Mat 07 Trigonometria No Triangulo Retangulo

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321 MATEMÁTICA I TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ....... 323 TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO ...................... 327 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMETRIA ........... 331 ÂNGULOS NOTÁVEIS............................................................. 334 TABELA DE RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS .......................... 336 RESPOSTAS ........................................................................... 342 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA .............................................. 343

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Apostilade Trigonometria no Triângulo Retângulo. Essa apostila é utilizada no curso técnico em edificações oferecido pelo Instituto Federal de Minas Gerais.

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    MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO

    TRINGULO RETNGULO

    RELAES MTRICAS NO TRINGULO RETNGULO ....... 323

    TRIGONOMETRIA TRINGULO RETNGULO ...................... 327

    RELAES FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMETRIA ........... 331

    NGULOS NOTVEIS ............................................................. 334

    TABELA DE RAZES TRIGONOMTRICAS .......................... 336

    RESPOSTAS ........................................................................... 342

    REFERNCIA BIBLIOGRFICA .............................................. 343

  • 322

    MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO

    TRINGULO RETNGULO

  • 323

    MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO

    TRINGULO RETNGULO

    RELAES MTRICAS NO TRINGULO RETNGULO

    No ensino fundamental voc estudou semelhana de tringulos e uma importante aplicao deste assunto est nas relaes mtricas no tringulo retngulo. Consideremos um tringulo

    ABC retngulo em A como na figura abaixo. Os lados b e c so chamados de catetos e o lado a a hipotenusa.

    O segmento h, traado a partir de A e perpendicular hipotenusa em H, a altura. Os segmentos BH e CH so as projees dos catetos em a e sero chamados de n e m respectivamente.

    Observando as medidas e como na figura anterior, podemos destacar trs tringulos semelhantes, veja:

    I

    II

    III

    De I e II, podemos perceber que:

    ahbcb

    a

    h

    c (i)

    Ainda de I e II,

    ambm

    b

    b

    a 2 (ii)

    c

    B

    A

    h

    n

    a

    b

    C

    A

    h

    a

    b c

    C B

    A

    n m

    h

    H

    a

    b c

    C B

    A

    n m

    h

    H

    a

    b c

    C B

    A

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    MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO

    TRINGULO RETNGULO

    De I e III, temos:

    ancn

    c

    c

    a 2 (iii)

    De II e III, temos:

    mnhh

    m

    n

    h 2 (iv)

    Observando ainda a segunda

    figura da pgina anterior, temos:

    A partir iii, iv e v, temos:

    Esta ltima relao o famoso TEOREMA DE PITGORAS. Assim, as seis expresses encontradas e listadas abaixo, so chamadas de RELAES MTRICAS NO TRINGULO RETNGULO.

    i ahbc ii amb2

    iii anc2 iv mnh2

    v anm

    vi 222 cba

    Ex.1:No triangulo abaixo, os catetos medem 8cm e 6cm. Determinar a medida da hipotenusa a, das projees m e n e da altura h. Resoluo

    cmaa

    aa

    cba

    10100

    643686

    2

    2222

    222

    cm,hh

    ahbc

    841068

    cm,mmm

    amb

    4610641082

    2

    cm,nn,

    anm

    631046

    ____________________________

    Ex.2: Observe o tringulo ABC de lados 6cm, 8cm e 12cm representado na figura. Encontre a altura h.

    anm (v)

    22

    22

    2

    2

    cbnma

    cbanam

    can

    bam

    222 cba (vi)

    a

    8 6

    C n m

    h

    12

    6

    8

    A

    B

    C

    h

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    MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO

    TRINGULO RETNGULO

    J que DABC obtusngulo, vamos chamar de x o prolongamento do segmento BC como na figura abaixo Resoluo:

    4

    4556

    4

    11

    6

    4

    114416

    144641636

    1446416

    128

    6

    2

    2

    2

    222

    36

    22

    222

    222

    hh

    xh

    xx

    x

    xxh

    xhADC

    xhADB

    339) A altura relativa hipotenusa determina sobre ela segmentos de medidas 3 cm e 4 cm. Quanto medem os catetos deste tringulo?

