Mat PI 7+8+9 Testes

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes

http://slidepdf.com/reader/full/mat-pi-789-testes 1/43

PI7 |PI8 |PI9

MATEMÁTICARecursos para a Prova Final de Ciclo

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


Apresentação

Esta compilação de materiais foi idealizada no sentido de fornecer aos professores adotantes do

projeto Pi 9 , de um modo sis tematizado, os r ecursos necessários para uma rápida r evisão de

todos os cont eúdos abordados ao long o do 3º ciclo , log o, uma mais efic az ferramenta de

preparação para a Prova Final de Ciclo.

Assim, esta publicação contém:

• 19 rubricas “Resumir” (de todas as unidades do 3º ciclo);

• 19 rubricas “Testar” (de todas as unidades do 3º ciclo – Manual);

• 19 rubricas “Testar” (de todas as unidades do 3º ciclo – Caderno de Atividades);

• 9 “Provas globais” (Caderno de Atividades).

Deste modo, esperamos contribuir para a melhor preparação possível da sua atividade letiva.

Os Autores

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


Recursos paraa Prova Final

de Ciclo 7

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


4

Resumir

Unidade 1 Números inteiros

Multiplicação de números inteiros

Exemplos:

1. +2 × (+3) = +6 2. –5 × (–7) = +35

Exemplos:

1. +4 × (–12) = –48 2. –6 × (+10) = –60

Propriedades da multiplicação:

O produto de dois números inteiros com sinais diferentes é um número negativo cujo valor absoluto é igual

ao produto dos valores absolutos dos fatores.

O produto de dois números inteiros com o mesmo sinal é um número positivo cujo valor absoluto é igual ao

produto dos valores absolutos dos fatores.

Propriedade distributiva

em relação à adição

Existência de

elemento absorvente

Existência de

elemento neutro

Propriedade

associativa

Propriedade

comutativa

Propriedades

damultiplicação

Para quaisquer números

inteiros a, b e c:

a × (b + c) = a × b + a × c

Sendo a um qualquer

número inteiro:

a × 0 = 0

Sendo a um qualquer

número inteiro:a × 1 = a

Para quaisquer números

inteiros a, b e c:

a × (b × c) = (a × b) × c

Para quaisquernúmeros inteiros a e b:

a × b = b × a

2 × ((–3) + 4) =

= 2 × (–3) + 2 × 4 =

= 6 + 8 = +2

Exemplo:

(–7) × 0 = 0

Exemplo:

(–2) × 1 = 2

Exemplo:

2 × ((–3) × 4) = 24

(2 × (–3)) × 4 = 24

Exemplo:(–2) × (–3) = +6

(–3) × (–2) = +6

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


5

Divisão de números inteiros

Exemplos:

1. –10 : (–5) = +2 2. + 500 : (+100) = +5

Exemplos:

1. –100 : (+20) = –5 2. +60 : (–3) = –20

Exemplos:

1. 0 : (–12) = 0 2. 0 : (+10) = 0

Quadro-resumo:

O quociente entre dois números inteiros com sinais diferentes é um número negativo. O valor absoluto do

quociente é o quociente dos valores absolutos do dividendo e do divisor.

O quociente entre zero e qualquer número inteiro, diferente de zero, é igual a zero.

O quociente entre dois números inteiros com o mesmo sinal é um número positivo. O valor absoluto do

quociente é o quociente dos valores absolutos do dividendo e do divisor.

Potência de base inteira e expoente natural

Uma potência de base a e expoente n é um produto de n fatores iguais a a:

Expoente

an = a × a × … × a

Base n fatores

(+) × (+) = (+)

(+) × (–) = (–)

(–) × (+) = (–)

(–) × (–) = (+)

(+) : (+) = (+)

(+) : (–) = (–)

(–) : (+) = (–)

(–) : (–) = (+)

0 : (+) = 0

0 : (–) = 0

(–) : 0 é impossível

(+) : 0 é impossível

Multiplicação Divisão

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


6

Resumir


Da definição de potência resulta que:

Exemplos:

1. 52 = 5 × 5 = +25 2. (+1)5 = (+1) × (+1) × (+1) × (+1) × (+1) = +1

Exemplos:

1. (–3)2 = (–3) × (–3) = +9 2. (–1)4 = (–1) × (–1) × (–1) × (–1) = +1

Exemplos:

1. (–3)3 = (–3) × (–3) × (–3) = –27 2. (–1)5 = (–1) × (–1) × (–1) × (–1) × (–1) = –1

Quadro-resumo:

Uma potência de base negativa e expoente ímpar é um número negativo.

Uma potência de base negativa e expoente par é um número positivo.

Uma potência de base positiva é sempre um número positivo.

Da definição de potência também é evidente que:

Exemplos:

1. 03 = 0 × 0 × 0 = 0 2. 06 = 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 = 0 3. 07 = 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0 = 0

Uma potência de base zero e expoente diferente de zero é sempre igual a zero.

par ímpar

+ +sinal da

potência

positiva (+) base

Expoente par ímpar

+ –

negativa (–)

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


7

Raiz quadrada

Exemplos:

1. Como 52 = 25, então √∫2 ∫5 = 5.

2. Como 72 = 49, então √∫4 ∫9 = 7.

3. Como 272 = 729, então √∫7 ∫2 ∫9 = 27.

Exemplos:

1. 25 = 52, logo 25 é um quadrado perfeito.



Os 10 primeiros quadrados perfeitos são 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100.

Raiz cúbica

Exemplos:

1. Como 23 = 8, então 3√∫8 = 2.

2. Como 53 = 125, então 3√∫1 ∫2 ∫5 = 5.

3.Como 12

3

= 1728, então

3

√∫1 ∫7 ∫2 ∫8 = 12.

Exemplos:

1. 8 = 23, logo 8 é um cubo perfeito.



Os 10 primeiros cubos perfeitos são 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 e 1000.

Chama-se cubo perfeito a um número que é igual ao cubo de um número inteiro positivo.

A raiz cúbica de um número a é um número b tal que b3 = b × b × b = a .

A raiz cúbica de a representa-se por 3√∫a .

Chama-se quadrado perfeito a um número que é igual ao quadrado de um número inteiro.

A raiz quadrada de um número a (não negativo) é um número b (não negativo) tal que b2 = b × b = a .

A raiz quadrada de a representa-se por √∫a ou 2√∫a .

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


1. Associa um número inteiro a cada uma das seguintes situações.

1.1. A Mariana ganhou 8 € num sorteio.

1.2. A Carla perdeu uma nota de 5 € que levava no bolso.

1.3. O João depositou 500 € na sua conta bancária.

1.4. O Sr. Fernando passou um cheque de 2600 € para pagar o conserto do seu automóvel.

2. Escreve:

2.1. um número inteiro compreendido entre –5 e 7;

2.2. um número inteiro compreendido entre –12 e –10;

2.3. um número não inteiro compreendido entre –4 e –7.

3. Sem efetuares cálculos, indica o sinal de cada uma das seguintes potências.

3.1. (–1)4

3.2. (+7)8

3.3. (–7)3

3.4. (+1)8

4. Calcula.

4.1. –(–3) + (–2)

4.2. –(–6 + 4) + (–3 –1)

4.3. (–3) × (–9)

4.4. (–12) : (–6)

4.5. (–3) × (–12) + (–36)

4.6. (–3 + 4) × (–2) + (–8) : (–8)

4.7. –7 × (–10 + 3) – (–6)

4.8. (–6) : (–3) × (–4) : (–1)

5. Calcula.

5.1. (–3)2

5.2. (–4)2 + (+3)3

5.3. (–5)2 + (–7)2

5.4. (–6)2 – (–1)250

5.5. (–3 + 2)4

: (–1)50

– (–3 + 7)2

46

TESTAR


[1]

[1]

[1]

[1]

[2]

[2]

[2]

[1]

[1]

[1]

[1]

[2]

[2]

[2]

[2]

[3]

[3]

[3]

[3]

[3]

[3]

[3]

[3]

[3]

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


6. Escreve sob a forma de uma só potência.

6.1. (–3)3× (–2)3 : (+6)2

6.2. (–2)3 : (–2)2× (–2)4

7. Apresentando todos os cálculos que tiveres de efetuar, responde às questões.

7.1. Qual é o valor absoluto do produto de –5 por 12?

7.2. Qual é o quociente entre o simétrico de –6 e o valor absoluto de –2?

7.3. Qual é o quadrado do valor absoluto de 12?

7.4. Qual é o quadrado da soma de +5 com o simétrico de –6?

8. Uma capicua é uma sequência de algarismos cuja leitura da direita para a esquerda ou da es-querda para a direita dá o mesmo número.

