MATEMÁTICA - 1º E 2º GRAUS OK

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    16-Jun-2015
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Online ApostilasMATEMTICACONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS, INTEIROS , RACIONAIS E REAIS CONJUNTOS DOS NMEROS NATURAIS IN = {0, 1, 2, 3, 4,...} eIN* ={ 1, 2, 3, 4, ...} =Conjuntodosnmeros naturais no nulos.Obs.: Dados dois nmeros naturais, a e b, temos que: a = b ou ab, se a b, temos que a < b ou a > b.Operaes em INDados: a, b, c e n IN, temos:a + b = c Adioa - b = c Subtrao com a > ba. b = c Multiplicaoa: b = c Diviso com a mltiplo de b.na= b radiciao com a INQuadrado perfeito (se n = 2), cubo perfeito (se n = 3), etc.e se na = b bn = aan = a.a.a. . . . a, particularmente se a2 = a . a (l-se a ao quadrado)a3 = a. a. a (l-se a ao cubo)Propriedades Operatriasa) (a + b) + c = a + (b + c), associativa da adio. b) (a. b) . c = a. (b . c), associativa da multiplicao.c) a + b = b + a, comutativa da adio.d) a. b = b . a, comutativa da multiplicao. e) a + 0 = a, elemento neutro da adio. f) a. 1 = a, elemento neutro da multiplicao. g)a.(b+c)=a. b+a. c, distribuiodamulti-plicao em relao adio.h) a0 =1 com a = 0Obs.: 1 - Seqncias para resolver expresses.1.) eliminar parnteses: ()2.) eliminar colchetes: []3.) eliminar chaves: { }Obs.: 2 - Prioridade nas Operaes1.) Potenciao e Radiciao2.) Multiplicaes e Diviso3.) Adio e Subtrao1)1+[3+(7- 2)]+52) 32 + {5+[43 -( 16 .5)]+25 }3) 42:23+{ 12+[92:(42+11)-30]}Respostas: 1)142) 63 3) 16Problemas1 - Em uma adio uma das parcelas 27. Sabe-se que a soma 115. Calcule a outra parcela.2- Adiferenaentredoisnmeros45.Osub-traendo 27. Qual o nmero?3 -Em umadiviso exata o dividendo 495 eo quociente 11. Qual o divisor.Respostas: 1) 88 2) 72 3) 45CONJUNTODOS NMEROS INTEIROS RELATIVOSZ = { ..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,... }eZ* = { ..., -3, -2, -1, +1, +2, +3,... }Notar que IN Z.Comparao em ZSejam: aebZ, temosquea=b, ouab, ento: a < b ou a> b.Exemplos:-3 -1, 1 > -5, -4 < 0INTERVALOSNo conjunto dos nmeros reais destacaremos algunssubconjuntosimportantesdeterminadospor desigualdades, chamados intervalos. Matemtica1Online ApostilasNa reta real os nmeros compreendidos entre 5 e 8 incluindo o 5 e o 8 constituem o intervalo fechado [5; 8], ou seja:[5; 8] = {x / 5 x 8}Se excluirmosos nmeros 5 e 8, chamados extremos do intervalo, temos o intervalo aberto ]5; 8[, ou seja:]5; 8[ = {x / 5 < x < 8}Consideraremos ainda os intervalos mistos:]5; 8] = {x / 5 < x 8}(Intervalo aberto esquerda e fechado direita). [5; 8[ = {x /5 x < 8}(intervalo fechado esquerda e aberto direita).Operaes em Z: Adio. Subtrao. Multiplicao e DivisoAdio e subtrao de dois nmeros inteiros com o mesmo sinal: somam-se os valores absolutos e conserva-se o sinal.Exemplos:1) +6 +3 = +92) - 4 - 5 = -9Adio de dois nmeros inteiros com sinais diferentes: subtrai-se o nmero de menor valor absoluto do nmero de maior valor absoluto e conserva-se o sinal do nmero de maior valor.Exemplos:1) +7 4 =+32) -9 + 5 = -4 3) 7 -10 = -3ExercciosEfetuar as operaes:1) +5 + 8 = 2) -4-7 = 3) -9 + 6 =4) 8 -12 =5) 23 -12 =Respostas:1) +132) -113) -34) -45) 11Para somarmos mais de dois nmeros inteiros, somamos separadamente os positivos e os negativos, depoissomamososdoisresultadosseparadamente, usando a regra anterior:Exemplos:1) -3 + 9 -7 + 5 + 2 3 6+ 4.Separando os positivos, temos: +9 +5 +2 +4 = 20.Separando os negativos, temos: -3 7 3 6 = - 19Finalmente temos: +20 -19 = +1Exerccios: Efetuar as operaes:1)-3 4 +6 6 +7 -2 = 2)+8 +3- 6 +1 5 -7+2 =Respostas: 1) -22) -4Regras de sinais para multiplicao e diviso:(+) . (+) = + ou(+): (+) = +(-). (-) = + ou (-): (-) = + (sinais iguais = +(+) . (-) = - ou(+): (-) = -(-) . (+) = - ou(-):(+)=(sinaisdiferentes= - )Exemplos:1) 3 . (-5) = -15 2) (-4) . (-3) = +123) -16: (+4) = -4 4) +2 . (+3) = +6Exerccios: Efetuar as operaes:1) (-4) . (-5) = 2) -24: (+6) = 3) +8 . (+2) = 4) (+9) . (-3) =Respostas: 1) +20 2) 4 3) +16 4) -27Potenciao com nmeros inteirosSeabasefor positivaapotnciasersempre positiva (independe do expoente).Exemplos: 1) ( +2)3= +82) ( +2)4= +16Se a base for negativa a potncia ser positiva se oexpoentefor par.Ser negativase o expoente for mpar.Exemplos:1) (-3)2 = +9 2) (-3)3 = -27Exerccios Efetuar:1)(-2)3 =2)(-4)2 =3) ( -1)8 = 4) (-1)9 =Matemtica2Online ApostilasRespostas: 1) -82) +16 3) +1 4) -1Observaes:-Quando no aparecer o sinalsubentende-se que o nmero positivo. Exemplo: 4 = +4.- - (2)4 24, pois (-2)4 = (-2). (-2). (-2). (-2) = +16 e 24 = -2.2.2.2 = -16.- Na multiplicao de diversos fatores envolvendo nmeros negativos e positivos, contamos os fatores negativos, se a quantidade de fatores neg-ativos for mpar, o produto ser negativo, se a quantidadedefatores negativosfor par, oproduto ser positivo.Exemplos:1) (-1) . (+2) . (-3). (-1) . (+2) = -12, pois existem trs fatores negativos (-1, -3 e -1).2) (+1) .(-2) .(+3) .