Mat regra de tres

Inclusão para a vida Matemática D

Pré-Vestibular da UFSC 1

UNIDADE 1

REGRA DE TRÊS

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando o

aumento uma delas implica no aumento da outra na mesma

razão.

Exemplo: 1 kg de alimento custa R$ 15,00

3 kg de alimento custam R$ 45,00

5kg de alimento custam R$ 75,00

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando o

aumento der uma delas implica na diminuição da outra na

mesma razão.

Exemplo: 2 pessoas constroem 1 obra em 18 dias

4 pessoas constroem a mesma obra em 9 dias

6 pessoas constroem a mesma obra em 6 dias

APLICAÇÕES – REGRA DE TRÊS

Regra de Três Simples

Regra de Três Simples é um processo matemático mediante o

qual podemos resolver problemas do cotidiano envolvendo

“duas” grandezas, sejam elas direta ou inversamente

proporcionais. Este processo consiste no seguinte:

Identificar as grandezas envolvidas no problema.

Nas situações dadas (em relação às mesmas) dispô-las

em colunas.

Verificar se são GDP ou GIP.

Montar a proporção correspondente.

Resolver a proporção.

Regra de Três Composta

Regra de três composta é um processo matemático mediante o

qual podemos resolver problemas do cotidiano, envolvendo três

ou mais grandezas. O processo é semelhante ao caso anterior

(Regra de três simples), levando em consideração apenas o item

da verificação quanto a GDP ou GIP, que deve ser feito da

seguinte maneira: analisar as grandezas duas a duas, sempre em

relação à que possui a variável. A montagem e resolução da

proporção seguem o mesmo roteiro do caso anterior (Regra de

Três Simples).

PORCENTAGEM

PORCENTAGEM

As razões cujos denominadores são iguais a 100 são chamadas

razões centesimais.

Exemplo: ;100

27;

100

13 etc.

Noção Intuitiva

“O índice de analfabetismo da cidade x é de 23% (lê-se 23 por

cento)”. Significa que, em média, 23 de cada 100 habitantes são

analfabetos.

Cálculo de uma porcentagem

Exemplo: 25% de R$ 80,00 é R$ 20,00”

pois 25% = 100

25= 0,25

Logo 25% de R$ 80,00 = 0,25.80,00 = 20,00

Definição

Porcentagem é uma razão centesimal que é representada pelo

símbolo % que significa “por cento”.

Exercícios de Sala

1. Se 12Kg de um certo produto custa R$ 600,00, qual o

preço de 25Kg do mesmo produto?

2. Sabendo que 36 operários conseguem construir uma casa em

30 dias, se dispomos apenas de 12 desses operários, em quanto

tempo será construída a mesma casa?

3. Calcular

a) 60% de 30 b) 30% de 20

c) 20% de 300 d) 20% de 20%

e) (20%)2 f) %4

4. Numa cidade, 240 000 jovens representam 30% da população.

Então a população da cidade é de:

a) 500 000 habitantes b) 600 000 habitantes

c) 700 000 habitantes d) 800 000 habitantes

e) 900 000 habitantes

Tarefa Mínima

1. Se trinta litros de um combustível custam R$ 16,95, quantos

custarão oitenta litros do mesmo combustível?

2. Se 14 pedreiros levam 180 dias para construir uma casa,

quanto tempo levarão para construí-la 10 pedreiros?

3. Um acampamento com 80 pessoas tem suprimento para dez

dias. Sabendo-se que chegaram mais vinte soldados, pergunta-

se: para quantos dias terão suprimentos, considerando-os

inalteráveis?

4. Calcular as seguintes porcentagens:

a) 25% de 80 b) 4% de 50

c) 120% de 200 d) 0,15% de 400

e) 20% de 30% f) (5%)2

g) %49

5. Numa sala de 80 alunos, 24 alunos foram aprovados. A

porcentagem de reprovação foi de:

a) 30% b) 40% c) 50%

d) 60% e) 70%

Matemática D Inclusão para a Vida


6. (UFSC) Ao vestibular de 1982 da UFSC, inscreveram-se

15.325 candidatos, dos quais 14.099 concluíram todas as provas.

O percentual de abstenção foi:

7. Qual o preço de uma mercadoria que custava R$ 80,00 e teve

um aumento de 40%?

a) 110,00 b) 112,00 c) 114,00

d) 116,00 e) 98,00

8. (CESCEM-SP) 3% de 0,009 vale:

a) 0,00027 b) 0,0027 c) 0,00009

d) 0,009 e) n.d.a.

Tarefa Complementar

9. (UNIMEP-SP) Se dois gatos comem dois ratos em dois

minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são necessários:

a) 4 gatos b) 3 gatos c) 2 gatos

d) 5 gatos e) 6 gatos

10. Dezesseis operários trabalhando seis horas por dia

constroem uma residência em cento e oitenta dias. Quantos

operários serão necessários para fazer a mesma residência,

trabalhando oito horas por dia durante cento e vinte dias?

a) 18 b) 10 c) 19

d) 20 e) 21

11. Durante 11 dias, 15 cavalos consomem 2200 kg de

alfafa. Retirando-se 7 cavalos, 1280 kg de alfafa serão

consumidos em quantos dias?

a) 12 b) 13 c) 14

d) 15 e) 16

12. (UFSC) Com uma lata de tinta é possível pintar 50 m2 de

parede. Para pintar uma parede de 72m2, gasta-se uma lata e mais

uma parte de uma segunda lata. A parte que se gasta da segunda

lata, em porcentagem, é:

13. (UFSC) Pedro investiu R$ 1.500,00 em ações. Após algum

tempo, vendeu essas ações por R$ 2.100,00. Determine o

percentual de aumento obtido em seu capital inicial.

14. (UFSC) Um reservatório contendo 120 litros de água

apresentava um índice de salinidade de 12%. Devido à

evaporação, esse índice subiu para 15%. Determinar, em litros, o

volume de água evaporada.

15. (UFSC) Assinale a soma dos números associados à(s)

proposição(ões) CORRETA(S).

01. Um investidor tem seu dinheiro aplicado a 2% ao mês.

Deseja comprar um bem no valor de R$100.000,00, que pode

ser pago a vista ou em três parcelas de R$ 34.000,00, sendo a

primeira de entrada e as outras em 30 e 60 dias. Ele sairá

lucrando se fizer a compra parcelada.

02. Obter 7 acertos numa prova de 12 questões é um

desempenho inferior a obter 6 acertos numa prova de 10

questões, porém superior a obter 5 acertos numa prova de 9

questões.

04. Duplicando-se o lado de um triângulo eqüilátero, sua área

fica também duplicada.

08. Se 2 impressoras trabalhando 10 horas por dia levam 5 dias

para fazer determinado trabalho, então 3 impressoras (com a

mesma eficiência das anteriores) trabalhando 8 horas por dia

levarão 6 dias para fazer o mesmo trabalho.

UNIDADE 2

FATORIAL Dado um número natural, denomina-se fatorial de n e indica-se

por n! a expressão:

n! = n.(n 1) . (n 2) . (n 3). ......... . 3 . 2 . 1 Assim temos:

5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120

4! = 4. 3. 2. 1 = 24

3! = 3. 2. 1 = 6

2! = 2. 1 = 2

1! = 1 e 0! = 1 (conceito primitivo)

Observação: Podemos desenvolver um fatorial até um fator

conveniente. Veja:

8! = 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 8. 7. 6. 5. 4!

4!

6! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 6. 5!

5!

n ! = n. (n 1).(n 2) !

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA

CONTAGEM – FÓRMULA DO ARRANJO

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM O princípio fundamental da contagem, ou princípio

multiplicativo, estabelece um método indireto de contagem de

um determinado evento, sem que haja a necessidade de descrever

todas as possibilidades. Pode ser enunciado dessa forma:

Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e

independentes de modo que:

E1 é o número de possibilidades da 1ª Etapa

E2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa

:

:

En é o número de possibilidades da n-ésima Etapa

Então E1 . E2 . ......... .Ek é o número total de possibilidades do

evento ocorrer.

ARRANJO

Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4}. Vamos agora montar os

pares ordenados a partir do conjunto K.

(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 3); (2, 4); (3; 4);

(2, 1); (3, 1); (4, 1); (3, 2); (4, 2); (4, 3)

Observe que esses agrupamentos diferem



Pela natureza dos elementos componentes:

(2, 3) (1,4)

Pela ordem dos elementos:

(1, 3) (3, 1)

A esses tipos de agrupamentos denomina-se ARRANJO de n

elementos tomados p a p, e é indicado por

.

Definição: Denomina-se arranjo de n elementos tomados p a p

cada grupo ordenado de p elementos escolhidos entre n

disponíveis.

FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DO ARRANJO

ARRANJO COM REPETIÇÃO A

* n,p = n

p

Exemplo: Considere o conjunto K = {2, 3, 4, 5, 6}. Quantos

números de 3 algarismos podemos formar a partir de K ?

Resolução: A*5, 3 = 53 = 125

Logo, podemos formar 125 números de 3 algarismos.

ARRANJO SEM REPETIÇÃO (SIMPLES)

Anpn

n p

Exemplo: Considerando o conjunto K = {1, 2, 3, 4, 5}. Quantos

números de 3 algarismos sem repetição podem ser formados?

Resolução: A5,3 = 5

5 3

5 4 3 2

260

Logo, podemos formar 60 números de 3 algarismos distintos.

Exercícios de Sala

1. Calcular o valor de

a) 10

8 b)

11!

11!12!

2. Resolver as equações:

a) (n 3) ! = 720 b) n

n

3

120

3. Quatro seleções de futebol (Brasil, Espanha, Portugal e

Uruguai) disputam um torneio. Quantas e quais são as

possibilidades de classificação para os dois primeiros lugares?

4. Quantas placas para identificação de veículos podem ser

confeccionadas com 3 letras e 4 algarismos? (Considere 26 letras,

supondo que não há nenhuma restrição.)

5. Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Quantos

números com quatro algarismos distintos podemos formar a

partir do conjunto K?

Tarefa Mínima

1. Calcular 5

3 2.

2. Resolver as equações abaixo:

a) (n - 4)! = 120 b) (4x - 6)! -120 = 600

c) (n - 2)! = 720

3. Ache a solução da equação 12)!3(

!1

x

x

4. Dum ponto A a um ponto B existem 5 caminhos; de B a um

terceiro ponto C existem 6 caminhos; e de C a um quarto ponto

D existem também 6 caminhos. Quantos caminhos existem

para ir do ponto A ao ponto D?

a) 17 b) 30 c) 180 d) 680 e) 4080

5. Numa olimpíada de Matemática concorrem 100

participantes e serão atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar

e outro para o 2º lugar. De quantas maneiras poderão ser

distribuídos esses prêmios?

a) 199 b) 200 c) 4.950

d) 9.900 e) 10.000

6. Telefones de uma cidade possui 6 dígitos (1ºnunca é zero).

Supondo que a cidade passe a ter 7 dígitos. Qual o aumento no

número de telefones?

a) 81.105 b) 8100 c) 90000 d) 90.103

Tarefa Complementar

7. Qual o valor de n que satisfaz a equação

n n

n

1

25

8. Quantas soluções possui a equação (x – 2)! = 1

9. (UFPA) Simplificando n n

n

1

2 obtém-se:

a) 1

2n b) n + 1

c) n+2 d) 1

1n

e) n

10. (FSBEF-DF) Sendo m m

m

1

2

1

10 e tendo em vista

que m > 0, o valor de m é:



11. Se (n 6)! = 720, então n é igual a:

12. (F.Dom Bosco-DF) A expressão 3! 2! 2! É equivalente à

expressão:

a) 12! b) 7! c) 5! d) 5! e) 4!

13. Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países,

as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que

se classificariam nos três primeiros lugares Se, em cada

tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas

diferentes poderiam existir?

a) 69 b) 2.024

c) 9.562 d) 12.144

e) 13.824

14. (UECE) A quantidade de números inteiros compreendidos

entre os números 1000 e 4500 que podemos formar utilizando

somente os algarismos 1, 3, 4, 5 e 7, de modo que não figurem

algarismos repetidos, é:

15. (PUC-SP) Chamam-se “palíndromos” os números inteiros

que não se alteram quando é invertida a ordem de seus

algarismos (por exemplo: 383, 4224, 74847). O número total de

palíndromos com cinco algarismos é:

a) 450 b) 1000

c) 900 d) 2500

e) 5000

UNIDADE 3

TIPOS DE AGRUPAMENTOS PARTE II -

PERMUTAÇÕES Quando fazemos arranjos de n elementos tomados n a n, sem

repetição, estamos montando grupos com todos os elementos

disponíveis. Dizemos que esse tipo de Agrupamento é

denominado PERMUTAÇÃO de n elementos, e é indicado por

Pn. Considere então, o conjunto K = {1, 2, 3}. As permutações

com esses elementos são:

(1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); (2, 3, 1); (3, 1, 2),

(3, 2, 1).

FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DA PERMUTAÇÃO

PERMUTAÇÃO SIMPLES

Pn = n!

Exemplo 1: Quantos números de 4 algarismos

distintos podemos formar com os números usando os algarismos

{ 2, 5, 6, 7}.

Resolução: P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24

Logo, pode-se formar 24 números com 4

algarismos distintos.

Exemplo 2: Calcule o número de anagramas da palavra VASCO.

Resolução: Cada anagrama é uma permutação das letras V, A, S,

C e O. Como são 5 letras distintas, o número de anagramas é

dado por:

P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

Logo, pode-se formar 120 anagramas com as letras

que compõem a palavra VASCO.

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO

Vamos considerar um conjunto com n elementos, dos quais um

dos deles repete vezes, outro vezes e assim por diante, até

que um elemento repita vezes. O número de permutações

possíveis é dado pela expressão:

Pn.... n

Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as letras da

palavra ARARA.

Resolução: n = 5 = 3 = 2

P53, 2 =

5

3 2=10

Logo, podemos formar 10 anagramas com as letras

que compõem a palavra ARARA.

TIPOS DE AGRUPAMENTOS PARTE III -

COMBINAÇÕES

Considere o conjunto K = {1, 2, 3, 4}.

Vamos montar agora os subconjuntos com dois destes

elementos.

{1, 2}; {1, 3}; {1, 4}; {2, 3}; {2, 4}; {3, 4}.

Observe que esses agrupamentos diferem

Apenas pela natureza dos elementos componentes: {1, 2}

{1, 4}

Mas não diferem pela ordem: {1, 3} = {3, 1}

Esses tipos de agrupamentos são chamados de COMBINAÇÃO

de n elementos tomados p a p, e são indicados por

Cnp ou Cnp

.

Definição: Denomina-se combinação de n elementos p a p todo

subconjunto de p elementos.

FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA COMBINAÇÃO

O número de combinações simples dos n elementos tomados p a

p é dado pela expressão:

Cnpn

n p p

Exemplo: Quantas comissões de 3 pessoas podemos formar com

um grupo de 10 pessoas.



Resolução: As comissões são subconjuntos de 3 pessoas

escolhidas entre as 10, logo:

C10,3 = 10

10 3 3

10 9 8 7

7 3 21 120

Portanto, podemos formar 120 comissões de 3 pessoas

com um grupo de10 pessoas.

Exercícios de Sala

1. Quantos são os anagramas das palavras:

a) ROMA

b) ESCOLA

c) BANANA.

d) MATEMATICA

2. Quantos são os anagramas da palavra MÉXICO em que

aparecem as letra E e X sempre juntas?

3. Quantas comissões de 2 pessoas podem ser formadas com 5

alunos (A,B,C,D,E) de uma classe?

4. Marcam-se 8 pontos distintos numa circunferência. Quantos

triângulos com vértices nesses pontos podemos obter?

Tarefa Mínima

1. Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar

com os números utilizando os algarismos { 1, 3, 8, 9}.

2. Quantos números diferentes obteremos permutando os

algarismos do número 336.223?

3. Quantos são os anagramas da palavra SAPO?

4. Determine os número de anagramas da palavra CARCARÁ?

(não considere o acento)

5. O valor de x em Cx,3 = 35, é:

a) 12 b) 10 c) 7

d) 8 e) 9

6. Quantas comissões constituídas por 4 pessoas podem ser

formadas com 10 alunos de uma classe?

a) 210 b) 120 c) 240

d) 100 e) 200

7. Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos.

Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtém-se uma corda. O

número total de cordas assim formadas é:

Tarefa Complementar

8. Quanto aos anagramas da palavra ENIGMA, temos as

afirmações:

I - O número total deles é 720.

II - O número dos que terminam com a letra A é 25.

III - O número dos que começam com EN é 24.

Então apenas:

a) a afirmação I é verdadeira.

b) a afirmação II é verdadeira.

c) a afirmação III é verdadeira.

d) as afirmações I e II são verdadeiras.

e) as afirmações I e III são verdadeiras.

9. (CEFET-PR) O número de anagramas da palavra NÚMERO,

em que nem as vogais nem as consoantes fiquem juntas, é:

a) 12 b) 36 c) 48

d) 60 e) 72

10. (PUC-SP) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto

querem formar uma sigla com cinco símbolos, onde cada símbolo

é a primeira letra de cada nome. O número total de siglas

possíveis é:

11. Considere um grupo de 3 moças e 4 rapazes. O número de

comissão de 4 membros, de modo que em cada comissão figure

pelo menos um rapaz, é:

12. Os presentes a determinada reunião, ao final da mesma,

cumprimentam-se mutuamente, com aperto de mão. Os

cumprimentos foram em número de 66. O número de pessoas

presentes à reunião é:

13. (ACAFE) Diagonal de um polígono convexo é o

segmento de reta que une dois vértices não consecutivos do

polígono. Se um polígono convexo tem 9 lados, qual é o seu

número total de diagonais?

a) 72 b) 63 c) 36

d) 27 e) 18

14. (UFRN) Se o número de combinações de n + 2 elementos 4

a 4 está, para o número de combinações de n elementos 2 a 2, na

razão de 14 para 3, então n vale:

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

UNIDADE 4

NÚMEROS BINOMIAIS

Dados dois números naturais n e p, denomina-se número

binomial de n sobre p e indicado por n

p ao número definido

por:

p

n =

p)!(np!

n! com n N, p N e n p

Podemos concluir de imediato que:

a n

01 b)

n

1n c)

n

n1



NÚMEROS BINOMIAIS COMPLEMENTARES Dois números binomiais de mesmo numerador são chamados

complementares quando a soma dos denominadores (classes) é

igual ao numerador.

Exemplos:

a)n

p e

n

n p b)

5

2 e

5

3

PROPRIEDADES DOS NÚMEROS BINOMIAIS

1ª) Dois números binomiais complementares são

iguais.

Então se n

k

n

p

k p

ou

k p n

2ª RELAÇÃO DE STIFFEL

n 1

p 1

n 1

p

n

p

Veja que 5

3

5

4

6

4

TRIÂNGULO DE PASCAL

Vamos dispor agora os números binomiais em um triângulo, de

forma que os binomiais de mesmo numerador fiquem na mesma

linha, e os binomiais de mesmo denominador fiquem na mesma

coluna.

col 0 col 1 col 2 col 3 col 4 col 5 col 6

linha 0 0

0

1

0

1

1

linha 2 2

0

2

1

2

2

linha 3 3

0

3

1

3

2

3

3

linha 4 4

0

4

1

4

2

4

3

4

4

5

0

linha

linha 5

1

5

1

5

2

5

3

5

4

5

5

linha 6 6

0

6

1

6

2

6

3

6

4

6

5

6

6

Substituindo cada binomial pelo respectivo valor, temos:

PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO DE PASCAL

PRIMEIRA PROPRIEDADE

Todos os elementos da 1ª coluna são iguais a 1.

