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MAT 146 - Calculo Diferencial e Integral I para Economia - 1◦ semestre de 2013

Registro das aulas e exercıcios sugeridos - Atualizado 15.6.2013

1. Segunda-feira, 4 de marco de 2013

Apresentacao do curso. Veja-se o arquivo relativo as informacoes do curso na minha pagina web

www.ime.usp.br/∼pluigi

***

Os principais sistemas numericos usados no curso: o conjunto N dos numeros naturais, Z dos numeros

inteiros relativos, Q dos numeros racionais e R dos numeros reais.

Definicao (intuitiva) de numero real: um numero real e um alinhamento decimal, limitado ou nao,

periodico ou nao, com sinal. Em R sao definidas duas operacoes, soma e produto e uma relacao de ordem.

A parte seguinte, em azul, e facultativa; pode ser pulada

Estas operacoes verificam as propriedades seguintes:

S1) Propriedade comutativa da soma: ∀a, b ∈ R, a+ b = b+ a;

S2) Propriedade associativa da soma: ∀a, b, c ∈ R, (a+ b) + c = a+ (b+ c);

S3) Existencia do elemento neutro da soma: ∀a ∈ R, a+ 0 = a e 0 e dito elemento neutro da soma;

S4) Existencia do oposto: ∀a ∈ R existe um elemento de R, −a, dito oposto de a, tal que a+(−a) = 0

(a+ (−a) = 0 pode ser escrito simplesmente a− a = 0).

Analogamente temos propriedade do produto:

P1) Propriedade comutativa do produto: ∀a, b ∈ R, ab = ba;

P2) Propriedade associativa do produto: ∀a, b, c ∈ R, (ab)c = a(bc);

P3) Existencia do elemento neutro do produto: ∀a ∈ R, a · 1 = a e 1 e dito elemento neutro do

produto;

P4) Existencia do inverso: ∀a ∈ R, a 6= 0, existe um elemento de R, 1/a, tal que a · 1/a = 1.

A propriedade distributiva liga soma e produto:

SP) ∀a, b, c ∈ R, (a+ b)c = ac+ bc.

As duas propriedades seguintes ligam a soma e o produto ao ordenamento:

OS) ∀a, b, c ∈ R, se a ≤ b, entao a+ c ≤ b+ c;

OP) ∀a, b, c ∈ R, con c > 0, se a ≤ b, entao ac ≤ bc.

Exercıcio 1. (feito em sala de aula) Nao existe nenhum numero racional cujo quadrado e igual a 2.

Dado un numero real a, definimos modulo (ou valor absoluto) de a numero nao negativo

|a| ={a se a ≥ 0

−a se a < 0.

Exercıcio 2. Provar as desigualdades triangulares seguintes: para todos a, b ∈ R,

|a+ b| ≤ |a|+ |b|, |a− b| ≥ |a| − |b|.1

2

Exercıcio 3. (feito em sala de aula) Determine o conjunto das solucoes da inequacao

|x− 4| ≥ x+ 2.

Exercıcio 4. Verdadeiro ou falso? (justifique)

(1) a soma de dois numeros irracionais e irracional;

(2) a soma de dois numeros racionais e racional;

(3) a soma de dois numeros um racional e o outro irracional e irracional;

Exercıcio 5. Prove que nao existe nenhum numero racional cujo quadrado e igual a 3.

Exercıcio 6. Sejam dados quatro numeros reais positivos a, b, c, d. Prove que

min{ab,c

d

}≤ a+ b

c+ d≤ max

{ab,c

d

}.

O sımbolo acima min{ab,c

d

}denota o mınimo entre

a

bec

d. Analogamente o outro.

Exercıcio. Resolver algumas das inequacoes seguintes.

7. x2 − 2x− 1 ≤ 0 8. 3x2 − x+ 2 > 0

9.x− 2

x+ 1>

1

x− 110.

x2 + x− 1

x2 − 2x+ 1≤ 1

2

11. x4 − 3

4x2 >

1

412. x2 ≤ 1

13.2

x+ 3 <

4

x− 1 14.

3

x2+ 1 ≤ x2 − 1

15.√x− 1 < x− 3 16.

√x2 + 2x− 1 > 3− x

17.√x− 1 <

√x 18. |x2 − 4x− 5| > −x

19.√−x < 5 + x 20. | − 6x+ 3| > −x+ 2

21.(2x− 1)(x+ 1)

x≥ 0 22.

x

|x|(1− x) ≤ 1 + x

23.

√2x+ 1

x2 − 4≤ 0 24.

√|x− 1| ≤ 2− x

Exercıcio 25. Dado um numero x ∈ R, a parte inteira de x, denotada por [x], e definida como o

maior numero inteiro menor ou igual a x. Por exemplo: [3/2] = 1, [4] = 4, [−3] = −3, [−9/10] = −1,

[π] = 3, [√

26] = 5, etc.

Prove que, dados x, y ∈ R quaisquer, temos [x+ y] ≥ [x] + [y].

Outros exercıcios:

Guidorizzi, pagg. 10-14, num. 1-23, faca alguns; pagg. 29-30, num. 1-12, faca alguns.

2. Quarta feira 6 marco 2013

Definicao de raiz n-esima. Dados um numero inteiro n ≥ 1 e um numero real nao negativo x, a

raiz enesima de x, em sımbolos n√x, e o numero nao negativo y tal que yn = x.

Teorema – Existencia e unicidade da raiz n-esima. (Sem demonstracao.) Dado um numero real

nao negativo x existe e e unica a raiz enesima de x.

3

Observacao: e facil ver que se x < 0 e n e par, nao existe a raiz n-esima de x. Por outro lado, se

n e impar, pode ser definida n√x = − n

√−x. Note que o termo n

√−x e a raiz definida acima, sendo −x

positivo.

Exercıcio 26. Provar que, dado x > 0, a raiz quadrada de x e unica (sugestao: usar a propriedade

que liga o ordenamento e o produto).

Dados a e b reais, definicao de intervalo de extremos a e b:

[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b},

(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}, (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.O primeiro e dito fechado, o quarto e dito aberto. Intervalos ilimitados:

[a,+∞) = {x ∈ R : a ≤ x}, (a,+∞) = {x ∈ R : a < x},

(−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}, (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}.Observacao: +∞ e −∞ nao sao numeros.

Definicao de funcao. Dados A e B conjuntos quaisquer, uma funcao f : A → B e una lei que a

cada elemento de A associa um e so um elemento de B.

A se chama domınio da funcao, B e dito contradomınio. O conjunto dos valores atingidos por f se

chama imagem de f , Im (f) ou f(A), ou seja:

Im (f) = {y ∈ B : existe x ∈ A tal que f(x) = y}.

Im (f) e um subconjunto do contradomınio (pode ser igual).

A funcao e dita injetora se, para todos a, b ∈ A, tais que a 6= b, temos f(a) 6= f(b). E dita sobrejetora

se Im (f) = B. Se f e injetora e sobrejetora e chamada bijetora (ou correspondencia biunıvoca).

Definicao. Dado um subconjunto E de R, uma funcao real e uma funcao f : E → R.

Exemplos.

(1) f : R→ R, f(x) = x.

(2) f : R→ R, f(x) =√x, nao e uma funcao. De fato, para cada x < 0,

√x nao existe.

(3) Pelo contrario, e bem definida a funcao f : [0,+∞)→ R, f(x) =√x.

(4) f : R→ R, f(x) = x2. Im (f) = [0,+∞).

(5) f : [0, 1] → R, f(x) = x2. O domınio e a imagem desta funcao sao diferentes dos aqueles do

exemplo anterior. Se duas funcoes tem domınios diferentes sao duas funcoes, ainda se possuem a

mesma lei.

(6) f : R→ R, f(x) =

{1/x se x 6= 0

0 se x = 0.

(7) f : [0, 4]→ R, f(x) =

{x+ 3 se 0 ≤ x ≤ 3

x2 − 5 se 3 < x ≤ 4.

E dito grafico de f o subconjunto de R2

G(f) = {(x, y) ∈ R2 tal que x ∈ E, y = f(x)}.

Exercıcios: dadas as funcoes seguintes, calcule a imagem dos conjuntos indicados ao lado

4

27. x3 + 2, (−1, 1) 28. x+ 3, [0, 5]

29. 2|x|, (−1, 3) 30. x2 + |x|, (−3, 2)

31. [x− 2]2, (−2, 2] 32. (difıcil) x(x− [x]), (−1,+∞)

No exercıcio acima [x− 2] e a parte inteira de x− 2.

Exercıcio 33. Uma funcao f : R→ R e chamada par se f(x) = f(−x), para todo x. E chamada impar

se f(x) = −f(−x), para todo x. Prove que x2 + 1 e par e quex3 − xx2 + 1

e impar.

Sejam A, B dois conjuntos, e f : A → B uma funcao dada. Dado um subconjunto C de B, e dito

imagem inversa de C o conjunto {x ∈ A : f(x) ∈ C}.

Dada f : E → R e dado um suconjunto B de E, a funcao g : B → R, definida por g(x) = f(x) para

todo x ∈ B e dita restricao de f em B, o sımbolo e f |B .

Se f : A → B e injetora, definimos a funcao inversa de f como a funcao g : Im f → A que associa a

cada y ∈ Im f o unico x ∈ A tal que f(x) = y. Neste caso f e tambem chamada inversıvel e a funcao

inversa e denotada, em geral, por f−1.

Observacao: cuidado em nao fazer confusao entre a imagem inversa (de um conjunto) que sempre e

um conjunto e a funcao inversa, quando existe, que e uma funcao. A notacao nao ajuda, sendo f−1 o

mesmo sımbolo para os dois conceitos.

Sejam duas funcoes f : A → R e g : B → R, tais que Im f ⊆ B. Definimos funcao composta

g ◦ f : A→ R, a funcao

(g ◦ f)(x) = g(f(x)).

Analogamente, se Im g ⊆ A, definimos f ◦ g : A→ R como (f ◦ g)(x) = f(g(x)).

Uma funcao f : E → R e dita monotona crescente (resp. estritamente crescente) se, para cada x1, x2em E, com x1 < x2, resulta f(x1) ≤ f(x2) (resp. f(x1) < f(x2)).

Uma funcao f : E → R e dita monotona decrescente (resp. estritamente decrescente) se, para cada

x1, x2 em E, com x1 < x2, resulta f(x1) ≥ f(x2) (resp. f(x1) > f(x2)).

Exercıcio 34. Estudar a monotonia das funcoes seguintes:

(1) f : R→ R, f(x) = x2,

(2) f : [2, 6]→ R, f(x) = x4,

(3) f : [0,+∞)→ R, f(x) =√x,

(4) f : (−∞,−2), f(x) =√−x,

(5) f [−5,−4] ∪ [1, 2], f(x) = 1/x.

Exercıcio 35. Desenhar os graficos das funcoes acima.

Exercıcio 36. Provar que a soma e de duas funcoes crescentes e uma funcao crescente. A composicao

de duas funcoes crescentes e uma funcao crescente? E o produto?

Exercıcios: dadas as funcoes seguintes, calcule a imagem inversa dos conjuntos indicados

ao lado

37. 2− x, (−10, 3] 38. x2 − x+ 3, (0, 5)

5

39.x

x− 2, R 40.

√|x− 1|, [0, 1]

41. [1 + x2], (1, 4) 42. sign (x2 − 2), (1/2, 2)

Escreva as composicoes f ◦ g e g ◦ f das funcoes seguintes, determinando os domınios das

funcoes obtidas

43. f(x) = x+ x3, g(x) = 3− x 44. f(x) = x2, g(x) =√x

45. f(x) =x+ 1

x− 1, g(x) = 2− x2 46. f(x) =

1

x2, g(x) = (

√x)2

47. f(x) =1 + x

x, g(x) = 2− x 48. f(x) = 2x, g(x) = 3x− 1

Escreva as funcoes seguintes como composicao de funcoes. (As composicoes obtidas

podem nao ser as unicas possıveis.)

49.x2√x2 − 1

50. x4

Determine, para cada funcao seguinte, o maior domınio onde e inversıvel.

51. f(x) =

{x+ 2 se 0 < x < 1

x+ 1 se 2 < x < 352. f(x) =

{x2 se − 1 < x ≤ 0

x− 1 se 1 ≤ x < 2

Exercıcio 53. Provar que uma funcao estritamente crescente ou decrescente e inversıvel. Se

f : A→ R e inversıvel, necessariamente e estritamente monotona? Procure exemplos.

Exercıcio 54. A funcao f : R→ R, definida como f(x) = x2 e invertıvel?

Exercıcio 55. A funcao f : R→ R, definida como f(x) = x3 e invertıvel?

Exercıcio 56. A funcao f : [−3,−2] ∪ [0, 1]→ R, definida como f(x) = x2 e invertıvel?

Exercıcio 57. A funcao f : R→ R, definida como f(x) =√|x| e invertıvel?

Exercıcio 58. A funcao f : [0,+∞)→ R, definida como f(x) =√x3 + x4 + 2 e invertıvel?

Outros Exercıcios:

Guidorizzi, pag. de 49 a 55, faca alguns.

Stewart, pag. 23 e 24, faca alguns dos exercıcios da cada grupo, a partir do num. 21 ate o fim. Pag. 47

e 48, faca alguns dos exercıcios entre 1 e 12; entre 35 e 53, e 59a

3. Sexta-feira 8 marco 2013

Exercıcio 59. (feito em sala de aula) Determine a imagem inversa f−1([1, 2]), onde f(x) =x+ 1

x2 + 1.

Observacao: Facam atencao: infelizmente o sımbolo “f−1” pode representar duas coisas bem difer-

entes: seja a imagem inversa de um conjunto (ou de um ponto), seja a funcao inversa de f (quando f e

inversıvel ou injetora, o que e a mesma coisa). No exercıcio acima podemos escrever

f−1([1, 2]) = {x ∈ R : f(x) ∈ [1, 2]}.

Uma outra famılia de funcoes sao as potencias com expoente racional. Se n e inteiro, n ≥ 1, sabemos

que existe e e unica a raiz n-esima de x (veja-se o teorema da pagina ??). Portanto e definida a funcaon√x. Se n e par, o domınio e [0,+∞), se n e impar, o domınio e R. A raiz n

√x pode ser denotada pelo

sımbolo x1n .

6

Dado um racional positivo qualquer, m/n, onde m e n sao primos ente si, e definida a funcao xm/n =n√xm, cujo domınio e [0,+∞) se n e par, enquanto e R se n e impar.

Dado um racional negativo, m/n, onde m,n ∈ Z sao primos ente si, e definida a funcao xm/n =1

x−m/n,

cujo domınio e (0,+∞) se n e par, enquanto e R\{0} se n e impar.

O leitor deve entender que a definicao acima e totalmente abstrata. Se a potencia com expoente inteiro

e positivo e simplesmente uma maneira de escrever mais rapidamente um produto de fatores iguais, a

potencia com expoente inteiro e negativo, ou mais em geral, racional (positivo ou negativo) ou com

expoente nulo nao sao produtos.

A razao que jusifica a definicao acima de ar, r ∈ Q, e a necessidade de definir uma funcao que verifique

as propriedades das potencias e que seja uma extensao do caso com expoente inteiro e positivo.

Observacao: para nao correr o risco de encontrar raizes com ındice par de numeros negativos, a

potencia ar sera definida (exceto casos muito particulares) geralmente com a positivo.

Resumindo, a potencia com expoente racional verifica as propriedades seguintes: para cada

1) a0 = 1;

2) ∀r ∈ R, 1r = 1;

3) ∀r ∈ R, ar > 0;

4) ∀r1, r2 ∈ R, ar1+r2 = ar1ar2 ;

5) ∀r ∈ R, (ab)r = arbr;

6) ∀r1, r2 ∈ R, (ar1)r2 = ar1r2 ;

7) ∀r1, r2 ∈ R, tali che r1 < r2: se a > 1 allora ar1 < ar2 , mentre se a < 1 allora ar1 > ar2 ;

8) ∀r ∈ R, r > 0, se a < b allora ar < br.

Lembramos que 0n = 0 se n e inteiro e positivo. Por outro lado a operacao 00 nao faz sentido.

Exercıcio 60. O leitor pode tentar dar uma justificativa do fato que 00 nao pode ser definido?

Exercıcio 61. E um interessante exercıcio para o leitor provar as propriedades 7 e 8 acima.

Observacao: A propriedade 7 quer dizer que a funcao f : Q → R, definida por f(r) = ar e estrita-

mente crescente se a > 1, estritamente decrescente se 0 < a < 1. A propriedade 8 quer dizer que a funcao

g : [0,+∞)→ R, definida por g(x) = xr, onde r e racional positivo fixado, e estritamente crescente.

A funcao ar onde a variavel e o expoente e a base e fixada se chama funcao exponencial, enquanto xr,

onde a base e variavel e o expoente e fixado, se chama funcao potencia.

As potencias com expoente racional podem ser estendidas as potencias com expoente real, da maneira

seguinte. Seja a ∈ R, a > 0 e seja b ∈ R. Por exemplo suponhamos a > 1. O numero b pode

ser representado em notacao decimal b = b0, b1b2..., onde b0 e inteiro e os bi, i ≥ 1, sao as cifras

decimais alinhadas (as cifras decimais podem ser finitas, ou seja, B pode ser racional, nao necessariamente

irracional). Sendo a > 1, a seqencia de numeros ab0 , ab0,b1 , ab0,b1b2 , ... etc. e crescente.

Poderia provar-se (nao entramos nos detalhes, nao e tao facil) que a sequencia acima ”tende”, quando

n crescer, para um numero real. Este numero real sera definido como ab.

A definicao de ab no caso 0 < a < 1e analoga, so que a sequencia de potencias considerada decresce.

