Matemática 11º - Guia do Professor

Repblica Democrtica de Timor-LesteMinistrio da Educao

11 | MATEM

TICA Guia do ProfessorMATEMTICA11.o ano de escolaridade

Projeto - Reestruturao Curricular do Ensino Secundrio Geral em Timor-Leste

Cooperao entre o Ministrio da Educao de Timor-Leste, o Instituto Portugus de Apoio ao Desenvolvimento, a Fundao Calouste Gulbenkian e a Universidade de AveiroFinanciamento do Fundo da Lngua Portuguesa

Guia do ProfessorMATEMTICA11.o ano de escolaridade

Os stios da Internet referidos ao longo deste livro encontram-se ativos data de publicao. Considerando a existncia de alguma volatilidade na Internet, o seu contedo e acessibilidade podero sofrer eventuais alteraes.

TtuloMatemtica - Guia do Professor

Ano de escolaridade11.o Ano

AutoresLucinda SerraTeresa NetoJos Bessa

Coordenadora de disciplinaTeresa Neto

Consultor cientfico Joo Pedro da Ponte

Colaborao das equipas tcnicas timorenses da disciplina Este guia foi elaborado com a colaborao de equipas tcnicas timorenses da disciplina, sob a superviso do Ministrio da Educao de Timor-Leste.

Design e PaginaoEsfera Crtica Unipessoal, Lda. Plural Design Unipessoal, Lda.

ISBN978 - 989 - 8547 - 53 - 8

1 Edio

Conceo e elaboraoUniversidade de Aveiro

Coordenao geral do Projeto Isabel P. Martinsngelo Ferreira

Ministrio da Educao de Timor-Leste

2013

Este guia de professor propriedade do Ministrio da Educao da Repblica Democrtica de Timor-Leste, estando proibida a sua utilizao para fins comerciais.

Impresso e Acabamento Super Xerox, Unipessoal, Lda.

Tiragem400 exemplares

ndice

3

1

2

3

Introduo

Operacionalizao do programa

Explorao das unidades temticas

1. Apresentao do guia do professor

2. Operacionalizao do programa2.1 Orientaes metodolgicas2.2 Sequncia didtica e formalizao dos conhecimentos

3. Explorao das unidades temticas3.1 Unidade temtica: Sucesses 3.2 Unidade temtica: Trigonometria3.3 Unidade temtica: Funes e limites

1011

143656

Apresentao do Guia do Professor

61. Apresentao do guia do professor

Tendo por base as linhas orientadoras do programa que acompanha o projeto de

reestruturao curricular do ensino secundrio geral de Timor Leste, este guia

surge como um complemento ao manual do aluno onde se prestam indicaes e

sugestes aos professores para uma melhor transposio para a sala de aula do que

proposto no Programa de matemtica para o 11ano.

Mais do que obter um bom desempenho em exerccios pr-definidos, ou a

memorizao de frmulas, um dos objetivos centrais do ensino da Matemtica,

no ensino secundrio, conseguir que os alunos desenvolvam uma compreenso

profunda dos conceitos. Atravs desta compreenso os alunos sero capazes de

conseguir o que se denomina como pensamento matemtico avanado.

O professor timorense encontra, neste guia, algumas indicaes concretas para

a abordagem dos contedos matemticos propostos no programa da disciplina.

Trata-se, pois, de um manual de apoio ao professor, onde se referem as finalidades

e as metas estabelecidas no programa da disciplina, abordam-se os contedos

a lecionar em cada tema ou subtema com sugestes de utilizao do manual do

aluno, atividades para motivar e envolver os alunos e orientaes metodolgicas.

Com o propsito de melhorar os recursos disponveis, incluem-se ainda algumas

propostas para trabalho de pesquisa, assim como algumas ferramentas teis

(exerccios resolvidos, indicaes metodolgicas, etc.). Algumas das tarefas

propostas no manual do aluno sero resolvidas e acompanhadas das indicaes

necessrias para uma explorao adequada e enriquecedora dos processos de

ensino e aprendizagem.

Este guia foi concebido como parte integrante de um pacote de materiais de apoio

que inclui o manual do aluno e o programa da disciplina. Mais do que consideraes

de ndole didtica, so sugeridas situaes prticas e do uso quotidiano dos alunos

para uma melhor integrao dos temas e como forma de aumentar a motivao e o

envolvimento de todos os alunos nos processos.

Na dinmica da aula, cada dade professor-aluno possui, em si, uma especificidade

muito prpria e diversificada que no pode estar sujeita a modelos de trabalho

rgidos ou a receitas, da que as atividades apresentadas neste guia devam ser

selecionadas e ajustadas a cada situao e no se limitem apresentao de

exemplos repetitivos e rotineiros.

Deste modo, as propostas includas no esto fechadas e oferecem amplas

possibilidades de adaptao: s formas de trabalho individual de cada professor; s

condies e constrangimentos em que trabalha e, s dificuldades de aprendizagem

7dos seus alunos. Cabe, pois, a cada professor decidir quais as opes metodolgicas

e quais as estratgias mais adequadas.

Posteriores revises deste guia podem ser melhoradas a partir dos resultados da

sua aplicao na prtica e das sugestes e observaes que venham a ser avanadas

pelos utilizadores para que possa constituir-se como um importante recurso que

ajude os professores timorenses a usar a sua prpria experincia e criatividade para

uma melhor formalizao dos conceitos matemticos.

Operacionalizao do ProgramaOrientaes metodolgicasSequncia didtica e formalizao dos conhecimentos

10 | Operacionalizao do programa

2. Operacionalizao do programa

As finalidades e objetivos enunciados no programa do ensino secundrio determinam que o professor, ao aplicar

este programa, contemple equilibradamente:

o desenvolvimento de atitudes;

o desenvolvimento de capacidades;

a aquisio de conhecimentos e tcnicas para a sua mobilizao.

Tendo como pressuposto ser o aluno agente da sua prpria aprendizagem, prope-se uma metodologia em que

os conceitos sejam construdos a partir da experincia de cada um e de situaes concretas e, estes, possam ser

abordados sob diferentes pontos de vista e progressivos nveis de rigor e formalizao.

Por outro lado, importa estabelecer uma maior ligao da Matemtica com a vida real, com a tecnologia e com as

questes abordadas noutras disciplinas, ajudando a enquadrar o conhecimento numa perspectiva histrico-cultural.

Neste contexto, destaca-se a importncia das tarefas a desenvolver com os alunos, as quais devero contribuir

para o desenvolvimento do pensamento cientfico, levando-os a intuir, conjeturar, experimentar, provar, avaliar

e ainda para o reforo das atitudes de autonomia e de cooperao.

Cabe ao professor, de acordo com a realidade, encontrar o equilbrio entre os trabalhos individuais e de grupo,

a realizar dentro e fora da aula com os alunos, assim como o espao para a sua interveno: dinamizando,

questionando, fazendo snteses, facultando informao, propondo a realizao de tarefas, ...

2.1. Orientaes metodolgicas

O poder e relevncia da Matemtica esto na resoluo de problemas, no raciocnio matemtico e nas formas

de comunicao que permitem a extrapolao para novas estruturas conceptuais que, ao serem exploradas,

permitem raciocinar e conjeturar sobre os problemas que modelam, independentemente, das particularidades

de cada contexto cultural.

Os modelos matemticos so formas de estudar e formalizar fenmenos do dia-a-dia. Atravs da modelao

matemtica o aluno toma mais conscincia da utilidade da matemtica para resolver e analisar problemas do

dia-a-dia.

Qualquer tema proporciona ocasies para a realizao de actividades de natureza investigativa. Este tipo de

actividades tambm favorvel ligao da matemtica com outras reas do currculo.

Destaca-se a importncia em ajudar os alunos a desenvolver determinadas competncias especficas,

contribuindo para melhorar os seus conhecimentos cientficos. Parte-se, quando possvel, de exemplos ou

situaes experimentais para que, apoiados na intuio, os alunos acedam gradualmente formalizao dos

conceitos, promovendo-se uma viso integrada da Matemtica.

O professor deve prever, desde o incio do ano, momentos para o desenvolvimento de trabalhos individuais ou

trabalhos de grupo. Prope-se que o professor valorize os conceitos matemticos informais construdos pelos

alunos atravs de suas experincias, fora do contexto da escola e de modo que a matemtica, informalmente

Sequncia didtica e formalizao dos conhecimentos | 11

construda, seja utilizada como ponto de partida para o ensino formal.

Por sua vez, desejvel a utilizao de ferramentas tecnolgicas (calculadoras ou computadores), uma vez que

estas so uma fonte importante de atividade, de investigao e de aprendizagem, alm de ajudar a preparar

melhor os alunos para uma sociedade em que os meios informticos tero um papel considervel na resoluo

de problemas e produo cientfica.

2.2. Sequncia didtica e formalizao dos conhecimentos

Para o cumprimento do programa do 11 ano est prevista uma carga horria de 4 horas semanais, distribudas

por aproximadamente 30 semanas (ano).

De modo a garantir o equilbrio entre as vrias unidades temticas, ao longo de todo o percurso curricular (3

anos) do ensino secundrio, proposto para o 11ano abordar as trs unidades temticas:

Unidade temtica 4-Sucesses;

Unidade temtica 5-Trigonometria; e,

Unidade temtica 6-Funes e Limites.

Unidade temtica Objetivos

Sucesses

Sucesses

Limites infinitos

Analisar padres e regularidades, abordando problemas histricos que ajudem a

estabelecer o conceito de sucesso, estudando particularmente sucesses limitadas

e convergentes.

Estabelecer os conceitos de progresses aritmticas e geomtricas.

Determinar a soma dos n termos de uma progresso. Estabelecer a noo intuitiva

de infinitsimo e infinitamente grande, atravs do limite de uma sucesso.

Trigonometria

Generalizao da noo

de ngulo e de arco.

Medidas

Relaes trigonomtricas

Funes circulares dire-

tas. Generalidades

Aplicar a trigonometria em situaes problemticas que envolvem tringulos.

Explorar fenmenos peridicos do mundo real utilizando as funes de seno e

coseno.

Identificar a variao e representao grfica de algumas funes trigonomtricas.

Resolver equaes trigonomtricas.

Funes e limites

Funes exponenciais e

logartmicas

Limites e continuidade

Estudar as propriedades grficas e analticas das funes de crescimento,

designadamente, funes exponenciais e logartmicas.

Definir limite de uma funo num ponto. Determinar assntotas do grfico de uma

funo.

Fazer a interpretao grfica e analtica do conceito de limite e da continuidade de

uma funo em qualquer ponto de acumulao do seu domnio.

Relacionar o conceito de continuidade com a convergncia de sucesses e funes

limitadas.

