8/9/2019 MAT12AProvatipo

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Exames Nacionais

Grupo I

1. Considere o esquema representado na gura 1 .

Fig. 1

Quantos caminhos diferentes existem que permitem chegar de A at B , se s forem permi-

tidos movimentos para a direita e para baixo?

(A) 12 (B) 18 (C) 25 (D) 35

2. A famlia Fonseca formada por cinco elementos (pai, me e trs lhos) e decidiu assistir a

um jogo de futebol da Seleco Nacional. Compraram cinco bilhetes e sentaram-se, ao acaso,

em cinco lugares consecutivos.

Qual a probabilidade dos trs lhos carem sentados entre os pais?

(A) (B) (C) (D)

3. O ltimo termo de desenvolvimento do binmio .

Qual o valor do coeciente do termo mdio?

(A) - 160 (B) - 20 (C) 20 (D) 160

4. Na gura 2 , est representada parte do grco

de uma funo f , par e de domnio R .

A recta r , de equao , assimptota

do grco de f .

Qual o valor de ?

(A) - 1 (B) 0

(C) 1 (D) 2

Na resposta a cada um dos itens deste grupo, seleccione a nica alternativa correcta.

Escreva, na folha de respostas, o nmero do item e a letra que identica a alternativa seleccionada.

No apresente clculos nem justicaes.

A

B

24

5!

12

5!

6

5!

2

5!

64y6

(x- 2y)n

y= x- 1

limx" -?

f(x)x

- limx" +?

[f(x)- x]

Prova Escrita de Matemtica A (proposta)

12. ano de Escolaridade

Durao da Prova: 150 minutos. Tolerncia: 30 minutos

Cotaes5

5

5

5

Fig. 2

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5. Seja f a funo de domnio R , denida por:

Qual das seguintes armaes verdadeira?

(A) A funo f contnua em R . (B) A funo f derivvel em R .

(C) . (D) No existe f'(0) .

6. Considere a seguinte equao trigonomtrica:

com . Quantas solues tem a equao?

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

7. Sejam z1 um nmero complexo de argumento e z2 um nmero complexo tal que

.

A que quadrante pertence o nmero complexo ?

(A) 1. Q (B) 2. Q (C) 3. Q (D) 4. Q

8. Considere a gura 3 , onde se encontra representada uma regio do plano complexo.

Fig. 3

O ponto A a imagem geomtrica do complexo , o ponto B a imagem geom-

trica de e o ponto C a imagem geomtrica de . As rectas AB e CD so paralelas.

Qual das condies seguintes dene em C , conjunto dos nmeros complexos, a regio som-breada, incluindo a fronteira?

(A)

(B)

(C)

(D)

[a sin(x)- b] . [b cos(x)- a] . [a tg(x)- a]= 0

xd- p2

,p

2c e 0< a < b

3p

4arg(z1)= arg(z32)

z2

i

f(x) =adbdc

ex

x+ 1 se x 0

ln (x2 + 1) se x< 0

z

z= 1+ i

OD

C

B

A

Im (z)

Re (z)

- z

cRe(z) 1 *arg(z)* p4dcRe(z) - 1 3p

4 arg(z) pd

cRe(z)"2 *arg(z)* p4dcRe(z) -"2 3p

4 arg(z) pd

limx" 0 -

f(x)

x2 = 0

cRe(z)"2 *arg(z)* p

4 dcRe(z) -"2 3p

4 arg(z)pd

cRe(z) 1 *arg(z)* p4dcRe(z) - 1 3p

4 arg(z) pd

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Grupo II

1. Em C , conjunto dos nmeros complexos, considere

.

Determine na forma trigonomtrica, sem recorrer calculadora.

2. Considere em C o nmero complexo .

Na gura 4 , esto representadas no plano complexo as imagens geomtricas das trs razes

cbicas de e a recta que perpendicular ao segmento de recta [AB] e contm o ponto

mdio desse segmento.

Fig. 4

Dena por uma condio, em C , a regio sombreada da gura, incluindo a fronteira.

3. Seja W o espao de resultados associado a uma experincia aleatria. Sejam A e B doisacontecimentos possveis e incompatveis (A W e B W) .

Usando a frmula da probabilidade condicionada e as operaes com conjuntos, mostre que

.

( designa probabilidade, designa o acontecimento contrrio de , designa o aconte-

cimento contrrio de e designa a probabilidade de dado ).

Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os clculos que tiver de efectuar e todas as

justicaes necessrias.

Ateno: quando, para um resultado, no pedida a aproximao, apresente sempre o valor exacto.

z=a"3cis ap

4bb2 + i2010

2- i

z

w= 8 cisa3p

2brw

O

B

r

C

A

Im (z)

Re (z)

P(A*B)* P(B)+ P(A B)= P(A)

BAAP

BAP(A*B)B

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7. Uma associao decidiu fazer o povoamento, com coelhos, de uma certa regio para formar

uma reserva de caa associativa.

Foram libertados, inicialmente, 100 coelhos na reserva tendo-se vericado o aumento expo-

nencial do nmero de coelhos nos primeiros 10 meses.

No incio do ms de Setembro deu-se a abertura da poca de caa.

Admita que, meses aps o incio do povoamento, o nmero de coelhos dado, em deze-nas, aproximadamente, por:

7.1. Resolva, usando mtodos analticos, os dois itens seguintes.

7.1.1. Determine o valor da constante sabendo que no momento da abertura da

poca de caa existem 800 coelhos na reserva.

7.1.2. Utilize o Teorema de Bolzano para justicar que houve, entre os dias 1 e 15 do

ms de Novembro, um dia em que o nmero de coelhos na reserva foi de 250 .

7.2. A poca de caa encerra no dia 31 de Dezembro. Para garantir o repovoamento da

reserva necessrio que no m da poca de caa o nmero de coelhos seja de pelo

menos 150 .

Recorrendo s capacidades grcas da sua calculadora, verique que, no m da poca de

caa, o nmero de coelhos inferior a 150 , e determine em que dia do ms de Dezem-

bro deveria ter terminado a caa para garantir o repovoamento da reserva.

Reproduza, na folha de respostas, o grco visualizado na calculadora, devidamente

identicado, incluindo o referencial.

Assinale os pontos em que se baseou para dar a sua resposta.

t

, k R+10 * 2kt se 0 t 10

8t* e- 0,6t+ 6 se t> 10

adbdc

N(t) =

k

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