Enfim, com o memso processo, chegamos a definir que 1b = 1.

Observacao: a funcao exponencial ax e estritamente crescente em R se a > 1 e estritametne decres-

cente se 0 < a < 1. Em ambos os casos e inversivel. Mais em geral, poderia provar-se que as potencias

com expoente real verificam todas as propriedades 1-8 acima (nao damos aqui a demonstracao).

7

Seja a positivo fixado e a 6= 1. A funcao inversa de ax e chamada logaritmo em base a de x. Sendo

(0,+∞) a imagem de ax (seja com a > 1 que com 0 < a < 1), o domınio do logaritmo e (0,+∞) enquanto

a imagem do logaritmo e tudo R porque o domınio de ax e R.

Exercıcio 62. O leitor refleta sobre o fato acima e prove entende-lo com clareza.

O sımbolo da funcao logaritmo e loga x

Exercıcio 63. Usando o fato que ax e estritamente crescente em R se a > 1 e estritamente decrescente

se 0 < a < 1, prove que loga x e estritamente crescente em (0,+∞) se a > 1 e estritamente decrescente

se 0 < a < 1.

O logaritmo satisfaz as propriedades seguintes que podem ser obtidas diretamente das propriedades

das potencias.

1) ∀a, x, y ∈ R, a > 0, x > 0, y > 0, segue loga(xy) = loga x+ loga y;

2) ∀a, x, y ∈ R, a > 0, x > 0, y > 0, segue loga(x/y) = loga x− loga y;

3) ∀a, x, α ∈ R, a > 0, x > 0, segue loga(xα) = α loga x;

4) ∀a, b, x ∈ R, a > 0, b > 0 x > 0, segue loga x = loga b · logb x.

Exercıcio 64. Prove as propriedades do logaritmo.

graficos de f(x) = ax e f(x) = loga x, con a > 1 e a < 1.

-

6

y = ax, a > 1 y = ax, a < 1

-

6 y = loga x, a > 1

y = loga x, a < 1

Observacao: observando o tipo de “curvatura” dos graficos acima, dizemos que, ax e uma funcao

convexa; o logaritmo e convexo se 0 < a < 1, enquanto e concavo se a > 1. As informacoes que temos

agora nao permitem esclarecer a razao destas afirmacoes. Precisa o conceito de derivada de uma funcao,

que sera introduzido depois.

As funcoes trigonometricas. Seja a circunferencia C do plano cartesiano, com centro na origem e raio

1, dita circunferencia trigonoometrica. Observando a figura, A e o ponto de coordenadas (1, 0) enquanto

P e um ponto qualquer em C. Movendo-se P sobre a circunferencia, o arco de extremos A e P no sentido

anti-horario, tem um comprimento entre 0 e 2π.

8

-

6

��

��

AO

P

Chamo x este comprimento, portanto x ∈ [0, 2π]. Definimos o seno de x, senx, como a ordenada de

P , e o cosseno de x, cosx, como a abscissa di P .

O domınio pode ser estendido de [0, 2π] a R.

Outros Exercıcios:

Guidorizzi, pag. 66/7, faca alguns.

Stewart, pag. 23 e 24, faca alguns dos exercıcios da cada grupo, a partir do num. 21 ate o fim. Pag. 47

e 48, faca alguns dos exercıcios entre 1 e 12; entre 35 e 53, e 59a

4. Segunda-feira, 11 de marco de 2013

Em relacao a construcao das potencias com expoente real podemos dizer que a expressao 00 nao tem

significado. Isso porque queremos que a potencia ab mude ”com continuidade” se mudam a ou b.

Se olhamos 01/n, nao temos problemas em dizer que 01/n = 0 (simplesmente pela definicao de raiz).

Quando n tende para +∞, 1/n tende para zero. Portanto um valor coerente de 00 seria zero. Por outro

lado a0 = 1 para qualquer a > 0. Neste caso, como a0 fica constante igual a 1 mesmo quando a tende

para zero, um valor coerente de 00 seria 1. Como estamos vendo, nao temos possibilidade de definir 00

que esteja de acordo com as outras propriedades.

Seja agora E um subconjunto de R. Um numero real M e dito majorante de E se x ≤ M para todo

x ∈ E. Um numero real m e dito menorante de E se x ≥ m para todo x ∈ E.

Um conjunto E e dito limitado superiormente se admite pelo menos um majorante, enquanto e dito

limitado inferiormente se admite pelo menos um menorante. E dito limitado se e limitado superiormente

e inferiormente.

Se E e limitado superiormente definimos supremo de E, supE, o mınimo dos majorantes; se E e

limitado inferiormente definimos ınfimo de E, inf E, o maximo dos minorantes. Se E e ilimitado superi-

ormente escrevemos supE = +∞, se E e ilimitado inferiormente escrevemos inf E = −∞.

O maximo de um conjunto E e o elemento maior, se existe, enquanto o mınimo e o elemento menor,

se existe.

Um conjunto e dito finito se possui um numero finito de elementos.

Propriedade de continuidade de R (sem prova): um conjunto de numeros reais, limitado supe-

riormente (inferiormente) admite supremo (ınfimo) em R.

9

Q nao verifica a propriedade de continuidade. Verifique este fato como exercıcio. E uma consequencia

do fato que, por exemplo, nao existe nenhum racional cujo quadrado seja 2.

Exercıcio Determine o supremo e o ınfimo dos conjuntos seguintes e, se existem, o maximo e o mınimo.

65. (2, 3) 66. [0,+∞)

67. [−5, 1) ∪ (1, 4] 68. (0, 3] ∪ [3, 5]

69.

{1− 1

n, n ≥ 1

}70.

{1 +

1

n, n ≥ 1

}71. {x ∈ Q : x2 < 2} 72.

{2n

n2 + 1, n ∈ N

}Uma funcao e dita limitada (superiormente, inferiormente) se a imagem dela e limitada (superior-

mente, inferiormente). Neste caso o supremo (ınfimo) de f , sup f (inf f) e, por definicao, o supremo

(ınfimo) de Im f .

***********

As funcoes senx e cosx sao definidas em R com imagem igual ao intervalo [−1, 1]; sao periodicas com

perıodo 2π.

Consequencia imediata do teorema de Pitagora: sen 2x+ cos2 x = 1 para todo x ∈ R.

As formulas algebricas das funcoes trigonometricas podem ser provadas usando a ferramenta classica

da geometria euclidiana. Vamos lembrar algumas delas, sem prova.

Dados x, y ∈ R,

adicao:

sen (x+ y) = senx cos y + sen y cosx, cos(x+ y) = cosx cos y − senx sen y;

prostaferese

senx− sen y = 2 cosx+ y

2sen

x− y2

, cosx− cos y = −2 senx+ y

2sen

x− y2

.

Exercıcio 73. Determine sen 2x e cos 2x em funcao de senx e cosx (formulas de duplicacao).

Determine senx

2e cos

x

2em funcao de senx e cosx (formulas de divisao).

Uma outra funcao trigonometrica e a tangente:

tgx =senx

cosx,

definida quando o coseno nao e nulo; portanto o domınio e o conjunto{x ∈ R : x 6= π

2+ kπ, k ∈ Z

}.

Exercıcio 74. Provar que a tangente e periodica com perıodo π. Dica: use as formulas de duplicacao.

A funcoes trigonometricas nao sao invertıveis (porque sao priodicas). Porem, observamos que senx

e estritamente crescente em [−π/2, π/2]. Entao, a restricao de senx a [−π/2, π/2] e invertıvel. A sua

funcao inversa se chama arcoseno, arcsen : [−1, 1]→ R com imagem igual a [−π/2, π/2].

Analogamente, cosx e invertıvel em [0, π]. A sua funcao inversa se chama arcocosseno, arccos :

[−1, 1]→ R, com imagem [0, π].

10

A tangente e invertıvel em (−π/2, π/2). A sua funcao inversa se chama arcotangente, arctg : R→ R,

e tem imagem (−π/2, π/2).

graficos de f(x) = senx e f(x) = cosx.

-

6

y = senx

-

6

y = cosx

grafico de f(x) = tgx.

-

6

y = tgx

graficos de f(x) = arcsenx, f(x) = arccosx e f(x) = arctgx.

-

6

-

6

-

6

Exercıcio 75. Desenhe o grafico de f(x) = [2x+ 1] (parte inteira).

Exercıcio (difıcil) 76. Desenhe o grafico de f(x) = 1 + 2

[x

1 + x2

](parte inteira).

Exercıcios. Diga se as funcoes seguintes sao periodicas. Se sim, encontre o perıodo.

77. x cosx, 78. 6 sen 2x,

79. 1 + tgx, 80. sen (x2),

81. 4, 82. [x],

83. cos 4x, 84. sen (3x).

Exercıcios. Diga se as funcoes seguintes sao pares ou impares.

11

85. x2 + 1, 86.senx

x,

87.x3 − xx2 + 1

, 88. [x],

89. senx2, 90. cos 3x.

Exercıcio 91. Determine alguns exemplos de funcoes injetoras e nao monotonas.

Exercıcio 92. Em relacao aos graficos acima, dados os graficos das funcoes exponenciais e trigono-

metricas, justifique os desenhos dos graficos das funcoes inversas.

Exercıcios. Escreva as funcoes seguintes como soma de uma funcao par e de uma impar.

93. x2 − x+ 3 94.x− 1

x2 + 1

95. sen 2x+ cosx

2− x 96. f(x)

No ultimo exercıcio (que e difıcil) f(x) e uma funcao qualquer. Pede-se que f seja escrita como g + h

onde g e par e h e impar e as duas funcoes sao obtidas atraves de operacoes algebricas oportunas sobre

f .

Exercıcios

97. Desenhe os graficos das funcoes f(x) = max{x, x2} e g(x) = max{|x|, x2}

98. Desenhe o grafico de |2x+ 3| − 2x

99. Dada f(x) = x2 + 2x, determine a imegaem inversa de (0, 3)

100. Determine o perıodo de cos 3x

Exercıcios Desenhe os grafico das funcoes seguintes.

101. sen (2x), 102. cos(x/2), 103. | senx|, 104. 2 cosx, 105.1

xsenx,

106. sen1

x, 107. x2 sen

1

x, 108. x+ senx, 109. x senx.

Exercıcios Determine a inversa (se existir) das funcoes seguintes.

110. 3x, 111. 1 − 2x, 112. x2 − 1, 113.x− 1

x+ 2, 114. arctgx, 115. 1/x,

116. x− |x|, 117. 2x− |x|, 118. 1 + log10(1 + x), 119.2x

1 + 2x.

Exercıcio 120. Desenhe o grafico de f(x) = arcsen ( senx) (precisa pensar com calma sobre o fato

que seno e arcoseno sao uma a inversa da outra – claramente quando seno e restrito ao domınio onde e

inversıvel)

121.√x− 2,

Exercıcios Determine o domınio das funcoes seguintes:

122.√x− 2, 123.

√x3|x| − 1, 124. 5

√x− 2

x− 1, 125. arcsen (1+x), 126. x sen

√1−x,

127. log(1 + 3x), 128. log arctg (1− x2), 129. arccosx

x+ 1.

12

Outros Exercıcios:

Stewart, pag. 78, do num. 11 ao num. 20, e 23, 24, 25, 26; pag. 76, faca alguns (sao todos importantes).

5. Quarta-feira 13 de marco de 2013

Como foi dito para mim, o exercıcio 6 esta errado. A versao correta e a seguinte:

Sejam dados quatro numeros reais positivos a, b, c, d. Prove que

min{ab,c

d

}≤ a+ c

b+ d≤ max

{ab,c

d

}.

O sımbolo acima min{ab,c

d

}denota o mınimo entre

a

bec

d. Analogamente o outro.

Observacao: a expressao log x (ou seja, sem denotar a base) significara logaritmo em base e. Nos

livro e muitas vezes denotado por lnx. Eu do contrario usarei a notacao log x.

Introducao ao conceito de limite de uma funcao.

Primeiro tipo de limite.

Definicao 1. Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I (as duas condicoes nao sao

necessariamente alternativas). Seja f : I → R uma funcao dada. O numero real l e dito limite de f(x)

para x que tende para x, em sımbolos escreve-se

limx→x

f(x) = l,

se, para cada ε > 0, esiste δ > 0 tal que |f(x)− l| < ε para cada x ∈ I, tal que 0 < |x− x| < δ.

Exercıcios: prove, usando a definicao de limite, que os limites seguintes sao corretos.

130. limx→3

x = 3 131. limx→0

x2 = 0

132. limx→0|x| = 0 133. lim

x→0x2/|x| = 0

Observacao: os exercıcios acima sao difıceis; nao se preocupe se nao conseguir

Exercıcios: tente justificar o fato que os limites seguinte nao existem.

134. limx→0

1

xnao existe 135. lim

x→2[x] nao existe

Segundo tipo de limite.

Definicao 2. Seja f : (a,+∞)→ R uma funcao dada. O numero real l e dito limite de f(x) para x que

tende para +∞, em sımbolos escreve-se

limx→+∞

f(x) = l,

se, para cada ε > 0, esiste r ∈ R tal que |f(x)− l| < ε para cada x ∈ (a,+∞), tal que x > r.

13

Exercıcio 136. Escreva a definicao acima no caso analogo onde x tende para −∞

Exercıcio 137. Prove, usando a definicao de limite, que limx→+∞1

x= 0.

Terceiro tipo de limite.

Definicao 3. Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Seja f : I → R uma funcao dada.

Dizemos que +∞ e o limite de f(x) para x que tende para x, em sımbolos escreve-se

limx→x

f(x) = +∞,

se, para cada m ∈ R, esiste δ > 0 tal que f(x) > m para cada x ∈ I, tal que 0 < |x− x| < δ.

Exercıcio 138. Escreva a definicao acima no caso analogo onde o limite e −∞.


139. limx→0

1

x2= +∞ 140. lim

x→+∞

1

x2= 0

Quarto tipo de limite.

Definicao 4. Seja f : (a,+∞) → R uma funcao dada. Dizemos que +∞ e o limite de f(x) para x que

tende para +∞, em sımbolos escreve-se

limx→+∞

f(x) = +∞,

se, para cada m ∈ R, esiste r ∈ R tal que f(x) > m para cada x ∈ (a,+∞), tal que x > r.

Exercıcio 141. Escreva a definicao acima nos casos analogos onde x tende para −∞ e o limite e

−∞ (quantos sao os casos?)


142. limx→0

1

x4= +∞ 143. lim

x→+∞x = +∞

144. limx→−∞

x2 = +∞ 145. limx→+∞

x

x+ 1= 1

Observacao: e importante destacar que a definicao de limite nao cuida do valor da funcao no ponto

x. A funcao pode nao ser definida (como no caso 1/x e no estudo para x→ 0) ou pode ser definida e ter

valor diferente do limite, que, de fato, estuda o comportamento da funcao quando x tende para x. Por

exemplo, dada

f(x) =

{x+ 2 se x 6= 4

1 se x = 4

(que, repito, e uma funcao, nao sao duas funcoes), podemos provar que limx→4

f(x) = 6 (e nao 1).

Vamos agora apresentar uma lista de limites. Sao resultados que podem ser provados so atraves da

definicao. Nao vamos entrar em detalhes. O leitor usara os limites desta lista como ferramenta (junta

com outras ferramentas que iremos ver) para abordar limites mais complexos.

14

limx→x

x = x;

limx→x

ax = ax, para cada a > 0, a 6= 1;

limx→x

loga x = loga x, para cada a > 0, a 6= 1 x > 0;

limx→x

senx = senx;

limx→x

cosx = cosx;

limx→+∞

ax = +∞, se a > 1; limx→+∞

ax = 0, se 0 < a < 1;

limx→−∞

ax = 0, se a > 1; limx→−∞

ax = +∞, se 0 < a < 1;

limx→+∞

loga x = +∞, se a > 1; limx→+∞

loga x = −∞, se 0 < a < 1;

limx→0

loga x = −∞, se a > 1; limx→0

loga x = +∞, se 0 < a < 1;

limx→±∞

senx nao existe; limx→±∞

cosx = nao existe.

Teorema (Algebra dos limites - formas finitas) (sem demonstracao)

Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Sejam f, g : I → R duas funcoes dadas; ou

sejam f, g : (a,+∞)→ R ou f, g : (−∞, b)→ R. Sejam dados os limites

limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = l ∈ R, e limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = m ∈ R.

Entao,

(1) limx→x(ou x→±∞)

(f(x) + g(x)) = l +m (soma);


(f(x)− g(x)) = l −m (diferenca);


(f(x) · g(x)) = l ·m (produto);


(f(x)/g(x)) = l/m, se m 6= 0 (razao).

Os limites limx→x

x = x e, dada uma constante real a, limx→x

a = a podem ser provados so usando a definicao.

A partir dos dois resultados, todos os limites de polinomios e funcoes racionais (razoes de polinomios),

se sao das formas finitas acima, podem ser obtidos usando a algebra dos limites.

6. Sexta-feira 15 de marco de 2013

Um outra lista de limites que vamos dar sem prova e a seguinte:

seja α ∈ R fixado e a funcao xα definida in (0,+∞). Entao:

limx→x

xα = xα;

limx→+∞

xα = +∞, se α > 0; limx→+∞

xα = 0, se α < 0;

Observacao: o leitor pode observar facilmente que, no caso que α ∈ Z, os limites acima podem ser

deduzidos sabendo que limx→x

x = x e usando a algebra dos limites no caso do produto. Se o expoente nao

for inteiro precisa usar a definicao para provar os limites acima.

15

Exercıcio 146. Nos casos particulares em que o expoente seja de formas oportunas, o domınio da

funcao xα pode nao ser limitado ao intervalo (0,+∞). Analize os varios casos e determine as varias

extensoes possıveis do domınio.