Explorao das Unidades TemticasUT1: SucessesUT2: TrigonometriaUT3: Funes e limites

Unidade Temtica 1 | Sucesses

14 | Explorao das unidades temticas

3. Explorao das unidades temticas.

3.1. Sucesses

A resoluo de problemas permite chegar ao conceito de sucesso, aceder compreenso de propriedades

importantes de sucesses particulares e especialmente teis, bem como necessidade de elaborao de

representaes formalizadas.

O estudo das sucesses permite tambm, o desenvolvimento das capacidades de comunicao (oral e escrita).

As propriedades das sucesses fortalecem e colaboram na aprendizagem e aplicao do mtodo de induo

Matemtica.

As sucesses surgem como uma forma de organizar possveis resolues para problemas que so apresentados,

com base em aspetos da realidade ou em aspetos do estudo das diversas cincias.

Subtema 1: Sucesses

Contedos Metas de aprendizagem

Definio de sucesso

Formas de definir uma sucesso

Representao grfica de uma

sucesso

Sucesses montonas

Sucesses limitadas

Progresses geomtricas

Progresses aritmticas

Mtodo de induo matemtica

O aluno:

Identifica sucesses de nmeros reais;

Reconhece a sucesso de Fibonacci;

Define sucesses de nmeros reais;

Verifica se um nmero real termo de uma sucesso;

Representa graficamente uma sucesso;

Verifica grfica e analiticamente se uma sucesso crescente ou se uma

sucesso decrescente;

Identifica sucesses montonas;

Indica os majorantes e minorantes de um conjunto de nmeros reais;

Identifica o supremo e o nfimo de um conjunto de nmeros reais;

Verifica se uma sucesso majorada e(ou) minorada grfica e

analiticamente;

Identifica se uma sucesso limitada;

Identifica se uma progresso aritmtica ou geomtrica.

O estudo das sucesses pode e deve servir para evidenciar conexes entre a matemtica e as outras disciplinas: a

introduo do conceito de sucesso e das suas propriedades pode ser feita introduzindo exemplos sugestivos que

podem versar assuntos diversos. Estes exemplos devem ainda servir para introduzir a definio por recorrncia,

para casos simples.

A escrita de expresses para os termos gerais das sucesses deve ser procurada como forma de representar as

UT1 - Sucesses | 15

situaes que se vo descrevendo. Do mesmo modo devem-se introduzir as noes de termo, de ordem, ou at

de razo.

O estudo da monotonia, minorantes, majorantes, deve ser feito medida que vo aparecendo como aspetos a

considerar durante a resoluo dos diferentes problemas. Do mesmo modo, devem ser abordadas as propriedades

de certas sucesses (progresses).

Os alunos devem procurar formas prprias de organizao e expresso para a modelao das situaes. O

professor pode explorar o uso da calculadora e deve ajudar a construir tabelas, a desenhar e a interpretar grficos.

As definies so estabelecidas em linguagem corrente. Aps cada redao em linguagem corrente deve

ser estabelecida uma redao em simbologia matemtica e devem ento ser aplicados exerccios em que as

definies simblicas sejam testadas.

No manual do aluno iniciamos o estudo das sucesses com uma sequncia de fsforos. Pretende-se que os alunos

conjeturem em torno dessa questo; elaborem planos para testar as conjeturas e comuniquem os resultados

obtidos.

O professor pode sugerir, com recurso a esta atividade a construo de outros polgonos que mantenham

determinadas regularidades e solicitar aos seus alunos que determinem um termo da sucesso.

A Sucesso de Fibonacci

A sucesso de Fibonacci, uma situao da Natureza publicada, por este matemtico, no livro Liber Abaci (sculo

XIII) A sequncia dos coelhos.

Pretende-se que os alunos identifiquem regularidades nos termos de uma sequncia (finita ou infinita) dada;

identifiquem a ordem de um termo dessa sequncia; construam o termo geral de uma sequncia infinita dada;

e, definam uma dada sucesso por recorrncia.

No problema dos coelhos, apresentado por Fibonacci no seu libro Liber Abaci, podemos evidenciar aos alunos

que estamos perante um conjunto de nmeros caracterizado por determinada lei, no nosso caso a construo

obedece seguinte relao: cada nmero, excluindo os dois primeiros, igual soma dos dois imediatamente

anteriores.

Explorando esta situao podemos verificar que estamos em presena de uma correspondncia, entre o conjunto

dos nmeros naturais e o conjunto dos nmeros de Fibonacci a que no manual chamamos f.

Assim temos que: 3)4(2)3(1)2(1)1( ==== ffff

=

853211654321

f

Observamos que estamos em presena de uma correspondncia unvoca pelo que temos uma funo de domnio

IN, ou seja uma funo de varivel natural. Uma funo de varivel natural uma aplicao cujo domnio IN ou um subconjunto de IN.

Na funo referida o conjunto de chegada um subconjunto dos naturais. H porm funes de varivel natural

cujo conjunto de chegada IR ou um subconjunto de IR, que se designam por funes reais de varivel natural.


Por exemplo a funo que a cada nmero natural faz corresponder a sua raiz quadrada

g: IN nngquetalIRINg = )(:

A qualquer funo de domnio IN chamamos sucesso.

A natureza e os nmeros de Fibonacci

Os nmeros de Fibonacci podem ser usados para caracterizar diversas situaes na natureza. O modo como as

sementes esto dispostas no centro de diversas flores um desses exemplos.

As sementes do girassol esto organizadas sem intervalos, na forma mais eficiente possvel, formando expirais

que tanto curvam para a esquerda como para a direita. O curioso que o nmero de espirais em cada direo

so (quase sempre) nmeros vizinhos na sequncia de Fibonacci. O raio destas espirais vria de espcie para

espcie de flor.

esquerda, encontra-se o diagrama de como o girassol podem parecer quando

aumentados. O centro marcando com um ponto preto. Podemos observar que

as sementes parecem formar espirais a curvar tanto para a direita como para a

esquerda. Ao contar as espirais que partem da direita, a partir da borda da figura,

verificamos que so 34. Para o outro lado quantas so? Veremos que esses dois

nmeros so vizinhos na srie de Fibonacci. A razo, parece estar na forma da

distribuio tima das sementes, no importando o seu tamanho, mas sim a sua

distribuio uniforme, desde que no estejam acumuladas no centro nem

demasiado afastadas da margem.

Uma outra situao envolvendo a sucesso de Fibonacci a seguinte: Se desenharmos um retngulo cujos lados

tenham uma razo entre si igual ao Nmero de Ouro este pode ser dividido num quadrado e noutro retngulo

cuja razo entre os dois lados seja tambm igual ao nmero de ouro.

Este processo pode ser repetido indefinidamente. Se unirmos os quartos de circunferncia de todos os quadrados

vamos obter uma espiral chamada Espiral de Fibonacci.

Na natureza h espirais como este, relacionadas com o nmero de ouro, por exemplo os moluscos nuticos.

Ainda podemos utilizar a sucesso de Fibonacci para definir uma sucesso por recorrncia.

UT1 - Sucesses | 17

Na sucesso referida partimos dos dois primeiros termos e cada um dos restantes a soma dos dois imediatamente

anteriores:

A este processo em que, para encontrar os termos da sucesso, se recorre aos termos anteriores chamamos de

recorrncia.

Resoluo da Tarefa 7:

Observa que : 2232121 3

1211 +=+== uuuuu

Temos ento que a expresso geral dada por:

+=

=

21

1

11

nuu

u

nn

Nmeros Figurados

Os nmeros figurados so nmeros que podem ser representados por uma construo geomtrica de pontos

equidistantes. Se o arranjo formar um polgono regular, estes nmeros chamam-se nmeros poligonais.

Os pitagricos desejavam compreender a natureza ntima dos nmeros, pelo que construiram os nmeros

figurados que so nmeros expressos como reunio de pontos numa determinada configurao geomtrica,

isto , a quantidade de pontos representa um nmero, e estes so agrupados de formas geomtricas sugestivas.

No manual do aluno aparecem os nmeros triangulares, quadrangulares e pentagonais. Acrescentamos agora

alguns outros exemplos de nmeros figurados caso o professor considere necessrio mostrar aos seus alunos

outras construes

Nmeros Hexagonais

1 6 15 28 45


Nmeros Estrelados

A estes nmeros tambm chamamos nmeros poligonais, visto que, so gerados tendo por base um polgono:

triangulares, quadrados, pentagonais, hexagonais, etc.

Podemos verificar que na seguinte expresso : ( )

21 bnnn + , e b

Quando trocamos b por 1 obtemos o termo geral dos nmeros triangulares; se trocamos por 2 obtemos o termo

geral dos nmeros quadrados, se substitumos por 3 obtemos o dos pentagonais.

Uma outra tarefa pode ser propor aos alunos que geometricamente encontrem o padro de construo para

depois formalizar algebricamente o resultado visualizado. Por exemplo:

3 x 3 + 3 3 x 4 + 4 3 x 5 + 5

O esquema anterior sugere que um nmero pentagonal se pode expressar como a soma de trs nmeros

triangulares de ordem menor e dos pontos do seu lado, nPP nn += 13

( )2

32

132 nnnnnPn

=+

=

Os esquemas seguintes mostram a relao entre os nmeros figurados dados e os nmeros triangulares:

UT1 - Sucesses | 19

O professor, caso considere pertinente, pode solicitar aos seus alunos que em cada caso encontrem a expresso

algbrica correspondente.

O seguinte exerccio pode ser usado na sala de aula como motivao para o estudo das sucesses

Seguindo a mesma lgica de construo, qual o nmero de cubos da 6., 7. e da 20. figura?

Note que desenhar a 20. figura para contar os seus cubos no vivel. O melhor ser tentar descobrir

a regra de construo.

De cada figura para a seguinte, juntam-se 6 cubos. Mas para saber o nmero de cubos da 20. figura

ter-se-ia de conhecer o da 19. e voltamos a cair num processo moroso. O nosso objetivo ser ento

determinar diretamente o nmero de cubos de qualquer figura. Observa-se que a figura de ordem n


obtm-se aplicando (n-1) cubos em cada face do cubo inicial, o que se traduz na seguinte tabela :

Figura N. de cubos

1 12

345 6...

n...

Obtm-se a seguinte frmula: ( ) 56161 =+ nn , que permite calcular o nmero de cubos de qualquer figura da sequncia.

Assim, a 6., a 7. e a 20. figuras tm respetivamente:

Resoluo da Tarefa 2: No manual do aluno j temos determinado o nmero triangular 4 pelo que podemos

comear o trabalho a partir da:

De outra forma podemos usar a expresso que gera os nmeros triangulares e obtemos:


a)

b) 909292 ===+= nn

nn

nun

c) . A partir da ordem 19.


a1)

132

11)1(2

12

1 ++

=+

++=

+=

+ nn

nnu

nnu

n

n

UT1 - Sucesses | 21

a2) Para n>1

112

11)1(2

12

1

=

+=

+=

nn

nnu

nnu

n

n

b)


a)

b) . O valor dado termo da sucesso, visto que 12 um nmero

natural, caso o valor obtido para n no seja um nmero natural o valor dado no ser termo da sucesso.