SEGUNDA PROPRIEDADE

O último elemento de cada linha é igual a 1.

TERCEIRA PROPRIEDADE

Numa linha qualquer dois binomiais eqüidistantes dos

extremos são iguais. (binomiais complementares)

QUARTA PROPRIEDADE

Cada binomial n

pda linha n é igual à soma de dois binomiais

da linha (n - 1); aquele que está na coluna p com aquele que está

na coluna (p - 1).

p

n

p

1n

1p

1n

QUINTA PROPRIEDADE

A soma dos elementos da linha do numerador n é igual a 2n.

Linha 0 1 = 20

Linha 1 1 + 1 = 21

Linha 2 1 + 2 + 1 = 22

Linha 3 1 + 3 + 3 + 1 = 23

De uma forma genérica podemos escrever:

Exercícios de Sala

1. Calcule A, sendo A = 4

0

8

2

9

7

10

1

2. Ache o conjunto solução da equação n 3

221

3. Calcule o valor de:

a)

7

0

7

p p b)

10

0

10

p p c)

8

3

8

p p



4. Resolva a equação: x

15

5

14

4

14

Tarefa Mínima

1. Calcule E, sendo E = 5

2

3

3

5

0

7

1.

2. (UECE) A soma das soluções da equação

18

6

18

4 1

xé

a) 8 b) 5 c) 6 d) 7

3. (PUC-SP) A soma dos valores que m pode assumir na

igualdade: 17

m 1

17

2m 6

4. Calcule 5

0

5

pp

5. Resolva a equação: 8

6

8

7

9

3x

6. ( Mack-SP ) O valor de

7

2

7

3

7

4

7

5

7

6

7

7é:

a) 128 b) 124 c) 120 d) 116 e) 112

Tarefa Complementar

7. (Mack-SP) Considere a seqüência de afirmações:

. . .15 15 15 15 15 15

I II III1 3 2 13 3x 6

Associando V ou F a cada afirmação, conforme seja

verdadeira ou falsa, tem-se:

a) F, F, V b) F, V, V

c) F, V, F d) F, F, F

e) V, V, V

8. (Fatec-SP) Calcule E de modo que Ep 1

n 1

n 1

p 1

onde p, n N* e p < n

n

o

n n n

n

n

p

n n

1 22 2 ou

p=0

n

9. ( U.C.-MG ) O resultado de 8

2

6

pp

é igual a:

a) 216 b) 238 c) 240 d) 247 e) 256

10. (Unesp-SP) Seja num número natural tal que

10

4

10

1

11

4

n. Então:

a) n = 5 b) n = 4 c) n = 3 d) n = 2

11. (FGV-SP) Sabendo-se que

m

px e y

m +1

p +1 entao

m

p +1 é:

a) x + y b) x - y c) y - x d) x - p e) y - p

UNIDADE 5

BINÔMIO DE NEWTON

Observe abaixo os desenvolvimentos:

(a + b)0 = 1

(a + b)1 = 1a + 1b

(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2

(a + b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3

(a + b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4

(a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5

Observe que:

O número de termos do desenvolvimento de (a + b)n é

n + 1.

Os coeficientes dos termos do desenvolvimento de (a + b)n

formam o triângulo de Pascal.

Os expoentes de a decrescem de n a 0, e os expoentes de b

crescem de 0 a n.

A soma dos expoentes de a e b é sempre igual a n

Com base nessas observações podemos generalizar o

desenvolvimento de (a + b)n. Veja:

a bn

bn

bn

bn

nbn n n

0 1 2

0 1 2 2 0 a a a an n-1

Um termo qualquer do desenvolvimento de (a + b)n é dado pela

expressão:

Tp 1

n

pan p bp

Exercícios de Sala

1. Desenvolver o binômio (x + 2)4

2. Determinar o 5º termo do desenvolvimento de (x + 2)6.

3. Determinar o termo independente no desenvolvimento de (2x

+ 3)4.

4. A soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (4x

3y)6



Tarefa Mínima

1. Determinar o coeficiente numérico do 4º termo no

desenvolvimento de (x + 2)7.

2. Achar o termo independente de x no desenvolvimento de (2x

1)6.

3. Se a soma dos coeficientes do binômio a b m 1 é

64, então o valor de m é:

4. (UEL-PR) Para qualquer valor natural de n, o número de

termos do binômio (x + a)n é:

a) n + 1 b) n c) n - 1 d) par e) ímpar

5. (UFRN) A soma dos coeficientes dos termos do

desenvolvimento do binômio (x + a)n é:

a) 2n b) n/2 c) n + 2 d) n2 e) 2n

Tarefa Complementar

6. (UDESC) Sendo 125 a soma dos coeficientes do

desenvolvimento de (2x + 3y)m. O valor de m! é:

a) 6 b) 24 c) 120 d) 2 e) 3

7. (CEFET-PR) O 4º termo do desenvolvimento de (x + 2)6 é:

a) 80x3 b) 80x4 c) 40x5 d) 320x3 e) 160x3

8. (MACK-SP) Qual a soma dos coeficientes numéricos do

desenvolvimento de 322

8

xx

?

9. (Faap-SP) O sexto termo do desenvolvimento de ( x + 2 )8

pelo binômio de Newton é:

a) 48x3 b)10752x3 c) 1792x3 d) 3584x3

10. (Mack-SP) O coeficiente x3 do desenvolvimento de

31

5

xx

é:

a) -405 b) -90 c) -243 d) -27 e) -81

UNIDADE 6

POLINÔMIOS

DEFINIÇÃO

Dados os números reais a n, a n - 1, ....., a 2, a 1 e a 0, chamamos de

polinômio na variável x toda expressão da forma:

P(x) = a nxn + a n - 1xn - 1 + ..... + a 2x

2 + a 1x + a0

Nomenclatura

COEFICIENTES: an, an - 1, .........a2, a1, a0.

TERMOS: a nxn , a n - 1x

n - 1 , ..... a 2x2 , a 1x, a0

TERMO INDEPENDENTE: a0

n é um número natural e indica o grau do polinômio se an for

diferente de zero.

Observação: Se P(x) = 0, não é definido o grau do polinômio.

VALOR NUMÉRICO

Valor Numérico de um polinômio P(x), é o valor que se obtém

substituindo a variável x por um número e efetuando as

operações indicadas.

Observação: Quando P( ) = 0 dizemos que é a raiz do

polinômio.

Observe que os números 2 e 3 são raízes do polinômio

P(x) = x2 - 5x + 6, pois P(2) = 0 e P(3) = 0.

POLINÔMIOS IDÊNTICOS

Dados os polinômios:

P1(x) = a nxn + a n - 1x

n - 1 + ..... + a 2x2 + a 1x + a0 e

P2(x) = b nxn + b n - 1x

n - 1 + ..... + b 2x2 + b 1x + b0

A condição para que P1 e P2 sejam idênticos é que os coeficientes

dos termos de mesmo grau sejam iguais.

Indicamos por P1 (x) P2 (x)

Assim: an = bn ; an - 1 = bn - 1; a2 = b2 ; a1 = b1 ; a0 = b0

Vale ressaltar que, se P1 e P2 são idênticos, para qualquer valor

de x eles assumem o mesmo valor numérico.

Em símbolos: P1 (x) P2 (x) P1 (x) = P2 (x)

Exercícios de Sala

1. Encontre o valor numérico do polinômio P(x) = 5x4 + 2x3

x2 + 3x 3 para x = 3.

2. Dado o polinômio P(x) = (a2 4)x2 + (a + 2)x + 3.

Determine o valor de a de modo que P(x) seja do 1º grau.

3. Seja P(x) = ax2 + bx + c, em que a, b, e c são números reais.

Sabendo que P(0) = 9, P(1) = 10 e P(2) = 7, calcule P(3).

Tarefa Mínima

1. Dado P(x) = 2x3 + 3x2 – 5, calcule:

a) P(0) b) P(1) c) P(2)

2. Considere o polinômio P(x) = mx2 – 5x + 2. Sabendo que P(-

2) = - 4, determine o valor de m.

3. Sabendo-se que P1(x) = ax2 + (b + c)x - 2a - 3x2 + 3cx + 3b +

1 e P2(x) = 10x2 + 158x + 29 são polinômios idênticos,

determine o valor da expressão: a + b + c.

4. O polinômio p(x) = (a - 3)x3 + (b + 2a)x2 + (6b + c)x é

identicamente nulo. Calcule o valor de 2(a + b + c).



5. (Mogi) Se x

x x

A

x

B

x

1

2 24 4 62 , então

2A + B é igual a:

a) -3/2 b) 1/2 c) 1 d) 3/2 e) -1

Tarefa Complementar

6. (UEM-PR) Seja P(x) = ax2 + bx + c, em que a, b, e c são

números reais. Sabendo que P(0) = 9, P(1) = 10 e P(2) = 7,

calcule P(3).

7. (PUC-SP) Efetuando a soma de ax b

xe

c

x2 1 1, obtemos a

expressãox

x x

3

1 12. Os valores de a, b e c são

respectivamente:

a) 0, 1, -3 b) 1, -1, -3

c) -1, 1, 1 d) 1, 2, -1

e) 2, 1, -2

8. (ABC-SP) Num polinômio P(x) de 3º grau, o coeficiente de x3

é 1. Se P(1) = P(2) = 0 e P(3) = 30, o valor de P( 1) é:

9. ( UFRGS ) O polinômio do 2º grau p(x), que tem zero

como raiz e tal que p(x) - p(x - 1) = 6x - 2, é

a) 2x2 + 3x – 6 b) 6x - 2

c) 6x2 - x d) 3x2 + x

e) x2 + 3x

10. (Londrina-PR) Sendo F, G e H polinômios de graus 4, 6 e 3,

respectivamente, o grau de (F + G).H será:

a) 9 b) 10 c) 12 d) 18 e) 30

UNIDADE 7

DIVISÃO DE POLINÔMIOS

Dados os polinômios P(x) e D(x), com D(x) não identicamente

nulos, dividir P(x) por D(x) equivale obter os polinômios Q(x)

(quociente) e R(x) (resto), tais que:

P(x) D(x) R(x) Q(x)

P(x) D(x) . Q(x) + R(x)

gr(R) < gr(D) ou R(x) 0

Onde:

P(x) é o dividendo

D(x) é o divisor

Q(x) é o quociente

R(x) é o resto

OBSERVAÇÕES:

O grau de Q(x) é a diferença entre os graus de P(x) e de D(x),

ou seja, gr(Q) = gr(P) gr(D)

Se R(x) for um polinômio nulo, apontamos que P(x) é

divisível por D(x), dizemos então, que a divisão é exata.