Algebra dos limites - formas infinitas: resolvıveis e indeterminadas (sem demonstracao)

Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Sejam f, g : I\{x} → R duas funcoes dadas; ou

sejam f, g : (a,+∞)→ R ou f, g : (−∞, b)→ R. Temos os casos seguintes:

1) se limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = +∞, e limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = m ∈ R, entao limx→x

(ou x→±∞)

(f(x) + g(x)) = +∞;

2) se limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = −∞, e limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = m ∈ R, entao limx→x

(ou x→±∞)

(f(x) + g(x)) = −∞;

3) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = +∞, entao limx→x

(ou x→±∞)

(f(x) + g(x)) = +∞;

4) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = −∞, entao limx→x

(ou x→±∞)

(f(x) + g(x)) = −∞;

Produto: limx→x(ou x→±∞)

(f(x) · g(x)) = +∞ nos casos seguintes:

5a) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = m ∈ R, m > 0;

5b) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = m ∈ R, m < 0;

5c) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = +∞;

5d) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = −∞;

limx→x(ou x→±∞)

(f(x) · g(x)) = −∞ nos casos seguintes:

6a) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = m ∈ R, m > 0;

6b) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = m ∈ R, m > 0;

6c) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = −∞;

Quociente: limx→x(ou x→±∞)

(f(x)/g(x)) = +∞ nos casos seguintes:

7a) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = m ∈ R, m > 0;

16

7b) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = m ∈ R, m < 0;

7c) se limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = +∞ ou l > 0, e limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = 0, com sinal positivo em um intervalo (x−δ, x+δ);

7d) se limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = −∞ ou l < 0, e limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = 0, com sinal negativo em um intervalo (x−δ, x+δ);

limx→x(ou x→±∞)

(f(x)/g(x)) = −∞ nos casos seguintes:

7a) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = m ∈ R, m > 0;

7b) se limx→x

(ou x→±∞)


(ou x→±∞)

g(x) = m ∈ R, m < 0;

7c) se limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = −∞ ou l < 0, e limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = 0, com sinal positivo em um intervalo (x−δ, x+δ);

7d) se limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = +∞ ou l > 0, e limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = 0, com sinal negativo em um intervalo (x−δ, x+δ);

Os casos acima representam as formas resolvıveis porque conseguimos estabelecer uma regra geral.

Os casos abaixo sao as assim chamadas formas indeterminadas. Nao temos de fato a possibilidade de

escrever uma algebra dos limites para as formas seguintes. A existencia e o valor dos limites nos casos

seguintes depende do exercıcio:

+∞−∞, 0 · (±∞), ±∞/±∞, 0/0.

Exercıcios: calcule os limites seguintes (se existem)

147. limx→0

x

x+ 1148. lim

x→1

x2 + 1

x− 1

149. limx→0

x3 + x+ 3

4x2 − 2x+ 1150. lim

x→+∞

2x+ x2

2x2 + x− 1

151. limx→+∞

x3 + 3x− 2

x2 − 2x+ 1152. lim

x→0

x2 + x− 4

2x2

153. limx→2

x2 + x− 5

x2 − 4x+ 4154. lim

x→a

ex√x2 + 2

155. limx→+∞

√x2 + 1− x 156. lim

x→+∞

√x2 + 1− 2x

157. limx→−∞

√x2 + 1− x 158. lim

x→+∞

x3 − 1

x2 − 1

Exercıcio 159. Prove a formula seguinte: (xn − 1) = (xn−1 + xn−2 + ... + x + 1)(x − 1), onde n e

inteiro positivo fixado. Procure uma formula analoga para a fatoracao de xn + 1

Outros exercıcios:

Guidorizzi, pag. 93, num. 1,4,5;

17

7. Segunda-feira 18 de marco de 2013

Aula de Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo

Excercıcios abordados e resolvidos em sala de aula.

1. Estude a inequacao√x− 1 < x− 3.

2. Prove que a soma de dois numeros racionais e racional. Prove que a soma de um numero racional

e um numero irracional e irracional.

3. Prove que [x] + [y] ≤ [x+ y] para todo x, y ∈ R ([x] denota a parte inteira de x).

4. Determine a imagem do intervalo (−1, 1) atraves da funcao x3 + 2. Para abordar o exercıcio uma

tecnica possıvel e a seguinte: use a propriedade do ordenamento dos numeros reais segundo a qual ac ≤ bcse a ≤ b e c > 0. Use para provar que x3 (e consequentemente x3 + 2) e uma funcao crescente.

5. Determine a imagem do intervalo (−2, 1] atraves da funcao [x − 2]2 (de novo [·] denota a parte

inteira).

6. Determine a imagem inversa de (0, 5) atraves da funcao x2 − x+ 3.

7. Escreva f(x) =x− 1

x2 + 1como soma de uma funcao par e de uma impar.

8. Desenhe o grafico da funcao f(x) = max{x, x2} e da funcao g(x) = max{|x|, x2}.

9. Calcule o domınio de arccosx

x+ 1.

8. Quarta-feira 20 de marco de 2013

Teorema do confronto. (com prova do primeiro resultado feita na sala de aula e que pode

ser cobrada nos exercıcios das provas)

Primeiro resultado.

Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Sejam f, g, h : I → R funcoes dadas. Suponhamos

que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para cada x. Sejam dados os limites

limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = l, e limx→x

(ou x→±∞)

h(x) = l, onde l ∈ R.

Entao,

limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = l.

Exercıcio 160. Em sala de aula foi provado o caso x→ x. Prove o caso x→ +∞ ou x→ −∞

Segundo resultado.

Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Sejam f, g : I → R funcoes dadas. Suponhamos

que f(x) ≤ g(x) para cada x. Seja dado o limite

limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = l ∈ R,

18

e suponhamos que exista o limite

limx→x

(ou x→±∞)

g(x).

Entao, este limite e ≥ l.

Terceiro resultado.

Seja I um intervalo de R e x ∈ I ou um extremo de I. Sejam f, g : I → R funcoes dadas. Suponhamos

que f(x) ≤ g(x) para cada x. Seja dado o limite

limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = +∞.

Entao,

limx→x

(ou x→±∞)

g(x) = +∞.

Exercıcio 161. Prove este terceiro resultado. Em seguida, de o enunciado no outro caso possıvel

(qual pode ser?).

Exercıcio 162. Prove, usando a definicao, que limx→0 |x| = 0.

Exercıcio 163. Prove, usando a definicao, que limx→+∞n√x = +∞, para cada n ≥ 1, n ∈ N.

Exercıcio 164. (dıficil) Prove, usando a definicao, que limx→+∞ senx nao existe (dica: senx tem

infinitas vezes os valores 1 e −1. Ou seja, imagens con distancia 2. Se o limite existisse, chamamos l ∈ Re se pegassemos ε < 1, senx deveria ficar, definitivamente, dentro de uma faixa de largura < 2... acerte

os detalhes).

Exercıcio 165. Usando o comportamento de senx, tente entender (e desenhar o grafico) o compor-

tamente de sen (1/x) quando, em particular, x e proximo de zero.

Aplicacao do teorema do confronto. (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada

nos exercıcios das provas): se f(x) e limitada e limx→x(ou x→±∞)

g(x) = 0, entao, limx→x(ou x→±∞)

(f(x)g(x)) = 0.

Exercıcios: calcule os limites seguintes (se existem)

166. limx→0

(x− 1)√x2 + 1 167. lim

x→+∞( senx+ x)

168. limx→1

x2 + 1

x− 1169. lim

x→−∞([x] + x)

170. limx→0

x2 + 1

x− 1171. lim

x→2x(x+ 2)(x− 3)

172. limx→1

x3 − 1

x2 − 1173. lim

x→0

3√

1 + x− 3√

1− xx

174. limx→0

√2 + x−

√2

x175. lim

x→0

1

x

(3x− 2

2x+ 3− 3x+ 2

2x− 3

)176. lim

x→0

1− cosx

x senx177. lim

x→π

1 + cosx

π − x

178. limx→0

1

1− cosx179. lim

x→02/|x|

19

180. limx→+∞

x2 + 3

4x2 + x181. lim

x→+∞

3− x3 − x1− 2x2

182. limx→+∞

(x2

x+ 1− x)

183. limx→+∞

x2 + senx

2x+ x2 + 3

184. limx→+∞

√1 + x2 +

√x√

x− x185. lim

x→−∞x(√

1 + x4 − x2)

Teorema (limite de funcoes compostas – sem prova). Seja f(x) dada e suponhamos que exista o limite

limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = l onde l ∈ R ou l = ±∞.

Seja g(x) uma outra funcao dada e suponhamos que exista o limite

limx→l

g(x) = m onde m ∈ R ou m = ±∞.

Suponhamos que a composicao g(f(x)) seja bem definida e que, se l ∈ R, f(x) 6= l para x 6= x e x proximo

de x. Entao,

limx→x

(ou x→±∞)

g(f(x)) = m.

Observacao: parece estranha a hipotese f(x) 6= l para x 6= x e x proximo de x. Todavia, se nao for

verificada a condicao, o limite da composicao pode nao ser m, como no caso seguinte:

f(x) = 0,∀x ∈ R, g(x) =

{0 se x 6= 0

1 se x = 0.

E facil ver que limx→0 g(f(x)) = 1, enquanto limx→0 g(x) = 0.

Uma condicao que pode substituir a condicao acima e g(l) = m, se m e l for reais. Esta condicao sera

encontrada no caso das funcoes contınuas.

Exemplos de limites que podem ser provados usando o teorema acima:

limx→+∞√x2 + 1, limx→0

senx2

x2, limx→0

sen 2x

3x, limx→0

1− cos√x

x.

Exercıcio 186. Calcule os limites acima, mostrando, nos detalhes, como e usado o teorema.

Definicao (limites direito e esquerdo)

Sejam I = (a, b) um intervalo aberto, x ∈ I e f : I → R uma funcao dada. Denotamos por

g : (x, b)→ R, g(x) = f(x)

a restricao de f a (x, b). Dizemos que l ∈ R ou l = ±∞ e o limite direito de f(x) para x que tende para

x, em sımbolos e

limx→x+

f(x) = l,

se

limx→x

g(x) = l.

Analogamente, denotamos por

h : (a, x)→ R, h(x) = f(x)

20

a restricao de f a (a, x). Dizemos que l ∈ R ou l = ±∞ e o limite esquerdo de f(x) para x que tende

para x, em sımbolos e

limx→x−

f(x) = l,

se

limx→x

h(x) = l.

Teorema (sem prova) Sejam I = (a, b) um intervalo aberto, x ∈ I e f : I → R uma funcao dada.

Entao,

limx→x

f(x) = l se e somente se limx→x+

f(x) = l = limx→x−

f(x).

Outros exercıcios:

Guidorizzi, pag. 94, num. 4, 5, 8; pag. 104, num. 1,2,3; pag. 108, faca alguns; pag. 112/3, faca alguns;

pag. 117, faca alguns; pag. 125/6, faca alguns.

Stewart, pag. 112/3, num. de 39 a 44, de 45 a 51.

9. Sexta-feira 22 de marco de 2013

Exercıcio 187. Diga se existe o limite seguinte:

limx→π

1 + cosx

π − x.

Exercıcio: calcule, se existem, os limites seguintes:

188. limx→+∞

( senx+ x) 189. limx→−∞

[x]− x2

190. limx→+∞

senx√x+ cosx

191. limx→−∞

(√x2 − 2x+ x)

192. Diga qual e, entre as seguintes, a definicao correta do limite limx→4

f(x) = 7.

a) Para cada λ e µ positivos, se |x−4| < µ

e x 6= 4 entao, |f(x)− 7| < λ.

b) Para cada λ > 0 e para cada µ > 0,

se |x− 4| < µ entao, |f(x)− 7| < λ.

c) Para cada µ > 0 existe λ > 0 e existe

x tal que |x− 4| < λ e |f(x)− 7| < µ.

d) Para cada µ > 0 existe λ > 0 tal que

se |x−4| < λ e x 6= λ entao, |f(x)−7| <µ.

e) Para cada µ > 0 existe λ > 0 tal que se

|x− 4| < λ e x 6= 4 entao |f(x)− 7| < µ.

f) Nenhuma das respostas acima e cor-

reta.

193. Suponhamos que

limx→+∞

f(x) = −∞.

Diga qual, entre as afirmacoes seguintes, e correta .

21

a) Se x > 0 entao f(x) < 0. b) Existe ε > 0 tal que f(x) < 0 para

cada x > ε.

c) Para cada ε > 0 existe η > 0 tal que

para x > η temos f(x) > ε > 0.

d) Nenhuma das respostas acima e cor-

reta.

194. Consideramos a proposicao seguinte: dadas f e g definidas em um intervalo I,

seja x0 ∈ I fixado. Suponhamos que f(x) ≥ g(x) para cada x e que limx→x0

f(x) = 0.

Entao, limx→x0

g(x) = 0. A proposicao e:

a) Verdadeira se colocamos a hipotese su-

plementar g(x) ≤ 0, ∀x ∈ I.

b) Verdadeira se colocamos a hipotese

suplementar g(x) ≥ 0, ∀x ∈ I.

c) Verdadeira sem necessidade de outras

hipoteses suplementares.

d) Verdadeira se colocamos a hipotese

suplementar f(x0) = g(x0) = 0.

e) Falsa, tambem colocando as hipoteses

suplementares acima.

195. Dada f : R→ R, suponhamos que limx→+∞

f(x) = −∞. Entao:

a) f e decrescente. b) limx→+∞

f(x2) = +∞.

c) ∀m ≥ 0, temos f(x) ≤ 0 se x ≥ m. d) ∀m ≥ 0 e ∀k ≥ 0 f(x) ≤ k se x ≥ m.

e) limx→−∞

f(x) = +∞ f) Nenhuma das respostas acima e cor-

reta.

196. Dada f : N → N, f(x) = x + 1 diga quais (podem ser mais que uma) das

afirmacoes sao corretas.

a) f e injetora. b) f e sobrejetora.

c) f e limitada inferiormente. d) A notacao f(x) = x+ 1 non faz sen-

tido porque o domınio e N e a variavel a

ser usada deve ser denotada por n.

Exercıcio 197. Procure uma f : R→ R que nao seja crescente, mas que verifique

limx→+∞

f(x) = +∞. Esta funcao deve ser definitivamente crescente? Isto e, existe r

tal que f e crescente em (r,+∞)?

Definicao de funcao contınua. Sejam I intervalo de R, f : I → R uma funcao dada e x ∈ I dado.

f e dita contınua em x sex→x

f(x) = f(x). f e dita contınua em I (ou, simplesmente, contınua) se e

contınua em todos os pontos de I.

O conceito de continuidade de uma funcao e pontual. Ou seja, dizemos que uma funcao e contınua

em um ponto. Outros conceitos, ja encontrados, sao so globais: invertibilidade, limitacao de uma funcao,

monotonia. Nao faz sentido, por exemplo, dizer que uma funcao e limitada (ou inversıvel, ou crescente)

em um ponto.

22

Exemplos: diretamente da definicao e de alguns limites das funcoes elementares, ja vistos nas

aulas anteriores (e dados sem prova) segue que sao contınuas: os polinomios P (x), as funcoes racionais

P (x)/Q(x) nos pontos x tais que Q(x) 6= 0, as raizes, as funcoes trigonometricas, as funcoes exponenciais

e logarıtmicas.

Definicao: se f : I → R e descontınua em x ∈ I, dizemos que x e um ponto de descontinuidade.

Portanto nao faz sentido dizer que x e um ponto de descontinuidade para f se x nao pertence ao

domınio da funcao.

Exercıcio 198. Determine em quais pontos sao contınuas as funcoes seguintes (determine, inclusive,

os pontos de descontinuidade):

f(x) = 1/x, f(x) =

{1/x se x 6= 0

0 se x = 0.g(x) =

{−x2 + 1 se x ≥ 2

1− 2x se x < 3.f(x) =

senx

x

g(x) =

{cosx se x > π

−1 se x < π.f(x) =

{x+ 3 se x > 1

2− x2 se x < 1.g(x) =

x2 se x > 1

1 se x = 1

x2 se x < 1.

Exercıcio 199. Determine em quais pontos sao contınuas a funcao sinal, a funcao parte inteira e a

funcao de Dirichlet (determine, inclusive, os pontos de descontinuidade).

Teorema (Algebra das funcoes contınuas – sem prova). Sejam f, g : I → R contınuas em um ponto

x ∈ I. Entao, sao contınuas em x: f + g, f − g, f · g, f/g se x 6= 0.

Teorema (sem prova). Seja f : I → R contınua em x ∈ I. Seja J um intervalo que contem Im f e

seja g : J → R contınua em y = f(x). Entao, g ◦ f e contınua em x.

Exercıcio 200. Determine em quais pontos sao contınuas as funcoes seguintes (determine, inclusive,

os pontos de descontinuidade):

f(x) =

{x/|x| se x 6= 0

0 se x = 0.f(x) =

x+ 2

|x|+ 1se x ≥ 0

2− x se x < 0.

f(x) =

{sen (1/x) se x 6= 0

0 se x = 0.

f(x) =

x+ |x|x2

se x 6= 0

0 se x = 0.f(x) = [x]2 − x2

Exercıcio 201. (muito dıficil) Seja f : (0, 1]→ R definida como

f(x) =

{1/n se x = m/n, m e n inteiros positivos e primos entre si (m ≤ n)

0 se x e irracional.

Prove que f e contınua nos pontos irracionais de (0, 1] e discontınua nos racionais.

