 17 T EAT, z( Asw--.,) 18 T e -EA;.Zm,
19 T Ae -2 t '\.;·. z ...... ' I
20 p b 21 T Ezm, ( %o)
22 p fii./2 23 p 0.85fcd 24 p A.~,~ 25 T nct; \/ 26 T MÁ. (topo) 27 T 'iifct, 28 T 29 p fvd 30 p EQ.7f--Â 31 p Yf 32 p STFAC
TIPO P - PERMANENTE T - TEMPORÁRIO
FOLHA_l_DE_..2_
OBSERVAÇOES
RM=(KM-KMl)/(KM2-KMl) RN=(KN-KNl )/(KN2-KN1)
) Regist= """" " ;"1,-rotioo E
f Regi st,os usados nas sub-rotinas E e I
148
REGISTROS ALOCADOS NO PROGRAMA SHEDR
, REGISTRO TIPO CONTEUDO
33 p Vn=Yf.V
34 p Nn=Y f .N
35 p Mn=Yf.M
36 p {W-W1) / (i.LJ2-W1)
37 p CM1
38 p CN,
39 p CM2
40 p CN2
41 T Nad
42 T Mad
43 p ZT 44 p zs 45 p %LAT
46 p %SUP
TIPO P - PERMANENTE
T - TEMPORÁRIO
FOLHA_l_DE_.2_
OBSERVAÇOES
149
B.2 ~ PROGRAMA SHEDC RARA SEÇÕES CIRCULARES
B.2.1 ~ r~~tf~~6~~ pafa ·d Uso dd Programa
B.2.2 - Listagem do Programa
B.2.3 - Registros Alocados no Programa
150
INSTRUÇOES PARA O USO DO PROGRAMA SHEDC FOLHA_.l_DE_i_
ITEM OBSERVAÇOES DADOS FUNÇJl:O RESULTADOS .
01 SIZE 043 XEQ SHEDC
As instruções para o uso do programa SHEDC são as mesmas do programa SHEDR, exceto as referentes ãs dimensões da seção transversal, correspondentes aos itens 11 a 18, substitui dos pelos seguintes:
,
D? 11 • LBL SEC 12 h R/S OH?
13 t,h R/S AS?
14 As R/S OMEG=(w)
.
-
l 51
LISTAGEM DO PROGRAMA SHE DC FOLHA_l_DE---3_
PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES PASSO I NST RUÇlíO OBSERVAÇÕES
001 • LBL SHEDC A- listagem do progra- RCL 04 245 a 279 ma SHEDC e, em sua -maior parte, a mesma 250 RCL 07 do programa SHEDR: As *
si =EA1. (z-Zmi l modificações a serem STO+lO introduzidas no pro- RCL 10 grama SHEDR são as RCL 33 seguintes: * RCL 19
053 • LBL SEC Substituir os passos / CF 02 053 a 095 do programa 2 D? SHEDR pelos passos / PROMPT 053 a 080 260 RCL DO 2 xz / RCL 04 STO 00 Rc RCL 22
060 RCL l l + z; =zmi+llz/2 / RCL 00 STO 22 llz/2 -RCL 00 x" OH? -PROMPT EEX-4 - 270 X>y? STO 20 Rs GTO 07 AS? RDN
bi/2= /Rt-(zi-R,) 2 PROMPT SQRT 070 STO 24 /
RCL 29 GTO 08 ºti=Si .Vd/{bi .!) * • LBL 07 RCL 23 o / • LBI 08 PI 279 ENTER / RCL 00 x" As. fyd 334 • LBL 03 Substituir os passos / / 327 a 372 do programa w=
-- 2 080 STO 10 O .85f cd-1T. Rc ATAN SHEDR pelos passos CDS 334 a 392 x2
194 RCL 18 Substituir os passos RCL 12 RCL 00 209 a 212 do programa 340 RCL 02 / SHEDR pelos passos -2 194 a 199 * ºhi=(crJI, -cr 1.) .cos~ªi / RCL 07 , ,
199 STO 03 K= ,P/2.Rc - 0 ht ·=oh· - ºhn · RCL 28
, , -~, *
245 • LBL D Substituir os passos RCL 22 XEO R 258 a 273 do programa * :.Nd;=E{crhti .bi .fiz) RCL 08 SHEDR oelos oassos ST0+27
l 5 2
LISTAGEM DO PROGRAMA SHEDC FOLHA_2_DE_3_
PASSO JNSTRUÇIIO OBSERVAÇOES PASSO INSTRUÇIIO OBSERVAÇOES
350 RCL 04 426 RCL 16
* 427 RCL 29 - -STo+26 Mcti =N di . Zmi (topo) RCL 02 orL 00 438 •LBL R Substituir os passos or1 04 RCL 22 421 a 464 do programa - 440 ST0+04 SHEDR pelos passos ABS ST0+04 438 a 487 Rfl ?/l RCL 00 x,;,y? 2
