Mate Matic a Adm

Prof. Sergio Ricardo

UNIGRANRIO – curso de administração 1

CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS Fundamentos da Matemática Elementar 1

Prof. Sergio Ricardo P. de Mattos

FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU OU QUADRÁTICA

As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente

em situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado,

lançamento oblíquo e etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas;

na Administração e Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na

Engenharia Civil presente nas diversas construções.

DEFINIÇÃO : Dados os números reais a, b e c com a ≠0 chama−se função do 2º Grau

ou Função Quadrática, a função f: IR → IR definida por f(x) = ax2 + bx + c.

Exemplos:

� f(x) = 2x2 - x - 3,

� f(x) = x2 – 7x + 12,

� f(x) = -x2 – 2x + 1

� f(x) = 2x2 –3x + 5

� f(x) = -2x2 – 5x � f(x) = x2

Valor Numérico de uma Função do Segundo Grau

Para se calcular o valor numérico de uma função f(x) = a.x2 + bx + c para xn é dado

por f(xn) = a.(xn)2 + b.xn + c.

EXEMPLO RESOLVIDO

Ex 1: Calcule o valor numérico da função ( ) 042 2 =−= xxxf , para f(3).

Solução:

( ) ( ) ( ) ( ) 63129.233.43.23042 22 =⇒−=⇒−=⇒=−= fffxxxf



EXERCÍCIOS DE APLICAÇÕES

1. Dada a função quadrática ( ) 62 −−−= xxxf , determine:

a) F(1) b) f(9)

c) f(0) d) f(-3)

2. Dada a função quadrática ( ) 24112 +−= xxxf , determine os valores de x

para que:

a) F(x) = - 4 b) f(x) = 50

c) f(x) = 0 d) f(x) = 14

e) f(x) = 24 f) f(x) = - 6

3. Seja a função ( ) 382 2 +−= xxxf , determine f(6) + f(3) – f(-2).

4. Gerador é um aparelho que transforma qualquer energia em energia elétrica.

Se a potência P em watts que certo gerador lança num circuito é dada pela relação

( ) iiiP 520 2 −= , em que i é a intensidade da corrente elétrica que atravessa o gerador,

determine o numero de watts que expressa a potência P quando i= 3 ampères.

5. A área de um quadrado é dada em função da medida do lado, ou seja, f(L) =

L2. Faça então o que se pede.

a) Calcule f(10)

b) Calcule L tal que f(L) = 256

c) Calcule f(25,3)

6. Uma firma de materiais para escritório determina que o número de

aparelhos de fax vendidos no ano x é dado pela função ( ) 2450 xxxf ++= onde x = 0

corresponde ao ano de 2000, x = 1 corresponde ao ano de 2001 e assim

sucessivamente.

a) O que e quanto f(0) representa?

b) Determine a quantidade de aparelhos de fax que podem ser vendidos em 2005.

c) Qual a quantidade de aparelhos de fax vendidos em 2008?



RAÍZES DA FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU

Chama-se zeros ou raízes da função do segundo grau ( ) cbxaxxf ++= 2 , com

a ≠ 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

São os pontos onde o gráfico corta o eixo x.

Então as raízes da função ( ) cbxaxxf ++= 2 são as soluções da equação do

segundo grau 02 =++ cbxax , as quais são dadas pela chamada “fórmula de Bhaskara”.

a

acbbx

2

42 −±−=

Relação entre o valor de delta ∆ e as raízes da função do segundo grau.

� Se ∆ > 0, teremos duas raízes reais e diferentes

� Se ∆ = 0, teremos duas raízes reais e iguais;

� Se ∆ < 0, não teremos raízes reais.