Outros exercıcios:

Guidorizzi, pag. 81, num. de 5 a 12; e 27.

Stewart, pag. 133, num. de 15 a 20.

23

10. Segunda-feira 1 de abril de 2013



1. Calcule (se existir) limx→+∞

senx√x+ cosx


√1 + x2 +

√x√

x− x


x2 + senx

2x+ x2 + 3

4. Seja f : R→ R uma funcao que verifica a propriedade seguinte: limx→+∞)

f(x) = −∞. Diga se alguma

das afirmacoes seguintes e verdadeira:

a) f(x) < 0 para todo x real.

b) f(x) < 0 para todo x positivo.

c) existe ε > 0 tal que f(x) < 0 para todo x > ε.

5. Determine os pontos onde f(x) = 1/x e contınua onde nao e contınua e os pontos de descontinuidade.

(Dizer que x e um ponto onde f nao e contınua e a mesma coisa que dizer que x e um ponto de

descontinuidade?)

6. Diga se f(x) =x+ |x|x2

admite um ”prolongamento contınuo na origem”


3√

1 + x− 3√

1− xx

11. Quarta-feira 3 de abril de 2013

Teorema da conservacao do sinal para as funcoes contınuas. (com prova feita na sala de

aula e que pode ser cobrada nos exercıcios das provas) Sejam I intervalo e f : I → R contınua

em x ∈ I. Suponhamos f(x) 6= 0. Entao existe δ > 0 tal que f(x) tem o mesmo sinal de f(x) para todo

x ∈ (x− δ, x+ δ) ∩ I.

Teorema do anulamento para as funcoes contınuas. (com prova feita na sala de aula e

que pode ser cobrada nos exercıcios das provas) Seja f : [a, b]→ R contınua (em todo o domınio).

Seja f(a)f(b) < 0. Entao, existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Uma consequencia do teorema do anulamento e o resultado seguinte.

Teorema dos valores intermediarios para as funcoes contınuas. (sem prova) Seja I intervalo

(qualquer) e f : I → R contınua. Entao, f atinge todos os valores entre inf f e sup f

Lembramos que inf f e sup f sao, respectivamente, o ınfimo e o supremo de Im f . O teorema diz que

o intervalo aberto (inf f, sup f) e contido em Im f . Nao podemos saber, em geral, se [inf f, sup f ] = Im f

(ou um dos extremos pertence a imagem), porque nao sabemos a priori se f possui maximo ou mınimo.

Uma consequencia (corolario) imediato do teorema e que, dada uma funcao contınua definida em um

intervalo, a imagem e um intervalo.

24

Atencao ao fato que se o domınio nao e um intervalo, a imagem nao necessariamente e um intervalo.

Uma aplicacao importante do teorema dos valores intermediarios e a existencia da raiz quadrada de um

numero positivo qualquer. Para prova-lo, aplique o teorema a funcao x2 definida em (0,+∞) (lembrando

a definicao correta de raiz quadrada).

Uma outra aplicacao e a existencia de, pelo menos, uma solucao real de qualquer equacao polinomial

de grau impar. Devido ao fato que, se P (x) e um polinomio de grau impar, limx→+∞ P (x) = +∞ se o

coeficiente da potencia de grau maximo e positivo (−∞, se negativo) e limx→−∞ P (x) = −∞ (+∞, se

aquele coeficiente e negativo).

Podemos construir algoritmos para aproximar a raiz quadrada de um numero positivo, como para

aproximar as solucoes reais de equacoes polinomiais ou de equacoes mais complicadas (ex. x tgx = p,

onde p e dado).

Exercıcios:

202. Construa, como feito em sala de aula, algoritmos para aproximar a raiz quadrada de um numero

positivo e para determinar uma solucao (aproximada) de uma equacao polinomial de grau impar (escolha

o polinomio e o erro na aproximacao)

203. Prove que a equacao x3 + x = a possui uma e so uma solucao real para cada a ∈ R dado.

204. Seja f : R→ R contınua. Suponhamos que x− 5 < f(x) < x+ 1 para cada x ∈ R. Prove que a

equacao f(x) = 0 possui pelo menos uma solucao.

205. Procure Im f , onde f e a funcao do exercıcio acima.

206. Prove que a equacao x8 + 5x5 − 6x4 + 2x3 + 3x− 1 = 0 possui pelo menos uma solucao real.

* * *

E interessante a relacao entre continuidade e invertibilidade de uma funcao. E importante lembrar (ou

observar, se nao lembra) que e obvio que uma funcao estritamente monotona e inversıvel. O vice-versa e

falso.

Exercıcio 207. Consideramos as funcoes seguintes:

f(x) =

{x se x ∈ [0, 1)

x− 1 se x ∈ [2, 3]g(x) =

{x se x ∈ [0, 1)

3− x se x ∈ [1, 2]h(x) =

{x se x ∈ [0, 1)

5− x se x ∈ [2, 3]

Desenhe o grafico de f , g e h. Determine se sao contınuas, inversıveis, monotonas, e se o domınio

e um intervalo. Se sao inversıveis (ou algumas delas) determine as inversas, dizendo se sao contınuas,

monotonas, e se o domınio e um intervalo.

Em particular, a funcao f do exercıcio e contınua e inversıvel, mas a inversa e descontınua. A h e

contınua e inversıvel, mas nao e monotona. Esta falta de propriedade acontece porque o domınio nao e

um intervalo.

Teorema (monotonia de uma funcao inversıvel). (Sem prova) Seja I intervalo, f : I → Rcontınua e inversıvel. Entao e monotona.

O resultado mais importante e o seguinte (cuja prova e baseada no teorema acima)

25

Teorema (continuidade da funcao inversa). (Sem prova) Seja I intervalo, f : I → R contınua e

inversıvel. Entao a funcao inversa f−1 e contınua.

Sao contınuas, como consequencia do teorema acima, as funcoes trigonometricas inversas: arcsen,

arccos e arctg .

Outros exercıcios:

Guidorizzi, pag. 140/1, faca alguns.

Stewart, pag. 133, num. 35,36,37,38,39,45,47,48,49,50,62.

12. Sexta-feira 5 de abril de 2013

Concluımos a parte da continuidade com o teorema seguinte, um dos mais importantes do curso.

Lembre que, dada f : A→ R, onde A e um conjunto qualquer, o maximo de f e definido como o maximo

da imagem de f , se existe. Enquanto o mınimo de f e definido como o mınimo da imagem de f (se

existe).

Teorema de Weierstrass. (sem prova) Uma funcao f : [a, b]→ R contınua possui maximo e mınimo.

Exercıcios:

208. Seja f : [0, 1]→ R, f(x) = x− [x] ([x] e a parte inteira de x). Prove que f nao possui maximo.

Qual hipotese do Teorema de Weierstrass nao e respeitada?

209. Seja f : [0, 1) → R, f(x) = x. Prove que f nao possui maximo. Qual hipotese do Teorema de

Weierstrass nao e respeitada?

210. Seja f : [0,+∞)→ R, f(x) = x. Prove que f nao possui maximo. Qual hipotese do Teorema de

Weierstrass nao e respeitada?

211. Procure exmplos de funcoes que nao respeitam algumas das hipoteses do Teorema de Weierstrass,

mas que possuem maximo e mınimo.

Pode ser provado (nao e um exercıcio facil) que a funcao f(x) =

(1 +

1

x

)xe crescente em [1,+∞) e

e limitada. Pelo teorema dos limites das funcoes monotonas, o limite

limx→+∞

(1 +

1

x

)xexiste e e finito. Chamamos “e” este valor. Se chama numero de Neper.

Exercıcio 212. Prove que e ≥ 1. De fato, provaremos em seguida, agora nao e possıvel, que 2 < e < 3.

Exercıcio 213. Determine o domınio de

(1 +

1

x

)x.

Podemos provar (nao e facil) que

limx→−∞

(1 +

1

x

)x= e.

26

Usando o limite das funcoes compostas, podemos provar que

limx→+∞

log

[(1 +

1

x

)x]= 1, e lim

x→−∞log

[(1 +

1

x

)x]= 1.

O limite das funcoes composta, ja visto na pagina ??, e um resultado impostante e que apresenta

problemas. Agora, com o conceito de continuidade, podemos reformula-lo em termos mais simples.

Sejam f(x) e g(y) duas funcoes dadas e suponhamos que a composicao g(f(x)) seja bem definida em um

certo intervalo (vamos fazer as coisas mais simples). Suponhamos que g seja contınua.

Suponhamos que exista o limite

limx→x

(ou x→±∞)

f(x) = l onde l ∈ R ou l = ±∞.

Seja g(x) uma outra funcao dada e suponhamos que exista o limite

limx→l

g(x) = m onde m ∈ R ou m = ±∞.

Entao,

limx→x

(ou x→±∞)

g(f(x)) = m.

Voltando ao limite (pegando so o primeiro dos dois)

limx→+∞

log

[(1 +

1

x

)x],

usando o limite das funcoes compostas, log = g enquanto f(x) =

(1 +

1

x

)x. Sabendo que

limx→+∞

(1 +

1

x

)x= e,

e usando a formula acima temos limy→e log y = 1. Aqui estamos usando o fato que log e uma funcao

contınua.

A formula para calcular o limite de funcoes compostas pode ser vista come uma formula de troca de

variavel. No sentido seguinte. Estudamos de novo o limite

limx→+∞

log

[(1 +

1

x

)x].

Definimos a nova varavel y =

[(1 +

1

x

)x]. Sabemos que y → e quando x → +∞. Portanto o limite

acima se torna igual a limy→e log y. Que sabemos ser 1 porque log e contınua.

A troca de variavel, em geral, pode ser usada se a funcao e contınua.

Sabendo que [(1 +

1

x

)x]= x log

(1 +

1

x

),

temos

limx→+∞

x log

(1 +

1

x

)= 1.

Trocando a variavel, e pondo y = 1/x, vemos que y tende para 0 (com valores positivos) quando x

tende para +∞. Portanto, segue,

limy→0+

log(1 + y)

y= 1

27

Usando o limite

limx→−∞

log

[(1 +

1

x

)x]= 1,

e desenvolvendo os passos analogos aos anteriores, temos (prove como exercıcio)

limy→0−

log(1 + y)

y= 1

Ou seja

limy→0

log(1 + y)

y= 1

Exercıcio 214. Prove, com uma oportuna troca de variavel,

limx→0

ex − 1

x= 1

Exercıcios:

215. Determine as solucoes dex2 − 2x

|x− 1|≥ 1. Em seguida, estude a imagem da funcao f(x) =

x2 − 2x

x− 1,

definida em [0,+∞). Use, agora, a continuidade da funcao e os teoremas sobre as funcoes contınuas.

Podemos responder exaustivamente o a resposta tem que ser incompleta?

216. Determine o domınio de√

2 senx+ 1. A funcao e crescente?

217. Calcule, se existem, os limites seguintes: limx→0

√x+ 1 + x2 − 1

x, limx→0

(√x+ 1 + x2 − 1√

x· sen

1

x

)

218. Determine n ∈ N tal que o limite seguinte seja finito e nao nulo: limx→0

sennx(√

1 + x2 − 1)

x3 + x4.

219. Desenhe o grafico de |x2 − x − 6|. Em seguida, conhecendo o grafico de log x, desenhe mais

ou menos aproximadamente o grafico de f(x) = log(1 + |x2 − x − 6|). Determine em quais intervalos

f e crescente e em quais e decrescente. Determine, enfim, a imagem de f restrita ao intervalo [−4, 4].

(Sugestao: sabemos que y = x2 − x − 6 e a equacao de uma parabola. Uma propriedade geometrica de

uma parabola generica y = x2 +ax+ b diz que, se a curva corta o eixo X em dois pontos α e β, ela atinge

o mınimo no ponto medio entre α e β)


Excercıcios em sala de aula e sugeridos para o trabalho em casa.

220. Desenhe o grafico da funcao f(x) = x2 − x− 6. Para este desenho usamos o conhecimento geral

do comportamento das parabolas e o fato de que o mınimo (ou o maximo) sao obtidos nos pontos medios

entre os dois pontos de anulamento de f . Sabendo onde uma parabola e crescente e onde e decrescente,

determine os intervalos onde e crescente e onde e decrescente a funcao g(x) = |f(x)|.Prove o fato geral de que se l(x) for uma funcao crescente, entao −l(x) e decrescente.

Desenhe o grafico de g. Seja h(x) = log(1 + g(x)). Determine os intervalos onde h e crescente e onde

e decrescente, usando (e provando) o fato geral seguinte.

A composicao de duas funcoes crescentes e uma funcao crescente.

221. Determine as solucoes de 1 +√

2x2 + 3x− 2 > x.

28

222. Determine as solucoes de1

2x+ |2x− 1| < 2.

223. Determine o supremo e o ınfimo do conjunto {1/n : n ∈ N, n ≥ 1}.

224. Seja f(x) = 1− 1

x, definida em (0, 1). Determine se e crescente, decrescente ou nenhuma da duas.

Tente explicar os varios detalhe, comecando pela prova do fato de que 1/x e decrescente em (0, 1). Em

seguida, calcule a imagem de f . Use o fato de que f e contınua e o teorema dos valores intermediarios.

225. Determine o domınio das funcoes seguintes:√x− 2,

x

x2 − 4x+ 3,

√x3|x| − 1, (x2 + x+ 1)3/2,

√1− 2x√4− 2x

, log(1 + 3x), log(1− arctgx), arcsen (1 + x).

226. Escreva a inversa (e o domınio dela) se existir. Se a inversa nao existir, determine subconjuntos

do domınio onde e inversıvel.

3x, arctgx, 1/x,

x2 − 1,x− 1

x+ 2,

2x

1 + 2x.


Exercıcios para preparacao da prova.

227. Determine o supremo e ınfimo do conjunto A = {1/n, n ∈ N, n ≥ 1}. Determine, depois, se o

conjunto tem maximo e mınimo.

228. Calcule

limx→+∞

x3 cosx+ x5 cos(1/x)

3x4 + 2x2 + 5e lim

x→+∞

x3 cosx+ x5 sen (1/x)

3x4 + 2x2 + 5

229. Calcule

limx→3−

√10− x2 − 1√x3 − 6x2 + 9x

230. Determine para quais valores de a e contınua a funcao seguinte:

f(x) =

{ex se x > 0

x2 + a se x ≤ 0


Prova P1


Introduzimos agora a nocao de funcao derivavel e de derivada de uma funcao.

29

Seja I um intervalo de R, f : I → R uma funcao dada e x0 ∈ I dado. Variando m ∈ R, as equacoes

y = f(x0) +m(x− x0) representam as retas secantes ao grafico de f no ponto (x0, f(x0)) (so excluindo

a reta vertical que tem equacao x = x0).

Seja agora x ∈ I e o correspondente ponto no grafico de f , (x, f(x)). A razao

f(x)− f(x0)

x− x0se chama razao incremental de f , relativa a x0 e x e e o coeficiente angular da secante por (x0, f(x0))

e (x, f(x)). Se existe o limite desta razao quando x → x0, este limite da, intuitivamente, o coeficiente

angular de uma “reta posicao limite” das secantes (quando x→ x0).

Definicao 5. Se existe e e finito o limite

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0= l,

entao dizemos que f e derivavel em x0 e o numero l se chama derivada de f em x0.

a derivada de f em x0 (se existe) e denotada, normalmente, por um dos sımbolos seguintes:

f ′(x0),df

dx(x0), Df(x0), Df(x)|x=x0

.

O primeiro e aquele mais comun.

Uma outra forma de escrever a razao incremental e portanto o limite acima e obtida pondo x−x0 = h.

Temosf(x0 + h)− f(x0)

he lim

h→0

f(x0 + h)− f(x0)

h,

A nocao de derivada e pontual (como a de continuidade), ou seja derivada de uma funcao em um ponto.

Dada f : I → R, se f e derivavel em todos os pontos de I, dizemos que f e derivavel e fica bem definida

uma nova funcao, a derivada de f , x 7→ f ′(x), definida em I.

Se f e derivavel x0, a reta de equacao y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) e definida como a reta tangente ao

grafico de f no ponto (x0, f(x0)).

Atencao: a precedente e a definicao de reta tangente; outras possıveis definicoes, como “a reta que

encosta o grafico so em um ponto”, sao corretas so em casos muito particulares, por exemplo a circun-

ferencia.

Reta secante e reta tangente em (x0, f(x0)).

-

6

x1 x0

-

6HHH

HHHHHH

HHH

x0

Exercıcio 231. Na parabola de equacao y = x2 procure um ponto onde a reta tangente a parabola

forma um angulo de π/4 com o eixo x.

30

Exercıcio 232. Um corpo cai de uma altura de 15 mt, sujeto so a forca peso (desconsiderando o

atrito do ar). A funcao espaco dependendo do tempo e s(t) =1

2gt2, onde g e a constante gravitacional

terrestre, e vale cerca 9, 8 mt/sec2. Calcule a velocidade com que ele chega ao solo.

Derivadas de algumas funcoes elementares.

FUNCAO f(x) DERIVADA f ′(x)

c (funcao constante) 0

xn (n ∈ N , n ≥ 1) nxn−1

senx cosx

cosx − senx

ex ex

Exercıcio 233. Prove os resultados da tabela acima (como feito em sala de aula).

Se α > 0 e x > 0 a funcao f(x) = xα e derivavel em todo (0,+∞) e f ′(x) = αxα−1, analogamente ao

caso xn com n inteiro. So que neste caso a prova e mais difıcil e omitida.

Exercıcio 234. Prove que√x nao e derivavel em zero.

Exercıcio 235. Determine em quais pontos e derivavel |x|.

Exercıcio 236. Dados os graficos seguintes, desenhe (intuitivamente) os graficos das derivadas.

