MATEMTICA - 1 E 2 GRAUS OK

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Online ApostilasMATEMTICACONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS, INTEIROS , RACIONAIS E REAIS CONJUNTOS DOS NMEROS NATURAIS IN = {0, 1, 2, 3, 4,...} eIN* ={ 1, 2, 3, 4, ...} =Conjuntodosnmeros naturais no nulos.Obs.: Dados dois nmeros naturais, a e b, temos que: a = b ou ab, se a b, temos que a < b ou a > b.Operaes em INDados: a, b, c e n IN, temos:a + b = c Adioa - b = c Subtrao com a > ba. b = c Multiplicaoa: b = c Diviso com a mltiplo de b.na= b radiciao com a INQuadrado perfeito (se n = 2), cubo perfeito (se n = 3), etc.e se na = b bn = aan = a.a.a. . . . a, particularmente se a2 = a . a (l-se a ao quadrado)a3 = a. a. a (l-se a ao cubo)Propriedades Operatriasa) (a + b) + c = a + (b + c), associativa da adio. b) (a. b) . c = a. (b . c), associativa da multiplicao.c) a + b = b + a, comutativa da adio.d) a. b = b . a, comutativa da multiplicao. e) a + 0 = a, elemento neutro da adio. f) a. 1 = a, elemento neutro da multiplicao. g)a.(b+c)=a. b+a. c, distribuiodamulti-plicao em relao adio.h) a0 =1 com a = 0Obs.: 1 - Seqncias para resolver expresses.1.) eliminar parnteses: ()2.) eliminar colchetes: []3.) eliminar chaves: { }Obs.: 2 - Prioridade nas Operaes1.) Potenciao e Radiciao2.) Multiplicaes e Diviso3.) Adio e Subtrao1)1+[3+(7- 2)]+52) 32 + {5+[43 -( 16 .5)]+25 }3) 42:23+{ 12+[92:(42+11)-30]}Respostas: 1)142) 63 3) 16Problemas1 - Em uma adio uma das parcelas 27. Sabe-se que a soma 115. Calcule a outra parcela.2- Adiferenaentredoisnmeros45.Osub-traendo 27. Qual o nmero?3 -Em umadiviso exata o dividendo 495 eo quociente 11. Qual o divisor.Respostas: 1) 88 2) 72 3) 45CONJUNTODOS NMEROS INTEIROS RELATIVOSZ = { ..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,... }eZ* = { ..., -3, -2, -1, +1, +2, +3,... }Notar que IN Z.Comparao em ZSejam: aebZ, temosquea=b, ouab, ento: a < b ou a> b.Exemplos:-3 -1, 1 > -5, -4 < 0INTERVALOSNo conjunto dos nmeros reais destacaremos algunssubconjuntosimportantesdeterminadospor desigualdades, chamados intervalos. Matemtica1Online ApostilasNa reta real os nmeros compreendidos entre 5 e 8 incluindo o 5 e o 8 constituem o intervalo fechado [5; 8], ou seja:[5; 8] = {x / 5 x 8}Se excluirmosos nmeros 5 e 8, chamados extremos do intervalo, temos o intervalo aberto ]5; 8[, ou seja:]5; 8[ = {x / 5 < x < 8}Consideraremos ainda os intervalos mistos:]5; 8] = {x / 5 < x 8}(Intervalo aberto esquerda e fechado direita). [5; 8[ = {x /5 x < 8}(intervalo fechado esquerda e aberto direita).Operaes em Z: Adio. Subtrao. Multiplicao e DivisoAdio e subtrao de dois nmeros inteiros com o mesmo sinal: somam-se os valores absolutos e conserva-se o sinal.Exemplos:1) +6 +3 = +92) - 4 - 5 = -9Adio de dois nmeros inteiros com sinais diferentes: subtrai-se o nmero de menor valor absoluto do nmero de maior valor absoluto e conserva-se o sinal do nmero de maior valor.Exemplos:1) +7 4 =+32) -9 + 5 = -4 3) 7 -10 = -3ExercciosEfetuar as operaes:1) +5 + 8 = 2) -4-7 = 3) -9 + 6 =4) 8 -12 =5) 23 -12 =Respostas:1) +132) -113) -34) -45) 11Para somarmos mais de dois nmeros inteiros, somamos separadamente os positivos e os negativos, depoissomamososdoisresultadosseparadamente, usando a regra anterior:Exemplos:1) -3 + 9 -7 + 5 + 2 3 6+ 4.Separando os positivos, temos: +9 +5 +2 +4 = 20.Separando