1. Matemtica Aplicada Sistemas de Informao 2 perodo

2. Quantificadores Jorge Dantas jorgedantas@fcsl.edu.br 3. Sumrio: SumrioPgina1.0Objetivos da aula52.0Introduo63.0Desenvolvimento104.0Bibliografia204 4. Objetivos da aula: Fazer conhecer o uso de quantificadores para a transformao de sentenas abertas em proposies.5 5. INTRODUO Vimos e passamos a reconhecer o que se denomina Sentena Aberta:a) x 1 7 b) x 2 c) x 3x2que contm variveis e cujo valor lgico ( V ou F ) vai depender do valor atribudo varivel. 6 6. Sentena Aberta:a) x 1 7 b) x 2 c) x 3x2X+1=7 Verdadeira se trocarmos x por 6 e Falsa para qualquer outro valor dado a x. X>2 Falsa, por exemplo, para x=0.x=x Verdadeira se trocarmos x por 0 ou 2 e Falsa para qualquer outro valor dado a x. 7 7. Sentena Aberta:a) x 1 7 b) x 2 c) x 3x2Sentenas abertas no so proposies pois seu valor lgico ( V ou F ) vai depender do valor dado s variveis.H, entretanto, duas maneiras de transform-las em proposies: 1) atribuir valor s variveis 2) utilizar de quantificadores 8 8. DESENVOLVIMENTO Uma funo proposicional (ou uma sentena aberta) definida em A uma expresso do tipo:p(x) Que tem a propriedade que p(a) verdadeira ou falsa para cadaaA.O conjunto A dito o domnio de p(x), e o conjunto T, de todos os elementos de A para os quais p(a) chamado conjunto verdade de p(x). 9 9. Proposio sobre um conjunto: Se A um conjunto. Uma proposio sobre A uma proposio cujo valor lgicodepender do elementoxA.10 10. Proposio sobre um conjunto: So proposies sobre o conjunto N.a) b) c) d)n 1 n 10 n 1 n 2n imparQuais proposies so verdadeiras para qualquern N?11 11. Uma proposio p que descreve alguma propriedade de um elementoxA usualmente denotada por: p(x)Por exemplo: Vamos encontrar o conjunto verdade de cada funo proposicional p(x) definida no conjunto N dos inteiros positivos. a) Seja p(x) x+2 > 7. x; xN, x 2 7Qual o seu conjunto verdade? 6, 7, 8, ... verdade para todos os inteiros maiores do que 5 12 12. b) Seja p(x) x+5 < 3.x; xQual o seu conjunto verdade?N, x 5 3 No verdade para nenhum inteiro positivo em Nc) Seja p(x) x+5 > 1.x; xN, x 5 1Qual o seu conjunto verdade?N verdade para todo elemento em N13 13. Os exemplos que vimos,mostram que se p(x) uma funo proposicional definida em um conjunto A, ento p(x) pode ser verdade para todo xA, para algum xA , ou para nenhum xA.E ai se destacam dois quantificadores relacionados com essasfunes proposicionais.quantifica dor Unive rsal quantifica dor Existencia l Utilizados para transformar sentenas abertas em proposies. 14 14. Quantificador Universal: indicado pelo smbolo, que se l:qualquer que seja para todo para cada15 15. Quantificador Existencial: indicado pelo smbolo, que se l:existe existe pelo menos um existe um16 16. Exemplificando:Considere a sentena abertap(x): x + 1 = 1 A partir dela podemos formar: Existex Para todopertencente a Z;x+1=1xx+1=1pertencente a Z;17 17. Quantificador Universal:qualquer que seja, para todo, para cada.x x 1 7que se l:qualquer que seja x, temos x + 1 = 7.x x32x2(falsa)que se l:para todo x, temos x = 2x.(falsa) 18 18. Quantificador Universal:qualquer que seja, para todo, para cada.a a 12a22a 1que se l:qualquer que seja a, temos (a+1) = a +2a +1.y y2 1 0(verdadeiro)que se l:para todo y, temos y +1 positivo.(verdadeiro) 19 19. Quantificador Existencial: existe, existe pelo menos um, existe um.20 20. Considere que: P(x) denotax estudou Matemtica O universo do consiste de todos os alunos da FCSLx P(x) equivale a " todo aluno da FCSL estudou Matemtica " x P(x) equivale a " algum aluno da FCSL estudou Matemtica "21 21. Os predicados que vimos at agora, envolvendo propriedades de uma nica varivel, so predicados unrios.Entretanto, os predicados podem ser binrios, envolvendo propriedades de duas variveis, ternrios, envolvendo propriedades de trs variveis ou,n-rios, envolvendo propriedades de n variveis.A expressoxy Q x,y lida comopara todo x existe um y tal que Q(x,y). 22 22. A ORDEM DOS QUANTIFICADORES IMPORTANTE.x y o mesmo que x y o mesmo que x y no o mesmo quey x y x y x23 23. A ORDEM DOS QUANTIFICADORES IMPORTANTE.x yno o mesmoquey xNa expresso x y Q x, y - l - se : para todo x existe um y tal que Q x, y p.ex.: para todo inteiro existe um inteiro maior Com a mesma interpretao : Na expresso y x Q x, y - l - se : existe um y para todo x tal que Q x, y p.ex.: existe um inteiro maior para todo inteiro 24 24. Exemplos:xy xyxV erdadeiro:escolha y=0yx xyxVerdadeiro:escolha y=0xy xy0Verdadeiro:escolha y = -xyx xy0Falso : nenhum y funciona para todos os x 25 25. BIBLIOGRAFIA Livros: Fundamentos matemticos para a cincia da computao * Judith L Gersting26 26. AGRADECIMENTOSObrigado a todos pela presena! Prof Jorge Dantas 27