360 GTO 13 1 Rc-Zm-1 "Rs~ * /
1 o <o RCL 04 ASJN
I Imax -cos LAST x / *
bmi/2=/tmi(2.Rc-zmi) RCL 28 SQRT
* 450 4 2 * / a 1 ./bi . coswi STO 28 2 .bmi RCL 16
, RCL 22
370 x>v? * GTO 13 STO 07 Ai =bmi . t,z x:y RCL 00 STO 16 RCL 04 RCL 04 -STO 17 z(Aswmax) RCL 2Z RCL 02 460 -STíl 1 8 º1(Aswmax) RCL 20 •LBL 13 x,;,y? DSE 25 GTO 01 Rç-z; >Rs '* As.=O
380 GTO D CHS . , i
FIX 3 x>v? Zi-Rc>Rs~ r.As-=As TONE GTO 02
o ,
FC? 03 / GTO RES CHS
S=arc cos [{Rc-Zi )/Rs] RCL 35 ACOS RCL 26 470 GTO 03 - •LBL 02 RCL 27 PI RCL 00 •LBL 03
390 * RCL 24 + * - -
392 STO 42 Mact=Mct-Mct+Nct. Rc PI hsi=As.S/1T /
RCL 01 o
421 R/S Substituir os passos - i i-1 SGI= 402 a 410 do programa 480 STO 02 As-=IAs.- 'f.As· ARCL 18 SHEDR pelos passos STO+Ol
, o , o ,
AVIEW 421 a 427 ST0-07 Aci=Ai-Asi 425 R/S 483 GTO 04
153
LISTAGEM DO PROGRAMA SHEDC FOLHA _3_ 0E _____3___
PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES PASSO INSTRUÇÃO OBSERVAÇOES
484 • LBL 01 o STO 02
487 • LBL 04
571 •LBL K Substituir os passos FIX 3 548 a 562 do programa RCL 42 SHEDR pelos passos PI 571 a 588 RCL 00 x' * RCL 23 *
580 STO 04 / RCL 00 2 * / RCL IND 21 /
KM=Mct/(2rr.R~.0.85fcct) 588 KM=
l 5 4
REGISTROS ALOCADOS NO PROGRAMA SHEDC
' REGISTRO TIPO CONTEUDO
00 p Rc .
16 T (b;.crI;/cosw;lmax
18 T I:Ai .zm;, ªI (Aswmav)
20 p Rc
28 T 2bm;
43
44 45 46
TIPO P - PERMANENTE T - TEMPORÁRIO
FOLHA_l_DE_l_
OBSERVAÇOES
Os registros alocados no programa SHEDC. são, em sua qúase totalidade os mesmos do programa SHEDR. As
alterações, devidas ãs diferenças na geometria das seções, são as seguintes:.
Não existem no programa SHEDC
l 5 5
APtNDICE C
TABELAS DE DEFORMAÇ"OES EM SEÇTIES
DE CONCRETO ARMADO
C.l - SEÇÃO RETANGULAR CHEIA COM ARMADURA DISTRIBU1DA EM IGUAL
PERCENTAGEM NOS QUATRO LADOS - AÇO CA-50B
fAeELA5 ú[ .O[íO~KiCC[~ E~ S[C0[5 ílE CONCll[ríl AR~AOU.QE AC~Ml)O COM os PR[NCl~IOS e~SICílS DO C[B
SECAO R[TANG!ILAR CHlfA - ACO CA-~QB AS=0.25•~!T AS 1 =0.l~•Ast O!l/~=11.uS OH 1 /~~c,.os OM[G=~.l CN=l.1863 CH=0.150q
• •
""º • • • • -0.915
• . • •0.900
• • -O.dS,0 • • -o.eoo • • -0.7SO •
• •
• •
•
.;o.roo
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-0.450 • • -o.i.oo • • • -o .350
•O .100 ..
• • -o .zso • •
• -o .200
• -0.150 • • -0.100
• -0.050
• • o·ºº' • • • o .o 'j o •
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•••••••• ......
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N u, a,
25 7
APÊNDICE D
EXEMPLO DE UTILIZAÇIIO DO: PRDGRA!>',A\PARA DIMENSIONAMENTO
li FORÇA CORTANTE PARA CALCULADORA PROGRAMIIVEL HP-41C
Dados: Seção Circular Cheia
Diãmetro Cobrimento Concreto Aço CA-50B Armadura Esforços
h = l , Om llh=0,05m
fck=25,0MPa fyk=500,0MPa A =O Ol60m2 s , M=l600,0kNm N=-3200 ,OkN V=SOO,OkN
A entrada de dados e os resultados de cada iteraçãti,
ate obter-se a convergência no processo de determinação dos
esforços incrementados Mad e Nad' são fornecidos a seguir.