Por exemplo, 75 957 e 30 003 são capicuas.

8.1. Escreve três capicuas diferentes das referidas no exemplo.

8.2. Indica o menor quadrado perfeito que seja capicua.

8.3. Indica os quadrados perfeitos inferiores a 1000 que são capicuas.

9. Depois de copiares para o teu caderno, completa os enquadramentos colocando nos espaços

vazios dois números inteiros consecutivos.

Exemplo: 2 < √∫7 < 3 (2 e 3 são números inteiros consecutivos)

9.1. ? < √∫2 ∫4 < ?

9.2. ? < 3√∫5 ∫5 < ?

9.3. ? < √∫5 ∫7 < ?

9.4. ? < 3√∫5 ∫8 ∫3 < ?

10. Sabendo que o quadrado de um número positivo é 49, calcula o cubo da soma desse número

com 1.

11. Calcula a área de um quadrado cujo lado tenha o dobro do comprimento do lado de um qua-

drado de 20 m2 de área.

(Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, mantém 3 casas decimais.)

12. Calcula a área lateral de um cubo cujas arestas tenham o triplo do comprimento das arestas

de um cubo com 30 m3 de volume.

(Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, mantém 3 casas decimais.)

47

[3]

[3]

[2]

[2]

[2]

[2]

[3]

[3]

[3]

[2]

[2]

[2]

[2]

[6]

[5]

[9]

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


1 “O produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro positivo.”

Prova que a afirmação anterior é falsa, encontrando um contraexemplo.

2 Sem efetuar cálculos, completa a tabela indicando o sinal de cada uma das potências.

3 Determina o valor de cada uma das seguintes expressões.

3.1 ((–3)2 + (–7)) × (–5 + 6)

3.2 (–5 × (–2 +1))3 : (–5)

3.3 0456 + (–1)789× (–3√∫1∫ ∫2∫ ∫5) + (+1)178

× (–32 + √∫3∫ ∫6)

3.4 √∫(∫ ∫–∫ ∫3∫ ∫)∫ ∫×∫∫ ∫(∫ ∫–∫ ∫2∫ ∫)∫∫ ∫+∫∫ ∫3∫∫ ∫∫2∫ ∫ ∫7 ∫ ∫–∫ ∫(∫ ∫3∫∫ ∫ ∫∫∫3∫ ∫)∫3∫

4 Observa a figura.

Como podes observar, a figura pode ser decomposta em 6 quadrados. Sabendo que cada um deles tem

36 mm2 de área, determina o perímetro da figura.

14

Testar


Potência (–9)2 (+27)24 (–35)457 (+24)223

Sinal

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


15

5 Na figura A está representado um dado equilibrado, cuja planificação se apresenta esquematizada na

figura B. A Maria vai lançar este dado duas vezes e multiplicar os números saídos nos dois lança-

mentos.

5.1 Quais os produtos que a Maria pode obter?

5.2 A Maria acha que o produto dos dois números será negativo, enquanto a sua amiga Leonoracha que o produto será positivo. Quem achas que tem mais hipótese de acertar? Explica o teu

raciocínio.

5.3 Sabendo que o cubo da figura A tem 27 cm3 de volume, determina a área das faces que con-

têm números não negativos. Explica como procedeste.

6 Observa o polígono RSTU .

O polígono anterior pode ser decomposto em dois triângulos congruentes, RR’U e SS’T , e um qua-drado, RR’S’S, tal como mostra a figura seguinte.

Sabendo que UR’ = 4 cm e que a área do quadrado RR’S’S é igual a 16 cm2, determina UT .

R S

U

R

R’

R

R’ U

S

S’

S

S’ T

T

–1

10

Figura BFigura A

–1

1 0 1 0

–1

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


106

Prova global 1

1 Numa pequena Vila do interior do país, abriu uma sala de cinema que apresenta, exclusivamente, ci-

nema português. Esta sala é composta por várias filas, todas com 23 lugares. Numa determinada

sessão, para a primeira fila foram vendidos apenas 2 bilhetes, para a segunda 5 e para a terceira 8.

1.1 Se a regularidade se tivesse mantido, quantos bilhetes teriam sido vendidos para a sexta fila?

1.2 Nessa sessão foram vendidos bilhetes para todas as filas, sendo que a última ficou completa.

Supondo que a regularidade anterior se manteve, determina quantas filas tem o cinema.

Explica o teu raciocínio.

2 Na passada quinta-feira, o aparelho de ar condicionado da sala teve uma avaria durante a exibição de

um filme. A temperatura,C, da sala, t horas após a avaria e até ao final do filme, pode ser dada, apro-

ximadamente, pela expressão C = 21 + 2t , com C expresso em graus Celsius e t expresso em horas.

2.1 Qual era a temperatura na sala, em graus Celsius, uma hora após a avaria?

2.2 Qual foi, na sala, o aumento da temperatura por hora, em graus Celsius? Explica como che-

gaste à tua resposta.

2.3 No final do filme, a temperatura na sala era de 24 graus Celsius. Há quanto tempo tinha ocor-

rido a avaria? Apresenta o resultado em minutos.

Exame Nacional do Ensino Básico, 9.o ano, 2008 – 1.a chamada

3 A figura ao lado representa a sala de cinema. A Anabela sentou-se no

lugar assinalado com a letra A, a uma distância de 10 m do ecrã.Numas filas à sua frente, sentaram-se o Ivanildo (I) e o Janício (J),

que se encontravam a 5 m um do outro. Determina a largura do ecrã,

sabendo que o Ivanildo se encontra distanciado dele 6 m. Explica o

teu raciocínio.

Ecrã

A

I J

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


107

4 Tal como a figura da questão anterior sugere, a sala tem a forma de um quadrado. Sabe-se que a sala

tem 225 m2 de área e um pé-direito (distância do pavimento ao teto) constante e igual a 15 m. Pre-

tende-se forrar o teto, e todas as paredes, com um material que melhora o isolamento acústico da

sala e que custa 125 €/m2. Quanto se vai gastar nesta operação? Explica o teu raciocínio.

5 A direção da empresa responsável pela sala de cinema abriu um concurso para escolha do melhor lo-

gótipo para a empresa. O logótipo vencedor foi o seguinte.

Sabe-se que:

• ABCD é um paralelogramo

• DCE é um triângulo retângulo escaleno

•∠ECD = 72o

• BC = 7 dm; ED = 3 dm; AB = 3,16 dm; CE = 1 dm

5.1 Determina a amplitude dos ângulos:

a) ∠DCB;

b) ∠ ADC.

5.2 Determina a área do logótipo.

6 O diagrama ao lado representa as idades das

oitenta pessoas que participaram no concurso

para escolha do melhor logótipo.

6.1 Qual é a idade da pessoa mais velha a concorrer?

6.2 Indica a percentagem de concorrentes com 32 anos, ou mais.

6.3 Determina quantos dos concorrentes tinham 22 anos, ou menos. Explica o teu raciocínio.

6.4 Sabe-se que entre os oitenta concorrentes, havia mais vinte homens do que mulheres. Quan-

tas foram as mulheres que participaram?