(-1) = +6,pois existem dois fatores negativos (-2 e -1).Propriedades das operaes em ZSejam a, b e c Z.Adioa) a + b = b + a, comutativab) (a+ b) + c = a +( b+ c), associativac) a + 0 = 0 + a = a, elemento neutrod) a + b = b + a = 0, elemento oposto ou simtrico.Exemplos:-3e + 3 so simtricos-7e +7 so simtricos.Multiplicaoa)a. b = b . a, Comutativab)(a . b) . c = (a. b) . c, Associativac)a. 1 = 1 . a = a, Elemento neutroPropriedade distributiva da multiplicao em relao adio.c . (a + b) = (a + b) . c = ac + cbPotenciaoSejam a, b Z e n IN.an = a. a. a ... a n vezesSe an =b, se a > 0 b > 0 todo n IN ,se a < 0 e n mpar b < 0 se a < 0 e n par b > 0.Propriedade da potenciaoSejam a e b Z, e n e m IN, temos que:a) an . am = an+m b) an : am = an -mc) ( a. b)n = an .bnd)a0=1 coma 0e)0n = 0f) 1n = 1RadiciaoSejam a e b Z e n INtemos na = b. Se a < 0 e n par no existe raiz.Exerccios:I - Completar com os smbolos > , < ou =a) -3 ___0 b) 7 ___-8c) | -3|___ | +3|Respostas: a) < b)> c) =II - Efetuar:a) 10 +5 3 +6 -2 b) (-6) . (-3) + 2.(-4)c) 15 : 3 + 7. 2 d) 20:2Respostas: a) 4 b) 10 c) +9 d) 10Nmeros Pares e mpares Os pitagricos estudavam natureza dos nmeros, e baseado nesta natureza criaram sua filosofia e modo devida.Vamosdefinirnmeros paresemparesde acordo com a concepo pitagrica: par o nmero que pode ser dividido em duas partes iguais, sem que uma unidade fique no meio, empar aquelequenopodeser dividido em duas partes iguais, porque sempre h uma unidade no meio Uma outra caracterizao, nos mostra a preocupao com natureza dos nmeros: nmero par aquele que tanto pode ser dividido emduas partes iguais como em partesdesiguais, masdeformatal queem nenhuma destas divises haja uma mistura da naturezapar coma naturezampar, nem da mpar com a par. Isto tem uma nica exceo, que o princpio do par, o nmero 2, que no admite a diviso em partes desiguais, porque eleformadopor duasunidadese, seisto pode ser dito, do primeiro nmero par, 2. Matemtica3Online ApostilasPara exemplificar o texto acima, considere o nmero 10, que par, pode ser dividido como a soma de 5 e 5, mastambmcomoasomade7e3(queso ambos mpares) ou como a soma de 6 e 4 (ambos so pares); mas nunca como a soma de um nmero par e outro mpar. J onmero 11, que mparpode ser escritocomosomade8e3, umpar eummpar. Atualmente, definimos nmeros pares como sendo o nmero que ao ser dividido por dois tm resto zero e nmeros mpares aqueles que ao serem divididos por dois tmrestodiferentedezero. Por exemplo, 12 dividido por 2 tm resto zero, portanto 12 par. J o nmero 13 ao ser dividido por 2 deixa resto 1, portanto 13 mpar. REGRAS DE DIVISIBILIDADE DIVISIBILIDADE POR 2Um nmero divisvel por 2 quando par.Nmeros pares so os que terminam em 0, ou 2, ou 4, ou 6 , ou 8.Ex : 42 - 100 - 1.445.086 - 8 - 354 - 570 DIVISIBILIDADE POR 3Um nmero divisvel por 3 quando a soma dos seus algarismos divisvel por 3.Ex : 123 (S= 1 + 2 + 3 = 6) - 36 (S=9) - 1.478.391 ( S=33) - 570 (S=12) DIVISIBILIDADE POR 4Um nmero divisvel por 4 quando os dois ltimos algarismos formam um nmero divisvel por 4.Ex : 956 - 844 - 1.336 - 120 - 8.357.916 - 752 - 200 DIVISIBILIDADE POR 5Um nmero divisvel por 5 quando termina em 0 ou 5 .Ex : 475 - 800 - 1.267.335 - 10 - 65 DIVISIBILIDADE POR 6Um nmero divisvel por 6 quando divisvel por 2 e3 ao mesmo tempo.Ex : 36 - 24 - 126 - 1476 DIVISIBILIDADE POR 7Tomar o ltimo algarismo e calcular seu dobro. Subtrair esse resultado do nmero formado pelos algarismos restantes. Se o resultado for divisvel por 7 ento, o nmero original tambm ser divisvel por 7.Ex1 : 238 : 8 x 2 = 1623 16 = 7 : como 7 divisvel por 7 , 238 tambm divisvel.693 : 3 x 2 = 669 6 = 6363 : 3 x 2 = 66 6 = 0 : como 0 divisvel por 7, 693 tambm divisvel.Ex2 : 235 : 5 x 2 = 1023 10 = 13 : como 13 no divisvel por 7, 235 tambm no divisvel. DIVISIBILIDADE POR 8Um nmero divisvel por 8 quando os trs ltimos algarismos formam um nmero divisvel por 8.Ex : 876.400 - 152 - 245.328.168 DIVISIBILIDADE POR 9Um nmero divisvel por 9 quando a soma dos seus algarismos divisvel por 9.Ex : 36 - 162 - 5463 - 5.461.047 DIVISIBILIDADE POR 10Um nmero divisvel por 10 quando termina em 0.Ex : 100 - 120 - 1.252.780 - 1.389.731.630 DIVISIBILIDADE POR 11Quando a diferena entre as somas dos algarismos de ordem mpar e de ordem par, a partir dadireita for mltipla de 11. Matemtica4Online ApostilasEx : 7.973.207S (ordem mpar) = 7 + 2 + 7 + 7 = 23S (ordem par) = 0 + 3 + 9 = 12diferena = 11 NMEROS PRIMOSNmero Primo - aquele que s tem dois divisores: 1 e ele prprio.So Nmeros Primos : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... etc.1 no primo, tem apenas um divisor.2 o nico nmero par que primo.NMEROS COMPOSTOSSo nmeros que possuem mais de dois divisores.Ex. : 4, 6, 8, 9, 12, 14, 15, ... etc.Obs.: a) O nmero 1 no composto e nem primo.b) Zerotambm, nocompostoenemprimo (possui infinitos divisores)Decomposio de um nmero em fatores primos.- Divide - se o nmero dado pelo seu menor divisor primo.- Procede-sedamesmamaneiracomcadaquo-ciente obtido, at que se tenha o quociente 1.Ex.:72 236 2 72 = 23 . 3218 29 33 31 e 2 e 3 so primos.ExercciosDecompor em fatores primos.1) 36 2) 42 3) 896Respostas: 1) 22.322) 2.3.73) 27. 