Ao longo do desenvolvimento dos trabalhos o professor poder se achar conveniente introduzir a linguagem

lgica formalizando a escrita. A ttulo de exemplo, formaliza-se o uso dos quantificadores:

Quantificador universal

Este quantificador lgico transforma uma expresso proposicional com uma varivel numa proposio, a

qual verdadeira se a expresso proposicional for universal e falsa se a expresso proposicional no for

universal, ou seja, se houver pelo menos uma substituio que conduza a uma proposio falsa.

(L-se para todos; para todo o x; todo o x; para qualquer x)

Quantificador existencial

Este quantificador lgico transforma uma expresso proposicional com uma varivel numa proposio, que

verdadeira se houver pelo menos uma substituio da varivel que conduza a uma proposio verdadeira

e que falsa caso contrrio, isto , se qualquer substituio conduzir a uma proposio falsa.

(L-se existe um x; existe algum x; existe pelo menos um x; para algum x)

Operaes com Sucesses

Podemos referir aos alunos que possvel realizar operaes com sucesses da mesma forma que realizamos

operaes com funes.

Soma

A soma de duas sucesses ainda uma sucesso cujos termos so a soma dos termos homlogos das sucesses

dadas:


( ) ( ) ( )nnn Sba

11111 baSba +=

nnnnn baSba +=

Exemplo: Determina soma das sucesses de termos gerais

1321

+

=

=nnv

nnu nn

Sendo ( )nS a sucesso soma: )1(13

1321 2

++

=+

+

=nn

nnnn

nnSn

Da mesma forma se definem a diferena e o produto de duas sucesses

Quociente

No tratmos esta operao juntamente com as restantes, visto que a sua definio envolve cuidados especiais.

Com o seguinte exemplo podemos evidenciar aos nossos alunos os problemas que podem surgir ao realizar esta

operao.

Exemplo: Dadas as sucesses de termos gerais 25 =+= nbena nn , caracterizar, caso exista, a sucesso

quociente

n

n

ba .

Observe que o termo de ordem 2 no est definido.

{ }

25

2\:

+

nnn

IRINqn

Embora no se trate de uma sucesso (atendendo definio adotada), uma funo real de varivel natural.

Dir-se- que o quociente de duas sucesses , com , para todo n uma sucesso cujos termos so o quociente dos termos homlogos das dadas.

Exemplo: Dadas as sucesses de termos gerais 2

122 +

=+

=n

bn

na nn .

Calcular

a) ( )nn ba +

( )INn

nnnn

nnnba nn +

++=

++

+=+ ,

2)22(2

212

2

2

2

b) ( )nn ba

INn

nnnnba nn =+

+

= ,12

1222

c) ( ) INnn

n

n

nn

ba

n

n +

=

+

+

= ,2

21

2

2

22

UT1 - Sucesses | 23


b)

A sucesso decrescente.

c)

A sucesso dada crescente

f) Como n2 sempre um nmero par ( ) 11 2 = n Logo n

f n1

=

A sucesso decrescente

Conjuntos limitados

Nos seguintes conjuntos de nmeros reais: [ ]4;0=A

=

31;B

Para [ ]4;0=A podemos afirmar que qualquer nmero superior a 4 majorante de A, analogamente verifica-se que qualquer nmero real inferior a 0 minorante de A.

Como o conjunto A tem simultaneamente pelo menos um majorante e pelo menos um minorante, diz-se que o

conjunto A limitado.

No caso do conjunto B verifica-se que 31 ou qualquer nmero superior a ele majorante de B.

A diferena do conjunto A, o conjunto B no tem qualquer minorante, pois no existe nenhum nmero real que

seja menor ou igual que qualquer elemento de B.

Assim o conjunto B no limitado.

Em geral:

Um nmero a majorante de um conjunto A, A subconjunto de IR, se:

Axxa

Um nmero b majorante de um conjunto A, A subconjunto de IR, se:

Axxb Um conjunto A qualquer diz-se limitado sempre que tenha pelo menos um majorante e pelo menos um minorante.

Sucesses limitadas

Uma sucesso diz-se limitada se o conjunto dos seus termos for um conjunto limitado.

De outra forma uma sucesso diz-se limitada se o conjunto dos seus termos admite um majorante e um

minorante. Isto , existem dois nmeros a e b tais que: INnbua n


21)

+

=nnaa n A sucesso dada crescente. Podemos escrever a sucesso da forma: 2

31+

=n

an


O primeiro termo 0 e os termos da sucesso nunca so superiores a 1.

Temos que 10

UT1 - Sucesses | 25

302

515321

1 ==a e

O termo geral da sucesso .


c) 121 =w

O termo geral da progresso aritmtica :

Soma dos n termos consecutivos de uma progresso geomtrica

No manual do aluno aparece a referncia histrica a Gauss, com ela podemos motivar os alunos no sentido de

formular conjeturas e exercitar o clculo mental.

Karl Friedrich Gauss, chamado o Prncipe das Matemticas, estava na escola quando um professor, sugeriu aos

seus alunos que adicionassem todos os nmeros do 1 ao 100.

O professor ficou surpreendido quando Gauss, que tinha 11 anos, obteve a resposta correta pouco despois de

ser formulada a pergunta.

Gauss procedeu da seguinte forma:

S=101x50=5050


b) 3

1+=

nwn


Podemos resolver esta tarefa de duas formas diferentes

1 Processo

importante que o professor sensibilize os seus alunos para qual a contagem que esta em causa


Temos ento que :

2 Processo


b ) n

nc

cn

n

n

n

=+

+

212 11 , como este quociente no uma constante a sucesso dada no uma progresso

geomtrica.

c ) 21

21

21

11 =

=

++

n

n

n

n

dd

A sucesso dada uma progresso geomtrica de razo 21 .

Monotonia de uma Progresso Geomtrica

Quanto a monotonia de uma progresso geomtrica podemos sintetizar no seguinte quadro:


b ) n

nu

=

313

31

313

313

1

1 =

=

+

+n

n

n

n

uu .

Como a razo inferior a zero a progresso geomtrica no montona.

c )

=

=

3

7

1

1

nn

uu

u

UT1 - Sucesses | 27

3131 ==+

n

n

n

n

u

u

uu . Como 0

31

1 >= uer A progresso geomtrica decrescente.


b ) 71 76 == beb

=

=

=

=

=

=

771

7

151

61

51

617

516

r

brbrb

rbbrbb

O termo geral dado por : 615 777

1 == nnn

n bb


a ) 1 minuto 14

2 minuto 24

3 minuto 34

No 7 minuto temos 74 e no 10

b ) Observamos que : 41 =+n

n

uu

logo uma progresso geomtrica. O seu termo geral dado: nna 4=

Resoluo do Exerccio 6:

6.1. . A sucesso dada crescente.

6.2. .

Como a sucesso dada montona temos que , logo limitada.

6.3. -19 o maior dos minorantes.

6.4. Por exemplo: 7 ou 20 ou 45

Resoluo do Exerccio 15:

1213

++

=nnun

15.1.


15.2. ( )( )( )1232

11213

1)1(2113

1 ++=

++

++++

=+ pppp

ppuu pp

15.3.

Como n no um nmero natural o valor dado no termo da sucesso.

Como n um nmero natural o valor dado termo da sucesso,

o termo de ordem 5.

Subtema 2: Limites infinitos


Sucesses e Infinito

Infinitamente grandes

Infinitsimos

Sucesses convergentes

Noo de limite. Unicidade do

limite

Critrios de convergncia das

sucesses montonas

Estabelecer a soma de todos

os termos de uma progresso

geomtrica

A sucesso

O aluno:

Verifica grfica e analiticamente se uma sucesso um infinitamente grande;

Verifica grfica e analiticamente se uma sucesso um infinitsimo;

Verifica que o inverso de um infinitamente grande um infinitsimo e vice-

-versa;

Verifica grfica e analiticamente se um dado nmero ou no limite de uma

sucesso;

Identifica sucesses convergentes e divergentes;

Determina o limite de uma sucesso;

Utiliza adequadamente os critrios de convergncia;

Calcula a soma de todos os termos de uma progresso geomtrica;

Identifica o Nmero de Neper como o valor do limite da sucesso :

Depois de se terem introduzido as noes de sucesso como funo de varivel natural, de ordem, de termo

geral, etc. podem apresentar-se exemplos de sucesses definidas pelo seu termo geral e atravs de clculos e

representaes grficas de sequncias de termos chegar aos conceitos de infinitamente grande, infinitsimo e

de limite de uma sucesso.

Cada definio deve ser apoiada por exemplos e contra-exemplos que esclaream as ideias imediatas e corrijam

eventuais concees alternativas e erradas. As definies so estabelecidas em linguagem corrente seguindo as

concluses a tirar de cada exemplo e contra-exemplo.

UT1 - Sucesses | 29

Paradoxo do Hotel de HilbertParadoxo :

Paradoxo significa o que contrrio a opinio recebida e comum.

Em Matemtica, um paradoxo matemtico ou lgico uma contradio deduzida no seio dos sistemas

lgicos e das teorias matemticas.

Para ajudar a explicar o mistrio do infinito, Hilbert criou um exemplo de infinito conhecido como o Hotel de

Hilbert.

Este hotel hipottico tem um nmero infinito de quartos.

Um dia um novo hspede chega e fica desapontado ao ser informado de que, apesar do tamanho infinito do

hotel, todos os quartos esto ocupados. Hilbert, pensa um pouco e ento garante ao recm-chegado de que vai

encontrar um novo quarto para ele.

Ele pede a todos os hspedes que se mudem para o quarto seguinte, de modo que o hspede do quarto 1 vai

para o quarto 2, o hspede do 2 para o 3 e assim sucessivamente. Todos que estavam no hotel continuam

tendo um quarto, enquanto o recm-chegado pode agora ocupar o quarto nmero 1, que ficou vago.

Isto permite-nos refletir sobre as relaes entre infinitos, de certa forma infinito mais um igual a infinito. Do

mesmo modo, infinito menos um ainda continua sendo infinito, e, de fato, infinito menos um milho ainda infinito.

Na noite seguinte Hilbert precisa lidar comum problema ainda maior. O hotel continua cheio quando

um autocarro chega com um nmero infinito de novos hspedes. Hilbert pede a todos os seus hspedes

anteriores para que se mudem para os quartos cujos nmeros sejam o dobro do nmero do quarto

anterior. Assim o hspede do quarto 1 vai para o quarto 2, o hspede do quarto 2 para o quarto 4 e assim

sucessivamente. Todos aqueles que se encontravam no hotel continuam alojados e, no entanto um

nmero infinito de quartos, os de nmeros mpares, ficaram vagos para receber os recm-chegados.