0 10 20 30 40 50 60

Português

Cinema

A D

B C E

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


108

1 O Ezequiel comprou recentemente um terreno agrícola onde cultiva vários produtos: cebola, batata,

diversas frutas, etc. O Ezequiel destinou uma grande parte do terreno à plantação de macieiras. Para

as plantar, utiliza um padrão quadrangular e, para as proteger do vento, planta coníferas à volta do

pomar. Esta situação está ilustrada no diagrama seguinte, no qual se pode ver a disposição das ma-

cieiras e das coníferas para um número qualquer (n) de filas de macieiras.

1.1 Completa a tabela.

1.2 Seja n o número de filas de macieiras.

a) Indica uma expressão algébrica que permita determinar o número de macieiras de uma

qualquer figura desta sequência.

b) Indica uma expressão algébrica que permita determinar o número de coníferas de uma

qualquer figura desta sequência.

c) Haverá alguma figura com 98 macieiras? Porquê?

Adaptado de Pisa 2000

2 Para combater o bicho da fruta, o Ezequiel utiliza um pesticida que não tem efeitos nocivos para o

meio ambiente. Este pesticida é vendido em sacos de 10 kg.

2.1 Na semana passada o Ezequiel comprou 12

sacos e pagou 180 €. Com base nesta infor-

mação, completa a tabela ao lado:

2.2 Seja h a função que ao número de sacos comprados, n, associa o valor a pagar pelo Ezequiel.

Escreve uma expressão algébrica de h.

2.3 Este mês, o Ezequiel gastou 150 € na compra de pesticida. Quantos quilogramas comprou?


Prova global 2

n Números de macieiras Números de coníferas

1 1 8

2 4

3

4

5

X X X

X ● X

X X X

X X X X X

X ● ● X

X X

X ● ● X

X X X X X

X X X X X

X ● ●

X

X ● ●

X

X ● ●

X X X X X

X

●

●

●

X

X

X

X

X

X

X

X

X X X X X

X ● ●

X

X ● ●

X

X ● ●

X

X

●

●

●

X X

●

●

●

X

X

X

X

X

X

X

X ● ● ● ● X

X X X X X X X X X

n = 1 n = 2 n = 3 n = 4

X = conífera● = macieira

Número de sacos 0

Preço (€)

12

180 45

7

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


109

3 Na figura apresenta-se um esquema do terreno comprado pelo Ezequiel.

3.1 Determina a amplitude dos ângulos α , β e ε . Explica o teu raciocínio.

3.2 Determina a área destinada às macieiras.

3.3 Prova que os triângulos GOE e HCF são semelhantes.

4 O Ezequiel tem um minimercado onde coloca à venda cabazes de legumes variados. Cada um desses

cabazes, independentemente do peso e da constituição, é vendido a 7 €. O número de cabazes de le-

gumes vendidos em cada um dos 15 primeiros dias deste mês foi:

10; 12; 8; 8; 6; 7; 9; 15; 10; 14; 17; 18; 7; 14; 7

4.1 Indica, justificando, qual dos seguintes diagramas corresponde à informação dada.

4.2 Uma cliente comprou dois cabazes de legumes, três latas de ananás em calda e dois pacotesde arroz. Sabendo que a cliente pagou 18,7 € e que o pacote de arroz custa mais dez cêntimos

do que a lata de ananás, determina o preço de cada pacote de arroz. Explica o teu raciocínio.

4.3 Os cabazes que não são vendidos são colocados numa enorme arca frigorífica com a forma de

um cubo. O Ezequiel pretende forrar o chão dessa arca com um material antiderrapante que

custa 15 €/m2. Sabendo que a arca tem 27 000 dm 3 de volume, determina quanto terá de

gastar o Ezequiel. Explica o teu raciocínio.

A60 cm

B

G

H

O

E

140 cm

Pessegueiros

Pereiras

Limoeiros Macieiras

Legumes

C

F

D

40 cm

80 cm

27o

0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


110

1 Uma grande empresa nacional decidiu construir uma fábrica de enchidos perto de Montalegre. A Câ-

mara Municipal desta vila achou que a construção desta fábrica seria importante porque criaria cen-

tenas de novos postos de trabalho, ação importante no combate à desertificação do interior do País.

Assim, decidiram oferecer à referida empresa um campo, nos arredores da vila, com 22 500 m 2 de

área e com a forma de um quadrado, onde a fábrica pudesse ser edificada.

1.1 Antes de começar a construção, foi necessário vedar o terreno. A vedação foi feita com pai-

néis metálicos retangulares com 2 m de altura e 3 m de comprimento. Determina o número

mínimo de painéis que foram necessários. Explica o teu raciocínio.

1.2 Depois de construída a fábrica, foi preciso contratar pessoas. A fábrica contratou mais trinta

mulheres do que homens, num total de 68 pessoas. Determina quantos homens contratou a

fábrica, explicando o teu raciocínio.

1.3 Das 68 pessoas contratadas, apenas 25 não moram em Montalegre. A fábrica fez um estudo

acerca do tempo, em minutos, que cada uma dessas pessoas demora a fazer o percurso casa-

-fábrica. Os resultados obtidos encontram-se na tabela seguinte:

a) Indica a classe modal.

b) Elabora um histograma com a informação da tabela.

2 O Diogo foi contratado para gerir a fábrica de enchidos e, de imediato, lançou

uma campanha publicitária que relacionava os produtos com Geometria.

Assim, em todas as encomendas que enviava era colocado um rótulo igual ao

da figura, acompanhado do seguinte texto: “Sabendo que BCE é um triângulo

equilátero e que ABCD é um quadrado, descubra a amplitude do ∠FBE , en-

quanto se delicia com o nosso maravilhoso fumeiro”.

2.1 Determina a amplitude do ∠FBE , explicando o teu raciocínio.

Prova global 3

Tempo (minutos) [0, 5[

Número de funcionários 5

[5, 10[

7

[10, 15[

8

[15, 20[

3

[20, 25[

2

A D

B C

E

F

FumeiroMontalegrense

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


111

2.2 O Filipe, quando viu o rótulo pela primeira vez, afirmou: “Os triângulos CFD e BEF são seme-

lhantes”. Concordas com o Filipe? Porquê?

3 Em abril do ano passado, a fábrica decidiu apostar num

novo produto: o famoso “F olar de Montalegre”. Assim,

associou-se com uma pastelaria que produz o folar uti-

lizando os enchidos fornecidos pela fábrica.

Admite que a função T , cujo gráfico se apresenta ao

lado, permite determinar a temperatura do folar , em

graus Celsius, t minutos após ter sido retirado do forno.

3.1 Indica a temperatura do folar no instante emque é retirado do forno.

3.2 Qual é a temperatura do folar dois minutos após ter sido retirado do forno?

3.3 Determina T (12) e interpreta o resultado obtido no contexto do problema.

3.4 Quanto tempo é necessário para que o folar atinja os 30 oC?

3.5 Com o decorrer do tempo, a temperatura do folar tende a igualar a temperatura ambiente. In-

dica, justificando, a temperatura ambiente.

3.6 As vendas do folar decorreram a bom ritmo. Na primeira semana, venderam-se 113 folares

e, em cada uma das semanas seguintes, mais oito do que na semana anterior.

a) Completa a seguinte tabela.

b) Por divergências orçamentais, a fábrica e a pastelaria decidiram parar a produção conjunta

numa altura em que vendiam 153 folares por semana. Quantas semanas durou a parceria

entre a fábrica e a pastelaria? Explica o teu raciocínio.