-

6

c a

-

6

a b

-

6

c da

-

6

c d

31

Exercıcio 237. Calcule, usando a definicao, a derivadas das funcoes seguintes: 3x−2, x2−x, x7 +1,√x.

Exercıcio 238. Prove que |x|3 e derivavel em zero. Calcule a derivada de |x|3.

Exercıcio 239. Seja f(x) = x3. Calcule f ′(0), f ′(−2), f(1/2).

Exercıcio 240. Seja f(x) = senx. Encontre um ponto x0 tal que f ′(x0) = 1/2.

Exercıcio 241. Prove que a derivada de uma funcao par e uma funcao impar.


Proposicao (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas) Seja

f : I → R uma funcao derivavel em um ponto x0 ∈ I. Entao, f contınua em x0.

Proposicao (Algebra das derivadas) Sejam f, g : I → R duas funcoes derivaveis em um ponto x0 ∈ I.

Entao sao derivaveis em x0 as funcoes f ± g, f · g, 1/g e f/g (nestes ultimos dois casos se g(x0) 6= 0) e

valgono le formule:

(1) (f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0),

(2) (f − g)′(x0) = f ′(x0)− g′(x0),

(3) (fg)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0),

(4) (1/g)′(x0) = − g′(x0)

(g(x0))2,

(5) (f/g)′(x0) =f ′(x0)g(x0)− f(x0)g′(x0)

(g(x0))2

Como exemplo, se n e inteiro positivo e x 6= 0, D1

xn= −n 1

xn+1

Do item (5) segue que a tangente e derivavel: D tgx =1

cos2 x= 1 + tg 2x.

Exercıcio 242. Prove o item (1) da proposicao acima.

Proposicao (ideia da prova feita na sala de aula; nao sera cobrada nas provas) (Derivada da funcao

composta) Sejam dadas duas funcoes f : I → R e g : J → R, tais que Im (f) ⊆ J . Sejam f derivavel em

um ponto x0 ∈ I e g derivavel em y0 = f(x0). Entao g ◦ f e derivavel em x0 e (g ◦ f)′(x0) = g′(y0)f ′(x0).

Exercıcio 243. Calcule as derivadas de sen 2x e cosx2.

Proposicao (ideia da prova feita na sala de aula; nao sera cobrada nas provas) (Derivada da funcao

inversa) Seja I intervalo, f : I → R inversıvel e g : Im (f) → R a funcao inversa de f . Se f e derivavel

em um ponto x0 e f ′(x0) 6= 0, entao, g e derivavel em y0 = f(x0) e temos g′(y0) = 1/f ′(x0).

Como aplicacao dos ultimos resultados, temos esta outra tabela de derivadas

FUNCAO f(x) DERIVADA f ′(x)

n√x (= x1/n)

1

nx1/n−1 (veja-se a analogia com as outras formulas)

xm/n (m,n inteiros)m

nxm/n−1 (veja-se a analogia com as outras formulas)

32

arcsenx1√

1− x2

arccosx − 1√1− x2

arctgx1

1 + x2

log x1

x

Exercıcio 244. Prove as formulas acima.

Exercıcio 245. Calcule a derivada de 2x. Sugestao: qualquer numero positivo a pode ser escrito

como a = elog a.

Exercıcio 246. Calcule as derivadas das funcoes seguintes: a)x2 − 1

x(x+ 2), b) senx arccosx, c)

√1 + x2, d) arcsenx− senx, e) x

√1 + x2, f) arctg

√1− x1 + x

, g) arctg (2x−x2), h) cos( sen (x2+

x)).

Exercıcio 247. Encontre um ponto P na hiperbole de equacao y =1

1 + xtal que a tangente por P

encontre a origem do plano.

Exercıcio 248. Calcule a area do triangulo formado pelos eixos do plano e pela tangente a curva

y = senx no ponto

(3π

4,

1√2

)Exercıcio 249. Encontre a equacoes das tangentes a parabola y = x2 − 4x + 3 que passam pela

origem.

Exercıcio 250. Escreva a equacao da reta tangente a elipse de equacao x2 + y2/2 = 1 no ponto

(√

3/2, 1/√

2).

Exercıcio 251. Escreva a equacao da reta tangente ao grafico de senx no ponto (π/3, sen (π/3)).

Exercıcio 252. Calcule a area do triangulo que tem como vertices os pontos comuns das parabolas

y = x2 e y = x − x2 e o ponto de intersecao entre o eixo das abscissas e a tangente a parabola 2y = x2

em (−2, 2).

Exercıcios:

Guidorizzi, pag. 161/2, faca alguns; pag. 165/6, faca alguns; pag. 167, faca alguns; pag. 168/9, faca

alguns; pag. 172, faca alguns; pag. 177/9, faca alguns; pag. 199, de 1 a 4; pag. 205, faca alguns; pag. de

226 a 233, faca alguns;

Stewart, pag. 156/7, faca alguns; pag. 163/4, faca alguns; pag. 174/5, faca alguns.

Exercıcios. Determine em quais pontos sao derivaveis as funcoes seguintes e calcule as derivadas.

253. signx · x2 254.1

tgx

255.√|x| 256. f(x) =

{x2 − 1 x ≥ 1

x x < 1

257. sen |x| 258. [x]

33

Exercıcios. Calcule as derivadas das funcoes seguintes.

259. x sen 2x 260. cos( senx)

261.x2 + 2

x3 − 3x262. cos

(x− 1

x+ 2

)263. arctg

√x 264.

√arctgx

265.senx2

tg (x+ 2)266.

√x+

13√x4 + 1

Exercıcios. Escreva a equacao da reta tangente ao grafico em (x0, f(x0)) das funcoes seguintes.

267. x3 + 2x+ 3, x0 = −1/2 tgx2, x =√π

Exercıcios. Diga em quais pontos as funcoes seguintes sao derivaveis e calcule a derivada (nos pontos

onde existe). Depois, diga se as derivadas sao contınuas.

268. f(x) =

x2 cos1

xx 6= 0

0 x = 0269. f(x) =

{e−

1x2 x > 0

0 x ≤ 0

270. f(x) =

x sen1

xx 6= 0

0 x = 0271. f(x) =

{(x− 1)2 − 1 x > 0

senx x ≤ 0

272. f(x) =

2x

x2 + 2x > 0

0 x = 0x

−x2 − 3x < 0

273. f(x) =

{x2 + 1 x > 0

senx x < 0


Maximos e mınimos, absolutos e relativos

Definicao. Seja A um subconjunto de R e f : A→ R uma funcao.

a) O maximo absoluto de f e o maximo (se existe) da imagem de f . O mınimo absoluto de f e o

mınimo (se existe) da imagem de f .

b) Um ponto x0 ∈ A e dito ponto de maximo absoluto se f(x0) e o maximo absoluto de f . Um

ponto x0 ∈ A e dito ponto de mınimo absoluto se f(x0) e o mınimo absoluto de f .

c) Um ponto x0 ∈ A e dito ponto de maximo relativo se existe um intervalo (x0 − δ, x0 + δ), tal que

f(x) ≤ f(x0), para cada x ∈ A∩(x0−δ, x0+δ). Um ponto x0 ∈ A e dito ponto de mınimo relativo

se existe um intervalo (x0 − δ, x0 + δ), tal que f(x) ≥ f(x0), para cada x ∈ A ∩ (x0 − δ, x0 + δ).

Exercıcio 274. Seja a funcao f(x) = 2x, x ∈ [1, 2] ∪ [3, 4]. Determine, justificando a resposta, o

maximo e o mınimo de f (porque existem?) e os pontos de maximo e mınimo relativos.

Exercıcio 275. Seja a funcao f(x) = 2x, x ∈ (1, 2) ∪ [3, 4]. Determine as novidades a respeito do

exercıcio acima.

34

Exercıcio 276. Determine, justificando a resposta, os pontos de maximo e mınimo absoluto de

senx.

Exercıcio 277. Determine, justificando a resposta, os pontos de maximo e mınimo absoluto e

relativo de f(x) =

x2 se − 1 ≤ x < 0

2 se x = 0

3− x se 0 < x ≤ 3.

As definicoes acima envolvem funcoes quaisquer, ou seja, que podem nao ser contınuas nem derivaveis.

Contudo, se a funcao estudada e derivavel, a sua derivada nos da informacoes sobre os maximos e os

mınimos.

Teorema de Fermat. (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas)

(Condicao necessaria para a existencia dos pontos de maximo ou de mınimo relativo.) Seja I intervalo

de R e f : I → R uma funcao dada. Seja x0 um ponto interno de I (ou seja um ponto que pertence a I,

mas nao e extremo) e seja tambem um ponto de maximo ou de mınimo relativo de f . Suponhamos que

f seja derivavel em x0. Entao, f ′(x0) = 0.

Exercıcio 278. Prove o teorema acima como feito em sala de aula.

Dada uma funcao f : I → R, um ponto x0 tal que f ′(0) = 0 se chama ponto crıtico ou ponto

estacionario.

Exemplo: f(x) = x2, x ∈ R. Todos os pontos do domınio sao internos e f e derivavel. Sabemos que

x = 0 e ponto de maximo absoluto (e portanto relativo) de f . O teorema de Fermat nos diz que f ′(0) = 0,

coisa que pode ser calculada facilmente.

O vice-versa do teorema nao vale. Dada uma funcao f , se f ′(x0) = 0, nao sabemos se x0 e ponto de

maximo ou mınimo relativo. x = 0 e ponto crıtico de f(x) = x3, mas nao e ponto de maximo nem de

mınimo relativo.

O teorema de Fermat e usado so para estudar pontos internos ao domınio. Se, por exemplo, consider-

amos f(x) = x, x ∈ [0, 1], sabemos que 0 e ponto de mınimo e 1 e ponto de maximo. Porem, f ′(x) = 1,

para todo x. Neste caso os pontos de maximo e de mınimo sao os extremos do domınio; o teorema de

Fermat nao pode ser aplicado.

Observacao. Resumindo, os ponto de maximo ou de mınimo relativo de uma funcao f : I → R,

devem ser procurados entre:

(1) os pontos internos do domınio onde f e derivavel e a derivada e zero;

(2) os pontos onde f nao e derivavel;

(3) os extremos de I.

Exemplo: f(x) = x3/3 − x2/2 − 3; a funcao e definida em R, que e aberto (todos os pontos sao

interiores), e derivavel em R a derivada se anula em 0 e 1. Este dois pontos sao candidatos a ser pontos

de maximo ou de mınimo relativo, mas ainda nao temos condicoes suficientes para dizer se de fato sao.

Exercıcio 279. (exercıcio importante): analise a observacao acima. Procure exemplos de funcoes

onde pontos de maximo ou mınimo sao pontos crıticos internos, outros exemplos de funcoes onde pontos

35

de maximo ou mınimo sao pontos extremos do domınio onde a funcao e derivavel mas a derivada nao e

zero, e exemplos de funcoes onde pontos de maximo ou mınimo sao pontos onde a derivada nao existe.

Exercıcio. Determine os pontos crıticos das funcoes seguintes, nos domınios associados. Mais em

geral, determine os pontos candidatos a serem pontos de maximo ou mınimo relativo. Enfim, diga quais

funcoes possuem maximo ou mınimo absolutos.

280. senx− cosx, [0, 2π] 281.x

1 + x2, [−2, 3]

282. x(x− 2)2, [0, 3] 283. senx+ | cosx|, [0, π]

284. x2 +2

x, (0,+∞) 285.

x

1 + x2, R

286. x− arctgx, R 287.x2

1 + x2, R

288. x log x, (0,+∞) 289. log x− 3arctgx, (0,+∞).


Exemplo. Consideramos f(x) =x4

4− 5

9x3 − x2

3+ 1. A funcao e contınua, porem esta definida em

R, que nao e limitado. Portanto nao podemos aplicar o Teorema de Weierstrass, ou seja, nao sabemos,

a priori, se f possui maximo e mınimo. Podemos ver que limx→±∞

f(x) = +∞ (prove como exercıcio).

Portanto f nao possui maximo absoluto. Por outro lado, possui mınimo absoluto. Para prova-lo, vamos

utilizar o limite acima na maneira seguinte.

Primeiramente pegamos, a caso, um valor do domınio, por exemplo x = 0. Temos f(0) = 1. Portanto

o mınimo absoluto, se existir, sera ≤ 1. Seja M = 2. Pela definicao de limite e pelo fato de que

limx→±∞

f(x) = +∞, existem a e b reais, a < 0 < b, tais que f(x) ≥ 2 se x ≤ a e se x ≥ 2. Portanto, o

mınimo absoluto, se existir, sera atingido no intervalo [a, b]. Neste intervalo podemos aplicar o Teorema

de Weierstrass e dizer que possui mınimo m a funcao f restrita ao intervalo [a, b]. Por outro lado, sendo

m ≤ 1 e sendo f(x) ≥ 2 se x ≤ a e se x ≥ 2, o valor m se torna necessariamente mınimo de f em todo o

domınio R.

Exercıcio 290. Estude a demonstracao acima para entender os passos e os detalhes.

Voltando a funcao, a derivada e f ′(x) = x3−5x2/3−2x/3 = x(x+1/3)(x−2). Como f e derivavel em

R e o domınio nao tem pontos extremos, os uunicos candidatos a serem de maximo ou mınimo relativo

(e mınimo absoluto, que sabemos existir) sao os pontos crıticos de f , 0, −1/3, 2. O prblema e que nao

temos ferramentas para prosseguir a investigacao. As ferramentas sao fornhecidas por um teorema, o

Teorema valor medio (ou de Lagrange), que e um dos mais importantes do curso. Antes de apresentalo,

precisa um resultado introdutorio, o Teorema de Rolle.

Teorema de Rolle (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas)

Seja f : [a, b]→ R uma funcao contınua em [a, b] e derivavel em (a, b). Se f(a) = f(b), entao, existe um

ponto c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.

36

Teorema do valor medio ou de Lagrange (com prova feita na sala de aula e que pode ser

cobrada nas provas) Seja f : [a, b] → R uma funcao contınua em [a, b] e derivavel em (a, b). Entao,

existe um ponto c ∈ (a, b) tal quef(b)− f(a)

b− a= f ′(c).

Seja agora f : I → R uma funcao derivavel em x que fica no interior de I (ou seja x nao e extremo

de I) e tal que f ′(x) = 0. Para ver se x e ponto de maximo ou de mınimo relativo usamos os teoremas

seguintes, estritamente ligados ao teorema de Lagrange.

Exercıcio 291. Prove os teoremas de Rolle e Lagrange como feito em sala de aula.

Primeiro teorema de monotonia de uma funcao (com prova feita na sala de aula e que

pode ser cobrada nas provas) Seja I um intervalo e f : I → R uma funcao derivavel em todos os

pontos interns de I. Entao:

a) f e crescente se e somente se f ′(x) ≥ 0 para todo x no interior de I;

b) f e decrescente se e somente se f ′(x) ≤ 0 para todo x no interior de I.


Se a funcao nao e definida em um intervalo, as implicacoes

f ′(x) ≥ 0 para todo x no interior de I =⇒ f e crescente,

f ′(x) ≤ 0 para todo x no interior de I =⇒ f e decrescente

sao falsas. A funcao 1/x e definida em R\{0} possui derivada negativa para todo x 6= 0, mas nao e

decrescente (e decrescente nos dois intervalos (−∞, 0) e (0,+∞), separadamente)

Se a funcao nao e definida em um intervalo, mas num domınio A, uniao de intervalos, continuam

valendo as implicacoes seguintes:

f e crescente =⇒ f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ A,

f e decrescente =⇒ f ′(x) ≤ 0 para todo x ∈ A.

Observacao: a implicacao ⇐= do primeiro teorema de monotonia pode ser provada em uma versao

um pouco mais geral (e mais util nas aplicacoes):

a) se f : I → R e contınua em I e derivavel nos pontos internos de I e f ′(x) ≥ 0 nos pontos internos de

I, entao f e crescente em todo I.

b) se f : I → R e contınua em I e derivavel nos pontos internos de I e f ′(x) ≤ 0 nos pontos internos de

I, entao f e decrescente em todo I.

Em outras palavras, se temos f : [a, b]→ R contınua em [a, b]; para dizer que f e crescente em [a, b] e

suficiente provar que f ′(x) ≥ 0 em (a, b).


Segundo teorema de monotonia

a) se f : I → R e contınua em I e derivavel nos pontos internos de I e f ′(x) > 0 nos pontos internos de

I, entao f e estritamente crescente em todo I.

b) se f : I → R e contınua em I e derivavel nos pontos internos de I e f ′(x) < 0 nos pontos internos de

I, entao f e estritamente decrescente em todo I.

37

O vice-versa do teorema nao vale, no sentido que existem funcoes estritamente crescentes tais que a

derivada pode nao ser > 0 em todos os pontos (porem deve ser ≥ 0 em todos os pontos, pelo primeiro

teorema de monotonia).

Um exemplo e dado pela funcao x3 que e estritamente crescente em R, mas a derivada e nula em zero.

Sabemos que a derivada de uma funcao constante e nula em todos os pontos. Pelo teorema de Lagrange

podemos provar o vice-versa, se a funcao e definida em um intervalo.

Exercıcio 293. Prove o teorema acima (sugestao: a prova usa o Teorema do valor medio).

Terceiro teorema de monotonia (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada

nas provas) Seja f : I → R (onde I e um intervalo), derivavel e tal que f ′(x) = 0 para todo x ∈ I.

Entao f e constante

Como ja dito, se o domınio nao e um intervalo, o teorema e falso.

f(x) =

{1 se x ∈ (0, 1)

2 se x ∈ (1, 2)

e definida em um conjunto, (0, 1) ∪ (1, 2), que nao e um intervalo, e derivavel com derivada nula em

todos os pontos, mas nao e constante.