EXEMPLO RESOLVIDO

Ex 2: Calcule as raízes da função ( ) 24082 −+= xxxf

Resolução:

Fazendo 024082 =−+ xx , e aplicando Bhaskara, temos:

Cálculo pela Fórmula Cálculo pelo Delta

( ) ( ) ( )

−=−−=

=+−=±−=

±−=

+±−=

−−±+−=

−±−=

202

238

122

328

2

328

2

024.18

2

960648

1.2

240.1.488

2

4

2

1

2

2

x

xx

x

x

x

a

acbbx

( )

−=−−=

=+−=±−=

±−=

∆±−=

=∆+=∆

−−=∆

−=∆

202

328

122

328

2

328

1.2

024.18

2

024.1

96064

240.1.48

..4

2

1

2

2

x

xx

x

a

bx

cab

Logo as raízes da equação são: x1 = 12 e x2 = -20



Ex 3: Calcule as raízes da função ( ) xxxf 84 2 +=

Resolução:

Fazendo 084 2 =+ xx , temos:

01 =x e 24

8222 −=⇒

−=⇒−= xxa

bx

Logo as raízes da equação são: x1 = 0 e x2 = -2

GRÁFICO DA FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU

O gráfico da função definida de IR em IR por: ( ) 02 ≠++= acomcbxaxxf . É

uma curva chamada parábola. Ao observarmos uma montanha russa, podemos visualizar

uma parábola.

Ao construir o gráfico de uma função quadrática, notaremos sempre que:

Se a > 0, a parábola tem a

concavidade voltada para cima;

Se a < 0, a parábola tem a

concavidade voltada para baixo;

A parábola possui um eixo de simetria, que a intercepta num ponto chamado: vértice.

Vértice: Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima (a < 0) ou um ponto de

ordenada mínima (a > 0). A este ponto V (x, y), chamamos de vértice da parábola. É o

ponto mais alto ou mais baixo do gráfico.

Para calcular as coordenadas do vértice usamos:

� a

bxv 2

−= Para calcular o valor da abscissa x;



� a

yv 4

∆−= Para calcular o valor da ordenada y,

Portanto:

∆−−=aa

bV

4,

2.

Tome Nota

• Podemos calcular o valor da ordenada y do vértice, substituindo na função,

o valor da abscissa x encontrado anteriormente e calcular seu valor numérico.

• A fórmula a

yv 4

∆−= User só é interessante quando você já calculou o valor

do delta ou quando o valor do x é na forma de fração.

EXEMPLO RESOLVIDO

Ex 4: Calcule as coordenadas do vértice da função 100402 −+= xxy

Para calcular o valor da abscissa x Para calcular o valor da ordenada y

201.2

402

−=

−=

−=

v

v

v

x

x

a

bx

( ) ( )

500

100800400

100204020

100402

2

−=−−=

−−+−=

−+=

y

y

y

xxy

O vértice da parábola é: ( )500,20 −−=V .

Pontos notáveis do gráfico

Para construir o gráfico da função de 2º grau devemos seguir o mesmo

procedimento utilizado para função do primeiro grau, porém é importante você determinar

alguns pontos da parábola que facilitarão a construção do gráfico.

� Determinamos as raízes da função;

� Determinamos as coordenadas do vértice;

� Atribuímos a x dois valores menores e dois maiores que o x do vértice e

calculamos os correspondentes valores de y.

� Construímos assim uma tabela com os valores encontrados.



� Marcamos os pontos obtidos no plano cartesiano.

� Traçamos o gráfico.

EXEMPLO RESOLVIDO

Ex 5: Construa o gráfico da função 322 −−= xxy

Solução:

Cálculo das raízes Cálculo Vértice Dois maiores e dois menores que xv

( ) ( )

( )

( )

−=−+=

=++=±−−=

±−−=

∆±−=

=∆+=∆

−−−=∆

−=∆

12

42

32

42

2

42

1.2

162

2

16

124

3.1.42

..4

2

1

2

2

x

xx

x

a

bx

cab

( )

11.22

2

=

−−=

−=

v

v

v

x

x

a

bx

( )4

3121

322

2

−=−−=

−−=

y

y

xxy

( ) ( ) 3030.200 2 −=⇒−−= ff

( ) ( ) ( ) ( ) 0131.211 2 =−⇒−−−−=− ff

( ) ( ) 3232.222 2 −=⇒−−= ff

( ) ( ) 0333.233 2 =⇒−−= ff

Resumindo as informações, teremos: O Gráfico.