Novamente verifica-se que o dobro do infinito ainda infinito. E a metade do infinito continua sendo infinito.

Segundo este paradoxo, um hotel com infinitos quartos pode sempre receber mais gente.


Todos os termos da sucesso de ordem superior a 60 so maiores do que 2750.

Teoremas sobre infinitamente grandes

Teorema: Comparao de infinitamente grandes positivos

Se

Demonstrao

Seja L um nmero real qualquer. Como ento existe uma ordem 1p a partir da qual Lun > .

Por hiptese, nn vu , a partir de uma ordem 2p .


Assim, sendo p a maior das ordens 21 pep tem-se que : ,Luv nn > logo Lvn >

Conclumos que ( )nv um infinitamente grande positivo

Exemplo:

Mostrar que a sucesso 3nbn = um infinitamente grande positivo.

Como 13 nparann

Como a sucesso dos termos naturais um infinitamente grande positivo, logo a sucesso dada um infinitamente

grande positivo.

Teorema: A soma de um infinitamente grande positivo com uma sucesso constante um infinitamente grande

positivo.

Se

Exemplo:

Mostrar que a sucesso de termo geral 32 = nan um infinitamente grande positivo.

Considerando a sucesso de termo geral 2nun = , a sucesso dada se obtm da soma da sucesso ( )nu com a sucesso constante 3=nb .

Como a sucesso ( )nu um infinitamente grande positivo, verifica-se que a sucesso dada um infinitamente grande positivo.

Teorema: O produto de um infinitamente grande positivo por uma sucesso constante positiva um infinitamente

grande positivo.

Se

Exemplo: Mostrar que a sucesso 3ncn = tende para +

A sucesso nan = um infinitamente grande positivo. Tomando a sucesso 31

=nb que uma sucesso

constante positiva. Logo a sucesso dada a multiplicao de um infinitamente grande positivo e uma sucesso

constante positiva, portanto um infinitamente grande positivo.

Teorema: Se o termo geral de uma sucesso uma exponencial de base maior do que 1, ento a sucesso um

infinitamente grande positivo.

Exemplo: Mostrar que a sucesso n

na

=

45

um infinitamente grande positivo.

O termo geral da sucesso uma exponencial de base maior que 1,

Podemos concluir que a sucesso dada

UT1 - Sucesses | 31

Infinitamente grandes de referncia

Para provar que uma sucesso um infinitamente grande podemos recorrer definio. Contudo, em geral, no

usamos este processo por ser demorado e em alguns casos envolver clculos complexos.

Em alternativa, para provar que uma dada sucesso um infinitamente grande, podemos recorrer a quatro

sucesses, chamadas infinitamente grandes de referncia.

Exemplo:

Mostrar que a sucesso de termo geral 32 += nan um infinitamente grande positivo.

Por comparao tem-se: INnnnnn >+>+ ,3232

Como , podemos concluir que

Teorema: Se ( )nv um infinitsimo e se, depois de certa ordem nn vu ento, tambm ( )nu um infinitsimo.

Demonstrao

Como 0nv , qualquer que seja positivo, possvel encontrar uma ordem 1p depois da qual


Exemplo:

Considere a sucesso 12 2

=n

nun

INnn

nn

nun

=

= ,121212

Observamos que : nn

n 12 para todo n natural podemos ento concluir que e portanto 0nu

Antes de formalizar a noo de limite observemos ainda um outro exemplo:

nnun

3+= Calculando os primeiros termos:

Observamos que uma sucesso decrescente e limitada, visto que nn >+ 3 , para todo INn . Todos os

termos so superiores a 1.

n1 42 2,58 1,375

15 1,230 1,180 1,0375

Analisando a tabela e tomando em considerao que a sucesso montona tudo sugere que a sucesso tende

para 1. Por exemplo depois da ordem 15 todos os termos so valores aproximados de 1 a menos de 0,2; depois

da ordem 30, a menos de 0,1; depois da ordem 80 a menos de 0,0625

Se quisermos calcular a menor ordem depois da qual todos os termos da sucesso distam de 1 menos de 0,01

podemos resolver a seguinte inequao:

Como n s pode tomar valores naturais

Conclumos que a partir do termo de ordem 301, todos os termos da sucesso so valores aproximados de 1 a

menos de 0,01.

No entanto, este fato no garante ainda que 1 seja o limite da sucesso. Precisamos demonstrar que para

qualquer vizinhana de 1 isto se verifica.

Devemos provar que para todo 0> (o raio de uma vizinhana sempre um nmero real positivo) existe uma

ordem a partir da qual )1(Vun .

3313 >

UT1 - Sucesses | 33

Diz-se que uma sucesso ( )nu tem como limite o nmero a se e s se para cada real positivo , existe uma ordem depois da qual todos os termos da sucesso pertencem vizinhana de a.

Tambm se diz com o mesmo significado que ( )nu tende para a ou que ( )nu converge para a. Simbolicamente escreve-se:

Uma sucesso que converge para um nmero real diz-se uma sucesso convergente. Caso contrrio, d-se-lhe o

nome de divergente.

Para qualquer real positivo 0>

Existe uma ordem (um nmero natural p) .. INp

Depois da qual (para outra ordem desde que superior a p ). pn >

Todos os termos de ( )nu pertencem a ( )aV .

Implicao formal

Diz-se que nP implica formalmente nQ , e escreve-se nnn QP , se sempre que se verifica nP tambm se

verifica, nQ isto , para qualquer concretizao da varivel n obtm-se sempre uma implicao material

verdadeira, ou que significa, que o conjunto de verdade do predicado nP subconjunto do conjunto de

verdade do predicado nQ , isto , QP .

Observe que este ltimo quantificador universal n , pode ser substitudo pelo smbolo de implicao formal n .

Temos ento que:

Ou tambm :

Exemplo:

Dada a sucesso definida por n

nan 217

+

=

a ) Provar que ela converge para 21

b ) Calcular o primeiro termo que valor aproximado de 21 a menos de 0,1.

a) Precisamos mostrar que para cada real positivo, , h pelo menos uma ordem a partir da qual se tem, para

todo natural,


Vemos agora que so equivalentes as condies (em p)

b ) Qualquer valor de p serve desde que p seja um nmero natural maior ou igual que . Como para

qualquer valor de existe esse nmero, est provado que a sucesso tende para 21 .


a ) Para mostrar que a sucesso um infinitamente grande positivo ( ) devemos verificar que

para qualquer nmero real positivo L, existe uma ordem p, natural, a partir da qual sempre que Lupn n >> , .

Lupn n >> temos que logo para , p natural, todos os termos da sucesso so maiores do que L. A sucesso um infinitamente grande positivo.


a ) n

un 27

=

35000

200027000001,0

27

>>

> nn

nn

A partir da ordem 3501.


a ) 41

nun =

b ) Podemos iniciar o trabalho com a construo de uma tabela para que os n nu

1 1

2

10

alunos tenham noo do que est a acontecer com os termos da sucesso e

seguidamente formalizar a prova.

Para provar que uma sucesso um infinitsimo ( 0nu ) devemos verificar

que para todo nmero real positivo d, possvel determinar uma ordem p a partir da qual todos os termos so em mdulo menores que d.

Tomemos por exemplo 0001,0=d , temos que 40001,01

>p

Ento 4 10000>p Como

Para temos du

UT1 - Sucesses | 35

Ento a sucesso limitada 15

Unidade Temtica 2 | Trigonometria


A trigonometria tem a sua origem no estudo da medio de tringulos. Resolver problemas ligados a situaes

concretas onde se apliquem mtodos trigonomtricos (problemas ligados navegao, topografia e outros.

Enquanto considerada como medida de tringulos, a trigonometria desenvolveu-se como uma Cincia

independente da noo de medida. Mais tarde ao serem estudadas as funes trigonomtricas aparecerem o

seno e o cosseno como modelos matemticos para fenmenos peridicos tais como variaes de temperatura,

de mars, entre outros fenmenos.

Subtema 1: Generalizao da noo de ngulo e de arco- Medidas


Generalizao da noo de ngulo

Medida de ngulos.

Passagem de um sistema de unidades para outro

Expresso geral das medidas dos ngulos que tm o mesmo

lado origem e o mesmo lado extremidade

Generalizao da noo de arco

Medida dos arcos

Expresso geral das medidas dos arcos que tm a mesma

origem e a mesma extremidade

O aluno:

Resolve problemas de tringulos retngulos;

Converte unidades entre sistemas (sexagesimal e

circular)

Determina os ngulos compreendidos entre

determinado intervalo, sabendo uma das

determinaes (Atender a que a expresso geral

dos ngulos que tm os mesmos lados que o

ngulo + k3600); k Z

Determina a medida de um ngulo ao centro, de

um crculo de raio dado, conhecido o arco.

Referir alguns instrumentos com que se medem ngulos (O sextante, o Quadrante, o instrumento de sombras

de Pedro Nunes).

Propor uma tarefa de construo. Por exemplo, como construir um instrumento de sombras e medir a altura do

sol. Resolver exerccios e problemas envolvendo medidas de ngulos e de arcos.

Tarefa de construo: Instrumento de Sombras de Pedro Nunes

Pedro Nunes nasceu em Alccer do Sal, Portugal, a 1502 e faleceu a 1573. Construiu vrios instrumentos de

navegao tais como o Nnio (palavra que deriva de Nonius, que significa Nunes em Latim), o Instrumento

chamado Instrumento de Sombras por D. Joo de Castro, e o Anel Nutico. Este instrumento permitia determinar

a altura do Sol, a partir da qual se poderia obter a latitude. Porm, este instrumento no foi muito utilizado pelos

navegadores, uma vez que estes preferiam os que lhes forneciam, diretamente, as alturas de que necessitavam,

apesar de no serem to precisas. Apenas D. Joo de Castro, discpulo de Pedro Nunes o usou e o louvou.

Como se constri?

Material necessrio:

-Tbua plana de forma retangular;

37UT2 - Trigonometria | 37

-Tringulo retngulo issceles de madeira ou metal de diminuta espessura;

-Compasso, rgua, esquadro, transferidor, lpis, caneta e cola.

Num retngulo de madeira traam-se as suas diagonais e designa-se por O o seu ponto de interseo;

-Com centro em O desenha-se uma circunferncia de raio igual medida dos catetos do tringulo;

-Paralelamente ao lado menor traa-se o dimetro BC;

-Marca-se o ponto G que o ponto de extremo de um dos raios que perpendicular ao dimetro traado;

-Traa-se a tangente, HH, circunferncia no ponto G;

-Liga-se o tringulo issceles base de modo que o seu plano seja perpendicular ao da tbua e um dos catetos

coincida como raio OG;

-O quadrante BG deve ser graduado de 00 a

O instrumento de sombras est pronto!

Como se utiliza?