Número de semanas 1

Número de folares vendidos 113

2 3 4 …

…

n

T e m p e r a t u r a

( o C )

Tempo (minutos)

90

80

70

60

50

40

30

20

10

02 4 6 8 10 12 14 16 18 20

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes



de Ciclo 8

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


UNIDADE 1 Isometrias

RE

S U M

I R

Segmentos de reta equipolentes são segmentos de reta orientados com a

mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.

Um vetor é definido por um comprimento, uma direção e um sentido. Segmentos de reta orien-

tados equipolentes são diferentes representações do mesmo vetor. A≥B: vetor definido por todos os segmentos de reta orientados

equipolentes ao segmento de reta [ A, B]. Também se pode utilizar

uma letra, normalmente minúscula, para representar um vetor.

Vetores simétricos têm a mesma direção, o mesmo comprimento e sentidos opostos.

O vetor simétrico de→

a é –→

a.

Movimento de translação: a figura efetua um deslocamento

ao longo de uma reta.

A figura não roda e mantém as suas dimensões.

Translação como transformação geométrica

O quadrilátero A’B’C’D’ pode obter-se do quadrilátero

ABCD por uma translação. Diz-se que A’B’C’D’ é a imagem

de ABCD por uma translação.

Para descrever uma translação basta referir a direção, o sentido e o comprimento do des-

locamento. As translações são transformações geométricas que não alteram a forma nem o ta-

manho da figura.

Segmento de reta cuja origem é o

ponto A e cuja extremidade é o ponto B:

segmento de reta [ A, B].

Segmento de reta cuja origem é o

ponto B e cuja extremidade é o ponto A:

segmento de reta [B, A].

TRANSLAÇÕES

VETORES

A D

B

C

A’ D’

C’

B’

a

–a

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


ISOMETRIAS

Adição de vetores

O vetor soma,→

a +→

b, tem a origem do primeiro vetor e a ex-

tremidade do segundo.

A soma de dois vetores simétricos tem como resultado o

vetor nulo, que se representa por →0: –→v + →v = →0.

Vetores e translações

O pentágono P2 é a imagem do pentágono P1 na translação

associada ao vetor→

u (T →u).

Propriedades de uma translação• Um segmento de reta é transformado num segmento de reta paralelo ao primeiro e com o

mesmo comprimento.

• Um ângulo é transformado num ângulo com a mesma amplitude do primeiro.

• Numa translação, qualquer figura é transformada numa figura congruente com a primeira.

Uma isometria é uma transformação geométrica do plano que conserva os comprimentos dossegmentos de reta e as amplitudes dos ângulos.

Existem quatro tipos de isometrias no plano: reflexão, rotação, translação e reflexão deslizante.

P1 P2

Isometrias no plano

Reflexão

A reflexão de eixo r transforma qualquer ponto P

do plano num ponto P’ de tal modo que o eixo de

reflexão r é a mediatriz do segmento de reta PP ’.

Rotação

Uma rotação de centro em C e ângulo de rotação α

transforma um ponto P do plano num ponto P ’ de

tal modo que o segmento de reta CP é igual aosegmento de reta CP ’ e∠PCP’ = α .

Translação

A translação do plano associada a um vetor→

v

transforma qualquer ponto P do plano num ponto P ’

tal que o segmento de reta [P, P ’] tem a mesma

direção, comprimento e sentido que o vetor→

v . →

Reflexão

deslizante

A reflexão deslizante do plano associada ao eixo r

e ao vetor→

v , paralelo a r , é o resultado da com-

posição da reflexão do plano associada ao eixo r

com a translação do plano associada ao vetor→

v .

→

→

→

→→

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


Como já sabes, alguns frisos obtêm-se pela repetição de um determinado motivo, respei-

tando um movimento de translação. Nos frisos seguintes, tenta identificar um motivo que

lhes dê origem.

Qual das seguintes figuras representa uma translação?

[A] [B] [C] [D]

Adaptado de Texas Assessment of Knowledge and Skills (Grade 5/Abril 2009)

Observa a seguinte figura.

Representa, no teu caderno, a imagem do triângulo ABC através:

2.1. da translação associada ao vetor→

v ;

2.2. da reflexão de eixo d .

Testar1

2

3

44

6%

6%

6%

4%

4%

IsometriasUNIDADE 1

3.1. 3.2.

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


Observa a seguinte figura.

4.1. Utilizando as letras da figura, indica dois vetores:

a) com o mesmo comprimento;

b) com a mesma direção, mas com sentidos opostos.

4.2. Calcula:

a) A≥E + E ≥D b) B≥D + H ≥M c) A≥D + C ≥B

4.3. Indica a imagem do ponto A por meio da translação associada ao vetor:

a) A≥D b) – J ≥ A c) D≥C d)→

0

4.4. Comenta a afirmação: “A imagem do ponto A pela translação associada ao vetor F ≥G é o

ponto D ”.

4.5. Qual é a imagem do segmento de reta AB por meio da translação associada ao vetor B≥C ?

4.6. O ponto C é a imagem do ponto J na translação associada a que vetor?

4.7. Constrói, no teu caderno, a imagem da figura pela T E ≥C o T B≥M.

Constrói, no teu caderno, a imagem do polígono 1 na reflexão deslizante associada ao eixo r

e ao vetor→

v .

4

5

45

6%

12%

12%

4%

3%

3%

9%

10%

6%

4%

5%

→

6.1. Constrói, no teu caderno, um triângulo ABC , equilátero, sabendo que o segmento de reta

AB mede 4 cm.

6.2. Identifica as simetrias de rotação do triângulo ABC , que construíste na alínea anterior.

6.3. Desenha o triângulo A’B’C’, imagem do triângulo ABC numa rotação de centro em A e am-

plitude –90o.

6

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


UNIDADE 1 Isometrias

14

1 Observa a figura.

Indica a figura que pode ser a imagem por uma translação da figura anterior.

[A] [B] [C] [D]

2 Na figura está representado o trapézio ABCD, o vetor→

u e a reta r .

3 Comenta a afirmação: “Dois triângulos equiláteros são sempre translação um do outro”.

Constrói a imagem do trapézio ABCD através:

2.1. da rotação de centro em A e amplitude –90o;

2.2. da reflexão de eixo r ;

2.3. da reflexão deslizante associada ao eixo r e ao vetor→

u.

Testar

→

u

r

AB

C D

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


Na figura está representado um hexágono regular ABCDEF , ins-

crito numa circunferência de centro em G.

4.1. Após uma rotação de centro em G e amplitude –120o, o

ponto D desloca-se para uma posição que, antes da rota-

ção, era ocupada por outro ponto. De que ponto se trata?

4.2. Indica a imagem do ponto E numa rotação de centro em G

e amplitude –180o.

4.3. Indica a imagem do triângulo CGD numa rotação de centro em G e amplitude +240o.

4.4. O ponto C é a imagem do ponto E numa rotação de centro em G. Indica a amplitude do ângulode rotação.

4.5. O hexágono da figura tem simetria rotacional? Justifica.

4.6. O hexágono da figura tem simetria axial? Justifica.

4.7. Define uma translação que transforme o segmento de reta DE no segmento de reta AB.

4.8. Completa:

a) A≥F + E ≥D = ______

b) ______ + F ≥ A =→

0 (→

0 é o vetor nulo)

c) ______ + G≥E = B≥D

4.9. Utilizando as letras da figura, indica dois vetores com a mesma direção, sentidos opostos e com-

primentos diferentes.

4.10. Qual das seguintes afirmações é falsa?

[A] Os vetores A≥F e C ≥D têm a mesma direção.

[B] Os vetores B≥C e C ≥D têm o mesmo comprimento.

[C] Os vetores B≥E e B≥G têm o mesmo sentido.

[D] O triângulo BCG pode ser obtido do triângulo GEF através de uma translação.