os negativos, temos: -3 7 3 6 = - 19Finalmente temos: +20 -19 = +1Exerccios: Efetuar as operaes:1)-3 4 +6 6 +7 -2 = 2)+8 +3- 6 +1 5 -7+2 =Respostas: 1) -22) -4Regras de sinais para multiplicao e diviso:(+) . (+) = + ou(+): (+) = +(-). (-) = + ou (-): (-) = + (sinais iguais = +(+) . (-) = - ou(+): (-) = -(-) . (+) = - ou(-):(+)=(sinaisdiferentes= - )Exemplos:1) 3 . (-5) = -15 2) (-4) . (-3) = +123) -16: (+4) = -4 4) +2 . (+3) = +6Exerccios: Efetuar as operaes:1) (-4) . (-5) = 2) -24: (+6) = 3) +8 . (+2) = 4) (+9) . (-3) =Respostas: 1) +20 2) 4 3) +16 4) -27Potenciao com nmeros inteirosSeabasefor positivaapotnciasersempre positiva (independe do expoente).Exemplos: 1) ( +2)3= +82) ( +2)4= +16Se a base for negativa a potncia ser positiva se oexpoentefor par.Ser negativase o expoente for mpar.Exemplos:1) (-3)2 = +9 2) (-3)3 = -27Exerccios Efetuar:1)(-2)3 =2)(-4)2 =3) ( -1)8 = 4) (-1)9 =Matemtica2Online ApostilasRespostas: 1) -82) +16 3) +1 4) -1Observaes:-Quando no aparecer o sinalsubentende-se que o nmero positivo. Exemplo: 4 = +4.- - (2)4 24, pois (-2)4 = (-2). (-2). (-2). (-2) = +16 e 24 = -2.2.2.2 = -16.- Na multiplicao de diversos fatores envolvendo nmeros negativos e positivos, contamos os fatores negativos, se a quantidade de fatores neg-ativos for mpar, o produto ser negativo, se a quantidadedefatores negativosfor par, oproduto ser positivo.Exemplos:1) (-1) . (+2) . (-3). (-1) . (+2) = -12, pois existem trs fatores negativos (-1, -3 e -1).2) (+1) .(-2) .(+3) .(-1) = +6,pois existem dois fatores negativos (-2 e -1).Propriedades das operaes em ZSejam a, b e c Z.Adioa) a + b = b + a, comutativab) (a+ b) + c = a +( b+ c), associativac) a + 0 = 0 + a = a, elemento neutrod) a + b = b + a = 0, elemento oposto ou simtrico.Exemplos:-3e + 3 so simtricos-7e +7 so simtricos.Multiplicaoa)a. b = b . a, Comutativab)(a . b) . c = (a. b) . c, Associativac)a. 1 = 1 . a = a, Elemento neutroPropriedade distributiva da multiplicao em relao adio.c . (a + b) = (a + b) . c = ac + cbPotenciaoSejam a, b Z e n IN.an = a. a. a ... a n vezesSe an =b, se a > 0 b > 0 todo n IN ,se a < 0 e n mpar b < 0 se a < 0 e n par b > 0.Propriedade da potenciaoSejam a e b Z, e n e m IN, temos que:a) an . am = an+m b) an : am = an -mc) ( a. b)n = an .bnd)a0=1 coma 0e)0n = 0f) 1n = 1RadiciaoSejam a e b Z e n INtemos na = b. Se a < 0 e n par no existe raiz.Exerccios:I - Completar com os smbolos > , < ou =a) -3 ___0 b) 7 ___-8c) | -3|___ | +3|Respostas: a) < b)> c) =II - Efetuar:a) 10 +5 3 +6 -2 b) (-6) . (-3) + 2.(-4)c) 15 : 3 + 7. 2 d) 20:2Respostas: a) 4 b) 10 c) +9 d) 10Nmeros Pares e mpares Os pitagricos estudavam natureza dos nmeros, e baseado nesta natureza criaram sua filosofia e modo devida.Vamosdefinirnmeros paresemparesde acordo com a concepo pitagrica: par o nmero que pode ser dividido em duas partes iguais, sem que uma unidade fique no meio, empar aquelequenopodeser dividido em duas partes iguais, porque sempre h uma unidade no meio Uma outra caracterizao, nos mostra a preocupao com natureza dos nmeros: nmero par aquele que tanto pode ser dividido emduas partes iguais como em partesdesiguais, masdeformatal queem nenhuma destas divises haja uma mistura da naturezapar coma naturezampar, nem da mpar com a par. Isto tem uma nica exceo, que o princpio do par, o nmero 2, que no admite a diviso em partes desiguais, porque