Coloca-se a tbua na posio horizontal;

Roda-se o instrumento de modo que a sombra GS1

do cateto GS da pea triangular se confunda com HH`;

Observa-se a sombra OS1 da hipotenusa OS;

Regista-se em que ponto a sombra OS1 intersetou o

quadrante.

Tarefa

1. Mede a altura do Sol e o respetivo ngulo no instrumento. Regista os dados numa tabela.

2. Consegues encontrar alguma relao entre a altura do Sol e o ngulo registado? E entre a altura do Sol e

a sombra observada?

3. Tenta explicar por que que os tringulos [SGS1] e [OGS1] so iguais.

4. Por que que o ngulo dado pela sombra da hipotenusa do tringulo no quadrante , de facto, a altura do

Sol em graus?

O tringulo [SGS1] igual ao tringulo [OGS1]

O cateto [GS1] comum aos dois tringulos. Como o tringulo [OGS] um tringulo retngulo issceles, ento a

medida do cateto [OG] igual medida do cateto [SG]. Portanto, os tringulos retngulos [SGS1] e [OGS1] tm

catetos correspondentes de igual medida, logo a medida das suas hipotenusas tambm igual. Assim se conclui

que os dois tringulos so iguais.

O ngulo dado pela sombra da hipotenusa do tringulo da pea no quadrante a altura do Sol em graus.


Note-se que, como os tringulos [SGS1] e [OGS1] so iguais, ento o ngulo SS1G igual ao ngulo OS1G.

Verifica-se tambm que os raios solares formam, com a tbua, um tringulo em que um dos vrtices coincide

com o ponto S1.

Da figura vem que os tringulos so semelhantes pois tm dois ngulos em comum (os ngulos reto e o a), em

que a a altura do Sol em graus. Da igualdade dos tringulos [SGS1] e [OGS1] tem-se que a o ngulo OS1G

que lido no quadrante, ou seja, o ngulo da sombra da hipotenusa da pea triangular do instrumento.

Razes trigonomtricas dos ngulos

O teorema a seguir enunciado aplica-se na deduo do valor exato das razes trigonomtricas dos ngulos acima

referidos.

Teorema: Sendo [AB] uma corda de um arco de circunferncia de raio R e o ngulo ao centro homlogo do

arco AB. Temos que

Demonstrao:

Seja um arco de circunferncia de centro O e representemos a circunferncia num sistema de eixos ortogonais,

cuja origem coincide com o centro da circunferncia.

Por definio,

Donde,

Desta igualdade podemos escrever

Vamos, de seguida, apresentar algumas aplicaes deste teorema.

UT2 - Trigonometria | 39

APLICAES

Caso I

[AB] o lado de hexgono regular inscrito numa circunferncia de raio R.

Neste caso

e

Ento,

Mas como o lado [AB] do hexgono igual ao raio, podemos concluir que

Donde

Conhecido Calculamos o valor do

;

Caso II

[AB] o lado de um quadrado inscrito numa circunferncia.

Neste caso,

E

Ento,

Mas como o lado [AB] do hexgono igual a

R2podemos concluir que

Donde

Assim, podemos determinar o valor das outras razoes trigonomtricas.

Caso III

[AB] o lado de um tringulo equiltero inscrito numa circunferncia.

Nesta caso0120=

E


Ento,

Mas como o lado [AB] do hexgono e igual a

R3podemos concluir que

Donde

Assim, podemos determinar o valor das outras razes trigonomtricas.

Resoluo de Tringulos

Em qualquer tringulo podemos considerar seis elementos principais (os trs lados e os trs ngulos) e outros

elementos, as alturas, as medianas, o raio do crculo inscrito, etc.

A resoluo de um tringulo consiste em determinar, a partir das medidas dos elementos conhecidos, as medidas

dos restantes elementos. Uma das aplicaes das funes trigonomtricas a resoluo de tringulos.

De seguida sero apresentados alguns teoremas que nos permitem determinar os elementos principais num

tringulo.

Teorema: Num tringulo retngulo qualquer cateto igual ao produto da hipotenusa pelo seno do ngulo

oposto, ou pelo coseno do ngulo adjacente.

Demonstrao:

Considere-se um tringulo [ABC] retngulo em A. Por definio tem-se,

acBcos;

absenB ==

Donde

BcosacasenBb

==

Atendendo a que o angulo C complementar de B, podemos concluir que

sencBcosCcossenB

==

Assim as igualdades anteriores podem escrever-se

asenCcCcosab

==


Teorema dos senos: Num tringulo, constante a razo entre cada lado e o seno do ngulo oposto.

Demonstrao:

Consideremos um tringulo [ABC] e seja R o raio do circulo inscrito ao tringulo.

Nestas condies, os lados a, b e c do tringulo so cordas do crculo.

Recorrendo ao teorema 1 podemos escrever

RsenC2cRsenB2bRsenA2a

===

Sendo A, B e C ngulos inscritos, medem metade dos ngulos ao centro correspondentes aos lados a, b e c.

As igualdades anteriores podem escrever-se na forma,

R2senC

c

R2senB

b

R2senA

a

=

=

=

Pela propriedade transitiva da igualdade, podemos escrever a relao,

senCc

senBb

senAa

==

Teorema dos cosenos (Carnot): Num tringulo o quadrado de um lado igual soma dos quadrados dos outros

dois, diminuda do dobro do produto destes lados pelo coseno do ngulo por eles formado.

Demonstrao:

Seja [ABC] um tringulo obliqungulo qualquer e designemos por CM a altura do tringulo referente ao vrtice C.

Dois casos podem acontecer: ou o ponto M pertence ao lado AB ou, pelo contrrio, exterior a esse lado.

No primeiro caso, por ser a oposto a um ngulo agudo, sabe-se que o quadrado do lado oposto a um ngulo

agudo de um tringulo igual soma dos quadrados dos outros dois menos o dobro do produto de um deles

pela projeo ortogonal do outro sobre ele. Ento teremos,


E como o triangulo e retngulo [CMA] deduz-se

Conclui-se que

Acos.bc2cba 222 +=

No segundo caso, por ser a oposto a um ngulo obtuso, sabe-se que o quadrado do lado oposto a um ngulo

obtuso de um tringulo igual soma dos quadrados dos outros dois mais o dobro do produto de um deles pela

projeo ortogonal do outro sobre ele.

Ento teremos,

e como agora se tem

Conclui-se que

Abc2cba 222 cos.+=

Assim, em qualquer dos casos tem-se

Abc2cba 222 cos.+=

A igualdade anterior. Pode tambm escrever-se na forma

bc2acbA

222 +=cos

Permite calcular o ngulo A de um tringulo, desde que se conheam os seus trs lados.

De seguida so apresentadas possveis resolues de algumas das tarefas, do subtema 1 da unidade temtica de

trigonometria, do manual do aluno.

Resoluo da Tarefa 1

Os lados do tringulo tm medidas, 5, 7 e 9

Aplicando o teorema de Carnot, temos

C752759 222 cos.+=

Resoluo da Tarefa 6

Sabemos que,

Designemos


Podemos escrever

Subtema 2: Relaes trigonomtricas


Relaes trigonomtricas fundamentais: seno, cosseno,

tangente, cotangente

Frmula fundamental da trigonometria

ngulos associados

Razes de ngulos suplementares

Razes que diferem de radianos

Razes de ngulos simtricos

Reduo ao 1 quadrante

Razes de ngulos complementares

Equaes redutveis ao tipo: sen x = k ; cos x = k; tg x = k (k

constante)

O aluno:

Determina o valor de uma funo

trigonomtrica de um ngulo, dado o valor de

outra;

Resolve equaes trigonomtricas redutveis

a equaes dos tipos: sen x = k ; cos x = k; tg x

= k, (k constante);

Determina o valor de uma relao

trigonomtrica de um ngulo, dado o valor de

outra;

Resolve equaes redutveis a equaes dos

tipos:

sen x = k ; cos x = k; tg x = k (k constante).

Dizemos que dois ngulos e so ngulos associados quando as razes trigonomtricas de um deles so, em

valor absoluto, iguais s razes trigonomtricas homnimas (com o mesmo nome) do outro. Dado um ngulo

orientado, em posio normal, e que seja do primeiro quadrante existem mais trs ngulos (em de cada um dos

restantes quadrantes) que so associados do referido ngulo.

Reduo ao 1 Quadrante

1) xsenxsen = )(

2) xcos)xcos( =

3) xsen)x(sen =+


4) xcos)xcos( =+

5) xsen)x(sen =

6) xcos)xcos( =

7) xcos)x2

(sen =

8) xsen)x2

cos( =

Frmulas trigonomtricas

=+ x,1xsenxcos 22 IRysenxcosycosxsen)yx(sen +=+

xcosysenycosxsen)yx(sen =

ysenxsenycosxcos)yx(cos =+

ysenxsenycosxcos)yx(cos +=

Periocidade

1) =+ k,xsen)k2x(sen

2) =+ k,xcos)k2xcos(

3)

Equaes trigonomtricas elementares

1)

A equao axsen =a

-No tem soluo se 1>a

-Uma infinidade de solues se 1a

2)

)(2coscos +== kkyxyx

A equao axcos =

-No tem soluo se 1>a

-Uma infinidade de solues se 1a

Exemplos

1. Calcular 0105sen .

Sendo,

Deduz-se


2. Calcular .

Sendo,

Deduz-se

Resoluo da Tarefa 30

a)

+

=+

=

==

=+

k,2k4

x2k4

x)4

(senxsen22xsen

02xsen.2

b)

===

=+

k,360kx0cosxcos1xcos21xcos

00

c)

d)

e)

f) +=+== k,360k190180x360k190x190sensenx 00000

g) +====+ k,360k150x150cosxcos23xcos03xcos2 000

Recorrendo ao circulo trigonomtrico,

repara que


Subtema 3: Funes circulares diretas. Generalidades


Funes peridicas

Funes circulares dos ngulos notveis. Uso de tabelas

Definio das funes circulares:

y = sen x, y= cos x, y= tg x e y= cotg x

Representao grfica das funes circulares

Estudo intuitivo das propriedades das funes circulares.

Variao e monotonia

Modelao e trigonometria

O aluno:

Identifica funes circulares como modelos de

fenmenos peridicos do mundo real;

Representa graficamente as funes circulares;

Conhece propriedades grficas e analticas das

funes circulares;

Utiliza as funes circulares na modelao de

situaes reais.

O estudo de funes trigonomtricas, associando a cada amplitude de ngulo um nmero real, parte integrante

do estudo das funes peridicas.