Exercıcio 295. Estude os pontos de maximo e mınimo absoluto e relativo da funcao f(x) =x2√x2 − 1

.

Diga (justificando) se f possui maximo ou mınimo absoluto.

Exercıcio 296. Seja f : [a, b]→ R derivavel. Prove (pelo menos) uma das relacoes seguintes:

(1) se f ′(a) > 0, entao a e ponto de mınimo relativo;

(2) se f ′(a) < 0, entao a e ponto de maximo relativo;

(3) se f ′(b) > 0, entao a e ponto de maximo relativo;

(4) se f ′(b) < 0, entao a e ponto de mınimo relativo.

Exercıcios: determine os pontos de maximo e mınimo relativo, se existem, das funcoes seguintes.

297. 2x3 − 9x2 + 12x− 1 298. x3 + x2 + x+ 1

299. x3 − x4 300. x(x− 1)2

301.x√

x2 − 1302.

x4√1− x2

Exercıcios: determine os pontos de maximo e mınimo absoluto e relativo, se existem, das funcoes

seguintes, nos conjuntos indicados ao lado. Determine tambem o maximo e o mınimo absoluto, se existem.

303. x3 + x2, [0,+∞) 304. | senx|,[−π

2,π

2

)305. [x], [0, 2] 306. senx− x cosx, R

307. x2, (0, 1) 308. cos2 x2, [−√π,√π]


38

Problemas de otimizacao

309. (Feito em sala de aula) Imagine que o desenho a esquerda represente uma praia. Em B temos o

nosso guarda-sol. Queremos ir ao bar que esta em C. No ponto O comeca uma calcada de madeira que

chega ate o bar, e onde imos mais rapidamente do que na areia.

Suponhamos que a velocidade na areia seja 1 metro ao segundo, enquanto na calcada 2m/sec. Supon-

hamos que os segmentos OB e OC sejam perpendiculares. Alem disso, a calcada tem 10 metros de

comprimento, enquanto OB e 15 m. Partindo de B, determine em qual ponto della calcada precisa

entrar (continuando dalı ate o bar) para render mınimo o tempo para chegar ao bar.

310. Olhando o desenho a direita, entre todos os segmentos verticais entre as parabolas de equacoes

2y = 4− x2, onde y ≥ 0, e 3y = x2 − x− 6, determine aquele de comprimento maximo.

B. O.

C.

-

6

Exercıcio 311. (Feito em sala de aula) Queremos produzir latas de bebida gastando a menor quan-

tidade possıvel de alumınio. Supondo que uma lata de bebida seja um cilindro circular reto, com a

capacidade de V dada (por exemplo 350 ml), determine o raio da base e a altura que rendem a area total

mınima.

Exercıcio 312. De informacoes sobre o numero e o sinal das solucoes da equacaox4

4−5

9x3−x

2

3+1 = 0.

Exercıcio 313. De informacoes sobre o numero e o sinal das solucoes da equacaox4

4−5

9x3−x

2

3+k = 0,

dependendo do valor do parametro real k.

Exercıcios: De informacoes sobre o numero e o sinal das solucoes das equacoes seguintes:

Exercıcios: De informacoes sobre o numero e o sinal das solucoes das equacoes seguintes:

314. −1

3x3 − 3

4x2 + x+ 2 = 0 315. x3 − 3x2 + 8x = 0

316. x4 − 6x2 + 4 = 0 317. x4 − 2x3 + x2 + 1 = 0

318. x2 − x− log x = 0

Sugestao para o exercıcio acima: de fato temos a equacao x2−x = log x. Ou seja, estamos procurando

os pontos onde os graficos das funcoes x2 − x e log x se tocam. Um desenho e oportuno e ajuda. Nao

esquecendo que nao existe nenhuma resolucao de exercıcio atraves de uma abordagem ”grafica”. Porem,

o desenho, quando possıvel, da ideias e sugestoes.

319. x3 + x2 − k + 1 = 0, variando k em R 320. x3 − 2x2 + k − 1 = 0, variando k em R

321. (difıcil) (20x3 − 11x2 − 3x) log

(x+

1

2

)= −2 322. ex − x3 + 2x− 2 = 0

39

323. Entre todos os retangulos de perımetro fixado determine aquele de area maxima. Existe aquele de

area mınima?

324. Entre todos os retangulos de area fixada determine aquele de perımetro mınimo. Existe aquele de

perımetro maximo?

325. Seja dado um triangulo retangulo T . Denotamos por a e b as medidas dos catetos. Seja dada a

definicao seguinte: um retangulo e dito inscrito em T se dois dos seus lados estao sobre os catetos do

triangulo e um dos seus vertices V esta na ipotenusa. Determine, entre todos os retangulos inscritos em

T , aquele de area maxima.

b

a

V

326. Seja dado um retangulo de papelao, cujos lados medem h e b respectivamente. Queremos construir

uma caixa cortando, nos cantos, quatro quadrados de lado l e levantandos os pedacos que sobram.

Determine l tal que o volume seja maximo.

bh

l 6

?

-�

327. Entre todas as piramides retas de base quadrada e de area total fixada determine aquela de volume

maximo.

328. Determine em quais pontos a funcao seguinte e derivavel e calcule a derivada:

f(x) =

x2 + x se x > 0

0 se x = 0

senx se x < 0

329. No desenho abaixo o arco acima do retangulo e a semicircunferencia de diametro igual a base

do retangulo. Entre todas as figuras de perımetro fixado P , determine a medida dos lados que rendem a

area maxima.

40

330. Determine os pontos de maximo e mınimo absoluto e relativo (se existem) de f(x) = arctgx +1

x+ 1. Diga se a funcao possui maximo e mınimo.

331. Determine os pontos de maximo e mınimo absoluto e relativo (se existem) de f(x) = |x2− 4|5/3.

Diga se a funcao possui maximo e mınimo.

Test a multipla escolha:

332. Dada uma funcao f : R\{0} → R, condicao suficiente para que f seja inversıvel e que seja

a) contınua em todo o domınio. b) Derivavel com derivada positiva.

c) Estritamente crescente. d) Estritamente crescente em (−∞, 0) e

em (0,+∞), separadamente.

e) Estritamente crescente em (−∞, 0) e

Estritamente decrescente em (0,+∞).

f) Nenhuma das respostas acima e cor-

reta.

333. Seja f : [a, b]→ R derivavel em x0 ∈ [a, b]. Se x0 e ponto de maximo relativo, entao f ′(x0) = 0. Este

enunciado assemelha ao teorema de Fermat, mas escrito assim e falso. Qual hipotese devemos adicionar

para que seja verdadeiro?

a) x0 ∈ (a, b). b) f derivavel em [a, b] (nao so em x0).

c) f derivavel [a, b] com derivada

contınua.

d) nenhuma das resposta acima e cor-

reta.

334. Seja f definida em [−1, 1]. Diga qual das condicao seguintes e suficiente para que a equacao f(x) = 0

tenha solucao:

a) f contınua e f(−1) < f(1). b) f derivavel e f(−1) < f(1).

c) f(−1) < 0 e f(1) > 0. d) f contınua, crescente e f(−1) < f(1).

e) nenhuma das condicoes anteriores

garante a existencia da solucao de f(x) =

0.

Outros Exercıcios:

Guidorizzi, pag. 237/8, faca alguns; pag. 242/4, faca alguns; pag. 254/6, faca alguns; pag. 278/9, faca

alguns; pag. 282/4.

41




1. Escreva a derivada da funcao f(x) = cos(log(x2 + x)).

2. Calcule a derivada de f(x) =

x2 + x se x > 0

0 se x = 0

senx se x < 0

3. Calcule a derivada de f(x) =

{x2 cos

1

xse x 6= 0

0 se x = 0

4. Escreva a equacao da reta tangente a funcao f(x) = arctgx no ponto (1, f(1).

23. Sexta-feira 3 de maio de 2013

Exercıcio 335. (feito em sala de aula) Consideramos a funcao f(x) = x4 + tgx+ 1. Prove que existe

um intervalo de tipo (−a, a) (onde a e um oportuno numero positivo) tal que f e inversıvel em (−a, a).

Calcule, em seguida, D(f−1)(1).

A ideia do exercıcio e a seguinte: f e derivavel em todo o domınio e f ′(x) = 4x3 + 1 + tg 2x. Se x > 0,

f ′(x) e obviamente positiva, mas se x < 0, nao podemos dize-lo. Por outro lado f ′(0) = 1. Pelo teorema

da conservacao do sinal das funcoes contınuas (pag. ??) e observando que f ′(x) e contınua, podemos

dizer que existe um intervalo (−a, a) onde f ′(x) mantem o sinal positivo. Portanto, usando o segundo

teorema de monotonia (aula do 24 de abril), podemos dizer que f e estritamente crescente em (−a, a) e

portanto inversıvel.

Observamos que f(0) = 1. Portanto, podemos dizer que D(f−1)(1) =1

f ′(0)=

1

1= 1.

Definicao. Seja f uma funcao definida em um intervalo I e derivavel em I. A segunda derivada de

f em um ponto x0 ∈ I e (se existe) a derivata da derivaaa de f , calculada em x0, ou seja:

f ′′(x0) = limx→x0

f ′(x)− f ′(x0)

x− x0.

Portanto, para distinguir, podemos chamar f ′ de primeira derivada de f .

Podemos continuar e definir, dependendo de como e feita f , as derivadas terceira, quarta, etc. Nao

e difıcil provar que funcoes como os polinomios, as exponenciais, logaritmos, trigonometricas, e muitas

outras, possuem derivadas ate qualquer ordem.

Uma excecao e a funcao

g(x) =

{x2 se x ≥ 0

−x2 se x < 0

que possui primeira derivada em todo R, mas a derivada segunda em zero nao existe.

Exercıcio 336. Prove o fato acima.

Definicao de funcoes convexa e concava. Seja I intervalo e f : I → R uma funcao dada. Dizemos

que f e convexa se, para cada par de pontos x0 e x1 em I temos que a altura do segmento por (x0, f(x0))

e (x1, f(x1)) e maior ou igual da altura do grafico de f entre x0 e x1.

42

Dizemos que f e concava se, para cada par de pontos x0 e x1 em I temos que a altura do segmento

por (x0, f(x0)) e (x1, f(x1)) e menor ou igual da altura do grafico de f entre x0 e x1.

funcao convexa (a esquerda) e concava (a direita).

-

6

��

x0 x1

f(x0)

f(x1)

-

6

HHHHH

HHHHHH

HH

x0 x1

f(x0)

f(x1)

Uma funcao convexa (ou concava) nao e necessariamente derivavel (como o desenho parece indicar):

por exemplo f(x) = |x| e convexa. Alem disso, uma funcao linear (cujo grafico e uma reta) e ao mesmo

tempo convexa e concava.

Exercıcio 337. Prove as observacoes acima.

Sejam I = [a, b] e c ∈ (a, b). Seja f : I → R dada. O ponto c e dito de inflexao se f e convexa em [a, c]

e concava em [c, b] ou se f e concava em [a, c] e convexa [c, b].

o ponto c e de inflexao e a reta r e tangente ao grafico em (c, f(c)).

-

6

c

r

@@@

@@@@

Teorema: relacao entre concavidade/convexidade e derivada segunda. Seja I um intervalo

e f : I → R derivavel duas vezes em I com derivada segunda contınua. Entao:

i) f e convexa se e somente se f ′′(x0) ≥ 0 para todo x ∈ I,

ii) f e concava se e somente se f ′′(x0) ≤ 0 para todo x ∈ I.

Exercıcio 338. Explique qual e a ideia que justifica o resultado acima, conforme o trabalho feito em

sala de aula.

Teorema: uso da segunda derivada para maximos/mınimos. Seja I um intervalo e f : I → Rderivavel duas vezes em I com derivada segunda contınua. Seja x0 ponto interior de I (nao extremo) tal

que f ′(x0) = 0. Entao:

i) se f ′′(x0) > 0, entao x0 e ponto di mınimo relativo de f ,

ii) se f ′′(x0) > 0, entao x0 e ponto di maximo relativo de f .

Se x0 no interior de I for ponto crıtico e f ′′(x0) = 0, nao temos um comportamento geral em relacao

ao problema de maximo/mınimo relativo. Veja-se como exemplos as funcoes x3, x4 −x4: zero e ponto

43

crıtico de todas e todas veem anular-se a segunda derivada em zero. Este ponto e, respectivamente, de

inflexao, de mınimo relativo e de maximo relativo.

Exercıcio 339. Explique qual e a ideia que justifica o resultado acima, conforme o trabalho feito em

sala de aula.

24. Segunda-feira 6 de maio de 2013

Resumo dos conceitos da aula anterior.

Exercıcio 340. Estude os pontos de maximo e mınimo absolutos e relativo de f(x) = x2 log x.

Determine os intervalos onde a funcao e convexa ou concava.

Exercıcio 341. Calcule a segunda e a terceira derivada das funcoes seguintes:

x2 senx2x

log x

√1 + x x2 senx x3 − sen 2x log senx log(x+ x2) ex cosx

Exercıcio 342. Diga se x = 0 e ponto de maximo ou mınimo relativo das funcoes seguintes:

x− sen 2x x3 log(1− x) x4ex1− x4

1 + x2

Exercıcio 343. Determine os intervalos de concavidade e convexidade da funcoes seguintes

x2ex x3 − 3x2 x4 − 2x2 + 1 x log x (x2 + x)e−x1

x2 + 3

25. Quarta-feira 8 de maio de 2013

Excercıcio 326 feito em sala de aula por Jeovanny.

Os teoremas de De L’Hopital sao uma ferramenta importante para o calculo de alguns limites com-

plicados, expressos em forma indeterminada do tipo 0/0 ou ±∞/ ±∞. O enunciado seguinte reune os

varios enunciados em uma forma unica, mais facil.

Teorema (De L’Hopital). Seja I um intervalo (fechado ou nao, limitado ou nao), seja x um ponto de

I ou um extremo de I (que pode pertencer ou nao a I) ou seja x = ±∞. Sejam f, g : I\{x} → R (ou

seja f e g sao definidas em I com a possıvel excecao de x). Suponhamos que f e g sejam derivavels em

I\{x} e que o limite

limx→x

f(x)

g(x)

se apresente em uma forma indeterminada. Se

limx→x

f ′(x)

g′(x)

existe e vale l, onde l pode ser um numero ou ±∞, entao

limx→x

f(x)

g(x)= l.

Exercıcio 344. Calcule o limite

limx→0

log(1 + senx)

x cosx

44


limx→0

x− senx

x3

Neste exercıcio precisa aplicar mais vezes o teorema de De L’Hopital. Porem, o limite limx→0senx

xnao

pode ser abordado pelo teorema de De L’Hopital porque o conhecimento da derivada do seno requer o

conhecimento do limite. Ou seja, caimos num cırculo vicioso.

Exercıcio 346. Pela mesma razao, nao podemos aplicar o teorema de De L’Hopital para calcular os

limites

limx→0

ex − 1

xe lim

x→0

log(x+ 1)

x.

Explique os detalhes.


limx→1

1

x− 2 + x

sen 2(πx)


limx→+∞

log(1 + e2x)

x


limx→+∞

log x

x

Exercıcio 350. Calcule o limite (generalizando o caso acima)

limx→+∞

(log x)b

xa

onde a > 0, b > 0.


limx→+∞

log x

x


limx→+∞

x

ex

Exercıcio 353. Calcule o limite (generalizando o caso acima)

limx→+∞

xb

ax

onde a > 1, b > 0.


limx→+∞

x(

arctgx− π

2

)Exercıcio 355. Calcule o limite

limx→0

x log x


limx→0

xx

45

Este limite se apresenta em uma forma nova para o curso que estamos estudando, a forma 00. Que e

indeterminada. Por outro lado observe que valem as igualdades xx = elog xx

= ex log x. Agora, usando o

limite anterior e o limite para composicao, podemos resolver o exercıcio.


limx→0

x

x+ 1

Este limite e facil. E uma aplicacao da algebra dos limites e o resultado e 0. Se aplicarmos o teorema

de De L’Hopital, encontramos como limite 1. Qual e o problema? O problema esta no fato de que o

limite nao se apresenta em uma forma indeterminada. E portanto o teorema de De L’Hopital nao pode

ser aplicado.


limx→+∞

x+ senx2

x2 + 1Este limite pode ser abordado pelo teorema do confronto e vale 0. Se tentarmos aplicar o teorema de

De L’Hopital, vemos que o limite da fracao das derivadas nao existe. Este fato nao esta em contradicao

com o teorema de De L’Hopital. O teorema, de fato, diz que se

limx→x

f ′(x)

g′(x)

existe e vale l, onde l pode ser um numero ou ±∞, entao

limx→x

f(x)

g(x)= l.

Porem, se o limite

limx→x

f ′(x)

g′(x)

nao existe, tudo pode acontecer sobre

limx→x

f(x)

g(x),

porque neste caso o teorema nao diz nada.

Exercıcio 359. Calcule os limites seguintes:

limx→0

ex − 1− xx2

limx→+∞

x log1 + x

xlimx→0

log cosx

x2lim

x→π/4

senx− cosx

sen 4x

limx→−∞

log(3 + senx)

xlimx→0+

cosx

xlimx→1−

√1− x2

arccosx

Exercıcio 360. Diga para quais valores reais a temos limx→+∞(√

4x2 + x− 2x− a) = −1/2.

Outros Exercıcios:

Guidorizzi, pag. 422/4, faca alguns; pag. 261/2.


Exercıcios para a preparacao da prova P2.


46





Prova P2.