4 A F

C D

E B

G

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


Prova global 1

86

O João decidiu certificar a qualidade da pastelaria de que é proprietário. Num processo de certifi-

cação de qualidade, é necessário proceder a um rigoroso controlo dos bolos produzidos. Assim,

foram selecionados aleatoriamente 400 bolos, de entre os 4000 produzidos num dia, que foram

avaliados em quatro parâmetros distintos. No gráfico seguinte apresentam-se os resultados obtidos.

1.1 O estudo realizado é um censo ou uma sondagem? Justifica.

1.2 Qual é a população e a amostra a que respeita o estudo?

1.3 Quantos bolos, de entre os 400 avaliados, foram aprovados em todos os parâmetros?

1.4 Qual é a percentagem de bolos aprovados em dois parâmetros? Apresenta todos os cálculos

que efetuares.

120 bolos

5%

60%

Aprovado em todos os parâmetros

Aprovado em 3 parâmetros

Aprovado em 2 parâmetros

Aprovado em 1 parâmetro

1

Resolve a equação seguinte, apresentando os cálculos que efetuares.

x( x – 7) – 3( x – 7) = 0

2

A pastelaria do João fornece bolos às duas escolas básicas das redondezas. No ano passado, ven-

deu a uma delas 7,2 × 103 bolos e à outra 1,54 × 104. Sabendo que a pastelaria vende, às escolas,

cada bolo a 27 cêntimos, determina o valor recebido, no ano passado, proveniente deste negócio.

Mostra como chegaste à resposta.

3

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


Na pastelaria do João estão à venda caixas com bolos tradicionais.

4.1 Existem caixas com três bolos e existem caixas com quatro bolos. Sabe-se ainda que:

• as caixas vazias têm todas a mesma massa (peso);

• os bolos têm, também, todos a mesma massa;

• uma caixa com quatro bolos pesa 310 gramas;

• duas caixas, cada uma com três bolos, têm uma massa total de 470 gramas.

Qual é a massa, em gramas, de cada caixa vazia? Mostra como chegaste à tua resposta.

4.2 Observa as seguintes figuras.

Figura A Figura B

A figura A é uma fotografia de uma das caixas e a figura B representa um modelo geométrico

dessa caixa. Sabe-se que EFGHI é uma pirâmide quadrangular regular, de altura IJ .a) Prova que a reta IJ é perpendicular ao plano EFG.

b) Determina, em cm3 e com aproximação às centésimas, o volume do sólido representado na

figura B, sabendo que—EF = 20 cm e

—

FI = 18 cm. Mostra como chegaste à tua resposta.

Adaptado de Exame Nacional de Matemática do Ensino Básico, 2010

c) Como podes observar, na figura A, o logótipoda pastelaria está representado em cada uma

das faces da caixa de bolos. Na figura ao lado,

apresenta-se um esquema desse mesmo lo-

gótipo e o vetor→v .

i. Constrói a imagem do polígono ABCDEFG

pela translação associada ao vetor→u.

ii. Completa:→

CB +→

EF = _________.

H G

I

E F

J

4

A

B C

G

E

F

D

→

u

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


Prova global 2

88

O Tiago trabalha numa agência de viagens e o seu vencimento é cal-

culado em função do tempo de trabalho por mês. Na figura está re-

presentada graficamente a função que relaciona o tempo de

trabalho do Tiago, em horas, com a quantia que vai receber, em

euros. Escreve uma expressão analítica da função representada.

1

Uma agência de viagens perguntou a cada um dos

alunos do 12.o ano de uma escola secundária sobre o

seu destino preferido para a viagem de finalistas. Os

resultados apresentam-se no gráfico ao lado.

2.1 A agência de viagens realizou um censo ou

uma sondagem? Justifica.

2.2 Relativamente ao estudo realizado, indica a

população.

2.3 Sabendo que, nesta escola, são 300 os alunos que frequentam o 12.o ano, determina quantos

alunos responderam preferir o Brasil. Mostra como chegaste à tua resposta.

2.4 Decidido o destino e os participantes, a Associação de Estudantes pediu à Agência de Viagens

que calendarizasse o pagamento de forma faseada. A proposta da agência definia que o valor

total da viagem, 660 €, fosse pago em duas tranches: uma primeira tranche, três meses antes

da partida, e uma segunda tranche, com o dobro do valor da primeira, apenas quinze dias

antes. Qual é o valor de cada tranche?

2

Qual das opções seguintes apresenta dois números inteiros?

[A] 2 e 3–1 [B] e [C] 20 e ( )–1

[D] e ( )–21

3

1

2

1

3

3

4

12

3

3

15

10

5

0

0 1 2 3 4Tempo de trabalho (h)

Q u a n t i a a r e c e b e r ( € )

Vencimento do Tiago

Ibiza

Brasil

México

Algarve

Outro destino

20%

18%

23%

15%

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%

Percentagem de alunos

Destino preferido para a viagem de finalistasDestino

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


Relativamente à figura, apresentada ao lado, sabe-se que:

• ABCD é um quadrado de lado 4 e centro K ;

• Os vértices C e A do quadrado são os centros das circunferências

representadas na figura, ambas de raio 2.

4.1 Completa:

a)→

HK +→

KD = _____

b)→

GK +→

BK = _____

c)→

HJ +→

CI = _____

4.2 Qual é a imagem do triângulo ABD pela rotação de centro em K e amplitude –90o?

4.3 Determina

—

GJ . Apresenta todos os cálculos que efetuares e o resultado aproximado às décimas.

4

De seguida apresentam-se os três primeiros termos de uma sequência de figuras. Cada figura é for-

mada por quadrados iguais ao quadrado , uns pintados de verde e outros de vermelho.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

5.1 Quantos quadrados vermelhos terá a figura 5?

5.2 Quantos quadrados verdes terá a figura 20?

5.3 Escreve uma fórmula que relacione o número da figura (n) com o número de quadrados ver-

melhos (V ).

5.4 Escreve uma fórmula que relacione o número da figura (n) com o número total de quadrados (T ).

5

A D

H

K I

C

J

B

G

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


Prova global 3

90

O Clube Multimédia da escola da Maria decidiu criar uma televisão escolar,

a “Estação i”, que se dedicará exclusivamente à informação, transmitindo

notícias da Escola, do País e do Mundo.

O símbolo escolhido para a “Estação i” apresenta-se na figura ao lado. Sabe-se

que:

• o hexágono ABCDEF é regular e está inscrito numa circunferência de

centro em O;

•—

CD = 10 cm e—

CH = 25 cm.

1.1 Após uma rotação de centro em O e amplitude –120o, o ponto A des-

loca-se para uma posição que, antes da rotação, era ocupada por

outro ponto. De que ponto se trata?

1.2 Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

[A]Os vetores→ AF e→DC têm o mesmo sentido.

[B] Os vetores→

FE e→

CD têm comprimentos diferentes.

[C] Os vetores→

BE e→

OB têm o mesmo comprimento.

[D] O segmento de reta AF é a imagem do segmento de reta CD por uma rotação de centro em

O e amplitude +180o.

1.3 Determina a área sombreada da figura. Apresenta todos os cálculos que efetuares. Escreve o

resultado arredondado às centésimas.

Nota: Sempre que procederes a arredondamentos utiliza duas casas decimais.

1

A Direção da escola, dada a enorme qualidade do projeto, pediu aos responsáveis pela “Estação i”

que, para além da transmissão nas televisões internas da escola, utilizassem também a Internet como

meio de comunicação. Deste modo, toda a comunidade educativa passava a ter acesso à emissão.

O professor responsável pelo Clube Multimédia, antes de tomar qualquer decisão, questionou cada

um dos 20 alunos inscritos no clube sobre o pedido da Direção. 85% concordaram que se passassea utilizar a Internet.

2.1 O professor responsável realizou um censo ou uma sondagem? Justifica.

2.2 Quantos alunos não concordaram com a medida?

2

A F

E BO

C D

H G

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


Na figura ao lado está representada graficamente a função f que

relaciona o tempo decorrido desde que a “Estação i” passou a

transmitir através da Internet, em dias, com o número de pes-

soas, em dezenas, que assistem à emissão.