MÉTODO DA CHAVE

(ALGORITMO DE EUCLIDES)

O método das chaves é um dos quais podemos obter o quociente

entre dois polinômios. Para isso, devemos seguir os seguintes

procedimentos:

Ordenamos os polinômios P(x) e D(x) segundo as potências

decrescentes de x.

Dividi-se o primeiro termo de P(x) pelo primeiro de D(x),

obtendo o primeiro termo de Q(x) .

Multiplica-se o termo obtido pelo divisor D(x) e subtrai-se de

P(x)

Continua-se o processo até que haja um resto de grau inferior

que o de D(x).

Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão de

P(x) = 4x3 2x2 + 6x 10 por D(x) = 2x2 + 3x + 2

Resolução:

Observe que:

4x3 2x2 + 6x 10 = (2x2 + 3x + 2) . (2x 4) + (14x 2)

Dividendo Divisor Quociente Resto

MÉTODO DE DESCARTES

Método de Descartes ou Método dos Coeficientes a determinar é

um Método que consiste na obtenção dos coeficientes do

quociente e do resto com o auxílio da seguinte identidade de

Polinômios:

P(x) D(x) . Q(x) + R(x)

onde gr(Q) = gr(P) gr(D) e gr(R) < gr(D)

Exemplo: Obter o quociente e o resto da divisão do

polinômio P(x) = x4 x3 2x2 x + 3 por

D(x) = x3 3x2 + 2

Resolução: O grau do resto é no máximo 2, pois

gr(R) < gr(D) e gr(Q) = gr(P) gr(D)

gr(Q) = 4 3 = 1

Isso nos permite escrever:

R(x) = cx2 + dx + e e Q(x) = ax + b

Aplicando a identidade, temos:

P(x D(x) . Q(x) + R(x)

x4 x3 2x2 x + 3 (x3 3x2 + 2) . (ax + b) + cx2 + dx + e

x4 x3 2x2 x + 3 ax4 + (b 3a)x3 + (c 3b)x2 + (2a + d)x + (2b + e)



Daí vem:

a 1

b 3a 1

c 3b 2

2a d 1

2b e 3

resolvendo o sistema, temos:

a = 1, b = 2, c = 4, d = 3, e = 1

Logo: Q(x) = x + 2 e R(x) = 2x2 3x 1

TEOREMA DO RESTO

O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio do tipo

ax + b é o valor numérico de P(x) para

x = b

a, ou seja P(

b

a).

Observe que b

a é a raiz do divisor.

Esse teorema nos permite achar o resto de uma divisão sem que

haja a necessidade de aplicar o método das chaves ou o método

de Descartes.

Exemplo: Determinar o resto da divisão do polinômio

P(x) = 2x2 + 3x + 1 pelo polinômio D(x) = x 3

Resolução: A raiz do divisor é 3, logo, para determinarmos

o resto da divisão de P(x) por D(x), basta

calcular P(3). Daí vem:

P(x) = 2x2 + 3x + 1

P(3) = 2(3)2 + 3(3) + 1

P(3) = 28

TEOREMA DE D'ALEMBERT

Um polinômio P(x) é divisível por D(x) = ax + b se, e somente

se, P(b

a) = 0.

Veja por exemplo que o polinômio P(x) = x3 3x + 2 é divisível

por (x + 2) pois P( 2) = 0.

Exemplo: Determinar o valor de m de modo que o

polinômio P(x) = x3 x2 + mx 12 seja

divisível por x 3

Resolução: Para que P(x) seja divisível por x 3, deve-se

ter P(3) = 0. Então

P(x) = x3 x2 + mx 12

P(3) = (3)3 (3)2 + m(3) 12

0 = 27 9 + 3m 12

6 = 3m

2 = m

Logo, para a divisão ser exata devemos ter m = 2

TEOREMA DAS DIVISÕES SUCESSIVAS

Se um polinômio P(x) é divisível por (x a) e por (x b), então

P(x) é divisível por (x a).(x b).

Observe que o polinômio P(x) = x4 + 2x3 6x2 5x +

2 é divisível por (x + 1).(x 2), uma vez que ele é divisível

separadamente por (x + 1) e (x 2).

DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI O dispositivo de Briot-Ruffini, também conhecido como

algoritmo de Briot-Ruffini, é um modo prático para dividir um

polinômio P(x) por um binômio da forma

ax + b. Vamos apresentar esse processo através de um exemplo.

Determine o quociente e o resto da divisão da divisão de

P(x) = 2x3 x2 + 4x 1 por (x 3)

Resolução:

1º Passo

Dispõem-se todos os coeficientes de P(x) de forma ordenada e

segundo os expoentes decrescentes de x na chave.

2 1 4 1 2º Passo Coloca-se à esquerda a raiz do divisor.

3 2 1 4 1 3º Passo Abaixa-se o primeiro coeficiente de P(x)

3 2 1 4 1 2 4º Passo Multiplica-se o coeficiente baixado pela raiz, somando o

resultado com o próximo coeficiente de P(x) e o resultado abaixo

desse último.

+

3 2 1 4 1 x 2 5 5º Passo

Multiplica-se o esse último resultado pela raiz e soma o resultado

com o próximo coeficiente de P(x) de forma análoga ao último

passo, e assim sucessivamente.

+

3 2 1 4 1 x 2 5 19 +

3 2 1 4 1 x 2 5 19 56 Terminando assim o processo, temos:

raiz coeficientes de P(x) 2 5 19 56



coeficientes de Q(x) R(x) Como gr(Q) = 2 [gr(P) gr(D)] temos que

Q(x) = 2x2 + 5x + 19 e resto R(x) = 56

Exercícios de Sala

1. (FUVEST) O quociente de 2x4 – 5x3 – 10x – 1 por x – 3 é:

a) 2x3 – 11x2 + 23x – 68

b) 2x3 – 11x2 + 33x + 109

c) 2x3 – 11x2 + 33x – 109

d) 2x2 + x – 7

e) 2x3 + x2 + 3x – 1

2. Qual o valor de "a" para que o polinômio x5 + 2x4 + 3x3 + ax2

4x + 12 seja divisível por x3 + 2x2 x + 3?

3. ( UFSM ) O resto da divisão de x142 – 1 por x + 1 é:

a) 0 b) – 1 c) – 2 d) 141 e) n.d.a.

Tarefa Mínima

1. (UFSC) Determine o resto da divisão do polinômio 3x3 + 8x2

+ 32 por x + 3.

2. (UECE) Se na divisão do polinômio 12x4 + 5x3 + 5x + 12 por

3x2 + 2x - 1 o quociente é Q(x), então o valor de Q(3) é:

3. (UFMG) O quociente da divisão de P(x) = 4x4 - 4x3 + x - 1

por Q(x) = 4x3 + 1 é:

a) x – 5 b) x - 1 c) x + 5

d) 4x - 5 e) 4x + 8

4. (UFSC) Qual o valor de "a" para que o polinômio x5 + 2x4 +

3x3 + ax2 - 4x + 12 seja divisível por x3 + 2x2 - x + 3?

5. (UFSC) Determine o valor de m, para que o resto da

divisão do polinômio P(x) = x3 + mx2 - 2x + 1 por x + 3 seja 43.

Tarefa Complementar

6. (UFSC) Se o polinômio 2x3 - ax2 + bx + 2 é divisível por 2x2

+ 5x - 2, então o valor de a - b é:

7. (Mack-SP) Um polinômio desconhecido ao ser dividido por x

- 1 deixa resto 2 e ao ser dividido por x - 2 deixa resto 1. Então,

o resto da divisão desse polinômio por (x - 1) (x - 2) é:

a) x – 3 b) -x + 3 c) x + 3

d) x - 5 e) -x + 5

8. (UFBA) O resto da divisão de P(x) = 3x5 + 2x4 + 3px3 + x - 1

por (x + 1) é 4, se p é igual a:

a) 5/3 b) -2 c) -3 d) -10 e) -7/3

9. (FGV-SP) O resto da divisão do polinômio 2x5 - 15x3 + 12x2

+ 7x - 6 por (x - 1)(x - 2)(x + 3) é:

a) x2 - 2x + 5 b) -6

c) x - 4 d) 1 e) 0

10. (PUC-MG) Os valores de a e b que tornam o polinômio P(x)

= x3 + 4x2 + ax + b divisível por (x + 1)2 são respectivamente:

a) 1 e 2 b) 3 e 2 c) 4 e 5 d) 5 e 2 e) n.d.a.

UNIDADE 8

EQUAÇÕES POLINOMIAIS

DEFINIÇÃO

Denomina-se Equação Polinomial toda sentença do tipo

P(x) = 0, ou

a nxn + a n - 1xn - 1 + ..... + a 2x

2 + a 1x + a0 = 0

onde an, an - 1, .........a2, a1, a0 são números complexos

n é um número natural

x é a variável

O expoente da equação é o expoente do polinômio P(x)

Denomina-se raiz de uma equação polinomial todo número

, tal que P( ) = 0

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA Toda equação polinomial de grau n (n 1) tem pelo menos uma

raiz complexa.

Esse teorema foi demonstrado por Gauss em 1799.

DECOMPOSIÇÃO DE UM POLINÔMIO EM

UM PRODUTO DE FATORES DO 1º GRAU Como uma conseqüência do Teorema Fundamental pode-se

afirmar que todo polinômio de grau n pode ser escrito na forma:

P(x) = an(x 1).(x 2)(x 3)....... .(x n)

onde 1, 2, 3, ..... n são raízes de P(x).

MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ

Denomina-se multiplicidade de uma raiz ao número de vezes que

a mesma se repete no conjunto solução.

Genericamente, pode-se dizer que o número é raiz de

multiplicidade n da equação polinomial P(x) = 0 se e somente se,

P(x) = (x )n. Q(x), com Q( ) 0.

TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS

Se um número complexo z = a + bi é raiz de uma equação

polinomial de coeficientes reais, então seu conjugado z = a bi

também é raiz dessa equação.

Conseqüências:

Se a raiz (a + bi) é de multiplicidade k, então seu conjugado

(a bi) terá também multiplicidade k.

Toda equação polinomial de grau ímpar admite pelo menos

uma raiz real, pois o número de raízes não reais é sempre par.



RELAÇÕES DE GIRARD

São relações estabelecidas entre os coeficientes e raízes de uma

equação polinomial.

Sejam x1 e x2 as raízes da equação ax2 + bx + c = 0. Valem as

seguintes relações:

x1 x2b

a

x1 x2c

a

Sejam x1 , x2 e x3 as raízes da equação

ax3 + bx2 + cx + d = 0. Valem as seguintes relações:

x1 x2 x3b

a

x1 x2 x3d

a

x1 x2 x1 x3 x2 x3c

a

EQUAÇÃO DE GRAU n Sendo 1, 2,........... n as raízes da equação

a nxn + a n - 1x

n - 1 + ..... + a 1x + a0 = 0, valem as seguintes

relações:

a a ananan

a a a a a an a a an ananan

a a a an an ananan

a a a ann a

an

1 21

1 2 1 3 1 2 3 12

1 2 3 2 13

1 2 31 0

Exercícios de Sala

1. O polinômio P(x) = x3 + 4x2 + 3x pode ser escrito como:

a) P(x) = x(x – 1)(x – 3) b) P(x) = x(x + 1)(x + 2)

c) P(x) = x(x + 1)(x + 3) d) P(x) = x(x – 2)(x +4)

e) (x) = x(x – 1)(x + 5)

2. Resolver a equação x3 12x2 + 41x - 42 = 0, sabendo que

x = 2 é uma das raízes.

3. Determine a menor raiz da equação x3 15x2 + 66x 80 = 0,

sabendo que suas raízes estão em P.A.

Tarefa Mínima

1. (ACAFE) A equação polinomial cujas raízes são 2, 1 e 1 é:

a) x3 + 4x + x 2 = 0 b) x3 x 2 = 0

c) x3 + 2x2 3x 2 = 0 d) x3 + 2x2 x 2 = 0

e) x3 + 2x + 1 = 0

2. (FGV-SP) A equação 2x3 5x2 x + 6 admite uma raiz igual

a 2. Então, as outras duas raízes são:

a) 3/2 e 1 b) 2 e 1 c) 3 e 1

d) 3/2 e 1 e) 3/2 e 2

3. (UFSC) Sabendo-se que uma das três raízes da equação 2x3 -

17x2 + 32x - 12 = 0 é igual a 1/2 determine a soma das outras

duas raízes.

4. (UDESC) As raízes do polinômio x3 – 6x2 – x + 30:

a) somadas dão 6 e multiplicadas dão 30

b) somadas dão -6 e multiplicadas dão 30

c) somadas dão 6 e multiplicadas dão -30

d) somadas dão -6 e multiplicadas dão –30

e) são 5, -2 e –3

Tarefa Complementar

5. (Med ABC-SP) As raízes da equação x3 - 9x2 + 23x -15 = 0

estão em progressão aritmética. Suas raízes são:

a) 1, 2, 3 b) 2, 3, 4 c) 1, 3, 5

d) 2, 4, 6 e) 3, 6, 9

6. (Mackenzie-SP) Uma raiz da equação x3 4x2 + x + 6 = 0 é

igual a soma das outras duas. As raízes são:

a) 2, 2 e 1 b) 3, 2 e 1

c) 2, 1 e 3 d) 1, 1 e 2

e) 1, 2 e 3

7. (MACK-SP) O determinante da matriz a a c

b c0

1 0 1

, onde a,

b, e c são raízes da equação x3 5x2 + 4 = 0, é:

8. (SANTA CASA) Sabe-se que a equação: 4x3 12x2 x + k =

0, onde k , admite duas raízes opostas. O produto das raízes

dessa equação é:

a) 12 b) 3/4 c) 1/4 d) 3/4 e) 12

9. (ITA-SP) Considere a equação x3 + px2 + qx + r = 0 de

coeficientes reais, cujas as raízes estão em P.G. Qual das relações

é verdadeira?

a) p2 = r.q b) 2p + r = q

c) 3p2 = r2 . q d) p3 = r.q3

e) q3 = r.p3

10. (UFSC) Assinale no cartão-resposta a soma dos números

associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).

01. A equação polinomial x3 2x2 4x + 1 = 0 possui as raízes

a, b e c. Logo, a soma a2 + b2 + c2 é igual a 12.

02. O resto da divisão do polinômio x6 x4 + x2 por x + 2 é

52.

04. Dado o polinômio p(x) = x4 + 8x3 + 23x2 + 28x + 12 é

correto afirmar que 2 é raiz de multiplicidade 3 para p(x).

08. Para que o polinômio p(x) = (a + b) x2 + (a b + c) x +

(b + 2c 6) seja identicamente nulo, o valor de c é 4.



UNIDADE 9

MATRIZES

DEFINIÇÃO

Uma matriz do tipo m x n (lê-se: m por n), m, n 1, é uma

disposição tabular formada por m.n elementos dispostos em m

linhas e n colunas.

As matrizes são representadas através de parênteses ( ),

colchetes [ ] ou através de barras duplas || ||

Exemplos.:

A = 2 0 3

6 9 5 A 2 x 3 (lê-se: A dois por três)

A =3 2 8 7

6 1 0 3A2 x 4 (lê-se: A dois por quatro)

A =

60

61

12 A3 x 2 (lê-se: A três por dois)

NOTAÇÕES

Notação Explícita

Uma matriz genericamente é representada por letras maiúsculas e

seus elementos por letras minúsculas.

Sendo assim, uma matriz Am x n algebricamente pode ser

representada assim:

A =

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

n

n

n

m m m mn

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

com m e n N*

Notação Condensada

Podemos também, abreviar essa representação da seguinte forma:

A = [aij] m x n

Os elementos da matriz A são indicados por aij de forma que:

i {1, 2, 3,......m} (indicador da linha)

j {1, 2, 3, .....n} (indicador da coluna)

CLASSIFICAÇÃO DE MATRIZES

Seja a matriz A = (aij)mxn, lembrando que m e n são

respectivamente a quantidade de linhas e colunas da matriz A,

temos:

a) MATRIZ LINHA se m = 1

Exemplo: A1x3 213

b) MATRIZ COLUNA se n = 1

Exemplo: A4x1 =

0

5

2

1

c) RETANGULAR se m n

Exemplo: A2 x 3 = 049

132

d) QUADRADA se m = n

Exemplo: A2x2 85

63

Definição: Diz-se que uma matriz é quadrada se a quantidade de

linhas for igual a quantidade de colunas. Pode-se dizer então que

ela é n x n ou simplesmente de ordem n.

Possui duas diagonais:

diagonal principal (quando i = j para todo aij)

diagonal secundária (quando i + j = n + 1) , onde n é a ordem

da matriz.

TIPOLOGIA Matriz Transposta

Seja A uma matriz de ordem m x n, denomina-se transposta de A

a matriz de ordem n x m obtida quando trocamos de forma

ordenada as linhas pelas colunas. Representa-se por: At ou A'

Exemplo A2 x 3 = 049

132 At

3 x 2 =

2 9

3 4

1 0

OBSERVAÇÃO: Seja uma matriz A de ordem n.

Se A = At , então A é dita SIMÉTRICA

Exemplo: A =

085

813

532

Se A = At, então A é dita ANTISIMÉTRICA

( A indica matriz oposta de A que se obtém

trocando o sinal dos seus elementos)

Exemplo: A =

043

401

310

Matriz Identidade

Uma matriz A de ordem n é dita identidade ou unidade se os

elementos da diagonal principal forem iguais a 1 e os demais

elementos iguais a zero.



Exemplos: I2 = 1 0

0 1 I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Pode se indicar a matriz identidade por:

In = [aij] , aij =1, para i = i

0, para i j

Importante: A matriz identidade é neutra na multiplicação de

matrizes.

Matriz Nula

Uma matriz é dita nula quando todos seus elementos forem iguais

a zero. A matriz Nula é neutra na soma de matrizes.

Matriz Diagonal

É toda matriz de ordem n tal que aij = 0 para i j.

Exemplo: A =

1 0 0

0 4 0

0 0 3

Matriz Triangular

É toda matriz quadrada onde aij = 0 para i > j ou/e para i < j.

Exemplos:

819

021

004

100

740

513

IGUALDADE DE MATRIZES

Duas matrizes Amxn e Bmxn são iguais se os elementos

correspondentes (elementos de mesmo índice) forem iguais.

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

É efetuada somando ou subtraindo os elementos correspondentes

das matrizes. (válido para matrizes de mesma ordem).

Propriedades:

1) A + B = B + A (propriedade comutativa)

2) A + (B + C) = (A + B) + C (propriedade

associativa)

3) A + O = A (elemento neutro)

4) (A + B)t = At + Bt

PRODUTO DE UM NÚMERO POR MATRIZ Dado um número real K e uma matriz Am x n, denomina-se

produto de K por A e se indica por k.A, matriz que se obtém

multiplicando-se todo elemento de A por k.