O estudo da famlia de funes permite que os alunos compreendam propriedades de classes de funes. Por

exemplo, no estudo da famlia de funes do tipo f(x)=a sen x, com a um numero real diferente de zero, os alunos devero apresentar um esboo de uma representao grfica de cada uma das seguintes funes, definidas em

IR e em que x vem expresso em radianos:

f1 (x) = sen x

f2 (x) = 3sen x

f3 (x) = sen x

f4 (x) = - sen x

f5 (x) = -2 sen x

Devero ser apresentadas as seguintes representaes grficas:


Nesta altura deve ser colocada a questo:

De que forma se pode obter o grfico de cada uma das funes custa do grfico da funo f1?

Atravs destas representaes grficas, poder-se- retirar as seguintes concluses:


O grfico de f2 obtm-se do grfico de f1 atravs de uma dilatao vertical segundo o fator 3. O grfico de f3 obtm-se do grfico de f1 atravs de uma contrao vertical segundo o fator 2

1.

O grfico de f4 obtm-se do grfico de f1 atravs de uma simetria em relao ao eixo Ox.

O grfico de f2 obtm-se do grfico de f1 atravs de uma dilatao vertical segundo o fator 2, sofrendo, de seguida, uma simetria relativamente ao grfico da funo f6, definida por f6(x) = 2 sen x

Perante as representaes grficas e a tabela seguinte,

Funo Contradomnio Perodo positivo mnimo (radianos)f1 [ ]1,1 2f2 [ ]3,3 2f3 [ ]5,0;5,0 2f4 [ ]1,1 2f5 [ ]2,2 2

Poder-se- retirar concluses sobre a influncia do parmetro a no grfico das funes da famlia xsena)x(f = (com a real e diferente de zero) no que diz respeito ao seu contradomnio e perodo.

Vamos relembrar a definio de perodo:

Diz-se que uma funo f peridica e tem perodo P, quando existe uma constante P0 tal que:

Ao menor valor positivo P que verifica esta condio d-se o nome de perodo positivo mnimo.

Podemos, ento, concluir que as transformaes geomtricas, anteriores, provocam uma alterao no

contradomnio de cada uma das funes, em relao ao contradomnio da funo seno, no provocando

nenhuma alterao no perodo das funes.

Exemplo:

Qual o contradomnio da funo g, definida em IR por xsen3)x(g = ?

Como a funo seno est definida em IR e contnua, sabemos que:

3senx313senx3)1(31xsen1

Assim, o contradomnio da funo o intervalo [ ]3,3 .Vimos que as transformaes geomtricas envolvidas no alteram o perodo da funo em relao funo

seno. Vamos ento verificar se 2 radianos perodo desta funo:

Pela definio de perodo,

gDx),x(gsenx3)2x(sen3)2x(g ==+=+Logo, 2 radianos perodo desta funo.


Em sntese:

Se compararmos o grfico de xsena)x(f = com o grfico de xsen)x(f1 = , o grfico de xsena)x(f = pode ser obtido custa do grfico de xsen)x(f1 = atravs de transformaes geomtricas. Vejamos:

Quando |a|>1, o grfico da funo sofre uma dilatao vertical;

Quando |a|


De que forma se pode obter o grfico de cada uma das funes custa do grfico da funo 1f ?

Atravs das representaes grficas, poder-se- retirar as seguintes concluses:

O grfico de 2f obtm-se do grfico de 1f atravs de uma translao segundo o vetor de coordenadas )2,0(

O grfico de 3f obtm-se do grfico de 1f atravs de uma translao segundo o vetor de coordenadas )1,0( .

Perante estas representaes grficas, poder-se- retirar concluses sobre a influncia do parmetro b, elemento

do conjunto R, no grfico das funes da famlia senxb)x(f += , no que diz respeito ao seu contradomnio e perodo.

O contradomnio da funo 2f [ ]3,1 e o perodo 2 . O contradomnio da funo 3f [ ]0,2 e o perodo 2 .Estes exemplos ajudam os alunos a identificar que estas transformaes geomtricas provocam uma alterao

no contradomnio de cada uma das funes, em relao ao contradomnio da funo seno, no provocando

nenhuma alterao no perodo das funes.

Exemplo:

Qual o contradomnio da funo h definida em R por xsen3)x(h += ?

Como a funo seno est definida em IR e contnua, sabemos que:

4xsen3231xsen331

1xsen1

++++

Assim, o contradomnio da funo o intervalo [ ]4,2

Em sntese:

Se compararmos o grfico de xsenb)x(f += com o grfico de xsen)x(f1 = o grfico de xsenb)x(f += pode


ser obtido custa do grfico de xsen)x(f1 = , atravs de uma translao segundo o vetor de coordenadas )b,0(

Vejamos de que forma o parmetro b influencia o contradomnio da funo:

Como a funo seno est definida em IR e contnua, sabemos que,

b1xsenbb11xsen1

+++

Logo, para qualquer valor real b xsenb)x(f += assume valores que variam entre b1+ e b1+ . O perodo da funo no alterado por este parmetro.

De seguida, far-se- o estudo da famlia de funes do tipo

Para isso, os alunos devero apresentar um esboo de uma representao grfica de cada uma das seguintes

funes, definidas em IR e em que x vem expresso em radianos:

xsen)x(f1 =

)2

x(sen)x(f2

+=

)2x(sen)x(f3 +=Sero apresentadas as seguintes representaes grficas:


De que forma se pode obter o grfico de cada uma das funes custa do grfico da funo 1f ?


O grfico de 2f obtm-se do grfico de 1f atravs de uma translao segundo o vetor de coordenadas

)0,2

( .

O grfico de 3f obtm-se do grfico de 1f atravs de translao segundo o vetor de coordenadas )0,2( .

Perante estas representaes grficas, poder-se- retirar concluses sobre a influncia do parmetro d no grfico

das funes da famlia , no que diz respeito ao seu contradomnio e perodo.

O contradomnio da funo 2f [ ]1,1 e o perodo 2 .

O contradomnio da funo 3f [ ]1,1 e o perodo 2 .

Em sntese:

Se compararmos o grfico de )dx(sen)x(f += com o grfico de xsen)x(f = , o grfico da primeira pode ser

obtido a partir do grfico de xsen)x(f = atravs de uma translao segundo o vetor de coordenadas (-d, 0).

Estas transformaes geomtricas no provocam nenhuma alterao no contradomnio, nem no perodo de

cada uma das funes, em relao funo seno.

De seguida far-se- o estudo da famlia de funes do tipo , c designa um nmero real diferente

de zero.

Para isso, os alunos devero apresentar um esboo de uma representao grfica de cada uma das seguintes

funes, definidas em R e em que x vem expresso em radianos:

xsen)x(f1 =

)x2(sen)x(f2 =

)x21(sen)x(f3 =

)x(sen)x(f4 =

Os alunos devero fazer as seguintes representaes grficas:

UT2 - Trigonometria | 53De que forma se pode obter o grfico de cada uma das funes custa do grfico da funo 1f ?



O grfico de 2f obtm-se do grfico de 1f atravs de uma contrao horizontal segundo o fator 21

.

O grfico de 3f obtm-se do grfico de 1f atravs de uma dilatao horizontal segundo o fator 2.

O grfico de 4f obtm-se do grfico de 1f atravs de uma contrao horizontal segundo o fator 1

, sofrendo,

de seguida, uma simetria em relao ao eixo Oy, relativamente funo 5f , definida por )x(sen)x(f5 = .

Poder-se- retirar concluses sobre a influncia do parmetro c no grfico das funes da famlia

no que diz respeito ao seu contradomnio e perodo.

O contradomnio de todas as funes [ ]1,1 . Podemos, ento, concluir que estas transformaes geomtricas no provocam uma alterao no

contradomnio de cada uma das funes, em relao ao contradomnio da funo seno.

Vamos ver qual o perodo positivo mnimo de cada uma das funes apresentadas:

No caso da funo 1f , definida por xsen)x(f1 = , o perodo positivo mnimo 2 radianos.

No caso da funo 2f , definida por )x2(sen)x(f2 = o perodo positivo mnimo radianos.

No caso da funo 3f , definida por )2x(sen)x(f3 = o perodo positivo mnimo 4 radianos.

No caso da funo 4f , definida por )x(sen)x(f4 = o perodo positivo mnimo 2 radianos.

Em sntese:

Podemos ainda perceber, se compararmos o grfico de com o grfico de xsen)x(f1 = , o

grfico de pode ser obtido custa do grfico de xsen)x(f1 = , atravs de uma contrao

horizontal (se 1>c ) ou atravs de uma dilatao horizontal (se 1


O perodo positivo mnimo )radianos(4

21

2=

.

Vamos considerar a funo 4f definida por )x(sen)x(f4 = .

O perodo positivo mnimo )radianos(22 =

.

Estudo semelhante pode ser feito para a funo coseno.

Resoluo da Tarefa 4

a) O domnio e o conjunto dos nmeros reais;

Relativamente ao contradomnio, sabemos que

1xsen1 Ento

1)32x(sen1

5)32x(sen55

Donde, o contradomnio e o conjunto,

[ ]5,5

b) O perodo positivo mnimo igual a c

2, com c 0

Neste caso 21c = ,

Donde o perodo positivo mnimo toma o valor )radianos(4

21

2=

.

c) Toma valor mximo 5 e valor mnimo -5.

d) Zeros:

+=

+==+==

===

k,64kx

k,32k2xk,2k3

2xk,2k03

2x2k3

2x

0sen)32x(sen0)3

2x(sen0)3

2x(sen5

O conjunto dos zeros,

{ }+= k,64kx:xA representao grfica pedida ser feita tendo por base, as propriedades referidas nas alneas anteriores e o

grfico da funo xsen)x(f =

Unidade Temtica 3 | Funes e limites


Nesta unidade temtica, os alunos alargam o seu conceito de funo real de varivel real s funes de

crescimento (exponenciais e logartmicas), tomando contacto com algumas das suas propriedades grficas e

analticas, de modo a ficarem capazes de escolher, para cada situao concreta, um modelo mais adequado.

Com a introduo ao clculo infinitesimal caracteriza-se o limite de uma sucesso natural e define-se limite de

uma funo num ponto para que o aluno possa fazer a interpretao grfica e analtica do conceito de limite e da

continuidade de uma funo em qualquer ponto de acumulao do seu domnio, alm de relacionar o conceito

de continuidade com a convergncia de sucesses e as funes limitadas.

Subtema 1: Funes exponenciais e Logartmicas.


Introduo ao estudo da funo

exponencial. Propriedades

Funo exponencial de base e

Noo de logaritmo de um nmero

Propriedades operatrias dos logaritmos

Funo logartmica de base superior a

um. Propriedades

Equaes e inequaes exponenciais e

logartmicas

Aplicaes das funes exponenciais e

logartmicas

O aluno:

Reconhece as propriedades grficas e analticas das funes

exponenciais e logartmicas;

Aplica as transformaes dos grficos de funes a funes

exponenciais e logartmicas;

Aplica as propriedades operatrias dos logaritmos;

Resolve equaes exponenciais e logartmicas;

Resolve inequaes exponenciais e logartmicas;

Define a funo inversa de uma funo exponencial ou logartmica;

Resolve problemas em contexto real usando funes exponenciais

ou funes logartmicas. em pontos finitos ou infinitos.