3.1 Quantas pessoas assistem à emissão quatro dias depois da

“Estação i” ter passado a emitir através da Internet?

3.2 Qual das seguintes expressões pode definir a função f ?

[A] f ( x) = +1 [B] f ( x) = x +1 [C] f ( x) = [D] f ( x) = x x

2

x

2

3

Resolve a seguinte equação, apresentando os cálculos que efetuares.

4 x2 – 17 = 0

4

Resolve graficamente o sistema .

2 x – y = 0

2 y + 2 x = 6

5

Calcula o valor numérico da expressão – + (– )0

– (–2)–2.23× 33

64

7

36

Calcula (7,1 × 10–2) + (9,3 × 10–3).

Nota: Não utilizes a calculadora e apresenta o resultado em notação científica.

7

x

y

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

1

–1

–2

–3

–4

–5

2

3

4

5

N ú m e r o d e p e s s o a s ( e m d

e z e n a s )

Tempo de emissão (em dias)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

5

4

3

2

1

0

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes



de Ciclo 9

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


UNIDADE 2 Funções

RE

S U M

I R

PROPORCIONALIDADE INVERSA

➤ Duas variáveis são inversamente proporcionais se o produto dos seus valores correspondentes é

constante e não nulo, ou seja, x e y são inversamente proporcionais quando:

x×

y = k (k ≠ 0)

k diz-se a constante de proporcionalidade inversa.

FUNÇÃO DE PROPORCIONALIDADE INVERSA

➤ Qualquer função com uma expressão do tipo y = (com k constante, k ≠ 0 e x ≠ 0) ou, de forma

equivalente, f ( x) = (com k constante, k ≠ 0 e x ≠ 0) diz-se uma função de proporcionalidade inversa.

k é a constante de proporcionalidade inversa.

Exemplos:

1. y = é uma função de proporcionalidade inversa.

2. y = não é uma função de proporcionalidade inversa.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

(de funções de proporcionalidade inversa)➤ Num gráfico de proporcionalidade inversa, todos os pontos estão sobre uma linha curva composta

por dois ramos – uma hipérbole.

Nos pontos que pertencem ao gráfico de uma função de proporcionalidade inversa, o produto das

coordenadas de cada ponto do gráfico é constante. Esta é a constante de proporcionalidade inversa.

Exemplo:

f ( x) =

O produto das coordenadas de cada ponto do

gráfico de f é constante. A constante de propor-

cionalidade inversa é 2.

k

x

k

x

x

4

2

x

4

x

x f ( x )

4

x × f ( x )

20,5

2 21

–1 2–2

–4 2–0,5

–4 ¥ (–0, 5) = 2

O 1 2 3 4

1

2

3

4

5

–1

–2

–3

–4

–5

–4 –3 –2 –1

(0,5; 4)

(1, 2)

(2, 1)

(–4; –0,5) (–2, –1)

(–0,5; –4)

–2 ¥ (–1) = 2

–0,5 ¥ (–4) = 2

0,5 ¥ 4 = 2

1 ¥ 2 = 2

2 ¥ 1 = 2

x

y

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


➤ No gráfico de uma função do tipo y = a x2, com a diferente de zero, todos os pontos estão sobre uma

linha curva. Essa linha, chamada parábola, pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo.

• O ponto (0, 0) pertence ao gráfico de todas as funções do tipo y = a x2, com a diferente de zero. Este

ponto diz-se o vértice da parábola.

• O sinal do coeficiente a determina o sentido da concavidade da parábola.

a > 0 a < 0

Concavidade voltada para cima Concavidade voltada para baixo

• O valor absoluto de a influencia a abertura da parábola: quanto maior for o valor absoluto de a,

menor será a sua abertura.

Exemplos:

• f ( x) = –2 x2

• Como a = –2, a parábola que representa o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo.

• g ( x) = 4 x2

• Como a = 4, a parábola que representa o gráfico de g tem a concavidade voltada para cima.

|4| > |–2|

Logo, a abertura da parábola associda a g é menor do que a abertura da parábola associada a f .

1 2

1

2

3 4

3

4

–1

–2

O–2–3–4 –1

y

x

1 2

1

2

3 4–1

–2

O–2–3–4 –1

–3

–4

y

x

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


Testar

unçõesUNIDADE

Uma tabela que relaciona duas variáveis, x e y, traduz uma situação de proporcionalidade

inversa se:

[A] à medida que x diminui, y aumenta.

[B] à medida que x diminui, y também diminui.

[C] o quociente entre os valores correspondentes das duas variáveis é constante.

[D] o produto dos valores correspondentes das duas variáveis é constante.

Indica, de entre as seguintes expressões algébricas, aquela que representa uma função de

proporcionalidade inversa.

[A] x ¥ y = 100 [B] y = [C] y = 10 x [D] y =4 x

3

2

x + 3

1

2

Considera as funções f , g e h, definidas por f ( x) = k x, g( x) = k x2 e h( x) = . De seguida, apre-

sentam-se as representações gráficas de cada uma dessas funções.

Para k > 0, faz corresponder a cada uma das funções a respetiva representação gráfica.

k

x

1 2 3 4–4 –3 –2 –1 O

1

2

3

4

–1

–2

–3

–4

I IIIII

y

x

3

Considera a função f definida por f : xÆ y = , com x ≠ 0.

4.1. Completa a seguinte tabela.

4.2. Representa graficamente a função f .

8

x

x

f ( x )

–16 –8 –4 –2 –1 1 2 4 8 16

4

Considera a função que está representada graficamente

no referencial. Qual das seguintes expressões é a sua re-

presentação analítica?

[A] y = 2 x [B] y = x2

[C] y = – x2 [D] y =1

2

x2

2

5

6%

6%

12%

12%

5%

5%

86

2O–1–3–1

–2

1

2

4

y

x1 3–2

3

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


O Mário e os seus três irmãos têm de dividir entre si 10 000 € de uma herança. Se o Mário ti-

vesse quatro irmãos, quanto receberia a menos? Explica o teu raciocínio.

Para planear a vindima na quinta de Alzubar, construiu-se a tabela seguinte.

Na tabela, as variáveis t e d referem-se a grandezas inversamente proporcionais.

8.1. Assinala no gráfico o tempo correspondente à vindima feita por 5, por 10 e por 20 traba-

lhadores.

Número de trabalhadores (t )

Número de dias de vindima (d )

100

1

50

2

25

4

6

Num laboratório farmacêutico são levadas a cabo rea-ções químicas com o objetivo de descobrir um novo

fármaco. A equipa responsável pelo estudo descobriu

que a quantidade de reagente (q), em miligramas, é

inversamente proporcional ao tempo (t ), em segun-

dos, da reação química. Num primeiro ensaio, 15 mg

de reagente desencadearam uma reação de 4 segun-

dos. Prepara-se entretanto uma nova experiência em

que serão utilizados 30 mg de reagente. Qual é a du-

ração previsível da reação? Explica o teu raciocínio.

7

8

14%

12%

10%

12%

6% 8.2. Qual das seguintes fórmulas relaciona o número de trabalhadores (t ) com o número de

dias (d ) necessários para a vindima na quinta de Alzubar?

[A] 100t = d [B] t + d = 100 [C] = 100 [D] t ¥ d = 100

8.3. Na quinta de Alzubar, a vindima demorou quatro dias e foram recolhidos, no total, 80 000 kg

de uva. Em média, quantos quilogramas de uva vindimou cada trabalhador, por dia? Explica

a tua resposta e apresenta todos os cálculos que efetuares.Adaptado de Prova de Aferição de Matemática, 3.o Ciclo, 2002

t

d

87

Número de trabalhadores (t )

N ú m e r o d e d i a s ( d )

0 20 40 60 80 100

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


UNIDADE 2 Funções

28

TestarDe duas variáveis x e y sabe-se que se x é 2, então y é 6. Escreve y em função de x e indica a constante

de proporcionalidade, sabendo que:

1.1. x e y são diretamente proporcionais;

1.2. x e y são inversamente proporcionais.