-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÕES

7. O valor máximo da função f(x) = - x2 + 240x + 2.000 é: Resposta: 120

8. A função f(x)= x2 - 2x + 1 tem valor mínimo no ponto: Resposta: x = -1

9. Faça o gráfico das seguintes funções do 2º grau:

a) y = x²

b) y = x² - 6x + 7

c) y = x² + 4x + 5

d) y = x² + 6x - 5

10. Determine as raízes e o vértice da parábola.

a) y = x² - 4x + 3

b) y = x² + 8x - 12

c) y = ( x - 3 )²

d) f(x) = x2 + 20x – 50

e) f(x) = 2x2 – 24x -15

11. Se x e y são as coordenadas do vértice da parábola y= 3x2 - 5x + 9, então x

+ y é igual a: Resposta: 3

32

12. O maior valor que y pode de assumir na expressão y= - x2 + 2x é: Resposta: 1



13. Considere a função f: IR em IR, definida por f(x) = x2 - 2x + 5. Pode-se

afirmar corretamente que:

a) Vértice do gráfico de f é o ponto (1; 4);

b) f possui dois zeros reais e distintos;

c) f atinge um máximo para x = 1; (V)

d) Gráfico de f é tangente ao eixo das abscissas.

14. Construa os gráficos das funções abaixo, determinando: as raízes, o vértice e

o valor máximo ou mínimo.

a) ( ) 672 ++= xxxf b) ( ) xxxg 82 +−=

c) ( ) 63 2 += xxh

15. Em uma partida de futebol a trajetória da bola ao ser batida uma falta do

jogo, é tal que a sua altura h em metros, varia com o tempo t em segundos, de acordo

com a equação h t t= − +2 10 com 0 10≤ ≤t . Então a altura máxima atingida pela

bola é o ponto onde a bola começa a descer são: Resposta: 25 m e 5 m

16. Supondo que no dia 5 de dezembro de 1995, o Serviço de Meteorologia do

Estado do Paraná tenha informado que a temperatura na cidade de Londrina atingiu o

seu valor máximo às 14 horas, e que nesse dia a temperatura f(t) em graus é uma

função do tempo "t" medido em horas, dada por ( ) 1562 −+−= btttf , quando 8 < t <

20. Obtenha o valor de b. Resposta: 28

17. A temperatura, em graus centígrados, no interior de uma câmara, é dada por

( ) Atttf ++= 72 , onde t é medido em minutos e A é constante. Se, no instante t = 0, a

temperatura é de 10°C, o tempo gasto para que a temperatura seja mínima, em minutos,

é: Resposta: 3,5 minutos

18. Uma imobiliária aluga 180 apartamentos do tipo econômico por R$ 300,00

mensais. Estima-se que, para cada R$ 10,00 de aumento no aluguel, 5 apartamentos

ficarão vazios. Que aluguel deverá ser cobrado para se obter prejuízo mínimo. Resposta:

R$ 600,00

19. Para uma determinada viagem, foi fretado um avião com 200 lugares. Cada

pessoa deve pagar R$ 300,00 mais uma taxa de R$ 6,00 por cada lugar que ficar vago.

Qual a receita arrecadada, se compareceram 150 pessoas para a viagem? R: R$ 90.000,00



20. Em uma fábrica, o custo de produção de x produtos é dado por

122)( 2 ++= xxxC . Sabendo-se que cada produto é vendido por R$ 10,00, determine

o número de produtos que devem ser vendidos para se ter um lucro de R$ 44,00.

Resposta: 15 produtos

21. Uma bola é chutada para o alto e a variação de sua altura, em relação ao

solo, é dada pela equação: ( ) ttth 126 2 +−= . Determine a altura máxima que a bola

atinge, o tempo gasto para o objeto atingir a altura máxima e em que instante a bola

toca o solo novamente. Respostas: 6 metros, 1 minuto, 2 minutos.