    340) Determine e e f nas figuras abaixo: a)

    b)

    2

    3

    f

    e

    12

    6

    8

    A

    B

    C

    h

    x D

    f

    e

    5

    1

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    MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO

    TRINGULO RETNGULO

    341) Qual o permetro de um quadrado cuja diagonal mede 2 cm? 342) A hipotenusa de um tringulo

    retngulo issceles mede 85 cm.

    Quanto medem os catetos? 343) Dois prdios construdos num mesmo plano a 12 metros de distncia um do outro medem 17m e 22m de altura. Deseja-se construir uma passarela a fim de unir seus topos. Qual ser o menor comprimento possvel desta passarela?

    344) Num tringulo retngulo cuja altura mede 12 e a soma dos catetos vale 35, quanto mede a hipotenusa e cada um dos catetos?

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    MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO

    TRINGULO RETNGULO

    345) Pesquise na internet ou em livros na biblioteca sobre outras demonstraes do teorema de Pitgoras diferentes daquela apresentada no incio desta apostila e apresente aqui pelo menos uma.

    TRIGONOMETRIA TRINGULO RETNGULO

    Dois tringulos so ditos

    semelhantes se um pode ser obtido pela expanso uniforme do outro. Este o caso se, e somente se, seus ngulos correspondentes so iguais. O fato crucial sobre tringulos similares que os comprimentos de seus lados so proporcionais, isto , se o maior lado de um tringulo duas vezes o maior que o lado do tringulo similar, ento o menor lado ser tambm duas vezes maior que o menor lado do outro tringulo, e o comprimento do lado mdio ser duas vezes o valor do lado correspondente do outro tringulo. Assim, a razo do maior lado e menor lado do primeiro tringulo ser a mesma razo do maior lado e o menor lado do outro tringulo.

    Usando estes fatos, definem-se as funes trigonomtricas, comeando pelos tringulos retngulos. O maior lado em um tringulo qualquer sempre o lado oposto ao maior ngulo e devido a soma dos ngulos de um tringulo ser 180, o maior ngulo em um tringulo retngulo o ngulo reto. O maior lado nesse tringulo, consequentemente, o lado oposto ao ngulo reto, chamado de hipotenusa e os demais lados so chamados de catetos.

    Dois tringulos retngulos que compartilham um segundo ngulo A so necessariamente similares, e a razo entre o lado oposto a A e a hipotenusa ser, portanto, a mesma nos dois tringulos. Este valor ser um nmero entre 0 e 1 que depende apenas de A.

  • 328

    MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO

    TRINGULO RETNGULO

    Este nmero chamado de seno de A e escrito como sen A. Similarmente, pode-se definir o cosseno (ou co-seno) de A como a razo do cateto adjacente a A pela hipotenusa. Vamos agora ver e aplicar, graficamente, o que est no texto. A figura a seguir mostra os

    tringulos ABC, ABC e ABC. Note que so todos semelhantes. J que os tringulos so todos semelhantes, a razo entre os lados

    opostos ao ngulo e as hipotenusas correspondentes constante. Assim:

    hipotenusa

    aopostocateto

    "AC

    "C"B

    'AC

    'C'B

    AC

    BC

    Esta razo chamada de SENO,

    desta forma:

    Da mesma forma, a razo entre

    os lados adjacentes ao ngulo em cada tringulo e as hipotenusas correspondentes constante. Assim:

    hipotenusa

    aadjacentecateto

    "AC

    "AB

    'AC

    'AB

    AC

    AB

    Esta razo chamada de

    COSSENO, desta forma:

    H ainda outra razo importante que segue a mesma regra devido semelhana entre os tringulos. Trata-se da razo entre os catetos opostos e os respectivos catetos adjacentes ao

    ngulo .

    aadjacentecateto

    aopostocateto

    "AB

    "BC

    'AB

    'C'B

    AB

    BC

    Esta razo chamada de

    TANGENTE, desta forma:

    A B B B

    C

    C

    C

    hipotenusa

    aopostocatetosen

    hipotenusa

    aadjacentecatetocos

    aadjacentecateto

    aopostocatetotg

  • 329

    MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO

    TRINGULO RETNGULO

    Ex.1: Sendo o ngulo destacado no tringulo retngulo abaixo, determinar

    seno, cosseno e tangente de .