As Tabelas 0.1 e D.2 são utilizadas na da deformada da seção em cada iteração.
determinação
258
EXEMPLO DE UTILIZAÇAO DO PROGRAMA SHEDC FOLHA _j_D[_.3__
ITEM OBSERVAÇOES DADOS. FUNÇÃO RESULTADOS
01 XEQ SHEDC FCK?
Propriedades dos materiais 25000. R/S SFCO?
1.5 R/S TS?
B R/S FYK?
05 500000. R/S SF/H?
1.15 R/S EST? 210000000. R/S SFL?
. 1.5 R/S STFAC?
Geometria da seção 0.84 R/S D?.
10 1.0 R/S DH?
0.05 R/S AS?
0.0160 R/S OMEG=0.63 R/S OMEGl?
Parâmetros da Tabela D. l 0.6 R/S CM?
15 o. 2487 R/S CN?
2. 125 7 R/S OMEG2?
Parâmetros da Tabela D.2 0.7 R/S CM?
O. 27 39 R/S CN?
2.3129 R/S M?
20 1600. R/S N?
-3200. .R/S V? 800. R/S ITERAR?S/N
1 ª Iteração s R/S Mad=2400.00 R/S Nad=-3951.47
25 R/S TAB .1
Valores da Tabela D. l R/S KM=O. 867
R/S KN=-0.167 R/S KMl?
0.8 R/S KM2?
30 0.9 R/S KNl? -0.2 R/S KN2?
-O. 15 R/S EP 1 , 1? -0.235 R/S EPl ,2?
-0.206 R/S EP2,l?
35 -0.038 R/S EP2,2?
259
EXEMPLO DE UTILIZAÇAD DO PROGRAMA SHEDC FOLHA_2_DE_3_
ITEM OBSERVAÇllES DADOS. FUNÇ1'i0 RESULTADOS
36 0.046 R/5 Fll,l?
3.802 R/5 Fll,2?
4. 786 R/5 FI2,l?
3.973 R/5 FIZ ,2?
40 5.085 R/5 TAB.2 Valores da Tabela 0.2 R/5 KM=D.788
R/5 KN=-0. 154
R/5 KMl?
0.7 R/5 KM2?
45 0.8 R/5 KNl?
-0.2 R/5 KNZ?
-o. 15 R/5 EP 1 , 1?
-0.301 R/5 EPl ,2?
-0.279 R/5 EP2,l?
50 "º .125 R/5 EP2,2?
-0.083 R/5 Fll,l?
3.097 R/5 FI 1 ,2?
3.839 R/5 FI2,l?
3.256 R/5 F I 2 ,2?
55 Deformada da seção 3.954 R/5 EPCG=-0. 072
.R/5 FI=4.438
Esforços resultantes R/5 Ma d=2496. 34
R/5 Nad=-4053.23 R/5 ITERAR?S/N
60 zª Iteração s R/5 TAB. 1 Valores da Tabela D .1 R/5 KM=D.902
R/5 KN=-0. 171 R/5 KMl?
0.8 R/5 KM2? -
65 0.9 R/5 KNl?
-0.2 R/5 KN2?
-O. 15 R/5 EPl , 1?
-0.206 R/5 EPl ,2?
-O. 149 R/5 EP2,l? 70 -0.046 R/5 E P2 ,2?
260
EXEMPLO DE UTILIZAÇ~O DO PROGRAMA SHEDC FOLHA_3_DE_3_
ITEM OBSERVAÇOES DAOOS. FUNÇÃO RESULTADOS
71 0.246 R/S Fll,l? 4.786 R/S FI l , 2?
6.732 R/S Fl2,l?
5.085 R/S Fl2,2?
75. 7. 571 R/S TAB.2 Valores da Tabela D.2 R/S KM=0.819
R/S KN=-0 .158
R/S KMl?
0.8 R/S KM2? 80 0.9 R/S KNl?
-0.2 R/S KN2?
-O .15 R/S EP 1 , 1 ?
-0.279 R/S EPl ,2?
-0.267 R/S EP2,l? 85 -0.083 R/S EP2,2?
-0.023 R/S Fll,l?
3.839 R/S FI 1 ,2?
4.818 R/S Fl2,l?
3 .954 R/S Fl2,2? 90 Deformada da seção 4 .. 993 R/S EPCG=-0.070
R/S FI=4.785 Esforços resultantes R/S Mad=2497 .68
( = l ª Iteração) R/S Nad=-4051 .98 R/S ITERAR?S/N
95 Resultado~ finais N R/S MAX STRESS
R/S Z=0.430 RIS SGT=l967 .324 R/S MAX REINF R/S Z=O. 530
l 00 R/S SGl=l819.783
Armadura transversal (m 2 /m) RIS ASW=0.00498
TAB(LAiS DE 11[.íütll'.At:fllS "E.H SE.Cm.:s ,)( C.:INCR(TO AHr'A'JG•OI:: ti.COH,)::l COH OS Pf!INCIP1JS eA51C0S DrJ CO
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