22. Um fazendeiro plantou 40 laranjeiras e cada um produz 200 laranjas em

média. Pretendendo aumentar o número de laranjeiras, o fazendeiro sabe que cada

árvore nova plantada diminuirá, em 4 laranjas, o número médio produzido. Quantas

árvores deverão plantar para obter o número máximo de laranjas? Resposta: 10 árvores

23. O menor valor que y pode de assumir na expressão 40202 −−= xxy é:

Resposta: 10

FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU NA ECONOMIA

As funções podem ser aplicadas em quase tudo que fazemos em nosso dia a dia,

agora veremos alguns casos de aplicações da função do segundo grau em Administração e

Economia. Enfatizaremos a função custo, função receita e a função lucro que estão

relacionadas aos fundamentos administrativos de qualquer empresa.

FUNÇÃO CUSTO TOTAL

Seja q a quantidade produzida de um produto. O custo total depende de q e à

relação entre eles chamamos função Custo Total (e indicamos por CT). Verifica-se que, em

geral, existem alguns custos que não dependem da quantidade produzida, tais como

seguros, aluguel, etc. À soma desses custos, que independem da quantidade produzida,

chamamos Custo Fixo (e indicamos por CF). À parcela de custos que depende de q

chamamos Custo Variável (e indicamos por CV). Desta forma, podemos escrever:

qCCC vFT .+=



FUNÇÃO RECEITA TOTAL

Suponhamos agora que q unidades do produto sejam vendidas. A receita de vendas

depende de q e a função que relaciona receita com quantidade é chamada função receita (e

indicada por R). Na maioria das vezes, o preço unitário (p) varia com a quantidade

demandada, sendo p = f(q). Assim, a receita total pode ser expressa através da função

demanda como: qPvR .=

FUNÇÃO LUCRO TOTAL

Chama-se função lucro total (e indica-se por L) a diferença entre a função receita e

a função custo total, isto é: TCRL −=

Na Economia, empregam-se, muitas vezes, polinômios para representar estas

funções.

O interesse básico é achar o lucro. Devem ser determinados os intervalos onde o

lucro é positivo, por isso precisamos conhecer as raízes da função lucro total.

Outro problema é achar o lucro máximo.

Para polinômios de 2º grau, será suficiente determinar o vértice da parábola.

Quando a parábola tiver a concavidade voltada para baixo a abscissa do vértice

será o ponto de máximo e a ordenada do vértice será o valor máximo.

Quando a parábola tiver a concavidade voltada para cima à abscissa do vértice será

o ponto de mínimo e a ordenada do vértice será o valor mínimo.



Para calcular os pontos de máximos ou mínimos usamos as coordenadas do vértice

já estudadas anteriormente.

�� a

bxv 2

−= Para calcular o valor da abscissa x;

�� a

yv 4

∆−= Para calcular o valor da ordenada y.

EXEMPLO RESOLVIDO

Ex 6: O dono de uma pizzaria verificou que, quando o preço unitário de

cada pizza era de R$ 14,00 o número de pizzas vendidas era 170 por semana.

Verificou também quando preço passava para R$ 11,00 a quantidade vendida era

de 200 unidades. Assim sendo sua função demanda é p = - 0,1q + 31. (Considere o

custo de uma pizza de R$ 7,00). Determine:

a) A função Receita;

b) A função Lucro;

c) Qual é a quantidade vendida que maximizar o lucro semanal.

d) Qual o lucro máximo da pizzaria?

e) Qual o preço que maximiza o lucro?

Solução:

a) A função Receita

( ) ( ) ( ) ( ) qqqRqqqRqpqR 311,0.31.1,0. 2 +−=⇒+−=⇒=

b) A função lucro.

( ) ( ) ( ) ( ) qqqLqqqqLCqRqL T 241,07311,0 22 +=⇒−+−=⇒−=

c) Qual é a quantidade vendida que maximizar o lucro semanal.

2401,0

24

2=⇒

−−=⇒

−= xxa

bx

d) Qual o lucro máximo da pizzaria?

( ) ( ) ( )( ) 00,520.11

760.5600.57.1,0240.24240.1,0241,0 22

=⇒+−=⇒+−=⇒+=

qL

qLqLqqqL

e) Qual o preço que maximiza o lucro?