eleformadopor duasunidadese, seisto pode ser dito, do primeiro nmero par, 2. Matemtica3Online ApostilasPara exemplificar o texto acima, considere o nmero 10, que par, pode ser dividido como a soma de 5 e 5, mastambmcomoasomade7e3(queso ambos mpares) ou como a soma de 6 e 4 (ambos so pares); mas nunca como a soma de um nmero par e outro mpar. J onmero 11, que mparpode ser escritocomosomade8e3, umpar eummpar. Atualmente, definimos nmeros pares como sendo o nmero que ao ser dividido por dois tm resto zero e nmeros mpares aqueles que ao serem divididos por dois tmrestodiferentedezero. Por exemplo, 12 dividido por 2 tm resto zero, portanto 12 par. J o nmero 13 ao ser dividido por 2 deixa resto 1, portanto 13 mpar. REGRAS DE DIVISIBILIDADE DIVISIBILIDADE POR 2Um nmero divisvel por 2 quando par.Nmeros pares so os que terminam em 0, ou 2, ou 4, ou 6 , ou 8.Ex : 42 - 100 - 1.445.086 - 8 - 354 - 570 DIVISIBILIDADE POR 3Um nmero divisvel por 3 quando a soma dos seus algarismos divisvel por 3.Ex : 123 (S= 1 + 2 + 3 = 6) - 36 (S=9) - 1.478.391 ( S=33) - 570 (S=12) DIVISIBILIDADE POR 4Um nmero divisvel por 4 quando os dois ltimos algarismos formam um nmero divisvel por 4.Ex : 956 - 844 - 1.336 - 120 - 8.357.916 - 752 - 200 DIVISIBILIDADE POR 5Um nmero divisvel por 5 quando termina em 0 ou 5 .Ex : 475 - 800 - 1.267.335 - 10 - 65 DIVISIBILIDADE POR 6Um nmero divisvel por 6 quando divisvel por 2 e3 ao mesmo tempo.Ex : 36 - 24 - 126 - 1476 DIVISIBILIDADE POR 7Tomar o ltimo algarismo e calcular seu dobro. Subtrair esse resultado do nmero formado pelos algarismos restantes. Se o resultado for divisvel por 7 ento, o nmero original tambm ser divisvel por 7.Ex1 : 238 : 8 x 2 = 1623 16 = 7 : como 7 divisvel por 7 , 238 tambm divisvel.693 : 3 x 2 = 669 6 = 6363 : 3 x 2 = 66 6 = 0 : como 0 divisvel por 7, 693 tambm divisvel.Ex2 : 235 : 5 x 2 = 1023 10 = 13 : como 13 no divisvel por 7, 235 tambm no divisvel. DIVISIBILIDADE POR 8Um nmero divisvel por 8 quando os trs ltimos algarismos formam um nmero divisvel por 8.Ex : 876.400 - 152 - 245.328.168 DIVISIBILIDADE POR 9Um nmero divisvel por 9 quando a soma dos seus algarismos divisvel por 9.Ex : 36 - 162 - 5463 - 5.461.047 DIVISIBILIDADE POR 10Um nmero divisvel por 10 quando termina em 0.Ex : 100 - 120 - 1.252.780 - 1.389.731.630 DIVISIBILIDADE POR 11Quando a diferena entre as somas dos algarismos de ordem mpar e de ordem par, a partir dadireita for mltipla de 11. Matemtica4Online ApostilasEx : 7.973.207S (ordem mpar) = 7 + 2 + 7 + 7 = 23S (ordem par) = 0 + 3 + 9 = 12diferena = 11 NMEROS PRIMOSNmero Primo - aquele que s tem dois divisores: 1 e ele prprio.So Nmeros Primos : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... etc.1 no primo, tem apenas um divisor.2 o nico nmero par que primo.NMEROS COMPOSTOSSo nmeros que possuem mais de dois divisores.Ex. : 4, 6, 8, 9, 12, 14, 15, ... etc.Obs.: a) O nmero 1 no composto e nem primo.b) Zerotambm, nocompostoenemprimo (possui infinitos divisores)Decomposio de um nmero em fatores primos.- Divide - se o nmero dado pelo seu menor divisor primo.- Procede-sedamesmamaneiracomcadaquo-ciente obtido, at que se tenha o quociente 1.Ex.:72 236 2 72 = 23 . 3218 29 33 31 e 2 e 3 so primos.ExercciosDecompor em fatores primos.1) 36 2) 42 3) 896Respostas: 1) 22.322) 2.3.73) 27. 7MNIMO MLTIPLO COMUM (M.M.C.)m.m.c. entre dois