Qual das seguintes expressões representa uma função de proporcionalidade inversa?

[A] y = [B] y = [C] y × x = 12 [D] y = 7 x

Na figura, pode observar-se a representação gráfica da função f .

Qual das seguintes expressões corresponde à função f ?

[A] y = 2 x2 [B] y = –2 x2 [C] y = x2 [D] y = – x2

Representa graficamente a função g definida por g( x) = .

1

2

x

3

3

x + 2

3

f

4

3

2

1

1 2 3 4-1-2-3-4

-1

-2

-3

-4

-5

0

y

x

42

x

4

3

2

1

1 2 3 4-1-2-3-4

-1

-2

-3

-4

0

y

x

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


Todas as noites, antes de se deitar, o Filipe toma um copo de leite quente. Sabe-se que o tempo que o leite

demora a aquecer, no micro-ondas, é inversamente proporcional à potência utilizada. Com uma potên-

cia de 300 watts, o aquecimento do leite demora 1 minuto. Hoje, o Filipe quer aquecê-lo em 45 segundos.

Para que potência deve estar regulado o micro-ondas? Apresenta todos os cálculos que efetuares.

O Cristiano é funcionário de uma estação de serviço onde o Daniel, a Beatriz e o Carlos abastecem,

normalmente, o seu automóvel.

6.1. Numa determinada semana, o preço do litro de gasolina variou diariamente. Nessa semana, o

Cristiano ficou responsável por efetuar um estudo acerca da relação entre o preço do litro de ga-

solina e o número de clientes da estação de serviço.

O Cristiano concluiu que o número de litros de gasolina vendidos era inversamente proporcio-

nal ao preço do litro de gasolina. Concordas com o Cristiano? Porquê?

6.2. O Daniel vai abastecer o depósito do seu automóvel. Admite que o número de litros de gaso-

lina que o Daniel introduz no depósito em t minutos é dado por = 33t .

a) O depósito do automóvel do Daniel tem 71 litros de capacidade. Quando ele vai abastecer o de-

pósito, o computador de bordo indica-lhe que o depósito ainda tem 5 litros de gasolina. Quan-

tos minutos vai demorar o Daniel a encher o depósito, se nunca interromper o abastecimento?

b) A relação entre e t é uma relação de proporcionalidade direta, sendo 33 a constante de pro-

porcionalidade. Explica o significado desta constante, no contexto do problema.

6.3. Na mesma estação, a Beatriz e o Carlos abas-

teceram os seus carros. A determinada altura,

o Carlos interrompeu o abastecimento para

verificar quanto dinheiro trazia na carteira.

Em seguida, retomou o abastecimento. Na fi-

gura estão representadas graficamente duas

funções, que representam o número de litros

de gasolina introduzida por cada um no de-

pósito do seu carro, t segundos depois de

terem iniciado o respetivo abastecimento.

a) Uma das funções representadas graficamente na figura é uma função de proporcionalidade

direta. Indica a constante de proporcionalidade dessa função.

b) Determina quanto pagou o Carlos no final do abastecimento, sabendo que o preço de cada

litro de gasolina é de 1,480 € e que beneficiou de um desconto de 5%. Apresenta o resultado

em euros, com duas casas decimais. Mostra como chegaste à tua resposta.

Adaptado de Exame Nacional do Ensino Básico, 2011 – 1.ª chamada e 2.ª chamada

5

6

Dia da semana

Preço do litro de gasolina (€)

N.° de litros vendidos

Segunda-

-feira

1,529

532

Terça-

-feira

1,492

545

Quarta-

-feira

1,4

610

Quinta-

-feira

1,5

569

Sexta-

-feira

1,521

540

Sábado

1,438

589

Domingo

1,445

579

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


Prova global 1

9

A turma da Aurora, constituída por 12 rapazes e 14 raparigas, decidiu criar uma comissão de três alu-

nos para organizar uma viagem de finalistas. Para tal, colocaram-se 26 papéis dentro de um saco

opaco, cada um contendo o nome de um dos alunos da turma. O Diretor de Turma seleciona, ao acaso,

um papel do saco, lê o nome do aluno escolhido e rasga o papel em causa.

Já foram selecionados ao acaso dois papéis, e o Henrique e o Manuel foram os eleitos.

1.1. Determina a probabilidade de a comissão, depois de formada, ser mista.

1.2. Determina a probabilidade de a Aurora também fazer parte dessa comissão.

1.3. Supõe que a Aurora também foi selecionada e os três eleitos vão tirar uma fotografia sentados

num muro. Determina a probabilidade de a Aurora ficar sentada no meio dos dois rapazes.

A comissão responsável por organizar a viagem e a

gerência do hotel onde vão ficar alojados decidiram que

a melhor opção passava por isolar o piso ocupado pelos

alunos que participassem na viagem, de modo a não

incomodar o normal funcionamento do hotel. Assim, a

comissão comprometeu-se a assumir a despesa de

todos os quartos de um piso do hotel, independente-

mente de os ocupar, ou não. Esse custo será dividido

igualmente por todos os participantes na viagem.

Inicialmente, apenas 12 alunos estavam inscritos na viagem. Nessa altura, cada um deles teria depagar 281,25 € pelo alojamento.

2.1. Se se tivessem inscrito mais dez alunos, quanto passaria a pagar cada um deles pelo alojamento?


2.2. Fechadas as inscrições, concluiu-se que cada aluno teria de pagar 135 € pelo alojamento. Quan-

tos alunos se inscreveram na viagem? Apresenta todos os cálculos que efetuares.

2.3. O piso reservado para a turma tinha 15 quartos. Sabendo que a turma ficou alojada cinco noi-

tes, determina o preço do quarto, por noite, neste hotel.

Durante os dois primeiros dias da viagem de finalistas, as temperaturas máximas foram baixas e o Sol

esteve encoberto. O Francisco tinha apostado com um amigo que a média das temperaturas máxi-

mas dos três primeiros dias seria superior a 12 °C.

Determina os valores possíveis para a temperatura máxima do terceiro dia, sabendo que o Francisco

ganhou a aposta e que nos dois primeiros dias as temperaturas máximas foram de 8 °C e de 10 °C, res-

petivamente. Explica como pensaste, apresentando todos os cálculos que efetuares.

1

2

3

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


No preço da viagem de finalistas está incluída uma visita a um parque de diversões. A roda gigante

desse parque de diversões tem dez cadeiras, identificadas com as letras de A a J , com um lugar cada

uma. O esquema da figura representa a referida roda.

Sabe-se que:• ABCDEFGHIJ é um decágono regular

inscrito numa circunferência de cen-

tro K ;

• AB e FG são segmentos de reta para-

lelos;

• K –I = 8 m.

4.1. Determina o comprimento, em decímetros, do arco IJ . Apresenta o resultado arredondado às

unidades.

4.2. Comenta a seguinte afirmação: “A amplitude do ângulo FEK é igual à amplitude do ângulo KFE .”

4.3. Indica, justificando, a amplitude, em graus, do ângulo FED.

4.4. Considera o segmento de reta FC . Seja P o ponto de interseção desse segmento com o segmento

de reta ID. Indica, justificando, a amplitude do ângulo CPD.

4.5. Determina a área do decágono regular ABCDEFGHIJ . Apresenta os cálculos que efetuaste e

escreve o resultado arredondado às décimas.

Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.

Considera a equação 2( x – 2)2 = ( x – 1)( x + 1) + 9.

Qual das seguintes equações é equivalente à equação anterior?