00,5531240.1,0311,0 =⇒+=⇒+−= ppqp



PROBLEMAS

24. Em uma empresa de software o custo C para produzir x unidades é dado

pela função: )(3000802 reaisemxxC +−=

a) Calcule a quantidade de unidades que essa empresa deveria produzir, para que

seu custo seja mínimo.

b) O valor mínimo do custo de produção

25. Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela relação L = R – C,

onde L representa o lucro, R a receita total e C o custo total da produção. Numa

empresa que produziu x unidades, verificou-se que 26000 xxR −= e xxC 20002 −= .

Nessas condições, qual deve ser a produção ideal dessa empresa, para MAXIMIZAR o

seu lucro? Qual o valor desse lucro máximo possível nessas condições.

26. Um ônibus de 40 lugares transporta diariamente turistas de um determinado

hotel para um passeio ecológico pela cidade. Se todos os lugares estão ocupados, o

preço de cada passagem é R$ 20,00. Caso contrário, para cada lugar vago será

acrescida a importância de R$ 1,00 ao preço de cada passagem. Assim, o faturamento

da empresa de ônibus, em cada viagem, é dado pela função ( ) ( )( )xxxf +−= 2040 ,

onde x indica o número de lugares vagos (0 ≤ x ≤ 40). Determine

a) Quantos devem ser os lugares vagos no ônibus, em cada viagem, para que a

empresa obtenha faturamento máximo; Resposta: 10 lugares vagos

b) Qual é o faturamento máximo obtido em cada viagem. Resposta: R$ 900,00

27. (PUC-SP-03) Ao levantar dados para a realização de um evento, a comissão

organizadora observou que, se cada pessoa pagasse R$ 6,00 por sua inscrição, poderia

contar com 460 participantes, arrecadando um total de R$ 2.760,00. Entretanto,

também estimou que, a cada aumento de R$ 1,50 no preço de inscrição, receberia 10

participantes a menos. Considerando tais estimativas, para que a arrecadação seja a

maior possível, o preço unitário da inscrição em tal evento deve ser, em reais: Resposta:

R$ 37,50



28. O lucro mensal de uma empresa é dado pela lei: 5302 −+−= xxL , onde x

representa a quantidade de peças a serem produzidas e L o valor do lucro, em milhares

de reais.

a) Qual a quantidade ideal de peças a serem produzidas, para gerar o maior lucro

possível ?

b) Qual o valor máximo possível para esse lucro?

29. (UNIRIO ) Em uma fábrica, o custo de produção de x produtos é dado por

( ) 1222 ++−= xxxC . Sabendo-se que cada produto é vendido por R$ 10,00, o número

de produtos que devem ser vendidos para se ter um lucro de R$ 44,00 é: Resposta: 15

30. Uma empresa de turismo promove um passeio para n pessoas, com 10 ≤≤≤≤ n ≤

70, no qual cada pessoa paga uma taxa de (100 - n) reais. Nessas condições, o dinheiro

total arrecadado pela empresa varia em função do número n. Qual é a maior quantia

que a empresa pode arrecadar? Resposta: R$ 2.500,00

31. O custo C, em reais, para se produzir n unidades de determinado produto é

dado por: 2100510.2 nnC +−= . Quantas unidades deverão ser produzidas para se

obter o custo mínimo? Resposta: 50 unidades

32. O lucro de uma empresa é dado por ( ) 60036030 2 −+−= xxxL onde x é o

número de unidades vendidas. Para que valor de x é obtido o lucro máximo? Resposta: 6

unidades

33. Um comerciante compra peças diretamente do fabricante ao preço de R$

720,00 a caixa com 12 unidades. O preço de revenda sugerido pelo fabricante é de R$

160,00 a unidade. A esse preço o comerciante costuma vender 30 caixas por mês.