7MNIMO MLTIPLO COMUM (M.M.C.)m.m.c. entre dois nmeros o menor dos mltiplos comuns entre os nmeros, excludo o zero.Ex.:mltiplos de 10 = 0 ,20, 30, 40, ...mltiplos de 15 = 0 ,15, 30, 45, 60,...Vemos que 30 mltiplo de 10 e que 30 tambm mltiplo de 15, ento 30 m.m.c. entre 10 e 15 escreve-se m.m.c. (10,15) = 30RegraPrtica- Decompem-seosdoisnmeros em fatores primos, simultaneamente.Ex.: 10, 5 25,15 35,5 5 1, 1 2.3.5 = 30 (m.m.c.)ExercciosCalcule o m.m.c. entre:1) 18e 24 2) 60 e 2403)18, 42 e 64Respostas: 1) 72 2) 240 3) 4032MXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)Sejam os divisores de 12 = D (12) e os divisores de 18 = D (18):D(12)= (1,2,3,4,6, 12} eD(18) = (1,2,3,6,9, 18}note que 6 o maior divisor comum entre 12 e 18.Regra Prtica (Divises Sucessivas) Exerccios:Determine o m.d.c. entre:1) 36 e 24 2) 48 e 723) 384 e1204) 72, 48 e 240Respostas: 1) 12 2) 24 3) 24 4) 24Problemas:1) NoBrasil opresidentepermanece5anos no cargo, os senadores permanecem 8 anos e Matemtica5Online Apostilasos deputados federais permanecem4 anos. Havendo eleies para os trs cargos em 1994, emque ano as eleies para estes cargos ocorrero simultaneamente. 2) Trs navios fazem viagem entre dois portos. O primeiro cada 4 dias , o segundo cada 6 dias eoterceirocada9dias. Tendoestesnavios partido juntos, depois de quanto dias voltaro a sair juntos novamente? 3) Duas rodas de uma engrenagem tm 14 e 21 dentes respectivamente. Cada roda tem um dente estragado. Se num dado instante estiverem em contato os dois dentes estragados, depois de quantas voltas se repetir esse encontro?Respostas: 1) em 2034 2) 36dias 3) 42 voltasPotenciao Seabasefor positivaapotnciasersempre positiva (independe do expoente).Exemplos: 1) ( +2)3= +82) ( +2)4= +16Se a base for negativa a potncia ser positiva se oexpoentefor par.Ser negativase o expoente for mpar.Exemplos:1) (-3)2 = +9 2) (-3)3 = -27Exerccios Efetuar:1)(-2)3 =2)(-4)2 =3) ( -1)8 = 4) (-1)9 =Respostas: 1) -82) +16 3) +1 4) -1Observaes:-Quando no aparecer o sinalsubentende-se que o nmero positivo. Exemplo: 4 = +4.- - (2)4 24, pois (-2)4 = (-2). (-2). (-2). (-2) = +16 e 24 = -2.2.2.2 = -16.- Na multiplicao de diversos fatores envolvendo nmeros negativos e positivos, contamos os fatores negativos, se a quantidade de fatores neg-ativos for mpar, o produto ser negativo, se a quantidadedefatores negativosfor par, oproduto ser positivo.Exemplos:1) (-1) . (+2) . (-3). (-1) . (+2) = -12, pois existem trs fatores negativos (-1, -3 e -1).2) (+1) .(-2) .(+3) .(-1) = +6,pois existem dois fatores negativos (-2 e -1).Propriedades das operaes em ZSejam a, b e c Z.Adioa) a + b = b + a, comutativab) (a+ b) + c = a +( b+ c), associativac) a + 0 = 0 + a = a, elemento neutrod) a + b = b + a = 0, elemento oposto ou simtrico.Exemplos:-3e + 3 so simtricos-7e +7 so simtricos.Multiplicaoa)a. b = b . a, Comutativab)(a . b) . c = (a. b) . c, Associativac)a. 1 = 1 . a = a, Elemento neutroPropriedade distributiva da multiplicao em relao adio.c . (a + b) = (a + b) . c = ac + cbPotenciaoSejam a, b Z e n IN.an = a. a. a ... a n vezesSe an =b, se a > 0 b > 0 todo n IN ,se a < 0 e n mpar b < 0 se a < 0 e n par b > 0.Propriedade da potenciaoSejam a e b Z, e n e m IN, temos que:a) an . am = an+m b) an : am = an -mc) ( a. b)n = an .bnd)a0=1 coma 0e)0n = 0f) 1n = 1RadiciaoSejam a e b Z e n INtemos na = b. Se a < 0 e n par no existe raiz.Matemtica6Online ApostilasPropriedades da raiz quadradaJ sabemos que todo nmero positivo possuiraiz quadrada. Quanto vale a raiz quadrada de zero?Pense:Vale zero, claro, porque 02 2= 0. E quanto ser a raiz quadrada de - 3?Pense:Essa no existe, porque quando elevamos qualquer nmero ao quadrado, o resultado sempre positivo. Logo, nenhumnmeronegativopossui raiz quadrada. A nossa primeira propriedade ser, ento:I- Se a > 0 existea . Se a < 0, no existeaA nossa segunda propriedade uma consequncia da definio de raiz quadrada:I- Se a > 0, entoa . a= aA terceira e a quarta propriedades vo nos ajudar a operar com as razes quadradas:III- Se a e b so positivos, ento,b a ab IV- Seaebsopositivos(ebSeaebso positivos, ento babaObserve agora o exemplo seguinte, no qual aplicaremosessaspropriedadesnasoluodeuma equao:EXEMPLO3x2= 7 Soluo:A primeira coisa a fazer dividir por 3 para isolar a incgnita. 37 33x2Agora vamos extrair a raiz quadrada. Neste caso, noprecisaremoscolocar osinal +doladodireito porqueoenunciadosnospedeparadeterminar a soluo positiva. Temos ento:37xObserve agora como usamos as propriedades para dararespostadeoutraforma. PelapropriedadeIV, podemos escrever37 x sempre incmodo ter uma raiz no denominador deumafrao. Pararesolver isso, multiplicamoso numerador eodenominador dafraopeloprprio denominador. Chamamos isto de racionalizar o denominador.3 33 7xxx Pelas propriedades II e III temos que 3 3 3 e ainda, 1 2 3 7 3 7 .Ento,321xNmeros Racionais (Fraes) Umcrculo foi dividido emduas partes iguais. Dizemosqueumaunidadedivididaemduaspartes iguais e indicamos 1/2.onde: 1 = numerador e2 = denominadorUmcrculodivididoem 3partes iguais indicamos (das trs partes hachuramos 2).Quando o numerador menor que o denominador temos uma frao prpria. Observe:Observe:Quando o numerador maior que o denominador temos uma frao imprpria.Matemtica7Online ApostilasFraes EquivalentesDuasoumaisfraessoequivalentes, quando representam a mesma quantidade.Dizemos que: 63

42 21 - Para obter fraes equivalentes, devemos multi-plicar ou dividir o numerador por mesmo nmero diferente de zero.Ex: 63 33 .21 ou42 22