2 x ( x – 8) = 0 ( x – 3)( x – 8) = 0 x2 – 8 x = 0 x2 = 0

Considera a inequação

6.1. Resolve-a, apresentando o conjunto-solução sob a forma de um intervalo de números reais.

6.2. Indica o maior número inteiro que é solução da inequação.

Sendo α a amplitude de um ângulo agudo, mostra que (sen α – cos α)2 = 1 – 2 sen α cos α.

4

5

6− + −

>3 4

20

( ).

x x

7

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


Prova global 2

9

O Ricardo tem um restaurante. Na sua cozinha há alguns pacotes de natas cujo

prazo de validade termina hoje e outros cujo prazo termina daqui a uma

semana. Selecionando um pacote ao acaso, a probabilidade de o seu prazo de

validade terminar hoje é de .

1.1. Qual é a probabilidade de o Ricardo selecionar um pacote

cujo prazo de validade termina daqui a uma semana?

1.2. Se o Ricardo tiver à sua disposição 15 pacotes de natas, quantos

estarão dentro do prazo de validade durante mais uma semana?

1.3. Se o Ricardo tiver à sua disposição 10 pacotes cujo prazo de

validade termina daqui a uma semana, quantos terminam

hoje o seu prazo de validade?

1.4. O Tiago, a Francisca, a Mariana e o Jorge foram almoçar ao res-

taurante do Ricardo e sentaram-se ao balcão. De quantas

maneiras diferentes se podem sentar se:a) as raparigas ficarem de um lado e os rapazes de outro?

b) as raparigas ficarem juntas?

Quando o restaurante do Ricardo está cheio, o tempo de espera por uma refeição, em minutos, é

inversamente proporcional ao número de empregados de mesa que estão ao serviço. A tabela

seguinte relaciona as duas variáveis:

2.1. Determina o valor de a.

2.2. Num determinado dia, um cliente esperou 10 minutos pela sua refeição. Quantos eram os empre-

gados de mesa que estavam ao serviço?

2.3. Qual das seguintes fórmulas relaciona o tempo de espera pela refeição ( t ), em minutos, com o

número de empregados de mesa (n) ao serviço?

t = 40n n = 40t t × n = 40 t =

O Ricardo pretende efetuar obras no seu restaurante, dividindo-o em dois espaços distintos: um

espaço para fumadores e outro espaço para não fumadores, tal como a figura seguinte sugere.

Qual das duas áreas ficará maior? Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos, conserva no mínimo duas casas

decimais.

1

2

2

3

Número de empregados de mesa

Tempo de espera (em minutos)

1

40

2

a

n

40

3

Área fumadores

Área não fumadores

22°

31°

10 m

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


À porta do restaurante o Ricardo vai colocar uma placa lumi-nosa circular, como se representa na figura.

4.1. Sabendo que A –C = 50 dm e que C ̂ AD = 122°, determina a

área da placa colorida a azul. Apresenta todos os cálculosque efetuares.

Nota: Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arre-

dondamentos, conserva no mínimo duas casas decimais.

4.2. Utilizando material de desenho, constrói a circunferênciaque passa por A, C e D.

Escreve todos os números do conjuntoZ pertencentes ao intervalo ]–3, π].

Resolve a seguinte inequação:

Apresenta o conjunto-solução sob a forma de um intervalo de números reais.

Qual das seguintes equações é equivalente a x2 – 5 x + 6 = 0?

4(3 x – 2) x = 0 ( x – 2)(3 – x) = 0 x2

– 4 x + 4 = 0 3 x2

– 6 x = 0

Seja m um número real. Determina m de modo que a equação x2 – 2 x + m = 0 tenha apenas uma solu-ção. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Na figura está representado um pentágono regular, ABCDE , e a reta CD. Sem usar material de desenhoe de medição, determina a amplitude do ângulo α, explicando o teu raciocínio.

9

8

5

6

−

−

+ < − +2 5

32 1

x x( )

7

4

Restaurantedo

Ricardo

C

A

D

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


Prova global 3

9

Uma companhia de teatro profissional vai apresentar, na escola da Teresa, a peça “Auto da barca do

Inferno”. A companhia cobra 500 € pelo espetáculo, valor que será dividido de forma igual pelo

número de alunos interessados em assistir à peça. Seja p o valor a pagar por cada aluno e n o número

de alunos interessados.

1.1. No contexto da situação, qual é o significado da expressão n × p?

1.2. Justifica que as variáveis n e p são inversamente proporcionais.

1.3. De seguida, apresenta-se uma representação gráfica da função que relaciona o número de alu-

nos interessados em assistir à peça (n) com o preço a pagar por cada um ( p). Determina a e b.

1.4. Auscultados todos os alunos, verificou-se que 125 estão interessados em assistir à peça. Destes,

42 são alunos de quadro de mérito, a quem a direção da escola, como prémio, decidiu pagar

30% do preço do bilhete. Determina o valor que a direção da escola vai despender. Explica o teu

raciocínio e apresenta todos os cálculos que efetuares.

A Associação de Estudantes aproveitou o dia da apresentação da peça para vender algumas das 400

rifas que fez para um sorteio. Apenas uma delas é premiada.

2.1. No dia da apresentação só seis alunos compraram rifas, e apenas uma cada um. Qual é a proba-

bilidade de o prémio sair a um desses alunos? Apresenta o resultado na forma de percentagem,

arredondado às unidades.

2.2. Depois de vendidas todas as rifas, a Associação de Estudantes resumiu as vendas no quadro

seguinte.

a) Qual é a probabilidade de o prémio sair a:

i) um encarregado de educação que comprou a rifa em janeiro?

ii) um professor?

iii) alguém que comprou a rifa em fevereiro?

b) Sabe-se que a rifa premiada foi adquirida em janeiro. Qual é a probabilidade de o prémio sair

a um funcionário?

1

(a, 40)

(20, b)

50

50 60

40

40

30

30

20

20

10

100

p

n

2

52

24

JaneiroData da

venda Fevereiro

10

2

151

60

15

14

27

Encarregados de educação

A quem?

Alunos Professores Funcionários Extraescola

45

15

17

29

255

14

255

1

17

7/27/2019 Mat PI 7+8+9 Testes


Na escola da Teresa, para comemorar o Dia Mundial da Floresta,

a Associação de Estudantes decidiu plantar a árvore que se

encontra representada na figura. Verificou-se que, quando os

raios de sol incidem no chão, segundo um ângulo de 40°, a

árvore projeta uma sombra de 160 cm.

Determina a altura da árvore. Indica o resultado em metros,

arredondado às centésimas.

Considera os seguintes números:

De entre os números anteriores, indica os que:

4.1. são inteiros; 4.2. pertencem aQ, mas não a N;

4.3. pertencem a R+; 4.4. são solução da inequação

Sendo A = [–2, +∞[, B = ]–5, 5[ e C = {–10, 7}, determina:

5.1. A ∪ B; 5.2. A ∩ B; 5.3. A ∩ C .

Na figura está representado o triângulo retângulo ABC . Determina:

6.1. o valor exato da área do triângulo. Explica o teu raciocínio e apresenta

todos os cálculos que efetuares.

6.2. a amplitude, em graus, do ângulo AC B. Apresenta o resultado arredon-

dado às décimas.

Na figura seguinte está representada uma circunferência, de centro A.

Sabe-se que:

7.1. Comenta a seguinte afirmação: “Como a reta BG é tan-

gente à circunferência, então é perpendicular ao seg-

mento de reta FB.”

6

7

• ˚; • ˆ ˚; • ˆCD FGB BFE

= =63 49 == 57˚.

4

5

π ; – ; ; – ; , ;7 7 16 3 181

3− −

−−

+ ≤ −3 12

53 10

x x .

3

40°

Mat PI 7+8+9 Testes

Documents

Transcript of Mat PI 7+8+9 Testes