Contudo, a experiência tem mostrado que a cada R$ 5,00 que dá de desconto no preço

sugerido, ele consegue vender 3 caixas a mais. Por quanto deve vender cada peça para

que seu lucro mensal seja máximo? Resposta: R$ 135,00

34. A equação de demanda e de custo de um produto estão representadas

respectivamente por xp −= 20 e ( ) 172 += xxC , obtenha:

a) A correspondente função receita; Resposta: R(x) = 20x – x2

b) A quantidade demandada que maximize a receita; Resposta: 10



c) A receita máxima; Resposta:100,00

d) A correspondente função lucro; Resposta: L(x) = – x2 +18x – 17;

e) A quantidade demandada que maximize o lucro; Resposta: 9 unidades

f) O lucro máximo; Resposta: 64,00

g) Obtenha os pontos de equilíbrio entre a receita e o custo. Resposta: (17, 1)

35. O custo para a produção de x unidades é dado por ( ) 600.1402 +−= xxxC .

Calcule o valor do custo mínimo e qual a quantidade que propicia este custo mínimo.

Resposta: 20 unidades. R$ 1.200,00

36. O dono de uma casa de espetáculos observou que o número de

freqüentadores estava relacionado com o preço cobrado pelo ingresso. Fazendo um

estudo chegou a conclusão que a relação ficava bem representada pela expressão,

xp 012,012−= . Sabendo-se que x é o número de clientes e p é o preço, responda:

a) Qual o preço que o empresário deverá cobrar para obter a máxima receita?

Resposta: R$ 6,00

b) A casa suporta até 600 pessoas. Para se obter a máxima receita é interessante ter

a casa cheia com toda a sua capacidade? Resposta: não

c) Se o custo total é dado por ( ) xxC 2100+= , calcule o número ótimo de clientes

para se realizar um espetáculo nestas condições. Resposta: 417 clientes

37. Um comerciante compra secador de cabelo por R$ 15,00 e os revende a R$

28,00. A quantidade vendida nestas condições é de 500 unidades por mês. Pretendendo

aumentar suas vendas, faz uma promoção, oferecendo os secadores por R$ 23,00 a

unidade. Tendo vendido 700 secadores no mês da promoção, obtenha:

a) A equação de demanda, supondo-a linear. Resposta: p = – 0,0025x + 40,5

b) O preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro. Resposta: R$ 27,75

38. A equação de demanda de um bem é dada por xp −= 10 , onde p é o preço

e x a quantidade e ( ) 202 += xxC é o custo. Pede-se:

a) A função receita e o gráfico; Resposta: R(x) = -x2 + 10x

b) A função lucro e gráfico; Resposta: - x2 + 8x - 20

c) O valor de x que maximiza a receita; Resposta: x = 5

d) O valor de x que maximiza o lucro. Resposta: x = 4



Função Exponencial

Leis dos Expoentes

Se x e y são números reais e a e b são números reais positivos, então pelas

propriedades da potenciação, temos:

• yxyx aaa +=⋅

• yxy

x

aa

a −=

• yxyx aa ⋅=)(

• xxx baba ⋅=⋅ )(

•

=

x

xx

b

a

b

a

• x

x

aa

1=−

Introdução

Você sabe como os cientistas fazem para datar um material orgânico como, por

exemplo, um osso de dinossauro?

Eles se baseiam em um efeito chamado desintegração radioativa para fazer essa

estimativa. Substâncias químicas, chamadas radioativas, com o passar do tempo emitem

partículas e se transforma em outras substâncias, o que faz a sua massa original diminuir.

O ritmo de desintegração de cada substância radioativa é diferente e não depende da massa

original, da temperatura ou de qualquer outra condição.

O tempo para que uma substância tenha sua massa original reduzida pela metade é

chamado de meia-vida. Assim, estimando a massa original de uma substância no

organismo vivo e sabendo a massa no material coletado é possível avaliar a quanto tempo

o organismo está morto. A tabela ao lado apresenta algumas substâncias radioativas e o

valor de sua meia-vida.



Você deve estar se perguntando: "Onde a

função exponencial entra nessa história?"

O fato é que, a meia-vida de uma

substância é uma função exponencial da

massa em função do tempo, como mostra

o gráfico ao lado.

Exemplos de Funções Exponenciais

O processo de identificação da idade de um material orgânico, mostrado na

introdução desse módulo, ilustra o uso da função exponencial. Antes de estudarmos a

definição dessa função vamos ver outros exemplos práticos.