21 Para simplificar fraes devemos dividir o numerador e o denominador, por um mesmo nmero diferente de zero. Quando no for mais possvel efetuar as divises dizemos que a frao irredutvel.Exemplo: 63 69 22 :1218 Frao Irredutvel ou SimplificadaExemplo:43e 31Calcular o mmc (3,4):3,4 23,2 2x ento mmc (3, 4) = 123,1 31,1 1243e 31= ( ) ( )123 4 : 12e 121 3 : 12 temos:129e 124A frao 31 equivalente a 124.A frao 43 equivalente 129.Exerccios:1) Achar trsfraesequivalentessseguintes fraes:1)412)32Respostas: 1) 164 ,123 ,822) 128 ,96 ,64Comparao de fraesa)Fraes de denominadores iguais.Se duas fraes tem denominadores iguais a maior ser aquela: que tiver maior numerador.Ex.:4341 ou 41 43< >b) Fraes com numeradores iguaisSeduas fraes tiveremnumeradores iguais, a menor ser aquela que tiver maior denominador.Ex.: 47 57 ou 57 47< >c) Fraes comnumeradores e denominadores receptivamente diferentes.Reduzimos ao mesmo denominador e depois comparamos. Exemplos:31

32> denominadores iguais (ordem decrescente)Matemtica8Online Apostilas34

54>numeradores iguais (ordem crescente)Simplificao de fraesPara simplificar fraes devemos dividir o numerador e o denominador por um nmero diferente de zero.Quando no for mais possvel efetuar as divises, dizemos que a frao irredutvel. Exemplo:23 33

: 6: 9 22

: 12: 18 Frao irredutvel ou simplificada.Exerccios: Simplificar 1) 1292) 4536Respostas: 1) 432)54Reduo de fraes aomenordenominador comumEx.: 43e 31Calcular o mmc (3,4):3,4 23,2 2 x ento mmc (3, 4) = 123,1 3 1,1 1243e 31= ( ) ( )123 4 : 12e 121 3 : 12 temos:129e 124A frao 31 equivalente a 124.A frao 43 equivalente 129.Exemplo: 54? 32numeradores diferentes e denominadores diferentesm.m.c.(3, 5) = 1515(15.5).4 ? 153).2 : (15 = 1512

1510 02Exemplo: Resolver a inequao: - 4x2 + 4x - 1 < 0Matemtica36Online Apostilas- 4x2 + 4x -1 = 04x2 - 4x + 1 = 0= (-4)2 - 4(4)(1) = 16 - 16 = 0( )x 42 44812Pelo esquema, temos :S = x R | ''x12Esquema: a = - 4 < 0PROVA SIMULADA DE MATEMTICA1. Se der R$12,00 a cada garoto, ficarei ainda com R$ 60,00. Para dar R$15,00 a cada um precisarei de mais R$ 6,00. Quantos so os garotos ? (12X + 60 = 15X 6)2. Distribu certo nmero de selos entre os alunos de umadasminhasturmas, cabendo5paracada um. Se eu fosse distribuir para a outra turma, que tem 31 alunos a mais, eu teria de dar 2 selos a cadaalunoemesobrar1. Quantosseloseu distribu?3. Duascidades, AeB, distam360kmumada outra. s 8 horas, um carro sai de A em direo a B e outro de B em direo a A, sendo que os dois se cruzam s12 horas num ponto a 120 km de A. Qual a velocidade do carro que partiu de A?4. A diferena entre dois nmeros 15. Multiplicando-se o maior pr 11, a diferena passa a ser 535. Calcular os dois nmeros. 5. O produto de um nmero a pelo nmero 263 p. Acrescentando-se 4 unidades ao fator a e conservando o fator 263, qual ser o novo produto? 6. A soma de dois nmeros 90. Calcule o menor dessesnmeros, sabendoqueoprodutodeles dividido por sua diferena d o maior. 7. Seja o produto 456 x 34. Aumenta-se o muItiplicador de 1. De quanto devemos aumentar o multiplicando para que o produto exceda a antigo de 526? 8. Entre os nmeros inteiros inferiores a 200, quais soaquelesque podemservir dedividendo,em uma diviso de nmeros inteiros, cujo quociente 4 e o resto 35? 9. So dados dois nmeros dos quais o maior 400. Tirando-se210deumdelese148dooutro, a soma dos restos 200. Qual o menor nmero ? 10. Umaluno ao multiplicar umnmero por 60, esqueceu-se de colocar o zero direita e obteve inferior 291.006doquedeveriater encontrado. Calcular o nmero11. Dois alunos tm, cada um, certo nmero de canetas. Seo1desseumaao2, teriamigual nmero; se o 2 desse uma ao 1, este ter ento duas vezes mais do que o 2.. Quem tem o maior nmero de canetas, possui:a) 5b) 7c) 9d) 11 e) 1312. Voc e eu temos juntos R$ 615,00. Se voc me desseR$140,00, ficariacomR$65,00maisdo queeu. SeeulhedesseR$20,00vocficaria com:a) R$225,00b) R$285,00c)R$300,00d) R$ 400,00e) R$ 500,0013. Calcular 35de um nmero ou de uma quantia multiplicar 35 por esse nmero ou essa quantia ?14. Quandosedizque14deumnmero12, a frao que corresponde ao nmero 44 ?15. Se eu gasto 25ou 37ou 19de meu dinheiro, esse dinheiro representado pela frao 55ou 77 ou99, respectivamente?.16. Se35demeuordenadosoR$300,00,15de meu ordenado corresponder a R$ 300,00 : 3 ? 17. Quanto14donmerodeminutos deuma hora ?18. Quanto vale 35 de R$100,00?Matemtica37Online Apostilas19. Um aluno de ginsio obrigado a freqentar, no mnimo, 34das aulas dadas durante o ano letivo. Se o seu ginsio der 720 aulas, quantas no mnimo ter de freqentar ?20. Cada aula do antigo Curso de Artigo 99, da Rdio Ministrio da Educao, tinha a durao de 512 da hora. Quantos minutos de durao tinha cada aula ?21. Comprei um apartamento por R$420.000,00. Paguei23deentradaeorestoem10meses. Quanto dei de entrada ? 22. Umcomercirio gastou13de seu ordenado, comprando umpequeno rdio por R$ 250,00. Qual o seu ordenado ? 23. Dois teros de uma pea de fazenda medem 90 metros. Quantos metros tem a pea ? 24. Se 34de meu ordenado R$ 660,00, qual o meu ordenado ?25. Qual areaaproximadadoBrasil se25dessa rea do 340.000 km2 ?26. Gastei R$ 720,00 e fiquei ainda com 25de meu ordenado. Qual o meu ordenado?27. Umatorneira encheum tanqueem 3horas.Em quantos minutos enche 34 do tanque ?28. Gasto 25 do meu ordenado com aluguel de casa e 12dele em outras despesas. Fico ainda com R$ 200,00. Qual o meu ordenado ?29. Pedro gastou13da quantia que possua e, depois,29dessaquantia. FicouaindacomR$ 40,00. Quanto Pedro possua ? 