O nmero de funes reais de varivel real, distintas, claramente ilimitado. No entanto, importa que os alunos

reconheam a sua variedade e que as consigam classificar em algumas categorias para que as possam estudar

grfica e analiticamente.

Em unidades temticas anteriores, o aluno comeou por abordar algumas das principiais funes algbricas,

designadamente:

1. Funes polinomiais de domnio IR e definidas por polinmios de grau 1, 2 e 3.

2. Funes racionais, expressas por quocientes de polinmios e cujo domnio o conjunto de nmeros reais

tais que no anulam os denominadores.

3. Funes irracionais, definidas por expresses algbricas com pelo menos um radical e cujo domnio o

conjunto de nmeros reais para os quais a expresso algbrica tem significado.

4. Funes transcendentes. As funes transcendentes que iremos estudar nesta unidade temtica so as

funes exponenciais e logartmicas.

UT3 - Funes e limites | 57

A abordagem do conceito de logaritmo deve ser iniciada numericamente com casos de potncias que os

alunos dominem com segurana, nomeadamente as de base 10. S posteriormente se deve definir a funo

logartmica como funo inversa da funo exponencial. As condies a resolver devem permitir aprofundar

o conceito de logaritmo e o domnio de propriedades da funo logartmica, nomeadamente a monotonia e

a variao de crescimento (base>1) ou, de decrescimento (base

58 | Nome da Unidade temtica

6. m

n mna a=

Seja a potncia de expoente fracionrio 1na . Dados dois nmeros naturais a e n sempre possvel obter um real

nr a= , que se designa por raiz n-sima e nica de a. Ento, segue pela propriedade 2, que 1

1( ) = = =n

nn na a a a ,

donde tem sentido escrever que 1

nna a= .

Seja a potncia de expoente real 2a . O expoente um irracional e, portanto, no se pode escrever em

forma de razo. Qual , ento, o significado de 2a ?

Lembrar aos alunos, neste caso, que todo nmero irracional pode ser aproximado, de forma arbitrria, por

nmeros racionais. Esta aproximao arbitrria a que nos referimos pode ser ilustrada por , cujas aproximaes

racionais com 1,2,3, casas decimais so, respetivamente;

Ento 2a admite as seguintes aproximaes 1 1,4 1, 41 1, 414 2 ,a a a a a a , , , , . .. , generalizando o conceito para potncias de expoente real, com a manuteno das regras operatrias elementares.

Funo exponencial

A funo exponencial e a funo logartmica so funes no algbricas (transcendentes) que se associam

modelao de fenmenos de crescimento ou decrescimento rpido, como por exemplo, na projees dos efeitos

de um terramoto, na evoluo de uma praga ou no crescimento de uma populao ou ainda, na avaliao de

investimentos e aplicaes financeiras, no clculo do processo de desintegrao radioativa, etc.

Exemplo 1: No clculo de juros compostos, se num investimento de P dlares a uma taxa de juros anual r e os

juros forem capitalizados k vezes por ano, o saldo s(t) aps t anos ser ( ) (1 ) .ktrs t P dlaresk

= + Supondo que so

aplicados 1000 dlares a uma taxa de juros anual de 6%, O saldo aps 10 anos aps capitalizao dos juros

mensalmente dado por

( ) 1200,0610 1000(1 ) 1819,4 ( ).12

s dlares= + =

Note que o saldo s(t) relativo a uma determinada quantia P, com um taxa de juros anual r e capitalizao de juros

continuamente, pode ser modelado em funo do tempo t pela exponencial natural) por ( ) rts t Pe= , em que a base a constante de Euler .

Generalizando: Uma quantidade ( )Q t que obedece ao modelo ( ) 0 ktQ t Q e= , apresenta um crescimento exponencial (se 0 e Q k so constantes positivas) ou um decrescimento exponencial (se k uma constante negativa).


1. Representao grfica,


2.

t

(horas)

y

(n bactrias)

0 500=500 x 20

1 1000=500 x 21

2 2000= 500 x 22

3 4000= 500 x 23

4 8000= 500 x 24

De acordo com os dados, a situao

pode ser modelada pela expresso

exponencial: 500 2 , 0ty t=

3. Segundo o modelo, para 10t = , 10500 2 512000y = =

4. Quando 128000y = . Ou seja, 500 2 128000 2 256 8t t t = = =

Equaes exponenciais

Uma equao exponencial caracteriza-se pela presena da varivel no expoente.

Exerccio resolvido: Resolver em IR cada uma das seguintes equaes:

a) 2 32 x =

b) 2 45 125 x + =

c) 13 3 4 0 x x ++ =

Em qualquer caso, utilizaremos a propriedade da injetividade da funo exponencial (se, 1 2 1 2 ento )x xa a x x= =

para a resoluo das equaes. Assim:

a) 2 32 x = . Nota que 532 2= , Logo, 52 2 x = e , ento 5x = .

b) 2 24 4 35 125 5 5x x + += = . Ento, 2 4 3x + = . Resolvendo a equao de 2 grau, obtemos 1 1x x= = .

c) 1 3 3 4 0x x ++ = . A equao equivalente a 233 4 0 (3 ) 3 4 3 0

3x x x

x+ = + = .

Usamos o artifcio de clculo que consiste na substituio 3xy= , donde 2 3 4 0y y+ = .

Resolvendo esta equao de 2 grau, temos 4 16 12 3 1

2y y y = = = . Repondo a substituio tem

3 3 3 1.x x= = Portanto as solues so 1 0x x= = .

Inequaes exponenciais:

Tal como as equaes exponenciais, uma inequao exponencial caracteriza-se pela presena da varivel no

expoente. Considere, por exemplo, a seguinte inequao: 52 2x > . Tendo o prvio conhecimento de que a funo

correspondente ( ) 2xf x = estritamente crescente, temos que o conjunto de nmeros reais x, tais que 5x> soluo da inequao.


Exerccio resolvido: Resolver a inequao: 1 1 114 4 44

x x x ++ > .

Para resolver uma inequao exponencial, comeamos por reduzir os dois membros da inequao a potncias

de mesma base e de seguida, aplicar a propriedade de variao de crescimento (ou de decrescimento) da

funo exponencial. No caso do exemplo, a inequao pode ser escrita da seguinte forma: 4 11 4 4 44 4

xx x+ >

Multiplicando ambos os membros por 4, temos 4 4 4 1 6 4 11x x x+ > e colocando no 1 membro o fator

comum em evidncia, vem 4 (1 4 16) 11x + > , O que equivale a 11 4 11x > , ou seja 4 1x < ; como 04 1= ,

conclumos que a soluo da inequao 0x < .

Logaritmo de um nmero natural

O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemtico escocs John Napier (1550-1617) e aperfeioado pelo

ingls Henry Briggs (1561-1630). No se sabe ao certo quanto tempo Napier trabalhou a ideia de logaritmo

antes da publicao em 1614 de um volume incluindo texto e tabelas intitulado Mirifici Logarithmorum Canonis

Descriptio (Descrio da Admirvel Tabela de Logaritmos).

Definio: Dados dois nmeros reais a e b, com , 0, 1a b a> , definimos o logaritmo de a na base b como

o nmero x tal que xa b= , e o representamos por logbx a= .

O nmero b chamado a base do logaritmo, enquanto o nmero a o logaritmando.

Exemplo: Como sabemos que 24 16= , onde 4 a base, 2 o expoente e 16 a potncia, na linguagem dos

logaritmos, diremos que 2 o logaritmo de 16 na base 4.

Nestas condies, escrevemos 4log 16 2= .

Note que os logaritmos decimais (base 10) normalmente so nmeros decimais onde a parte inteira denominada

caracterstica e a parte decimal denominada mantissa.

Exemplo: Sendo log 20 1,3010= , dizemos que 1 a caracterstica e 0,3010 a mantissa. As mantissas dos

logaritmos decimais so tabeladas. Consultando uma tabela (ou tbua) de logaritmos, podemos verificar, por

exemplo, que log45 1,6532= ou concluir, pela definio de logaritmo, que =1,653210 45 .

Logaritmo Neperiano ou Natural

O sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier) tem por base a constante de Euler

que o nmero irracional . Indicamos este logaritmo pelo smbolo ln . Assim, log ln e x x= .


Exemplo: ln 1e = ; ln 7 log 7e=

Da definio de logaritmo de um nmero positivo, e do que sabemos sobre potncias, decorrem de imediato as

seguintes propriedades operatrias dos logaritmos:

P1) Se > 0a , ento log 1 0a = porque 0a = 1.

Ou seja, o logaritmo da unidade em qualquer base nulo.

P2) Se > 0a , ento log 1a a = , porque =1 a a .

Ou seja, o logaritmo do valor da base sempre igual a 1.

P3) Se 0a > , ento log pa a p= , porque ,p pa a p IR= .

P4) Se , 0a x > , loga xa x= porque log , a x y x y IR= = .

P5) Logaritmo de um produto: Se , , 0a x y > , ento log ( ) log loga a ax y x y = + .

Ou seja, o logaritmo de um produto igual a soma dos logaritmos dos fatores.

log log log log x y x ya a a ax y a a x y a + = = ento, log ( ) log loga a ax y x y = + .

Exemplo: log 20 log(2 10) log 2 log10 0,3010 1 1,3010= = + = + =

P6) Logaritmo de um quociente: Se , , 0a x y > , ento log ( ) log loga a ax x yy= .

Ou seja, o logaritmo de um quociente igual diferena dos logaritmos dos fatores numerador e denominador.

loglog log

log xa x ya aya

x a ay a

= = e ento, log ( ) log loga a ax x yy= .

Exemplo:

2log0,02 log( ) log 2 log100 0,3010 2 1,6990100

= = = = .

P7) Logaritmo de uma potncia: Se , 0, a x p IR> , ento log .logpa ax p x= .

( . . ..log log log log log l g. o) .pa a a a a ap fatores p vezes

x x xx x x x p xx= = + + =

.

Note que 1 1log log ( ) .logn na a ax x xn

= =

Exemplo: 6 25 5 5 5log 25 6 log 25 6 log 5 6 2 log 5 1 2 = = = =

P8) o cologaritmo de x de base a o logaritmo do inverso multiplicativo de x, na base a.

Se , 0a x > ento, 1log log ( ) log 1 log 0 log loga a a a a ax x x xx

= = = =co .

Exemplo: colog10 log10 1.= =

P9) Mudana de base: Se , , 0a b x > ento, logloglog

ba

b

xxa

= .