Quando jogamos uma moeda comum, o número de resultados que podemos obter é

igual a dois. Se, ao invés de uma, jogarmos duas moedas, o número de resultados possíveis

é igual a quatro. E se forem 3 moedas? Teremos oito resultados possíveis.

Veja como podemos escrever essa situação:

1 moeda = 2 resultados possíveis = 21

2 moedas = 4 resultados possíveis = 22

3 moedas = 8 resultados possíveis = 23

Observe que o número de resultados que podemos obter depende do número de

moedas jogadas, ou seja, o número de resultados é obtido em função do número de

moedas.

Imagine, agora, outra situação. Uma pesquisadora notou, durante um experimento

com determinada bactéria, que o número de bactérias triplicava a cada hora.

Vamos ver o que ocorreu durante o experimento que tinha uma população inicial de

5 indivíduos:

1ª hora- n° de bactérias = 13553 ⋅=⋅

2ª hora - n° de bactérias = 235)53(3 ⋅=⋅⋅

3ª hora - n° de bactérias = 32 35)53(3 ⋅=⋅⋅

Então, o número de bactérias depende do número de horas passadas desde o início do

experimento, isto é, a população é dada em função do tempo.



Definição de Função Exponencial

Vamos ver, agora, como são as duas funções que descrevem as situações mostradas

anteriormente, o lançamento de moedas e o experimento com bactérias.

A função que descreve a primeira situação é: f(n) = 2n que é uma função

exponencial. Se o número de moedas jogadas é igual a n, o número de resultados possíveis

é:

A função que descreve a segunda situação é: ttf 35)( ⋅= que também é uma

função exponencial. Se o experimento durar t horas, o número de bactérias será:

Mas, o que as duas situações têm em comum? As funções que descrevem os dois

experimentos são funções exponenciais. Vamos estudá-las:

Observe que, nas duas funções, a variável do problema é o expoente de um número

e essa é a característica principal da função exponencial.

Definição:

A função f : R � R dada por xaxf =)( ( com a ≠ 1 e a > 0) é denominada função

exponencial de base a e definida para todo x real.

Exercícios:

1. Construa o gráfico e mostre se é crescente (a > 1) ou decrescente (0< a <1).

a) f(x) = 2x

b) f(x) = (1/2) x

c) f(x) = 3 x



Propriedades

Na função exponencial y = ax , temos:

1ª) Se x = 0 então y = a0 = 1, isto é, o par ordenado (0,1) satisfaz a lei y = ax para todo

(a >0 e a ≠1). Isso quer dizer que o gráfico de qualquer função exponencial corta o eixo y

no ponto de ordenada 1.

2ª) Se a > 1 então a função é crescente

.iguaissãosinaisosqueobservaaaentãoyxse yx <<

3ª) Se 0 < a < 1 então a função é decrescente

.opostossãosinaisosqueobservaaaentãoyxse yx ><

Exercícios:

Coloque Verdadeiro (V) ou Falso (F).

_____7

15

7

15)6_______

4

3

4

3)5______22)4

______2

1

2

1)3_______

3

5

3

5)2_______22)1

6,446382

244313

<

<

<

<

>

>

−−

−

Domínio e Imagem da Função Exponencial

Vamos estudar um pouco mais a fundo a função exponencial. Sabemos que essa

função tem a seguinte forma f(x) = ax. Qual será seu domínio? E sua imagem?

D(f) = ℜ

Im(f) = ℜ*+

O termo x é a variável do nosso problema e pode assumir qualquer valor real.

Portanto o domínio da função é o conjunto de todos os números reais. E a imagem? Bem,

sabemos que a é um número diferente de um e positivo, então, a imagem será sempre um



número positivo. Portanto, é o conjunto de todos os números reais positivos e não nulos.

Revisando: A função exponencial é uma função onde o domínio é o conjunto dos reais e a

imagem é o conjunto dos reais positivos e não-nulos e tem a seguinte forma f(x) = ax, onde

x é a variável do problema e a é um número diferente de um e maior do que zero, chamado

de base.

Gráfico da Função Exponencial

O gráfico da função exponencial pode ser de dois tipos diferentes: crescente ou

decrescente. E isso depende do valor da base, vamos ver de que maneira.