30. Num time de futebol carioca, metade dos jogadores contratados so cariocas,13so dos outros Estados e os 4 restantes so estrangeiros. Quantos jogadores contratados tem o clube ? 31. Umatorneiraencheumtanqueem20horase outraem30horas. Emquantotempoasduas juntas enchero o tanque?32. Umaempresaconstrutorapodefazer umaobra em 40 meses e outra em 60 meses. Em quanto tempo as duas, juntas, podem fazer essa obra?33. Que horas so se o que ainda resta para terminar o dia 23 do que j passou ?34. Paulogastou34do que possuae,aseguir, a metade do resto. Ficou ainda comR$ 7,00. Quanto Paulo possua ?35. Dei 35 do meu dinheiro a meu irmo e metade do resto a minha irm. Fiquei ainda com os R$ 8,00. Quanto eu possua?36. Olucrodeumasociedadeem1965, foi igual a R$1.400.000,00. Esselucrofoi divididoentreos trs scios de modo que o primeiro recebeu 23 da parte dosegundo e este45daparte do terceiro. Qual a parte de cada um ?37. Asoma, dedoisnmeros595eumdeles iguaI a 125do outro. Quais so esses nmeros? 38. A metade de minha idade aumentada de seus 45 igual a 52 anos. Qual a minha idade ?39. A soma de dois ngulos 90 graus. Um deles 23 do outro. Quais as medidas desses ngulos ? 40. Diminuindo-se 8 anos da idade de meu filho obtm-se os35de sua idade. Qualaidade de meu filho ?41. Duas pessoas tm juntas 76 anos. Quantos anos temcadaumase25daidadedamaior igual a 49 da idade da menor? Matemtica38Online Apostilas42. Quandodevosubtrair donumerador dafrao 324349 para torn-la nove vezes maior?43.A soma da metade com a tera parte da quantia que certa pessoa tem igual a R$15,00. Quanto possui esta pessoa ? 44. Uma pessoa despendeu certa quantia na compra de um terreno e o vendeu por R$ 35.000,00; nesta venda ganhou 34do que despendera. Por quanto comprou o terreno? 45. Determinar a frao-equivalente a 715 cuja soma dos termos 198. 46. Acharasfraesprpriasirredutveistaisqueo produto de seus termos seja 84. 47. Qual a frao que, acrescida de seu quadrado, d como soma outra frao que representa a frao inicial multiplicada por 8227? 48. Um excursionista fez uma viagem de 360 km. Os 34dopercursoforamfeitosdetrem,18a cavaloeorestodeautomvel. Quantoskm andou de automvele que frao representa da viagem total? 49. Paraladrilhar57deumptioempregaram-se 46.360 ladrilhos: Quantos ladrilhos iguais sero necessrios para ladrilhar38do mesmo ptio? 50. Dois lotes tm a mesma rea. Os 34 da rea do primeiro excedem de 140 m2os 25da rea do segundo. A rea de cada lote de ...................... m2. 51. Pedro e Paulo encarregados de uma obra, fariam todo o trabalho em 12 dias. No fim do quarto dia de trabalho, Pedro adoeceu e Paulo concluiu o servio em 10 dias. Que frao da obra cada um executou? 52. CludiaeVerapossuamjuntas R$100,00. Ao compraremumpresentedeR$23,00para oferecer a uma amiga comum, cada qual deu uma quantia diferente, na medida de suas possibilidades. Cludia entrou com14do dinheiro de que dispunha e Vera com 15do seu. Calcule com quanto Cludia contribuiu? 53. Numacestahavialaranjas. Deu-se25auma pessoa, a tera parte do resto a outra e ainda restam 10 laranjas. Quantas laranjas havia na cesta ? 54. Paulo e Antnio tmjuntos R$123,00. Paulo gastou25eAntnio37doquepossuam, ficando comquantiasiguais.Quantopossua cada um ? 55. Dividir um nmero por 0,0625 equivale a multiplic-lo por:a) 6,25b) 1,6 c) 116 d) 16e) 62510056. Afraoequivalentea3451, cujostermostm para menor mltiplo comum 150, :a) 1015b) 23c) 3050d) 5075e) 203057. Duas torneiras so abertas juntas, a 1. enchendo umtanque em5h, a 2. enchendo outro tanque de igual capacidade em 4h. No fim de quanto tempo o volume que falta para encher o 2. ser 14 do volume que falta para encher o 1. tanque? 58. Um negociante ao falir s pode pagar 1736 do que deve. Se possusse mais R$ 23.600,00 poderiapagar 80%dadivida. Quantodeve ele? 59. Osompercorrenoar340metrosporsegundo. Que distncia (em quilmetros) percorrer em um minuto? 60. Mediocomprimento de um corredor e encontrei 8,40 m. Verifiquei, depois, que o metro utilizado era de fabricao defeituosa, pois seucomprimentotinhamenos2centmetros do que o verdadeiro. Qual a medida exata do corredor ? Matemtica39Online Apostilas61. Medi ocomprimentodeumterrenoeachei 18 passos e 2 ps. Verifiquei, depois, que o comprimento de meu passo vale 56 cm e o de meu p 25 cm. Qual o comprimento do. terreno em metros? 62. Com 22 livros de 3 cm e 7cm de espessura forma-seumapilhade1,06mdealtura. Quantos livrosforamusadoscomaespessurade3 cm? 63.A rea de uma sala de 45 m2. Quantos tacos de madeirade150cm2seronecessriospara taquear essa sala? 64. Asoma das reas de dois terrenos de 50 hectares. Oprimeiroterrenotemmais1.400 decmetros quadrados que o segundo. A rea do segundo de .. . . . . . . . . . . . .. quilmetros quadrados. 65. Dividiu-se um terreno de 200 hectares de rea em duas partes. A quarta parte da primeira igual asextapartedasegunda. Aprimeiraparte tem. . . . . . . . . . . . . . . . . . decmetros quadrados. 