Introducao ao calculo integral. Dado um intervalo [a, b], definimos particao de [a, b] um conjunto finito

P de pontos de [a, b], P = {x0, x1, ..., xn}, tal que a = x0 < x1 < ... < xn = b. De fato, P e um conjunto

ordenado de n+ 1 pontos e determina n intervalos Ik = [xk−1, xk], onde k vai de 1 a n.

Uma escolha de pontos E = {c1, ..., cn}, relativa a uma particao P = {x0, x1, ..., xn}, e um conjunto

finito de pontos de [a, b] tal que ck ∈ [xk−1, xk] para cada k = 1, ..., n.

Dadas uma particao P e uma escolha de pontos E relativa a P , o par α = (P, S) e dito particao

pontuada de [a, b].

Consideramos uma funcao f : [a, b]→ R. A cada particao pontuada α = (P,E) associamos o numero

Sf (α) =

n∑k=1

f(ck)(xk − xk−1),

onde xk ∈ P e ck ∈ E. A figura abaixo mostra duas diferentes particoes pontuadas para uma dada funcao

f . A altura de cada retangulo nos desenhos e determinada da escolha de pontos relativa a particao.

x0 x1c1-

6

-

6

Intuitivamente a integral de f em [a, b] e obtida como passagem ao limite dos numeros Sf (α) quando o

numero dos intervalos das particoes tende para infinito e as medidas destes intervalos tendem para zero.

Precisamente: dada α = (P, S), definimos o numero A(α), dito afinacao de α, como o maximo entre

as medidas de todos os intervalos que compoem α.

Definicao. Dizemos que f e integravel em [a, b] se existe um numero real I tal que

limA(α)→0

Sf (α) = I,

47

isto e, lembrando a definicao de limite de uma funcao, se para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que, se α e

uma particao pontuada com afinacao menor de δ, temos |Sf (α)− I| < ε. O numero I e dito integral de

f em [a, b].

A integral de f em [a, b] e geralmente denotada pelo sımbolo∫ b

a

f(x) dx.

A funcao f(x), dentro sımbolo de integracao, e chamada funcao integranda.

Uma consequencia intuitiva que vamos dar sem prova e a proposicao seguinte.

Proposicao. Se uma funcao f : [a, b]→ R e integravel, entao e tambem integravel em cada intervalo

[c, d] contido em [a, b].

Quais sao as funcoes integraveis? O teorema seguinte individua uma parte, importante, mas incom-

pleta. Para a determinacao da classe de todas as funcoes integraveis precisarıamos de nocoes complicadas

que vao alem das necessidades do curso.

Teorema. Se uma funcao f : [a, b] → R e limitada e contınua em todos os pontos exceto (ao mais)

um numero finito, entao e integravel.

Corolario. Uma funcao f : [a, b]→ R contınua e integravel.

Observe que, no corolario acima, o domınio e um intervalo limitado e fechado. Portanto, pelo Teorema

de Weierstrass, f e tambem limitada.

Observacao. A definicao de funcao integravel pode ser estendida a algumas funcoes definidas em

intervalos de tipo [a, b], exceto em um numero finito di pontos. Consideramos por exemplo

f(x) =senx

x, x ∈ (0, 1].

A funcao e contınua e limitada. Ela pode ser prolongada in tudo [0, 1] (nao necessariamente con

continuidade). Consideramos dois prolongamentos

g(x) =

senx

x0 < x ≤ 1

1 x = 0,h(x) =

senx

x0 < x ≤ 1

2 x = 0.

A g e contınua (e o prolongamento contınuo de f), enquanto a h e descontınua em x = 0. Ambas as

funcoes sao integraveis gracas ao teorema anterior e podemos provar, usando a definicao de integral, que∫ 1

0g(x) dx =

∫ 1

0h(x) dx. Portanto, definimos a integral∫ 1

0

senx

xdx,

mesmo se a funcao integranda nao e definida em tudo o intervalo, associando o valor da integral∫ 1

0l(x) dx,

onde l e um qualquer prolongamento de f em [0, 1].

Generalizando este argumento, obtemos uma extensao util do teorema acima, definindo a integral de

funcoes definidas em intervalos, com a excecao (possıvel) de um numero finito de pontos, contınuas e

limitadas.

Teorema. Dado um intervalo [a, b], denotamos por E o intervalo [a, b] sem um numero finito de

puntos. Dada uma funcao f definida em E, contınua e limitada, existe a integral∫ bag(x) dx de cada

prolongamento g(x) de f(x) em [a, b] e tal integral e independente da escolha de g.

48

Definimos portanto∫ baf(x) dx =

∫ bag(x) dx onde g(x) e um prolongamento qualquer de f(x) em [a, b].

Vale, inclusive, a proposicao seguinte.

Proposicao. Se f : [a, b]→ R e integravel e g : [a, b]→ R difere de f por um numero finito de puntos,

entao g(x) e integravel e∫ baf(x) dx =

∫ bag(x) dx.

Exercıcio (difıcil) 361. A assim chamada funcao de Dirichlet f : [0, 1]→ R e definida como

f(x) =

{1 se x e racional

0 se x e irracional.

Prove, aplicando a definicao de integral, que f nao e integravel.

Exercıcio 362. Seja

f(x) =

{1/x se 0 < x ≤ 1

0 se x = 0.

Prove, aplicando a definicao de integral, que f nao e integravel.

Teorema. [propriedades algebricas da integral] Sejam f, g : [a, b] → R duas funcoes integraveis e c

um numero real. Entao segue:

i) f + g e integravel e∫ ba

(f + g)(x) dx =∫ baf(x) dx+

∫ bag(x) dx,

ii) cf e integravel e∫ ba

(cf)(x) dx = c∫ baf(x) dx,

iii) se r ∈ [a, b],∫ baf(x) dx =

∫ raf(x) dx+

∫ brf(x) dx,

iv) se f ≤ g,∫ baf(x) dx ≤

∫ bag(x) dx,

v) se f ≥ 0,∫ baf(x) dx ≥ 0 (caso particular do acima),

vi) |f | e integravel e∣∣∣∫ ba f(x) dx

∣∣∣ ≤ ∫ ba |f(x)| dx (caso particular do iv)).

Exercıcio 363. Calcule, aplicando diretamente a definicao, as integrais seguintes:∫ 2

1

3 dx,

∫ 3

0

2x+ 1 dx.

Exercıcio 364. Explique o processo de Arquimedes, visto em sala de aula, que leva ao calculo da

area do assim chamado segmento de parabola, ou seja da regiao do plano euclidiano R2 delimitada pelas

retas x = 0, x = 1, y = 0 e pela parabola de equacao y = x2.


e


Ate agora, a integral foi definida pelo classico sımbolo, aquele tipo de letra “s” esticada,1 colocado

em baixo o primeiro extremo ”a” do intervalo [a, b] e colocando em cima o segundo extremo b. Sera util

definir a integral∫ abf(x) dx, porque em varias aplicacoes e contas aparece a necessidade de inverter os

extremos. A definicao desta integral com extremos na ordem inversa e∫ a

b

f(x) dx = −∫ b

a

f(x) dx.

1Este sımbolo deve-se ao fato que a “s” e inicial de soma, e a integral e concebida como uma soma que passa ao limite.

Esta foi a notacao escolhida desde o final do seculo de 1600.

49

A igualdade acima e simplesmente uma definicao, e nao precisa de explicacao logica. Por outro lado,

uma possibilidade de dar um significado a formula acima pode levar em conta a ideia de que na integral∫ baf(x) dx a variavel x e como se viajasse de a ate b, enquanto na integral

∫ abf(x) dx x viaja no sentido

oposto. Neste sentido podemos entender que as duas integrais tem sinal oposto.

Exercıcio 365. Pegue a formula iii) do teorema anterior e use-a para provar que∫ STf(x) dx =∫ U

Tf(x) dx +

∫ SUf(x) dx, qualquer seja a ordem dos numeros reais S, T, U e posto que as tres integrais

acima existam.

* * * * *

O teorema fundamental do calculo integral e o instrumento principal para resolver, quando for possıvel,

o problema do calculo da integral de uma funcao em um intervalo. O teorema precisa do seguinte resultado

preliminar.

Teorema da media integral. (com prova feita na sala de aula e que pode ser cobrada nas provas)

Dada f : [a, b]→ R contınua, existe c ∈ [a, b] tal que∫ baf(x) dx

b− a= f(c).

Para introduzir teorema fundamental do calculo integral, e preciso o conceito de funcao integral.

Definicao. Dado um intervalo [a, b], seja f : [a, b]→ R uma funcao integravel. A funcao F : [a, b]→ R,

definida por

F (x) =

∫ x

c

f(t) dt,

e dita funcao integral.

Teorema fundamental do calculo integral. (com prova feita na sala de aula e que pode ser

cobrada nas provas) Sejam dados um intervalo [a, b] e uma funcao contınua f : [a, b]→ R. Entao a funcao

integral

F (x) =

∫ x

a

f(t) dt

e derivavel em cada x ∈ [a, b] e temos

F ′(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b].

Alem disso, se G(x) e uma outra funcao derivavel tal que G′(x) = f(x) para cada x ∈ [a, b], entao

G(b)−G(a) =

∫ b

a

f(x) dx.

A igualdade anterior e chamada formula fundamental do calculo integral.

Dada uma funcao f : I → R (onde I e um qualquer intervalo), se f possui uma funcao G : I → R tal

que G′(x) = f(x) para todo x ∈ I, G e chamada primitiva de f .

Como fiz na pagina ?? para as derivadas, aqui coloco uma lista de primitivas elementares.

FUNCAO f(x) PRIMITIVA G(x)

0 (funcao nula) c, onde c ∈ R

c (c ∈ R, constante) cx

50

xα (α ∈ R, α 6= −1)xα+1

α+ 11

xlog |x|

Acima temos uma pequena excecao a respeito da definicao, sendo 1/x definida em R \ 0 que nao e um

intervalo.

senx − cosx

cosx senx

ex ex

Poderıamos continuar. Observe que, por exemplo, uma primitiva de f(x) = 2x e G(x) = x2, mas nao

e a unica. Todas as (infinitas) funcoes do tipo H(x) = x2 + c, onde c e constante, sao primitivas de 2x.

Assim, se uma funcao possui primitiva G, de fato possui infinitas, ou seja, todas as perturbacoes G(x)+c.

Vice-versa, se f(x) e definida em um intervalo, todas as primitivas diferem entre si por uma constante

(esta e uma consequencia do teorema do valor medio)

Exercıcio 366. Prove a observacao acima. Ou seja, prove que se f(x) e definida em um intervalo e

G(x), H(x) sao duas primitivas, entao existe uma constante c tal que G(x)−H(x) = c.

Exercıcio 367. Escreva duas primitivas de 1/x (lembrando que a funcao nao e definida em um

intervalo) que nao diferem por uma constante.

Exercıcio 368. Prove o teorema da media integral.

Exercıcio 369. Prove o teorema fundamental do calculo integral.

Proposicao. Uma funcao f : I → R, contınua admite uma primitiva.

Definicao. O conjunto de todas as primitivas de uma funcao f (se existem) se chama integral in-

definida de f e denota-se pelo sımbolo ∫f(x) dx.

Cuidado em nao confundir os dois sımbolos∫ b

a

f(x) dx e

∫f(x) dx.

Os sımbolos sao quase iguais, mas representam duas coisas diferentes: o primeiro e a integral, definida

como passagem ao limite na aula do 20 de maio. As vezes e chamada integral definida. A integral definida

e um numero. O segundo e uma famılia de funcoes (ou uma primitiva particular, escolhida).

Exercıcio 370. Calcule as integrais (definidas) seguintes:∫ π/2

0

senx dx

∫ π

0

cosx dx

∫ 1

0

√x dx

∫ 3

2

x2 dx

∫ 4

3

3x+ 5 dx

∫ 2

1

1

xdx

∫ π

0

senx dx

∫ π

0

cos(2x) dx

∫ 1

−1

3√x4dx

∫ 3

2

x2 dx

∫ 4

−3|x| dx

∫ 2

1

1

x2 + 1dx

Exercıcio 371. Determine as areas das porcoes de plano incluidas entre as curvas seguintes:

1) y = x, y = ex, 0 ≤ x ≤ 1

2) y = x2, y = 2x− x2

51

3) y = x2, y = 2x, y = 2− x

Outros exercıcios:

Guidorizzi, pag. 294/5, faca alguns; pag. 306/8, faca alguns; pag. 314/5, faca alguns.


Como dito em sala de aula, a procura da primitiva de uma funcao e a operacao exatamente oposta

ao calculo da derivada. Se, por um lado, temos metodos para calcular a derivada de um funcao expressa

como soma, produto, composicao etc. das funcoes elementares, por outro lado, o calculo da primitiva

de uma funcao pode ser muito complicado, ate um nıvel tal que se torna praticamente impossıvel a sua

execucao. Escrevendo, por exemplo, uma funcao como f(x) = cos(log√

1 + x2), nao temos a menor

ideia de qual seja a expressao da primitiva dela (que com certeza existe e e definida em tudo R, sendo a

f contınua).

A situacao e ate pior: foi provado que para algumas funcoes contınuas, que portanto admitem primitiva,

nao e possıvel escrever a primitiva como soma, produto, composicao etc. das funcoes elementares. Uma

breve lista de tais funcoes e a seguinte:

ex2

,senx

x,

log x

1 + x, cosx2.

Vamos tomar por exemplo ex2

. Esta funcao e contınua e entao admite primitiva em tudo R. Pelo

teorema fundamental do calculo integral toda funcao do tipo

Fa(x) =

∫ x

a

et2

dt, a ∈ R, fixado,

e primitiva de ex2

. (Para cada escolha de a real, temos todas as infinitas primitivas de ex2

.) Todavia,

a Fa(x) nao pode ser escrita em termos de funcoes elementares. Quero destacar este fato: nao e que

o problema de representar Fa(x) e dıficil e nao se sabe resolver. Este problema nao tem solucao (foi

demonstrado).

Aquilo que podemos fazer, voltando ao problema geral da procura de primitivas de funcoes contınuas,

e classificar algumas tecnicas para determinar as primitivas de alguns grupos de funcoes especiais.

Integracao por partes. E uma tecnica usada para procurar primitivas de funcoes escritas, geral-

mente, como produto de funcoes. E uma consequencia da formula da derivacao do produto.

Consideramos duas funcoes f(x) e g(x) derivaveis em um intervalo. Temos:

D(f(x)g(x)) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).

entao

f(x)g(x) =

∫f ′(x)g(x)dx+

∫f(x)g′(x) dx.

Se, portanto, queremos resolver∫h(x)k(x)dx, podemos procurar uma primitiva de h(x) ou de k(x), por

exemplo H(x) primitiva de h(x), e depois escrever∫h(x)k(x) dx = H(x)k(x)−

∫H(x)k′(x) dx.

A escolha se procurar primeiro a primitiva h ou de k e em funcao de obter contas mais simples.

Exercıcios 372. Calcule as primitvas seguintes:

52

∫log x dx,

∫(x+ 1)ex dx,

∫arctgx dx,

∫arcsenx dx,

∫cos2 x dx,∫ √

1− x2 dx,∫x log x dx,

∫x2e−x dx,

∫x senx dx,

∫(x3 + 1) log x dx,

∫2xarctgx dx,

∫ex cosx dx,

∫2x log(x+ 1) dx,

∫2xarcsenx dx,

∫sen 2x dx,

Outros exercıcios:

Guidorizzi, pagg. 358-9, faca alguns.


Integracao do tipo∫f(g(x)) · g′(x) dx, ou seja, de funcoes do tipo “derivada de funcao

composta”.

Estudamos uma integral indefinida do tipo∫f(g(x)) · g′(x) dx.

A forma f(g(x)) · g′(x), ou seja, a forma do tipo “derivada de funcao composta” e particularmente

simples, posto que conseguimos reconhecer que a integranda e deste tipo. Neste caso a ideia e a seguinte:

abordamos um problema diverso, esquecendo por um minuto a integral acima. Ou seja estudamos∫f(t) dt.

(Podemos pensar ter feita a substituicao t = g(x).) Se conseguimos resolver a primitiva acima, ou seja,

calcular

F (t) =

∫f(t) dt,

escrevemos depois F (g(x)). Fazendo a derivada desta funcao, com a regra de derivacao de funcoes

compostas, obtemos D(F (g(x))) = f(g(x)) · g′(x). Portanto F (g(x)) sera a solucao do nosso problema.

Alguns exemplos: ∫(g(x))a · g′(x) dx =

(g(x))a+1

a+ 1(a 6= −1)∫

g′(x)

g(x)dx = log |g(x)|∫

sen g(x) · g′(x) dx = − cos g(x)∫eg(x) · g′(x) dx = eg(x)

Exercıcio 373. Verifique as formulas acima.

Exercıcio 374. Calcule as integrais seguintes:∫

sen 5x cosx dx,∫

tgx dx,∫ex cos ex dx,

∫xex

2

dx.

53

Observacao: neste casos as integrandas se apresentam como produt ode funcoes, ma nao se usa a

integracao por partes.

35. Segunda-feira 3 de junho de 2013

Aula do Professor Valentin Ferenczi

Primitivas de funcoes racionais.

Seja f(x) =P (x)

Q(x). Procuramos ∫

P (x)

Q(x)dx

onde P e Q sao polinomios. Se o grau de P e ≥ do grau de Q, fazemos a divisao obtendo

f(x) = P (x) +R(x)

Q(x).

O problema e agora ∫R(x)

Q(x)dx.

Entao, voltando a ∫P (x)

Q(x)dx

suponhamos que o grau de P seja < do grau de Q.

Exemplo ∫2x+ 1

x2 + x− 2dx.