Base maior que zero e menor do que um (0< a <1)

Veja o seguinte exemplo f(x) = (0,5)x.

Observe, no quadro ao lado, que o gráfico é

decrescente e cruza com o eixo y no ponto

(0,1).

Base maior do que um (a>1)

Considere a função f(x) = 3x. Observe, no

quadro ao lado, que o gráfico é crescente e

cruza com o eixo y no ponto (0,1).

Então, sempre que a base da função for maior que um seu gráfico será crescente.

Podemos escrever isso da seguinte maneira:

E quando a base da função é um número entre zero e um o gráfico da função



exponencial é decrescente, ou ainda:

PROBLEMAS

1. Estima-se que a população de uma cidade cresça 2% a cada 5 anos.

a. Qual é o crescimento estimado para um período de 20 anos?

b. E em um período de t anos? (Lima, 2001)

2. As bactérias em um recipiente se reproduzem de forma tal que o aumento do seu

número em um intervalo de tempo de comprimento fixo é proporcional ao número de

bactérias presentes no início do intervalo. Suponhamos que, inicialmente, haja 1000

bactérias no recipiente e que, após 1 hora, este número tenha aumentado para 1500.

Quantas bactérias haverá 5 horas depois do experimento? (Lima, 2001).

3. Em 1993 a taxa média de crescimento populacional do Brasil era de 2,4% ao ano. Se a

população daquele ano era de 150 milhões de habitantes, de acordo com aquela taxa:

a. Qual seria a população no ano 2000?

b. E no ano 2008?

c. Compare esses valores com os valores reais. A população continuou crescendo

de acordo com aquela taxa? (Adaptado de Carneiro, 1993)

4. Uma pessoa deposita uma quantia em um banco que remunera a taxa de 2% ao mês.

Em quantos meses a quantia depositada dobra? (Lima, 2001)

5. Em 1992, um banco afirmava que emprestaria dinheiro a juros de 100% ao ano. Na

hora de pagar a sua dívida, um ano depois, um cliente observou que os juros cobrados eram

mais altos. Ele procura o gerente do banco que explica que, na verdade, os juros são

capitalizados mensalmente, à taxa de %333,8%10012

1 =⋅ ao mês.

a. Qual é a taxa anual efetivamente cobrada pelo banco?

b. E se o banco resolve considerar que os juros são capitalizados a cada dia?



6. Um casal aplicou um capital de R$ 10.000 a uma taxa de 12% ao ano. Ao final de 4

anos, qual o montante dessa aplicação? E de 6 anos?

7. O número de bactérias em um meio duplica de hora em hora. Se, inicialmente, existem

oito bactérias no meio, ao fim de 10 horas o número de bactérias será:

8. A quantia de R$ 1200,00 foi aplicada durante 6 anos em uma instituição bancária a

uma taxa de 1,5% ao mês, no sistema de juros compostos.

a. Qual será o saldo no final de 12 meses?

b. Qual será o montante final?

9. Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura , em função do tempo t,

medido em horas, é dado por B(t) = 2t/12. Qual será o número de bactérias 6 dias após a

hora zero?

10. Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões

de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em

2023, dado em bilhões de dólares?

BIBLIOGRAFIA

CARNEIRO, Vera C. Funções Elementares: 100 situações-problema de matemática.

Porto Alegre: UFRGS, 1993.

GELSON, I. e MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar. 8. ed. São

Paulo: Atual, 2004.

LIMA, Elon L. et al. A matemática do ensino médio. Rio de Janeiro: IMPA, v. 1, 1996.

LIMA, Elon L. et al. Temas e Problemas. Rio de Janeiro: SBM, 2001.

LIMA, Elon L. et al. Temas e problemas elementares. 2. ed. Rio de Janeiro: IMPA,

2006.

POZO, J. I. A solução de problemas. Aprender a resolver, resolver para aprender.

Porto Alegre: Artmed, 1998. 177 p.

SMOLE, K. S. e DINIZ, M. I. Ler, escrever e resolver problemas: Habilidades básicas

para aprender matemática. Reimpressão 2007. Porto Alegre: Artmed, 2001. 203 p.

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