66. Um terreno retangular com 8,40 m de frente e 22 m de fundo foi vendido por R$ 27.720,00. Por quanto foi vendido o metro quadrado?67. Um campo de forma retangular mede 3 dam de frentee 14hm defundo.Sabendo que 23 da superfcie esto cultivados, pede-se em ha, a rea da parte no cultivada. 68. Emcerta cidade umha de terreno custa R$ 80.000,00. Calcule o lado de umterreno quadrado adquirido por R$7.200,00. 69. Areadeumtrapziodequatrodecmetros quadradosdoismetrosquadradosevintee quatro e 24 decmetros quadrados; sabendo-sequeasbasesmedemrespectivamente5 metros e3metros, calcular aalturadesse trapzio, dando a resposta em milmetros.70. As dimenses de um retngulo so 2,25 m e 0,64 m. Oladodoquadradoequivalenteaesse retngulo tem por medida:a) 1,2 m b) 3,6 mc) 0,18 md) 12 me) 0,72 m71. Se eu diminuir a rea de um terreno os seus 58 , a rea passar a ter 112,50 dam2, mas se eu acrescentar. . . . . . . . . . . . . . .. . centiares ele ficar com 5 hectares e 4 ares. 72. Um muro de 18,25m de comprimento dever levar duas faixas de ladrilhos paralelos entre s em todaasuaextenso. Aprimeirafaixamede 1,25 m de largura e a segundo 0,75 m. Cada ladrilho, que quadrado, mede 0,25 m de lado e custa R$ 3,00. Quanto custaro os ladrilhos para esta obra ? 73. Dois teros de uma caixa cujo volume 2.760 m3 estocheiosdeumcertoleo. Quantosdal d'guadevemser colocadosnacaixapara acabar de ench-la? 74. Umreservatrio de gua temasdimenses: 2,4 m; 5 m e 1m. Quantos dal de gua podemos depositar no referido reservatrio? 75. Umacaixad'guatemasseguintesdimenses: 1,20 m de comprirnento; 8 dm de largura e 50 cm de altura. Calcular quantos litros d'gua h nesta caixa, sabendo-se que faltam 5 cm para ficar cheia. 76. Uma sala de 0,007 Km de comprimento, 80 dm de largura e 400 cm de altura, tem uma porta de 2,4 m2de rea e uma janela de 2m2de rea. Quantos litros detinta sero precisos para pintar a sala toda, com o teto, sabendo-se que com 1 L de tinta pinta-se 0,04 dam2 ? 77. Umterrenoretangular de27aresderea, tem 3.000cmdelargura. Esseterrenodeveser cercado comummuro de dois metros de altura. Sabendo-se que cada metro quadrado de muro construdo consome 300 dm3de concreto, pergunta-se, quantos metros cbicosdeconcretoseroconsumidos no muro todo ? 78. Dois vasos contm em conjunto 3,5 hl. Tirando-se 75 L do primeiro e 10,5 dal do segundo, ficam quantidades iguais. A capacidade do primeiro vaso de . . . .. . . . . . . . . . . . . e a do segundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79. Um reservatrio estava cheio de gua. Esvaziou-se esse reservatrio de13da sua capacidadeeretirou-sedepois4hl dgua. Quantoslitrosficaramseovolumerestante corresponde a35da capacidade total do reservatrio? 80. Calcule, em hl, a capacidade de um reservatrio, com a forma de um paralelepipedo retngulo cujo comprimento o triplo da largura e esta o dobrodaaltura, sendoqueasomadastrs dimenses igual a 18 m. Matemtica40Online Apostilas81. A soma das capacidades de dois reservatrios de 20 hl. O primeiro contm gua at os 34 de sua capacidade e o segundo at a metade. Se colocarmos a gua do primeiro no segundo, este ficar cheio. Qual o volume do segundo em m3 ? 82. Quantas toneladas pesam40.000 m3de certa substncia, sabendo-se que um litro pesa 2,5 kg? 83. Um tanque de 1,5 m de comprimento, 12 dm de largura e 80 cm de altura est cheio de leo do qualcada hlpesa 80kg. Qualo peso, em toneladas, do leo contido no reservatrio? 84. Ummetrodefiopesa487,5g. Essefiopara fazer pregos de 0,09 mde comprimento. Quantospregospoderoser feitoscomum rolo de 35,1 kg desse mesmo fio?85. Seumlitrodeleopesa960g, qual ovolume ocupado por 2,4 t desse leo? 86. Um vaso cheio de um certo lquido pesa mais 1kg doqueseestivessecheiodegua. Umdal desselquidopesa12kg. Acapacidadedo vaso de . .. ... . .... . ... . .litros.87. Um tanque est cheio de gua. Esvaziando-se um tero de sua capacidade restam 21,35 hl mais doqueasuaquartaparte. Opesodagua contida no tanque, quando cheio ......................... toneladas. 88. Doisvasoscheiosdeguapesam2,08kg. Um contm 14 cl mais do que o outro. Determinar, em litros, a capacidade de cada um, sabendo-se que os vasos vazios pesam juntos 12 hg. 89. Analizando certa amostra de leite, verificou-se que a ele havia sido adicionado gua. Um litro de leite adulterado pesava 1.015g. Calcule quantos ml de gua adicionada contm 1 litro dessaamostra, sabendo-sequeoleitepuro pesa1.025gporlitroeaagu1.000gpor litro? 90. Um avio consome 2,3 dal de gasolina por minuto de vo. Sabendo-se:1.) sua velocidade de cruzeiro de 450km/h;2.) a gasolina pesa 0,7 kg por litro;3.)oavio deve transportar 60% amais do que a gasolina necessria;determinar quantas toneladas de gasolina devetransportar esseavioparafazer uma viagem de 1.125 km. 91. Qual o nmero, cujos 25 mais os 37 mais 54 igual ao prprio nmero, mais 72? 92. Que horas so, se o que ainda resta para terminar o dia 23do que j passou?93. As idades de Joo e Pedro somam 45 anos e h 5 anos a idade de Joo era quatro vezes a de Pedro. Que idades tm agora Joo e Pedro?94. Roberto tem24 anos e Paulo 10. No fimde quantos anos a idade de Roberto ser o triplo da de Paulo? . 95. Dois indivduos tm: o primeiro 45 anos e o segundo 15. Depois de quantos anosa idade do segundo ser umquarto da idade do primeiro? 