Propriedades:

Sendo x e y dois números reais e A e B duas matrizes de mesma

ordem, valem as seguintes propriedades:

1) x . (yA) = (xy) . A

2) x . (A + B) = xA + xB

3) (x + y) . A = xA + yA

Exercícios de Sala

1. A é uma matriz 3 por 2, definida pela lei

aij =

ji se

ji sej2i

,3

,

Então, A se escreve:

2. (UFSC) Dadas as matrizes:

A = 2 1 3 1

0 4

x y

x z e B =

x 0

12 4

1 6

Se A = Bt , o valor de x.y.z é:

3. O valor de x.y de modo que a matriz A seja simétrica, é:

A =

625

201

1252

x

y

a) 6 b) 12 c) 15 d) 14 e) 0

Tarefa Mínima

1. Escreva, na forma explícita, cada matriz abaixo:

a) A = (aij)2x2, com aij = i + j

b) A = (aij)3x2, com aij = 3i – j2

c) A = (aij)3x2, com aij =

1 se i j

i2

se i j

d) A = (aij)2x3, com aij = 2 se i = j

2 + j, se i j

2. (UFSC) Dada a matriz A = [aij]2 x 3 definida por aij =

ji sej,i

ji se7,

ji sej,3i

2

o valor da expressão 2a23 + 3a22 - a21 é:

3. (UFOP-MG) Observe a matriz

y

x

00

40

321.

Determine x e y de tal forma que seu traço valha 9 e x

seja o triplo de y.

4. Considere as matrizes A =

72

log3

21

52

x

y

e B = 7165

812. Determine o valor de x + y de

modo que A = Bt



5. Considere as matrizes A =

03

12e B =

21

30

a) Obter a matriz X tal que A + X = B

b) Obter as matrizes X e Y tal que:

BYX

AYX 3

Tarefa Complementar

6. Calcule 5x + 2y, de modo que se tenha:

15

31

12

26

03

125

yy

x

7. (FCMSCSP) Se A é uma matriz quadrada, define-se o

TRAÇO de A como a soma dos elementos da diagonal principal

de A. Nestas condições, o traço da matriz A = (aij)3 x 3, onde

aij = 2i - 3j é igual a:

a) 6 b) 4 c) -2 d) -4 e) -6

8. Determine a soma dos elementos da diagonal principal da

matriz A = ( aij )3 X 3 , onde aij = i + j se i j ou aij = i j se i < j.

9. Uma matriz se diz anti-simétrica se At = A. Nessas

condições, se a matriz A é anti-simétrica, então, x + y + z é igual

a:

A =

031

302

zyx

a) 3 b) 1 c) 0 d) 1 e) 3

10. (LONDRINA-PR) Uma matriz quadrada A diz-se

simétrica se A = At . Assim, se a matriz

A =

234

10

212

zx

y

é simétrica, então x + y + z é igual a:

a) – 2 b) – 1 c) 1 d) 3 e) 5

11. (U.Católica de Salvador -BA) Uma matriz quadrada A, de

ordem n, se diz anti-simétrica se A = -At, onde At é a matriz

transposta de A. Nessas condições, qual das matrizes seguintes é

anti-simétrica?

03-2

301-

2-10

b

413

102-

32-1

a ))

031

302

120

e

323

220

301

d

101-

011-

11-1

c

)

))

12. Se a matriz quadrada A é tal que At = A, ela é chamada

matriz anti-simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e:

M = 4

2

2 8

12 13

23

a a a

a b a

b c c

.

Os termos a12, a13 e a23 valem respectivamente:

a) – 4, – 2 e 4 b) 4, 2 e – 4

c) 4, –2 e – 4 d) 2, – 4 e 2

e) n.d.a.

13. Sendo A = 1 7

2 4

e B = 3 1

4 0, então a matriz X, tal que

X A X B

2

2

3, é igual a:

14. Dadas as matrizes: A =3 1

2 4 e B =

2 2

0 4, o

produto dos elementos da segunda linha de 1

4B

1

2A é:

a) 1 b) 1 c) 0 d) 2 e) 2

15. Dadas as matrizes

Ax y

z w B =

x 6

- 1 2w C =

4 x y

z + w 3e sendo 3A = B + C,

então:

a) x + y + z + w = 11 b) x + y + z + w = 10

c) x + y z w = 0 d) x + y z w = 1

e) x + y + z + w > 11

UNIDADE 10

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Considere as matrizes A = [aij]m x n e a matriz B = [bjk]n x p. O

produto de A por B é a matriz C = [cik]m x p, de tal forma que os

elementos cik são obtidos assim:

cik = ai1 . b1k + ai2 . b2k + ai3 . b3k + .... + ain . bnk

ou seja:

n

j

jkijba1

para todo i {1, 2, ........, m} e todo k {1,

2,...,p}.

Exemplo: Considere as matrizes

A = 3 0

2 1e B =

1 3

9 2. Determine A.B

Resolução: O produto AxB é uma matriz obtida da

seguinte forma:



A.B = 3 1 0 9 3 3 0 2

2 1 19 2 3 12

A.B = 3 9

7 4

PROPRIEDADES

1) A.(B.C) = (A.B).C 2) A.(B + C) = A.B + A.C

3) (B + C).A = B.A + C.A 4) A.I = I.A = A

Observações:

1) Na multiplicação de matrizes geralmente

A.B B.A. Se A.B = B.A dizemos que A e B se

comutam.

2) Na multiplicação de matrizes não vale a lei do

anulamento, ou seja, podemos ter A.B = 0 mesmo

com A 0 B 0.

DETERMINANTES

DEFINIÇÃO

Dada uma matriz quadrada de ordem n, podemos associar à ela,

através de certas operações, um número real chamado

determinante da matriz.

Podemos simbolizar o determinante de uma matriz por

duas barras verticais. Assim, se a a

a a

11 12

21 22

é a matriz A,

indicamos o determinante de A por det A = a a

a a

11 12

21 22

CÁLCULO

1ª ORDEM

Seja a matriz A = [a11] , denomina-se o determinante de A o

próprio elemento a11 e se indica por:

det A = |a11| = a11

2ª ORDEM

3ª ORDEM

Exercícios de Sala

1. Dadas as matrizes A = 0

3

34

12

1-

5=B e .

Determine:

a) A.B b) B.A c) At.Bt

d) Bt.At e) A.I2 f) a matriz X, tal que A.X = B

2. (UFSC) Sejam A = (aij )4 x 3 e B = (bij)3 x 4 duas matrizes

definidas por aij = i + j e bij = 2i + j, respectivamente. Se A.B =

C, então o elemento C32 da matriz C, é:

3. Calcule os determinantes:

a) 52

43 b)

4 2

1 3

4. Calcule o determinante:

163

341

202

Tarefa Mínima

1. (UEL-PR) Sobre as sentenças:

I - O produto de matrizes A3x2 . B2x1 é uma matriz 3x1.

II - O produto de matrizes A5x4 . B5x2 é uma matriz 4x2.

III - O produto de matrizes A2x3 . B3x2 é uma matriz

quadrada 2 x 2.

É verdade que

a) somente I é falsa

b) somente II é falsa

c) somente III é falsa

d) somente I e III são falsas.

e) I, II e III são falsas

2. Se 3 2

1 4

a

b

1

2=

5 7

5 9, então a + b é igual a:

3. Dadas as matrizes A = 1 1

0 0e B =

0 1

0 1, para A.B

temos a matriz:

4. (UCMG) O valor de x, para que o produto das matrizes:

A = 2

3 1

xe B =

1 1

0 1seja uma matriz simétrica, é:

5. (UFSC) Dada a equação matricial:

4 2

1 3 0

4 2

3

1

4

2

3

x

y

z x

y

O valor da expressão

5x + 4y + z é:



6. Calcule os seguintes determinantes:

a)

16

34 b)

13

25

c)

432

314

523

7. (MACK-SP) Sendo A = ( aij ) uma matriz quadrada de ordem

2 e aij = j - i2, o determinante da matriz A é:

8. (UFSC) Obtenha o valor do determinante da matriz

A = (aij)2 x 2, onde aij =

ji sej,i

ji se0,

9. O valor de x na equação

15

102

1

132

xx é:

Tarefa Complementar

10. (CESCEM) O produto M.N da matriz M =

1

1

1

pela matriz

N = 1 1 1 :

a) não se define

b) é a matriz identidade de ordem 3

c) é uma matriz de uma linha e uma coluna

d) é uma matriz quadrada de ordem 3

e) não é uma matriz quadrada

11. (FEI-SP) As matrizes abaixo se comutam. a a

a 2 e

0 3

3 3

O valor de a é:

12. (UFSC) Determine o produto dos valores de x e y que

satisfaçam a equação matricial

4 3

5 4

1

2

4 2

7 3

x

y

13. (UFSC) Dadas as matrizes: A = 1 0 2

0 1 3

4 1 2

;

B =

2 1 1

0 3 0

4 2 1

; C =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

e seja P = (2A - C).B.

Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz

P.

14. (UFSC) Considere as matrizes A = 1 0

2 1

1 2

B = 2 0 1

1 1 3 Sejam M = ( A + Bt ).(At B ), onde At e Bt

são matrizes transpostas de A e B, respectivamente. O produto

dos elementos mij com i = j da matriz M é:

15. Se A = 1 2

4 3 , então A2 + 2A 11 I, onde I é a

matriz identidade de ordem 2, é igual a:

16. (UFSC) Determine o valor de x para que o determinante da

matriz C = A x Bt seja igual a 602, onde:

A = 1 2 3

4 1 2, B =

x 1 8 5

2 7 4 e Bt é a matriz

transposta de B.

17. (UFSC) Em R,a solução da equação 2 3

2 4

1 3

x

x

x

= 175 é:

18. (MACK) O conjunto solução de

1

1 1

1 1

1

1 1

1

x

x

x é:

a) { x R| x 1} b) { 0,1 }

c) { 1 } d) { -1} e) { 0 }

19. (MACK-SP) Sejam as matrizes A = 1 2

3 4 e B =

3 4

1 2

,

e seja X uma matriz tal que X.A = B. Então, det X vale:

a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

UNIDADE 11

PROPRIEDADES DE DETERMINANTES

1ª PROPRIEDADE

Casos onde o determinante é nulo

1º Se uma matriz possui uma fila de elementos

iguais a zero.