O denominador possui duas raizes reais 1 e −2. Escrevemos

2x+ 1

x2 + x− 2=

A

x− 1+

B

x+ 2, (1)

onde A e B sao constantes que queremos determinar para verificar a igualdade acima, para cada x. Temos

2x+ 1

x2 + x− 2=A(x+ 2) +B(x− 1)

(x− 1)(x+ 2)=

(A+B)x+ 2A−B(x− 1)(x+ 2)

.

Ou seja, (A+B)x = 2x e 2A−B = 1. Portanto A e B devem solucionar o sistema{A+B = 2

2A−B = 1

as solucoes sao A = 1 e B = 1. Obtemos

2x+ 1

x2 + x− 2=

1

x− 1+

1

x+ 2,

enfim, ∫2x+ 1

x2 + x− 2dx = log |x− 1|+ log |x+ 2|+ c.

54

No problema ∫x− 2

(x+ 3)2dx.

o denominador possui raiz dupla, −3. Entao, usamos a formula

x− 2

(x+ 3)2=

A

(x+ 3)2+

B

x+ 3

onde A e B sao constantes incognitas. Temos

x− 2

(x+ 3)2=A+B(x+ 3)

(x+ 3)2.

Isso implica B = 1 e A+ 3B = −2, ou seja A = −5. Portanto

x− 2

(x+ 3)2= − 5

(x+ 3)2+

1

x+ 3

enfim ∫x− 2

(x+ 3)2dx =

5

x+ 3+ log |x+ 3|+ c.

Seja o problema ∫1

x2 + x+ 2dx.

Procuramos uma primitiva da forma arctg (f(x)). Para este fim escrevemos o denominador como

x2 + x+ 2 = (x+ a)2 + b. Procuramos a. O termo de grau 1 de (x+ a)2 + b e obviamente 2ax; portanto

deve ser 2ax = x, ou seja a = 1/2. entao, b = 7/4.

Agora precisamos do denominador na forma (αx+ β)2 + 1. No nosso caso

1

x2 + x+ 2=

4

7

1(2√7x+

1√7

)2

+ 1

.

Obtemos portanto ∫1

x2 + x+ 2dx =

2√7

arctg

(2√7x+

1√7

).

em conclusao: ∫3x− 2

x2 + x+ 2dx =

3

2

∫2x+ 1

x2 + x+ 2dx− 7

2

∫1

x2 + x+ 2dx =

3

2log(x2 + x+ 2

)−√

7 arctg

(2√7x+

1√7

)+ c.

Exercıcios 375. Determine as primitivas seguintes

∫1

(x+ 1)(x− 2)dx,

∫1

x2 + x+ 1dx,

∫1

x(x+ 2)dx,

∫x+ 3

x+ 3x2dx,

∫1− x

(1 + x)(1 + 3x)dx,

e seguintes (um pouco mais difıceis)

∫1

x(x+ 1)2dx,

∫x− 3

x(x2 − 2x+ 1)dx,

∫1

(x2 + 1)(x2 − 1)dx,

∫x2 + 1

(x+ 1)2(1− x)dx,

∫1

x(x2 + 1)dx.

55

Outros exercıcios:

Guidorizzi, pagg. 372/3, faca alguns; pagg. 376/7, faca alguns; pag. 381, faca alguns.

36. Quarta-feira 5 de junho de 2013


Integracao por substituicao: outros exemplos. Seja f(x) contınua em um intervalo I (ou em

um conjunto um pouco mais geral, como a uniao de intervalos).

Seja F (x) uma primitiva de f(x). Consideramos uma funcao derivavel φ(u), tal que a composicao

G(u) = F (φ(u)) faca sentido. Entao G e derivavel (sendo composicao de funcoes derivaveis) e G′(u) =

F ′(φ(u))φ′(u).

Se φ e inversıvel, denotamos por ψ a inversa. Obtemos F (x) = G(ψ(x)) para todo x ∈ I. Resumindo:

se procurar

F (x) =

∫f(x) dx

e difıcil, podemos tentar uma troca de variavel u = ψ(x) (ou seja u(x)). Em seguida, tentamos resolver∫f(φ(u))φ′(u) du.

Se este exercıcio e possıvel, obtemos G(u) e entao F (x) = G(ψ(x)).

Exemplo ∫1

1 +√

1 + xdx

A nova variavel pode ser u =√

1 + x. Ou seja, ψ(x) = u(x) =√

1 + x. Portanto, x = x(u) = φ(u) =

u2 − 1. Enfrentamos ∫f(φ(u))φ′(u) du =

∫2u

1 + udu

Este segundo integral e facil. ∫2u

1 + udu = 2u− 2 log |u+ 1|.

Voltando a variavel x, temos G(u) = 2u−2 log |u+1| = F (x(u)). Portanto F (x) = G(u(x)) = 2√

1 + x−2 log(1 +

√1 + x) (porque aqui nao temos o valor absoluto?).

Exemplo ∫1

1 +√

1 + x2dx

Aqui a substituicao u =√

1 + x2, que parece a mais logıca, da problemas. De fato chegamos a integral∫u(1 + u)√u2 − 1

du

que nao tem nenhma vantagem respeito a acima. E melhor escolher u+ x =√

1 + x2. Pode continuar o

exercıcio.

* * *

56

Estudo de funcoes integrais. Primeiramente, podemos povar que o teorema fundamental do calculo

integral vale tambem se escolher o extremo b na construcao na funcao integral

Teorema: dada uma funcao contınua f : [a, b]→ R, a funcao

H(x) =

∫ x

b

f(t) dt

e derivavel em cada x ∈ [a, b] e vale a igualdade:

H ′(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b].

Exercıcio 376. Prove o teorema acima: a tecnica e de fato a mesma da prova do teorema fundamental

do calculo integral.

Exercıcio 377. Observe que o resultado acima vale de fato para qualquer funcao integral K(x) =∫ xcf(t) dt, ou seja, para qualquer escolha de c ∈ [a, b].

Exercıcio 378. Verifique que H(x) − F (x) e constante, onde H e a do teorema acima e F e a do

teorema fundamental do calculo integral. Calcule quanto vale a constante.

Exercıcio 379. (em sala de aula) Estudo da funcao

F (x) =

∫ x

1

sen t

tdt

Em particular, queremos determinar: o domınio de F , o sinal, a derivada, em quais intervalos F e

crescente ou decrescente, os pontos de maximo e mınimo relativo.

Observamos, inclusive, algumas diferencas com a funcao

G(x) =

∫ x

1

| sen t|t

dt

Exercıcio 380. (em sala de aula) Estudo da funcao

F (x) =

∫ x+1

x

1

(t+ 2)et3dt

Em particular, estudamos o domınio, a derivada de F . Podemos provar que F e decrescente em

(−2,+∞).

Exercıcio 381. Seja a funcao

F (x) =

∫ x2

x

|t|+ 1

t4 + 1dt

Determine o domınio de F , calcule F ′(x), estude o sinal de F e calcule limx→+∞ F (x) (para o limite

use o confronto).

Outros exercıcios:

Guidorizzi, pagg. 367/8, faca alguns.

37. Sexta-feira 7 de junho de 2013

Integracao impropria.

57

Exemplos: ∫ 1

0

1

xdx e

∫ 1

0

1√xdx.

Definicao geral de integral impropria de uma funcao nao limitada em um intervalo [a, b].

Outro caso: integral impropria de uma funcao definida em um intervalo nao limitado. Exemplos e

definicao geral.

Exemplos: convergencia das integrais improprias:∫ 1

0

x−α dx e

∫ +∞

1

x−α dx,

onde α e positivo, fixado, diverso de 1.

Exercıcio 382. (um pouco mais difıcil) Estude a convergencias das integrais improprias∫ 0

−∞xex dx e

∫ +∞

0

1

1 + 4x2dx.

Exercıcio 383. Estude o limite quando x→ +∞ de∫ x2

x

e−t2

dt e

∫ x2

1

e−t2

dt.

38. Segunda-feira 10 de junho de 2013

e

39. Quarta-feira 12 de junho de 2013

Introducao a formula de Taylor.

Seja f : I → R uma funcao derivavel e seja x0 ∈ I fixado. Sejam as duas funcoes

T (x) = f(x)− f(x0)− f ′(x0)(x− x0), e S(x) = f(x)− f(x0)−m(x− x0), m 6= f ′(x0).

De fato, S(x) representa uma famılia de funcoes, variando m em R. O grafico de T representa a reta

tangente ao grafico de f em (x0, f(x0)), enquanto os graficos das S representam, para cada m, as retas

secantes ao grafico de f em (x0, f(x0)) (exceto so a secante vertical).

T (x) e S(x) aproximam f em x0, onde ”aproximar em x0” significa que

limx→x0

f(x)− T (x) = 0 e limx→x0

f(x)− S(x) = 0.

(Verifique os limites acima como exercıcio, usando o fato que f e contınua sendo derivavel)

A aproximacao dada por T e melhor do que todas as aproximacoes dadas pelas S(x), porque

limx→x0

f(x)− T (x)

x− x0= 0 enquanto lim

x→x0

f(x)− S(x)

x− x0= f ′(x0)−m 6= 0.

(Verifique os limites acima como exercıcio). Dizemos que f(x)−T (x) (o resto, ou erro, da aproximacao

por T ) tende para zero ”mais rapidamente” do que x − x0, enquanto f(x) − S(x) (o resto, ou erro, da

aproximacao por S) tende para zero ”com a mesma velocidade” do que x− x0.

Se f possui derivada segunda em I, podemos usar polinomios de grau 2 para obter aproximacoes

melhores, estendendo o argumento acima.

58

Procuramos um polinomio T2(x) = a0 +a1(x−x0) +a2(x−x0)2 tal que, analogamente ao caso linear,

limx→x0

f(x)−(a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2

)(x− x0)2

= limx→x0

f(x)− T2(x)

(x− x0)2= 0.

E imediato ver (verifique os detalhes) que o limite acima e verificado se e somente se

limx→x0

f(x)− a0 − a1(x− x0)

(x− x0)2= a2 (∗).

Sendof(x)− a0 − a1(x− x0)

(x− x0)2=f(x)− a0 − a1(x− x0)

x− x0· 1

x− x0,

ou seja,f(x)− a0 − a1(x− x0)

(x− x0)2· (x− x0) =

f(x)− a0 − a1(x− x0)

x− x0,

se existe a2 tal que (*) e verificado, entao, pelo produto dos limites, temos

limx→x0

f(x)− a0 − a1(x− x0)

x− x0= 0.

Do resultado visto no caso linear, temos como consequencia o fato que a0 = f(x0) e a1 = f ′(x0) (os

unicos dois valores que permitem o limite acima).

Agora precisa descobrir a2. O limite

limx→x0

f(x)−(f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + a2(x− x0)2

)(x− x0)2

se apresenta em uma forma indeterminada 0/0. Vamos usar o teorema de de l’Hopital.

f ′(x)− f ′(x0)− 2a2(x− x0))

2(x− x0)=f ′(x)− f ′(x0)

2(x− x0)− a2.

Portanto

limx→x0

f ′(x)− f ′(x0)

2(x− x0)− a2 = 0

se e somente se a2 =1

2f ′′(x0).

Qual pode ser a conclusao deste raciocınio? podemos dizer que, se f possui segunda derivada, existe e

e unico um polinomio de grau ≤ 2, T2(x) = f(x0)+f ′(x0)(x−x0)+ 12f′′(x0)(x−x0)2, tal que, escrevendo

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +1

2f ′′(x0)(x− x0)2 + r(x),

isto e

f(x) = funcao aproximante + funcao resto,

o resto tenda para zero mais rapidamente do que (x− x0)2, ou seja

limx→x0

f(x)− T2(x)

(x− x0)2= 0.

Em particular, a aproximacao dada por T2 e melhor daquela dada por T (x) (a reta tangente), por causa

do fato que f(x)− T (x) tende para zero mais rapidamente ”so” do que x− x0.

Observe que T2(x) pode ser de grau 1 (portanto igual a T ); se f ′′(x0) = 0.

Continuando assim, podemos estender a qualidade da aproximacao na medida em que f possua

derivadas de ordem superior. O resultado geral e o seguinte, que damos sem prova.

59

Teorema de Taylor. Seja f : I → R uma funcao derivavel ate a ordem n. Seja x0 ∈ I fixado. O

polinomio de grau ≤ n

Tn(x, x0) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +1

2f ′′(x0)(x− x0)2 + ...+

1

n!f (n)(x0)(x− x0)n

se chama polinomio de Taylor de f de ordem n e centro x0. Chamando a funcao definida como

Rn(x, x0) = f(x)− Tn(x, x0)

resto n-esimo (de f com centro x0), temos

1) limx→x0

Rn(x, x0)

(x− x0)n= 0;

1b) o polinomio de Taylor (de ordem n e centro x0) e o unico polinomio de grau ≤ n que verifca o

limite acima;

2) se f possui derivada de ordem n+ 1, para cada x ∈ I existe c entre x0 e x tal que

f(x) = Tn(x, x0) +f (n+1)(c)

(n+ 1)!(x− x0)n+1;

A formula acima se chama formula de Taylor de f de ordem n, centro x0 e resto em forma de

Lagrange;

3) se f possui derivada de ordem n+ 1, para cada x ∈ I temos

f(x) = Tn(x, x0) +1

n!

∫ x

x0

f (n+1)(t) (x− t)n dt.

A formula acima se chama formula de Taylor de f de ordem n, centro x0 e resto em forma integral.

Exercıcio 384. Prove o ponto 1b acima.

Aprximacao de e. A formula de Taylor de ex de ordem n e centro 0 e

ex = 1 + x+x2

2+x3

6+ ...+

xn

n!+Rn(x, 0) =

n∑k=0

xk

k!+Rn(x, 0), ∀x ∈ R,

onde, como tivemos visto, Rn(x, 0) verifica o limite

limx→0

Rn(x, 0)

xn= 0.

Em forma de Lagrange o resto e, dado x, Rn(x, 0) =ec

(n+ 1)!xn+1, onde c e um oportuno valor entre 0

e x. Sendo ex uma funcao crescente e lembrando que e < 4, se x = 1, temos∣∣∣∣∣e−n∑k=0

1

k!

∣∣∣∣∣ ≤ ec

(n+ 1)!<

4

(n+ 1)!.

Se, por exemplo, n = 7 (ou n ≥ 7), temos 8! = 40320 e portanto R7(1, 0) < 10−4. Assim,

a =

7∑k=0

1

k!

aproxima e com um erro menor de 10−4. O valor a acima tem os primeiros 4 digitos decimais depois da

virgola iguais aqueles de e.

Exercıcio 385. Determine os primeiros 4 digitos decimais de e.

60

O numero e e irracional. O exercıcio acima mostra que e fica entre 2, 7 e 2, 8, mas ainda nao

sabemos se racional ou nao. Provamos aqui que nao e. Dado n, temos∣∣∣∣∣e−n∑k=0

1

k!

∣∣∣∣∣ < 4

(n+ 1)!

Suponhamos que e seja racional, igual a p/q, p, q inteiros positivos. Seja n multiplo de q e maior de 4.

Multiplicando os dois lados da desigualdade acima por n!,∣∣∣∣∣n!p

q− n!

n∑k=0

1

k!

∣∣∣∣∣ < 4

n+ 1

O membro esquerdo e inteiro, sendo diferenca de inteiros, enquanto4

n+ 1< 1. Absurdo. Portanto e e

irracional.

Exercıcio 386. Prove, conforme feito em sala de aula, isto e, usando as propriedades da funcao

logaritmo, que 2 < e < 4.

40. Sexta-feira 14 de junho de 2013

As formulas seguintes sao centradas em zero.

ex = 1 + x+x2

2!+ ...+

xn

n!+Rn(x, 0),

senx = x− x3

3!+x5

5!+ ...+ (−1)n

x2n+1

(2n+ 1)!+R2n+1(x, 0),

cosx = 1− x2

2!+x4

4!+ ...+ (−1)n

x2n

(2n)!+R2n(x, 0),

log(1 + x) = x− x2

2+x3

3+ ...+ (−1)n−1

xn

n+Rn(x, 0),

(1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)

2x2 + ...+

α(α− 1)...(α− n+ 1)

n!xn +Rn(x, 0),

1

1− x= 1 + x+ x2 + ...+ xn +Rn(x, 0),

1

1 + x= 1− x+ x2 + ...+ (−1)nxn +Rn(x, 0).

Exercıcio. Determine a formula de Taylor de ordem 4 e centro em zero das funcoes

seguintes. Determine, a partir das formulas, a primeira e terceira derivada em zero.

387. x2ex 388. e senx

389. x3 − 3x2 + 2x+ 1 390. ex2

391. senx2√

1 + x 392. (log(1 + x))2

393. cosx arctgx 394. e( senx)2

Exercıcio. Calcule os seguintes limites usando a formula de Taylor.

395. limx→0

x− senx

x2396. lim

x→0

cosx− 1

x3

61

397. limx→0

√1 + x2 − 1

sen 2x398. lim

x→0

1−√

1− x22x2

399. limx→0+

e senx − 1

x2400. lim

x→0

tg (2x4)

x2 log (1 + x2)

401. limx→0+

elog(x+1) − 1

(log(1 + x))2 402. lim

x→0

x arctgx

1− cos( senx)

403. limx→π

| cosx| − 1

x sen 2x404. lim

x→1

(x− 1)(π

4− arctgx

)(

1− senπx

2

)x2

405. limx→0

cosx2 − 1

x sen 2x406. lim

x→0

√1 + tgx−

√1 + senx

x2

407. limx→+∞

(x3 + 1)(e1/x2 − 1) 408. lim

x→−∞x arctg

1

1 + 2x

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