96. A soma das idades de A e B 35. Daqui a5 anos a idade de A ser o dobro da de B. Calcular as idades de A e B. 97. Umpai tem32anoseoseufilho14. Quando aconteceu ou acontecer que a idade de um seja o triplo da do outro?98. Um pai diz a seu filho: hoje, a sua idade 27 da minha e h 5 anos era 16. Quala idade do pai e qual a do filho? 99. Resolva o problema: H 18 anos a idade de uma pessoa era o duplo da de outra; em 9 anos a idade da primeira passou a ser54da segunda. Que idade tm as duas atualmente? 100. Umapessoapossui 2cavaloseumaselaque valeR$15,00. Colocandoaselanoprimeiro cavalo, vale este o dobro do segundo. Colocando-a no segundo, vale este R$ 30,00 menos que o primeiro. Quanto vale cada cavalo? RESPOSTAS1) 222) 1053) 30km/h4) 52 e 375) p +1.0526)307) 28)179, 183, 187, 191, 195 e1999)158Matemtica41Online Apostilas10)5.38911)b12)e13)Sim 14)Sim15)Sim 16)Sim17)15 min18)R$ 60,00 19)54020)25 mim 21)R$ 280.000,0022)R$ 750,0023)13524)R$ 880,0025) 850.000 km226)R$ 1.200,0027)135min 28)R$ 2.000,0029)R$ 90,00 30)2431)12h32)24 meses 33)14h 24 min34)R$ 56,0035)R$ 40,00 36)R$ 320.000,00 R$ 480.000,00 R$ 600.000,0037)175 e 42038)40 anos39)54 e 36 graus 40)20 anos41) 40 e 3642)28843)R$ 18,0044)R$ 20.000,0045)63/13546)1/84, 3/28, 4/21, e 7/1247)55/2748) 45 km e 1/849)24.33950)40051)1/6 e 5/652)R$ 60,0053) 2554)R$ 60,00 e R$63,0055)d56)d57)3h 45 min58)R$ 72.000,0059)20,4 km 60)8,232 m 61)10,58m62)1263)3.00064)0,18 65)8.00066)R$ 150,0067)0,025 h68)30 m69)100.560 mm70)a71)20.40072)R$ 1.752,0073)92 dal74)1.200 dal75)432 L76)56,9 L77)14478)190 L e 160 L79) 3.600 L80)960 hl81)1,200 m382)100.000t83)1,152t84)80085)2.500 dm386)587)5,12488)0,32 L e 0,46 L89)400 ml90)3,864 t91)-10592) 14h 24 min93)33 e 1294)H 3 anos95)H 5 anos96)25 e 1097)H 5 anos98)35 e 10 anos99)24 e 21100)R$ 60,00 e R$ 105,00FUNCOES IntroduoO estudo de funes um dos mais importantes da matemtica, onde se preocupa estabelecer uma relao entre duas grandezas variveis, sendo aplicado tambm a diversas cincias.Par ordenado Dado dois elementos x e y de umconjunto e estabelecidoentreelesumadeterminadadisposio (ou ordem), isto , x sendo o primeiro e y o segundo elemento, formamos o par ordenado (x,y). A igualdade entre dois pares ordenados ser atendida se os primeiros termos estiverem iguais entre si e os segundos termos tambm iguais entre si: (a,b) = (c,d) (a = c e b = d). Todo par ordenado de nmeros reais representado no plano cartesianopor um ponto, tal plano caracterizado por dois eixos perpendiculares entresi; oeixodasabscissas(eixox)eoeixodas ordenadas (eixo y), tendo a origem do sistema o ponto O (0,0). Dados dois conjuntos, podemos formar pares ordenados atravs de uma relao entre eles, o Matemtica42Online Apostilasconjunto formado por estes pares ordenados denominado produto cartesiano definido por: A x B = { (x,y) / x E A e Y E B}.Quando A ou B vazios, temos que A x B vazio. 1 - DefinioDados dois conjuntos A e B no vazios , chama-se funo (ou aplicao) de A em B, representada por f : A B ; y = f(x) , aqualquerrelaobinriaqueassociaacada elemento de A , um nico elemento de B .Portanto , para que uma relao de A em B seja umafuno , exige-se queacada x Aesteja associado um nico y B , podendo entretanto existir y B que no esteja associado a nenhum elemento pertencente ao conjunto A.Obs : na notao y = f(x), entendemosque y imagem de x pela funo f, ou seja: y est associado a x atravs da funo f.Exemplo:f(x) = 4x+3 ; ento f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto , 11 imagem de 2 pela funo f ; f(5) = 4.5 + 3 = 23 , portanto 23 imagem de 5 pela funo f , f(0) = 4.0 + 3 = 3, etc. Paradefinir umafuno, necessitamosdedois conjuntos (Domnio e Contradomnio ) e deuma frmula ou uma leique relacione cada elemento do domnio a um e somente um elemento do contradomnio .OO- O conjunto A o domnio da funo.- O conjunto B o contradomnio da funo.- O elemento y de B, associado ao elemento x de A, denominado imagem de x.- O subconjunto de B formado pelos elementos que soimagensdoselementosdeAdenominado conjunto imagem ou apenas imagem da funo.QuandoD(f) ReCD(f) R, sendoRo conjunto dos nmeros reais , dizemos que a funo f umafuno real de varivel real. Na prtica , costumamosconsiderar umafunoreal devarivel realcomo sendo apenas a leiy = f(x) que a define , sendo o conjunto dos valores possveis para x , chamado dedomnioe o conjunto dos valores possveis para y , chamado de conjunto imagemda funo . Assim , por exemplo , para a funo definida por y = 1/x , temos que o seu domnio D(f) = R* , ou seja o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se que no existe diviso por zero) , e o seu conjunto imagem tambm R* , j que se y = 1/x , ento x = 1/y e portanto y tambm no pode ser zero .Dada uma funo f : A B definida por y = f(x) , podemos representar os pares ordenados (x , y) f onde x A e y B ,num sistema de coordenadas cartesianas . O grfico obtido ser o grfico da funo f .Assim , por exemplo , sendo dado o grfico cartesiano de uma funo f , podemos dizer que:a) a projeo da curva sobre o eixo dos x , nos d o domnio da funo .b) a projeo da curva sobre o eixo dos y , nos d o conjunto imagem da funo .c) toda reta verticalque passa por um ponto do domniodafuno, interceptaogrficoda