    Resoluo

    O primeiro passo ser determinar o valor da hipotenusa aplicando o Teorema de Pitgoras..

    20

    400

    144256

    1216

    2

    2

    222

    222

    a

    a

    a

    a

    cba

    Agora j sabemos que a

    hipotenusa, o cateto oposto ao ngulo a e o cateto adjacente ao ngulo a medem, respectivamente, 20cm, 12cm e 16cm.

    Agora vamos calcular sen ,

    cos e tg .

    5

    3

    20

    12

    sen

    hipotenusa

    aoposto.catsen

    5

    4

    20

    16

    cos

    hipotenusa

    aadjacente.catcos

    4

    3

    16

    12

    tg

    aadjacente.cat

    aoposto.cattg

    ____________________________

    Ex.2: Sabendo que o sen 37 = 0,60182 cos 37 = 0,79864, tg 37 = 0,75355 e que o menor cateto do tringulo retngulo abaixo mede 9 cm, determine o comprimento da hipotenusa e do outro cateto

    11,94b

    0,75355

    9b

    b0,75355

    btg

    14,95a

    ,a

    a,

    asen

    9

    937

    601820

    9

    9601820

    937

    A = 14,95 cm e B = 11,94 cm

  • 330

    MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO

    TRINGULO RETNGULO

    346) Determine o valor de x em cada caso. Quando precisar, consulte a tabela trigonomtrica que est na pgina 295. a)

    b)

    c)

    347) Calcule, no tringulo que ilustra esta questo, o seno, cosseno e tangente dos ngulos B e C e a seguir consulte a tabela trigonomtrica da pgina 295 para determinar a medida de B e C.

  • 331

    MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO

    TRINGULO RETNGULO

    RELAES FUNDAMENTAIS DA TRIGONOMETRIA

    No tringulo retngulo ABC acima, sabemos que:

    1

    22

    2

    2

    2

    2

    2

    2222

    a

    c

    a

    b

    a

    a

    a

    c

    a

    bacb

    Sabemos tambm que:

    a

    bCcos

    a

    cCsen

    a

    cBcos

    a

    bBsen

    Substituindo na expresso acima,

    temos:

    11 2222 CsenCcosouBcosBsen De forma genrica, podemos escrever:

    Esta a chamada 1 RELAO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA.

    Do mesmo tringulo ao lado, podemos dizer que:

    c

    bBtg

    dividindo o numerador e o denominador da frao por a, e substituindo correspondentemente por seno e cosseno de B, temos:

    Bcos

    BsenBtg

    ac

    abBtg

    o mesmo pode ser feito com o ngulo C.

    Ccos

    CsenCtg

    ab

    acCtg

    b

    cCtg

    e, de forma geral, podemos escrever:

    Esta a chamada 2 RELAO FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA.

    348) Retorne questo 347 e calcule a tangente dos ngulos B e C a partir do seno e cosseno de cada um.

    a b

    c

    C

    B A

    122 cossen

    cos

    sentg

  • 332

    MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO

    TRINGULO RETNGULO

    349) Sabendo que x um ngulo compreendido entre 0 e 90 e que

    4

    3xcos , determine o seno e a

    tangente de x alm da medida do ngulo x consultando a tabela da pgina 336. 350) Na figura abaixo, sabe-se que

    cos = 0,3,

    determine sen e o comprimento da hipotenusa.

    351) Em cada um dos trs casos a seguir, determine o valor de x consultando a tabela da pgina 336 quando precisar. a)

    b)

    c)

  • 333

    MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO

    TRINGULO RETNGULO

    352) Ainda consultando a tabela da

    pgina 336, determine em cada caso: a)

    b) ABCD um retngulo

    c)

    353) Sendo x um ngulo agudo tal que

    5

    4xsen , determine xtg .

    354) Num tringulo retngulo, um dos catetos a tera parte da hipotenusa. Calcule a tangente do menor ngulo do tringulo.

  • 334

    MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO

    TRINGULO RETNGULO

    355) Na circunferncia abaixo, AC um dimetro. Sabendo que o raio 2 cm, determine o permetro do quadriltero ABCD.