Exemplo: 0 3 9

0 8 3

0 4 1

0

2º Se uma matriz possui duas filas iguais.

Exemplo: 2 8 2

3 5 3

1 6 1

0

3º Se uma matriz possui duas filas proporcionais.



Exemplo: 2 3 5

4 6 10

7 0 3

0

4º Se uma fila de uma matriz for uma combinação linear de duas

outras.

Exemplo: 3 5 1

0 4 2

3 9 3

0

2ª PROPRIEDADE

Se multiplicarmos uma fila de uma matriz por um número k, o

determinante da nova matriz fica multiplicado por k.

Exemplo: 2 4

1 32

2 4

1 32 10

5 55

CONSEQÜÊNCIAS

No cálculo dos determinantes, é possível colocar o fator

comum em evidência.

-216= 3.(-72)

143

051

426

3

143

051

432363

143

051

12618

.

...

( 72)

Se multiplicarmos uma matriz quadrada de ordem n por um

número k o determinante fica multiplicado pelo número kn.

det(k.A) = kn.detA

3ª PROPRIEDADE

Se trocarmos duas filas paralelas de uma matriz o determinante

muda de sinal.

4ª PROPRIEDADE

O determinante de uma matriz triangular é o produto dos

elementos da diagonal principal.

Exemplo:

3 9 8

0 4 5

0 0 1

12

5ª PROPRIEDADE (TEOREMA DE BINET)

Se A e B são duas matrizes de ordem n o determinante do

produto de A por B é o produto dos determinantes da matriz A

pelo determinante da matriz B, ou seja:

det(A.B) = det(A).det(B)

6ª PROPRIEDADE

O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua

transposta.

7ª PROPRIEDADE

(TEOREMA DE JACOBI)

Se somarmos a uma fila de A uma outra fila previamente

multiplicada por um número real, obtemos uma matriz A', tal que

det A' = det A

Exemplo: A =

122

151

214 det A = 15

Multiplicando a terceira linha por 2 e adicionando à

primeira, obtemos A': A' = 0 3 0

1 3 2

2 2 1

det A = 15

INVERSÃO DE MATRIZES Sejam A e B duas matrizes quadradas.

Se A.B = B.A = I, dizemos que B é a matriz inversa de A. e

indicamos por A-1.

Logo: A . A-1 = A . A-1 = In

PROPRIEDADES DA INVERSA:

(A-1) -1 = A

(A.B) -1 = B-1 . A-1

det A-1 = 1

det A

OBSERVAÇÕES:

Uma matriz só possui inversa se o seu determinante for

diferente de zero, sendo assim, chamada de inversível.

Uma matriz que não admite inversa é chamada de singular.

Se a matriz A é inversível, então, ela é quadrada.

Se a matriz A é inversível, então, a sua inversa é única.

OBSERVAÇÃO

O processo de se obter a inversa de uma matriz muitas vezes é

trabalhoso, pois recai na resolução de n sistemas de n equações e

n incógnitas.

Vamos agora apresentar um processo que simplifica esse cálculo.

Teorema

Se A é uma matriz quadrada de ordem n e det A 0, então a

inversa de A é:

A – 1

= .det

1

A

A

Onde A representa a matriz adjunta.

Matriz Adjunta: É a matriz transposta da matriz dos cofatores

de A.

Conseqüência

Para calcular um elemento bij da matriz inversa de A, pode-se



aplicar:

bij = .det

1

A Cji

onde Cji é o cofator do elemento aij

Exercícios de Sala

1. Sabe-se que 2

ifc

heb

gda. Determine o valor de

ifc

heb

gda

432

432

432

2. Uma matriz A é quadrada de ordem 4 e seu determinante é

igual a 3. Calcule o valor do determinante da matriz 2A.

3. Determine a inversa das seguintes matrizes:

a) 1 5

2 0 b)

3 1

5 2

4. Determine o valor de x de modo que a matriz

9

32

x seja

singular

Tarefa Mínima

1. Sabendo que 2

ifc

heb

gda

, calcule

ifc

heb

gda

32

32

32

2. (UFRN) O determinante 1 72 81

0 2 200

0 0 3

é igual a:

3. (UFRGS) Considere as seguintes afirmações.

I - O determinante de uma matriz não se altera, quando são

trocadas, ordenadamente, as linhas pelas colunas.

II - O determinante de uma matriz com linhas proporcionais é

nulo.

III - Multiplicando-se uma linha de uma matriz por um

número real p,não nulo,o determinante da nova matriz

fica dividido por p.

Quais são as verdadeiras?

a) I

b) II

c) I e II

d) II e III

e) todas são verdadeiras

4. (UDESC) A partir da matriz A = |aij| 2 x 2 onde

aij = 1 se i j

i j se i j calcular o determinante

do produto da matriz A pela sua transposta, ou seja: det( At.A ),

onde At é a matriz transposta de A.

5. (Unisinus-RS) O valor de um determinante é 48.

Dividimos a 2ª linha por 8 e multiplicamos a 3ª coluna por 6,

então o novo determinante valerá:

6. (UFRGS) A inversa da matriz A = 25

13 é:

25

13 e)

35

02 d)

31

52 c)

25

13 b)

35

12 a)

7. O maior elemento da inversa da matriz A =

51

42 é:

a) 2 b) 5/6 c) 1/5

d) 1/6 e) 1/3

8. (UFVIÇOSA) Sejam as matrizes A =

62

21 e M =

y

x

1

1 , onde x e y são números reais e M é a matriz

inversa de A. Então o produto x.y é:

a) 3/2 b) 2/3 c) 1/2 d) 3/4 e) 1/4

9. (UCSal-BA) A matriz 1

1

x

x, na qual x é um número

real, é inversível se, e somente se:

a) x = 0 b) x = 1 c) x = -1 d) x 1

10. Considere a matriz A =

21

3

x

x . Sabendo que det A- 1 =

0,25, então x :

a) 0 b) – 2 c) 2 d) 4 e) – 1

Tarefa Complementar

11. (UECE) Sabe-se que M é uma matriz quadrada de ordem 3 e

que det(M) = 2. Então det (3M) é igual a:

a) 2 b) 6 c) 18 d) 54 e) 27

12. (UFSM) Sejam as matrizes A, de ordem 3 e B =

2 1 4

1 0 2

0 1 6

. Se o det A = 6 e C = A.B, o det C vale:

a) 24 b) 12 c) -6 d) -12 e) -24



13. (SANTA CASA) Dadas as matrizes A e B tais que:

1 5 1 3 0 0 0

0 2 2 4 3 4 0 0

0 0 3 1 1 2 1 0

0 0 0 4 2 1 3 2

A

-1

e B =

O valor do determinante de A.B é:

a) 192

b) 32

c) -16

d) 0

e) n.d.a.

14. (F.M.Santos-SP) O determinante

1 0 0 0 0

2 2 0 0 0

3 2 1 0 0

4 2 3 2 0

5 1 2 3 3

é:

a) -12 b) 10 c) 9 d) 0 e) n.d.a.

15. (MACK-SP) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 e

I = 10

01. Chamam-se auto valores de A as raízes da

equação det (A – xI) = 0. Obtenha os autovalores de

A = 32

41

16. (FGV-SP) Considere as matrizes A =

pc

nb

ma

4

4

4

e B =

3

3

3

cp

bn

am

. Se o determinante da matriz A é igual a

2, então o determinante da matriz B é igual a:

a) 3/2 b) 2/3 c) – 3 d) – 3/2 e) – 2/3

17. (UEPG-PR) Dada a matriz A = (aij)3x3, onde aij =

ji se0,

ji se4,. Então é correto afirmar:

01. det (A) = 64

02. (A).(At) é uma matriz quadrada de ordem 6

04. det(2A) = 8 det(A)

08. det(A) det(At)

16. A2 =

161616

01616

0016

18. Os valores de k para que a matriz A =

31

31

101

k

k não

admita inversa são:

a) 0 e 3 b) 1 e – 1 c) 1 e 2

d) 1 e 3 e) 3 e – 1

19. (UFPB) Se a matriz 2 5

5

x x

xnão é invertível,

então, o valor de x em módulo é:

20. (UDESC) Seja a matriz A = ( aij ) 3 x 3 definida por

aij = 1

0

i j para i j

para i jo determinante de A-1 é:

UNIDADES 12

SISTEMAS LINEARES

DEFINIÇÃO Denomina-se Sistema Linear todo conjunto de m equações

lineares com n incógnitas.

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

n n

n n

m m mn n n

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

Se b1, b2, ......, bn = 0 dizemos que o sistema é homogêneo.

Solução de um Sistema Linear

Denomina-se solução de um sistema a seqüência de números

reais ( 1, 2,..........., n) que satisfaz simultaneamente todas as

equações do sistema.

Sistemas Equivalentes

Dois Sistemas são ditos equivalentes se e somente se:

São Possíveis e admitem as mesmas soluções, ou

São Impossíveis.

Classificação de um Sistema Linear

Um Sistema Linear pode ser classificado de acordo com o

número de soluções que ele apresenta. Sendo assim ele pode ser:

DETERMINADO

(1 solução)

POSSÍVEL

INDETERMINADO

(infinitas soluções)

IMPOSSÍVEL Não Admite Solução

REGRA DE CRAMER

A Regra de Cramer consiste num método para resolvermos

sistemas Lineares de n equações e n incógnitas.