funo em no mximo um ponto .Veja a figura abaixo:Matemtica43Online Apostilas2 -Tipos de funes2.1 - Funo sobrejetora aquela cujo conjunto imagem igual ao contradomnio .Exemplo:2.2 - Funo injetoraUma funo y = f(x) injetora quando elementos distintos do seu domnio , possuem imagens distintas, isto : x1 x2 f(x 1) f(x2) .Exemplo:2.3 - Funo bijetoraUma funo dita bijetora , quando ao mesmo tempo , injetora e sobrejetora .Exemplo:Exerccios resolvidos:1 - Considere trs funes f, g e h, tais que:A funo f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.A funo g atribui a cada pas, a sua capitalA funo h atribui a cada nmero natural, o seu dobro. Podemos afirmar que, das funes dadas, so injetoras:a) f, g e h b) f e h c) g e hd) apenas he) nenhuma delasSoluo:Sabemos que numa funo injetora, elementos distintos do domnio, possuem imagens distintas, ou seja: x1 x 2 f(x 1) f(x 2) .Logo, podemos concluir que:f no injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade.g injetora, pois no existem dois pases distintos com a mesma capital.h injetora, pois dois nmeros naturais distintos, possuem os seus dobros tambm distintos.Assim que conclumos que a alternativa correta a de letra C.2 - Seja f uma funo definida em R - conjunto dos nmeros reais - tal quef(x - 5) = 4x. Nestas condies, pede-se determinar f(x + 5).Soluo:Vamos fazer uma mudana de varivel em f(x - 5) = 4x, da seguinte forma:x - 5 = u x = u + 5 Substituindo agora(x - 5)pela nova varivel uex por (u + 5), vem:f(u) = 4(u + 5) f(u) = 4u + 20.Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos:f(x + 5) = 4(x+5) + 20 f(x+5) = 4x + 40 Agora resolva este:A funo f em R tal que f(2x) = 3x + 1. Determine 2.f(3x + 1).Resp: 9x + 53 - Paridade das funesMatemtica44Online Apostilas3.1 - Funo parA funo y = f(x) par, quando x D(f) , f(- x ) = f(x), ouseja, paratodoelementodoseudomnio,f( x ) = f ( - x ). Portanto , numa funo par, elementos simtricos possuem a mesma imagem. Uma conseqncia desse fato que os grficos cartesiano das funes pares, so curvas simtricas em relao ao eixo dos y ou eixo das ordenadas.Exemplo:y = x4 + 1 uma funo par, pois f(x) = f(-x), para todo x. Por exemplo, f(2) = 24 + 1 = 17 e f(- 2) = (-2)4 + 1 = 17O grfico abaixo, de uma funo par.4.2 - Funo mparA funo y = f(x) mpar , quando x D(f) , f( - x)=-f(x), ouseja, paratodoelementodoseu domnio, f( - x) = - f( x ). Portanto, numa funo mpar, elementos simtricos possuemimagens simtricas. Uma conseqncia desse fato que os grficos cartesianos das funes mpares, so curvas simtricas emrelao ao ponto (0,0), origemdo sistema de eixos cartesianos.Exemplo:y = x3 uma funo mpar pois para todo x, teremos f(- x) = - f(x). Por exemplo, f( - 2) = (- 2)3 = - 8 e - f( x) = - ( 23 ) = - 8.O grfico abaixo de uma funo mpar:Nota: se uma funo y = f(x) no par nem mpar, dizemos que ela no possui paridade.Veja abaixo o comportamento de uma funo par quando x varia no intervalo[-11].ExemploO grfico abaixo, representa uma funo que no possui paridade, pois a curva no simtrica em relao ao eixo dos x e, no simtrica em relao origem.1 - FUNO INVERSADada uma funo f : A B , se f bijetora , ento define-se a funo inversa f -1 como sendo a funo de B em A , tal que f -1 (y) = x . Matemtica45Online ApostilasVeja a representao a seguir: bvio ento que:a) para obter a funo inversa , basta permutar as variveis x e y .b) o domnio de f -1 igual ao conjunto imagem de f .c) o conjunto imagem de f -1 igual ao domnio de f .d) os grficos de f e de f -1 so curvas simtricas em relao reta y = x ou seja , bissetriz do primeiro quadrante .Exemplo:Determine a INVERSA da funo definida por y = 2x + 3.Permutando as variveis x e y, fica: x = 2y + 3Explicitando y em funo de x, vem:2y = x - 3 y = (x - 3) / 2, que define a funo inversa da funo dada.O grfico abaixo, representa uma funo e a sua inversa. Observe que as curvas representativas de f e de f-1, so simtricas em relao reta y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.Exerccio resolvido:A funo f: R R , definida por f(x) = x 2 :a) inversvel e sua inversa f -1 (x) = x b) inversvel e sua inversa f -1(x) = - x c) no inversveld) injetorae) bijetoraSOLUO:J sabemos que somente as funes bijetoras so inversveis, ouseja, admitemfunoinversa. Ora, a funo f(x) = x2, definida em R - conjunto dos nmeros reais - no injetora, pois elementos distintos possuem a mesma imagem. Por exemplo,f(3) = f(-3) = 9. Somente por este motivo, a funo no bijetora e, em conseqncia, no inversvel.Observe tambm que a funo dada no sobrejetora, pois o conjunto imagem da funo f(x) = x2 o conjunto R + dos nmeros reais no negativos, o qual nocoincidecomocontradomniodadoque igual a R. A alternativa correta a letra C. 2 - FUNO COMPOSTAChama-se funo composta ( ou funo de funo) funoobtidasubstituindo-seavarivel independente x , por uma funo.Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) .Veja o esquema a seguir:Obs : atente para o fato de que fog gof , ou seja, a operao " composio de funes " no comutativa .Exemplo:Dadas as funes f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se determinar gof(x) e fog(x).Teremos:gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3Observe que fog gof . Matemtica46Online ApostilasMatemtica47