Exemplo: log 16log 16 2log 4 2

= = = , 5255

log 125 3log 125 log 25 2

= =


Consequncias:

1log

log=a

bb

a

logloglog

=axxa (usando a base decimal)

lnlogln

=axxa

(usando a base neperiana ou natural)

Exerccio resolvido:

Escrever a expresso 2log 3ln 2 ln 2ln 55x x ye e + + , sem usar logaritmos.

= 2lnln 2 23

xx ye e + + 2

129

x xy

= + + com 0, 0x y> > .

Funo logartmica

Tendo em conta que a funo exponencial, definida por xy a= ( 0 1)a e a> injetiva, logo, invertvel, a sua

inversa designada de funo logartmica de base a e escrevemos log yay x x a= = , onde 1}\{a IR+ .

Inversa de uma funo

Duas funes f e dizem-se inversas se verificarem as seguintes condies:

A imagem f est contida no domnio de 1f . Ou seja, 1( )Im Df Df

A imagem de 1f est contida no domnio de f . Ou seja, 1( )Im Df Df

Para qualquer 1 1 , ( )( ) ( )( ) .x Df f o f x f o f x x = =

Exemplo:

As funes definidas por ( ) f x x= e 2 ( ) g x x= so inversas uma da outra se 0x .

Observaes:

f invertvel se e somente se uma funo injetiva.

Se f invertvel ento 1 f invertvel e 1 1( )f f = .

Geometricamente, verificamos que duas funes so inversas quando

o grfico de uma o simtrico do grfico da outra, relativamente

reta de equao y x= .


Mtodo algbrico para determinar 1f :

1. Escrever a equao ( )y f x= .

2. Resolver a equao em ordem a x, para obter 1 ( )x f y= .

3. Permutar x por y na equao obtida no passo anterior.

Exemplo 1: A inversa de uma funo afim (no constante) uma funo afim.

Se ( ) f x y mx b= = + , ento 1 1( ) ( )x f y y bm

= = . Permutando x com y, temos 11( ) ( )y f x x bm

= = .

Exemplo 2: Calcular a inversa de uma funo potncia de expoente natural.

Seja ( ) , .nf x x n IN= Sabemos que se n par a funo par e se n impar a funo impar. f invertvel apenas para 0x , se n par e para todo x se n impar. A funo inversa, em ambos os casos, definida por

( )1 nx f y y= = . Permutando as variveis, temos que ( )1 nf x x = .


a ) 0, xe x IR , 0 1 1 0 0 1 1x x xx e e e < < < , donde . Seja a imagem da funo

dada por 1 ,xy e x Df= . Ou seja,

1 . 1 ln(1 ) 1 0 0x xy e e y x y y y = = = >

b ) 4{ : 4 - 3 >0}=] , [3

Dg x IR x= e CDg IR= . As imagens da funo so dadas por:

24 4 4 2 4log (4 3 ) 4 3 2 3 4 23 3 3 3

yy yy x x x x x x x= = < = < = < .

c ) 1{ : 1+2 >0}= ] , [2

Dh x IR x= + e CDh IR= , As imagens da funo so dadas por:

44 1 1 14 ln(1 2 ) ln(1 2 ) 4 1 2

2 2 2

yy ey x x y x e x x x

= + + = + = > = >


a ) A rea da mancha de crude dada por: 0,1( ) 16 , [0,24].tA t e t=

( ) 0,1 24 224 16 176,37 A e km=

b ) 0,1( 1)

0,10,1

( 1) 16( ) 16

t

tA t e e

A t e

++= =

(constante).

c ) .

Soluo: A mancha de crude atinge a costa aproximadamente passadas 5 horas e 34 minutos do dia seguinte ao

acidente.


Equaes logartmicas

Como na exponencial, utilizaremos aqui tanto a definio quanto as propriedades operacionais de logaritmos

para resolver equaes. Em alguns casos, a aplicao da definio o bastante para fornecer-nos a soluo.

Exerccio resolvido: Resolver em IR , as seguintes equaes:

a) 6log 2 2x= ;

b) log (6 5 ) 2x x = ;

c) 5 5log log (2 1) 1 x x =

Na alnea a) suficiente escrever que, por definio, . E, ento obtemos 18x = .

Na alnea b), temos que 2log (6 5 ) 2 6 5x x x x = = , donde2 5 6 0x x+ = ,cujas solues reais so 1 1 x = e

2 6x = . Atente que as solues obtidas so razes de uma equao de 2 grau, mas que aplicadas equao

logartmica devem satisfazer condio do domnio de validade, ou seja: 0 6 5 0x x> > . Por conseguinte, apenas a soluo positiva 1 1 x = serve condio de existncia da equao.

Na alnea c), as condies de existncia implicam que 0 2 1 0 x e x> > e, portanto o domnio de validade da condio 1] , [

2+ . A diferena de logaritmos de mesma base traduz a propriedade do logaritmo do quociente.

Aplicando: 5 5 5log log (2 1) 1 log 12 1xx x

x = =

. Ou seja, 5 5log log 52 1

xx

=

que equivale condio que

152 1 2

x xx

= >

. Desenvolvendo a igualdade, obtemos uma equao do primeiro grau, cuja soluo 5 9

x = .

Inequaes logartmicas

Resolver uma inequao logartmica observa os mesmos mtodos e critrios da resoluo de equaes

logartmicas. Tambm, neste caso, convm estabelecer previamente as condies de existncia ou, o domnio de

validade, da expresso.

Exerccio resolvido: Resolver em IR, as seguintes inequaes:

a) 2log 4 3x <

b) 3 9log ( 1 ) log ( 1 ) 1 x x

Na alnea a), observamos que o logaritmando deve satisfazer a condio 4 0,x > donde 0x > . Quanto resoluo

da inequao, temos que 32 2 2log 4 3 log 4 log 2x x< < .

Observe que escrevemos o segundo membro como um logaritmo na base 2. E sendo esta base maior que 1,

temos que a funo correspondente estritamente crescente e, portanto, 3 32 2log 4 log 2 4 2 0x x x< ,

cuja soluo so os valores de 2.x , donde obtemos 1x > . Resolvendo a inequao, percebemos a impossibilidade de aplicar diretamente a definio. Recorrendo, porm, s propriedades que

examinamos acima, podemos reescrever a inequao


( ) ( )3 31log 1 log 1 1 2

x x

31(1 ) log ( 1) 12

x

( )31log 1 / 2

1

x

( )3log 1 2x 21 3 1x x > 10 1x x > , ento a soluo da inequao logartmica dada pelos valores de x

pertencentes ao intervalo real ] ] 1, 10 .S =Exerccio resolvido: Usando a definio e propriedades dos logaritmos, resolva cada uma das seguintes questes:

1. Se ( ) lnf x x= , determine e simplifique a expresso: ( ) ( )33 .f e f e+2. Escreva como um nico logaritmo

1ln 2 ln163

.

3. Caracterize a funo inversa da funo definida, em IR, por ( ) 3 1 2.xf x e = +

4. Determine, em IR, o domnio da funo ( ) ln(ln ))f x x= .

5. Caracterize a inversa da funo definida, em IR, por ( ) 81 (6581)xf x = .Soluo:

1. ( ) ( )1

3 33 3 3 1 10ln( ) ln( ) ln 3ln 33 3

f e f e e e e e+ = + = + = + =

2. 41 1 4 1ln 2 ln16 ln 2 ln 2 (1 ) ln 2 ln 23 3 3 3

= = =

3. [ [1 1; 2,Df IR CDf CDf Df = = = + = , porque 3 1 2, xe x > IR. Por outro lado,

Seja 3 1 3 1 13 1 ln 2 (ln 2 12 )23

x x x y x yy e y e = + = = = + .

Caracterizando a funo inversa:

[ [1 : 2,f IR + e 1 1( ) (ln 2 1)3

f x x = + .

4. { : ln 0 0}Df x IR x x= > > . Ou seja, ln 0 1x x> > .

Ento [1, [Df = + e o grfico,

5. Fazendo 8 481 (6581) 3x xy y += = e aplicando os logaritmos de base 3 a ambos os membros da igualdade,

obtemos: 33

38 4

3 log (3 )log 40 e log log 8 4

8x yy y y x x+= > = + = . Ento,

1 :f IR IR + , tal que 1 3log 4( )

8xf x = .


a) 5 1 2 32e 0 5 1 2 33

x xe x x x+ + = + = + =

b) 1 3 65 5 5 1 3 62

x x x x x + += + = + =

c) x9 3 729 3 81 4x x = = =

d) 22 1 2 4 2 0 4 1 5x x x = = = , fazendo xy e= , temos que:

2 4 3 0 3 1.y y y y + = = = Ento, 3 3 3 1 1 0x x x x= = = =


e) 2 2 4 312 4 8 2 2 2 2 4 33

x x x x x x x+ + = = + + = =

f) 72 3 4 6 63ln 2ln 6 0x x x x e x x e+ = = > =

g) ( )3 2 22 5 2 4 2 0 2 2 5 4 2 0x x x x x x + = + = 22 0 4 5 4 4 0 4 4 4 1 1 0x x x x x x x = + = = = = =

h)

i)

j)

k)

l)

m) ( ) 21 12 2

2log (1 ) log 2 (1 ) 2 ( 1 2)x x x x x x + + < >

3 13 3 13 ( 1 2)

2 2x x x x + < >


a) As dimenses mdias, no momento em que as rvores so plantadas, corresponde ao valor do modelo para

0t = . Ou seja, altura de 5(0) 1,5 log (0 1) 1,5h = + + = (metros) e 0,08 0(0) 0,2 2 0,2d = = (metros) de dimetro.

b) 373,5 1,5 log ( 1) 1 1,333

t t= + + = + e ( ) 0,08 1,331,33 0,2 2 0,22 xd metros= .

c) 0,08 2log (2,5)0,5 0,2 2 16,52

0,08t t= =

e ( ) ( )316,52 1,5 log 16,52 1 4,11h metros= + +


12.1. a) Por inverso, temos: 310 10log 3 3 log 10MM A M A A= + = = .

b) 10log 10 3 1 3 4M M= + = + = . Ou seja, uma Magnitude de 4, na escala fornecida.

c) 6 310 1000 mmA = = .

12.2. a) ( )152 (log 2.1 10 11,4 10,2 3M = . b) ( ) 0,4426,9 (log E 11,4 E 11,4 10 14,15 ergs

3= = + .

Funo Logstica

Na natureza, os crescimentos ou decrescimentos no acontecem por tempo ilimitado. No estudo da propagao

de sismos ou de epidemias, na evoluo de doenas infeciosas e vrus ou, na disseminao de boatos ou notcias

ou, na observao dos nveis de natalidade de uma populao humana, so exemplos de que nem sempre os


modelos de crescimento exponencial e logartmico se ajustam adequadamente situao.

Os motivos so variados, tais como, fatores sociais, econmicos ou por insuficincia alimentar ou de espao.

Observamos que de um modo geral, a populao em estudo ten

Matemática 11º - Guia do Professor

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