    NGULOS NOTVEIS

    Existem trs ngulos agudos que

    trazem consideraes importantes. Estes ngulos, chamados de NOTVEIS so 30, 45 e 60. A partir da aplicao de alguns conceitos, podemos determinar facilmente o seno, cosseno e tangente destes ngulos. Vamos preencher juntos os espaos a seguir aprendendo a encontrar esses valores. Partiremos do tringulo eqiltero abaixo onde est destacada uma altura.

  • 335

    MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO

    TRINGULO RETNGULO

    Agora consideraremos o quadrado a seguir e uma diagonal.

    Os valores encontrados podem ser resumidos nesta tabela:

    30 45 60

    sen

    cos

    tg

    A tabela a seguir traz o as razes trigonomtricas dos ngulos compreendidos de 1 a 90. (expressos em graus por nmeros naturais):

  • 336

    MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO

    TRINGULO RETNGULO

    TABELA DE RAZES TRIGONOMTRICAS sen cos tg sen cos tg

    1 0,017 1,000 0,017 46 0,719 0,695 1,036

    2 0,035 0,999 0,035 47 0,731 0,682 1,072

    3 0,052 0,999 0,052 48 0,743 0,669 1,111

    4 0,070 0,998 0,070 49 0,755 0,656 1,150

    5 0,087 0,996 0,087 50 0,766 0,643 1,192

    6 0,105 0,995 0,105 51 0,777 0,629 1,235

    7 0,122 0,993 0,123 52 0,788 0,616 1,280

    8 0,139 0,990 0,141 53 0,799 0,602 1,327

    9 0,156 0,988 0,158 54 0,809 0,588 1,376

    10 0,174 0,985 0,176 55 0,819 0,574 1,428

    11 0,191 0,982 0,194 56 0,829 0,559 1,483

    12 0,208 0,978 0,213 57 0,839 0,545 1,540

    13 0,225 0,974 0,231 58 0,848 0,530 1,600

    14 0,242 0,970 0,249 59 0,857 0,515 1,664

    15 0,259 0,966 0,268 60 0,866 0,500 1,732

    16 0,276 0,961 0,287 61 0,875 0,485 1,804

    17 0,292 0,956 0,306 62 0,883 0,469 1,881

    18 0,309 0,951 0,325 63 0,891 0,454 1,963

    19 0,326 0,946 0,344 64 0,899 0,438 2,050

    20 0,342 0,940 0,364 65 0,906 0,423 2,145

    21 0,358 0,934 0,384 66 0,914 0,407 2,246

    22 0,375 0,927 0,404 67 0,921 0,391 2,356

    23 0,391 0,921 0,424 68 0,927 0,375 2,475

    24 0,407 0,914 0,445 69 0,934 0,358 2,605

    25 0,423 0,906 0,466 70 0,940 0,342 2,747

    26 0,438 0,899 0,488 71 0,946 0,326 2,904

    27 0,454 0,891 0,510 72 0,951 0,309 3,078

    28 0,469 0,883 0,532 73 0,956 0,292 3,271

    29 0,485 0,875 0,554 74 0,961 0,276 3,487

    30 0,500 0,866 0,577 75 0,966 0,259 3,732

    31 0,515 0,857 0,601 76 0,970 0,242 4,011

    32 0,530 0,848 0,625 77 0,974 0,225 4,331

    33 0,545 0,839 0,649 78 0,978 0,208 4,705

    34 0,559 0,829 0,675 79 0,982 0,191 5,145

    35 0,574 0,819 0,700 80 0,985 0,174 5,671

    36 0,588 0,809 0,727 81 0,988 0,156 6,314

    37 0,602 0,799 0,754 82 0,990 0,139 7,115

    38 0,616 0,788 0,781 83 0,993 0,122 8,144

    39 0,629 0,777 0,810 84 0,995 0,105 9,514

    40 0,643 0,766 0,839 85 0,996 0,087 11,430

    41 0,656 0,755 0,869 86 0,998 0,070 14,301

    42 0,669 0,743 0,900 87 0,999 0,052 19,081

    43 0,682 0,731 0,933 88 0,999 0,035 28,636

    44 0,695 0,719 0,966 89 1,000 0,017 57,290

    45 0,707 0,707 1,000 90 1,000 0,000

  • 337

    MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO

    TRINGULO RETNGULO

    356) Encontre o valor de x em cada caso: a)

    b)

    c)

    d)

  • 338

    MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO

    TRINGULO RETNGULO

    e) ABCD um quadrado

    357) Uma pessoa se posiciona a 10m de um prdio no mesmo plano horizontal de sua base e olha para o topo sob um ngulo de 60. Qual a altura do prdio?