Seja o sistema

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

n n

n n

n n nn n n

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

Para obtermos a solução para esse sistema vamos fazer alguns

cálculos. Acompanhe:

det S

Determinante associado à matriz formada pelos coeficientes das

incógnitas.

det S =

a a a

a a a

a a a

n

n

n n nn

11 12 1

21 22 2

1 2

det Xi

Determinante associado à matriz obtida a partir de S, trocando

a coluna dos coeficientes de Xi, pela coluna dos termos

independentes do sistema.

det X1 =

b a a

b a a

b a a

n

n

n n nn

1 12 1

2 22 2

2

det X2 =

a b a

a b a

a b a

n

n

n n nn

11 2 1

21 2 2

1

det Xn =

a a b

a a b

a a bn n n

11 12 1

21 22 2

1 2

A solução do Sistema é dada por:

x1

det X

det S x

det X

det S x

det X

det S

12

2n

n

Veja que só é possível aplicar a Regra de Cramer em sistemas n

x n em que det S 0. Esses sistemas são denominados normais.

3. Discussão com base na regra de Cramer (2x2)

1) Quando det S 0, o sistema é possível e determinado.

2) Quando det S = det X1 = det X2 = ...= 0, o sistema é

possível e indeterminado

3) Quando det S = 0 e pelo menos um dos demais

determinantes for diferente de zero, os sistema é

impossível

O sistema homogêneo é sempre possível.

Exercícios de Sala

1. Usando a regra de Cramer, resolva os seguintes sistemas:

a)

152

1134

yx

yx

b)

622

3

yx

yx

c)

233

1

yx

yx

2. Dado o sistema de equações lineares

x y z

x y z

x y z

1

1

com

, R, então o sistema é determinado se:

a) se -1 b) se = -1 e 1

c) se 1 d) se = -1 e = 1

e) se = -1 e = -1

3. (FGV-SP) O sistema linear

0

0

02

zyx

zyx

zyx admite

solução trivial, se:

a) = - 2 b) - 2

c) = 2 d) 2 e)

Tarefa Mínima

1. (USF-SP) Resolvendo o sistema x y z

x y z

x y z

9

2 11

1

, obtém-se y

igual a:

2. (UFRGS) Dado o sistema de equações lineares sobre

R

2 4

3 2 4

4 0

x y z

x y z

x y z

os valores de x, y e z que constituem sua

solução:

a) formam uma progressão geométrica

b) formam uma progressão aritmética

c) são iguais entre si

d) não existem

e) têm uma soma nula

3. (FGV-SP) O sistema de equações 2 5 10

2 3

x y

x y é

equivalente a:

2 5 10 10) . ) .

1 2 3 3

10 10) . )

3 3

x xa b

y y

x xc d

y y

-2 -5

1 2

2 -1 -2 1

5 -2 -5 2

4. (UFSC)Para que o sistema abaixo seja impossível, o valor de

a é:

x y z

x y az

x y z

3 4 1

2

2 3



5. (UFSC)Determine o valor de m para que o sistema, abaixo

admita infinitas soluções:

mx y z

x my z

x y

2 0

2 0

3 2 0

Tarefa Complementar

6. (UEPG-PR) O sistema linear

b4z2y3x

2zyx

33zyax

é:

01. impossível para a 2 e b = 5

02. impossível para a = 2 e b 5

04. possível e determinado para a = 2 b R

08. possível e indeterminado para a = 2 e b = 5

16. possível e determinado para a 2

7. (UFSCar-SP) Dado o sistema linear

x ay z

ax y az

x ay z

0

0

0

assinale a alternativa correta:

a) O sistema admite uma infinidade de soluções

para qualquer a real.

b) O sistema não admite solução de a = 1.

c) O sistema admite uma única solução se a = 3.

d) O sistema admite somente a solução trivial.

e) O sistema admite uma única solução se a = 1.

8. (FEI-SP) Se o sistema

3 2 1 0

4 2 2 0

2 3 2 0

x y z

mx y z

x my z

admite uma única solução, então:

a) m 6 b) m 2

c) m 8 d) m 4

e) m 3

9. (UFSC) Considere o sistema S1: 06y-2x-

03yx

determine a soma dos números associados à(s)

proposição(ões) verdadeira(s).

01. O par ordenado ( 15,5) é uma solução do

sistema S1.

02. O sistema S1 é possível e determinado.

04. A solução do sistema S1 é uma reta que não passa

pela origem.

08. O sistema S2: 030y-10x-

06y2xé equivalente ao

sistema S1.

10. (UFSC) Assinale a soma dos números associados às

proposições VERDADEIRAS

01. O número de elementos de uma matriz quadrada de

ordem 12 é 48.

02. Somente podemos multiplicar matrizes de mesma

ordem.

04. A soma das raízes da equação

x44

xx4

xxx

= 0 é 8.

08. Uma matriz quadrada pode ter diversas matrizes

inversas.

16. O sistema 0yx

02y3x é indeterminado.

11. (UFSC) Assinale a soma dos números associados às

proposições verdadeiras

01. A matriz

0213

1845

1524

0321

não possui inversa.

02. Se um sistema de equações é indeterminado,

então não se pode encontrar solução para ele.

04. Uma pequena indústria produz três tipos de

produto que indicamos por x, y, z. As unidades

vendidas de cada produto e o

faturamento bruto da empresa em três meses

consecutivos são os dados na tabela abaixo.

Então, os preços dos produtos x, y e z só podem

ser, respectivamente, R$ 1.000,00, R$ 5.000,00

e R$ 3.000,00.

Mês

Unidades

de x

vendidas

Unidades

de y

vendidas

Unidades

de z

vendidas

Faturamento

bruto

1 1 5 3 R$

35.000,00

2 4 1 2 R$

15.000,00

3 5 6 5 R$

50.000,00

08. A solução da equação 0

213

42

142

x é x = 1

12. (UFSC) Assinale as proposições corretas.

01. O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única solução do

sistema 276y3x

92yx

02. A matriz A = (aij)1 3, tal que aij = i –3j é

A = 852 .

04. A soma dos elementos da inversa da matriz

10

11 é igual a 2.

08. Uma matriz quadrada A se diz anti-simétrica se

tA = -A, sendo tA a transposta da matriz A.

Nessas condições, pode-se afirmar que a matriz



001

000

100

é anti-simétrica.

16. Se as matrizes P, Q e R são escolhidas entre as

listadas a seguir, para que PQ – R seja uma

matriz nula, o valor de x deve ser 2.

2

1

3

, 53x , x20

116,

6

19

32. A e B são matrizes quadradas de ordem 2 tais

que A = 5B. Nestas condições, pode-se afirmar

que det(A) = 5det(B), sendo que det(A) e

det(B) designam, respectivamente, os

determinantes das matrizes A e B.

13. (UFSC) Marque a(s) proposição(ões) correta(s).

01. Dada uma matriz A, de ordem m x n, e uma matriz

B de ordem n x p, a matriz produto A.B existe e é

de ordem m x p.

02. Se um sistema de equações possui mais equações

do que incógnitas, então ele é incompatível

(impossível).

04. A terna (2, 1, 0) é solução do sistema

x y z

x y z

x y z

x y z

2 3 4

2 2 3

3 7

6 2 2 14

08. Três pessoas foram a uma lanchonete.

A primeira tomou 2 (dois) guaranás e comeu 1

(um) pastel e pagou R$ 4,00. A segunda tomou 1

(um) guaraná e comeu 2(dois) pastéis e pagou R$

5,00. A terceira tomou 2 (dois) guaranás e comeu

2(dois) pastéis e pagou R$ 7,00. Então, pelo

menos, uma das pessoas não pagou o preço

correto.

14. (FUVEST) O sistema linear

ayx

ayx

9log4log

3log2log

a) tem solução única se a = 0

b) tem infinitas soluções se a = 2

c) não tem solução se a = 3

d) tem infinitas soluções se a = 4

e) tem solução única se a = 9

GABARITO

Unidade 1

1) R$ 45,20

2) 252

3) 8 dias

4) a) 20 b) 2

c) 240 d) 0,6

e) 0,06 f) 0,0025

g) 70% 5) e

6) 08

7) b

8) a

9) a

10) a

11) a

12) 44

13) 40

14) d

15) 02

Unidade 2

1) 15

2) a) 9 b) 3

c) 8

3) 05

4) c

5) d

6) a

7) 04

8) 02

9) d

10) 08

11) 12

12) e

13) d

14) 60

15) c

Unidade 3 1) 24

2) 60

3) 24

4) 210

5) c

6) a

7) 28

8) e

9) a

10) 30

11) 35

12) 12

13) d

14) a

Unidade 4

1) 19

2) b

3) 13

4) 32

5) 04

6) c

7) c

8) Cn, p

9) b

10) d

11) c

Unidade 5

1) 280

2) 01

3) 37

4) a

5) e

6) a

7) e

8) 01

9) c

10) a

Unidade 6

1) a) – 5 b) 0 c) 38

2) – 4

3) 66

4) 66

5) d

6) 00

7) d

8) 66

9) d

10) a

Unidade 7

1) 23

2) 35

3) b

4) 11

5) 07

6) 04

7) b

8) e

9) e

10) d

Unidade 8

1) d

2) d

3) 08

4) c

5) c

6) c

7) 00

8) b

9) e

10) 03

Unidade 9

1)

2 1 1 12 3 2 4 5

5 2 4 13 4 3 2 5

8 5 9 9

a b c d) ) ) )

2) 34

3) 6 e 2

4) 36

5)a) 2 2

2 2X

b) 3 0

4 1X

3 3

5 1Y

6) 12

7) e

8) 12

9) d

10) e

11) b

12) b

13) 9 17

10 12

14) a

15) b

Unidade 10

1) b

2) 05

3) 00

00

4) 01

5) 56

6) a) 14 b) 11

c) 15

7) 03

8) 08

9) 05

10) d

11) 01

12) 40

13) 32

14) 80

15) 0 0

0 0

16) 56

17) 19

18) e

19) b



Unidade 11

1) – 12

2) 6

3) c

4) 121

5) 36

6) a

7) b

8) a

9) d

10) e

11) d

12) d

13) a

14) a

15) 5 e – 1

16) d

17) 05

18) c

19) 05

20) ½

Unidade 12

1) 03

2) b

3) a

4) 02

5) 02

6) 26

7) a

8) a

9) 09

10) 04

11) 09

12) 18

13) 13

14) c

Mat regra de tres

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