    358) Afim de estimar a altura de uma montanha, um topgrafo, munido de um teodolito e uma trena, fez algumas medies e montou o diagrama abaixo. Determine a altura h da montanha.

  • 339

    MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO

    TRINGULO RETNGULO

    359) Um fardo de alimentos ser entregue para habitantes de uma regio de difcil acesso por um helicptero conforme a figura abaixo.

    No momento em que o fardo atinge o solo, o cabo que sai do helicptero e sustenta o fardo est esticado e perpendicular ao plano que contm os pontos A, P e B. Sabe-se que o helicptero avistado do ponto A sob um ngulo de 30 e do ponto B sob um ngulo de 45. Sabe-se tambm que a medida do

    ngulo BPA 90 e que a distncia entre A e B de 100 metros. Qual a altura do helicptero?

  • 340

    MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO

    TRINGULO RETNGULO

    360) A partir de um ponto, observa-se o topo de um prdio sob um ngulo de 30. Caminhando 23m em direo ao prdio, atingimos um outro ponto de onde se v o todo do prdio segundo um ngulo de 60. Considerando que o observador tem 1,7 metros de altura, qual a altura do prdio? 361) Uma rampa plana de 36 metros de comprimento faz um ngulo de 30 com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se, verticalmente, quantos metros?

    362) Na figura abaixo o segmento CE mede 80cm. Qual o comprimento de BC?

  • 341

    MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO

    TRINGULO RETNGULO

    363) No tringulo abaixo, determine as razes que se pede:

    sen P =

    sen Q =

    cos P =

    cos Q =

    tg P =

    tg Q =

    364) Observando o tringulo da questo acima, o que podemos dizer sobre os

    ngulos P e Q ?

    365) Voc deve ter notado que, no tringulo da questo 304, tnhamos que

    QcosPsen e PcosQsen . Isso sempre acontecer com ngulos que somam 90. Baseado nesta idia, quanto vale k na expresso:

    coscoscoscos

    sensensensenk

    898821

    898821

  • 342

    MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO

    TRINGULO RETNGULO

    RESPOSTAS 339) cmecm 7221

    340) a) 2

    5

    2

    5 fee

    b) 2

    53

    2

    5 fee

    341) cm24

    342) 10cm

    343) 13 metros

    344) 25, 20 e 15.

    345) RESPOSTA ABERTA

    346) a) x = 2 b) x 3,28 c) x 17,11

    347)

    CB

    CsenCcos

    BsenBcos

    3555

    149

    1497

    149

    14910149

    14910

    149

    1497

    348) 10

    7

    7

    10 CtgeBtg

    349)

    xe

    xtg,xsen

    64

    3

    39

    4

    13

    350) 36950 ,ae,sen

    351) a) 342,x b) 764,x c) 612,x

    352) a) x 67 b) x 29 c) x 45

    353) 3

    4

    354) 4

    2

    355) 9810,Permetro

    356) a) 26

    b) 32

    c) 4

    d) 60

    e) 2

    357) 17,32 metros

    358) 16,39 metros

    359) 50 metros.

    360) 19,91 metros

    361) 18 metros

    362) 10 cm

    363)

    p

    qQtg

    q

    pPtg

    r

    pQcos

    r

    qPcos

    r

    qQsen

    r

    pPsen

    364) QP 90

    365) k = 1

  • 343

    MATEMTICA I TRIGONOMETRIA NO

    TRINGULO RETNGULO

    REFERNCIA BIBLIOGRFICA

    IEZZI, Gelson e outros;

    Matemtica, Volume nico. So Paulo,

    Atual, 2002.

    IEZZI, Gelson e outros;

    Fundamentos da Matemtica Elementar,

    Volume 1. So Paulo, Atual, 5 edio,

    1977.

    PAIVA, Manoel; Matemtica;

    Volume 1. So Paulo, Moderna, 1995.